Applets:WDF und VTF bei Gaußschen 2D Zufallsgrößen (Applet) - Versionsgeschichte

Höfler: Textersetzung - „Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29“ durch „Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29“

2025-02-24T09:43:44Z

Textersetzung - „Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29“ durch „Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29“

Höfler: Textersetzung - „Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29“ durch „Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29“

2023-10-26T10:14:56Z

Textersetzung - „Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29“ durch „Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29“

Guenter am 25. Februar 2021 um 17:14 Uhr

2021-02-25T17:14:49Z

Guenter am 23. August 2019 um 15:05 Uhr

2019-08-23T15:05:40Z

Tasnad am 20. August 2019 um 13:01 Uhr

2019-08-20T13:01:39Z

Guenter am 14. August 2019 um 11:15 Uhr

2019-08-14T11:15:46Z

Guenter am 7. August 2019 um 15:38 Uhr

2019-08-07T15:38:38Z

Guenter am 7. August 2019 um 13:31 Uhr

2019-08-07T13:31:10Z

Guenter am 6. August 2019 um 14:50 Uhr

2019-08-06T14:50:43Z

Guenter am 30. Juli 2019 um 15:43 Uhr

2019-07-30T15:43:32Z

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 ==Über die Autoren==
 Dieses interaktive Berechnungstool  wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.
-*Die erste Version wurde 2003 von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]] im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX&ndash;Actionscript&rdquo; erstellt (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
+*Die erste Version wurde 2003 von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]] im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX&ndash;Actionscript&rdquo; erstellt (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|Günter Söder]]).
 * 2019 wurde das Programm  von&nbsp;[[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]&nbsp; im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf  &bdquo;HTML5&rdquo; umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29|Tasnád Kernetzky]]).

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 Dieses interaktive Berechnungstool  wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.
 *Die erste Version wurde 2003 von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]] im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX&ndash;Actionscript&rdquo; erstellt (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
-* 2019 wurde das Programm  von&nbsp;[[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]&nbsp; im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf  &bdquo;HTML5&rdquo; umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]]).
+* 2019 wurde das Programm  von&nbsp;[[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]&nbsp; im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf  &bdquo;HTML5&rdquo; umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29|Tasnád Kernetzky]]).

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-{{LntAppletLink|gauss}}
+{{LntAppletLinkDeEn|gauss|gauss_en}}
 ==Programmbeschreibung==
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 ==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==
-{{LntAppletLink|gauss}}
+{{LntAppletLinkDeEn|gauss|gauss_en}}

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	'''(J)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung: Aufgabenstellung		'''(J)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung: Aufgabenstellung
		+
		+	'''(K)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung: Musterlösung einblenden

	'''( L)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung: Musterlösung		'''( L)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung: Musterlösung

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-{{LntAppletLink|verteilungen}}
+{{LntAppletLink|gauss}}
 ==Programmbeschreibung==
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 ==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==
-{{LntAppletLink|verteilungen}}
+{{LntAppletLink|gauss}}

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 Das Applet zeigt
 * die zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion &nbsp; &rArr; &nbsp; $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$&nbsp; $f_{XY}(x, \hspace{0.1cm}y)$&nbsp; in dreidimensionaler Darstellung sowie in Form von Höhenlinien,
-* die zugehörigen Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktionen&nbsp; $f_{X}(x)$&nbsp; und &nbsp; $f_{Y}(y)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $\rm 1D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDFs$,
+* die zugehörige Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktion&nbsp; &rArr; &nbsp;  $\rm 1D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$&nbsp; $f_{X}(x)$&nbsp;   der Zufallsgröße&nbsp; $X$&nbsp; als blaue Kurve;  ebenso&nbsp; $f_{Y}(y)$&nbsp; für die zweite Zufallsgröße,
-* die zweidimensionale Verteilungsfunktion &nbsp; &rArr; &nbsp; $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$&nbsp; $F_{XY}(x, \hspace{0.1cm}y)$&nbsp; als 3D-Plot.
+* die zweidimensionale Verteilungsfunktion  &nbsp; &rArr; &nbsp; $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$&nbsp; $F_{XY}(x, \hspace{0.1cm}y)$&nbsp; als 3D-Plot,

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 <br>
 [[Datei:Aufgaben_2D-Gauss.png|right]]
 *Wählen Sie zunächst die Nummer ('''1''', ...) der zu bearbeitenden Aufgabe.
 *Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
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 '''(8)'''&nbsp; Variieren Sie ausgehend von&nbsp; $\sigma_X=\sigma_Y=0.75, \ \rho = 0.7$&nbsp; die Parameter&nbsp; $\sigma_Y$&nbsp; und&nbsp; $\rho \ (>0)$. Welche Aussagen gelten für die Winkel &nbsp;$\alpha$&nbsp; und&nbsp; $\theta$?}}
-::*&nbsp;Für&nbsp; $\sigma_Y<\sigma_X$&nbsp; ist &nbsp;$\alpha < 45^\circ$&nbsp; und für&nbsp; $\sigma_Y>\sigma_X$&nbsp; dagegen &nbsp;$\alpha > 45^\circ$. Bei allen Einstellungen gilt:&nbsp;   '''Die Korrelationsgerade liegt unter der Ellipsen&ndash;Hauptachse'''.
+::*&nbsp;Für&nbsp; $\sigma_Y<\sigma_X$&nbsp; ist &nbsp;$\alpha < 45^\circ$&nbsp; und für&nbsp; $\sigma_Y>\sigma_X$&nbsp; dagegen &nbsp;$\alpha > 45^\circ$.
 {{BlaueBox|TEXT=
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 ::*&nbsp;Die&nbsp; $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$&nbsp; hat nur Anteile in der Nähe der Ellipsen&ndash;Hauptachse. Die Korrelationsgerade liegt nur knapp darunter:&nbsp; $\alpha = 45^\circ, \ \theta = 43.5^\circ$.
 ::*&nbsp;Im Grenzfall&nbsp; $\rho \to 1$&nbsp; wäre&nbsp; $\theta = \alpha = 45^\circ$. Außerhalb der Korrelationsgeraden hätte die&nbsp; $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$&nbsp; keine Anteile. Das heißt:
-::*&nbsp;Längs der Korrelationsgeraden ergäbe sich eine '''Diracwand'''&nbsp; &rArr; &nbsp; Alle &nbsp;$f_{XY}(x =y)$&ndash;Werte unendlich groß, trotzdem um den Mittelwert gaußisch gewichtet.
+::*&nbsp;Längs der Korrelationsgeraden ergäbe sich eine '''Diracwand'''&nbsp; &rArr; &nbsp; Alle Werte sind unendlich groß, trotzdem um den Mittelwert gaußisch gewichtet.

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 ==Versuchsdurchführung==
+<br>
-[[Datei:Exercises_binomial_fertig.png|right]]
+[[Datei:Aufgaben_2D-Gauss.png|right]]
 *Wählen Sie zunächst die Nummer ('''1''', ...) der zu bearbeitenden Aufgabe.
 *Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
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 '''(5)'''&nbsp; Stimmt die Aussage:&nbsp;&bdquo;Elliptische Höhenlinien gibt es nur für &nbsp;$\rho \ne 0$&rdquo;. Interpretieren Sie die&nbsp; $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$&nbsp; und $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$&nbsp; für &nbsp;$\sigma_X=1, \ \sigma_Y=0.5$&nbsp; und&nbsp; $\rho = 0$.}}
-::*&nbsp;Nein! Auch für&nbsp; $\ \rho = 0$&nbsp; sind die Höhenlinien elliptisch, falls &nbsp;$\sigma_X \ne \sigma_Y$.
+::*&nbsp;Nein! Auch für&nbsp; $\ \rho = 0$&nbsp; sind die Höhenlinien elliptisch (nicht kreisförmig), falls &nbsp;$\sigma_X \ne \sigma_Y$.
 ::*&nbsp;Für&nbsp;$\sigma_X \gg \sigma_Y$&nbsp; hat die&nbsp; $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$&nbsp; die Form eines langgestreckten Bergkamms parallel zur&nbsp; $x$&ndash;Achse, für&nbsp;$\sigma_X \ll \sigma_Y$&nbsp; parallel zur&nbsp; $y$&ndash;Achse.
 ::*&nbsp;Für&nbsp;$\sigma_X \gg \sigma_Y$&nbsp; ist der Anstieg der&nbsp; $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$&nbsp; in Richtung der &nbsp;$y$&ndash;Achse deutlich steiler als in Richtung der &nbsp;$x$&ndash;Achse.
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 {{BlaueBox|TEXT=
-'''(8)'''&nbsp; Variieren Sie ausgehend von&nbsp; $\sigma_X=\sigma_Y=0.75, \ \rho = 0.7$&nbsp; die Parameter&nbsp; $\sigma_Y$&nbsp; und&nbsp; $\rho$. Welche Aussagen gelten für die Winkel &nbsp;$\alpha$&nbsp; und&nbsp; $\theta$?}}
+'''(8)'''&nbsp; Variieren Sie ausgehend von&nbsp; $\sigma_X=\sigma_Y=0.75, \ \rho = 0.7$&nbsp; die Parameter&nbsp; $\sigma_Y$&nbsp; und&nbsp; $\rho \ (>0)$. Welche Aussagen gelten für die Winkel &nbsp;$\alpha$&nbsp; und&nbsp; $\theta$?}}
 ::*&nbsp;Für&nbsp; $\sigma_Y<\sigma_X$&nbsp; ist &nbsp;$\alpha < 45^\circ$&nbsp; und für&nbsp; $\sigma_Y>\sigma_X$&nbsp; dagegen &nbsp;$\alpha > 45^\circ$. Bei allen Einstellungen gilt:&nbsp;   '''Die Korrelationsgerade liegt unter der Ellipsen&ndash;Hauptachse'''.
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 ==Zur Handhabung des Applets==
-[[Datei:Handhabung_binomial.png|left|600px]]
+<br>
-&nbsp; &nbsp; '''(A)''' &nbsp; &nbsp; Vorauswahl für blauen Parametersatz
+[[Datei:Anleitung_2D-Gauss.png|left|600px]]
-&nbsp; &nbsp; '''(B)''' &nbsp; &nbsp; Parametereingabe $I$ und $p$ per Slider
+&nbsp; &nbsp; '''(B)''' &nbsp; &nbsp; Auswahl:&nbsp; Darstellung von WDF oder VTF
-&nbsp; &nbsp; '''(C)''' &nbsp; &nbsp; Vorauswahl für roten Parametersatz
+&nbsp; &nbsp; '''(C)''' &nbsp; &nbsp; Reset:&nbsp; Einstellung wie beim Programmstart
-&nbsp; &nbsp; '''(D)''' &nbsp; &nbsp; Parametereingabe $\lambda$ per Slider
+&nbsp; &nbsp; '''(D)''' &nbsp; &nbsp; Höhenlinien darstellen anstelle von &bdquo;1D-WDF&rdquo;
-&nbsp; &nbsp; '''(E)''' &nbsp; &nbsp; Graphische Darstellung der Verteilungen
+&nbsp; &nbsp; '''(E)''' &nbsp; &nbsp; Darstellungsbereich für &bdquo;2D-WDF&rdquo;
-&nbsp; &nbsp; '''(F)''' &nbsp; &nbsp; Momentenausgabe für blauen Parametersatz
+&nbsp; &nbsp; '''(F)''' &nbsp; &nbsp; Manipulation der 3D-Grafik (Zoom, Drehen, ...)
-&nbsp; &nbsp; '''(G)''' &nbsp; &nbsp; Momentenausgabe für roten Parametersatz
+&nbsp; &nbsp; '''(G)''' &nbsp; &nbsp; Darstellungsbereich für &bdquo;1D-WDF&rdquo; bzw. &bdquo;Höhenlinien&rdquo;
-&nbsp; &nbsp; '''(H)''' &nbsp; &nbsp; Variation der grafischen Darstellung
+&nbsp; &nbsp; '''(H)''' &nbsp; &nbsp; Manipulation der 2D-Grafik (&bdquo;1D-WDF&rdquo;)
-$\hspace{1.5cm}$&bdquo;$+$&rdquo; (Vergrößern),
+&nbsp; &nbsp; '''(J)''' &nbsp; &nbsp; Bereich für die Versuchsdurchführung:   Aufgabenstellung
-$\hspace{1.5cm}$ &bdquo;$-$&rdquo; (Verkleinern)
+&nbsp; &nbsp; '''( L)''' &nbsp; &nbsp; Bereich für die Versuchsdurchführung:   Musterlösung
+<br><br><br><br><br><br><br><br>
-$\hspace{1.5cm}$ &bdquo;$\rm o$&rdquo; (Zurücksetzen)
+Werte&ndash;Ausgabe über Maussteuerung (sowohl bei 2D als auch bei 3D)
+<br clear=all>
 ==Über die Autoren==

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 ==Programmbeschreibung==
 <br>
-Das Applet verdeutlicht die Eigenschaften zweidimensionaler Gaußscher Zufallsgrößen&nbsp; $XY\hspace{-0.1cm}$, gekennzeichet durch die Standardabweichungen (Streuungen)&nbsp; $\sigma_X$&nbsp; und&nbsp; $\sigma_Y$&nbsp; ihrer beiden Komponenten sowie den Korrelationskoeffizienten&nbsp; $\rho_{XY}$&nbsp;zwischen diesen. Die Komponenten werden als mittelwertfrei vorausgesetzt:&nbsp; $m_X = m_Y = 0$.
+Das Applet verdeutlicht die Eigenschaften zweidimensionaler Gaußscher Zufallsgrößen&nbsp; $XY\hspace{-0.1cm}$, gekennzeichnet durch die Standardabweichungen (Streuungen)&nbsp; $\sigma_X$&nbsp; und&nbsp; $\sigma_Y$&nbsp; ihrer beiden Komponenten sowie den Korrelationskoeffizienten&nbsp; $\rho_{XY}$&nbsp;zwischen diesen. Die Komponenten werden als mittelwertfrei vorausgesetzt:&nbsp; $m_X = m_Y = 0$.
 Das Applet zeigt
-* die zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion &nbsp; &rArr; &nbsp; $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$&nbsp; $f_{XY}(x, \hspace{0.1cm}y)$&nbsp; in dreidimensioanaler Darstellung sowie in Form von Höhenlinien,
+* die zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion &nbsp; &rArr; &nbsp; $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$&nbsp; $f_{XY}(x, \hspace{0.1cm}y)$&nbsp; in dreidimensionaler Darstellung sowie in Form von Höhenlinien,
 * die zweidimensionale Verteilungsfunktion &nbsp; &rArr; &nbsp; $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$&nbsp; $F_{XY}(x, \hspace{0.1cm}y)$&nbsp; als 3D-Plot.
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 :$$f_{XY}(x, \hspace{0.1cm}y) =  \lim_{\left.{\Delta x\rightarrow 0 \atop {\Delta y\rightarrow 0} }\right.}\frac{ {\rm Pr}\big [ (x - {\rm \Delta} x/{\rm 2} \le X  \le x  + {\rm \Delta} x/{\rm 2}) \cap (y - {\rm \Delta} y/{\rm 2} \le Y \le y +{\rm \Delta}y/{\rm 2}) \big]  }{ {\rm \Delta} \ x\cdot{\rm \Delta} y}.$$
-*Die Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion oder kurz&nbsp; $\text{2D-WDF}$&nbsp; ist eine Erweiterung der eindimensionalen WDF.
+*Die Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion oder kurz&nbsp; $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$&nbsp; ist eine Erweiterung der eindimensionalen WDF.
 *$∩$&nbsp; kennzeichnet die logische UND-Verknüpfung.
 *$X$&nbsp; und&nbsp; $Y$ bezeichnen die beiden Zufallsgrößen, und&nbsp; $x \in X$&nbsp; sowie &nbsp; $y \in Y$ geben  Realisierungen hiervon an.
@@ Zeile 56: / Zeile 57: @@
 Für den Sonderfall&nbsp; '''Gaußscher Zufallsgrößen'''&nbsp; – der Name geht auf den Wissenschaftler&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gau%C3%9F Carl Friedrich Gauß]&nbsp;  zurück – können wir weiterhin vermerken:
-*Die Verbund&ndash;WDF einer Gaußschen 2D-Zufallsgröße&nbsp; $XY$&nbsp; mit Mittelwerten&nbsp; $m_X = 0$,&nbsp; $m_Y = 0$&nbsp;  und Korrelationskoeffizienten&nbsp; $ρ = ρ_{XY}$&nbsp; lautet:
+*Die Verbund&ndash;WDF einer Gaußschen 2D-Zufallsgröße&nbsp; $XY$&nbsp; mit Mittelwerten&nbsp; $m_X = 0$&nbsp; und&nbsp; $m_Y = 0$&nbsp;  sowie dem Korrelationskoeffizienten&nbsp; $ρ = ρ_{XY}$&nbsp; lautet:
 :$$f_{XY}(x,y)=\frac{\rm 1}{\rm 2\it\pi \cdot \sigma_X \cdot \sigma_Y \cdot \sqrt{\rm 1-\rho^2}}\ \cdot\ \exp\Bigg[-\frac{\rm 1}{\rm 2 \cdot (1-\it\rho^{\rm 2} {\rm)}}\cdot(\frac {\it x^{\rm 2}}{\sigma_X^{\rm 2}}+\frac {\it y^{\rm 2}}{\sigma_Y^{\rm 2}}-\rm 2\it\rho\cdot\frac{x \cdot y}{\sigma_x \cdot \sigma_Y}\rm ) \rm \Bigg]\hspace{0.8cm}{\rm mit}\hspace{0.5cm}-1 \le \rho \le +1.$$
 *Ersetzt man&nbsp; $x$&nbsp; durch&nbsp; $(x - m_X)$&nbsp; sowie&nbsp; $y$&nbsp; durch&nbsp; $(y- m_Y)$, so ergibt sich die allgemeinere WDF einer zweidimensionalen Gaußschen Zufallsgröße mit Mittelwert.
@@ Zeile 92: / Zeile 93: @@
 :$$\overline{\varepsilon_y^{\rm 2} }=\frac{\rm 1}{N} \cdot \sum_{\nu=\rm 1}^{N}\; \;\big [y_\nu - K(x_{\nu})\big ]^{\rm 2}={\rm Minimum}.$$
 *Die Korrelationsgerade kann als eine Art „statistische Symmetrieachse“ interpretiert werden. Die Geradengleichung lautet im allgemeinen Fall:
-:$$y=K(x)=\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}\cdot\rho_{XY}\cdot(X - m_X)+m_Y.$$
+:$$y=K(x)=\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}\cdot\rho_{XY}\cdot(x - m_X)+m_Y.$$
 *Der Winkel, den die Korrelationsgerade zur &nbsp;$x$&ndash;Achse einnimmt, beträgt:
@@ Zeile 131: / Zeile 132: @@
 *Der Funktionalzusammenhang zwischen &bdquo;2D&ndash;WDF&rdquo; und &bdquo;2D&ndash;VTF&rdquo; ist wie im eindimensionalen Fall durch die Integration gegeben, aber nun in zwei Dimensionen. Bei kontinuierlichen Zufallsgrößen gilt:
 :$$F_{XY}(x,y)=\int_{-\infty}^{y} \int_{-\infty}^{x} f_{XY}(\xi,\eta) \,\,{\rm d}\xi \,\, {\rm d}\eta   .$$
-*Umgekehrt lässt sich die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion aus der Verteilungsfunktion durch partielle Differentiation nach&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; angeben: '''Stimmt das?'''
+*Umgekehrt lässt sich die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion aus der Verteilungsfunktion durch partielle Differentiation nach&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; angeben:
 :$$f_{XY}(x,y)=\frac{{\rm d}^{\rm 2} F_{XY}(\xi,\eta)}{{\rm d} \xi \,\, {\rm d} \eta}\Bigg|_{\left.{x=\xi \atop {y=\eta}}\right.}.$$
 *Bezüglich der Verteilungsfunktion&nbsp; $F_{XY}(x, y)$&nbsp; gelten folgende Grenzwerte:
-:$$F_{XY}(-\infty,-\infty) = 0,\hspace{0.5cm}F_{XY}(x,+\infty)=F_{X}(x ),\hspace{0.5cm}
+:$$F_{XY}(-\infty,\ -\infty) = 0,\hspace{0.5cm}F_{XY}(x,\ +\infty)=F_{X}(x ),\hspace{0.5cm}
-F_{XY}(+\infty,y)=F_{Y}(y ) ,\hspace{0.5cm}F_{XY}+\infty,+\infty) = 1.$$
+F_{XY}(+\infty,\ y)=F_{Y}(y ) ,\hspace{0.5cm}F_{XY}(+\infty,\ +\infty) = 1.$$
 *Im Grenzfall $($unendlich große&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y)$&nbsp; ergibt sich demnach für die &bdquo;2D-VTF&rdquo; der Wert&nbsp; $1$. Daraus erhält man die&nbsp; '''Normierungsbedingung'''&nbsp; für die 2D-Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:
 :$$\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y) \,\,{\rm d}x \,\,{\rm d}y=1  .   $$
@@ Zeile 152: / Zeile 153: @@
 *Lösung nach Drücken von &bdquo;Musterlösung&rdquo;.
 *Bei der Aufgabenbeschreibung verwenden wir &nbsp;$\rho$&nbsp; anstelle von &nbsp;$\rho_{XY}$.
-*Für die &bdquo;1D-WDF&rdquo; gilt:&nbsp;  $f_{X}(x) = \sqrt{1/(2\pi \cdot \sigma^2)} \cdot {\rm e}^{-x^2/(2 \sigma^2)}$.
+*Für die &bdquo;1D-WDF&rdquo; gilt:&nbsp;  $f_{X}(x) = \sqrt{1/(2\pi \cdot \sigma_X^2)} \cdot {\rm e}^{-x^2/(2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \sigma_X^2)}$.
@@ Zeile 164: / Zeile 165: @@
 '''(1)'''&nbsp; Machen Sie sich anhand der Voreinstellung &nbsp;$(\sigma_X=1, \ \sigma_Y=0.5, \ \rho = 0.7)$&nbsp; mit dem Programm vertraut. Interpretieren Sie die Grafiken für &nbsp;$\rm WDF$&nbsp; und&nbsp; $\rm VTF$.}}
-::*&nbsp;$\rm WDF$&nbsp; ist ein Bergrücken mit dem Maximum bei&nbsp; $x = 0, \ y = 0$. Der Bergkamm ist leicht verdreht gegenüber der &nbsp;$X$&ndash;Achse.
+::*&nbsp;$\rm WDF$&nbsp; ist ein Bergrücken mit dem Maximum bei&nbsp; $x = 0, \ y = 0$. Der Bergkamm ist leicht verdreht gegenüber der &nbsp;$x$&ndash;Achse.
-::*&nbsp;$\rm VTF$&nbsp; ergibt sich aus &nbsp;$\rm WDF$&nbsp; durch fortlaufend Integration in beide Richtungen. Das Maximum $($nahezu &nbsp;$1)$&nbsp; tritt bei &nbsp;$x=3, \ y=3$&nbsp; auf.
+::*&nbsp;$\rm VTF$&nbsp; ergibt sich aus &nbsp;$\rm WDF$&nbsp; durch fortlaufende Integration in beide Richtungen. Das Maximum $($nahezu &nbsp;$1)$&nbsp; tritt bei &nbsp;$x=3, \ y=3$&nbsp; auf.
 {{BlaueBox|TEXT=
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 ::*&nbsp;Das WDF&ndash;Maximum ist&nbsp;  $f_{XY}(0,\ 0) = 1/(2\pi)= 0.1592$, wegen &nbsp;$\sigma_X= \sigma_Y = 1, \ \rho = 0$. Die Höhenlinien sind Kreise.
-::*&nbsp;Für den VTF-Wert gilt aufgrung der Symmetrie:&nbsp; $F_{XY}(0,\ 0) = [{\rm Pr}(X \le 0)] \cdot [{\rm Pr}(Y \le 0)] = 0.25$. Geringfügige Abweichung wegen numerischer Integration.
+::*&nbsp;Für den VTF-Wert gilt:&nbsp; $F_{XY}(0,\ 0) = [{\rm Pr}(X \le 0)] \cdot [{\rm Pr}(Y \le 0)] = 0.25$. Geringfügige Abweichung wegen numerischer Integration.
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	::* Für  $\sigma_Y<\sigma_X$  ist  $\alpha < 45^\circ$  und für  $\sigma_Y>\sigma_X$  dagegen  $\alpha > 45^\circ$. Bei allen Einstellungen gilt:  '''Die Korrelationsgerade liegt unter der Ellipsen–Hauptachse'''.		::* Für  $\sigma_Y<\sigma_X$  ist  $\alpha < 45^\circ$  und für  $\sigma_Y>\sigma_X$  dagegen  $\alpha > 45^\circ$. Bei allen Einstellungen gilt:  '''Die Korrelationsgerade liegt unter der Ellipsen–Hauptachse'''.
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		+	{{BlaueBox\|TEXT=
		+	'''(9)'''  Gehen Sie von  $\sigma_X= 1, \ \sigma_Y=0.75, \ \rho = 0.7$  aus und variieren Sie  $\rho$. Wie könnte man die Korrelationsgerade aus den Höhenlinien konstruieren?}}
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		+	::* Die Korrelationsgerade schneidet alle Höhenlinien an den Punkten, an denen die Tangente zu der Höhenlinie senkrecht verläuft.
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		+	{{BlaueBox\|TEXT=
		+	'''(10)'''  Nun gelte  $\sigma_X= \sigma_Y=1, \ \rho = 0.95$. Interpretieren Sie die  $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$. Welche Aussagen würden für den Grenzfall  $\rho \to 1$  zutreffen?}}
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		+	::* Die  $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$  hat nur Anteile in der Nähe der Ellipsen–Hauptachse. Die Korrelationsgerade liegt nur knapp darunter:  $\alpha = 45^\circ, \ \theta = 43.5^\circ$.
		+	::* Im Grenzfall  $\rho \to 1$  wäre  $\theta = \alpha = 45^\circ$. Außerhalb der Korrelationsgeraden hätte die  $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$  keine Anteile. Das heißt:
		+	::* Längs der Korrelationsgeraden ergäbe sich eine '''Diracwand'''  ⇒   Alle  $f_{XY}(x =y)$–Werte unendlich groß, trotzdem um den Mittelwert gaußisch gewichtet.