Aufgaben:Aufgabe 1.08Z: Äquivalente Codes - Versionsgeschichte

Guenter am 11. Juli 2022 um 12:09 Uhr

2022-07-11T12:09:37Z

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2022-07-11T11:57:20Z

Guenter am 9. Mai 2019 um 14:32 Uhr

2019-05-09T14:32:41Z

Guenter am 9. Mai 2019 um 14:27 Uhr

2019-05-09T14:27:00Z

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2018-01-03T09:01:59Z

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Guenter am 15. Dezember 2017 um 13:31 Uhr

2017-12-15T13:31:37Z

Guenter am 15. Dezember 2017 um 13:24 Uhr

2017-12-15T13:24:48Z

Guenter am 15. Dezember 2017 um 13:18 Uhr

2017-12-15T13:18:19Z

Mohamed: /* Musterlösung */

2017-12-14T18:16:12Z

Musterlösung

Mohamed: /* Fragebogen */

2017-12-14T18:08:58Z

Fragebogen

@@ Zeile 83: / Zeile 83: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Antworten  1, 3 und 4</u>:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Antworten  1, 3 und 4</u>:
-*Für einen systematischen (6, 3)–Blockcode muss gelten:
+*Für einen systematischen&nbsp; $(6, 3)$–Blockcode muss gelten:
 :$$\underline{x} = ( x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6) = ( u_1, u_2, u_3, p_1, p_2, p_{3}) \hspace{0.05cm}.$$
-Diese Bedingung erfüllen Code A, Code C und Code D, nicht aber Code B.
+*Diese Bedingung erfüllen Code&nbsp; $\rm A$,&nbsp; Code&nbsp; $\rm C$&nbsp; und&nbsp; Code&nbsp; $\rm D$,&nbsp; nicht aber Code&nbsp; $\rm B$.
-'''(2)'''&nbsp; Richtig ist nur <u>Antwort  1</u>:
+'''(2)'''&nbsp; Richtig ist nur&nbsp; <u>Antwort  1</u>:
-*Nur Code A und Code B sind identische Codes. Sie beinhalten genau die gleichen Codeworte und unterscheiden sich nur durch andere Zuordnungen $\underline{u} \rightarrow \underline{x}$.
+*Nur&nbsp; Code&nbsp; $\rm A$&nbsp; und&nbsp; Code&nbsp; $\rm B$&nbsp; sind identische Codes.&nbsp; Sie beinhalten genau die gleichen Codeworte und unterscheiden sich nur durch andere Zuordnungen&nbsp; $\underline{u} \rightarrow \underline{x}$.
 *Wie in der Musterlösung zur [[Aufgaben:1.08_Identische_Codes|Aufgabe A1.8 (3)]] angegeben, gelangt man von der Generatormatrix ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}$  zur Generatormatrix ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm A}$
-:*allein durch Vertauschen/Permutieren von Zeilen, oder
+*Wie in der Musterlösung zur&nbsp; [[Aufgaben:1.08_Identische_Codes|"Aufgabe A1.8 (3)"]] angegeben,&nbsp; gelangt man von der Generatormatrix&nbsp; ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}$&nbsp;  zur&nbsp; Generatormatrix ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm A}$
 :*durch Ersetzen einer Zeile durch die Linearkombination zwischen dieser Zeile und einer anderen.
-'''(3)'''&nbsp; Richtig ist somit allein <u>Antwort 2</u>:
+'''(3)'''&nbsp; Richtig ist somit allein&nbsp; <u>Antwort 2</u>:
-*Code A und Code B sind mehr als äquivalent, nämlich identisch.
+*Code&nbsp; $\rm A$&nbsp; und&nbsp; Code&nbsp; $\rm B$&nbsp; sind mehr als äquivalent,&nbsp; nämlich identisch.
 *Die letzte Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}$ ergibt die erste Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C}$.
-*Die erste Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}$ ergibt die zweite Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C}$.
+'''(4)'''&nbsp; Richtig ist&nbsp; <u>Antwort 3</u>:
 *Die zweite Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}$ ergibt die dritte Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C}$, usw.
 '''(5)'''&nbsp; Alle Aussagen treffen zu</u>:
-*Die Bedingung ${ \boldsymbol{\rm H}} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}^{\rm T} = \boldsymbol{0}$ gilt für alle linearen Codes.
+*Die Bedingung&nbsp; ${ \boldsymbol{\rm H}} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}^{\rm T} = \boldsymbol{0}$&nbsp; gilt für alle linearen Codes.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID2394__KC_Z_1_8.png|right|frame|Vier &nbsp;$(6, 3)$–Blockcodes]]
-In der Grafik sind die Zuordnungen&nbsp; $\underline{u} \rightarrow \underline{x}$&nbsp; für verschiedene Codes angegeben, die im Folgenden jeweils durch die Generatormatrix&nbsp; $\boldsymbol{\rm G}$&nbsp; und die Prüfmatrix&nbsp; $\boldsymbol{\rm H}$&nbsp; charakterisiert werden:
+In der Grafik sind die Zuordnungen&nbsp; $\underline{u} \rightarrow \underline{x}$&nbsp; für verschiedene Codes angegeben,&nbsp; die im Folgenden jeweils durch die Generatormatrix&nbsp; $\boldsymbol{\rm G}$&nbsp; und die Prüfmatrix&nbsp; $\boldsymbol{\rm H}$&nbsp; charakterisiert werden:
 *${\boldsymbol{\rm Code \ A}}$:
@@ Zeile 19: / Zeile 19: @@
 :$${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm D} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &0 &1\\ 0 &1 &0 &1 &0 &0\\ 0 &0 &1 &0 &1 &0 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm D} = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 0 &0 &1 &0 &1 &0\\ 1 &0 &0 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
-In dieser Aufgabe soll untersucht werden, welche dieser Codes bzw. Codepaare
+In dieser Aufgabe soll untersucht werden,&nbsp; welche dieser Codes bzw. Codepaare
 *systematisch sind,
@@ Zeile 27: / Zeile 27: @@
-''Hinweise'' :
+*Anzumerken ist,&nbsp; dass die Angabe einer Prüfmatrix&nbsp; $\boldsymbol{\rm H}$&nbsp; nicht eindeutig ist.&nbsp; Verändert man die Reihenfolge der Gleichungen,&nbsp; entspricht dies der Vertauschung von Zeilen.
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 |type="[]"}
-+ Code &nbsp;$\rm A$&nbsp; und Code &nbsp;$\rm B$,
++ Code &nbsp;$\rm A$&nbsp; und&nbsp; Code &nbsp;$\rm B$,
-- Code &nbsp;$\rm B$&nbsp; und Code &nbsp;$\rm C$,
+- Code &nbsp;$\rm B$&nbsp; und&nbsp; Code &nbsp;$\rm C$,
-- Code &nbsp;$\rm C$&nbsp; und Code &nbsp;$\rm D$.
+- Code &nbsp;$\rm C$&nbsp; und&nbsp; Code &nbsp;$\rm D$.
-{Welche der gegebenen Codepaare sind äquivalent, aber nicht identisch?
+{Welche der gegebenen Codepaare sind äquivalent,&nbsp; aber nicht identisch?
 |type="[]"}
-- Code &nbsp;$\rm A$&nbsp; und Code &nbsp;$\rm B$,
+- Code &nbsp;$\rm A$&nbsp; und&nbsp; Code &nbsp;$\rm B$,
-+ Code &nbsp;$\rm B$&nbsp; und Code &nbsp;$\rm C$,
++ Code &nbsp;$\rm B$&nbsp; und&nbsp; Code &nbsp;$\rm C$,
-- Code &nbsp;$\rm C$&nbsp; und Code &nbsp;$\rm D$.
+- Code &nbsp;$\rm C$&nbsp; und&nbsp; Code &nbsp;$\rm D$.
 {Wie unterscheiden sich die Generatormatrizen&nbsp; $G_{\rm B}$&nbsp; und&nbsp; $G_{\rm C}$?

@@ Zeile 90: / Zeile 90: @@
 :$$\underline{x} = ( x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6) = ( u_1, u_2, u_3, p_1, p_2, p_{3}) \hspace{0.05cm}.$$
-Diese Bedingung erfüllen die Code A, Code C und Code D, nicht aber Code B.
+Diese Bedingung erfüllen Code A, Code C und Code D, nicht aber Code B.
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 *Nur Code A und Code B sind identische Codes. Sie beinhalten genau die gleichen Codeworte und unterscheiden sich nur durch andere Zuordnungen $\underline{u} \rightarrow \underline{x}$.
 *Wie in der Musterlösung zur [[Aufgaben:1.08_Identische_Codes|Aufgabe A1.8 (3)]] angegeben, gelangt man von der Generatormatrix ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}$  zur Generatormatrix ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm A}$
-:*allein durch Vertauschen/Permutieren von Zeilen,
+:*allein durch Vertauschen/Permutieren von Zeilen, oder
-:*oder durch Ersetzen einer Zeile durch die Linearkombination zwischen dieser Zeile und einer anderen.
+:*durch Ersetzen einer Zeile durch die Linearkombination zwischen dieser Zeile und einer anderen.
@@ Zeile 104: / Zeile 106: @@
 *Code C und D unterscheiden sich zum Beispiel auch durch die minimale Hamming–Distanz $d_{\rm min} = 3$ bzw. $d_{\rm min} = 2$ und sind somit auch nicht äquivalent.
 *Code B und Code C zeigen dagegen  gleiche Eigenschaften, beispielsweise gilt für beide $d_{\rm min} = 3$. Sie beinhalten aber andere Codeworte.
@@ Zeile 111: / Zeile 115: @@
 *Die erste Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}$ ergibt die zweite Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C}$.
 *Die zweite Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}$ ergibt die dritte Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C}$, usw.

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 }}
-[[Datei:P_ID2394__KC_Z_1_8.png|right|frame|Vier verschiedene <br>(6, 3)–Blockcodes]]
+[[Datei:P_ID2394__KC_Z_1_8.png|right|frame|Vier &nbsp;$(6, 3)$–Blockcodes]]
-In der Grafik sind die Zuordnungen $\underline{u} \rightarrow \underline{x}$ für verschiedene Codes angegeben, die im Folgenden jeweils durch die Generatormatrix $\boldsymbol{\rm G}$ und die Prüfmatrix $\boldsymbol{\rm H}$ charakterisiert werden:
+In der Grafik sind die Zuordnungen&nbsp; $\underline{u} \rightarrow \underline{x}$&nbsp; für verschiedene Codes angegeben, die im Folgenden jeweils durch die Generatormatrix&nbsp; $\boldsymbol{\rm G}$&nbsp; und die Prüfmatrix&nbsp; $\boldsymbol{\rm H}$&nbsp; charakterisiert werden:
 *${\boldsymbol{\rm Code \ A}}$:
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 *systematisch sind,
-*identisch sind (das heißt: Verschiedene Codes haben gleiche Codeworte),
+*identisch sind&nbsp; (das heißt: &nbsp; Verschiedene Codes haben gleiche Codeworte),
-*äquivalent sind (das heißt: Verschiedene Codes haben gleiche Codeparameter).
+*äquivalent sind&nbsp; (das heißt: &nbsp; Verschiedene Codes haben gleiche Codeparameter).
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 ''Hinweise'' :
-*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes|Allgemeine Beschreibung linearer Blockcodes]].
+*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes|Allgemeine Beschreibung linearer Blockcodes]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Systematische_Codes|Systematische Codes]] sowie [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Identische_Codes|Identische Codes]] .
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten&nbsp; [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Systematische_Codes|Systematische Codes]]&nbsp; sowie&nbsp; [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Identische_Codes|Identische Codes]].
-*Anzumerken ist, dass die Angabe einer Prüfmatrix $\boldsymbol{\rm H}$ nicht eindeutig ist. Verändert man die Reihenfolge der Prüfgleichungen, so entspricht dies einer Vertauschung von Zeilen.
+*Anzumerken ist, dass die Angabe einer Prüfmatrix&nbsp; $\boldsymbol{\rm H}$&nbsp; nicht eindeutig ist.
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 {Welche der nachfolgend aufgeführten Codes sind systematisch?
 |type="[]"}
-+ Code A,
++ Code &nbsp;$\rm A$,
-- Code B,
+- Code &nbsp;$\rm B$,
-+ Code C,
++ Code &nbsp;$\rm C$,
-+ Code D.
++ Code &nbsp;$\rm D$.
 {Welche der vorgegebenen Codepaare sind identisch?
 |type="[]"}
-+ Code A und Code B,
++ Code &nbsp;$\rm A$&nbsp; und Code &nbsp;$\rm B$,
--Code B und Code C,
+- Code &nbsp;$\rm B$&nbsp; und Code &nbsp;$\rm C$,
--Code C und Code D.
+- Code &nbsp;$\rm C$&nbsp; und Code &nbsp;$\rm D$.
 {Welche der gegebenen Codepaare sind äquivalent, aber nicht identisch?
 |type="[]"}
-- Code A und Code B,
+- Code &nbsp;$\rm A$&nbsp; und Code &nbsp;$\rm B$,
-+ Code B und Code C,
++ Code &nbsp;$\rm B$&nbsp; und Code &nbsp;$\rm C$,
-- Code C und Code D.
+- Code &nbsp;$\rm C$&nbsp; und Code &nbsp;$\rm D$.
-{Wie unterscheiden sich die Generatormatrizen $G_{\rm B}$ und $G_{\rm C}$?
+{Wie unterscheiden sich die Generatormatrizen&nbsp; $G_{\rm B}$&nbsp; und&nbsp; $G_{\rm C}$?
 |type="[]"}
 - Durch verschiedene Linearkombinationen verschiedener Zeilen.
-- Durch zyklische Vertauschung der Zeilen um 1 nach unten.
+- Durch zyklische Vertauschung der Zeilen um &nbsp;$1$&nbsp; nach unten.
-+  Durch zyklische Vertauschung der Spalten um 1 nach rechts.
++  Durch zyklische Vertauschung der Spalten um &nbsp;$1$&nbsp; nach rechts.
-{Bei welchen Codes gilt ${ \boldsymbol{\rm H}} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}^{\rm T} = \boldsymbol{0}$?
+{Bei welchen Codes gilt&nbsp; ${ \boldsymbol{\rm H}} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}^{\rm T} = \boldsymbol{0}$?
 |type="[]"}
-+ Code A,
++ Code &nbsp;$\rm A$,
-+ Code B,
++ Code &nbsp;$\rm B$,
-+ Code C,
++ Code &nbsp;$\rm C$,
-+ Code D.
++ Code &nbsp;$\rm D$.

@@ Zeile 88: / Zeile 88: @@
-'''(2)'''&nbsp; Nur Code A und Code B sind identische Codes $\Rightarrow$ <u>Antwort 1</u>. Sie beinhalten genau die gleichen Codeworte und unterscheiden sich nur durch andere Zuordnungen $\underline{u} \rightarrow \underline{x}$. Wie in der Musterlösung zur [[Aufgaben:1.08_Identische_Codes|Aufgabe A1.08 (3)]] angegeben, gelangt man von der Generatormatrix ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}$  zur Generatormatrix ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm A}$  allein durch Vertauschen/Permutieren von Zeilen oder durch Ersetzen einer Zeile durch die Linearkombination zwischen dieser Zeile und einer anderen.
+'''(2)'''&nbsp; Richtig ist nur <u>Antwort  1</u>:
-Richtig ist somit allein <u>Antwort 2</u>. Code B und Code C haben gleiche Eigenschaften, beispielsweise gilt für beide $d_{\rm min} = 3$. Sie beinhalten aber andere Codeworte.
+'''(3)'''&nbsp; Richtig ist somit allein <u>Antwort 2</u>:
 '''(4)'''&nbsp; Richtig ist <u>Antwort 3</u>:
@@ Zeile 101: / Zeile 108: @@
-'''(5)'''&nbsp; Die Bedingung ${ \boldsymbol{\rm H}} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}^{\rm T} = \boldsymbol{0}$ gilt für alle linearen Codes $\Rightarrow$ <u>Alle Aussagen treffen zu</u>.
+'''(5)'''&nbsp; Alle Aussagen treffen zu</u>:
 {{ML-Fuß}}

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 }}
-[[Datei:P_ID2394__KC_Z_1_8.png|right|frame|Vier verschiedene (6, 3)–Blockcodes]]
+[[Datei:P_ID2394__KC_Z_1_8.png|right|frame|Vier verschiedene <br>(6, 3)–Blockcodes]]
 In der Grafik sind die Zuordnungen $\underline{u} \rightarrow \underline{x}$ für verschiedene Codes angegeben, die im Folgenden jeweils durch die Generatormatrix $\boldsymbol{\rm G}$ und die Prüfmatrix $\boldsymbol{\rm H}$ charakterisiert werden:
-*$\color{red}{\boldsymbol{\rm Code \ A}}$:
+*${\boldsymbol{\rm Code \ A}}$:
-:$${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm A} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &1 &0 &1 &0 &1\\ 0 &0 &1 &0 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},$$
+:$${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm A} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &1 &0 &1 &0 &1\\ 0 &0 &1 &0 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm A} = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 1 &0 &1 &0 &1 &0\\ 0 &1 &1 &0 &0 &1 \end{pmatrix}	\hspace{0.05cm}.$$
-*$\color{red}{\boldsymbol{\rm Code \ B}}$:
+*${\boldsymbol{\rm Code \ B}}$:
-:$${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B} = \begin{pmatrix} 0 &0 &1 &0 &1 &1\\ 1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &1 &1 &1 &1 &0 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},$$
+:$${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B} = \begin{pmatrix} 0 &0 &1 &0 &1 &1\\ 1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &1 &1 &1 &1 &0 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} { \boldsymbol{\rm H}}_{\rm B} = \begin{pmatrix} 1 &0 &1 &0 &1 &0\\ 1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 0 &1 &1 &0 &0 &1 \end{pmatrix}	\hspace{0.05cm}.$$
-*$\color{red}{\boldsymbol{\rm Code \ C}}$:
+*${\boldsymbol{\rm Code \ C}}$:
-:$${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &0 &1\\ 0 &1 &0 &0 &1 &1\\ 0 &0 &1 &1 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm C} = \begin{pmatrix} 1 &0 &1 &1 &0 &0\\ 0 &1 &1 &0 &1 &0\\ 1 &1 &1 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},$$
+:$${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &0 &1\\ 0 &1 &0 &0 &1 &1\\ 0 &0 &1 &1 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm C} = \begin{pmatrix} 1 &0 &1 &1 &0 &0\\ 0 &1 &1 &0 &1 &0\\ 1 &1 &1 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},$$
-*$\color{red}{\boldsymbol{\rm Code \ D}}$:
+*${\boldsymbol{\rm Code \ D}}$:
-:$${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm D} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &0 &1\\ 0 &1 &0 &1 &0 &0\\ 0 &0 &1 &0 &1 &0 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm D} = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 0 &0 &1 &0 &1 &0\\ 1 &0 &0 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
+:$${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm D} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &0 &1\\ 0 &1 &0 &1 &0 &0\\ 0 &0 &1 &0 &1 &0 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm D} = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 0 &0 &1 &0 &1 &0\\ 1 &0 &0 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
 In dieser Aufgabe soll untersucht werden, welche dieser Codes bzw. Codepaare
@@ Zeile 28: / Zeile 26: @@
-Die Aufgabe gehört zum Themengebiet [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes|Allgemeine Beschreibung linearer
+''Hinweise'' :
- Blockcodes]] Anzumerken ist, dass die Angabe einer Prüfmatrix $\boldsymbol{\rm H}$ nicht eindeutig ist. Verändert man die Reihenfolge der Prüfgleichungen, so entspricht dies einer Vertauschung von Zeilen.
 ===Fragebogen===
@@ Zeile 57: / Zeile 59: @@
 - Code C und Code D.
-{Wie unterscheiden sich die Generatormatrizen $G_{\rm B}$ und $G_{\ rm C}$?
+{Wie unterscheiden sich die Generatormatrizen $G_{\rm B}$ und $G_{\rm C}$?
 |type="[]"}
 - Durch verschiedene Linearkombinationen verschiedener Zeilen.

@@ Zeile 82: / Zeile 82: @@
 :$$\underline{x} = ( x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6) = ( u_1, u_2, u_3, p_1, p_2, p_{3}) \hspace{0.05cm}.$$
-Diese Bedingung erfüllen die Codes A, C und D ⇒ <u>Antwort 1, 2, 4</u>.
+Diese Bedingung erfüllen die Codes A, C und D $\Rightarrow$ <u>Antwort 1, 2, 4</u>.
-'''(2)'''&nbsp; Nur Code A und Code B sind identische Codes ⇒ <u>Antwort 1</u>. Sie beinhalten genau die gleichen Codeworte und unterscheiden sich nur durch andere Zuordnungen $\underline{u} → \underline{x}$. Wie in der Musterlösung zur [[Aufgaben:1.08_Identische_Codes|Aufgabe A1.08 (3)]] angegeben, gelangt man von der Generatormatrix ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}$  zur Generatormatrix ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm A}$  allein durch Vertauschen/Permutieren von Zeilen oder durch Ersetzen einer Zeile durch die Linearkombination zwischen dieser Zeile und einer anderen.
+'''(2)'''&nbsp; Nur Code A und Code B sind identische Codes $\Rightarrow$ <u>Antwort 1</u>. Sie beinhalten genau die gleichen Codeworte und unterscheiden sich nur durch andere Zuordnungen $\underline{u} \rightarrow \underline{x}$. Wie in der Musterlösung zur [[Aufgaben:1.08_Identische_Codes|Aufgabe A1.08 (3)]] angegeben, gelangt man von der Generatormatrix ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}$  zur Generatormatrix ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm A}$  allein durch Vertauschen/Permutieren von Zeilen oder durch Ersetzen einer Zeile durch die Linearkombination zwischen dieser Zeile und einer anderen.
 '''(3)'''&nbsp; Code A und Code B sind mehr als äquivalent, nämlich identisch. Code C und D unterscheiden sich zum Beispiel auch durch die minimale Hamming–Distanz $d_{\rm min} = 3$ bzw. $d_{\rm min} = 2$ und sind somit auch nicht äquivalent.
@@ Zeile 97: / Zeile 97: @@
-'''(5)'''&nbsp; Die Bedingung ${ \boldsymbol{\rm H}} · { \boldsymbol{\rm G}}^{\rm T} = \boldsymbol{0}$ gilt für alle linearen Codes ⇒ <u>Alle Aussagen treffen zu</u>.
+'''(5)'''&nbsp; Die Bedingung ${ \boldsymbol{\rm H}} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}^{\rm T} = \boldsymbol{0}$ gilt für alle linearen Codes $\Rightarrow$ <u>Alle Aussagen treffen zu</u>.
 {{ML-Fuß}}