Aufgabe 2.4Z: Wiederholung zur IDFT - Versionsgeschichte

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			[[en:Exercise_2.4Z:_Repetition_to_IDFT]]

Maintenance script: Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

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Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

Guenter am 5. August 2019 um 13:38 Uhr

2019-08-05T13:38:09Z

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	[[Datei:P_ID1971__Sig_A_5_2.png\|right\|frame\|Fünf Mustersätze zur  $\rm (IDFT)$]]		[[Datei:P_ID1971__Sig_A_5_2.png\|right\|frame\|Fünf Mustersätze zur  $\rm IDFT$]]

	Bei der Diskreten Fouriertransformation  $\rm (DFT)$  werden aus den Zeitabtastwerten  $d(\nu) \hspace{0.15cm} {\rm mit} \hspace{0.15cm} \nu = 0$, ... , $N – 1$  die diskreten Spektralkoeffizienten  $D(\mu) \hspace{0.15cm} {\rm mit} \hspace{0.15cm} \mu = 0$, ... , $N – 1$  wie folgt berechnet:		Bei der Diskreten Fouriertransformation  $\rm (DFT)$  werden aus den Zeitabtastwerten  $d(\nu) \hspace{0.15cm} {\rm mit} \hspace{0.15cm} \nu = 0$, ... , $N – 1$  die diskreten Spektralkoeffizienten  $D(\mu) \hspace{0.15cm} {\rm mit} \hspace{0.15cm} \mu = 0$, ... , $N – 1$  wie folgt berechnet:
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	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Aus der IDFT–Gleichung ~~wird~~ mit $D(\mu) = 0$ für $\mu \neq 0$ für $0 ≤ \nu ≤ 7$:		'''(1)'''  Aus der IDFT–Gleichung erhält man mit $D(\mu) = 0$ für $\mu \neq 0$ für die Zeitkoeffizienten mit den Indizes  $0 ≤ \nu ≤ 7$:
	:$$d(\nu) = D(0) \cdot w^0 = D(0) \ = \ 1\hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm}\underline{d(0) = d(1) \ = \ 1}.$$		:$$d(\nu) = D(0) \cdot w^0 = D(0) \ = \ 1\hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm}\underline{d(0) = d(1) \ = \ 1}.$$

Zeile 76:		Zeile 76:
	:$$x(t) = 1 \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} X(f) = {\delta}(f) \hspace{0.05cm}.$$		:$$x(t) = 1 \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} X(f) = {\delta}(f) \hspace{0.05cm}.$$



	'''(2)'''  Hier sind alle Spektralkoeffizienten $0$ außer $D_{1} = D_{7} = 0.5$. Daraus folgt für $0 ≤ \nu ≤ 7$:		'''(2)'''  Hier sind alle Spektralkoeffizienten $0$ außer $D_{1} = D_{7} = 0.5$. Daraus folgt für $0 ≤ \nu ≤ 7$:
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	'''(3)'''  Gegenüber der Teilaufgabe (2) ist nun die Frequenz doppelt so groß, nämlich $2 \cdot f_{\rm A}$ anstelle von $f_{\rm A}$:
			'''(3)'''  Gegenüber der Teilaufgabe '''(2)''' ist nun die Frequenz doppelt so groß, nämlich $2 \cdot f_{\rm A}$ anstelle von $f_{\rm A}$:
	:$$x(t) = \cos(2 \pi \cdot (2f_{\rm A}) \cdot t) \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} X(f) = {1}/{2} \cdot {\delta}(f + 2f_{\rm A}) + {1}/{2}\cdot {\delta}(f - 2f_{\rm A}) \hspace{0.05cm},$$		:$$x(t) = \cos(2 \pi \cdot (2f_{\rm A}) \cdot t) \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} X(f) = {1}/{2} \cdot {\delta}(f + 2f_{\rm A}) + {1}/{2}\cdot {\delta}(f - 2f_{\rm A}) \hspace{0.05cm},$$
	Damit beschreibt die Folge $〈d(\nu)〉$ zwei Perioden der Cosinusschwingung, und es gilt für $0 ≤ \nu ≤ 7$:		Damit beschreibt die Folge $〈d(\nu)〉$ zwei Perioden der Cosinusschwingung, und es gilt für $0 ≤ \nu ≤ 7$:
	:$$d(\nu) \ = \ 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left({\pi}/{2} \cdot \nu \right)\hspace{0.3cm}		:$$d(\nu) \ = \ 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left({\pi}/{2} \cdot \nu \right)\hspace{0.3cm}
	\Rightarrow \hspace{0.3cm}\underline{d(0) = 1, \hspace{0.2cm}d(1) = 0 }\hspace{0.05cm}.$$		\Rightarrow \hspace{0.3cm}\underline{d(0) = 1, \hspace{0.2cm}d(1) = 0 }\hspace{0.05cm}.$$



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	:$$d(\nu) = 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left(\pi \cdot \nu \right) \hspace{0.05cm}$$		:$$d(\nu) = 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left(\pi \cdot \nu \right) \hspace{0.05cm}$$
	und damit zu den Zeitkoeffizienten		und damit zu den Zeitkoeffizienten
	:$$~~\underline{~~d(0) =}d(2) =d(4) =d(6)= +1, \hspace{0.2cm}~~\underline{~~d(1)} =d(3) =d(5) =d(7) = -1 \hspace{0.3cm}		:$$d(0) = d(2) =d(4) =d(6)= +1, \hspace{0.2cm}d(1) =d(3) =d(5) =d(7) = -1 \hspace{0.3cm}
	\Rightarrow \hspace{0.3cm}\underline{d(0) = +1, \hspace{0.2cm}d(1) = -1 }\hspace{0.05cm}.$$		\Rightarrow \hspace{0.3cm}\underline{d(0) = +1, \hspace{0.2cm}d(1) = -1 }\hspace{0.05cm}.$$
	Zu beachten ist, dass die beiden Diracfunktionen in der zeitdiskreten Darstellung aufgrund der Periodizität zusammenfallen. Das heißt: Die Koeffizienten $D(4) = 0.5$ und $D(-4) = 0.5$ ergeben zusammen $D(4) = 1$.		*Zu beachten ist, dass die beiden Diracfunktionen in der zeitdiskreten Darstellung aufgrund der Periodizität zusammenfallen.
			*Das heißt:   Die Koeffizienten $D(4) = 0.5$ und $D(-4) = 0.5$ ergeben zusammen $D(4) = 1$.



	'''(5)'''  Auch die Diskrete Fouriertransformation ist linear. Deshalb ist das Superpositionsprinzip weiterhin anwendbar. Die Koeffizienten $D(\mu)$ aus Spalte $\boldsymbol{\rm E}$ ergeben sich als die Summen der Spalten $\boldsymbol{\rm A}$ und $\boldsymbol{\rm D}$. Deshalb wird aus der alternierenden Folge $〈d(\nu)〉$ entsprechend Teilaufgabe (4) die um 1 nach oben verschobene Folge:		'''(5)'''  Auch die Diskrete Fouriertransformation ist linear. Deshalb ist das Superpositionsprinzip weiterhin anwendbar.
			*Die Koeffizienten $D(\mu)$ aus Spalte $\boldsymbol{\rm E}$ ergeben sich als die Summen der Spalten $\boldsymbol{\rm A}$ und $\boldsymbol{\rm D}$.
			*Deshalb wird aus der alternierenden Folge $〈d(\nu)〉$ entsprechend Teilaufgabe '''(4)''' die um 1 nach oben verschobene Folge:
	:$$d(0) =d(2) =d(4) =d(6)= 2, \hspace{0.2cm}d(1) =d(3) =d(5) =d(7) = 0\hspace{0.3cm}		:$$d(0) =d(2) =d(4) =d(6)= 2, \hspace{0.2cm}d(1) =d(3) =d(5) =d(7) = 0\hspace{0.3cm}
	\Rightarrow \hspace{0.3cm}\underline{d(0) = 2, \hspace{0.2cm}d(1) =0 }\hspace{0.05cm}. $$		\Rightarrow \hspace{0.3cm}\underline{d(0) = 2, \hspace{0.2cm}d(1) =0 }\hspace{0.05cm}. $$

Guenter am 5. August 2019 um 13:26 Uhr

2019-08-05T13:26:59Z

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	[[Datei:P_ID1971__Sig_A_5_2.png\|right\|frame\|Fünf Mustersätze zur IDFT]]		[[Datei:P_ID1971__Sig_A_5_2.png\|right\|frame\|Fünf Mustersätze zur  $\rm (IDFT)$]]

	Bei der Diskreten Fouriertransformation (DFT) werden aus den Zeitabtastwerten $d(\nu) \ {\rm mit} \ \nu = 0$, ... , $N – 1$ die diskreten Spektralkoeffizienten $D(\mu) \ {\rm mit} \ \mu = 0$, ... , $N – 1$ wie folgt berechnet:		Bei der Diskreten Fouriertransformation  $\rm (DFT)$  werden aus den Zeitabtastwerten  $d(\nu) \hspace{0.15cm} {\rm mit} \hspace{0.15cm} \nu = 0$, ... , $N – 1$  die diskreten Spektralkoeffizienten  $D(\mu) \hspace{0.15cm} {\rm mit} \hspace{0.15cm} \mu = 0$, ... , $N – 1$  wie folgt berechnet:
	:$$D(\mu) = \frac{1}{N} \cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1} d(\nu)\cdot {w}^{\hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$		:$$D(\mu) = \frac{1}{N} \cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1} d(\nu)\cdot {w}^{\hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$
	Hierbei ist mit $w$ der komplexe Drehfaktor abgekürzt, der folgendermaßen definiert ist:		Hierbei ist mit  $w$  der komplexe Drehfaktor abgekürzt, der folgendermaßen definiert ist:
	:$$w = {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi /N} = \cos \left( ~~\frac~~ {2 \pi}{N}\right)-{\rm j} \cdot \sin \left( ~~\frac~~ {2 \pi}{N}\right) \hspace{0.05cm}.$$		:$$w = {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi /N} = \cos \left( {2 \pi}/{N}\right)-{\rm j} \cdot \sin \left( {2 \pi}/{N}\right) \hspace{0.05cm}.$$
	Somit gilt für die Inverse Diskrete Fouriertransformation (IDFT) als Umkehrfunktion der DFT:		Somit gilt für die Inverse Diskrete Fouriertransformation  $\rm (IDFT)$  als Umkehrfunktion der  $\rm DFT$:
	:$$ d(\nu) = \sum_{\mu = 0 }^{N-1} D(\mu) \cdot {w}^{-\nu \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$		:$$ d(\nu) = \sum_{\mu = 0 }^{N-1} D(\mu) \cdot {w}^{-\nu \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$
	In dieser Aufgabe sollen für verschiedene Beispielfolgen $D(\mu)$ – die in obiger Tabelle mit $\boldsymbol{\rm A}$, ... , $\boldsymbol{\rm E}$ bezeichnet sind – die Zeitkoeffizienten $d(\nu)$ ermittelt werden. Es gilt somit stets $N = 8$.		In dieser Aufgabe sollen für verschiedene Beispielfolgen  $D(\mu)$ – die in obiger Tabelle mit  $\boldsymbol{\rm A}$, ... ,  $\boldsymbol{\rm E}$  bezeichnet sind – die Zeitkoeffizienten  $d(\nu)$  ermittelt werden. Es gilt somit stets  $N = 8$.





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	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen des Kapitels [[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)\|Diskrete Fouriertransformation]] des Buches „Signaldarstellung” und ist identisch mit der dortigen [[Aufgaben:Aufgabe_5.2:_Inverse_Diskrete_Fouriertransformation\|Aufgabe 5.2]].		*Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen des Kapitels  [[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)\|Diskrete Fouriertransformation]]  des Buches „Signaldarstellung” und ist identisch mit der dortigen  [[Aufgaben:Aufgabe_5.2:_Inverse_Diskrete_Fouriertransformation\|Aufgabe 5.2]].
	*Sie können Ihre Lösung mit dem interaktiven Applet [[Applets:Diskrete_Fouriertransformation_(Applet)\|Diskrete Fouriertransformation]] überprüfen.		*Sie können Ihre Lösung mit dem interaktiven Applet  [[Applets:Diskrete_Fouriertransformation_(Applet)\|Diskrete Fouriertransformation]]  überprüfen.
	*DFT und IDFT spielen auch bei [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/xDSL_als_Übertragungstechnik#DMT.E2.80.93Realisierung_mit_IDFT.2FDFT\|DSM/DSL]] eine große Rolle.		*DFT und IDFT spielen auch bei  [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/xDSL_als_Übertragungstechnik#DMT.E2.80.93Realisierung_mit_IDFT.2FDFT\|DSM/DSL]]  eine große Rolle.
	*Im entsprechenden Kapitel werden die Spektralkoeffizienten ~~allerdings~~ mit $D_k$ bezeichnet ~~und~~ die Zeitabtastwerte mit $s_l$. Wir bitten ~~Sie~~, diese Nomenklaturdiskrepanz zu entschuldigen.		*Im entsprechenden Kapitel werden die Spektralkoeffizienten mit  $D_k$  bezeichnet, die Zeitabtastwerte mit  $s_l$. Wir bitten, diese Nomenklaturdiskrepanz zu entschuldigen.
	*Für die beiden Laufvariablen gelten mit dem DFT–Parameter $N = 8$:  $0 \le k \le 7, \hspace{0.2cm}0 \le l \le 7 \hspace{0.05cm}.$		*Für die beiden Laufvariablen gelten mit dem DFT–Parameter  $N = 8$:   $0 \le k \le 7, \hspace{0.2cm}0 \le l \le 7 \hspace{0.05cm}.$


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	Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(\nu)$ für $D(\mu)$ gemäß Spalte $\boldsymbol{\rm A}$?		Wie lauten die Zeitkoeffizienten  $d(\nu)$  für  $D(\mu)$  gemäß Spalte  $\boldsymbol{\rm A}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$d(0) \ = \ ${ 1 }		$d(0) \ = \ ${ 1 }
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	{Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(\nu)$ für $D(\mu)$ gemäß Spalte $\boldsymbol{\rm B}$?		{Wie lauten die Zeitkoeffizienten  $d(\nu)$  für  $D(\mu)$  gemäß Spalte  $\boldsymbol{\rm B}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$d(0) \ = \ ${ 1 }		$d(0) \ = \ ${ 1 }
	$d(1) \ = \ ${ 0.707 3% }		$d(1) \ = \ ${ 0.707 3% }

	{Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(\nu)$ für $D(\mu)$ gemäß Spalte $\boldsymbol{\rm C}$?		{Wie lauten die Zeitkoeffizienten  $d(\nu)$  für  $D(\mu)$  gemäß Spalte  $\boldsymbol{\rm C}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$d(0) \ = \ ${ 1 }		$d(0) \ = \ ${ 1 }
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	{Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(\nu)$ für $D(\mu)$ gemäß Spalte $\boldsymbol{\rm D}$?		{Wie lauten die Zeitkoeffizienten  $d(\nu)$  für  $D(\mu)$  gemäß Spalte  $\boldsymbol{\rm D}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$d(0) \ = \ ${ 1 }		$d(0) \ = \ ${ 1 }
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	{Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(\nu)$ für $D(\mu)$ gemäß Spalte $\boldsymbol{\rm E}$?		{Wie lauten die Zeitkoeffizienten  $d(\nu)$  für  $D(\mu)$  gemäß Spalte  $\boldsymbol{\rm E}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$d(0) \ = \ ${ 2 }		$d(0) \ = \ ${ 2 }

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:19:52Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

← Nächstältere Version		Version vom 29. Mai 2018, 15:19 Uhr
Zeile 24:		Zeile 24:
	*Im entsprechenden Kapitel werden die Spektralkoeffizienten allerdings mit $D_k$ bezeichnet und die Zeitabtastwerte mit $s_l$. Wir bitten Sie, diese Nomenklaturdiskrepanz zu entschuldigen.		*Im entsprechenden Kapitel werden die Spektralkoeffizienten allerdings mit $D_k$ bezeichnet und die Zeitabtastwerte mit $s_l$. Wir bitten Sie, diese Nomenklaturdiskrepanz zu entschuldigen.
	*Für die beiden Laufvariablen gelten mit dem DFT–Parameter $N = 8$:  $0 \le k \le 7, \hspace{0.2cm}0 \le l \le 7 \hspace{0.05cm}.$		*Für die beiden Laufvariablen gelten mit dem DFT–Parameter $N = 8$:  $0 \le k \le 7, \hspace{0.2cm}0 \le l \le 7 \hspace{0.05cm}.$
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Guenter am 8. Februar 2018 um 16:01 Uhr

2018-02-08T16:01:44Z

Guenter am 8. Februar 2018 um 15:45 Uhr

2018-02-08T15:45:11Z

← Nächstältere Version		Version vom 8. Februar 2018, 17:45 Uhr
Zeile 42:		Zeile 42:
	{Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(\nu)$ für $D(\mu)$ gemäß Spalte $\boldsymbol{\rm B}$?		{Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(\nu)$ für $D(\mu)$ gemäß Spalte $\boldsymbol{\rm B}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$d(0) \ = \ ${ 0. }		$d(0) \ = \ ${ 1 }
	$d(1) \ = \ ${ 1 }		$d(1) \ = \ ${ 0.707 3% }

	{Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(\nu)$ für $D(\mu)$ gemäß Spalte $\boldsymbol{\rm C}$?		{Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(\nu)$ für $D(\mu)$ gemäß Spalte $\boldsymbol{\rm C}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$d(0) \ = \ ${ 1 }		$d(0) \ = \ ${ 1 }
	$d(1) \ = \ ${ 0.~~707 3%~~ }		$d(1) \ = \ ${ 0. }

Guenter am 8. Februar 2018 um 15:42 Uhr

2018-02-08T15:42:51Z

← Nächstältere Version		Version vom 8. Februar 2018, 17:42 Uhr
Zeile 48:		Zeile 48:
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$d(0) \ = \ ${ 1 }		$d(0) \ = \ ${ 1 }
	$d(1) \ = \ ${ 0. }		$d(1) \ = \ ${ 0.707 3% }


Zeile 54:		Zeile 54:
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$d(0) \ = \ ${ 1 }		$d(0) \ = \ ${ 1 }
	$d(1) \ = \ ${ 1 }		$d(1) \ = \ ${ -1.01--0.99 }

Guenter am 8. Februar 2018 um 15:36 Uhr

2018-02-08T15:36:33Z

← Nächstältere Version		Version vom 8. Februar 2018, 17:36 Uhr
Zeile 23:		Zeile 23:
	*DFT und IDFT spielen auch bei [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/xDSL_als_Übertragungstechnik#DMT.E2.80.93Realisierung_mit_IDFT.2FDFT\|DSM/DSL]] eine große Rolle.		*DFT und IDFT spielen auch bei [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/xDSL_als_Übertragungstechnik#DMT.E2.80.93Realisierung_mit_IDFT.2FDFT\|DSM/DSL]] eine große Rolle.
	*Im entsprechenden Kapitel werden die Spektralkoeffizienten allerdings mit $D_k$ bezeichnet und die Zeitabtastwerte mit $s_l$. Wir bitten Sie, diese Nomenklaturdiskrepanz zu entschuldigen.		*Im entsprechenden Kapitel werden die Spektralkoeffizienten allerdings mit $D_k$ bezeichnet und die Zeitabtastwerte mit $s_l$. Wir bitten Sie, diese Nomenklaturdiskrepanz zu entschuldigen.
	*Für die beiden Laufvariablen gelten mit dem DFT–Parameter $N = 8$:		*Für die beiden Laufvariablen gelten mit dem DFT–Parameter $N = 8$:  $0 \le k \le 7, \hspace{0.2cm}0 \le l \le 7 \hspace{0.05cm}.$
	:$$0 \le k \le 7, \hspace{0.2cm}0 \le l \le 7 \hspace{0.05cm}.$$
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.		*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Zeile 37:		Zeile 36:
	Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(\nu)$ für $D(\mu)$ gemäß Spalte $\boldsymbol{\rm A}$?		Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(\nu)$ für $D(\mu)$ gemäß Spalte $\boldsymbol{\rm A}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$~~D(\mu) \ {\rm gemäß \ „A”}: \ \~~ d(0) \ = \ ${ 1 3% }		$d(0) \ = \ ${ 1 }
	$~~D(\mu) \ {\rm gemäß \ „A”}: \ \~~ d(1) \ = \ ${ 1 3% }		$d(1) \ = \ ${ 1 }


	{Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(\nu)$ für $D(\mu)$ gemäß Spalte $\boldsymbol{\rm B}$?		{Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(\nu)$ für $D(\mu)$ gemäß Spalte $\boldsymbol{\rm B}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$~~D(\mu) \ {\rm gemäß \ „B”}: \ \~~ d(0) \ = \ ${ 0 3% }		$d(0) \ = \ ${ 0. }
	$~~D(\mu) \ {\rm gemäß \ „B”}: \ \~~ d(1) \ = \ ${ 1 3% }		$d(1) \ = \ ${ 1 }

	{Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(\nu)$ für $D(\mu)$ gemäß Spalte $\boldsymbol{\rm C}$?		{Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(\nu)$ für $D(\mu)$ gemäß Spalte $\boldsymbol{\rm C}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$~~D(\mu) \ {\rm gemäß \ „C”}: \ \~~ d(0) \ = \ ${ 1 3% }		$d(0) \ = \ ${ 1 }
	$~~D(\mu) \ {\rm gemäß \ „C”}: \ \~~ d(1) \ = \ ${ 0 3% }		$d(1) \ = \ ${ 0. }


	{Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(\nu)$ für $D(\mu)$ gemäß Spalte $\boldsymbol{\rm D}$?		{Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(\nu)$ für $D(\mu)$ gemäß Spalte $\boldsymbol{\rm D}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$~~D(\mu) \ {\rm gemäß \ „D”}: \ \~~ d(0) \ = \ ${ 1 3% }		$d(0) \ = \ ${ 1 }
	$~~D(\mu) \ {\rm gemäß \ „D”}: \ \~~ d(1) \ = \ ${ 1 3% }		$d(1) \ = \ ${ 1 }


	{Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(\nu)$ für $D(\mu)$ gemäß Spalte $\boldsymbol{\rm E}$?		{Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(\nu)$ für $D(\mu)$ gemäß Spalte $\boldsymbol{\rm E}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$~~D(\mu) \ {\rm gemäß \ „E”}: \ \~~ d(0) \ = \ ${ 2 3% }		$d(0) \ = \ ${ 2 }
	$~~D(\mu) \ {\rm gemäß \ „E”}: \ \~~ d(1) \ = \ ${ 0 3% }		$d(1) \ = \ ${ 0. }

Guenter am 8. Februar 2018 um 15:26 Uhr

2018-02-08T15:26:48Z

← Nächstältere Version		Version vom 8. Februar 2018, 17:26 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:
	}}		}}

	[[Datei:P_ID1971__Sig_A_5_2.png\|right\|frame\|Mustersätze zur IDFT]]		[[Datei:P_ID1971__Sig_A_5_2.png\|right\|frame\|Fünf Mustersätze zur IDFT]]

	Bei der Diskreten Fouriertransformation (DFT) werden aus den Zeitabtastwerten $d(\nu) \ {\rm mit} \ \nu = 0, ... , N – 1$ die diskreten Spektralkoeffizienten $D(\mu) \ {\rm mit} \ \mu = 0, ... , N – 1$ wie folgt berechnet:		Bei der Diskreten Fouriertransformation (DFT) werden aus den Zeitabtastwerten $d(\nu) \ {\rm mit} \ \nu = 0$, ... , $N – 1$ die diskreten Spektralkoeffizienten $D(\mu) \ {\rm mit} \ \mu = 0$, ... , $N – 1$ wie folgt berechnet:
	:$$D(\mu) = \frac{1}{N} \cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1} d(\nu)\cdot {w}^{\hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$		:$$D(\mu) = \frac{1}{N} \cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1} d(\nu)\cdot {w}^{\hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$
	Hierbei ist mit $w$ der komplexe Drehfaktor abgekürzt, der folgendermaßen definiert ist:		Hierbei ist mit $w$ der komplexe Drehfaktor abgekürzt, der folgendermaßen definiert ist:
Zeile 11:		Zeile 11:
	Somit gilt für die Inverse Diskrete Fouriertransformation (IDFT) als Umkehrfunktion der DFT:		Somit gilt für die Inverse Diskrete Fouriertransformation (IDFT) als Umkehrfunktion der DFT:
	:$$ d(\nu) = \sum_{\mu = 0 }^{N-1} D(\mu) \cdot {w}^{-\nu \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$		:$$ d(\nu) = \sum_{\mu = 0 }^{N-1} D(\mu) \cdot {w}^{-\nu \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$
	In dieser Aufgabe sollen für verschiedene Beispielfolgen $D(\mu)$ – die in obiger Tabelle mit ~~„A”~~, ... , ~~„E”~~ bezeichnet sind – die Zeitkoeffizienten $d(\nu)$ ermittelt werden. Es gilt somit stets $N = 8$.		In dieser Aufgabe sollen für verschiedene Beispielfolgen $D(\mu)$ – die in obiger Tabelle mit $\boldsymbol{\rm A}$, ... , $\boldsymbol{\rm E}$ bezeichnet sind – die Zeitkoeffizienten $d(\nu)$ ermittelt werden. Es gilt somit stets $N = 8$.

	~~''Hinweis:''~~
	Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Verfahren_zur_Senkung_der_Bitfehlerrate_bei_DSL#Gain_Scaling_und_Tone_Ordering\|Gain Scaling und Tone Ordering]] des Buches „Signaldarstellung” und ist identisch mit der dortigen Aufgabe A5.2. Sie können sich die Lösung auch mit folgendem Interaktionsmodul verdeutlichen:

	~~Diskrete Fouriertransformation~~

	DFT und IDFT spielen auch bei [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/xDSL_als_Übertragungstechnik#DMT.E2.80.93Realisierung_mit_IDFT.2FDFT\|DSM/DSL]] eine große Rolle. Im entsprechenden Kapitel werden die Spektralkoeffizienten allerdings mit $D_k$ bezeichnet und die Zeitabtastwerte mit $s_l$. Wir bitten Sie, diese Nomenklaturdiskrepanz zu entschuldigen.
	Für die beiden Laufvariablen gelten mit dem DFT–Parameter $N = 8$:

			''Hinweise:''
			*Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen des Kapitels [[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)\|Diskrete Fouriertransformation]] des Buches „Signaldarstellung” und ist identisch mit der dortigen [[Aufgaben:Aufgabe_5.2:_Inverse_Diskrete_Fouriertransformation\|Aufgabe 5.2]].
			*Sie können Ihre Lösung mit dem interaktiven Applet [[Applets:Diskrete_Fouriertransformation_(Applet)\|Diskrete Fouriertransformation]] überprüfen.
			*DFT und IDFT spielen auch bei [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/xDSL_als_Übertragungstechnik#DMT.E2.80.93Realisierung_mit_IDFT.2FDFT\|DSM/DSL]] eine große Rolle.
			*Im entsprechenden Kapitel werden die Spektralkoeffizienten allerdings mit $D_k$ bezeichnet und die Zeitabtastwerte mit $s_l$. Wir bitten Sie, diese Nomenklaturdiskrepanz zu entschuldigen.
			*Für die beiden Laufvariablen gelten mit dem DFT–Parameter $N = 8$:
	:$$0 \le k \le 7, \hspace{0.2cm}0 \le l \le 7 \hspace{0.05cm}.$$		:$$0 \le k \le 7, \hspace{0.2cm}0 \le l \le 7 \hspace{0.05cm}.$$
			*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

← Nächstältere Version		Version vom 24. Februar 2026, 15:37 Uhr
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	:$$d(\nu) = 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (7\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} \hspace{0.05cm}.$$		:$$d(\nu) = 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (7\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} \hspace{0.05cm}.$$
	Aufgrund der Periodizität gilt aber auch:		Aufgrund der Periodizität gilt aber auch:
	:$$d(\nu) \ = \ 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left({\pi}/{4} \cdot \nu \right)\hspace{0.3cm}		:$$d(\nu) \ = \ 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left({\pi}/{4} \cdot \nu \right)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\underline{d(0) = 1, \hspace{0.2cm}d(1) = {1}/{\sqrt{2}} \approx 0.707 \hspace{0.05cm}}.$$
	\Rightarrow \hspace{0.3cm}\underline{d(0) = 1, \hspace{0.2cm}d(1) = {1}/{\sqrt{2}} \approx 0.707 \hspace{0.05cm}}.$$
	Es handelt sich also um das zeitdiskrete Äquivalent zu		Es handelt sich also um das zeitdiskrete Äquivalent zu
	:$$x(t) = \cos(2 \pi \cdot f_{\rm A} \cdot t) \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} X(f) = {1}/{2} \cdot {\delta}(f + f_{\rm A}) + {1}/{2} \cdot {\delta}(f - f_{\rm A}) \hspace{0.05cm},$$		:$$x(t) = \cos(2 \pi \cdot f_{\rm A} \cdot t) \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} X(f) = {1}/{2} \cdot {\delta}(f + f_{\rm A}) + {1}/{2} \cdot {\delta}(f - f_{\rm A}) \hspace{0.05cm},$$
Zeile 92:		Zeile 91:
	:$$x(t) = \cos(2 \pi \cdot (2f_{\rm A}) \cdot t) \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} X(f) = {1}/{2} \cdot {\delta}(f + 2f_{\rm A}) + {1}/{2}\cdot {\delta}(f - 2f_{\rm A}) \hspace{0.05cm},$$		:$$x(t) = \cos(2 \pi \cdot (2f_{\rm A}) \cdot t) \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} X(f) = {1}/{2} \cdot {\delta}(f + 2f_{\rm A}) + {1}/{2}\cdot {\delta}(f - 2f_{\rm A}) \hspace{0.05cm},$$
	Damit beschreibt die Folge $〈d(\nu)〉$ zwei Perioden der Cosinusschwingung, und es gilt für $0 ≤ \nu ≤ 7$:		Damit beschreibt die Folge $〈d(\nu)〉$ zwei Perioden der Cosinusschwingung, und es gilt für $0 ≤ \nu ≤ 7$:
	:$$d(\nu) \ = \ 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left({\pi}/{2} \cdot \nu \right)\hspace{0.3cm}		:$$d(\nu) \ = \ 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left({\pi}/{2} \cdot \nu \right)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\underline{d(0) = 1, \hspace{0.2cm}d(1) = 0 }\hspace{0.05cm}.$$
	\Rightarrow \hspace{0.3cm}\underline{d(0) = 1, \hspace{0.2cm}d(1) = 0 }\hspace{0.05cm}.$$


Zeile 100:		Zeile 98:
	:$$d(\nu) = 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left(\pi \cdot \nu \right) \hspace{0.05cm}$$		:$$d(\nu) = 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left(\pi \cdot \nu \right) \hspace{0.05cm}$$
	und damit zu den Zeitkoeffizienten		und damit zu den Zeitkoeffizienten
	:$$d(0) = d(2) =d(4) =d(6)= +1, \hspace{0.2cm}d(1) =d(3) =d(5) =d(7) = -1 \hspace{0.3cm}		:$$d(0) = d(2) =d(4) =d(6)= +1, \hspace{0.2cm}d(1) =d(3) =d(5) =d(7) = -1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\underline{d(0) = +1, \hspace{0.2cm}d(1) = -1 }\hspace{0.05cm}.$$
	\Rightarrow \hspace{0.3cm}\underline{d(0) = +1, \hspace{0.2cm}d(1) = -1 }\hspace{0.05cm}.$$
	*Zu beachten ist, dass die beiden Diracfunktionen in der zeitdiskreten Darstellung aufgrund der Periodizität zusammenfallen.		*Zu beachten ist, dass die beiden Diracfunktionen in der zeitdiskreten Darstellung aufgrund der Periodizität zusammenfallen.
	*Das heißt:   Die Koeffizienten $D(4) = 0.5$ und $D(-4) = 0.5$ ergeben zusammen $D(4) = 1$.		*Das heißt:   Die Koeffizienten $D(4) = 0.5$ und $D(-4) = 0.5$ ergeben zusammen $D(4) = 1$.
Zeile 110:		Zeile 107:
	*Die Koeffizienten $D(\mu)$ aus Spalte $\boldsymbol{\rm E}$ ergeben sich als die Summen der Spalten $\boldsymbol{\rm A}$ und $\boldsymbol{\rm D}$.		*Die Koeffizienten $D(\mu)$ aus Spalte $\boldsymbol{\rm E}$ ergeben sich als die Summen der Spalten $\boldsymbol{\rm A}$ und $\boldsymbol{\rm D}$.
	*Deshalb wird aus der alternierenden Folge $〈d(\nu)〉$ entsprechend Teilaufgabe '''(4)''' die um 1 nach oben verschobene Folge:		*Deshalb wird aus der alternierenden Folge $〈d(\nu)〉$ entsprechend Teilaufgabe '''(4)''' die um 1 nach oben verschobene Folge:
	:$$d(0) =d(2) =d(4) =d(6)= 2, \hspace{0.2cm}d(1) =d(3) =d(5) =d(7) = 0\hspace{0.3cm}		:$$d(0) =d(2) =d(4) =d(6)= 2, \hspace{0.2cm}d(1) =d(3) =d(5) =d(7) = 0\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\underline{d(0) = 2, \hspace{0.2cm}d(1) =0 }\hspace{0.05cm}. $$
	\Rightarrow \hspace{0.3cm}\underline{d(0) = 2, \hspace{0.2cm}d(1) =0 }\hspace{0.05cm}. $$

	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

← Nächstältere Version		Version vom 8. Februar 2018, 18:01 Uhr
Zeile 67:		Zeile 67:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Aus der IDFT–Gleichung wird mit $D(\mu) = 0$ für $\mu \neq 0$:		'''(1)'''  Aus der IDFT–Gleichung wird mit $D(\mu) = 0$ für $\mu \neq 0$ für $0 ≤ \nu ≤ 7$:
	:$$d(\nu) = D(0) \cdot w^0 = D(0) \ = \ 1\hspace{1.~~0cm~~}~~(0 \le \nu \le 7)\\~~ \Rightarrow\hspace{0.3cm}d(0) = d(1) \ = \ 1.$$		:$$d(\nu) = D(0) \cdot w^0 = D(0) \ = \ 1\hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm}\underline{d(0) = d(1) \ = \ 1}.$$

	Dieser Parametersatz beschreibt somit die diskrete Form der Fourierkorrespondenz des Gleichsignals:		Dieser Parametersatz beschreibt somit die diskrete Form der Fourierkorrespondenz des Gleichsignals:
Zeile 74:		Zeile 74:


	'''(2)'''  Hier sind alle Spektralkoeffizienten $0$ außer $D_{1} = D_{7} = 0.5$. Daraus folgt für $0 ≤ \nu ≤ 7:$		'''(2)'''  Hier sind alle Spektralkoeffizienten $0$ außer $D_{1} = D_{7} = 0.5$. Daraus folgt für $0 ≤ \nu ≤ 7$:
	:$$d(\nu) = 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (7\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} \hspace{0.05cm}.$$		:$$d(\nu) = 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (7\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} \hspace{0.05cm}.$$
	Aufgrund der Periodizität gilt aber auch:		Aufgrund der Periodizität gilt aber auch:
	:$$d(\nu) \ = \ 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left({\pi}/{4} \cdot \nu \right)$$		:$$d(\nu) \ = \ 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left({\pi}/{4} \cdot \nu \right)\hspace{0.3cm}
	~~:$$ \~~ \Rightarrow \ \hspace{0.3cm}d(0) = 1, \hspace{0.2cm}d(1) = {1}/{\sqrt{2}} \approx 0.707 \hspace{0.05cm}.$$		\Rightarrow \hspace{0.3cm}\underline{d(0) = 1, \hspace{0.2cm}d(1) = {1}/{\sqrt{2}} \approx 0.707 \hspace{0.05cm}}.$$
	Es handelt sich also um das zeitdiskrete Äquivalent zu		Es handelt sich also um das zeitdiskrete Äquivalent zu
	:$$x(t) = \cos(2 \pi \cdot f_{\rm A} \cdot t) \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} X(f) = {1}/{2} \cdot {\delta}(f + f_{\rm A}) + {1}/{2} \cdot {\delta}(f - f_{\rm A}) \hspace{0.05cm},$$		:$$x(t) = \cos(2 \pi \cdot f_{\rm A} \cdot t) \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} X(f) = {1}/{2} \cdot {\delta}(f + f_{\rm A}) + {1}/{2} \cdot {\delta}(f - f_{\rm A}) \hspace{0.05cm},$$
Zeile 84:		Zeile 84:


	'''(3)'''  Gegenüber Teilaufgabe 2) ist nun die Frequenz doppelt so groß, nämlich $2 \cdot f_{\rm A}$ anstelle von $f_{\rm A}$:		'''(3)'''  Gegenüber der Teilaufgabe (2) ist nun die Frequenz doppelt so groß, nämlich $2 \cdot f_{\rm A}$ anstelle von $f_{\rm A}$:
	:$$x(t) = \cos(2 \pi \cdot (2f_{\rm A}) \cdot t) \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} X(f) = {1}/{2} \cdot {\delta}(f + 2f_{\rm A}) + {1}/{2}\cdot {\delta}(f - 2f_{\rm A}) \hspace{0.05cm},$$		:$$x(t) = \cos(2 \pi \cdot (2f_{\rm A}) \cdot t) \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} X(f) = {1}/{2} \cdot {\delta}(f + 2f_{\rm A}) + {1}/{2}\cdot {\delta}(f - 2f_{\rm A}) \hspace{0.05cm},$$
	Damit beschreibt die Folge $〈d(\nu)〉$ zwei Perioden der Cosinusschwingung, und es gilt für $0 ≤ \nu ≤ 7$:		Damit beschreibt die Folge $〈d(\nu)〉$ zwei Perioden der Cosinusschwingung, und es gilt für $0 ≤ \nu ≤ 7$:
	:$$d(\nu) \ = \ 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left({\pi}/{2} \cdot \nu \right)$$		:$$d(\nu) \ = \ 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left({\pi}/{2} \cdot \nu \right)\hspace{0.3cm}
	~~:$$\~~ \Rightarrow \ \hspace{0.3cm}d(0) = 1, \hspace{0.2cm}d(1) = 0 \hspace{0.05cm}.$$		\Rightarrow \hspace{0.3cm}\underline{d(0) = 1, \hspace{0.2cm}d(1) = 0 }\hspace{0.05cm}.$$


	'''(4)'''  Durch eine weitere Verdoppelung der Cosinusfrequenz auf $4f_{\rm A}$ kommt man schließlich zur zeitkontinuierlichen Fourierkorrespondenz		'''(4)'''  Durch eine weitere Verdoppelung der Cosinusfrequenz auf $4f_{\rm A}$ kommt man schließlich zur zeitkontinuierlichen Fourierkorrespondenz
	:$$d(\nu) = 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left(\pi \cdot \nu \right) \hspace{0.05cm}$$		:$$d(\nu) = 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left(\pi \cdot \nu \right) \hspace{0.05cm}$$
	und damit zu den Zeitkoeffizienten		und damit zu den Zeitkoeffizienten
	:$$\underline{d(0) =}d(2) =d(4) =d(6) ~~\hspace{0.15cm}\underline{~~ = +1}, \hspace{0.2cm}\underline{d(1)} =d(3) =d(5) =d(7) \hspace{0.~~15cm~~} \underline{= -1} \hspace{0.05cm}.$$		:$$\underline{d(0) =}d(2) =d(4) =d(6)= +1, \hspace{0.2cm}\underline{d(1)} =d(3) =d(5) =d(7) = -1 \hspace{0.3cm}
			\Rightarrow \hspace{0.3cm}\underline{d(0) = +1, \hspace{0.2cm}d(1) = -1 }\hspace{0.05cm}.$$
	Zu beachten ist, dass die beiden Diracfunktionen in der zeitdiskreten Darstellung aufgrund der Periodizität zusammenfallen. Das heißt: Die Koeffizienten $D(4) = 0.5$ und $D(-4) = 0.5$ ergeben zusammen $D(4) = 1$.		Zu beachten ist, dass die beiden Diracfunktionen in der zeitdiskreten Darstellung aufgrund der Periodizität zusammenfallen. Das heißt: Die Koeffizienten $D(4) = 0.5$ und $D(-4) = 0.5$ ergeben zusammen $D(4) = 1$.


	'''(5)'''  Auch die Diskrete Fouriertransformation ist linear. Deshalb ist das Superpositionsprinzip weiterhin anwendbar. Die Koeffizienten $D(\mu)$ aus Spalte E ergeben sich als die Summen der Spalten A und D. Deshalb wird aus der alternierenden Folge $〈d(\nu)〉$ entsprechend Teilaufgabe 4) die um 1 nach oben verschobene Folge:		'''(5)'''  Auch die Diskrete Fouriertransformation ist linear. Deshalb ist das Superpositionsprinzip weiterhin anwendbar. Die Koeffizienten $D(\mu)$ aus Spalte $\boldsymbol{\rm E}$ ergeben sich als die Summen der Spalten $\boldsymbol{\rm A}$ und $\boldsymbol{\rm D}$. Deshalb wird aus der alternierenden Folge $〈d(\nu)〉$ entsprechend Teilaufgabe (4) die um 1 nach oben verschobene Folge:
	:$$~~\underline{~~d(0) =}d(2) =d(4) =d(6) ~~\hspace{0.15cm}\underline{~~ = 2}, \hspace{0.2cm}~~\underline{~~d(1)} =d(3) =d(5) =d(7) \hspace{0.~~15cm~~} \underline{= 0} \hspace{0.05cm}.$$		:$$d(0) =d(2) =d(4) =d(6)= 2, \hspace{0.2cm}d(1) =d(3) =d(5) =d(7) = 0\hspace{0.3cm}
			\Rightarrow \hspace{0.3cm}\underline{d(0) = 2, \hspace{0.2cm}d(1) =0 }\hspace{0.05cm}. $$

	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}