Quelltext der Seite Aufgaben:Aufgabe 1.7Z: Systemanalyse

{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen}}

[[Datei:P_ID865__LZI_Z_1_7.png|right|frame|System mit Gaußtiefpässen und nichtlinearer Kennlinie]] 
Ein Gesamtsystem&nbsp; $G$&nbsp; mit Eingang &nbsp;$w(t)$&nbsp; und Ausgang &nbsp;$z(t)$&nbsp; besteht aus drei Komponenten:
*Die erste Komponente ist ein Gaußtiefpass mit der Impulsantwort
:$$h_1(t) = \frac{1}{\Delta t_1} \cdot {\rm e}^{-\pi\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (t/\Delta t_1)^2}, \hspace{0.5cm} \Deltat_1= {0.3\,\rm ms}.$$
*Danach folgt eine Nichtlinearität mit der Kennlinie
:$$y(t) = \left\{ \begin{array}{c} +{8\,\rm V} \\ 2 \cdot x(t)  \\  {-8\,\rm V} \\  \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{10}c}   {\rm{f\ddot{u}r}}  \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\  \end{array}\begin{array}{*{20}c} {x(t) \ge +{4\,\rm V}},  \\{{-4\,\rm V} < x(t) < +{4\,\rm V}},  \\ {x(t)\le {-4\,\rm V}}.  \\ \end{array}$$
:&rArr; &nbsp; Das Eingangssignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; der Nichtlinearität wird um den Faktor&nbsp; $2$&nbsp; verstärkt und – falls nötig – auf den Bereich&nbsp; $±8 \ \rm V$&nbsp; begrenzt.
*Am Ende der Kette folgt wieder ein Gaußtiefpass, der durch seinen Frequenzgang gegeben ist:
:$$H_3(f) = {\rm e}^{-\pi\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(f/\Delta f_3)^2}, \hspace{0.5cm} \Delta f_3= {2.5\,\rm kHz}.$$

Das Eingangssignal &nbsp;$w(t)$&nbsp; des Gesamtsystems sei ein Gaußimpuls mit Amplitude&nbsp; $5 \ \rm V$&nbsp; und variabler (äquivalenter) Dauer&nbsp; $T$:
:$$w(t) = {5\,\rm V}\cdot {\rm e}^{-\pi\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(t/T)^2}.$$
Zu untersuchen ist, in welchem Bereich die äquivalente Impulsdauer&nbsp; $T$&nbsp; dieses Gaußimpulses variieren kann, damit das Gesamtsystem durch den Frequenzgang
:$$H_{\rm G}(f) = K \cdot {\rm e}^{-\pi\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(f/\Delta f_{\rm G})^2}$$
vollständig beschrieben wird. Der Index „G” bei Frequenzgang und Bandbreite steht hierbei für „Gesamtsystem”.









''Hinweise:''
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen|Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen]].  
*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Gau.C3.9F.E2.80.93Tiefpass|Gaußtiefpass]]. 
 



===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit das Gesamtsystem durch einen einzigen Frequenzgang beschreibbar ist?
|type="[]"}
+ Es besteht ein linearer Zusammenhang zwischen&nbsp; $w(t)$&nbsp; und&nbsp; $z(t)$.
- $H_3(f)$&nbsp; muss schmalbandiger sein als&nbsp; $H_1(f)$.
+ Das Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; darf betragsmäßig nicht größer sein als&nbsp; $4 \ \rm V$.


{Berechnen Sie den Maximalwert für die äquivalente Impulsdauer&nbsp; $T$, damit die unter&nbsp; '''(1)'''&nbsp; genannten Bedingungen erfüllbar sind.
|type="{}"}
$T_{\rm max} \ = \ $ { 0.4 3% } $\ \rm  ms$


{Geben Sie die Parameter des Gesamtfrequenzgangs&nbsp; $H_{\rm G}(f)$&nbsp; an.
|type="{}"}
$K \ = \ $ { 2 3% }
$\Delta f_{\rm G} = \ $ { 2 3% } $\ \rm  kHz$

</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Antworten1 und 3</u>:
*Die erste Aussage ist zutreffend: &nbsp; Nur für ein lineares System kann ein Frequenzgang angegeben werden. 
*Damit dies hier möglich ist, darf die Nichtlinearität keine Rolle spielen. 
*Das heißt, es muss sicher gestellt sein, dass&nbsp; $|x(t)|$&nbsp; nicht größer als&nbsp; $4 \ \rm V$&nbsp; ist.
*Dagegen ist die zweite Aussage nicht zutreffend: &nbsp;  Die Bandbreite von&nbsp; $H_3(f)$&nbsp; hat keinen Einfluss darauf, ob die Nichtlinearität elimimiert werden kann oder nicht. 



'''(2)'''&nbsp; Der erste Gaußtiefpass wird im Frequenzbereich wie folgt beschrieben:
:$$X(f)  =  W(f) \cdot H_1(f) = {5\,\rm V}\cdot T \cdot {\rm e}^{-\pi(f \cdot T)^2} \cdot {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f_1)^2} =  {5\,\rm V}\cdot T \cdot {\rm e}^{-\pi f^2 (T^2 + \Delta t_1^2)}= {5\,\rm V}\cdot T \cdot {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f_x)^2}.$$
*Hierbei bezeichnet&nbsp; $Δf_x$&nbsp; die äquivalente Bandbreite von&nbsp; $X(f)$. 
*Der Signalwert bei&nbsp; $t = 0$&nbsp; ist gleich der Spektralfläche  und gleichzeitig der Maximalwert des Signals:
*Dieser soll nicht größer werden als $4 \ \rm V$:
:$$x_{\rm max} = x(t =0) = {5\,\rm V}\cdot T \cdot \Delta f_x \le {4\,\rm V}.$$
*Daraus folgt durch Koeffizientenvergleich:
:$$\frac{1}{T \cdot \Delta f_x} > \frac{5}{4}\hspace{0.1cm}  \Rightarrow  \hspace{0.1cm} \frac{1}{T^2 \cdot \Delta f_x^2} > \frac{25}{16}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac{T^2 + \Delta t_1^2}{T^2} > \frac{25}{16}$$
:$$ \Rightarrow  \hspace{0.1cm}\frac{ \Delta t_1^2}{T^2} >\frac{9}{16}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}\frac{T^2}{\Delta t_1^2} \le \frac{16}{9}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} T \le \frac{4}{3} \cdot \Delta t_1 \hspace{0.15cm}\underline{= {0.4\,\rm ms}}.$$
*Die Kontrollrechnung ergibt:
:$$\Delta t_x = \sqrt{T^2 + \Delta t_1^2} = \sqrt{({0.4\,\rm ms})^2 + ({0.3\,\rm ms})^2} = {0.5\,\rm ms} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\Delta f_x = {1}/{\Delta t_x}= {2\,\rm kHz}$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} x(t=0) = {5\,\rm V}\cdot T \cdot \Delta f_x = {5\,\rm V}\cdot {0.4\,\rm ms} \cdot  {2\,\rm kHz} = {4\,\rm V}.$$


'''(3)'''&nbsp; Die Gaußtiefpässe erfüllen die Bedingung&nbsp; $H_1(f = 0) = H_3(f = 0) = 1$. 
*Unter Berücksichtigung der Verstärkung des zweiten Blocks im linearen Bereich erhält man somit für die Gesamtverstärkung: 
:$$\underline{K \ = \ 2}.$$

*Für die äquivalente Impulsdauer des Gesamtsystems gilt:
:$$\Delta t_{\rm G} = \sqrt{\Delta t_1^2 + \frac{1}{\Delta f_3^2}} = \sqrt{({0.3\,\rm ms})^2 + \left( \frac{1}{{2.5\,\rmkHz}}\right)^2}={0.5\,\rm ms} \; \; \Rightarrow  \; \;  \Delta f_{\rm G} = {1}/{\Delta t_{\rm G}} \hspace{0.15cm}\underline{= {2\,\rm kHz}}.$$

{{ML-Fuß}}



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