Aufgaben:Aufgabe 1.12: Hard Decision vs. Soft Decision - Versionsgeschichte

Guenter am 20. Juli 2022 um 14:12 Uhr

2022-07-20T14:12:27Z

Guenter am 20. Juli 2022 um 13:34 Uhr

2022-07-20T13:34:17Z

Tasnad: Textersetzung - „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)“ durch „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen“

2020-06-10T15:49:57Z

Textersetzung - „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)“ durch „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen“

Guenter am 13. Mai 2019 um 10:28 Uhr

2019-05-13T10:28:23Z

Guenter am 13. Mai 2019 um 10:14 Uhr

2019-05-13T10:14:45Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T11:41:07Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 3. Januar 2018 um 16:08 Uhr

2018-01-03T16:08:11Z

Guenter am 3. Januar 2018 um 15:40 Uhr

2018-01-03T15:40:17Z

Guenter am 3. Januar 2018 um 15:32 Uhr

2018-01-03T15:32:31Z

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:Aufgabe 1.12: Hard / Soft Decision nach Aufgaben:Aufgabe 1.12: Hard Decision vs. Soft Decision

2018-01-03T15:02:29Z

Guenter verschob die Seite Aufgabe 1.12: Hard / Soft Decision nach Aufgabe 1.12: Hard Decision vs. Soft Decision

@@ Zeile 72: / Zeile 72: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Jeder Hamming–Code ist perfekt und weist die minimale Distanz $d_{\rm min} = 3$ auf.
+'''(1)'''&nbsp; Jeder Hamming–Code ist perfekt und weist die minimale Distanz&nbsp; $d_{\rm min} = 3$&nbsp; auf.
-*Deshalb kann ein Bitfehler im Codewort korrigiert werden, während zwei Bitfehler stets zu einer Fehlentscheidung des Codewortes führen  &nbsp; ⇒  &nbsp; Parameter $t = 1$.
+*Deshalb kann ein Bitfehler im Codewort korrigiert werden,&nbsp; während zwei Bitfehler stets zu einer Fehlentscheidung des Codewortes führen  &nbsp; ⇒  &nbsp; Parameter $t = 1$.
 *Damit ergibt sich für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit:
@@ Zeile 81: / Zeile 82: @@
-'''(2)'''&nbsp; Ein jeder $(n, \, k, \, 3)$&ndash;Hamming–Code kann nur einen Bitfehler korrigieren. Für den BSC–Kanal gilt somit allgemein mit der Codewortlänge $n$:
+'''(2)'''&nbsp; Ein jeder&nbsp; $(n, \, k, \, 3)$&ndash;Hamming–Code kann nur einen Bitfehler korrigieren.&nbsp; Für den BSC–Kanal gilt somit allgemein mit der Codewortlänge&nbsp; $n$:
 :$${\rm Pr(Blockfehler)} = 1 - \text{Pr(kein Bitfehler)} - \text{Pr(ein Bitfehler)}  = 1 - (1 - \varepsilon)^n - n \cdot \varepsilon \cdot (1 - \varepsilon)^{n-1}.$$
-*Nach Reihenentwicklung von &nbsp; $(1 - \varepsilon)^n$ &nbsp;  bzw. von &nbsp; $n \cdot \varepsilon \cdot (1 - \varepsilon)^{n-1}$ &nbsp; erhält man hieraus:
+*Nach Reihenentwicklung von &nbsp; "$(1 - \varepsilon)^n$" &nbsp;  bzw. von &nbsp; "$n \cdot \varepsilon \cdot (1 - \varepsilon)^{n-1}$" &nbsp; erhält man hieraus:
 :$${\rm Pr(Blockfehler)} = 1 - \left [ 1 - {n \choose 1}\cdot \varepsilon + {n \choose 2}\cdot \varepsilon^2 - \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm} \right ] -\left [ n \cdot \varepsilon \cdot \left ( 1 - {{n-1} \choose 1}\cdot \varepsilon + {{n-1} \choose 2}\cdot \varepsilon^2 - \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}\right ) \right ] \hspace{0.05cm}.$$
-*Bei Vernachlässigung aller Terme mit $\varepsilon^3, \ \varepsilon^4, \ \text{...}$&nbsp; ergibt sich schließlich:
+*Bei Vernachlässigung aller Terme mit&nbsp; $\varepsilon^3, \ \varepsilon^4, \ \text{...}$&nbsp; ergibt sich schließlich:
 :$${\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} n \cdot \varepsilon - {n \choose 2}\cdot \varepsilon^2 - n \cdot \varepsilon + n \cdot \varepsilon {{n-1} \choose 1}\cdot \varepsilon + \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm} = -n/2 \cdot (n-1)\cdot \varepsilon^2 + n \cdot (n-1)\cdot \varepsilon^2 = n \cdot (n-1)/2 \cdot \varepsilon^2 \hspace{0.05cm}.$$
-Richtig ist somit <u>Lösungsvorschlag 1</u>.
+Richtig ist somit der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 1</u>.
-Für den $(7, \, 4, \, 3)$–Hamming–Code folgt daraus:
+Für den&nbsp; $(7, \, 4, \, 3)$–Hamming–Code folgt daraus:
 :$${\rm Pr(Blockfehler)} \le \left\{ \begin{array}{c} 2.03 \cdot 10^{-3}\\ 2.09 \cdot 10^{-5} \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} \varepsilon = 10^{-2} \\ {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} \varepsilon = 10^{-3} \\ \end{array} \hspace{0.05cm}.$$
-*Durch Vergleich mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (1) erkennt man die Gültigkeit dieser Näherung.
+*Durch Vergleich mit dem Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; erkennt man die Gültigkeit dieser Näherung.
 *Diese ist um so besser, je kleiner die BSC–Verfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon$ ist.
-'''(3)'''&nbsp; Die Ergebnisse der Teilaufgabe (2) lassen sich wie folgt zusammenfassen:
+'''(3)'''&nbsp; Die Ergebnisse der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; lassen sich wie folgt zusammenfassen:
 :$${\rm Pr(Blockfehler)} = \left\{ \begin{array}{l} 3 \cdot \varepsilon^2 \\ 21 \cdot \varepsilon^2\\ 105 \cdot \varepsilon^2\\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}l} {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} n = 3 \\ {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} n = 7 \\ {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} n = 15 \\ \end{array} \hspace{0.05cm}.$$
-*Richtig ist <u>Antwort 1</u>.
+*Richtig ist die&nbsp; <u>Antwort 1</u>.
-*Die geringste Blockfehlerwahrscheinlichkeit besitzt natürlich der Hamming–Code mit der geringsten Rate $R = 1/3$, also mit der größten relativen Redundanz.
+*Die geringste Blockfehlerwahrscheinlichkeit besitzt natürlich der Hamming–Code mit der geringsten Rate&nbsp; $R = 1/3$,&nbsp; also mit der größten relativen Redundanz.
-'''(4)'''&nbsp;  Bei Hard Decision gilt mit der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion ${\rm Q}(x)$:
+'''(4)'''&nbsp;  Bei Hard Decision gilt mit der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion&nbsp; ${\rm Q}(x)$:
 :$$\varepsilon = {\rm Q}\left ( \sqrt{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}/N_0} \right )\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} E_{\rm B}/N_0 = \frac{[{\rm Q}^{-1}(\varepsilon)]^2}{2R}\hspace{0.3cm}
   \Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}[{\rm Q}^{-1}(\varepsilon)] - 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (2R) \hspace{0.05cm}.$$
-*Daraus erhält man mit $\varepsilon = 0.01 \ ⇒ \ {\rm Q}^{–1}(\varepsilon) = 2.33$:
+*Daraus erhält man mit&nbsp; $\varepsilon = 0.01 \ ⇒ \ {\rm Q}^{–1}(\varepsilon) = 2.33$:
 :$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}(2.33) - 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (8/7) = 7.35\,{\rm dB} - 0.58\,{\rm dB}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 6.77\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
+* In analoger Weise ergibt sich für&nbsp; $\varepsilon = 0.001 \ ⇒ \ {\rm Q}^{–1}(\varepsilon) = 3.09$:
 :$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}(3.09) - 0.58\,{\rm dB}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 9.22\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
-'''(5)'''&nbsp; Wir beziehen uns hier auf die Blockfehlerwahrscheinlichkeit $10^{–5}$.
+'''(5)'''&nbsp; Wir beziehen uns hier auf die Blockfehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; $10^{–5}$.
-*Nach dem Ergebnis der Teilaufgabe (2) darf dann die BSC–Verfälschungswahrscheinlichkeit nicht größer sein als
+*Nach dem Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; darf dann die BSC–Verfälschungswahrscheinlichkeit nicht größer sein als
 :$$\varepsilon = \sqrt{{10^{-5}}/{21}} = 6.9 \cdot 10^{-4} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Q}^{-1}(\varepsilon) = 3.2 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 9.52\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$
-*Mit ''Soft Decision'' genügen laut Angabe $8 \ {\rm dB} \ ⇒ \ 10 · \lg {G_{\rm SD}} \ \underline{= 1.52 \ {\rm dB}}$.
+*Mit "Soft Decision" genügen laut Angabe $8 \ {\rm dB} \ ⇒ \ 10 · \lg {G_{\rm SD}} \ \underline{= 1.52 \ {\rm dB}}$.
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 [[Datei:P_ID2408__KC_A_1_12.png|right|frame|Blockfehlerrate des&nbsp; $\rm HC(7, \, 4, \, 3)$&nbsp; bei <br>&bdquo;Hard Decision&rdquo; und &bdquo;Soft Decision&rdquo;]]
-Die Abbildung zeigt die Blockfehlerwahrscheinlichkeit für den&nbsp; [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Einige_Eigenschaften_des_.287.2C_4.2C_3.29.E2.80.93Hamming.E2.80.93Codes|$(7, \, 4, \, 3)$–Hamming–Code]], wobei für den Empfänger zwei Varianten berücksichtigt sind:
+Die Abbildung zeigt die Blockfehlerwahrscheinlichkeit für den&nbsp; [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Einige_Eigenschaften_des_.287.2C_4.2C_3.29.E2.80.93Hamming.E2.80.93Codes"|$(7, \, 4, \, 3)$–Hamming–Code"]],&nbsp; wobei für den Empfänger zwei Varianten berücksichtigt sind:
-*Bei Maximum–Likelihood–Detektion mit harten Entscheidungen $($&bdquo;Hard Decision&rdquo;, &nbsp;$\rm HD)$, die im vorliegenden Fall (perfekter Code) auch durch Syndromdecodierung realisiert werden kann, ergibt sich die rote Kurve (mit Kreismarkierung).
+*Bei Maximum–Likelihood–Detektion mit harten Entscheidungen&nbsp; $($&bdquo;Hard Decision&rdquo;, &nbsp;$\rm HD)$,&nbsp; die im vorliegenden Fall (perfekter Code)&nbsp; auch durch Syndromdecodierung realisiert werden kann,&nbsp; ergibt sich die rote Kurve&nbsp; (mit Kreismarkierung).
-*Der Kanal kann bei &bdquo;Hard Decision&rdquo; vereinfacht durch das BSC–Modell ersetzt werden. Der Zusammenhang zwischen dem BSC–Parameter&nbsp; $\varepsilon$&nbsp; und dem AWGN–Quotienten&nbsp; $E_{\rm B}/N_{0}$&nbsp; (in der Grafik verwendet) ist wie folgt gegeben:
+*Der Kanal kann bei &bdquo;Hard Decision&rdquo; vereinfacht durch das BSC–Modell ersetzt werden.&nbsp; Der Zusammenhang zwischen dem BSC–Parameter&nbsp; $\varepsilon$&nbsp; und dem AWGN–Quotienten&nbsp; $E_{\rm B}/N_{0}$&nbsp; (in der Grafik verwendet)&nbsp; ist wie folgt gegeben:
 :$$\varepsilon = {\rm Q}\left ( \sqrt{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}/N_0} \right ) \hspace{0.05cm}.$$
-:Hier bezeichnet&nbsp; ${\rm Q}(x)$&nbsp; die ''komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion'' und&nbsp; $R$&nbsp; die Coderate.
+:Hier bezeichnet&nbsp; ${\rm Q}(x)$&nbsp; die&nbsp; "komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion"&nbsp; und&nbsp; $R$&nbsp; die Coderate.
-*Die grüne Kurve (mit Kreuzen) zeigt die Blockfehlerwahrscheinlichkeit bei „weichen” Entscheidungen $($&bdquo;Soft Decision&rdquo;, &nbsp;$\rm SD)$. Dieser Funktionsverlauf lässt sich nicht in geschlossen–mathematischer Form angeben. Die in der Grafik eingezeichnete Kurve ist eine in [Fri96] angegebene obere Schranke:
+*Die grüne Kurve&nbsp; (mit Kreuzen markiert)&nbsp; zeigt die Blockfehlerwahrscheinlichkeit bei „weichen” Entscheidungen&nbsp; $($&bdquo;Soft Decision&rdquo;, &nbsp;$\rm SD)$.&nbsp; Dieser Funktionsverlauf lässt sich nicht in geschlossen–mathematischer Form angeben.&nbsp; Die in der Grafik eingezeichnete Kurve ist eine in [Fri96] angegebene obere Schranke:
 :$$ {\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm}\ \le \ \hspace{-0.15cm} 7 \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{ 3 \cdot \frac{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}} \right )+7 \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{ 4 \cdot \frac{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}} \right ) + {\rm Q}\left ( \sqrt{ 7 \cdot \frac{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}} \right ) \hspace{0.05cm}.$$
 :*Der jeweils erste Faktor im Argument der&nbsp; $\rm Q$–Funktion gibt die möglichen Hamming–Distanzen an: &nbsp; $i = 3, \, 4, \, 7$.
 :*Die Vorfaktoren berücksichtigen die Vielfachheiten&nbsp; $W_{3} = W_{4} = 7$&nbsp; und&nbsp; $W_{7} = 1$. &nbsp; $R = 4/7$&nbsp; beschreibt die Coderate.
 :*Für&nbsp; $10 · \lg {E_{\rm B}/N_0} > 8  \ \rm dB$&nbsp; ist&nbsp; $\rm Pr(Blockfehler) < 10^{–5}$.
@@ Zeile 24: / Zeile 28: @@
+*Für die Teilaufgaben&nbsp; '''(1)'''&nbsp; bis&nbsp; '''(4)'''&nbsp; wird stets von  &bdquo;Hard Decision&rdquo; ausgegangen.
@@ Zeile 44: / Zeile 48: @@
 $\varepsilon = 10^{-3} \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Pr(Blockfehler)} \ = \ $ { 0.021 3% } $\ \cdot 10^{-3} $
-{Wie kann man die Blockfehlerwahrscheinlichkeit eines Hamming–Codes annähern, &bdquo;Hard Decision&rdquo;  vorausgesetzt?
+{Wie kann man die Blockfehlerwahrscheinlichkeit eines Hamming–Codes annähern,&nbsp; &bdquo;Hard Decision&rdquo;  vorausgesetzt?
 |type="()"}
 + ${\rm Pr(Blockfehler)} = n · (n–1)/2 · \varepsilon^2.$
@@ Zeile 50: / Zeile 54: @@
 - ${\rm Pr(Blockfehler)} = n  · \varepsilon^n.$
-{Welcher Hamming–Code besitzt die kleinste Blockfehlerwahrscheinlichkeit bei konstantem BSC–Parameter&nbsp; $\varepsilon$?
+{Welcher der aufgelisteten Hamming–Codes besitzt die kleinste Blockfehlerwahrscheinlichkeit bei konstantem BSC–Parameter&nbsp; $\varepsilon$?
 |type="()"}
-+ der Hamming–Code&nbsp; $(3, \, 1, \, 3)$, identisch mit dem &bdquo;Repetition Code&rdquo;&nbsp; $\rm RC \ (3, \, 1, \, 3)$,
++ Der Hamming–Code&nbsp; $(3, \, 1, \, 3)$,&nbsp; identisch mit dem &bdquo;Repetition Code&rdquo;&nbsp; $\rm RC \ (3, \, 1, \, 3)$,
 - der Hamming–Code&nbsp; $(7, \, 4, \, 3)$,
 - der Hamming–Code&nbsp; $(15, \, 11, \, 3)$.
@@ Zeile 61: / Zeile 65: @@
 $\varepsilon = 10^{-3} \text{:} \hspace{0.4cm} 10 · \lg {E_{\rm B}/N_0} \ = \ $ { 9.22 3% } $\ \rm dB$
-{Welcher Gewinn (in dB) ist durch &bdquo;Soft Decision&rdquo; zu erzielen, wenn die Blockfehlerwahrscheinlichkeit den Wert&nbsp; $10^{–5}$&nbsp; nicht überschreiten soll?
+{Welcher Gewinn&nbsp; (in dB)&nbsp; ist durch &bdquo;Soft Decision&rdquo; zu erzielen,&nbsp; wenn die Blockfehlerwahrscheinlichkeit den Wert&nbsp; $10^{–5}$&nbsp; nicht überschreiten soll?
 |type="{}"}
 $\ 10 · \lg \, {G_{\rm SD}} \ = \ $ { 1.52 3% } $ \ \rm dB$

@@ Zeile 30: / Zeile 30: @@
 * Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes|Decodierung linearer Blockcodes]].
 * Die oben zitierte Literaturstelle&nbsp; [Fri96]&nbsp; verweist auf das Buch <br>&bdquo;Friedrichs, B.: Kanalcodierung – Grundlagen und Anwendungen in modernen Kommunikationssystemen. Berlin – Heidelberg: Springer, 1996&rdquo;.
-* Verwenden Sie für numerische Ergebnisse das Berechnungsmodul&nbsp;  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].
+* Verwenden Sie für numerische Ergebnisse das Berechnungsmodul&nbsp;  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].
 *Für die Teilaufgaben '''(1)''' bis '''(4)''' wird stets von  &bdquo;Hard Decision&rdquo; ausgegangen.

@@ Zeile 42: / Zeile 42: @@
 |type="{}"}
 $\varepsilon = 10^{-2} \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Pr(Blockfehler)} \ = \ $ { 2.03 3% } $\ \cdot 10^{-3} $
-$\varepsilon = 10^{-3} \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Pr(Blockfehler)} \ = \ $ { 0.0209 3% } $\ \cdot 10^{-3} $
+$\varepsilon = 10^{-3} \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Pr(Blockfehler)} \ = \ $ { 0.021 3% } $\ \cdot 10^{-3} $
 {Wie kann man die Blockfehlerwahrscheinlichkeit eines Hamming–Codes annähern, &bdquo;Hard Decision&rdquo;  vorausgesetzt?
@@ Zeile 68: / Zeile 68: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Jeder Hamming–Code ist perfekt und weist eine minimale Distanz von $d_{\rm min} = 3$ auf.
+'''(1)'''&nbsp; Jeder Hamming–Code ist perfekt und weist die minimale Distanz $d_{\rm min} = 3$ auf.
 *Deshalb kann ein Bitfehler im Codewort korrigiert werden, während zwei Bitfehler stets zu einer Fehlentscheidung des Codewortes führen  &nbsp; ⇒  &nbsp; Parameter $t = 1$.
 *Damit ergibt sich für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit:
@@ Zeile 77: / Zeile 77: @@
-'''(2)'''&nbsp; Ein jeder $(n, \, k, \, 3)$ Hamming–Code kann nur einen Bitfehler korrigieren. Für den BSC–Kanal gilt somit allgemein mit der Codewortlänge $n$:
+'''(2)'''&nbsp; Ein jeder $(n, \, k, \, 3)$&ndash;Hamming–Code kann nur einen Bitfehler korrigieren. Für den BSC–Kanal gilt somit allgemein mit der Codewortlänge $n$:
 :$${\rm Pr(Blockfehler)} = 1 - \text{Pr(kein Bitfehler)} - \text{Pr(ein Bitfehler)}  = 1 - (1 - \varepsilon)^n - n \cdot \varepsilon \cdot (1 - \varepsilon)^{n-1}.$$
-Nach Reihenentwicklung von &nbsp; $(1 - \varepsilon)^n$ &nbsp;  bzw. von &nbsp; $n \cdot \varepsilon \cdot (1 - \varepsilon)^{n-1}$ &nbsp; erhält man hieraus:
+*Nach Reihenentwicklung von &nbsp; $(1 - \varepsilon)^n$ &nbsp;  bzw. von &nbsp; $n \cdot \varepsilon \cdot (1 - \varepsilon)^{n-1}$ &nbsp; erhält man hieraus:
 :$${\rm Pr(Blockfehler)} = 1 - \left [ 1 - {n \choose 1}\cdot \varepsilon + {n \choose 2}\cdot \varepsilon^2 - \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm} \right ] -\left [ n \cdot \varepsilon \cdot \left ( 1 - {{n-1} \choose 1}\cdot \varepsilon + {{n-1} \choose 2}\cdot \varepsilon^2 - \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}\right ) \right ] \hspace{0.05cm}.$$
-Bei Vernachlässigung aller Terme mit $\varepsilon^3, \ \varepsilon^4, \ \text{...}$ ergibt sich schließlich:
+*Bei Vernachlässigung aller Terme mit $\varepsilon^3, \ \varepsilon^4, \ \text{...}$&nbsp; ergibt sich schließlich:
 :$${\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} n \cdot \varepsilon - {n \choose 2}\cdot \varepsilon^2 - n \cdot \varepsilon + n \cdot \varepsilon {{n-1} \choose 1}\cdot \varepsilon + \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm} = -n/2 \cdot (n-1)\cdot \varepsilon^2 + n \cdot (n-1)\cdot \varepsilon^2 = n \cdot (n-1)/2 \cdot \varepsilon^2 \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 91: / Zeile 91: @@
 Für den $(7, \, 4, \, 3)$–Hamming–Code folgt daraus:
-:$${\rm Pr(Blockfehler)} \le \left\{ \begin{array}{c} 2.1 \cdot 10^{-3}\\ 2.1 \cdot 10^{-5} \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} \varepsilon = 10^{-2} \\ {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} \varepsilon = 10^{-3} \\ \end{array} \hspace{0.05cm}.$$
+:$${\rm Pr(Blockfehler)} \le \left\{ \begin{array}{c} 2.03 \cdot 10^{-3}\\ 2.09 \cdot 10^{-5} \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} \varepsilon = 10^{-2} \\ {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} \varepsilon = 10^{-3} \\ \end{array} \hspace{0.05cm}.$$
 *Durch Vergleich mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (1) erkennt man die Gültigkeit dieser Näherung.
 *Diese ist um so besser, je kleiner die BSC–Verfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon$ ist.
@@ Zeile 101: / Zeile 102: @@
 :$${\rm Pr(Blockfehler)} = \left\{ \begin{array}{l} 3 \cdot \varepsilon^2 \\ 21 \cdot \varepsilon^2\\ 105 \cdot \varepsilon^2\\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}l} {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} n = 3 \\ {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} n = 7 \\ {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} n = 15 \\ \end{array} \hspace{0.05cm}.$$
-Richtig ist <u>Antwort 1</u>. Die geringste Blockfehlerwahrscheinlichkeit besitzt natürlich der Hamming–Code mit der geringsten Rate $R = 1/3$, also mit der größten relativen Redundanz.
+*Richtig ist <u>Antwort 1</u>.
@@ Zeile 109: / Zeile 111: @@
   \Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}[{\rm Q}^{-1}(\varepsilon)] - 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (2R) \hspace{0.05cm}.$$
-Daraus erhält man mit $\varepsilon = 0.01 \ ⇒ \ {\rm Q}^{–1}(\varepsilon) = 2.33$:
+*Daraus erhält man mit $\varepsilon = 0.01 \ ⇒ \ {\rm Q}^{–1}(\varepsilon) = 2.33$:
 :$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}(2.33) - 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (8/7) = 7.35\,{\rm dB} - 0.58\,{\rm dB}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 6.77\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
-−
+:
 :$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}(3.09) - 0.58\,{\rm dB}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 9.22\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 120: / Zeile 121: @@
 '''(5)'''&nbsp; Wir beziehen uns hier auf die Blockfehlerwahrscheinlichkeit $10^{–5}$.
-Nach dem Ergebnis der Teilaufgabe (2) darf dann die BSC–Verfälschungswahrscheinlichkeit nicht größer sein als
+*Nach dem Ergebnis der Teilaufgabe (2) darf dann die BSC–Verfälschungswahrscheinlichkeit nicht größer sein als
 :$$\varepsilon = \sqrt{{10^{-5}}/{21}} = 6.9 \cdot 10^{-4} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Q}^{-1}(\varepsilon) = 3.2 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 9.52\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$
-Mit ''Soft Decision'' genügen laut Angabe $8 \ {\rm dB} \ ⇒ \ 10 · \lg {G_{\rm SD}} \ \underline{= 1.52 \ {\rm dB}}$.
+*Mit ''Soft Decision'' genügen laut Angabe $8 \ {\rm dB} \ ⇒ \ 10 · \lg {G_{\rm SD}} \ \underline{= 1.52 \ {\rm dB}}$.
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
 {{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Decodierung linearer Blockcodes}}
-[[Datei:P_ID2408__KC_A_1_12.png|right|frame|Blockfehlerrate des $(7, \, 4, \, 3)$&ndash;Codes bei Hard Decision und Soft Decision]]
+[[Datei:P_ID2408__KC_A_1_12.png|right|frame|Blockfehlerrate des&nbsp; $\rm HC(7, \, 4, \, 3)$&nbsp; bei <br>&bdquo;Hard Decision&rdquo; und &bdquo;Soft Decision&rdquo;]]
-Die Abbildung zeigt die Blockfehlerwahrscheinlichkeit für den [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Einige_Eigenschaften_des_.287.2C_4.2C_3.29.E2.80.93Hamming.E2.80.93Codes|$(7, \, 4, \, 3)$–Hamming–Code]], wobei für den Empfänger zwei Varianten berücksichtigt sind:
+Die Abbildung zeigt die Blockfehlerwahrscheinlichkeit für den&nbsp; [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Einige_Eigenschaften_des_.287.2C_4.2C_3.29.E2.80.93Hamming.E2.80.93Codes|$(7, \, 4, \, 3)$–Hamming–Code]], wobei für den Empfänger zwei Varianten berücksichtigt sind:
-*Bei Maximum–Likelihood–Detektion mit harten Entscheidungen (''Hard Decision,'' HD), die im vorliegenden Fall (perfekter Code) auch durch Syndromdecodierung realisiert werden kann, ergibt sich die rote Kurve (mit Kreismarkierung).
+*Bei Maximum–Likelihood–Detektion mit harten Entscheidungen $($&bdquo;Hard Decision&rdquo;, &nbsp;$\rm HD)$, die im vorliegenden Fall (perfekter Code) auch durch Syndromdecodierung realisiert werden kann, ergibt sich die rote Kurve (mit Kreismarkierung).
+*Der Kanal kann bei &bdquo;Hard Decision&rdquo; vereinfacht durch das BSC–Modell ersetzt werden. Der Zusammenhang zwischen dem BSC–Parameter&nbsp; $\varepsilon$&nbsp; und dem AWGN–Quotienten&nbsp; $E_{\rm B}/N_{0}$&nbsp; (in der Grafik verwendet) ist wie folgt gegeben:
 :$$\varepsilon = {\rm Q}\left ( \sqrt{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}/N_0} \right ) \hspace{0.05cm}.$$
-:Hier bezeichnet ${\rm Q}(x)$ die ''komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion'' und $R$ die Coderate.
+:Hier bezeichnet&nbsp; ${\rm Q}(x)$&nbsp; die ''komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion'' und&nbsp; $R$&nbsp; die Coderate.
@@ Zeile 27: / Zeile 28: @@
 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes|Decodierung linearer Blockcodes]].
+* Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes|Decodierung linearer Blockcodes]].
-* Die oben zitierte Literaturstelle [Fri96] verweist auf das Buch &bdquo;Friedrichs, B.: Kanalcodierung – Grundlagen und Anwendungen in modernen Kommunikations- systemen. Berlin – Heidelberg: Springer, 1996&rdquo;.
+* Die oben zitierte Literaturstelle&nbsp; [Fri96]&nbsp; verweist auf das Buch <br>&bdquo;Friedrichs, B.: Kanalcodierung – Grundlagen und Anwendungen in modernen Kommunikationssystemen. Berlin – Heidelberg: Springer, 1996&rdquo;.
-* Verwenden Sie für numerische Ergebnisse das Berechnungsmodul  [[Applets:QFunction|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].
+* Verwenden Sie für numerische Ergebnisse das Berechnungsmodul&nbsp;  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].
-*Für die Teilaufgaben (1) bis (4) wird stets von  ''Hard Decision'' ausgegangen.
+*Für die Teilaufgaben '''(1)''' bis '''(4)''' wird stets von  &bdquo;Hard Decision&rdquo; ausgegangen.
@@ Zeile 38: / Zeile 39: @@
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Welche Blockfehlerwahrscheinlichkeit besitzt der $(7, \, 4, \, 3)$–Hamming–Code bei ''Hard Decision''?
+{Welche Blockfehlerwahrscheinlichkeit besitzt der&nbsp; $(7, \, 4, \, 3)$–Hamming–Code bei &bdquo;Hard Decision&rdquo;?
 |type="{}"}
 $\varepsilon = 10^{-2} \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Pr(Blockfehler)} \ = \ $ { 2.03 3% } $\ \cdot 10^{-3} $
 $\varepsilon = 10^{-3} \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Pr(Blockfehler)} \ = \ $ { 0.0209 3% } $\ \cdot 10^{-3} $
-{Wie kann man die Blockfehlerwahrscheinlichkeit eines Hamming–Codes annähern, ''Hard Decision''  vorausgesetzt?
+{Wie kann man die Blockfehlerwahrscheinlichkeit eines Hamming–Codes annähern, &bdquo;Hard Decision&rdquo;  vorausgesetzt?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 + ${\rm Pr(Blockfehler)} = n · (n–1)/2 · \varepsilon^2.$
 - ${\rm Pr(Blockfehler)} = n ·  \varepsilon^2.$
 - ${\rm Pr(Blockfehler)} = n  · \varepsilon^n.$
-{Welcher Hamming–Code besitzt die kleinste Blockfehlerwahrscheinlichkeit bei konstantem BSC–Parameter $\varepsilon$?
+{Welcher Hamming–Code besitzt die kleinste Blockfehlerwahrscheinlichkeit bei konstantem BSC–Parameter&nbsp; $\varepsilon$?
-|type="[]"}
+|type="()"}
-+ der Hamming–Code $(3, \, 1, \, 3)$, identisch mit dem   ''Repetition Code'' $(3, \, 1, \, 3)$,
++ der Hamming–Code&nbsp; $(3, \, 1, \, 3)$, identisch mit dem &bdquo;Repetition Code&rdquo;&nbsp; $\rm RC \ (3, \, 1, \, 3)$,
-- der Hamming–Code $(7, \, 4, \, 3)$,
+- der Hamming–Code&nbsp; $(7, \, 4, \, 3)$,
-- der Hamming–Code $(15, \, 11, \, 3)$.
+- der Hamming–Code&nbsp; $(15, \, 11, \, 3)$.
-{Welcher numerische Zusammenhang besteht zwischen dem BSC–Parameter $\varepsilon$ und dem AWGN–Quotienten $E_{\rm B}/N_{0}$?
+{Welcher numerische Zusammenhang besteht zwischen dem BSC–Parameter&nbsp; $\varepsilon$&nbsp; und dem AWGN–Quotienten&nbsp; $E_{\rm B}/N_{0}$?
 |type="{}"}
 $\varepsilon = 10^{-2}\text{:} \hspace{0.4cm} 10 · \lg {E_{\rm B}/N_0} \ = \ $ { 6.77 3% } $\ \rm dB$
 $\varepsilon = 10^{-3} \text{:} \hspace{0.4cm} 10 · \lg {E_{\rm B}/N_0} \ = \ $ { 9.22 3% } $\ \rm dB$
-{Welcher Gewinn (in dB) ist durch ''Soft Decision'' ('''SD''') zu erzielen, wenn die Blockfehlerwahrscheinlichkeit den Wert $10^{–5}$ nicht überschreiten soll?
+{Welcher Gewinn (in dB) ist durch &bdquo;Soft Decision&rdquo; zu erzielen, wenn die Blockfehlerwahrscheinlichkeit den Wert&nbsp; $10^{–5}$&nbsp; nicht überschreiten soll?
 |type="{}"}
 $\ 10 · \lg \, {G_{\rm SD}} \ = \ $ { 1.52 3% } $ \ \rm dB$

@@ Zeile 51: / Zeile 51: @@
 {Welcher Hamming–Code besitzt die kleinste Blockfehlerwahrscheinlichkeit bei konstantem BSC–Parameter $\varepsilon$?
 |type="[]"}
-+ der Hamming–Code $(3, \, 1, \, 3)$   ⇒   ''Repetition Code'' $(3, \, 1, \, 3)$,
++ der Hamming–Code $(3, \, 1, \, 3)$, identisch mit dem   ''Repetition Code'' $(3, \, 1, \, 3)$,
 - der Hamming–Code $(7, \, 4, \, 3)$,
 - der Hamming–Code $(15, \, 11, \, 3)$.
@@ Zeile 67: / Zeile 67: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Jeder Hamming–Code ist perfekt und weist eine minimale Distanz von $d_{\rm min} = 3$ auf. Deshalb kann ein Bitfehler im Codewort korrigiert werden, während zwei Bitfehler stets zu einer Fehlentscheidung des Codewortes führen  ⇒  Parameter $t = 1$. Damit ergibt sich für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit:
+'''(1)'''&nbsp; Jeder Hamming–Code ist perfekt und weist eine minimale Distanz von $d_{\rm min} = 3$ auf.
-:$${\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - {\rm Pr(kein\hspace{0.15cm} Blockfehler)} - {\rm Pr(ein\hspace{0.15cm} Blockfehler)} = $$
+:$${\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - {\rm Pr(kein\hspace{0.15cm} Blockfehler)} - {\rm Pr(ein\hspace{0.15cm} Blockfehler)} = 1 - (1 - \varepsilon)^7 - 7 \cdot \varepsilon \cdot (1 - \varepsilon)^6 \hspace{0.05cm}.$$
-:$$\hspace{2.875cm}\ = \ \hspace{-0.15cm}1 - (1 - \varepsilon)^7 - 7 \cdot \varepsilon \cdot (1 - \varepsilon)^6 \hspace{0.05cm}.$$
+:$$\varepsilon = 10^{-2} \text{:} \hspace{0.4cm}{\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - 0.99^7 - 7 \cdot 0.01 \cdot 0.99^6= 1 - 0.932065 - 0.065904\hspace{0.15cm}\underline{\approx 2.03 \cdot 10^{-3}}\hspace{0.05cm},$$
-:$$\varepsilon = 0.01:\hspace{0.2cm} {\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - 0.99^7 - 7 \cdot 0.01 \cdot 0.99^6= $$
+:$$\varepsilon = 10^{-3} \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - 0.999^7 - 7 \cdot 0.001 \cdot 0.999^6= 1 - 0.993021 - 0.006958\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.0209 \cdot 10^{-3}}\hspace{0.05cm}.$$

← Nächstältere Version	Version vom 3. Januar 2018, 15:02 Uhr
(kein Unterschied)