Aufgaben:Aufgabe 1.09Z: Erweiterung und/oder Punktierung - Versionsgeschichte

Guenter am 12. Juli 2022 um 10:52 Uhr

2022-07-12T10:52:09Z

Guenter am 12. Juli 2022 um 10:43 Uhr

2022-07-12T10:43:32Z

Guenter am 9. Mai 2019 um 16:27 Uhr

2019-05-09T16:27:17Z

Guenter am 9. Mai 2019 um 16:19 Uhr

2019-05-09T16:19:36Z

Guenter am 9. Mai 2019 um 16:17 Uhr

2019-05-09T16:17:49Z

Tasnad: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein. “ durch „“

2018-05-29T11:32:04Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein. “ durch „“

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2018-01-03T13:58:35Z

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Guenter am 3. Januar 2018 um 12:43 Uhr

2018-01-03T12:43:24Z

Guenter am 3. Januar 2018 um 12:15 Uhr

2018-01-03T12:15:58Z

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2018-01-03T09:03:02Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die Rate des $(5, \, 2)$–Codes ist $R = 2/5 \ \underline{ = 0.4}$.
+'''(1)'''&nbsp; Die Rate des&nbsp; $(5, \, 2)$–Codes ist&nbsp; $R = 2/5 \ \underline{ = 0.4}$.
-*Aus dem angegebenen Code erkennt man weiterhin die minimale Distanz $d_{\rm min} \ \underline{ = 3}$.
+*Aus dem angegebenen Code erkennt man weiterhin die minimale Distanz&nbsp; $d_{\rm min} \ \underline{ = 3}$.
-'''(2)'''&nbsp; Bei Erweiterung vom $(5, \, 2)$–Code zum $(6, \, 2)$–Code wird ein weiteres Prüfbit hinzugefügt.
+'''(2)'''&nbsp; Bei Erweiterung vom&nbsp; $(5, \, 2)$–Code zum&nbsp; $(6, \, 2)$–Code wird ein weiteres Prüfbit hinzugefügt.
 *Das Codewort hat somit die Form
@@ Zeile 96: / Zeile 96: @@
 :$$p_4 = x_6 = x_1 \oplus x_2 \oplus x_3 \oplus x_4 \oplus x_5 \hspace{0.05cm}.$$
-*Das heißt: Das neue Prüfbit $p_{4}$ wird so gewählt, dass sich in jedem Codewort eine gerade Anzahl von Einsen ergibt &nbsp;⇒&nbsp; <u>Antwort 2</u>.
+*Das heißt:&nbsp; Das neue Prüfbit&nbsp; $p_{4}$&nbsp; wird so gewählt,&nbsp; dass sich in jedem Codewort eine gerade Anzahl von Einsen ergibt &nbsp; ⇒ &nbsp; <u>Antwort 2</u>.
 *Löst man diese Aufgabe mit der Prüfmatrix, so erhält man
 :$${ \boldsymbol{\rm H}}_{(6,\hspace{0.05cm} 2)} = \begin{pmatrix} 1 &0 &1 &0 &0 &0\\ 1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 0 &1 &0 &0 &1 &0\\ 1 &1 &1 &1 &1 &1 \end{pmatrix}	\hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} { \boldsymbol{\rm H}}_{{\rm (6,\hspace{0.05cm} 2)\hspace{0.05cm}sys}} = \begin{pmatrix} 1 &0 &1 &0 &0 &0\\ 1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 0 &1 &0 &0 &1 &0\\ 1 &1 &0 &0 &0 &1 \end{pmatrix}\hspace{0.3cm}
 \Rightarrow\hspace{0.3cm} { \boldsymbol{\rm G}}_{{\rm (6,\hspace{0.05cm} 2)\hspace{0.05cm}sys}} = \begin{pmatrix} 1 &0 &1 &1 &0 &1\\ 0 &1 &0 &1 &1 &1 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.$$
-*Die beiden Zeilen der Generatormatrix $\boldsymbol{\rm G}$ ergeben zwei der vier Codeworte, die Modulo–$2$–Summe das dritte und schließlich ist auch noch das Nullwort zu berücksichtigen.
+*Die beiden Zeilen der Generatormatrix&nbsp; $\boldsymbol{\rm G}$&nbsp; ergeben zwei der vier Codeworte,&nbsp; die Modulo–$2$–Summe das dritte und schließlich ist auch noch das Nullwort zu berücksichtigen.
-'''(3)'''&nbsp; Nach Erweiterung vom $(5, \, 2)$–Code auf den $(6, \, 2)$–Code
+'''(3)'''&nbsp; Nach Erweiterung vom&nbsp; $(5, \, 2)$–Code auf den&nbsp; $(6, \, 2)$–Code
-*vermindert sich die Rate von $R = 2/5$ auf $R = 2/6 \ \underline{= 0.333}$,
+*vermindert sich die Rate von&nbsp; $R = 2/5$&nbsp; auf $R = 2/6 \ \underline{= 0.333}$,
 '''(4)'''&nbsp; Bei gleicher Vorgehensweise wie unter (3) erhält man
 :$${ \boldsymbol{\rm H}}_{(7,\hspace{0.05cm} 2)} \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} \begin{pmatrix} 1 &0 &1 &0 &0 &0 &0\\ 1 &1 &0 &1 &0 &0 &0\\ 0 &1 &0 &0 &1 &0 &0\\ 1 &1 &0 &0 &0 &1 &0\\ 1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 \end{pmatrix}	\hspace{0.15cm} \Rightarrow\hspace{0.15cm} { \boldsymbol{\rm H}}_{{\rm (7,\hspace{0.05cm} 2)\hspace{0.05cm}sys}} \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} \begin{pmatrix} 1 &0 &1 &0 &0 &0 &0\\ 1 &1 &0 &1 &0 &0 &0\\ 0 &1 &0 &0 &1 &0 &0\\ 1 &1 &0 &0 &0 &1 &0\\ 0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 \end{pmatrix}\hspace{0.15cm} \Rightarrow\hspace{0.15cm} { \boldsymbol{\rm G}}_{{\rm (6,\hspace{0.05cm} 2)\hspace{0.05cm}sys}} \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} \begin{pmatrix} 1 &0 &1 &1 &0 &1 &0 \\ 0 &1 &0 &1 &1 &1 &0 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 121: / Zeile 123: @@
-'''(5)'''&nbsp; Die Rate beträgt nun $R = 2/7 = \underline{0.266}$.
+'''(5)'''&nbsp; Die Rate beträgt nun&nbsp; $R = 2/7 = \underline{0.266}$.
-*Die Minimaldistanz ist weiterhin $d_{\rm min} \ \underline{= 4}$ , wie man aus den $(7, \, 2)$–Codeworten ablesen kann:
+*Die Minimaldistanz ist weiterhin&nbsp; $d_{\rm min} \ \underline{= 4}$,&nbsp; wie man aus den&nbsp; $(7, \, 2)$–Codeworten ablesen kann:
-:$$\mathcal{C} = \{ (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0), \hspace{0.1cm}(0, 1, 0, 1, 1, 1, 0), \hspace{0.1cm}(1, 0, 1, 1, 0, 1, 0), \hspace{0.1cm}(1, 1, 1, 0, 1, 0, 0) \}\hspace{0.05cm}.$$
+:$$\mathcal{C} = \{ (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0), \hspace{0.3cm}(0, 1, 0, 1, 1, 1, 0), \hspace{0.3cm}(1, 0, 1, 1, 0, 1, 0), \hspace{0.3cm}(1, 1, 1, 0, 1, 0, 0) \}\hspace{0.05cm}.$$
-<u>Allgemein gilt:</u> &nbsp; Ist die Minimaldistanz eines Codes geradzahlig, so kann diese durch Erweiterung nicht vergrößert werden.
+<u>Allgemein gilt:</u> &nbsp; Ist die Minimaldistanz eines Codes geradzahlig,&nbsp; so kann diese durch Erweiterung nicht vergrößert werden.
-'''(6)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Aussagen 1 und 2</u>:
+'''(6)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Aussagen 1 und 2</u>:
-*Durch Streichen der letzten Zeile und der letzten Spalte erhält man für Prüfmatrix bzw.  Generatormatrix (jeweils in systematischer Form):
+*Durch Streichen der letzten Zeile und der letzten Spalte erhält man für Prüfmatrix bzw.  Generatormatrix&nbsp; (jeweils in systematischer Form):
 :$${ \boldsymbol{\rm H}}_{(4,\hspace{0.05cm} 2)} = \begin{pmatrix} 1 &0 &1 &0 \\ 1 &1 &0 &1 \end{pmatrix}	\hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} { \boldsymbol{\rm G}}_{{\rm (4,\hspace{0.05cm} 2)}} = \begin{pmatrix} 1 &0 &1 &1 \\ 0 &1 &0 &1 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.$$
-*Aus der Generatormatrix ergeben sich die genannten Codeworte $(1, 0, 1, 1), \, (0, 1, 0, 1), \, (1, 1, 1, 0)$ als Zeilensumme sowie das Nullwort $(0, 0, 0, 0)$. Die Minimaldistanz dieses Codes ist $d_{\rm min}= 2$ und damit kleiner als die minimale Distanz $d_{\rm min}= 3$  des $(5, \, 2)$–Codes.
+*Aus der Generatormatrix ergeben sich die genannten Codeworte&nbsp; $(1, 0, 1, 1), \, (0, 1, 0, 1), \, (1, 1, 1, 0)$&nbsp; als Zeilensumme sowie das Nullwort $(0, 0, 0, 0)$.&nbsp; Die Minimaldistanz dieses Codes ist&nbsp; $d_{\rm min}= 2$&nbsp; und damit kleiner als die minimale Distanz $d_{\rm min}= 3$&nbsp;  des&nbsp; $(5, \, 2)$–Codes.
-<u>Allgemein gilt:</u> &nbsp; Durch Punktierung wird $d_{\rm min}$ um $1$ kleiner (wenn sie vorher gerade war) oder sie bleibt gleich. Dies kann man sich verdeutlichen, wenn man durch eine weitere Punktierung (des Prüfbits $p_{2}$) den $(3, \, 2)$–Blockcode generiert. Dieser Code
+<u>Allgemein gilt:</u> &nbsp; Durch Punktierung wird&nbsp; $d_{\rm min}$&nbsp; um&nbsp; $1$&nbsp; kleiner&nbsp; (wenn sie vorher gerade war)&nbsp; oder sie bleibt gleich.&nbsp; Dies kann man sich verdeutlichen,&nbsp; wenn man durch eine weitere Punktierung&nbsp; $($des Prüfbits $p_{2})$&nbsp; den&nbsp; $(3, \, 2)$–Blockcode generiert.&nbsp; Dieser Code
-:$$ \mathcal{C} = \{ (0, 0, 0), \hspace{0.1cm}(0, 1, 1), \hspace{0.1cm}(1, 0, 1), \hspace{0.1cm}(1, 1, 0) \}$$
+:$$ \mathcal{C} = \{ (0, 0, 0), \hspace{0.1cm}(0, 1, 1), \hspace{0.3cm}(1, 0, 1), \hspace{0.3cm}(1, 1, 0) \}$$
-besitzt die gleiche Minimaldistanz $d_{\rm min}= 2$ wie der $(4, \, 2)$–Code.
+besitzt die gleiche Minimaldistanz&nbsp; $d_{\rm min}= 2$&nbsp; wie der&nbsp; $(4, \, 2)$–Code.
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 [[Datei:P_ID2403__KC_Z_1_9.png|right|frame|Zur Erweiterung und Punktierung]]
-Häufig kennt man einen Code, der für eine Anwendung als geeignet erscheint, dessen Coderate aber nicht exakt mit den Vorgaben übereinstimmt.
+Häufig kennt man einen Code,&nbsp; der für eine Anwendung als geeignet erscheint,&nbsp; dessen Coderate aber nicht exakt mit den Vorgaben übereinstimmt.
 Zur Ratenanpassung gibt es verschiedene Möglichkeiten
-'''Erweiterung'''&nbsp; (englisch: &nbsp; ''Extension''):
+'''Erweiterung'''&nbsp; (englisch: &nbsp; "Extension"):
-<br>Ausgehend vom&nbsp; $(n, \, k)$–Code, dessen Prüfmatrix&nbsp; $\mathbf{H}$&nbsp; gegeben ist, erhält man einen&nbsp; $(n+1, \, k)$–Code, indem man die Prüfmatrix um eine Zeile und eine Spalte erweitert und die neuen Matrixelemente entsprechend der oberen Grafik mit Nullen und Einsen ergänzt. Man fügt ein neues Prüfbit
+<br>Ausgehend vom&nbsp; $(n, \, k)$–Code,&nbsp; dessen Prüfmatrix&nbsp; $\mathbf{H}$&nbsp; gegeben ist,&nbsp; erhält man einen&nbsp; $(n+1, \, k)$–Code,&nbsp; indem man die Prüfmatrix um eine Zeile und eine Spalte erweitert und die neuen Matrixelemente entsprechend der oberen Grafik mit Nullen und Einsen ergänzt.&nbsp; Man fügt ein neues Prüfbit
 :$$x_{n+1} = x_1 \oplus x_2 \oplus ... \hspace{0.05cm} \oplus x_n$$
-hinzu und damit auch eine neue Prüfgleichung, die in&nbsp; $\mathbf{H}\hspace{0.05cm}'$&nbsp; berücksichtigt ist.
+hinzu und damit auch eine neue Prüfgleichung,&nbsp; die in&nbsp; $\mathbf{H}\hspace{0.05cm}'$&nbsp; berücksichtigt ist.
-'''Punktierung'''&nbsp; (englisch: &nbsp; ''Puncturing''):
+'''Punktierung'''&nbsp; (englisch: &nbsp; "Puncturing"):
-<br>Entsprechend der unteren Abbildung kommt man zu einem&nbsp; $(n-1, \, k)$–Code größerer Rate, wenn man auf ein Prüfbit und eine Prüfgleichung verzichtet, was gleichbedeutend damit ist, aus der Prüfmatrix&nbsp; $\mathbf{H}$&nbsp; eine Zeile und eine Spalte zu streichen.
+<br>Entsprechend der unteren Abbildung kommt man zu einem&nbsp; $(n-1, \, k)$–Code größerer Rate,&nbsp; wenn man auf ein Prüfbit und eine Prüfgleichung verzichtet,&nbsp; was gleichbedeutend damit ist,&nbsp; aus der Prüfmatrix&nbsp; $\mathbf{H}$&nbsp; eine Zeile und eine Spalte zu streichen.
-'''Verkürzung'''&nbsp; (englisch: &nbsp; Shortening):
+'''Verkürzung'''&nbsp; (englisch: &nbsp; "Shortening"):
-<br>Verzichtet man anstelle eines Prüfbits auf ein Informationsbit, so ergibt sich ein&nbsp; $(n-1, \, k-1)$–Code kleinerer Rate.
+<br>Verzichtet man anstelle eines Prüfbits auf ein Informationsbit,&nbsp; so ergibt sich ein&nbsp; $(n-1, \, k-1)$–Code kleinerer Rate.
 In dieser Aufgabe sollen ausgehend von einem&nbsp; $(5, \, 2)$–Blockcode
-:$$\mathcal{C} = \{ (0, 0, 0, 0, 0) \hspace{0.1cm}, (0, 1, 0, 1, 1) \hspace{0.1cm},(1, 0, 1, 1, 0) \hspace{0.1cm},(1, 1, 1, 0, 1) \}$$
+:$$\mathcal{C} = \{ (0, 0, 0, 0, 0), \hspace{0.3cm} (0, 1, 0, 1, 1), \hspace{0.3cm}(1, 0, 1, 1, 0), \hspace{0.3cm}(1, 1, 1, 0, 1) \}$$
 folgende Codes konstruiert und analysiert werden:
@@ Zeile 38: / Zeile 38: @@
-''Hinweise'' :
+* In der&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_1.09:_Erweiterter_Hamming–Code|"Aufgabe 1.9"]]&nbsp; wird beispielhaft gezeigt,&nbsp; wie aus dem&nbsp; $(7, \, 4, \, 3)$–Hamming–Code durch Erweiterung ein&nbsp; $(8, \, 4, \, 4)$–Code entsteht.
@@ Zeile 74: / Zeile 73: @@
 $d_{\rm min} \ = \ $ {  4 3% }
-{Welche Aussagen gelten für den&nbsp; $(4, \, 2)$–Code (Punktierung des letzten Prüfbits)?
+{Welche Aussagen gelten für den&nbsp; $(4, \, 2)$–Code&nbsp; (Punktierung des letzten Prüfbits)?
 |type="[]"}
 + Die Coderate beträgt nun&nbsp; $R = 2/4 = 0.5$.

@@ Zeile 83: / Zeile 83: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die Rate des $(5, \, 2)$–Codes ist $R = 2/5 \ \underline{ = 0.4}$. Aus dem angegebenen Code erkennt man weiterhin die minimale Distanz $d_{\rm min} \ \underline{ = 3}$.
+'''(1)'''&nbsp; Die Rate des $(5, \, 2)$–Codes ist $R = 2/5 \ \underline{ = 0.4}$.
 '''(2)'''&nbsp; Bei Erweiterung vom $(5, \, 2)$–Code zum $(6, \, 2)$–Code wird ein weiteres Prüfbit hinzugefügt. Das Codewort hat somit die Form
 :$$\underline{x} = ( x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6) = ( u_1, u_2, p_1, p_2, p_{3}, p_4) \hspace{0.05cm}.$$
-Für das hinzugekommene Prüfbit muss dabei gelten:
+*Für das hinzugekommene Prüfbit muss dabei gelten:
 :$$p_4 = x_6 = x_1 \oplus x_2 \oplus x_3 \oplus x_4 \oplus x_5 \hspace{0.05cm}.$$
-Das heißt: Das neue Prüfbit $p_{4}$ wird so gewählt, dass sich in jedem Codewort eine gerade Anzahl von Einsen ergibt &nbsp;⇒&nbsp; <u>Antwort 2</u>. Löst man diese Aufgabe mit der Prüfmatrix, so erhält man
+*Das heißt: Das neue Prüfbit $p_{4}$ wird so gewählt, dass sich in jedem Codewort eine gerade Anzahl von Einsen ergibt &nbsp;⇒&nbsp; <u>Antwort 2</u>.
 :$${ \boldsymbol{\rm H}}_{(6,\hspace{0.05cm} 2)} = \begin{pmatrix} 1 &0 &1 &0 &0 &0\\ 1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 0 &1 &0 &0 &1 &0\\ 1 &1 &1 &1 &1 &1 \end{pmatrix}	\hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} { \boldsymbol{\rm H}}_{{\rm (6,\hspace{0.05cm} 2)\hspace{0.05cm}sys}} = \begin{pmatrix} 1 &0 &1 &0 &0 &0\\ 1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 0 &1 &0 &0 &1 &0\\ 1 &1 &0 &0 &0 &1 \end{pmatrix}\hspace{0.3cm}
 \Rightarrow\hspace{0.3cm} { \boldsymbol{\rm G}}_{{\rm (6,\hspace{0.05cm} 2)\hspace{0.05cm}sys}} = \begin{pmatrix} 1 &0 &1 &1 &0 &1\\ 0 &1 &0 &1 &1 &1 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.$$
-Die beiden Zeilen der Generatormatrix $\boldsymbol{\rm G}$ ergeben zwei der vier Codeworte, die Modulo–$2$–Summe das dritte und schließlich ist auch noch das Nullwort zu berücksichtigen.
+*Die beiden Zeilen der Generatormatrix $\boldsymbol{\rm G}$ ergeben zwei der vier Codeworte, die Modulo–$2$–Summe das dritte und schließlich ist auch noch das Nullwort zu berücksichtigen.
@@ Zeile 106: / Zeile 111: @@
-<u>Allgemein gilt:</u> Erweitert man einen Code, so nimmt die Rate ab und die Minimaldistanz erhöht sich um $1$, falls $d_{\rm min}$ vorher ungerade war.
+<u>Allgemein gilt:</u> &nbsp; Erweitert man einen Code, so nimmt die Rate ab und die Minimaldistanz erhöht sich um $1$, falls $d_{\rm min}$ vorher ungerade war.
@@ Zeile 115: / Zeile 121: @@
 '''(5)'''&nbsp; Die Rate beträgt nun $R = 2/7 = \underline{0.266}$. Die Minimaldistanz ist weiterhin $d_{\rm min} \ \underline{= 4}$ , wie man aus den $(7, \, 2)$–Codeworten ablesen kann:
 :$$\mathcal{C} = \{ (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0), \hspace{0.1cm}(0, 1, 0, 1, 1, 1, 0), \hspace{0.1cm}(1, 0, 1, 1, 0, 1, 0), \hspace{0.1cm}(1, 1, 1, 0, 1, 0, 0) \}\hspace{0.05cm}.$$
-<u>Allgemein gilt:</u> Ist die Minimaldistanz eines Codes geradzahlig, so kann diese durch Erweiterung nicht vergrößert werden.
+<u>Allgemein gilt:</u> &nbsp; Ist die Minimaldistanz eines Codes geradzahlig, so kann diese durch Erweiterung nicht vergrößert werden.
@@ Zeile 128: / Zeile 137: @@
-<u>Allgemein gilt:</u> Durch Punktierung wird $d_{\rm min}$ um $1$ kleiner (wenn sie vorher gerade war) oder sie bleibt gleich. Dies kann man sich verdeutlichen, wenn man durch eine weitere Punktierung (des Prüfbits $p_{2}$) den $(3, \, 2)$–Blockcode generiert. Dieser Code
+<u>Allgemein gilt:</u> &nbsp; Durch Punktierung wird $d_{\rm min}$ um $1$ kleiner (wenn sie vorher gerade war) oder sie bleibt gleich. Dies kann man sich verdeutlichen, wenn man durch eine weitere Punktierung (des Prüfbits $p_{2}$) den $(3, \, 2)$–Blockcode generiert. Dieser Code
 :$$ \mathcal{C} = \{ (0, 0, 0), \hspace{0.1cm}(0, 1, 1), \hspace{0.1cm}(1, 0, 1), \hspace{0.1cm}(1, 1, 0) \}$$
 besitzt die gleiche Minimaldistanz $d_{\rm min}= 2$ wie der $(4, \, 2)$–Code.

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 <br>Ausgehend vom&nbsp; $(n, \, k)$–Code, dessen Prüfmatrix&nbsp; $\mathbf{H}$&nbsp; gegeben ist, erhält man einen&nbsp; $(n+1, \, k)$–Code, indem man die Prüfmatrix um eine Zeile und eine Spalte erweitert und die neuen Matrixelemente entsprechend der oberen Grafik mit Nullen und Einsen ergänzt. Man fügt ein neues Prüfbit
 :$$x_{n+1} = x_1 \oplus x_2 \oplus ... \hspace{0.05cm} \oplus x_n$$
-hinzu und damit auch eine neue Prüfgleichung, die in&nbsp; $\mathbf{H}'$&nbsp; berücksichtigt ist.
+hinzu und damit auch eine neue Prüfgleichung, die in&nbsp; $\mathbf{H}\hspace{0.05cm}'$&nbsp; berücksichtigt ist.
 '''Punktierung'''&nbsp; (englisch: &nbsp; ''Puncturing''):

@@ Zeile 7: / Zeile 7: @@
 Zur Ratenanpassung gibt es verschiedene Möglichkeiten
-'''Erweiterung''' (englisch ''Extension''):
+'''Erweiterung'''&nbsp; (englisch: &nbsp; ''Extension''):
-<br>Ausgehend vom $(n, \, k)$–Code, dessen Prüfmatrix $\mathbf{H}$ gegeben ist, erhält man einen $(n+1, \, k)$–Code, indem man die Prüfmatrix um eine Zeile und eine Spalte erweitert und die neuen Matrixelemente entsprechend der oberen Grafik mit Nullen und Einsen ergänzt. Man fügt ein neues Prüfbit
+<br>Ausgehend vom&nbsp; $(n, \, k)$–Code, dessen Prüfmatrix&nbsp; $\mathbf{H}$&nbsp; gegeben ist, erhält man einen&nbsp; $(n+1, \, k)$–Code, indem man die Prüfmatrix um eine Zeile und eine Spalte erweitert und die neuen Matrixelemente entsprechend der oberen Grafik mit Nullen und Einsen ergänzt. Man fügt ein neues Prüfbit
 :$$x_{n+1} = x_1 \oplus x_2 \oplus ... \hspace{0.05cm} \oplus x_n$$
-hinzu und damit auch eine neue Prüfgleichung, die in $\mathbf{H}'$ berücksichtigt ist.
+hinzu und damit auch eine neue Prüfgleichung, die in&nbsp; $\mathbf{H}'$&nbsp; berücksichtigt ist.
-'''Punktierung''' (englisch ''Puncturing''):
+'''Punktierung'''&nbsp; (englisch: &nbsp; ''Puncturing''):
-<br>Entsprechend der unteren Abbildung kommt man zu einem $(n–1, \, k)$–Code größerer Rate, wenn man auf ein Prüfbit und eine Prüfgleichung verzichtet, was gleichbedeutend damit ist, aus der Prüfmatrix $\mathbf{H}$ eine Zeile und eine Spalte zu streichen.
+<br>Entsprechend der unteren Abbildung kommt man zu einem&nbsp; $(n-1, \, k)$–Code größerer Rate, wenn man auf ein Prüfbit und eine Prüfgleichung verzichtet, was gleichbedeutend damit ist, aus der Prüfmatrix&nbsp; $\mathbf{H}$&nbsp; eine Zeile und eine Spalte zu streichen.
-'''Verkürzung''' (englisch Shortening): Verzichtet man anstelle eines Prüfbits auf ein Informationsbit, so ergibt sich ein $(n–1, \, k–1)$–Code kleinerer Rate.
+'''Verkürzung'''&nbsp; (englisch: &nbsp; Shortening):
-In dieser Aufgabe sollen ausgehend von einem $(5, \, 2)$–Blockcode
+In dieser Aufgabe sollen ausgehend von einem&nbsp; $(5, \, 2)$–Blockcode
 :$$\mathcal{C} = \{ (0, 0, 0, 0, 0) \hspace{0.1cm}, (0, 1, 0, 1, 1) \hspace{0.1cm},(1, 0, 1, 1, 0) \hspace{0.1cm},(1, 1, 1, 0, 1) \}$$
 folgende Codes konstruiert und analysiert werden:
-*ein $(6, \, 2)$–Code durch einmalige Erweiterung,
+*ein&nbsp; $(6, \, 2)$–Code durch einmalige Erweiterung,
-*ein $(7, \, 2)$–Code durch nochmalige Erweiterung,
+*ein&nbsp; $(7, \, 2)$–Code durch nochmalige Erweiterung,
-*ein $(4, \, 2)$–Code durch Punktierung.
+*ein&nbsp; $(4, \, 2)$–Code durch Punktierung.
-Die Prüfmatrix und die Generatormatrix des systematischen $(5, \, 2)$–Codes lauten:
+Die Prüfmatrix und die Generatormatrix des systematischen&nbsp; $(5, \, 2)$–Codes lauten:
 :$${ \boldsymbol{\rm H}}_{(5, 2)} = \begin{pmatrix} 1 &0 &1 &0 &0\\ 1 &1 &0 &1 &0\\ 0 &1 &0 &0 &1 \end{pmatrix}	\hspace{0.3cm} \Leftrightarrow\hspace{0.3cm} { \boldsymbol{\rm G}}_{(5, 2)} = \begin{pmatrix} 1 &0 &1 &1 &0\\ 0 &1 &0 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
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 ''Hinweise'' :
-*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes|Allgemeine Beschreibung linearer Blockcodes]].
+*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes|Allgemeine Beschreibung linearer Blockcodes]].
-* In der [[Aufgaben:1.09_Erweiterter_Hamming–Code|Aufgabe 1.09]] wird beispielhaft gezeigt, wie aus dem $(7, \, 4, \, 3)$–Hamming–Code durch Erweiterung ein $(8, \, 4, \, 4)$–Code entsteht.
+* In der&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_1.09:_Erweiterter_Hamming–Code|Aufgabe 1.9]]&nbsp; wird beispielhaft gezeigt, wie aus dem&nbsp; $(7, \, 4, \, 3)$–Hamming–Code durch Erweiterung ein&nbsp; $(8, \, 4, \, 4)$–Code entsteht.
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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Geben Sie die Kenngrößen des vorgegebenen $(5, \, 2)$–Codes an.
+{Geben Sie die Kenngrößen des vorgegebenen&nbsp; $(5, \, 2)$–Codes an.
 |type="{}"}
 $R \ = \ $ { 0.4 3% }
 $d_{\rm min} \ = \ $ {  3 3% }
-{Welche Codeworte besitzt der $(6, \, 2)$–Code nach Erweiterung?
+{Welche Codeworte besitzt der&nbsp; $(6, \, 2)$–Code nach Erweiterung?
 |type="[]"}
 - $(0 0 0 0 0 1), \ (0 1 0 1 1 0), \ (1 0 1 1 0 0), \ (1 1 1 0 1 1).$
 + $(0 0 0 0 0 0), \ (0 1 0 1 1 1), \ (1 0 1 1 0 1), \ (1 1 1 0 1 0).$
-{Geben Sie die Kenngrößen des erweiterten $(6, \, 2)$–Codes an.
+{Geben Sie die Kenngrößen des erweiterten&nbsp; $(6, \, 2)$–Codes an.
 |type="{}"}
 $R \ = \ $ { 0.333 3% }
 $d_{\rm min} \ = \ $ {  4 3% }
-{Wie lautet die systematische Generatormatrix $\boldsymbol{\rm G}$ des $(7, \, 2)$–Codes?
+{Wie lautet die systematische Generatormatrix&nbsp; $\boldsymbol{\rm G}$&nbsp; des&nbsp; $(7, \, 2)$–Codes?
 |type="[]"}
-+ Zeile 1 von $\boldsymbol{\rm G} \text{:} \hspace{0.2cm} 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 0.$
++ Zeile 1 von&nbsp; $\boldsymbol{\rm G} \text{:} \hspace{0.2cm} 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 0.$
-+ Zeile 2 von  $\boldsymbol{\rm G} \text{:} \hspace{0.2cm} 0, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 1, \, 0.$
++ Zeile 2 von&nbsp;  $\boldsymbol{\rm G} \text{:} \hspace{0.2cm} 0, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 1, \, 0.$
-{Geben Sie die Kenngrößen des erweiterten $(7, \, 2)$–Codes an.
+{Geben Sie die Kenngrößen des erweiterten&nbsp; $(7, \, 2)$–Codes an.
 |type="{}"}
 $R \ = \ $ { 0.266 3% }
 $d_{\rm min} \ = \ $ {  4 3% }
-{Welche Aussagen gelten für den $(4, \, 2)$–Code (Punktierung des letzten Prüfbits)?
+{Welche Aussagen gelten für den&nbsp; $(4, \, 2)$–Code (Punktierung des letzten Prüfbits)?
 |type="[]"}
-+ Die Coderate beträgt nun $R = 2/4 = 0.5$.
++ Die Coderate beträgt nun&nbsp; $R = 2/4 = 0.5$.
 + $C_{(4, 2)} = \{(0, 0, 0, 0),  \, (1, 0, 1, 1), \, (0, 1, 0, 1), \, (1, 1, 1, 0)\}$.
-- Die Minimaldistanz bleibt gegenüber dem $(5, \, 2)$–Code unverändert.
+- Die Minimaldistanz bleibt gegenüber dem&nbsp; $(5, \, 2)$–Code unverändert.
 </quiz>

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	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes\|Allgemeine Beschreibung linearer Blockcodes]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes\|Allgemeine Beschreibung linearer Blockcodes]].
	* In der [[Aufgaben:1.09_Erweiterter_Hamming–Code\|Aufgabe 1.09]] wird beispielhaft gezeigt, wie aus dem $(7, \, 4, \, 3)$–Hamming–Code durch Erweiterung ein $(8, \, 4, \, 4)$–Code entsteht.		* In der [[Aufgaben:1.09_Erweiterter_Hamming–Code\|Aufgabe 1.09]] wird beispielhaft gezeigt, wie aus dem $(7, \, 4, \, 3)$–Hamming–Code durch Erweiterung ein $(8, \, 4, \, 4)$–Code entsteht.
−	* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.

← Nächstältere Version	Version vom 3. Januar 2018, 13:58 Uhr
(kein Unterschied)

← Nächstältere Version	Version vom 3. Januar 2018, 09:03 Uhr
(kein Unterschied)