Quelltext der Seite Aufgaben:Aufgabe 3.9Z: Sinustransformation


{{quiz-Header|Buchseite=Stochastische Signaltheorie/Exponentialverteilte Zufallsgrößen
}}

[[Datei:P_ID137__Sto_Z_3_9.png|right|Sinustransformation]]
Wir betrachten in dieser Aufgabe eine Zufallsgr&ouml;&szlig;e $x$ mit $\sin^2$&ndash;f&ouml;rmiger WDF im Bereich zwischen $x= 0$ und $x= 2$ (au&szlig;erhalb ist die WDF identisch $0$):
$$f_x(x)= \sin^2({\rm\pi}/{\rm 2}\cdot  x) \hspace{1cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.15cm}{\rm 0\le \it x \le \rm 2} .$$

Der Mittelwert und die Streuung dieser Zufallsgr&ouml;&szlig;e $x$ wurden bereits in der [[Aufgaben:3.3_Momente_bei_cos²-WDF|Aufgabe 3.3]] ermittelt:
$$m_x = 1,\hspace{0.2cm}\sigma_x = 0.361.$$

Eine weitere Zufallsgr&ouml;&szlig;e $y$ erh&auml;lt man durch Transformation mittels der nichtlinearen Kennlinie
$$y= g(x) =\sin({\rm\pi}{\rm 2}\cdot  x).$$

Die Abbildung zeigt jeweils im Bereich $0 \le x \le 2$:
*oben die WDF <i>f<sub>x</sub></i>(<i>x</i>),
*unten die nichtlineare Kennlinie $y = g(x)$.



''Hinweise:'' 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen|Exponentialverteilte Zufallsgröße]].
*Besonderer Bezug genommen wird auf die Seite [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Transformation_von_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|Transformation von Zufallsgrößen]] und auf das Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente|Erwartungswerte und Momente]].
 
*Vorgegeben sind die beiden unbestimmten Integrale:
:$$\int \sin^{\rm 3}( ax)\,{\rm d}x = \frac{\rm 1}{ 3 a} \cdot \cos^{\rm 3}( ax)-\frac{\rm 1}{ a}\cdot \cos(ax),$$
:$$\int \sin^{\rm 4}(ax)\,{\rm d}x =\frac{\rm 3}{\rm 8}\cdot x-\frac{\rm 1}{\rm 4 a} \cdot \sin(2 ax)+\frac{\rm 1}{32 a}\cdot \sin(4 ax).$$
 

===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
|type="[]"}
- $y$ ist auf den Wertbereich $0 \le y \le 1$ begrenzt.
+ $y$ ist auf den Wertbereich $0 < y \le 1$ begrenzt.
+ Der Mittelwert $m_y$ ist kleiner als der Mittelwert $m_x$.


{Berechnen Sie den Mittelwert der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $y$. 
|type="{}"}
$m_y \ =$  { 0.849 3% }


{Berechnen Sie den quadratischen Mittelwert von $y$ und die Streuung.
|type="{}"}
$\sigma_y \ =$  { 0.172 3% }


{Berechnen Sie die WDF $f_y(y)$. <i>Hinweis</i>: Beachten Sie die Symmetrieeigenschaften. Welcher WDF&ndash;Wert ergibt sich f&uuml;r $y = 0.6$?
|type="{}"}
$f_y(y=0.6) \ =$ { 0.573 3% }


{Welcher WDF-Wert ergibt sich f&uuml;r $y = 1$? Interpretieren Sie das Ergebnis. Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass  $y$ exakt gleich $1$ ist?
|type="{}"}
${\rm Pr}(y=1) \ =$ { 0. }


</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Richtig sind<u>der zweite und der dritte Lösungsvorschlag</u>:
*Aufgrund des Wertebereichs von $x$ und der gegebenen Kennlinie kann $y$ keine Werte kleiner als $0$ bzw. größer als $1$ annehmen. 
*Der Wert $y = 0$ kann allerdings ebenfalls nicht auftreten, da weder $x = 0$ noch $x = 2$ m&ouml;glich sind. 
*Mit diesen Eigenschaften ergibt sich sicher $m_y < 1$, also ein kleinerer Wert als $m_x = 1$ (siehe Angabe). 


'''(2)'''&nbsp; Zur L&ouml;sung dieser Aufgabe k&ouml;nnte man beispielsweise zun&auml;chst die WDF $f_y(y)$ bestimmen und daraus in gewohnter Weise $m_y$ berechnen. Zum gleichen Ergebnis führt der direkte Weg:
$$m_y={\rm E}[y]={\rm E}[g(x)]=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)\cdot f_x(x)\,{\rm d}x.$$

Mit den aktuellen Funktionen $g(x)$  und $f_x(x)$ erh&auml;lt man:
$$m_y=\int_{\rm 0}^{\rm 2}\hspace{-0.1cm}\sin^{\rm 3}({\pi}/{ 2}\cdot  x)\,{\rm d}x=\frac{\rm 2}{\rm 3\cdot \pi}\cdot \cos^{\rm 3}({\pi}/{ 2}\cdot  x)-\frac{\rm 2}{\rm \pi} \cdot \cos({3 \rm \pi}/{\rm 2}\cdot x)\Big|_{\rm 0}^{\rm 2}=\frac{\rm 8}{\rm 3\cdot \pi} \hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.849}.$$


'''(3)'''&nbsp; In Analogie zu Punkt (2) gilt:
$$m_{2 y}={\rm E}[y^{\rm 2}]={\rm E}[g^{\rm 2}( x)]=\int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{-0.35cm}g^{2}( x)\cdot  f_x(x)\,{\rm d}x.$$

Dies f&uuml;hrt zum Ergebnis:
$$ m_{ 2 y}=\int_{\rm 0}^{\rm 2}\hspace{-0.15cm}\sin^{\rm 4}({\rm \pi}/{\rm 2}\cdot x)\,{\rm d} x= \frac{\rm 3}{\rm 8}\cdot  x-\frac{\rm 1}{\rm 2\cdot\pi}\cdot \sin(\rm \pi\cdot{\it  x})+\frac{\rm 1}{\rm 16\cdot\pi}\cdot \sin(\rm 2 \pi\cdot {\it  x})\Big|_{\rm 0}^{\rm 2} \hspace{0.15cm}{= \rm 
0.75}.$$

Mit dem Ergebnis aus (2) folgt somit f&uuml;r die Streuung:
$$ \sigma_{y}=\sqrt{\frac{\rm 3}{\rm 4}-\Big(\frac{\rm 8}{\rm 3\cdot\pi}\Big)^{\rm 2}} \hspace{0.15cm}\underline{\approx \rm 0.172}.$$


'''(4)'''&nbsp; Aufgrund der Symmetrie von WDF $f_x(x)$ und Kennlinie $y =g(x)$ um $x = 1$ liefern die beiden Bereiche $0 \le x \le 1$ und $1 \le x \le 2$ jeweils den gleichen Beitrag f&uuml;r $f_y(y)$. Im ersten Bereich ist die Ableitung der Kennlinie positiv,
[[Datei:P_ID138__Sto_Z_3_9_e_neu.png|right|WDF nach Transformation]]
$$g'(x)={\rm \pi}/{\rm 2}\cdot \cos({\rm \pi}/{\rm  2}\cdot x),$$

und die Umkehrfunktion lautet:
$$ x=h(y)={\rm 2}/{\rm \pi}\cdot \arcsin( y).$$

Unter Berücksichtigung des zweiten Beitrags durch den Faktor $2$ erh&auml;lt man f&uuml;r die gesuchte WDF im Bereich $0 \le y \le 1$ (au&szlig;erhalb ist  $f_y(y) \equiv 0$):
$$f_y(y)= 2\cdot\frac{\sin^{ 2}({ \pi}/{ 2}\cdot x)}{{ \pi}/{ 2}\cdot \cos({ \pi}/{ 2}\cdot x)}\Big|_{\,  x={ 2}/{ \pi}\cdot \arcsin( y)}.$$

Dies f&uuml;hrt zum Zwischenergebnis
$$f_y(y)=\frac{4}{\pi}\cdot \frac{\sin^{2}(\arcsin( y ))}{\sqrt{\rm 1-\sin^{ 2}(\arcsin( y \rm ))}},$$

und wegen $\sin(\arcsin(y)) = y$:
$$f_y(y)=\frac{ 4}{\pi}\cdot \frac{ y^{2}}{\sqrt{1- y^{\rm 2}}}.$$

An der Stelle $y = 0.6$ erh&auml;lt man den Wert $f_y(y= 0.6)\hspace{0.15cm}\underline{=0.573}$. Rechts ist die WDF $f_y(y)$ grafisch dargestellt.


'''(5)'''&nbsp; Die WDF ist an der Stelle $y = 1$  unendlich gro&szlig;. Dies h&auml;ngt damit zusammen, dass an dieser Stelle die Ableitung $g'(x)$ der Kennlinie horizontal verl&auml;uft. Da aber $y$ eine kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;e ist, gilt trotzdem ${\rm Pr}(y = 1) \hspace{0.15cm}\underline{= 0}$. 

Das bedeutet: 
*Eine Unendlichkeitsstelle in der WDF ist nicht identisch mit einer Diracfunktion.
*Oder salopper ausgedrückt: Eine Unendlichkeitsstelle in der WDF ist &bdquo;weniger&rdquo; als  eine Diracfunktion.
{{ML-Fuß}}



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