Aufgaben:3.Zehn Maximum-Likelihood-Baumdiagramm - Versionsgeschichte

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2017-11-02T18:46:27Z

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2017-11-02T17:58:51Z

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Hussain am 2. November 2017 um 11:03 Uhr

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2017-11-02T11:03:14Z

Hussain am 2. November 2017 um 11:01 Uhr

2017-11-02T11:01:30Z

Hussain am 2. November 2017 um 11:00 Uhr

2017-11-02T11:00:36Z

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2017-11-02T10:35:47Z

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[[Datei:P_ID1465__Dig_A_3_10_95.png|right|frame|Signale und Baumdiagramm]]
Wie in [[Aufgaben:3.9_Unipolarer_Korrelationsempf%C3%A4nger|Aufgabe A3.9]] betrachten wir die gemeinsame Entscheidung dreier Binärsymbole (Bits) mittels des Korrelationsempfängers. Die möglichen Sendesignale $s_0(t), \ ... \ , \ s_7(t)$ seien bipolar. In der Grafik sind die Funktionen $s_0(t)$, $s_1(t)$, $s_2(t)$ und $s_3(t)$ dargestellt. Die blauen Kurvenverläufe gelten dabei für rechteckförmige NRZ–Sendeimpulse.

Darunter gezeichnet ist das so genannte Baumdiagramm für diese Konstellation unter der Voraussetzung, dass das Signal $s_3(t)$ gesendet wurde.

Dargestellt sind hier im Bereich von $0$ bis $3T$ die Funktionen
:$$i_i(t) = \int_{0}^{t} s_3(\tau) \cdot s_i(\tau) \,{\rm d}
\tau \hspace{0.3cm}( i = 0, ... , 7)\hspace{0.05cm}.$$

Der Korrelationsempfänger vergleicht die Endwerte $I_i = i_i(3T)$ miteinander und sucht den größtmöglichen Wert $I_j$. Das zugehörige Signal $s_j(t)$ ist dann dasjenige, das gemäß dem Maximum–Likelihood–Kriterium am wahrscheinlichsten gesendet wurde.

Anzumerken ist, dass der Korrelationsempfänger im allgemeinen die Entscheidung anhand der korrigierten Größen $W_i = I_i \ – E_i/2$ trifft. Da aber bei bipolaren Rechtecken alle Sendesignale ($i = 0, \ ... \ , \ 7$) die genau gleiche Energie
:$$E_i = \int_{0}^{3T} s_i^2(t) \,{\rm d} t$$

aufweisen, liefern die Integrale $I_i$ genau die gleichen ML–Informationen wie die korrigierten Größen $W_i$.

Die roten Signalverläufe $s_i(t)$ ergeben sich aus den blauen durch Faltung mit der Impulsantwort $h_{\rm G}(t)$ eines Gaußtiefpasses mit der Grenzfrequenz $f_{\rm G} \cdot T = 0.35$. Jeder einzelne Rechteckimpuls wird verbreitert. Die roten Funktionsverläufe weise Impulsinterferenzen auf.

''Hinweis:''
* Die Aufgabe gehört zum Themebgebiet des Kapitels [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Optimale_Empf%C3%A4ngerstrategien|Optimale Empfängerstrategien]].

===Fragebogen===
<quiz display=simple>
{Multiple-Choice Frage
|type="[]"}
- Falsch
+ Richtig

{Input-Box Frage
|type="{}"}
$\alpha$ = { 0.3 }
</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''1.'''
'''2.'''
'''3.'''
'''4.'''
'''5.'''
'''6.'''
'''7.'''
{{ML-Fuß}}

[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung|^3.7 Optimale Empfängerstrategien^]]

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−	~~{{quiz-Header\|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Optimale_Empfängerstrategien}}~~
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−	~~[[Datei:P_ID1465__Dig_A_3_10_95.png\|right\|frame\|Signale und Baumdiagramm]]~~
−	Wie in [[Aufgaben:3.9_Unipolarer_Korrelationsempf%C3%A4nger\|Aufgabe A3.9]] betrachten wir die gemeinsame Entscheidung dreier Binärsymbole (Bits) mittels des Korrelationsempfängers. Die möglichen Sendesignale $s_0(t), \ ... \ , \ s_7(t)$ seien bipolar. In der Grafik sind die Funktionen $s_0(t)$, $s_1(t)$, $s_2(t)$ und $s_3(t)$ dargestellt. Die blauen Kurvenverläufe gelten dabei für rechteckförmige NRZ–Sendeimpulse.
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−	Darunter gezeichnet ist das so genannte Baumdiagramm für diese Konstellation unter der Voraussetzung, dass das Signal $s_3(t)$ gesendet wurde. Dargestellt sind hier im Bereich von $0$ bis $3T$ die Funktionen
−	~~:$$i_i(t) = \int_{0}^{t} s_3(\tau) \cdot s_i(\tau) \,{\rm d}~~
−	~~\tau \hspace{0.3cm}( i = 0, ... , 7)\hspace{0.05cm}.$$~~
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−	Der Korrelationsempfänger vergleicht die Endwerte $I_i = i_i(3T)$ miteinander und sucht den größtmöglichen Wert $I_j$. Das zugehörige Signal $s_j(t)$ ist dann dasjenige, das gemäß dem Maximum–Likelihood–Kriterium am wahrscheinlichsten gesendet wurde.
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−	Anzumerken ist, dass der Korrelationsempfänger im allgemeinen die Entscheidung anhand der korrigierten Größen $W_i = I_i \ – E_i/2$ trifft. Da aber bei bipolaren Rechtecken alle Sendesignale ($i = 0, \ ... \ , \ 7$) die genau gleiche Energie
−	~~:$$E_i = \int_{0}^{3T} s_i^2(t) \,{\rm d} t$$~~
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−	~~aufweisen, liefern die Integrale $I_i$ genau die gleichen ML–Informationen wie die korrigierten Größen $W_i$.~~
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−	Die roten Signalverläufe $s_i(t)$ ergeben sich aus den blauen durch Faltung mit der Impulsantwort $h_{\rm G}(t)$ eines Gaußtiefpasses mit der Grenzfrequenz $f_{\rm G} \cdot T = 0.35$. Jeder einzelne Rechteckimpuls wird verbreitert. Die roten Funktionsverläufe weise Impulsinterferenzen auf.
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−	~~''Hinweis:''~~
−	* Die Aufgabe gehört zum Themebgebiet des Kapitels [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Optimale_Empf%C3%A4ngerstrategien\|Optimale Empfängerstrategien]].
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−	~~===Fragebogen===~~
−	~~<quiz display=simple>~~
−	~~{Geben Sie die folgenden normierten Endwerte $I_i/E_{\rm B}$ für Rechtecksignale (ohne Rauschen) an.~~
−	~~\|type="{}"}~~
−	~~$I_0/E_{\rm B}$ = { -1.03--0.97 }~~
−	~~$I_2/E_{\rm B}$ = { 1 3% }~~
−	~~$I_4/E_{\rm B}$ = { -3.09--2.91 }~~
−	~~$I_6/E_{\rm B}$ = { -1.03--0.97 }~~
−
−	~~{Welche Aussagen gelten bei Berücksichtigung eines Rauschenterms?~~
−	~~\|type="[]"}~~
−	~~- Das Baumdiagramm ist weiter durch Geradenstücke beschreibbar.~~
−	~~+ Ist $I_3$ der maximale $I_i§ \, –Wert, so entscheidet der Empfänger richtig.~~
−	~~- Es gilt unabhängig von der Stärke der Störungen $I_0 = I_6$.~~
−
−	~~{Welche Aussagen gelten für die roten Signalverläufe (mit Impulsinterferenzen)?~~
−	~~\|type="[]"}~~
−	~~- Das Baumdiagramm ist weiter durch Geradenstücke beschreibbar.~~
−	~~+ Die Signalenergien $E_i(i = 0, \ ... \, \ 7$) sind dann unterschiedlich.~~
−	~~- Es sind sowohl die Entscheidungsgrößen $I_i$ als auch $W_i$ geeignet.~~
−
−	~~{Wie sollte der Intergrationsbereich ($t_1$ bis $t_2$) gewählt werden?~~
−	~~\|type="[]"}~~
−	~~+ Ohne Impulsinterferenzen (blau) sind $t_1 = 0$, $t_2 = 3T$ bestmöglich.~~
−	~~- Mit Impulsinterferenzen (rot) sind $t_1 = 0$ und $t_2 = 3T$ bestmöglich.~~
−	~~</quiz>~~
−
−	~~===Musterlösung===~~
−	~~{{ML-Kopf}}~~
−	'''(1)'''  Die linke Grafik zeigt das Baumdiagramm (ohne Rauschen) mit allen Endwerten. Grün hervorgehoben ist der Verlauf $i_0(t)/E_{\rm B}$ mit dem Endergebnis $I_0/E_{\rm B} = \ –1$, der zunächst linear bis $+1$ ansteigt – das jeweils erste Bit von $s_0(t)$ und $s_3(t)$ stimmen überein – und dann über zwei Bitdauern abfällt.
−
−	~~[[Datei:P_ID1466__Dig_A_3_10.png\|center\|frame\|Baumdiagramm des Korrelationsempfängers]]~~
−
−	~~Die richtigen Ergebnisse lauten somit:~~
−	:$$I_0/E_{\rm B}\hspace{0.15cm}\underline { = -1}, \hspace{0.2cm}I_2/E_{\rm B} \hspace{0.15cm}\underline {= +1}, \hspace{0.2cm}I_4/E_{\rm B} \hspace{0.15cm}\underline {= -3}, \hspace{0.2cm}I_6/E_{\rm B}\hspace{0.15cm}\underline { = -1}
−	~~\hspace{0.05cm}.$$~~
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−
−	'''(2)'''  Bei Vorhandensein von (Rausch–) Störungen nehmen die Funktionen $i_i(t)$ nicht mehr linear zu bzw. ab, sondern haben einen Verlauf wie in der oberen Grafik dargestellt. Solange $I_3 > I_{\it i≠3}$ ist, entscheidet der Korrelationsempfänger richtig. Bei Vorhandensein von Störungen gilt stets $I_0 ≠ I_6$ im Gegensatz zum störungsfreien Baumdiagramm. Richtig ist also nur der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>.
−
−
−	'''(3)'''  Auch hier ist nur die <u>zweite Aussage</u> zutreffend. Da nun die möglichen Sendesignale $s_i(t)$ nicht mehr aus horizontalen Abschnitten zusammengesetzt werden können, besteht auch das Baumdiagramm ohne Störungen nicht aus Geradenstücken. Da die Energien $E_i$ unterschiedlich sind – dies erkennt man zum Beispiel durch den Vergleich der Signale $s_0(t)$ und $s_2(t)$ – müssen für die Entscheidung unbedingt die korrigierten Größen $W_i$ herangezogen werden. Die Verwendung der reinen Korrelationswerte $I_i$ kann bereits ohne Störungen zu Fehlentscheidungen führen.
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−
−	'''(4)'''  Im Fall <u>ohne Impulsinterferenzen</u> (blaue Rechtecksignale) sind alle Signale auf den Bereich $0 \ ... \ 3T$ begrenzt. Außerhalb stellt das Empfangssignal $r(t)$ reines Rauschen dar. Deshalb genügt in diesem Fall auch die Integration über den Bereich $0 \ ... \ 3T$. Richtig ist <u>Antwort 1</u>.
−
−	Demgegenüber unterscheiden sich bei Berücksichtigung von Impulsinterferenzen (rote Signale) die Integranden $s_3(t) \cdot s_i(t)$ auch außerhalb dieses Bereichs. Wählt man $t_1 = \ –T$ und $t_2 = +4T$, so wird deshalb die Fehlerwahrscheinlichkeit des Korrelationsempfängers gegenüber dem Integrationsbereich $0 \ ... \ 3T$ weiter verringert.
−	~~{{ML-Fuß}}~~
−
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−	~~[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^3.7 Optimale Empfängerstrategien^]]~~

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 '''(4)'''&nbsp; Im Fall <u>ohne Impulsinterferenzen</u> (blaue Rechtecksignale) sind alle Signale auf den Bereich $0 \ ... \ 3T$ begrenzt. Außerhalb stellt das Empfangssignal $r(t)$ reines Rauschen dar. Deshalb genügt in diesem Fall auch die Integration über den Bereich $0 \ ... \ 3T$. Richtig ist <u>Antwort 1</u>.
-Demgegenüber unterscheiden sich bei Berücksichtigung von Impulsinterferenzen (rote Signale) die Integranden $s_3(t) \cdot s_i(t)$ auch außerhalb dieses Bereichs. Wählt man $t_1 = &ndash;T$ und $t_2 = +4T$, so wird deshalb die Fehlerwahrscheinlichkeit des Korrelationsempfängers gegenüber dem Integrationsbereich $0 \ ... \ 3T$ weiter verringert.
+Demgegenüber unterscheiden sich bei Berücksichtigung von Impulsinterferenzen (rote Signale) die Integranden $s_3(t) \cdot s_i(t)$ auch außerhalb dieses Bereichs. Wählt man $t_1 = \ &ndash;T$ und $t_2 = +4T$, so wird deshalb die Fehlerwahrscheinlichkeit des Korrelationsempfängers gegenüber dem Integrationsbereich $0 \ ... \ 3T$ weiter verringert.
 {{ML-Fuß}}

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 '''(4)'''&nbsp; Im Fall <u>ohne Impulsinterferenzen</u> (blaue Rechtecksignale) sind alle Signale auf den Bereich $0 \ ... \ 3T$ begrenzt. Außerhalb stellt das Empfangssignal $r(t)$ reines Rauschen dar. Deshalb genügt in diesem Fall auch die Integration über den Bereich $0 \ ... \ 3T$. Richtig ist <u>Antwort 1</u>.
-Demgegenüber unterscheiden sich bei Berücksichtigung von Impulsinterferenzen (rote Signale) die Integranden $s_3(t) \cdot s_i(t)$ auch außerhalb dieses Bereichs. Wählt man $t_1 = \ &ndash;T$ und $t_2 = +4T$, so wird deshalb die Fehlerwahrscheinlichkeit des Korrelationsempfängers gegenüber dem Integrationsbereich $0 \ ... \ 3T$ weiter verringert.
+Demgegenüber unterscheiden sich bei Berücksichtigung von Impulsinterferenzen (rote Signale) die Integranden $s_3(t) \cdot s_i(t)$ auch außerhalb dieses Bereichs. Wählt man $t_1 = &ndash;T$ und $t_2 = +4T$, so wird deshalb die Fehlerwahrscheinlichkeit des Korrelationsempfängers gegenüber dem Integrationsbereich $0 \ ... \ 3T$ weiter verringert.
 {{ML-Fuß}}

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die linke Grafik zeigt das Baumdiagramm (ohne Rauschen) mit allen Endwerten. Grün hervorgehoben ist der Verlauf $i_0(t)/E_{\rm B}$ mit dem Endergebnis $I_0/E_{\rm B} = \ %ndash;1$, der zunächst linear bis $+1$ ansteigt &ndash; das jeweils erste Bit von $s_0(t)$ und $s_3(t)$ stimmen überein &ndash; und dann über zwei Bitdauern abfällt.
+'''(1)'''&nbsp; Die linke Grafik zeigt das Baumdiagramm (ohne Rauschen) mit allen Endwerten. Grün hervorgehoben ist der Verlauf $i_0(t)/E_{\rm B}$ mit dem Endergebnis $I_0/E_{\rm B} = \ &ndash;1$, der zunächst linear bis $+1$ ansteigt &ndash; das jeweils erste Bit von $s_0(t)$ und $s_3(t)$ stimmen überein &ndash; und dann über zwei Bitdauern abfällt.
 [[Datei:P_ID1466__Dig_A_3_10.png|center|frame|Baumdiagramm des Korrelationsempfängers]]

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 {Wie sollte der Intergrationsbereich ($t_1$ bis $t_2$) gewählt werden?
 |type="[]"}
-- Ohne Impulsinterferenzen (blau) sind $t_1 = 0$, $t_2 = 3T$ bestmöglich.
++ Ohne Impulsinterferenzen (blau) sind $t_1 = 0$, $t_2 = 3T$ bestmöglich.
-+ Mit Impulsinterferenzen (rot) sind $t_1 = 0$ und $t_2 = 3T$ bestmöglich.
+- Mit Impulsinterferenzen (rot) sind $t_1 = 0$ und $t_2 = 3T$ bestmöglich.
 </quiz>

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''1.'''
+'''(1)'''&nbsp; Die linke Grafik zeigt das Baumdiagramm (ohne Rauschen) mit allen Endwerten. Grün hervorgehoben ist der Verlauf $i_0(t)/E_{\rm B}$ mit dem Endergebnis $I_0/E_{\rm B} = \ %ndash;1$, der zunächst linear bis $+1$ ansteigt &ndash; das jeweils erste Bit von $s_0(t)$ und $s_3(t)$ stimmen überein &ndash; und dann über zwei Bitdauern abfällt.
-'''2.'''
-'''3.'''
+[[Datei:P_ID1466__Dig_A_3_10.png|center|frame|Baumdiagramm des Korrelationsempfängers]]
-'''4.'''
-'''5.'''
+Die richtigen Ergebnisse lauten somit:
-'''6.'''
+:$$I_0/E_{\rm B}\hspace{0.15cm}\underline { = -1}, \hspace{0.2cm}I_2/E_{\rm B} \hspace{0.15cm}\underline {= +1}, \hspace{0.2cm}I_4/E_{\rm B} \hspace{0.15cm}\underline {= -3}, \hspace{0.2cm}I_6/E_{\rm B}\hspace{0.15cm}\underline { = -1}
-'''7.'''
+ \hspace{0.05cm}.$$
 {{ML-Fuß}}

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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Multiple-Choice Frage
+{Geben Sie die folgenden normierten Endwerte $I_i/E_{\rm B}$ für Rechtecksignale (ohne Rauschen) an.
 |type="[]"}
-- Falsch
+- Das Baumdiagramm ist weiter durch Geradenstücke beschreibbar.
-+ Richtig
++ Ist $I_3$ der maximale $I_i§ \, &ndash;Wert, so entscheidet der Empfänger richtig.
-{Input-Box Frage
+{Wie sollte der Intergrationsbereich ($t_1$ bis $t_2$) gewählt werden?
-|type="{}"}
+|type="[]"}
-$\alpha$ = { 0.3 }
+- Ohne Impulsinterferenzen (blau) sind $t_1 = 0$, $t_2 = 3T$ bestmöglich.
 </quiz>

@@ Zeile 5: / Zeile 5: @@
 Wie in [[Aufgaben:3.9_Unipolarer_Korrelationsempf%C3%A4nger|Aufgabe A3.9]] betrachten wir die gemeinsame Entscheidung dreier Binärsymbole (Bits) mittels des Korrelationsempfängers. Die möglichen Sendesignale $s_0(t), \ ... \ , \ s_7(t)$ seien bipolar. In der Grafik sind die Funktionen $s_0(t)$, $s_1(t)$, $s_2(t)$ und $s_3(t)$ dargestellt. Die blauen Kurvenverläufe gelten dabei für rechteckförmige NRZ&ndash;Sendeimpulse.
-Darunter gezeichnet ist das so genannte Baumdiagramm für diese Konstellation unter der Voraussetzung, dass das Signal $s_3(t)$ gesendet wurde.
+Darunter gezeichnet ist das so genannte Baumdiagramm für diese Konstellation unter der Voraussetzung, dass das Signal $s_3(t)$ gesendet wurde. Dargestellt sind hier im Bereich von $0$ bis $3T$ die Funktionen
 :$$i_i(t)  =  \int_{0}^{t} s_3(\tau) \cdot s_i(\tau) \,{\rm d}
 \tau \hspace{0.3cm}( i = 0, ... , 7)\hspace{0.05cm}.$$