Quelltext der Seite Applets:Kausale Systeme und Laplacetransformation

{{LntAppletLink|frequImpResp}} &nbsp; &nbsp;  &nbsp;  
[https://en.lntwww.de/Applets:Frequency_%26_Impulse_Responses '''English Version''']


==Programmbeschreibung==
<br> 

Dargestellt werden reelle und symmetrische Tiefpässe&nbsp; $H(f)$&nbsp; und die dazugehörigen Impulsantworten&nbsp; $h(t)$, nämlich 
*Gauß&ndash;Tiefpass&nbsp;  (englisch:&nbsp; ''Gaussian low&ndash;pass''), 
*Rechteck&ndash;Tiefpass &nbsp; (englisch:&nbsp; ''Rectangular low&ndash;pass''),
*Dreieck&ndash;Tiefpass&nbsp;  (englisch:&nbsp; ''Triangular low&ndash;pass''), 
*Trapez&ndash;Tiefpass&nbsp;  (englisch:&nbsp; ''Trapezoidal low&ndash;pass''), 
*Cosinus&ndash;Rolloff&ndash;Tiefpass&nbsp;  (englisch:&nbsp; ''Cosine-rolloff low&ndash;pass''),
*Cosinus-Quadrat-Tiefpass&nbsp;   (englisch:&nbsp; ''Cosine-rolloff -squared  Low&ndash;pass''). 


Es ist zu beachten:
* Die Funktionen&nbsp; $H(f)$&nbsp; bzw.&nbsp; $h(t)$&nbsp; werden für bis zu zwei Parametersätzen in jeweils einem Diagramm dargestellt.
* Die roten Kurven und Zahlenangaben gelten für den linken Parametersatz, die blauen für den rechten Parametersatz.
* Die Abszissen&nbsp; $t$&nbsp; (Zeit) und&nbsp; $f$&nbsp; (Frequenz) sowie die Ordinaten&nbsp; $H(f)$&nbsp;  und&nbsp; $h(t)$&nbsp; sind jeweils normiert. 



==Theoretischer Hintergrund==
<br>
===Betrachtetes Systemmodell===

Wir betrachten ein lineares zeitinvariantes System mit der Impulsantwort &nbsp;$h(t)$, an dessen Eingang das Signal &nbsp;$x(t)$&nbsp; anliegt.&nbsp; Das Ausgangssignal &nbsp;$y(t)$&nbsp; ergibt sich dann als das Faltungsprodukt &nbsp;$x(t) ∗ h(t)$.

Bei akausalen Systemen und Signalen muss zur Spektralbeschreibung stets das&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|erste Fourierintegral]]&nbsp; angewendet werden, und es gilt für das Ausgangsspektrum:
[[Datei:P_ID1757__LZI_T_3_2_S1_neu.png |right|frame| Allgemeines (auch akausales) sowie kausales Systemmodell|class=fit]]

:$$Y(f) = X(f) \cdot H(f) \hspace{0.05cm}.$$
Das Fourierintegral besitzt auch für kausale Systeme und Signale weiterhin Gültigkeit, also für
:$$x(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm} t<0\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} h(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm} t<0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} y(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm} t<0 \hspace{0.05cm}.$$
 
In diesem Fall ergeben sich aber durch Anwendung der Laplace–Transformation unter Beachtung gewisser Restriktionen wesentliche Vorteile:
*Die so behandelten Systeme sind stets durch eine Schaltung realisierbar.&nbsp; Der Entwickler kommt nicht in Versuchung, realitätsfremde Lösungen anzubieten. 
*Die Laplace–Transformierte &nbsp;$X_{\rm L}(p)$&nbsp; ist stets eine reelle Funktion der Spektralvariablen &nbsp;$p$.&nbsp; Dass sich  &nbsp;$p = {\rm j} · 2πf$&nbsp; aus der Multiplikation der physikalischen Kreisfrequenz &nbsp;$ω = 2πf$&nbsp; mit der imaginären Einheit &nbsp;$\rm j$&nbsp; ergibt, spielt für den Anwender keine Rolle. 
*Die implizite Bedingung &nbsp;$x(t) = 0$&nbsp;  für &nbsp;$t < 0$&nbsp; erlaubt speziell die  einfachere Analyse des Einschwingverhaltens nach Einschaltvorgängen als mit dem Fourierintegral.
<br>

===Definition der Laplace–Transformation===

Ausgehend vom&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|ersten Fourierintegral]],
:$$X(f) =    \int_{-\infty}^{+\infty} { x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f t}}\hspace{0.1cm}{\rm d}t,$$
ergibt sich bei kausaler Zeitfunktion &nbsp; &rArr; &nbsp; $x(t) = 0 \ \ \text{für} \ \ t < 0$&nbsp; 
mit der formalen Substitution &nbsp;$p = {\rm j} · 2πf$&nbsp; direkt die Laplace–Transformation: 

:$$X_{\rm L}(p) =   \int_{0}^{\infty} { x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-p t} }\hspace{0.1cm}{\rm d}t\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}{\rm kurz}\hspace{0.3cm} X_{\rm L}(p) \quad \bullet\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}\rm L}\!\!\!-\!\!\circ\quad x(t)\hspace{0.05cm}.$$ 

*Der Zusammenhang zwischen der Laplace–Transformierten &nbsp;$X_{\rm L}(p)$&nbsp; und dem physikalischen Spektrum &nbsp;$X(f)$&nbsp; ist häufig wie folgt gegeben:

:$$X(f) =  X_{\rm L}(p) \Bigg |_{{\hspace{0.1cm} p\hspace{0.05cm}={\rm \hspace{0.05cm} j\hspace{0.05cm}2\pi \it f}}}.$$

{{GraueBox|TEXT=  
$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; 
Wir gehen von der einseitig exponentiell abfallenden Zeitfunktion&nbsp; $x(t) ={\rm e}^{-t/T}$&nbsp; für&nbsp; $t  > 0$&nbsp; gemäß der Skizze&nbsp; $\rm F$&nbsp; in der unteren Tabelle aus.&nbsp; Damit lautet die Laplace–Transformierte:
:$$X_{\rm L}(p) =    \int_{0}^{\infty}  {\rm e}^{-t/T} \cdot  {\rm e}^{-pt} \hspace{0.1cm}{\rm d}t= \frac {1}{p + 1/T} \cdot {{\rm e}^{-(p+1/T) \hspace{0.08cm}\cdot \hspace{0.08cm}t}}\hspace{0.15cm}\Bigg \vert_{t \hspace{0.05cm}=\hspace{0.05cm} 0}^{\infty}= \frac {1}{p + 1/T} \hspace{0.05cm} .$$
Mit  &nbsp;$p = {\rm j} · 2πf$&nbsp; erhält man die herkömmliche Spektralfunktion bezüglich $f$:
:$$X(f) =    \frac {1}{{\rm j \cdot 2\pi \it f} + 1/T} = \frac {T}{1+{\rm j \cdot 2\pi \it fT}} \hspace{0.05cm} .$$
Betrachtet man dagegen den Frequenzgang eines Tiefpasses erster Ordnung, dessen Impulsantwort &nbsp;$h(t)$&nbsp; sich gegenüber der obigen Zeitfunktion &nbsp;$x(t)$&nbsp; um den Faktor &nbsp;$1/T$&nbsp; unterscheidet, so gilt für die Laplace–Transformierte bzw. die Fourier–Transformierte:
:$$H_{\rm L}(p)= \frac {1/T}{p + 1/T}= \frac {1}{1 + p \cdot T} \hspace{0.05cm} , \hspace{0.8cm}H(f) =    \frac {1}{1+{\rm j \cdot 2\pi \it fT} } =    \frac {1}{1+{\rm j} \cdot f/f_{\rm G} }  \hspace{0.05cm} .$$
Häufig verwendet man dann wie in dieser Gleichung anstelle des Parameters &nbsp;$T$&nbsp; die 3dB–Grenzfrequenz &nbsp;$f_{\rm 3\hspace{0.15cm} dB} = 1/(2πT)$.}}
<br>
===Einige wichtige Laplace–Korrespondenzen===

[[Datei:P_ID1758__LZI_T_3_2_S3.png |right|frame| Tabelle mit einigen Laplace-Transformierten|class=fit]]

Hier sind einige wichtige Laplace–Korrespondenzen zusammengestellt.&nbsp; Alle Zeitsignale &nbsp;$x(t)$&nbsp; seien dimensionslos.&nbsp; Deshalb besitzt &nbsp;$X_{\rm L}(p)$&nbsp; dann als Integral über die Zeit stets die Einheit „Sekunde”.

*Die Laplace–Transformierte der&nbsp; [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Diracimpuls|Diracfunktion]]&nbsp; $δ(t)$&nbsp; ist &nbsp;$X_{\rm L}(p) = 1$&nbsp;  $($Diagramm $\rm A)$.&nbsp; 
*Durch Anwendung des&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Integrationssatz|Integrationssatzes]]&nbsp; erhält man  &nbsp;$X_{\rm L}(p) = 1/p$&nbsp; für die Sprungfunktion &nbsp;$γ(t)$&nbsp;  $($Diagramm $\rm B)$.
* Aus dieser wird durch Multiplikation mit &nbsp;$1/(pT)$&nbsp; die Laplace–Transformierte der linear ansteigenden Funktion &nbsp;$x(t) = t/T$&nbsp; für &nbsp;$t > 0$&nbsp; $($Diagramm $\rm C)$. 

*Das&nbsp; [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Rechteckimpuls|Rechteck]]&nbsp; kann aus der Subtraktion zweier um &nbsp;$T$&nbsp; versetzter Sprungfunktionen &nbsp;$γ(t)$&nbsp; und &nbsp;$γ(t – T)$&nbsp; erzeugt werden. Mit dem&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatz]]:&nbsp;  $X_{\rm L}(p) = (1 – {\rm e}^{–pT})/p$&nbsp; ergibt&nbsp;  $($Diagramm $\rm D)$. 
*Durch Integration erhält man die Rampe bzw. nach Multiplikation mit &nbsp;$1/(pT)$&nbsp; deren Laplace–Transformierte&nbsp;  $($Diagramm $\rm E)$.

*Die Exponentialfunktion&nbsp;  $($Diagramm $\rm F)$ wurde bereits im&nbsp; $\text{Beispiel 1}$&nbsp; betrachtet.&nbsp; Mit dem Faktor &nbsp;$1/T$&nbsp; ist diese gleichzeitig die Impulsantwort eines Tiefpasses erster Ordnung. 
*Durch Quadrierung erhält man die &nbsp;$p$–Spektralfunktion eines Tiefpasses&nbsp; $2.$ Ordnung und&nbsp; $x(t) = t/T · {\rm e}^{–t/T}$ (Diagramm&nbsp; $\rm G$). 

*Neben der kausalen &nbsp;$\rm si$–Funktion&nbsp;  $($Diagramm $\rm H)$&nbsp; sind in der Tabelle auch die Laplace–Transformierten der kausalen Cosinus– und Sinusfunktion&nbsp; $($Diagramme&nbsp; $\rm I$&nbsp;  und&nbsp; $\rm J)$&nbsp; angegeben, die sich zu &nbsp;$p/(p^2 + ω_0^2)$&nbsp; bzw. &nbsp;$ω_0/(p^2 + ω_0^2)$&nbsp; ergeben. Hierbei bezeichnet &nbsp;$ω_0 = 2πf_0 = 2π/T$&nbsp; die so genannte Kreisfrequenz.
<br>

===Pol–Nullstellen–Darstellung von Schaltungen===

Ein jedes&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme|lineare zeitinvariante System]]&nbsp; (LZI), das durch eine Schaltung aus diskreten zeitkonstanten Bauelementen wie Widerständen&nbsp; $(R)$,&nbsp; Kapazitäten&nbsp; $(C)$,&nbsp; Induktivitäten&nbsp; $(L)$&nbsp; und Verstärkerelementen realisiert werden kann, besitzt eine gebrochen–rationale&nbsp; '''$p$–Übertragungsfunktion''':
:$$H_{\rm L}(p)= \frac {A_Z \cdot p^Z +\text{...}  + A_2 \cdot p^2 + A_1 \cdot p + A_0} {B_N \cdot p^N +\text{...} \ + B_2 \cdot p^2 + B_1 \cdot p + B_0}= \frac {Z(p)}{N(p)} \hspace{0.05cm} .$$

Alle Koeffizienten des Zählers &nbsp; &rArr; &nbsp; $A_Z, \text{...} \ , A_0$&nbsp; und des Nenners &nbsp; &rArr; &nbsp; $B_N, \text{...} , B_0$&nbsp; sind reell. Weiter bezeichnen mit 
*$Z$&nbsp; den Grad des Zählerpolynoms&nbsp; $Z(p)$, 
*$N$&nbsp; den Grad des Nennerpolynoms&nbsp; $N(p)$. 


{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Äquivalente Pol–Nullstellen–Darstellung:}$  &nbsp; 
Für die&nbsp;  $p$–Übertragungsfunktion kann auch geschieben werden:
:$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {\prod\limits_{i=1}^Z p - p_{\rm o i} } {\prod\limits_{i=1}^N p - p_{\rm x i} }= K \cdot \frac {(p - p_{\rm o 1})(p - p_{\rm o 2})\cdot \text{...} \ \cdot (p - p_{ {\rm o} \hspace{-0.03cm} Z})} {(p - p_{\rm x 1})(p - p_{\rm x 2})\cdot \text{...}  \cdot (p - p_{ {\rm x} \hspace{-0.03cm} N})} \hspace{0.05cm} .$$

Die&nbsp; $Z + N + 1$&nbsp; Parameter bedeuten: 
*$K = A_Z/B_N$&nbsp; ist ein konstanter Faktor. &nbsp; Gilt &nbsp;$Z = N$, so ist dieser dimensionslos. 
*Die Lösungen der Gleichung &nbsp;$Z(p) = 0$&nbsp;  ergeben die&nbsp; $Z$&nbsp; Nullstellen &nbsp;$p_{\rm o1},\text{...} \ , p_{\rm oZ}$&nbsp; von&nbsp; $H_{\rm L}(p)$. 
*Die Nullstellen des Nennerpolynoms &nbsp;$N(p)$&nbsp; liefern die &nbsp;$N$&nbsp; Polstellen (oder kurz Pole). }}


Die Umformung ist eindeutig.&nbsp; Dies erkennt man daran, dass die &nbsp;$p$–Übertragungsfunktion gemäß der ersten Gleichung ebenfalls nur durch &nbsp;$Z + N + 1$&nbsp; freie Parameter bestimmt ist, da einer der Koeffizienten &nbsp;$A_Z, \text{...} \ , A_0, B_N, \text{...} \ , B_0$&nbsp; ohne Änderung des Quotienten auf&nbsp; $1$&nbsp; normiert werden kann.

{{GraueBox|TEXT=  
$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; 
Wir betrachten den gezeichneten Vierpol mit einer Induktivität &nbsp;$L$&nbsp; $($komplexer Widerstand &nbsp;$pL)$&nbsp;  im Längszweig sowie im Querzweig die Serienschaltung eines Ohmschen Widerstandes &nbsp;$R$&nbsp; und einer Kapazität &nbsp;$C$&nbsp; mit dem komplexen Widerstand &nbsp;$1/(pC)$.

[[Datei:P_ID1759__LZI_T_3_2_S4_neu.png|right|frame|Betrachteter Vierpol und dazugehöriges Pol–Nullstellen–Diagramm|class=fit]]

Damit lautet die &nbsp;$p$–Übertragungsfunktion&nbsp; $H_{\rm L}(p)= {Y_{\rm L}(p)}/ {X_{\rm L}(p)}$:
:$$H_{\rm L}(p)=  \frac {R + {1}/{(pC)} } {pL + R +{1}/{(pC)} }= \frac {1 + p \cdot{RC} } {1 + p \cdot{RC}+ p^2 \cdot{LC} }
 \hspace{0.05cm} .$$
Dividiert man Zähler und Nenner durch &nbsp;$LC$, so ergibt sich:
:$$H_{\rm L}(p)= \frac {R} {L}\cdot \frac {p + {1}/{(RC)} } {p^2 + {R}/ {L}\cdot p + {1}/{(LC)} }$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}(p)=  K \cdot \frac {p - p_{\rm o } } {(p - p_{\rm x 1})(p - p_{\rm x 2})}
 \hspace{0.05cm} .$$

Für &nbsp;$R = 50 \ \rm Ω$, &nbsp;$L = 25\ \rm  &micro; H$&nbsp; und &nbsp;$C = 62.5 \ \rm  nF$&nbsp; ergeben sich durch Koeffizientenvergleich folgende Werte der&nbsp; $H_{\rm L}(p)$&ndash;Darstellung:: 
*die Konstante &nbsp;$K = R/L = 2 · 10^6 \cdot 1/{\rm s}$, 
*die Nullstelle &nbsp;$p_{\rm o} = -1/(RC) = -0.32 · 10^6 \cdot 1/{\rm s},$ 
*die beiden Pole &nbsp;$p_{\rm x1}$&nbsp; und &nbsp;$p_{\rm x2}$&nbsp; als Lösung der Gleichung 
:$$p^2 + \frac {R} {L}\cdot p + \frac{1}{LC} = 0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm x 1,\hspace{0.05cm}2 }= -\frac {R} {2L}\pm \sqrt{\frac
{R^2} {4L^2}- \frac{1}{LC} }$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm x 1,\hspace{0.05cm}2 }= -10^6 \cdot {1}/{\rm s} \pm \sqrt{10^{12} \cdot  {1} /{\rm s^2}-0.64 \cdot 10^{12} \cdot {1}/ {\rm s^2} }\hspace{0.3cm}
\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm x 1 }= -0.4 \cdot 10^6\cdot {1}/ {\rm s},\hspace{0.2cm}p_{\rm x 2 }= -1.6 \cdot 10^6\cdot {1}/ {\rm s} \hspace{0.05cm} .$$
In der Grafik ist rechts das Pol–Nullstellen–Diagramm angegeben. 
*Die beiden Achsen  bezeichnen den Real– und den Imaginärteil der Variablen &nbsp;$p$, jeweils normiert auf den Wert &nbsp;$10^6 · \rm 1/s\; (= 1/&micro;s)$. 
*Man erkennt die Nullstelle bei &nbsp;$p_{\rm o} =\, –0.32$&nbsp; als Kreis und die Polstellen bei &nbsp;$p_{\rm x1} = \,–0.4$&nbsp; und &nbsp;$p_{\rm x2} = \,–1.6$&nbsp; als Kreuze.}}
<br>

===Eigenschaften der Pole und Nullstellen===

Die Übertragungsfunktion &nbsp;$H_{\rm L}(p)$&nbsp; einer jeden realisierbaren Schaltung wird durch &nbsp;$Z$&nbsp; Nullstellen und &nbsp;$N$&nbsp; Pole zusammen mit einer Konstanten &nbsp;$K$&nbsp; vollständig beschrieben, wobei folgende Einschränkungen gelten:  
*Es gilt stets &nbsp;$Z ≤ N$.&nbsp; Mit &nbsp;$Z > N$&nbsp; wäre im Grenzfall für &nbsp;$p → ∞$&nbsp; (also für sehr hohe Frequenzen) auch die &nbsp;$p$–Übertragungsfunktion &bdquo;unendlich groß&rdquo;. 
*Die Nullstellen &nbsp;$p_{{\rm o}i}$&nbsp; und die Pole &nbsp;$p_{ {\rm x}i}$&nbsp; sind im allgemeinen komplex und weisen wie &nbsp;$p$&nbsp; die Einheit &nbsp;$\rm 1/s$&nbsp; auf. Gilt &nbsp;$Z < N$, so besitzt auch die Konstante &nbsp;$K$&nbsp; eine Einheit. 
*Die Pole und Nullstellen können reell sein, wie im letzten Beispiel gezeigt.&nbsp; Sind sie komplex, so treten immer zwei konjugiert–komplexe Polstellen bzw. zwei konjugiert–komplexe Nullstellen auf, da &nbsp;$H_{\rm L}(p)$&nbsp; stets eine reelle gebrochen–rationale Funktion darstellt. 
*Alle Pole liegen in der linken Halbebene oder auf der imaginären Achse (Grenzfall). Diese Eigenschaft ergibt sich aus der erforderlichen und vorausgesetzten Kausalität zusammen mit dem &nbsp;[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Einige_Ergebnisse_der_Funktionentheorie|Hauptsatz der Funktionstheorie]]. 
*Nullstellen können sowohl in der linken als auch in der rechten &nbsp;$p$–Halbebene auftreten oder auch auf der imaginären Achse.&nbsp; Nullstellen in der rechten Halbebene gibt es insbesondere bei Allpässen. 


Diese Eigenschaften werden nun an drei Beispielen verdeutlicht.

{{GraueBox|TEXT=  
$\text{Beispiel 3:}$&nbsp; 
Ausgehend von obiger Vierpolschaltung]]&nbsp; $(L$&nbsp; im Längszweig,&nbsp; $R$&nbsp; und&nbsp; $C$&nbsp; im Querzweig$)$&nbsp; können die charakteristischen Größen der Übertragungsfunktion wie folgt angegeben werden:
:$$K = 2A, \hspace{0.2cm}p_{\rm x 1,\hspace{0.05cm}2 }= -A \pm \sqrt{A^2-B^2}, \hspace{0.2cm}p_{\rm o }= - \frac{B^2}{2A} \hspace{0.05cm} \hspace{0.2cm} {\rm mit }  \hspace{0.2cm} A = \frac {R} {2L}, \hspace{0.2cm}B = \frac{1}{\sqrt{LC} } \hspace{0.05cm}.$$
Die Grafik zeigt drei verschiedene Diagramme mit unterschiedlichen Kapazitätswerten &nbsp;$C$.&nbsp; Es gilt stets &nbsp;$R = 50 \ \rm Ω$&nbsp; und &nbsp;$L = 25 \ \rm &micro; H$.&nbsp; Die Achsen sind auf die Variable &nbsp;$A = R/(2L) = 10^6 · \rm 1/s$&nbsp; normiert.&nbsp; Der konstante Faktor ist jeweils &nbsp;$K = 2A = 2 · 10^6 · \rm 1/s.$

[[Datei:P_ID2837__LZI_T_3_2_S5_neu.png|right|frame|Lage der Nullstelle und der Pole für&nbsp; $Z = 1$&nbsp; und&nbsp; $N = 2$|class=fit]]

*'''Links:'''&nbsp; Für&nbsp; $B/A < 1$&nbsp; $($hier $B/A =0.8)$&nbsp; erhält man&nbsp; '''zwei reelle Pole'''&nbsp; und eine Nullstelle rechts von &nbsp;$-A/2$:
:$$ p_{\rm x 1}/A = -0.4 , \hspace{0.2cm}p_{\rm x 2}/A= -1.6 , \hspace{0.2cm}p_{\rm o}/A= -0.32  \hspace{0.05cm} .$$
*'''Rechts''':&nbsp; Für&nbsp; $B/A >1$&nbsp; $($hier $B/A =\sqrt{5})$&nbsp; ergeben sich&nbsp; '''zwei konjugiert–komplexe Pole'''&nbsp; und eine Nullstelle links von&nbsp; $-A/2$:
:$$p_{\rm x 1,\hspace{0.05cm}2 }/A= -1\pm {\rm j}\cdot 2,\hspace{0.2cm}p_{\rm o}/A\approx -2.5  \hspace{0.05cm} .$$
*'''Mitte''':&nbsp; Der Fall&nbsp; $A = B$&nbsp;  führt zu&nbsp; '''einer reellen doppelten Polstelle'''&nbsp; und einer Nullstelle bei&nbsp; $– A/2$:&nbsp; 
:$$  p_{\rm x 1}/A=  p_{\rm x 2}/A= -1, \hspace{0.2cm}p_{\rm o}/A= -0.5   \hspace{0.05cm} .$$

Die Impulsantworten &nbsp;$h(t)$&nbsp; ergeben sich entsprechend dem folgenden Kapitel&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation|Laplace–Rücktransformation]]&nbsp; wie folgt:
*Bei der linken Konstellation ist &nbsp;$h(t)$ &nbsp;[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Aperiodisch_abklingende_Impulsantwort|aperiodisch abklingend]]. 
*Bei der rechten Konstellation ist &nbsp;$h(t)$ &nbsp;[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Ged.C3.A4mpft_oszillierende_Impulsantwort|gedämpft oszillierend]]. 
*Bei der mittleren Konstellation spricht man vom &nbsp;[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Aperiodischer_Grenzfall|aperiodischen Grenzfall]]. }}
<br>

===Grafische Ermittlung von Dämpfung und Phase===

Gegeben sei die &nbsp;$p$–Übertragungsfunktion in der Pol–Nullstellen–Notation: 
:$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {\prod\limits_{i=1}^Z (p - p_{\rm o i})} {\prod\limits_{i=1}^N (p - p_{\rm x i})}= K \cdot \frac {(p - p_{\rm o 1})(p - p_{\rm o 2})\cdot \text{...} \cdot (p - p_{ {\rm o} \hspace{-0.03cm} Z})} {(p - p_{\rm x 1})(p - p_{\rm x 2})\cdot \text{...} \cdot (p - p_{ {\rm x} \hspace{-0.03cm} N})}
 \hspace{0.05cm} .$$
Zum herkömmlichen Frequenzgang &nbsp;$H(f)$&nbsp; kommt man, indem man das Argument &nbsp;$p$&nbsp; von &nbsp;$H_{\rm L}(p)$&nbsp; durch&nbsp; ${\rm j} \cdot 2πf$&nbsp; ersetzt:
[[Datei:P_ID1761__LZI_T_3_2_S6_neu.png |right|frame|Ausgangsdiagramm zur Berechnung <br>von Dämpfung und Phase|class=fit]]
:$$H(f)=  K \cdot \frac {({\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{\rm o 1})({\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{\rm o 2})\cdot  \text{...} \cdot ({\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{ {\rm o} \hspace{-0.03cm} Z})} {({\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{\rm x 1})({\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{\rm x 2})\cdot \text{...}\cdot ({\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{ {\rm x} \hspace{-0.03cm} N})} \hspace{0.05cm} .$$
Wir betrachten nun einen speziellen $p$&ndash;Wert und damit eine feste Frequenz $f$.&nbsp; Die Abstände und Winkel aller Nullstellen beschreiben wir durch Vektoren:

:$$R_{ {\rm o} i} =  {\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{ {\rm o} i}= |R_{{\rm o} i}| \cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j}\hspace{0.03cm}\cdot\hspace{0.03cm}\phi_{ {\rm o} i} },
 \hspace{0.3cm}i= 1, \text{...}\ , Z \hspace{0.05cm} .$$
In gleicher Weise gehen wir für die Polstellen vor:
:$$R_{ {\rm x} i} =  {\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{ {\rm x} i}= |R_{ {\rm x} i}| \cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j}\hspace{0.03cm}\cdot\hspace{0.03cm}\phi_{ {\rm x} i} },  \hspace{0.3cm}i= 1,  \text{...}\ , N \hspace{0.05cm} .$$

Die Grafik zeigt die Beträge und Phasenwinkel für ein System 
*mit &nbsp;$Z = 2$&nbsp; Nullstellen in der rechten Halbebene 
*und &nbsp;$N = 2$&nbsp; Polstellen in der linken Halbebene. 


Zu berücksichtigen ist zudem die Konstante $K$.

Mit dieser Vektordarstellung kann für den Frequenzgang geschrieben werden:
:$$H(f)=  K \cdot \frac {|R_{ {\rm o} 1}| \cdot |R_{ {\rm o} 2}|\cdot ... \cdot |R_{ {\rm o} \hspace{-0.03cm} Z}|} {|R_{ {\rm x} 1}| \cdot |R_{ {\rm x} 2}|\cdot \text{...} \cdot |R_{ {\rm x} \hspace{-0.03cm} N}|} \cdot  {\rm e^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot [ \phi_{ {\rm o} 1}\hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}\phi_{ {\rm o} 2} \hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}\hspace{0.1cm}\text{...}. \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm}\phi_{ {\rm o} \hspace{-0.03cm}{\it Z}}\hspace{0.1cm}- \hspace{0.1cm}\phi_{ {\rm x} 1}\hspace{0.1cm}- \hspace{0.1cm}\phi_{ {\rm x} 2} \hspace{0.1cm}- \hspace{0.1cm}... \hspace{0.1cm}
 - \hspace{0.1cm} \phi_{ {\rm x} \hspace{-0.03cm}{\it N} }]} } \hspace{0.05cm} .$$

Stellt man &nbsp;$H(f)$&nbsp; durch die Dämpfungsfunktion &nbsp;$a(f)$&nbsp; und die Phasenfunktion &nbsp;$b(f)$&nbsp; nach der allgemein gültigen Beziehung &nbsp;$H(f) = {\rm e}^{-a(f)\hspace{0.05cm}- \hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}b(f)}$&nbsp; dar, so erhält man durch den Vergleich mit der obigen Gleichung das folgende Ergebnis: 
*Bei geeigneter Normierung aller dimensionsbehafteten Größen gilt für die Dämpfung in Neper&nbsp; $(1 \ \rm  Np$ entspricht $8.686 \ \rm  dB)$:
:$$a(f) = -{\rm ln} \hspace{0.1cm} K + \sum \limits_{i=1}^N {\rm ln} \hspace{0.1cm} |R_{ {\rm x} i}|- \sum \limits_{i=1}^Z {\rm ln} \hspace{0.1cm} |R_{ {\rm o} i}| \hspace{0.05cm} .$$
*Die Phasenfunktion in Radian $\rm (rad)$ ergibt sich entsprechend der oberen Skizze zu
:$$b(f) = \phi_K  + \sum \limits_{i=1}^N \phi_{ {\rm x} i}- \sum \limits_{i=1}^Z \phi_{ {\rm o} i}\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.2cm} \phi_K = \left\{ \begin{array}{c} 0 \\ \pi   \end{array} \right. \begin{array}{c}   {\rm{f\ddot{u}r} }  \\ {\rm{f\ddot{u}r} }  \end{array}\begin{array}{*{20}c} {  K > 0\hspace{0.05cm},}  \\ { K <0\hspace{0.05cm}.} \end{array}$$

[[Datei:P_ID1762__LZI_T_3_2_S6b_neu.png |right|frame| Zur Berechnung der Dämpfungs– und Phasenfunktion <br>(Bildschirmabzug einer früheren Version von &bdquo;Kausale  Systeme & Laplace–Transformation&rdquo;)|class=fit]]
{{GraueBox|TEXT=  
$\text{Beispiel 4:}$&nbsp; 
Die Grafik verdeutlicht die Berechnung 
*der Dämpfungsfunktion &nbsp;$a(f)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; roter Kurvenverlauf,&nbsp; und 
*der Phasenfunktion &nbsp;$b(f)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; grüner Kurvenverlauf


eines Vierpols, der durch den Faktor &nbsp;$K = 1.5$, eine Nullstelle bei &nbsp;$-3$&nbsp; und zwei Pole bei &nbsp;$–1 \pm {\rm j} · 4$&nbsp; festliegt. 

Wie im Applet verwenden wir auch in diesem Beispiel die normierte Frequenz $f\hspace{0.05cm}'=(2\pi T)\cdot f$.&nbsp; Der Zeitnormierungswert sei&nbsp; $T=1$.

Die angegebenen Zahlenwerte gelten für die Frequenz $f\hspace{0.05cm}' = 3$.&nbsp; Die Herleitung dieser Zahlenwerte ist im umrahmten Block verdeutlicht: 
:$$a \big (f\hspace{0.05cm}' = {3} \big ) = a \big [f = {3}/({2\pi T}) \big ] = 0.453\,\,{\rm Np}=  3.953\,\,{\rm dB}$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.4cm}\big \vert H \big (f\hspace{0.05cm}' = {3} \big )\big \vert = 0.636,$$
:$$  b\big (f\hspace{0.05cm}' = {3} \big ) = -8.1^\circ \hspace{0.05cm} .$$

Für den Betragsfrequenzgang &nbsp; $\vert H(f)\vert$ &nbsp; &rArr; &nbsp; blauer Kurvenverlauf ergibt sich ein bandpassähnlicher Verlauf mit
:$$\vert H(f = 0)\vert \approx 0.25\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}
\vert H(f = {4}/(2\pi T)\vert \approx 0.637\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}
\vert H(f \rightarrow \infty)\vert= 0 \hspace{0.05cm} .$$}}
<br>

===Laplace&ndash;Rücktransformation und Residuensatz===

{{BlaueBox|TEXT=  
$\text{Aufgabenstellung:}$&nbsp; Dieses Kapitel behandelt das folgende Problem: 
*Bekannt ist die&nbsp; $p$–Spektralfunktion&nbsp; $Y_{\rm L}(p)$&nbsp; in der Pol–Nullstellen–Form. 
*Gesucht ist die&nbsp; '''Laplace–Rücktransformierte''', also die dazugehörige Zeitfunktion&nbsp; $y(t)$, wobei folgende Notation gelten soll:
:$$y(t) = {\rm L}^{-1}\{Y_{\rm L}(p)\}\hspace{0.05cm} , \hspace{0.3cm}{\rm kurz}\hspace{0.3cm}
 y(t) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}\rm L}\!\!\!-\!\!\bullet\quad Y_{\rm L}(p)\hspace{0.05cm} .$$}}



Im Gegensatz zu den&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|Fourierintegralen]], die sich in den beiden Transformationsrichtungen nur geringfügig unterscheiden, ist bei &bdquo;Laplace&rdquo; die Berechnung von &nbsp;$y(t)$&nbsp; aus &nbsp;$Y_{\rm L}(p)$ – also die Rücktransformation – 
*sehr viel schwieriger als die Berechnung von &nbsp;$Y_{\rm L}(p)$&nbsp; aus &nbsp;$y(t)$, 
*auf elementarem Weg nicht oder nur sehr umständlich lösbar.


{{BlaueBox|TEXT=  
$\text{Definition:}$&nbsp; 
Allgemein gilt für die&nbsp; '''Laplace–Rücktransformation''':
:$$y(t) = {\rm L}^{-1}\{Y_{\rm L}(p)\}= \lim_{\beta \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}\infty}  \hspace{0.15cm} \frac{1}{ {\rm j} \cdot 2 \pi}\cdot     \int_{ \alpha - {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi \beta } ^{\alpha+{\rm j}  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi \beta}  Y_{\rm L}(p) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}\hspace{0.1cm}{\rm
 d}p \hspace{0.05cm} .$$
*Die Integration erfolgt parallel zur imaginären Achse. 
*Der Realteil &nbsp;$α$&nbsp;  ist so zu wählen, dass alle Pole links vom Integrationsweg liegen.}}


Die linke Grafik verdeutlicht dieses Linienintegral entlang der rot gepunkteten Vertikalen &nbsp;${\rm Re}\{p\}= α$.&nbsp; Lösbar ist dieses Integral mit dem &nbsp;[https://de.wikipedia.org/wiki/Lemma_von_Jordan Jordanschen Lemma der Funktionstheorie].&nbsp; Hier folgt nur eine sehr kurze und einfache Zusammenfassung der Vorgehensweise: 

[[Datei:P_ID1777__LZI_T_3_3_S2_neu.png |right|frame| Linienintegral sowie linkes und rechtes Kreisintegral]]
*Das Linienintegral kann gemäß der Skizze in zwei Kreisintegrale aufgeteilt werden.&nbsp; Alle Polstellen liegen im linken Kreisintegral.&nbsp; Das rechte Kreisintegral darf nur Nullstellen beinhalten. 
*Das rechte Kreisintegral liefert die Zeitfunktion &nbsp;$y(t)$&nbsp; für negative Zeiten.&nbsp; Aufgrund der Kausalität muss &nbsp;$y(t < 0)$&nbsp; identisch Null sein, was aber nach dem Hauptsatz der Funktionstheorie nur dann zutrifft, wenn es in der rechten &nbsp;$p$–Halbebene keine Pole gibt. 
*Das Integral über den linken Halbkreis liefert die Zeitfunktion für &nbsp;$t ≥ 0$.&nbsp; Dieses umschließt alle Polstellen und ist mit dem Residuensatz in (relativ) einfacher Weise berechenbar, wie im Folgenden gezeigt wird. 


Es wird weiterhin vorausgesetzt, dass die Übertragungsfunktion &nbsp;$Y_{\rm L}(p)$&nbsp; in Pol–Nullstellen–Form durch den konstanten Faktor&nbsp; $K$,&nbsp; die &nbsp;$Z$&nbsp; Nullstellen &nbsp;$p_{{\rm o}i}$&nbsp; $(i = 1$, ... , $Z)$&nbsp; und die &nbsp;$N$&nbsp; Polstellen &nbsp;$p_{{\rm x}i}$&nbsp; $(i = 1$, ... , $N$)&nbsp; dargestellt werden kann. Wir setzen zudem &nbsp;$Z < N$&nbsp; voraus. 

Die Anzahl der unterscheidbaren Pole bezeichnen wir mit &nbsp;$I$.&nbsp; Zur Bestimung von &nbsp;$I$&nbsp; werden mehrfache Pole nur einfach gezählt.&nbsp; So gilt für die obige Skizze aufgrund einer doppelten Polstelle: &nbsp;  $N = 5$&nbsp; und &nbsp;$I = 4$.

{{BlaueBox|TEXT=  
$\text{Residuensatz:}$&nbsp; 
Unter den genannten Voraussetzungen ergibt sich die&nbsp; '''Laplace–Rücktransformierte'''&nbsp; von &nbsp;$Y_{\rm L}(p)$&nbsp; für Zeiten&nbsp; $t ≥ 0$&nbsp; als die Summe von&nbsp; $I$&nbsp; Eigenschwingungen der Pole, die man als die&nbsp; '''Residuen'''&nbsp; – abgekürzt mit „Res” – bezeichnet:
:$$y(t) = \sum_{i=1}^{I}{\rm Res} \bigg \vert _{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}_i}} \hspace{-0.7cm}\{Y_{\rm L}(p)\cdot  {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t}\} \hspace{0.05cm} .$$

Da&nbsp; $Y_{\rm L}(p)$&nbsp; nur für kausale Signale angebbar ist, gilt für negative Zeiten stets &nbsp;$y(t < 0) = 0$. 

*Für einen Pol der Vielfachheit &nbsp;$l$&nbsp; gilt allgemein:
:$${\rm Res} \bigg \vert _{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x}_i} } \hspace{-0.7cm}\{Y_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p t}\}= \frac{1}{(l-1)!}\cdot \frac{ {\rm d}^{\hspace{0.05cm}l-1} }{ {\rm d}p^{\hspace{0.05cm}l-1} }\hspace{0.15cm} \left \{Y_{\rm L}(p)\cdot (p - p_{ {\rm x}_i})^{\hspace{0.05cm}l}\cdot  {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t}\right\} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x}_i} } \hspace{0.05cm} .$$
*Als Sonderfall ergibt sich daraus mit &nbsp;$l = 1$&nbsp; für einen einfachen Pol:
:$${\rm Res} \bigg\vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x}_i} } \hspace{-0.7cm}\{Y_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p t}\}= Y_{\rm L}(p)\cdot (p - p_{ {\rm x}_i} )\cdot  {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \bigg \vert _{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x}_i} } \hspace{0.05cm} .$$}}
<br>
===Drei Beispiele zur Anwendung des  Residuensatzes bei zwei Polen===

Nun wird der Residuensatz anhand dreier ausführlicher Beispiele verdeutlicht, die mit den drei Konstellationen im obigen&nbsp;  $\text{Beispiel 3}$&nbsp;  im Kapitel &bdquo;Laplace&ndash;Transformation&rdquo; korrespondieren: 
*Wir betrachten also wieder den Vierpol mit einer Induktivität &nbsp;$L = 25 \ \rm &micro;H$&nbsp; im Längszweig  sowie im Querzweig die Serienschaltung aus einem Ohmschen Widerstand&nbsp; $R = 50 \ \rm Ω$&nbsp; und einer Kapazität&nbsp; $C$.&nbsp; Für Letztere betrachten wir wieder drei verschiedene Werte, nämlich &nbsp;$C = 62.5 \ \rm nF$, &nbsp;$C = 8 \ \rm nF$ und &nbsp;$C = 40 \ \rm nF$. 
*Vorausgesetzt ist zudem stets &nbsp;$x(t) = δ(t) \; ⇒  \; X_{\rm L}(p) = 1$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $Y_{\rm L}(p) = H_{\rm L}(p)$  &nbsp; &rArr; &nbsp;  $y(t)$&nbsp; ist gleich der Impulsantwort &nbsp;$h(t)$.


[[Datei: P_ID1772__LZI_T_3_3_S3a_kurz.png  |right|frame| Aperiodisch aklingende Impulsantwort]]
{{GraueBox|TEXT=  
$\text{Beispiel 5: Aperiodisch abklingende Impulsantwort:}$&nbsp;

Mit &nbsp;$C = 62.5 \ \rm nF$&nbsp; erhält man für die &nbsp; $p$&ndash;Übertragungsfunktion:
:$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {p - p_{\rm o } } {(p - p_{\rm x 1} )(p - p_{\rm x 2}) }= 2 \cdot \frac {p + 0.32 }
 {(p +0.4)(p +1.6 )} \hspace{0.05cm} .$$

Beachten Sie bitte die vorgenommene Normierung von &nbsp;$p$, &nbsp;$K$ sowie aller Pole und Nullstellen mit dem Faktor &nbsp;${\rm 10^6} · 1/\rm s$.

Die Impulsantwort setzt sich aus &nbsp;$I = N = 2$&nbsp; Eigenschwingungen zusammen. Für $t < 0$&nbsp; sind diese gleich Null.
*Das Residium des Pols bei &nbsp;$p_{\rm x1} =\  –0.4$&nbsp; liefert die Zeitfunktion:
:$$h_1(t)  =  {\rm Res} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x}1} } \hspace{-0.7cm}\{H_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p t}\}= H_{\rm L}(p) \cdot {\rm e}^{p t} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}1}} = $$
:$$\hspace{1.05cm}= 2 \cdot \frac {p + 0.32 } {p +0.4}\cdot  {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}-0.4}= - \frac {2 } {15}\cdot  {\rm e}^{-0.4 \hspace{0.05cm} t} \hspace{0.05cm}. $$

*In gleicher Weise kann das Residium des zweiten Pols bei &nbsp;$p_{\rm x2} = \ –1.6$&nbsp; berechnet werden:
:$$h_2(t)  =  {\rm Res} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x}2} } \hspace{-0.7cm}\{H_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p t}\}= H_{\rm L}(p) \cdot {\rm e}^{p t} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}2}}=$$
:$$\hspace{1.05cm}= 2 \cdot \frac {p + 0.32 } {p +1.6}\cdot  {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}-1.6}=\frac {32 } {15}\cdot  {\rm e}^{-1.6 \hspace{0.05cm} t} \hspace{0.05cm}.$$

Die Grafik zeigt &nbsp;$h_1(t)$&nbsp; und &nbsp;$h_2(t)$&nbsp; sowie das Summensignal &nbsp;$h(t)$.&nbsp; Berücksichtigt ist der Normierungsfaktor &nbsp;$1/T = 10^6 · \rm 1/s$&nbsp; &rArr; &nbsp; die Zeit ist auf &nbsp;$T = 1 \ \rm &micro; s$&nbsp; normiert.
*Für &nbsp;$t =0$&nbsp; ergibt sich&nbsp; $T \cdot h(t=0) =  32/15-2= 2 \hspace{0.05cm}$.&nbsp;
*Für Zeiten &nbsp;$t > 2 \ \rm &micro; s$&nbsp; ist die Impulsantwort  negativ&nbsp; (wenn auch nur geringfügig und in der Grafik nur schwer zu erkennen).}}
<br clear=all>
[[Datei:P_ID1780__LZI_T_3_3_S3b_kurz.png |right|frame| Gedämpft oszillierende Impulsantwort]]
{{GraueBox|TEXT=  
$\text{Beispiel 6: Gedämpft oszillierende Impulsantwort:}$&nbsp;

Die Bauelementewerte &nbsp;$R = 50 \ \rm Ω$, &nbsp;$L = 25 \ \rm &micro; H$ und &nbsp;$C = 8 \ \rm nF$ ergeben zwei konjugiert komplexe Pole bei &nbsp;$p_{{\rm x}1} = \ –1 + {\rm j} · 2$&nbsp; und &nbsp;$p_{{\rm x}2} = \ –1 - {\rm j} · 2$.&nbsp; Die Nullstelle liegt bei &nbsp;$p_{\rm o} = \ –2.5$. Es gilt &nbsp;$K = 2$&nbsp; und alle Zahlenwerte sind wieder mit dem Faktor &nbsp;$1/T$&nbsp; zu multiplizieren $(T = 1\ \rm &micro; s$).

Wendet man den Residuensatz auf diese Konfiguration an, so erhält man:
:$$h_1(t) =  \text{ ...}   = K \cdot \frac {p_{\rm x 1} - p_{\rm o }} {p_{\rm x 1} - p_{\rm x 2}}\cdot  {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 1} \cdot \hspace{0.05cm}t} 2 \cdot \frac {1.5 + {\rm j}\cdot 2} {{\rm j}\cdot 4}\cdot  {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 1} \cdot\hspace{0.05cm}t}$$

:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h_1(t) =  \frac {3 + {\rm j}\cdot 4} {{\rm j}\cdot 4}\cdot  {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 1} \cdot\hspace{0.05cm}t}= (1 - {\rm j}\cdot 0.75)\cdot {\rm
 e}^{-t}\cdot {\rm  e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2t} \hspace{0.05cm} ,$$
:$$ h_2(t) =  \text{ ...}   = K \cdot \frac {p_{\rm x 2} - p_{\rm o }} {p_{\rm x 2} - p_{\rm x 1}}\cdot  {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 2} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}=  2 \cdot \frac {1.5 - {\rm j}\cdot 2} {-{\rm j}\cdot 4}\cdot  {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 2} \hspace{0.03cm}\cdot\hspace{0.05cm}t} $$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h_2(t) = (1 + {\rm j}\cdot 0.75)\cdot {\rm e}^{-t}\cdot {\rm  e}^{\hspace{0.03cm}-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2t} \hspace{0.05cm} . $$

Mit dem&nbsp; [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Satz von Euler]]&nbsp; ergibt sich somit für das Summensignal:
:$$h(t) =  h_1(t) + h_2(t)= {\rm  e}^{-t}\cdot \big [ (1 - {\rm j}\cdot 0.75)\cdot (\cos(2t) + {\rm j}\cdot \sin(2t))+
 (1 + {\rm j}\cdot 0.75)\cdot (\cos(2t) - {\rm j}\cdot \sin(2t))\big ]$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h(t) ={\rm  e}^{-t}\cdot \big [ 2\cdot \cos(2t) + 1.5 \cdot \sin(2t)\big ]\hspace{0.05cm} . $$

Die Grafik zeigt die nun mit &nbsp;${\rm e}^{–t}$&nbsp; gedämpft oszillierende Impulsantwort &nbsp;$h(t)$&nbsp; für diese Pol–Nullstellen–Konfiguration.}}
<br clear=all>

[[Datei:P_ID1774__LZI_T_3_3_S3c_kurz.png |right|frame| Impulsantwort und Sprungantwort des aperiodischen Grenzfalls]]

{{GraueBox|TEXT=  
$\text{Beispiel 7: Aperiodischer Grenzfall:}$&nbsp;

Der Kapazitätswert &nbsp;$C = 40 \ \rm nF$&nbsp; ist der kleinstmögliche Wert, für den sich gerade noch reelle Polstellen ergeben.&nbsp; Diese fallen zusammen, das heißt &nbsp;$p_{\rm x} = \ –1$&nbsp; ist eine doppelte Polstelle.&nbsp; 
:$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {p - p_{\rm o } } {(p - p_{\rm x })^2}= 2 \cdot \frac {p + 0.5 } { (p +1)^2}  \hspace{0.05cm} .$$

Die Zeitfunktion lautet somit entsprechend dem Residuensatz mit &nbsp;$l = 2$:
:$$h(t) =  {\rm Res} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x} } } \hspace{-0.7cm}\{H_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p t}\} $$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} h(t) =    \frac{ {\rm d} }{ {\rm d}p}\hspace{0.15cm}
 \left \{H_{\rm L}(p)\cdot (p - p_{ {\rm x} })^2\cdot  {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t}\right\} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x} } }$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} h(t) =   K \cdot \frac{ {\rm d} }{ {\rm d}p}\hspace{0.15cm}\left \{ (p - p_{ {\rm o} })\cdot  {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t}\right\}  \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x} } } \hspace{0.05cm} .$$

Mit der ''Produktregel''&nbsp; der Differentialrechnung ergibt sich daraus:
:$$h(t) = K \cdot \left [ {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} + (p - p_{ {\rm o} })\cdot t \cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \right ] \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}-1} = {\rm  e}^{-t}\cdot \left ( 2 - t \right)
 \hspace{0.05cm} .$$

Die Grafik zeigt diese Impulsantwort (grüne Kurve) in normierter Darstellung.&nbsp; Sie unterscheidet sich von derjenigen in&nbsp; $\text{Beispiel 5}$&nbsp; mit den beiden unterschiedlichen Polen bei&nbsp; $-0.4$&nbsp; und&nbsp; $-1.6$&nbsp; nur geringfügig. 

Die rot gezeichnete Sprungantwort &nbsp;$\sigma(t) =  1 - {\rm  e}^{-t} + t \cdot {\rm  e}^{-t}$&nbsp; ergibt sich, wenn man  am Eingang  zusätzlich eine Sprungfunktion berücksichtigt.&nbsp; Zu deren Berechnung kann man alternativ  

*bei der Residuenberechnung einen zusätzlichen Pol bei &nbsp;$p = 0$ &nbsp; (rot markiert) berücksichtigen,  
*oder das Integral über die Impulsantwort &nbsp;$h(t)$&nbsp; bilden.}}
<br clear=all>
===Partialbruchzerlegung===

Voraussetzung für die Anwendung des Residuensatzes ist, dass es weniger Nullstellen als Pole gibt &nbsp; &rArr; &nbsp; $Z$&nbsp; muss stets  kleiner als &nbsp;$N$&nbsp; sein.

Gilt dagegen wie bei einem Hochpass &nbsp;$Z = N$, so 
*ist der Grenzwert der Spektralfunktion für großes &nbsp;$p$&nbsp; ungleich Null, 
*beinhaltet das zugehörige Zeitsignal &nbsp;$y(t)$&nbsp; auch einen &nbsp;[[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Diracimpuls|Diracimpuls]],  
*versagt der Residuensatz und es ist eine ''Partialbruchzerlegung''&nbsp; vorzunehmen. 


Die Vorgehensweise soll beispielhaft für einen Hochpass erster Ordnung verdeutlicht werden.

[[Datei:P_ID1775__LZI_T_3_3_S5_neu.png |right|frame| Impulsantwort von Tiefpass (blau) und Hochpass (rot)]]
{{GraueBox|TEXT=  
$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; 
Die&nbsp; $p$–Übertragungsfunktion eines&nbsp; $RC$–Hochpasses erster Ordnung kann durch Abspaltung einer Konstanten wie folgt umgewandelt werden:
:$$\frac{p}{p + RC} = 1- \frac{RC}{p + RC}\hspace{0.05cm} .$$
Damit lautet die Hochpass&ndash;Impulsantwort:
:$$h_{\rm HP}(t) = \delta(t) - h_{\rm TP}(t) \hspace{0.05cm} .$$


Die Grafik zeigt 
*als rote Kurve die Hochpass&ndash;Impulsantwort &nbsp;$h_{\rm HP}(t)$,
* als blaue Kurve die Impulsantwort &nbsp;$h_{\rm TP}(t)$&nbsp; des äquivalenten Tiefpasses.


Die Diracfunktion ist die Laplace–Transformierte des konstanten Wertes $1$, während die zweite Funktion die Impulsantwort des äquivalenten Tiefpasses angibt, die mit &nbsp;$Z = 0$, &nbsp;$N =1$ und &nbsp;$K = RC$&nbsp; durch den Residuensatz angebbar ist. }}


==Versuchsdurchführung==
<br>
*Wählen Sie zunächst die Nummer&nbsp; $(1,\ 2$, ... $)$&nbsp; der zu bearbeitenden Aufgabe.&nbsp; Die Nummer&nbsp; $0$&nbsp; entspricht einem &bdquo;Reset&rdquo;:&nbsp; Einstellung wie beim Programmstart.
*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt.&nbsp; Die Parameterwerte sind angepasst.&nbsp; Lösung nach Drücken von &bdquo;Musterlösung&rdquo;.
*Analysieren Sie bei allen Aufgaben die dargestellen Grafiken im Frequenzbereich&nbsp; $\rm (F)$&nbsp; und/oder  Zeitbereich&nbsp; $\rm (Z)$.
*Für die normierte Zeit gilt&nbsp; $t\hspace{0.05cm}'=t/T$&nbsp; und für die normierte Frequenz&nbsp; $f\hspace{0.05cm}'=(2\pi T)\cdot f$.&nbsp; Die Ordinaten im Frequenzbereich sind&nbsp; $Y(f\hspace{0.05cm}')$&nbsp; und im Zeitbereich&nbsp; $y(t\hspace{0.05cm}')$.&nbsp;
*Ein diracförmiges Eingangssignal &nbsp; &rArr; &nbsp; $X_{\rm L}(p) =1$&nbsp; beschreibt ein LZI&ndash;System mit der Impulsantwort&nbsp; $h(t\hspace{0.05cm}')$&nbsp; dem Frequenzgang &nbsp; $H(f\hspace{0.05cm}')$.
*Eine Sprungfunktion am Eingangssignal &nbsp; &rArr; &nbsp; $X_{\rm L}(p) =1/p$&nbsp; wird durch die Sprungantwort&nbsp; $\sigma(t\hspace{0.05cm}')$&nbsp; und deren Spektralfunktion&nbsp; ${\it \Sigma}(f\hspace{0.05cm}')$&nbsp; charakterisiert. 
<br>

 {{BlaueBox|TEXT=  
'''(1)''' &nbsp; Interpretieren Sie die Grafiken&nbsp; $\rm (F, \ Z)$&nbsp; gemäß&nbsp; $\text{Satz 1:}\ K = 1, \ Z = 0,\ N= 1,\ p_{\rm x1} = -1$.&nbsp; Was ändert sich nach Variation von&nbsp; $p_{\rm x1}$? }}

* $\rm (Z)$&nbsp; zeigt die Exponentialfunktion&nbsp; $y(t\hspace{0.05cm}')$&nbsp; mit dem Maximum&nbsp; $y(t\hspace{0.05cm}' = 0) = 1$&nbsp; und der Abfallzeitkonstanten&nbsp; $T\hspace{0.05cm}' =1$&nbsp; und $\rm (F)$&nbsp; die zugehörige komplexe Spektralfunktion. 
*Mit&nbsp; $p_{\rm x1} = -2$&nbsp; ist der&nbsp; $\rm (T)$&ndash;Abfall steiler&nbsp; $(T\hspace{0.05cm}' =0.5)$,&nbsp; während der Maximalwert unverändert bleibt.&nbsp; Der&nbsp; $\rm (F)$&ndash;Graph ist nun halb so hoch und doppelt so breit.  
*Nähert sich&nbsp; $p_{\rm x1}\to 0$&nbsp; dem Nullwert von links immer mehr an, so wird&nbsp; $T\hspace{0.05cm}'$&nbsp; immer größer.&nbsp; Im Grenzfall&nbsp; $p_{\rm x1} \to 0$&nbsp; ergibt sich die Sprungfunktion:&nbsp;  $y(t\hspace{0.05cm}') \equiv 0$&nbsp; für&nbsp;  $t\hspace{0.05cm}' \ge 0$.


{{BlaueBox|TEXT=  
'''(2)''' &nbsp; Es gelten weiter die Einstellungen gemäß&nbsp; $\text{Satz 1}$.&nbsp; Interpretieren Sie aber nun die Grafiken für ein LZI&ndash;System und ermitteln Sie dessen Kenngrößen. <br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;  
Betrachten Sie insbesondere den Gleichsignalübertragungsfaktor&nbsp; $\vert H(f\hspace{0.05cm}'= 0)\vert$&nbsp; und die&nbsp; ${\rm 3\hspace{0.05cm} dB}$&ndash;Grenzfrequenz.&nbsp; Variieren Sie die Parameter&nbsp; $p_{\rm x1}$&nbsp; und&nbsp; $K$.}}

*Entsprechend dem&nbsp; $\rm F$&ndash;Graphen handelt es sich um einen Tiefpass &nbsp; &rArr; &nbsp; $H(f\hspace{0.05cm}') \to H_{\rm TP}(f\hspace{0.05cm}')$&nbsp; und zwar mit dem Gleichsignalübertragungsfaktor &nbsp; $|H_{\rm TP}(f\hspace{0.05cm}'= 0)| = 1$.&nbsp;  
*Die normierte&nbsp; ${\rm 3\hspace{0.05cm} dB}$&ndash;Grenzfrequenz ist diejenige Frequenz, bei der&nbsp; $\vert H_{\rm TP}(f\hspace{0.05cm}')\vert$&nbsp; um den Faktor $1/\sqrt{2}$&nbsp; kleiner ist als das Maximum: &nbsp;$f_{\rm 3\hspace{0.05cm} dB}\hspace{0.05cm}' = 1$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_{\rm 3\hspace{0.05cm} dB} = 1/(2πT)$. 
*Bei&nbsp; $p_{\rm x1}= -2$&nbsp; ist diese Größe doppelt so groß:&nbsp; $f_{\rm 3\hspace{0.10cm} dB}\hspace{0.05cm}' = 2$.&nbsp; Um wieder&nbsp; $|H(f\hspace{0.05cm}'= 0)| = 1$&nbsp; zu erreichen, ist zusätzlich&nbsp; $K= 2$&nbsp; anzupassen. 
*Für die Herleitung der hier verwendeten Gleichungen verweisen wir auf das obige&nbsp; $\text{Beispiel 1}$.&nbsp; Man bezeichnet das Filter als '''Tiefpass erster Ordnung'''. 



 {{BlaueBox|TEXT=  
'''(3)''' &nbsp; Nun gelte&nbsp; $K=1$&nbsp; und&nbsp; $p_{\rm x1}= -2.$&nbsp; Welchen Verlauf hat das Ausgangssignal&nbsp; $y(t\hspace{0.05cm}')$,&nbsp; wenn am Eingang eine Sprungfunktion&nbsp; $x(t\hspace{0.05cm}')$&nbsp; anliegt &nbsp; &rArr; &nbsp; $X_{\rm L}(p) =1/p$. }}

*Die&nbsp; $\rm Z$&ndash;Graphik zeigt die exponentiell abfallende Impulsantwort&nbsp; $h(t\hspace{0.05cm}')$, also das Ausgangssignal&nbsp; $y(t\hspace{0.05cm}')$&nbsp; für eine Diracfunktion am Eingang. 
*Bei anderem Eingangssignal&nbsp; $x(t\hspace{0.05cm}')$&nbsp; erhält man das Ausgangssignal&nbsp; $y(t\hspace{0.05cm}')$&nbsp; durch dessen Faltung mit&nbsp; $h(t\hspace{0.05cm}')$.&nbsp; Oder mit den&nbsp; $p$&ndash;Funktionen:&nbsp; $Y_{\rm L}(p)= X_{\rm L}(p) \cdot H_{\rm L}(p)$.  
*Für die Sprungfunktion gilt:&nbsp; $X_{\rm L}(p)= 1/p$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $Y_{\rm L}(p)= K/\big [(p-p_{\rm x1}) \cdot p\big ]$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Die Einstellung&nbsp;  $N= 2,\ p_{\rm x1} = -1, \ p_{\rm x2} = 0 $&nbsp; liefert die Sprungantwort&nbsp; $\sigma(t\hspace{0.05cm}')$.  
*Die&nbsp; $\rm Z$&ndash;Graphik zeigt nun die exponentiell ansteigende Sprungantwort&nbsp; $\sigma(t\hspace{0.05cm}')$.&nbsp; Für&nbsp; $K=1$&nbsp; ist der Endwert gleich&nbsp; $\sigma(t\hspace{0.05cm}')\to \infty = 0.5$.&nbsp; Mit&nbsp; $K=2$&nbsp; gilt&nbsp; $\sigma(t\hspace{0.05cm}')\to \infty = 1$.
 

{{BlaueBox|TEXT=  
'''(4)''' &nbsp; Interpretieren Sie die Grafiken&nbsp; $\rm (F, \ Z)$&nbsp; für die Einstellung&nbsp; $K = 1, \ Z = 1, \ p_{\rm o1} = 0, \ N= 1,\ p_{\rm x1} = -1$.&nbsp; Welcher Unterschied ergibt sich gegenüber&nbsp; $Z=0$?  }}

*Mit&nbsp; $Z=0$:&nbsp; Tiefpass 1. Ordnung mit&nbsp; $H_{\rm TP}(p)= 1/(p+2)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $H_{\rm TP}(f\hspace{0.05cm}'= 0)= 0.5$,&nbsp; $H_{\rm TP}(f\hspace{0.05cm}'\to \infty)= 0$,&nbsp; $h_{\rm TP}(t\hspace{0.05cm}')= {\rm e}^{-2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm}'}$&nbsp; für&nbsp; $t\hspace{0.05cm}'\ge 0$.&nbsp; Siehe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; und&nbsp; '''(3)'''.
*Mit&nbsp; $Z=1$:&nbsp; Hochpass 1. Ordnung mit&nbsp; $H_{\rm HP}(p)= p/(p+2)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $H_{\rm HP}(f\hspace{0.05cm}'= 0)= 0$,&nbsp; $H_{\rm HP}(f\hspace{0.05cm}'\to \infty)= 1$.&nbsp; Da&nbsp; $Z=N$:&nbsp; $h_{\rm TP}(t\hspace{0.05cm}')$&nbsp; erst nach Partialbruchzerlegung:
*$H_{\rm HP}(p)= p/(p+2) = 1- 2/(p+2)$&nbsp; führt zur Impulsantwort&nbsp; $h_{\rm HP}(t\hspace{0.05cm}')= \delta(t\hspace{0.05cm}') - 2 \cdot{\rm e}^{-2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm}'}= \delta(t\hspace{0.05cm}') - 2 \cdot h_{\rm TP}(t\hspace{0.05cm}')$&nbsp; &rArr; &nbsp; zusätzliche Diracfunktion.


{{BlaueBox|TEXT=  
'''(5)''' &nbsp; Wie lautet die Sprungantwort&nbsp; $\sigma_{\rm HP}(t\hspace{0.05cm}')$&nbsp; des in&nbsp; '''(4)'''&nbsp; behandelten Hochpasses&nbsp; $H_{\rm HP}(p)= p/(p+2)$?   }}

*Die zugehörige&nbsp; $p$&ndash;Spektralfunktion lautet:&nbsp; $\Sigma_{\rm HP}(p) =X_{\rm L} \cdot H_{\rm HP}(p)= 1/p \cdot p/(p+2) = 1/(p+2)=H_{\rm TP}(p) $&nbsp; &rArr; &nbsp;  $\sigma_{\rm HP}(t\hspace{0.05cm}')= h_{\rm TP}(t\hspace{0.05cm}')= {\rm e}^{-2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm}'}$&nbsp; für&nbsp; $t\hspace{0.05cm}'\ge 0$.
*Die Zeitfunktion springt bei&nbsp; $t\hspace{0.05cm}' =0$&nbsp; sofort auf&nbsp; $1$&nbsp; (der HP  beeinflusst den Sprung nicht)  und fällt dann exponentiell auf&nbsp; $0$&nbsp; (der HP  sperrt jedes Gleichsignal).


 {{BlaueBox|TEXT=  
'''(6)''' &nbsp; Ändern Sie ausgehend von der Einstellung&nbsp; '''(4)'''&nbsp; den Parameter&nbsp; $ p_{\rm x1} = -5 \cdot {\rm j}.$&nbsp; Liegt ein realisierbares System vor?&nbsp; Welchen Verlauf hat die Impulsantwort&nbsp; $h(t\hspace{0.05cm}')$? }}

*Der Frequenzgang hat bei&nbsp; $f\hspace{0.05cm}'= -5$&nbsp; eine Unendlichkeitstelle.&nbsp; Es ist aber kein diracförmiger Verlauf, da außerhalb  nicht&nbsp; $H(f\hspace{0.05cm}' \ne -5) \equiv 0$&nbsp; gilt.
*Die Impulsantwort ist eine komplexe Exponentialfunktion &nbsp; &rArr; &nbsp; System nicht realisierbar.&nbsp; $h(t\hspace{0.05cm}')$&nbsp; dreht mathematisch positiv (entgegen dem Uhrzeigersinn).
*Mit&nbsp; $p_{\rm x1}= \pm 5 \cdot {\rm j}$&nbsp; beträgt die normierte Periodendauer&nbsp; $T_0\hspace{0.05cm}'= 2\pi/5 \approx 1.256$.&nbsp; Es gilt also &nbsp; $h(t\hspace{0.05cm}'=T_0\hspace{0.05cm}')= h(t\hspace{0.05cm}'=0)= 1.$
*Bei&nbsp; ${\rm Re}\hspace{0.05cm}[p_{\rm x1}] \ne 0$&nbsp; klingt die komplexe Exponentialfunktion kontinuierlich ab&nbsp; $({\rm Re}\hspace{0.05cm}[p_{\rm x1}] < 0)$&nbsp; bzw. an&nbsp; $({\rm Re}\hspace{0.05cm}[p_{\rm x1}] > 0)$.


{{BlaueBox|TEXT=  
'''(7)''' &nbsp; Wie ändert sich der&nbsp; $\rm (Z)$&ndash;Graph, wenn man den  Imaginärteil von&nbsp; $p_{\rm x1}$&nbsp; verändert:&nbsp;     $p_{\rm x1}= -5 \cdot {\rm j}$,&nbsp;    $p_{\rm x1}= -2 \cdot {\rm j}$,&nbsp;  $p_{\rm x1}= 0 $,&nbsp; $p_{\rm x1}= +2 \cdot {\rm j}$,&nbsp; $p_{\rm x1}= +5 \cdot {\rm j}$.}}

*Bei negativem Imaginärteil dreht&nbsp; $h(t\hspace{0.05cm}')$&nbsp; stets in mathematisch positiver Richtung (entgegen dem Uhrzeigersinn) und bei positivem Imaginärteil im Uhrzeigersinn.
*Die normierte Periodendauer&nbsp; $T_0\hspace{0.05cm}'= 2\pi/5 \approx 1.256$&nbsp; gilt für&nbsp;    $p_{\rm x1}= \pm5 \cdot {\rm j}$&nbsp; gleichermaßen und&nbsp; $T_0\hspace{0.05cm}'= 2\pi/2 \approx 3.14$&nbsp; gilt für&nbsp;    $p_{\rm x1}= \pm2 \cdot {\rm j}$.
*Für&nbsp; $p_{\rm x1}= 0$&nbsp; ergibt sich die&nbsp; $p$&ndash;Übertragungsfunktion&nbsp; $H_{\rm L}(p)=1/p$.&nbsp; Daraus folgt&nbsp; $h(t\hspace{0.05cm}') \equiv 1$&nbsp; für&nbsp; $t\hspace{0.05cm}' \ge 0$&nbsp; und&nbsp; $h(t\hspace{0.05cm}') \equiv 0$&nbsp; für&nbsp; $t\hspace{0.05cm}' < 0$.   


'''Unsaubere Frequenzgrafik für'''&nbsp; $p_{\rm x1}= \pm2 \cdot {\rm j}$ 

 {{BlaueBox|TEXT=  
'''(8)''' &nbsp; Interpretieren Sie nun die&nbsp; $\rm (Z)$&ndash;Grafik gemäß&nbsp; $\text{Satz 2:}\ K = 1, \ Z = 1,\ p_{\rm o1} =0, \ N= 2,\ p_{\rm x1} = -5 \cdot {\rm j}, \ p_{\rm x2} = +5 \cdot {\rm j}$.&nbsp; Was ändert sich nach Variation von&nbsp; $p_{\rm x1}$? }}

*Es ergibt sich das &bdquo;kausale&rdquo; Cosinussignal&nbsp; $h_{\rm cos}(t\hspace{0.05cm}')$&nbsp; mit Amplitude&nbsp; $1$&nbsp; und der normierten Periodendauer&nbsp; $T_0\hspace{0.05cm}'= 2\pi/5 \approx 1.256$.&nbsp;
*Die&nbsp; $p$&ndash;Spektralfunktion lautet nämlich:&nbsp; $H_{\rm cos}(p)= p/(p^2 +25)$.&nbsp; Gemäß der angegebenen Laplacetabelle ist  die dazugehörige Zeitfunktion der &bdquo;kausale&rdquo; Cosinus.


{{BlaueBox|TEXT=  
'''(9)''' &nbsp; Durch welche Parameteränderungen kommt man zum  &bdquo;kausalen&rdquo; Sinussignal&nbsp; &nbsp; &rArr; &nbsp; $h_{\rm sin}(t\hspace{0.05cm}')$&nbsp; gleicher Frequenz und gleicher Amplitude&nbsp; $1$.  }}

*Man kommt vom Cosinus zum Sinus durch Integration.&nbsp; Das heißt: &nbsp; $H_{\rm sin}(p)= H_{\rm cos}(p) \cdot H_{\rm Sprung}(p)= p/(p^2 +25) \cdot 1/p= 1/(p^2 +25)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $Z=0$&nbsp; statt &nbsp;$Z=1$. 
*Allerdings ist damit die Amplitude des resultierenden Sinussignal zu klein.&nbsp; Deshalb muss für&nbsp; $p_{\rm x} = \pm 5 \cdot {\rm j}$&nbsp; noch der konstante Faktor angepasst werden:&nbsp; $K=5$. 
   

{{BlaueBox|TEXT=  
'''(10)''' &nbsp; Interpretieren Sie die Grafiken&nbsp; $\rm (F, \ Z)$&nbsp; für&nbsp; $\text{Satz 3:} \ K = 2, \ Z = 1, \ p_{\rm o1} = -2.5, \ N= 2,\ p_{\rm x1} = -1-2 \cdot {\rm j}, \ p_{\rm x2} = -1+2 \cdot {\rm j}$. <br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; Was ändert sich mit der Nullstelle&nbsp; $p_{\rm o1} = 0$?   }}

*Der Frequenzgang ist gekennzeichnet durch die Werte&nbsp; $|H(f\hspace{0.05cm}'= 0)|= 1$,&nbsp; $|H(f\hspace{0.05cm}'= 2)\approx 1.55|$&nbsp; (etwa das Maximum) und&nbsp; $|H(f\hspace{0.05cm}' \to \infty)|\to  0$.
*Bei der Impulsantwort&nbsp; $h(t\hspace{0.05cm}')$&nbsp; handelt es sich um eine gedämpft oszillierende Schwingung, die im&nbsp; $\text{Beispiel 6}$&nbsp; exakt berechnet wurde.
*Mit&nbsp; $p_{\rm o1} = 0$&nbsp; ist&nbsp; $|H(f\hspace{0.05cm}'= 0)|\equiv 0$,&nbsp; und das Maximum &nbsp; $|H(f\hspace{0.05cm}'= 2)\approx 1|$&nbsp; liegt etwas tiefer bei gleicher Frequenz.&nbsp; Der Zeitbereich wird von&nbsp; $p_{\rm o1}$&nbsp; nur wenig beeinflusst.


{{BlaueBox|TEXT=  
'''(11)''' &nbsp; Interpretieren Sie die Grafiken&nbsp; $\rm (F, \ Z)$&nbsp; für&nbsp; $\text{Satz 4:} \ K = 2, \ Z = 1, \ p_{\rm o1} = -0.5, \ N= 2,\ p_{\rm x1} = p_{\rm x2} = -1$.<br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp; Was ändert sich mit der Nullstelle&nbsp; $p_{\rm o1} = 0$&nbsp; und was mit der Einstellung&nbsp; $Z=0$?   }}

*Bei der Impulsantwort&nbsp; $h(t\hspace{0.05cm}')$&nbsp; gemäß&nbsp; $\text{Satz 4}$ handelt es sich um den aperiodischen Grenzfall, der im&nbsp; $\text{Beispiel 7}$&nbsp; exakt berechnet wurde.
*Verschiebt man bei&nbsp; $Z=1$&nbsp; die Nullstelle zu&nbsp; $p_{\rm o1} = 0$, so fällt &nbsp; $h(t\hspace{0.05cm}')$&nbsp; schneller ab und auch der nachfolgende Unterschwinger ist sehr viel ausgeprägter. 
*Dagegen ergibt sich mit&nbsp; $Z=0$&nbsp; ein Tiefpass zweiter Ordnung, dessen Impulsantwort aus der vorne angegebenen Laplace-Tabelle entnommen werden kann.
*Aus der $\rm F$&ndash; Grafik erkennt man:&nbsp; $Z=0$&nbsp; ergibt einen Tiefpass und&nbsp; $Z=1,p_{\rm o1} = 0$&nbsp; einen Bandpass.


===Dummy=== 

{{BlaueBox|TEXT=  
'''(12)''' &nbsp; Interpretieren Sie die Grafiken&nbsp; $\rm (F, \ Z)$&nbsp; für&nbsp; $\text{Satz 5:} \ K = 2, \ Z = 1, \ p_{\rm o1} = -0.3, \ N= 2,\ p_{\rm x1} = -0.4, \ p_{\rm x2} = -1.6$. <br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp; Was bewirkt ein weiterer Pol bei&nbsp; $p_{\rm x1} = 0$?   }}  

* Aus beiden Grafiken&nbsp; $\rm (F, \ Z)$&nbsp; ist kein großer Unterschied zu&nbsp; $\text{Satz 4}$&nbsp; erkennbar.&nbsp; Im&nbsp; $\rm F$&ndash; erkennt man für&nbsp; $f\hspace{0.05cm}' \approx 0.5$&nbsp; eine leichte Überhöhung gegenüber&nbsp; $f\hspace{0.05cm}' =0$.
*$h(t\hspace{0.05cm}')$&nbsp;  ist eine aperiodisch abklingende Impulsantwort, die im&nbsp; $\text{Beispiel 5}$&nbsp; analytisch berechnet wurde&nbsp; $($allerdings mit&nbsp; $p_{\rm o1}= 0.32$&nbsp; statt mit&nbsp; $p_{\rm o1}= 0.3)$.


{{BlaueBox|TEXT=  
'''(13)''' &nbsp; Interpretieren Sie die&nbsp; $\rm F$&ndash;Grafik für&nbsp; $\text{Satz 6:} \ \ K = 1, \ Z = 3, \ p_{\rm o1} = 2 + 2 {\rm j}, \ p_{\rm o2} = 2 - 2 {\rm j},\ p_{\rm o3} = 1, \ N= 3,\ p_{\rm x1} = -2 + 2 {\rm j}, \ p_{\rm x2} = -2 - 2 {\rm j},\ p_{\rm x3} = -1$. <br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp; Wie lässt sich die charakteristische Eigenschaft dieses Systems mit den Parameterwerten&nbsp; $Z=4$&nbsp; und&nbsp; $N=4$&nbsp; erfüllen?   }}  

* Hier gilt für alle Frequenzen&nbsp; $|H(f\hspace{0.05cm}')| = 1$ &nbsp; &rArr; &nbsp; keine einzige Frequenz wird gedämpft &nbsp; &rArr; &nbsp;  $a(f\hspace{0.05cm}') = 0\hspace{0.15cm} {\rm dB}$.&nbsp; Die Phasenfunktion&nbsp;  $b(f\hspace{0.05cm}')$&nbsp; ist dagegen frequenzabhängig. 
*$h(t\hspace{0.05cm}')$&nbsp;  ist eine aperiodisch abklingende Impulsantwort, die im&nbsp; $\text{Beispiel 5}$&nbsp; analytisch berechnet wurde&nbsp; $($allerdings mit&nbsp; $p_{\rm o1}= 0.32$&nbsp; statt mit&nbsp; $p_{\rm o1}= 0.3)$.       


 {{BlaueBox|TEXT=  
'''(4)''' &nbsp; Vergleichen Sie den&nbsp; '''roten Trapez&ndash;Tiefpass'''&nbsp; $(K_1 = 1, \ \Delta f_1 = 1, \ r_1 = 0.5)$&nbsp;  mit dem&nbsp; '''blauen Rechteck&ndash;Tiefpass'''&nbsp; $(K_2 = 1, \ \Delta f_2 = 1)$.<br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; Variieren Sie anschließend&nbsp; $r_1$&nbsp; zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $1$. }}

*Mit&nbsp; $r_1 = 0.5$&nbsp; sind die Unterschwinger von&nbsp; $h_1(t)$&nbsp; beim &bdquo;Trapez&rdquo; wegen des flacheren Flankenabfalls geringer als beim &bdquo;Rechteck&rdquo;.
*Die Impulsantwort
*Mit kleinerem&nbsp; $r_1$&nbsp;  nehmen die Unterschwinger zu.&nbsp; Mit&nbsp; $r_1= 0$&nbsp; ist der Trapez&ndash; gleich dem Rechteck&ndash;Tiefpass &nbsp; &rArr; &nbsp; $h(t)= {\rm si}(\pi \cdot t/T)$.
*Mit größerem&nbsp; $r_1$&nbsp; werden die Unterschwinger kleiner. Mit&nbsp; $r_1= 1$&nbsp; ist der Trapez&ndash; gleich dem Dreieck&ndash;Tiefpass &nbsp; &rArr; &nbsp; $h(t)= {\rm si}^2(\pi \cdot t/T)$.



{{BlaueBox|TEXT=  
'''(5)''' &nbsp; Vergleichen Sie den&nbsp; '''Trapez&ndash;Tiefpass'''&nbsp; $(K_1 = 1, \ \Delta f_1 = 1, \ r_1 = 0.5)$&nbsp;  mit dem&nbsp; '''Cosinus-Rolloff-Tiefpass'''&nbsp; $(K_2 = 1,\ \Delta f_2 = 1, \ r_2 = 0.5)$.<br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;  Variieren Sie&nbsp; $r_2$&nbsp; zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $1$.&nbsp; Interpretieren Sie die Impulsantwort für&nbsp; $r_2 = 0.75$.&nbsp; Welcher Tiefpass erfüllt das erste Nyquistkriterium?}}

*Bei&nbsp; $r_1 = r_2= 0.5$&nbsp; verläuft der Flankenabfall von&nbsp; $H_2(f)$&nbsp;  um die Frequenz&nbsp; $f = 0.5$&nbsp; steiler als der Flankenabfall von&nbsp; $H_1(f)$.
*Bei gleichem Rolloff&nbsp; $r= 0.5$&nbsp; hat die  Impulsantwort&nbsp;  $h_2(t)$&nbsp; für&nbsp; $t > 1$&nbsp; betragsmäßig größere Anteile als&nbsp; $h_1(t)$. 
*Mit&nbsp; $r_1 = 0.5$&nbsp; und&nbsp; $r_2 = 0.75$&nbsp; gilt&nbsp;  $H_1(f) \approx H_2(f)$&nbsp; und damit auch&nbsp; $h_1(t) \approx h_2(t)$.
*$H_1(f)$&nbsp; und&nbsp; $H_2(f)$&nbsp; erfüllen beide das erste Nyquistkriterium:&nbsp; Beide Funktionen sind punktsymmetrisch um den &bdquo;Nyquistpunkt&rdquo;.  
*Wegen&nbsp; $\Delta f = 1$&nbsp; besitzen sowohl&nbsp; $h_1(t)$&nbsp; als auch&nbsp; $h_2(t)$&nbsp; Nulldurchgänge bei&nbsp; $\pm 1$,&nbsp; $\pm 2$, ... &nbsp; &rArr; &nbsp; jeweils maximale vertikale Augenöffnung.



{{BlaueBox|TEXT=  
'''(6)''' &nbsp; Vergleichen Sie den&nbsp; '''Cosinus&ndash;Quadrat&ndash;Tiefpass'''&nbsp; $(K_1 = 1, \ \Delta f_1 = 1)$&nbsp;  mit dem&nbsp; '''Cosinus-Rolloff-Tiefpass'''&nbsp; $(K_2 = 1, \ \Delta f_2 = 1,\ r_2 = 0.5)$.<br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;  Variieren Sie&nbsp;   $r_2$&nbsp; zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $1$.&nbsp; Interpretieren Sie die Ergebnisse.&nbsp; Welcher Tiefpass erfüllt das zweite Nyquistkriterium]]?}}

*$H_1(f)$&nbsp; ist ein Sonderfall des Cosinus&ndash;Rolloff&ndash;Tiefpasses mit  Rolloff&nbsp; $r_2 =1$.&nbsp; Das erste Nyquistkriterium wird auch mit&nbsp; $r_2 \ne 1$&nbsp; erfüllt.
*Nach dem zweiten Nyquistkriterium muss&nbsp; $h(t)$&nbsp; auch Nulldurchgänge bei&nbsp; $t=\pm 1.5$,&nbsp; $\pm 2.5$,&nbsp; $\pm 3.5$, ... besitzen&nbsp; $($nicht jedoch bei&nbsp; $t = \pm 0.5)$. 
*Für den Cosinus&ndash;Quadrat&ndash;TP gilt also&nbsp; $h_1(t=\pm 0.5) = 0.5$,&nbsp; $h_1(t=\pm 1) = h_1(t=\pm 1.5) = h_1(t=\pm 2)= h_1(t=\pm 2.5) = \text{...} =0$.  
*Nur der Cosinus&ndash;Quadrat&ndash;TP erfüllt das erste und zweite Nyquistkriterium gleichzeitig:&nbsp; Maximale vertikale und horizontale Augenöffnung.
 

==Zur Handhabung des Programms==
[[Datei:Exercise_Frequenzgang_1.png|right|frame|Bildschirmabzug (englische Version, heller Hintergrund)]]
&nbsp; &nbsp; '''(A)''' &nbsp; &nbsp; Theme (veränderbare grafische Oberflächengestaltung)
:* Dark: &nbsp; schwarzer Hintergrund&nbsp; (wird von den Autoren empfohlen)
:*  Bright: &nbsp; weißer Hintergrund&nbsp; (empfohlen für Beamer und Ausdrucke)
:*  Deuteranopia: &nbsp; für Nutzer mit ausgeprägter Grün&ndash;Sehschwäche
:*  Protanopia: &nbsp; für Nutzer mit ausgeprägter Rot&ndash;Sehschwäche

&nbsp; &nbsp; '''(B)''' &nbsp; &nbsp; Vorauswahl für den Frequenzgang&nbsp; $H_1(f)$&nbsp; (rote Kurve)

&nbsp; &nbsp; '''(C)''' &nbsp; &nbsp; Parameterfestlegung für&nbsp; $H_1(f)$&nbsp; 

&nbsp; &nbsp; '''(D)''' &nbsp; &nbsp; Numerikausgabe für&nbsp; $H_1(f_*)$&nbsp; und&nbsp; $h_1(t_*)$

&nbsp; &nbsp; '''(E)''' &nbsp; &nbsp; Vorauswahl für den Frequenzgang&nbsp; $H_2(f)$&nbsp; (blaue Kurve)

&nbsp; &nbsp; '''(F)''' &nbsp; &nbsp; Parameterfestlegung für&nbsp; $H_2(f)$&nbsp; 

&nbsp; &nbsp; '''(G)''' &nbsp; &nbsp; Numerikausgabe für&nbsp; $H_2(f_*)$&nbsp; und&nbsp; $h_2(t_*)$

&nbsp; &nbsp; '''(H)''' &nbsp; &nbsp; Einstellung der Frequenz&nbsp; $f_*$&nbsp; für die Numerikausgabe

&nbsp; &nbsp; '''(I)''' &nbsp; &nbsp;&nbsp; Einstellung der Zeit&nbsp; $t_*$&nbsp;  für die Numerikausgabe

&nbsp; &nbsp; '''(J)''' &nbsp; &nbsp; Bereich der graphischen Darstellung im Frequenzbereich

&nbsp; &nbsp; '''(K)''' &nbsp; &nbsp; Bereich der graphischen Darstellung im Zeitbereich

&nbsp; &nbsp; '''(L)''' &nbsp; &nbsp; Auswahl der Aufgabe entsprechend der Aufgabennummer

&nbsp; &nbsp; '''(M)''' &nbsp; &nbsp; Aufgabenbeschreibung und Fragestellung

&nbsp; &nbsp; '''(N)''' &nbsp; &nbsp; Musterlösung anzeigen und verbergen


'''Details zu den obigen Punkten&nbsp; (J&nbsp;) und&nbsp; (K)'''
 
<u>Zoom&ndash;Funktionen:</u><br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;&bdquo;$+$&rdquo; (Vergrößern),&nbsp; &nbsp; &nbsp; &bdquo;$-$&rdquo; (Verkleinern),&nbsp; &nbsp; &nbsp; &bdquo;$\rm o$&rdquo; (Zurücksetzen)

<u>Verschiebe&ndash;Funktionen:</u> &nbsp; &nbsp; &bdquo;$\leftarrow$&rdquo; &nbsp; &nbsp; &bdquo;$\uparrow$&rdquo; &nbsp; &nbsp; &bdquo;$\downarrow$&rdquo; &nbsp; &nbsp; &bdquo;$\rightarrow$&rdquo;<br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &bdquo;$\leftarrow$&rdquo; &nbsp;bedeutet: &nbsp; &nbsp; Bildausschnitt nach links, Ordinate nach rechts

<b>Andere Möglichkeiten:</b>

*Bei gedrückter Shifttaste und Scrollen kann im Koordinatensystem gezoomt werden.
*Bei gedrückter Shifttaste und gedrückter linker Maustaste kann das Koordinatensystem verschoben werden.
<br clear = all>


==Über die Autoren==
Dieses interaktive Berechnungstool  wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert. 
*Die erste Version wurde 2005 von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]] im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX&ndash;Actionscript&rdquo; erstellt (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]] und [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Klaus_Eichin_.28am_LNT_von_1972-2011.29|Klaus Eichin]]). 
*2017 wurde &bdquo;Impulse & Spektren&rdquo;  von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#David_Jobst_.28Ingenieurspraxis_Math_2017.29|David Jobst]] im Rahmen seiner Ingenieurspraxis (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]])  auf  &bdquo;HTML5&rdquo; umgesetzt und neu gestaltet.

==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==
{{LntAppletLink|frequImpResp}} &nbsp; &nbsp;  &nbsp;  
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