Applets:Besselfunktionen erster Art - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:38:47Z

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	{{LntAppletLinkDeEn\|besselFuns\|besselFuns_en}}		{{LntAppletLinkDeEn\|besselFuns\|besselFuns_en}}
			[[en:Applets:Bessel_functions_of_the_first_kind]]

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2026-02-24T13:40:22Z

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	Dieses Applet ermöglicht die Berechnung und grafische Darstellung der Besselfunktionen erster Art und  $n$–ter Ordnung entsprechend der Reihendarstellung:		Dieses Applet ermöglicht die Berechnung und grafische Darstellung der Besselfunktionen erster Art und  $n$–ter Ordnung entsprechend der Reihendarstellung:

	:$${\rm J}_n (x) = \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k \cdot (x/2)^{n \hspace{0.05cm} + \hspace{0.05cm} 2		:$${\rm J}_n (x) = \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k \cdot (x/2)^{n \hspace{0.05cm} + \hspace{0.05cm} 2\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm}k}}{k! \cdot (n+k)!} \hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm}k}}{k! \cdot (n+k)!} \hspace{0.05cm}.$$

	*Die Funktionen  ${\rm J}_n (x)$  können für die Ordnung  $n=0$  bis  $n=9$  in verschiedenen Farben grafisch dargestellt werden.		*Die Funktionen  ${\rm J}_n (x)$  können für die Ordnung  $n=0$  bis  $n=9$  in verschiedenen Farben grafisch dargestellt werden.
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	Besselfunktionen  (oder auch Zylinderfunktionen)  sind Lösungen der Besselschen Differentialgleichung der Form		Besselfunktionen  (oder auch Zylinderfunktionen)  sind Lösungen der Besselschen Differentialgleichung der Form

	:$$x^2 \cdot \frac{ {\rm d}^2}{{\rm d}x^2}\ {\rm J}_n (x) \ + \ x \cdot \frac{ {\rm d}}{{\rm d}x}\ {\rm J}_n (x) \ + \ (x^2 - n^2)		:$$x^2 \cdot \frac{ {\rm d}^2}{{\rm d}x^2}\ {\rm J}_n (x) \ + \ x \cdot \frac{ {\rm d}}{{\rm d}x}\ {\rm J}_n (x) \ + \ (x^2 - n^2) \cdot {\rm J}_n (x)= 0. $$
	\cdot {\rm J}_n (x)= 0. $$

	Hierbei handelt es sich um eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung.  Der Parameter  $n$  ist meistens ganzzahlig, so auch in diesem Programm.  Diese bereits 1844 von  [https://de.wikipedia.org/wiki/Friedrich_Wilhelm_Bessel Friedrich Wilhelm Bessel]  eingeführten mathematischen Funktionen können auch in geschlossener Form als Integrale dargestellt werden:		Hierbei handelt es sich um eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung.  Der Parameter  $n$  ist meistens ganzzahlig, so auch in diesem Programm.  Diese bereits 1844 von  [https://de.wikipedia.org/wiki/Friedrich_Wilhelm_Bessel Friedrich Wilhelm Bessel]  eingeführten mathematischen Funktionen können auch in geschlossener Form als Integrale dargestellt werden:

	:$${\rm J}_n (x) = \frac{1}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}[\hspace{0.05cm}x \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin(\alpha) -\hspace{0.05cm} n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\alpha \hspace{0.05cm}]}}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha		:$${\rm J}_n (x) = \frac{1}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}[\hspace{0.05cm}x \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin(\alpha) -\hspace{0.05cm} n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\alpha \hspace{0.05cm}]}}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.05cm}.$$

	Die Funktionen  ${\rm J}_n (x)$  gehören zur Klasse der Besselfunktionen erster Art  (englisch:   ''Bessel Functions of the First Kind'' ).  Den Parameter  $n$  nennt man die ''Ordnung''.		Die Funktionen  ${\rm J}_n (x)$  gehören zur Klasse der Besselfunktionen erster Art  (englisch:   ''Bessel Functions of the First Kind'' ).  Den Parameter  $n$  nennt man die ''Ordnung''.
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	*Zur Vereinfachung der Schreibweise setzen wir  $\vert z(t)\vert = a(t)$.  Für  $a < 0$  ist die Betrags–WDF  $f_a(a) \equiv 0$.		*Zur Vereinfachung der Schreibweise setzen wir  $\vert z(t)\vert = a(t)$.  Für  $a < 0$  ist die Betrags–WDF  $f_a(a) \equiv 0$.
	*Für  $a \ge 0$  gilt folgende Gleichung, wobei  ${\rm I_0}(x)$  die modifizierte Besselfunktion nullter Ordnung bezeichnet:		*Für  $a \ge 0$  gilt folgende Gleichung, wobei  ${\rm I_0}(x)$  die modifizierte Besselfunktion nullter Ordnung bezeichnet:
	:$$f_a(a) = \frac{a}{\sigma^2} \cdot {\rm e}^{ - (a^2 + \vert z_0 \vert ^2)/(2\sigma^2)} \cdot {\rm I}_0 \left [ \frac{a \cdot \vert z_0 \vert}{\sigma^2} \right ] \hspace{0.5cm}\text{mit}\hspace{0.5cm}{\rm I }_0 (u) = {\rm J }_0 ({\rm j} \cdot u) =		:$$f_a(a) = \frac{a}{\sigma^2} \cdot {\rm e}^{ - (a^2 + \vert z_0 \vert ^2)/(2\sigma^2)} \cdot {\rm I}_0 \left [ \frac{a \cdot \vert z_0 \vert}{\sigma^2} \right ] \hspace{0.5cm}\text{mit}\hspace{0.5cm}{\rm I }_0 (u) = {\rm J }_0 ({\rm j} \cdot u) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{ (u/2)^{2k} }{k! \cdot \Gamma (k+1)}\hspace{0.05cm}.$$
	\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{ (u/2)^{2k} }{k! \cdot \Gamma (k+1)}
	\hspace{0.05cm}.$$
	*Zwischen der modifizierten Besselfunktion und der herkömmlichen Besselfunktion  ${\rm I_0}(x)$  – jeweils erster Art – besteht also der Zusammenhang  ${\rm I }_0 (u) = {\rm J }_0 ({\rm j} \cdot u)$.}}		*Zwischen der modifizierten Besselfunktion und der herkömmlichen Besselfunktion  ${\rm I_0}(x)$  – jeweils erster Art – besteht also der Zusammenhang  ${\rm I }_0 (u) = {\rm J }_0 ({\rm j} \cdot u)$.}}

Höfler: Textersetzung - „Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29“ durch „Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29“

2025-02-24T09:42:17Z

Textersetzung - „Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29“ durch „Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29“

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	==Über die Autoren==		==Über die Autoren==
	Dieses interaktive Berechnungstool wurde am  [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]  der  [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert  und realisiert.		Dieses interaktive Berechnungstool wurde am  [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]  der  [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert  und realisiert.
	*Die erste Version wurde 2006 von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Markus_Elsberger_.28Diplomarbeit_LB_2006.29\|Markus Elsberger]]  und  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Slim_Lamine_.28Studienarbeit_EI_2006.29\|Slim Lamine]]  im Rahmen von Abschlussarbeiten mit &bdquo;FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.~~28am_LNT_seit_1974~~.29\|Günter Söder]]).		*Die erste Version wurde 2006 von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Markus_Elsberger_.28Diplomarbeit_LB_2006.29\|Markus Elsberger]]  und  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Slim_Lamine_.28Studienarbeit_EI_2006.29\|Slim Lamine]]  im Rahmen von Abschlussarbeiten mit &bdquo;FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29\|Günter Söder]]).
	*2018 wurde das Programm von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Xiaohan_Liu_.28Bachelorarbeit_2018.29\|Xiaohan Liu]]  (Bachelorarbeit, Betreuer:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29\|Tasnád Kernetzky]] ) auf &bdquo;HTML5” umgesetzt.		*2018 wurde das Programm von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Xiaohan_Liu_.28Bachelorarbeit_2018.29\|Xiaohan Liu]]  (Bachelorarbeit, Betreuer:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29\|Tasnád Kernetzky]] ) auf &bdquo;HTML5” umgesetzt.

Höfler am 26. Oktober 2023 um 10:06 Uhr

2023-10-26T10:06:09Z

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	Dieses interaktive Berechnungstool wurde am  [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]  der  [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert  und realisiert.		Dieses interaktive Berechnungstool wurde am  [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]  der  [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert  und realisiert.
	*Die erste Version wurde 2006 von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Markus_Elsberger_.28Diplomarbeit_LB_2006.29\|Markus Elsberger]]  und  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Slim_Lamine_.28Studienarbeit_EI_2006.29\|Slim Lamine]]  im Rahmen von Abschlussarbeiten mit &bdquo;FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29\|Günter Söder]]).		*Die erste Version wurde 2006 von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Markus_Elsberger_.28Diplomarbeit_LB_2006.29\|Markus Elsberger]]  und  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Slim_Lamine_.28Studienarbeit_EI_2006.29\|Slim Lamine]]  im Rahmen von Abschlussarbeiten mit &bdquo;FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29\|Günter Söder]]).
	*2018 wurde das Programm von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Xiaohan_Liu_.28Bachelorarbeit_2018.29\|Xiaohan Liu]]  (Bachelorarbeit, Betreuer:  [[Biografien_und_Bibliografien/~~Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik~~#~~Tasn.C3~~.~~A1d_Kernetzky~~.~~2C_M~~.Sc._.28bei_L.C3.~~9CT_seit_2014~~.29\|Tasnád Kernetzky]] ) auf &bdquo;HTML5” umgesetzt.		*2018 wurde das Programm von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Xiaohan_Liu_.28Bachelorarbeit_2018.29\|Xiaohan Liu]]  (Bachelorarbeit, Betreuer:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29\|Tasnád Kernetzky]] ) auf &bdquo;HTML5” umgesetzt.

	==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==		==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==

	{{LntAppletLinkDeEn\|besselFuns\|besselFuns_en}}		{{LntAppletLinkDeEn\|besselFuns\|besselFuns_en}}

Guenter am 11. Januar 2023 um 17:21 Uhr

2023-01-11T17:21:30Z

← Nächstältere Version		Version vom 11. Januar 2023, 19:21 Uhr
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	==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==		==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==

	{{LntAppletLinkDeEn\|besselFuns\|\|besselFuns_en}}		{{LntAppletLinkDeEn\|besselFuns\|besselFuns_en}}

Guenter am 11. Januar 2023 um 17:20 Uhr

2023-01-11T17:20:55Z

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	{{LntAppletLinkDeEn\|besselFuns\|\|besselFuns_en}}		{{LntAppletLinkDeEn\|besselFuns\|besselFuns_en}}

	==Programmbeschreibung==		==Programmbeschreibung==

Guenter am 11. Januar 2023 um 17:20 Uhr

2023-01-11T17:20:03Z

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	==Programmbeschreibung==		==Programmbeschreibung==
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	==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==		==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==

	{{~~LntAppletLink~~\|besselFuns}}		{{LntAppletLinkDeEn\|besselFuns\|\|besselFuns_en}}

Tasnad am 15. März 2022 um 14:51 Uhr

2022-03-15T14:51:17Z

← Nächstältere Version		Version vom 15. März 2022, 16:51 Uhr
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Guenter am 25. Februar 2021 um 10:22 Uhr

2021-02-25T10:22:41Z

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	==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==		==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==

	{{LntAppletLink\|besselFuns_en}} ~~        [https://en.lntwww.de/Applets:Bessel_Functions_of_the_First_Kind '''mit englischer Beschreibung''']~~		{{LntAppletLink\|besselFuns_en}}

Guenter am 25. Februar 2021 um 10:21 Uhr

2021-02-25T10:21:09Z

← Nächstältere Version		Version vom 25. Februar 2021, 12:21 Uhr
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	{{LntAppletLink\|besselFuns_en}} ~~        [https://en.lntwww.de/Applets:Bessel_Functions_of_the_First_Kind '''mit englischer Beschreibung''']~~		{{LntAppletLink\|besselFuns_en}}