Applets:Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen - Versionsgeschichte

Höfler: Textersetzung - „Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29“ durch „Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29“

2025-02-24T09:43:33Z

Textersetzung - „Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29“ durch „Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29“

Höfler am 26. Oktober 2023 um 09:35 Uhr

2023-10-26T09:35:46Z

Guenter am 25. Februar 2021 um 10:36 Uhr

2021-02-25T10:36:38Z

Guenter am 25. Februar 2021 um 10:36 Uhr

2021-02-25T10:36:13Z

Guenter am 27. Januar 2021 um 10:12 Uhr

2021-01-27T10:12:49Z

Guenter am 26. Januar 2021 um 15:41 Uhr

2021-01-26T15:41:42Z

Guenter am 21. Januar 2021 um 17:52 Uhr

2021-01-21T17:52:27Z

Guenter am 21. Januar 2021 um 17:36 Uhr

2021-01-21T17:36:57Z

Guenter am 21. Januar 2021 um 16:50 Uhr

2021-01-21T16:50:03Z

Guenter am 15. November 2020 um 17:20 Uhr

2020-11-15T17:20:13Z

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 ==Über die Autoren==
 Dieses interaktive Berechnungstool  wurde am&nbsp; [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]&nbsp; der&nbsp; [https://www.tum.de/ Technischen Universität München]&nbsp; konzipiert und realisiert.
-*Die erste Version wurde 2007 von&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Thomas_Gro.C3.9Fer_.28Diplomarbeit_LB_2006.2C_danach_freie_Mitarbeit_bis_2010.29|Thomas Großer]]&nbsp; im Rahmen seiner Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX&ndash;Actionscript&rdquo; erstellt (Betreuer:&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
+*Die erste Version wurde 2007 von&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Thomas_Gro.C3.9Fer_.28Diplomarbeit_LB_2006.2C_danach_freie_Mitarbeit_bis_2010.29|Thomas Großer]]&nbsp; im Rahmen seiner Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX&ndash;Actionscript&rdquo; erstellt (Betreuer:&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|Günter Söder]]).
 *2018/2019 wurde das Programm  von&nbsp; ''Marwen Ben Ammar''&nbsp;   und&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Xiaohan_Liu_.28Bachelorarbeit_2018.29|Xiaohan Liu]]&nbsp; (Bachelorarbeit, Betreuer:&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29|Tasnád Kernetzky]] ) auf  &bdquo;HTML5&rdquo; umgesetzt und neu gestaltet.

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 Dieses interaktive Berechnungstool  wurde am&nbsp; [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]&nbsp; der&nbsp; [https://www.tum.de/ Technischen Universität München]&nbsp; konzipiert und realisiert.
 *Die erste Version wurde 2007 von&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Thomas_Gro.C3.9Fer_.28Diplomarbeit_LB_2006.2C_danach_freie_Mitarbeit_bis_2010.29|Thomas Großer]]&nbsp; im Rahmen seiner Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX&ndash;Actionscript&rdquo; erstellt (Betreuer:&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
-*2018/2019 wurde das Programm  von&nbsp; ''Marwen Ben Ammar''&nbsp;   und&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Xiaohan_Liu_.28Bachelorarbeit_2018.29|Xiaohan Liu]]&nbsp; (Bachelorarbeit, Betreuer:&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]] ) auf  &bdquo;HTML5&rdquo; umgesetzt und neu gestaltet.
+*2018/2019 wurde das Programm  von&nbsp; ''Marwen Ben Ammar''&nbsp;   und&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Xiaohan_Liu_.28Bachelorarbeit_2018.29|Xiaohan Liu]]&nbsp; (Bachelorarbeit, Betreuer:&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29|Tasnád Kernetzky]] ) auf  &bdquo;HTML5&rdquo; umgesetzt und neu gestaltet.

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	{{LntAppletLinkDeEn\|qfunction\|qfunction_en}}		{{LntAppletLinkDeEn\|qfunction\|qfunction_en}}

−	~~{{LntAppletLink\|qfunction}}         [https://en.lntwww.de/Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen '''Englisches Applet mit englischer WIKI–Beschreibung''']~~

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 {{LntAppletLink|qfunction}} &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; [https://en.lntwww.de/Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen '''Englisches Applet mit englischer WIKI&ndash;Beschreibung''']
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 ==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==
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-{{LntAppletLink|qfunction}} &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; [https://en.lntwww.de/Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen '''Englisches Applet mit englischer WIKI&ndash;Beschreibung''']
+{{LntAppletLinkDeEn|qfunction|qfunction_en}}

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-{{LntAppletLink|qfunction_en}}
+{{LntAppletLink|qfunction}} &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; [https://en.lntwww.de/Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen '''Englisches Applet mit englischer WIKI&ndash;Beschreibung''']
-&nbsp; &nbsp; ''Hinweis:'' &nbsp; Das Applet ist für den '''CHROME'''&ndash;Browser optimiert. Bei anderen Browsern kommt es teilweise zu Darstellungsproblemen.
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 ==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==
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-{{LntAppletLink|qfunction_en}}
+{{LntAppletLink|qfunction}} &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; [https://en.lntwww.de/Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen '''Englisches Applet mit englischer WIKI&ndash;Beschreibung''']

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 Mit der Energie pro Bit&nbsp;  $(E_{\rm B})$&nbsp; und der Rauschleistungsdichte&nbsp; $(N_0)$&nbsp; gilt für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit von ''Binary Phase Shift Keying''&nbsp; (BPSK):
 :$$p_{\rm B} =  {\rm Q} \left ( \sqrt{ {2  E_{\rm B} }/{N_0} }\right ) = {1}/{2} \cdot {\rm erfc} \left ( \sqrt{ {E_{\rm B} }/{N_0} }\right )  \hspace{0.05cm}.$$
-Für die Zahlenwerte&nbsp; $E_{\rm B} = 16 \ \rm mWs$&nbsp; und&nbsp; $N_0 = 16 \ \rm mW/Hz$&nbsp; erhält man:
+Für die Zahlenwerte&nbsp; $E_{\rm B} = 16 \ \rm mWs$&nbsp; und&nbsp; $N_0 = 1 \ \rm mW/Hz$&nbsp; erhält man:
 :$$p_{\rm B} =  {\rm Q} \left (4 \cdot \sqrt{ 2} \right ) = {1}/{2} \cdot {\rm erfc} \left ( 4\right )  \hspace{0.05cm}.$$
 *Der erste Weg führt zum Ergebnis&nbsp; $p_{\rm B} = {\rm Q} (5.657) \approx {\rm Q} (5.7) = 0.6 \cdot 10^{-8}\hspace{0.05cm}$, während&nbsp; $1/2 \cdot{\rm erfc}(x)$&nbsp; hier den richtigeren Wert&nbsp; $p_{\rm B} \approx 0.771 \cdot 10^{-8}$&nbsp; liefert.

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	*Das Applet liefert die Werte  ${\rm Q}(1)=1.5866 \cdot 10^{-1}$,  ${\rm Q}(2)=2.275 \cdot 10^{-2}$,  ${\rm Q}(4)=3.1671 \cdot 10^{-5}$  und  ${\rm Q}(6)=9.8659 \cdot 10^{-10}$.		*Das Applet liefert die Werte  ${\rm Q}(1)=1.5866 \cdot 10^{-1}$,  ${\rm Q}(2)=2.275 \cdot 10^{-2}$,  ${\rm Q}(4)=3.1671 \cdot 10^{-5}$  und  ${\rm Q}(6)=9.8659 \cdot 10^{-10}$.
−	*~~Interessanter ist die Darstellung mit logarithmischer Ordinate. ~~ Bei linearer Ordinate sind die Werte für  $x>3$  nicht von der Nulllinie zu unterscheiden.	+	*Bei linearer Ordinate sind die Werte für  $x>3$  nicht von der Nulllinie zu unterscheiden.  Interessanter ist die Darstellung mit logarithmischer Ordinate.

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 In fast allen Programmbibliotheken findet man dagegen die ''Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion'' (englisch:&nbsp; ''Complementary Gaussian Error Function'')
 :$${\rm erfc}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{x}^{ +\infty}\hspace{-0.2cm}{\rm e}^{-u^{2}}\,{\rm d} u .$$
-die mit&nbsp; ${\rm Q}(x)$&nbsp; wie folgt zusammenhängt: &nbsp; ${\rm Q}(x)=1/2\cdot {\rm erfc}(x/{\sqrt{2}}).$ Da bei fast allen Anwendungen diese Funktion mit dem Faktor&nbsp; $1/2$&nbsp; verwendet wird, wurde in diesem Applet genau diese Funktion realisiert:
+die mit&nbsp; ${\rm Q}(x)$&nbsp; wie folgt zusammenhängt: &nbsp; ${\rm Q}(x)=1/2\cdot {\rm erfc}(x/{\sqrt{2}}).$
 :$$1/2 \cdot{\rm erfc}(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{x}^{ +\infty}\hspace{-0.2cm}{\rm e}^{-u^{2}}\,{\rm d} u .$$
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 Mit der Energie pro Bit&nbsp;  $(E_{\rm B})$&nbsp; und der Rauschleistungsdichte&nbsp; $(N_0)$&nbsp; gilt für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit von ''Binary Phase Shift Keying''&nbsp; (BPSK):
 :$$p_{\rm B} =  {\rm Q} \left ( \sqrt{ {2  E_{\rm B} }/{N_0} }\right ) = {1}/{2} \cdot {\rm erfc} \left ( \sqrt{ {E_{\rm B} }/{N_0} }\right )  \hspace{0.05cm}.$$
-Für die Zahlenwerte&nbsp; $E_{\rm B} = 16 \ \rm mWs$ und $N_0 = 16 \ \rm mW/Hz$&nbsp; erhält man:
+Für die Zahlenwerte&nbsp; $E_{\rm B} = 16 \ \rm mWs$&nbsp; und&nbsp; $N_0 = 16 \ \rm mW/Hz$&nbsp; erhält man:
 :$$p_{\rm B} =  {\rm Q} \left (4 \cdot \sqrt{ 2} \right ) = {1}/{2} \cdot {\rm erfc} \left ( 4\right )  \hspace{0.05cm}.$$
 *Der erste Weg führt zum Ergebnis&nbsp; $p_{\rm B} = {\rm Q} (5.657) \approx {\rm Q} (5.7) = 0.6 \cdot 10^{-8}\hspace{0.05cm}$, während&nbsp; $1/2 \cdot{\rm erfc}(x)$&nbsp; hier den richtigeren Wert&nbsp; $p_{\rm B} \approx 0.771 \cdot 10^{-8}$&nbsp; liefert.
-*Wie im ersten Beispiel erkennt man aber auch hier: &nbsp; Die Funktionen&nbsp; ${\rm Q}(x)$&nbsp; und&nbsp; $1/2 \cdot{\rm erfc}(x)$&nbsp; sind grundsätzlich gleich gut geeignet. Vor&ndash; oder Nachteile der einen oder anderen Funktion ergeben sich nur bei konkreten Zahlenwerten.}}
+*Wie im ersten Beispiel erkennt man aber auch hier: &nbsp; Die Funktionen&nbsp; ${\rm Q}(x)$&nbsp; und&nbsp; $1/2 \cdot{\rm erfc}(x)$&nbsp; sind grundsätzlich gleich gut geeignet.
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 ==Programmbeschreibung==
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-Dieses Applet ermöglicht die Berechnung und graphische Darstellung der Gaußschen Fehlerfunktionen&nbsp; ${\rm Q}(x)$&nbsp; und &nbsp;$1/2\cdot {\rm erfc}(x)$, die für die Fehlerwahrscheinlichkeitsberechnung von großer Bedeutung sind.
+Dieses Applet ermöglicht die Berechnung und graphische Darstellung der (komplementären) Gaußschen Fehlerfunktionen&nbsp; ${\rm Q}(x)$&nbsp; und &nbsp;$1/2\cdot {\rm erfc}(x)$, die für die Fehlerwahrscheinlichkeitsberechnung von großer Bedeutung sind.
 *Sowohl die Abszisse als auch der Funktionswert können entweder linear oder logarithmisch dargestellt werden.
-*Für beide Funktionen wird jeweils eine obere Schranke (englisch:&nbsp; ''Upper Bound '') und eine untere Schranke (englisch:&nbsp; ''Lower Bound'') angegeben.
+*Für beide Funktionen wird jeweils eine obere Schranke $($englisch:&nbsp; Upper Bound,&nbsp; $\rm UB)$&nbsp; und eine untere Schranke $($englisch:&nbsp; Lower Bound,&nbsp; $\rm LB)$&nbsp; angegeben.
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 ==Versuchsdurchführung==
-*Wählen Sie zunächst die Nummer&nbsp; $(1,\ 2$, ... $)$&nbsp; der zu bearbeitenden Aufgabe.
+*Wählen Sie zunächst die Nummer&nbsp; $(1,\ 2$, ... $)$&nbsp; der zu bearbeitenden Aufgabe.&nbsp; Die Nummer&nbsp; $0$&nbsp; entspricht einem &bdquo;Reset&rdquo;:&nbsp; Einstellung wie beim Programmstart.
-*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt.&nbsp; Parameterwerte sind angepasst.
+*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt.&nbsp; Parameterwerte sind angepasst.&nbsp; Lösung nach Drücken von &bdquo;Musterlösung&rdquo;.
-*Lösung nach Drücken von &bdquo;Musterlösung&rdquo;.
-*Die Nummer&nbsp; $0$&nbsp; entspricht &bdquo;Reset&rdquo;:&nbsp; Einstellung wie beim Programmstart.
 {{BlaueBox|TEXT=
 '''(1)''' &nbsp; Ermitteln Sie die Werte der Funktion&nbsp; ${\rm Q}(x)$&nbsp; für&nbsp; $x=1$,&nbsp; $x=2$,&nbsp; $x=4$&nbsp; und&nbsp; $x=6$.&nbsp; Interpretieren Sie die Grafiken bei linearer und logarithmischer Ordinate.}}

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 *Für&nbsp; $x\ge 2$&nbsp; liegt die obere Schranke nur geringfügig oberhalb von&nbsp; ${\rm Q}(x)$&nbsp; und die untere Schranke nur geringfügig unterhalb von&nbsp; ${\rm Q}(x)$.&nbsp;
-*Zum Beispiel:&nbsp; ${\rm Q}(x=4)=3.1671 \cdot 10^{-5}$ &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm UB}(x=4)=3.3458 \cdot 10^{-5}$&nbsp; ${\rm LB}(x=4)=3.1366 \cdot 10^{-5}$.
+*Zum Beispiel:&nbsp; ${\rm Q}(x=4)=3.1671 \cdot 10^{-5}$ &nbsp; &rArr; &nbsp;  ${\rm LB}(x=4)=3.1366 \cdot 10^{-5}$, &nbsp; ${\rm UB}(x=4)=3.3458 \cdot 10^{-5}$.
 *Die &bdquo;Upper Bound&rdquo; hat eine größere Bedeutung zur Beurteilung eines Nachrichtensystems als &bdquo;LB&rdquo;, da dies einer &bdquo;Worst Case&rdquo;&ndash;Betrachtung entspricht.
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 *Die Umrechnung erfolgt gemäß der Gleichung&nbsp; $x=10^{\hspace{0.05cm}0.05\hspace{0.05cm} \cdot\hspace{0.05cm} \rho[{\rm dB}]}$.&nbsp; Für&nbsp; $\rho=0\ {\rm dB}$&nbsp; ergibt sich&nbsp; $x=1$ &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Q}(\rho=0\ {\rm dB})={\rm Q}(x=1) =1.5866 \cdot 10^{-1}$.
 *Für&nbsp; $\rho=5\ {\rm dB}$&nbsp; ergibt sich&nbsp; $x=1.1778$ &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Q}(\rho=5\ {\rm dB})={\rm Q}(x=1.778) =3.7679 \cdot 10^{-2}$.&nbsp; Aus dem linken Diagramm:&nbsp; ${\rm Q}(x=1.8) =3.593 \cdot 10^{-2}$.
-*Für&nbsp; $\rho=10\ {\rm dB}$&nbsp; ergibt sich&nbsp; $x=3.162$ &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Q}(\rho=10\ {\rm dB})={\rm Q}(x=3.162) =7.827 \cdot 10^{-4}$.&nbsp; Nach &bdquo;Quantisierung&rdquo;:&nbsp; ${\rm Q}(x=3.15) =8.136 \cdot 10^{-4}$.
+*Für&nbsp; $\rho=10\ {\rm dB}$&nbsp; ergibt sich&nbsp; $x=3.162$ &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Q}(\rho=10\ {\rm dB})={\rm Q}(x=3.162) =7.827 \cdot 10^{-4}$.&nbsp; Nach &bdquo;Quantisierung&rdquo;:&nbsp; ${\rm Q}(x=3.15) =8.1635 \cdot 10^{-4}$.
 ==Zur Handhabung des Applets==