Quelltext der Seite Aufgaben:Aufgabe 1.2: ISDN und PCM


{{quiz-Header|Buchseite=Beispiele von Nachrichtensystemen/Allgemeine Beschreibung von ISDN
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[[Datei:P_ID1578__Bei_A_1_2.png|right|frame|Komponenten des PCM-Senders]]
Die Umwandlung des analogen Sprachsignals&nbsp; $q(t)$&nbsp; in das Binärsignal&nbsp; $q_{\rm C}(t)$&nbsp; geschieht bei ISDN&nbsp; ("Integrated Services Digital Network")&nbsp; entsprechend den Richtlinien der Pulscodemodulation&nbsp; $\rm (PCM)$&nbsp; durch
*Abtastung im Abstand&nbsp; $T_{\rm A} = 1/f_{\rm A}$,

*Quantisierung auf&nbsp; $M = 256$&nbsp; diskrete Werte,

*binäre PCM–Codierung mit&nbsp; $N$&nbsp; Bit pro Quantisierungswert.


Die Netto–Datenrate eines so genannten&nbsp; $\rm B$–Kanals&nbsp; ("Bearer Channel")&nbsp; beträgt&nbsp; $64 \ \rm kbit/s$&nbsp; und entspricht der Bitrate des redundanzfreien Binärsignals&nbsp; $q_{\rm C}(t)$.&nbsp; Wegen der anschließenden redundanten Kanalcodierung und der eingefügten Signalisierungsbits ist allerdings die Brutto–Datenrate – also die Übertragungsrate des Sendesignals&nbsp; $s(t)$&nbsp; – größer.


Ein Maß für die Qualität des gesamten ISDN–Übertragungssystems ist das Sinken–SNR
:$$\rho_{v} = \frac{P_q}{P_{\varepsilon}} = \frac{\overline{q(t)^2}}{\overline{[\upsilon(t) - q(t)]^2}}$$

als das Verhältnis der Leistungen 
*des auf den Bereich&nbsp; $300 \ {\rm Hz}\  \text{...}\  3400 \ {\rm Hz}$&nbsp; bandbegrenzten Analogsignals&nbsp; $q(t)$&nbsp; 

*und des Fehlersignals&nbsp; $\varepsilon (t) = v (t) - q(t)$. 


Für das Sinkensignal&nbsp; $v (t)$&nbsp; wird hierbei eine ideale Signalrekonstruktion mit einem idealen rechteckförmigen Tiefpass vorausgesetzt.




<u>Hinweis:</u> 
*Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel&nbsp; [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_ISDN|"Allgemeine Beschreibung von ISDN"]] dieses Buches.

*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation|"Pulscodemodulation"]]&nbsp; des Buches „Modulationsverfahren”.



===Fragebogen===

<quiz display=simple>

{Mit wievielen Bit&nbsp; $(N)$&nbsp; wird jeder quantisierte Abtastwert repräsentiert?
|type="{}"}
$N \ = \ $ { 8 3% } 

{Wie groß ist die Abtastrate&nbsp; $f_{\rm A} $?
|type="{}"}
$f_{\rm A} \ = \ $ { 8 3% } $ \ \rm kHz $

{Ist damit das Abtasttheorem erfüllt?
|type="()"}
+ Ja,
- nein.

{Ist das Sinken–SNR&nbsp; $\rho_{v}$&nbsp; bei ISDN durch folgende Effekte begrenzt?
|type="[]"}
- Abtastung&nbsp; (falls das Abtasttheorem erfüllt ist),
+ AWGN–Rauschen (Übertragungsfehler).


</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}

'''(1)'''&nbsp; Die Quantisierungsstufenzahl&nbsp; $M$&nbsp; wird meist als Zweierpotenz gewählt und für die Bitanzahl gilt dann: &nbsp; $N = {\log_2}\hspace{0.05cm}(M)$. 
*Aus&nbsp; $M = 2^{8} = 256$&nbsp; folgt&nbsp; $\underline{N = 8}$.



'''(2)'''&nbsp;  Für die Bitrate gilt&nbsp; $R_{\rm B} = N \cdot f_{\rm A}$. 
*Aus&nbsp; $R_{\rm B} = 64 \ \rm  kbit/s$&nbsp; und&nbsp; $N = 8$&nbsp; erhält man somit&nbsp; $f_{\rm A} \hspace{0.15cm}\underline{= 8 \ \rm kHz}$.



'''(3)'''&nbsp;  Durch die Bandbegrenzung ist die höchste im Signal&nbsp; $q(t)$&nbsp; enthaltene Frequenz gleich&nbsp; $3.4 \ \rm kHz$. 
*Nach dem Abtasttheorem müsste deshalb&nbsp; $f_{\rm A} ≥ 6.8 \ \rm kHz$&nbsp; gelten.
 
*Mit&nbsp;  $f_{\rm A} = 8 \ \rm kHz$&nbsp; ist die Bedingung auf jeden Fall erfüllt &nbsp; &rArr; &nbsp; $\underline {\rm JA}$.


'''(4)'''&nbsp;  Richtig ist die&nbsp; <u>letzte Aussage</u>:
*Auch wenn der Einfluss des AWGN–Rauschens gering ist&nbsp; $($kleine Rauschleistungsdichte&nbsp; $N_{0})$,&nbsp; kann das Sinken–SNR&nbsp; $\rho_{v}$&nbsp; einen durch das Quantisierungsrauschen gegebenen Grenzwert nicht unterschreiten:
:$$\rho_{v} \approx \rho_{\rm Q} = 2^{2M} = 2^{16} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \rho_{v} \approx 48\, {\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$

*Bei größerer Rauschstörung wird&nbsp; $\rho_{v}$&nbsp; durch die dann vorhandenen Übertragungsfehler weiter signifikant verringert. 

*Dagegen führt die Abtastung zu keinem Qualitätsverlust,&nbsp; so lange das Abtasttheorem eingehalten wird. 

*Die Abtastung kann dann vollständig rückgängig gemacht werden,&nbsp; wenn das Quellensignal&nbsp; $q(t)$&nbsp; bandbegrenzt ist <br>und die Signalrekonstruktion richtig dimensioniert ist &nbsp; &rArr;  &nbsp; idealer Tiefpass. 

{{ML-Fuß}}



[[Category:Aufgaben zu Beispiele von Nachrichtensystemen|^1.1 Allgemeine Beschreibung von ISDN^]]