Applets:Das Gram-Schmidt-Verfahren - Versionsgeschichte

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	{{LntAppletLink\|gram-schmidt}}		{{LntAppletLink\|gram-schmidt}}
			[[en:Applets:Das_Gram-Schmidt-Verfahren]]

Maintenance script: Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

2026-02-24T13:40:23Z

Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

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	Das Applet verdeutlicht das  »Gram–Schmidt–Verfahren«.  Dieses ermöglicht,  eine Menge  $\{s_1(t), \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , s_M(t)\}$  energiebegrenzter Signale mit Hilfe von   $N \le M$  orthonormalen Basisfunktionen   $\varphi_1(t), \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , \varphi_N(t)$  in folgender Form darzustellen:		Das Applet verdeutlicht das  »Gram–Schmidt–Verfahren«.  Dieses ermöglicht,  eine Menge  $\{s_1(t), \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , s_M(t)\}$  energiebegrenzter Signale mit Hilfe von   $N \le M$  orthonormalen Basisfunktionen   $\varphi_1(t), \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , \varphi_N(t)$  in folgender Form darzustellen:

	:$$s_i(t) = \sum\limits_{j = 1}^{N}s_{ij} \cdot \varphi_j(t) ,		:$$s_i(t) = \sum\limits_{j = 1}^{N}s_{ij} \cdot \varphi_j(t) ,\hspace{0.3cm}i = 1,\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.1cm} , M, \hspace{0.3cm}j = 1,\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.1cm}, N\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.3cm}i = 1,\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.1cm} , M, \hspace{0.3cm}j = 1,\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.1cm}, N
	\hspace{0.05cm}.$$

	Der vektorielle Repräsentant der Musterfunktion  $s_1(t)$  lautet dann:		Der vektorielle Repräsentant der Musterfunktion  $s_1(t)$  lautet dann:
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	This applet illustrates the  »Gram–Schmidt process«.  This allows to represent a set  $\{s_1(t), \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , s_M(t)\}$  of energy-limited signals in the following form,  using   $N \le M$  orthonormal basis functions   $\varphi_1(t), \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , \varphi_N(t)$:		This applet illustrates the  »Gram–Schmidt process«.  This allows to represent a set  $\{s_1(t), \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , s_M(t)\}$  of energy-limited signals in the following form,  using   $N \le M$  orthonormal basis functions   $\varphi_1(t), \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , \varphi_N(t)$:

	:$$s_i(t) = \sum\limits_{j = 1}^{N}s_{ij} \cdot \varphi_j(t) ,		:$$s_i(t) = \sum\limits_{j = 1}^{N}s_{ij} \cdot \varphi_j(t) ,\hspace{0.3cm}i = 1,\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.1cm} , M, \hspace{0.3cm}j = 1,\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.1cm}, N\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.3cm}i = 1,\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.1cm} , M, \hspace{0.3cm}j = 1,\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.1cm}, N
	\hspace{0.05cm}.$$

	The vectorial representative of the pattern function  $s_1(t)$  is then:		The vectorial representative of the pattern function  $s_1(t)$  is then:
Zeile 47:		Zeile 43:
	$\text{Satz:}$  Eine jede Menge  $\{s_1(t), \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , s_M(t)\}$  energiebegrenzter Signale lässt sich in  $N \le M$  '''orthonormale Basisfunktionen'''  $\varphi_1(t), \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , \varphi_N(t)$  entwickeln.  Es gilt:		$\text{Satz:}$  Eine jede Menge  $\{s_1(t), \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , s_M(t)\}$  energiebegrenzter Signale lässt sich in  $N \le M$  '''orthonormale Basisfunktionen'''  $\varphi_1(t), \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , \varphi_N(t)$  entwickeln.  Es gilt:

	:$$s_i(t) = \sum\limits_{j = 1}^{N}s_{ij} \cdot \varphi_j(t) ,		:$$s_i(t) = \sum\limits_{j = 1}^{N}s_{ij} \cdot \varphi_j(t) ,\hspace{0.3cm}i = 1,\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.1cm} , M, \hspace{0.3cm}j = 1,\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.1cm}, N\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.3cm}i = 1,\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.1cm} , M, \hspace{0.3cm}j = 1,\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.1cm}, N
	\hspace{0.05cm}.$$

	Jeweils zwei Basisfunktionen  $\varphi_j(t)$  und  $\varphi_k(t)$  müssen orthonormal zueinander sein, das heißt, dass gelten muss  $(\delta_{jk}$  nennt man das [https://de.wikipedia.org/wiki/Kronecker-Delta Kronecker–Symbol]$)$:		Jeweils zwei Basisfunktionen  $\varphi_j(t)$  und  $\varphi_k(t)$  müssen orthonormal zueinander sein, das heißt, dass gelten muss  $(\delta_{jk}$  nennt man das [https://de.wikipedia.org/wiki/Kronecker-Delta Kronecker–Symbol]$)$:

	:$$<\hspace{-0.1cm}\varphi_j(t), \hspace{0.05cm}\varphi_k(t) \hspace{-0.1cm}> = \int_{-\infty}^{+\infty}\varphi_j(t) \cdot \varphi_k(t)\,d \it t = {\rm \delta}_{jk} =		:$$<\hspace{-0.1cm}\varphi_j(t), \hspace{0.05cm}\varphi_k(t) \hspace{-0.1cm}> = \int_{-\infty}^{+\infty}\varphi_j(t) \cdot \varphi_k(t)\,d \it t = {\rm \delta}_{jk} =\left\{ \begin{array}{c} 1 \\0 \end{array} \right.\quad\begin{array}{*{1}c} {\rm falls}\hspace{0.4cm}j = k\hspace{0.1cm}\\ {\rm falls}\hspace{0.4cm} j \ne k \hspace{0.1cm}\\ \end{array}\hspace{0.05cm}.$$}}<br>
	\left\{ \begin{array}{c} 1 \\
	0 \end{array} \right.\quad
	\begin{array}{*{1}c} {\rm falls}\hspace{0.4cm}j = k\hspace{0.1cm}
	\\ {\rm falls}\hspace{0.4cm} j \ne k \hspace{0.1cm}\\ \end{array}
	\hspace{0.05cm}.$$}}<br>

	Der Parameter  $N$  gibt dabei an, wieviele Basisfunktionen  $\varphi_j(t)$  benötigt werden, um die  $M$  möglichen Sendesignale darzustellen.  Mit anderen Worten:   $N$  ist die  »Dimension des Vektorraums«,  der von den  $M$  Signalen aufgespannt wird.  Dabei gilt:		Der Parameter  $N$  gibt dabei an, wieviele Basisfunktionen  $\varphi_j(t)$  benötigt werden, um die  $M$  möglichen Sendesignale darzustellen.  Mit anderen Worten:   $N$  ist die  »Dimension des Vektorraums«,  der von den  $M$  Signalen aufgespannt wird.  Dabei gilt:
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	*Das Signal  $s_3(t)$  kann durch die vorher bestimmten Basisfunktionen  $\varphi_1(t)$  und  $\varphi_2(t)$  ausgedrückt werden:		*Das Signal  $s_3(t)$  kann durch die vorher bestimmten Basisfunktionen  $\varphi_1(t)$  und  $\varphi_2(t)$  ausgedrückt werden:
	:$$s_3(t) =s_{31} \cdot \varphi_1(t) + s_{32} \cdot \varphi_2(t)\hspace{0.05cm},$$		:$$s_3(t) =s_{31} \cdot \varphi_1(t) + s_{32} \cdot \varphi_2(t)\hspace{0.05cm},$$
	:$$\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.1cm}		:$$\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.1cm}s_{31} = {A}/{2} \cdot \sqrt {T}= {\sqrt{E} }/{2}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}s_{32} = - A \cdot \sqrt {T} = -\sqrt{E} \hspace{0.05cm}.$$
	s_{31} = {A}/{2} \cdot \sqrt {T}= {\sqrt{E} }/{2}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}s_{32} = - A \cdot \sqrt {T} = -\sqrt{E} \hspace{0.05cm}.$$

	Trotz  $M=3$  gilt also im vorliegenen Fall nur  $N=2$.		Trotz  $M=3$  gilt also im vorliegenen Fall nur  $N=2$.
Zeile 94:		Zeile 82:

	Die vektoriellen Repräsentanten der Signale  $s_1(t)$,  $s_2(t)$  und  $s_3(t)$  in diesem zweidimensionellen Vektorraum lassen sich daraus wie folgt ablesen:		Die vektoriellen Repräsentanten der Signale  $s_1(t)$,  $s_2(t)$  und  $s_3(t)$  in diesem zweidimensionellen Vektorraum lassen sich daraus wie folgt ablesen:
	:$$\mathbf{s}_1 = (\sqrt{ E}, \hspace{0.1cm}0), \hspace{0.5cm}		:$$\mathbf{s}_1 = (\sqrt{ E}, \hspace{0.1cm}0), \hspace{0.5cm}\mathbf{s}_2 = (0, \hspace{0.1cm}\sqrt{ E}/2), \hspace{0.5cm} \mathbf{s}_3 = (\sqrt{ E}/2,\hspace{0.1cm}-\sqrt{ E} ) \hspace{0.05cm}.$$}}
	\mathbf{s}_2 = (0, \hspace{0.1cm}\sqrt{ E}/2), \hspace{0.5cm} \mathbf{s}_3 = (\sqrt{ E}/2,\hspace{0.1cm}-\sqrt{ E} ) \hspace{0.05cm}.$$}}
	<br clear= all>		<br clear= all>

Zeile 103:		Zeile 90:

	*Die erste Basisfunktion  $\varphi_1(t)$  ist stets formgleich mit  $s_1(t)$. Es gilt:		*Die erste Basisfunktion  $\varphi_1(t)$  ist stets formgleich mit  $s_1(t)$. Es gilt:
	:$$\varphi_1(t) = \frac{s_1(t)}{\sqrt{E_1}} = \frac{s_1(t)}{\|\| s_1(t)\|\|}		:$$\varphi_1(t) = \frac{s_1(t)}{\sqrt{E_1}} = \frac{s_1(t)}{\|\| s_1(t)\|\|}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \|\| \varphi_1(t) \|\| = 1, \hspace{0.2cm}s_{11} =\|\| s_1(t)\|\|,\hspace{0.2cm}s_{1j} = 0 \hspace{0.2cm}{\rm f{\rm \ddot{u}r }}\hspace{0.2cm} j \ge 2\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \|\| \varphi_1(t) \|\| = 1, \hspace{0.2cm}s_{11} =\|\| s_1(t)\|\|,\hspace{0.2cm}s_{1j} = 0 \hspace{0.2cm}{\rm f{\rm \ddot{u}r }}\hspace{0.2cm} j \ge 2
	\hspace{0.05cm}.$$

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
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	'''(1)'''  Ausgehend von zwei reellen und energiebegrenzten Zeitfunktionen  $x(t)$  und  $y(t)$  erhält man für das  [https://de.wikipedia.org/wiki/Inneres_Produkt innere Produkt] allgemein:		'''(1)'''  Ausgehend von zwei reellen und energiebegrenzten Zeitfunktionen  $x(t)$  und  $y(t)$  erhält man für das  [https://de.wikipedia.org/wiki/Inneres_Produkt innere Produkt] allgemein:
	:$$<\hspace{-0.01cm}x(t), \hspace{0.05cm}y(t) \hspace{-0.01cm}> \hspace{0.15cm}= \int_{-\infty}^{+\infty}x(t) \cdot y(t)\,d \it t		:$$<\hspace{-0.01cm}x(t), \hspace{0.05cm}y(t) \hspace{-0.01cm}> \hspace{0.15cm}= \int_{-\infty}^{+\infty}x(t) \cdot y(t)\,d \it t\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.05cm}.$$

	'''(2)'''  Daraus ergibt sich die  [https://de.wikipedia.org/wiki/Euklidische_Norm Euklidische Norm]  der Zeitfunktion $s_1(t)$:		'''(2)'''  Daraus ergibt sich die  [https://de.wikipedia.org/wiki/Euklidische_Norm Euklidische Norm]  der Zeitfunktion $s_1(t)$:
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	*Dann berechnen wir mittels der nächsten Funktion  $s_k(t)$  die Hilfsfunktion		*Dann berechnen wir mittels der nächsten Funktion  $s_k(t)$  die Hilfsfunktion
	:$$\theta_k(t) = s_k(t) - \sum\limits_{j = 1}^{n-1}s_{kj} \cdot \varphi_j(t) \hspace{0.4cm}{\rm mit}\hspace{0.4cm}		:$$\theta_k(t) = s_k(t) - \sum\limits_{j = 1}^{n-1}s_{kj} \cdot \varphi_j(t) \hspace{0.4cm}{\rm mit}\hspace{0.4cm}s_{kj} = \hspace{0.01cm} < \hspace{-0.1cm} s_k(t), \hspace{0.05cm}\varphi_j(t) \hspace{-0.01cm} >, \hspace{0.2cm} j = 1, \hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}, n-1\hspace{0.05cm}.$$
	s_{kj} = \hspace{0.01cm} < \hspace{-0.1cm} s_k(t), \hspace{0.05cm}\varphi_j(t) \hspace{-0.01cm} >, \hspace{0.2cm} j = 1, \hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}, n-1\hspace{0.05cm}.$$

	*Hat diese Hilfsfunktion die Norm   $\|\|\theta_k(t)\|\| = 0$, so liefert  $s_k(t)$  keine neue Basisfunktion.  Vielmehr lässt sich dann  $s_k(t)$  durch die  $n-1$  bereits vorher gefundenen Basisfunktionen  $\varphi_1(t)$, ... , $\varphi_{n-1}(t)$  ausdrücken:		*Hat diese Hilfsfunktion die Norm   $\|\|\theta_k(t)\|\| = 0$, so liefert  $s_k(t)$  keine neue Basisfunktion.  Vielmehr lässt sich dann  $s_k(t)$  durch die  $n-1$  bereits vorher gefundenen Basisfunktionen  $\varphi_1(t)$, ... , $\varphi_{n-1}(t)$  ausdrücken:
Zeile 129:		Zeile 112:
	*Eine neue Basisfunktion  (nämlich die  $n$–te)  ergibt sich nur für den Fall  $\|\|\theta_k(t)\|\| \ne 0$:		*Eine neue Basisfunktion  (nämlich die  $n$–te)  ergibt sich nur für den Fall  $\|\|\theta_k(t)\|\| \ne 0$:

	:$$\varphi_n(t) = \frac{\theta_k(t)}{\|\| \theta_k(t)\|\|}		:$$\varphi_n(t) = \frac{\theta_k(t)}{\|\| \theta_k(t)\|\|}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \|\| \varphi_n(t) \|\| = 1\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \|\| \varphi_n(t) \|\| = 1\hspace{0.05cm}.$$

	Diese Prozedur wird solange fortgesetzt, bis alle  $M$  Signale berücksichtigt wurden.		Diese Prozedur wird solange fortgesetzt, bis alle  $M$  Signale berücksichtigt wurden.
Zeile 149:		Zeile 131:

	:$$s_{21} = \hspace{0.1cm} < \hspace{-0.01cm} s_2(t), \hspace{0.05cm}\varphi_1(t) \hspace{-0.1cm} > \hspace{0.01cm} = 0 \cdot (+0.577) + 1 \cdot (-0.577)+ 0 \cdot (-0.577)= -0.577$$		:$$s_{21} = \hspace{0.1cm} < \hspace{-0.01cm} s_2(t), \hspace{0.05cm}\varphi_1(t) \hspace{-0.1cm} > \hspace{0.01cm} = 0 \cdot (+0.577) + 1 \cdot (-0.577)+ 0 \cdot (-0.577)= -0.577$$
	:$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm}\theta_2(t) = s_2(t) - s_{21} \cdot \varphi_1(t) = (0.333, \hspace{0.15cm} 0.667, \hspace{0.15cm} -0.333)		:$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm}\theta_2(t) = s_2(t) - s_{21} \cdot \varphi_1(t) = (0.333, \hspace{0.15cm} 0.667, \hspace{0.15cm} -0.333)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\vert \vert \theta_2(t) \vert \vert^2 = (1/3)^2 + (2/3)^2 + (-1/3)^2 = 0.667$$
	\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\vert \vert \theta_2(t) \vert \vert^2 = (1/3)^2 + (2/3)^2 + (-1/3)^2 = 0.667$$		:$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{22} = \sqrt{0.667} = 0.816,\hspace{0.3cm}\varphi_2(t) = \theta_2(t)/s_{22} = (0.408, \hspace{0.15cm} 0.816, \hspace{0.15cm} -0.408)\hspace{0.05cm}. $$
	:$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{22} = \sqrt{0.667} = 0.816,\hspace{0.3cm}
	\varphi_2(t) = \theta_2(t)/s_{22} = (0.408, \hspace{0.15cm} 0.816, \hspace{0.15cm} -0.408)\hspace{0.05cm}. $$

	*Die inneren Produkte zwischen  $s_1(t)$  mit  $\varphi_1(t)$  bzw.  $\varphi_2(t)$  liefern folgende Ergebnisse:		*Die inneren Produkte zwischen  $s_1(t)$  mit  $\varphi_1(t)$  bzw.  $\varphi_2(t)$  liefern folgende Ergebnisse:

Höfler: Textersetzung - „Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29“ durch „Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29“

2025-02-24T09:42:49Z

Textersetzung - „Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29“ durch „Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29“

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	==Über die Autoren==		==Über die Autoren==
	Dieses interaktive Berechnungstool wurde am  [https://www.ce.cit.tum.de/lnt/startseite/ »Lehrstuhl für Nachrichtentechnik«]  der  [https://www.tum.de/ »Technischen Universität München«]  konzipiert und realisiert.		Dieses interaktive Berechnungstool wurde am  [https://www.ce.cit.tum.de/lnt/startseite/ »Lehrstuhl für Nachrichtentechnik«]  der  [https://www.tum.de/ »Technischen Universität München«]  konzipiert und realisiert.
	*Die erste Version wurde 2008 von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Martin_V.C3.B6lkl_.28Diplomarbeit_LB_2010.29\|»Martin Völkl«]]  im Rahmen seiner Diplomarbeit mit »FlashMX–Actionscript« erstellt  $($Betreuer:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.~~28am_LNT_seit_1974~~.29\|»Günter Söder«]]$)$.		*Die erste Version wurde 2008 von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Martin_V.C3.B6lkl_.28Diplomarbeit_LB_2010.29\|»Martin Völkl«]]  im Rahmen seiner Diplomarbeit mit »FlashMX–Actionscript« erstellt  $($Betreuer:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29\|»Günter Söder«]]$)$.

	* 2020 wurde das Programm von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29\|»Carolin Mirschina«]]  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit mit &bdquo;HTML5” neu gestaltet  $($Betreuer:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29\|»Tasnád Kernetzky«]]$)$.		* 2020 wurde das Programm von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29\|»Carolin Mirschina«]]  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit mit &bdquo;HTML5” neu gestaltet  $($Betreuer:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29\|»Tasnád Kernetzky«]]$)$.

Höfler: Textersetzung - „Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29“ durch „Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29“

2023-10-26T10:14:56Z

Textersetzung - „Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29“ durch „Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29“

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	*Die erste Version wurde 2008 von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Martin_V.C3.B6lkl_.28Diplomarbeit_LB_2010.29\|»Martin Völkl«]]  im Rahmen seiner Diplomarbeit mit »FlashMX–Actionscript« erstellt  $($Betreuer:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29\|»Günter Söder«]]$)$.		*Die erste Version wurde 2008 von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Martin_V.C3.B6lkl_.28Diplomarbeit_LB_2010.29\|»Martin Völkl«]]  im Rahmen seiner Diplomarbeit mit »FlashMX–Actionscript« erstellt  $($Betreuer:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29\|»Günter Söder«]]$)$.

	* 2020 wurde das Programm von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29\|»Carolin Mirschina«]]  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit mit &bdquo;HTML5” neu gestaltet  $($Betreuer:  [[Biografien_und_Bibliografien/~~Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik~~#~~Tasn.C3~~.~~A1d_Kernetzky~~.~~2C_M~~.Sc._.28bei_L.C3.~~9CT_seit_2014~~.29\|»Tasnád Kernetzky«]]$)$.		* 2020 wurde das Programm von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29\|»Carolin Mirschina«]]  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit mit &bdquo;HTML5” neu gestaltet  $($Betreuer:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29\|»Tasnád Kernetzky«]]$)$.

Guenter am 17. April 2023 um 13:22 Uhr

2023-04-17T13:22:05Z

← Nächstältere Version		Version vom 17. April 2023, 15:22 Uhr
Zeile 339:		Zeile 339:
	==Zur Handhabung des Applets==		==Zur Handhabung des Applets==
	<br>		<br>
	[[Datei:Gram_11_version2.png\|left\|600px]]		[[Datei:Gram_11_version2.png\|left\|600px\|frame\|Bildschirmabzug]]
	'''(A)'''     Auswahl zwischen 24 Parametersätze für  $\{s_1(t), \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , s_M(t)\}$		'''(A)'''     Auswahl zwischen 24 Parametersätze für  $\{s_1(t), \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , s_M(t)\}$

Zeile 357:		Zeile 357:
	'''(H)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung:   Aufgabenauswahl		'''(H)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung:   Aufgabenauswahl

	[[Datei:Gram_12_verion1.png\|right\|300px]]		[[Datei:Gram_12_verion1.png\|right\|300px\|frame\|3D–Darstellung der Repräsentanten]]
	<br clear=all>		<br clear=all>
	==Über die Autoren==		==Über die Autoren==
	Dieses interaktive Berechnungstool wurde am  [https://www.ce.cit.tum.de/lnt/startseite/ »Lehrstuhl für Nachrichtentechnik«]  der  [https://www.tum.de/ »Technischen Universität München«]  konzipiert und realisiert.		Dieses interaktive Berechnungstool wurde am  [https://www.ce.cit.tum.de/lnt/startseite/ »Lehrstuhl für Nachrichtentechnik«]  der  [https://www.tum.de/ »Technischen Universität München«]  konzipiert und realisiert.
	*Die erste Version wurde 2008 von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Martin_V.C3.B6lkl_.28Diplomarbeit_LB_2010.29\|»Martin Völkl«]]  im Rahmen seiner Diplomarbeit mit »FlashMX–Actionscript« erstellt (Betreuer:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29\|»Günter Söder«]]).		*Die erste Version wurde 2008 von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Martin_V.C3.B6lkl_.28Diplomarbeit_LB_2010.29\|»Martin Völkl«]]  im Rahmen seiner Diplomarbeit mit »FlashMX–Actionscript« erstellt  $($Betreuer:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29\|»Günter Söder«]]$)$.

	* 2020 wurde das Programm von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29\|»Carolin Mirschina«]]  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit ~~auf~~ &bdquo;HTML5” ~~umgesetzt und~~ neu gestaltet (Betreuer:  [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29\|»Tasnád Kernetzky«]]).		* 2020 wurde das Programm von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29\|»Carolin Mirschina«]]  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit mit &bdquo;HTML5” neu gestaltet  $($Betreuer:  [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29\|»Tasnád Kernetzky«]]$)$.

Guenter am 17. April 2023 um 13:14 Uhr

2023-04-17T13:14:00Z

Guenter am 17. April 2023 um 09:38 Uhr

2023-04-17T09:38:02Z

← Nächstältere Version		Version vom 17. April 2023, 11:38 Uhr
Zeile 15:		Zeile 15:
	Das Applet zeigt alle Grafiken,  die zum Verständnis des Gram–Schmidt–Verfahrens erforderlich sind,  und als jeweiliges Ergebnis		Das Applet zeigt alle Grafiken,  die zum Verständnis des Gram–Schmidt–Verfahrens erforderlich sind,  und als jeweiliges Ergebnis
	* die 2D–Darstellung der  $M$  vektoriellen Repräsentanten, falls  $N=2$,		* die 2D–Darstellung der  $M$  vektoriellen Repräsentanten, falls  $N=2$,

	* die 3D–Darstellung der  $M$  vektoriellen Repräsentanten, falls  $N=3$.		* die 3D–Darstellung der  $M$  vektoriellen Repräsentanten, falls  $N=3$.

Zeile 30:		Zeile 31:
	The applet shows all the graphics,  necessary to understand the Gram–Schmidt process,  and as the respective result.		The applet shows all the graphics,  necessary to understand the Gram–Schmidt process,  and as the respective result.
	* the two-dimensional representation of the  $M$  vectorial representatives, if  $N=2$,		* the two-dimensional representation of the  $M$  vectorial representatives, if  $N=2$,

	* the three-dimensional representation of the  $M$  vectorial representatives, if  $N=3$.		* the three-dimensional representation of the  $M$  vectorial representatives, if  $N=3$.

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	\hspace{0.05cm}.$$}}<br>		\hspace{0.05cm}.$$}}<br>

	Der Parameter  $N$  gibt dabei an, wieviele Basisfunktionen  $\varphi_j(t)$  benötigt werden, um die  $M$  möglichen Sendesignale darzustellen.  Mit anderen Worten:   $N$  ist die ''Dimension des Vektorraums'', der von den  $M$  Signalen aufgespannt wird.  Dabei gilt:		Der Parameter  $N$  gibt dabei an, wieviele Basisfunktionen  $\varphi_j(t)$  benötigt werden, um die  $M$  möglichen Sendesignale darzustellen.  Mit anderen Worten:   $N$  ist die  »Dimension des Vektorraums«,  der von den  $M$  Signalen aufgespannt wird.  Dabei gilt:
	*Ist  $N = M$, so sind alle Sendesignale zueinander orthogonal.  Sie sind nicht notwendigerweise orthonormal, das heißt, die Energien  $E_i = \ <\hspace{-0.01cm}s_i(t), \hspace{0.05cm}s_i(t) \hspace{-0.01cm}>$  können durchaus ungleich Eins sein.<br>		*Ist  $N = M$, so sind alle Sendesignale zueinander orthogonal.  Sie sind nicht notwendigerweise orthonormal, das heißt, die Energien  $E_i = \ <\hspace{-0.01cm}s_i(t), \hspace{0.05cm}s_i(t) \hspace{-0.01cm}>$  können durchaus ungleich Eins sein.<br>

	*Der Fall  $N < M$  ergibt sich, wenn mindestens ein Signal  $s_i(t)$  als Linearkombination von Basisfunktionen  $\varphi_j(t)$  dargestellt werden kann, die sich bereits aus anderen Signalen  $s_j(t) \ne s_i(t)$  ergeben haben.<br>		*Der Fall  $N < M$  ergibt sich, wenn mindestens ein Signal  $s_i(t)$  als Linearkombination von Basisfunktionen  $\varphi_j(t)$  dargestellt werden kann, die sich bereits aus anderen Signalen  $s_j(t) \ne s_i(t)$  ergeben haben.<br>

Zeile 73:		Zeile 76:

	*Die Basisfunktionen  $\varphi_1(t)$  und  $\varphi_2(t)$  sind jeweils formgleich mit  $s_1(t)$  bzw.  $s_2(t)$.		*Die Basisfunktionen  $\varphi_1(t)$  und  $\varphi_2(t)$  sind jeweils formgleich mit  $s_1(t)$  bzw.  $s_2(t)$.

	*Beide Signale besitzen jeweils die Energie &bdquo;Eins”:		*Beide Signale besitzen jeweils die Energie &bdquo;Eins”:

Zeile 129:		Zeile 133:

	Diese Prozedur wird solange fortgesetzt, bis alle  $M$  Signale berücksichtigt wurden.		Diese Prozedur wird solange fortgesetzt, bis alle  $M$  Signale berücksichtigt wurden.
	*Danach hat man alle  $N \le M$  orthonormalen Basisfunktionen  $\varphi_j(t)$  gefunden.		*Danach hat man alle  $N \le M$  orthonormalen Basisfunktionen  $\varphi_j(t)$  gefunden.

	*Der Sonderfall  $N = M$  ergibt sich nur dann, wenn alle  $M$  Signale linear voneinander unabhängig sind.<br>		*Der Sonderfall  $N = M$  ergibt sich nur dann, wenn alle  $M$  Signale linear voneinander unabhängig sind.<br>

Zeile 355:		Zeile 360:
	<br clear=all>		<br clear=all>
	==Über die Autoren==		==Über die Autoren==
	Dieses interaktive Berechnungstool wurde am  [~~http~~://www.~~lnt~~.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]  der  [https://www.tum.de/ Technischen Universität München]  konzipiert und realisiert.		Dieses interaktive Berechnungstool wurde am  [https://www.ce.cit.tum.de/lnt/startseite/ »Lehrstuhl für Nachrichtentechnik«]  der  [https://www.tum.de/ »Technischen Universität München«]  konzipiert und realisiert.
	*Die erste Version wurde 2008 von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Martin_V.C3.B6lkl_.28Diplomarbeit_LB_2010.29\|Martin Völkl]]  im Rahmen seiner Diplomarbeit mit &~~bdquo~~;FlashMX–Actionscript&~~rdquo~~; erstellt (Betreuer:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29\|Günter Söder]]).		*Die erste Version wurde 2008 von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Martin_V.C3.B6lkl_.28Diplomarbeit_LB_2010.29\|»Martin Völkl«]]  im Rahmen seiner Diplomarbeit mit »FlashMX–Actionscript« erstellt (Betreuer:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29\|»Günter Söder«]]).
	* 2020 wurde das Programm von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29\|Carolin Mirschina]]  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf &bdquo;HTML5” umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer:  [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29\|Tasnád Kernetzky]]).
			* 2020 wurde das Programm von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29\|»Carolin Mirschina«]]  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf &bdquo;HTML5” umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer:  [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29\|»Tasnád Kernetzky«]]).


	Die Umsetzung dieses Applets auf HTML 5 wurde durch das Programm  [https://www.exzellenz.tum.de/startseite/ EXIni]  (Exzellenzinitiative)  der Technischen Universität München gefördert.  Wir bedanken uns.		Die Umsetzung dieses Applets auf HTML 5 wurde durch das Programm  [https://www.exzellenz.tum.de/startseite/ »EXIni«]  (Exzellenzinitiative)  der Technischen Universität München gefördert.  Wir bedanken uns.

Guenter am 7. Juli 2022 um 12:23 Uhr

2022-07-07T12:23:07Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. Juli 2022, 14:23 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:
	==Programmbeschreibung==		==Programmbeschreibung==
	<br>		<br>
	Das Applet verdeutlicht das Gram–Schmidt–Verfahren. Dieses ermöglicht, eine Menge  $\{s_1(t), \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , s_M(t)\}$  energiebegrenzter Signale mit Hilfe von   $N \le M$  orthonormalen Basisfunktionen   $\varphi_1(t), \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , \varphi_N(t)$  in folgender Form darzustellen:		Das Applet verdeutlicht das  »Gram–Schmidt–Verfahren«.  Dieses ermöglicht,  eine Menge  $\{s_1(t), \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , s_M(t)\}$  energiebegrenzter Signale mit Hilfe von   $N \le M$  orthonormalen Basisfunktionen   $\varphi_1(t), \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , \varphi_N(t)$  in folgender Form darzustellen:

	:$$s_i(t) = \sum\limits_{j = 1}^{N}s_{ij} \cdot \varphi_j(t) ,		:$$s_i(t) = \sum\limits_{j = 1}^{N}s_{ij} \cdot \varphi_j(t) ,
Zeile 11:		Zeile 11:

	Der vektorielle Repräsentant der Musterfunktion  $s_1(t)$  lautet dann:		Der vektorielle Repräsentant der Musterfunktion  $s_1(t)$  lautet dann:
	$$\mathbf{s}_i = \big( s_{i1}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}s_{i2}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} s_{iN} \big ).$$		:$$\mathbf{s}_i = \big( s_{i1}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}s_{i2}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} s_{iN} \big ).$$

	Das Applet zeigt alle Grafiken, die zum Verständnis des Gram–Schmidt–Verfahrens erforderlich sind, und als jeweiliges Ergebnis		Das Applet zeigt alle Grafiken,  die zum Verständnis des Gram–Schmidt–Verfahrens erforderlich sind,  und als jeweiliges Ergebnis
	* die 2D–Darstellung der  $M$  vektoriellen Repräsentanten, falls  $N=2$,		* die 2D–Darstellung der  $M$  vektoriellen Repräsentanten, falls  $N=2$,
	* die 3D–Darstellung der  $M$  vektoriellen Repräsentanten, falls  $N=3$.		* die 3D–Darstellung der  $M$  vektoriellen Repräsentanten, falls  $N=3$.

			==English Description==
			<br>
			This applet illustrates the  »Gram–Schmidt process«.  This allows to represent a set  $\{s_1(t), \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , s_M(t)\}$  of energy-limited signals in the following form,  using   $N \le M$  orthonormal basis functions   $\varphi_1(t), \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , \varphi_N(t)$:

			:$$s_i(t) = \sum\limits_{j = 1}^{N}s_{ij} \cdot \varphi_j(t) ,
			\hspace{0.3cm}i = 1,\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.1cm} , M, \hspace{0.3cm}j = 1,\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.1cm}, N
			\hspace{0.05cm}.$$

			The vectorial representative of the pattern function  $s_1(t)$  is then:
			:$$\mathbf{s}_i = \big( s_{i1}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}s_{i2}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} s_{iN} \big ).$$

			The applet shows all the graphics,  necessary to understand the Gram–Schmidt process,  and as the respective result.
			* the two-dimensional representation of the  $M$  vectorial representatives, if  $N=2$,
			* the three-dimensional representation of the  $M$  vectorial representatives, if  $N=3$.


	==Theoretischer Hintergrund==		==Theoretischer Hintergrund==

Guenter am 7. Juli 2022 um 11:50 Uhr

2022-07-07T11:50:19Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. Juli 2022, 13:50 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	{{~~LntAppletLinkDeEn~~\|gram-schmidt~~\|gram-schmidt_en~~}}		{{LntAppletLink\|gram-schmidt}}


	==Programmbeschreibung==		==Programmbeschreibung==
Zeile 348:		Zeile 349:
	==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==		==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==

	{{~~LntAppletLinkDeEn~~\|gram-schmidt~~\|gram-schmidt_en~~}}		{{LntAppletLink\|gram-schmidt}}

Guenter am 26. Februar 2021 um 10:26 Uhr

2021-02-26T10:26:40Z

← Nächstältere Version		Version vom 26. Februar 2021, 12:26 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	{{~~LntAppletLink~~\|gram-schmidt}}		{{LntAppletLinkDeEn\|gram-schmidt\|gram-schmidt_en}}

	==Programmbeschreibung==		==Programmbeschreibung==
Zeile 348:		Zeile 348:
	==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==		==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==

	{{~~LntAppletLink~~\|gram-schmidt}}		{{LntAppletLinkDeEn\|gram-schmidt\|gram-schmidt_en}}

← Nächstältere Version		Version vom 17. April 2023, 15:14 Uhr
Zeile 165:		Zeile 165:
	Das Programm bietet insgesamt  $4 \cdot 6 = 24$  Möglichkeiten zur Einstellung der jeweiligen Menge  $\{s_i(t)\}$  möglicher Sendesignale.  Diese  $24$  Parametersätze sind in vier Rubriken eingeteilt. Die vier Rubriküberschriften treffen den Sachverhalt nicht hundertprozentig und sind deshalb in Hochkommata gesetzt:		Das Programm bietet insgesamt  $4 \cdot 6 = 24$  Möglichkeiten zur Einstellung der jeweiligen Menge  $\{s_i(t)\}$  möglicher Sendesignale.  Diese  $24$  Parametersätze sind in vier Rubriken eingeteilt. Die vier Rubriküberschriften treffen den Sachverhalt nicht hundertprozentig und sind deshalb in Hochkommata gesetzt:

	'''(1)'''  Rubrik  ~~<u>~~&~~bdquo~~;Basisband&~~rdquo~~;</u>   ⇒   gültig für die Einstellungen  $\rm (A)$  ...  $\rm (F)$:		'''(1)'''  Rubrik  »$\text{Basisband}$«</u>   ⇒   gültig für die Einstellungen  $\rm (A)$  ...  $\rm (F)$:
	[[Datei:Gram_1_version2.png\|right\|frame\|Signalform bei &bdquo;Basisband”]]		[[Datei:Gram_1_version2.png\|right\|frame\|Signalform bei &bdquo;Basisband”]]
	*Jedes Mustersignal  $s_i(t)$  besteht aus drei Rechteckfunktionen unterschiedlicher Höhen und jeweiliger Dauer  $T$.		*Jedes Mustersignal  $s_i(t)$  besteht aus drei Rechteckfunktionen unterschiedlicher Höhen und jeweiliger Dauer  $T$.
Zeile 171:		Zeile 171:
	*Mit dem seitlichen Slider kann man das Signal  $s_i(t)$  um Vielfache von  $\pm 0.25$  nach oben und unten verschieben.		*Mit dem seitlichen Slider kann man das Signal  $s_i(t)$  um Vielfache von  $\pm 0.25$  nach oben und unten verschieben.
	*Solche Signale treten zum Beispiel bei der binären oder mehrstufigen  [[Digitalsignalübertragung/Redundanzfreie_Codierung#Quatern.C3.A4rsignal_mit_rc_.3D_0_und_Tern.C3.A4rsignal_mit_rc_.E2.89.88_0\|Basisbandübertragung]]  auf.		*Solche Signale treten zum Beispiel bei der binären oder mehrstufigen  [[Digitalsignalübertragung/Redundanzfreie_Codierung#Quatern.C3.A4rsignal_mit_rc_.3D_0_und_Tern.C3.A4rsignal_mit_rc_.E2.89.88_0\|Basisbandübertragung]]  auf.
	*Im  ~~$\text{~~Beispiel 2}$  des hier angegebenen Links erkennt man zum Beispiel die grafischen Darstellungen		*Im  Beispiel 2  des hier angegebenen Links erkennt man zum Beispiel die grafischen Darstellungen
	:* eines binären Signals  $q(t)$,		:* eines binären Signals  $q(t)$,
	:* eines ternären Signals  $s_3(t)$,		:* eines ternären Signals  $s_3(t)$,
	:* eines quaternären Signals  $s_4(t)$.		:* eines quaternären Signals  $s_4(t)$.
	<br clear=all>		<br clear=all>
	'''(2)'''  Rubrik  ~~<u>~~&~~bdquo~~;''M~~''–~~ASK / BPSK&~~rdquo~~;</u>  ⇒   gültig für die Einstellungen  $\rm (G)$  ...  $\rm (L)$:		'''(2)'''  Rubrik  »$\text{M-ASK/BPSK}$«</u>  ⇒   gültig für die Einstellungen  $\rm (G)$  ...  $\rm (L)$:
	[[Datei:Gram_2_version2.png\|right\|frame\|Signalform bei &bdquo;''M''–ASK / BPSK”]]		[[Datei:Gram_2_version2.png\|right\|frame\|Signalform bei &bdquo;''M''–ASK / BPSK”]]
	*Die Mustersignale  $s_i(t)$  haben ebenfalls die Dauer  $3T$  und sind ähnlich aufgebaut wie bei der Rubrik  '''(1)'''.		*Die Mustersignale  $s_i(t)$  haben ebenfalls die Dauer  $3T$  und sind ähnlich aufgebaut wie bei der Rubrik  '''(1)'''.
Zeile 183:		Zeile 183:
	*Bei negativem Vorzeichen wird aus dem &bdquo;Sinus” die Funktion &bdquo;Minus–Sinus”.		*Bei negativem Vorzeichen wird aus dem &bdquo;Sinus” die Funktion &bdquo;Minus–Sinus”.
	*Mit dem seitlichen Slider kann man die Amplitude von  $s_i(t)$  um Vielfache von  $\pm 0.25$  vergrößern oder verkleinern.		*Mit dem seitlichen Slider kann man die Amplitude von  $s_i(t)$  um Vielfache von  $\pm 0.25$  vergrößern oder verkleinern.
	*Solche Signale können zum Beispiel bei der [[Digitalsignalübertragung/Trägerfrequenzsysteme_mit_kohärenter_Demodulation#M.E2.80.93stufiges_Amplitude_Shift_Keying_.28M.E2.80.93ASK.29\|''M''–ASK]]  (mehrstufiges ''Amplitude Shift Keying'')  auftreten, ebenso bei  [[Digitalsignalübertragung/Trägerfrequenzsysteme_mit_kohärenter_Demodulation#Binary_Phase_Shift_Keying_.28BPSK.29\|BPSK]] (''Binary Phase Shift Keying'').		*Solche Signale können zum Beispiel bei der [[Digitalsignalübertragung/Trägerfrequenzsysteme_mit_kohärenter_Demodulation#M.E2.80.93stufiges_Amplitude_Shift_Keying_.28M.E2.80.93ASK.29\|''M''–ASK]]  $($mehrstufiges "Amplitude Shift Keying"$)$  auftreten, ebenso bei  [[Digitalsignalübertragung/Trägerfrequenzsysteme_mit_kohärenter_Demodulation#Binary_Phase_Shift_Keying_.28BPSK.29\|BPSK]] $($"Binary Phase Shift Keying"$)$.
	<br clear=all>		<br clear=all>
	'''(3)'''  Rubrik  ~~<u>~~&~~bdquo~~;Nur eine Frequenz&~~rdquo~~;</u>  ⇒   gültig für die Einstellungen  $\rm (M)$  ...  $\rm (R)$:		'''(3)'''  Rubrik  »$\text{Nur eine Frequenz}$«</u>  ⇒   gültig für die Einstellungen  $\rm (M)$  ...  $\rm (R)$:
	[[Datei:Gram_3_version4.png\|right\|frame\|Signalform bei &bdquo;Nur eine Frequenz”]]		[[Datei:Gram_3_version4.png\|right\|frame\|Signalform bei &bdquo;Nur eine Frequenz”]]
	*Alle Mustersignale  $s_i(t)$  haben die Dauer  $T$  und sind jeweils Harmonische Schwingungen der Form		*Alle Mustersignale  $s_i(t)$  haben die Dauer  $T$  und sind jeweils Harmonische Schwingungen der Form
Zeile 196:		Zeile 196:
	*Solche Harmonische haben für alle (analogen und digitalen) Nachrichtensysteme große Bedeutung.		*Solche Harmonische haben für alle (analogen und digitalen) Nachrichtensysteme große Bedeutung.
	<br clear=all>		<br clear=all>
	'''(4)'''  Rubrik  ~~<u>~~&~~bdquo~~;Mehrere Frequenzen&~~rdquo~~;</u>  ⇒   gültig für die Einstellungen  $\rm (S)$  ...  $\rm (X)$:		'''(4)'''  Rubrik  »$\text{Mehrere Frequenzen}$«</u>  ⇒   gültig für die Einstellungen  $\rm (S)$  ...  $\rm (X)$:
	*Es gelten ähnliche Voraussetzungen wie für die &bdquo;Rubrik 3”, es sind aber nun stets mehrere Frequenzen beteiligt.		*Es gelten ähnliche Voraussetzungen wie für die &bdquo;Rubrik 3”, es sind aber nun stets mehrere Frequenzen beteiligt.
	*Die Eigenschaft &bdquo;Mehrere Frequenzen” bezieht sich auf einzelne Mustersignale  $s_i(t)$  oder auch auf den gesamten Set  $\{s_i(t)\}$.		*Die Eigenschaft &bdquo;Mehrere Frequenzen” bezieht sich auf einzelne Mustersignale  $s_i(t)$  oder auch auf den gesamten Set  $\{s_i(t)\}$.