Aufgaben:Aufgabe 1.09: BPSK und 4-QAM - Versionsgeschichte

Maintenance script: Add English interlanguage link

2026-03-16T12:34:23Z

Add English interlanguage link

← Nächstältere Version		Version vom 16. März 2026, 14:34 Uhr
Zeile 15:		Zeile 15:
	:$$p_{\rm B,\hspace{0.04cm}BPSK} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0}{\sigma_d } \right)\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}\sigma_d = \sqrt{\frac{N_0}{T_{\rm B}}}$$		:$$p_{\rm B,\hspace{0.04cm}BPSK} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0}{\sigma_d } \right)\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}\sigma_d = \sqrt{\frac{N_0}{T_{\rm B}}}$$
	dargestellt werden.  Entsprechend gilt für das 4–QAM–System:		dargestellt werden.  Entsprechend gilt für das 4–QAM–System:
	:$$p_{\rm B,\hspace{0.04cm}QAM} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0/\sqrt{2}}{\sigma_d } \right)\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}\sigma_d = \sqrt{\frac{N_0}{2 \cdot T_{\~~rmB~~}}}.$$		:$$p_{\rm B,\hspace{0.04cm}QAM} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0/\sqrt{2}}{\sigma_d } \right)\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}\sigma_d = \sqrt{\frac{N_0}{2 \cdot T_{\rm B}}}.$$

	Die Gleichungen gelten nur unter der Voraussetzung einer exakten Phasensynchronisation:		Die Gleichungen gelten nur unter der Voraussetzung einer exakten Phasensynchronisation:
Zeile 84:		Zeile 84:

	Damit erhält man für die mittlere Bitfehlerwahrscheinlichkeit:		Damit erhält man für die mittlere Bitfehlerwahrscheinlichkeit:
	:$$p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm Q}\left ( \frac{\cos(45^\circ+{\rm \Delta} \phi_{\~~rmT~~}) \cdot s_0}{0.25 \cdot s_0 / \sqrt{2}} \right) + {1}/{2} \cdot {\rm Q}\left ( \frac{\cos(45^\circ-{\rm \Delta} \phi_{\~~rmT~~}) \cdot s_0}{0.25 \cdot s_0 / \sqrt{2}}\right).$$		:$$p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm Q}\left ( \frac{\cos(45^\circ+{\rm \Delta} \phi_{\rm T}) \cdot s_0}{0.25 \cdot s_0 / \sqrt{2}} \right) + {1}/{2} \cdot {\rm Q}\left ( \frac{\cos(45^\circ-{\rm \Delta} \phi_{\rm T}) \cdot s_0}{0.25 \cdot s_0 / \sqrt{2}}\right).$$
	*Hierbei ist der kleinere Rauscheffektivwert der 4–QAM bereits berücksichtigt.		*Hierbei ist der kleinere Rauscheffektivwert der 4–QAM bereits berücksichtigt.

Zeile 110:		Zeile 110:

	[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^1.5 Lineare digitale Modulation^]]		[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^1.5 Lineare digitale Modulation^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_1.09:_BPSK_and_4-QAM]]

Maintenance script: Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

2026-02-24T13:38:13Z

Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

← Nächstältere Version		Version vom 24. Februar 2026, 15:38 Uhr
Zeile 10:		Zeile 10:

	*Die Fehlerwahrscheinlichkeit abhängig vom Quotienten  $E_{\rm B}/N_{0}$  lautet bei BPSK und 4–QAM gleichermaßen:		*Die Fehlerwahrscheinlichkeit abhängig vom Quotienten  $E_{\rm B}/N_{0}$  lautet bei BPSK und 4–QAM gleichermaßen:
	:$$p_{\rm B} = \ {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right		:$$p_{\rm B} = \ {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right) = \ {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{E_{\rm B}/{ N_0 }} \right ).$$
	) = \ {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{E_{\rm B}/{ N_0 }} \right ).$$

	*Die Fehlerwahrscheinlichkeit des BPSK–Systems kann aber auch in der Form		*Die Fehlerwahrscheinlichkeit des BPSK–Systems kann aber auch in der Form
	:$$p_{\rm B,\hspace{0.04cm}BPSK} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0}{\sigma_d } \right		:$$p_{\rm B,\hspace{0.04cm}BPSK} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0}{\sigma_d } \right)\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}\sigma_d = \sqrt{\frac{N_0}{T_{\rm B}}}$$
	)\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}\sigma_d = \sqrt{\frac{N_0}{T_{\rm B}}}$$
	dargestellt werden.  Entsprechend gilt für das 4–QAM–System:		dargestellt werden.  Entsprechend gilt für das 4–QAM–System:
	:$$p_{\rm B,\hspace{0.04cm}QAM} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0/\sqrt{2}}{\sigma_d } \right		:$$p_{\rm B,\hspace{0.04cm}QAM} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0/\sqrt{2}}{\sigma_d } \right)\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}\sigma_d = \sqrt{\frac{N_0}{2 \cdot T_{\rmB}}}.$$
	)\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}\sigma_d = \sqrt{\frac{N_0}{2 \cdot T_{\rm
	B}}}.$$

	Die Gleichungen gelten nur unter der Voraussetzung einer exakten Phasensynchronisation:		Die Gleichungen gelten nur unter der Voraussetzung einer exakten Phasensynchronisation:
Zeile 88:		Zeile 84:

	Damit erhält man für die mittlere Bitfehlerwahrscheinlichkeit:		Damit erhält man für die mittlere Bitfehlerwahrscheinlichkeit:
	:$$p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm Q}\left ( \frac{\cos(45^\circ+{\rm \Delta} \phi_{\rm		:$$p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm Q}\left ( \frac{\cos(45^\circ+{\rm \Delta} \phi_{\rmT}) \cdot s_0}{0.25 \cdot s_0 / \sqrt{2}} \right) + {1}/{2} \cdot {\rm Q}\left ( \frac{\cos(45^\circ-{\rm \Delta} \phi_{\rmT}) \cdot s_0}{0.25 \cdot s_0 / \sqrt{2}}\right).$$
	T}) \cdot s_0}{0.25 \cdot s_0 / \sqrt{2}} \right
	) + {1}/{2} \cdot {\rm Q}\left ( \frac{\cos(45^\circ-{\rm \Delta} \phi_{\rm
	T}) \cdot s_0}{0.25 \cdot s_0 / \sqrt{2}}\right
	).$$
	*Hierbei ist der kleinere Rauscheffektivwert der 4–QAM bereits berücksichtigt.		*Hierbei ist der kleinere Rauscheffektivwert der 4–QAM bereits berücksichtigt.

	*Zur Kontrolle berechnen wir die Fehlerwahrscheinlichkeit für  $\Delta\phi_{\rm T} = 0$:		*Zur Kontrolle berechnen wir die Fehlerwahrscheinlichkeit für  $\Delta\phi_{\rm T} = 0$:
	:$$p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm Q}\left ( \frac{\cos(45^\circ) \cdot 4}{1 / \sqrt{2}} \right		:$$p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm Q}\left ( \frac{\cos(45^\circ) \cdot 4}{1 / \sqrt{2}} \right) +{1}/{2} \cdot {\rm Q}\left ( \frac{\cos(45^\circ) \cdot 4}{1 / \sqrt{2}} \right)= {\rm Q}(4) = 0.317 \cdot 10^{-4}.$$
	) +{1}/{2} \cdot {\rm Q}\left ( \frac{\cos(45^\circ) \cdot 4}{1 / \sqrt{2}} \right
	)= {\rm Q}(4) = 0.317 \cdot 10^{-4}.$$

	*Dagegen erhält man mit  $\Delta\phi_{\rm T} = 15^\circ$:		*Dagegen erhält man mit  $\Delta\phi_{\rm T} = 15^\circ$:
	:$$p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm Q}\left ( \frac{\cos(60^\circ) \cdot 4}{1 / \sqrt{2}} \right		:$$p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm Q}\left ( \frac{\cos(60^\circ) \cdot 4}{1 / \sqrt{2}} \right) +{1}/{2} \cdot {\rm Q}\left ( \frac{\cos(30^\circ) \cdot 4}{1 / \sqrt{2}} \right)= {1}/{2} \cdot \left [{\rm Q}(2.83)+ {\rm Q}(4.90)\right]$$
	) +{1}/{2} \cdot {\rm Q}\left ( \frac{\cos(30^\circ) \cdot 4}{1 / \sqrt{2}} \right		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm B} \approx\frac{1}{2} \cdot \left [0.233 \cdot 10^{-2}+ 0.479 \cdot 10^{-6}\right] \hspace{0.1cm}\underline {= 0.117 \, \%}.$$
	)= {1}/{2} \cdot \left [{\rm Q}(2.83)+ {\rm Q}(4.90)\right]$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm B} \approx
	\frac{1}{2} \cdot \left [0.233 \cdot 10^{-2}+ 0.479 \cdot 10^{-6}\right] \hspace{0.1cm}\underline {= 0.117 \, \%}.$$


	'''(4)'''  Bei einem Phasenversatz von  $45^\circ$  erhält man aus der oben allgemein hergeleiteten Gleichung:		'''(4)'''  Bei einem Phasenversatz von  $45^\circ$  erhält man aus der oben allgemein hergeleiteten Gleichung:
	:$$p_{\rm B} ={1}/{2} \cdot {\rm Q}\left ( \frac{\cos(90^\circ) \cdot 4}{1 / \sqrt{2}} \right		:$$p_{\rm B} ={1}/{2} \cdot {\rm Q}\left ( \frac{\cos(90^\circ) \cdot 4}{1 / \sqrt{2}} \right) +{1}/{2} \cdot {\rm Q}\left ( \frac{\cos(0^\circ) \cdot 4}{1 / \sqrt{2}} \right)= {1}/{2} \cdot \left [{\rm Q}(0)+ {\rm Q}(5.66)\right] \approx 0.25\hspace{0.1cm}\underline {= 25 \, \%}.$$
	) +{1}/{2} \cdot {\rm Q}\left ( \frac{\cos(0^\circ) \cdot 4}{1 / \sqrt{2}} \right
	)= {1}/{2} \cdot \left [{\rm Q}(0)+ {\rm Q}(5.66)\right] \approx 0.25\hspace{0.1cm}\underline {= 25 \, \%}.$$

	Das heißt:		Das heißt:

Guenter am 6. Mai 2022 um 16:35 Uhr

2022-05-06T16:35:27Z

← Nächstältere Version		Version vom 6. Mai 2022, 18:35 Uhr
Zeile 73:		Zeile 73:
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}

	'''(1)'''  Durch die Rotation des Phasendiagramms um $\Delta\phi_{\rm T} = 15^\circ$ wird der Abstand der Nutzabtastwerte von der Schwelle um $\cos(15^\circ) \approx 0.966$ geringer. Daraus folgt:		'''(1)'''  Durch die Rotation des Phasendiagramms um  $\Delta\phi_{\rm T} = 15^\circ$  wird der Abstand der Nutzabtastwerte von der Schwelle um  $\cos(15^\circ) \approx 0.966$  geringer.  Daraus folgt:
	:$$p_{\rm B} = {\rm Q}(0.966 \cdot 4) \approx {\rm Q}(3.86)= 0.57 \cdot 10^{-4}\hspace{0.1cm}\underline {= 0.0057\, \%}.$$		:$$p_{\rm B} = {\rm Q}(0.966 \cdot 4) \approx {\rm Q}(3.86)= 0.57 \cdot 10^{-4}\hspace{0.1cm}\underline {= 0.0057\, \%}.$$


	'''(2)'''  Analog zu Teilaufgabe '''(1)''' erhält man mit $\cos(45^\circ) \approx 0.707$:		'''(2)'''  Analog zu Teilaufgabe  '''(1)'''  erhält man mit  $\cos(45^\circ) \approx 0.707$:
	:$$p_{\rm B} = {\rm Q}(0.707 \cdot 4) \approx {\rm Q}(2.83)\hspace{0.1cm}\underline {= 0.233 \, \%}.$$		:$$p_{\rm B} = {\rm Q}(0.707 \cdot 4) \approx {\rm Q}(2.83)\hspace{0.1cm}\underline {= 0.233 \, \%}.$$


	'''(3)'''  Bei 4–QAM wird durch die Rotation um $\Delta\phi_{\rm T}$ im Uhrzeigersinn der Abstand		'''(3)'''  Bei 4–QAM wird durch die Rotation um  $\Delta\phi_{\rm T}$  im Uhrzeigersinn der Abstand
	*von der horizontalen Schwelle (Entscheidung des ersten Bits) gleich $s_{0} \cdot \cos(45^\circ + \Delta\phi_{\rm T})$, also kleiner als ohne Phasenversatz,		*von der horizontalen Schwelle  (Entscheidung des ersten Bits)  gleich  $s_{0} \cdot \cos(45^\circ + \Delta\phi_{\rm T})$,  also kleiner als ohne Phasenversatz,
	*von der vertikalen Schwelle (Entscheidung des zweiten Bits) gleich $s_{0} \cdot \cos(45^\circ - \Delta\phi_{\rm T})$, also größer als ohne Phasenversatz.

			*von der vertikalen Schwelle  (Entscheidung des zweiten Bits)  gleich  $s_{0} \cdot \cos(45^\circ - \Delta\phi_{\rm T})$,  also größer als ohne Phasenversatz.

	Damit erhält man für die mittlere ~~Fehlerwahrscheinlichkeit~~:
			Damit erhält man für die mittlere Bitfehlerwahrscheinlichkeit:
	:$$p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm Q}\left ( \frac{\cos(45^\circ+{\rm \Delta} \phi_{\rm		:$$p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm Q}\left ( \frac{\cos(45^\circ+{\rm \Delta} \phi_{\rm
	T}) \cdot s_0}{0.25 \cdot s_0 / \sqrt{2}} \right		T}) \cdot s_0}{0.25 \cdot s_0 / \sqrt{2}} \right
Zeile 92:		Zeile 93:
	T}) \cdot s_0}{0.25 \cdot s_0 / \sqrt{2}}\right		T}) \cdot s_0}{0.25 \cdot s_0 / \sqrt{2}}\right
	).$$		).$$
	*Hierbei ist der kleinere Rauscheffektivwert der 4–QAM bereits berücksichtigt.		*Hierbei ist der kleinere Rauscheffektivwert der 4–QAM bereits berücksichtigt.
	*Zur Kontrolle berechnen wir die Fehlerwahrscheinlichkeit für $\Delta\phi_{\rm T} = 0$:
			*Zur Kontrolle berechnen wir die Fehlerwahrscheinlichkeit für  $\Delta\phi_{\rm T} = 0$:
	:$$p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm Q}\left ( \frac{\cos(45^\circ) \cdot 4}{1 / \sqrt{2}} \right		:$$p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm Q}\left ( \frac{\cos(45^\circ) \cdot 4}{1 / \sqrt{2}} \right
	) +{1}/{2} \cdot {\rm Q}\left ( \frac{\cos(45^\circ) \cdot 4}{1 / \sqrt{2}} \right		) +{1}/{2} \cdot {\rm Q}\left ( \frac{\cos(45^\circ) \cdot 4}{1 / \sqrt{2}} \right
	)= {\rm Q}(4) = 0.317 \cdot 10^{-4}.$$		)= {\rm Q}(4) = 0.317 \cdot 10^{-4}.$$

	Dagegen erhält man mit $\Delta\phi_{\rm T} = 15^\circ$:		*Dagegen erhält man mit  $\Delta\phi_{\rm T} = 15^\circ$:
	:$$p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm Q}\left ( \frac{\cos(60^\circ) \cdot 4}{1 / \sqrt{2}} \right		:$$p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm Q}\left ( \frac{\cos(60^\circ) \cdot 4}{1 / \sqrt{2}} \right
	) +{1}/{2} \cdot {\rm Q}\left ( \frac{\cos(30^\circ) \cdot 4}{1 / \sqrt{2}} \right		) +{1}/{2} \cdot {\rm Q}\left ( \frac{\cos(30^\circ) \cdot 4}{1 / \sqrt{2}} \right
Zeile 106:		Zeile 108:


	'''(4)'''  Bei einem Phasenversatz von $45^\circ$ erhält man aus der oben allgemein hergeleiteten Gleichung:		'''(4)'''  Bei einem Phasenversatz von  $45^\circ$  erhält man aus der oben allgemein hergeleiteten Gleichung:
	:$$p_{\rm B} ={1}/{2} \cdot {\rm Q}\left ( \frac{\cos(90^\circ) \cdot 4}{1 / \sqrt{2}} \right		:$$p_{\rm B} ={1}/{2} \cdot {\rm Q}\left ( \frac{\cos(90^\circ) \cdot 4}{1 / \sqrt{2}} \right
	) +{1}/{2} \cdot {\rm Q}\left ( \frac{\cos(0^\circ) \cdot 4}{1 / \sqrt{2}} \right		) +{1}/{2} \cdot {\rm Q}\left ( \frac{\cos(0^\circ) \cdot 4}{1 / \sqrt{2}} \right
Zeile 112:		Zeile 114:

	Das heißt:		Das heißt:
	*Die ~~Fehlentscheidung~~ für das erste Bit ~~ist~~ $50\%$.		*Die Fehlerwahrscheinlichkeit für das erste Bit istnahezu  $50\%$.
	*Dagegen wird das zweite Bit nahezu fehlerfrei $(\approx 10^{–8})$ entschieden.		*Dagegen wird das zweite Bit nahezu fehlerfrei  $(\approx 10^{–8})$  entschieden.
	*Insgesamt ergibt sich so eine mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit von ca. $25\%$.		*Insgesamt ergibt sich so eine mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit von ca.  $25\%$.

Guenter am 6. Mai 2022 um 16:15 Uhr

2022-05-06T16:15:24Z

← Nächstältere Version		Version vom 6. Mai 2022, 18:15 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:

	[[Datei:P_ID1682__Dig_A_4_2.png\|right\|frame\|Phasendiagramme von BPSK und 4–QAM]]		[[Datei:P_ID1682__Dig_A_4_2.png\|right\|frame\|Phasendiagramme von BPSK und 4–QAM]]
	Die Grafik zeigt schematisch die Phasendiagramme der ''binären Phasenmodulation''  (abgekürzt ~~'''~~BPSK~~'''~~) und der ''Quadraturamplitudenmodulation''  (~~'''~~4–QAM~~'''~~ genannt).		Die Grafik zeigt schematisch die Phasendiagramme der  "binären Phasenmodulation"  $($abgekürzt  $\rm BPSK)$  und der  "Quadraturamplitudenmodulation"  $\rm (4–QAM$  genannt$)$.
	*Letztere lässt sich durch zwei BPSK–Systeme mit Cosinus– und Minus–Sinus–Träger beschreiben, wobei bei jedem der Teilkomponenten die Sendeamplitude gegenüber der BPSK um den Faktor  $\sqrt{2}$  reduziert ist.		*Letztere lässt sich durch zwei BPSK–Systeme mit Cosinus– und Minus–Sinus–Träger beschreiben,  wobei bei jedem der Teilkomponenten die Sendeamplitude gegenüber der BPSK um den Faktor  $\sqrt{2}$  reduziert ist.

	*Die Hüllkurve des Gesamtsignals  $s(t)$  ist somit ebenfalls konstant gleich  $s_{0}$.		*Die Hüllkurve des Gesamtsignals  $s(t)$  ist somit ebenfalls konstant gleich  $s_{0}$.

	*Die Fehlerwahrscheinlichkeit abhängig vom Quotienten  $E_{\rm B}/N_{0}$  lautet bei BPSK und 4–QAM gleichermaßen:		*Die Fehlerwahrscheinlichkeit abhängig vom Quotienten  $E_{\rm B}/N_{0}$  lautet bei BPSK und 4–QAM gleichermaßen:
	:$$p_{\rm B} = \ {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right		:$$p_{\rm B} = \ {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right
	) = \ {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{E_{\rm B}/{ N_0 }} \right ).$$		) = \ {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{E_{\rm B}/{ N_0 }} \right ).$$
	Die Fehlerwahrscheinlichkeit des BPSK–Systems kann aber auch in der Form
			*Die Fehlerwahrscheinlichkeit des BPSK–Systems kann aber auch in der Form
	:$$p_{\rm B,\hspace{0.04cm}BPSK} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0}{\sigma_d } \right		:$$p_{\rm B,\hspace{0.04cm}BPSK} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0}{\sigma_d } \right
	)\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}\sigma_d = \sqrt{\frac{N_0}{T_{\rm B}}}$$		)\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}\sigma_d = \sqrt{\frac{N_0}{T_{\rm B}}}$$
	dargestellt werden. Entsprechend gilt für das 4–QAM–System:		dargestellt werden.  Entsprechend gilt für das 4–QAM–System:
	:$$p_{\rm B,\hspace{0.04cm}QAM} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0/\sqrt{2}}{\sigma_d } \right		:$$p_{\rm B,\hspace{0.04cm}QAM} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0/\sqrt{2}}{\sigma_d } \right
	)\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}\sigma_d = \sqrt{\frac{N_0}{2 \cdot T_{\rm		)\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}\sigma_d = \sqrt{\frac{N_0}{2 \cdot T_{\rm
Zeile 19:		Zeile 22:

	Die Gleichungen gelten nur unter der Voraussetzung einer exakten Phasensynchronisation:		Die Gleichungen gelten nur unter der Voraussetzung einer exakten Phasensynchronisation:
	*Bei einem Phasenversatz  $\Delta\phi_{\rm T}$  zwischen sender– und empfangsseitigem Trägersignal erhöht sich die Fehlerwahrscheinlichkeit signifikant, wobei BPSK– und QAM–System unterschiedlich degradiert werden.		*Bei einem Phasenversatz  $\Delta\phi_{\rm T}$  zwischen sender– und empfangsseitigem Trägersignal erhöht sich die Fehlerwahrscheinlichkeit signifikant,  wobei BPSK– und QAM–System unterschiedlich degradiert werden.
	*Im Phasendiagramm macht sich der Phasenversatz durch eine Rotation der Punktwolken bemerkbar. In der Grafik sind die Mittelpunkte der Punktwolken für  $\Delta\phi_{\rm T} = 15^\circ$  durch gelbe Kreuze markiert, während die roten Kreise die Mittelpunkte für  $\Delta\phi_{\rm T} = 0$  angeben.
			*Im Phasendiagramm macht sich der Phasenversatz durch eine Rotation der Punktwolken bemerkbar.  In der Grafik sind die Mittelpunkte der Punktwolken für  $\Delta\phi_{\rm T} = 15^\circ$  durch gelbe Kreuze markiert,  während die roten Kreise die Mittelpunkte für  $\Delta\phi_{\rm T} = 0$  angeben.


	Es gilt stets  $E_{\rm B}/N_{0} = 8$, so dass sich die Fehlerwahrscheinlichkeiten von BPSK und QAM im günstigsten Fall (ohne Phasenversatz) jeweils wie folgt ergeben   ⇒   [[Aufgaben:1.08Z_BPSK-Fehlerwahrscheinlichkeit\|Aufgabe 1.8Z]]:		Es gilt stets  $E_{\rm B}/N_{0} = 8$,  so dass sich die Fehlerwahrscheinlichkeiten von BPSK und QAM im günstigsten Fall  (ohne Phasenversatz)  jeweils wie folgt ergeben   ⇒   [[Aufgaben:1.08Z_BPSK-Fehlerwahrscheinlichkeit\|Aufgabe 1.8Z]]:
	:$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}(4)= 0.317 \cdot 10^{-4}.$$		:$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}(4)= 0.317 \cdot 10^{-4}.$$

	''Weitere Bemerkungen:''		Weitere Bemerkungen:
	*Bezeichnet man den Abstand der BPSK–Nutzabtastwerte von der (vertikalen) Entscheiderschwelle mit  $s_{0}$, so ergibt sich für den Rauscheffektivwert  $\sigma_{d} = s_{0}/4$. Die helleren Kreise in der Grafik markieren die Höhenlinien mit dem Radius  $2\cdot \sigma_{d}$  bzw.  $3\cdot \sigma_{d}$  der Gaußschen 2D–WDF.		*Bezeichnet man den Abstand der BPSK–Nutzabtastwerte von der  (vertikalen)  Entscheiderschwelle mit  $s_{0}$,  so ergibt sich für den Rauscheffektivwert  $\sigma_{d} = s_{0}/4$.  Die helleren Kreise in der Grafik markieren die Höhenlinien mit dem Radius  $2\cdot \sigma_{d}$  bzw.  $3\cdot \sigma_{d}$  der Gaußschen 2D–WDF.

	*Bei der 4–QAM sind gegenüber der BPSK die Abstände der rot eingezeichneten Nutzabtastwerte von den nun zwei Entscheiderschwellen jeweils um den Faktor  $\sqrt{2}$  geringer, aber es ergibt sich auch ein um den gleichen Faktor kleinerer Rauscheffektivwert  $\sigma_{d}$.

			*Bei der 4–QAM sind gegenüber der BPSK die Abstände der rot eingezeichneten Nutzabtastwerte von den nun zwei Entscheiderschwellen jeweils um den Faktor  $\sqrt{2}$  geringer,  aber es ergibt sich auch ein um den gleichen Faktor kleinerer Rauscheffektivwert  $\sigma_{d}$.




			Hinweise:
			*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation\|"Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation"]].

	~~''Hinweise:''~~		*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation#Phasenversatz_zwischen_Sender_und_Empf.C3.A4nger\|"Phasenversatz zwischen Sender und Empfänger"]].
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation\|Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation]].
	*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation#Phasenversatz_zwischen_Sender_und_Empf.C3.A4nger\|Phasenversatz zwischen Sender und Empfänger]].

	*Die Werte der Q–Funktion können Sie mit dem Applet  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]  ermitteln.		*Die Werte der Q–Funktion können Sie mit dem Applet  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen\|"Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen"]]  ermitteln.


Zeile 48:		Zeile 51:
	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>

	{Wie groß ist die Bitfehlerwahrscheinlichkeit ~~bei~~ BPSK mit  $\Delta\phi_{\rm T} = 15^\circ$?		{Wie groß ist die Bitfehlerwahrscheinlichkeit der BPSK mit  $\Delta\phi_{\rm T} = 15^\circ$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$p_\text{B, BPSK} \ = \ $ { 0.0057 3% } $\ \% $		$p_\text{B, BPSK} \ = \ $ { 0.0057 3% } $\ \% $

	{Welche Bitfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich ~~bei~~ BPSK mit  $\Delta\phi_{\rm T} = 45^\circ$?		{Welche Bitfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich für BPSK mit  $\Delta\phi_{\rm T} = 45^\circ$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$p_\text{B, BPSK} \ = \ $ { 0.233 3% } $\ \%$		$p_\text{B, BPSK} \ = \ $ { 0.233 3% } $\ \%$

	{Wie groß ist die Bitfehlerwahrscheinlichkeit ~~bei~~ 4–QAM mit  $\Delta\phi_{\rm T} = 15^\circ$?		{Wie groß ist die Bitfehlerwahrscheinlichkeit der 4–QAM mit  $\Delta\phi_{\rm T} = 15^\circ$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$p_\text{B, 4-QAM} \ = \ $ { 0.117 3% } $\ \%$		$p_\text{B, 4-QAM} \ = \ $ { 0.117 3% } $\ \%$

	{Welche ~~Fehlerwahrscheinlichkeit~~ ergibt sich ~~bei~~ 4–QAM mit  $\Delta\phi_{\rm T} = 45^\circ$?		{Welche Bitehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich für 4–QAM mit  $\Delta\phi_{\rm T} = 45^\circ$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$p_\text{B, 4-QAM} \ = \ $ { 25 3% } $\ \%$		$p_\text{B, 4-QAM} \ = \ $ { 25 3% } $\ \%$

Tasnad: Textersetzung - „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)“ durch „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen“

2020-06-10T15:50:23Z

Textersetzung - „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)“ durch „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen“

← Nächstältere Version		Version vom 10. Juni 2020, 17:50 Uhr
Zeile 40:		Zeile 40:
	*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation#Phasenversatz_zwischen_Sender_und_Empf.C3.A4nger\|Phasenversatz zwischen Sender und Empfänger]].		*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation#Phasenversatz_zwischen_Sender_und_Empf.C3.A4nger\|Phasenversatz zwischen Sender und Empfänger]].

	*Die Werte der Q–Funktion können Sie mit dem Applet  [[Applets:~~Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)~~\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]  ermitteln.		*Die Werte der Q–Funktion können Sie mit dem Applet  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]  ermitteln.

Guenter am 7. Februar 2019 um 14:32 Uhr

2019-02-07T14:32:24Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. Februar 2019, 16:32 Uhr
Zeile 74:		Zeile 74:


	'''(2)'''  Analog zu Teilaufgabe (1) erhält man mit $cos(45^\circ) \approx 0.707$:		'''(2)'''  Analog zu Teilaufgabe '''(1)''' erhält man mit $\cos(45^\circ) \approx 0.707$:
	:$$p_{\rm B} = {\rm Q}(0.707 \cdot 4) \approx {\rm Q}(2.83)\hspace{0.1cm}\underline {= 0.233 \, \%}.$$		:$$p_{\rm B} = {\rm Q}(0.707 \cdot 4) \approx {\rm Q}(2.83)\hspace{0.1cm}\underline {= 0.233 \, \%}.$$

Zeile 81:		Zeile 81:
	*von der horizontalen Schwelle (Entscheidung des ersten Bits) gleich $s_{0} \cdot \cos(45^\circ + \Delta\phi_{\rm T})$, also kleiner als ohne Phasenversatz,		*von der horizontalen Schwelle (Entscheidung des ersten Bits) gleich $s_{0} \cdot \cos(45^\circ + \Delta\phi_{\rm T})$, also kleiner als ohne Phasenversatz,
	*von der vertikalen Schwelle (Entscheidung des zweiten Bits) gleich $s_{0} \cdot \cos(45^\circ - \Delta\phi_{\rm T})$, also größer als ohne Phasenversatz.		*von der vertikalen Schwelle (Entscheidung des zweiten Bits) gleich $s_{0} \cdot \cos(45^\circ - \Delta\phi_{\rm T})$, also größer als ohne Phasenversatz.


	Damit erhält man für die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit:		Damit erhält man für die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit:
Zeile 88:		Zeile 89:
	T}) \cdot s_0}{0.25 \cdot s_0 / \sqrt{2}}\right		T}) \cdot s_0}{0.25 \cdot s_0 / \sqrt{2}}\right
	).$$		).$$
	Hierbei ist der kleinere Rauscheffektivwert der 4–QAM bereits berücksichtigt. Zur Kontrolle berechnen wir die Fehlerwahrscheinlichkeit für $\Delta\phi_{\rm T} = 0$:		*Hierbei ist der kleinere Rauscheffektivwert der 4–QAM bereits berücksichtigt.
			*Zur Kontrolle berechnen wir die Fehlerwahrscheinlichkeit für $\Delta\phi_{\rm T} = 0$:
	:$$p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm Q}\left ( \frac{\cos(45^\circ) \cdot 4}{1 / \sqrt{2}} \right		:$$p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm Q}\left ( \frac{\cos(45^\circ) \cdot 4}{1 / \sqrt{2}} \right
	) +{1}/{2} \cdot {\rm Q}\left ( \frac{\cos(45^\circ) \cdot 4}{1 / \sqrt{2}} \right		) +{1}/{2} \cdot {\rm Q}\left ( \frac{\cos(45^\circ) \cdot 4}{1 / \sqrt{2}} \right
	)= {\rm Q}(4) = 0.317 \cdot 10^{-4}.$$		)= {\rm Q}(4) = 0.317 \cdot 10^{-4}.$$

	Dagegen erhält man mit $\Delta\phi_{\rm T} = 15^\circ$:		Dagegen erhält man mit $\Delta\phi_{\rm T} = 15^\circ$:
	:$$p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm Q}\left ( \frac{\cos(60^\circ) \cdot 4}{1 / \sqrt{2}} \right		:$$p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm Q}\left ( \frac{\cos(60^\circ) \cdot 4}{1 / \sqrt{2}} \right
Zeile 105:		Zeile 108:
	)= {1}/{2} \cdot \left [{\rm Q}(0)+ {\rm Q}(5.66)\right] \approx 0.25\hspace{0.1cm}\underline {= 25 \, \%}.$$		)= {1}/{2} \cdot \left [{\rm Q}(0)+ {\rm Q}(5.66)\right] \approx 0.25\hspace{0.1cm}\underline {= 25 \, \%}.$$

	Das heißt: Die Fehlentscheidung für das erste Bit ist $50\%$. Dagegen wird das zweite Bit nahezu fehlerfrei $(\approx 10^{–8})$ entschieden. Insgesamt ergibt sich so eine mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit von ca. $25\%$.		Das heißt:
			*Die Fehlentscheidung für das erste Bit ist $50\%$.
			*Dagegen wird das zweite Bit nahezu fehlerfrei $(\approx 10^{–8})$ entschieden.
			*Insgesamt ergibt sich so eine mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit von ca. $25\%$.

Guenter am 7. Februar 2019 um 14:23 Uhr

2019-02-07T14:23:30Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. Februar 2019, 16:23 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:

	[[Datei:P_ID1682__Dig_A_4_2.png\|right\|frame\|Phasendiagramme von BPSK und 4–QAM]]		[[Datei:P_ID1682__Dig_A_4_2.png\|right\|frame\|Phasendiagramme von BPSK und 4–QAM]]
	Die Grafik zeigt schematisch die Phasendiagramme der ''binären Phasenmodulation'' (abgekürzt '''BPSK''') und der ''Quadraturamplitudenmodulation'' ('''4–QAM''' genannt).		Die Grafik zeigt schematisch die Phasendiagramme der ''binären Phasenmodulation''  (abgekürzt '''BPSK''') und der ''Quadraturamplitudenmodulation''  ('''4–QAM''' genannt).
	*Letztere lässt sich durch zwei BPSK–Systeme mit Cosinus– und Minus–Sinus–Träger beschreiben, wobei bei jedem der Teilkomponenten die Sendeamplitude gegenüber der BPSK um den Faktor $\sqrt{2}$ reduziert ist.		*Letztere lässt sich durch zwei BPSK–Systeme mit Cosinus– und Minus–Sinus–Träger beschreiben, wobei bei jedem der Teilkomponenten die Sendeamplitude gegenüber der BPSK um den Faktor  $\sqrt{2}$  reduziert ist.
	*Die Hüllkurve des Gesamtsignals $s(t)$ ist somit ebenfalls konstant gleich $s_{0}$.		*Die Hüllkurve des Gesamtsignals  $s(t)$  ist somit ebenfalls konstant gleich  $s_{0}$.
	*Die Fehlerwahrscheinlichkeit abhängig vom Quotienten $E_{\rm B}/N_{0}$ lautet bei BPSK und 4–QAM gleichermaßen:		*Die Fehlerwahrscheinlichkeit abhängig vom Quotienten  $E_{\rm B}/N_{0}$  lautet bei BPSK und 4–QAM gleichermaßen:
	:$$p_{\rm B} = \ {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right		:$$p_{\rm B} = \ {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right
	) = \ {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{E_{\rm B}/{ N_0 }} \right ).$$		) = \ {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{E_{\rm B}/{ N_0 }} \right ).$$
Zeile 19:		Zeile 19:

	Die Gleichungen gelten nur unter der Voraussetzung einer exakten Phasensynchronisation:		Die Gleichungen gelten nur unter der Voraussetzung einer exakten Phasensynchronisation:
	*Bei einem Phasenversatz $\Delta\phi_{\rm T}$ zwischen sender– und empfangsseitigem Trägersignal erhöht sich die Fehlerwahrscheinlichkeit signifikant, wobei BPSK– und QAM–System unterschiedlich degradiert werden.		*Bei einem Phasenversatz  $\Delta\phi_{\rm T}$  zwischen sender– und empfangsseitigem Trägersignal erhöht sich die Fehlerwahrscheinlichkeit signifikant, wobei BPSK– und QAM–System unterschiedlich degradiert werden.
	*Im Phasendiagramm macht sich der Phasenversatz durch eine Rotation der Punktwolken bemerkbar. In der Grafik sind die Mittelpunkte der Punktwolken für $\Delta\phi_{\rm T} = 15^\circ$ durch gelbe Kreuze markiert, während die roten Kreise die Mittelpunkte für $\Delta\phi_{\rm T} = 0$ angeben.		*Im Phasendiagramm macht sich der Phasenversatz durch eine Rotation der Punktwolken bemerkbar. In der Grafik sind die Mittelpunkte der Punktwolken für  $\Delta\phi_{\rm T} = 15^\circ$  durch gelbe Kreuze markiert, während die roten Kreise die Mittelpunkte für  $\Delta\phi_{\rm T} = 0$  angeben.


	Es gilt stets $E_{\rm B}/N_{0} = 8$, so dass sich die Fehlerwahrscheinlichkeiten von BPSK und QAM im günstigsten Fall (ohne Phasenversatz) jeweils wie folgt ergeben   ⇒   [[Aufgaben:1.08Z_BPSK-Fehlerwahrscheinlichkeit\|Aufgabe 1.8Z]]:		Es gilt stets  $E_{\rm B}/N_{0} = 8$, so dass sich die Fehlerwahrscheinlichkeiten von BPSK und QAM im günstigsten Fall (ohne Phasenversatz) jeweils wie folgt ergeben   ⇒   [[Aufgaben:1.08Z_BPSK-Fehlerwahrscheinlichkeit\|Aufgabe 1.8Z]]:
	:$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}(4)= 0.317 \cdot 10^{-4}.$$		:$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}(4)= 0.317 \cdot 10^{-4}.$$

	Bezeichnet man den Abstand der BPSK–Nutzabtastwerte von der (vertikalen) Entscheiderschwelle mit $s_{0}$, so ergibt sich für den Rauscheffektivwert $\sigma_{d} = s_{0}/4$. Die helleren Kreise in der Grafik markieren die Höhenlinien mit dem Radius $2\sigma_{d}$ bzw. $3\sigma_{d}$ der Gaußschen 2D–WDF.		''Weitere Bemerkungen:''
			*Bezeichnet man den Abstand der BPSK–Nutzabtastwerte von der (vertikalen) Entscheiderschwelle mit  $s_{0}$, so ergibt sich für den Rauscheffektivwert  $\sigma_{d} = s_{0}/4$. Die helleren Kreise in der Grafik markieren die Höhenlinien mit dem Radius  $2\cdot \sigma_{d}$  bzw.  $3\cdot \sigma_{d}$  der Gaußschen 2D–WDF.

			*Bei der 4–QAM sind gegenüber der BPSK die Abstände der rot eingezeichneten Nutzabtastwerte von den nun zwei Entscheiderschwellen jeweils um den Faktor  $\sqrt{2}$  geringer, aber es ergibt sich auch ein um den gleichen Faktor kleinerer Rauscheffektivwert  $\sigma_{d}$.



	Bei der 4–QAM sind gegenüber der BPSK die Abstände der rot eingezeichneten Nutzabtastwerte von den nun zwei Entscheiderschwellen jeweils um den Faktor $\sqrt{2}$ geringer, aber es ergibt sich auch ein um den gleichen Faktor kleinerer Rauscheffektivwert $\sigma_{d}$.



	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation\|Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation\|Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation]].
	*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation#Phasenversatz_zwischen_Sender_und_Empf.C3.A4nger\|Phasenversatz zwischen Sender und Empfänger]].		*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation#Phasenversatz_zwischen_Sender_und_Empf.C3.A4nger\|Phasenversatz zwischen Sender und Empfänger]].

	*Die Werte der Q–Funktion können Sie mit dem Applet [[Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]] ermitteln.		*Die Werte der Q–Funktion können Sie mit dem Applet  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]  ermitteln.


Zeile 44:		Zeile 48:
	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>

	{Wie groß ist die Bitfehlerwahrscheinlichkeit bei BPSK mit $\Delta\phi_{\rm T} = 15^\circ$?		{Wie groß ist die Bitfehlerwahrscheinlichkeit bei BPSK mit  $\Delta\phi_{\rm T} = 15^\circ$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$p_{~~\rm~~ B} \ = \ $ { 0.0057 3% } $\ \% $		$p_\text{B, BPSK} \ = \ $ { 0.0057 3% } $\ \% $

	{Welche Bitfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich bei BPSK mit $\Delta\phi_{\rm T} = 45^\circ$?		{Welche Bitfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich bei BPSK mit  $\Delta\phi_{\rm T} = 45^\circ$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$p_{~~\rm~~ B} \ = \ $ { 0.233 3% } $\ \%$		$p_\text{B, BPSK} \ = \ $ { 0.233 3% } $\ \%$

	{Wie groß ist die Bitfehlerwahrscheinlichkeit bei 4–QAM mit $\Delta\phi_{\rm T} = 15^\circ$?		{Wie groß ist die Bitfehlerwahrscheinlichkeit bei 4–QAM mit  $\Delta\phi_{\rm T} = 15^\circ$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$p_{~~\rm~~ B} \ = \ $ { 0.117 3% } $\ \%$		$p_\text{B, 4-QAM} \ = \ $ { 0.117 3% } $\ \%$

	{Welche Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich bei 4–QAM mit $\Delta\phi_{\rm T} = 45^\circ$?		{Welche Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich bei 4–QAM mit  $\Delta\phi_{\rm T} = 45^\circ$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$p_{~~\rm~~ B} \ = \ $ { 25 3% } $\ \%$		$p_\text{B, 4-QAM} \ = \ $ { 25 3% } $\ \%$

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:34Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

← Nächstältere Version		Version vom 29. Mai 2018, 14:02 Uhr
Zeile 35:		Zeile 35:
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation\|Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation\|Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation]].
	*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation#Phasenversatz_zwischen_Sender_und_Empf.C3.A4nger\|Phasenversatz zwischen Sender und Empfänger]].		*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation#Phasenversatz_zwischen_Sender_und_Empf.C3.A4nger\|Phasenversatz zwischen Sender und Empfänger]].
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.
	*Die Werte der Q–Funktion können Sie mit dem Applet [[Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]] ermitteln.		*Die Werte der Q–Funktion können Sie mit dem Applet [[Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]] ermitteln.

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:1.09 BPSK und 4-QAM nach Aufgaben:Aufgabe 1.09: BPSK und 4-QAM

2018-01-04T06:21:45Z

Guenter verschob die Seite Aufgaben:1.09 BPSK und 4-QAM nach Aufgaben:Aufgabe 1.09: BPSK und 4-QAM

← Nächstältere Version		Version vom 4. Januar 2018, 08:21 Uhr
(kein Unterschied)

Guenter am 8. November 2017 um 10:19 Uhr

2017-11-08T10:19:17Z

← Nächstältere Version		Version vom 8. November 2017, 12:19 Uhr
Zeile 66:		Zeile 66:
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}

	'''(1)'''  Durch die Rotation des Phasendiagramms um $\Delta\phi_{\rm T} = ~~15°~~$ wird der Abstand der Nutzabtastwerte von der Schwelle um cos$(~~15°~~) \approx 0.966$ geringer. Daraus folgt:		'''(1)'''  Durch die Rotation des Phasendiagramms um $\Delta\phi_{\rm T} = 15^\circ$ wird der Abstand der Nutzabtastwerte von der Schwelle um $\cos(15^\circ) \approx 0.966$ geringer. Daraus folgt:
	:$$p_{\rm B} = {\rm Q}(0.966 \cdot 4) \approx {\rm Q}(3.86)\hspace{0.1cm}\underline {= 0.57 \~~cdot 10~~^{-4}}.$$		:$$p_{\rm B} = {\rm Q}(0.966 \cdot 4) \approx {\rm Q}(3.86)= 0.57 \cdot 10^{-4}\hspace{0.1cm}\underline {= 0.0057\, \%}.$$


			'''(2)'''  Analog zu Teilaufgabe (1) erhält man mit $cos(45^\circ) \approx 0.707$:
			:$$p_{\rm B} = {\rm Q}(0.707 \cdot 4) \approx {\rm Q}(2.83)\hspace{0.1cm}\underline {= 0.233 \, \%}.$$

	~~'''(2)'''  Analog zu Teilaufgabe (1) erhält man mit cos$(45°) \approx 0.707$:~~
	~~:$$p_{\rm B} = {\rm Q}(0.707 \cdot 4) \approx {\rm Q}(2.83)\hspace{0.1cm}\underline {= 0.233 \cdot 10^{-2}}.$$~~

	'''(3)'''  Bei 4–QAM wird durch die Rotation um $\Delta\phi_{\rm T}$ im Uhrzeigersinn der Abstand		'''(3)'''  Bei 4–QAM wird durch die Rotation um $\Delta\phi_{\rm T}$ im Uhrzeigersinn der Abstand
	*von der horizontalen Schwelle (Entscheidung des ersten Bits) gleich $s_{0} \cdot \cos(~~45°~~ + \Delta\phi_{\rm T})$, also kleiner als ohne Phasenversatz,		*von der horizontalen Schwelle (Entscheidung des ersten Bits) gleich $s_{0} \cdot \cos(45^\circ + \Delta\phi_{\rm T})$, also kleiner als ohne Phasenversatz,
	*von der vertikalen Schwelle (Entscheidung des zweiten Bits) gleich $s_{0} \cdot \cos(~~45° +~~ \Delta\phi_{\rm T})$, also größer als ohne Phasenversatz.		*von der vertikalen Schwelle (Entscheidung des zweiten Bits) gleich $s_{0} \cdot \cos(45^\circ - \Delta\phi_{\rm T})$, also größer als ohne Phasenversatz.

	Damit erhält man für die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit:		Damit erhält man für die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit:
	:$$p_{\rm B} = ~~\frac~~{1}{2} \cdot {\rm Q}\left ( \frac{\cos(45^\circ+{\rm \Delta} \phi_{\rm		:$$p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm Q}\left ( \frac{\cos(45^\circ+{\rm \Delta} \phi_{\rm
	T}) \cdot s_0}{0.25 \cdot s_0 / \sqrt{2}} \right		T}) \cdot s_0}{0.25 \cdot s_0 / \sqrt{2}} \right
	) + ~~\frac~~{1}{2} \cdot {\rm Q}\left ( \frac{\cos(45^\circ-{\rm \Delta} \phi_{\rm		) + {1}/{2} \cdot {\rm Q}\left ( \frac{\cos(45^\circ-{\rm \Delta} \phi_{\rm
	T}) \cdot s_0}{0.25 \cdot s_0 / \sqrt{2}}\right		T}) \cdot s_0}{0.25 \cdot s_0 / \sqrt{2}}\right
	).$$		).$$
	Hierbei ist der kleinere Rauscheffektivwert der 4–QAM bereits berücksichtigt. Zur Kontrolle berechnen wir die Fehlerwahrscheinlichkeit für $\Delta\phi_{\rm T} = 0$:		Hierbei ist der kleinere Rauscheffektivwert der 4–QAM bereits berücksichtigt. Zur Kontrolle berechnen wir die Fehlerwahrscheinlichkeit für $\Delta\phi_{\rm T} = 0$:
	:$$p_{\rm B} = ~~\frac~~{1}{2} \cdot {\rm Q}\left ( \frac{\cos(45^\circ) \cdot 4}{1 / \sqrt{2}} \right		:$$p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm Q}\left ( \frac{\cos(45^\circ) \cdot 4}{1 / \sqrt{2}} \right
	) +~~\frac~~{1}{2} \cdot {\rm Q}\left ( \frac{\cos(45^\circ) \cdot 4}{1 / \sqrt{2}} \right		) +{1}/{2} \cdot {\rm Q}\left ( \frac{\cos(45^\circ) \cdot 4}{1 / \sqrt{2}} \right
	)= {\rm Q}(4) = 0.317 \cdot 10^{-4}.$$		)= {\rm Q}(4) = 0.317 \cdot 10^{-4}.$$
	Dagegen erhält man mit $\Delta\phi_{\rm T} = ~~15°~~$:		Dagegen erhält man mit $\Delta\phi_{\rm T} = 15^\circ$:
	:$$p_{\rm B} = ~~\ \frac~~{1}{2} \cdot {\rm Q}\left ( \frac{\cos(60^\circ) \cdot 4}{1 / \sqrt{2}} \right		:$$p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm Q}\left ( \frac{\cos(60^\circ) \cdot 4}{1 / \sqrt{2}} \right
	) +~~\frac~~{1}{2} \cdot {\rm Q}\left ( \frac{\cos(30^\circ) \cdot 4}{1 / \sqrt{2}} \right		) +{1}/{2} \cdot {\rm Q}\left ( \frac{\cos(30^\circ) \cdot 4}{1 / \sqrt{2}} \right
	)= $$		)= {1}/{2} \cdot \left [{\rm Q}(2.83)+ {\rm Q}(4.90)\right]$$
	~~:$$\hspace{0.6cm}= \ \frac~~{1}{2} \cdot \left [{\rm Q}(2.83)+ {\rm Q}(4.90)\right] \approx		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm B} \approx
	\frac{1}{2} \cdot \left [0.233 \cdot 10^{-2}+ 0.479 \cdot 10^{-6}\right] \hspace{0.1cm}\underline {= 0.117 \cdot 10^{-2}}.$$		\frac{1}{2} \cdot \left [0.233 \cdot 10^{-2}+ 0.479 \cdot 10^{-6}\right] \hspace{0.1cm}\underline {= 0.117 \, \%}.$$


			'''(4)'''  Bei einem Phasenversatz von $45^\circ$ erhält man aus der oben allgemein hergeleiteten Gleichung:
			:$$p_{\rm B} ={1}/{2} \cdot {\rm Q}\left ( \frac{\cos(90^\circ) \cdot 4}{1 / \sqrt{2}} \right
			) +{1}/{2} \cdot {\rm Q}\left ( \frac{\cos(0^\circ) \cdot 4}{1 / \sqrt{2}} \right
			)= {1}/{2} \cdot \left [{\rm Q}(0)+ {\rm Q}(5.66)\right] \approx 0.25\hspace{0.1cm}\underline {= 25 \, \%}.$$

	~~'''(4)'''  Bei einem Phasenversatz von $45°$ erhält man aus der oben allgemein hergeleiteten Gleichung:~~
	~~:$$p_{\rm B} = \ \frac{1}{2} \cdot {\rm Q}\left ( \frac{\cos(90^\circ) \cdot 4}{1 / \sqrt{2}} \right~~
	~~) +\frac{1}{2} \cdot {\rm Q}\left ( \frac{\cos(0^\circ) \cdot 4}{1 / \sqrt{2}} \right~~
	~~)=$$~~
	~~:$$ \hspace{0.6cm} = \ \frac{1}{2} \cdot \left [{\rm Q}(0)+ {\rm Q}(5.66)\right] \hspace{0.1cm}\underline {\approx 0.25}.$$~~
	Das heißt: Die Fehlentscheidung für das erste Bit ist $50\%$. Dagegen wird das zweite Bit nahezu fehlerfrei $(\approx 10^{–8})$ entschieden. Insgesamt ergibt sich so eine mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit von ca. $25\%$.		Das heißt: Die Fehlentscheidung für das erste Bit ist $50\%$. Dagegen wird das zweite Bit nahezu fehlerfrei $(\approx 10^{–8})$ entschieden. Insgesamt ergibt sich so eine mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit von ca. $25\%$.