Aufgabe 2.6Z: PN-Generator der Länge 3 - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:26:03Z

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← Nächstältere Version		Version vom 16. März 2026, 14:26 Uhr
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	[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie\|^2.5 Erzeugung diskreter Zufallsgrößen^]]		[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie\|^2.5 Erzeugung diskreter Zufallsgrößen^]]
			[[en:Exercise_2.6Z:_PN_Generator_of_Length_3]]

Guenter am 29. Dezember 2021 um 12:50 Uhr

2021-12-29T12:50:25Z

Guenter am 29. Dezember 2021 um 12:38 Uhr

2021-12-29T12:38:57Z

← Nächstältere Version		Version vom 29. Dezember 2021, 14:38 Uhr
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	Das zugehörige reziproke Polynom		Das zugehörige reziproke Polynom
	$$G_{\rm R}(D) = D^{\rm 3}\cdot ( D^{\rm -3} + D^{\rm -2} + 1) = D^{\rm 3} + D^{\rm 1} + \rm 1$$		:$$G_{\rm R}(D) = D^{\rm 3}\cdot ( D^{\rm -3} + D^{\rm -2} + 1) = D^{\rm 3} + D^{\rm 1} + \rm 1$$

	hat die Oktalkennung  $(1 \ 0 \ 1 \ 1)_{\rm bin} = (13)_{\rm oct}$.		hat die Oktalkennung  $(1 \ 0 \ 1 \ 1)_{\rm bin} = (13)_{\rm oct}$.
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	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Erzeugung_von_diskreten_Zufallsgrößen\|Erzeugung von diskreten Zufallsgrößen]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Erzeugung_von_diskreten_Zufallsgrößen\|Erzeugung von diskreten Zufallsgrößen]].

	*Wir verweisen hier auch auf das Lernvideo  [[Erläuterung_der_PN–Generatoren_an_einem_Beispiel_(Lernvideo)\|Erläuterung der PN-Generatoren an einem Beispiel]].		*Wir verweisen hier auch auf das Lernvideo  [[Erläuterung_der_PN–Generatoren_an_einem_Beispiel_(Lernvideo)\|"Erläuterung der PN-Generatoren an einem Beispiel"]].


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	{Ermitteln Sie die Ausgangsfolge  $〈z_ν\rangle$  für die Zeitpunkte  $1$, ... , $P$.  Wie lauten die ersten  $15$  Binärwerte der Ausgangsfolge? <br>''Hinweis:''  Bezeichnen Sie die Zellen von links nach rechts mit  $S_1$,  $S_2$  und  $S_3$.  Ausgegeben wird der Wert  $z_ν$, der zur Zeit  $\nu$  in die Speicherzelle  $S_1$  eingetragen wird.		{Ermitteln Sie die Ausgangsfolge  $〈z_ν\rangle$  für die Zeitpunkte  $1$, ... , $P$.  Wie lauten die ersten  $15$  Binärwerte der Ausgangsfolge? <br>Hinweis:  Bezeichnen Sie die Zellen von links nach rechts mit  $S_1$,  $S_2$  und  $S_3$.  Ausgegeben wird der Wert  $z_ν$, der zur Zeit  $\nu$  in die Speicherzelle  $S_1$  eingetragen wird.
	\|type="()"}		\|type="()"}
	- $1\ 0 \ 0 \ 1 \ 1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 1 \ 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 0$ . . .		- $1\ 0 \ 0 \ 1 \ 1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 1 \ 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 0$ . . .

Guenter am 14. November 2019 um 11:48 Uhr

2019-11-14T11:48:37Z

← Nächstältere Version		Version vom 14. November 2019, 13:48 Uhr
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	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	[[Datei:P_ID107__Sto_Z_2_6b.png\|right\|frame\|PN–Generator mit Oktalkennung $15$]]		[[Datei:P_ID107__Sto_Z_2_6b.png\|right\|frame\|PN–Generator mit Oktalkennung $15$]]
	'''(1)'''  Es handelt sich um eine M-Sequenz mit $L= 3$. Daraus folgt $P= 2^L - 1 \hspace{0.15cm}\underline{= 7}$.		'''(1)'''  Es handelt sich um eine M-Sequenz mit  $L= 3$.  Daraus folgt $P= 2^L - 1 \hspace{0.15cm}\underline{= 7}$.


	'''(2)'''  Wir bezeichnen die Zellen von links nach rechts mit $S_1$, $S_2$ und $S_3$. Dann gilt:		'''(2)'''  Wir bezeichnen die Zellen von links nach rechts mit  $S_1$,  $S_2$  und  $S_3$.  Dann gilt:

	* $S_2(\nu) = S_1(\nu - 1)$,		* $S_2(\nu) = S_1(\nu - 1)$,
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	Das Ergebnis ist in der ersten Zeile obiger Tabelle (rot markiert) eingetragen:		Das Ergebnis ist in der ersten Zeile obiger Tabelle (rot markiert) eingetragen:
	*Zum Taktzeitpunkt $\nu = 7$ ergibt sich die gleiche Speicherbelegung wie zum Zeitpunkt $\nu = 0$.		*Zum Taktzeitpunkt  $\nu = 7$  ergibt sich die gleiche Speicherbelegung wie zum Zeitpunkt  $\nu = 0$.
	*Daraus folgt $ {P = 7}$ und die Folge lautet ab $\nu = 1$ entsprechend dem <u>Lösungsvorschlag 3</u> :		*Daraus folgt  $ {P = 7}$  und die Folge lautet ab  $\nu = 1$  entsprechend dem <u>Lösungsvorschlag 3</u> :
	:$$\langle z_\nu \rangle = 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 1 \ \text{...}$$		:$$\langle z_\nu \rangle = 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 1 \ \text{...}$$

	*Dagegen beschreibt Vorschlag 1 die M-Sequenz des PN-Generators mit Länge $L=4$ und Kennung $(31)$   ⇒   Periodenlänge ist $P= 15$.		*Dagegen beschreibt Vorschlag 1 die M-Sequenz des PN-Generators mit Länge  $L=4$  und Kennung  $(31)$   ⇒   Periodenlänge ist  $P= 15$.
	*Beim Vorschlag 2 ist die Periodenläng $P= 4$ zu kurz.		*Beim Vorschlag 2 ist die Periodenläng  $P= 4$  zu kurz.

			*Der letzte Vorschlag schließlich hätte zwar die gewünschte Periodenlänge  $P= 7$, aber aus der Modulo-2-Addition von  $S_2= 0$  und  $S_3= 1$  $($für  $\nu = 0)$  folgt zum nächsten Zeitpunkt  $(\nu = 1)$  zwingend:   $S_1= 1$.  Diese Eigenschaft zeigt die Folge 4 nicht.

	*Der letzte Vorschlag schließlich hätte zwar die gewünschte Periodenlänge $P= 7$, aber aus der Modulo-2-Addition von $S_2= 0$ und $S_3= 1$ (für $\nu = 0$) folgt zum nächsten Zeitpunkt ($\nu = 1$) zwingend:   $S_1= 1$. Diese Eigenschaft zeigt die Folge 4 nicht.


	'''(3)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2, 3 und 4</u>:		'''(3)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2, 3 und 4</u>:
	*Die maximale Anzahl aufeinander folgender Einsen ist $L$ (nämlich dann, wenn in allen $L$ Speicherzellen eine Eins steht).		*Die maximale Anzahl aufeinander folgender Einsen ist  $L$  (nämlich dann, wenn in allen  $L$  Speicherzellen eine Eins steht).
	*Es ist dagegen nicht möglich, dass alle Speicherzellen mit Nullen belegt sind. Deshalb gibt es stets eine Eins mehr als Nullen.		*Es ist dagegen nicht möglich, dass alle Speicherzellen mit Nullen belegt sind.  Deshalb gibt es stets eine Eins mehr als Nullen.
	*Die Periodenlänge der letzten Folge beträgt $P = 2$. Bei einer M-Sequenz gilt dagegen $P= 2^L - 1.$ Für keinen Wert von $L$ ist $P = 2$ möglich.		*Die Periodenlänge der letzten Folge beträgt  $P = 2$.  Bei einer M-Sequenz gilt dagegen  $P= 2^L - 1.$  Für keinen Wert von  $L$  ist  $P = 2$  möglich.



	[[Datei: P_ID2897__Sto_Z_2_6d.png\|right\|frame\|PN–Generator mit Oktalkennung $13$]]		[[Datei: P_ID2897__Sto_Z_2_6d.png\|right\|frame\|PN–Generator mit Oktalkennung  $13$]]
	'''(4)'''  In nebenstehender Tabelle ist die Entstehung der PN–Folge beim reziproken Polynom $G_{\rm R}(D)$ eingetragen. Man erkennt, dass der <u>Lösungsvorschlag 2</u> zutrifft:		'''(4)'''  In nebenstehender Tabelle ist die Entstehung der PN–Folge beim reziproken Polynom  $G_{\rm R}(D)$  eingetragen.
	*Auch bei der reziproken Anordnung muss die Periodenlänge $P = 7$ gelten, so dass der Vorschlag 1 (mit $P = 15$) ausscheidet.		Man erkennt, dass der <u>Lösungsvorschlag 2</u> zutrifft:
	*Der Vorschlag 3 ist nur eine um zwei Zeittakte verschobene Version der Ausgangsfolge von $(15)$.		*Auch bei der reziproken Anordnung muss die Periodenlänge  $P = 7$  gelten, so dass der Vorschlag 1  $($mit  $P = 15)$  ausscheidet.
			*Der Vorschlag 3 ist nur eine um zwei Zeittakte verschobene Version der Ausgangsfolge von  $(15)$.
	*Dagegen ist im (richtigen) zweiten Vorschlag die Inverse von ... $ 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1$ ... – also die Folge ... $ 1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1 \ 1$ ... – enthalten, wenn auch mit einem Phasenversatz.		*Dagegen ist im (richtigen) zweiten Vorschlag die Inverse von ... $ 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1$ ... – also die Folge ... $ 1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1 \ 1$ ... – enthalten, wenn auch mit einem Phasenversatz.

Guenter am 14. November 2019 um 10:19 Uhr

2019-11-14T10:19:03Z

Guenter am 7. August 2018 um 15:18 Uhr

2018-08-07T15:18:11Z

Guenter am 7. August 2018 um 15:05 Uhr

2018-08-07T15:05:33Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. August 2018, 17:05 Uhr
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	{Ermitteln Sie die Ausgangsfolge $〈z_ν\rangle$ für die Zeitpunkte $1$, ... , $P$. Wie lauten die ersten 15 Binärwerte der Ausgangsfolge? ''Hinweis:'' Bezeichnen Sie die Zellen von links nach rechts mit $S_1$, $S_2$ und $S_3$. Ausgegeben wird der Wert $z_ν$, der zum Zeitpunkt $\nu$ in die Speicherzelle $S_1$ eingetragen wird.		{Ermitteln Sie die Ausgangsfolge $〈z_ν\rangle$ für die Zeitpunkte $1$, ... , $P$. Wie lauten die ersten 15 Binärwerte der Ausgangsfolge? ''Hinweis:'' Bezeichnen Sie die Zellen von links nach rechts mit $S_1$, $S_2$ und $S_3$. Ausgegeben wird der Wert $z_ν$, der zum Zeitpunkt $\nu$ in die Speicherzelle $S_1$ eingetragen wird.
	\|type="[]"}		\|type="()"}
	- $1\ 0 \ 0 \ 1 \ 1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 1 \ 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 0$ . . .		- $1\ 0 \ 0 \ 1 \ 1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 1 \ 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 0$ . . .
	- $1 \ 0 \ 0 \ 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1 \ 1 \ 0 \ 0 $ . . .		- $1 \ 0 \ 0 \ 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1 \ 1 \ 0 \ 0 $ . . .
Zeile 51:		Zeile 51:

	{Betrachten Sie nun die reziproke Anordnung $(13)$. Wie lauten hier die ersten 15 Binärwerte der Ausgangsfolge bei gleicher Anfangsbelegung?		{Betrachten Sie nun die reziproke Anordnung $(13)$. Wie lauten hier die ersten 15 Binärwerte der Ausgangsfolge bei gleicher Anfangsbelegung?
	\|type="[]"}		\|type="()"}
	- $0 \ 0 \ 0 \ 1 \ 1 \ 1 \ 1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1 $ . . .		- $0 \ 0 \ 0 \ 1 \ 1 \ 1 \ 1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1 $ . . .
	+ $0 \ 0 \ 1 \ 1 \ 1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1 \ 1 \ 1 \ 0 \ 1 \ 0 $ . . .		+ $0 \ 0 \ 1 \ 1 \ 1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1 \ 1 \ 1 \ 0 \ 1 \ 0 $ . . .

Guenter am 7. August 2018 um 15:04 Uhr

2018-08-07T15:04:02Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. August 2018, 17:04 Uhr
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	}}		}}

	[[Datei:P_ID106__Sto_Z_2_6.png\|right\|PN-Generator ~~der Länge~~ 3]]		[[Datei:P_ID106__Sto_Z_2_6.png\|right\|frame\|PN-Generator mit $L = 3$]]
	Nebenstehende Skizze zeigt einen PN-Generator der Länge $L = 3$ mit dem Generatorpolynom		Nebenstehende Skizze zeigt einen PN-Generator der Länge $L = 3$ mit dem Generatorpolynom
	:$$G( D) = D^{\rm 3} + D^{\rm 2} + \rm 1$$		:$$G( D) = D^{\rm 3} + D^{\rm 2} + \rm 1$$
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	*Zum Startzeitpunkt seien die drei Speicherzellen mit den Binärwerten $1$, $0$ und $1$ vorbelegt.		*Zum Startzeitpunkt seien die drei Speicherzellen mit den Binärwerten $1$, $0$ und $1$ vorbelegt.
	*Beide Anordnungen erzeugen eine M-Sequenz.		*Beide Anordnungen erzeugen eine M-Sequenz.




Zeile 21:		Zeile 23:
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Erzeugung_von_diskreten_Zufallsgrößen\|Erzeugung von diskreten Zufallsgrößen]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Erzeugung_von_diskreten_Zufallsgrößen\|Erzeugung von diskreten Zufallsgrößen]].

	*Wir ~~möchten Sie gerne~~ auch auf das ~~folgende~~ Lernvideo ~~hinweisen:~~		*Wir verweisen hier auch auf das Lernvideo [[Erläuterung_der_PN–Generatoren_an_einem_Beispiel_(Lernvideo)\|Erläuterung der PN-Generatoren an einem Beispiel]].

	~~:[[Verdeutlichung der PN-Generatoren am Beispiel ''L'' = 4]]~~


Zeile 31:		Zeile 32:
	{Wie groß ist die Periodenlänge der Konfiguration $(15)$?		{Wie groß ist die Periodenlänge der Konfiguration $(15)$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$P \ = $ { 7 }		$P \ = \ $ { 7 }

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:33Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

← Nächstältere Version		Version vom 29. Mai 2018, 14:02 Uhr
Zeile 20:		Zeile 20:
	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Erzeugung_von_diskreten_Zufallsgrößen\|Erzeugung von diskreten Zufallsgrößen]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Erzeugung_von_diskreten_Zufallsgrößen\|Erzeugung von diskreten Zufallsgrößen]].
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.
	*Wir möchten Sie gerne auch auf das folgende Lernvideo hinweisen:		*Wir möchten Sie gerne auch auf das folgende Lernvideo hinweisen:

Guenter: Guenter verschob die Seite 2.6Z PN-Generator der Länge 3 nach Aufgabe 2.6Z: PN-Generator der Länge 3

2018-01-03T13:31:55Z

Guenter verschob die Seite 2.6Z PN-Generator der Länge 3 nach Aufgabe 2.6Z: PN-Generator der Länge 3

← Nächstältere Version		Version vom 3. Januar 2018, 15:31 Uhr
(kein Unterschied)

← Nächstältere Version		Version vom 29. Dezember 2021, 14:50 Uhr
Zeile 64:		Zeile 64:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	[[Datei:P_ID107__Sto_Z_2_6b.png\|right\|frame\|PN–Generator mit Oktalkennung $15$]]		[[Datei:P_ID107__Sto_Z_2_6b.png\|right\|frame\|PN–Generator mit der Oktalkennung  $15$]]
	'''(1)'''  Es handelt sich um eine M-Sequenz mit  $L= 3$.  Daraus folgt $P= 2^L - 1 \hspace{0.15cm}\underline{= 7}$.		'''(1)'''  Es handelt sich um eine M-Sequenz mit  $L= 3$.  Daraus folgt $P= 2^L - 1 \hspace{0.15cm}\underline{= 7}$.

Zeile 82:		Zeile 82:
	*Dagegen beschreibt Vorschlag 1 die M-Sequenz des PN-Generators mit Länge  $L=4$  und Kennung  $(31)$   ⇒   Periodenlänge ist  $P= 15$.		*Dagegen beschreibt Vorschlag 1 die M-Sequenz des PN-Generators mit Länge  $L=4$  und Kennung  $(31)$   ⇒   Periodenlänge ist  $P= 15$.
	*Beim Vorschlag 2 ist die Periodenläng  $P= 4$  zu kurz.		*Beim Vorschlag 2 ist die Periodenläng  $P= 4$  zu kurz.

	*Der letzte Vorschlag schließlich hätte zwar die gewünschte Periodenlänge  $P= 7$, aber aus der Modulo-2-Addition von  $S_2= 0$  und  $S_3= 1$  $($für  $\nu = 0)$  folgt zum nächsten Zeitpunkt  $(\nu = 1)$  zwingend:   $S_1= 1$.  Diese Eigenschaft zeigt die Folge 4 nicht.		*Der letzte Vorschlag schließlich hätte zwar die gewünschte Periodenlänge  $P= 7$, aber aus der Modulo-2-Addition von  $S_2= 0$  und  $S_3= 1$  $($für  $\nu = 0)$  folgt zum nächsten Zeitpunkt  $(\nu = 1)$  zwingend:   $S_1= 1$.  Diese Eigenschaft zeigt die Folge 4 nicht.



	'''(3)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2, 3 und 4</u>:		'''(3)'''  Richtig sind die  <u>Lösungsvorschläge 2,  3  und  4</u>:
	*Die maximale Anzahl aufeinander folgender Einsen ist  $L$  (nämlich dann, wenn in allen  $L$  Speicherzellen eine Eins steht).		*Die maximale Anzahl aufeinander folgender Einsen ist  $L$  (nämlich dann,  wenn in allen  $L$  Speicherzellen eine Eins steht).
	*Es ist dagegen nicht möglich, dass alle Speicherzellen mit Nullen belegt sind.  Deshalb gibt es stets eine Eins mehr als Nullen.		*Es ist dagegen nicht möglich,  dass alle Speicherzellen mit Nullen belegt sind.  Deshalb gibt es stets eine Eins mehr als Nullen.
	*Die Periodenlänge der letzten Folge beträgt  $P = 2$.  Bei einer M-Sequenz gilt dagegen  $P= 2^L - 1.$  Für keinen Wert von  $L$  ist  $P = 2$  möglich.		*Die Periodenlänge der letzten Folge beträgt  $P = 2$.  Bei einer M-Sequenz gilt dagegen  $P= 2^L - 1.$  Für keinen Wert von  $L$  ist  $P = 2$  möglich.



	[[Datei: P_ID2897__Sto_Z_2_6d.png\|right\|frame\|PN–Generator mit Oktalkennung  $13$]]		[[Datei: P_ID2897__Sto_Z_2_6d.png\|right\|frame\|PN–Generator mit der Oktalkennung  $13$]]
	'''(4)'''  In nebenstehender Tabelle ist die Entstehung der PN–Folge beim reziproken Polynom  $G_{\rm R}(D)$  eingetragen.		'''(4)'''  In nebenstehender Tabelle ist die Entstehung der PN–Folge beim reziproken Polynom  $G_{\rm R}(D)$  eingetragen.  Man erkennt,  dass der  <u>Lösungsvorschlag 2</u>  zutrifft:
	Man erkennt, dass der <u>Lösungsvorschlag 2</u> zutrifft:		*Auch bei der reziproken Anordnung muss die Periodenlänge  $P = 7$  gelten,  so dass der Vorschlag 1  $($mit  $P = 15)$  ausscheidet.
	*Auch bei der reziproken Anordnung muss die Periodenlänge  $P = 7$  gelten, so dass der Vorschlag 1  $($mit  $P = 15)$  ausscheidet.
	*Der Vorschlag 3 ist nur eine um zwei Zeittakte verschobene Version der Ausgangsfolge von  $(15)$.		*Der Vorschlag 3 ist nur eine um zwei Zeittakte verschobene Version der Ausgangsfolge von  $(15)$.
	*Dagegen ist im (richtigen) zweiten Vorschlag die Inverse von ... $ 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1$ ... – also die Folge ... $ 1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1 \ 1$ ... – enthalten, wenn auch mit einem Phasenversatz.		*Dagegen ist im (richtigen) zweiten Vorschlag die Inverse von ... $ 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1$ ... – also die Folge ... $ 1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1 \ 1$ ... – enthalten,  wenn auch mit einem Phasenversatz.

← Nächstältere Version		Version vom 14. November 2019, 12:19 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:
	}}		}}

	[[Datei:P_ID106__Sto_Z_2_6.png\|right\|frame\|PN-Generator mit $L = 3$]]		[[Datei:P_ID106__Sto_Z_2_6.png\|right\|frame\|PN-Generator mit  $L = 3$]]
	Nebenstehende Skizze zeigt einen PN-Generator der Länge $L = 3$ mit dem Generatorpolynom		Nebenstehende Skizze zeigt einen PN-Generator der Länge  $L = 3$  mit dem Generatorpolynom
	:$$G( D) = D^{\rm 3} + D^{\rm 2} + \rm 1$$		:$$G( D) = D^{\rm 3} + D^{\rm 2} + \rm 1$$

	und somit der Oktalkennung ($g_3 \ g_2 \ g_1 \ g_0$) = $(1 \ 1 \ 0 \ 1)_{\rm bin} = (15)_{\rm oct}$.		und somit der Oktalkennung  $(g_3 \ g_2 \ g_1 \ g_0)$ = $(1 \ 1 \ 0 \ 1)_{\rm bin} = (15)_{\rm oct}$.

	Das zugehörige reziproke Polynom		Das zugehörige reziproke Polynom
	$$G_{\rm R}(D) = D^{\rm 3} ( D^{\rm -3} + D^{\rm -2} + 1) = D^{\rm 3} + D^{\rm 1} + \rm 1$$		$$G_{\rm R}(D) = D^{\rm 3}\cdot ( D^{\rm -3} + D^{\rm -2} + 1) = D^{\rm 3} + D^{\rm 1} + \rm 1$$

	hat die Oktalkennung $(1 \ 0 \ 1 \ 1)_{\rm bin} = (13)_{\rm oct}$.		hat die Oktalkennung  $(1 \ 0 \ 1 \ 1)_{\rm bin} = (13)_{\rm oct}$.

	*Zum Startzeitpunkt seien die drei Speicherzellen mit den Binärwerten $1$, $0$ und $1$ vorbelegt.		*Zum Startzeitpunkt seien die drei Speicherzellen mit den Binärwerten  $1$,  $0$  und  $1$  vorbelegt.
	*Beide Anordnungen erzeugen eine M-Sequenz.		*Beide Anordnungen erzeugen eine M-Sequenz.





Zeile 21:		Zeile 24:

	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Erzeugung_von_diskreten_Zufallsgrößen\|Erzeugung von diskreten Zufallsgrößen]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Erzeugung_von_diskreten_Zufallsgrößen\|Erzeugung von diskreten Zufallsgrößen]].

	*Wir verweisen hier auch auf das Lernvideo [[Erläuterung_der_PN–Generatoren_an_einem_Beispiel_(Lernvideo)\|Erläuterung der PN-Generatoren an einem Beispiel]].		*Wir verweisen hier auch auf das Lernvideo  [[Erläuterung_der_PN–Generatoren_an_einem_Beispiel_(Lernvideo)\|Erläuterung der PN-Generatoren an einem Beispiel]].


Zeile 30:		Zeile 33:

	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Wie groß ist die Periodenlänge der Konfiguration $(15)$?		{Wie groß ist die Periodenlänge der Konfiguration  $(15)$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$P \ = \ $ { 7 }		$P \ = \ $ { 7 }


	{Ermitteln Sie die Ausgangsfolge $〈z_ν\rangle$ für die Zeitpunkte $1$, ... , $P$. Wie lauten die ersten 15 Binärwerte der Ausgangsfolge? <br>''Hinweis:''  Bezeichnen Sie die Zellen von links nach rechts mit $S_1$, $S_2$ und $S_3$. Ausgegeben wird der Wert $z_ν$, der ~~zum Zeitpunkt~~ $\nu$ in die Speicherzelle $S_1$ eingetragen wird.		{Ermitteln Sie die Ausgangsfolge  $〈z_ν\rangle$  für die Zeitpunkte  $1$, ... , $P$.  Wie lauten die ersten  $15$  Binärwerte der Ausgangsfolge? <br>''Hinweis:''  Bezeichnen Sie die Zellen von links nach rechts mit  $S_1$,  $S_2$  und  $S_3$.  Ausgegeben wird der Wert  $z_ν$, der zur Zeit  $\nu$  in die Speicherzelle  $S_1$  eingetragen wird.
	\|type="()"}		\|type="()"}
	- $1\ 0 \ 0 \ 1 \ 1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 1 \ 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 0$ . . .		- $1\ 0 \ 0 \ 1 \ 1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 1 \ 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 0$ . . .
Zeile 46:		Zeile 49:
	- Die Anzahl der Nullen und Einsen ist gleich.		- Die Anzahl der Nullen und Einsen ist gleich.
	+ In jeder Periode gibt es eine Eins mehr als Nullen.		+ In jeder Periode gibt es eine Eins mehr als Nullen.
	+ Die maximale Anzahl aufeinander folgender Einsen ist $L$.		+ Die maximale Anzahl aufeinander folgender Einsen ist  $L$.
	+ Die Folge $1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 0 $ . . . ist nicht möglich.		+ Die Folge  $1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 0 $ ...   ist nicht möglich.


	{Betrachten Sie nun die reziproke Anordnung $(13)$. Wie lauten hier die ersten 15 Binärwerte der Ausgangsfolge bei gleicher Anfangsbelegung?		{Betrachten Sie nun die reziproke Anordnung  $(13)$.  Wie lauten hier die ersten  $15$  Binärwerte der Ausgangsfolge bei gleicher Anfangsbelegung?
	\|type="()"}		\|type="()"}
	- $0 \ 0 \ 0 \ 1 \ 1 \ 1 \ 1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1 $ . . .		- $0 \ 0 \ 0 \ 1 \ 1 \ 1 \ 1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1 $ . . .

← Nächstältere Version		Version vom 7. August 2018, 17:18 Uhr
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	{Ermitteln Sie die Ausgangsfolge $〈z_ν\rangle$ für die Zeitpunkte $1$, ... , $P$. Wie lauten die ersten 15 Binärwerte der Ausgangsfolge? ''Hinweis:'' Bezeichnen Sie die Zellen von links nach rechts mit $S_1$, $S_2$ und $S_3$. Ausgegeben wird der Wert $z_ν$, der zum Zeitpunkt $\nu$ in die Speicherzelle $S_1$ eingetragen wird.		{Ermitteln Sie die Ausgangsfolge $〈z_ν\rangle$ für die Zeitpunkte $1$, ... , $P$. Wie lauten die ersten 15 Binärwerte der Ausgangsfolge? <br>''Hinweis:''  Bezeichnen Sie die Zellen von links nach rechts mit $S_1$, $S_2$ und $S_3$. Ausgegeben wird der Wert $z_ν$, der zum Zeitpunkt $\nu$ in die Speicherzelle $S_1$ eingetragen wird.
	\|type="()"}		\|type="()"}
	- $1\ 0 \ 0 \ 1 \ 1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 1 \ 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 0$ . . .		- $1\ 0 \ 0 \ 1 \ 1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 1 \ 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 0$ . . .
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	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	[[Datei:P_ID107__Sto_Z_2_6b.png\|right\|PN–Generator mit Oktalkennung 15]]		[[Datei:P_ID107__Sto_Z_2_6b.png\|right\|frame\|PN–Generator mit Oktalkennung $15$]]
	'''(1)'''  Es handelt sich um eine M-Sequenz mit $L= 3$. Daraus folgt $P= 2^L - 1 \hspace{0.15cm}\underline{= 7}$.		'''(1)'''  Es handelt sich um eine M-Sequenz mit $L= 3$. Daraus folgt $P= 2^L - 1 \hspace{0.15cm}\underline{= 7}$.


	'''(2)'''  Wir bezeichnen die Zellen von links nach rechts mit $S_1$, $S_2$ und $S_3$. Dann gilt:		'''(2)'''  Wir bezeichnen die Zellen von links nach rechts mit $S_1$, $S_2$ und $S_3$. Dann gilt:
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	Das Ergebnis ist in der ersten Zeile obiger Tabelle (rot markiert) eingetragen:		Das Ergebnis ist in der ersten Zeile obiger Tabelle (rot markiert) eingetragen:
	*Zum Taktzeitpunkt $\nu = 7$ ergibt sich die gleiche Speicherbelegung wie zum Zeitpunkt $\nu = 0$.		*Zum Taktzeitpunkt $\nu = 7$ ergibt sich die gleiche Speicherbelegung wie zum Zeitpunkt $\nu = 0$.
	*Daraus folgt $ {P = 7}$ und die Folge lautet ab $\nu = 1$ entsprechend dem <u>~~Vorschlag~~ 3</u> :		*Daraus folgt $ {P = 7}$ und die Folge lautet ab $\nu = 1$ entsprechend dem <u>Lösungsvorschlag 3</u> :
	:$$\langle z_\nu \rangle = 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 1 \ ...$$		:$$\langle z_\nu \rangle = 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 1 \ \text{...}$$

	Dagegen beschreibt Vorschlag 1 die M-Sequenz des PN-Generators mit Länge $L=4$ und Kennung $(31)$   ⇒  Periodenlänge ist $P= 15$. Beim Vorschlag 2 ist die Periodenläng $P= 4$ zu kurz.		*Dagegen beschreibt Vorschlag 1 die M-Sequenz des PN-Generators mit Länge $L=4$ und Kennung $(31)$   ⇒   Periodenlänge ist $P= 15$.
			*Beim Vorschlag 2 ist die Periodenläng $P= 4$ zu kurz.

	Der letzte Vorschlag schließlich hätte zwar die gewünschte Periodenlänge $P= 7$, aber aus der Modulo-2-Addition von $S_2= 0$ und $S_3= 1$ (für $\nu = 0$) folgt zum nächsten Zeitpunkt ($\nu = 1$) zwingend: $S_1= 1$. Diese Eigenschaft zeigt die Folge 4 nicht.		*Der letzte Vorschlag schließlich hätte zwar die gewünschte Periodenlänge $P= 7$, aber aus der Modulo-2-Addition von $S_2= 0$ und $S_3= 1$ (für $\nu = 0$) folgt zum nächsten Zeitpunkt ($\nu = 1$) zwingend:   $S_1= 1$. Diese Eigenschaft zeigt die Folge 4 nicht.


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	[[Datei: P_ID2897__Sto_Z_2_6d.png\|right\|PN–Generator mit Oktalkennung 13]]		[[Datei: P_ID2897__Sto_Z_2_6d.png\|right\|frame\|PN–Generator mit Oktalkennung $13$]]
	'''(4)'''  In nebenstehender Tabelle ist die Entstehung der PN–Folge beim reziproken Polynom $G_{\rm R}(D)$ eingetragen. Man erkennt, dass der <u>Lösungsvorschlag 2</u> zutrifft:		'''(4)'''  In nebenstehender Tabelle ist die Entstehung der PN–Folge beim reziproken Polynom $G_{\rm R}(D)$ eingetragen. Man erkennt, dass der <u>Lösungsvorschlag 2</u> zutrifft:
	*Auch bei der reziproken Anordnung muss die Periodenlänge $P = 7$ gelten, so dass der Vorschlag 1 (mit $P = 15$) ausscheidet.		*Auch bei der reziproken Anordnung muss die Periodenlänge $P = 7$ gelten, so dass der Vorschlag 1 (mit $P = 15$) ausscheidet.
	*Der Vorschlag 3 ist nur eine um zwei Zeittakte verschobene Version der Ausgangsfolge von $(15)$.		*Der Vorschlag 3 ist nur eine um zwei Zeittakte verschobene Version der Ausgangsfolge von $(15)$.
	*Dagegen ist im (richtigen) zweiten Vorschlag die Inverse von ...$ 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1$ ... – also die Folge ...$ 1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1 \ 1$ ... – enthalten, wenn auch mit einem Phasenversatz.		*Dagegen ist im (richtigen) zweiten Vorschlag die Inverse von ... $ 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1$ ... – also die Folge ... $ 1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1 \ 1$ ... – enthalten, wenn auch mit einem Phasenversatz.