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{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Lineare Verzerrungen
}}

[[Datei:P_ID914__LZI_A_2_7.png|right|]]
:Wie in der Aufgabe A2.6 wird ein Zweiwegekanal betrachtet, für dessen Impulsantwort gelte:
:$$h(t) = \delta ( t - T_1) + \delta ( t - T_2).$$

:Entgegen der allgemeinen Darstellung in A2.6 sind hier die beiden Dämpfungsfaktoren z1 und z2 jeweils zu 1 gesetzt. Dies entspricht zum Beispiel beim Mobilfunk einem Echo im Abstand T2 – T1 in gleicher Stärke wie das Signal auf dem Hauptpfad. Für dieses wird die Laufzeit T1 vorausgesetzt.

:Mit den zunächst (a, b, c, d) betrachteten Laufzeiten T1 = 0 und T2 = T erhält man für den Frequenzgang des Zweiwegekanals (Betrag siehe obere Grafik):
:$$H(f) = 1 + {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.04cm}2 \pi f T} = 1 +
\cos(2 \pi f T) - {\rm j} \cdot \sin(2 \pi f T)$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.4cm}|H(f)| = \sqrt{2\left(1 + \cos(2 \pi f
T)\right)}= 2 \cdot |\cos(\pi f T)|.$$

:Die untere Grafik zeigt die Phasenfunktion:
:$$b(f) = - {\rm arc} \hspace{0.1cm}H(f) = \arctan \frac{\sin(2 \pi f
T)}{1 + \cos(2 \pi f T)} = \arctan \left(\tan(\pi f T)\right).$$

:Hierbei wurde folgende trigonometrische Umformung benutzt:
:$$ \frac{\sin(2 \alpha)}{1 + \cos(2 \alpha)} = \tan(\alpha).$$

:Im Frequenzbereich |f| < 1/(2T) steigt b(f) linear an: b(f) = π · f · T1. Auch in den weiteren Abschnitten der Phasenfunktion nimmt die Phase stets von – π/2 bis π/2 linear zu (siehe untere Grafik).

:Für die Teilaufgaben 1) bis 4) gelte T1 = 0 und T2 = T = 4 ms. Dagegen wird in der Teilaufgabe e) der Fall T1 = 1 ms, T2 = 5 ms betrachtet. Als Eingangssignale werden untersucht:

:ein Rechteckimpuls x1(t) mit der Höhe 1 zwischen 0 und T. Das bedeutet, dass für t < 0 und für t > T jeweils x1(t) = 0 gilt. An den beiden Sprungstellen tritt jeweils der Wert 0.5 auf.

:ein Rechteckimpuls x2(t) mit der Höhe 1 im Bereich von 0 bis 2T,

:ein periodisches Rechtecksignal x3(t) mit der Periodendauer T0 = T:
:$$x_3(t) = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\
0 \\ \end{array} \right.\quad \quad
\begin{array}{c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}}
\\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}
{ 0 < t < T/2,} \\
{ T/2 < t < T,} \\
\end{array}$$

:ein periodisches Rechtecksignal x4(t) mit der Periodendauer T0 = 2T:
:$$x_4(t) = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\
0 \\ \end{array} \right.\quad \quad
\begin{array}{c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}}
\\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}
{ 0 < t < T,} \\
{ T < t < 2T.} \\
\end{array}$$

:Im Fragenkatalog bezeichnet yi(t) das Signal am Ausgang des Zweiwegekanals, wenn am Eingang das Signal xi(t) anliegt (i = 1, 2, 3, 4).

:Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von Kapitel 2.3.

===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Berechnen Sie das Ausgangssignal y1(t). Welche der Aussagen sind zutreffend?
|type="[]"}
+ y1(t) ist ebenfalls rechteckförmig.
- y1(t) ist dreieckförmig.
+ Die absolute Impulsdauer ist 2T.
+ y1(t) weist gegenüber x1(t) Dämpfungsverzerrungen auf.
+ y1(t) weist gegenüber x1(t) Phasenverzerrungen auf.

{Berechnen Sie das Signal y2(t). Welche Werte ergeben sich zu den Zeitpunkten t = 0.5T, 1.5T und 2.5T?
|type="{}"}
$y_2(t = 0.5T)$ = { 1 3% }
$y_2(t = 1.5T)$ = { 2 3% }
$y_2(t = 2.5T)$ = { 1 3% }

{Berechnen Sie das Signal y3(t) und überprüfen Sie, welche Aussagen zutreffen.
|type="[]"}
+ y3(t) ist gegenüber x3(t) unverzerrt.
- y3(t) weist gegenüber x3(t) Dämpfungsverzerrungen auf.
- y3(t) weist gegenüber x3(t) Phasenverzerrungen auf.

{Welche Aussagen treffen für das Ausgangssignal y4(t)
zu?
|type="[]"}
- y4(t) ist gegenüber x4(t) unverzerrt.
+ y4(t) weist gegenüber x4(t) Dämpfungsverzerrungen auf.
- y4(t) weist gegenüber x4(t) Phasenverzerrungen auf.

{Es gelten nun die Kanalparameterwerte T1 = 1 ms und T2 = 5 ms. Welche Veränderungen ergeben sich gegenüber den bisherigen Ergebnissen?
|type="[]"}
+ Die obigen Aussagen hinsichtlich Verzerrungen sind weiterhin gültig.
- Fundierte Aussagen sind erst nach einer Neuberechnung möglich.
- T1 = 1 ms und T2 = 5 ms führt bei allen Signalen zu Verzerrungen.

</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
:1.  Die Lösung im Zeitbereich führt schneller zum Endergebnis:
:$$y_1(t) = x_1(t) \star h(t) = \\ = x_1(t) \star \delta (t)
+ x_1(t) \star \delta (t - T) = x_1(t) + x_1(t-T).$$

:Somit ist y1(t) ein Rechteckimpuls der Höhe 1 und der Breite 2T.

:Zum gleichen Ergebnis – aber zeitaufwändiger – kommt man durch die Berechnung im Spektralbereich:
:$$Y_1(f) = X_1(f) \cdot H(f) = T \cdot \frac {\sin(\pi f T)}{\pi f T}\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \pi f T} \cdot
\left[ 1 + {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T} \right].$$

:Die komplexen Exponentialfunktionen können mit dem Satz von Euler wie folgt umgewandelt werden:
:$${\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \pi f T}
\left[ 1 + {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T} \right] = {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T}
\cdot \left[ {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \pi f T} + {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \pi f T} \right] = \\
= {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T} \cdot 2 \cos(\pi f T) .$$

:Somit kann für das Ausgangsspektrum geschrieben werden:
:$$Y_1(f) = Y_{11}(f) \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T}
,$$
:$$Y_{11}(f) = 2T \cdot \frac {\sin(\pi f T) \cdot \cos(\pi f T)}{\pi
f T} = 2T \cdot \frac {\sin(2\pi f T) }{2\pi f T}.$$
[[Datei:P_ID925__LZI_A_2_7_a.png|right|]]
:Hierbei ist die Beziehung sin(α) · cos(α) = sin(2α)/2 verwendet. Die Fourierrücktransformation von Y11(f) führt zu einem um t = 0 symmetrischen Rechteck der Breite 2T. Durch die Phasenfunktion wird dieser in den Bereich 0 ... 2T verschoben und das Ergebnis der Zeitbereichsberechnung bestätigt.

:Trotz der Tatsache, dass y1(t) ebenso wie x1(t) rechteckförmig ist, liegen hier Verzerrungen vor. Wegen Ty > Tx sind diese linear. Im interessierenden Frequenzbereich – das sind bei einem si–förmigem Spektrum alle Frequenzen – ist |H(f)| nicht konstant. Also gibt es Dämpfungsverzerrungen.

:Da zudem die Phase nicht im gesamten Bereich linear mit f ansteigt, gibt es auch Phasenverzerrungen. Das bedeutet: Alle Lösungsvorschläge treffen zu mit Ausnahme von 2.

:2.  Aufgrund der bereits in 1) angegebenen Gleichung
:$$y_2(t) = x_2(t) + x_2(t-T)$$

:erhält man einen stufenförmigen Verlauf entsprechend obiger Grafik. Die gesuchten Werte sind:
:$$y_2(t = 0.5 T) \hspace{0.15cm}\underline{= 1}, \hspace{0.3cm} y_2(t = 1.5 T) \hspace{0.15cm}\underline{= 2},
\hspace{0.3cm}y_2(t = 2.5 T) \hspace{0.15cm}\underline{ = 1}.$$

:3.  Die Periodendauer T0 = T des periodischen Signals x3(t) ist genau so groß wie die Verzögerung auf dem zweiten Pfad. Deshalb ist y3(t) = 2 · x3(t) und es sind keine Verzerrungen feststellbar.
[[Datei:P_ID927__LZI_A_2_7_c.png|right|]]
:Die Spektralbereichsberechnung führt zum gleichen Ergebnis. X3(f) ist ein Linienspektrum mit Anteilen bei den Frequenzen f = 0, f = ±f0 = ±1/T, f = ±3f0 usw.. Bei diesen diskreten Frequenzen gilt aber exakt:
:$$|H(f)| = 2, \hspace{0.3cm} b(f) = 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow
\hspace{0.3cm}\tau_{\rm P}(f) = 0.$$

:Auch daraus folgt wieder y3(t) = 2 · x3(t). Richtig ist somit nur der Lösungsvorschlag 1. 
:4.  Aus der unteren Skizze obiger Grafik geht hervor, dass y4(t) = 1 gegenüber x4(t) verzerrt ist. Dabei handelt es sich um Dämpfungsverzerrungen ⇒  Lösungsvorschlag 2, wie die folgende Überlegung zeigt. Wegen T0 = 2T weist das Signal x4(t) die Grundfrequenz f0 = 1/(2T) auf. Bei allen ungeraden Vielfachen von f0 hat somit der Frequenzgang Nullstellen. Die einzige verbleibende Spektrallinie von Y4(f) liegt bei f = 0, wobei gilt:
:$$Y_4(f) = 2 \cdot 0.5 \cdot \delta (f) = 1 \cdot \delta (f)
\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} y_4(t) = 1.$$

:5.  Der Frequenzgang lautet nun mit T1 = 1 ms, T2 = 5 ms und T = T2 – T1 = 4 ms:
:$$H(f) = {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f
T_1}+ {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f
T_2}= \left[ 1 + {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T}
\right]\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f
T_1}.$$

:Der Klammerausdruck beschreibt den bereits bisher betrachteten Frequenzgang. Der zweite Term bewirkt eine zusätzliche Laufzeit um T1, und es gilt für alle Signale (i = 1, 2, 3, 4):
:$$y_i^{\rm (e)}(t) = y_i(t-T_1).$$

:Alle Aussagen hinsichtlich der Verzögerungen sind weiter gültig. Dies entspricht dem Lösungsvorschlag 1.
{{ML-Fuß}}

[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^2.3 Lineare Verzerrungen^]]

Aufgaben:2.6 Nochmals Zweiwegekanal - Versionsgeschichte

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