Quelltext der Seite Aufgaben:Aufgabe 2.4Z: Dreiecksignal


{{quiz-Header|Buchseite=Signaldarstellung/Fourierreihe
}}

[[Datei:P_ID317__Sig_Z_2_4.png|right|frame|Vorgegebenes Dreiecksignal]]
Wir betrachten das mit&nbsp; $T_0$&nbsp; periodische Signal&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; entsprechend nebenstehender Skizze, wobei für den zweiten Signalparameter&nbsp;  $T_1 ≤ T_0/2$&nbsp; gelten soll.&nbsp; Dieses Signal ist dimensionslos und auf&nbsp; $1$&nbsp; begrenzt.

In der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; wird die auf nur&nbsp; $N = 3$&nbsp; Koeffizienten basierende Fourierreihendarstellung&nbsp; $x_3(t)$&nbsp; verwendet.

Die Differenz zwischen der abgebrochenen Fourierreihe und dem tatsächlichen Signal lautet:
:$$\varepsilon_3(t)=x_3(t)-x(t).$$







''Hinweise:'' 
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Fourierreihe|Fourierreihe]].
*Eine kompakte Zusammenfassung der Thematik finden Sie in den beiden Lernvideos 
::[[Zur_Berechnung_der_Fourierkoeffizienten_(Lernvideo)|Zur Berechnung der Fourierkoeffizienten]] 
:: [[Eigenschaften_der_Fourierreihendarstellung_(Lernvideo)|Eigenschaften der Fourierreihendarstellung]]
 
*Zur Lösung der Aufgabe können Sie das folgende bestimmte Integral benutzen&nbsp; $(n$ sei ganzzahlig$)$:
 
:$$\int u \cdot \cos(au)\,{\rm d}u  =  \frac{\cos(au)}{a^2} + \frac{u \cdot \sin(au)}{a}.$$


===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Welche der folgenden Aussagen treffen für alle zulässigen&nbsp; $T_0$&nbsp; und&nbsp; $T_1$&nbsp; zu?
|type="[]"}
+ Der Gleichanteil beträgt&nbsp; $A_0 = T_1/T_0$.
+ Alle Sinuskoeffizienten&nbsp; $B_n$&nbsp; sind Null.
- Alle Cosinuskoeffizienten&nbsp; $A_n$&nbsp; mit geradzahligem&nbsp; $n$&nbsp; sind Null.


{Berechnen Sie die Fourierkoeffizienten&nbsp; $A_n$&nbsp; in allgemeiner Form.&nbsp; Welche Werte ergeben sich für&nbsp; $A_1$,&nbsp; $A_2$&nbsp; und&nbsp; $A_3$&nbsp; mit&nbsp; $T_1/T_0 = 0.25$?
|type="{}"}
$A_1\ = \ $ { 0.405 3% }
$A_2\ = \ $ { 0.202 3% }
$A_3\ = \ $ { 0.045 3% }


{Schreiben Sie die Funktion&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; als Fourierreihe und brechen Sie diese nach&nbsp; $N = 3$&nbsp; Koeffizienten ab.&nbsp; Wie groß ist der Fehler&nbsp; $\varepsilon_3(t = 0)$?
|type="{}"}
$\varepsilon_3(t = 0)\ = \ $  { -0.11--0.09 }



</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp;  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
*Der Gleichanteil ist tatsächlich&nbsp; $T_1/T_0$.&nbsp; Da&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; eine gerade Funktion ist, sind alle Sinuskoeffizienten&nbsp; $B_n = 0$. 
*Die geradzahligen Cosinuskoeffizienten&nbsp; $A_{2n}$&nbsp; verschwinden nur dann, wenn&nbsp; $T_1 = T_0/2$&nbsp; ist. 
*In diesem Fall ist die Bedingung&nbsp; ${x(t)} = 2A_0 - x(t - T_0/2)$&nbsp; erfüllt&nbsp; $($mit $A_0 = 0.5)$. 



'''(2)'''&nbsp; Unter Ausnutzung der Symmetrieeigenschaft&nbsp; ${x(-t)} = {x(t)}$&nbsp; erhält man:
:$$A_n=2 \cdot \frac{2}{T_0}\cdot \hspace{-0.1cm}\int_0^{T_1}(1-\frac{t}{T_1})\cos(2\pi n\frac{t}{T_0})\, {\rm d}t.$$
*Dies führt zu zwei Teilintegralen&nbsp; $I_1$&nbsp; und&nbsp; $I_2$.&nbsp; Das erste lautet:
:$$I_1=\frac{4}{T_0} \cdot \hspace{-0.1cm} \int_0^{T_1}\cos(2\pi n\frac{t}{T_0})\,{\rm d}t=\frac{2}{\pi n}\sin(2\pi n\frac{T_1}{T_0}).$$
*Für das zweite Integral gilt mit dem Integral auf der Angabenseite:
:$$I_2=\frac{-4}{T_0\cdot T_1}\cdot \hspace{-0.1cm}\int_0^{T_1}t\cdot\cos(2\pi n\frac{t}{T_0})\,{\rm d}t=\frac{-4}{T_0\cdot T_1}\cdot \hspace{0.1cm}\left[\frac{T^2_0 \cdot \cos(2\pi nt/T_0)}{4\pi^2n^2}+\frac{T_0 \cdot t \cdot \sin(2\pi nt/T_0)}{2\pi n}\right]^{T_1}_0.$$
*Dieses letzte Integral kann wie folgt zusammengefasst werden:
:$$I_2=\frac{-\cos(2\pi nT_1/T_0)}{\pi^2 n^2T_1/T_0}+\frac{1}{\pi^2 n^2 T_1/T_0}-I_1.$$
*Daraus folgt mit&nbsp; $1 - \cos(2\alpha) = 2 \cdot \sin^2(\alpha)$:
:$$A_n=I_1+I_2=\frac{1-\cos(2\pi nT_1/T_0)}{\pi^2 n^2 T_1/T_0}=\frac{2\sin^2 (\pi nT_1/T_0)}{\pi^2 n^2 T_1/T_0}.$$
*Für&nbsp; $T_1/T_0 = 0.25$&nbsp; erhält man:
:$$A_n=\frac{8\sin^2 (\pi n/4)}{\pi^2 n^2}.$$
*Insbesondere gilt:
:$$A_1=\frac{8}{\pi^2}\sin^2(\pi/4)=\frac{4}{\pi^2}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.405},\hspace{0.5cm}A_2=\frac{2}{\pi^2}\sin^2(\pi/2)=\frac{2}{\pi^2}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.202},\hspace{0.5cm}A_3=\frac{8}{9\pi^2}\sin^2(3\pi/4)=\frac{4}{9\pi^2}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.045}.$$


'''(3)'''&nbsp;  Es gilt:
:$$x_3(t)=\frac{1}{4}+\frac{4}{\pi^2}\left[\cos(\omega_0 t)+\frac{1}{2}\cos(2\omega_0 t)+\frac{1}{9}\cos(3\omega_0 t)\right].$$
*Zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; ergibt sich hieraus:
:$$x_3(t=0)=\frac{1}{4}+\frac{4}{\pi^2}\cdot \frac{29}{18}\approx 0.9 \hspace{0.5cm}\Rightarrow  \hspace{0.5cm}\varepsilon_3(t=0)=x_3(t=0)-x(t=0)\hspace{0.15cm}\underline{=-0.1}.$$
* Für die Zeit&nbsp; $t = 0$&nbsp; und bei Vielfachen der Periodendauer&nbsp; $T_0$&nbsp; (jeweils Spitze der Dreiecksfunktionen)&nbsp; ist die Abweichung betragsmäßig am größten.
{{ML-Fuß}}



[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^2. Periodische Signale^]]