Aufgabe 2.4Z: Wiederholung zur IDFT - Versionsgeschichte

Guenter am 5. August 2019 um 13:38 Uhr

2019-08-05T13:38:09Z

Guenter am 5. August 2019 um 13:26 Uhr

2019-08-05T13:26:59Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:19:52Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 8. Februar 2018 um 16:01 Uhr

2018-02-08T16:01:44Z

Guenter am 8. Februar 2018 um 15:45 Uhr

2018-02-08T15:45:11Z

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2018-01-04T06:58:53Z

Guenter verschob die Seite 2.4Z Wiederholung zur IDFT nach Aufgabe 2.4Z: Wiederholung zur IDFT

Wael am 18. Dezember 2017 um 16:28 Uhr

2017-12-18T16:28:44Z

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 }}
-[[Datei:P_ID1971__Sig_A_5_2.png|right|frame|Fünf Mustersätze zur&nbsp; $\rm (IDFT)$]]
+[[Datei:P_ID1971__Sig_A_5_2.png|right|frame|Fünf Mustersätze zur&nbsp; $\rm IDFT$]]
 Bei der Diskreten Fouriertransformation&nbsp; $\rm (DFT)$&nbsp; werden aus den Zeitabtastwerten&nbsp; $d(\nu) \hspace{0.15cm}  {\rm mit} \hspace{0.15cm}  \nu = 0$, ... , $N – 1$&nbsp; die diskreten Spektralkoeffizienten&nbsp; $D(\mu) \hspace{0.15cm} {\rm mit} \hspace{0.15cm}  \mu = 0$, ... , $N – 1$&nbsp; wie folgt berechnet:
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Aus der IDFT–Gleichung wird mit $D(\mu) = 0$ für $\mu \neq 0$ für $0 ≤ \nu ≤ 7$:
+'''(1)'''&nbsp; Aus der IDFT–Gleichung erhält man mit $D(\mu) = 0$ für $\mu \neq 0$ für die Zeitkoeffizienten mit den Indizes&nbsp; $0 ≤ \nu ≤ 7$:
 :$$d(\nu) = D(0) \cdot w^0 = D(0) \ = \ 1\hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm}\underline{d(0) = d(1) \ = \ 1}.$$
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 :$$x(t) = 1 \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} X(f) = {\delta}(f) \hspace{0.05cm}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Hier sind alle Spektralkoeffizienten $0$ außer $D_{1} = D_{7} = 0.5$. Daraus folgt für $0 ≤ \nu ≤ 7$:
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 '''(3)'''&nbsp; Gegenüber der Teilaufgabe (2) ist nun die Frequenz doppelt so groß, nämlich $2 \cdot f_{\rm A}$ anstelle von $f_{\rm A}$:
 :$$x(t) = \cos(2 \pi \cdot (2f_{\rm A}) \cdot t) \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} X(f) = {1}/{2} \cdot {\delta}(f + 2f_{\rm A}) + {1}/{2}\cdot {\delta}(f - 2f_{\rm A}) \hspace{0.05cm},$$
 Damit beschreibt die Folge $〈d(\nu)〉$ zwei Perioden der Cosinusschwingung, und es gilt für $0 ≤ \nu ≤ 7$:
 :$$d(\nu) \ = \ 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left({\pi}/{2} \cdot \nu \right)\hspace{0.3cm}
   \Rightarrow  \hspace{0.3cm}\underline{d(0) = 1, \hspace{0.2cm}d(1) = 0 }\hspace{0.05cm}.$$
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 :$$d(\nu) = 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left(\pi \cdot \nu \right) \hspace{0.05cm}$$
 und damit zu den Zeitkoeffizienten
-:$$\underline{d(0) =}d(2) =d(4) =d(6)= +1, \hspace{0.2cm}\underline{d(1)} =d(3) =d(5) =d(7) = -1 \hspace{0.3cm}
+:$$d(0) = d(2) =d(4) =d(6)= +1, \hspace{0.2cm}d(1) =d(3) =d(5) =d(7) = -1 \hspace{0.3cm}
   \Rightarrow  \hspace{0.3cm}\underline{d(0) = +1, \hspace{0.2cm}d(1) = -1 }\hspace{0.05cm}.$$
-Zu beachten ist, dass die beiden Diracfunktionen in der zeitdiskreten Darstellung aufgrund der Periodizität zusammenfallen. Das heißt: Die Koeffizienten $D(4) = 0.5$ und $D(-4) = 0.5$ ergeben zusammen $D(4) = 1$.
+*Zu beachten ist, dass die beiden Diracfunktionen in der zeitdiskreten Darstellung aufgrund der Periodizität zusammenfallen.
-'''(5)'''&nbsp; Auch die Diskrete Fouriertransformation ist linear. Deshalb ist das Superpositionsprinzip weiterhin anwendbar. Die Koeffizienten $D(\mu)$ aus Spalte $\boldsymbol{\rm E}$ ergeben sich als die Summen der Spalten $\boldsymbol{\rm A}$ und $\boldsymbol{\rm D}$. Deshalb wird aus der alternierenden Folge $〈d(\nu)〉$ entsprechend Teilaufgabe (4) die um 1 nach oben verschobene Folge:
+'''(5)'''&nbsp; Auch die Diskrete Fouriertransformation ist linear. Deshalb ist das Superpositionsprinzip weiterhin anwendbar.
 :$$d(0) =d(2) =d(4) =d(6)= 2, \hspace{0.2cm}d(1) =d(3) =d(5) =d(7) = 0\hspace{0.3cm}
   \Rightarrow  \hspace{0.3cm}\underline{d(0) = 2, \hspace{0.2cm}d(1) =0 }\hspace{0.05cm}. $$

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 }}
-[[Datei:P_ID1971__Sig_A_5_2.png|right|frame|Fünf Mustersätze zur IDFT]]
+[[Datei:P_ID1971__Sig_A_5_2.png|right|frame|Fünf Mustersätze zur&nbsp; $\rm (IDFT)$]]
-Bei der Diskreten Fouriertransformation (DFT) werden aus den Zeitabtastwerten $d(\nu) \  {\rm mit} \  \nu = 0$, ... , $N – 1$ die diskreten Spektralkoeffizienten $D(\mu) \ {\rm mit} \  \mu = 0$, ... , $N – 1$ wie folgt berechnet:
+Bei der Diskreten Fouriertransformation&nbsp; $\rm (DFT)$&nbsp; werden aus den Zeitabtastwerten&nbsp; $d(\nu) \hspace{0.15cm}  {\rm mit} \hspace{0.15cm}  \nu = 0$, ... , $N – 1$&nbsp; die diskreten Spektralkoeffizienten&nbsp; $D(\mu) \hspace{0.15cm} {\rm mit} \hspace{0.15cm}  \mu = 0$, ... , $N – 1$&nbsp; wie folgt berechnet:
 :$$D(\mu) = \frac{1}{N} \cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1} d(\nu)\cdot {w}^{\hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$
-Hierbei ist mit $w$ der komplexe Drehfaktor abgekürzt, der folgendermaßen definiert ist:
+Hierbei ist mit&nbsp; $w$&nbsp; der komplexe Drehfaktor abgekürzt, der folgendermaßen definiert ist:
-:$$w = {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi /N} = \cos \left( \frac {2 \pi}{N}\right)-{\rm j} \cdot \sin \left( \frac {2 \pi}{N}\right) \hspace{0.05cm}.$$
+:$$w = {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi /N} = \cos \left( {2 \pi}/{N}\right)-{\rm j} \cdot \sin \left(  {2 \pi}/{N}\right) \hspace{0.05cm}.$$
-Somit gilt für die Inverse Diskrete Fouriertransformation (IDFT) als Umkehrfunktion der DFT:
+Somit gilt für die Inverse Diskrete Fouriertransformation&nbsp; $\rm (IDFT)$&nbsp; als Umkehrfunktion der&nbsp; $\rm DFT$:
 :$$ d(\nu) = \sum_{\mu = 0 }^{N-1} D(\mu) \cdot {w}^{-\nu \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$
-In dieser Aufgabe sollen für verschiedene Beispielfolgen $D(\mu)$ – die in obiger Tabelle mit $\boldsymbol{\rm A}$, ... , $\boldsymbol{\rm E}$ bezeichnet sind – die Zeitkoeffizienten $d(\nu)$ ermittelt werden. Es gilt somit stets $N = 8$.
+In dieser Aufgabe sollen für verschiedene Beispielfolgen&nbsp; $D(\mu)$ – die in obiger Tabelle mit&nbsp; $\boldsymbol{\rm A}$, ... , &nbsp;$\boldsymbol{\rm E}$&nbsp; bezeichnet sind – die Zeitkoeffizienten&nbsp; $d(\nu)$&nbsp; ermittelt werden. Es gilt somit stets&nbsp; $N = 8$.
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen des Kapitels [[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)|Diskrete Fouriertransformation]] des Buches „Signaldarstellung” und ist identisch mit der dortigen [[Aufgaben:Aufgabe_5.2:_Inverse_Diskrete_Fouriertransformation|Aufgabe 5.2]].
+*Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen des Kapitels&nbsp; [[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)|Diskrete Fouriertransformation]]&nbsp; des Buches „Signaldarstellung” und ist identisch mit der dortigen&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_5.2:_Inverse_Diskrete_Fouriertransformation|Aufgabe 5.2]].
-*Sie können Ihre Lösung mit dem interaktiven Applet  [[Applets:Diskrete_Fouriertransformation_(Applet)|Diskrete Fouriertransformation]] überprüfen.
+*Sie können Ihre Lösung mit dem interaktiven Applet&nbsp;  [[Applets:Diskrete_Fouriertransformation_(Applet)|Diskrete Fouriertransformation]]&nbsp; überprüfen.
-*DFT und IDFT spielen auch bei [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/xDSL_als_Übertragungstechnik#DMT.E2.80.93Realisierung_mit_IDFT.2FDFT|DSM/DSL]] eine große Rolle.
+*DFT und IDFT spielen auch bei&nbsp; [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/xDSL_als_Übertragungstechnik#DMT.E2.80.93Realisierung_mit_IDFT.2FDFT|DSM/DSL]]&nbsp; eine große Rolle.
-*Im entsprechenden Kapitel werden die Spektralkoeffizienten allerdings mit $D_k$ bezeichnet und die Zeitabtastwerte mit $s_l$. Wir bitten Sie, diese Nomenklaturdiskrepanz zu entschuldigen.
+*Im entsprechenden Kapitel werden die Spektralkoeffizienten mit&nbsp; $D_k$&nbsp; bezeichnet, die Zeitabtastwerte mit&nbsp; $s_l$. Wir bitten, diese Nomenklaturdiskrepanz zu entschuldigen.
-*Für die beiden Laufvariablen gelten mit dem DFT–Parameter $N = 8$: &nbsp;$0 \le k \le 7, \hspace{0.2cm}0 \le l \le 7 \hspace{0.05cm}.$
+*Für die beiden Laufvariablen gelten mit dem DFT–Parameter&nbsp; $N = 8$: &nbsp; $0 \le k \le 7, \hspace{0.2cm}0 \le l \le 7 \hspace{0.05cm}.$
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-Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(\nu)$ für $D(\mu)$ gemäß Spalte $\boldsymbol{\rm A}$?
+Wie lauten die Zeitkoeffizienten&nbsp; $d(\nu)$&nbsp; für&nbsp; $D(\mu)$&nbsp; gemäß Spalte&nbsp; $\boldsymbol{\rm A}$?
 |type="{}"}
 $d(0) \ = \ ${ 1 }
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-{Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(\nu)$ für $D(\mu)$ gemäß Spalte $\boldsymbol{\rm B}$?
+{Wie lauten die Zeitkoeffizienten&nbsp; $d(\nu)$&nbsp; für&nbsp; $D(\mu)$&nbsp; gemäß Spalte&nbsp; $\boldsymbol{\rm B}$?
 |type="{}"}
 $d(0) \ = \ ${ 1 }
 $d(1) \ = \ ${ 0.707 3% }
-{Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(\nu)$ für $D(\mu)$ gemäß Spalte $\boldsymbol{\rm C}$?
+{Wie lauten die Zeitkoeffizienten&nbsp; $d(\nu)$&nbsp; für&nbsp; $D(\mu)$&nbsp; gemäß Spalte&nbsp; $\boldsymbol{\rm C}$?
 |type="{}"}
 $d(0) \ = \ ${ 1 }
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-{Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(\nu)$ für $D(\mu)$ gemäß Spalte $\boldsymbol{\rm D}$?
+{Wie lauten die Zeitkoeffizienten&nbsp; $d(\nu)$&nbsp; für&nbsp; $D(\mu)$&nbsp; gemäß Spalte&nbsp; $\boldsymbol{\rm D}$?
 |type="{}"}
 $d(0) \ = \ ${ 1 }
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-{Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(\nu)$ für $D(\mu)$ gemäß Spalte $\boldsymbol{\rm E}$?
+{Wie lauten die Zeitkoeffizienten&nbsp; $d(\nu)$&nbsp; für&nbsp; $D(\mu)$&nbsp; gemäß Spalte&nbsp; $\boldsymbol{\rm E}$?
 |type="{}"}
 $d(0) \ = \ ${ 2 }

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 *Im entsprechenden Kapitel werden die Spektralkoeffizienten allerdings mit $D_k$ bezeichnet und die Zeitabtastwerte mit $s_l$. Wir bitten Sie, diese Nomenklaturdiskrepanz zu entschuldigen.
 *Für die beiden Laufvariablen gelten mit dem DFT–Parameter $N = 8$: &nbsp;$0 \le k \le 7, \hspace{0.2cm}0 \le l \le 7 \hspace{0.05cm}.$
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Aus der IDFT–Gleichung wird mit $D(\mu) = 0$ für $\mu \neq 0$:
+'''(1)'''&nbsp; Aus der IDFT–Gleichung wird mit $D(\mu) = 0$ für $\mu \neq 0$ für $0 ≤ \nu ≤ 7$:
-:$$d(\nu) = D(0) \cdot w^0 = D(0) \ = \ 1\hspace{1.0cm}(0 \le \nu \le 7)\\ \Rightarrow\hspace{0.3cm}d(0) = d(1) \ = \ 1.$$
+:$$d(\nu) = D(0) \cdot w^0 = D(0) \ = \ 1\hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm}\underline{d(0) = d(1) \ = \ 1}.$$
 Dieser Parametersatz beschreibt somit die diskrete Form der Fourierkorrespondenz des Gleichsignals:
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-'''(2)'''&nbsp; Hier sind alle Spektralkoeffizienten $0$ außer $D_{1} = D_{7} = 0.5$. Daraus folgt für $0 ≤ \nu ≤ 7:$
+'''(2)'''&nbsp; Hier sind alle Spektralkoeffizienten $0$ außer $D_{1} = D_{7} = 0.5$. Daraus folgt für $0 ≤ \nu ≤ 7$:
 :$$d(\nu) = 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (7\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} \hspace{0.05cm}.$$
 Aufgrund der Periodizität gilt aber auch:
-:$$d(\nu) \ = \ 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left({\pi}/{4} \cdot \nu \right)$$
+:$$d(\nu) \ = \ 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left({\pi}/{4} \cdot \nu \right)\hspace{0.3cm}
-:$$ \ \Rightarrow \ \hspace{0.3cm}d(0) = 1, \hspace{0.2cm}d(1) = {1}/{\sqrt{2}} \approx 0.707 \hspace{0.05cm}.$$
+ \Rightarrow  \hspace{0.3cm}\underline{d(0) = 1, \hspace{0.2cm}d(1) = {1}/{\sqrt{2}} \approx 0.707 \hspace{0.05cm}}.$$
 Es handelt sich also um das zeitdiskrete Äquivalent zu
 :$$x(t) = \cos(2 \pi \cdot f_{\rm A} \cdot t) \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} X(f) = {1}/{2} \cdot {\delta}(f + f_{\rm A}) + {1}/{2} \cdot {\delta}(f - f_{\rm A}) \hspace{0.05cm},$$
@@ Zeile 84: / Zeile 84: @@
-'''(3)'''&nbsp; Gegenüber Teilaufgabe 2) ist nun die Frequenz doppelt so groß, nämlich $2 \cdot f_{\rm A}$ anstelle von $f_{\rm A}$:
+'''(3)'''&nbsp; Gegenüber der Teilaufgabe (2) ist nun die Frequenz doppelt so groß, nämlich $2 \cdot f_{\rm A}$ anstelle von $f_{\rm A}$:
 :$$x(t) = \cos(2 \pi \cdot (2f_{\rm A}) \cdot t) \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} X(f) = {1}/{2} \cdot {\delta}(f + 2f_{\rm A}) + {1}/{2}\cdot {\delta}(f - 2f_{\rm A}) \hspace{0.05cm},$$
 Damit beschreibt die Folge $〈d(\nu)〉$ zwei Perioden der Cosinusschwingung, und es gilt für $0 ≤ \nu ≤ 7$:
-:$$d(\nu) \ = \ 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left({\pi}/{2} \cdot \nu \right)$$
+:$$d(\nu) \ = \ 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left({\pi}/{2} \cdot \nu \right)\hspace{0.3cm}
-:$$\ \Rightarrow \ \hspace{0.3cm}d(0) = 1, \hspace{0.2cm}d(1) = 0 \hspace{0.05cm}.$$
+ \Rightarrow  \hspace{0.3cm}\underline{d(0) = 1, \hspace{0.2cm}d(1) = 0 }\hspace{0.05cm}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Durch eine weitere Verdoppelung der Cosinusfrequenz auf $4f_{\rm A}$ kommt man schließlich zur zeitkontinuierlichen Fourierkorrespondenz
 :$$d(\nu) = 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left(\pi \cdot \nu \right) \hspace{0.05cm}$$
 und damit zu den Zeitkoeffizienten
-:$$\underline{d(0) =}d(2) =d(4) =d(6) \hspace{0.15cm}\underline{ = +1}, \hspace{0.2cm}\underline{d(1)} =d(3) =d(5) =d(7) \hspace{0.15cm} \underline{= -1} \hspace{0.05cm}.$$
+:$$\underline{d(0) =}d(2) =d(4) =d(6)= +1, \hspace{0.2cm}\underline{d(1)} =d(3) =d(5) =d(7) = -1 \hspace{0.3cm}
 Zu beachten ist, dass die beiden Diracfunktionen in der zeitdiskreten Darstellung aufgrund der Periodizität zusammenfallen. Das heißt: Die Koeffizienten $D(4) = 0.5$ und $D(-4) = 0.5$ ergeben zusammen $D(4) = 1$.
-'''(5)'''&nbsp; Auch die Diskrete Fouriertransformation ist linear. Deshalb ist das Superpositionsprinzip weiterhin anwendbar. Die Koeffizienten $D(\mu)$ aus Spalte E ergeben sich als die Summen der Spalten A und D. Deshalb wird aus der alternierenden Folge $〈d(\nu)〉$ entsprechend Teilaufgabe 4) die um 1 nach oben verschobene Folge:
+'''(5)'''&nbsp; Auch die Diskrete Fouriertransformation ist linear. Deshalb ist das Superpositionsprinzip weiterhin anwendbar. Die Koeffizienten $D(\mu)$ aus Spalte $\boldsymbol{\rm E}$ ergeben sich als die Summen der Spalten $\boldsymbol{\rm A}$ und $\boldsymbol{\rm D}$. Deshalb wird aus der alternierenden Folge $〈d(\nu)〉$ entsprechend Teilaufgabe (4) die um 1 nach oben verschobene Folge:
-:$$\underline{d(0) =}d(2) =d(4) =d(6) \hspace{0.15cm}\underline{ = 2}, \hspace{0.2cm}\underline{d(1)} =d(3) =d(5) =d(7) \hspace{0.15cm} \underline{= 0} \hspace{0.05cm}.$$
+:$$d(0) =d(2) =d(4) =d(6)= 2, \hspace{0.2cm}d(1) =d(3) =d(5) =d(7) = 0\hspace{0.3cm}
 {{ML-Fuß}}

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 {Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(\nu)$ für $D(\mu)$ gemäß Spalte $\boldsymbol{\rm B}$?
 |type="{}"}
-$d(0) \ = \ ${ 0. }
+$d(0) \ = \ ${ 1 }
-$d(1) \ = \ ${ 1 }
+$d(1) \ = \ ${ 0.707 3% }
 {Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(\nu)$ für $D(\mu)$ gemäß Spalte $\boldsymbol{\rm C}$?
 |type="{}"}
 $d(0) \ = \ ${ 1 }
-$d(1) \ = \ ${ 0.707 3% }
+$d(1) \ = \ ${ 0. }

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(kein Unterschied)