Aufgaben:Aufgabe 1.1: Würfelspiel Mäxchen - Versionsgeschichte

Guenter am 8. November 2019 um 15:12 Uhr

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Guenter am 8. November 2019 um 15:11 Uhr

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Guenter am 8. November 2019 um 14:54 Uhr

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Guenter am 30. Juli 2018 um 15:38 Uhr

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Guenter am 30. Juli 2018 um 15:27 Uhr

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Guenter am 30. Juli 2018 um 15:25 Uhr

2018-07-30T15:25:04Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 3. Mai 2018 um 09:47 Uhr

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2018-01-03T13:25:40Z

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−	'''(6)'''  Die Wahrscheinlichkeit, dass  $Y$  gewinnt, wenn  $X$  die „53” vorgelegt hat, ist  $5/9\; \underline{\approx 0.555}$. <br>Die Musterlösung dieser Teilaufgabe ist in einem  [[Würfelspiel_„Mäxchen”_(Lernvideo)\|Kurzvideo]]  zusammengefasst.	+	'''(6)'''  Die Wahrscheinlichkeit, dass  $Y$  gewinnt, wenn  $X$  die „53” vorgelegt hat, ist  $5/9\; \underline{\approx 0.555}$. <br>Die Musterlösung dieser Teilaufgabe ist in einem  [[Würfelspiel_„Mäxchen”_(Lernvideo)\|$\rm Kurzvideo$]]  zusammengefasst.

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; <u>Der Spieler X ist im Vorteil</u>, da ihn der Spieler $Y$ überbieten muss. Das Spiel wäre zum Beispiel dann fair, wenn es bei exakt gleichen Würfen als &bdquo;Unentschieden&rdquo; gewertet würde. Über einen längeren Zeitraum würden sich allerdings auch dann gleiche Gewinnchancen ergeben, wenn $X$ und $Y$ abwechselnd beginnen.
+'''(1)'''&nbsp; <u>Der Spieler&nbsp; $X$&nbsp; ist im Vorteil</u>, da ihn der Spieler&nbsp; $Y$&nbsp; überbieten muss.&nbsp; Das Spiel wäre zum Beispiel dann fair, wenn es bei exakt gleichen Würfen als &bdquo;Unentschieden&rdquo; gewertet würde.&nbsp; Über einen längeren Zeitraum werden sich allerdings auch dann gleiche Gewinnchancen ergeben, wenn&nbsp; $X$&nbsp; und&nbsp; $Y$&nbsp; abwechselnd beginnen.
-'''(2)'''&nbsp; Es sind $\underline{I = 21}$ verschiedene Resultate möglich. Diese sind (beim niedrigsten beginnend): &nbsp; 31, 32, 41, 42, 43, 51, 52, 53, 54, 61, 62, 63, 64, 65, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 21.
+'''(2)'''&nbsp; Es sind&nbsp; $\underline{I = 21}$&nbsp; verschiedene Resultate möglich.&nbsp; Diese sind (beim niedrigsten beginnend):
-'''(3)'''&nbsp; Die 21 möglichen Resultate dieses Würfelspiels sind allerdings nicht gleichwahrscheinlich, deshalb können die Wahrscheinlichkeiten auch nicht nach der klassischen Definition (das Ergebnis wäre $1/21$) ermittelt werden.
+'''(3)'''&nbsp; Die&nbsp; $21$&nbsp; möglichen Resultate dieses Würfelspiels sind allerdings nicht gleichwahrscheinlich, deshalb können die Wahrscheinlichkeiten auch nicht nach der klassischen Definition&nbsp; $($das Ergebnis wäre&nbsp; $1/21)$&nbsp; ermittelt werden.
+*Macht man zumindest gedanklich eine Unterscheidung zwischen den Würfeln, zum Beispiel durch einen blauen &nbsp;$(B)$&nbsp; und einen roten &nbsp;$(R)$&nbsp; Würfel, so gibt es&nbsp; $6^{2} = 36$&nbsp; gleichwahrscheinliche Ereignisse, unter Anderem das Ereignis&nbsp; ${\rm Pr\big[Sechser-Pasch\big]} = (B = 6) \cap (R = 6)$.
-Macht man zumindest gedanklich eine Unterscheidung zwischen den Würfeln, zum Beispiel durch einen blauen ($B$) und einen roten ($R$) Würfel, so gibt es $6^{2} = 36$ gleichwahrscheinliche Ereignisse, unter Anderem das Ereignis ${\rm Pr\big[Sechser-Pasch\big]} = (B = 6) \cap (R = 6)$. Bei beiden Würfeln ist die Wahrscheinlichkeit für eine „6“ gleich $1/6$. Da die Augenzahlen der beiden Würfel natürlich statistisch unabhängig sind, ist
+*Bei beiden Würfeln ist die Wahrscheinlichkeit für eine „6“ gleich&nbsp; $1/6$. Da die Augenzahlen der beiden Würfel natürlich statistisch unabhängig sind, ist
 :$${\rm Pr\big[Sechser-Pasch\big] = Pr}(B = 6 \cap R = 6) = 1/36 \;\underline{= 0.0278}.$$
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-:$${\rm Pr\big[irgendein Pasch\big] = Pr}(B = R) = K/M = 1/6 \; \underline{= 0.1667}.$$
+'''(4)'''&nbsp; Diese Wahrscheinlichkeit kann mit&nbsp; $K = 6$&nbsp; und&nbsp; $M = 36$&nbsp; wie folgt angegeben werden:
 '''(5)'''&nbsp; Analog ist die Wahrscheinlichkeit für das Mäxchen mit $K = 2$ und $M = 36$ berechenbar:
 :$${\rm Pr\big[Mäxchen\big] = Pr}(B = 1 \cap R = 2) + {\rm Pr}(b = 2 \cap R = 1) = 1/18 \; \underline{= 0.0556}.$$
-[[Datei:P_ID191__Sto_A1_1_g.png|right|400px|Summe zweier Würfel]]
+'''(6)'''&nbsp; Die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $Y$&nbsp; gewinnt, wenn&nbsp; $X$&nbsp; die „53” vorgelegt hat, ist&nbsp; $5/9\; \underline{\approx 0.555}$. <br>Die Musterlösung dieser Teilaufgabe  ist in einem&nbsp;   [[Würfelspiel_„Mäxchen”_(Lernvideo)|Kurzvideo]]&nbsp; zusammengefasst.
 '''(7)'''&nbsp; Zur Lösung der letzten Teilaufgabe gehen wir wieder von einer zweidimensionalen Darstellung aus und reihen die Matrixelemente entsprechend ihren Wertigkeiten (siehe Grafik). Daraus ist zu ersehen:
-*Mit der Vorgabe „$65$” lässt man dem Gegenspieler nur eine Gewinnchance von $8/36 = 0.222$.
+*Mit der Vorgabe&nbsp; „$65$”&nbsp; lässt man dem Gegenspieler nur eine Gewinnchance von&nbsp; $8/36 = 0.222$.
-*Damit ist die eigene Gewinnchance etwa $77.8\%$.
+*Damit ist die eigene Gewinnchance etwa&nbsp; $77.8\%$.
-*Mit „$64$” wäre die Gewinnchance von Spieler $X$ dagegen nur ca. $72.2\%$. Die richtige Lösung ist somit $R_\min\; \underline{ = 65}$.
+*Mit&nbsp; „$64$”&nbsp; wäre die Gewinnchance von Spieler&nbsp; $X$&nbsp; dagegen nur ca.&nbsp; $72.2\%$.
 {{ML-Fuß}}

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 ==A1.1 Würfelspiel Mäxchen==
 [[Datei:P_ID3__Sto_A1_1.jpg|right|frame|Zum Würfelspiel &bdquo;Mäxchen&rdquo;]]
-Beim Würfelspiel &bdquo;Mäxchen&rdquo; wird jeweils mit zwei Würfeln geworfen. Die höhere Augenzahl der beiden Würfel wird mit $10$ multipliziert und dann die niedrigere Augenzahl dazu addiert. Beispielsweise liefert eine „2“ und eine „4“ das Spielresultat $42$ und eine „5“ und eine „6“ das Ergebnis $65$. Das kleinstmögliche Resultat eines Wurfes ist somit $31$.  Weiter gelten folgende Regeln:
+Beim Würfelspiel &bdquo;Mäxchen&rdquo; wird jeweils mit zwei Würfeln geworfen. Die höhere Augenzahl der beiden Würfel wird mit&nbsp; $10$&nbsp; multipliziert und dann die niedrigere Augenzahl dazu addiert. Beispielsweise liefert eine „2“ und eine „4“ das Spielresultat&nbsp; $42$&nbsp; und eine „5“ und eine „6“ das Ergebnis&nbsp; $65$. Das kleinstmögliche Resultat eines Wurfes ist somit&nbsp; $31$.  Weiter gelten folgende Regeln:
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Einige_grundlegende_Definitionen | Einige grundlegende Definitionen der Wahrscheinlichkeitsrechnung]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Einige_grundlegende_Definitionen | Einige grundlegende Definitionen der Wahrscheinlichkeitsrechnung]].
-*Die Musterlösung ist in einem  [[Würfelspiel_„Mäxchen”_(Lernvideo)|Kurzvideo]] zusammengefasst.
+*Die Musterlösung ist in einem&nbsp;  [[Würfelspiel_„Mäxchen”_(Lernvideo)|Kurzvideo]]&nbsp; zusammengefasst.
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 <quiz display=simple>
-{Haben $X$ und $Y$ gleiche Gewinnchancen? Wenn Sie der Meinung sind, dass das Spiel unfair ist: Wie könnte man das Spiel fair gestalten?
+{Haben&nbsp; $X$&nbsp; und&nbsp; $Y$&nbsp; gleiche Gewinnchancen?&nbsp; Wenn Sie der Meinung sind, dass das Spiel unfair ist:&nbsp; Wie könnte man das Spiel fair gestalten?
 |type="[]"}
-- Die Spieler $X$ und $Y$ haben gleiche Chancen.
+- Die Spieler&nbsp; $X$&nbsp; und&nbsp; $Y$&nbsp; haben gleiche Chancen.
-+ Der Spieler $X$ ist im Vorteil.
++ Der Spieler&nbsp; $X$&nbsp; ist im Vorteil.
-- Der Spieler $Y$ ist im Vorteil.
+- Der Spieler&nbsp; $Y$&nbsp; ist im Vorteil.
-{Wieviele unterschiedliche Resultate $(I)$ sind bei diesem Spiel möglich?
+{Wieviele unterschiedliche Resultate&nbsp; $(I)$&nbsp; sind bei diesem Spiel möglich?
 |type="{}"}
 $I \ =\ $  { 21 }
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 {Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen Sechser-Pasch?
 |type="{}"}
-$\rm Pr[Sechser-Pasch]\ =\ $ { 0.0278 3% }
+$\rm Pr\big[Sechser-Pasch\big]\ =\ $ { 0.0278 3% }
 {Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man &bdquo;irgendeinen&rdquo; Pasch würfelt?
 |type="{}"}
-$\rm Pr[irgendein \;Pasch]\ =\ $ { 0.1667 3% }
+$\rm Pr\big[irgendein \;Pasch\big]\ =\ $ { 0.1667 3% }
 {Mit welcher Wahrscheinlichkeit würfelt ein Spieler ein &bdquo;Mäxchen&rdquo;?
 |type="{}"}
-$\rm Pr[Mäxchen]\ =\ $ { 0.0556 3% }
+$\rm Pr\big[Mäxchen\big]\ =\ $ { 0.0556 3% }
-{Der Spieler $X$ hat eine „3” und eine „5” vorgelegt. Wie groß ist unter dieser Annahme die Gewinnchance von Spieler $Y$?
+{Der Spieler&nbsp; $X$&nbsp; hat eine „3” und eine „5” vorgelegt. Wie groß ist unter dieser Annahme die Gewinnchance von Spieler&nbsp; $Y$?
 |type="{}"}
-${\rm Pr}[Y\;  {\rm gewinnt}]\ =\ $ { 0.5556 3% }
+${\rm Pr}\big[Y\;  {\rm gewinnt}\big]\ =\ $ { 0.5556 3% }
-{Welches Spielergebnis $R_{\rm \min}$ muss der Spieler $X$ mindestens erzielen, damit er eine größere Gewinnchance als $75\%$ hat?
+{Welches Spielergebnis&nbsp; $R_{\rm \min}$&nbsp; muss der Spieler&nbsp; $X$&nbsp; mindestens erzielen, damit er eine größere Gewinnchance als&nbsp; $75\%$&nbsp; hat?
 |type="{}"}
 $R_{\rm \min}\ =\ $ { 65 }

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 '''(1)'''&nbsp; <u>Der Spieler X ist im Vorteil</u>, da ihn der Spieler $Y$ überbieten muss. Das Spiel wäre zum Beispiel dann fair, wenn es bei exakt gleichen Würfen als &bdquo;Unentschieden&rdquo; gewertet würde. Über einen längeren Zeitraum würden sich allerdings auch dann gleiche Gewinnchancen ergeben, wenn $X$ und $Y$ abwechselnd beginnen.
-'''(2)'''&nbsp; Es sind hier $\underline{I = 21}$ unterschiedliche Resultate möglich. Diese sind (beim niedrigsten beginnend): 31, 32, 41, 42, 43, 51, 52, 53, 54, 61, 62, 63, 64, 65, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 21.
 '''(3)'''&nbsp; Die 21 möglichen Resultate dieses Würfelspiels sind allerdings nicht gleichwahrscheinlich, deshalb können die Wahrscheinlichkeiten auch nicht nach der klassischen Definition (das Ergebnis wäre $1/21$) ermittelt werden.
 Macht man zumindest gedanklich eine Unterscheidung zwischen den Würfeln, zum Beispiel durch einen blauen ($B$) und einen roten ($R$) Würfel, so gibt es $6^{2} = 36$ gleichwahrscheinliche Ereignisse, unter Anderem das Ereignis $[Sechser-Pasch] = (B = 6) \cap (R = 6)$. Bei beiden Würfeln ist die Wahrscheinlichkeit für eine „6“ gleich $1/6$. Da die Augenzahlen der beiden Würfel natürlich statistisch unabhängig sind, ist
-$${\rm Pr[Sechser-Pasch] = Pr}(B = 6 \cap R = 6) = 1/36 \;\underline{= 0.0278}.$$
+:$${\rm Pr\big[Sechser-Pasch\big] = Pr}(B = 6 \cap R = 6) = 1/36 \;\underline{= 0.0278}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Diese Wahrscheinlichkeit kann mit $K = 6$ und $M = 36$ wie folgt angegeben werden:
-$${\rm Pr[irgendein Pasch] = Pr}(B = R) = K/M = 1/6 \; \underline{= 0.1667}.$$
+:$${\rm Pr\big[irgendein Pasch\big] = Pr}(B = R) = K/M = 1/6 \; \underline{= 0.1667}.$$
 '''(5)'''&nbsp; Analog ist die Wahrscheinlichkeit für das Mäxchen mit $K = 2$ und $M = 36$ berechenbar:
-$${\rm Pr[Mäxchen] = Pr}(B = 1 \cap R = 2) + {\rm Pr}(b = 2 \cap R = 1) = 1/18 \; \underline{= 0.0556}.$$
+:$${\rm Pr\big[Mäxchen\big] = Pr}(B = 1 \cap R = 2) + {\rm Pr}(b = 2 \cap R = 1) = 1/18 \; \underline{= 0.0556}.$$
-Die Musterlösung dieser Teilaufgabe  ist in einem   [[Würfelspiel_„Mäxchen”_(Lernvideo)|Kurzvideo]] zusammengefasst.
+'''(6)'''&nbsp; Die Wahrscheinlichkeit, dass $Y$ gewinnt, wenn $X$ das Ergebnis „53” vorgelegt hat, ist $5/9\; \underline{\approx 0.555}$. <br>Die Musterlösung dieser Teilaufgabe  ist in einem   [[Würfelspiel_„Mäxchen”_(Lernvideo)|Kurzvideo]] zusammengefasst.
 [[Datei:P_ID191__Sto_A1_1_g.png|right|400px|Summe zweier Würfel]]
 '''(7)'''&nbsp; Zur Lösung der letzten Teilaufgabe gehen wir wieder von einer zweidimensionalen Darstellung aus und reihen die Matrixelemente entsprechend ihren Wertigkeiten (siehe Grafik). Daraus ist zu ersehen:
-*Mit der Vorgabe „$65$” lässt man dem Gegenspieler nur eine Gewinnchance von $8/36 = 0.222$ lässt. Damit ist diee eigene Gewinnchance etwa $77.8\%$.
+*Mit der Vorgabe „$65$” lässt man dem Gegenspieler nur eine Gewinnchance von $8/36 = 0.222$.
-*Mit „$64$” wäre die Gewinnchance von Spieler $X$ nur ca. $72.2\%$. Die richtige Lösung ist somit $R_\min\; \underline{ = 65}$.
+*Damit ist die eigene Gewinnchance etwa $77.8\%$.
 {{ML-Fuß}}

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	Der Spieler $X$ beginnt. Er gewinnt, wenn der Spieler $Y$ das vorgelegte Resultat nicht überbieten kann. Die weiteren vielfältigen Optionen dieses Spiels werden hier nicht berücksichtigt.		Der Spieler $X$ beginnt. Er gewinnt, wenn der Spieler $Y$ das vorgelegte Resultat nicht überbieten kann. Die weiteren vielfältigen Optionen dieses Spiels werden hier nicht berücksichtigt.
−

← Nächstältere Version		Version vom 3. Mai 2018, 09:47 Uhr
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	'''(6)'''  Die Wahrscheinlichkeit, dass $Y$ gewinnt, wenn $X$ das Ergebnis „53” vorgelegt hat, ist $5/9\; \underline{\approx 0.555}$.		'''(6)'''  Die Wahrscheinlichkeit, dass $Y$ gewinnt, wenn $X$ das Ergebnis „53” vorgelegt hat, ist $5/9\; \underline{\approx 0.555}$.

−	~~Als Musterlösung dieser Teilaufgabe dient die kurze Videosequenz [[Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit]].~~
	Die Musterlösung dieser Teilaufgabe ist in einem [[Würfelspiel_„Mäxchen”_(Lernvideo)\|Kurzvideo]] zusammengefasst.		Die Musterlösung dieser Teilaufgabe ist in einem [[Würfelspiel_„Mäxchen”_(Lernvideo)\|Kurzvideo]] zusammengefasst.

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 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Einige_grundlegende_Definitionen | Einige grundlegende Definitionen der Wahrscheinlichkeitsrechnung]].
 *Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
-*Der Inhalt dieses Abschnitts ist in einem Lernvideo zusammengefasst:
+*Die Musterlösung ist in einem  [[Würfelspiel_„Mäxchen”_(Lernvideo)|Kurzvideo]] zusammengefasst.
-:[[Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit]]
 ===Fragebogen===
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 Als Musterlösung dieser Teilaufgabe dient die kurze Videosequenz [[Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit]].
 [[Datei:P_ID191__Sto_A1_1_g.png|right|400px|Summe zweier Würfel]]

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(kein Unterschied)