Aufgaben:Aufgabe 1.08: Vergleich ASK und BPSK - Versionsgeschichte

Guenter am 6. Mai 2022 um 14:33 Uhr

2022-05-06T14:33:30Z

Guenter am 6. Mai 2022 um 14:06 Uhr

2022-05-06T14:06:10Z

Tasnad: Textersetzung - „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)“ durch „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen“

2020-06-10T15:50:24Z

Textersetzung - „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)“ durch „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen“

Guenter am 6. Februar 2019 um 10:25 Uhr

2019-02-06T10:25:51Z

Guenter am 6. Februar 2019 um 10:16 Uhr

2019-02-06T10:16:58Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:33Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:1.08 Vergleich ASK und BPSK nach Aufgaben:Aufgabe 1.08: Vergleich ASK und BPSK

2018-01-04T06:21:06Z

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Guenter am 8. November 2017 um 09:10 Uhr

2017-11-08T09:10:57Z

Guenter am 8. November 2017 um 09:05 Uhr

2017-11-08T09:05:07Z

Mohamed: /* Musterlösung */

2017-11-06T19:35:29Z

Musterlösung

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Bereits aus den Gleichungen auf der Angabenseite ist ersichtlich, dass der <u>Lösungsvorschlag 2</u> richtig ist. Die Definitionsgleichungen lauten:
+'''(1)'''&nbsp; Bereits aus den Gleichungen auf der Angabenseite ist ersichtlich,&nbsp; dass der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>&nbsp; richtig ist.
 :$$\rm Q ({\it x}) = \ \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\int_{\it
 x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d \it u
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 \pi}}\int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}}\,d \it u
 \hspace{0.05cm}.$$
-Durch einfache Substitutionen kann der oben genannte Zusammenhang einfach nachgewiesen werden:
+*Durch einfache Substitutionen kann der oben genannte Zusammenhang einfach nachgewiesen werden:
 :$${\rm Q} ( x) = 1/2 \cdot {\rm erfc} (x/\sqrt{2}) \hspace{0.05cm}.$$
-'''(2)'''&nbsp; Richtig sind die <u>beiden ersten Lösungsvorschläge:</u>
+'''(2)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>beiden ersten Lösungsvorschläge:</u>
-*Die Gleichungen gelten nur für den AWGN&ndash;Kanal und für einen optimalen Binärempfänger, zum Beispiel entsprechend des Matched&ndash;Filter&ndash;Ansatzes.
+*Die Gleichungen gelten nur für den AWGN&ndash;Kanal und für einen optimalen Binärempfänger,&nbsp; zum Beispiel entsprechend des Matched&ndash;Filter&ndash;Ansatzes.
-*Impulsinterferenzen &ndash; verursacht durch den Kanal oder das Empfangsfilter &ndash; werden damit nicht erfasst.
+*Impulsinterferenzen&nbsp; &ndash; verursacht durch den Kanal oder das Empfangsfilter &ndash;&nbsp; werden damit nicht erfasst.
-*Die genaue Sendeimpulsformung spielt dagegen keine Rolle, solange das Empfangsfilter $H_{\rm E}(f)$ an das Sendespektrum angepasst ist. Vielmehr gilt:
+*Die genaue Sendeimpulsformung spielt dagegen keine Rolle,&nbsp; solange das Empfangsfilter&nbsp; $H_{\rm E}(f)$&nbsp; an das Sendespektrum angepasst ist.&nbsp; Vielmehr gilt:
-*Zwei unterschiedliche Sendeimpulsformer $H_{\rm S}(f)$ führen zur genau gleichen Fehlerwahrscheinlichkeit, wenn sie die gleiche Energie pro Bit aufweisen.
+*Zwei unterschiedliche Sendeimpulsformer&nbsp; $H_{\rm S}(f)$&nbsp; führen zur genau gleichen Fehlerwahrscheinlichkeit,&nbsp; wenn sie die gleiche Energie pro Bit aufweisen.
 '''(3)'''&nbsp; Die Ergebnisse können direkt aus der Tabelle abgelesen werden:
-:$$p_{\rm ASK} \hspace{0.1cm}\underline {= 0.343 \cdot 10^{-4}},\hspace{0.3cm}p_{\rm BPSK} \hspace{0.1cm}\underline {= 0.901 \cdot 10^{-8}}.$$
+:$$p_{\rm ASK} \hspace{0.1cm}\underline {= 0.343 \cdot 10^{-4}},$$
+:$$p_{\rm BPSK} \hspace{0.1cm}\underline {= 0.901 \cdot 10^{-8}}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Mit &nbsp;$E_{\rm B}/N_{0} = 8\  \Rightarrow \ 10  \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_{0} \approx 9 \ \rm dB$&nbsp; erhält man folgende Fehlerwahrscheinlichkeiten:
-:$$p_{\rm ASK} \hspace{0.1cm}\underline {= 0.241 \cdot 10^{-2}},\hspace{0.3cm}p_{\rm BPSK} \hspace{0.1cm}\underline {= 0.336 \cdot 10^{-4}}.$$
+:$$p_{\rm ASK} \hspace{0.1cm}\underline {= 0.241 \cdot 10^{-2}}$$
-'''(5)'''&nbsp; Aus der Teilaufgabe '''(3)''' folgt, dass bei der binären Phasenmodulation &nbsp;$10  \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_{0} \approx 12 \ \rm dB$&nbsp; erfüllt sein muss, damit &nbsp;$p_{\rm BPSK} \approx 10^{-8}$&nbsp; möglich ist.
+'''(5)'''&nbsp; Aus der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; folgt,&nbsp; dass bei der binären Phasenmodulation &nbsp;$10  \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_{0} \approx 12 \ \rm dB$&nbsp; erfüllt sein muss,&nbsp; damit &nbsp;$p_{\rm BPSK} \approx 10^{-8}$&nbsp; möglich ist.
-*Die angegebenen Gleichungen zeigen aber auch, dass die ASK–Kurve um &nbsp;$3 \ \rm dB$ $($exakt $3.01 \ \rm dB)$&nbsp; rechts von der BPSK–Kurve liegt.
+*Die angegebenen Gleichungen zeigen aber auch,&nbsp; dass die ASK–Kurve um &nbsp;$3 \ \rm dB$ $($exakt $3.01 \ \rm dB)$&nbsp; rechts von der BPSK–Kurve liegt.&nbsp; Daraus folgt:
 :$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}(E_{\rm B}/N_{\rm 0})_{\rm min}\hspace{0.1cm}\underline {\approx 15\,\,{\rm dB}} \hspace{0.05cm}.$$

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 [[Datei:P_ID1680__Dig_A_4_1.png|right|frame|Bitfehlerwahrscheinlichkeiten <br>von ASK und BPSK]]
-Die Bitfehlerwahrscheinlichkeiten der Modulationsarten &nbsp;''Amplitude Shift Keying''&nbsp; (ASK) und &nbsp;''Binary Shift Keying''&nbsp; (BPSK) werden oft durch die beiden folgenden Gleichungen angegeben:
+Die Bitfehlerwahrscheinlichkeiten der Modulationsarten &nbsp;"Amplitude Shift Keying"&nbsp; $\rm (ASK)$&nbsp; und &nbsp;"Binary Shift Keying"&nbsp; $\rm (BPSK)$&nbsp; werden oft durch die beiden folgenden Gleichungen angegeben:
 :$$p_{\rm ASK}  = \ {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right )  = \ {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{\frac{E_{\rm B}}{2 \cdot N_0 }} \right ),$$
 :$$ p_{\rm BPSK} = \ {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right )  = \ {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{\frac{E_{\rm B}}{ N_0 }} \right ).$$
-Diese beiden Gleichungen sind in der beigefügten Tabelle ausgewertet. Dabei gilt:
+Diese  Gleichungen sind in der beigefügten Tabelle ausgewertet.&nbsp; Dabei gilt:
 *$E_{\rm B}$&nbsp; gibt die mittlere Energie pro Bit an.
 *$N_{0}$&nbsp; ist die Rauschleistungsdichte.
 *Zwischen den Fehlerfunktionen &nbsp;${\rm Q}(x)$&nbsp; und &nbsp;${\rm erfc}(x)$&nbsp; besteht ein fester Zusammenhang.
-Anzumerken ist, dass diese Gleichungen nicht allgemein gelten, sondern nur unter gewissen idealisierten Bedingungen. Diese Voraussetzungen sollen in dieser Aufgabe herausgearbeitet werden.
+Anzumerken ist,&nbsp; dass diese Gleichungen nicht allgemein gelten,&nbsp; sondern nur unter gewissen idealisierten Bedingungen.&nbsp; Diese Voraussetzungen sollen in dieser Aufgabe herausgearbeitet werden.
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-''Hinweise:''
+Hinweise:
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp;  [[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation|Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp;  [[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation|"Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation"]].
-*Sie können die Ergebnisse mit dem Applet &nbsp;[[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]&nbsp; überprüfen.
+*Sie können die Ergebnisse mit dem Applet &nbsp;[[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|"Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen"]]&nbsp; überprüfen.
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 <quiz display=simple>
 {Welcher Zusammenhang besteht zwischen &nbsp;${\rm Q}(x)$&nbsp; und &nbsp;${\rm erfc}(x)$?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - Es gilt &nbsp;${\rm Q}(x)= 2 \cdot{\rm erfc}(x)$,
 + Es gilt &nbsp;${\rm Q}(x)= 0.5 \cdot{\rm erfc}(x)/\sqrt{2})$,
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 |type="[]"}
 +  Sie gelten nur für den AWGN–Kanal.
-+ Sie gelten nur für den Matched–Filter–Empfänger (oder Varianten).
++ Sie gelten nur für den Matched–Filter–Empfänger&nbsp; (oder Varianten).
 -  Die Gleichungen berücksichtigen Impulsinterferenzen.
 -  Die Gleichungen gelten nur bei rechteckförmigen Signalen.
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 $ p_{\rm BPSK} \ = \ $ { 0.336 3% } $\ \cdot 10^{-4}$
-{Die Fehlerwahrscheinlichkeit soll nicht größer werden als &nbsp;$10^{-8}$. Wie groß ist das erforderliche &nbsp;$10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_{0}$&nbsp; bei ASK?
+{Die Fehlerwahrscheinlichkeit soll nicht größer werden als &nbsp;$10^{-8}$.&nbsp; Wie groß ist das erforderliche &nbsp;$10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_{0}$&nbsp; bei ASK?
 |type="{}"}
 $(E_{\rm B}/N_{0})_{\rm min} \ = \ $ { 15 3% } $\ \rm dB $

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	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation\|Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation\|Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation]].

−	*Sie können die Ergebnisse mit dem Applet  [[Applets:~~Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)~~\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]  überprüfen.	+	*Sie können die Ergebnisse mit dem Applet  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]  überprüfen.

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 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp;  [[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation|Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation]].
-*Sie können die Ergebnisse mit dem Applet [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]] überprüfen.
+*Sie können die Ergebnisse mit dem Applet &nbsp;[[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]&nbsp; überprüfen.
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 -  Es gilt &nbsp;${\rm erfc}(x)= 0.5 \cdot{\rm Q}(x)/\sqrt{2})$.
-{Wann gelten die angegebenen Gleichungen für die Fehlerwahrscheinlichkeits?
+{Wann gelten die angegebenen Gleichungen für die Fehlerwahrscheinlichkeit?
 |type="[]"}
 +  Sie gelten nur für den AWGN–Kanal.
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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Bereits aus den Gleichungen auf der Angabenseite ist ersichtlich, dass der <u>Lösungsvorschlag 2</u> richtig ist. Die Definitionsgleichungen lauten:
-:$$\rm Q (\it x) = \ \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\int_{\it
+:$$\rm Q ({\it x}) = \ \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\int_{\it
 x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d \it u
 \hspace{0.05cm},$$
-:$$\rm erfc (\it x)  = \ \frac{\rm 2}{\sqrt{\rm
+:$$\rm erfc ({\it x})  = \ \frac{\rm 2}{\sqrt{\rm
 \pi}}\int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}}\,d \it u
 \hspace{0.05cm}.$$
 Durch einfache Substitutionen kann der oben genannte Zusammenhang einfach nachgewiesen werden:
-:$$\rm Q ( x) = 1/2 \cdot \rm erfc (x/\sqrt{2}) \hspace{0.05cm}.$$
+:$${\rm Q} ( x) = 1/2 \cdot {\rm erfc} (x/\sqrt{2}) \hspace{0.05cm}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Richtig sind die <u>beiden ersten Lösungsvorschläge:</u>
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-'''(3)'''&nbsp; Diese Ergebnisse können direkt aus der Tabelle abgelesen werden:
 :$$p_{\rm ASK} \hspace{0.1cm}\underline {= 0.343 \cdot 10^{-4}},\hspace{0.3cm}p_{\rm BPSK} \hspace{0.1cm}\underline {= 0.901 \cdot 10^{-8}}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Mit $E_{\rm B}/N_{0} = 8\  \Rightarrow \ 10  \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_{0} \approx 9 \ \rm dB$ erhält man folgende Fehlerwahrscheinlichkeiten:
 :$$p_{\rm ASK} \hspace{0.1cm}\underline {= 0.241 \cdot 10^{-2}},\hspace{0.3cm}p_{\rm BPSK} \hspace{0.1cm}\underline {= 0.336 \cdot 10^{-4}}.$$
-'''(5)'''&nbsp; Aus der Teilaufgabe (3) folgt, dass bei der binären Phasenmodulation $10  \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_{0} \approx 12 \ \rm dB$ erfüllt sein muss, damit $p_{\rm BPSK} \approx 10^{-8}$ möglich ist. Die angegebenen Gleichungen zeigen aber auch, dass die ASK–Kurve um $3 \ \rm dB$ (exakt $3.01 \ \rm dB$) rechts von der BPSK–Kurve liegt. Daraus folgt:
 :$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}(E_{\rm B}/N_{\rm 0})_{\rm min}\hspace{0.1cm}\underline {\approx 15\,\,{\rm dB}} \hspace{0.05cm}.$$

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 }}
-[[Datei:P_ID1680__Dig_A_4_1.png|right|frame|Fehlerwahrscheinlichkeiten von <br>ASK und BPSK]]
+[[Datei:P_ID1680__Dig_A_4_1.png|right|frame|Bitfehlerwahrscheinlichkeiten <br>von ASK und BPSK]]
-Die Bitfehlerwahrscheinlichkeiten der Modulationsarten ''Amplitude Shift Keying'' (ASK) und ''Binary Shift Keying'' (BPSK) werden oft durch die beiden folgenden Gleichungen angegeben:
+Die Bitfehlerwahrscheinlichkeiten der Modulationsarten &nbsp;''Amplitude Shift Keying''&nbsp; (ASK) und &nbsp;''Binary Shift Keying''&nbsp; (BPSK) werden oft durch die beiden folgenden Gleichungen angegeben:
 :$$p_{\rm ASK}  = \ {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right )  = \ {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{\frac{E_{\rm B}}{2 \cdot N_0 }} \right ),$$
 :$$ p_{\rm BPSK} = \ {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right )  = \ {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{\frac{E_{\rm B}}{ N_0 }} \right ).$$
 Diese beiden Gleichungen sind in der beigefügten Tabelle ausgewertet. Dabei gilt:
-*$E_{\rm B}$ gibt die mittlere Energie pro Bit an.
+*$E_{\rm B}$&nbsp; gibt die mittlere Energie pro Bit an.
-*$N_{0}$ ist die Rauschleistungsdichte.
+*$N_{0}$&nbsp; ist die Rauschleistungsdichte.
-*Zwischen den Fehlerfunktionen ${\rm Q}(x)$ und ${\rm erfc}(x)$ besteht ein fester Zusammenhang.
+*Zwischen den Fehlerfunktionen &nbsp;${\rm Q}(x)$&nbsp; und &nbsp;${\rm erfc}(x)$&nbsp; besteht ein fester Zusammenhang.
 Anzumerken ist, dass diese Gleichungen nicht allgemein gelten, sondern nur unter gewissen idealisierten Bedingungen. Diese Voraussetzungen sollen in dieser Aufgabe herausgearbeitet werden.
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation|Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp;  [[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation|Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation]].
-*Sie können die Ergebnisse mit dem Applet [[Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]] überprüfen.
+*Sie können die Ergebnisse mit dem Applet [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]] überprüfen.
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 <quiz display=simple>
-{Welcher Zusammenhang besteht zwischen ${\rm Q}(x)$ und ${\rm erfc}(x)$?
+{Welcher Zusammenhang besteht zwischen &nbsp;${\rm Q}(x)$&nbsp; und &nbsp;${\rm erfc}(x)$?
 |type="[]"}
-- Es gilt ${\rm Q}(x)= 2 \cdot{\rm erfc}(x)$,
+- Es gilt &nbsp;${\rm Q}(x)= 2 \cdot{\rm erfc}(x)$,
-+ Es gilt ${\rm Q}(x)= 0.5 \cdot{\rm erfc}(x)/\sqrt{2})$,
++ Es gilt &nbsp;${\rm Q}(x)= 0.5 \cdot{\rm erfc}(x)/\sqrt{2})$,
--  Es gilt ${\rm erfc}(x)= 0.5 \cdot{\rm Q}(x)/\sqrt{2})$.
+-  Es gilt &nbsp;${\rm erfc}(x)= 0.5 \cdot{\rm Q}(x)/\sqrt{2})$.
-{Wann gelten die angegebenen Fehlerwahrscheinlichkeits–Gleichungen?
+{Wann gelten die angegebenen Gleichungen für die Fehlerwahrscheinlichkeits?
 |type="[]"}
 +  Sie gelten nur für den AWGN–Kanal.
-+ Sie gelten nur für Matched–Filter–Empfänger (oder Varianten).
++ Sie gelten nur für den Matched–Filter–Empfänger (oder Varianten).
 -  Die Gleichungen berücksichtigen Impulsinterferenzen.
 -  Die Gleichungen gelten nur bei rechteckförmigen Signalen.
-{Wie lauten die Fehlerwahrscheinlichkeiten für $10 \cdot  \lg \ E_{\rm B}/N_{0} = 12\, \rm dB$?
+{Wie lauten die Fehlerwahrscheinlichkeiten für &nbsp;$10 \cdot  \lg \ E_{\rm B}/N_{0} = 12\, \rm dB$?
 |type="{}"}
 $ p_{\rm ASK} \ = \ $ { 0.343 3% } $\ \cdot 10^{-4}$
 $ p_{\rm BPSK} \ = \ $ { 0.901 3% } $\ \cdot 10^{-8}$
-{Welche Fehlerwahrscheinlichkeiten ergeben sich für $E_{\rm B}/N_{0} = 8$?
+{Welche Fehlerwahrscheinlichkeiten ergeben sich für &nbsp;$E_{\rm B}/N_{0} = 8$?
 |type="{}"}
 $ p_{\rm ASK} \ = \ $ { 0.241 3% } $\ \cdot 10^{-2}$
 $ p_{\rm BPSK} \ = \ $ { 0.336 3% } $\ \cdot 10^{-4}$
-{Die Fehlerwahrscheinlichkeit soll nicht größer werden als $10^{-8}$. Wie groß ist das erforderliche $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_{0}$ bei ASK?
+{Die Fehlerwahrscheinlichkeit soll nicht größer werden als &nbsp;$10^{-8}$. Wie groß ist das erforderliche &nbsp;$10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_{0}$&nbsp; bei ASK?
 |type="{}"}
 $(E_{\rm B}/N_{0})_{\rm min} \ = \ $ { 15 3% } $\ \rm dB $