Aufgaben:Aufgabe 1.11Z: Nochmals Syndromdecodierung - Versionsgeschichte

Guenter am 20. Juli 2022 um 11:24 Uhr

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Hussain am 20. Dezember 2017 um 11:43 Uhr

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Hussain am 20. Dezember 2017 um 11:42 Uhr

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Hussain am 20. Dezember 2017 um 11:39 Uhr

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die Antwort ist <u>JA</u>, wie man aus der vorgegebenen Prüfmatrix $\mathbf{H}$ erkennt:
+'''(1)'''&nbsp; Die Antwort ist&nbsp; <u>JA</u>,&nbsp; wie man aus der vorgegebenen Prüfmatrix&nbsp; $\mathbf{H}$&nbsp; erkennt:
-*Diese beinhaltet am Ende eine $3×3$–Diagonalmatrix.
+*Diese beinhaltet am Ende eine&nbsp; $3×3$–Diagonalmatrix.
 *Die Codeworte lauten demzufolge:
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-'''(2)'''&nbsp; Mit diesem Empfangsvektor $\underline{y} = (1, 0, 0, 1, 0, 1, 0)$ werden alle Prüfgleichungen erfüllt:
+'''(2)'''&nbsp; Mit diesem Empfangsvektor&nbsp; $\underline{y} = (1, 0, 0, 1, 0, 1, 0)$&nbsp; werden alle Prüfgleichungen erfüllt:
 :$$u_1 \oplus u_2 \oplus u_4 \oplus p_1 = 1 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 0 = 0 \hspace{0.05cm},$$
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 :$$u_1 \oplus u_3 \oplus u_4 \oplus p_3 = 1 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 0 = 0 \hspace{0.05cm}.$$
-Richtig ist dementsprechend die Antwort <u>JA</u>.
+Richtig ist dementsprechend die Antwort&nbsp; <u>JA</u>.
-'''(3)'''&nbsp;   Es gilt $\underline{s} = \underline{y} · \boldsymbol{\rm H}^{\rm T}$:
+'''(3)'''&nbsp;   Es gilt&nbsp; $\underline{s} = \underline{y} · \boldsymbol{\rm H}^{\rm T}$:
 :$$ \underline{s} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &0 &1 &0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 &0 &1\\ 1 &1 &0\\ 0 &1 &1\\ 1 &1 &1\\ 1 &0 &0\\ 0 &1 &0\\ 0 &0 &1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 &0 &0 \end{pmatrix} = \underline{s}_0 \hspace{0.2cm} \Rightarrow\hspace{0.2cm} \hspace{0.15cm} \underline{ \rm Antwort \hspace{0.15cm}1} \hspace{0.05cm}.$$
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-'''(4)'''&nbsp; Man könnte nun für jedes $\underline{y}$ die Gleichung $\underline{y} · \boldsymbol{\rm H}^{\rm T} = (0, 0, 0)$ überprüfen. Hier soll nun das Ergebnis auf anderem Wege gewonnen werden:
+'''(4)'''&nbsp; Man könnte nun für jedes&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; die Gleichung&nbsp; $\underline{y} · \boldsymbol{\rm H}^{\rm T} = (0, 0, 0)$&nbsp; überprüfen.&nbsp; Hier soll nun das Ergebnis auf anderem Wege gewonnen werden:
-*$\underline{y}= (1, 1, 0, 1, 0, 1, 0)$ unterscheidet sich von $\underline{y} = (1, 0, 0, 1, 0, 1, 0)$ im Bit $u_{2}$, das nur in den beiden ersten Prüfgleichungen verwendet wird, nicht jedoch in der letzten  ⇒  $\underline{s} = \underline{s}_{6} = (1, 1, 0)$.
+*$\underline{y}= (1, 1, 0, 1, 0, 1, 0)$&nbsp; unterscheidet sich von&nbsp; $\underline{y} = (1, 0, 0, 1, 0, 1, 0)$&nbsp; nur im Bit&nbsp; $u_{2}$,&nbsp;&nbsp; das nur in den beiden ersten Prüfgleichungen verwendet wird,&nbsp; nicht jedoch in der letzten  ⇒  $\underline{s} = \underline{s}_{6} = (1, 1, 0)$.
-*Wendet man die Prüfgleichungen auf $\underline{y} = (0, 1, 0, 1, 0, 0, 1)$ an, so erhält man $\underline{s} = \underline{s}_{0} = (0, 0, 0)$, wie die folgende Rechnung belegt:
+*Wendet man die Prüfgleichungen auf&nbsp; $\underline{y} = (0, 1, 0, 1, 0, 0, 1)$&nbsp; an,&nbsp; so erhält man&nbsp; $\underline{s} = \underline{s}_{0} = (0, 0, 0)$,&nbsp; wie die folgende Rechnung belegt:
 :$$u_1 \oplus u_2 \oplus u_4 \oplus p_1 = 0 \oplus 1 \oplus 1 \oplus 0 = 0 \hspace{0.05cm},$$
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 :$$u_1 \oplus u_3 \oplus u_4 \oplus p_3 = 0 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 1 = 0 \hspace{0.05cm}.$$
-*Zum gleichen Ergebnis kommt man mit dem Empfangsvektor $\underline{y}  = (0, 1, 1, 0, 1, 0, 1),$ der sich vom Vektor $(1, 0, 0, 1, 0, 1, 0)$ in allen sieben Bitpositionen unterscheidet:
+*Zum gleichen Ergebnis kommt man mit dem Empfangsvektor&nbsp; $\underline{y}  = (0, 1, 1, 0, 1, 0, 1),$&nbsp; der sich vom Vektor&nbsp; $(1, 0, 0, 1, 0, 1, 0)$&nbsp; in allen sieben Bitpositionen unterscheidet:
 :$$u_1 \oplus u_2 \oplus u_4 \oplus p_1 = 0 \oplus 1 \oplus 0 \oplus 1 = 0 \hspace{0.05cm},$$
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 :$$u_1 \oplus u_3 \oplus u_4 \oplus p_3 = 0 \oplus 1 \oplus 0 \oplus 1 = 0 \hspace{0.05cm}.$$
-Richtig sind also die <u>Antworten 2 und 3</u>.
+Richtig sind also die&nbsp; <u>Antworten 2 und 3</u>.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID2399__KC_Z_1_10.png|right|frame|Schaubild: Prüfgleichungen]]
-Betrachtet wird die gleiche Konstellation wie in&nbsp; [[Aufgaben:1.11_Syndromdecodierung|Aufgabe 1.11]], nämlich die Decodierung eines&nbsp; $(7, 4, 3)$–Hamming–Codes mit der Prüfmatrix
+Betrachtet wird die gleiche Konstellation wie in&nbsp; [[Aufgaben:1.11_Syndromdecodierung|"Aufgabe 1.11"]],&nbsp; nämlich die Decodierung eines&nbsp; $(7, 4, 3)$–Hamming–Codes mit der Prüfmatrix
 :$${ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm } = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &1 &1 &0 &0\\ 0 &1 &1 &1 &0 &1 &0\\ 1 &0 &1 &1 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
-Dementsprechend lautet das Generatorpolynom:
+Dementsprechend lautet die Generatormatrix:
 :$${ \boldsymbol{\rm G}} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &0 &1 &0 &1\\ 0 &1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &0 &1 &0 &0 &1 &1\\ 0 &0 &0 &1 &1 &1 &1 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.$$
-Bei der&nbsp; [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes#Prinzip_der_Syndromdecodierung|Syndromdecodierung]]&nbsp; bildet man aus dem Empfangsvektor&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; das Syndrom&nbsp; $\underline{s}$&nbsp; entsprechend der Gleichung
+Bei der&nbsp; [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes#Prinzip_der_Syndromdecodierung|"Syndromdecodierung"]]&nbsp; bildet man aus dem Empfangsvektor&nbsp; $\underline{y}$ &nbsp; das Syndrom&nbsp; $\underline{s}$ &nbsp; entsprechend der Gleichung
 :$$\underline{s} = \underline{y} \cdot { \boldsymbol{\rm H}}^{\rm T} \in {\rm GF}(2^m) \hspace{0.05cm}.$$
 Mit diesem Ergebnis lässt sich beim betrachteten Hamming–Code ein jeder Einzelfehler im Codewort korrigieren.
 *Im fehlerfreien Fall gilt&nbsp; $\underline{s} = \underline{s}_{0} = (0, 0, 0)$.
 *Aber auch bei drei Übertragungsfehlern kann sich unter Umständen&nbsp; $\underline{s}_{0} = (0, 0, 0)$&nbsp; ergeben, so dass diese Fehler unerkannt bleiben.
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 Hinweise:
+* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes|"Decodierung linearer Blockcodes"]].
-−
-''Hinweise:''
+* Weitere Informationen zur Syndromdecodierung finden Sie im Angabenblatt zur&nbsp; [[Aufgaben:1.11_Syndromdecodierung|"Aufgabe 1.11"]].
 * Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes|Decodierung linearer Blockcodes]].
 * Die Grafik verdeutlicht die drei Prüfgleichungen entsprechend der Prüfmatrix:
-**erste Zeile: rote Gruppierung,
+**erste Zeile: &nbsp; rote Gruppierung,
-**zweite Zeile: grüne Gruppierung,
+**zweite Zeile: &nbsp; grüne Gruppierung,
-**dritte Zeile: blaue Gruppierung.
+**dritte Zeile: &nbsp; blaue Gruppierung.

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 :$$ \underline{x} = ( x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7) = ( u_1, u_2, u_3, u_4, p_1, p_2, p_{3}) \hspace{0.05cm}.$$
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 Richtig ist dementsprechend die Antwort <u>JA</u>.
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 :$$ \underline{s} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &0 &1 &0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 &0 &1\\ 1 &1 &0\\ 0 &1 &1\\ 1 &1 &1\\ 1 &0 &0\\ 0 &1 &0\\ 0 &0 &1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 &0 &0 \end{pmatrix} = \underline{s}_0 \hspace{0.2cm} \Rightarrow\hspace{0.2cm} \hspace{0.15cm} \underline{ \rm Antwort \hspace{0.15cm}1} \hspace{0.05cm}.$$

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 [[Datei:P_ID2399__KC_Z_1_10.png|right|frame|Schaubild: Prüfgleichungen]]
-Betrachtet wird die gleiche Konstellation wie in der [[Aufgaben:1.11_Syndromdecodierung|Aufgabe 1.11]], nämlich die Decodierung eines $(7, 4, 3)$–Hamming–Codes mit der Prüfmatrix
+Betrachtet wird die gleiche Konstellation wie in&nbsp; [[Aufgaben:1.11_Syndromdecodierung|Aufgabe 1.11]], nämlich die Decodierung eines&nbsp; $(7, 4, 3)$–Hamming–Codes mit der Prüfmatrix
 :$${ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm } = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &1 &1 &0 &0\\ 0 &1 &1 &1 &0 &1 &0\\ 1 &0 &1 &1 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
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 :$${ \boldsymbol{\rm G}} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &0 &1 &0 &1\\ 0 &1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &0 &1 &0 &0 &1 &1\\ 0 &0 &0 &1 &1 &1 &1 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.$$
-Bei der [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes#Prinzip_der_Syndromdecodierung|Syndromdecodierung]] bildet man aus dem Empfangsvektor $\underline{y}$ das Syndrom $\underline{s}$ entsprechend der Gleichung
+Bei der&nbsp; [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes#Prinzip_der_Syndromdecodierung|Syndromdecodierung]]&nbsp; bildet man aus dem Empfangsvektor&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; das Syndrom&nbsp; $\underline{s}$&nbsp; entsprechend der Gleichung
 :$$\underline{s} = \underline{y} \cdot { \boldsymbol{\rm H}}^{\rm T} \in {\rm GF}(2^m) \hspace{0.05cm}.$$
 Mit diesem Ergebnis lässt sich beim betrachteten Hamming–Code ein jeder Einzelfehler im Codewort korrigieren.
-*Im fehlerfreien Fall gilt $\underline{s} = \underline{s}_{0} = (0, 0, 0)$.
+*Im fehlerfreien Fall gilt&nbsp; $\underline{s} = \underline{s}_{0} = (0, 0, 0)$.
-*Aber auch bei drei Übertragungsfehlern kann sich unter Umständen $\underline{s}_{0} = (0, 0, 0)$ ergeben, so dass diese Fehler unerkannt bleiben.
+*Aber auch bei drei Übertragungsfehlern kann sich unter Umständen&nbsp; $\underline{s}_{0} = (0, 0, 0)$&nbsp; ergeben, so dass diese Fehler unerkannt bleiben.
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 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes|Decodierung linearer Blockcodes]].
+* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes|Decodierung linearer Blockcodes]].
-* Weitere Informationen zur Syndromdecodierung finden Sie im Angabenblatt zur [[Aufgaben:1.11_Syndromdecodierung|Aufgabe 1.11]].
+* Weitere Informationen zur Syndromdecodierung finden Sie im Angabenblatt zur&nbsp; [[Aufgaben:1.11_Syndromdecodierung|Aufgabe 1.11]].
 * Die Grafik verdeutlicht die drei Prüfgleichungen entsprechend der Prüfmatrix:
 **erste Zeile: rote Gruppierung,
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 - Nein.
-{Empfangen wurde $\underline{y} = (1, 0, 0, 1, 0, 1, 0)$. Ist dies ein gültiges Codewort?
+{Empfangen wurde&nbsp; $\underline{y} = (1, 0, 0, 1, 0, 1, 0)$. Ist dies ein gültiges Codewort?
 |type="()"}
 + Ja,
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 - $\underline{s} = \underline{s}_{7} = (1, 1, 1).$
-{Welche Empfangsworte führen zum gleichen Syndrom wie in Teilaufgabe (3)?
+{Welche Empfangsworte führen zum gleichen Syndrom wie in Teilaufgabe '''(3)'''?
 |type="[]"}
 -  $\underline{y} = (1, 1, 0, 1, 0, 1, 0),$

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die Antwort ist <u>JA</u>, wie man aus der vorgegebenen Prüfmatrix $\mathbf{H}$ erkennt. Diese beinhaltet am Ende eine $3×3$–Diagonalmatrix. Die Codeworte lauten demzufolge:
+'''(1)'''&nbsp; Die Antwort ist <u>JA</u>, wie man aus der vorgegebenen Prüfmatrix $\mathbf{H}$ erkennt:
 :$$ \underline{x} = ( x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7) = ( u_1, u_2, u_3, u_4, p_1, p_2, p_{3}) \hspace{0.05cm}.$$
-'''(2)'''&nbsp; Mit diesem Empfangsvektor $y$ werden alle Prüfgleichungen erfüllt:
+'''(2)'''&nbsp; Mit diesem Empfangsvektor $\underline{y} = (1, 0, 0, 1, 0, 1, 0)$ werden alle Prüfgleichungen erfüllt:
 :$$u_1 \oplus u_2 \oplus u_4 \oplus p_1 = 1 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 0 = 0 \hspace{0.05cm},$$
@@ Zeile 89: / Zeile 91: @@
 :$$u_1 \oplus u_3 \oplus u_4 \oplus p_3 = 0 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 1 = 0 \hspace{0.05cm}.$$
-*Zum gleichen Ergebnis kommt man mit dem Empfangsvektor $\underline{y}  = (0, 1, 1, 0, 1, 0, 1),$ der sich vom Vektor $(1, 0, 0, 1, 0, 1, 0)$ in allen 7 Bitpositionen unterscheidet:
+*Zum gleichen Ergebnis kommt man mit dem Empfangsvektor $\underline{y}  = (0, 1, 1, 0, 1, 0, 1),$ der sich vom Vektor $(1, 0, 0, 1, 0, 1, 0)$ in allen sieben Bitpositionen unterscheidet:
 :$$u_1 \oplus u_2 \oplus u_4 \oplus p_1 = 0 \oplus 1 \oplus 0 \oplus 1 = 0 \hspace{0.05cm},$$
@@ Zeile 101: / Zeile 103: @@
-[[Category:Aufgaben zu  Kanalcodierung|^1.5 Decodierung linearer Blockcodes
+[[Category:Aufgaben zu  Kanalcodierung|^1.5 Decodierung linearer Blockcodes^]]

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 + $\underline{y} = (0, 1, 0, 1, 0, 0, 1),$
 + $\underline{y} = (0, 1, 1, 0, 1, 0, 1).$
 </quiz>
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die Antwort ist <u>JA</u>, wie man aus der vorgegebenen Prüfmatrix '''H''' erkennt. Diese beinhaltet am Ende eine 3×3–Diagonalmatrix. Die Codeworte lauten demzufolge:
+'''(1)'''&nbsp; Die Antwort ist <u>JA</u>, wie man aus der vorgegebenen Prüfmatrix $\mathfb{H}$ erkennt. Diese beinhaltet am Ende eine $3×3$–Diagonalmatrix. Die Codeworte lauten demzufolge:
 :$$ \underline{x} = ( x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7) = ( u_1, u_2, u_3, u_4, p_1, p_2, p_{3}) \hspace{0.05cm}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Mit diesem Empfangsvektor y werden alle Prüfgleichungen erfüllt:
 :$$u_1 \oplus u_2 \oplus u_4 \oplus p_1 = 1 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 0 = 0 \hspace{0.05cm},\\ u_2 \oplus u_3 \oplus u_4 \oplus p_2 = 0 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 1 = 0 \hspace{0.05cm},\\ u_1 \oplus u_3 \oplus u_4 \oplus p_3 = 1 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 0 = 0 \hspace{0.05cm}.$$
 Richtig ist dementsprechend die Antwort <u>JA</u>.
 '''(3)'''&nbsp;   Es gilt $\underline{s} = \underline{y} · \boldsymbol{\rm H}^{\rm T}$:
@@ Zeile 74: / Zeile 72: @@
-'''(4)'''&nbsp; Man könnte nun für jedes y die Gleichung $\underline{y} · \underline{y} · \boldsymbol{\rm H}^{\rm T} = (0, 0, 0)$ überprüfen. Hier soll nun das Ergebnis auf anderem Wege gewonnen werden:
+'''(4)'''&nbsp; Man könnte nun für jedes $\underline{y}$ die Gleichung $\underline{y} · \boldsymbol{\rm H}^{\rm T} = (0, 0, 0)$ überprüfen. Hier soll nun das Ergebnis auf anderem Wege gewonnen werden:
 *$\underline{y}= (1, 1, 0, 1, 0, 1, 0)$ unterscheidet sich von $\underline{y} = (1, 0, 0, 1, 0, 1, 0)$ im Bit $u_{2}$, das nur in den beiden ersten Prüfgleichungen verwendet wird, nicht jedoch in der letzten  ⇒  $\underline{s} = \underline{s}_{6} = (1, 1, 0)$.
@@ Zeile 82: / Zeile 80: @@
 :$$u_1 \oplus u_2 \oplus u_4 \oplus p_1 = 0 \oplus 1 \oplus 1 \oplus 0 = 0 \hspace{0.05cm},\\ u_2 \oplus u_3 \oplus u_4 \oplus p_2 = 1 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 0 = 0 \hspace{0.05cm},\\ u_1 \oplus u_3 \oplus u_4 \oplus p_3 = 0 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 1 = 0 \hspace{0.05cm}.$$
-*Zum gleichen Ergebnis kommt man mit dem Empfangsvektor $\underline{y}  = (0, 1, 1, 0, 1, 0, 1),$ der sich vom Vektor (1, 0, 0, 1, 0, 1, 0) in allen 7 Bitpositionen unterscheidet:
+*Zum gleichen Ergebnis kommt man mit dem Empfangsvektor $\underline{y}  = (0, 1, 1, 0, 1, 0, 1),$ der sich vom Vektor $(1, 0, 0, 1, 0, 1, 0)$ in allen 7 Bitpositionen unterscheidet:
 :$$u_1 \oplus u_2 \oplus u_4 \oplus p_1 = 0 \oplus 1 \oplus 0 \oplus 1 = 0 \hspace{0.05cm},\\ u_2 \oplus u_3 \oplus u_4 \oplus p_2 = 1 \oplus 1 \oplus 0 \oplus 0 = 0 \hspace{0.05cm},\\ u_1 \oplus u_3 \oplus u_4 \oplus p_3 = 0 \oplus 1 \oplus 0 \oplus 1 = 0 \hspace{0.05cm}.$$