Aufgaben:Aufgabe 1.12: Hard Decision vs. Soft Decision - Versionsgeschichte

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	^]]		^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_1.12:_Hard_Decision_vs._Soft_Decision]]

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	'''(4)'''  Bei Hard Decision gilt mit der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion  ${\rm Q}(x)$:		'''(4)'''  Bei Hard Decision gilt mit der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion  ${\rm Q}(x)$:

	:$$\varepsilon = {\rm Q}\left ( \sqrt{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}/N_0} \right )\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} E_{\rm B}/N_0 = \frac{[{\rm Q}^{-1}(\varepsilon)]^2}{2R}\hspace{0.3cm}		:$$\varepsilon = {\rm Q}\left ( \sqrt{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}/N_0} \right )\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} E_{\rm B}/N_0 = \frac{[{\rm Q}^{-1}(\varepsilon)]^2}{2R}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}[{\rm Q}^{-1}(\varepsilon)] - 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (2R) \hspace{0.05cm}.$$
	\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}[{\rm Q}^{-1}(\varepsilon)] - 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (2R) \hspace{0.05cm}.$$

	*Daraus erhält man mit  $\varepsilon = 0.01 \ ⇒ \ {\rm Q}^{–1}(\varepsilon) = 2.33$:		*Daraus erhält man mit  $\varepsilon = 0.01 \ ⇒ \ {\rm Q}^{–1}(\varepsilon) = 2.33$:

Guenter am 20. Juli 2022 um 14:12 Uhr

2022-07-20T14:12:27Z

Guenter am 20. Juli 2022 um 13:34 Uhr

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	[[Datei:P_ID2408__KC_A_1_12.png\|right\|frame\|Blockfehlerrate des  $\rm HC(7, \, 4, \, 3)$  bei <br>&bdquo;Hard Decision” und &bdquo;Soft Decision”]]		[[Datei:P_ID2408__KC_A_1_12.png\|right\|frame\|Blockfehlerrate des  $\rm HC(7, \, 4, \, 3)$  bei <br>&bdquo;Hard Decision” und &bdquo;Soft Decision”]]

	Die Abbildung zeigt die Blockfehlerwahrscheinlichkeit für den  [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Einige_Eigenschaften_des_.287.2C_4.2C_3.29.E2.80.93Hamming.E2.80.93Codes\|$(7, \, 4, \, 3)$–Hamming–Code]], wobei für den Empfänger zwei Varianten berücksichtigt sind:		Die Abbildung zeigt die Blockfehlerwahrscheinlichkeit für den  [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Einige_Eigenschaften_des_.287.2C_4.2C_3.29.E2.80.93Hamming.E2.80.93Codes"\|$(7, \, 4, \, 3)$–Hamming–Code"]],  wobei für den Empfänger zwei Varianten berücksichtigt sind:

	*Bei Maximum–Likelihood–Detektion mit harten Entscheidungen $($&bdquo;Hard Decision”,  $\rm HD)$, die im vorliegenden Fall (perfekter Code) auch durch Syndromdecodierung realisiert werden kann, ergibt sich die rote Kurve (mit Kreismarkierung).		*Bei Maximum–Likelihood–Detektion mit harten Entscheidungen  $($&bdquo;Hard Decision”,  $\rm HD)$,  die im vorliegenden Fall (perfekter Code)  auch durch Syndromdecodierung realisiert werden kann,  ergibt sich die rote Kurve  (mit Kreismarkierung).

	*Der Kanal kann bei &bdquo;Hard Decision” vereinfacht durch das BSC–Modell ersetzt werden. Der Zusammenhang zwischen dem BSC–Parameter  $\varepsilon$  und dem AWGN–Quotienten  $E_{\rm B}/N_{0}$  (in der Grafik verwendet) ist wie folgt gegeben:		*Der Kanal kann bei &bdquo;Hard Decision” vereinfacht durch das BSC–Modell ersetzt werden.  Der Zusammenhang zwischen dem BSC–Parameter  $\varepsilon$  und dem AWGN–Quotienten  $E_{\rm B}/N_{0}$  (in der Grafik verwendet)  ist wie folgt gegeben:

	:$$\varepsilon = {\rm Q}\left ( \sqrt{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}/N_0} \right ) \hspace{0.05cm}.$$		:$$\varepsilon = {\rm Q}\left ( \sqrt{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}/N_0} \right ) \hspace{0.05cm}.$$

	:Hier bezeichnet  ${\rm Q}(x)$  die ''komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion'' und  $R$  die Coderate.		:Hier bezeichnet  ${\rm Q}(x)$  die  "komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion"  und  $R$  die Coderate.

	*Die grüne Kurve (mit Kreuzen) zeigt die Blockfehlerwahrscheinlichkeit bei „weichen” Entscheidungen $($&bdquo;Soft Decision”,  $\rm SD)$. Dieser Funktionsverlauf lässt sich nicht in geschlossen–mathematischer Form angeben. Die in der Grafik eingezeichnete Kurve ist eine in [Fri96] angegebene obere Schranke:		*Die grüne Kurve  (mit Kreuzen markiert)  zeigt die Blockfehlerwahrscheinlichkeit bei „weichen” Entscheidungen  $($&bdquo;Soft Decision”,  $\rm SD)$.  Dieser Funktionsverlauf lässt sich nicht in geschlossen–mathematischer Form angeben.  Die in der Grafik eingezeichnete Kurve ist eine in [Fri96] angegebene obere Schranke:

	:$$ {\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm}\ \le \ \hspace{-0.15cm} 7 \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{ 3 \cdot \frac{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}} \right )+7 \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{ 4 \cdot \frac{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}} \right ) + {\rm Q}\left ( \sqrt{ 7 \cdot \frac{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}} \right ) \hspace{0.05cm}.$$		:$$ {\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm}\ \le \ \hspace{-0.15cm} 7 \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{ 3 \cdot \frac{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}} \right )+7 \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{ 4 \cdot \frac{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}} \right ) + {\rm Q}\left ( \sqrt{ 7 \cdot \frac{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}} \right ) \hspace{0.05cm}.$$

	:*Der jeweils erste Faktor im Argument der  $\rm Q$–Funktion gibt die möglichen Hamming–Distanzen an:   $i = 3, \, 4, \, 7$.		:*Der jeweils erste Faktor im Argument der  $\rm Q$–Funktion gibt die möglichen Hamming–Distanzen an:   $i = 3, \, 4, \, 7$.
	:*Die Vorfaktoren berücksichtigen die Vielfachheiten  $W_{3} = W_{4} = 7$  und  $W_{7} = 1$.   $R = 4/7$  beschreibt die Coderate.
			:*Die Vorfaktoren berücksichtigen die  "Vielfachheiten"  $W_{3} = W_{4} = 7$  und  $W_{7} = 1$.

			:*$R = 4/7$  beschreibt die Coderate.

	:*Für  $10 · \lg {E_{\rm B}/N_0} > 8 \ \rm dB$  ist  $\rm Pr(Blockfehler) < 10^{–5}$.		:*Für  $10 · \lg {E_{\rm B}/N_0} > 8 \ \rm dB$  ist  $\rm Pr(Blockfehler) < 10^{–5}$.

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			Hinweise:
			* Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel  [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes\|"Decodierung linearer Blockcodes"]].

			* Die oben zitierte Literaturstelle  [Fri96]  verweist auf das Buch <br>&bdquo;Friedrichs, B.: Kanalcodierung – Grundlagen und Anwendungen in modernen Kommunikationssystemen. Berlin – Heidelberg: Springer, 1996”.

			* Verwenden Sie für numerische Ergebnisse unser Berechnungsmodul  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen\|"Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen"]].

			*Für die Teilaufgaben  '''(1)'''  bis  '''(4)'''  wird stets von &bdquo;Hard Decision” ausgegangen.
	~~''Hinweise:''~~
	* ~~Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel  [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes\|Decodierung linearer Blockcodes]].~~
	* Die oben zitierte Literaturstelle  ~~[Fri96]  verweist auf das Buch <br>&bdquo;Friedrichs, B.: Kanalcodierung – Grundlagen und Anwendungen in modernen Kommunikationssystemen. Berlin – Heidelberg: Springer, 1996”.~~
	* Verwenden Sie für numerische Ergebnisse das Berechnungsmodul  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].
	*Für die Teilaufgaben '''(1)''' bis '''(4)''' wird stets von &bdquo;Hard Decision” ausgegangen.


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	$\varepsilon = 10^{-3} \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Pr(Blockfehler)} \ = \ $ { 0.021 3% } $\ \cdot 10^{-3} $		$\varepsilon = 10^{-3} \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Pr(Blockfehler)} \ = \ $ { 0.021 3% } $\ \cdot 10^{-3} $

	{Wie kann man die Blockfehlerwahrscheinlichkeit eines Hamming–Codes annähern, &bdquo;Hard Decision” vorausgesetzt?		{Wie kann man die Blockfehlerwahrscheinlichkeit eines Hamming–Codes annähern,  &bdquo;Hard Decision” vorausgesetzt?
	\|type="()"}		\|type="()"}
	+ ${\rm Pr(Blockfehler)} = n · (n–1)/2 · \varepsilon^2.$		+ ${\rm Pr(Blockfehler)} = n · (n–1)/2 · \varepsilon^2.$
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	- ${\rm Pr(Blockfehler)} = n · \varepsilon^n.$		- ${\rm Pr(Blockfehler)} = n · \varepsilon^n.$

	{Welcher ~~Hamming–Code~~ besitzt die kleinste Blockfehlerwahrscheinlichkeit bei konstantem BSC–Parameter  $\varepsilon$?		{Welcher der aufgelisteten Hamming–Codes besitzt die kleinste Blockfehlerwahrscheinlichkeit bei konstantem BSC–Parameter  $\varepsilon$?
	\|type="()"}		\|type="()"}
	+ ~~der~~ Hamming–Code  $(3, \, 1, \, 3)$, identisch mit dem &bdquo;Repetition Code”  $\rm RC \ (3, \, 1, \, 3)$,		+ Der Hamming–Code  $(3, \, 1, \, 3)$,  identisch mit dem &bdquo;Repetition Code”  $\rm RC \ (3, \, 1, \, 3)$,
	- der Hamming–Code  $(7, \, 4, \, 3)$,		- der Hamming–Code  $(7, \, 4, \, 3)$,
	- der Hamming–Code  $(15, \, 11, \, 3)$.		- der Hamming–Code  $(15, \, 11, \, 3)$.
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	$\varepsilon = 10^{-3} \text{:} \hspace{0.4cm} 10 · \lg {E_{\rm B}/N_0} \ = \ $ { 9.22 3% } $\ \rm dB$		$\varepsilon = 10^{-3} \text{:} \hspace{0.4cm} 10 · \lg {E_{\rm B}/N_0} \ = \ $ { 9.22 3% } $\ \rm dB$

	{Welcher Gewinn (in dB) ist durch &bdquo;Soft Decision” zu erzielen, wenn die Blockfehlerwahrscheinlichkeit den Wert  $10^{–5}$  nicht überschreiten soll?		{Welcher Gewinn  (in dB)  ist durch &bdquo;Soft Decision” zu erzielen,  wenn die Blockfehlerwahrscheinlichkeit den Wert  $10^{–5}$  nicht überschreiten soll?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\ 10 · \lg \, {G_{\rm SD}} \ = \ $ { 1.52 3% } $ \ \rm dB$		$\ 10 · \lg \, {G_{\rm SD}} \ = \ $ { 1.52 3% } $ \ \rm dB$

Tasnad: Textersetzung - „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)“ durch „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen“

2020-06-10T15:49:57Z

Textersetzung - „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)“ durch „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen“

← Nächstältere Version		Version vom 10. Juni 2020, 17:49 Uhr
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	* Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel  [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes\|Decodierung linearer Blockcodes]].		* Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel  [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes\|Decodierung linearer Blockcodes]].
	* Die oben zitierte Literaturstelle  [Fri96]  verweist auf das Buch <br>&bdquo;Friedrichs, B.: Kanalcodierung – Grundlagen und Anwendungen in modernen Kommunikationssystemen. Berlin – Heidelberg: Springer, 1996”.		* Die oben zitierte Literaturstelle  [Fri96]  verweist auf das Buch <br>&bdquo;Friedrichs, B.: Kanalcodierung – Grundlagen und Anwendungen in modernen Kommunikationssystemen. Berlin – Heidelberg: Springer, 1996”.
	* Verwenden Sie für numerische Ergebnisse das Berechnungsmodul  [[Applets:~~Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)~~\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].		* Verwenden Sie für numerische Ergebnisse das Berechnungsmodul  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].
	*Für die Teilaufgaben '''(1)''' bis '''(4)''' wird stets von &bdquo;Hard Decision” ausgegangen.		*Für die Teilaufgaben '''(1)''' bis '''(4)''' wird stets von &bdquo;Hard Decision” ausgegangen.

Guenter am 13. Mai 2019 um 10:28 Uhr

2019-05-13T10:28:23Z

Guenter am 13. Mai 2019 um 10:14 Uhr

2019-05-13T10:14:45Z

← Nächstältere Version		Version vom 13. Mai 2019, 12:14 Uhr
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	{{quiz-Header\|Buchseite=Kanalcodierung/Decodierung linearer Blockcodes}}		{{quiz-Header\|Buchseite=Kanalcodierung/Decodierung linearer Blockcodes}}

	[[Datei:P_ID2408__KC_A_1_12.png\|right\|frame\|Blockfehlerrate des $(7, \, 4, \, 3)$&~~ndash~~;~~Codes~~ bei Hard Decision und Soft Decision]]		[[Datei:P_ID2408__KC_A_1_12.png\|right\|frame\|Blockfehlerrate des  $\rm HC(7, \, 4, \, 3)$  bei <br>&bdquo;Hard Decision” und &bdquo;Soft Decision”]]

	Die Abbildung zeigt die Blockfehlerwahrscheinlichkeit für den [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Einige_Eigenschaften_des_.287.2C_4.2C_3.29.E2.80.93Hamming.E2.80.93Codes\|$(7, \, 4, \, 3)$–Hamming–Code]], wobei für den Empfänger zwei Varianten berücksichtigt sind:		Die Abbildung zeigt die Blockfehlerwahrscheinlichkeit für den  [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Einige_Eigenschaften_des_.287.2C_4.2C_3.29.E2.80.93Hamming.E2.80.93Codes\|$(7, \, 4, \, 3)$–Hamming–Code]], wobei für den Empfänger zwei Varianten berücksichtigt sind:

	*Bei Maximum–Likelihood–Detektion mit harten Entscheidungen (''Hard Decision,'' HD), die im vorliegenden Fall (perfekter Code) auch durch Syndromdecodierung realisiert werden kann, ergibt sich die rote Kurve (mit Kreismarkierung).		*Bei Maximum–Likelihood–Detektion mit harten Entscheidungen $($&bdquo;Hard Decision”,  $\rm HD)$, die im vorliegenden Fall (perfekter Code) auch durch Syndromdecodierung realisiert werden kann, ergibt sich die rote Kurve (mit Kreismarkierung).

			*Der Kanal kann bei &bdquo;Hard Decision” vereinfacht durch das BSC–Modell ersetzt werden. Der Zusammenhang zwischen dem BSC–Parameter  $\varepsilon$  und dem AWGN–Quotienten  $E_{\rm B}/N_{0}$  (in der Grafik verwendet) ist wie folgt gegeben:
	*Der Kanal kann bei &bdquo;Hard Decision” vereinfacht durch das BSC–Modell ersetzt werden. Der Zusammenhang zwischen dem BSC–Parameter $\varepsilon$ und dem AWGN–Quotienten $E_{\rm B}/N_{0}$ (in der Grafik verwendet) ist wie folgt gegeben:

	:$$\varepsilon = {\rm Q}\left ( \sqrt{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}/N_0} \right ) \hspace{0.05cm}.$$		:$$\varepsilon = {\rm Q}\left ( \sqrt{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}/N_0} \right ) \hspace{0.05cm}.$$

	:Hier bezeichnet ${\rm Q}(x)$ die ''komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion'' und $R$ die Coderate.		:Hier bezeichnet  ${\rm Q}(x)$  die ''komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion'' und  $R$  die Coderate.

			*Die grüne Kurve (mit Kreuzen) zeigt die Blockfehlerwahrscheinlichkeit bei „weichen” Entscheidungen $($&bdquo;Soft Decision”,  $\rm SD)$. Dieser Funktionsverlauf lässt sich nicht in geschlossen–mathematischer Form angeben. Die in der Grafik eingezeichnete Kurve ist eine in [Fri96] angegebene obere Schranke:

			:$$ {\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm}\ \le \ \hspace{-0.15cm} 7 \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{ 3 \cdot \frac{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}} \right )+7 \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{ 4 \cdot \frac{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}} \right ) + {\rm Q}\left ( \sqrt{ 7 \cdot \frac{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}} \right ) \hspace{0.05cm}.$$

			:*Der jeweils erste Faktor im Argument der  $\rm Q$–Funktion gibt die möglichen Hamming–Distanzen an:   $i = 3, \, 4, \, 7$.
			:*Die Vorfaktoren berücksichtigen die Vielfachheiten  $W_{3} = W_{4} = 7$  und  $W_{7} = 1$.   $R = 4/7$  beschreibt die Coderate.
			:*Für  $10 · \lg {E_{\rm B}/N_0} > 8 \ \rm dB$  ist  $\rm Pr(Blockfehler) < 10^{–5}$.

	*Die grüne Kurve (mit Kreuzen) zeigt die Blockfehlerwahrscheinlichkeit bei „weichen” Entscheidungen (''Soft Decision'', SD). Dieser Funktionsverlauf lässt sich nicht in geschlossen–mathematischer Form angeben. Die in der Grafik eingezeichnete Kurve ist eine in [Fri96] angegebene obere Schranke:

	:$$ {\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm}\ \le \ \hspace{-0.15cm} 7 \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{ 3 \cdot \frac{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}} \right )+7 \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{ 4 \cdot \frac{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}} \right ) + {\rm Q}\left ( \sqrt{ 7 \cdot \frac{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}} \right ) \hspace{0.05cm}.$$

	~~:*Der jeweils erste Faktor im Argument der$\rm Q$–Funktion gibt die möglichen Hamming–Distanzen an:   $i = 3, \, 4$ und $7$.~~
	~~:*Die Vorfaktoren berücksichtigen die Vielfachheiten $W_{3} = W_{4} = 7$ und $W_{7} = 1$, und $R = 4/7$ beschreibt die Coderate.~~
	~~:*Für $10 · \lg {E_{\rm B}/N_0} > 8 \ \rm dB$ ist $\rm Pr(Blockfehler) < 10^{–5}$.~~


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	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	* Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes\|Decodierung linearer Blockcodes]].		* Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel  [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes\|Decodierung linearer Blockcodes]].
	* Die oben zitierte Literaturstelle [Fri96] verweist auf das Buch &bdquo;Friedrichs, B.: Kanalcodierung – Grundlagen und Anwendungen in modernen ~~Kommunikations- systemen~~. Berlin – Heidelberg: Springer, 1996”.		* Die oben zitierte Literaturstelle  [Fri96]  verweist auf das Buch <br>&bdquo;Friedrichs, B.: Kanalcodierung – Grundlagen und Anwendungen in modernen Kommunikationssystemen. Berlin – Heidelberg: Springer, 1996”.
	* Verwenden Sie für numerische Ergebnisse das Berechnungsmodul [[Applets:~~QFunction~~\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].		* Verwenden Sie für numerische Ergebnisse das Berechnungsmodul  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].
	*Für die Teilaufgaben (1) bis (4) wird stets von ''Hard Decision'' ausgegangen.		*Für die Teilaufgaben '''(1)''' bis '''(4)''' wird stets von &bdquo;Hard Decision” ausgegangen.


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	===Fragebogen===		===Fragebogen===
	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Welche Blockfehlerwahrscheinlichkeit besitzt der $(7, \, 4, \, 3)$–Hamming–Code bei ''Hard Decision''?		{Welche Blockfehlerwahrscheinlichkeit besitzt der  $(7, \, 4, \, 3)$–Hamming–Code bei &bdquo;Hard Decision”?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\varepsilon = 10^{-2} \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Pr(Blockfehler)} \ = \ $ { 2.03 3% } $\ \cdot 10^{-3} $		$\varepsilon = 10^{-2} \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Pr(Blockfehler)} \ = \ $ { 2.03 3% } $\ \cdot 10^{-3} $
	$\varepsilon = 10^{-3} \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Pr(Blockfehler)} \ = \ $ { 0.0209 3% } $\ \cdot 10^{-3} $		$\varepsilon = 10^{-3} \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Pr(Blockfehler)} \ = \ $ { 0.0209 3% } $\ \cdot 10^{-3} $

	{Wie kann man die Blockfehlerwahrscheinlichkeit eines Hamming–Codes annähern, ''Hard Decision'' vorausgesetzt?		{Wie kann man die Blockfehlerwahrscheinlichkeit eines Hamming–Codes annähern, &bdquo;Hard Decision” vorausgesetzt?
	\|type="[]"}		\|type="()"}
	+ ${\rm Pr(Blockfehler)} = n · (n–1)/2 · \varepsilon^2.$		+ ${\rm Pr(Blockfehler)} = n · (n–1)/2 · \varepsilon^2.$
	- ${\rm Pr(Blockfehler)} = n · \varepsilon^2.$		- ${\rm Pr(Blockfehler)} = n · \varepsilon^2.$
	- ${\rm Pr(Blockfehler)} = n · \varepsilon^n.$		- ${\rm Pr(Blockfehler)} = n · \varepsilon^n.$

	{Welcher Hamming–Code besitzt die kleinste Blockfehlerwahrscheinlichkeit bei konstantem BSC–Parameter $\varepsilon$?		{Welcher Hamming–Code besitzt die kleinste Blockfehlerwahrscheinlichkeit bei konstantem BSC–Parameter  $\varepsilon$?
	\|type="[]"}		\|type="()"}
	+ der Hamming–Code $(3, \, 1, \, 3)$, identisch mit dem ''Repetition Code'' $(3, \, 1, \, 3)$,		+ der Hamming–Code  $(3, \, 1, \, 3)$, identisch mit dem &bdquo;Repetition Code”  $\rm RC \ (3, \, 1, \, 3)$,
	- der Hamming–Code $(7, \, 4, \, 3)$,		- der Hamming–Code  $(7, \, 4, \, 3)$,
	- der Hamming–Code $(15, \, 11, \, 3)$.		- der Hamming–Code  $(15, \, 11, \, 3)$.

	{Welcher numerische Zusammenhang besteht zwischen dem BSC–Parameter $\varepsilon$ und dem AWGN–Quotienten $E_{\rm B}/N_{0}$?		{Welcher numerische Zusammenhang besteht zwischen dem BSC–Parameter  $\varepsilon$  und dem AWGN–Quotienten  $E_{\rm B}/N_{0}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\varepsilon = 10^{-2}\text{:} \hspace{0.4cm} 10 · \lg {E_{\rm B}/N_0} \ = \ $ { 6.77 3% } $\ \rm dB$		$\varepsilon = 10^{-2}\text{:} \hspace{0.4cm} 10 · \lg {E_{\rm B}/N_0} \ = \ $ { 6.77 3% } $\ \rm dB$
	$\varepsilon = 10^{-3} \text{:} \hspace{0.4cm} 10 · \lg {E_{\rm B}/N_0} \ = \ $ { 9.22 3% } $\ \rm dB$		$\varepsilon = 10^{-3} \text{:} \hspace{0.4cm} 10 · \lg {E_{\rm B}/N_0} \ = \ $ { 9.22 3% } $\ \rm dB$

	{Welcher Gewinn (in dB) ist durch ''Soft Decision~~'' ('''SD''')~~ zu erzielen, wenn die Blockfehlerwahrscheinlichkeit den Wert $10^{–5}$ nicht überschreiten soll?		{Welcher Gewinn (in dB) ist durch &bdquo;Soft Decision” zu erzielen, wenn die Blockfehlerwahrscheinlichkeit den Wert  $10^{–5}$  nicht überschreiten soll?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\ 10 · \lg \, {G_{\rm SD}} \ = \ $ { 1.52 3% } $ \ \rm dB$		$\ 10 · \lg \, {G_{\rm SD}} \ = \ $ { 1.52 3% } $ \ \rm dB$

Mwiki-lnt: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T11:41:07Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

← Nächstältere Version		Version vom 29. Mai 2018, 13:41 Uhr
Zeile 31:		Zeile 31:
	* Verwenden Sie für numerische Ergebnisse das Berechnungsmodul [[Applets:QFunction\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].		* Verwenden Sie für numerische Ergebnisse das Berechnungsmodul [[Applets:QFunction\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].
	*Für die Teilaufgaben (1) bis (4) wird stets von ''Hard Decision'' ausgegangen.		*Für die Teilaufgaben (1) bis (4) wird stets von ''Hard Decision'' ausgegangen.
	* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.

Guenter am 3. Januar 2018 um 16:08 Uhr

2018-01-03T16:08:11Z

← Nächstältere Version		Version vom 3. Januar 2018, 18:08 Uhr
Zeile 76:		Zeile 76:


	'''(2)'''  Ein jeder $(n, \, k, \, 3)$ Hamming–Code kann nur einen Bitfehler korrigieren. ~~Damit~~ gilt allgemein ~~für den BSC–Kanal~~ mit der Codewortlänge $n$:		'''(2)'''  Ein jeder $(n, \, k, \, 3)$ Hamming–Code kann nur einen Bitfehler korrigieren. Für den BSC–Kanal gilt somit allgemein mit der Codewortlänge $n$:

	:$${\rm Pr(Blockfehler)} \~~hspace~~{-~~0.15cm}\ = \~~ \~~hspace~~{~~-0.15cm~~} 1 - (1 - \varepsilon)^n - n \cdot \varepsilon \cdot (1 - \varepsilon)^{n-1}=$$		:$${\rm Pr(Blockfehler)} = 1 - \text{Pr(kein Bitfehler)} - \text{Pr(ein Bitfehler)} = 1 - (1 - \varepsilon)^n - n \cdot \varepsilon \cdot (1 - \varepsilon)^{n-1}.$$
	:$$\~~hspace{2.875cm}~~\ = \ \~~hspace~~{-~~0.15cm~~} 1 - \left [ 1 - {n \choose 1}\cdot \varepsilon + {n \choose 2}\cdot \varepsilon^2 - \hspace{0.05cm}... \hspace{0.05cm} \right ] ~~-$$~~		Nach Reihenentwicklung von   $(1 - \varepsilon)^n$   bzw. von   $n \cdot \varepsilon \cdot (1 - \varepsilon)^{n-1}$   erhält man hieraus:
	~~:$$\hspace{3.1cm}\ . \ \hspace{0.18cm}~~ - \left [ n \cdot \varepsilon \cdot \left ( 1 - {{n-1} \choose 1}\cdot \varepsilon + {{n-1} \choose 2}\cdot \varepsilon^2 - \hspace{0.05cm}... \hspace{0.05cm}\right ) \right ] \hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm Pr(Blockfehler)} = 1 - \left [ 1 - {n \choose 1}\cdot \varepsilon + {n \choose 2}\cdot \varepsilon^2 - \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm} \right ] -\left [ n \cdot \varepsilon \cdot \left ( 1 - {{n-1} \choose 1}\cdot \varepsilon + {{n-1} \choose 2}\cdot \varepsilon^2 - \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}\right ) \right ] \hspace{0.05cm}.$$

	Bei Vernachlässigung aller Terme mit $\varepsilon^3, \ \varepsilon^4, \ ...$ ~~erhält man~~:		Bei Vernachlässigung aller Terme mit $\varepsilon^3, \ \varepsilon^4, \ \text{...}$ ergibt sich schließlich:

	:$${\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} n \cdot \varepsilon - {n \choose 2}\cdot \varepsilon^2 - n \cdot \varepsilon + n \cdot \varepsilon {{n-1} \choose 1}\cdot \varepsilon + \hspace{0.05cm}... \hspace{0.05cm} =$$		:$${\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} n \cdot \varepsilon - {n \choose 2}\cdot \varepsilon^2 - n \cdot \varepsilon + n \cdot \varepsilon {{n-1} \choose 1}\cdot \varepsilon + \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm} = -n/2 \cdot (n-1)\cdot \varepsilon^2 + n \cdot (n-1)\cdot \varepsilon^2 = n \cdot (n-1)/2 \cdot \varepsilon^2 \hspace{0.05cm}.$$
	~~:$$\hspace{2.875cm}\ = \ \hspace{~~-~~0.15cm} -1~~/2 ~~\cdot n~~ \cdot (n-1)\cdot \varepsilon^2 + n \cdot (n-1)\cdot \varepsilon^2 = n \cdot (n-1)/2 \cdot \varepsilon^2 \hspace{0.05cm}.$$

	⇒ Richtig ist <u>Lösungsvorschlag 1</u>. Für den $(7, \, 4, \, 3)$–Hamming–Code ~~ergibt sich somit~~:		Richtig ist somit <u>Lösungsvorschlag 1</u>.

			Für den $(7, \, 4, \, 3)$–Hamming–Code folgt daraus:

	:$${\rm Pr(Blockfehler)} \le \left\{ \begin{array}{c} 2.1 \cdot 10^{-3}\\ 2.1 \cdot 10^{-5} \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} \varepsilon = 10^{-2} \\ {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} \varepsilon = 10^{-3} \\ \end{array} \hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm Pr(Blockfehler)} \le \left\{ \begin{array}{c} 2.1 \cdot 10^{-3}\\ 2.1 \cdot 10^{-5} \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} \varepsilon = 10^{-2} \\ {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} \varepsilon = 10^{-3} \\ \end{array} \hspace{0.05cm}.$$

	Durch Vergleich mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (1) erkennt man die Gültigkeit dieser Näherung. Diese ist um so besser, je kleiner die BSC–Verfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon$ ist.		*Durch Vergleich mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (1) erkennt man die Gültigkeit dieser Näherung.
			*Diese ist um so besser, je kleiner die BSC–Verfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon$ ist.


	'''(3)'''  Die Ergebnisse der Teilaufgabe 2) lassen sich wie folgt zusammenfassen:		'''(3)'''  Die Ergebnisse der Teilaufgabe (2) lassen sich wie folgt zusammenfassen:

	:$${\rm Pr(Blockfehler)} = \left\{ \begin{array}{l} 3 \cdot \varepsilon^2 \\ 21 \cdot \varepsilon^2\\ 105 \cdot \varepsilon^2\\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}l} {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} n = 3 \\ {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} n = 7 \\ {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} n = 15 \\ \end{array} \hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm Pr(Blockfehler)} = \left\{ \begin{array}{l} 3 \cdot \varepsilon^2 \\ 21 \cdot \varepsilon^2\\ 105 \cdot \varepsilon^2\\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}l} {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} n = 3 \\ {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} n = 7 \\ {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} n = 15 \\ \end{array} \hspace{0.05cm}.$$

	Richtig ist <u>Antwort 1</u>. Die geringste Blockfehlerwahrscheinlichkeit besitzt natürlich der Hamming–Code mit der geringsten Rate $R = 1/3$, also mit der größten relativen Redundanz.		Richtig ist <u>Antwort 1</u>. Die geringste Blockfehlerwahrscheinlichkeit besitzt natürlich der Hamming–Code mit der geringsten Rate $R = 1/3$, also mit der größten relativen Redundanz.


	'''(4)'''  Bei Hard Decision gilt mit der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion ${\rm Q}(x)$:		'''(4)'''  Bei Hard Decision gilt mit der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion ${\rm Q}(x)$:

	:$$\varepsilon = {\rm Q}\left ( \sqrt{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}/N_0} \right )\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} E_{\rm B}/N_0 = \frac{[{\rm Q}^{-1}(\varepsilon)]^2}{2R}$$		:$$\varepsilon = {\rm Q}\left ( \sqrt{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}/N_0} \right )\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} E_{\rm B}/N_0 = \frac{[{\rm Q}^{-1}(\varepsilon)]^2}{2R}\hspace{0.3cm}
			\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}[{\rm Q}^{-1}(\varepsilon)] - 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (2R) \hspace{0.05cm}.$$
	~~:$$~~ \Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}[{\rm Q}^{-1}(\varepsilon)] - 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (2R) \hspace{0.05cm}.$$

	Daraus erhält man mit $\varepsilon = 0.01 \ ⇒ \ {\rm Q}^{–1}(\varepsilon) = 2.33$:		Daraus erhält man mit $\varepsilon = 0.01 \ ⇒ \ {\rm Q}^{–1}(\varepsilon) = 2.33$:
Zeile 115:		Zeile 117:


	'''(5)'''  Wir beziehen uns auf die Blockfehlerwahrscheinlichkeit $10^{–5}$. Nach dem Ergebnis der Teilaufgabe (2) darf dann die BSC–Verfälschungswahrscheinlichkeit nicht größer sein als		'''(5)'''  Wir beziehen uns hier auf die Blockfehlerwahrscheinlichkeit $10^{–5}$.

			Nach dem Ergebnis der Teilaufgabe (2) darf dann die BSC–Verfälschungswahrscheinlichkeit nicht größer sein als

	:$$\varepsilon = \sqrt{~~\frac~~{10^{-5}}{21}} = 6.9 \cdot 10^{-4} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Q}^{-1}(\varepsilon) = 3.2 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 9.52\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$		:$$\varepsilon = \sqrt{{10^{-5}}/{21}} = 6.9 \cdot 10^{-4} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Q}^{-1}(\varepsilon) = 3.2 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 9.52\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$

	Mit ''Soft Decision'' genügen laut Angabe $8 \ {\rm dB} \ ⇒ \ 10 · \lg {G_{\rm SD}} \ \underline{= 1.52 \ {\rm dB}}$.		Mit ''Soft Decision'' genügen laut Angabe $8 \ {\rm dB} \ ⇒ \ 10 · \lg {G_{\rm SD}} \ \underline{= 1.52 \ {\rm dB}}$.

Guenter am 3. Januar 2018 um 15:40 Uhr

2018-01-03T15:40:17Z

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	{Welcher Hamming–Code besitzt die kleinste Blockfehlerwahrscheinlichkeit bei konstantem BSC–Parameter $\varepsilon$?		{Welcher Hamming–Code besitzt die kleinste Blockfehlerwahrscheinlichkeit bei konstantem BSC–Parameter $\varepsilon$?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ der Hamming–Code $(3, \, 1, \, 3)$ ⇒ ''Repetition Code'' $(3, \, 1, \, 3)$,		+ der Hamming–Code $(3, \, 1, \, 3)$, identisch mit dem ''Repetition Code'' $(3, \, 1, \, 3)$,
	- der Hamming–Code $(7, \, 4, \, 3)$,		- der Hamming–Code $(7, \, 4, \, 3)$,
	- der Hamming–Code $(15, \, 11, \, 3)$.		- der Hamming–Code $(15, \, 11, \, 3)$.
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	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Jeder Hamming–Code ist perfekt und weist eine minimale Distanz von $d_{\rm min} = 3$ auf. Deshalb kann ein Bitfehler im Codewort korrigiert werden, während zwei Bitfehler stets zu einer Fehlentscheidung des Codewortes führen ⇒ Parameter $t = 1$. Damit ergibt sich für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit:		'''(1)'''  Jeder Hamming–Code ist perfekt und weist eine minimale Distanz von $d_{\rm min} = 3$ auf.
			*Deshalb kann ein Bitfehler im Codewort korrigiert werden, während zwei Bitfehler stets zu einer Fehlentscheidung des Codewortes führen   ⇒   Parameter $t = 1$.
			*Damit ergibt sich für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit:

	:$${\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - {\rm Pr(kein\hspace{0.15cm} Blockfehler)} - {\rm Pr(ein\hspace{0.15cm} Blockfehler)} = $$		:$${\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - {\rm Pr(kein\hspace{0.15cm} Blockfehler)} - {\rm Pr(ein\hspace{0.15cm} Blockfehler)} = 1 - (1 - \varepsilon)^7 - 7 \cdot \varepsilon \cdot (1 - \varepsilon)^6 \hspace{0.05cm}.$$
	~~:$$\hspace{2.875cm}\ = \ \hspace{-0.15cm}~~1 - (1 - \varepsilon)^7 - 7 \cdot \varepsilon \cdot (1 - \varepsilon)^6 \hspace{0.05cm}.$$		:$$\varepsilon = 10^{-2} \text{:} \hspace{0.4cm}{\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - 0.99^7 - 7 \cdot 0.01 \cdot 0.99^6= 1 - 0.932065 - 0.065904\hspace{0.15cm}\underline{\approx 2.03 \cdot 10^{-3}}\hspace{0.05cm},$$
	:$$\varepsilon = ~~0.01~~:\hspace{0.~~2cm~~} {\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - 0.99^7 - 7 \cdot 0.01 \cdot 0.99^6= $$		:$$\varepsilon = 10^{-3} \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - 0.999^7 - 7 \cdot 0.001 \cdot 0.999^6= 1 - 0.993021 - 0.006958\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.0209 \cdot 10^{-3}}\hspace{0.05cm}.$$
	~~:$$\hspace{0.1cm}\ = \ \hspace{-0.15cm}~~ 1 - 0.932065 - 0.065904\hspace{0.15cm}\underline{\approx 2.03 \cdot 10^{-3}}\hspace{0.05cm},$$
	:$$\varepsilon = ~~0.001~~:\hspace{0.~~2cm~~} {\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - 0.999^7 - 7 \cdot 0.001 \cdot 0.999^6= $$
	~~:$$\hspace{0.1cm}\ = \ \hspace{-0.15cm}~~ 1 - 0.993021 - 0.006958\hspace{0.15cm}\underline{\approx 2.09 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm}.$$

← Nächstältere Version		Version vom 20. Juli 2022, 16:12 Uhr
Zeile 72:		Zeile 72:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Jeder Hamming–Code ist perfekt und weist die minimale Distanz $d_{\rm min} = 3$ auf.		'''(1)'''  Jeder Hamming–Code ist perfekt und weist die minimale Distanz  $d_{\rm min} = 3$  auf.
	*Deshalb kann ein Bitfehler im Codewort korrigiert werden, während zwei Bitfehler stets zu einer Fehlentscheidung des Codewortes führen   ⇒   Parameter $t = 1$.		*Deshalb kann ein Bitfehler im Codewort korrigiert werden,  während zwei Bitfehler stets zu einer Fehlentscheidung des Codewortes führen   ⇒   Parameter $t = 1$.

	*Damit ergibt sich für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit:		*Damit ergibt sich für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit:

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	'''(2)'''  Ein jeder $(n, \, k, \, 3)$–Hamming–Code kann nur einen Bitfehler korrigieren. Für den BSC–Kanal gilt somit allgemein mit der Codewortlänge $n$:		'''(2)'''  Ein jeder  $(n, \, k, \, 3)$–Hamming–Code kann nur einen Bitfehler korrigieren.  Für den BSC–Kanal gilt somit allgemein mit der Codewortlänge  $n$:

	:$${\rm Pr(Blockfehler)} = 1 - \text{Pr(kein Bitfehler)} - \text{Pr(ein Bitfehler)} = 1 - (1 - \varepsilon)^n - n \cdot \varepsilon \cdot (1 - \varepsilon)^{n-1}.$$		:$${\rm Pr(Blockfehler)} = 1 - \text{Pr(kein Bitfehler)} - \text{Pr(ein Bitfehler)} = 1 - (1 - \varepsilon)^n - n \cdot \varepsilon \cdot (1 - \varepsilon)^{n-1}.$$
	*Nach Reihenentwicklung von   $(1 - \varepsilon)^n$   bzw. von   $n \cdot \varepsilon \cdot (1 - \varepsilon)^{n-1}$   erhält man hieraus:		*Nach Reihenentwicklung von   "$(1 - \varepsilon)^n$"   bzw. von   "$n \cdot \varepsilon \cdot (1 - \varepsilon)^{n-1}$"   erhält man hieraus:
	:$${\rm Pr(Blockfehler)} = 1 - \left [ 1 - {n \choose 1}\cdot \varepsilon + {n \choose 2}\cdot \varepsilon^2 - \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm} \right ] -\left [ n \cdot \varepsilon \cdot \left ( 1 - {{n-1} \choose 1}\cdot \varepsilon + {{n-1} \choose 2}\cdot \varepsilon^2 - \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}\right ) \right ] \hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm Pr(Blockfehler)} = 1 - \left [ 1 - {n \choose 1}\cdot \varepsilon + {n \choose 2}\cdot \varepsilon^2 - \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm} \right ] -\left [ n \cdot \varepsilon \cdot \left ( 1 - {{n-1} \choose 1}\cdot \varepsilon + {{n-1} \choose 2}\cdot \varepsilon^2 - \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}\right ) \right ] \hspace{0.05cm}.$$

	*Bei Vernachlässigung aller Terme mit $\varepsilon^3, \ \varepsilon^4, \ \text{...}$  ergibt sich schließlich:		*Bei Vernachlässigung aller Terme mit  $\varepsilon^3, \ \varepsilon^4, \ \text{...}$  ergibt sich schließlich:

	:$${\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} n \cdot \varepsilon - {n \choose 2}\cdot \varepsilon^2 - n \cdot \varepsilon + n \cdot \varepsilon {{n-1} \choose 1}\cdot \varepsilon + \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm} = -n/2 \cdot (n-1)\cdot \varepsilon^2 + n \cdot (n-1)\cdot \varepsilon^2 = n \cdot (n-1)/2 \cdot \varepsilon^2 \hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} n \cdot \varepsilon - {n \choose 2}\cdot \varepsilon^2 - n \cdot \varepsilon + n \cdot \varepsilon {{n-1} \choose 1}\cdot \varepsilon + \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm} = -n/2 \cdot (n-1)\cdot \varepsilon^2 + n \cdot (n-1)\cdot \varepsilon^2 = n \cdot (n-1)/2 \cdot \varepsilon^2 \hspace{0.05cm}.$$

	Richtig ist somit <u>Lösungsvorschlag 1</u>.		Richtig ist somit der  <u>Lösungsvorschlag 1</u>.

	Für den $(7, \, 4, \, 3)$–Hamming–Code folgt daraus:		Für den  $(7, \, 4, \, 3)$–Hamming–Code folgt daraus:

	:$${\rm Pr(Blockfehler)} \le \left\{ \begin{array}{c} 2.03 \cdot 10^{-3}\\ 2.09 \cdot 10^{-5} \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} \varepsilon = 10^{-2} \\ {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} \varepsilon = 10^{-3} \\ \end{array} \hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm Pr(Blockfehler)} \le \left\{ \begin{array}{c} 2.03 \cdot 10^{-3}\\ 2.09 \cdot 10^{-5} \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} \varepsilon = 10^{-2} \\ {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} \varepsilon = 10^{-3} \\ \end{array} \hspace{0.05cm}.$$

	*Durch Vergleich mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (1) erkennt man die Gültigkeit dieser Näherung.		*Durch Vergleich mit dem Ergebnis der Teilaufgabe  '''(1)'''  erkennt man die Gültigkeit dieser Näherung.
	*Diese ist um so besser, je kleiner die BSC–Verfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon$ ist.
			*Diese ist um so besser,  je kleiner die BSC–Verfälschungswahrscheinlichkeit  $\varepsilon$  ist.



	'''(3)'''  Die Ergebnisse der Teilaufgabe (2) lassen sich wie folgt zusammenfassen:		'''(3)'''  Die Ergebnisse der Teilaufgabe  '''(2)'''  lassen sich wie folgt zusammenfassen:

	:$${\rm Pr(Blockfehler)} = \left\{ \begin{array}{l} 3 \cdot \varepsilon^2 \\ 21 \cdot \varepsilon^2\\ 105 \cdot \varepsilon^2\\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}l} {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} n = 3 \\ {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} n = 7 \\ {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} n = 15 \\ \end{array} \hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm Pr(Blockfehler)} = \left\{ \begin{array}{l} 3 \cdot \varepsilon^2 \\ 21 \cdot \varepsilon^2\\ 105 \cdot \varepsilon^2\\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}l} {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} n = 3 \\ {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} n = 7 \\ {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} n = 15 \\ \end{array} \hspace{0.05cm}.$$

	*Richtig ist <u>Antwort 1</u>.		*Richtig ist die  <u>Antwort 1</u>.
	*Die geringste Blockfehlerwahrscheinlichkeit besitzt natürlich der Hamming–Code mit der geringsten Rate $R = 1/3$, also mit der größten relativen Redundanz.		*Die geringste Blockfehlerwahrscheinlichkeit besitzt natürlich der Hamming–Code mit der geringsten Rate  $R = 1/3$,  also mit der größten relativen Redundanz.


	'''(4)'''  Bei Hard Decision gilt mit der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion ${\rm Q}(x)$:		'''(4)'''  Bei Hard Decision gilt mit der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion  ${\rm Q}(x)$:

	:$$\varepsilon = {\rm Q}\left ( \sqrt{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}/N_0} \right )\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} E_{\rm B}/N_0 = \frac{[{\rm Q}^{-1}(\varepsilon)]^2}{2R}\hspace{0.3cm}		:$$\varepsilon = {\rm Q}\left ( \sqrt{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}/N_0} \right )\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} E_{\rm B}/N_0 = \frac{[{\rm Q}^{-1}(\varepsilon)]^2}{2R}\hspace{0.3cm}
	\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}[{\rm Q}^{-1}(\varepsilon)] - 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (2R) \hspace{0.05cm}.$$		\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}[{\rm Q}^{-1}(\varepsilon)] - 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (2R) \hspace{0.05cm}.$$

	*Daraus erhält man mit $\varepsilon = 0.01 \ ⇒ \ {\rm Q}^{–1}(\varepsilon) = 2.33$:		*Daraus erhält man mit  $\varepsilon = 0.01 \ ⇒ \ {\rm Q}^{–1}(\varepsilon) = 2.33$:

	:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}(2.33) - 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (8/7) = 7.35\,{\rm dB} - 0.58\,{\rm dB}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 6.77\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$		:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}(2.33) - 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (8/7) = 7.35\,{\rm dB} - 0.58\,{\rm dB}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 6.77\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
	:		* In analoger Weise ergibt sich für  $\varepsilon = 0.001 \ ⇒ \ {\rm Q}^{–1}(\varepsilon) = 3.09$:

	:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}(3.09) - 0.58\,{\rm dB}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 9.22\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$		:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}(3.09) - 0.58\,{\rm dB}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 9.22\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$


	'''(5)'''  Wir beziehen uns hier auf die Blockfehlerwahrscheinlichkeit $10^{–5}$.		'''(5)'''  Wir beziehen uns hier auf die Blockfehlerwahrscheinlichkeit  $10^{–5}$.

	*Nach dem Ergebnis der Teilaufgabe (2) darf dann die BSC–Verfälschungswahrscheinlichkeit nicht größer sein als		*Nach dem Ergebnis der Teilaufgabe  '''(2)'''  darf dann die BSC–Verfälschungswahrscheinlichkeit nicht größer sein als

	:$$\varepsilon = \sqrt{{10^{-5}}/{21}} = 6.9 \cdot 10^{-4} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Q}^{-1}(\varepsilon) = 3.2 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 9.52\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$		:$$\varepsilon = \sqrt{{10^{-5}}/{21}} = 6.9 \cdot 10^{-4} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Q}^{-1}(\varepsilon) = 3.2 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 9.52\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$

	*Mit ''Soft Decision'' genügen laut Angabe $8 \ {\rm dB} \ ⇒ \ 10 · \lg {G_{\rm SD}} \ \underline{= 1.52 \ {\rm dB}}$.		*Mit "Soft Decision" genügen laut Angabe $8 \ {\rm dB} \ ⇒ \ 10 · \lg {G_{\rm SD}} \ \underline{= 1.52 \ {\rm dB}}$.
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

← Nächstältere Version		Version vom 13. Mai 2019, 12:28 Uhr
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	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\varepsilon = 10^{-2} \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Pr(Blockfehler)} \ = \ $ { 2.03 3% } $\ \cdot 10^{-3} $		$\varepsilon = 10^{-2} \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Pr(Blockfehler)} \ = \ $ { 2.03 3% } $\ \cdot 10^{-3} $
	$\varepsilon = 10^{-3} \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Pr(Blockfehler)} \ = \ $ { 0.~~0209~~ 3% } $\ \cdot 10^{-3} $		$\varepsilon = 10^{-3} \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Pr(Blockfehler)} \ = \ $ { 0.021 3% } $\ \cdot 10^{-3} $

	{Wie kann man die Blockfehlerwahrscheinlichkeit eines Hamming–Codes annähern, &bdquo;Hard Decision” vorausgesetzt?		{Wie kann man die Blockfehlerwahrscheinlichkeit eines Hamming–Codes annähern, &bdquo;Hard Decision” vorausgesetzt?
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	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Jeder Hamming–Code ist perfekt und weist ~~eine~~ minimale Distanz ~~von~~ $d_{\rm min} = 3$ auf.		'''(1)'''  Jeder Hamming–Code ist perfekt und weist die minimale Distanz $d_{\rm min} = 3$ auf.
	*Deshalb kann ein Bitfehler im Codewort korrigiert werden, während zwei Bitfehler stets zu einer Fehlentscheidung des Codewortes führen   ⇒   Parameter $t = 1$.		*Deshalb kann ein Bitfehler im Codewort korrigiert werden, während zwei Bitfehler stets zu einer Fehlentscheidung des Codewortes führen   ⇒   Parameter $t = 1$.
	*Damit ergibt sich für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit:		*Damit ergibt sich für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit:
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	'''(2)'''  Ein jeder $(n, \, k, \, 3)$ Hamming–Code kann nur einen Bitfehler korrigieren. Für den BSC–Kanal gilt somit allgemein mit der Codewortlänge $n$:		'''(2)'''  Ein jeder $(n, \, k, \, 3)$–Hamming–Code kann nur einen Bitfehler korrigieren. Für den BSC–Kanal gilt somit allgemein mit der Codewortlänge $n$:

	:$${\rm Pr(Blockfehler)} = 1 - \text{Pr(kein Bitfehler)} - \text{Pr(ein Bitfehler)} = 1 - (1 - \varepsilon)^n - n \cdot \varepsilon \cdot (1 - \varepsilon)^{n-1}.$$		:$${\rm Pr(Blockfehler)} = 1 - \text{Pr(kein Bitfehler)} - \text{Pr(ein Bitfehler)} = 1 - (1 - \varepsilon)^n - n \cdot \varepsilon \cdot (1 - \varepsilon)^{n-1}.$$
	Nach Reihenentwicklung von   $(1 - \varepsilon)^n$   bzw. von   $n \cdot \varepsilon \cdot (1 - \varepsilon)^{n-1}$   erhält man hieraus:		*Nach Reihenentwicklung von   $(1 - \varepsilon)^n$   bzw. von   $n \cdot \varepsilon \cdot (1 - \varepsilon)^{n-1}$   erhält man hieraus:
	:$${\rm Pr(Blockfehler)} = 1 - \left [ 1 - {n \choose 1}\cdot \varepsilon + {n \choose 2}\cdot \varepsilon^2 - \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm} \right ] -\left [ n \cdot \varepsilon \cdot \left ( 1 - {{n-1} \choose 1}\cdot \varepsilon + {{n-1} \choose 2}\cdot \varepsilon^2 - \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}\right ) \right ] \hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm Pr(Blockfehler)} = 1 - \left [ 1 - {n \choose 1}\cdot \varepsilon + {n \choose 2}\cdot \varepsilon^2 - \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm} \right ] -\left [ n \cdot \varepsilon \cdot \left ( 1 - {{n-1} \choose 1}\cdot \varepsilon + {{n-1} \choose 2}\cdot \varepsilon^2 - \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}\right ) \right ] \hspace{0.05cm}.$$

	Bei Vernachlässigung aller Terme mit $\varepsilon^3, \ \varepsilon^4, \ \text{...}$ ergibt sich schließlich:		*Bei Vernachlässigung aller Terme mit $\varepsilon^3, \ \varepsilon^4, \ \text{...}$  ergibt sich schließlich:

	:$${\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} n \cdot \varepsilon - {n \choose 2}\cdot \varepsilon^2 - n \cdot \varepsilon + n \cdot \varepsilon {{n-1} \choose 1}\cdot \varepsilon + \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm} = -n/2 \cdot (n-1)\cdot \varepsilon^2 + n \cdot (n-1)\cdot \varepsilon^2 = n \cdot (n-1)/2 \cdot \varepsilon^2 \hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} n \cdot \varepsilon - {n \choose 2}\cdot \varepsilon^2 - n \cdot \varepsilon + n \cdot \varepsilon {{n-1} \choose 1}\cdot \varepsilon + \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm} = -n/2 \cdot (n-1)\cdot \varepsilon^2 + n \cdot (n-1)\cdot \varepsilon^2 = n \cdot (n-1)/2 \cdot \varepsilon^2 \hspace{0.05cm}.$$
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	Für den $(7, \, 4, \, 3)$–Hamming–Code folgt daraus:		Für den $(7, \, 4, \, 3)$–Hamming–Code folgt daraus:

	:$${\rm Pr(Blockfehler)} \le \left\{ \begin{array}{c} 2.1 \cdot 10^{-3}\\ 2.1 \cdot 10^{-5} \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} \varepsilon = 10^{-2} \\ {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} \varepsilon = 10^{-3} \\ \end{array} \hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm Pr(Blockfehler)} \le \left\{ \begin{array}{c} 2.03 \cdot 10^{-3}\\ 2.09 \cdot 10^{-5} \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} \varepsilon = 10^{-2} \\ {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} \varepsilon = 10^{-3} \\ \end{array} \hspace{0.05cm}.$$

	*Durch Vergleich mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (1) erkennt man die Gültigkeit dieser Näherung.		*Durch Vergleich mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (1) erkennt man die Gültigkeit dieser Näherung.
	*Diese ist um so besser, je kleiner die BSC–Verfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon$ ist.		*Diese ist um so besser, je kleiner die BSC–Verfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon$ ist.



Zeile 101:		Zeile 102:
	:$${\rm Pr(Blockfehler)} = \left\{ \begin{array}{l} 3 \cdot \varepsilon^2 \\ 21 \cdot \varepsilon^2\\ 105 \cdot \varepsilon^2\\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}l} {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} n = 3 \\ {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} n = 7 \\ {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} n = 15 \\ \end{array} \hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm Pr(Blockfehler)} = \left\{ \begin{array}{l} 3 \cdot \varepsilon^2 \\ 21 \cdot \varepsilon^2\\ 105 \cdot \varepsilon^2\\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}l} {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} n = 3 \\ {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} n = 7 \\ {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} n = 15 \\ \end{array} \hspace{0.05cm}.$$

	Richtig ist <u>Antwort 1</u>. Die geringste Blockfehlerwahrscheinlichkeit besitzt natürlich der Hamming–Code mit der geringsten Rate $R = 1/3$, also mit der größten relativen Redundanz.		*Richtig ist <u>Antwort 1</u>.
			*Die geringste Blockfehlerwahrscheinlichkeit besitzt natürlich der Hamming–Code mit der geringsten Rate $R = 1/3$, also mit der größten relativen Redundanz.


Zeile 109:		Zeile 111:
	\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}[{\rm Q}^{-1}(\varepsilon)] - 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (2R) \hspace{0.05cm}.$$		\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}[{\rm Q}^{-1}(\varepsilon)] - 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (2R) \hspace{0.05cm}.$$

	Daraus erhält man mit $\varepsilon = 0.01 \ ⇒ \ {\rm Q}^{–1}(\varepsilon) = 2.33$:		*Daraus erhält man mit $\varepsilon = 0.01 \ ⇒ \ {\rm Q}^{–1}(\varepsilon) = 2.33$:

	:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}(2.33) - 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (8/7) = 7.35\,{\rm dB} - 0.58\,{\rm dB}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 6.77\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$		:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}(2.33) - 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (8/7) = 7.35\,{\rm dB} - 0.58\,{\rm dB}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 6.77\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
			:
	~~In analoger Weise ergibt sich für $\varepsilon = 0.001 \ ⇒ \ {\rm Q}^{–1}(\varepsilon) ≈ 3.09$.~~

	:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}(3.09) - 0.58\,{\rm dB}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 9.22\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$		:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}(3.09) - 0.58\,{\rm dB}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 9.22\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
Zeile 120:		Zeile 121:
	'''(5)'''  Wir beziehen uns hier auf die Blockfehlerwahrscheinlichkeit $10^{–5}$.		'''(5)'''  Wir beziehen uns hier auf die Blockfehlerwahrscheinlichkeit $10^{–5}$.

	Nach dem Ergebnis der Teilaufgabe (2) darf dann die BSC–Verfälschungswahrscheinlichkeit nicht größer sein als		*Nach dem Ergebnis der Teilaufgabe (2) darf dann die BSC–Verfälschungswahrscheinlichkeit nicht größer sein als

	:$$\varepsilon = \sqrt{{10^{-5}}/{21}} = 6.9 \cdot 10^{-4} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Q}^{-1}(\varepsilon) = 3.2 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 9.52\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$		:$$\varepsilon = \sqrt{{10^{-5}}/{21}} = 6.9 \cdot 10^{-4} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Q}^{-1}(\varepsilon) = 3.2 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 9.52\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$

	Mit ''Soft Decision'' genügen laut Angabe $8 \ {\rm dB} \ ⇒ \ 10 · \lg {G_{\rm SD}} \ \underline{= 1.52 \ {\rm dB}}$.		*Mit ''Soft Decision'' genügen laut Angabe $8 \ {\rm dB} \ ⇒ \ 10 · \lg {G_{\rm SD}} \ \underline{= 1.52 \ {\rm dB}}$.
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}