Aufgaben:Aufgabe 1.10Z: Gauß-Bandpass - Versionsgeschichte

Guenter am 7. Mai 2022 um 16:04 Uhr

2022-05-07T16:04:45Z

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2022-05-07T14:19:52Z

Guenter am 7. Februar 2019 um 15:11 Uhr

2019-02-07T15:11:49Z

Guenter am 7. Februar 2019 um 15:07 Uhr

2019-02-07T15:07:10Z

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2019-02-07T15:06:46Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:34Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-04T06:22:16Z

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Guenter am 8. November 2017 um 11:30 Uhr

2017-11-08T11:30:59Z

Guenter am 8. November 2017 um 11:08 Uhr

2017-11-08T11:08:13Z

Guenter am 8. November 2017 um 11:06 Uhr

2017-11-08T11:06:53Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Für den Bandpass–Frequenzgang $H_{\rm K}(f)$ kann geschrieben werden:
+'''(1)'''&nbsp; Für den Bandpass–Frequenzgang&nbsp; $H_{\rm K}(f)$&nbsp; kann geschrieben werden:
 :$$H_{\rm K}(f) = H_{\rm K,\hspace{0.04cm} TP}(f) \star \big [ \delta (f - f_{\rm M}) + \delta (f + f_{\rm M}) \big ] .$$
-*Die Fourierrücktransformierte des Klammerausdrucks liefert eine Cosinusfunktion der Frequenz $f_{\rm M}$ mit der Amplitude $2$.
+*Die Fourierrücktransformierte des Klammerausdrucks liefert eine Cosinusfunktion der Frequenz $f_{\rm M}$&nbsp; mit der Amplitude&nbsp; $2$.
 *Nach dem Faltungssatz gilt somit:
 :$$h_{\rm K}(t) = 2 \cdot \Delta f_{\rm K} \cdot {\rm exp} \left [ - \pi \cdot \left ( {\Delta f_{\rm K}} \cdot t \right )^2 \right ] \cdot \cos(2 \pi f_{\rm M} t ) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}h_{\rm K}(t = 0)/\Delta f_{\rm K} \hspace{0.1cm}\underline {= 2}.$$
 '''(2)'''&nbsp;  Richtig sind die <u>Aussagen 2, 3 und 4:</u>
-*Die erste Aussage ist falsch, da $H_{\rm MKD}(f)$ auch Anteile um $\pm 2f_{\rm T}$ besitzt.
+*Aussage 1 ist falsch, da $H_{\rm MKD}(f)$ auch Anteile um $\pm 2f_{\rm T}$ besitzt.
-*Die Zeitfunktion $h_{\rm K,\hspace{0.04cm}TP}(t)$ ist entsprechend der angegebenen Gleichung reell.
-*Gleiches gilt für $h_{\rm MKD}(t)$ auch unter Berücksichtigung der $\pm 2f_{\rm T}$–Anteile, da $H_{\rm MKD}(f)$ eine bezüglich $f = 0$ gerade Funktion ist.
+*Die Zeitfunktion $h_{\rm K,\hspace{0.04cm}TP}(t)$&nbsp; ist reell.&nbsp; Gleiches gilt für&nbsp; $h_{\rm MKD}(t)$&nbsp; auch unter Berücksichtigung der&nbsp; $\pm 2f_{\rm T}$–Anteile,&nbsp; da&nbsp; $H_{\rm MKD}(f)$&nbsp; eine bezüglich $f = 0$&nbsp; gerade Funktion ist.
 *Die Grafik zeigt  $H_{\rm MKD}(f)$, der auch Anteile um $\pm 2f_{\rm T}$ besitzt. Bei tiefen Frequenzen ist $H_{\rm K,\hspace{0.04cm}TP}(f)$ identisch mit $H_{\rm MKD}(f)$.
 '''(3)'''&nbsp;  Richtig ist nur der <u>Lösungsvorschlag 4:</u>
-*Hier unterscheiden sich $H_{\rm K,\hspace{0.04cm}TP}(f)$ und $H_{\rm MKD}(f)$ auch bei den tiefen Frequenzen.
+*Hier unterscheiden sich&nbsp; $H_{\rm K,\hspace{0.04cm}TP}(f)$&nbsp; und&nbsp; $H_{\rm MKD}(f)$&nbsp; auch bei den tiefen Frequenzen.&nbsp;
-*$H_{\rm K,\hspace{0.04cm}TP}(f)$ ist eine Gaußfunktion mit dem Maximum bei $f_{ε} = f_{\rm M} - f_{\rm T}$.
-*Aufgrund dieser Unsymmetrie ist $h_{\rm K,\hspace{0.04cm}TP}(t)$ komplex.
+*$H_{\rm K,\hspace{0.04cm}TP}(f)$&nbsp; ist eine Gaußfunktion mit Maximum bei&nbsp; $f_{ε} = f_{\rm M} - f_{\rm T}$.&nbsp; Aufgrund dieser Unsymmetrie ist $h_{\rm K,\hspace{0.04cm}TP}(t)$ komplex.
 *Dagegen ist $H_{\rm MKD}(f)$ weiterhin eine bezüglich $f = 0$ gerade Funktion mit reeller Impulsantwort $h_{\rm MKD}(t)$.
-*$H_{\rm MKD}(f)$ setzt sich dabei aus zwei Gaußfunktionen bei $± f_ε$ zusammen.
+*Dagegen ist $H_{\rm MKD}(f)$ weiterhin eine bezüglich $f = 0$ gerade Funktion mit reeller Impulsantwort $h_{\rm MKD}(t)$.&nbsp; $H_{\rm MKD}(f)$ setzt sich dabei aus zwei Gaußfunktionen bei $± f_ε$ zusammen.
-'''(4)'''&nbsp; Richtig ist natürlich die <u>erste Antwort.</u>
+'''(4)'''&nbsp; Richtig ist natürlich die&nbsp; <u>erste Antwort.</u>

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 [[Datei:P_ID1697__Dig_Z_4_3.png|right|frame|Gaußförmiger Bandpasskanal]]
 Für diese Aufgabe setzen wir voraus:
-*Zur Modulation wird binäre Phasenmodulation (BPSK) verwendet.
+*Zur Modulation wird binäre Phasenmodulation&nbsp; $\rm (BPSK)$&nbsp; verwendet.
 * Die Demodulation erfolgt frequenz– und phasensynchron.
-Bei trägerfrequenzmodulierter Übertragung muss der Kanalfrequenzgang &nbsp;$H_{\rm K}(f)$&nbsp; stets als Bandpass angesetzt werden. Die Kanalparameter sind zum Beispiel die Mittenfrequenz &nbsp;$f_{\rm M}$&nbsp; und die Bandbreite &nbsp;$\Delta f_{\rm K}$, wobei die Mittenfrequenz &nbsp;$f_{\rm M}$&nbsp; oft mit der Trägerfrequenz &nbsp;$f_{\rm T}$&nbsp; übereinstimmt.
+Bei trägerfrequenzmodulierter Übertragung muss der Kanalfrequenzgang &nbsp;$H_{\rm K}(f)$&nbsp; stets als Bandpass angesetzt werden.&nbsp; Die Kanalparameter sind zum Beispiel die Mittenfrequenz &nbsp;$f_{\rm M}$&nbsp; und die Bandbreite &nbsp;$\Delta f_{\rm K}$,&nbsp; wobei die Mittenfrequenz &nbsp;$f_{\rm M}$&nbsp; oft mit der Trägerfrequenz &nbsp;$f_{\rm T}$&nbsp; übereinstimmt.
-In dieser Aufgabe soll insbesondere von einem Gaußbandpass entsprechend der Grafik ausgegangen werden. Für dessen Frequenzgang gilt:
+In dieser Aufgabe soll insbesondere von einem Gaußbandpass entsprechend der Grafik ausgegangen werden.&nbsp; Für dessen Frequenzgang gilt:
 :$$H_{\rm K}(f) = {\rm exp} \left [ - \pi \cdot \left ( \frac {f - f_{\rm M} }{\Delta f_{\rm K}}\right )^2 \right ]
   +{\rm exp} \left [ - \pi \cdot \left ( \frac {f + f_{\rm M} }{\Delta f_{\rm K}}\right )^2 \right ]$$
-Zur einfacheren Beschreibung benutzt man oft den äquivalenten TP–Frequenzgang &nbsp;$H_{\rm K,TP}(f)$. Dieser ergibt sich aus &nbsp;$H_{\rm K}(f)$&nbsp; durch
+Zur einfacheren Beschreibung benutzt man oft den äquivalenten Tiefpass–Frequenzgang &nbsp;$H_{\rm K,TP}(f)$.&nbsp; Dieser ergibt sich aus &nbsp;$H_{\rm K}(f)$&nbsp; durch
 *Abschneiden der Anteile bei negativen Frequenzen,
 *Verschieben des Spektrums um &nbsp;$f_{\rm T}$&nbsp;  nach links.
-Im betrachteten Beispiel ergibt sich mit &nbsp;$f_{\rm T} = f_{\rm M}$&nbsp; für den äquivalenten TP–Frequenzgang:
+Im betrachteten Beispiel ergibt sich mit &nbsp;$f_{\rm T} = f_{\rm M}$&nbsp; für den äquivalenten Tiefpass–Frequenzgang:
 :$$ H_{\rm K,\hspace{0.04cm} TP}(f) = {\rm e}^ { - \pi \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\left ( {f }/{\Delta f_{\rm K}}\right )^2 }.$$
-Die entsprechende Zeitfunktion (Fourierrücktransformierte) lautet:
+Die entsprechende Zeitfunktion&nbsp; ("Fourierrücktransformierte")&nbsp; lautet:
 :$$ h_{\rm K,\hspace{0.04cm} TP}(t) = \Delta f_{\rm K} \cdot {\rm e}^ { - \pi \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\left ( {\Delta f_{\rm K}} \cdot t \right )^2 }.$$
 Zur Beschreibung eines phasensynchronen BPSK–Systems im Tiefpassbereich eignet sich aber auch der Frequenzgang
 :$$H_{\rm MKD}(f) = {1}/{2} \cdot \left [ H_{\rm K}(f-f_{\rm T}) + H_{\rm K}(f+f_{\rm T})\right ] ,$$
-wobei „MKD” für Modulator – Kanal – Demodulator steht. Häufig – aber nicht immer – sind &nbsp;$H_{\rm MKD}(f)$&nbsp; und &nbsp;$H_{\rm K,TP}(f)$&nbsp; identisch.
+wobei&nbsp; "MKD"&nbsp; für "Modulator – Kanal – Demodulator"&nbsp; steht.&nbsp; Häufig&nbsp; – aber nicht immer –&nbsp; sind &nbsp;$H_{\rm MKD}(f)$&nbsp; und &nbsp;$H_{\rm K,TP}(f)$&nbsp; identisch.
-''Hinweise:''
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation#Basisbandmodell_f.C3.BCr_ASK_und_BPSK|"Basisbandmodell für ASK und BPSK"]].
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 <quiz display=simple>
-{Geben Sie die Impulsantwort &nbsp;$h_{\rm K}(t)$&nbsp; des Gauß–Bandpasskanals an. Welcher (normierte) Wert ergibt sich für den Zeitpunkt &nbsp;$t = 0$?
+{Geben Sie die Impulsantwort &nbsp;$h_{\rm K}(t)$&nbsp; des Gauß–Bandpasskanals an.&nbsp; Welcher&nbsp; (normierte)&nbsp; Wert ergibt sich für den Zeitpunkt &nbsp;$t = 0$?
 |type="{}"}
 $ h_{\rm K}(t)/\Delta f_{\rm K} \  =  \ $ { 2 3% }
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 +Die Zeitfunktion &nbsp;$h_{\rm MKD}(t)$&nbsp; ist reell.
-{Welche Aussagen gelten unter der Voraussetzung $f_{\rm T} \neq f_{\rm M}$?
+{Welche Aussagen gelten unter der Voraussetzung&nbsp; $f_{\rm T} \neq f_{\rm M}$?
 |type="[]"}
 -$H_{\rm K,TP}(f)$&nbsp; und &nbsp;$H_{\rm MKD}(f)$&nbsp; stimmen vollständig überein.

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Für den Bandpass–Frequenzgang $H_{\rm K}(f)$ kann geschrieben werden:
-:$$H_{\rm K}(f) = H_{\rm K,\hspace{0.04cm} TP}(f) \star \left [ \delta (f - f_{\rm M}) + \delta (f + f_{\rm M}) \right ] .$$
+:$$H_{\rm K}(f) = H_{\rm K,\hspace{0.04cm} TP}(f) \star \big [ \delta (f - f_{\rm M}) + \delta (f + f_{\rm M}) \big ] .$$
-Die Fourierrücktransformierte des Klammerausdrucks liefert eine Cosinusfunktion der Frequenz $f_{\rm M}$ mit der Amplitude $2$. Nach dem Faltungssatz gilt somit:
+*Die Fourierrücktransformierte des Klammerausdrucks liefert eine Cosinusfunktion der Frequenz $f_{\rm M}$ mit der Amplitude $2$.
 :$$h_{\rm K}(t) = 2 \cdot \Delta f_{\rm K} \cdot {\rm exp} \left [ - \pi \cdot \left ( {\Delta f_{\rm K}} \cdot t \right )^2 \right ] \cdot \cos(2 \pi f_{\rm M} t ) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}h_{\rm K}(t = 0)/\Delta f_{\rm K} \hspace{0.1cm}\underline {= 2}.$$
-Das heißt: Die TP–Impulsantwort $h_{\rm K,\hspace{0.04cm}TP}(t)$ ist formgleich mit der Hüllkurve der BP–Impulsantwort $h_{\rm K}(t)$, aber doppelt so groß.
+*Das heißt: Die TP–Impulsantwort $h_{\rm K,\hspace{0.04cm}TP}(t)$ ist formgleich mit der Hüllkurve der BP–Impulsantwort $h_{\rm K}(t)$, aber doppelt so groß.
 '''(2)'''&nbsp;  Richtig sind die <u>Aussagen 2, 3 und 4:</u>
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 '''(3)'''&nbsp;  Richtig ist nur der <u>Lösungsvorschlag 4:</u>
 *Hier unterscheiden sich $H_{\rm K,\hspace{0.04cm}TP}(f)$ und $H_{\rm MKD}(f)$ auch bei den tiefen Frequenzen.
-*$H_{\rm K,\hspace{0.04cm}TP}(f)$ ist eine Gaußfunktion mit dem Maximum bei $f_{ε} = f_{\rm M} – f_{\rm T}$.
+*$H_{\rm K,\hspace{0.04cm}TP}(f)$ ist eine Gaußfunktion mit dem Maximum bei $f_{ε} = f_{\rm M} - f_{\rm T}$.
 *Aufgrund dieser Unsymmetrie ist $h_{\rm K,\hspace{0.04cm}TP}(t)$ komplex.
-*Dagegen ist $H_{\rm MKD}(f)$ weiterhin eine bezüglich $f = 0$ gerade Funktion mit reeller Impulsantwort $h_{\rm MKD}(t)$. $H_{\rm MKD}(f)$ setzt sich aus zwei Gaußfunktionen bei $± f_ε$ zusammen.
+*Dagegen ist $H_{\rm MKD}(f)$ weiterhin eine bezüglich $f = 0$ gerade Funktion mit reeller Impulsantwort $h_{\rm MKD}(t)$.

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 *Abschneiden der Anteile bei negativen Frequenzen,
 *Verschieben des Spektrums um &nbsp;$f_{\rm T}$&nbsp;  nach links.
 Im betrachteten Beispiel ergibt sich mit &nbsp;$f_{\rm T} = f_{\rm M}$&nbsp; für den äquivalenten TP–Frequenzgang:

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-Bei trägerfrequenzmodulierter Übertragung muss der Kanalfrequenzgang $H_{\rm K}(f)$ stets als Bandpass angesetzt werden. Die Kanalparameter sind zum Beispiel die Mittenfrequenz $f_{\rm M}$ und die Bandbreite $\Delta f_{\rm K}$, wobei die Mittenfrequenz $f_{\rm M}$ oft mit der Trägerfrequenz $f_{\rm T}$ übereinstimmt.
+Bei trägerfrequenzmodulierter Übertragung muss der Kanalfrequenzgang &nbsp;$H_{\rm K}(f)$&nbsp; stets als Bandpass angesetzt werden. Die Kanalparameter sind zum Beispiel die Mittenfrequenz &nbsp;$f_{\rm M}$&nbsp; und die Bandbreite &nbsp;$\Delta f_{\rm K}$, wobei die Mittenfrequenz &nbsp;$f_{\rm M}$&nbsp; oft mit der Trägerfrequenz &nbsp;$f_{\rm T}$&nbsp; übereinstimmt.
 In dieser Aufgabe soll insbesondere von einem Gaußbandpass entsprechend der Grafik ausgegangen werden. Für dessen Frequenzgang gilt:
@@ Zeile 15: / Zeile 15: @@
   +{\rm exp} \left [ - \pi \cdot \left ( \frac {f + f_{\rm M} }{\Delta f_{\rm K}}\right )^2 \right ]$$
-Zur einfacheren Beschreibung benutzt man oft den äquivalenten TP–Frequenzgang $H_{\rm K,TP}(f)$. Dieser ergibt sich aus $H_{\rm K}(f)$ durch
+Zur einfacheren Beschreibung benutzt man oft den äquivalenten TP–Frequenzgang &nbsp;$H_{\rm K,TP}(f)$. Dieser ergibt sich aus &nbsp;$H_{\rm K}(f)$&nbsp; durch
 *Abschneiden der Anteile bei negativen Frequenzen,
-*Verschieben des Spektrums um $f_{\rm T}$  nach links.
+*Verschieben des Spektrums um &nbsp;$f_{\rm T}$&nbsp;  nach links.
-Im betrachteten Beispiel ergibt sich mit $f_{\rm T} = f_{\rm M}$ für den äquivalenten TP–Frequenzgang:
+Im betrachteten Beispiel ergibt sich mit &nbsp;$f_{\rm T} = f_{\rm M}$&nbsp; für den äquivalenten TP–Frequenzgang:
 :$$ H_{\rm K,\hspace{0.04cm} TP}(f) = {\rm e}^ { - \pi \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\left ( {f }/{\Delta f_{\rm K}}\right )^2 }.$$
-Die entsprechende Zeitfunktion (Fouruerrücktransformierte) lautet:
+Die entsprechende Zeitfunktion (Fourierrücktransformierte) lautet:
 :$$ h_{\rm K,\hspace{0.04cm} TP}(t) = \Delta f_{\rm K} \cdot {\rm e}^ { - \pi \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\left ( {\Delta f_{\rm K}} \cdot t \right )^2 }.$$
 Zur Beschreibung eines phasensynchronen BPSK–Systems im Tiefpassbereich eignet sich aber auch der Frequenzgang
 :$$H_{\rm MKD}(f) = {1}/{2} \cdot \left [ H_{\rm K}(f-f_{\rm T}) + H_{\rm K}(f+f_{\rm T})\right ] ,$$
-wobei „MKD” für Modulator – Kanal – Demodulator steht. Häufig – aber nicht immer – sind $H_{\rm MKD}(f)$ und $H_{\rm K,TP}(f)$ identisch.
+wobei „MKD” für Modulator – Kanal – Demodulator steht. Häufig – aber nicht immer – sind &nbsp;$H_{\rm MKD}(f)$&nbsp; und &nbsp;$H_{\rm K,TP}(f)$&nbsp; identisch.
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation|Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp;  [[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation|Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation#Basisbandmodell_f.C3.BCr_ASK_und_BPSK|Basisbandmodell für ASK und BPSK]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation#Basisbandmodell_f.C3.BCr_ASK_und_BPSK|Basisbandmodell für ASK und BPSK]].
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 <quiz display=simple>
-{Geben Sie die Impulsantwort $h_{\rm K}(t)$ des Gauß–Bandpasskanals an. Welcher (normierte) Wert ergibt sich für den Zeitpunkt $t = 0$?
+{Geben Sie die Impulsantwort &nbsp;$h_{\rm K}(t)$&nbsp; des Gauß–Bandpasskanals an. Welcher (normierte) Wert ergibt sich für den Zeitpunkt &nbsp;$t = 0$?
 |type="{}"}
 $ h_{\rm K}(t)/\Delta f_{\rm K} \  =  \ $ { 2 3% }
-{Welche Aussagen gelten unter der Voraussetzung $f_{\rm T} = f_{\rm M}$?
+{Welche Aussagen gelten unter der Voraussetzung &nbsp;$f_{\rm T} = f_{\rm M}$?
 |type="[]"}
--$H_{\rm K,TP}(f)$ und $H_{\rm MKD}(f)$ stimmen vollständig überein.
+-$H_{\rm K,TP}(f)$&nbsp; und &nbsp;$H_{\rm MKD}(f)$&nbsp; stimmen vollständig überein.
-+$H_{\rm K,TP}(f)$ und $H_{\rm MKD}(f)$ sind für tiefe Frequenzen gleich.
++$H_{\rm K,TP}(f)$&nbsp; und &nbsp;$H_{\rm MKD}(f)$&nbsp; sind für tiefe Frequenzen gleich.
-+Die Zeitfunktion $h_{\rm K,TP}(t)$ ist reell.
++Die Zeitfunktion &nbsp;$h_{\rm K,TP}(t)$&nbsp; ist reell.
-+Die Zeitfunktion $h_{\rm MKD}(t)$ ist reell.
++Die Zeitfunktion &nbsp;$h_{\rm MKD}(t)$&nbsp; ist reell.
 {Welche Aussagen gelten unter der Voraussetzung $f_{\rm T} \neq f_{\rm M}$?
 |type="[]"}
--$H_{\rm K,TP}(f)$ und $H_{\rm MKD}(f)$ stimmen vollständig überein.
+-$H_{\rm K,TP}(f)$&nbsp; und &nbsp;$H_{\rm MKD}(f)$&nbsp; stimmen vollständig überein.
--$H_{\rm K,TP}(f)$ und $H_{\rm MKD}(f)$ sind für tiefe Frequenzen gleich.
+-$H_{\rm K,TP}(f)$&nbsp; und &nbsp;$H_{\rm MKD}(f)$&nbsp; sind für tiefe Frequenzen gleich.
--Die Zeitfunktion $h_{\rm K,TP}(t)$ ist reell.
+-Die Zeitfunktion &nbsp;$h_{\rm K,TP}(t)$&nbsp; ist reell.
-+Die Zeitfunktion $h_{\rm MKD}(t)$ ist reell.
++Die Zeitfunktion &nbsp;$h_{\rm MKD}(t)$&nbsp; ist reell.
 {Was sollte im Hinblick auf eine kleinere Bitfehlerwahrscheinlichkeit gelten?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 +$f_{\rm M} = f_{\rm T}$,
 - $f_{\rm M} \neq f_{\rm T}$.

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(kein Unterschied)