Aufgaben:Aufgabe 1.08Z: BPSK-Fehlerwahrscheinlichkeit - Versionsgeschichte

Guenter am 6. Mai 2022 um 15:24 Uhr

2022-05-06T15:24:25Z

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2022-05-06T15:18:38Z

Tasnad: Textersetzung - „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)“ durch „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen“

2020-06-10T15:50:12Z

Textersetzung - „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)“ durch „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen“

Guenter am 7. Februar 2019 um 14:12 Uhr

2019-02-07T14:12:22Z

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2019-02-07T14:06:10Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:34Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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 :$$E_{\rm B} = s_0^2 \cdot T_{\rm B}= (4\,{\rm V})^2 \cdot
 ^{-9}\,{\rm s}\hspace{0.1cm}\underline {= 1.6 \cdot 10^{-8}\,{\rm V^2s}}.$$
-Natürlich ergibt sich mit der zusätzlich angegebenen Gleichung die genau gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit:
+*Natürlich ergibt sich mit der zusätzlich angegebenen Gleichung die genau gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit:
 :$$p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right
   ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot 16 \cdot 10^{-9}\,{\rm V^2s}}{2 \cdot 10^{-9}\, {\rm
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   ) =  {\rm Q}(4)= 0.317 \cdot 10^{-4}.$$
-Ein Vergleich mit der Teilaufgabe '''(4)''' von [[Aufgaben:1.08_Vergleich_ASK_und_BPSK|Aufgabe A1.8]] zeigt, dass &nbsp;$E_{\rm B}/N_{0} = 8$&nbsp; nicht (exakt) gleich &nbsp;$10 \cdot \lg E_{\rm B}/N_{0} = 9 \ \rm dB$&nbsp; ist. Im ersten Fall ergibt sich &nbsp;$p_{\rm BB} = 0.317 \cdot 10^{–4}$, im zweiten &nbsp;$p_{\rm BB} = 0.336 \cdot 10^{-4}$.
+*Ein Vergleich mit der Teilaufgabe&nbsp; '''(4)'''&nbsp; von&nbsp; [[Aufgaben:1.08_Vergleich_ASK_und_BPSK|Aufgabe A1.8]]&nbsp; zeigt,&nbsp; dass &nbsp;$E_{\rm B}/N_{0} = 8$&nbsp; nicht&nbsp; (exakt)&nbsp; gleich &nbsp;$10 \cdot \lg E_{\rm B}/N_{0} = 9 \ \rm dB$&nbsp; ist.&nbsp;
 '''(3)'''&nbsp; Bei halber Sendeamplitude $s_{0} = 2 \ \rm V$ sinkt die Energie pro Bit auf ein Viertel und es gelten folgende Gleichungen:
 :$$p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0}{\sigma_d } \right )= {\rm Q}\left ( \frac{2\,{\rm V}}{1\,{\rm V}} \right )\hspace{0.1cm}\underline {= {\rm Q}(2)= 2.27 \%},$$
 :$$p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot 4 \cdot 10^{-9}\,{\rm V^2s}}{2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}(2)= 2.27 \%.$$
-'''(4)'''&nbsp; Unter Berücksichtigung der nur mehr halben Energie $E_{\rm B} = s^{2}_{0} \cdot T_{\rm B}/2$ erhält man mit $\sigma^{2}_{d} = N_{0}/T_{\rm B}$ und
+'''(4)'''&nbsp; Unter Berücksichtigung der nur mehr halben Energie&nbsp; $E_{\rm B} = s^{2}_{0} \cdot T_{\rm B}/2$&nbsp; erhält man mit&nbsp; $\sigma^{2}_{d} = N_{0}/T_{\rm B}$&nbsp; und
 :$$p_{\rm BPSK} = {\rm Q}\left ( {s_0}/{\sigma_d } \right )= {\rm Q}\left ( \sqrt{{s_0^2 \cdot T_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }}\hspace{0.1cm}\right )$$
 das genau gleiche Ergebnis wie beim optimalen Basisbandsystem &nbsp; &rArr; &nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>.

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 Wir gehen vom optimalen Basisbandübertragungssystem für Binärsignale aus mit
 *bipolaren Amplitudenkoeffizienten &nbsp;$a_{\nu} \in \{–1, +1\}$,
 *rechteckförmigem Sendesignal mit den Signalwerten &nbsp;$\pm s_{0}$&nbsp; und der Bitdauer &nbsp;$T_{\rm B}$,
 *AWGN–Rauschen mit der Rauschleistungsdichte &nbsp;$N_{0}$,
 *Empfangsfilter gemäß dem Matched–Filter–Prinzip,
 *Entscheider mit der optimalen Schwelle &nbsp;$E = 0$.
-Wenn nichts anderes angegeben, sollten Sie zudem von den folgenden Zahlenwerten ausgehen:
+Wenn nichts anderes angegeben,&nbsp; sollten Sie zudem von den folgenden Zahlenwerten ausgehen:
 :$$ s_0 = 4\,{\rm V},\hspace{0.2cm} T_{\rm B} = 1\,{\rm ns},\hspace{0.2cm}N_0 = 2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} \hspace{0.05cm}.$$
-Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit dieses „Basisbandsystems” wurde bereits im Kapitel &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung|Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung]]&nbsp; angegeben (Index: &nbsp;BB):
+Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit dieses „Basisbandsystems” wurde bereits im Kapitel &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung|"Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung"]]&nbsp; angegeben $($Index: &nbsp;$\rm BB)$:
 :$$p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0}{\sigma_d } \right )\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}\sigma_d = \sqrt{\frac{N_0}{2 \cdot T_{\rm B}}}.$$
-Hierbei bezeichnet &nbsp;$\sigma_{d}$&nbsp; den Rauscheffektivwert am Entscheider und &nbsp;${\rm Q}(x)$&nbsp; die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion, die hier tabellarisch gegeben ist.
+Hierbei bezeichnet &nbsp;$\sigma_{d}$&nbsp; den Rauscheffektivwert am Entscheider und &nbsp;${\rm Q}(x)$&nbsp; die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion,&nbsp; die hier tabellarisch gegeben ist.&nbsp; Diese Fehlerwahrscheinlichkeit kann man auch in der Form
 :$$p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right )$$
-schreiben, wobei &nbsp;$E_{\rm B}$&nbsp; die „Energie pro Bit” bezeichnet.
+schreiben,&nbsp; wobei &nbsp;$E_{\rm B}$&nbsp; die „Energie pro Bit” bezeichnet.
-Die Fehlerwahrscheinlichkeit eines vergleichbaren Übertragungssystems mit ''Binary Phase Shift Keying'' lautet  (Index: &nbsp;BPSK):
+Die Fehlerwahrscheinlichkeit eines vergleichbaren Übertragungssystems mit&nbsp; "Binary Phase Shift Keying"&nbsp; lautet  $($Index: &nbsp;$\rm BPSK)$:
 :$$p_{\rm BPSK} = {\rm Q}\left ( {s_0}/{\sigma_d } \right )\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}\sigma_d = \sqrt{{N_0}/{T_{\rm B}}}.$$
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-''Hinweise:''
+*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung|"Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung"]].
-*Sie können die Ergebnisse mit dem Applet&nbsp; [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]] überprüfen.
+*Sie können die Ergebnisse mit dem Applet&nbsp; [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|"Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen"]]&nbsp; überprüfen.
 *Da hier der Signalwert &nbsp;$s_{0}$&nbsp; in „Volt” angegeben ist und keine Angabe zum Bezugswiderstand gemacht wird, hat &nbsp;$E_{\rm B}$&nbsp; die Einheit „$\rm V^{2}/Hz$”.
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 <quiz display=simple>
-{Es gelte &nbsp;$s_{0} = 4 \, \rm V$. Wie groß ist die Fehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm BB}$&nbsp; des Basisbandsystems?
+{Es gelte &nbsp;$s_{0} = 4 \, \rm V$.&nbsp; Wie groß ist die Fehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm BB}$&nbsp; des Basisbandsystems?
 |type="{}"}
 $p_{\rm BB} \ = \ $ { 0.00317 3% } $\ \% $
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 $E_{\rm B} \ = \ $ { 1.6 3% } $\ \cdot 10^{-8}\  \rm V^{2}s $
-{Welche Fehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm BB}$&nbsp; ergibt sich bei halber Sendeamplitude &nbsp;$(s_{0} = 2 \, \rm V)$?
+{Welche Fehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm BB}$&nbsp; ergibt sich bei halber Sendeamplitude &nbsp; $(s_{0} = 2 \, \rm V)$?
 |type="{}"}
 $p_{\rm BB} \ = \ $ {  2.27 3% } $\ \% $
-{Geben Sie die Fehlerwahrscheinlichkeit der BPSK abhängig vom Quotienten &nbsp;$E_{\rm B}/N_{0}$&nbsp; an. Welches Ergebnis stimmt?
+{Geben Sie die Fehlerwahrscheinlichkeit der BPSK abhängig vom Quotienten &nbsp;$E_{\rm B}/N_{0}$&nbsp; an.&nbsp; Welches Ergebnis stimmt?
 |type="[]"}
 - $p_{\rm BPSK} =  {\rm Q}\big [(E_{\rm B}/N_{0})^{1/2}\big ]$,

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 *Bezug genommen wird auch auf das Kapitel&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung|Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung]].
-*Sie können die Ergebnisse mit dem Applet&nbsp; [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]] überprüfen.
+*Sie können die Ergebnisse mit dem Applet&nbsp; [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]] überprüfen.
 *Da hier der Signalwert &nbsp;$s_{0}$&nbsp; in „Volt” angegeben ist und keine Angabe zum Bezugswiderstand gemacht wird, hat &nbsp;$E_{\rm B}$&nbsp; die Einheit „$\rm V^{2}/Hz$”.

@@ Zeile 78: / Zeile 78: @@
 :$$\sigma_d = \sqrt{\frac{N_0}{2 \cdot T_{\rm B}}}= \sqrt{\frac{2 \cdot 10^{-9}\,{\rm V^2/Hz}}{2 \cdot 1\,{\rm ns}}}= 1\,{\rm V}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ({s_0}/{\sigma_d } \right
   )=  {\rm Q}(4)= 0.317 \cdot 10^{-4}\hspace{0.1cm}\underline {= 0.00317 \%}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Beim Basisbandsystem gilt:
@@ Zeile 88: / Zeile 89: @@
   ) =  {\rm Q}(4)= 0.317 \cdot 10^{-4}.$$
-Ein Vergleich mit der Teilaufgabe (4) von [[Aufgaben:1.08_Vergleich_ASK_und_BPSK|Aufgabe A1.8]] zeigt, dass $E_{\rm B}/N_{0} = 8$ nicht (exakt) gleich $10 \cdot \lg E_{\rm B}/N_{0} = 9 \ \rm dB$ ist. Im ersten Fall ergibt sich $p_{\rm BB} = 0.317 \cdot 10^{–4}$, im zweiten $p_{\rm BB} = 0.336 \cdot 10^{-4}$.
+Ein Vergleich mit der Teilaufgabe '''(4)''' von [[Aufgaben:1.08_Vergleich_ASK_und_BPSK|Aufgabe A1.8]] zeigt, dass &nbsp;$E_{\rm B}/N_{0} = 8$&nbsp; nicht (exakt) gleich &nbsp;$10 \cdot \lg E_{\rm B}/N_{0} = 9 \ \rm dB$&nbsp; ist. Im ersten Fall ergibt sich &nbsp;$p_{\rm BB} = 0.317 \cdot 10^{–4}$, im zweiten &nbsp;$p_{\rm BB} = 0.336 \cdot 10^{-4}$.
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 das genau gleiche Ergebnis wie beim optimalen Basisbandsystem &nbsp; &rArr; &nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
 '''(5)'''&nbsp; Es ergeben sich die genau gleichen Ergebnisse wie bei der Basisbandübertragung:
 :$${ E_{\rm B}}/{N_0 }= 8{\rm :} \hspace{0.2cm}p_{\rm BPSK} = {\rm Q}(\sqrt{16}) =  {\rm Q}(4)\hspace{0.1cm}\underline {= 0.00317 \%},$$
 :$${ E_{\rm B}}/{N_0 }= 2{\rm :} \hspace{0.2cm}p_{\rm BPSK} = {\rm Q}(\sqrt{4}) =  {\rm Q}(2) \hspace{0.1cm}\underline {= 2.27 \%}.$$

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 }}
-[[Datei:P_ID1681__Dig_Z_4_1.png|right|frame|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion]]
+[[Datei:P_ID1681__Dig_Z_4_1.png|right|frame|Zahlenwerte der Funktion &nbsp;${\rm Q}(x)$]]
 Wir gehen vom optimalen Basisbandübertragungssystem für Binärsignale aus mit
-*bipolaren Amplitudenkoeffizienten $a_{\nu} \in \{–1, +1\}$,
+*bipolaren Amplitudenkoeffizienten &nbsp;$a_{\nu} \in \{–1, +1\}$,
-*rechteckförmigem Sendesignal mit den Signalwerten $\pm s_{0}$ und der Bitdauer $T_{\rm B}$,
+*rechteckförmigem Sendesignal mit den Signalwerten &nbsp;$\pm s_{0}$&nbsp; und der Bitdauer &nbsp;$T_{\rm B}$,
-*AWGN–Rauschen mit der Rauschleistungsdichte $N_{0}$,
+*AWGN–Rauschen mit der Rauschleistungsdichte &nbsp;$N_{0}$,
 *Empfangsfilter gemäß dem Matched–Filter–Prinzip,
-*Entscheider mit der optimalen Schwelle $E = 0$.
+*Entscheider mit der optimalen Schwelle &nbsp;$E = 0$.
-Wenn nichts anderes angegeben ist, so sollten Sie zudem von den folgenden Zahlenwerten ausgehen:
+Wenn nichts anderes angegeben, sollten Sie zudem von den folgenden Zahlenwerten ausgehen:
 :$$ s_0 = 4\,{\rm V},\hspace{0.2cm} T_{\rm B} = 1\,{\rm ns},\hspace{0.2cm}N_0 = 2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} \hspace{0.05cm}.$$
-Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit dieses „Basisbandsystems” wurde bereits im Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung|Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung]] angegeben (Index BB):
+Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit dieses „Basisbandsystems” wurde bereits im Kapitel &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung|Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung]]&nbsp; angegeben (Index: &nbsp;BB):
 :$$p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0}{\sigma_d } \right )\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}\sigma_d = \sqrt{\frac{N_0}{2 \cdot T_{\rm B}}}.$$
-Hierbei bezeichnet $\sigma_{d}$ den Rauscheffektivwert am Entscheider und ${\rm Q}(x)$ die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion, die hier tabellarisch gegeben ist.
+Hierbei bezeichnet &nbsp;$\sigma_{d}$&nbsp; den Rauscheffektivwert am Entscheider und &nbsp;${\rm Q}(x)$&nbsp; die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion, die hier tabellarisch gegeben ist.
 Diese Fehlerwahrscheinlichkeit kann man auch in der Form
 :$$p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right )$$
-schreiben, wobei $E_{\rm B}$ die „Energie pro Bit” bezeichnet. Die Fehlerwahrscheinlichkeit eines vergleichbaren Übertragungssystems mit Binary Phase Shift Keying (BPSK) lautet:
+schreiben, wobei &nbsp;$E_{\rm B}$&nbsp; die „Energie pro Bit” bezeichnet.
 :$$p_{\rm BPSK} = {\rm Q}\left ( {s_0}/{\sigma_d } \right )\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}\sigma_d = \sqrt{{N_0}/{T_{\rm B}}}.$$
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation|Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp;  [[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation|Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation]].
-*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung|Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung]].
+*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung|Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung]].
-*Sie können die Ergebnisse mit dem Applet [[Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]] überprüfen.
+*Sie können die Ergebnisse mit dem Applet&nbsp; [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]] überprüfen.
-*Da hier der Signalwert $s_{0}$ in „Volt” angegeben ist und keine Angabe über den Bezugswiderstand gemachjt wird, besitzt $E_{\rm B}$ die Einheit „$\rm V^{2}/Hz$”.
+*Da hier der Signalwert &nbsp;$s_{0}$&nbsp; in „Volt” angegeben ist und keine Angabe zum Bezugswiderstand gemacht wird, hat &nbsp;$E_{\rm B}$&nbsp; die Einheit „$\rm V^{2}/Hz$”.
@@ Zeile 40: / Zeile 46: @@
 <quiz display=simple>
-{Es gelte $s_{0} = 4 \, \rm V$. Wie groß ist die Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm BB}$ des Basisbandsystems?
+{Es gelte &nbsp;$s_{0} = 4 \, \rm V$. Wie groß ist die Fehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm BB}$&nbsp; des Basisbandsystems?
 |type="{}"}
 $p_{\rm BB} \ = \ $ { 0.00317 3% } $\ \% $
-{Wie groß ist die Energie pro Bit beim Basisbandsystem mit $s_{0} = 4 \, \rm V$?
+{Wie groß ist die Energie pro Bit beim Basisbandsystem mit &nbsp;$s_{0} = 4 \, \rm V$?
 |type="{}"}
 $E_{\rm B} \ = \ $ { 1.6 3% } $\ \cdot 10^{-8}\  \rm V^{2}s $
-{Welche Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm BB}$ ergibt sich bei halber Sendeamplitude $(s_{0} = 2 \, \rm V)$?
+{Welche Fehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm BB}$&nbsp; ergibt sich bei halber Sendeamplitude &nbsp;$(s_{0} = 2 \, \rm V)$?
 |type="{}"}
 $p_{\rm BB} \ = \ $ {  2.27 3% } $\ \% $
-{Geben Sie die Fehlerwahrscheinlichkeit der BPSK abhängig vom Quotienten $E_{\rm B}/N_{0}$ an. Welches Ergebnis stimmt?
+{Geben Sie die Fehlerwahrscheinlichkeit der BPSK abhängig vom Quotienten &nbsp;$E_{\rm B}/N_{0}$&nbsp; an. Welches Ergebnis stimmt?
 |type="[]"}
 - $p_{\rm BPSK} =  {\rm Q}\big [(E_{\rm B}/N_{0})^{1/2}\big ]$,
@@ Zeile 58: / Zeile 64: @@
 -$p_{\rm BPSK} =  {\rm Q}\big [(4\cdot E_{\rm B}/N_{0})^{1/2}\big ]$.
-{Welche Fehlerwahrscheinlichkeiten ergeben sich für $E_{\rm B}/N_{0} = 8$ und  $E_{\rm B}/N_{0} = 2$?
+{Welche Fehlerwahrscheinlichkeiten ergeben sich für die BPSK und &nbsp;$E_{\rm B}/N_{0} = 8$&nbsp; bzw.  &nbsp;$E_{\rm B}/N_{0} = 2$?
 |type="{}"}
 $E_{\rm B}/N_{0} = 8\text{:}\hspace{0.4cm}  p_{\rm BPSK} \ = \ $ { 0.00317 3% } $\ \% $