Aufgabe 2.4: DSL/DMT mit IDFT/DFT - Versionsgeschichte

Guenter am 5. August 2019 um 13:14 Uhr

2019-08-05T13:14:19Z

Guenter am 5. August 2019 um 12:59 Uhr

2019-08-05T12:59:42Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:19:52Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 8. Februar 2018 um 15:24 Uhr

2018-02-08T15:24:19Z

Guenter am 8. Februar 2018 um 15:13 Uhr

2018-02-08T15:13:37Z

Guenter am 8. Februar 2018 um 14:37 Uhr

2018-02-08T14:37:02Z

Guenter: Guenter verschob die Seite 2.4 DSL/DMT mit IDFT/DFT nach Aufgabe 2.4: DSL/DMT mit IDFT/DFT

2018-01-04T06:58:38Z

Guenter verschob die Seite 2.4 DSL/DMT mit IDFT/DFT nach Aufgabe 2.4: DSL/DMT mit IDFT/DFT

Wael: /* Musterlösung */

2017-12-18T15:10:59Z

Musterlösung

Wael am 18. Dezember 2017 um 14:43 Uhr

2017-12-18T14:43:30Z

Wael am 18. Dezember 2017 um 14:41 Uhr

2017-12-18T14:41:58Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Das System ist für $K = N/2 – 1 \underline{= 7 \ {\rm Nutzer}}$ ausgelegt $(N = 16)$.
+'''(1)'''&nbsp; Das System ist für $K = N/2 - 1 \underline{= 7 \ {\rm Nutzer}}$ ausgelegt $(N = 16)$.
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 '''(3)'''&nbsp; Richtig ist <u>der zweite Lösungsvorschlag</u>:
-* Aus den $16$ Abtastwerten $s_{l}$ in der ersten Spalte der Tabelle (Belegung $\boldsymbol{\rm A}$) erkennt man, dass $s(t)$ eine harmonische Schwingung mit der Periodendauer $T_{0} = T$ beschreibt (nur eine Schwingung). Die Amplitude ist gleich $2 \cdot \sqrt{2} =2.828$  und die Phase beträgt $\phi_0 = 45^\circ \ (π/4)$.
+* Aus den $16$ Abtastwerten $s_{l}$ in der ersten Spalte der Tabelle &nbsp;$($Belegung $\boldsymbol{\rm A})$&nbsp; erkennt man, dass $s(t)$ eine harmonische Schwingung mit der Periodendauer $T_{0} = T$ beschreibt (nur eine Schwingung). Die Amplitude ist gleich $2 \cdot \sqrt{2} =2.828$  und die Phase beträgt $\phi_0 = 45^\circ \ (π/4)$.
-*Damit kann für das zeitkontinuierliche Signal geschrieben werden (mit   $f_{0} = 1/T$):
+*Damit kann für das zeitkontinuierliche Signal geschrieben werden &nbsp;$($mit   $f_{0} = 1/T)$:
 :$$s(t) = 2 \cdot \sqrt{2}\cdot \cos(2\pi f_0 t + \pi /4) \hspace{0.05cm}.$$
 *Mit der angegebenen trigonometrischen Umformung und ${\rm cos} \ (π/4) \ = \ {\rm sin} \ (π/4) \ = \ \sqrt{2}$ gilt weiterhin:
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 :$$S(f) = (1 + {\rm j}) \cdot \delta (f - f_0) + (1 - {\rm j}) \cdot \delta (f + f_0)\hspace{0.05cm}.$$
 Der Koeffizient $D_1$ beschreibt das Gewicht bei der ersten Diracfunktion (also bei $f = f_0$), der Koeffizient $D_{15} = D_{-1}$ das Gewicht der Diracfunktion bei $f = -f_0$. Hierbei ist die implizite periodische Fortsetzung bei der DFT (bzw. IDFT) zu beachten.
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 *Die Amplitude ist gegenüber der Belegung $\boldsymbol{\rm A}$ unverändert. Die Phase $\phi_0$ erkennt man aus dem ersten Maximum bei $l = 2$:
 :$$ s(t) \ = \ 2 \cdot \sqrt{2}\cdot \cos(2\pi \cdot 3 f_0 \cdot ( t - 2 \cdot \Delta t)) =  \ 2 \cdot \sqrt{2}\cdot \cos(2\pi \cdot 3 f_0 \cdot t + \phi_0), \hspace{0.3cm} \phi_0 = 12 \pi \cdot \frac{\Delta t}{T} = \frac{3 \pi}{4} \hspace{0.05cm}.$$
-*Nach gleicher Vorgehensweise wie bei Aufgabe 3) erhält man nun mit $ {\rm cos}(3π/4) \ = \sin(3π/4) = –\sqrt{2}/2$:
+*Nach gleicher Vorgehensweise wie bei Aufgabe '''(3)''' erhält man nun mit $ {\rm cos}(3π/4) \ = \sin(3π/4) = –\sqrt{2}/2$:
 :$${\rm Re}\{D_3\} = -1, \hspace{0.2cm} {\rm Im}\{D_3\} = -1\hspace{0.05cm}.$$
 '''(5)'''&nbsp; Richtig ist hier <u>der erste Lösungsvorschlag</u>:
-* Aufgrund der Linearität der IDFT ergeben sich die Koeffizienten $D_1$, $D_3$, $D_{13}$ und $D_{15}$ entsprechend den Ergebnissen der Teilaufgaben (4) und (5).
+* Aufgrund der Linearität der IDFT ergeben sich die Koeffizienten $D_1$, $D_3$, $D_{13}$ und $D_{15}$ entsprechend den Ergebnissen der Teilaufgaben '''(4)''' und '''(5)'''.

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 }}
-[[Datei:P_ID1972__Bei_A_2_4.png|right|frame|Zeitabtastwerte bei 3 verschiedenen DMT-Spektralbelegungen]]
+[[Datei:P_ID1972__Bei_A_2_4.png|right|frame|Zeitabtastwerte bei verschiedenen DMT-Spektralbelegungen]]
-Eine [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/xDSL_als_Übertragungstechnik#DMT.E2.80.93Realisierung_mit_IDFT.2FDFT|Realisierungsform]] des DMT–Verfahrens (steht für ''Discrete Multitone Transmission'') basiert auf der ''Inversen Diskreten Fouriertransformation'' (IDFT) beim Sender sowie der ''Diskreten Fouriertransformation'' (DFT) am Empfänger.
+Eine&nbsp; [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/xDSL_als_Übertragungstechnik#DMT.E2.80.93Realisierung_mit_IDFT.2FDFT|Realisierungsform]]&nbsp; des&nbsp; $\rm DMT$–Verfahrens (steht für ''Discrete Multitone Transmission'') basiert auf der ''Inversen Diskreten Fouriertransformation'' &nbsp; $\rm (IDFT)$&nbsp; beim Sender sowie der ''Diskreten Fouriertransformation'' &nbsp; $\rm (DFT)$&nbsp; beim Empfänger.
-Beim Sender werden $N/2–1$ Nutzer durch die komplexen Spektralkoeffizienten $D_{k} (k = 1,$ ... , $N/2–1)$ den Frequenzen $f_{k} = k \cdot f_{0}$ zugewiesen. Die Grundfrequenz $f_{0}$ ist der Kehrwert der Symboldauer $T$.
+Beim Sender werden&nbsp; $N/2-1$&nbsp; Nutzer durch die komplexen Spektralkoeffizienten&nbsp; $D_{k} \ (k = 1,$ ... , $N/2–1)$&nbsp; den Frequenzen&nbsp; $f_{k} = k \cdot f_{0}$&nbsp; zugewiesen. Die Grundfrequenz&nbsp; $f_{0}$&nbsp; ist der Kehrwert der Symboldauer&nbsp; $T$.
-Es gilt $D_{k} \in \{ ±1 ± {\rm j} \}$, falls ein Kanal belegt ist, im anderen Fall ist $D_{k} = 0$. Die Koeffizienten $D_{0}$ und $D_{N/2}$ sind stets Null. Die obersten Koeffizienten werden konjugiert–komplex belegt:
+*Es gilt&nbsp; $D_{k} \in \{ ±1 ± {\rm j} \}$, falls ein Kanal belegt ist, im anderen Fall ist&nbsp; $D_{k} = 0$.
 :$$D_k = D_{N-k}^{\star},\hspace{0.2cm}k = N/2 +1,\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm}, N-1 \hspace{0.05cm}.$$
-Dadurch wird sicher gestellt, dass das Zeitsignal $s(t)$ stets reell ist. Die Abtastwerte $s_{0}$, ... , $s_{N–1}$ dieses Signals werden dabei durch die IDFT gebildet, wobei der zeitliche Abstand zweier Abtastwerte
+Dadurch wird sicher gestellt, dass das Zeitsignal&nbsp; $s(t)$&nbsp; stets reell ist. Die Abtastwerte&nbsp; $s_{0}$, ... , $s_{N–1}$&nbsp; dieses Signals werden dabei durch die IDFT gebildet, wobei der zeitliche Abstand zweier Abtastwerte
 :$$\Delta t = T/N = 1/(N \cdot f_{0})$$
 beträgt. Durch Tiefpassfilterung erhält man das zeitkontinuierliche Signal.
-Bei ADSL/DMT gilt $N = 512$ und $f_{0} = 4.3125 \ \rm kHz$. In dem hier betrachteten Beispiel seien die Parameter zur Vereinfachung wie folgt angenommen:
+Bei ADSL/DMT gilt&nbsp; $N = 512$&nbsp; und&nbsp; $f_{0} = 4.3125 \ \rm kHz$. In dem hier betrachteten Beispiel seien die Parameter zur Vereinfachung wie folgt angenommen:
 :$$N = 16,\hspace{0.2cm}\Delta t = 10\,{\rm &micro;  s} \hspace{0.05cm}.$$
-In der obigen Tabelle sind für drei verschiedene $D_{k}$–Belegungen die Abtastwerte $s_{l} (l = 0$, ... , $15)$ nach der IDFT angegeben. Gesucht sind die zugehörigen Spektralkoeffizienten $D_{k}\  (k = 0$, ... , $15).$
+In obiger Tabelle sind für drei verschiedene&nbsp; $D_{k}$–Belegungen die Abtastwerte&nbsp; $s_{l} (l = 0$, ... , $15)$&nbsp; nach der IDFT angegeben. Gesucht sind die zugehörigen Spektralkoeffizienten&nbsp; $D_{k}\  (k = 0$, ... , $15).$
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/xDSL_als_Übertragungstechnik|xDSL als Übertragungstechnik]].
+*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/xDSL_als_Übertragungstechnik|xDSL als Übertragungstechnik]].
 *Das Sendesignal hat bei DSL die Form
-:$$s(t) = \sum_{k = 1}^{K} \left [ 2 \cdot {\rm Re}\{D_k\} \cdot \cos(2\pi \cdot k f_0 \cdot t ) - 2 \cdot {\rm Im}\{D_k\} \cdot \sin(2\pi \cdot k f_0 \cdot t )\right ] \hspace{0.05cm}.$$
+:$$s(t) = \sum_{k = 1}^{K} \big [ 2 \cdot {\rm Re}\{D_k\} \cdot \cos(2\pi \cdot k f_0 \cdot t ) - 2 \cdot {\rm Im}\{D_k\} \cdot \sin(2\pi \cdot k f_0 \cdot t )\big ] \hspace{0.05cm}.$$
 *Beachten Sie auch die folgende trigonometrische Beziehung:
 :$$\cos(2\pi f_0 t + \phi_0) = \cos( \phi_0) \cdot \cos(2\pi f_0 t ) - \sin( \phi_0) \cdot \sin(2\pi f_0 t ) \hspace{0.05cm}.$$
-*Man bezeichnet als den ''Crestfaktor'' (oder den Scheitelfaktor) eines Signals das Verhältnis von Maximalwert und Effektivwert.
+*Man bezeichnet  das Verhältnis von Maximalwert und Effektivwert als den&nbsp; ''Crestfaktor''&nbsp; (oder den Scheitelfaktor) eines Signals.
-*Sie können Ihre Lösung mit dem interaktiven Applet  [[Applets:Diskrete_Fouriertransformation_(Applet)|Diskrete Fouriertransformation]] überprüfen.
+*Sie können Ihre Lösung mit dem interaktiven Applet&nbsp;  [[Applets:Diskrete_Fouriertransformation_(Applet)|Diskrete Fouriertransformation]] überprüfen.
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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{ Wieviele Nutzer $(K)$ können mit diesem System versorgt werden?
+{ Wieviele Nutzer&nbsp; $(K)$&nbsp; können mit diesem System versorgt werden?
 |type="{}"}
 $K \ = \ ${ 7 }
-{Wie groß ist die Bandbreite $B$ des betrachteten DMT–Systems?
+{Wie groß ist die Bandbreite&nbsp; $B$&nbsp; des betrachteten DMT–Systems?
 |type="{}"}
 $B \ = \ ${ 50 3% } $\ \rm kHz $
-{Wie lauten die Spektralkoeffizienten bei der Belegung $\boldsymbol{\rm A}$?
+{Wie lauten die Spektralkoeffizienten bei der Belegung&nbsp; $\boldsymbol{\rm A}$?
 |type="()"}
 - $D_{1} = 1- \rm j, \ alle \ anderen \ 0,$
-+ $D_{1} = 1 + {\rm j}, D_{15} = 1 - \rm j, \ alle \ anderen \ 0,$
++ $D_{1} = 1 + {\rm j}, \ D_{15} = 1 - \rm j, \ alle \ anderen \ 0,$
-- $D_{1} = 1 + {\rm j}, D_{15} = 1 + \rm j, \ alle \ anderen \ 0.$
+- $D_{1} = 1 + {\rm j}, \ D_{15} = 1 + \rm j, \ alle \ anderen \ 0.$
-{Wie lauten die Spektralkoeffizienten bei der Belegung $\boldsymbol{\rm B}$?
+{Wie lauten die Spektralkoeffizienten bei der Belegung&nbsp; $\boldsymbol{\rm B}$?
-|type="[]"}
+|type="()"}
-- $D_{2} = -1 - {\rm j}, D_{14} = -1 + \rm j, \ alle \ anderen \ 0$,
+- $D_{2} = -1 - {\rm j}, \ D_{14} = -1 + \rm j, \ alle \ anderen \ 0$,
-- $D_{3} = 1 - {\rm j}, D_{13} = 1 + \rm j, \ alle \ anderen \ 0$,
+- $D_{3} = +1 - {\rm j}, \ D_{13} = +1 + \rm j, \ alle \ anderen \ 0$,
-+ $D_{3} = -1 - {\rm j}, D_{13} = -1 + \rm j, \ alle \ anderen \ 0$.
++ $D_{3} = -1 - {\rm j}, \ D_{13} = -1 + \rm j, \ alle \ anderen \ 0$.
-{Wie lauten die Spektralkoeffizienten bei der Belegung $\boldsymbol{\rm C}$ mit $(\boldsymbol{\rm C}) = (\boldsymbol{\rm A}) + (\boldsymbol{\rm B})?$
+{Wie lauten die Spektralkoeffizienten bei der Belegung&nbsp; $\boldsymbol{\rm C}$&nbsp; mit&nbsp; $\boldsymbol{\rm C} = \boldsymbol{\rm A} + \boldsymbol{\rm B}?$
-|type="[]"}
+|type="()"}
 + $D_{1} = 1 + {\rm j}, \ D_{3} = -1 -{\rm  j}, \ D_{13} = -1 +{\rm  j}, \ D_{15} = 1 - {\rm j}$,
 - $D_{k} = (-1)^k + {\rm j} \cdot (–1)^{k+1}$.
-{Wie groß ist der Crestfaktor $(s_{\rm max}/s_{\rm eff})$ bei der Belegung $\boldsymbol{\rm C}$?
+{Wie groß ist der Crestfaktor&nbsp; $(s_{\rm max}/s_{\rm eff})$&nbsp; bei der Belegung&nbsp; $\boldsymbol{\rm C}$?
 |type="{}"}
 $s_{\rm max}/s_{\rm eff} \ = \ ${ 1.85 3% }

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 *Man bezeichnet als den ''Crestfaktor'' (oder den Scheitelfaktor) eines Signals das Verhältnis von Maximalwert und Effektivwert.
 *Sie können Ihre Lösung mit dem interaktiven Applet  [[Applets:Diskrete_Fouriertransformation_(Applet)|Diskrete Fouriertransformation]] überprüfen.
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

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	*Man bezeichnet als den ''Crestfaktor'' (oder den Scheitelfaktor) eines Signals das Verhältnis von Maximalwert und Effektivwert.		*Man bezeichnet als den ''Crestfaktor'' (oder den Scheitelfaktor) eines Signals das Verhältnis von Maximalwert und Effektivwert.
	*Sie können Ihre Lösung mit dem interaktiven Applet [[Applets:Diskrete_Fouriertransformation_(Applet)\|Diskrete Fouriertransformation]] überprüfen.		*Sie können Ihre Lösung mit dem interaktiven Applet [[Applets:Diskrete_Fouriertransformation_(Applet)\|Diskrete Fouriertransformation]] überprüfen.
		+	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

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 Bei ADSL/DMT gilt $N = 512$ und $f_{0} = 4.3125 \ \rm kHz$. In dem hier betrachteten Beispiel seien die Parameter zur Vereinfachung wie folgt angenommen:
 :$$N = 16,\hspace{0.2cm}\Delta t = 10\,{\rm &micro;  s} \hspace{0.05cm}.$$
-In der obigen Tabelle sind für drei verschiedene $D_{k}$–Belegungen die Abtastwerte $s_{l} (l = 0$, ... , $15)$ nach der IDFT angegeben. Gesucht sind die zugehörigen Spektralkoeffizienten $D_{k} (k = 0$, ... , $15).$
+In der obigen Tabelle sind für drei verschiedene $D_{k}$–Belegungen die Abtastwerte $s_{l} (l = 0$, ... , $15)$ nach der IDFT angegeben. Gesucht sind die zugehörigen Spektralkoeffizienten $D_{k}\  (k = 0$, ... , $15).$
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 { Wieviele Nutzer $(K)$ können mit diesem System versorgt werden?
 |type="{}"}
-$K \ = \ ${ 7 3% }
+$K \ = \ ${ 7 }
 {Wie groß ist die Bandbreite $B$ des betrachteten DMT–Systems?
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 $B \ = \ ${ 50 3% } $\ \rm kHz $
-{Wie lauten die Spektralkoeffizienten bei Belegung $\boldsymbol{\rm A}$?
+{Wie lauten die Spektralkoeffizienten bei der Belegung $\boldsymbol{\rm A}$?
-|type="[]"}
+|type="()"}
-- $D_{1} = 1 – \rm j, \ alle \ anderen \ 0,$
+- $D_{1} = 1- \rm j, \ alle \ anderen \ 0,$
-+ $D_{1} = 1 + {\rm j}, D_{15} = 1 – \rm j, \ alle \ anderen \ 0,$
++ $D_{1} = 1 + {\rm j}, D_{15} = 1 - \rm j, \ alle \ anderen \ 0,$
 - $D_{1} = 1 + {\rm j}, D_{15} = 1 + \rm j, \ alle \ anderen \ 0.$
-{Wie lauten die Spektralkoeffizienten bei Belegung $\boldsymbol{\rm B}$?
+{Wie lauten die Spektralkoeffizienten bei der Belegung $\boldsymbol{\rm B}$?
 |type="[]"}
-- $D_{2} = –1 – {\rm j}, D_{14} = –1 + \rm j, \ alle \ anderen \ 0$,
+- $D_{2} = -1 - {\rm j}, D_{14} = -1 + \rm j, \ alle \ anderen \ 0$,
-- $D_{3} = 1 – {\rm j}, D_{13} = 1 + \rm j, \ alle \ anderen \ 0$,
+- $D_{3} = 1 - {\rm j}, D_{13} = 1 + \rm j, \ alle \ anderen \ 0$,
-+ $D_{3} = –1 – {\rm j}, D_{13} = –1 + \rm j, \ alle \ anderen \ 0$.
++ $D_{3} = -1 - {\rm j}, D_{13} = -1 + \rm j, \ alle \ anderen \ 0$.
-{Wie lauten die Spektralkoeffizienten bei Belegung $\boldsymbol{\rm C}$ mit $(\boldsymbol{\rm C}) = (\boldsymbol{\rm A}) + (\boldsymbol{\rm B})?$
+{Wie lauten die Spektralkoeffizienten bei der Belegung $\boldsymbol{\rm C}$ mit $(\boldsymbol{\rm C}) = (\boldsymbol{\rm A}) + (\boldsymbol{\rm B})?$
 |type="[]"}
-+ $D_{1} = 1 + {\rm j}, \ D_{3} = –1 –{\rm  j}, \ D_{13} = –1 +{\rm  j}, \ D_{15} = 1 – {\rm j}$,
++ $D_{1} = 1 + {\rm j}, \ D_{3} = -1 -{\rm  j}, \ D_{13} = -1 +{\rm  j}, \ D_{15} = 1 - {\rm j}$,
-- $D_{k} = (–1)^k + {\rm j} \cdot (–1)^{k+1}$.
+- $D_{k} = (-1)^k + {\rm j} \cdot (–1)^{k+1}$.
-{Wie groß ist der Crestfaktor (CF) bei der Belegung $C$?
+{Wie groß ist der Crestfaktor $(s_{\rm max}/s_{\rm eff})$ bei der Belegung $\boldsymbol{\rm C}$?
 |type="{}"}
-$\rm Belegung \ C: \ CF \ = \ ${ 1.85 3% }
+$s_{\rm max}/s_{\rm eff} \ = \ ${ 1.85 3% }
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 '''(1)'''&nbsp; Das System ist für $K = N/2 – 1 \underline{= 7 \ {\rm Nutzer}}$ ausgelegt $(N = 16)$.
-'''(3)'''&nbsp; Richtig ist <u>der zweite Lösungsvorschlag</u>. Aus den $16$ Abtastwerten $s_{l}$ in der ersten Spalte der Tabelle erkennt man, dass $s(t)$ eine harmonische Schwingung mit der Periodendauer $T_{0} = T$ beschreibt (nur eine Schwingung). Die Amplitude ist gleich $2.828$ (zweimal Wurzel aus 2) und die Phase beträgt $\phi_0 = 45° \ (π/4)$. Damit kann für das zeitkontinuierliche Signal geschrieben werden (mit   $f_{0} = 1/T$):
+'''(2)'''&nbsp; Die Rahmendauer $T$ ergibt sich zu $N \cdot \Delta t = 0.16 \rm ms$.
 :$$s(t) = 2 \cdot \sqrt{2}\cdot \cos(2\pi f_0 t + \pi /4) \hspace{0.05cm}.$$
-Mit der angegebenen trigonometrischen Umformung und ${\rm cos} \ (π/4) \ = \ {\rm sin} \ (π/4) \ = \ 2^{–0.5}$ gilt weiterhin:
+*Mit der angegebenen trigonometrischen Umformung und ${\rm cos} \ (π/4) \ = \ {\rm sin} \ (π/4) \ = \ \sqrt{2}$ gilt weiterhin:
 :$$s(t) = 2 \cdot \cos(2\pi f_0 t ) - 2 \cdot \sin(2\pi f_0 t ) \hspace{0.05cm}.$$
-Ein Koeffizientenvergleich mit der weiteren Gleichung
+*Ein Koeffizientenvergleich mit der weiteren Gleichung
-:$$s(t) = \sum_{k = 1}^{K} \left [ 2 \cdot {\rm Re}\{D_k\} \cdot \cos(2\pi \cdot k f_0 \cdot t ) - 2 \cdot {\rm Im}\{D_k\} \cdot \sin(2\pi \cdot k f_0 \cdot t )\right ] \hspace{0.05cm}$$
+:$$s(t) = \sum_{k = 1}^{K} \left [ 2 \cdot {\rm Re}[D_k] \cdot \cos(2\pi \cdot k f_0 \cdot t ) - 2 \cdot {\rm Im}[D_k] \cdot \sin(2\pi \cdot k f_0 \cdot t )\right ] \hspace{0.05cm}$$
-liefert das Ergebnis:
+:liefert das Ergebnis:
-:$$2 \cdot {\rm Re}\{D_1\} = 2 \hspace{0.3cm} \ \Rightarrow \ \hspace{0.3cm} {\rm Re}\{D_1\} = 1\hspace{0.05cm},$$
+:$$2 \cdot {\rm Re}[D_1] = 2 \hspace{0.3cm} \ \Rightarrow \ \hspace{0.3cm} {\rm Re}[D_1] = 1\hspace{0.05cm},$$
-:$$2 \cdot {\rm Im}\{D_1\} = 2 \hspace{0.3cm} \ \Rightarrow \ \hspace{0.3cm} {\rm Im}\{D_1\} = 1\hspace{0.05cm}.$$
+:$$2 \cdot {\rm Im}[D_1] = 2 \hspace{0.3cm} \ \Rightarrow \ \hspace{0.3cm} {\rm Im}[D_1] = 1\hspace{0.05cm}.$$
-Weiterhin ist zu beachten, dass der Koeffizient $D_{15}$ mit dem konjugiert–komplexen Wert zu belegen ist:
+*Weiterhin ist zu beachten, dass der Koeffizient $D_{15}$ mit dem konjugiert–komplexen Wert zu belegen ist:
 :$$D_{15} = D_{1}^{\star} = 1 - {\rm j}\hspace{0.05cm}.$$
 Zum gleichen Ergebnis wäre man durch Auswertung der (zeitkontinuierlichen) Fouriertransformierten von $s(t)$ gekommen:
 :$$S(f) = (1 + {\rm j}) \cdot \delta (f - f_0) + (1 - {\rm j}) \cdot \delta (f + f_0)\hspace{0.05cm}.$$
-Der Koeffizient $D_1$ beschreibt das Gewicht bei der ersten Diracfunktion (also bei $f = f_0$), der Koeffizient $D_{15} = D_{–1}$ das Gewicht der Diracfunktion bei $f = –f_0$. Hierbei ist die implizite periodische Fortsetzung bei der DFT (bzw. IDFT) zu beachten.
+Der Koeffizient $D_1$ beschreibt das Gewicht bei der ersten Diracfunktion (also bei $f = f_0$), der Koeffizient $D_{15} = D_{-1}$ das Gewicht der Diracfunktion bei $f = -f_0$. Hierbei ist die implizite periodische Fortsetzung bei der DFT (bzw. IDFT) zu beachten.
-'''(4)'''&nbsp;  Zeichnet man sich die Abtastwerte $s_l$ auf, so erkennt man nun die 3–fache Frequenz. Unter anderem aus dem Vergleich von $s_2$ und $s_10$ ergibt sich:
+'''(4)'''&nbsp;  Richtig ist <u>der Lösungsvorschlag 3</u>, wobei nun $D_{13} = D_{3}^∗$ zu berücksichtigen ist.
-:$$8 \cdot \Delta t = \frac{T}{2} = 1.5 \cdot T_0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} T_0 = \frac{T}{3}\hspace{0.05cm}.$$
+*Zeichnet man die Abtastwerte $s_l$ auf, so erkennt man nun die 3–fache Frequenz. Zum Beispiel  ergibt sich aus dem Vergleich von $s_2$ und $s_{10}$:
-Die Amplitude ist gegenüber der Belegung $A$ unverändert. Die Phase $\phi_0$ erkennt man aus dem ersten Maximum bei $l = 2$:
+:$$8 \cdot \Delta t ={T}/{2} = 1.5 \cdot T_0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} T_0 = {T}/{3}\hspace{0.05cm}.$$
-:$$ s(t) \ = \ 2 \cdot \sqrt{2}\cdot \cos(2\pi \cdot 3 f_0 \cdot ( t - 2 \cdot \Delta t)) = $$
+*Die Amplitude ist gegenüber der Belegung $\boldsymbol{\rm A}$ unverändert. Die Phase $\phi_0$ erkennt man aus dem ersten Maximum bei $l = 2$:
-:$$ \hspace{0.85cm} = \ 2 \cdot \sqrt{2}\cdot \cos(2\pi \cdot 3 f_0 \cdot t + \phi_0), \hspace{0.3cm} \phi_0 = 12 \pi \cdot \frac{\Delta t}{T} = \frac{3 \pi}{4} \hspace{0.05cm}.$$
+:$$ s(t) \ = \ 2 \cdot \sqrt{2}\cdot \cos(2\pi \cdot 3 f_0 \cdot ( t - 2 \cdot \Delta t)) =  \ 2 \cdot \sqrt{2}\cdot \cos(2\pi \cdot 3 f_0 \cdot t + \phi_0), \hspace{0.3cm} \phi_0 = 12 \pi \cdot \frac{\Delta t}{T} = \frac{3 \pi}{4} \hspace{0.05cm}.$$
-Nach gleicher Vorgehensweise wie bei Aufgabe 3) erhält man nun mit $ {\rm cos}(3π/4) \ = \ sin(3π/4) = –2^{–0.5}$:
+*Nach gleicher Vorgehensweise wie bei Aufgabe 3) erhält man nun mit $ {\rm cos}(3π/4) \ = \sin(3π/4) = –\sqrt{2}/2$:
 :$${\rm Re}\{D_3\} = -1, \hspace{0.2cm} {\rm Im}\{D_3\} = -1\hspace{0.05cm}.$$
-'''(5)'''&nbsp; Richtig ist hier <u>der erste Lösungsvorschlag</u>. Aufgrund der Linearität der IDFT ergeben sich die Koeffizienten $D_1, D_3, D_{13}$ und $D_{15}$ entsprechend den Ergebnissen von 5) und 4).
 '''(6)'''&nbsp; Die Belegung $\boldsymbol{\rm C}$ führt zu der Summe zweier harmonischer Schwingungen (mit $f_0$ bzw. $3f_0$), jeweils mit gleicher Amplitude $A$. Somit ergibt sich für die mittlere Signalleistung:
@@ Zeile 111: / Zeile 122: @@
 :$$s_{\rm eff} = \sqrt{P_{\rm S}} = A = 2.828\hspace{0.05cm}.$$
 Der Maximalwert ist aus der Tabelle ablesbar:
-:$$s_{\rm max} = 5.226\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm CF} = \frac{5.226}{2.828} \hspace{0.15cm} \underline{\approx 1.85 \hspace{0.05cm}}.$$
+:$$s_{\rm max} = 5.226\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{\rm max}/s_{\rm eff} = \frac{5.226}{2.828} \hspace{0.15cm} \underline{\approx 1.85 \hspace{0.05cm}}.$$
-Dagegen würde bei den beiden Belegungen $\boldsymbol{\rm A}$ und $\boldsymbol{\rm B}$ jeweils ${\rm CF} = 2^{0.5} = 1.414$ gelten.
+Dagegen würde bei den beiden Belegungen $\boldsymbol{\rm A}$ und $\boldsymbol{\rm B}$ jeweils $s_{\rm max}/s_{\rm eff}= \sqrt{2} = 1.414$ gelten.

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	===Fragebogen===		===Fragebogen===
	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
		+	{ Wieviele Nutzer $(K)$ können mit diesem System versorgt werden?
		+	\|type="{}"}
		+	$K \ = \ ${ 7 3% }

		+	{Wie groß ist die Bandbreite $B$ des betrachteten DMT–Systems?
		+	\|type="{}"}
		+	$B \ = \ ${ 50 3% } $\ \rm kHz $

		+	{Wie lauten die Spektralkoeffizienten bei Belegung $\boldsymbol{\rm A}$?
		+	\|type="[]"}
		+	- $D_{1} = 1 – \rm j, \ alle \ anderen \ 0,$
		+	+ $D_{1} = 1 + {\rm j}, D_{15} = 1 – \rm j, \ alle \ anderen \ 0,$
		+	- $D_{1} = 1 + {\rm j}, D_{15} = 1 + \rm j, \ alle \ anderen \ 0.$
		+
		+	{Wie lauten die Spektralkoeffizienten bei Belegung $\boldsymbol{\rm B}$?
		+	\|type="[]"}
		+	- $D_{2} = –1 – {\rm j}, D_{14} = –1 + \rm j, \ alle \ anderen \ 0$,
		+	- $D_{3} = 1 – {\rm j}, D_{13} = 1 + \rm j, \ alle \ anderen \ 0$,
		+	+ $D_{3} = –1 – {\rm j}, D_{13} = –1 + \rm j, \ alle \ anderen \ 0$.
		+
		+	{Wie lauten die Spektralkoeffizienten bei Belegung $\boldsymbol{\rm C}$ mit $(\boldsymbol{\rm C}) = (\boldsymbol{\rm A}) + (\boldsymbol{\rm B})?$
		+	\|type="[]"}
		+	+ $D_{1} = 1 + {\rm j}, \ D_{3} = –1 –{\rm j}, \ D_{13} = –1 +{\rm j}, \ D_{15} = 1 – {\rm j}$,
		+	- $D_{k} = (–1)^k + {\rm j} \cdot (–1)^{k+1}$.
		+
		+
		+	{Wie groß ist der Crestfaktor (CF) bei der Belegung $C$?
		+	\|type="{}"}
		+	$\rm Belegung \ C: \ CF \ = \ ${ 1.85 3% }