Applets:Kapazität von digitalen gedächtnislosen Kanälen - Versionsgeschichte

Höfler: Textersetzung - „Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29“ durch „Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29“

2025-02-24T09:43:33Z

Textersetzung - „Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29“ durch „Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29“

Höfler: Textersetzung - „Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29“ durch „Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29“

2023-10-26T10:15:07Z

Textersetzung - „Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29“ durch „Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29“

Guenter am 31. März 2021 um 11:53 Uhr

2021-03-31T11:53:50Z

Guenter am 25. März 2021 um 10:31 Uhr

2021-03-25T10:31:14Z

Guenter am 25. Februar 2021 um 17:36 Uhr

2021-02-25T17:36:07Z

Guenter am 8. Mai 2020 um 11:45 Uhr

2020-05-08T11:45:59Z

Guenter am 7. Mai 2020 um 15:10 Uhr

2020-05-07T15:10:28Z

Tasnad am 14. April 2020 um 22:10 Uhr

2020-04-14T22:10:43Z

Guenter am 7. April 2020 um 13:28 Uhr

2020-04-07T13:28:38Z

Guenter am 7. April 2020 um 13:26 Uhr

2020-04-07T13:26:52Z

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 ==Über die Autoren==
 Dieses interaktive Berechnungstool  wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.
-*Die erste Version wurde 2010 von&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Martin_V.C3.B6lkl_.28Diplomarbeit_LB_2010.29|Martin Völkl]]&nbsp; im Rahmen seiner Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX&ndash;Actionscript&rdquo; erstellt&nbsp; (Betreuer:&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
+*Die erste Version wurde 2010 von&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Martin_V.C3.B6lkl_.28Diplomarbeit_LB_2010.29|Martin Völkl]]&nbsp; im Rahmen seiner Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX&ndash;Actionscript&rdquo; erstellt&nbsp; (Betreuer:&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|Günter Söder]]).
 *2020 wurde das Programm  von&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Veronika_Hofmann_.28Ingenieurspraxis_Math_2020.29|Veronika Hofmann]]&nbsp;  (Ingenieurspraxis Mathematik, Betreuer:&nbsp; [[Benedikt Leible]]&nbsp; und&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29|Tasnád Kernetzky]] )  unter  &bdquo;HTML5&rdquo; neu gestaltet.

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 Dieses interaktive Berechnungstool  wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.
 *Die erste Version wurde 2010 von&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Martin_V.C3.B6lkl_.28Diplomarbeit_LB_2010.29|Martin Völkl]]&nbsp; im Rahmen seiner Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX&ndash;Actionscript&rdquo; erstellt&nbsp; (Betreuer:&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
-*2020 wurde das Programm  von&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Veronika_Hofmann_.28Ingenieurspraxis_Math_2020.29|Veronika Hofmann]]&nbsp;  (Ingenieurspraxis Mathematik, Betreuer:&nbsp; [[Benedikt Leible]]&nbsp; und&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]] )  unter  &bdquo;HTML5&rdquo; neu gestaltet.
+*2020 wurde das Programm  von&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Veronika_Hofmann_.28Ingenieurspraxis_Math_2020.29|Veronika Hofmann]]&nbsp;  (Ingenieurspraxis Mathematik, Betreuer:&nbsp; [[Benedikt Leible]]&nbsp; und&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29|Tasnád Kernetzky]] )  unter  &bdquo;HTML5&rdquo; neu gestaltet.
 ==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==
 {{LntAppletLinkDeEn|transinformation|transinformation_en}}

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 [[Datei:Transinf_2.png|right|frame|Betrachtetes Modell des Binärkanals]]
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 2}$:&nbsp; Es gelten die gleichen Voraussetzungen wie für das&nbsp; [[Applets:Transinformation_bei_binären_und_ternären_Nachrichtensystemen#Zugrunde_liegendes_Modell_der_Digitalsignal.C3.BCbertragung|$\text{Beispiel 1}$]]:&nbsp;
+$\text{Beispiel 2}$:&nbsp; Es gelten die gleichen Voraussetzungen wie für das&nbsp; [[Applets:Kapazität_von_digitalen_gedächtnislosen_Kanälen#Zugrunde_liegendes_Modell_der_Digitalsignal.C3.BCbertragung|$\text{Beispiel 1}$]]:&nbsp;
 '''(1)'''&nbsp; Die Quellensymbole sind nicht gleichwahrscheinlich:

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 :*&nbsp; Das Symbol&nbsp; $\rm A$&nbsp; wird niemals verfälscht, das Symbol&nbsp; $\rm B$&nbsp; mit (informationstheoretisch) maximaler Verfälschungswahrscheinlichkeit&nbsp;$ p_{\rm a \vert B} = 0.5$
 :*&nbsp;  Die gesamte Verfälschungswahrscheinlichkeit ist&nbsp; $ {\rm Pr} (Y_n \ne X_n)= p_{\rm A} \cdot p_{\rm b \vert A} + p_{\rm B} \cdot p_{\rm a \vert B}= 0.25$&nbsp; &rArr; &nbsp; ca.&nbsp; $25\%$&nbsp; der ausgegebenen Sinkensymbole sind violett.
-:*&nbsp; Verbundwahrscheinlichkeiten:&nbsp; $p_{\rm Aa}= 1/2,\ p_{\rm Ab}= 0,\ p_{\rm Ba}=  p_{\rm Bb}= 1/4$,&nbsp; &nbsp; Rückschlusswahrscheinlichkeiten:&nbsp; $p_{\rm A \vert a}= 1,\ p_{\rm B \vert a}= 0,\ p_{\rm A \vert b}= 1/3,\ p_{\rm B \vert b}= 2/3$.
+:*&nbsp; Verbundwahrscheinlichkeiten:&nbsp; $p_{\rm Aa}= 1/2,\ p_{\rm Ab}= 0,\ p_{\rm Ba}=  p_{\rm Bb}= 1/4$,&nbsp; &nbsp; Rückschlusswahrscheinlichkeiten:&nbsp; $p_{\rm A \vert a}= 2/3,\ p_{\rm B \vert a}= 1/3,\ p_{\rm A \vert b}= 0,\ p_{\rm B \vert b}= 1$.
 :*&nbsp; Daraus erhält man für die Äquivokation&nbsp; $H(X \vert Y)=0.689$; &nbsp; Quellenentropie&nbsp; $H(X)= 1$ &nbsp;  &rArr; &nbsp; $I(X;\ Y)=H(X)-H(X \vert Y)=0.311$.
 {{BlaueBox|TEXT=
-'''(8)'''&nbsp; Wie groß ist die Kapazität&nbsp; $C_8$&nbsp; dieses Kanals mit&nbsp;  $p_{\rm b \vert A} =  0.5$,&nbsp; $ p_{\rm a \vert B} = 0.4$?&nbsp; Ist mit der Coderate&nbsp; $R=0.3$&nbsp; die Fehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; $0$&nbsp; möglich? }}
+'''(8)'''&nbsp; Wie groß ist die Kapazität&nbsp; $C_8$&nbsp; dieses Kanals mit&nbsp;  $p_{\rm b \vert A} =  0.05$,&nbsp; $ p_{\rm a \vert B} = 0.35$?&nbsp; Ist mit der Coderate&nbsp; $R=0.3$&nbsp; die Fehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; $0$&nbsp; möglich? }}
-:*&nbsp; $C_8=0.322$&nbsp; ist das Maximum von&nbsp; $I(X;\ Y)$&nbsp;für &nbsp; $p_{\rm A} =0.4$.&nbsp; Wegen&nbsp; $C_8 >R=0.3 $&nbsp; ist somit eine beliebig kleine Blockfehlerwahrscheinlichkeit erreichbar.
+:*&nbsp; $C_8=0.326$&nbsp; ist das Maximum von&nbsp; $I(X;\ Y)$&nbsp;für &nbsp; $p_{\rm A} =0.55$.&nbsp; Wegen&nbsp; $C_8 >R=0.3 $&nbsp; ist somit eine beliebig kleine Blockfehlerwahrscheinlichkeit erreichbar.
-:*&nbsp; $H(X)= 0.971$&nbsp; ist um&nbsp; $0.29$&nbsp; kleiner,&nbsp; $H(X \vert Y)=0.649$&nbsp; um&nbsp; $0.4$&nbsp;  kleiner als in&nbsp; '''(7)''' &nbsp;  &rArr; &nbsp;  größere Kanalkapazität:&nbsp; $C_8=0.971-0.649=0.322 > C_6$.
+:*&nbsp; Der einzige Unterschied gegenüber&nbsp; $(6)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $C_6=0.284 < 0.3$&nbsp; ist die geringfügig kleinere Verfälschungswahrscheinlichkeit&nbsp; $ p_{\rm a \vert B} = 0.35$&nbsp; statt&nbsp; $ p_{\rm a \vert B} = 0.4$.
 {{BlaueBox|TEXT=

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-{{LntAppletLink|transinformation}}
+{{LntAppletLinkDeEn|transinformation|transinformation_en}}
 ==Programmbeschreibung==
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 ==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==
-{{LntAppletLink|transinformation}}
+{{LntAppletLinkDeEn|transinformation|transinformation_en}}

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 :*&nbsp; Trotzdem ist hier die Kanalkapazität mit &nbsp;$C_{13} \gnapprox  0.584$&nbsp; nur geringfügig kleiner als im vorherigen Versuch:&nbsp; $C_{12} \gnapprox  0.661$.
 :*&nbsp; Die Kanalapazität&nbsp; $C=0$&nbsp; ergibt sich beim redundanzfreien Ternärkanal genau für den Fall, dass alle neun Verfälschungswahrscheinlichkeiten gleich&nbsp; $1/3$&nbsp; sind.
 {{BlaueBox|TEXT=
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 ==Zur Handhabung des Applets==
 [[Datei:Anleitung_transinformation.png|left|600px]]
-&nbsp; &nbsp; '''(A)''' &nbsp; &nbsp; Vorauswahl für blauen Parametersatz
+<br><br><br><br>
+&nbsp; &nbsp; '''(A)''' &nbsp; &nbsp; Auswahlmöglichkeit, ob &nbsp;&bdquo;analytisch&rdquo;&nbsp; oder &nbsp;&bdquo;per Simulation&rdquo;
-&nbsp; &nbsp; '''(G)''' &nbsp; &nbsp; Momentenausgabe für roten Parametersatz
+&nbsp; &nbsp; '''(B)''' &nbsp; &nbsp; Einstellung des Parameters&nbsp; $N$&nbsp; für die Simulation
-&nbsp; &nbsp; '''(H)''' &nbsp; &nbsp; Variation der grafischen Darstellung
+&nbsp; &nbsp; '''(C)''' &nbsp; &nbsp; Auswahlmöglichkeit, ob &nbsp;&bdquo;Binärquelle&rdquo;&nbsp; oder &nbsp;&bdquo;Ternärquelle&rdquo;
-$\hspace{1.5cm}$&bdquo;$+$&rdquo; (Vergrößern),
+&nbsp; &nbsp; '''(E)''' &nbsp; &nbsp; Einstellung der Übergangswahrscheinlichkeiten
-$\hspace{1.5cm}$ &bdquo;$-$&rdquo; (Verkleinern)
+&nbsp; &nbsp; '''(F)''' &nbsp; &nbsp; Numerikausgabe verschiedener Wahrscheinlichkeiten
-$\hspace{1.5cm}$ &bdquo;$\rm o$&rdquo; (Zurücksetzen)
+&nbsp; &nbsp; '''(G)''' &nbsp; &nbsp; Zwei Schaubilder mit den informationstheoretischen Größen
-$\hspace{1.5cm}$ &bdquo;$\leftarrow$&rdquo; (Verschieben nach links),  usw.
+&nbsp; &nbsp; '''(H)''' &nbsp; &nbsp; Ausgabe einer beispielhaften Quellensymbolfolge
-&nbsp; &nbsp; '''( I )''' &nbsp; &nbsp; Ausgabe von ${\rm Pr} (z = \mu)$ und ${\rm Pr} (z  \le \mu)$
+&nbsp; &nbsp; '''(I)''' &nbsp; &nbsp; Zugehörige simulierte Sinkensymbolfolge
-&nbsp; &nbsp; '''(J)''' &nbsp; &nbsp; Bereich für die Versuchsdurchführung
+&nbsp; &nbsp; '''(J)''' &nbsp; &nbsp; Bereich für Übungen:  Aufgabenauswahl, Fragen, Musterlösungen
 <br clear=all>
 ==Über die Autoren==

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 '''(14)'''&nbsp; Welche Kapazität $C_{14}$ besitzt der Ternärkanal mit&nbsp; $p_{\rm b \vert A} = p_{\rm a \vert B}= 0$&nbsp; und&nbsp; $p_{\rm c \vert A} = p_{\rm c \vert B} = p_{\rm a \vert C}=p_{\rm b \vert C}=0.1$&nbsp; &rArr; &nbsp; $p_{\rm a \vert A} = p_{\rm b \vert B}=0.9$,&nbsp;$p_{\rm c \vert C} =0.8$?    }}
 :*&nbsp; Mit der Voreinstellung&nbsp; $p_{\rm A}=p_{\rm B}=0.2$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $p_{\rm C}=0.6$&nbsp; ergibt sich&nbsp; $I(X;\ Y)= 0.738$.&nbsp; Gesucht sind nun &bdquo;bessere&rdquo; Symbolwahrscheinlichkeiten.
-:*&nbsp; Aus der Symmetrie des Kanals ist ersichtlich, dass&nbsp; $p_{\rm A}=p_{\rm B}$&nbsp; optimal ist.&nbsp; Die Kanalkapazität&nbsp; $C_{14}=0.995$&nbsp; ergibt sich für&nbsp; $p_{\rm A}=p_{\rm B}=0.4$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $p_{\rm C}=0.2$.
+:*&nbsp; Aus der Symmetrie des Kanals ist offensichtlich, dass&nbsp; $p_{\rm A}=p_{\rm B}$&nbsp; optimal ist.&nbsp; Die Kanalkapazität&nbsp; $C_{14}=0.995$&nbsp; ergibt sich für&nbsp; $p_{\rm A}=p_{\rm B}=0.4$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $p_{\rm C}=0.2$.
 :*&nbsp; Beispiel:&nbsp; Ternärübertragung, falls das mittlere Symbol&nbsp; $\rm C$&nbsp; in zwei Richtungen verfälscht werden kann, die äußeren Symbole aber jeweils nur in eine Richtung.

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 [[Datei:Exercises_binomial_fertig.png|right]]
-*Wählen Sie zunächst die Nummer&nbsp; '''1'''&nbsp; ...&nbsp; '''?'''&nbsp; der zu bearbeitenden Aufgabe.
+*Wählen Sie zunächst die Nummer&nbsp; '''1'''&nbsp; ...&nbsp; '''14'''&nbsp; der zu bearbeitenden Aufgabe.
 *Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt.&nbsp; Die Parameterwerte sind angepasst.
 *Lösung nach Drücken von &bdquo;Musterlösung&rdquo;.
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 :*&nbsp; Entscheidend ist allein die Kanalkapazität &nbsp; $C_8=0.322$&nbsp; &rArr; &nbsp; es gibt einen Code mit Rate&nbsp; $R \le0.322$&nbsp;  mit beliebig kleiner Blockfehlerwahrscheinlichkeit.
 {{BlaueBox|TEXT=
-'''(9)'''&nbsp; Wir betrachten den idealen Ternärkanal:&nbsp; $p_{\rm a \vert A} = p_{\rm b \vert B}=p_{\rm c \vert C}=1$.&nbsp; Wie groß ist dessen Kapazität&nbsp; $C_9$?&nbsp; Welche maximale Transinformation zeigt dass Programm an? }}
+'''(9)'''&nbsp; Wir betrachten den idealen Ternärkanal:&nbsp; $p_{\rm a \vert A} = p_{\rm b \vert B}=p_{\rm c \vert C}=1$.&nbsp; Wie groß ist dessen Kapazität&nbsp; $C_9$?&nbsp; Welche maximale Transinformation zeigt das Programm an? }}
 :*&nbsp; Aufgrund der Symmetrie des Kanalmodells führen gleichwahrscheinliche Symbole $(p_{\rm A} = p_{\rm B}=p_{\rm C}=1/3)$&nbsp; zur Kanalkapazität:&nbsp; $C_9 = \log_2\ (3) = 1.585$.
 :*&nbsp; Da im Programm alle Parameterwerte nur mit einer Auflösung von&nbsp; $0.05$&nbsp; eingebbar sind, wird für&nbsp; $I(X;\ Y)$&nbsp; dieser Maximalwert nicht erreicht.
 :*&nbsp; Mögliche Approximationen:&nbsp; $p_{\rm A} = p_{\rm B}= 0.3, \ p_{\rm C}=0.4$&nbsp; &rArr; &nbsp; $I(X;\ Y)= 1.571$ &nbsp; &nbsp; | &nbsp; &nbsp; $p_{\rm A} = p_{\rm B}= 0.35, \ p_{\rm C}=0.3$&nbsp; &rArr; &nbsp; $I(X;\ Y)= 1.581$.
 {{BlaueBox|TEXT=
 '''(10)'''&nbsp; Die Quellensymbole seien (&bdquo;quasi&rdquo;)&ndash;gleichwahrscheinlich.&nbsp; Interpretieren Sie die weiteren Einstellungen und die Ergebnisse.  }}
-:*&nbsp; Die Verfälschungswahrscheinlichkeiten sind&nbsp; $p_{\rm b \vert A} = p_{\rm c \vert B}=p_{\rm a \vert C}=1$ &nbsp; &rArr; &nbsp; kein einziges Sinkensymbole ist gleich dem Quellensymbol.
+:*&nbsp; Die Verfälschungswahrscheinlichkeiten sind&nbsp; $p_{\rm b \vert A} = p_{\rm c \vert B}=p_{\rm a \vert C}=1$ &nbsp; &rArr; &nbsp; kein einziges Sinkensymbol ist gleich dem Quellensymbol.
-:*&nbsp; Dieses zyklische Mapping hat keinen Einfluss auf die Kanalkapazität:&nbsp; $C_{10} = C_9 = \log_2\ (3) = 1.585$.&nbsp; Das Programm liefert wieder&nbsp; ${\rm Max}\big[I(X;\ Y)= 1.581\big]$.
+:*&nbsp; Dieses zyklische Mapping hat keinen Einfluss auf die Kanalkapazität:&nbsp; $C_{10} = C_9 = 1.585$.&nbsp; Das Programm liefert wieder&nbsp; ${\rm Max}\big[I(X;\ Y)\big]= 1.581$.
 {{BlaueBox|TEXT=
 '''(11)'''&nbsp; Wir betrachten bis einschließlich&nbsp; '''(13)'''&nbsp; die gleiche Ternärquelle.&nbsp; Welche Ergebnisse erhält man für&nbsp;  $p_{\rm b \vert A} = p_{\rm c \vert B}=p_{\rm a \vert C}=0.2$&nbsp; und&nbsp; $p_{\rm c \vert A} = p_{\rm a \vert B}=p_{\rm b \vert C}=0$?  }}
-:*&nbsp; Jedes Quellensymbol kann nur in eines der zwei möglichen anderen Symbole verfälscht werden.&nbsp; Aus&nbsp; $p_{\rm b \vert A} = p_{\rm c \vert B}=p_{\rm a \vert C}=0.2$&nbsp; folgt&nbsp; $p_{\rm a \vert A} = p_{\rm b \vert B}=p_{\rm c \vert C}=0.8$.
+:*&nbsp; Jedes Symbol kann nur in eines der zwei möglichen anderen Symbole verfälscht werden.&nbsp; Aus&nbsp; $p_{\rm b \vert A} = p_{\rm c \vert B}=p_{\rm a \vert C}=0.2$&nbsp; folgt&nbsp; $p_{\rm a \vert A} = p_{\rm b \vert B}=p_{\rm c \vert C}=0.8$.
-:*&nbsp; Damit erhält man für die maximale Transinformation&nbsp; ${\rm Max}\big[I(X;\ Y)= 0.861\big]$&nbsp; und für die Kanalkapazität einen geringfügig größeren Wert:&nbsp; $C_{11} \gnapprox  0.861$.
+:*&nbsp; Damit erhält man für die maximale Transinformation&nbsp; ${\rm Max}\big[I(X;\ Y)\big]= 0.861$&nbsp; und für die Kanalkapazität einen geringfügig größeren Wert:&nbsp; $C_{11} \gnapprox  0.861$.
 {{BlaueBox|TEXT=
-'''(12)'''&nbsp; Wie ändern sich die Ergebnisse, wenn jedes Symbole zu&nbsp; $80\%$&nbsp; richtig übertragen und zu je&nbsp; $10\%$&nbsp; in eines der beiden anderen Symbole verfälscht wird?   }}
+'''(12)'''&nbsp; Wie ändern sich die Ergebnisse, wenn jedes Symbol zu&nbsp; $80\%$&nbsp; richtig übertragen und zu je&nbsp; $10\%$&nbsp; in eines der beiden anderen Symbole verfälscht wird?   }}
 :*&nbsp; Obwohl die Wahrscheinlichkeit für eine richtige Übertragung mit&nbsp; $80\%$&nbsp; ebenso groß ist wie in&nbsp;  '''(11)''', ist hier die Kanalkapazität um etwa den Wert&nbsp; $0.2$&nbsp; kleiner.
 :*&nbsp; Weiß man beim Kanal&nbsp;  '''(11)''', dass&nbsp; $X = \rm A$&nbsp; verfälscht wurde, so weiß  man auch, dass&nbsp; $Y = \rm b$&nbsp; ist.&nbsp; Bei&nbsp;  '''(12)'''&nbsp; weiß man das nicht &nbsp; &rArr; &nbsp; der Kanal ist ungünstiger.
 {{BlaueBox|TEXT=
-'''(13)'''&nbsp; Die Verfälschungswahrscheinlichkeiten seien nun&nbsp; $p_{\rm b \vert A} = p_{\rm c \vert A} = p_{\rm a \vert B} = p_{\rm c \vert B}=p_{\rm a \vert C}==p_{\rm b \vert C}=0.5$.&nbsp; Interpretieren Sie diesen redundanzfreien Ternärkanal.   }}
+'''(13)'''&nbsp; Die Verfälschungswahrscheinlichkeiten seien nun&nbsp; $p_{\rm b \vert A} = p_{\rm c \vert A} = p_{\rm a \vert B} = p_{\rm c \vert B}=p_{\rm a \vert C}=p_{\rm b \vert C}=0.5$.&nbsp; Interpretieren Sie diesen redundanzfreien Ternärkanal.   }}
-:*&nbsp; Hier ist kein einziges Sinkensymbole gleich dem zugehörigen Quellensymbol und bezüglich der beiden anderen Symbole ist eine &nbsp;$50$&nbsp; zu&nbsp; $50$&ndash;Entscheidung zu treffen.
+:*&nbsp; Kein einziges Sinkensymbol ist gleich dem zugehörigen Quellensymbol; bezüglich der beiden anderen Symbole ist eine &nbsp;$50$&nbsp; zu&nbsp; $50$&ndash;Entscheidung zu treffen.
 :*&nbsp; Trotzdem ist hier die Kanalkapazität mit &nbsp;$C_{13} \gnapprox  0.584$&nbsp; nur geringfügig kleiner als im vorherigen Versuch:&nbsp; $C_{12} \gnapprox  0.661$.
 :*&nbsp; Die Kanalapazität&nbsp; $C=0$&nbsp; ergibt sich beim redundanzfreien Ternärkanal genau für den Fall, dass alle neun Verfälschungswahrscheinlichkeiten gleich&nbsp; $1/3$&nbsp; sind.
 ==Zur Handhabung des Applets==