Quelltext der Seite Aufgaben:Aufgabe 1.1Z: Tiefpass 1. und 2. Ordnung


{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Systembeschreibung im Frequenzbereich}}
==Z1.1 Tiefpass 1. und 2. Ordnung==
[[Datei:P_ID785__LZI_Z_1_1.png | Dämpfungs– und Phasenfunktion (Aufgabe Z1.1) |right|]]
Die einfachste Form eines Tiefpasses – zum Beispiel realisierbar als ein RC–Tiefpass entsprechend [[Aufgaben:1.1_Einfache_Filterfunktionen|Aufgabe A1.1]] – hat folgenden Frequenzgang:
$$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{1+{\rm j}\cdot f/f_0}.$$
Man spricht dann von einem Tiefpass erster Ordnung. Der ''Dämpfungsverlauf'' $a_1(f)$ und der ''Phasenverlauf'' $b_1(f)$ dieses Filters sind in der Grafik dargestellt.

Entsprechend gilt für einen Tiefpass $n$–ter Ordnung die folgende Definitionsgleichung:
$$H_n(f) = H_{\rm 1}(f)^n.$$
In dieser Aufgabe sollen – ausgehend von den Funktionen $a_1(f)$ und $b_1(f)$ für den Tiefpass erster Ordnung – der Dämpfungs– und Phasenverlauf eines Tiefpasses höherer Ordnung analysiert werden. Allgemein gilt:
$$H(f) = {\rm e}^{-a(f) - {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}b(f)}.$$


'''Hinweis:''' Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen des Kapitels [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich | Systembeschreibung im Frequenzbereich]]. Zwischen dem Np– und dem dB–Wert eines Amplitudenwertes $|H| = 1/x$ besteht folgender Zusammenhang:
$$a_{\rm Np} = \ln (x) = \ln (10) \cdot \lg (x) = \frac{\ln
(10)}{20} \cdot a_{\rm dB} \approx 0.11513 \cdot a_{\rm dB}.$$
Berücksichtigen Sie weiter, dass für zwei komplexe Größen $z_1$ und $z_2$ folgende Gleichungen gelten:
$$|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|, \hspace{0.5 cm}{\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_1 \cdot z_2) = {\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_1) + {\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_2).$$



===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Berechnen Sie den Dämpfungsverlauf $a_1(f)$ eines Tiefpasses erster Ordnung in dB. Welche dB–Werte ergeben sich bei $f = f_0$ und $f = 2f_0$?
|type="{}"}
$a_1(f = f_0)$ = { 3.01 5% } dB
$a_1(f = 2f_0)$ = { 6.99 5% } dB


{Berechnen Sie den Phasenverlauf $b_1(f)$. Welche Werte in Radian (rad) erhält man bei $f = f_0$ und $f = 2f_0$?
|type="{}"}
$b_1(f = f_0)$ = { 0.786 5% } rad
$b_1(f = 2f_0)$ = { 1.108 5% } rad


{Welchen Dämpfungsverlauf $a_n(f)$ hat ein Tiefpass $n$–ter Ordnung? Welche dB–Werte erhält man mit $n = 2$ für $f = f_0$ bzw. $f = \: –2f_0$?
|type="{}"}
$a_2(f = f_0)$ = { 6.02 5% } dB
$a_2(f = -2f_0)$ = { 13.98 5% } dB


{Berechnen Sie die Phasenfunktion $b_2(f)$ eines Tiefpasses zweiter Ordnung. Welche Werte (in Radian) erhält man für $f = f_0$ und $f = \: –2f_0$?
|type="{}"}
$b_2(f = f_0)$ = { 1.571 5% } rad
$b_2(f = -2f_0)$ = { -2.22--2.21  } rad




</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Der Amplitudengang des Tiefpasses erster Ordnung lautet:
$$|H_{\rm 1}(f)| = \frac{1}{\sqrt{1+ (f/f_0)^2}}.$$
Damit erhält man den Dämpfungsverlauf in Neper: 
$$\begin{align*}a_1(f) = \ln \frac{1}{|H_1(f)|} & = {1}/{2} \cdot \ln \left[1 + ({f}/{f_0})^2 \right] \\ \Rightarrow a_1(f = f_0) & = 0.34657 \hspace{0.1 cm}{\rm Np},\hspace{0.5 cm}a_1(f = 2 f_0) =
0.804719 \hspace{0.1 cm}{\rm Np}.\end{align*}$$
Die entsprechenden dB–Werte erhält man durch Multiplikation mit 1/0.11513 = 8.68589 und führt zu den Ergebnissen $ \underline{3.01 \: {\rm dB} ≈ 3 \: {\rm dB}}$ für $ f = f_0$ und $ \underline{6.99 \: {\rm dB}}$ für $ f = 2f_0$. Beim Tiefpass erster Ordnung beträgt somit die 3dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G} = f_0$. 


'''(2)'''&nbsp; Der Frequenzgang $H_1(f)$ kann auch nach Real– und Imaginärteil getrennt dargestellt werden: 
$$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{ {1+ (f/f_0)^2} } - {\rm j} \cdot \frac{f/f_0}{ {1+ (f/f_0)^2} }.$$
Damit ergibt sich für den Phasengang:
$$b_1(f) = - \arctan \frac{ {\rm Im} }{ {\rm Re} } = \arctan \frac{f}{f_0}.$$
Für $f = f_0$ erhält man $\arctan(1) = π/4 \rm \underline{\: = 0.786 \: rad}$, für $f = 2f_0$ den Wert $\arctan(2) \rm \underline{\: = 1.108 \: rad}$. 


'''(3)'''&nbsp; Für den Amplitudengang eines Tiefpasses $n$–ter Ordnung gilt: 
$$|H_n(f)| = |H_{\rm 1}(f)|^n.$$
Bezüglich der (logarithmischen) Dämpfungsfunktion wird aus der $n$–fachen Multiplikation die $n$–fache Summe: 
$$a_n(f) = n \cdot a_1(f)=  {n}/{2} \cdot \ln \left[ 1 + ({f}/{f_0})^2 \right]$$
und speziell für den Tiefpass zweiter Ordnung: 
$$a_2(f) =   \ln \left[ 1 + ({f}/{f_0})^2 \right]= 2 \cdot a_1(f).$$
Die dB–Werte lauten nun $ \underline{6.02 \: {\rm dB} ≈ 6 \: {\rm dB}}$ für $f = ±f_0$ und $\rm \underline{13.98 \: {\rm dB}}$ für $f = ±2f_0$. 

Damit ist offensichtlich, dass für $n$ > 1 der Parameter $f_0$ nicht mehr die 3 dB–Grenzfrequenz angibt. Für $n = 2$ gilt ${f_{\rm 0} } = \sqrt{2} \cdot {f_0}$. 


'''(4)'''&nbsp; Auch bezüglich der Phasenfunktion gilt:
$$b_n(f) =   n \cdot b_1(f), \hspace{0.3 cm} b_2(f) =   2 \cdot b_1(f).$$
Bei einem Tiefpass zweiter Ordnung sind somit alle Phasenwerte zwischen $±π$ möglich. Insbesondere ist $b_2(f = f_0) = π/2 \rm \underline{\: = 1.571 \: rad}$ und $b_2(f = 2f_0) = \rm 2.216 \: rad$. Da die Phase eine ungerade Funktion ist, gilt hier: $b_2(f = \: –2f_0) = \rm \underline{–2.216 \: rad}$. 
{{ML-Fuß}}



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