Aufgaben:Aufgabe 1.08: Identische Codes - Versionsgeschichte

Guenter am 10. Juli 2022 um 15:41 Uhr

2022-07-10T15:41:05Z

Guenter am 10. Juli 2022 um 15:12 Uhr

2022-07-10T15:12:29Z

Guenter am 8. Mai 2019 um 14:38 Uhr

2019-05-08T14:38:32Z

Guenter am 8. Mai 2019 um 14:29 Uhr

2019-05-08T14:29:51Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:19:52Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:1.08 Identische Codes nach Aufgaben:Aufgabe 1.08: Identische Codes

2018-01-03T09:01:32Z

Guenter verschob die Seite 1.08 Identische Codes nach Aufgabe 1.08: Identische Codes

Guenter am 15. Dezember 2017 um 13:07 Uhr

2017-12-15T13:07:42Z

Guenter am 15. Dezember 2017 um 12:46 Uhr

2017-12-15T12:46:32Z

Mohamed: /* Musterlösung */

2017-12-14T18:04:09Z

Musterlösung

Mohamed am 14. Dezember 2017 um 17:52 Uhr

2017-12-14T17:52:12Z

@@ Zeile 84: / Zeile 84: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Der vorgegebene Code $\mathcal{C}$ wird durch folgende Kenngrößen charakterisiert:
+'''(1)'''&nbsp; Der vorgegebene Code&nbsp; $\mathcal{C}$&nbsp; wird durch folgende Kenngrößen charakterisiert:
 *Bitanzahl der Codeworte:&nbsp; $\underline{n = 6}$,
 *Bitanzahl der Informationsworte:&nbsp; $\underline{k = 3}$,
 *Anzahl der Prüfbitgleichungen:&nbsp; $\underline{m = n - k = 3}$,
 *Coderate:&nbsp; $R = k/n = 3/6  \Rightarrow  \underline{R = 0.5}$,
 *Anzahl der Codeworte (Codeumfang):&nbsp; $|\mathcal{C}| = 2^k  \Rightarrow  \underline{|C| = 8}$,
 *minimale Hamming–Distanz (siehe Tabelle):&nbsp; $\underline{d}_{\rm min} \underline{= 3}$.
-'''(2)'''&nbsp; Richtig ist $\underline{\rm JA}$:
+'''(2)'''&nbsp; Richtig ist&nbsp; $\underline{\rm JA}$:
-*Nach der Singleton–Schranke gilt $d_{\rm min} ≤ n – k + 1$. Mit $n = 6$ und $k = 3$ erhält man hierfür $d_{\rm min} ≤ 4$.
+*Nach der Singleton–Schranke gilt&nbsp; $d_{\rm min} ≤ n - k + 1$.&nbsp; Mit&nbsp; $n = 6$&nbsp; und&nbsp; $k = 3$&nbsp; erhält man hierfür&nbsp; $d_{\rm min} ≤ 4$.
 *Es kann also durchaus ein (6, 3)–Blockcode mit größerer Minimaldistanz konstruiert werden. Wie ein solcher Code aussieht, wurde freundlicherweise nicht gefragt.
-Die Minimaldistanz aller Hamming–Codes ist $d_{\rm min} = 3$, und nur der Sonderfall mit $n = 3$ und $k = 1$ erreicht den Grenzwert. Dagegen erreichen das Maximum entsprechend der Singleton–Schranke:
+Die Minimaldistanz aller Hamming–Codes ist&nbsp; $d_{\rm min} = 3$,&nbsp; und nur der Sonderfall mit&nbsp; $n = 3$&nbsp; und&nbsp; $k = 1$&nbsp; erreicht den Grenzwert. Dagegen erreichen das Maximum entsprechend der Singleton–Schranke:
-*alle [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes#Wiederholungscodes|Wiederholungscodes]] (''Repetition Codes'', RC) wegen $k = 1$und $d_{\rm min} = n$; hierzu gehört auch der (3, 1)–Hamming–Code, der ja bekannterweise identisch ist mit RC (3, 1),
+*alle&nbsp; [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes#Wiederholungscodes|Wiederholungscodes]]&nbsp; $($Repetition Codes,&nbsp; $\rm RC)$&nbsp; wegen&nbsp; $k = 1$&nbsp; und&nbsp; $d_{\rm min} = n$;&nbsp; hierzu gehört auch der&nbsp; $\rm (3, 1)$–Hamming–Code,&nbsp; der ja bekannterweise identisch ist mit dem&nbsp; $\text{RC (3, 1)}$,
-*alle [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes#Single_Parity.E2.80.93check_Codes|Single Parity–check Codes]] (SPC): $k = n – 1, d_{\rm min} = 2$.
+*alle&nbsp; [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes#Single_Parity.E2.80.93check_Codes|Single Parity–check Codes]]&nbsp; $\rm (SPC)$:&nbsp; $k = n - 1, d_{\rm min} = 2$.
-'''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
+'''(3)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
-*Vertauscht man Zeilen in der Generatormatrix $\boldsymbol {\rm G}$, so kommt man zu einem identischen Code $\mathcal{C}'$. Das heißt: Die Codes $\mathcal{C}$ und $\mathcal{C}'$ beinhalten die genau gleichen Codeworte.
+*Vertauscht man Zeilen der Generatormatrix $\boldsymbol {\rm G}$,&nbsp; so kommt man zu einem identischen Code&nbsp; $\mathcal{C}'$.&nbsp; Das heißt:&nbsp; $\mathcal{C}$&nbsp; und&nbsp; $\mathcal{C}'$&nbsp; beinhalten die genau gleichen Codeworte.
 *Beispielsweise erhält man nach zyklischem Zeilentausch $2 \rightarrow 1, 3 \rightarrow 2$ und $1 \rightarrow 3$ die neue Matrix
 :$${ \boldsymbol{\rm G}}' = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &1 &1 &1 &1 &0\\ 0 &0 &1 &0 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
-*Die erste und die letzte Zeile der neuen Matrix entsprechen schon den Vorgaben eines systematischen Codes, nämlich, dass deren Generatormatrix ${ \boldsymbol{\rm G}_{\rm sys}}$ mit einer Diagonalmatrix beginnen muss.
+*Die erste und die letzte Zeile der neuen Matrix entsprechen schon den Vorgaben eines systematischen Codes,&nbsp; nämlich,&nbsp; dass deren Generatormatrix&nbsp; ${ \boldsymbol{\rm G}_{\rm sys}}$&nbsp; mit einer Diagonalmatrix beginnen muss.
 *Ersetzt man die Zeile 2 durch die Modulo–2–Summe von Zeile 2 und 3, so erhält man:
 :$${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm sys} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &1 &0 &1 &0 &1\\ 0 &0 &1 &0 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
-*Dieser systematische Code beinhaltet genau die gleichen Codeworte wie die Codes $\mathcal{C}$ und $\mathcal{C}'$.
+*Dieser systematische Code beinhaltet genau die gleichen Codeworte wie die Codes&nbsp; $\mathcal{C}$&nbsp; und&nbsp; $\mathcal{C}'$.
-'''(4)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
+:*das systematische Codewort&nbsp; $\underline{x}_{\rm sys}$&nbsp; mit&nbsp; $\underline{u}$&nbsp; beginnen muss,
-*Wendet man die Gleichung $\underline{x}_{\rm sys} = \underline{u} \cdot \boldsymbol{\rm G}_{\rm sys}$ auf die obigen Beispiele an, so erkennt man, dass die beiden ersten Aussagen richtig sind, nicht aber die letzte.
+:*der Code&nbsp; $\mathcal{C}_{\rm sys}$&nbsp; die gleichen Codeworte beinhaltet wie der vorgegebene Code&nbsp; $\mathcal{C}$.
-:*das systematische Codewort $\underline{x}_{\rm sys}$ mit $\underline{u}$ beginnen muss,
+*Für&nbsp; $\underline{u} = (0, 1, 0)$&nbsp; lautet somit das Codewort&nbsp; $(0, 1, 0, ?, ?, ?)$.&nbsp;
-*Für $\underline{u} = (0, 1, 0)$ lautet somit das Codewort $(0, 1, 0, ?, ?, ?)$. Ein Vergleich mit der Codetabelle von $\mathcal{C}$ auf der Angabenseite führt zu $\underline{x}_{\rm sys} = (0, 1, 0, 1, 0, 1)$.
+*Ein Vergleich mit der Codetabelle von&nbsp; $\mathcal{C}$&nbsp; auf der Angabenseite führt zu&nbsp; $\underline{x}_{\rm sys} = (0, 1, 0, 1, 0, 1)$.
-'''(5)'''&nbsp; Richtig ist nur die <u>Aussage 1</u>. Die Angaben für $p_{2}$ und $p_{3}$ sind dagegen genau vertauscht.
+'''(5)'''&nbsp; Richtig ist nur die&nbsp; <u>Aussage 1</u>.&nbsp; Die Angaben für&nbsp; $p_{2}$&nbsp; und&nbsp; $p_{3}$&nbsp; sind dagegen genau vertauscht.
 *Bei systematischer Codierung besteht folgender Zusammenhang zwischen Generator– und Prüfmatrix:
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 :$${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm sys} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &1 &0 &1 &0 &1\\ 0 &0 &1 &0 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} { \boldsymbol{\rm H}}_{\rm sys} = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 1 &0 &1 &0 &1 &0\\ 0 &1 &1 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
-Daraus ergeben sich Prüfgleichungen (siehe Grafik):
+*Daraus ergeben sich Prüfgleichungen (siehe Grafik):
 :$$u_1 \oplus u_2 \oplus p_1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} p_1 = u_1 \oplus u_2 \hspace{0.05cm},$$
 :$$ u_1 \oplus u_3 \oplus p_2 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} p_2 = u_1 \oplus u_3 \hspace{0.05cm},$$

@@ Zeile 5: / Zeile 5: @@
 [[Datei:P_ID2393__KC_A_1_8_neu.png|right|frame|Zuordnung des&nbsp; $(6, 3)$–Blockcodes]]
-Wir betrachten einen Blockcode&nbsp; $\mathcal{C}$, der durch folgende Generatormatrix beschrieben wird:
+Wir betrachten einen Blockcode&nbsp; $\mathcal{C}$,&nbsp; der durch folgende Generatormatrix beschrieben wird:
 :$${ \boldsymbol{\rm G}} = \begin{pmatrix} 0 &0 &1 &0 &1 &1\\ 1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &1 &1 &1 &1 &0 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
-Die Zuordnung zwischen den Informationsworten&nbsp; $\underline{u}$&nbsp; und den Codeworten&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; kann der Tabelle entnommen werden. Man erkennt, dass es sich dabei nicht um einen systematischen Code handelt.
+Die Zuordnung zwischen den Informationsworten&nbsp; $\underline{u}$&nbsp; und den Codeworten&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; kann der Tabelle entnommen werden.&nbsp; Man erkennt,&nbsp; dass es sich dabei nicht um einen systematischen Code handelt.
-Durch Manipulation der Generatormatrix&nbsp; $\boldsymbol {\rm G}$&nbsp; lassen sich daraus identische Codes konstruieren. Darunter versteht man Codes mit gleichen Codeworten, jedoch unterschiedlicher Zuordnung&nbsp; $\underline{u} \rightarrow \underline{x}$.
+Durch Manipulation der Generatormatrix&nbsp; $\boldsymbol {\rm G}$&nbsp; lassen sich daraus identische Codes konstruieren.&nbsp; Darunter versteht man Codes mit gleichen Codeworten,&nbsp; jedoch unterschiedlicher Zuordnung&nbsp; $\underline{u} \rightarrow \underline{x}$.
-Folgende Operationen sind erlaubt, um einen identischen Code zu erhalten:
+Folgende Operationen sind erlaubt,&nbsp; um einen identischen Code zu erhalten:
 *Vertauschen oder Permutieren der Zeilen,
 *Multiplizieren aller Zeilen mit einem konstanten Vektor ungleich&nbsp; $0$,
 *Ersetzen einer Zeile durch eine Linearkombination zwischen dieser Zeile und einer anderen.
-Für den in der Teilaufgabe '''(3)''' gesuchten Code&nbsp; $\mathcal{C}_{\rm sys}$&nbsp; mit Generatormatrix&nbsp; $\boldsymbol{\rm G}_{\rm sys}$&nbsp; wird weiter gefordert, dass er systematisch ist.
+Für den in der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; gesuchten Code&nbsp; $\mathcal{C}_{\rm sys}$&nbsp; mit Generatormatrix&nbsp; $\boldsymbol{\rm G}_{\rm sys}$&nbsp; wird weiter gefordert,&nbsp; dass er systematisch ist.
@@ Zeile 26: / Zeile 28: @@
-''Hinweise'' :
+*Bezug genommen wird zudem auf die so genannte&nbsp; "Singleton–Schranke":&
-*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes|Allgemeine Beschreibung linearer Blockcodes]].
+*Diese besagt,&nbsp; dass die minimale Hamming–Distanz eines&nbsp; $(n, k)$–Blockcodes nach oben beschränkt ist: &nbsp; $d_{\rm min} \le n - k +1.$
@@ Zeile 69: / Zeile 72: @@
-{Welche Prüfbits hat der systematische Code&nbsp; $\underline{x}_{\rm sys} = (u_{1}, u_{2}, u_{3}, p_{1}, p_{2}, p_{3})$?
+{Welche Prüfbits hat der systematische Code&nbsp; $\underline{x}_{\rm sys} = (u_{1},\ u_{2},\ u_{3},\ p_{1},\ p_{2},\ p_{3})$?
 |type="[]"}
 +$p_{1} = u_{1} \oplus u_{2},$

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Der vorgegebene Code $\mathcal{C}$ wird durch folgende Kenngrößen charakterisiert:
-*Bitanzahl der Codeworte: $\underline{n = 6}$,
+*Bitanzahl der Codeworte:&nbsp; $\underline{n = 6}$,
-*Bitanzahl der Informationsworte: $\underline{k = 3}$,
+*Bitanzahl der Informationsworte:&nbsp; $\underline{k = 3}$,
-*Anzahl der Prüfbitgleichungen: $\underline{m = n – k = 3}$,
+*Anzahl der Prüfbitgleichungen:&nbsp; $\underline{m = n - k = 3}$,
-*Coderate: $R = k/n = 3/6  \Rightarrow  \underline{R = 0.5}$,
+*Coderate:&nbsp; $R = k/n = 3/6  \Rightarrow  \underline{R = 0.5}$,
-*Anzahl der Codeworte (Codeumfang): $|\mathcal{C}| = 2^k  \Rightarrow  \underline{|C| = 8}$,
+*Anzahl der Codeworte (Codeumfang):&nbsp; $|\mathcal{C}| = 2^k  \Rightarrow  \underline{|C| = 8}$,
-*minimale Hamming–Distanz (siehe Tabelle): $\underline{d}_{\rm min} \underline{= 3}$.
+*minimale Hamming–Distanz (siehe Tabelle):&nbsp; $\underline{d}_{\rm min} \underline{= 3}$.
 '''(2)'''&nbsp; Richtig ist $\underline{\rm JA}$:
-*Nach der Singleton–Schranke gilt $d_{\rm min} ≤ n – k + 1$. Mit $n = 6$ und $k = 3$ erhält man hierfür $d_{\rm min} ≤ 4$. Es kann also durchaus ein (6, 3)–Blockcode mit größerer Minimaldistanz konstruiert werden. Wie ein solcher Code aussieht, wurde freundlicherweise nicht gefragt.
+*Nach der Singleton–Schranke gilt $d_{\rm min} ≤ n – k + 1$. Mit $n = 6$ und $k = 3$ erhält man hierfür $d_{\rm min} ≤ 4$.
@@ Zeile 99: / Zeile 101: @@
 *alle [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes#Single_Parity.E2.80.93check_Codes|Single Parity–check Codes]] (SPC): $k = n – 1, d_{\rm min} = 2$.
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 *Dieser systematische Code beinhaltet genau die gleichen Codeworte wie die Codes $\mathcal{C}$ und $\mathcal{C}'$.
@@ Zeile 122: / Zeile 126: @@
 :*der Code $\mathcal{C}_{\rm sys}$ die gleichen Codeworte beinhaltet wie der vorgegebene Code ''\mathcal{C}''.
-*Für $\underline{u} = (0, 1, 0)$ lautet somit das Codewort $(0, 1, 0, ?, ?, ?)$. Ein Vergleich mit der Codetabelle von $\mathcal{C}$ auf der Angabenseite führt zum Ergebnis $\underline{x}_{\rm sys} = (0, 1, 0, 1, 0, 1)$.
+*Für $\underline{u} = (0, 1, 0)$ lautet somit das Codewort $(0, 1, 0, ?, ?, ?)$. Ein Vergleich mit der Codetabelle von $\mathcal{C}$ auf der Angabenseite führt zu $\underline{x}_{\rm sys} = (0, 1, 0, 1, 0, 1)$.
@@ Zeile 134: / Zeile 139: @@
 :$${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm sys} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &1 &0 &1 &0 &1\\ 0 &0 &1 &0 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} { \boldsymbol{\rm H}}_{\rm sys} = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 1 &0 &1 &0 &1 &0\\ 0 &1 &1 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
 Daraus ergeben sich Prüfgleichungen (siehe Grafik):

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 }}
-[[Datei:P_ID2393__KC_A_1_8_neu.png|right|frame|Zuordnung des betrachteten <br>(6, 3)–Blockcodes]]
+[[Datei:P_ID2393__KC_A_1_8_neu.png|right|frame|Zuordnung des&nbsp; $(6, 3)$–Blockcodes]]
-Wir betrachten einen Blockcode $\mathcal{C}$, der durch folgende Generatormatrix beschrieben wird:
+Wir betrachten einen Blockcode&nbsp; $\mathcal{C}$, der durch folgende Generatormatrix beschrieben wird:
 :$${ \boldsymbol{\rm G}} = \begin{pmatrix} 0 &0 &1 &0 &1 &1\\ 1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &1 &1 &1 &1 &0 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
-Die Zuordnung zwischen den Informationsworten $\underline{u}$ und den Codeworten $\underline{x}$ kann der Tabelle entnommen werden. Man erkennt, dass es sich dabei nicht um einen systematischen Code handelt.
+Die Zuordnung zwischen den Informationsworten&nbsp; $\underline{u}$&nbsp; und den Codeworten&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; kann der Tabelle entnommen werden. Man erkennt, dass es sich dabei nicht um einen systematischen Code handelt.
-Durch Manipulation der Generatormatrix $\boldsymbol {\rm G}$ lassen sich daraus identische Codes konstruieren. Darunter versteht man Codes mit gleichen Codeworten, jedoch unterschiedlicher Zuordnung $\underline{u} \rightarrow \underline{x}$.
+Durch Manipulation der Generatormatrix&nbsp; $\boldsymbol {\rm G}$&nbsp; lassen sich daraus identische Codes konstruieren. Darunter versteht man Codes mit gleichen Codeworten, jedoch unterschiedlicher Zuordnung&nbsp; $\underline{u} \rightarrow \underline{x}$.
 Folgende Operationen sind erlaubt, um einen identischen Code zu erhalten:
 *Vertauschen oder Permutieren der Zeilen,
-*Multiplizieren aller Zeilen mit einem konstanten Vektor ungleich $0$,
+*Multiplizieren aller Zeilen mit einem konstanten Vektor ungleich&nbsp; $0$,
 *Ersetzen einer Zeile durch eine Linearkombination zwischen dieser Zeile und einer anderen.
-Für den in der Teilaufgabe (3) gesuchten Code $\mathcal{C}_{\rm sys}$ mit Generatormatrix $\boldsymbol{\rm G}_{\rm sys}$ wird weiter gefordert, dass er systematisch ist.
+Für den in der Teilaufgabe '''(3)''' gesuchten Code&nbsp; $\mathcal{C}_{\rm sys}$&nbsp; mit Generatormatrix&nbsp; $\boldsymbol{\rm G}_{\rm sys}$&nbsp; wird weiter gefordert, dass er systematisch ist.
@@ Zeile 27: / Zeile 31: @@
 ''Hinweise'' :
-*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes|Allgemeine Beschreibung linearer Blockcodes]].
+*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes|Allgemeine Beschreibung linearer Blockcodes]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Systematische_Codes|Systematische Codes]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp; [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Systematische_Codes|Systematische Codes]].
-*Bezug genommen wird zudem auf die so genannte ''Singleton–Schranke''. Diese besagt, dass die minimale Hamming–Distanz eines $(n, k)$–Blockcodes nach oben beschränkt ist: &nbsp; $d_{\rm min} \le n - k +1.$
+*Bezug genommen wird zudem auf die so genannte&nbsp; ''Singleton–Schranke''. Diese besagt, dass die minimale Hamming–Distanz eines&nbsp; $(n, k)$–Blockcodes nach oben beschränkt ist: &nbsp; $d_{\rm min} \le n - k +1.$
@@ Zeile 38: / Zeile 42: @@
 <quiz display=simple>
-{Geben Sie die Kenngrößen des gegebenen Codes $\mathcal{C}$ an.
+{Geben Sie die Kenngrößen des gegebenen Codes&nbsp; $\mathcal{C}$&nbsp; an.
 |type="{}"}
 $n \hspace{0.3cm} = \ $ { 6 }
@@ Zeile 44: / Zeile 48: @@
 $m \hspace{0.15cm} = \ $ { 3 }
 $R \hspace{0.2cm} = \ ${ 0.5 3% }
-$|\mathcal{C}| \hspace{0.05cm} = \ ${ 8 }
+$|\hspace{0.05cm}\mathcal{C}\hspace{0.05cm}| \hspace{-0.05cm} = \ ${ 8 }
 $d_{\rm min} \hspace{0.01cm} = \ $ { 3 }
-{Gibt es einen (6, 3)–Blockcode mit größerer Minimaldistanz?
+{Gibt es einen&nbsp; $(6, 3)$–Blockcode mit größerer Minimaldistanz?
 |type="()"}
 + Ja.
 - Nein.
-{Wie lautet die Generatormatrix ${\boldsymbol{\rm G}}_{\rm sys}$ des identischen systematischen Codes?
+{Wie lautet die Generatormatrix&nbsp; ${\boldsymbol{\rm G}}_{\rm sys}$&nbsp; des identischen systematischen Codes?
 |type="[]"}
 - Die 1. Zeile lautet &nbsp; &bdquo;$1 \ 0 \ 1 \ 1 \ 0 \ 1$&rdquo;.
@@ Zeile 65: / Zeile 69: @@
-{Welche Prüfbits hat der systematische Code $\underline{x}_{\rm sys} = (u_{1}, u_{2}, u_{3}, p_{1}, p_{2}, p_{3})$?
+{Welche Prüfbits hat der systematische Code&nbsp; $\underline{x}_{\rm sys} = (u_{1}, u_{2}, u_{3}, p_{1}, p_{2}, p_{3})$?
 |type="[]"}
 +$p_{1} = u_{1} \oplus u_{2},$

@@ Zeile 30: / Zeile 30: @@
 *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Systematische_Codes|Systematische Codes]].
 *Bezug genommen wird zudem auf die so genannte ''Singleton–Schranke''. Diese besagt, dass die minimale Hamming–Distanz eines $(n, k)$–Blockcodes nach oben beschränkt ist: &nbsp; $d_{\rm min} \le n - k +1.$
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

@@ Zeile 68: / Zeile 68: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''1.''' Der vorgegebene Code ''C'' wird durch folgende Kenngrößen charakterisiert:
+'''(1)'''&nbsp; Der vorgegebene Code $C$ wird durch folgende Kenngrößen charakterisiert:
 *Bitanzahl der Codeworte: $\underline{n = 6}$,
 *Bitanzahl der Informationsworte: $\underline{k = 3}$,
-*Anzahl der Codeworte (Codeumfang): $|C| = 2^k  ⇒  \underline{|C| = 8}$,
+*Anzahl der Codeworte (Codeumfang): $|C| = 2^k  \Rightarrow  \underline{|C| = 8}$,
-*Coderate: $R = k/n = 3/6  ⇒  \underline{R = 1/2}$,
+*Coderate: $R = k/n = 3/6  \Rightarrow  \underline{R = 1/2}$,
-*Anzahl der Prüfbitgleichungen: m = n – k = 3,
+*Anzahl der Prüfbitgleichungen: $\underline{m = n – k = 3}$,
 *minimale Hamming–Distanz (siehe Tabelle): $\underline{d}_{\rm min} \underline{= 3}$.
-'''2.''' Nach der Singleton–Schranke gilt $d_{\rm min} ≤ n – k + 1$. Mit $n = 6$ und $k = 3$ erhält man hierfür $d_{\rm min} ≤ 4$. Es kann also durchaus ein (6, 3)–Blockcode mit größerer Minimaldistanz konstruiert werden  ⇒  <u>JA</u>. Wie ein solcher Code aussieht, wurde freundlicherweise nicht gefragt.
+'''(2)'''&nbsp; Nach der Singleton–Schranke gilt $d_{\rm min} ≤ n – k + 1$. Mit $n = 6$ und $k = 3$ erhält man hierfür $d_{\rm min} ≤ 4$. Es kann also durchaus ein (6, 3)–Blockcode mit größerer Minimaldistanz konstruiert werden  $\Rightarrow \underline{\rm JA}$. Wie ein solcher Code aussieht, wurde freundlicherweise nicht gefragt.
 Die Minimaldistanz aller Hamming–Codes ist $d_{\rm min} = 3$, und nur der Sonderfall mit $n = 3$ und $k = 1$ erreicht den Grenzwert. Dagegen erreichen das Maximum entsprechend der Singleton–Schranke:
@@ Zeile 88: / Zeile 88: @@
-'''3.''' Vertauscht man Zeilen in der Generatormatrix '''G''', so kommt man zu einem identischen Code ''C'' '. Das heißt: Die Codes ''C'' und ''C'' ' beinhalten die genau gleichen Codeworte. Beispielsweise erhält man nach zyklischem Zeilentausch 2 → 1, 3 → 2 und 1 → 3 die neue Matrix
+'''(3)'''&nbsp; Vertauscht man Zeilen in der Generatormatrix $\boldsymbol {\rm G}$, so kommt man zu einem identischen Code $C'$. Das heißt: Die Codes $C$ und $C'$ beinhalten die genau gleichen Codeworte. Beispielsweise erhält man nach zyklischem Zeilentausch $2 \rightarrow 1, 3 \rightarrow 2$ und $1 \rightarrow 3$ die neue Matrix
 :$${ \boldsymbol{\rm G}}' = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &1 &1 &1 &1 &0\\ 0 &0 &1 &0 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 96: / Zeile 96: @@
 :$${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm sys} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &1 &0 &1 &0 &1\\ 0 &0 &1 &0 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
-Auch dieser systematische Code beinhaltet genau die gleichen Codeworte wie die Codes ''C'' und ''C'' '.
+Auch dieser systematische Code beinhaltet genau die gleichen Codeworte wie die Codes $C$ und $C'$.
 Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>.
-'''4.''' Wendet man die Gleichung $\underline{x}_{\rm sys} = \underline{u} · \boldsymbol{\rm G}_{\rm sys}$ auf die obigen Beispiele an, so erkennt man, dass die <u>beiden ersten Aussagen</u> richtig sind, nicht aber die letzte.
+'''(4)'''&nbsp; Wendet man die Gleichung $\underline{x}_{\rm sys} = \underline{u} \cdot \boldsymbol{\rm G}_{\rm sys}$ auf die obigen Beispiele an, so erkennt man, dass die <u>beiden ersten Aussagen</u> richtig sind, nicht aber die letzte.
 Ohne Rechnung kommt man zum gleichen Ergebnis, wenn man berücksichtigt, dass
@@ Zeile 107: / Zeile 107: @@
-Für $\underline{u} = (0, 1, 0)$ lautet somit das Codewort $(0, 1, 0, ?, ?, ?)$. Ein Vergleich mit der Codetabelle von ''C'' auf der Angabenseite führt zum Ergebnis $\underline{x}_{\rm sys} = (0, 1, 0, 1, 0, 1)$.
+Für $\underline{u} = (0, 1, 0)$ lautet somit das Codewort $(0, 1, 0, ?, ?, ?)$. Ein Vergleich mit der Codetabelle von $C$ auf der Angabenseite führt zum Ergebnis $\underline{x}_{\rm sys} = (0, 1, 0, 1, 0, 1)$.
-'''5.''' Bei systematischer Codierung besteht folgender Zusammenhang zwischen Generator– und Prüfmatrix:
+'''(5)'''&nbsp; Bei systematischer Codierung besteht folgender Zusammenhang zwischen Generator– und Prüfmatrix:
 :$${ \boldsymbol{\rm G}} =\left({ \boldsymbol{\rm I}}_k \: ; \:{ \boldsymbol{\rm P}} \right) \hspace{0.3cm}\Leftrightarrow \hspace{0.3cm} { \boldsymbol{\rm H}} =\left({ \boldsymbol{\rm P}}^{\rm T}\: ; \:{ \boldsymbol{\rm I}}_m \right) \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 126: / Zeile 126: @@
-⇒ Richtig ist nur die <u>Aussage 1</u>. Die Angaben für $p_{2}$ und $p_{3}$ sind dagegen genau vertauscht.
+$\Rightarrow$ Richtig ist nur die <u>Aussage 1</u>. Die Angaben für $p_{2}$ und $p_{3}$ sind dagegen genau vertauscht.

@@ Zeile 5: / Zeile 5: @@
 [[Datei:P_ID2393__KC_A_1_8_neu.png|right|frame|Zuordnung des betrachteten (6, 3)–Blockcodes]]
-Wir betrachten einen Blockcode ''C'', der durch folgende Generatormatrix beschrieben wird:
+Wir betrachten einen Blockcode $C$, der durch folgende Generatormatrix beschrieben wird:
 :$${ \boldsymbol{\rm G}} = \begin{pmatrix} 0 &0 &1 &0 &1 &1\\ 1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &1 &1 &1 &1 &0 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
-Die Zuordnung zwischen den Informationsworten <u>''u''</u> und den Codeworten <u>''x''</u> kann der beiliegenden Tabelle entnommen werden. Man erkennt, dass es sich dabei nicht um einen systematischen Code handelt.
+Die Zuordnung zwischen den Informationsworten $\underline{u}$ und den Codeworten $\underline{x}$ kann der beiliegenden Tabelle entnommen werden. Man erkennt, dass es sich dabei nicht um einen systematischen Code handelt.
-Durch Manipulation der Generatormatrix '''G''' lassen sich daraus identische Codes konstruieren. Darunter versteht man Codes mit gleichen Codeworten, jedoch unterschiedlicher Zuordnung <u>''u''</u> → <u>''x''</u>. Folgende Operationen sind erlaubt, um einen identischen Code zu erhalten:
+Durch Manipulation der Generatormatrix $\boldsymbol {\rm G}$ lassen sich daraus identische Codes konstruieren. Darunter versteht man Codes mit gleichen Codeworten, jedoch unterschiedlicher Zuordnung $\underline{u} \rightarrow \underline{u}$. Folgende Operationen sind erlaubt, um einen identischen Code zu erhalten:
 *Vertauschen oder Permutieren der Zeilen,
-*Multiplizieren aller Zeilen mit einem konstanten Vektor ungleich 0,
+*Multiplizieren aller Zeilen mit einem konstanten Vektor ungleich $0$,
 *Ersetzen einer Zeile durch eine Linearkombination zwischen dieser Zeile und einer anderen.
-Für den in der Teilaufgabe 3) gesuchten Code $C_{\rm sys}$ ⇒ Generatormatrix $\boldsymbol{\rm G}_{\rm sys}$ wird weiter gefordert, dass er systematisch ist.
+Für den in der Teilaufgabe 3) gesuchten Code $C_{\rm sys} \Rightarrow$ Generatormatrix $\boldsymbol{\rm G}_{\rm sys}$ wird weiter gefordert, dass er systematisch ist.
 ''Hinweis'' :
 Die Aufgabe bezieht sich vorwiegend auf die Seite [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Systematische_Codes|Systematische Codes]] im Kapitel [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes|Allgemeine Beschreibung linearer
-  Blockcodes]]1.4. Bezug genommen wird zudem auf die so genannte Singleton–Schranke. Diese besagt, dass die minimale Hamming–Distanz eines $(n, k)$–Blockcodes nach oben beschränkt ist:
+  Blockcodes]]1.4. Bezug genommen wird zudem auf die so genannte ''Singleton–Schranke''. Diese besagt, dass die minimale Hamming–Distanz eines $(n, k)$–Blockcodes nach oben beschränkt ist:
 :$$d_{\rm min} \le n - k +1.$$
@@ Zeile 29: / Zeile 29: @@
 <quiz display=simple>
-{Geben Sie die Kenngrößen des gegebenen Codes ''C'' an.
+{Geben Sie die Kenngrößen des gegebenen Codes $C$ an.
 |type="{}"}
-$\ n$ = { 6 3% }
+$n \ = \ $ { 6 3% }
-$\ k$ = { 3 3% }
+$k \ = \ $ { 3 3% }
-$\ |C|$ = { 8 3% }
+$|C| \ = \ ${ 8 3% }
-$\ R$ = { 0.5 3% }
+$R \ = \ ${ 0.5 3% }
-$\ m$ = { 0.5 3% }
+$m \ = \ $ { 3 3% }
-$\ {\rm d}_{min}$ = { 0.5 3% }
+$d_{\rm min}$ = { 3 3% }
 {Gibt es einen (6, 3)–Blockcode mit größerer Minimaldistanz?
@@ Zeile 45: / Zeile 45: @@
 {Wie lautet die Generatormatrix ${\boldsymbol{\rm G}}_{\rm sys}$ des identischen systematischen Codes?
 |type="[]"}
-- Die 1. Zeile lautet „1 0 1 1 0 1”.
+- Die 1. Zeile lautet $„1 \ 0 \ 1 \ 1 \ 0 \ 1”$.
-+ Die 2. Zeile lautet „0 1 0 1 0 1”.
++ Die 2. Zeile lautet $„0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1”$.
-+ Die 3. Zeile lautet „0 0 1 0 1 1”.
++ Die 3. Zeile lautet $„0 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 1”$.
 {Welche Zuordnungen ergeben sich bei dieser Codierung?
 |type="[]"}
-+ $\underline{u} = (0, 0, 0)$   ⇒   $\underline{x}_{\rm sys} = (0, 0, 0, 0, 0, 0)$.
++ $\underline{u} = (0, 0, 0)   \Rightarrow   \underline{x}_{\rm sys} = (0, 0, 0, 0, 0, 0)$.
-+ $\underline{u} = (0, 0, 1)$   ⇒   $\underline{x}_{\rm sys}= (0, 0, 1, 0, 0, 1)$.
++ $\underline{u} = (0, 0, 1)   \Rightarrow   \underline{x}_{\rm sys}= (0, 0, 1, 0, 0, 1)$.
-- $\underline{u} = (0, 1, 0)$   ⇒   $\underline{x}_{\rm sys} = (0, 1, 0, 1, 1, 0)$.
+- $\underline{u} = (0, 1, 0)   \Rightarrow   \underline{x}_{\rm sys} = (0, 1, 0, 1, 1, 0)$.
 {Welche Prüfbits hat der systematische Code $\underline{x}_{\rm sys} = (u_{1}, u_{2}, u_{3}, p_{1}, p_{2}, p_{3})$?
 |type="[]"}
-+$p_{1} = u_{1} ⊕ u_{2},$
++$p_{1} = u_{1} \oplus u_{2},$
--$p_{2} = u_{2} ⊕ u_{3},$
+-$p_{2} = u_{2} \oplus u_{3},$
--$p_{3} = u_{1} ⊕ u_{3}.$
+-$p_{3} = u_{1} \oplus u_{3}.$