Aufgaben:Aufgabe 1.11: Syndromdecodierung - Versionsgeschichte

Guenter am 19. Juli 2022 um 12:54 Uhr

2022-07-19T12:54:39Z

Guenter am 19. Juli 2022 um 12:36 Uhr

2022-07-19T12:36:49Z

Guenter am 13. Mai 2019 um 09:31 Uhr

2019-05-13T09:31:54Z

Guenter am 13. Mai 2019 um 09:22 Uhr

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Guenter am 13. Mai 2019 um 09:19 Uhr

2019-05-13T09:19:56Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T11:41:06Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 3. Januar 2018 um 14:40 Uhr

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Guenter am 3. Januar 2018 um 14:14 Uhr

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2018-01-03T14:12:15Z

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2018-01-03T09:04:09Z

Guenter verschob die Seite 1.11 Syndromdecodierung nach Aufgabe 1.11: Syndromdecodierung

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-''Hinweise:''
+Hinweise:
 * Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes|"Decodierung linearer Blockcodes"]].
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Es gibt insgesamt $2^7 = 128$ verschiedene Codeworte $\underline{x}$ und gemäß dem BSC–Modell auch $2^7$ unterschiedliche Empfangsworte $y$ und ebenso viele Fehlervektoren $\underline{e}$.
+'''(1)'''&nbsp; Es gibt insgesamt&nbsp; $2^7 = 128$&nbsp; verschiedene Codeworte&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; und gemäß dem BSC–Modell auch&nbsp; $2^7$&nbsp; unterschiedliche Empfangsworte&nbsp; $y$&nbsp; und ebenso viele Fehlervektoren&nbsp; $\underline{e}$.
-*Mit $m = 3$ Prüfbits gibt es $2^3 = 8$ unterschiedliche Werte für das Syndrom,
+*Mit&nbsp; $m = 3$&nbsp; Prüfbits gibt es&nbsp; $2^3 = 8$&nbsp; unterschiedliche Werte für das Syndrom,
 :$$\underline{s} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \{ \underline{s}_0, \underline{s}_1,\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , \underline{s}_7\} = \{ \underline{s}_{\mu} \}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \mu = 0, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , 7 \hspace{0.05cm},$$
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 :und ebenso viele Nebenklassen.
-*Da beim Hamming–Code, der ja perfekt ist, alle Fehlervektoren zu einer der acht Nebenklassen ${\it \Psi}_{\mu}$ gehören und zudem die Anzahl aller Vektoren in allen Nebenklassen gleich ist („Warum sollte es anders sein?” Genügt Ihnen das als Beweis?), erhält man
+*Da beim Hamming–Code,&nbsp; der ja perfekt ist,&nbsp; alle Fehlervektoren zu einer der acht Nebenklassen&nbsp; ${\it \Psi}_{\mu}$&nbsp; gehören und zudem die Anzahl aller Vektoren in allen Nebenklassen gleich ist&nbsp; $($„Warum sollte es anders sein?” Genügt Ihnen das als Beweis?$)$,&nbsp; erhält man
 :$$ N_0 = \frac{2^n}{2^m} = 2^k \hspace{0.15cm} \underline{= 16} \hspace{0.05cm}.$$
-*Zur Nebenklasse ${\it \Psi}_{0}$ gehören beispielsweise – siehe Musterlösung zur [[Aufgaben:1.11Z_Nochmals_Syndromdecodierung|Aufgabe 1.11Z]] – die Vektoren
+*Zur Nebenklasse&nbsp; ${\it \Psi}_{0}$&nbsp; gehören beispielsweise – siehe Musterlösung zur&nbsp; [[Aufgaben:1.11Z_Nochmals_Syndromdecodierung|Aufgabe 1.11Z]]&nbsp; – die Vektoren
 :$$\underline{e} = (1, 1, 0, 0, 0, 0, 1),$$
-:$$\underline{e} = (1, 1, 0, 0, 0, 0, 1).$$
+:$$\underline{e} = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1).$$
-'''(2)'''&nbsp; Entsprechend den Kommentaren des letzten Teilergebnisses gilt gleichermaßen $N_{7} \ \underline{= 16}$.
+'''(2)'''&nbsp; Entsprechend den Kommentaren des letzten Teilergebnisses gilt gleichermaßen:&nbsp; $N_{7} \ \underline{= 16}$.
-'''(3)'''&nbsp; Richtig ist <u>Antwort 3</u>:
+'''(3)'''&nbsp; Richtig ist&nbsp; <u>Antwort 3</u>:
-*Der Nebenklassenanführer $\underline{e}_{\mu}$  ist derjenige Fehlervektor $\underline{e}$ mit dem geringsten [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung|Hamming–Gewicht]] $w_{\rm H}(\underline{e})$, der zum Syndrom $\underline{s}_{\mu}$  führt.
+*Der Nebenklassenanführer&nbsp; $\underline{e}_{\mu}$&nbsp;  ist derjenige Fehlervektor&nbsp; $\underline{e}$&nbsp; mit dem geringsten&nbsp; [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung|"Hamming–Gewicht"]]&nbsp; $w_{\rm H}(\underline{e})$,&nbsp; der zum Syndrom&nbsp; $\underline{s}_{\mu}$&nbsp;  führt.
 *Der hier betrachtete Hamming–Code (7, 4, 3) ist perfekt. Das heißt: Alle acht Nebenklassenanführer beinhalten deshalb
-:*entweder keine „Eins” ($\underline{e}_{0}$ &nbsp; ⇒ &nbsp; es ist keinerlei Korrektur erforderlich), oder
+*Der hier betrachtete Hamming–Code (7, 4, 3) ist perfekt.&nbsp; Das heißt:&nbsp; Alle acht Nebenklassenanführer beinhalten deshalb
-:*genau eine einzige „Eins” ($\underline{e}_{1}, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , \underline{e}_{7}$ &nbsp; ⇒ &nbsp;  es muss ein Informations– oder Prüfbit korrigiert werden).
+:*entweder keine „Eins”&nbsp; $(\underline{e}_{0}$ &nbsp; ⇒ &nbsp; es ist keinerlei Korrektur erforderlich$)$,&nbsp; oder
-'''(4)'''&nbsp;  Es gilt $\underline{s} = \underline{e} · \boldsymbol{\rm H}^{\rm T}$:
+'''(4)'''&nbsp;  Es gilt&nbsp; $\underline{s} = \underline{e} · \boldsymbol{\rm H}^{\rm T}$:
 :$$\underline{s} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &0 &0 &0 &0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 &0 &1\\ 1 &1 &0\\ 0 &1 &1\\ 1 &1 &1\\ 1 &0 &0\\ 0 &1 &0\\ 0 &0 &1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 &0 &1 \end{pmatrix} = \underline{s}_5 \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} \hspace{0.15cm} \underline{ \mu= 5} \hspace{0.05cm}.$$
-  [[Datei:P_ID2398__KC_A_1_11d.png|right|frame|Alle Nebenklassenanführer des $(7, \, 4, \, 3)$–Hamming–Codes]]
+  [[Datei:P_ID2398__KC_A_1_11d.png|right|frame|Alle Nebenklassenanführer des&nbsp; $(7, \, 4, \, 3)$–Hamming–Codes]]
-'''(5)'''&nbsp; Ein Vergleich mit der Lösung zur letzten Teilaufgabe zeigt, dass $(0, 1, 0, 0, 0, 0, 0) ·  \boldsymbol{\rm H}^{\rm T}$ als Syndrom die zweite Zeile der transponierten Matrix ergibt:
+'''(5)'''&nbsp; Ein Vergleich mit der Lösung zur letzten Teilaufgabe zeigt,&nbsp; dass $(0, 1, 0, 0, 0, 0, 0) ·  \boldsymbol{\rm H}^{\rm T}$&nbsp; als Syndrom die zweite Zeile der transponierten Matrix ergibt:
 :$$\begin{pmatrix} 0 &1 &0 &0 &0 \hspace{0.2cm}\text{... }\end{pmatrix} \cdot { \boldsymbol{\rm H}}^{\rm T} = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 \end{pmatrix} = \underline{s}_6$$
-:$$\Rightarrow\hspace{0.45cm} \underline{ \mu= 6} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \underline{e}_6 = \begin{pmatrix} 0 &1 &0 &0 &0 &0 &0 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.$$
+:$$\Rightarrow\hspace{0.45cm} \underline{ \mu= 6} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.8cm} \underline{e}_6 = \begin{pmatrix} 0 &1 &0 &0 &0 &0 &0 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.$$
 :$$\begin{pmatrix} 0 &0 &1 &0 &0 \hspace{0.2cm}\text{... }\end{pmatrix} \cdot { \boldsymbol{\rm H}}^{\rm T} = \begin{pmatrix} 0 &1 &1 \end{pmatrix} = \underline{s}_3$$
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 :$$\Rightarrow\hspace{0.45cm} \underline{ \mu= 7} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \underline{e}_7 = \begin{pmatrix} 0 &0 &0 &1 &0 &0 &0 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.$$
-Die nebenstehende Grafik fasst die Ergebnisse der Teilaufgaben '''(4)''' und '''(5)''' nochmals zusammen.
+Die nebenstehende Grafik fasst die Ergebnisse der Teilaufgaben&nbsp; '''(4)'''&nbsp; und&nbsp; '''(5)'''&nbsp; nochmals zusammen.
-'''(6)'''&nbsp;  Beim betrachteten $(7, \, 4, \, 3)$–Hamming–Code wird dann für das richtige Informationswort entschieden, wenn bei der Übertragung höchstens ein Bit innerhalb des Codewortes verfälscht wird. Daraus folgt:
+'''(6)'''&nbsp;  Beim betrachteten&nbsp; $(7, \, 4, \, 3)$–Hamming–Code wird dann für das richtige Informationswort entschieden,&nbsp; wenn bei der Übertragung höchstens ein Bit innerhalb des Codewortes verfälscht wird.&nbsp; Daraus folgt:
 :$${ \rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} { \rm Pr(\ge 2\hspace{0.15cm}Bitfehler\hspace{0.15cm})} =1 - { \rm Pr(0\hspace{0.15cm}Bitfehler)} - { \rm Pr(1\hspace{0.15cm}Bitfehler)} =1 - 0.9^7 - 7 \cdot 0.1 \cdot 0.9^7 \hspace{0.15cm} \underline{ = 0.15} \hspace{0.05cm}.$$
-*Bei uncodierter Übertragung eines Blocks mit $n = k = 4$ Bit ergäbe sich beim gleichen BSC–Kanal:
+*Bei uncodierter Übertragung eines Blocks mit&nbsp; $n = k = 4$ Bit&nbsp; ergäbe sich beim gleichen BSC–Kanal:
 :$${ \rm Pr(Blockfehler)}= 1 - 0.9^4 \approx 0.344 \hspace{0.05cm}.$$
-*Der Vergleich ist allerdings nicht ganz fair, da mit $n = 4$ eine kleinere Verfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon$ anzusetzen wäre als mit $n = 7$ (kleinere Symbolrate &nbsp; ⇒&nbsp; kleinere Bandbreite &nbsp; ⇒ &nbsp; kleinere Rauschleistung).
+*Der Vergleich ist allerdings nicht ganz fair,&nbsp; da mit&nbsp; $n = 4$&nbsp; eine kleinere Verfälschungswahrscheinlichkeit&nbsp; $\varepsilon$&nbsp; anzusetzen wäre als mit&nbsp; $n = 7$&nbsp; $($kleinere Symbolrate &nbsp; ⇒&nbsp; kleinere Bandbreite &nbsp; ⇒ &nbsp; kleinere Rauschleistung$)$.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID2397__KC_A_1_11.png|right|frame|Syndrom und Nebenklassenanführer (unvollständige Liste) des &nbsp;$\rm HC \ (7, \, 4, \, 3)$ ]]
-Zur Decodierung eines &nbsp;$(7, \, 4, \, 3)$–Hamming–Codes, der durch seine Prüfmatrix
+Zur Decodierung eines &nbsp;$(7, \, 4, \, 3)$–Hamming–Codes,&nbsp; der durch seine Prüfmatrix
 :$${ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm } = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &1 &1 &0 &0\\ 0 &1 &1 &1 &0 &1 &0\\ 1 &0 &1 &1 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}$$
-gegeben ist, eignet sich auch die &bdquo;Syndromdecodierung&rdquo;. Da alle Hamming–Codes perfekt sind, ergibt sich hiermit ein gleich gutes Ergebnis wie mit der (im allgemeinen Fall) komplizierteren Maximum–Likelihood–Detektion.
+gegeben ist,&nbsp; eignet sich auch die&nbsp; &bdquo;Syndromdecodierung&rdquo;.&nbsp; Da alle Hamming–Codes perfekt sind,&nbsp; ergibt sich hiermit ein gleich gutes Ergebnis wie mit der&nbsp; (im allgemeinen Fall)&nbsp; komplizierteren Maximum–Likelihood–Detektion.
-Bei der&nbsp; [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes#Prinzip_der_Syndromdecodierung|Syndromdecodierung]]&nbsp; geht man wie folgt vor:
+Bei der&nbsp; [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes#Prinzip_der_Syndromdecodierung|"Syndromdecodierung"]]&nbsp; geht man wie folgt vor:
-*Man bildet aus dem Empfangsvektor&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; das Syndrom&nbsp; $($es gilt&nbsp; $m = n - k)$:
+*Man bildet aus dem Empfangsvektor&nbsp; $\underline{y}$ &nbsp; das Syndrom&nbsp; $($es gilt&nbsp; $m = n - k)$:
 :$$\underline{s} = \underline{y} \cdot { \boldsymbol{\rm H}}^{\rm T} \in {\rm GF}(2^m) \hspace{0.05cm}.$$
-*Beim&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC|BSC–Kanal]]&nbsp; ist auch das Empfangswort&nbsp; $\underline{y} = \underline{x} \, ({\rm Codewort}) + \underline{e} \, ({\rm Fehlervektor})$&nbsp; ein Element aus&nbsp; ${\rm GF}(2^n)$, und es gilt wegen&nbsp; $ \underline{x} · \boldsymbol {{\rm H} }^{\rm T} =
+*Beim&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC|"BSC–Kanal"]]&nbsp; ist auch das Empfangswort&nbsp; $\underline{y} = \underline{x} \, ({\rm Codewort}) + \underline{e} \, ({\rm Fehlervektor})$&nbsp; ein Element aus&nbsp; ${\rm GF}(2^n)$,&nbsp; und es gilt wegen&nbsp; $ \underline{x} · \boldsymbol {{\rm H} }^{\rm T} =
   \underline{0}$&nbsp; gleichermaßen:
 :$$\underline{s} = \underline{e} \cdot { \boldsymbol{\rm H}}^{\rm T} \hspace{0.05cm}.$$
-*Viele Fehlermuster&nbsp; $\underline{e}$&nbsp; führen zum gleichen Syndrom&nbsp; $\underline{s}$. Man fasst nun diejenigen Fehlermuster mit gleichem Syndrom&nbsp; $\underline{s}_{\mu}$&nbsp; zur Nebenklasse&nbsp; ${\it \Psi}_{\mu}$&nbsp; zusammen.
+*Viele Fehlermuster&nbsp; $\underline{e}$&nbsp; führen zum gleichen Syndrom&nbsp; $\underline{s}$.&nbsp; Man fasst nun diejenigen Fehlermuster mit gleichem Syndrom&nbsp; $\underline{s}_{\mu}$&nbsp; zur Nebenklasse&nbsp; ${\it \Psi}_{\mu}$&nbsp; zusammen.
-*Als Nebenklassenanführer&nbsp; $\underline{e}_{\mu}$&nbsp; bezeichnet man denjenigen Fehlervektor, der innerhalb der Klasse&nbsp;  ${\it \Psi}_{\mu}$&nbsp;  das geringste Hamming–Gewicht aufweist und dementsprechend am wahrscheinlichsten ist. Gibt es hiervon mehrere, so wählt man willkürlich einen davon aus.
+*Als Nebenklassenanführer&nbsp; $\underline{e}_{\mu}$&nbsp; bezeichnet man denjenigen Fehlervektor,&nbsp; der innerhalb der Klasse&nbsp;  ${\it \Psi}_{\mu}$&nbsp;  das geringste Hamming–Gewicht aufweist und dementsprechend am wahrscheinlichsten ist.&nbsp; Gibt es hiervon mehrere,&nbsp; so wählt man willkürlich einen davon aus.
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-sollen in den Teilaufgaben '''(4)''' und '''(5)''' ermittelt werden.
+sollen in den Teilaufgaben&nbsp; '''(4)'''&nbsp; und&nbsp; '''(5)'''&nbsp; ermittelt werden.
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 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes|Decodierung linearer Blockcodes]].
+* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes|"Decodierung linearer Blockcodes"]].
-* Zugrunde liegt ein Hamming–Code mit den Parametern&nbsp; $n = 7$&nbsp; und&nbsp; $k = 4$ &nbsp;   &rArr;  &nbsp; $m = 3$. Alle Codeworte haben das folgende Format:
 :$$\underline{x} = ( x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7) = ( u_1, u_2, u_3, u_4, p_1, p_2, p_{3}) \hspace{0.05cm}.$$
-*Die Prüfgleichungen sind auf dem Angabenblatt zur&nbsp; [[Aufgaben:1.11Z_Nochmals_Syndromdecodierung|Aufgabe 1.11Z]]&nbsp; veranschaulicht, in der die gleiche Konstellation wie in der vorliegenden Aufgabe  betrachtet wird.
+*Die Prüfgleichungen sind auf dem Angabenblatt zur&nbsp; [[Aufgaben:1.11Z_Nochmals_Syndromdecodierung|"Aufgabe 1.11Z"]]&nbsp; veranschaulicht,&nbsp; in der die gleiche Konstellation wie in der vorliegenden Aufgabe  betrachtet wird.
 *Verwenden Sie in der letzten Teilaufgabe '''(6)''' den BSC–Parameter&nbsp; $ \varepsilon = 0.1$.
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 |type="[]"}
 - Die letzten drei Bit von&nbsp;  $\underline{e}_{\mu}$&nbsp;  sind identisch mit&nbsp;  $\underline{s}_{\mu}$ .
-- Alle&nbsp; $\underline{e}_{\mu}$&nbsp; beinhalten jeweils eine einzige&nbsp; $1$.
+- Alle&nbsp; $\underline{e}_{\mu}$&nbsp; beinhalten jeweils eine einzige&nbsp; "$1$".
-+ Alle&nbsp; $\underline{e}_{\mu}$&nbsp; beinhalten höchstens eine&nbsp; $1$.
++ Alle&nbsp; $\underline{e}_{\mu}$&nbsp; beinhalten höchstens eine&nbsp; "$1$".
 {Zu welchem Syndrom&nbsp; $\underline{s}_{\mu}$&nbsp;  führt der Fehlervektor&nbsp; $(1, 0, 0, 0, 0, 0, 0)$?

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Es gibt insgesamt $2^7 = 128$ verschiedene Codeworte $\underline{x}$ und entsprechend dem BSC–Modell auch $2^7$ unterschiedliche Empfangsworte $y$ und ebenso viele Fehlervektoren $\underline{e}$.
+'''(1)'''&nbsp; Es gibt insgesamt $2^7 = 128$ verschiedene Codeworte $\underline{x}$ und gemäß dem BSC–Modell auch $2^7$ unterschiedliche Empfangsworte $y$ und ebenso viele Fehlervektoren $\underline{e}$.
+*Mit $m = 3$ Prüfbits gibt es $2^3 = 8$ unterschiedliche Werte für das Syndrom,
 :$$\underline{s} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \{ \underline{s}_0, \underline{s}_1,\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , \underline{s}_7\} = \{ \underline{s}_{\mu} \}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \mu = 0, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , 7 \hspace{0.05cm},$$
-und ebenso viele Nebenklassen.
+:und ebenso viele Nebenklassen.
-Da beim Hamming–Code, der ja perfekt ist, alle Fehlervektoren zu einer der acht Nebenklassen ${\it \Psi}_{\mu}$ gehören und zudem die Anzahl aller Vektoren in allen Nebenklassen gleich ist („Warum sollte es anders sein?” Genügt Ihnen das als Beweis?), erhält man
+*Da beim Hamming–Code, der ja perfekt ist, alle Fehlervektoren zu einer der acht Nebenklassen ${\it \Psi}_{\mu}$ gehören und zudem die Anzahl aller Vektoren in allen Nebenklassen gleich ist („Warum sollte es anders sein?” Genügt Ihnen das als Beweis?), erhält man
 :$$ N_0 = \frac{2^n}{2^m} = 2^k \hspace{0.15cm} \underline{= 16} \hspace{0.05cm}.$$
-Zur Nebenklasse ${\it \Psi}_{0}$ gehören beispielsweise – siehe Musterlösung zur [[Aufgaben:1.11Z_Nochmals_Syndromdecodierung|Aufgabe 1.11Z]] – die Vektoren
+*Zur Nebenklasse ${\it \Psi}_{0}$ gehören beispielsweise – siehe Musterlösung zur [[Aufgaben:1.11Z_Nochmals_Syndromdecodierung|Aufgabe 1.11Z]] – die Vektoren
 '''(2)'''&nbsp; Entsprechend den Kommentaren des letzten Teilergebnisses gilt gleichermaßen $N_{7} \ \underline{= 16}$.
@@ Zeile 110: / Zeile 111: @@
 :*entweder keine „Eins” ($\underline{e}_{0}$ &nbsp; ⇒ &nbsp; es ist keinerlei Korrektur erforderlich), oder
 :*genau eine einzige „Eins” ($\underline{e}_{1}, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , \underline{e}_{7}$ &nbsp; ⇒ &nbsp;  es muss ein Informations– oder Prüfbit korrigiert werden).
@@ Zeile 116: / Zeile 118: @@
   [[Datei:P_ID2398__KC_A_1_11d.png|right|frame|Alle Nebenklassenanführer des $(7, \, 4, \, 3)$–Hamming–Codes]]
 '''(5)'''&nbsp; Ein Vergleich mit der Lösung zur letzten Teilaufgabe zeigt, dass $(0, 1, 0, 0, 0, 0, 0) ·  \boldsymbol{\rm H}^{\rm T}$ als Syndrom die zweite Zeile der transponierten Matrix ergibt:
@@ Zeile 131: / Zeile 134: @@
 :$$\Rightarrow\hspace{0.45cm} \underline{ \mu= 7} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \underline{e}_7 = \begin{pmatrix} 0 &0 &0 &1 &0 &0 &0 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.$$
-Die nebenstehende Grafik fasst die Ergebnisse der Teilaufgaben (4) und (5) nochmals zusammen.
+Die nebenstehende Grafik fasst die Ergebnisse der Teilaufgaben '''(4)''' und '''(5)''' nochmals zusammen.
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 :$${ \rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} { \rm Pr(\ge 2\hspace{0.15cm}Bitfehler\hspace{0.15cm})} =1 - { \rm Pr(0\hspace{0.15cm}Bitfehler)} - { \rm Pr(1\hspace{0.15cm}Bitfehler)} =1 - 0.9^7 - 7 \cdot 0.1 \cdot 0.9^7 \hspace{0.15cm} \underline{ = 0.15} \hspace{0.05cm}.$$
-Bei uncodierter Übertragung eines Blocks mit $n = k = 4$ Bit ergäbe sich beim gleichen BSC–Kanal:
+*Bei uncodierter Übertragung eines Blocks mit $n = k = 4$ Bit ergäbe sich beim gleichen BSC–Kanal:
 :$${ \rm Pr(Blockfehler)}= 1 - 0.9^4 \approx 0.344 \hspace{0.05cm}.$$
-Der Vergleich ist allerdings nicht ganz fair, da mit $n = 4$ eine kleinere Verfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon$ anzusetzen wäre als mit $n = 7$ (kleinere Symbolrate &nbsp; ⇒&nbsp; kleinere Bandbreite &nbsp; ⇒ &nbsp; kleinere Rauschleistung).
+*Der Vergleich ist allerdings nicht ganz fair, da mit $n = 4$ eine kleinere Verfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon$ anzusetzen wäre als mit $n = 7$ (kleinere Symbolrate &nbsp; ⇒&nbsp; kleinere Bandbreite &nbsp; ⇒ &nbsp; kleinere Rauschleistung).
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 78: / Zeile 78: @@
 {Welche Blockfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich für das BSC–Modell mit der Verfälschungswahrscheinlichkeit&nbsp; $\varepsilon = 0.1$?
 |type="{}"}
-${\rm Pr(Blockfehler)} \ = \ $ { 0.15 3% }
+${\rm Pr(Blockfehler)} \ = \ $ { 15 3% } $\ \%$
 </quiz>

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
 {{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Decodierung linearer Blockcodes}}
-[[Datei:P_ID2397__KC_A_1_11.png|right|frame|Syndrom und Nebenklassenanführer des betrachteten Hamming–Codes (unvollständige Liste)]]
+[[Datei:P_ID2397__KC_A_1_11.png|right|frame|Syndrom und Nebenklassenanführer (unvollständige Liste) des &nbsp;$\rm HC \ (7, \, 4, \, 3)$ ]]
-Zur Decodierung eines $(7, \, 4, \, 3)$–Hamming–Codes, der durch seine Prüfmatrix
+Zur Decodierung eines &nbsp;$(7, \, 4, \, 3)$–Hamming–Codes, der durch seine Prüfmatrix
 :$${ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm } = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &1 &1 &0 &0\\ 0 &1 &1 &1 &0 &1 &0\\ 1 &0 &1 &1 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}$$
-gegeben ist, eignet sich auch die ''Syndromdecodierung''. Da alle Hamming–Codes perfekt sind, ergibt sich hiermit ein gleich gutes Ergebnis wie mit der (im allgemeinen Fall) komplizierteren Maximum–Likelihood–Detektion.
+gegeben ist, eignet sich auch die &bdquo;Syndromdecodierung&rdquo;. Da alle Hamming–Codes perfekt sind, ergibt sich hiermit ein gleich gutes Ergebnis wie mit der (im allgemeinen Fall) komplizierteren Maximum–Likelihood–Detektion.
-Bei der [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes#Prinzip_der_Syndromdecodierung|Syndromdecodierung]] geht man wie folgt vor:
+Bei der&nbsp; [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes#Prinzip_der_Syndromdecodierung|Syndromdecodierung]]&nbsp; geht man wie folgt vor:
-*Man bildet aus dem Empfangsvektor $\underline{y}$ das Syndrom (es gilt $m = n - k$):
+*Man bildet aus dem Empfangsvektor&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; das Syndrom&nbsp; $($es gilt&nbsp; $m = n - k)$:
 :$$\underline{s} = \underline{y} \cdot { \boldsymbol{\rm H}}^{\rm T} \in {\rm GF}(2^m) \hspace{0.05cm}.$$
-*Beim [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC|BSC–Kanal]] ist auch das Empfangswort $y = x \, ({\rm Codewort}) + \underline{e} \, ({\rm Fehlervektor})$ ein Element von ${\rm GF}(2^n)$, und es gilt wegen $ \underline{x} · \boldsymbol {{\rm H} }^{\rm T} =
+*Beim&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC|BSC–Kanal]]&nbsp; ist auch das Empfangswort&nbsp; $\underline{y} = \underline{x} \, ({\rm Codewort}) + \underline{e} \, ({\rm Fehlervektor})$&nbsp; ein Element aus&nbsp; ${\rm GF}(2^n)$, und es gilt wegen&nbsp; $ \underline{x} · \boldsymbol {{\rm H} }^{\rm T} =
-  \underline{0}$ gleichermaßen:
+  \underline{0}$&nbsp; gleichermaßen:
 :$$\underline{s} = \underline{e} \cdot { \boldsymbol{\rm H}}^{\rm T} \hspace{0.05cm}.$$
-*Viele Fehlermuster $\underline{e}$ führen zum gleichen Syndrom $\underline{s}$. Man fasst nun diejenigen Fehlermuster mit dem gleichen Syndrom $s_{\mu}$ zur Nebenklasse ${\it \Psi}_{\mu}$ zusammen.
+*Viele Fehlermuster&nbsp; $\underline{e}$&nbsp; führen zum gleichen Syndrom&nbsp; $\underline{s}$. Man fasst nun diejenigen Fehlermuster mit gleichem Syndrom&nbsp; $\underline{s}_{\mu}$&nbsp; zur Nebenklasse&nbsp; ${\it \Psi}_{\mu}$&nbsp; zusammen.
-*Als Nebenklassenanführer $\underline{e}_{\mu}$ bezeichnet man denjenigen Fehlervektor, der innerhalb der Klasse  ${\it \Psi}_{\mu}$  das geringste Hamming–Gewicht aufweist und dementsprechend am wahrscheinlichsten ist.
+*Als Nebenklassenanführer&nbsp; $\underline{e}_{\mu}$&nbsp; bezeichnet man denjenigen Fehlervektor, der innerhalb der Klasse&nbsp;  ${\it \Psi}_{\mu}$&nbsp;  das geringste Hamming–Gewicht aufweist und dementsprechend am wahrscheinlichsten ist. Gibt es hiervon mehrere, so wählt man willkürlich einen davon aus.
-Die obige Grafik zeigt die unvollständige Liste der Nebenklassenanführer  $\underline{e}_{\mu}$  für die einzelnen $s_{\mu}$ .
+Die obige Grafik zeigt die unvollständige Liste der Nebenklassenanführer&nbsp;  $\underline{e}_{\mu}$&nbsp;  für die einzelnen&nbsp; $\underline{s}_{\mu}$ .
 Die wahrscheinlichsten Fehlervektoren
-*$\underline{e}_{3}$ mit Syndrom $\underline{s}_{3} = (0, 1, 1)$,
+*$\underline{e}_{3}$&nbsp; mit Syndrom&nbsp; $\underline{s}_{3} = (0, 1, 1)$,
-*$\underline{e}_{5}$ mit Syndrom $\underline{s}_{5} = (1, 0, 1)$,
+*$\underline{e}_{5}$&nbsp; mit Syndrom&nbsp; $\underline{s}_{5} = (1, 0, 1)$,
-*$\underline{e}_{6}$ mit Syndrom $\underline{s}_{6} = (1, 1, 0)$,
+*$\underline{e}_{6}$&nbsp; mit Syndrom&nbsp; $\underline{s}_{6} = (1, 1, 0)$,
-*$\underline{e}_{7}$ mit Syndrom $\underline{s}_{7} = (1, 1, 1)$
+*$\underline{e}_{7}$&nbsp; mit Syndrom&nbsp; $\underline{s}_{7} = (1, 1, 1)$
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 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes|Decodierung linearer Blockcodes]].
+* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes|Decodierung linearer Blockcodes]].
-* Zugrunde liegt ein Hamming–Code mit den Parametern $n = 7$ und $k = 4   ⇒   m = 3$. Alle Codeworte haben das folgende Format:
+* Zugrunde liegt ein Hamming–Code mit den Parametern&nbsp; $n = 7$&nbsp; und&nbsp; $k = 4$ &nbsp;   &rArr;  &nbsp; $m = 3$. Alle Codeworte haben das folgende Format:
 :$$\underline{x} = ( x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7) = ( u_1, u_2, u_3, u_4, p_1, p_2, p_{3}) \hspace{0.05cm}.$$
-*Die Prüfgleichungen sind auf dem Angabenblatt zur [[Aufgaben:1.11Z_Nochmals_Syndromdecodierung|Aufgabe 1.11Z]] veranschaulicht, in der genau die gleiche Konstellation wie in der vorliegenden Aufgabe  betrachtet wird.
+*Die Prüfgleichungen sind auf dem Angabenblatt zur&nbsp; [[Aufgaben:1.11Z_Nochmals_Syndromdecodierung|Aufgabe 1.11Z]]&nbsp; veranschaulicht, in der die gleiche Konstellation wie in der vorliegenden Aufgabe  betrachtet wird.
-*Verwenden Sie in der letzten Teilaufgabe (6) den BSC–Parameter $ \varepsilon = 0.1$.
+*Verwenden Sie in der letzten Teilaufgabe '''(6)''' den BSC–Parameter&nbsp; $ \varepsilon = 0.1$.
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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Wie viele Empfangsworte $(N_{0})$ führen zum Syndrom $\underline{s} = \underline{s}_{0} = (0, 0, 0)$?
+{Wie viele Empfangsworte&nbsp; $(N_{0})$&nbsp; führen zum Syndrom&nbsp; $\underline{s} = \underline{s}_{0} = (0, 0, 0)$?
 |type="{}"}
 $N_{0} \ = \ $ { 16 3% }
-{Wie viele Empfangsworte $(N_{7})$ führen zum Syndrom $\underline{s} = \underline{s}_{7} = (1, 1, 1)$?
+{Wie viele Empfangsworte&nbsp; $(N_{7})$&nbsp; führen zum Syndrom&nbsp; $\underline{s} = \underline{s}_{7} = (1, 1, 1)$?
 |type="{}"}
 $N_{7} \ = \ $ { 16 3% }
-{Welche Eigenschaften weisen alle Nebenklassenanführer $\underline{e}_{\mu}$ auf?
+{Welche Eigenschaften weisen alle Nebenklassenanführer&nbsp; $\underline{e}_{\mu}$&nbsp; auf?
 |type="[]"}
-- Die letzten drei Bit von  $\underline{e}_{\mu}$  sind identisch mit  $\underline{s}_{\mu}$ .
+- Die letzten drei Bit von&nbsp;  $\underline{e}_{\mu}$&nbsp;  sind identisch mit&nbsp;  $\underline{s}_{\mu}$ .
-- Alle $\underline{e}_{\mu}$ beinhalten jeweils eine einzige $1$.
+- Alle&nbsp; $\underline{e}_{\mu}$&nbsp; beinhalten jeweils eine einzige&nbsp; $1$.
-+ Alle $\underline{e}_{\mu}$ beinhalten höchstens eine $1$.
++ Alle&nbsp; $\underline{e}_{\mu}$&nbsp; beinhalten höchstens eine&nbsp; $1$.
-{Zu welchem Syndrom $\underline{s}_{\mu}$  führt der Fehlervektor $(1, 0, 0, 0, 0, 0, 0)$?
+{Zu welchem Syndrom&nbsp; $\underline{s}_{\mu}$&nbsp;  führt der Fehlervektor&nbsp; $(1, 0, 0, 0, 0, 0, 0)$?
 |type="{}"}
 $\underline{e} = (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0) \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Index} \ \mu \ = \ $ { 5 }
-{Berechnen Sie jeweils das Syndrom $\underline{s}_{\mu}$ (Eingabe: Index $\mu$) für
+{Berechnen Sie jeweils das Syndrom&nbsp; $\underline{s}_{\mu}$&nbsp; $($Eingabe: &nbsp;Index $\mu)$&nbsp; für
 |type="{}"}
 $\ \underline{e} = (0, 1, 0, 0, 0, 0, 0) \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Index} \ \mu \ = \ $ { 6 }
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-{Welche Blockfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich für das BSC–Modell mit der Verfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon = 0.1$?
+{Welche Blockfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich für das BSC–Modell mit der Verfälschungswahrscheinlichkeit&nbsp; $\varepsilon = 0.1$?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr(Blockfehler)} \ = \ $ { 0.15 3% }

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 {{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Decodierung linearer Blockcodes}}
-[[Datei:P_ID2397__KC_A_1_11.png|right|frame|Syndrom und Nebenklassenanführer des betrachteten Hamming–Codes]]
+[[Datei:P_ID2397__KC_A_1_11.png|right|frame|Syndrom und Nebenklassenanführer des betrachteten Hamming–Codes (unvollständige Liste)]]
 Zur Decodierung eines $(7, \, 4, \, 3)$–Hamming–Codes, der durch seine Prüfmatrix
@@ Zeile 64: / Zeile 64: @@
 {Zu welchem Syndrom $\underline{s}_{\mu}$  führt der Fehlervektor $(1, 0, 0, 0, 0, 0, 0)$?
 |type="{}"}
-$\underline{e} = (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0) \text{:} \hspace{0.2cm} {\rm Index} \ \mu \ = \ $ { 5 }
+$\underline{e} = (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0) \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Index} \ \mu \ = \ $ { 5 }
 {Berechnen Sie jeweils das Syndrom $\underline{s}_{\mu}$ (Eingabe: Index $\mu$) für
 |type="{}"}
-$\ \underline{e} = (0, 1, 0, 0, 0, 0, 0) \text{:} \hspace{0.2cm} {\rm Index} \ \mu \ = \ $ { 6 }
+$\ \underline{e} = (0, 1, 0, 0, 0, 0, 0) \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Index} \ \mu \ = \ $ { 6 }
-$\ \underline{e} = (0, 0, 1, 0, 0, 0, 0) \text{:} \hspace{0.2cm} {\rm Index} \ \mu \ = \ $ { 3 }
+$\ \underline{e} = (0, 0, 1, 0, 0, 0, 0) \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Index} \ \mu \ = \ $ { 3 }
-$\ \underline{e} = (0, 0, 0, 1, 0, 0, 0) \text{:} \hspace{0.2cm} {\rm Index} \ \mu \ = \ $ { 7 }
+$\ \underline{e} = (0, 0, 0, 1, 0, 0, 0) \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Index} \ \mu \ = \ $ { 7 }
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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Es gibt insgesamt $2^7 = 128$ verschiedene Codeworte $\underline{x}$ und entsprechend dem BSC–Modell auch $2^7$ unterschiedliche Empfangsworte $y$ und ebenso viele Fehlervektoren $\underline{e}$.
 Mit $m = 3$ Prüfbits gibt es $2^3 = 8$ unterschiedliche Werte für das Syndrom,
-:$$\underline{s} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \{ \underline{s}_0, \underline{s}_1, ... \hspace{0.05cm} , \underline{s}_7\} = \{ \underline{s}_{\mu} \}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \mu = 0, ... \hspace{0.05cm} , 7 \hspace{0.05cm},$$
+:$$\underline{s} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \{ \underline{s}_0, \underline{s}_1,\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , \underline{s}_7\} = \{ \underline{s}_{\mu} \}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \mu = 0, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , 7 \hspace{0.05cm},$$
-und ebenso viele Nebenklassen. Da beim Hamming–Code, der ja perfekt ist, alle Fehlervektoren zu einer der 8 Nebenklassen ${\it \Psi}_{\mu}$ gehören und zudem die Anzahl aller Vektoren in allen Nebenklassen gleich ist („Warum sollte es anders sein?” Genügt Ihnen das als Beweis?), erhält man
+Da beim Hamming–Code, der ja perfekt ist, alle Fehlervektoren zu einer der acht Nebenklassen ${\it \Psi}_{\mu}$ gehören und zudem die Anzahl aller Vektoren in allen Nebenklassen gleich ist („Warum sollte es anders sein?” Genügt Ihnen das als Beweis?), erhält man
 :$$ N_0 = \frac{2^n}{2^m} = 2^k \hspace{0.15cm} \underline{= 16} \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 92: / Zeile 96: @@
 *$\underline{e} = (1, 1, 0, 0, 0, 0, 1),$
-*$\underline{e} = (1, 1, 0, 0, 0, 0, 1),$
+*$\underline{e} = (1, 1, 0, 0, 0, 0, 1).$
@@ Zeile 98: / Zeile 102: @@
-'''(3)'''&nbsp; Richtig ist <u>Antwort 3</u>: Der Nebenklassenanführer $\underline{e}_{\mu}$  ist derjenige Fehlervektor $\underline{e}$ mit dem geringsten [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung|Hamming–Gewicht]] $w_{\rm H}(\underline{e})$, der zum Syndrom $\underline{s}_{\mu}$  führt. Der hier betrachtete Hamming–Code (7, 4, 3) ist perfekt. Das heißt: Alle 8 Nebenklassenanführer beinhalten deshalb
+'''(3)'''&nbsp; Richtig ist <u>Antwort 3</u>:
-*keine „Eins” ($\underline{e}_{0}$ ⇒ es ist keinerlei Korrektur erforderlich), oder
+*Der Nebenklassenanführer $\underline{e}_{\mu}$  ist derjenige Fehlervektor $\underline{e}$ mit dem geringsten [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung|Hamming–Gewicht]] $w_{\rm H}(\underline{e})$, der zum Syndrom $\underline{s}_{\mu}$  führt.
-*genau eine einzige „Eins” ($\underline{e}_{1}, ... , \underline{e}_{7}$ ⇒ es muss ein Informations– oder Prüfbit korrigiert werden).
+*Der hier betrachtete Hamming–Code (7, 4, 3) ist perfekt. Das heißt: Alle acht Nebenklassenanführer beinhalten deshalb
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-'''(5)'''&nbsp; [[Datei:P_ID2398__KC_A_1_11d.png|right|frame|Nebenklassenanführer des $(7, \, 4, \, 3)$–Hamming–Codes]] Ein Vergleich mit der Lösung zur letzten Teilaufgabe zeigt, dass $(0, 1, 0, 0, 0, 0, 0) ·  \boldsymbol{\rm H}^{\rm T}$ als Syndrom die zweite Zeile der transponierten Matrix ergibt:
+ [[Datei:P_ID2398__KC_A_1_11d.png|right|frame|Alle Nebenklassenanführer des $(7, \, 4, \, 3)$–Hamming–Codes]]
-:$$\begin{pmatrix} 0 &0 &1 &0 &0 \hspace{0.2cm}... \end{pmatrix} \cdot { \boldsymbol{\rm H}}^{\rm T} = \begin{pmatrix} 0 &1 &1 \end{pmatrix} = \underline{s}_3$$
+:$$\begin{pmatrix} 0 &0 &1 &0 &0 \hspace{0.2cm}\text{... }\end{pmatrix} \cdot { \boldsymbol{\rm H}}^{\rm T} = \begin{pmatrix} 0 &1 &1 \end{pmatrix} = \underline{s}_3$$
 :$$\Rightarrow\hspace{0.45cm} \underline{ \mu= 3} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \underline{e}_3 = \begin{pmatrix} 0 &0 &1 &0 &0 &0 &0 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.$$
-:$$\begin{pmatrix} 0 &0 &0 &1 &0 \hspace{0.2cm}... \end{pmatrix} \cdot { \boldsymbol{\rm H}}^{\rm T} = \begin{pmatrix} 1 &1 &1 \end{pmatrix} = \underline{s}_7$$
+:$$\begin{pmatrix} 0 &0 &0 &1 &0 \hspace{0.2cm}\text{... } \end{pmatrix} \cdot { \boldsymbol{\rm H}}^{\rm T} = \begin{pmatrix} 1 &1 &1 \end{pmatrix} = \underline{s}_7$$
 :$$\Rightarrow\hspace{0.45cm} \underline{ \mu= 7} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \underline{e}_7 = \begin{pmatrix} 0 &0 &0 &1 &0 &0 &0 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.$$
-Die nebenstehende Grafik fasst das Ergebnis der Teilaufgaben (3) und (4) nochmals zusammen.
+Die nebenstehende Grafik fasst die Ergebnisse der Teilaufgaben (4) und (5) nochmals zusammen.
 '''(6)'''&nbsp;  Beim betrachteten $(7, \, 4, \, 3)$–Hamming–Code wird dann für das richtige Informationswort entschieden, wenn bei der Übertragung höchstens ein Bit innerhalb des Codewortes verfälscht wird. Daraus folgt:
-:$${ \rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} { \rm Pr(zwei\hspace{0.15cm}Bitfehler\hspace{0.15cm} oder\hspace{0.15cm} mehr)} =$$
+:$${ \rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} { \rm Pr(\ge 2\hspace{0.15cm}Bitfehler\hspace{0.15cm})} =1 - { \rm Pr(0\hspace{0.15cm}Bitfehler)} - { \rm Pr(1\hspace{0.15cm}Bitfehler)} =1 - 0.9^7 - 7 \cdot 0.1 \cdot 0.9^7 \hspace{0.15cm} \underline{ = 0.15} \hspace{0.05cm}.$$
 Bei uncodierter Übertragung eines Blocks mit $n = k = 4$ Bit ergäbe sich beim gleichen BSC–Kanal:
@@ Zeile 130: / Zeile 139: @@
 :$${ \rm Pr(Blockfehler)}= 1 - 0.9^4 \approx 0.344 \hspace{0.05cm}.$$
-Der Vergleich ist allerdings nicht ganz fair, da mit $n = 4$ eine kleinere Verfälschungswahrscheinlichkeit $\epsilon$ anzusetzen wäre als mit $n = 7$ (kleinere Symbolrate &nbsp;⇒&nbsp; kleinere Bandbreite &nbsp;⇒&nbsp; kleinere Rauschleistung).
+Der Vergleich ist allerdings nicht ganz fair, da mit $n = 4$ eine kleinere Verfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon$ anzusetzen wäre als mit $n = 7$ (kleinere Symbolrate &nbsp; ⇒&nbsp; kleinere Bandbreite &nbsp; ⇒ &nbsp; kleinere Rauschleistung).
 {{ML-Fuß}}