Aufgaben:Aufgabe 1.09: Erweiterter Hamming–Code - Versionsgeschichte

Guenter am 11. Juli 2022 um 13:39 Uhr

2022-07-11T13:39:10Z

Guenter am 11. Juli 2022 um 13:23 Uhr

2022-07-11T13:23:05Z

Guenter am 9. Mai 2019 um 15:04 Uhr

2019-05-09T15:04:53Z

Guenter am 9. Mai 2019 um 15:00 Uhr

2019-05-09T15:00:15Z

Guenter am 9. Mai 2019 um 14:58 Uhr

2019-05-09T14:58:14Z

Guenter am 9. Mai 2019 um 14:57 Uhr

2019-05-09T14:57:09Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:19:53Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 3. Januar 2018 um 12:05 Uhr

2018-01-03T12:05:41Z

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:1.09 Erweiterter Hamming–Code nach Aufgaben:Aufgabe 1.09: Erweiterter Hamming–Code

2018-01-03T09:02:32Z

Guenter verschob die Seite 1.09 Erweiterter Hamming–Code nach Aufgabe 1.09: Erweiterter Hamming–Code

Wael am 20. Dezember 2017 um 12:17 Uhr

2017-12-20T12:17:37Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die entsprechende Gleichung für die Coderate lautet in beiden Fällen $R = k/n\text{:}$
+'''(1)'''&nbsp; Die entsprechende Gleichung für die Coderate lautet in beiden Fällen&nbsp; $R = k/n\text{:}$
-*$\mathcal{C}_{1} \text{:} \  n = 7, k = 4\  ⇒ \ R = 4/7  \underline {= 0.571},$
+*$\mathcal{C}_{1} \text{:} \ \ n = 7, k = 4\  ⇒ \ R = 4/7 \ \underline {= 0.571},$
-*Aus der Tabelle auf der Angabenseite ist ersichtlich, dass für den erweiterten Hamming–Code $d_{\rm min} \underline{= 4}$ gilt.
+'''(2)'''&nbsp; Die minimale Distanz des&nbsp; $(7, 4, 3)$–Hamming–Codes&nbsp; $\mathcal{C}_{1}$&nbsp; beträgt&nbsp; $d_{\rm min} \ \underline{= 3}$,&nbsp; was allein schon aus der Namensgebung ablesbar ist.
-'''(4)'''&nbsp; Aus der Codetabelle auf der Angabenseite erkennt man, dass allein <u>Antwort 3</u> richtig ist.
+*Für den erweiterten Hamming–Code &nbsp; ⇒ &nbsp; Code &nbsp; $\mathcal{C}_{2}$&nbsp; gilt demgegenüber&nbsp; $\underline{n = 8}$&nbsp; (Spaltenzahl)&nbsp; und&nbsp; $\underline{m = 4}$&nbsp; (Zeilenzahl).
-'''(5)'''&nbsp; Anzumerken ist zunächst, dass die Angabe der Prüfmatrix nie eindeutig ist, schon allein deshalb, weil die Reihenfolge der Prüfgleichungen vertauschbar ist.
+'''(4)'''&nbsp; Aus der Codetabelle auf der Angabenseite erkennt man,&nbsp; dass allein&nbsp; <u>Antwort 3</u> richtig ist.
-*Unter Berücksichtigung des Hinweises, dass nur eine der vorgegebenen Zeilen falsch ist, ist ${ \boldsymbol{\rm H}}_{2}$ allerdings eindeutig bestimmt:
+*Das Prüfbit&nbsp; $p_{4}$&nbsp; ist so zu bestimmen,&nbsp; dass die Modulo–2–Summe über alle Bits des Codewortes den Wert&nbsp; $0$&nbsp; ergibt.
 :$${ \boldsymbol{\rm H}}_2 = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &1 &1 &0 &0 &0\\ 0 &1 &1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 1 &0 &1 &1 &0 &0 &1 &0\\ 1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 \end{pmatrix}	\hspace{0.05cm}.$$
-*Richtig sind also die <u>Aussagen 1, 2 und 4</u>. Die Zeilen dieser Prüfmatrix stehen in dieser Reihenfolge für die vier Prüfgleichungen:
+*Richtig sind also die&nbsp; <u>Aussagen 1, 2 und 4</u>.&nbsp; Die Zeilen dieser Prüfmatrix stehen in dieser Reihenfolge für die vier Prüfgleichungen:
 :$$ x_1\oplus  x_2 \oplus x_4 \oplus x_5 = 0 \hspace{0.05cm},$$
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+'''(6)'''&nbsp;  Richtig ist die&nbsp; <u>Antwort 2</u>:
-'''(6)'''&nbsp;  Richtig ist die <u>Antwort 2</u>:
+*Zu diesem Ergebnis kommt man,&nbsp; wenn man die letzte Zeile durch die Modulo–2–Summe über alle vier Zeilen ersetzt,&nbsp; was erlaubt ist.
 *Zu diesem Ergebnis kommt man, wenn man die letzte Zeile durch die Modulo–2–Summe über alle vier Zeilen ersetzt, was erlaubt ist.
 *Der Vorschlag 1 stellt keine Prüfgleichung dar.
 *Der Vorschlag 3 steht für die Prüfgleichung $x_{3}⊕x_{5} = 0$, was auch nicht den Gegebenheiten entspricht.
@@ Zeile 150: / Zeile 155: @@
+'''(7)'''&nbsp;  Nach dieser Matrixmanipulation liegt&nbsp; ${ \boldsymbol{\rm H}}_{2}$&nbsp; in der für systematische Codes typischen Form vor:
 :$${ \boldsymbol{\rm H}}_2 =\left({ \boldsymbol{\rm P}}^{\rm T} \: ; \: { \boldsymbol{\rm I}}_m \right)\hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} m = 4 {\rm :}\hspace{0.3cm}{ \boldsymbol{\rm H}}_2 =\left({ \boldsymbol{\rm P}}^{\rm T} \: ; \: { \boldsymbol{\rm I}}_4 \right) \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 158: / Zeile 162: @@
 :$${ \boldsymbol{\rm G_{2}}} =\left({ \boldsymbol{\rm I}}_4 \: ; \: { \boldsymbol{\rm P}}\right) = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &0 &1 &0 &1 &1\\ 0 &1 &0 &0 &1 &1 &0 &1\\ 0 &0 &1 &0 &0 &1 &1 &1\\ 0 &0 &0 &1 &1 &1 &1 &0 \end{pmatrix}	\hspace{0.05cm}.$$
-Richtig sind also die <u>Aussagen 2 und 3</u>:
+Richtig sind also die&nbsp; <u>Aussagen 2 und 3</u>:
-* ${ \boldsymbol{\rm G}}_{2}$ beginnt wie ${ \boldsymbol{\rm G}}_{1}$  (siehe Angabenblatt) mit einer Diagonalmatrix ${ \boldsymbol{\rm I}}_{4}$ , hat aber im Gegensatz zu ${ \boldsymbol{\rm G}}_{1}$ nun 8 Spalten.
+* ${ \boldsymbol{\rm G}}_{2}$&nbsp; beginnt wie&nbsp; ${ \boldsymbol{\rm G}}_{1}$&nbsp;  (siehe Angabenblatt)&nbsp; mit einer Diagonalmatrix&nbsp; ${ \boldsymbol{\rm I}}_{4}$,&nbsp; hat aber im Gegensatz zu&nbsp; ${ \boldsymbol{\rm G}}_{1}$&nbsp; nun acht Spalten.
-*Im vorliegenden Fall $n = 8, k = 4 \ ⇒ \ m = 4$ sind sowohl ${ \boldsymbol{\rm G}}_{2}$ als auch ${ \boldsymbol{\rm H}}_{2}$ jeweils 4×8–Matrizen.
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 5: / Zeile 5: @@
 [[Datei:P_ID2396__KC_A_1_9.png|right|frame|$\text{(7, 4)}$&ndash;Hamming–Code (gelb hinterlegt) <br>und&nbsp; $\text{(8, 4)}$&ndash;Erweiterung  (grün)]]
-Es sollen zwei Codes miteinander verglichen werden, deren Codetabellen rechts angegeben sind.
+Es sollen zwei Codes miteinander verglichen werden,&nbsp; deren Codetabellen rechts angegeben sind.
 *Die ersten vier Bit eines jeden Codewortes&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; sind gleich dem jeweiligen Informationswort&nbsp; $\underline{u}$&nbsp; (schwarze Schrift).
 *Danach folgen&nbsp; $m = n- k$&nbsp; Prüfbit (rote Schrift).
-Der systematische&nbsp; $\text{(7, 4)}$–Hamming–Code wurde bereits in&nbsp; [[Aufgaben:1.6_Zum_(7,_4)–Hamming–Code|Aufgabe 1.6]]&nbsp; sowie&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_1.07:_Prüf-_und_Generatormatrix_des_HC_(7,_4,_3)|Aufgabe 1.7]]&nbsp; behandelt. Prüfmatrix und Generatormatrix dieses Codes sind wie folgt gegeben:
+Der systematische&nbsp; $\text{(7, 4)}$–Hamming–Code wurde bereits in&nbsp; [[Aufgaben:1.6_Zum_(7,_4)–Hamming–Code|"Aufgabe 1.6"]]&nbsp; sowie&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_1.07:_Prüf-_und_Generatormatrix_des_HC_(7,_4,_3)|"Aufgabe 1.7"]]&nbsp; behandelt.&nbsp; Prüfmatrix und Generatormatrix dieses Codes sind wie folgt gegeben:
 :$${ \boldsymbol{\rm H}}_1 = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &1 &1 &0 &0\\ 0 &1 &1 &1 &0 &1 &0\\ 1 &0 &1 &1 &0 &0 &1 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm},$$
@@ Zeile 17: / Zeile 18: @@
 Im weiteren Verlauf der Aufgabe wird dieser (gelb hinterlegte) Code&nbsp; $\mathcal{C}_{1}$&nbsp; genannt.
+Die rechte Spalte in obiger Tabelle gibt einen Blockcode mit den Parametern&nbsp; $n = 8$&nbsp; und&nbsp; $k = 4$&nbsp; an,&nbsp; der in der Literatur meist als&nbsp; „Erweiterter Hamming–Code”&nbsp; bezeichnet wird.&nbsp; Wir nennen diesen&nbsp; (grün hinterlegten)&nbsp; Code im Folgenden &nbsp; $\mathcal{C}_{2}$ &nbsp; und bezeichnen dessen Prüfmatrix mit&nbsp; ${ \boldsymbol{\rm H}}_{2}$&nbsp; und die dazugehörige Generatormatrix mit&nbsp; ${ \boldsymbol{\rm G}}_{2}$ .
 Die Fragen zu dieser Aufgabe beziehen sich auf
-*die&nbsp; [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung|Coderate]],
+*die&nbsp; [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung|"Coderate"]],
-''Hinweise'':
+*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes|"Allgemeine Beschreibung linearer Blockcodes"]].
-*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes|Allgemeine Beschreibung linearer Blockcodes]].
+*Beachten Sie bei der Lösung,&nbsp; dass&nbsp; $\mathcal{C}_{1}$&nbsp; und&nbsp; $\mathcal{C}_{2}$&nbsp; jeweils&nbsp; [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Systematische_Codes|"systematische Codes"]]&nbsp; sind.
 *Beachten Sie bei der Lösung, dass&nbsp; $\mathcal{C}_{1}$&nbsp; und&nbsp; $\mathcal{C}_{2}$&nbsp; jeweils&nbsp; [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Systematische_Codes|systematische Codes]]&nbsp; sind.
-*Die folgende&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_1.09Z:_Erweiterung_und/oder_Punktierung|Aufgabe 1.9Z]]&nbsp; behandelt die Erweiterung von Codes in etwas allgemeinerer Form.
+*Die folgende&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_1.09Z:_Erweiterung_und/oder_Punktierung|"Aufgabe 1.9Z"]]&nbsp; behandelt die Erweiterung von Codes in etwas allgemeinerer Form.
@@ Zeile 61: / Zeile 62: @@
 ${\rm Zeilenzahl} \ = \ $    { 4 }
-{Leiten Sie aus der Codetabelle die Gleichung für das Codebit&nbsp; $x_ {8} (= p_{4})$&nbsp; ab. Welche Angabe ist richtig?
+{Leiten Sie aus der Codetabelle die Gleichung für das Codebit&nbsp; $x_ {8} (= p_{4})$&nbsp; ab.&nbsp; Welche Angabe ist richtig?
 |type="()"}
@@ Zeile 68: / Zeile 69: @@
 + $x_{8} = x_{1}⊕x_{2}⊕x_{3}⊕x_{4}⊕x_{5}⊕x_{6}⊕x_{7}.$
-{Welche Aussagen gelten für&nbsp; ${ \boldsymbol{\rm H}}_{2}$? ''Hinweis:'' &nbsp;Richtig sind 3 von 4 Antworten.
+{Welche Aussagen gelten für&nbsp; ${ \boldsymbol{\rm H}}_{2}$? Hinweis: &nbsp;Richtig sind drei von vier Antworten.
 |type="[]"}
@@ Zeile 82: / Zeile 83: @@
 - $1 1 1 1 1 1 1 1   →   0 0 1 0 1 0 0 0.$
-{Geben Sie die zugehörige Generatormatrix&nbsp; ${ \boldsymbol{\rm G}}_{2}$&nbsp; an. Welche Aussagen treffen zu?
+{Geben Sie die zugehörige Generatormatrix&nbsp; ${ \boldsymbol{\rm G}}_{2}$&nbsp; an.&nbsp; Welche Aussagen treffen zu?
 |type="[]"}
-- ${ \boldsymbol{\rm G}}_{2}$&nbsp; hat gleiches Format wie die Matrix&nbsp; ${ \boldsymbol{\rm G}}_{1}$  des&nbsp; $\text{(7, 4)}$–Codes.
+- ${ \boldsymbol{\rm G}}_{2}$&nbsp; hat gleiches Format wie die Matrix&nbsp; ${ \boldsymbol{\rm G}}_{1}$&nbsp;  des&nbsp; $\text{(7, 4)}$–Codes.
-+ ${ \boldsymbol{\rm G}}_{2}$&nbsp;  beginnt wie ${ \boldsymbol{\rm G}}_{1}$&nbsp;  mit einer Diagonalmatrix&nbsp; ${ \boldsymbol{\rm I}}_{4}$ .
++ ${ \boldsymbol{\rm G}}_{2}$&nbsp;  beginnt wie&nbsp; ${ \boldsymbol{\rm G}}_{1}$&nbsp;  mit einer Diagonalmatrix&nbsp; ${ \boldsymbol{\rm I}}_{4}$ .
 + ${ \boldsymbol{\rm G}}_{2}$&nbsp;  hat im betrachteten Beispiel das gleiche Format wie&nbsp; ${ \boldsymbol{\rm H}}_{2}$ .

@@ Zeile 100: / Zeile 100: @@
 *$\mathcal{C}_{1} \text{:} \  n = 7, k = 4\  ⇒ \ R = 4/7  \underline {= 0.571},$
 *$\mathcal{C}_{2} \text{:} \ n = 8, k = 4 \ ⇒ \ R = 4/8  \underline { =0.5}.$
 '''(2)'''&nbsp; Die minimale Distanz des (7, 4, 3)–Hamming–Codes $\mathcal{C}_{1}$ beträgt $d_{\rm min} \underline{= 3}$, was allein schon aus der Namensgebung ablesbar ist.
-Aus der Tabelle auf der Angabenseite ist ersichtlich, dass für den erweiterten Hamming–Code $d_{\rm min} \underline{= 4}$ gilt. $\mathcal{C}_{2}$ bezeichnet man deshalb in der Literatur auch als einen (8, 4, 4)–Blockcode.
+*Aus der Tabelle auf der Angabenseite ist ersichtlich, dass für den erweiterten Hamming–Code $d_{\rm min} \underline{= 4}$ gilt.
@@ Zeile 110: / Zeile 113: @@
 *Beim (7, 4, 3)–Hamming–Code ist ${ \boldsymbol{\rm H}}$ eine 3 × 7–Matrix.
 *Für den erweiterten Hamming–Code &nbsp; ⇒ &nbsp; Code $\mathcal{C}_{2}$ gilt demgegenüber $\underline{n = 8}$ (Spaltenzahl) und $\underline{m = 4}$ (Zeilenzahl).
@@ Zeile 116: / Zeile 120: @@
 '''(5)'''&nbsp; Anzumerken ist zunächst, dass die Angabe der Prüfmatrix nie eindeutig ist, schon allein deshalb, weil die Reihenfolge der Prüfgleichungen vertauschbar ist. Unter Berücksichtigung des Hinweises, dass nur eine der vorgegebenen Zeilen falsch ist, ist ${ \boldsymbol{\rm H}}_{2}$ allerdings eindeutig bestimmt:
 :$${ \boldsymbol{\rm H}}_2 = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &1 &1 &0 &0 &0\\ 0 &1 &1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 1 &0 &1 &1 &0 &0 &1 &0\\ 1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 \end{pmatrix}	\hspace{0.05cm}.$$
-Richtig sind also die <u>Aussagen 1, 2 und 4</u>. Die Zeilen dieser Prüfmatrix stehen in dieser Reihenfolge für die vier Prüfgleichungen:
+*Richtig sind also die <u>Aussagen 1, 2 und 4</u>. Die Zeilen dieser Prüfmatrix stehen in dieser Reihenfolge für die vier Prüfgleichungen:
 :$$ x_1\oplus  x_2 \oplus x_4 \oplus x_5 = 0 \hspace{0.05cm},$$
@@ Zeile 126: / Zeile 132: @@
 :$$ x_1  \oplus  x_3 \oplus x_4 \oplus x_7 = 0 \hspace{0.05cm},$$
 :$$ x_1 \oplus x_2 \oplus x_3 \oplus x_4 \oplus x_5 \oplus x_6 \oplus x_7 \oplus x_8 = 0 \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 140: / Zeile 147: @@
 Die modifizierte Prüfmatrix lautet nun:
 :$${ \boldsymbol{\rm H}}_2 = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &1 &1 &0 &0 &0\\ 0 &1 &1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 1 &0 &1 &1 &0 &0 &1 &0\\ 1 &1 &1 &0 &0 &0 &0 &1 \end{pmatrix}	\hspace{0.05cm}.$$

@@ Zeile 35: / Zeile 35: @@
 *Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes|Allgemeine Beschreibung linearer Blockcodes]].
 *Beachten Sie bei der Lösung, dass&nbsp; $\mathcal{C}_{1}$&nbsp; und&nbsp; $\mathcal{C}_{2}$&nbsp; jeweils&nbsp; [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Systematische_Codes|systematische Codes]]&nbsp; sind.
-*Die folgende&nbsp; [[Aufgaben:1.09Z_Erweiterung_–_Punktierung|Aufgabe 1.9Z]]&nbsp; behandelt die Erweiterung von Codes in etwas allgemeinerer Form.
+*Die folgende&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_1.09Z:_Erweiterung_und/oder_Punktierung|Aufgabe 1.9Z]]&nbsp; behandelt die Erweiterung von Codes in etwas allgemeinerer Form.

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−	Der systematische  $\text{(7, 4)}$–Hamming–Code wurde bereits in  [[Aufgaben:1.6_Zum_(7,_4)–Hamming–Code\|Aufgabe 1.6]]  sowie  [[Aufgaben:1.~~07_H_und_G_des_~~(7,_4)~~–Hamming–Codes~~\|Aufgabe 1.7]]  behandelt. Prüfmatrix und Generatormatrix dieses Codes sind wie folgt gegeben:	+	Der systematische  $\text{(7, 4)}$–Hamming–Code wurde bereits in  [[Aufgaben:1.6_Zum_(7,_4)–Hamming–Code\|Aufgabe 1.6]]  sowie  [[Aufgaben:Aufgabe_1.07:_Prüf-_und_Generatormatrix_des_HC_(7,_4,_3)\|Aufgabe 1.7]]  behandelt. Prüfmatrix und Generatormatrix dieses Codes sind wie folgt gegeben:
	:$${ \boldsymbol{\rm H}}_1 = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &1 &1 &0 &0\\ 0 &1 &1 &1 &0 &1 &0\\ 1 &0 &1 &1 &0 &0 &1 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm},$$		:$${ \boldsymbol{\rm H}}_1 = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &1 &1 &0 &0\\ 0 &1 &1 &1 &0 &1 &0\\ 1 &0 &1 &1 &0 &0 &1 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm},$$

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 }}
-[[Datei:P_ID2396__KC_A_1_9.png|right|frame|(7, 4) Hamming–Code <br>und (8, 4) Erweiterung]]
+[[Datei:P_ID2396__KC_A_1_9.png|right|frame|$\text{(7, 4)}$&ndash;Hamming–Code (gelb hinterlegt) <br>und&nbsp; $\text{(8, 4)}$&ndash;Erweiterung  (grün)]]
 Es sollen zwei Codes miteinander verglichen werden, deren Codetabellen rechts angegeben sind.
-*Die ersten vier $\rm Bit$ eines jeden Codewortes $\underline{x}$ sind gleich dem jeweiligen Informationswort $\underline{u}$ (schwarze Schrift).
+*Die ersten vier Bit eines jeden Codewortes&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; sind gleich dem jeweiligen Informationswort&nbsp; $\underline{u}$&nbsp; (schwarze Schrift).
-*Danach folgen $m = n- k$ Prüfbit (rote Schrift).
+*Danach folgen&nbsp; $m = n- k$&nbsp; Prüfbit (rote Schrift).
-Der systematische (7, 4)–Hamming–Code wurde bereits in [[Aufgaben:1.6_Zum_(7,_4)–Hamming–Code|Aufgabe 1.6]] sowie [[Aufgaben:1.07_H_und_G_des_(7,_4)–Hamming–Codes|Aufgabe 1.7]] behandelt. Prüfmatrix und Generatormatrix dieses Codes sind wie folgt gegeben:
+Der systematische&nbsp; $\text{(7, 4)}$–Hamming–Code wurde bereits in&nbsp; [[Aufgaben:1.6_Zum_(7,_4)–Hamming–Code|Aufgabe 1.6]]&nbsp; sowie&nbsp; [[Aufgaben:1.07_H_und_G_des_(7,_4)–Hamming–Codes|Aufgabe 1.7]]&nbsp; behandelt. Prüfmatrix und Generatormatrix dieses Codes sind wie folgt gegeben:
 :$${ \boldsymbol{\rm H}}_1 = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &1 &1 &0 &0\\ 0 &1 &1 &1 &0 &1 &0\\ 1 &0 &1 &1 &0 &0 &1 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm},$$
 :$${ \boldsymbol{\rm G}}_1 = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &0 &1 &0 &1\\ 0 &1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &0 &1 &0 &0 &1 &1\\ 0 &0 &0 &1 &1 &1 &1 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.$$
-Im weiteren Verlauf der Aufgabe wird dieser (gelb hinterlegte) Code $\mathcal{C}_{1}$ genannt.
+Im weiteren Verlauf der Aufgabe wird dieser (gelb hinterlegte) Code&nbsp; $\mathcal{C}_{1}$&nbsp; genannt.
-Die rechte Spalte in obiger Tabelle gibt einen Blockcode mit den Parametern $n = 8$ und $k = 4$ an, der in der Literatur meist als „erweiteter Hamming–Code” bezeichnet wird. Wir nennen diesen (grün hinterlegten) Code im Folgenden $\mathcal{C}_{2}$ und bezeichnen dessen Prüfmatrix mit ${ \boldsymbol{\rm H}}_{2}$ und die dazugehörige Generatormatrix mit ${ \boldsymbol{\rm G}}_{2}$ .
+Die rechte Spalte in obiger Tabelle gibt einen Blockcode mit den Parametern&nbsp; $n = 8$&nbsp; und&nbsp; $k = 4$&nbsp; an, der in der Literatur meist als „Erweiterter Hamming–Code” bezeichnet wird. Wir nennen diesen (grün hinterlegten) Code im Folgenden&nbsp; $\mathcal{C}_{2}$&nbsp; und bezeichnen dessen Prüfmatrix mit&nbsp; ${ \boldsymbol{\rm H}}_{2}$&nbsp; und die dazugehörige Generatormatrix mit&nbsp; ${ \boldsymbol{\rm G}}_{2}$ .
 Die Fragen zu dieser Aufgabe beziehen sich auf
-*die [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung|Coderate]],
+*die&nbsp; [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung|Coderate]],
-*die [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung|minimale Distanz]] zwischen zwei Codeworten,
+*die&nbsp; [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung|minimale Distanz]]&nbsp; zwischen zwei Codeworten,
-*die [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Codefestlegung_durch_die_Pr.C3.BCfmatrix|Prüfmatrix]] und die [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Codefestlegung_durch_die_Generatormatrix|Generatormatrix]] des erweiterten (8, 4)–Hamming–Codes.
+*die&nbsp; [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Codefestlegung_durch_die_Pr.C3.BCfmatrix|Prüfmatrix]]&nbsp; und die&nbsp; [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Codefestlegung_durch_die_Generatormatrix|Generatormatrix]]&nbsp; des erweiterten&nbsp; $\text{(8, 4)}$–Hamming–Codes.
 *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes|Allgemeine Beschreibung linearer Blockcodes]].
 *Beachten Sie bei der Lösung, dass $\mathcal{C}_{1}$ und $\mathcal{C}_{2}$ jeweils [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Systematische_Codes|systematische Codes]] sind.
-*Die folgende [[Aufgaben:1.09Z_Erweiterung_–_Punktierung|Aufgabe 1.09Z]] behandelt die Erweiterung von Codes in etwas allgemeinerer Form.
+''Hinweise'':
@@ Zeile 41: / Zeile 44: @@
 <quiz display=simple>
-{Geben Sie die Coderaten von $\mathcal{C}_{1}$ und $\mathcal{C}_{2}$ an.
+{Geben Sie die Coderaten von&nbsp; $\mathcal{C}_{1}$&nbsp; und&nbsp; $\mathcal{C}_{2}$&nbsp; an.
 |type="{}"}
 $\mathcal{C}_{1}\text{:}\hspace{0.4cm}R \ = \ $ { 0.571 3% }
@@ Zeile 47: / Zeile 50: @@
-{Geben Sie die minimalen Distanzen von $\mathcal{C}_{1}$ und $\mathcal{C}_{2}$ an.
+{Geben Sie die minimalen Distanzen von&nbsp; $\mathcal{C}_{1}$&nbsp; und&nbsp; $\mathcal{C}_{2}$&nbsp; an.
 |type="{}"}
 $\mathcal{C}_{1}\text{:}\hspace{0.4cm}d_{\rm min} \ = \ $ { 3 }
@@ Zeile 53: / Zeile 56: @@
-{Welches Format besitzt die Prüfmatrix $\boldsymbol{\rm H}_{2}$ von $\mathcal{C}_{2}$?
+{Welches Format besitzt die Prüfmatrix&nbsp; $\boldsymbol{\rm H}_{2}$&nbsp; von&nbsp; $\mathcal{C}_{2}$?
 |type="{}"}
 ${\rm Spaltenzahl} \ = \ $ { 8 }
 ${\rm Zeilenzahl} \ = \ $    { 4 }
-{Leiten Sie aus der Codetabelle die Gleichung für das Codebit $x_ {8} (= p_{4})$ ab. Welche Angabe ist richtig?
+{Leiten Sie aus der Codetabelle die Gleichung für das Codebit&nbsp; $x_ {8} (= p_{4})$&nbsp; ab. Welche Angabe ist richtig?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - $x_{8} = 0.$
@@ Zeile 65: / Zeile 68: @@
 + $x_{8} = x_{1}⊕x_{2}⊕x_{3}⊕x_{4}⊕x_{5}⊕x_{6}⊕x_{7}.$
-{Welche Aussagen gelten für ${ \boldsymbol{\rm H}}_{2}$? ''Hinweis:'' Richtig sind 3 von 4 Antworten.
+{Welche Aussagen gelten für&nbsp; ${ \boldsymbol{\rm H}}_{2}$? ''Hinweis:'' &nbsp;Richtig sind 3 von 4 Antworten.
 |type="[]"}
@@ Zeile 73: / Zeile 76: @@
 + Die Zeile 4 lautet:  &nbsp;  $1 1 1 1 1 1 1 1$.
-{Welche Umformung ist für die letzte Zeile von ${ \boldsymbol{\rm H}}_{2}$ zulässig?
+{Welche Umformung ist für die letzte Zeile von&nbsp; ${ \boldsymbol{\rm H}}_{2}$&nbsp; zulässig?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - $1 1 1 1 1 1 1 1   →   0 0 0 0 0 0 0 0,$
 + $1 1 1 1 1 1 1 1   →   1 1 1 0 0 0 0 1,$
 - $1 1 1 1 1 1 1 1   →   0 0 1 0 1 0 0 0.$
-{Geben Sie die zugehörige Generatormatrix ${ \boldsymbol{\rm G}}_{2}$ an. Welche Aussagen treffen zu?
+{Geben Sie die zugehörige Generatormatrix&nbsp; ${ \boldsymbol{\rm G}}_{2}$&nbsp; an. Welche Aussagen treffen zu?
 |type="[]"}
-- ${ \boldsymbol{\rm G}}_{2}$ hat gleiches Format wie die Matrix ${ \boldsymbol{\rm G}}_{1}$  des (7, 4)–Codes.
+- ${ \boldsymbol{\rm G}}_{2}$&nbsp; hat gleiches Format wie die Matrix&nbsp; ${ \boldsymbol{\rm G}}_{1}$  des&nbsp; $\text{(7, 4)}$–Codes.
-+ ${ \boldsymbol{\rm G}}_{2}$  beginnt wie ${ \boldsymbol{\rm G}}_{1}$  mit einer Diagonalmatrix ${ \boldsymbol{\rm I}}_{4}$ .
++ ${ \boldsymbol{\rm G}}_{2}$&nbsp;  beginnt wie ${ \boldsymbol{\rm G}}_{1}$&nbsp;  mit einer Diagonalmatrix&nbsp; ${ \boldsymbol{\rm I}}_{4}$ .
-+ ${ \boldsymbol{\rm G}}_{2}$  hat im betrachteten Beispiel das gleiche Format wie ${ \boldsymbol{\rm H}}_{2}$ .
++ ${ \boldsymbol{\rm G}}_{2}$&nbsp;  hat im betrachteten Beispiel das gleiche Format wie&nbsp; ${ \boldsymbol{\rm H}}_{2}$ .