Aufgaben:2.1 Linear - Versionsgeschichte

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{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Klassifizierung der Verzerrungen
}}

[[Datei:P_ID879__LZI_A_2_1.png|right|]]
:Wir betrachten die skizzierte Anordnung mit dem Eingangssignal x(t) und dem Ausgangssignal z(t):

:Das System S1 ist durch folgende Gleichung beschreibbar:
:$$y(t) = x(t) + {1 \, \rm V}^{\rm -1} \cdot x^2(t) .$$

:Über das System S2 mit Eingangssignal y(t) und Ausgangssignal z(t) ist nichts weiter bekannt.

:Das System S3 ist die Zusammenschaltung von S1 und S2.

:An den Eingang wird folgendes Signal angelegt (f0 = 5 kHz):
:$$x(t) = {2 \, \rm V} \cdot {\rm cos}(2\pi f_0 t ) .$$

:Damit erhält man am Ausgang des Gesamtsystems S3:
:$$z(t) = {1 \, \rm V} \cdot {\rm sin}(2\pi f_0 t ) .$$

:Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 2.1. Gegeben ist die folgende trigonometrische Beziehung:
:$$\cos^2(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot \left[ 1 + \cos(2\alpha)\right]
.$$

===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Wie lautet das Signal y(t)? Welcher Signalwert ergibt sich zum Nullzeitpunkt?
|type="{}"}
$y(t = 0)$ = { 6 1% } $V$

{Welche richtigen Schlüsse könnte ein Beobachter ziehen, der nur die Signale x(t) und z(t) kennt und keine Information über den Aufbau von S3 besitzt?
|type="[]"}
- S3 ist ein ideales System.
+ S3 ist ein verzerrungsfreies System.
+ S3 ist ein linear verzerrendes System.
- S3 ist ein nichtlinear verzerrendes System.

{Welche Schlüsse müsste der Beobachter ziehen, wenn ihm alle Informationen von der Angabenseite bekannt sind?
|type="[]"}
- S2 ist ein verzerrungsfreies System.
+ S2 ist ein linear verzerrendes System.
- S2 ist ein nichtlinear verzerrendes System.

{Welches Signal z(t) könnte sich mit der Eingangsfrequenz f0 = 10 kHz ergeben?
|type="[]"}
+ Das Signal z(t) = 0.
- Ein Signal der Form z(t) = A · cos(2π · 10 kHz · t), A ≠ 0.
+ Ein Signal der Form z(t) = A · cos(2π · 20 kHz · t), A ≠ 0.

</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
:1.  Aufgrund der Kennlinie mit linearem und quadratischem Anteil gilt:
:$$y(t) = {2 \, \rm V} \cdot {\rm cos}(2\pi f_0 t ) + {1 \,
\rm V}^{\rm -1} \cdot ({2 \, \rm V})^2 \cdot {\rm cos}^2(2\pi f_0
t ) \\ = {2 \, \rm V} \cdot \left[ 1 + {\rm cos}(2\pi f_0 t
) +{\rm cos}(4\pi f_0 t ) \right].$$

:Zum Zeitpunkt t = 0 tritt somit der Signalwert 6 V auf.

:2.  Ein ideales System kommt wegen z(t) ≠ x(t) nicht in Frage. Die Alternativen 2 und 3 sind möglich. Bei nur einer Frequenz (f0 = 5 kHz) ist keine Aussage möglich, ob eine zweite Frequenzkomponente ebenfalls um α = 0.5 gedämpft und um τ = T0/4 = 50 μs verzögert würde. Die letzte Alternative müsste der Beobachter – obwohl teilweise zutreffend – logischerweise verneinen.

:3.  Er würde erkennen, dass S2 ein linear verzerrendes System ist  ⇒  Lösungsvorschlag 2. Bei einem verzerrungsfreien System müsste z(t) zusätzlich noch eine Gleich– und eine 10 kHz–Komponente beinhalten, bei einem nichtlinear verzerrenden System noch größere Frequenzanteile (bei Vielfachen von 10 kHz).

:4.  In diesem Fall würde Y(f) Spektrallinien bei f = 0, f = 10 kHz und f = 20 kHz aufweisen. Die auf der Angabenseite beschriebene Messung mit f0 = 5 kHz hat gezeigt, dass H2(f = 0) und H2(f = 10 kHz) jeweils 0 sein werden. Die einzig mögliche Signalform ist somit
:$$z(t) = {2 \, \rm V} \cdot H_2 (f = {20 \, \rm kHz})\cdot {\rm
cos}(2\pi \cdot {20 \, \rm kHz} \cdot t ) .$$

:Möglich sind also die erste und die letzte der genannten Alternativen, je nachdem, ob das System S2 die Frequenz 20 kHz unterdrückt oder durchlässt  ⇒  Lösungsvorschläge 1 und 3.
{{ML-Fuß}}

[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^2.1 Klassifizierung der Verzerrungen^]]

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−	~~{{quiz-Header\|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Klassifizierung der Verzerrungen~~
−	}}
−
−	~~[[Datei:P_ID879__LZI_A_2_1.png\|right\|]]~~
−	~~:Wir betrachten die skizzierte Anordnung mit dem Eingangssignal <i>x</i>(<i>t</i>) und dem Ausgangssignal <i>z</i>(<i>t</i>):~~
−
−	~~:Das System <i>S</i><sub>1</sub> ist durch folgende Gleichung beschreibbar:~~
−	~~:$$y(t) = x(t) + {1 \, \rm V}^{\rm -1} \cdot x^2(t) .$$~~
−
−	~~:Über das System <i>S</i><sub>2</sub> mit Eingangssignal <i>y</i>(<i>t</i>) und Ausgangssignal <i>z</i>(<i>t</i>) ist nichts weiter bekannt.~~
−
−	~~:Das System <i>S</i><sub>3</sub> ist die Zusammenschaltung von <i>S</i><sub>1</sub> und <i>S</i><sub>2</sub>.~~
−
−	~~:An den Eingang wird folgendes Signal angelegt (<i>f</i><sub>0</sub> = 5 kHz):~~
−	~~:$$x(t) = {2 \, \rm V} \cdot {\rm cos}(2\pi f_0 t ) .$$~~
−
−	~~:Damit erhält man am Ausgang des Gesamtsystems <i>S</i><sub>3</sub>:~~
−	~~:$$z(t) = {1 \, \rm V} \cdot {\rm sin}(2\pi f_0 t ) .$$~~
−
−	~~:<b>Hinweis:</b> Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 2.1. Gegeben ist die folgende trigonometrische Beziehung:~~
−	~~:$$\cos^2(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot \left[ 1 + \cos(2\alpha)\right]~~
−	~~.$$~~
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−	~~===Fragebogen===~~
−
−	~~<quiz display=simple>~~
−	~~{Wie lautet das Signal <i>y</i>(<i>t</i>)? Welcher Signalwert ergibt sich zum Nullzeitpunkt?~~
−	~~\|type="{}"}~~
−	~~$y(t = 0)$ = { 6 1% } $V$~~
−
−
−	~~{Welche richtigen Schlüsse könnte ein Beobachter ziehen, der nur die Signale <i>x</i>(<i>t</i>) und <i>z</i>(<i>t</i>) kennt und keine Information über den Aufbau von <i>S</i><sub>3</sub> besitzt?~~
−	~~\|type="[]"}~~
−	~~- <i>S</i><sub>3</sub> ist ein ideales System.~~
−	~~+ <i>S</i><sub>3</sub> ist ein verzerrungsfreies System.~~
−	~~+ <i>S</i><sub>3</sub> ist ein linear verzerrendes System.~~
−	~~- <i>S</i><sub>3</sub> ist ein nichtlinear verzerrendes System.~~
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−
−	~~{Welche Schlüsse müsste der Beobachter ziehen, wenn ihm alle Informationen von der Angabenseite bekannt sind?~~
−	~~\|type="[]"}~~
−	~~- <i>S</i><sub>2</sub> ist ein verzerrungsfreies System.~~
−	~~+ <i>S</i><sub>2</sub> ist ein linear verzerrendes System.~~
−	~~- <i>S</i><sub>2</sub> ist ein nichtlinear verzerrendes System.~~
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−
−	~~{Welches Signal <i>z</i>(<i>t</i>) könnte sich mit der Eingangsfrequenz <i>f</i><sub>0</sub> = 10 kHz ergeben?~~
−	~~\|type="[]"}~~
−	~~+ Das Signal <i>z</i>(<i>t</i>) = 0.~~
−	~~- Ein Signal der Form <i>z</i>(<i>t</i>) = <i>A</i> · cos(2π · 10 kHz · <i>t</i>), <i>A</i> ≠ 0.~~
−	~~+ Ein Signal der Form <i>z</i>(<i>t</i>) = <i>A</i> · cos(2π · 20 kHz · <i>t</i>), <i>A</i> ≠ 0.~~
−
−
−
−	~~</quiz>~~
−
−	~~===Musterlösung===~~
−	~~{{ML-Kopf}}~~
−	~~:<b>1.</b>  Aufgrund der Kennlinie mit linearem und quadratischem Anteil gilt:~~
−	~~:$$y(t) = {2 \, \rm V} \cdot {\rm cos}(2\pi f_0 t ) + {1 \,~~
−	~~\rm V}^{\rm -1} \cdot ({2 \, \rm V})^2 \cdot {\rm cos}^2(2\pi f_0~~
−	~~t ) \\ = {2 \, \rm V} \cdot \left[ 1 + {\rm cos}(2\pi f_0 t~~
−	~~) +{\rm cos}(4\pi f_0 t ) \right].$$~~
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−	~~:Zum Zeitpunkt <i>t</i> = 0 tritt somit der <u>Signalwert 6 V</u> auf.~~
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−	:<b>2.</b>  Ein ideales System kommt wegen <i>z</i>(<i>t</i>) ≠ <i>x</i>(<i>t</i>) nicht in Frage. <u>Die Alternativen 2 und 3 sind möglich</u>. Bei nur einer Frequenz (<i>f</i><sub>0</sub> = 5 kHz) ist keine Aussage möglich, ob eine zweite Frequenzkomponente ebenfalls um <i>α</i> = 0.5 gedämpft und um <i>τ</i> = <i>T</i><sub>0</sub>/4 = 50 μs verzögert würde. Die letzte Alternative müsste der Beobachter – obwohl teilweise zutreffend – logischerweise verneinen.
−
−	:<b>3.</b>  Er würde erkennen, dass <i>S</i><sub>2</sub> ein linear verzerrendes System ist  ⇒  <u>Lösungsvorschlag 2</u>. Bei einem verzerrungsfreien System müsste <i>z</i>(<i>t</i>) zusätzlich noch eine Gleich– und eine 10 kHz–Komponente beinhalten, bei einem nichtlinear verzerrenden System noch größere Frequenzanteile (bei Vielfachen von 10 kHz).
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−	:<b>4.</b>  In diesem Fall würde <i>Y</i>(<i>f</i>) Spektrallinien bei <i>f</i> = 0, <i>f</i> = 10 kHz und <i>f</i> = 20 kHz aufweisen. Die auf der Angabenseite beschriebene Messung mit <i>f</i><sub>0</sub> = 5 kHz hat gezeigt, dass <i>H</i><sub>2</sub>(<i>f</i> = 0) und <i>H</i><sub>2</sub>(<i>f</i> = 10 kHz) jeweils 0 sein werden. Die einzig mögliche Signalform ist somit
−	~~:$$z(t) = {2 \, \rm V} \cdot H_2 (f = {20 \, \rm kHz})\cdot {\rm~~
−	~~cos}(2\pi \cdot {20 \, \rm kHz} \cdot t ) .$$~~
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−	:Möglich sind also die erste und die letzte der genannten Alternativen, je nachdem, ob das System <i>S</i><sub>2</sub> die Frequenz 20 kHz unterdrückt oder durchlässt  ⇒  <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>.
−	~~{{ML-Fuß}}~~
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−	~~[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme\|^2.1 Klassifizierung der Verzerrungen^]]~~