Aufgabe 1.6Z: Rayleigh und Rice im Vergleich - Versionsgeschichte

Guenter am 17. Februar 2022 um 14:14 Uhr

2022-02-17T14:14:30Z

Guenter am 12. Februar 2021 um 13:50 Uhr

2021-02-12T13:50:53Z

Guenter am 12. Mai 2020 um 15:42 Uhr

2020-05-12T15:42:40Z

Guenter am 12. Mai 2020 um 15:20 Uhr

2020-05-12T15:20:14Z

Guenter am 12. Mai 2020 um 15:15 Uhr

2020-05-12T15:15:57Z

Guenter am 6. April 2019 um 14:24 Uhr

2019-04-06T14:24:35Z

Guenter am 6. April 2019 um 14:13 Uhr

2019-04-06T14:13:46Z

Guenter am 6. April 2019 um 14:03 Uhr

2019-04-06T14:03:59Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:18:33Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 4. Dezember 2017 um 13:24 Uhr

2017-12-04T13:24:01Z

@@ Zeile 10: / Zeile 10: @@
 :$$f_a(a) = {a}/{\sigma^2} \cdot {\rm e}^{  -{a^2 }/({2\sigma^2})} \hspace{0.05cm}.$$
-:Der quadratische Erwartungswert von&nbsp; $z(t)$&nbsp; ist &nbsp;$1$:
+:Das Moment zweiter Ordnung, gleichzeitig der quadratische Erwartungswert von&nbsp; $z(t)$&nbsp; ist &nbsp;$1$:
 :$${\rm E}\left [ |z(t)|^2 \right ] = 2  \sigma^2 = 1 \hspace{0.3cm}
 \Rightarrow \hspace{0.3cm}
@@ Zeile 19: / Zeile 19: @@
 :$$f_a(a) ={a}/{\sigma^2} \cdot {\rm e}^{  -{(a^2+ |z_0|^2) }/({2\sigma^2})}\cdot {\rm I}_0 \left [ {a \cdot |z_0|}/{\sigma^2} \right ]\hspace{0.05cm}.$$
-:Der quadratische Mittelwert beinhaltet nun auch die Direktkomponente&nbsp; $z_0 = x_0 + {\rm j} \cdot y_0$:
+:Der quadratische Erwartungswert beinhaltet nun auch die Direktkomponente&nbsp; $z_0 = x_0 + {\rm j} \cdot y_0$:
 :$${\rm E}\left [ |z(t)|^2 \right ] = 2 \cdot \sigma^2 + |z_0|^2 \hspace{0.05cm}.$$
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-'''(2)'''&nbsp; Beim gegebenem Rayleigh&ndash;Fading beträgt der Parameter&nbsp; $\sigma^2 = 0.5$.&nbsp; Damit ergibt sich für den quadratischen Mittelwert des multiplikativen Faktors&nbsp; $z(t)$:
+'''(2)'''&nbsp; Beim gegebenem Rayleigh&ndash;Fading beträgt der Parameter&nbsp; $\sigma^2 = 0.5$.&nbsp; Damit ergibt sich für den quadratischen Erwartungswert des multiplikativen Faktors&nbsp; $z(t)$:
 :$${\rm E}\left [ |z(t)|^2 \right ] = 2  \sigma^2 = 1
     \hspace{0.05cm}.$$

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 {{quiz-Header|Buchseite=Mobile Kommunikation/Nichtfrequenzselektives Fading mit Direktkomponente}}
-[[Datei:P_ID2135__Mob_Z_1_6.png|right|frame|Phasendiagramm des Faktors&nbsp; $z(t)$&nbsp; bei Rayleigh und Rice]]
+[[Datei:P_ID2135__Mob_Z_1_6.png|right|frame|Phasendiagramm des Faktors&nbsp; $z(t) = x(t) + {\rm j} \cdot y(t)$&nbsp; <br>bei Rayleigh und Rice]]
 In dieser Aufgabe sollen&nbsp; <i>Rayleigh&ndash;Fading</i>&nbsp; und&nbsp; <i>Rice&ndash;Fading</i>&nbsp; miteinander verglichen werden.

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
-*Der erste Vorschlag liefert ein <i>Rayleigh&ndash;Fading</i>&ndash;Modell. Mit der letzten Einstellung ergäbe sich:
+*Der erste Vorschlag liefert ein <i>Rayleigh&ndash;Fading</i>&ndash;Modell.&nbsp; Mit der letzten Einstellung ergäbe sich:
-:$$|z(t)| = {\rm j}  \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} r(t) = s(t) \cdot z(t) = {\rm j} \cdot s(t)
+:$$z(t) = {\rm j}  \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} r(t) = s(t) \cdot z(t) = {\rm j} \cdot s(t)
     \hspace{0.05cm}.$$
-*Berücksichtigen wir, dass wir uns im äquivalenten Tiefpassbereich befinden, so würde dann bei einem cosinusförmigen Eingang ein minus&ndash;sinusförmiges Ausgangssignal $r_{\rm BP}(t)$ auftreten.
+*Berücksichtigen wir, dass wir uns im äquivalenten Tiefpassbereich befinden, so würde dann bei einem cosinusförmigen Eingang ein minus&ndash;sinusförmiges Ausgangssignal&nbsp; $r_{\rm BP}(t)$&nbsp; auftreten.
 *Dagegen gilt mit dem Lösungsvorschlag 2 für alle möglichen Signale:
 :$$|z(t)| = x_0 = 1  \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} r(t) = s(t)
@@ Zeile 93: / Zeile 93: @@
-'''(2)'''&nbsp; Beim gegebenem <i>Rayleigh&ndash;Fading</i> beträgt der Parameter $\sigma^2 = 0.5$. Damit ergibt sich für den quadratischen Mittelwert des multiplikativen Faktors $z(t)$:
 :$${\rm E}\left [ |z(t)|^2 \right ] = 2  \sigma^2 = 1
     \hspace{0.05cm}.$$
-Das <i>Rice&ndash;Fading</i> soll genau die gleiche Leistung besitzen. Das heißt, es soll gelten:
+*Das Rice&ndash;Fading soll genau die gleiche Leistung besitzen.&nbsp; Das heißt, es soll gelten:
 :$$|z_0|^2 + 2  \sigma^2 = 1
     \hspace{0.05cm}.$$
 Weiterhin wurde gefordert:
-* Das Verhältnis der Leistungen von deterministischen Anteil ($|z_0|^2$) und stochastischem Anteil ($2\sigma^2$) sei $4$. Daraus folgt:
+* Das Verhältnis der Leistungen von deterministischen Anteil&nbsp; $(|z_0|^2)$&nbsp; und stochastischem Anteil&nbsp; $(2\sigma^2)$&nbsp; sei&nbsp; $4$.&nbsp; Daraus folgt:
 :$$2  \sigma^2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \sigma^2 = 0.1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}     \sigma = \frac{1}{\sqrt{10}} \hspace{0.25cm} \underline{ \approx 0.316} \hspace{0.05cm},$$
 :$$|z_0|^2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.8 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} |z_0| = 0.894
     \hspace{0.05cm}.$$
-* Die Aufteilung von $z_0 = x_0 + {\rm j} \cdot y_0$ ergibt sich aus der Grafik. Man erkennt, dass $y_0 = x_0$ sein muss (Mittelpunkt der Wolke im ersten Quadranten unter $45^\circ$):
+* Die Aufteilung von&nbsp; $z_0 = x_0 + {\rm j} \cdot y_0$&nbsp; ergibt sich aus der Grafik.&nbsp; Man erkennt, dass&nbsp; $y_0 = x_0$&nbsp; sein muss&nbsp; $($Mittelpunkt der Wolke im ersten Quadranten unter $45^\circ)$:
 :$$x_0 = y_0 = \frac{|z_0|}{\sqrt{2}} = \frac{0.894}{\sqrt{2}} \hspace{0.25cm} \underline{ \approx 0.632} \hspace{0.05cm}.$$
-'''(3)'''&nbsp; Der Bereich &bdquo;$20 \cdot {\rm lg} \, |z(t)| &#8804; \, &ndash;6 \ \rm dB$&rdquo; ist gleich bedeutend mit &bdquo;$|z(t)|&#8804;0.5$&rdquo;.
+'''(3)'''&nbsp; Der Bereich&nbsp; &bdquo;$20 \cdot {\rm lg} \, |z(t)| &#8804; \, &ndash;6 \ \rm dB$&rdquo;&nbsp; ist gleich bedeutend mit&nbsp; &bdquo;$|z(t)|&#8804;0.5$&rdquo;.
 *Dieser Bereich ist in der Grafik auf der Angabenseite durch den violetten Kreis markiert.
-*Man erkennt daraus, dass die <u>Aussage 1 richtig</u> ist, da sich bei Rayleigh mehr Punkte innerhalb des violetten Kreises befinden.
+*Man erkennt daraus, dass die&nbsp; <u>Aussage 1 richtig</u>&nbsp; ist, da sich bei Rayleigh mehr Punkte innerhalb des violetten Kreises befinden.
-[[Datei:P_ID2136__Mob_Z_1_6c.png|right|frame|Signalausschnitt und WDF $f_a(a)$ bei Rayleigh und Rice]]
+[[Datei:P_ID2136__Mob_Z_1_6c.png|right|frame|Signalausschnitt und WDF&nbsp; $f_a(a)$&nbsp; bei Rayleigh (blau) und Rice (rot)]]
-Diese Grafik zeigt das Ergebnis einer Systemsimulation mit dem Programm &bdquo;Mobilfunkkanal&rdquo; aus dem (früheren) Praktikum &bdquo;Simulation digitaler Übertragungssysteme&rdquo;.
+Die Grafik rechts zeigt das Ergebnis einer Systemsimulation mit dem Programm &bdquo;Mobilfunkkanal&rdquo; aus dem (früheren) Praktikum &bdquo;Simulation digitaler Übertragungssysteme&rdquo;.
-*Sowohl aus dem Signalausschnitt als auch aus der WDF erkennt man, dass die blaue Kurve (Rayleigh) mehr Anteile unter der violetten Kurve besitzt als die rote Kurve (Rice).
 <br clear=all>
 '''(4)'''&nbsp; Richtig ist <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
@@ Zeile 125: / Zeile 127: @@
    \hspace{0.05cm}.$$
-*Aus der Grafik erahnt man, dass sich für die Riceverteilung (mit den gewählten Parametern) etwa die gleiche Unterschreitungswahrscheinlichkeit ergibt.
+*Aus der Grafik erahnt man, dass sich für die Riceverteilung&nbsp; (mit den gewählten Parametern)&nbsp; etwa die gleiche Unterschreitungswahrscheinlichkeit ergibt.
-*Auch aus der komplexen Darstellung von $z(t)$ auf der Angabenseite ist dieses Ergebnis zu erahnen (leichter dann, wenn man das Ergebnis schon kennt).
+*Auch aus der komplexen Darstellung von&nbsp; $z(t)$&nbsp; auf der Angabenseite ist dieses Ergebnis zu erahnen&nbsp; (leichter dann, wenn man das Ergebnis schon kennt).
-* Unter anderem deshalb, weil die Spitze der Gaußwolke noch innerhalb des grünen Kreises liegt.
+* Unter anderem deshalb, weil die Spitze der gaußähnlichen Wolke noch innerhalb des grünen Kreises liegt.
-[[Datei:P_ID2137__Mob_Z_1_6e.png|right|frame|Komplexes Empfangssignal $r(t)$ bei Rayleigh und Rice]]
+[[Datei:P_ID2137__Mob_Z_1_6e.png|right|frame|Komplexes Empfangssignal&nbsp; $r(t)$&nbsp; bei Rayleigh und Rice]]
 '''(5)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
-* Bei <i>Rice&ndash;Fading</i> liegt die Punktwolke von $z(t)$ im ersten Quadranten. Multipliziert man $z(t)$ mit $s(t) = &plusmn;1$, so erhält man zwei Punktwolken im ersten und dritten Quadranten. An der WDF $f_a(a)$ des Betrags ändert sich dadurch nichts.
+* Bei Rice&ndash;Fading liegt die Punktwolke von&nbsp; $z(t)$&nbsp; im ersten Quadranten.&nbsp; Multipliziert man&nbsp; $z(t)$&nbsp; mit&nbsp; $s(t) = &plusmn;1$, so erhält man zwei Punktwolken im ersten und dritten Quadranten.&nbsp; An der WDF&nbsp; $f_a(a)$&nbsp; des Betrags ändert sich dadurch nichts.
-* Auch beim <i>Rayleigh&ndash;Fading</i> weisen die Dichtefunktionen $f_a(a)$ des Betrags für $|z(t)|$ und $|r(t)|$ keine Unterschiede auf. Da zudem die Phase $\phi$ gleichverteilt ist, ergeben sich im Endergebnis auch gleiche Punktwolken.
+* Auch beim Rayleigh&ndash;Fading weisen die Dichtefunktionen&nbsp; $f_a(a)$&nbsp; des Betrags für&nbsp; $|z(t)|$&nbsp; und&nbsp; $|r(t)|$&nbsp; keine Unterschiede auf.&nbsp; Da zudem die Phase&nbsp; $\phi$&nbsp; gleichverteilt ist, ergeben sich im Endergebnis auch gleiche Punktwolken.
-*Betrachtet man allerdings die Entstehung der komplexen Darstellung von $z(t)$ und $r(t)$ dynamisch, so gibt es sehr wohl Unterschiede.
+*Betrachtet man allerdings die Entstehung der komplexen Darstellung von&nbsp; $z(t)$&nbsp; und&nbsp; $r(t)$&nbsp; dynamisch, so gibt es sehr wohl Unterschiede.
-*Bei der komplexen Darstellung von $r(t)$ treten größere Sprünge auf, immer dann, wenn es im Sendesignal $s(t)$ zu Phasensprüngen um $&plusmn;180^\circ$ kommt, also bei Symbolwechseln.
+*Bei der komplexen Darstellung von&nbsp; $r(t)$&nbsp; treten größere Sprünge auf, immer dann, wenn es im Sendesignal&nbsp; $s(t)$&nbsp; zu Phasensprüngen um&nbsp; $&plusmn;180^\circ$&nbsp; kommt, also bei Symbolwechseln.
-*Somit unterscheiden sich bei Rice&ndash;Fading auch ${\it \Phi}_z(f_{\rm D})$ und ${\it \Phi}_r(f_{\rm D})$ &ndash; letzteres ist breiter &ndash; und dementsprechend auch die zugehörigen Autokorrelationsfunktion.
+*Somit unterscheiden sich bei Rice&ndash;Fading auch&nbsp; ${\it \Phi}_z(f_{\rm D})$&nbsp; und&nbsp; ${\it \Phi}_r(f_{\rm D})$&nbsp; &ndash; letzteres ist breiter &ndash; und dementsprechend auch die zugehörigen AKF.

@@ Zeile 24: / Zeile 24: @@
 Für den Systemvergleich
 * ist von konstantem&nbsp; ${\rm E}\big[|z(t)|^2\big] = 1$&nbsp; auszugehen,
-* wird beim <i>Rice&ndash;Fading</i> von der aus der Grafik erkennbaren Vorzugsrichtung ausgegangen,
+* wird beim&nbsp; <i>Rice&ndash;Fading</i>&nbsp; von der aus der Grafik erkennbaren Vorzugsrichtung ausgegangen,
 * sei die Leistung zwischen dem Direktpfad&nbsp; $(|z_0|^2)$&nbsp; und den Streupfaden &nbsp;$(2\sigma^2)$&nbsp; im Verhältnis &nbsp;$4:1$&nbsp; aufgeteilt.
-Für die Teilaufgaben '''(1)''' bis '''(4)''' gelte&nbsp; $s(t) = 1$, während in den Teilaufgaben '''(5)''' bzw. '''(6)''' ein BPSK&ndash;Signal vorausgesetzt wird. Das Tiefpass&ndash;Signal&nbsp; $s(t)$&nbsp; hat somit einen rechteckförmigen Verlauf mit den möglichen Werten&nbsp; $&plusmn;1$. Die Dauer eines Rechteckimpulses sei&nbsp; $T = 10 \ \rm ms$.
+Für die Teilaufgaben&nbsp; '''(1)'''&nbsp; bis&nbsp; '''(4)'''&nbsp; gelte&nbsp; $s(t) = 1$, während in den Teilaufgaben&nbsp; '''(5)'''&nbsp; bzw.&nbsp; '''(6)'''&nbsp; ein BPSK&ndash;Signal vorausgesetzt wird.&nbsp; Das Tiefpass&ndash;Signal&nbsp; $s(t)$&nbsp; hat somit einen rechteckförmigen Verlauf mit den möglichen Werten&nbsp; $&plusmn;1$.&nbsp; Die Dauer eines Rechteckimpulses sei&nbsp; $T = 10 \ \rm ms$.
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 ''Hinweise:''
 * Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Nichtfrequenzselektives_Fading_mit_Direktkomponente| Nichtfrequenzselektives Fading mit Direktkomponente]].
-* Die in der Grafik eingezeichneten Kreise (violett und grün) beziehen sich auf die Teilaufgaben '''(3)''' und '''(4)'''.
+* Die in der Grafik eingezeichneten Kreise&nbsp; (violett und grün)&nbsp; beziehen sich auf die Teilaufgaben&nbsp; '''(3)'''&nbsp; und&nbsp; '''(4)'''.

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 {{quiz-Header|Buchseite=Mobile Kommunikation/Nichtfrequenzselektives Fading mit Direktkomponente}}
-[[Datei:P_ID2135__Mob_Z_1_6.png|right|frame|Phasendiagramm des Faktors&nbsp; $z(t) = x(t) + {\rm j} \cdot y(t)$&nbsp; <br>bei Rayleigh und Rice]]
+[[Datei:P_ID2135__Mob_Z_1_6.png|right|frame|Phasendiagramm des Faktors&nbsp; $z(t)$&nbsp; bei Rayleigh und Rice]]
-In dieser Aufgabe sollen <i>Rayleigh&ndash;Fading</i> und <i>Rice&ndash;Fading</i> miteinander verglichen werden.
+In dieser Aufgabe sollen&nbsp; <i>Rayleigh&ndash;Fading</i>&nbsp; und&nbsp; <i>Rice&ndash;Fading</i>&nbsp; miteinander verglichen werden.
-Die Grafik zeigt den komplexen Faktor&nbsp; $z(t) = x(t) + {\rm j} \cdot y(t)$&nbsp; in der komplexen Ebene. Für das Tiefpass&ndash;Sendesignal&nbsp; $s(t) = 1$, was bezüglich eines Bandpass&ndash;Systems einer Cosinusschwingung mit der Amplitude&nbsp; $1$&nbsp; entspricht, ist das Tiefpass&ndash;Empfangssignal&nbsp; $r(t)$&nbsp; identisch mit&nbsp; $z(t)$.
+Die Grafik zeigt den komplexen Faktor&nbsp; $z(t) = x(t) + {\rm j} \cdot y(t)$&nbsp; in der komplexen Ebene.&nbsp; Für das Tiefpass&ndash;Sendesignal&nbsp; $s(t) = 1$, was bezüglich eines Bandpass&ndash;Systems einer Cosinusschwingung mit der Amplitude&nbsp; $1$&nbsp; entspricht, ist das Tiefpass&ndash;Empfangssignal&nbsp; $r(t)$&nbsp; identisch mit&nbsp; $z(t)$.
-*Das obere Diagramm beschreibt&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Wahrscheinlichkeitsdichte_des_Rayleigh%E2%80%93Fadings#Beispielhafte_Signalverl.C3.A4ufe_bei_Rayleigh.E2.80.93Fading| Rayleigh&ndash;Fading]], wobei die Komponentensignale&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $y(t)$&nbsp; jeweils gaußverteilt sind mit der Varianz&nbsp; $\sigma^2$. Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion des Betrags&nbsp; $a(t) = |z(t)|$&nbsp; lautet für&nbsp; $a &#8805; 0$:
+*Das obere Diagramm beschreibt&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Wahrscheinlichkeitsdichte_des_Rayleigh%E2%80%93Fadings#Beispielhafte_Signalverl.C3.A4ufe_bei_Rayleigh.E2.80.93Fading| Rayleigh&ndash;Fading]], wobei die Komponentensignale&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $y(t)$&nbsp; jeweils gaußverteilt sind mit der Varianz&nbsp; $\sigma^2$.&nbsp; Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion des Betrags&nbsp; $a(t) = |z(t)|$&nbsp; lautet für&nbsp; $a &#8805; 0$:
-:$$f_a(a) = \frac{a}{\sigma^2} \cdot {\rm exp} [ -\frac{a^2 }{2\sigma^2}] \hspace{0.05cm}.$$
+:$$f_a(a) = {a}/{\sigma^2} \cdot {\rm e}^{  -{a^2 }/({2\sigma^2})} \hspace{0.05cm}.$$
 :Der quadratische Erwartungswert von&nbsp; $z(t)$&nbsp; ist &nbsp;$1$:
@@ Zeile 16: / Zeile 16: @@
     \hspace{0.05cm}.$$
-*Das untere Phasendiagramm entsteht bei&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Nichtfrequenzselektives_Fading_mit_Direktkomponente#Beispielhafte_Signalverl.C3.A4ufe_bei_Rice.E2.80.93Fading|Rice&ndash;Fading]]. Auch hier sind&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $y(t)$&nbsp; gaußverteilt mit der Varianz&nbsp; $\sigma^2$, aber nun mit Mittelwert&nbsp; $x_0$&nbsp; bzw.&nbsp; $y_0$. Die WDF lautet mit der modifizierten Besselfunktion&nbsp; ${\rm I}_0$&nbsp; für&nbsp; $a &#8805; 0$:
+*Das untere Phasendiagramm entsteht bei&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Nichtfrequenzselektives_Fading_mit_Direktkomponente#Beispielhafte_Signalverl.C3.A4ufe_bei_Rice.E2.80.93Fading|Rice&ndash;Fading]].&nbsp; Auch hier sind&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $y(t)$&nbsp; gaußverteilt mit der Varianz&nbsp; $\sigma^2$, aber nun mit Mittelwert&nbsp; $x_0$&nbsp; bzw.&nbsp; $y_0$.&nbsp; Die WDF lautet mit der modifizierten Besselfunktion&nbsp; ${\rm I}_0$&nbsp; für&nbsp; $a &#8805; 0$:
-:$$f_a(a) = \frac{a}{\sigma^2} \cdot {\rm exp} \left[ -\frac{a^2 + |z_0|^2}{2\sigma^2}\right] \cdot {\rm I}_0 \left [ \frac{a \cdot |z_0|}{\sigma^2} \right ]\hspace{0.05cm}.$$
+:$$f_a(a) ={a}/{\sigma^2} \cdot {\rm e}^{  -{(a^2+ |z_0|^2) }/({2\sigma^2})}\cdot {\rm I}_0 \left [ {a \cdot |z_0|}/{\sigma^2} \right ]\hspace{0.05cm}.$$
 :Der quadratische Mittelwert beinhaltet nun auch die Direktkomponente&nbsp; $z_0 = x_0 + {\rm j} \cdot y_0$:

@@ Zeile 47: / Zeile 47: @@
 {Wie ergibt sich aus dem Rice&ndash;Modell ein idealer Kanal &nbsp; &#8658; &nbsp; $H(f) = 1$?
 |type="[]"}
-- $x_0 = y_0 = 0, \sigma^2 = 1$.
+- Mit&nbsp; $x_0 = y_0 = 0, \ \ \sigma^2 = 1$.
-+ Mit $x_0 = 1, y_0 = 0, \sigma^2 = 0$.
++ Mit&nbsp; $x_0 = 1, \ \ y_0 = 0, \ \ \sigma^2 = 0$.
-- Mit $x_0 = 0, y_0 = 1, \sigma^2 = 0$.
+- Mit&nbsp; $x_0 = 0, \ \ y_0 = 1, \ \ \sigma^2 = 0$.
-{Ermitteln Sie aus der komplexen $z(t)$&ndash;Darstellung auf der Angabenseite die verwendeten Rice&ndash;Parameter.
+{Ermitteln Sie aus der komplexen&nbsp; $z(t)$&ndash;Darstellung auf der Angabenseite die verwendeten Rice&ndash;Parameter.
 |type="{}"}
 $\sigma \ = \ $ { 0.316 3% }
@@ Zeile 57: / Zeile 57: @@
 $y_0 \ = \ $ { 0.632 3% }
-{Bei welchem Kanal wird ${\rm Pr}(20 \cdot {\rm lg} \, |z(t)| &#8804; &ndash;6 \ \rm dB)$ größer sein?
+{Bei welchem Kanal wird&nbsp; ${\rm Pr}(20 \cdot {\rm lg} \, |z(t)| &#8804; -6 \ \rm dB)$&nbsp; größer sein?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 + Beim vorliegenden Rayleigh&ndash;Kanal.
 - Beim vorliegenden Rice&ndash;Kanal.
 - Die Wahrscheinlichkeiten sind näherungsweise gleich.
-{Bei welchem Kanal wird ${\rm Pr}(20 \cdot {\rm lg} \, |z(t)| &#8804; 0 \ \rm dB)$ größer sein?
+{Bei welchem Kanal wird&nbsp; ${\rm Pr}(20 \cdot {\rm lg} \, |z(t)| &#8804; 0 \ \rm dB)$&nbsp; größer sein?
-|type="[]"}
+|type="()"}
-- ${\rm Pr}(20 \cdot {\rm lg} \, |z(t)| &#8804; 0 \ \rm dB)$ ist beim Rice&ndash;Kanal deutlich kleiner.
+- Beim vorliegenden Rayleigh&ndash;Kanal.
-- ${\rm Pr}(20 \cdot {\rm lg} \, |z(t)| &#8804; 0 \ \rm dB)$ ist beim Rice&ndash;Kanal deutlich größer.
+- Beim vorliegenden Rice&ndash;Kanal.
 + Die Wahrscheinlichkeiten sind näherungsweise gleich.
-{Welche Aussagen treffen für ein BPSK&ndash;Sendesignal $s(t)$ zu, wenn man die komplexe Darstellung des Empfangssignals $r(t)$ betrachtet?
+{Welche Aussagen treffen für ein BPSK&ndash;Sendesignal&nbsp; $s(t)$&nbsp; zu, wenn man die komplexe Darstellung des Empfangssignals&nbsp; $r(t)$&nbsp; betrachtet?
 |type="[]"}
-- Rayleigh&ndash;Fading bewirkt Punktwolken in Quadrant 1 und 3.
+- Rayleigh&ndash;Fading bewirkt Punktwolken in Quadrant &nbsp;$1$&nbsp; und &nbsp;$3$.
-+ Rice&ndash;Fading bewirkt Punktwolken in Quadrant 1 und 3.
++ Rice&ndash;Fading bewirkt Punktwolken in Quadrant &nbsp;$1$&nbsp; und &nbsp;$3$.
-+ Bei Rayleigh ist die WDF von $|r(t)|$ gleich der WDF von $|z(t)|$.
++ Bei Rayleigh ist die WDF von&nbsp; $|r(t)|$&nbsp; gleich der WDF von&nbsp; $|z(t)|$.
-- Bei Rice ist die WDF von $|r(t)|$ gleich der WDF von $|z(t)|$.
+- Bei Rice ist die WDF von&nbsp; $|r(t)|$&nbsp; gleich der WDF von&nbsp; $|z(t)|$.
 </quiz>

@@ Zeile 39: / Zeile 39: @@
 * Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Mobile_Kommunikation/Nichtfrequenzselektives_Fading_mit_Direktkomponente| Nichtfrequenzselektives Fading mit Direktkomponente]].
 * Die in der Grafik eingezeichneten Kreise (violett und grün) beziehen sich auf die Teilaufgaben (3) und (4).
-* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

@@ Zeile 79: / Zeile 79: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>. Der erste Vorschlag liefert ein <i>Rayleigh&ndash;Fading</i>&ndash;Modell. Mit der letzten Einstellung ergäbe sich:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
 :$$|z(t)| = {\rm j}  \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} r(t) = s(t) \cdot z(t) = {\rm j} \cdot s(t)
     \hspace{0.05cm}.$$
-Berücksichtigen wir, dass wir uns im äquivalenten Tiefpassbereich befinden, so würde dann bei einem cosinusförmigen Eingang ein minus&ndash;sinusförmiges Ausgangssignal $r_{\rm BP}(t)$ auftreten. Dagegen gilt mit dem Lösungsvorschlag 2 für alle möglichen Signale:
+*Berücksichtigen wir, dass wir uns im äquivalenten Tiefpassbereich befinden, so würde dann bei einem cosinusförmigen Eingang ein minus&ndash;sinusförmiges Ausgangssignal $r_{\rm BP}(t)$ auftreten.
 :$$|z(t)| = x_0 = 1  \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} r(t) = s(t)
     \hspace{0.05cm}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Beim gegebenem <i>Rayleigh&ndash;Fading</i> beträgt der Parameter $\sigma^2 = 0.5$. Damit ergibt sich für den quadratischen Mittelwert des multiplikativen Faktors $z(t)$:
@@ Zeile 101: / Zeile 102: @@
 :$$|z_0|^2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.8 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} |z_0| = 0.894
     \hspace{0.05cm}.$$
-* Die Aufteilung von $z_0 = x_0 + {\rm j} \cdot y_0$ ergibt sich aus der Grafik. Man erkennt, dass $y_0 = x_0$ sein muss (Mittelpunkt der Wolke im ersten Quadranten unter $45°$):
+* Die Aufteilung von $z_0 = x_0 + {\rm j} \cdot y_0$ ergibt sich aus der Grafik. Man erkennt, dass $y_0 = x_0$ sein muss (Mittelpunkt der Wolke im ersten Quadranten unter $45^\circ$):
 :$$x_0 = y_0 = \frac{|z_0|}{\sqrt{2}} = \frac{0.894}{\sqrt{2}} \hspace{0.25cm} \underline{ \approx 0.632} \hspace{0.05cm}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Der Bereich &bdquo;$20 \cdot {\rm lg} \, |z(t)| &#8804; \, &ndash;6 \ \rm dB$&rdquo; ist gleich bedeutend mit &bdquo;$|z(t)|&#8804;0.5$&rdquo;. Dieser Bereich ist in der Grafik vorne durch den violetten Kreis markiert. Man erkennt daraus, dass die <u>Aussage 1 richtig</u> ist, da sich bei Rayleigh mehr Punkte innerhalb des violetten Kreises befinden.
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 [[Datei:P_ID2136__Mob_Z_1_6c.png|center|frame|Signalausschnitt und WDF <i>f<sub>a</sub></i>(<i>a</i>) bei Rayleigh und Rice]]
-Diese Grafik zeigt das Ergebnis einer Systemsimulation mit dem Programm &bdquo;Mobilfunkkanal&rdquo; aus dem Praktikum [[https://intern.lntwww.de/cgi-bin/extern/uni.pl?uno=hyperlink&due=entitaet&e_id=2812&hyperlink_typ=entitaet_verweis| Söd01]]. Sowohl aus dem Signalausschnitt als auch aus der WDF erkennt man, dass die blaue Kurve (Rayleigh) mehr Anteile unter der violetten Kurve besitzt als die rote Kurve (Rice).
+Diese Grafik zeigt das Ergebnis einer Systemsimulation mit dem Programm &bdquo;Mobilfunkkanal&rdquo; aus dem (früheren) Praktikum &bdquo;Simulation digitaler Übertragungssysteme&rdquo;. Sowohl aus dem Signalausschnitt als auch aus der WDF erkennt man, dass die blaue Kurve (Rayleigh) mehr Anteile unter der violetten Kurve besitzt als die rote Kurve (Rice).
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    \hspace{0.05cm}.$$
-Aus obiger Grafik ist zu erkennen, dass sich für die Riceverteilung (mit den hier gewählten Parametern) etwa die gleiche Unterschreitungswahrscheinlichkeit ergibt. Auch aus der komplexen Darstellung von $z(t)$ auf der Angabenseite ist dieses Ergebnis zu erahnen (leichter dann, wenn man das Ergebnis schon kennt), unter anderem deshalb, weil die Spitze der Gaußwolke noch innerhalb des grünen Kreises liegt.
+Aus der Grafik erahnt man, dass sich für die Riceverteilung (mit den gewählten Parametern) etwa die gleiche Unterschreitungswahrscheinlichkeit ergibt. Auch aus der komplexen Darstellung von $z(t)$ auf der Angabenseite ist dieses Ergebnis zu erahnen (leichter dann, wenn man das Ergebnis schon kennt), unter anderem deshalb, weil die Spitze der Gaußwolke noch innerhalb des grünen Kreises liegt.
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 * Bei <i>Rice&ndash;Fading</i> liegt die Punktwolke von $z(t)$ im ersten Quadranten. Multipliziert man $z(t)$ mit $s(t) = &plusmn;1$, so erhält man zwei Punktwolken im ersten und dritten Quadranten. An der WDF $f_a(a)$ des Betrags ändert sich dadurch nichts.
 * Auch beim <i>Rayleigh&ndash;Fading</i> weisen die Dichtefunktionen $f_a(a)$ des Betrags für $|z(t)|$ und $|r(t)|$ keine Unterschiede auf. Da zudem die Phase $\phi$ gleichverteilt ist, ergeben sich im Endergebnis auch die gleichen Punktewolken.
-[[Datei:P_ID2137__Mob_Z_1_6e.png|center|frame|Komplexes Empfangssignal <i>r</i>(<i>t</i>) bei Rayleigh und Rice]]
+[[Datei:P_ID2137__Mob_Z_1_6e.png|center|frame|Komplexes Empfangssignal $r(t)$ bei Rayleigh und Rice]]
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