Aufgaben:Aufgabe 1.10: Einige Generatormatrizen - Versionsgeschichte

Guenter am 12. Juli 2022 um 10:54 Uhr

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Guenter am 12. Juli 2022 um 10:32 Uhr

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Guenter am 9. Mai 2019 um 16:45 Uhr

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2018-01-03T13:48:32Z

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2018-01-03T09:03:26Z

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Hussain am 20. Dezember 2017 um 11:10 Uhr

2017-12-20T11:10:04Z

Hussain am 20. Dezember 2017 um 11:08 Uhr

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	*Hier führt nicht nur  $\underline{u} = (0, 0, 0)$  zum Codewort  $(0, 0, 0, 0, 0, 0)$,  sondern auch  $\underline{u} = (1, 1, 1)$.		*Hier führt nicht nur  $\underline{u} = (0, 0, 0)$  zum Codewort  $(0, 0, 0, 0, 0, 0)$,  sondern auch  $\underline{u} = (1, 1, 1)$.

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die  <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp;  <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
-*Die Codewortlänge ist $n = $6  &nbsp;⇒  &nbsp;der $(5, \, 2)$–Code kommt nicht in Frage.
+*Die Codewortlänge ist&nbsp; $n = $6  &nbsp; ⇒  &nbsp; der&nbsp; $(5, \, 2)$–Code kommt nicht in Frage.
 *Bei einem $(6, \, 2)$–Code gibt es $2^2 = 4$ verschiedene Codeworte und beim $(6, \, 3)$–Code entsprechend $2^3 = 8$.
-*Durch die Angabe von nur zwei Codeworten lässt sich weder der $(6, \, 2)$–Code noch der $(6, \, 3)$–Code ausschließen.
+*Bei einem&nbsp; $(6, \, 2)$–Code gibt es&nbsp; $2^2 = 4$&nbsp; verschiedene Codeworte und beim&nbsp; $(6, \, 3)$–Code entsprechend&nbsp; $2^3 = 8$.
-'''(2)'''&nbsp;  Richtig ist der  <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
+'''(2)'''&nbsp;  Richtig ist der&nbsp;  <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
-*Da es sich um einen linearen Code handelt, muss die Modulo–$2$–Summe ebenfalls ein gültiges Codewort sein:
+*Da es sich um einen linearen Code handelt,&nbsp; muss die Modulo–$2$–Summe ebenfalls ein gültiges Codewort sein:
 :$$(0, 1, 0, 1, 0, 1) \oplus (1, 0, 0, 1, 1, 0) = (1, 1, 0, 0, 1, 1)\hspace{0.05cm}.$$
 *Ebenso das Nullwort:
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-'''(3)'''&nbsp; Richtig sind hier die <u>Aussagen 1 bis 3</u>:
+'''(3)'''&nbsp; Richtig sind hier die&nbsp; <u>Aussagen 1 bis 3</u>:
-*Basisvektoren der Generatormatrix $\mathbf{G}$ sind zum Beispiel die zwei gegebenen Codeworte, woraus sich auch die Prüfmatrix $\mathbf{H}$ bestimmen lässt:
+*Basisvektoren der Generatormatrix&nbsp; $\mathbf{G}$&nbsp; sind zum Beispiel die zwei gegebenen Codeworte,&nbsp; woraus sich auch die Prüfmatrix&nbsp; $\mathbf{H}$&nbsp; bestimmen lässt:
 :$${ \boldsymbol{\rm G}}_{(6,\hspace{0.05cm} 2)} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &1 &0 &1 &0 &1 \end{pmatrix}	\hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} { \boldsymbol{\rm H}}_{(6,\hspace{0.05cm} 2)} = \begin{pmatrix} 0 &0 &1 &0 &0 &0\\ 1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 1 &0 &0 &0 &1 &0\\ 0 &1 &0 &0 &0 &1 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.$$
-*Allgemein wird durch die $k$ Basisvektoren der Generatormatrix $\mathbf{G}$ ein $k$–dimensionaler Untervektorraum aufgespannt und durch die $m×n$–Matrix $\mathbf{H}$ (mit $m = n - k$) ein hierzu orthogonaler Untervektorraum der Dimension $m$.
+*Allgemein wird durch die&nbsp; $k$&nbsp; Basisvektoren der Generatormatrix&nbsp; $\mathbf{G}$&nbsp; ein&nbsp; $k$–dimensionaler Untervektorraum aufgespannt und durch die&nbsp; $m×n$–Matrix&nbsp; $\mathbf{H}$&nbsp; (mit&nbsp; $m = n - k)$&nbsp; ein hierzu orthogonaler Untervektorraum der Dimension&nbsp; $m$.
-<u>Anmerkung:</u> Der hier angegebene Code
+<u>Anmerkung:</u> &nbsp; Der hier angegebene Code
-:$$\mathcal{C}_{(6,\hspace{0.05cm} 2)} = \{ (0, 0, 0, 0, 0, 0), \hspace{0.1cm}(0, 1, 0, 1, 0, 1), (1, 0, 0, 1, 1, 0), \hspace{0.1cm}(1, 1, 0, 0, 1, 1) \}$$
+:$$\mathcal{C}_{(6,\hspace{0.05cm} 2)} = \{ (0, 0, 0, 0, 0, 0), \hspace{0.3cm}(0, 1, 0, 1, 0, 1),\hspace{0.3cm} (1, 0, 0, 1, 1, 0), \hspace{0.3cm}(1, 1, 0, 0, 1, 1) \}$$
-ist nicht sonderlich effektiv, da $p_{1} = x_{3}$ stets $0$ ist. Durch Punktierung dieses redundanten Bits kommt man zum Code
+ist nicht sonderlich effektiv,&nbsp; da&nbsp; $p_{1} = x_{3}$&nbsp; stets&nbsp; $0$&nbsp; ist.&nbsp; Durch Punktierung dieses redundanten Bits kommt man zum Code
-:$$\mathcal{C}_{(5,\hspace{0.05cm} 2)} = \{ (0, 0, 0, 0, 0), \hspace{0.1cm}(0, 1, 1, 0, 1), (1, 0, 1, 1, 0), \hspace{0.1cm}(1, 1, 0, 1, 1) \}$$
+:$$\mathcal{C}_{(5,\hspace{0.05cm} 2)} = \{ (0, 0, 0, 0, 0), \hspace{0.3cm}(0, 1, 1, 0, 1),\hspace{0.3cm} (1, 0, 1, 1, 0), \hspace{0.3cm}(1, 1, 0, 1, 1) \}$$
-mit gleicher Minimaldistanz $d_{\rm min} = 3$, aber größerer Coderate $R = 2/5$ gegenüber $R = 1/3$.
+mit gleicher Minimaldistanz&nbsp; $d_{\rm min} = 3$,&nbsp; aber größerer Coderate&nbsp; $R = 2/5$&nbsp; gegenüber&nbsp; $R = 1/3$.
-'''(4)'''&nbsp;  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
+'''(4)'''&nbsp;  Richtig sind die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
-*Die drei Zeilen $g_1, \ g_2$ und $g_3$ der Matrix $\mathbf{G}_{\rm A}$ sind als Basisvektoren geeignet, da sie linear unabhängig sind, das heißt, es gilt
+*Die drei Zeilen&nbsp; $g_1, \ g_2$ und $g_3$&nbsp; der Matrix&nbsp; $\mathbf{G}_{\rm A}$&nbsp; sind als Basisvektoren geeignet,&nbsp; da sie linear unabhängig sind,&nbsp; das heißt,&nbsp; es gilt
 :$$\underline{g}_1 \oplus \underline{g}_2 \hspace{-0.15cm} \ \ne \ \hspace{-0.15cm} \underline{g}_3\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}
 \underline{g}_1 \oplus \underline{g}_3 \hspace{-0.15cm} \ \ne \ \hspace{-0.15cm} \underline{g}_2\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}
 \underline{g}_2 \oplus \underline{g}_3 \hspace{-0.15cm} \ \ne \ \hspace{-0.15cm} \underline{g}_1\hspace{0.05cm}.$$
-*Gleiches gilt für Matrix $\mathbf{G}_{\rm B}$. Die Basisvektoren sind hier so gewählt, dass der Code auch systematisch ist.
+*Gleiches gilt für Matrix&nbsp; $\mathbf{G}_{\rm B}$.&nbsp; Die Basisvektoren sind hier so gewählt,&nbsp; dass der Code auch systematisch ist.
-*Für die letzte Generatormatrix gilt: $\underline{g}_{1}⊕\underline{g}_{2} = \underline{g}_{3}$ &nbsp; ⇒ &nbsp; der Rang der Matrix (2) ist kleiner als deren Ordnung (3).
+*Für die letzte Generatormatrix gilt:&nbsp; $\underline{g}_{1}⊕\underline{g}_{2} = \underline{g}_{3}$ &nbsp; ⇒ &nbsp; der Rang der Matrix&nbsp; $(2)$&nbsp; ist kleiner als deren Ordnung&nbsp; $(3)$.
 *Hier führt nicht nur $\underline{u} = (0, 0, 0)$ zum Codewort $(0, 0, 0, 0, 0, 0)$, sondern auch $\underline{u} = (1, 1, 1)$.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID2404__KC_A_1_10.png|right|frame|Betrachtete Generatormatrizen]]
-Wir betrachten nun verschiedene Binärcodes einheitlicher Länge&nbsp; $n$. Alle Codes der Form
+Wir betrachten nun verschiedene Binärcodes einheitlicher Länge&nbsp; $n$.&nbsp; Alle Codes der Form
 :$$\underline{x} \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} ( x_1, x_2, \ \text{...} \  \hspace{0.05cm}, x_n) \hspace{0.5cm}\text{mit}
 \hspace{0.5cm} x_i \hspace{-0.15cm}\ \in \ \hspace{-0.15cm} \{ 0, 1 \},\hspace{0.2cm} i = 1, \hspace{0.05cm} \text{...} \ \hspace{0.05cm}, n$$
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 lassen sich in einem&nbsp; $n$–dimensionalen Vektorraum darstellen und interpretieren &nbsp; ⇒ &nbsp; ${\rm GF}(2^n)$.
-Durch eine&nbsp; $k×n$–Generatormatrix&nbsp; $\mathbf{G}$&nbsp; (also eine Matrix mit&nbsp; $k$&nbsp; Zeilen und&nbsp; $n$&nbsp; Spalten) ergibt sich ein&nbsp; $(n, \, k)$–Code, allerdings nur dann, wenn der Rang (englisch: &nbsp; ''Rank'') der Matrix&nbsp; $\mathbf{G}$&nbsp; ebenfalls gleich&nbsp; $k$&nbsp; ist. Weiter gilt:
+Durch eine&nbsp; $k×n$–Generatormatrix&nbsp; $\mathbf{G}$&nbsp; $($also eine Matrix mit&nbsp; $k$&nbsp; Zeilen und&nbsp; $n$&nbsp; Spalten$)$&nbsp; ergibt sich ein&nbsp; $(n, \, k)$–Code,&nbsp; allerdings nur dann,&nbsp; wenn der&nbsp; "Rang"&nbsp; $($englisch: &nbsp; "Rank")&nbsp; der Matrix&nbsp; $\mathbf{G}$&nbsp; ebenfalls gleich&nbsp; $k$&nbsp; ist.&nbsp; Weiter gilt:
 *Jeder Code&nbsp; $\mathcal{C}$&nbsp; spannt einen&nbsp; $k$–dimensionalen linearen Untervektorraum des Galoisfelds&nbsp; ${\rm GF}(2^n)$&nbsp; auf.
-*Als Basisvektoren dieses Untervektorraums können&nbsp; $k$&nbsp; unabhängige Codeworte von&nbsp; $\mathcal{C}$&nbsp; verwendet werden. Eine weitere Einschränkung gibt es für die Basisvektoren nicht.
+*Als Basisvektoren dieses Untervektorraums können&nbsp; $k$&nbsp; unabhängige Codeworte von&nbsp; $\mathcal{C}$&nbsp; verwendet werden.&nbsp; Eine weitere Einschränkung gibt es für die Basisvektoren nicht.
-*Die Prüfmatrix&nbsp; $\mathbf{H}$&nbsp; spannt ebenfalls einen Untervektorraum von&nbsp; ${\rm GF}(2^n)$&nbsp; auf. Dieser hat aber die Dimension&nbsp; $m = n - k$&nbsp; und ist orthogonal zum Untervektorraum, der auf&nbsp; $\mathbf{G}$&nbsp; basiert.
+*Die Prüfmatrix&nbsp; $\mathbf{H}$&nbsp; spannt ebenfalls einen Untervektorraum von&nbsp; ${\rm GF}(2^n)$&nbsp; auf.&nbsp; Dieser hat aber die Dimension&nbsp; $m = n - k$&nbsp; und ist orthogonal zum Untervektorraum,&nbsp; der auf&nbsp; $\mathbf{G}$&nbsp; basiert.
-*Bei einem linearen Code gilt&nbsp; $\underline{x} = \underline{u} · \boldsymbol{ {\rm G}}$, wobei&nbsp; $\underline{u} = (u_{1}, \, u_{2}, \, \text{...} \, , \, u_{k})$&nbsp; das Informationswort angibt. Ein systematischer Code liegt vor, wenn&nbsp; $x_{1} = u_{1}, \, \text{...} \, , \, x_{k} = u_{k}$&nbsp; gilt.
+*Bei einem linearen Code gilt&nbsp; $\underline{x} = \underline{u} · \boldsymbol{ {\rm G}}$,&nbsp; wobei&nbsp; $\underline{u} = (u_{1}, \, u_{2}, \, \text{...} \, , \, u_{k})$&nbsp; das Informationswort angibt.&nbsp; Ein systematischer Code liegt vor,&nbsp; wenn&nbsp; $x_{1} = u_{1}, \, \text{...} \, , \, x_{k} = u_{k}$&nbsp; gilt.
-*Bei einem systematischen Code besteht ein einfacher Zusammenhang zwischen&nbsp; $\mathbf{G}$&nbsp; und&nbsp; $\mathbf{H}$. Nähere Angaben hierzu finden Sie im&nbsp; [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Systematische_Codes|Theorieteil]].
+*Bei einem systematischen Code besteht ein einfacher Zusammenhang zwischen&nbsp; $\mathbf{G}$&nbsp; und&nbsp; $\mathbf{H}$.&nbsp; Nähere Angaben hierzu finden Sie im&nbsp; [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Systematische_Codes|"Theorieteil"]].
-''Hinweise'' :
+* Für die gesamte Aufgabe gilt&nbsp; $n = 6$.
-*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes|Allgemeine Beschreibung linearer Blockcodes]].
+:$$   (  0, 0, 0, 0, 0, 0), \hspace{0.1cm}(0, 0, 1, 0, 1, 1), \hspace{0.3cm}(0, 1, 0, 1, 0, 1), \hspace{0.3cm}(0, 1, 1, 1, 1, 0), \hspace{0.3cm} (  1, 0, 0, 1, 1, 0), \hspace{0.3cm}(1, 0, 1, 1, 0, 1), \hspace{0.3cm}(1, 1, 0, 0, 1, 1), \hspace{0.3cm}(1, 1, 1, 0, 0, 0)\hspace{0.05cm}.$$
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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Bekannt sind nur die zwei Codeworte&nbsp; $(0, 1, 0, 1, 0, 1)$&nbsp; und&nbsp; $(1, 0, 0, 1, 1, 0)$&nbsp; eines linearen Codes. Welche Aussagen sind zutreffend?
+{Bekannt sind nur die zwei Codeworte&nbsp; $(0, 1, 0, 1, 0, 1)$&nbsp; und&nbsp; $(1, 0, 0, 1, 1, 0)$&nbsp; eines linearen Codes.&nbsp; Welche Aussagen sind zutreffend?
 |type="[]"}
 - Es könnte sich um einen&nbsp; $(5, \, 2)$–Code handeln.
@@ Zeile 53: / Zeile 53: @@
-{Welche Aussagen gelten für diesen&nbsp; $(6, \, 2)$–Code $C$?
+{Welche Aussagen gelten für diesen&nbsp; $(6, \, 2)$–Code&nbsp; $C$?
 |type="[]"}
 + Für alle Codeworte&nbsp; $(i = 1,\hspace{0.05cm} \text{ ...} \  , 4)$&nbsp; gilt&nbsp; $\underline{x}_{i} \in {\rm GF}(2^6)$.

@@ Zeile 79: / Zeile 79: @@
 *Bei einem $(6, \, 2)$–Code gibt es $2^2 = 4$ verschiedene Codeworte und beim $(6, \, 3)$–Code entsprechend $2^3 = 8$.
 *Durch die Angabe von nur zwei Codeworten lässt sich weder der $(6, \, 2)$–Code noch der $(6, \, 3)$–Code ausschließen.
@@ Zeile 86: / Zeile 87: @@
 *Ebenso das Nullwort:
 :$$(0, 1, 0, 1, 0, 1) \oplus (0, 1, 0, 1, 0, 1) = (0, 0, 0, 0, 0, 0)\hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 101: / Zeile 103: @@
 mit gleicher Minimaldistanz $d_{\rm min} = 3$, aber größerer Coderate $R = 2/5$ gegenüber $R = 1/3$.

@@ Zeile 4: / Zeile 4: @@
 [[Datei:P_ID2404__KC_A_1_10.png|right|frame|Betrachtete Generatormatrizen]]
-Wir betrachten nun verschiedene Binärcodes einheitlicher Länge $n$. Alle Codes der Form
+Wir betrachten nun verschiedene Binärcodes einheitlicher Länge&nbsp; $n$. Alle Codes der Form
 :$$\underline{x} \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} ( x_1, x_2, \ \text{...} \  \hspace{0.05cm}, x_n) \hspace{0.5cm}\text{mit}
 \hspace{0.5cm} x_i \hspace{-0.15cm}\ \in \ \hspace{-0.15cm} \{ 0, 1 \},\hspace{0.2cm} i = 1, \hspace{0.05cm} \text{...} \ \hspace{0.05cm}, n$$
-lassen sich in einem $n$–dimensionalen Vektorraum darstellen und interpretieren &nbsp; ⇒ &nbsp; ${\rm GF}(2^n)$.
+lassen sich in einem&nbsp; $n$–dimensionalen Vektorraum darstellen und interpretieren &nbsp; ⇒ &nbsp; ${\rm GF}(2^n)$.
-Durch eine $k×n$–Generatormatrix $\mathbf{G}$ (also eine Matrix mit $k$ Zeilen und $n$ Spalten) ergibt sich ein $(n, \, k)$–Code, allerdings nur dann, wenn der Rang (englisch: ''Rank'') der Matrix $\mathbf{G}$ ebenfalls gleich $k$ ist. Weiter gilt:
+Durch eine&nbsp; $k×n$–Generatormatrix&nbsp; $\mathbf{G}$&nbsp; (also eine Matrix mit&nbsp; $k$&nbsp; Zeilen und&nbsp; $n$&nbsp; Spalten) ergibt sich ein&nbsp; $(n, \, k)$–Code, allerdings nur dann, wenn der Rang (englisch: &nbsp; ''Rank'') der Matrix&nbsp; $\mathbf{G}$&nbsp; ebenfalls gleich&nbsp; $k$&nbsp; ist. Weiter gilt:
-*Jeder Code $\mathcal{C}$ spannt einen $k$–dimensionalen linearen Untervektorraum des Galoisfeldes ${\rm GF}(2^n)$ auf.
+*Jeder Code&nbsp; $\mathcal{C}$&nbsp; spannt einen&nbsp; $k$–dimensionalen linearen Untervektorraum des Galoisfelds&nbsp; ${\rm GF}(2^n)$&nbsp; auf.
-*Als Basisvektoren dieses Untervektorraums können $k$ unabhängige Codeworte von $\mathcal{C}$ verwendet werden. Eine weitere Einschränkung gibt es für die Basisvektoren nicht.
+*Als Basisvektoren dieses Untervektorraums können&nbsp; $k$&nbsp; unabhängige Codeworte von&nbsp; $\mathcal{C}$&nbsp; verwendet werden. Eine weitere Einschränkung gibt es für die Basisvektoren nicht.
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 ''Hinweise'' :
-*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes|Allgemeine Beschreibung linearer Blockcodes]].
+*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes|Allgemeine Beschreibung linearer Blockcodes]].
-* Für die gesamte Aufgabe gilt $n = 6$.
+* Für die gesamte Aufgabe gilt&nbsp; $n = 6$.
-*In der Teilaufgabe (4) soll geklärt werden, welche der Matrizen $\boldsymbol{ {\rm G}}_{\rm A}, \ \boldsymbol{ {\rm G}}_{\rm B}$ bzw. $ \boldsymbol{ {\rm G}}_{\rm C}$ zu einem $(6, \, 3)$–Blockcode mit den nachfolgend aufgeführten Codeworten führen:
+*In der Teilaufgabe '''(4)''' soll geklärt werden, welche der Matrizen&nbsp; $\boldsymbol{ {\rm G}}_{\rm A}, \ \boldsymbol{ {\rm G}}_{\rm B}$ bzw. $ \boldsymbol{ {\rm G}}_{\rm C}$&nbsp; zu einem&nbsp;$(6, \, 3)$–Blockcode mit den nachfolgend aufgeführten Codeworten führen:
 :$$   (  0, 0, 0, 0, 0, 0), \hspace{0.1cm}(0, 0, 1, 0, 1, 1), \hspace{0.1cm}(0, 1, 0, 1, 0, 1), \hspace{0.1cm}(0, 1, 1, 1, 1, 0), \hspace{0.1cm} (  1, 0, 0, 1, 1, 0), \hspace{0.1cm}(1, 0, 1, 1, 0, 1), \hspace{0.1cm}(1, 1, 0, 0, 1, 1), \hspace{0.1cm}(1, 1, 1, 0, 0, 0)\hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 36: / Zeile 39: @@
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Bekannt sind nur die zwei Codeworte $(0, 1, 0, 1, 0, 1)$ und $(1, 0, 0, 1, 1, 0)$ eines linearen Codes. Welche Aussagen sind zutreffend?
+{Bekannt sind nur die zwei Codeworte&nbsp; $(0, 1, 0, 1, 0, 1)$&nbsp; und&nbsp; $(1, 0, 0, 1, 1, 0)$&nbsp; eines linearen Codes. Welche Aussagen sind zutreffend?
 |type="[]"}
-- Es könnte sich um einen $(5, \, 2)$–Code handeln.
+- Es könnte sich um einen&nbsp; $(5, \, 2)$–Code handeln.
-+ Es könnte sich um einen $(6, \, 2)$–Code handeln.
++ Es könnte sich um einen&nbsp; $(6, \, 2)$–Code handeln.
-+ Es könnte sich um einen $(6, \, 3)$–Code handeln.
++ Es könnte sich um einen&nbsp; $(6, \, 3)$–Code handeln.
-{Wie lauten die vier Codeworte des linearen $(6, \, 2)$–Codes explizit?
+{Wie lauten die vier Codeworte des linearen&nbsp; $(6, \, 2)$–Codes explizit?
 |type="[]"}
 - $(0 0 1 0 1 1), \ (0 1 0 1 0 1), \ (1 0 0 1 1 0), \ (1 1 0 0 1 1).$
@@ Zeile 50: / Zeile 53: @@
-{Welche Aussagen gelten für diesen $(6, \, 2)$–Code $C$?
+{Welche Aussagen gelten für diesen&nbsp; $(6, \, 2)$–Code $C$?
 |type="[]"}
-+ Für alle Codeworte $(i = 1,\hspace{0.05cm} \text{ ...} \  , 4)$ gilt $\underline{x}_{i} \in {\rm GF}(2^6)$.
++ Für alle Codeworte&nbsp; $(i = 1,\hspace{0.05cm} \text{ ...} \  , 4)$&nbsp; gilt&nbsp; $\underline{x}_{i} \in {\rm GF}(2^6)$.
-+ $C$ ist ein 2–dimensionaler linearer Untervektorraum von ${\rm GF}(2^6)$.
++ $C$&nbsp; ist ein zweidimensionaler linearer Untervektorraum von&nbsp; ${\rm GF}(2^6)$.
-+ $\mathbf{G}$ gibt Basisvektoren dieses Untervektorraumes ${\rm GF} (2^2)$ an.
++ $\mathbf{G}$&nbsp; gibt Basisvektoren dieses Untervektorraumes&nbsp; ${\rm GF} (2^2)$&nbsp; an.
-- $\mathbf{G}$ und $\mathbf{H}$ sind jeweils $2×6$–Matrizen.
+- $\mathbf{G}$&nbsp; und&nbsp; $\mathbf{H}$&nbsp; sind jeweils&nbsp; $2×6$–Matrizen.
-{Welche der in der Grafik angegebenen Generatormatrizen führen zu einem $(6, \, 3)$–Code?
+{Welche der in der Grafik angegebenen Generatormatrizen führen zu einem&nbsp; $(6, \, 3)$–Code?
 |type="[]"}
-+ Die Generatormatrix $\boldsymbol{ {\rm G}}_{\rm A}$,
++ Die Generatormatrix&nbsp; $\boldsymbol{ {\rm G}}_{\rm A}$,
-+ die Generatormatrix $\boldsymbol{ {\rm G}}_{\rm B}$,
++ die Generatormatrix&nbsp; $\boldsymbol{ {\rm G}}_{\rm B}$,
-- die Generatormatrix $\boldsymbol{ {\rm G}}_{\rm C}$.
+- die Generatormatrix&nbsp; $\boldsymbol{ {\rm G}}_{\rm C}$.

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 {{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Allgemeine Beschreibung linearer Blockcodes
 }}
-[[Datei:P_ID2404__KC_A_1_10.png|right|frame|Betrachtete 3&times6–Generatormatrizen]]
+[[Datei:P_ID2404__KC_A_1_10.png|right|frame|Betrachtete $3&times;6$–Generatormatrizen]]
 Wir betrachten nun verschiedene Binärcodes einheitlicher Länge $n$. Alle Codes der Form

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-'''(4)'''&nbsp; [[Datei:P_ID2405__KC_A_1_10d_neu.png|right|frame|Codes gemäß $\mathbf{G}_{\rm A}, \ \mathbf{G}_{\rm B}, \ \mathbf{G}_{\rm C}$]]
+'''(4)'''&nbsp; [[Datei:P_ID2405__KC_A_1_10d_neu.png|right|frame|Codes gemäß $\mathbf{G}_{\rm A}, \ \mathbf{G}_{\rm B}, \ \mathbf{G}_{\rm C}$]] Die drei Zeilen $g_1, \ g_2$ und $g_3$ der Matrix $\mathbf{G}_{\rm A}$ sind als Basisvektoren geeignet, da sie linear unabhängig sind, das heißt, es gilt
 :$$\underline{g}_1 \oplus \underline{g}_2 \hspace{-0.15cm} \ \ne \ \hspace{-0.15cm} \underline{g}_3\hspace{0.05cm},$$
 :$$\underline{g}_1 \oplus \underline{g}_3 \hspace{-0.15cm} \ \ne \ \hspace{-0.15cm} \underline{g}_2\hspace{0.05cm},$$