https://www.lntwww.de/api.php?action=feedcontributions&user=Christoph&feedformat=atomLNTwww - Benutzerbeiträge [de]2024-03-29T05:12:57ZBenutzerbeiträgeMediaWiki 1.34.1https://www.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Aufgabe_1.8:_Variable_Flankensteilheit&diff=5885Aufgaben:Aufgabe 1.8: Variable Flankensteilheit2016-08-13T07:40:11Z<p>Christoph: /* Fragebogen */</p>
<hr />
<div>{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Systembeschreibung im Frequenzbereich}}<br />
<br />
[[Datei:P_ID867__LZI_A_1_8.png|right|Trapeztiefpass und Cosinus–Rolloff–Tiefpass (Aufgabe A1.8)]] Zwei Tiefpässe mit variabler Flankensteilheit sollen miteinander verglichen werden. Für Frequenzen $|f| ≤ f_1$ gilt in beiden Fällen $H(f) =$ 1. Dagegen werden alle Frequenzen $|f| ≥ f_2$ vollständig unterdrückt.<br />
Im mittleren Bereich $f_1 ≤ |f| ≤ f_2$ sind die Frequenzgänge durch die nachfolgenden Gleichungen festgelegt:<br />
*Trapeztiefpass (TTP):<br />
$$H(f) = \frac{f_2 - |f|}{f_2 - f_1} ,$$<br />
*Cosinus–Rolloff–Tiefpass (CRTP):<br />
$$H(f) = \cos^2 \left(\frac{|f|- f_1}{f_2 - f_1} \cdot\frac{\pi}{2} \right).$$<br />
<br />
<br />
Alternative Systemparameter sind für beide Tiefpässe die über das flächengleiche Rechteck definierte äquivalente Bandbreite $Δf$ sowie der Rolloff–Faktor (im Frequenzbereich):<br />
$$r=\frac{f_2 - f_1}{f_2 + f_1} .$$<br />
In der gesamten Aufgabe gelte $Δf =$ 10 kHz und $r =$ 0.2. Die Impulsantworten lauten mit der äquivalenten Impulsdauer $Δt = 1/Δf =$ 0.1 ms:<br />
$$h_{\rm TTP}(t) = \frac{1}{\Delta t} \cdot {\rm si}(\pi \cdot<br />
\frac{t}{\Delta t} )\cdot {\rm si}(\pi \cdot r \cdot \frac{t}{\Delta t} ),$$<br />
$$h_{\rm CRTP}(t) = \frac{1}{\Delta t} \cdot {\rm si}(\pi \cdot<br />
\frac{t}{\Delta t} )\cdot \frac {\cos(\pi \cdot r \cdot t / \Delta<br />
t )}{1 - (2 \cdot r \cdot t/\Delta t )^2}.$$<br />
<br />
<br />
'''Hinweis:''' Diese Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen|Kapitel 1.3]]. Sie können Ihre Ergebnisse mit folgendem Interaktionsmodul überprüfen:<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Wie lautet die Gleichung für die äquivalente Bandbreite $Δf$?<br />
|type="[]"}<br />
- Es gilt $Δf = f_2 – f_1$.<br />
+ Es gilt $Δf = f_1 + f_2$.<br />
- Es gilt $Δf = (f_2 + f_1)/2$.<br />
<br />
<br />
{Bestimmen Sie die Tiefpass-Parameter $f_1$ und $f_2$ für $Δf =$ 10 kHz und $r =$ 0.2.<br />
|type="{}"}<br />
$f_1 =$ { 4 } kHz<br />
$f_2 =$ { 6 } kHz<br />
<br />
<br />
{Welche Aussagen sind für die Impulsantwort des Trapeztiefpasses zutreffend, wenn $r =$ 0.2 vorausgesetzt wird?<br />
|type="[]"}<br />
+ $h(t)$ besitzt Nullstellen bei $±n · Δt (n = 1, 2, ...)$.<br />
- $h(t)$ besitzt zusätzliche Nullstellen zu anderen Zeiten.<br />
- Mit $r = 0$ würde $h(t)$ schneller abklingen.<br />
+ Mit $r = 1$ würde $h(t)$ schneller abklingen.<br />
<br />
<br />
{Welche Aussagen treffen für die Impulantwort des Cosinus–Rolloff–Tiefpasses zu, wenn $r =$ 0.2 vorausgesetzt wird?<br />
|type="[]"}<br />
+ $h(t)$ besitzt Nullstellen bei $±n · Δt (n = 1, 2, ...)$.<br />
+ $h(t)$ besitzt zusätzliche Nullstellen zu anderen Zeiten.<br />
- Mit $r = 0$ würde $h(t)$ schneller abklingen.<br />
+ Mit $r = 1$ würde $h(t)$ schneller abklingen.<br />
<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
:'''a)'''<br />
:'''b)'''<br />
:'''c)'''<br />
:'''d)'''<br />
:'''e)'''<br />
:'''f)'''<br />
:'''g)'''<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^Kapitelx^]]</div>Christophhttps://www.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Aufgabe_1.8:_Variable_Flankensteilheit&diff=5884Aufgaben:Aufgabe 1.8: Variable Flankensteilheit2016-08-13T07:31:59Z<p>Christoph: Die Seite wurde neu angelegt: „{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Systembeschreibung im Frequenzbereich}} Datei:P_ID867__LZI_A_1_8.png|right|Trapeztiefpass und Cosinus…“</p>
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<div>{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Systembeschreibung im Frequenzbereich}}<br />
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[[Datei:P_ID867__LZI_A_1_8.png|right|Trapeztiefpass und Cosinus–Rolloff–Tiefpass (Aufgabe A1.8)]] Zwei Tiefpässe mit variabler Flankensteilheit sollen miteinander verglichen werden. Für Frequenzen $|f| ≤ f_1$ gilt in beiden Fällen $H(f) =$ 1. Dagegen werden alle Frequenzen $|f| ≥ f_2$ vollständig unterdrückt.<br />
Im mittleren Bereich $f_1 ≤ |f| ≤ f_2$ sind die Frequenzgänge durch die nachfolgenden Gleichungen festgelegt:<br />
*Trapeztiefpass (TTP):<br />
$$H(f) = \frac{f_2 - |f|}{f_2 - f_1} ,$$<br />
*Cosinus–Rolloff–Tiefpass (CRTP):<br />
$$H(f) = \cos^2 \left(\frac{|f|- f_1}{f_2 - f_1} \cdot\frac{\pi}{2} \right).$$<br />
<br />
<br />
Alternative Systemparameter sind für beide Tiefpässe die über das flächengleiche Rechteck definierte äquivalente Bandbreite $Δf$ sowie der Rolloff–Faktor (im Frequenzbereich):<br />
$$r=\frac{f_2 - f_1}{f_2 + f_1} .$$<br />
In der gesamten Aufgabe gelte $Δf =$ 10 kHz und $r =$ 0.2. Die Impulsantworten lauten mit der äquivalenten Impulsdauer $Δt = 1/Δf =$ 0.1 ms:<br />
$$h_{\rm TTP}(t) = \frac{1}{\Delta t} \cdot {\rm si}(\pi \cdot<br />
\frac{t}{\Delta t} )\cdot {\rm si}(\pi \cdot r \cdot \frac{t}{\Delta t} ),$$<br />
$$h_{\rm CRTP}(t) = \frac{1}{\Delta t} \cdot {\rm si}(\pi \cdot<br />
\frac{t}{\Delta t} )\cdot \frac {\cos(\pi \cdot r \cdot t / \Delta<br />
t )}{1 - (2 \cdot r \cdot t/\Delta t )^2}.$$<br />
<br />
<br />
'''Hinweis:''' Diese Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen|Kapitel 1.3]]. Sie können Ihre Ergebnisse mit folgendem Interaktionsmodul überprüfen:<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Multiple-Choice Frage<br />
|type="[]"}<br />
- Falsch<br />
+ Richtig<br />
<br />
<br />
{Input-Box Frage<br />
|type="{}"}<br />
$\alpha =$ { 0.3 }<br />
<br />
<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
:'''a)'''<br />
:'''b)'''<br />
:'''c)'''<br />
:'''d)'''<br />
:'''e)'''<br />
:'''f)'''<br />
:'''g)'''<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^Kapitelx^]]</div>Christophhttps://www.lntwww.de/index.php?title=Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen&diff=5883Lineare zeitinvariante Systeme/Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen2016-08-13T07:26:00Z<p>Christoph: </p>
<hr />
<div>{{Header<br />
|Untermenü=Systemtheoretische Grundlagen<br />
|Vorherige Seite=Systembeschreibung im Zeitbereich<br />
|Nächste Seite=Klassifizierung der Verzerrungen<br />
}} <br />
<br />
==Allgemeine Bemerkungen==<br />
Alle auf den nächsten Seiten beschriebenen Tiefpassfunktionen weisen die folgenden Eigenschaften auf: <br />
*Der Frequenzgang $H(f)$ ist stets reell und gerade, so dass nach dem Zuordnungssatz auch die zugehörige Impulsantwort $h(t)$ stets reell und gerade ist.<br />
*Damit ist offensichtlich, dass die hier betrachteten Systeme akausal und somit nicht realisierbar sind. Die Beschreibung kausaler Systeme erfolgt im Kapitel 3 dieses Buches. <br />
*Der Vorteil dieser systemtheoretischen Filterfunktionen ist die einfache Beschreibung durch maximal zwei Parameter, so dass der Filtereinfluss durchschaubar dargestellt werden kann. <br />
*Der wichtigste Funktionsparameter ist die äquivalente Bandbreite entsprechend der Definition über das flächengleiche Rechteck:<br />
$$\Delta f = \frac{1}{H(f=0)}\cdot \int\limits_{-\infty}^{+\infty}H(f) \hspace{0.15cm} {\rm d}f.$$<br />
*Nach dem so genannten Reziprozitätsgesetz liegt somit auch die äquivalente Zeitdauer der Impulsantwort fest, die ebenfalls über das flächengleiche Rechteck definiert ist:<br />
$$\Delta t = \frac{1}{h(t=0)}\cdot \int\limits_{-\infty}^{+\infty}h(t) \hspace{0.15cm} {\rm d}t = \frac{1}{\Delta f}.$$<br />
*Der Gleichsignalübertragungsfaktor wird – wenn nicht explizit etwas Anderes vermerkt ist – stets zu $H(f$ = 0) = 1 angenommen. <br />
*Aus jeder Tiefpassfunktion lassen sich entsprechende Hochpassfunktionen ableiten, wie auf der letzten Theorieseite dieses Abschnitts gezeigt wird. <br />
<br />
==Idealer Tiefpass – Küpfmüller–Tiefpass (1)==<br />
{{Definition}}<br />
Man bezeichnet einen Tiefpass als ideal, wenn sein Frequenzgang wie folgt lautet:<br />
$$H(f) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}1 \\ 0.5 \\\hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad\begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}}\\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}{\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| < \Delta f/2,} \\{\left| \hspace{0.005cm}f\hspace{0.05cm} \right| = \Delta f/2,} \\{\left|\hspace{0.005cm} f \hspace{0.05cm} \right| > \Delta f/2.} \\\end{array}$$<br />
Wir verwenden teilweise auch die Bezeichnung „Küpfmüller-Tiefpass” (KTP) in Erinnerung an den Pionier der Systemtheorie, Karl Küpfmüller. <br />
{{end}}<br />
<br />
<br />
Die Grafik zeigt einen solchen idealen Tiefpass im Frequenz– und Zeitbereich.<br />
<br />
[[Datei:P_ID842__LZI_T_1_3_S2_neu.png | Idealer Tiefpass und Impulsantwort|class=fit]]<br />
<br />
Man erkennt aus diesem Kurvenverläufen: <br />
*Aufgrund des abrupten, unendlich steilen Flankenabfalls ist hier die 3dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ genau halb so groß wie die systemtheoretische Bandbreite $Δf$. <br />
*Alle Spektralanteile mit $f$ < $f_{\rm G}$ werden unverfälscht durchgelassen (Durchlassbereich), alle Anteile mit $f$ > $f_{\rm G}$ vollständig unterdrückt (Sperrbereich). Bei $f$ = $f_{\rm G}$ gilt $H(f)$ = 0.5. <br />
<br />
<br />
''Hinweis:'' Die Beschreibung im Zeitbereich finden Sie nachfolgend. <br />
<br />
==Idealer Tiefpass – Küpfmüller–Tiefpass (2)==<br />
Kommen wir nun zur Beschreibung des idealen Tiefpasses im Zeitbereich: <br />
*Die Impulsantwort ergibt sich entsprechend der Fourierrücktransformation zu<br />
$$h(t) = \Delta f \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t)\hspace{0.7cm}{\rm{mit}}\hspace{0.7cm}{\rm si}(x) =\frac{\sin(x)}{x}.$$<br />
*Die beidseitig bis ins Unendliche ausgedehnte Zeitfunktion weist äquidistante Nulldurchgänge im Abstand $Δt$ = 1/ $Δf$ auf (siehe rechte untere<br />
:Grafik).<br />
*Der asymptotische Abfall erfolgt umgekehrt proportional mit der Zeit:<br />
$$|h(t)| = \frac{\Delta f}{\pi \cdot \Delta f \cdot |t|} \cdot \left |{\rm sin}(\pi \cdot \Delta f\cdot t )\right | \le \frac{1}{\pi \cdot |t|}.$$<br />
*Daraus folgt, dass die Impulsantwort erst für Zeiten $t$ > $t_{1‰}$ = 318 · $Δt$ mit Sicherheit kleiner als 1‰ des Impulsmaximums ist. <br />
*Die Sprungantwort ergibt sich aus der Impulsantwort durch Integration und lautet: <br />
$${\rm \sigma}(t) = \int\limits_{ - \infty }^{ t } {h ( \tau )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \cdot {\rm Si}(\pi \cdot\Delta f \cdot t ).$$<br />
*Hierbei ist die so genannte Integral–Sinusfunktion<br />
$${\rm Si}(x) = \int\limits_{ 0 }^{ x } {{\rm si} ( \xi )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\xi = x - \frac{x^3}{3 \cdot 3!} + \frac{x^5}{5 \cdot 5!} - \frac{x^7}{7 \cdot 7!}+ ...$$<br />
:verwendet, die folgende Eigenschaften besitzt:<br />
$${\rm Si}(0) = 0, \hspace{0.3cm}{\rm Si}(\infty) = \frac{\pi}{2}, \hspace{0.3cm}{\rm Si}(-x) = -{\rm Si}(x).$$<br />
<br />
[[Datei:P_ID843__LZI_T_1_3_S2_neu.png | Idealer Tiefpass und Impulsantwort|class=fit]]<br />
<br />
'''Hinweis:''' In manchen Büchern wird statt der Funktion si(x) die ähnliche Funktion sinc(x) verwendet: <br />
$${\rm si}(x) = \frac{\sin(x)}{x}\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm}{\rm sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = {\rm si}(\pi x).$$<br />
In diesem Fall lautet die Impulsantwort des idealen Tiefpasses $h(t)$ = $Δf · {\rm sinc}(Δf · t).$<br />
<br />
==Spalttiefpass==<br />
{{Definition}}<br />
Man bezeichnet ein LZI–System als Spalttiefpass, wenn der Frequenzgang die folgende Form hat:<br />
$$H(f) = {\rm si}(\pi \frac{f}{ \Delta f})\hspace{0.7cm}{\rm{mit}}\hspace{0.7cm}{\rm si}(x) =\frac{\sin(x)}{x}.$$<br />
{{end}}<br />
<br />
<br />
Aus der linken Grafik ist zu erkennen, dass der Frequenzgang $H_{\rm STP}(f)$ des Spalttiefpasses formgleich mit der Impulsantwort $h_{\rm KTP}(t)$ des Küpfmüllertiefpasses ist. <br />
<br />
[[Datei:P_ID844__LZI_T_1_3_S3_neu.png | Spalttiefpass und zugehörige Impulsantwort|class=fit]]<br />
<br />
Nach dem Vertauschungssatz muss deshalb auch die Impulsantwort $h_{\rm STP}(t)$ des Spalttiefpasses die gleiche Form wie der Frequenzgang $H_{\rm KTP}(f)$ des idealen Tiefpasses aufweisen. Mit $Δt$ = 1/ $Δf$ gilt somit:<br />
$$h(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}\Delta f \\ \Delta f/2 \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.005cm} t\hspace{0.05cm} \right| < \Delta t/2,} \\ {\left| \hspace{0.005cm}t\hspace{0.05cm} \right| = \Delta t/2,} \\ {\left|\hspace{0.005cm} t \hspace{0.05cm} \right| > \Delta t/2.} \\<br />
\end{array}$$<br />
Anhand obiger Grafik sind folgende Aussagen ableitbar: <br />
*Auch der Spalttiefpass ist in dieser Form akausal. Durch eine zusätzliche Laufzeit von $Δt/2$ wird das System jedoch kausal und damit realisierbar. <br />
*Der Spalttiefpass wirkt als Integrator über die Zeitdauer $Δt$: <br />
$$y(t) = x (t) * h (t) = \frac{1}{\Delta t} \cdot \int\limits_{ t - \Delta t/2 }^{ t + \Delta t/2 } {x ( \tau )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$<br />
*Ist $x(t)$ eine harmonische Schwingung mit der Frequenz $f_0$ = $k · Δf$ ( $k$ ganzzahlig), so wird genau über $k$ Perioden integriert und es gilt $y(t)$ = 0. Dies zeigen auch die Nullstellen von $H(f)$. <br />
<br />
==Gauß–Tiefpass==<br />
Eine häufig für systemtheoretische Untersuchungen verwendete Filterfunktion ist der Gaußtiefpass, der ebenfalls durch nur einen Parameter, nämlich die äquivalente Bandbreite $Δf$, beschreibbar ist.<br />
{{Definition}}<br />
Für den Frequenzgang und die Impulsantwort des Gaußtiefpasses gelten:<br />
$$H(f) = {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f)^2}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, h(t) = \Delta f \cdot {\rm e}^{-\pi(\Delta f \cdot \hspace{0.03cm} t)^2} .$$<br />
{{end}}<br />
<br />
<br />
Der Name geht auf den Mathematiker, Physiker und Astronomen Carl-Friedrich Gauß zurück. Gauß hat sich zwar nicht selber mit dieser Thematik auseinandergesetzt, aber die mathematische Form von Frequenzgang und Impulsantwort weisen eine Ähnlichkeit mit der so genannten Gaußformel auf, die er für die Wahrscheinlichkeitsrechnung gefunden hat.<br />
<br />
[[Datei:P_ID845__LZI_T_1_3_S4_neu.png | Gaußtiefpass und zugehörige Impulsantwort|class=fit]]<br />
<br />
Anhand obiger Grafik können folgende Aussagen getroffen werden:<br />
*Die ebenfalls über das flächengleiche Rechteck definierte äquivalente Impulsdauer $Δt$ ist gleich dem Kehrwert der äquivalenten Bandbreite $Δf$. <br />
*Eine schmalbandige Filterfunktion (kleines $Δf$) führt zu einer breiten (großes $Δt$) und gleichzeitig niedrigen Impulsantwort $h(t)$. Das Reziprozitätsgesetz von Zeitdauer und Bandbreite lässt sich am Beispiel des Gaußtiefpasses besonders anschaulich zeigen. <br />
*Die Frequenz– und Zeitbereichsdarstellungen sind prinzipiell von gleicher Form. Man sagt auch, dass die Gaußfunktion invariant gegenüber der Fouriertransformation ist. <br />
*Aufgrund der unendlichen Ausbreitung seiner Impulsantwort ist der Gaußtiefpass ebenso wie der ideale Tiefpass stark akausal und (exakt) nur mit unendlich großer Laufzeit realisierbar. <br />
*Allerdings ist zu berücksichtigen, dass $h(t)$ bereits bei $t$ = 1.5 · $Δt$ auf 0.1% seines Maximalwertes abgeklungen ist. Für $t$ = 3 · $Δt$ ergibt sich sogar $h(t) ≈ 5 · 10^{–13} · h(0)$. <br />
*Diese Zahlenwerte machen deutlich, dass man den Gaußtiefpass durchaus auch für praxisnahe Simulationen heranziehen kann, solange Laufzeiten keine systembegrenzende Rolle spielen. <br />
*Die Sprungantwort $σ(t)$ lautet mit der Gaußschen Fehlerfunktion $ϕ(x)$, die in Formelsammlungen meist tabellarisch angegeben wird: <br />
$$\sigma(t) = \int\limits_{ -\infty }^{ t } {h(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau = {\rm \phi}\left( \sqrt{2 \pi }\frac{t}{\Delta t} \right) \hspace{0.7cm}{\rm{mit}}\hspace{0.7cm}{\rm \phi}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \cdot \int\limits_{ -\infty }^{ x } {{\rm e}^{-u^2/2}} \hspace{0.1cm}{\rm d}u.$$<br />
<br />
==Trapeztiefpass (1)==<br />
Die bisher in diesem Kapitel beschriebenen Tiefpassfunktionen hängen nur von einem Parameter – der äquivalenten Bandbreite $Δf$ – ab. Dabei war die Flankensteilheit für einen gegebenen Filtertyp fest vorgegeben. Nun wird ein Tiefpass beschrieben, bei dem auch die Flankensteilheit parametrisierbar ist.<br />
{{Definition}}<br />
Der Frequenzgang des Trapeztiefpasses lautet mit den Eckfrequenzen $f_1$ und $f_2$ ≥ $f_1$:<br />
$$H(f) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}1 \\ \frac{f_2 -|f|}{f_2 -f_1} \\<br />
\hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad<br />
\begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}}<br />
\\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}<br />
{\hspace{0.94cm}\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| < f_1,} \\<br />
{f_1 \le \left| \hspace{0.005cm}f\hspace{0.05cm} \right| \le f_2,} \\<br />
{\hspace{0.94cm}\left|\hspace{0.005cm} f \hspace{0.05cm} \right| > f_2.} \\<br />
\end{array}$$<br />
{{end}}<br />
<br />
<br />
Anstelle von $f_1$ und $f_2$ kann man zur Beschreibung von $H(f)$ auch folgende Parameter verwenden: <br />
*die äquivalente Bandbreite, ermittelt über das flächengleiche Rechteck:<br />
$$\Delta f = f_1 + f_2.$$<br />
*der Rolloff-Faktor (im Frequenzbereich) als Maß für die Flankensteilheit:<br />
$$r_f = \frac{f_2 - f_1}{f_2 + f_1}.$$<br />
Als Sonderfälle sind in der allgemeinen Darstellung der ideale rechteckförmige Tiefpass $(r_f = 0)$ sowie der Dreiecktiefpass $(r_f = 1)$ enthalten. Die nachfolgende Grafik zeigt $H(f)$ sowie die Impulsantwort <br />
$$h(t) = \Delta f \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t )\cdot {\rm si}(\pi \cdot r_f \cdot \Delta f \cdot t )\hspace{0.7cm}{\rm{mit}}\hspace{0.7cm}{\rm si}(x) = \frac{\sin(x)}{x},$$<br />
wobei der Rolloff–Faktor $r_f$ = 0.5 (d. h. $f_2 = 3f_1)$ zugrunde liegt. Der si–Verlauf des rechteckförmigen Tiefpasses mit gleicher äquivalenter Bandbreite ist zum Vergleich gestrichelt eingezeichnet.<br />
<br />
[[Datei:P_ID846__LZI_T_1_3_S5_neu.png | Trapeztiefpass und zugehörige Impulsantwort|class=fit]]<br />
<br />
<br />
''Hinweis:'' Die Interpretation dieser Grafik folgt im nächsten Abschnitt.<br />
<br />
==Trapeztiefpass (2)==<br />
<br />
Die obenstehende Grafik sowie Gleichungen erlauben folgende Aussagen: <br />
*Die Trapezform entsteht z. B. durch die Faltung zweier Rechtecke der Breiten $Δf$ und $r_f Δf$. <br />
*Entsprechend dem Faltungssatz ist somit die Impulsantwort das Produkt zweier si–Funktionen mit den Argumenten $π · Δf · t$ und $π · rf · Δf · t$. <br />
*Die erste si–Funktion ist für alle Werte von $r_f$ Bestandteil der Gleichung für $h(t)$ und führt stets zu äquivalenten Nulldurchgängen im Abstand $1/Δf$. <br />
*Für 0 < $r_f$ < 1 gibt es weitere Nullstellen bei Vielfachen von $Δt/r_f$. <br />
*Der asymptotische Abfall der Impulsantwort $h(t)$ erfolgt um so schneller, je größer $r_f$ ist, d. h. bei gegebenem $Δf$ mit flacherer Flanke. Der schnellstmögliche Abfall ergibt sich beim Dreiecktiefpass ⇒ $r_f$ = 1, $f_1$ = 0, $f_2$ = $Δf$. Für diesen gilt im Frequenz– und Zeitbereich:<br />
$$H(f) = \left\{ \begin{array}{c} \hspace{0.25cm} \frac{{\rm \Delta}f -|f|}{{\rm \Delta}f} \\<br />
\hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad<br />
\begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}}<br />
\\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}<br />
{\hspace{1cm} \left| \hspace{0.005cm}f\hspace{0.05cm} \right| \le {\rm \Delta}f ,} \\<br />
{\hspace{1cm}\left|\hspace{0.005cm} f \hspace{0.05cm} \right| \ge {\rm \Delta}f ,} \\<br />
\end{array}$$<br />
$$h(t) = \Delta f \cdot {\rm si}^2(\pi \cdot \Delta f \cdot t )\hspace{0.4cm}{\rm{mit}}\hspace{0.4cm}{\rm si}(x) = \frac{\sin(x)}{x}.$$<br />
<br />
[[Datei:P_ID847__LZI_T_1_3_S5_neu.png | Trapeztiefpass und zugehörige Impulsantwort|class=fit]]<br />
<br />
==Cosinus-Rolloff-Tiefpass (1)==<br />
Ebenso wie der Trapeztiefpass wird dieser Tiefpass durch zwei Parameter beschrieben, nämlich durch die äquivalente Bandbreite $Δf$ und den Rolloff–Faktor $r_f$. Dessen Wertebereich liegt zwischen $r_f$ = 0 (Rechtecktiefpass) und $r_f$ = 1 (Cosinus–Quadrat–Tiefpass).<br />
{{Definition}}<br />
Der Frequenzgang des Cosinus–Rolloff–Tiefpasses lautet mit den zwei Eckfrequenzen $f_1$ = $Δf · (1 – r_f)$ und $f_2$ = $Δf · (1 + r_f)$:<br />
$$H(f) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}1 \\ \cos \left( \frac{|f|- f_1}{f_2 -f_1}\frac{\pi}{2}\right) \\<br />
\hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad<br />
\begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}}<br />
\\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}<br />
{\hspace{0.94cm}\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| < f_1,} \\<br />
{f_1 \le \left| \hspace{0.005cm}f\hspace{0.05cm} \right| \le f_2,} \\<br />
{\hspace{0.94cm}\left|\hspace{0.005cm} f \hspace{0.05cm} \right| > f_2.} \\<br />
\end{array}$$<br />
{{end}}<br />
<br />
<br />
Die nachfolgende Grafik zeigt $H(f)$ sowie die Impulsantwort<br />
$$h(t) = \Delta f \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t )\cdot<br />
\frac {\cos(\pi \cdot r_f \cdot \Delta f \cdot t )}{1 - (2 \cdot<br />
r_f \cdot \Delta f \cdot t)^2}.$$<br />
<br />
[[Datei:P_ID848__LZI_T_1_3_S6_neu.png| Cosinus–Rolloff–Tiefpass und zugehörige Impulsantwort|class=fit]]<br />
<br />
Für diese Grafiken wurde der Rolloff–Faktor $r_f$ = 0.5 verwendet, das heißt, es gilt $f_2$ = 3 · $f_1$. Gestrichelt sind zum Vergleich <br />
*im Frequenzbereich der Trapeztiefpass und <br />
*im Zeitbereich die si–Funktion <br />
<br />
<br />
eingezeichnet. Es ist zu beachten, dass die si-Funktion nicht die Fourierrücktransformierte des links blau eingezeichneten Trapeztiefpasses ist. Sie beschreibt vielmehr den idealen, rechteckförmigen Tiefpass im Zeitbereich.<br />
<br />
''Hinweis:'' Die Interpretation dieser Grafik folgt nachfolgend.<br />
<br />
==Cosinus-Rolloff-Tiefpass (2)==<br />
Anhand der oben gezeigten Grafik (Cosinus–Rolloff–Tiefpass und zugehörige Impulsantwort) und den obigen Gleichungen sind folgende Aussagen möglich: <br />
*Die Impulsantwort $h(t)$ hat bei allen Vielfachen von $Δt = 1/Δf$ Nullstellen, die auf die im rechten Bild gestrichelt eingezeichnete si–Funktion zurückzuführen sind. <br />
*Der letzte Term in der $h(t)$ –Gleichung führt zu weiteren Nullstellen bei Vielfachen von $Δt/r_f$. Ist $1/r_f$ ganzzahlig wie in obiger Grafik $(1/r_f$ = 2), so fallen diese mit den anderen Nullstellen zusammen. <br />
*Je größer der Rolloff-Faktor $r_f$ ist und je flacher damit der Flankenabfall erfolgt, desto günstiger ist im Allgemeinen das Einschwingverhalten des Cosinus-Rolloff-Tiefpasses. <br />
*Der Cosinus–Rolloff–Tiefpass zeigt meist ein besseres asymptotisches Einschwingverhalten als der Trapeztiefpass mit gleichem $r_f$, obwohl dieser zumindest bei $Δf/2$ eine flachere Flanke aufweist. <br />
*Dies lässt darauf schließen, dass das Einschwingverhalten nicht nur durch Unstetigkeitsstellen (wie beim Rechteck), sondern auch durch Knickpunkte wie beim Trapeztiefpass beeinträchtigt wird. <br />
*Als Sonderfall ergibt sich mit $f_1$ = 0, $f_2$ = $Δf$ ⇒ $r_f$ = 1 der Cosinus–Quadrat–Tiefpass, dessen Impulsantwort auch wie folgt dargestellt werden kann:<br />
$$h(t) = \frac{1}{ \Delta t}\cdot{\rm si}(\pi \frac{t}{ \Delta t})<br />
\cdot \left[ {\rm si}(\pi \frac{t}{ \Delta t} + 0.5) - {\rm<br />
si}(\pi \frac{t}{ \Delta t} - 0.5) \right].$$<br />
*Diese Funktion hat Nullstellen bei $t/Δt$ = ±1, ±1.5, ±2, ±2.5 usw., nicht jedoch bei $t/Δt$ = ±0.5. Im Buch „Digitalsignalübertragung” wird gezeigt, dass der Cosinus–Quadrat–Tiefpass als einziger Tiefpass die beiden so genannten Nyquistkriterien erfüllt.<br />
<br />
==Herleitung systemtheoretischer Hochpassfunktionen==<br />
In diesem Kapitel wurden fünf häufig verwendete systemtheoretische Tiefpassfunktionen betrachtet. Für jede einzelne Tiefpassfunktion lässt sich auch eine äquivalente Hochpassfunktion angeben.<br />
{{Definition}}<br />
Ist $H_{\rm TP}(f)$ eine systemtheoretische Tiefpassfunktion mit $H_{\rm TP}(f = 0)$ = 1, so gilt für die äquivalente Hochpassfunktion:<br />
$$H_{\rm HP}(f) = 1 - H_{\rm TP}(f).$$<br />
{{end}}<br />
<br />
<br />
Damit lauten die Beschreibungsgrößen im Zeitbereich:<br />
$$ \begin{align*} h_{\rm HP}(t) & = \delta (t) - h_{\rm TP}(t),\\<br />
\sigma_{\rm HP}(t) & = \gamma (t) - \sigma_{\rm TP}(t). \end{align*} $$<br />
Hierbei bezeichnen: <br />
*$h_{\rm HP}(t)$ und $h_{\rm TP}(t)$ die Impulsantworten von Hoch– und Tiefpass, <br />
*$σ_{\rm HP}(t)$ und $σ_{\rm TP}(t)$ die dazugehörigen Sprungfunktionen, <br />
*$γ(t)$ die Sprungfunktion als Ergebnis der Integration über die Diracfunktion $δ(t)$. <br />
<br />
<br />
{{Beispiel}}<br />
Wir betrachten den Spalttiefpass, der sich durch einen si–förmigen Frequenzgang, eine rechteckförmige Impulsantwort und eine linear ansteigende Sprungantwort auszeichnet. Diese sind in der nachfolgenden Grafik dargestellt. <br />
<br />
[[Datei: P_ID851__LZI_T_1_3_S7_neu.png | Konstruktion von Hochpassfunktionen aus den entsprechenden Tiefpässen|class=fit]]<br />
<br />
Die untere Skizze zeigt die entsprechenden Hochpassfunktionen. Man erkennt, dass <br />
*$H_{\rm HP}(f = 0)$ immer den Wert 0 besitzt, wenn $H_{\rm TP}(f = 0)$ = 1 ist, <br />
*demzufolge das Integral über $h_{\rm HP}(t)$ ebenfalls 0 ergeben muss und <br />
*auch die Sprungantwort $σ_{\rm HP}(t)$ gegen den Endwert 0 tendiert.<br />
{{end}}<br />
<br />
==Aufgaben==<br />
[[Aufgaben:1.5 Küpfmüller-Tiefpass]]<br />
<br />
[[Zusatzaufgaben:1.5 si-förmige Impulsantwort]]<br />
<br />
[[Aufgaben:1.6 Rechteckige Impulsantwort]]<br />
<br />
[[Zusatzaufgaben:1.6 Interpretation von H(f)]]<br />
<br />
[[Aufgaben:1.7 Nahezu kausaler Gaußtiefpass]]<br />
<br />
[[Zusatzaufgaben:1.7 Systemanalyse]]<br />
<br />
[[Aufgaben:1.8 Variable Flankensteilheit]]<br />
<br />
<br />
{{Display}}</div>Christophhttps://www.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Aufgabe_1.7Z:_Systemanalyse&diff=5881Aufgaben:Aufgabe 1.7Z: Systemanalyse2016-08-05T16:03:51Z<p>Christoph: /* Musterlösung */</p>
<hr />
<div>{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen}}<br />
<br />
[[Datei:P_ID865__LZI_Z_1_7.png|right|System mit Gaußtiefpässen und nichtlinearer Kennlinie (Aufgabe Z1.7)]] Ein Gesamtsystem $G$ mit Eingang $w(t)$ und Ausgang $z(t)$ besteht aus drei Komponenten:<br />
*Die erste Komponente ist ein Gaußtiefpass mit Impulsantwort<br />
$$h_1(t) = \frac{1}{\Delta t_1} \cdot {\rm e}^{-\pi(t/\Delta t_1)^2}, \hspace{0.5cm} \Delta<br />
t_1= {0.3\,\rm ms}.$$<br />
*Danach folgt eine Nichtlinearität mit Kennlinie<br />
$$y(t) = \left\{ \begin{array}{c} {8\,\rm V} \\ 2 \cdot x(t) \\ {-8\,\rm V} \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {x(t) \ge {4\,\rm V}}, \\<br />
{{-4\,\rm V} < x(t) < {4\,\rm V}}, \\ {x(t)\le {-4\,\rm V}}. \\ \end{array}$$<br />
:Deren Eingangssignal $x(t)$ wird um den Faktor 2 verstärkt und – falls nötig – auf den Amplitudenbereich ±8V begrenzt.<br />
*Am Ende der Kette folgt wieder ein Gaußtiefpass, der durch seinen Frequenzgang gegeben ist:<br />
$$H_3(f) = {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f_3)^2}, \hspace{0.5cm} \Delta f_3= {2.5\,\rm kHz}.$$<br />
<br />
<br />
Das Eingangssignal $w(t)$ sei ein Gaußimpuls mit konstanter Amplitude 5 V, aber variabler Breite $T$:<br />
$$w(t) = {5\,\rm V}\cdot {\rm e}^{-\pi(t/T)^2}.$$<br />
Zu untersuchen ist, in welchem Bereich die äquivalente Impulsdauer $T$ dieses Gaußimpulses variieren kann, damit das Gesamtsystem durch den Frequenzband<br />
$$H_{\rm G}(f) = K \cdot {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f_{\rm G})^2}$$<br />
vollständig beschrieben wird. Der Index „G” bei Frequenzgang und Bandbreite bezieht sich jeweils auf „Gesamtsystem”.<br />
<br />
<br />
'''Hinweis:''' Die Aufgabe bezieht sich auf den Abschnitt [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Gau.C3.9F.E2.80.93Tiefpass|Gaußtiefpass]] im Kapitel 1.3.<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit das Gesamtsystem durch einen einzigen Frequenzgang beschreibbar ist?<br />
|type="[]"}<br />
+ Es besteht ein linearer Zusammenhang zwischen $w(t)$ und $z(t)$.<br />
- $H_3(f)$ muss schmalbandiger sein als $H_1(f)$.<br />
+ Das Signal $x(t)$ darf betragsmäßig nicht größer sein als 4 V.<br />
<br />
<br />
{Berechnen Sie den Maximalwert für die äquivalente Impulsdauer $T$, damit die unter a) genannten Bedingungen erfüllbar sind.<br />
|type="{}"}<br />
$T_{\rm max} =$ { 0.4 } ms<br />
<br />
<br />
{Geben Sie die Parameter des Gesamtfrequenzgangs $H_{\rm G}(f)$ an.<br />
|type="{}"}<br />
$K =$ { 2 }<br />
$\Delta f_{\rm G} =$ { 2 } kHz<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
:'''a)''' Die erste Aussage ist zutreffend: Nur für ein lineares System kann ein Frequenzgang angegeben werden. Damit dies hier möglich ist, darf die Nichtlinearität keine Rolle spielen. Das heißt, es muss sicher gestellt sein, dass $|x(t)|$ nicht größer als 4 V ist.<br />
<br />
:Dagegen ist die zweite Aussage nicht zutreffend. Die Bandbreite von $H_3(f)$ hat keinen Einfluss darauf, ob die Nichtlinearität elimimiert werden kann oder nicht. Richtig sind also die $\ \rm \underline{Antworten \ 1 \ und \ 3}$.<br />
<br />
<br />
:'''b)''' Der erste Gaußtiefpass wird im Frequenzbereich wie folgt beschrieben:<br />
$$\begin{align*}X(f) & = W(f) \cdot H_1(f) = {5\,\rm V}\cdot T \cdot {\rm e}^{-\pi(f \cdot T)^2} \cdot {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f_1)^2}\\ & = {5\,\rm V}\cdot T \cdot {\rm e}^{-\pi f^2 (T^2 + \Delta t_1^2)}= {5\,\rm V}\cdot T \cdot {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f_x)^2}.\end{align*}$$<br />
:Hierbei bezeichnet $Δf_x$ die äquivalente Bandbreite von $X(f)$. Der Signalwert bei $t =$ 0 – gleichzeitig der Maximalwert des Signals – ist gleich der Spektralfläche; dieser soll nicht größer werden als 4 V:<br />
$$x_{\rm max} = x(t =0) = {5\,\rm V}\cdot T \cdot \Delta f_x \le {4\,\rm V}.$$<br />
:Daraus folgt durch Koeffizientenvergleich:<br />
$$\begin{align*}\frac{1}{T \cdot \Delta f_x} > \frac{5}{4}\hspace{0.1cm} & \Rightarrow \hspace{0.1cm} \frac{1}{T^2 \cdot \Delta f_x^2} > \frac{25}{16}\hspace{0.3cm}<br />
\Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac{T^2 + \Delta t_1^2}{T^2} > \frac{25}{16}\\<br />
& \Rightarrow \hspace{0.1cm}\frac{ \Delta t_1^2}{T^2} ><br />
\frac{9}{16}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}\frac{T^2}{<br />
\Delta t_1^2} \le \frac{16}{9}\hspace{0.3cm}\Rightarrow<br />
\hspace{0.3cm} T \le \frac{4}{3} \cdot \Delta t_1 \hspace{0.15cm}\underline{= {0.4\,\rm ms}}.\end{align*}$$<br />
:Die Kontrollrechnung ergibt:<br />
$$\Delta t_x = \sqrt{T^2 + \Delta t_1^2} = \sqrt{({0.4\,\rm ms})^2 + ({0.3\,\rm ms})^2} = {0.5\,\rm ms} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\Delta f_x = \frac{1}{\Delta t_x}= {2\,\rm kHz}\\$$<br />
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} x(t=0) = {5\,\rm V}\cdot T \cdot \Delta f_x = {5\,\rm V}\cdot {0.4\,\rm ms} \cdot {2\,\rm kHz} = {4\,\rm V}.$$<br />
<br />
<br />
:'''c)''' Die Gaußtiefpässe erfüllen die Bedingung $H_1(f = 0) = H_3(f = 0) = 1$. Unter Berücksichtigung der Verstärkung des zweiten Blocks im linearen Bereich erhält man somit für die Gesamtverstärkung:<br />
$$\underline{K \ = \ 2}$$<br />
:Für die äquivalente Impulsdauer des Gesamtsystems gilt:<br />
$$\Delta t_{\rm G} = \sqrt{\Delta t_1^2 + \frac{1}{\Delta f_3^2}} = \sqrt{({0.3\,\rm ms})^2 + \left( \frac{1}{{2.5\,\rm<br />
kHz}}\right)^2}={0.5\,\rm ms}$$<br />
$$\Rightarrow \Delta f_{\rm G} = \frac{1}{\Delta t_{\rm G}} \hspace{0.15cm}\underline{= {2\,\rm kHz}}.$$<br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^1.3 Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen^]]</div>Christophhttps://www.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Aufgabe_1.7Z:_Systemanalyse&diff=5880Aufgaben:Aufgabe 1.7Z: Systemanalyse2016-08-05T16:02:18Z<p>Christoph: /* Musterlösung */</p>
<hr />
<div>{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen}}<br />
<br />
[[Datei:P_ID865__LZI_Z_1_7.png|right|System mit Gaußtiefpässen und nichtlinearer Kennlinie (Aufgabe Z1.7)]] Ein Gesamtsystem $G$ mit Eingang $w(t)$ und Ausgang $z(t)$ besteht aus drei Komponenten:<br />
*Die erste Komponente ist ein Gaußtiefpass mit Impulsantwort<br />
$$h_1(t) = \frac{1}{\Delta t_1} \cdot {\rm e}^{-\pi(t/\Delta t_1)^2}, \hspace{0.5cm} \Delta<br />
t_1= {0.3\,\rm ms}.$$<br />
*Danach folgt eine Nichtlinearität mit Kennlinie<br />
$$y(t) = \left\{ \begin{array}{c} {8\,\rm V} \\ 2 \cdot x(t) \\ {-8\,\rm V} \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {x(t) \ge {4\,\rm V}}, \\<br />
{{-4\,\rm V} < x(t) < {4\,\rm V}}, \\ {x(t)\le {-4\,\rm V}}. \\ \end{array}$$<br />
:Deren Eingangssignal $x(t)$ wird um den Faktor 2 verstärkt und – falls nötig – auf den Amplitudenbereich ±8V begrenzt.<br />
*Am Ende der Kette folgt wieder ein Gaußtiefpass, der durch seinen Frequenzgang gegeben ist:<br />
$$H_3(f) = {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f_3)^2}, \hspace{0.5cm} \Delta f_3= {2.5\,\rm kHz}.$$<br />
<br />
<br />
Das Eingangssignal $w(t)$ sei ein Gaußimpuls mit konstanter Amplitude 5 V, aber variabler Breite $T$:<br />
$$w(t) = {5\,\rm V}\cdot {\rm e}^{-\pi(t/T)^2}.$$<br />
Zu untersuchen ist, in welchem Bereich die äquivalente Impulsdauer $T$ dieses Gaußimpulses variieren kann, damit das Gesamtsystem durch den Frequenzband<br />
$$H_{\rm G}(f) = K \cdot {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f_{\rm G})^2}$$<br />
vollständig beschrieben wird. Der Index „G” bei Frequenzgang und Bandbreite bezieht sich jeweils auf „Gesamtsystem”.<br />
<br />
<br />
'''Hinweis:''' Die Aufgabe bezieht sich auf den Abschnitt [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Gau.C3.9F.E2.80.93Tiefpass|Gaußtiefpass]] im Kapitel 1.3.<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit das Gesamtsystem durch einen einzigen Frequenzgang beschreibbar ist?<br />
|type="[]"}<br />
+ Es besteht ein linearer Zusammenhang zwischen $w(t)$ und $z(t)$.<br />
- $H_3(f)$ muss schmalbandiger sein als $H_1(f)$.<br />
+ Das Signal $x(t)$ darf betragsmäßig nicht größer sein als 4 V.<br />
<br />
<br />
{Berechnen Sie den Maximalwert für die äquivalente Impulsdauer $T$, damit die unter a) genannten Bedingungen erfüllbar sind.<br />
|type="{}"}<br />
$T_{\rm max} =$ { 0.4 } ms<br />
<br />
<br />
{Geben Sie die Parameter des Gesamtfrequenzgangs $H_{\rm G}(f)$ an.<br />
|type="{}"}<br />
$K =$ { 2 }<br />
$\Delta f_{\rm G} =$ { 2 } kHz<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
:'''a)''' Die erste Aussage ist zutreffend: Nur für ein lineares System kann ein Frequenzgang angegeben werden. Damit dies hier möglich ist, darf die Nichtlinearität keine Rolle spielen. Das heißt, es muss sicher gestellt sein, dass $|x(t)|$ nicht größer als 4 V ist.<br />
<br />
Dagegen ist die zweite Aussage nicht zutreffend. Die Bandbreite von $H_3(f)$ hat keinen Einfluss darauf, ob die Nichtlinearität elimimiert werden kann oder nicht. Richtig sind also die $\ \rm \underline{Antworten \ 1 \ und \ 3}$.<br />
<br />
<br />
:'''b)''' Der erste Gaußtiefpass wird im Frequenzbereich wie folgt beschrieben:<br />
$$\begin{align*}X(f) & = W(f) \cdot H_1(f) = {5\,\rm V}\cdot T \cdot {\rm e}^{-\pi(f \cdot T)^2} \cdot {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f_1)^2}\\ & = {5\,\rm V}\cdot T \cdot {\rm e}^{-\pi f^2 (T^2 + \Delta t_1^2)}= {5\,\rm V}\cdot T \cdot {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f_x)^2}.\end{align*}$$<br />
:Hierbei bezeichnet $Δf_x$ die äquivalente Bandbreite von $X(f)$. Der Signalwert bei $t =$ 0 – gleichzeitig der Maximalwert des Signals – ist gleich der Spektralfläche; dieser soll nicht größer werden als 4 V:<br />
$$x_{\rm max} = x(t =0) = {5\,\rm V}\cdot T \cdot \Delta f_x \le {4\,\rm V}.$$<br />
:Daraus folgt durch Koeffizientenvergleich:<br />
$$\begin{align*}\frac{1}{T \cdot \Delta f_x} > \frac{5}{4}\hspace{0.1cm} & \Rightarrow \hspace{0.1cm} \frac{1}{T^2 \cdot \Delta f_x^2} > \frac{25}{16}\hspace{0.3cm}<br />
\Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac{T^2 + \Delta t_1^2}{T^2} > \frac{25}{16}\\<br />
& \Rightarrow \hspace{0.1cm}\frac{ \Delta t_1^2}{T^2} ><br />
\frac{9}{16}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}\frac{T^2}{<br />
\Delta t_1^2} \le \frac{16}{9}\hspace{0.3cm}\Rightarrow<br />
\hspace{0.3cm} T \le \frac{4}{3} \cdot \Delta t_1 \hspace{0.15cm}\underline{= {0.4\,\rm ms}}.\end{align*}$$<br />
:Die Kontrollrechnung ergibt:<br />
$$\Delta t_x = \sqrt{T^2 + \Delta t_1^2} = \sqrt{({0.4\,\rm ms})^2 + ({0.3\,\rm ms})^2} = {0.5\,\rm ms} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\Delta f_x = \frac{1}{\Delta t_x}= {2\,\rm kHz}\\$$<br />
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} x(t=0) = {5\,\rm V}\cdot T \cdot \Delta f_x = {5\,\rm V}\cdot {0.4\,\rm ms} \cdot {2\,\rm kHz} = {4\,\rm V}.$$<br />
<br />
<br />
:'''c)''' Die Gaußtiefpässe erfüllen die Bedingung $H_1(f = 0) = H_3(f = 0) = 1$. Unter Berücksichtigung der Verstärkung des zweiten Blocks im linearen Bereich erhält man somit für die Gesamtverstärkung:<br />
$$\underline{K \ = \ 2}$$<br />
:Für die äquivalente Impulsdauer des Gesamtsystems gilt:<br />
$$\Delta t_{\rm G} = \sqrt{\Delta t_1^2 + \frac{1}{\Delta f_3^2}} = \sqrt{({0.3\,\rm ms})^2 + \left( \frac{1}{{2.5\,\rm<br />
kHz}}\right)^2}={0.5\,\rm ms}$$<br />
$$\Rightarrow \Delta f_{\rm G} = \frac{1}{\Delta t_{\rm G}} \hspace{0.15cm}\underline{= {2\,\rm kHz}}.$$<br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^1.3 Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen^]]</div>Christophhttps://www.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Aufgabe_1.7Z:_Systemanalyse&diff=5879Aufgaben:Aufgabe 1.7Z: Systemanalyse2016-08-05T15:52:45Z<p>Christoph: /* Fragebogen */</p>
<hr />
<div>{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen}}<br />
<br />
[[Datei:P_ID865__LZI_Z_1_7.png|right|System mit Gaußtiefpässen und nichtlinearer Kennlinie (Aufgabe Z1.7)]] Ein Gesamtsystem $G$ mit Eingang $w(t)$ und Ausgang $z(t)$ besteht aus drei Komponenten:<br />
*Die erste Komponente ist ein Gaußtiefpass mit Impulsantwort<br />
$$h_1(t) = \frac{1}{\Delta t_1} \cdot {\rm e}^{-\pi(t/\Delta t_1)^2}, \hspace{0.5cm} \Delta<br />
t_1= {0.3\,\rm ms}.$$<br />
*Danach folgt eine Nichtlinearität mit Kennlinie<br />
$$y(t) = \left\{ \begin{array}{c} {8\,\rm V} \\ 2 \cdot x(t) \\ {-8\,\rm V} \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {x(t) \ge {4\,\rm V}}, \\<br />
{{-4\,\rm V} < x(t) < {4\,\rm V}}, \\ {x(t)\le {-4\,\rm V}}. \\ \end{array}$$<br />
:Deren Eingangssignal $x(t)$ wird um den Faktor 2 verstärkt und – falls nötig – auf den Amplitudenbereich ±8V begrenzt.<br />
*Am Ende der Kette folgt wieder ein Gaußtiefpass, der durch seinen Frequenzgang gegeben ist:<br />
$$H_3(f) = {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f_3)^2}, \hspace{0.5cm} \Delta f_3= {2.5\,\rm kHz}.$$<br />
<br />
<br />
Das Eingangssignal $w(t)$ sei ein Gaußimpuls mit konstanter Amplitude 5 V, aber variabler Breite $T$:<br />
$$w(t) = {5\,\rm V}\cdot {\rm e}^{-\pi(t/T)^2}.$$<br />
Zu untersuchen ist, in welchem Bereich die äquivalente Impulsdauer $T$ dieses Gaußimpulses variieren kann, damit das Gesamtsystem durch den Frequenzband<br />
$$H_{\rm G}(f) = K \cdot {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f_{\rm G})^2}$$<br />
vollständig beschrieben wird. Der Index „G” bei Frequenzgang und Bandbreite bezieht sich jeweils auf „Gesamtsystem”.<br />
<br />
<br />
'''Hinweis:''' Die Aufgabe bezieht sich auf den Abschnitt [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Gau.C3.9F.E2.80.93Tiefpass|Gaußtiefpass]] im Kapitel 1.3.<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit das Gesamtsystem durch einen einzigen Frequenzgang beschreibbar ist?<br />
|type="[]"}<br />
+ Es besteht ein linearer Zusammenhang zwischen $w(t)$ und $z(t)$.<br />
- $H_3(f)$ muss schmalbandiger sein als $H_1(f)$.<br />
+ Das Signal $x(t)$ darf betragsmäßig nicht größer sein als 4 V.<br />
<br />
<br />
{Berechnen Sie den Maximalwert für die äquivalente Impulsdauer $T$, damit die unter a) genannten Bedingungen erfüllbar sind.<br />
|type="{}"}<br />
$T_{\rm max} =$ { 0.4 } ms<br />
<br />
<br />
{Geben Sie die Parameter des Gesamtfrequenzgangs $H_{\rm G}(f)$ an.<br />
|type="{}"}<br />
$K =$ { 2 }<br />
$\Delta f_{\rm G} =$ { 2 } kHz<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
:'''a)'''<br />
:'''b)'''<br />
:'''c)'''<br />
:'''d)'''<br />
:'''e)'''<br />
:'''f)'''<br />
:'''g)'''<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^1.3 Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen^]]</div>Christophhttps://www.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Aufgabe_1.7Z:_Systemanalyse&diff=5878Aufgaben:Aufgabe 1.7Z: Systemanalyse2016-08-05T15:46:14Z<p>Christoph: </p>
<hr />
<div>{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen}}<br />
<br />
[[Datei:P_ID865__LZI_Z_1_7.png|right|System mit Gaußtiefpässen und nichtlinearer Kennlinie (Aufgabe Z1.7)]] Ein Gesamtsystem $G$ mit Eingang $w(t)$ und Ausgang $z(t)$ besteht aus drei Komponenten:<br />
*Die erste Komponente ist ein Gaußtiefpass mit Impulsantwort<br />
$$h_1(t) = \frac{1}{\Delta t_1} \cdot {\rm e}^{-\pi(t/\Delta t_1)^2}, \hspace{0.5cm} \Delta<br />
t_1= {0.3\,\rm ms}.$$<br />
*Danach folgt eine Nichtlinearität mit Kennlinie<br />
$$y(t) = \left\{ \begin{array}{c} {8\,\rm V} \\ 2 \cdot x(t) \\ {-8\,\rm V} \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {x(t) \ge {4\,\rm V}}, \\<br />
{{-4\,\rm V} < x(t) < {4\,\rm V}}, \\ {x(t)\le {-4\,\rm V}}. \\ \end{array}$$<br />
:Deren Eingangssignal $x(t)$ wird um den Faktor 2 verstärkt und – falls nötig – auf den Amplitudenbereich ±8V begrenzt.<br />
*Am Ende der Kette folgt wieder ein Gaußtiefpass, der durch seinen Frequenzgang gegeben ist:<br />
$$H_3(f) = {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f_3)^2}, \hspace{0.5cm} \Delta f_3= {2.5\,\rm kHz}.$$<br />
<br />
<br />
Das Eingangssignal $w(t)$ sei ein Gaußimpuls mit konstanter Amplitude 5 V, aber variabler Breite $T$:<br />
$$w(t) = {5\,\rm V}\cdot {\rm e}^{-\pi(t/T)^2}.$$<br />
Zu untersuchen ist, in welchem Bereich die äquivalente Impulsdauer $T$ dieses Gaußimpulses variieren kann, damit das Gesamtsystem durch den Frequenzband<br />
$$H_{\rm G}(f) = K \cdot {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f_{\rm G})^2}$$<br />
vollständig beschrieben wird. Der Index „G” bei Frequenzgang und Bandbreite bezieht sich jeweils auf „Gesamtsystem”.<br />
<br />
<br />
'''Hinweis:''' Die Aufgabe bezieht sich auf den Abschnitt [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Gau.C3.9F.E2.80.93Tiefpass|Gaußtiefpass]] im Kapitel 1.3.<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Multiple-Choice Frage<br />
|type="[]"}<br />
- Falsch<br />
+ Richtig<br />
<br />
<br />
{Input-Box Frage<br />
|type="{}"}<br />
$\alpha$ = { 0.3 }<br />
<br />
<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
:'''a)'''<br />
:'''b)'''<br />
:'''c)'''<br />
:'''d)'''<br />
:'''e)'''<br />
:'''f)'''<br />
:'''g)'''<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^1.3 Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen^]]</div>Christophhttps://www.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Aufgabe_1.7Z:_Systemanalyse&diff=5877Aufgaben:Aufgabe 1.7Z: Systemanalyse2016-08-05T15:34:38Z<p>Christoph: Die Seite wurde neu angelegt: „{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen}} right| ===Fragebogen=== <quiz display=simp…“</p>
<hr />
<div>{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen}}<br />
<br />
[[Datei:|right|]]<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Multiple-Choice Frage<br />
|type="[]"}<br />
- Falsch<br />
+ Richtig<br />
<br />
<br />
{Input-Box Frage<br />
|type="{}"}<br />
$\alpha$ = { 0.3 }<br />
<br />
<br />
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</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
:'''a)'''<br />
:'''b)'''<br />
:'''c)'''<br />
:'''d)'''<br />
:'''e)'''<br />
:'''f)'''<br />
:'''g)'''<br />
{{ML-Fuß}}<br />
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[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^1.3 Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen^]]</div>Christophhttps://www.lntwww.de/index.php?title=Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen&diff=5876Lineare zeitinvariante Systeme/Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen2016-08-05T15:32:56Z<p>Christoph: </p>
<hr />
<div>{{Header<br />
|Untermenü=Systemtheoretische Grundlagen<br />
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}} <br />
<br />
==Allgemeine Bemerkungen==<br />
Alle auf den nächsten Seiten beschriebenen Tiefpassfunktionen weisen die folgenden Eigenschaften auf: <br />
*Der Frequenzgang $H(f)$ ist stets reell und gerade, so dass nach dem Zuordnungssatz auch die zugehörige Impulsantwort $h(t)$ stets reell und gerade ist.<br />
*Damit ist offensichtlich, dass die hier betrachteten Systeme akausal und somit nicht realisierbar sind. Die Beschreibung kausaler Systeme erfolgt im Kapitel 3 dieses Buches. <br />
*Der Vorteil dieser systemtheoretischen Filterfunktionen ist die einfache Beschreibung durch maximal zwei Parameter, so dass der Filtereinfluss durchschaubar dargestellt werden kann. <br />
*Der wichtigste Funktionsparameter ist die äquivalente Bandbreite entsprechend der Definition über das flächengleiche Rechteck:<br />
$$\Delta f = \frac{1}{H(f=0)}\cdot \int\limits_{-\infty}^{+\infty}H(f) \hspace{0.15cm} {\rm d}f.$$<br />
*Nach dem so genannten Reziprozitätsgesetz liegt somit auch die äquivalente Zeitdauer der Impulsantwort fest, die ebenfalls über das flächengleiche Rechteck definiert ist:<br />
$$\Delta t = \frac{1}{h(t=0)}\cdot \int\limits_{-\infty}^{+\infty}h(t) \hspace{0.15cm} {\rm d}t = \frac{1}{\Delta f}.$$<br />
*Der Gleichsignalübertragungsfaktor wird – wenn nicht explizit etwas Anderes vermerkt ist – stets zu $H(f$ = 0) = 1 angenommen. <br />
*Aus jeder Tiefpassfunktion lassen sich entsprechende Hochpassfunktionen ableiten, wie auf der letzten Theorieseite dieses Abschnitts gezeigt wird. <br />
<br />
==Idealer Tiefpass – Küpfmüller–Tiefpass (1)==<br />
{{Definition}}<br />
Man bezeichnet einen Tiefpass als ideal, wenn sein Frequenzgang wie folgt lautet:<br />
$$H(f) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}1 \\ 0.5 \\\hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad\begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}}\\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}{\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| < \Delta f/2,} \\{\left| \hspace{0.005cm}f\hspace{0.05cm} \right| = \Delta f/2,} \\{\left|\hspace{0.005cm} f \hspace{0.05cm} \right| > \Delta f/2.} \\\end{array}$$<br />
Wir verwenden teilweise auch die Bezeichnung „Küpfmüller-Tiefpass” (KTP) in Erinnerung an den Pionier der Systemtheorie, Karl Küpfmüller. <br />
{{end}}<br />
<br />
<br />
Die Grafik zeigt einen solchen idealen Tiefpass im Frequenz– und Zeitbereich.<br />
<br />
[[Datei:P_ID842__LZI_T_1_3_S2_neu.png | Idealer Tiefpass und Impulsantwort|class=fit]]<br />
<br />
Man erkennt aus diesem Kurvenverläufen: <br />
*Aufgrund des abrupten, unendlich steilen Flankenabfalls ist hier die 3dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ genau halb so groß wie die systemtheoretische Bandbreite $Δf$. <br />
*Alle Spektralanteile mit $f$ < $f_{\rm G}$ werden unverfälscht durchgelassen (Durchlassbereich), alle Anteile mit $f$ > $f_{\rm G}$ vollständig unterdrückt (Sperrbereich). Bei $f$ = $f_{\rm G}$ gilt $H(f)$ = 0.5. <br />
<br />
<br />
''Hinweis:'' Die Beschreibung im Zeitbereich finden Sie nachfolgend. <br />
<br />
==Idealer Tiefpass – Küpfmüller–Tiefpass (2)==<br />
Kommen wir nun zur Beschreibung des idealen Tiefpasses im Zeitbereich: <br />
*Die Impulsantwort ergibt sich entsprechend der Fourierrücktransformation zu<br />
$$h(t) = \Delta f \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t)\hspace{0.7cm}{\rm{mit}}\hspace{0.7cm}{\rm si}(x) =\frac{\sin(x)}{x}.$$<br />
*Die beidseitig bis ins Unendliche ausgedehnte Zeitfunktion weist äquidistante Nulldurchgänge im Abstand $Δt$ = 1/ $Δf$ auf (siehe rechte untere<br />
:Grafik).<br />
*Der asymptotische Abfall erfolgt umgekehrt proportional mit der Zeit:<br />
$$|h(t)| = \frac{\Delta f}{\pi \cdot \Delta f \cdot |t|} \cdot \left |{\rm sin}(\pi \cdot \Delta f\cdot t )\right | \le \frac{1}{\pi \cdot |t|}.$$<br />
*Daraus folgt, dass die Impulsantwort erst für Zeiten $t$ > $t_{1‰}$ = 318 · $Δt$ mit Sicherheit kleiner als 1‰ des Impulsmaximums ist. <br />
*Die Sprungantwort ergibt sich aus der Impulsantwort durch Integration und lautet: <br />
$${\rm \sigma}(t) = \int\limits_{ - \infty }^{ t } {h ( \tau )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \cdot {\rm Si}(\pi \cdot\Delta f \cdot t ).$$<br />
*Hierbei ist die so genannte Integral–Sinusfunktion<br />
$${\rm Si}(x) = \int\limits_{ 0 }^{ x } {{\rm si} ( \xi )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\xi = x - \frac{x^3}{3 \cdot 3!} + \frac{x^5}{5 \cdot 5!} - \frac{x^7}{7 \cdot 7!}+ ...$$<br />
:verwendet, die folgende Eigenschaften besitzt:<br />
$${\rm Si}(0) = 0, \hspace{0.3cm}{\rm Si}(\infty) = \frac{\pi}{2}, \hspace{0.3cm}{\rm Si}(-x) = -{\rm Si}(x).$$<br />
<br />
[[Datei:P_ID843__LZI_T_1_3_S2_neu.png | Idealer Tiefpass und Impulsantwort|class=fit]]<br />
<br />
'''Hinweis:''' In manchen Büchern wird statt der Funktion si(x) die ähnliche Funktion sinc(x) verwendet: <br />
$${\rm si}(x) = \frac{\sin(x)}{x}\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm}{\rm sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = {\rm si}(\pi x).$$<br />
In diesem Fall lautet die Impulsantwort des idealen Tiefpasses $h(t)$ = $Δf · {\rm sinc}(Δf · t).$<br />
<br />
==Spalttiefpass==<br />
{{Definition}}<br />
Man bezeichnet ein LZI–System als Spalttiefpass, wenn der Frequenzgang die folgende Form hat:<br />
$$H(f) = {\rm si}(\pi \frac{f}{ \Delta f})\hspace{0.7cm}{\rm{mit}}\hspace{0.7cm}{\rm si}(x) =\frac{\sin(x)}{x}.$$<br />
{{end}}<br />
<br />
<br />
Aus der linken Grafik ist zu erkennen, dass der Frequenzgang $H_{\rm STP}(f)$ des Spalttiefpasses formgleich mit der Impulsantwort $h_{\rm KTP}(t)$ des Küpfmüllertiefpasses ist. <br />
<br />
[[Datei:P_ID844__LZI_T_1_3_S3_neu.png | Spalttiefpass und zugehörige Impulsantwort|class=fit]]<br />
<br />
Nach dem Vertauschungssatz muss deshalb auch die Impulsantwort $h_{\rm STP}(t)$ des Spalttiefpasses die gleiche Form wie der Frequenzgang $H_{\rm KTP}(f)$ des idealen Tiefpasses aufweisen. Mit $Δt$ = 1/ $Δf$ gilt somit:<br />
$$h(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}\Delta f \\ \Delta f/2 \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.005cm} t\hspace{0.05cm} \right| < \Delta t/2,} \\ {\left| \hspace{0.005cm}t\hspace{0.05cm} \right| = \Delta t/2,} \\ {\left|\hspace{0.005cm} t \hspace{0.05cm} \right| > \Delta t/2.} \\<br />
\end{array}$$<br />
Anhand obiger Grafik sind folgende Aussagen ableitbar: <br />
*Auch der Spalttiefpass ist in dieser Form akausal. Durch eine zusätzliche Laufzeit von $Δt/2$ wird das System jedoch kausal und damit realisierbar. <br />
*Der Spalttiefpass wirkt als Integrator über die Zeitdauer $Δt$: <br />
$$y(t) = x (t) * h (t) = \frac{1}{\Delta t} \cdot \int\limits_{ t - \Delta t/2 }^{ t + \Delta t/2 } {x ( \tau )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$<br />
*Ist $x(t)$ eine harmonische Schwingung mit der Frequenz $f_0$ = $k · Δf$ ( $k$ ganzzahlig), so wird genau über $k$ Perioden integriert und es gilt $y(t)$ = 0. Dies zeigen auch die Nullstellen von $H(f)$. <br />
<br />
==Gauß–Tiefpass==<br />
Eine häufig für systemtheoretische Untersuchungen verwendete Filterfunktion ist der Gaußtiefpass, der ebenfalls durch nur einen Parameter, nämlich die äquivalente Bandbreite $Δf$, beschreibbar ist.<br />
{{Definition}}<br />
Für den Frequenzgang und die Impulsantwort des Gaußtiefpasses gelten:<br />
$$H(f) = {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f)^2}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, h(t) = \Delta f \cdot {\rm e}^{-\pi(\Delta f \cdot \hspace{0.03cm} t)^2} .$$<br />
{{end}}<br />
<br />
<br />
Der Name geht auf den Mathematiker, Physiker und Astronomen Carl-Friedrich Gauß zurück. Gauß hat sich zwar nicht selber mit dieser Thematik auseinandergesetzt, aber die mathematische Form von Frequenzgang und Impulsantwort weisen eine Ähnlichkeit mit der so genannten Gaußformel auf, die er für die Wahrscheinlichkeitsrechnung gefunden hat.<br />
<br />
[[Datei:P_ID845__LZI_T_1_3_S4_neu.png | Gaußtiefpass und zugehörige Impulsantwort|class=fit]]<br />
<br />
Anhand obiger Grafik können folgende Aussagen getroffen werden:<br />
*Die ebenfalls über das flächengleiche Rechteck definierte äquivalente Impulsdauer $Δt$ ist gleich dem Kehrwert der äquivalenten Bandbreite $Δf$. <br />
*Eine schmalbandige Filterfunktion (kleines $Δf$) führt zu einer breiten (großes $Δt$) und gleichzeitig niedrigen Impulsantwort $h(t)$. Das Reziprozitätsgesetz von Zeitdauer und Bandbreite lässt sich am Beispiel des Gaußtiefpasses besonders anschaulich zeigen. <br />
*Die Frequenz– und Zeitbereichsdarstellungen sind prinzipiell von gleicher Form. Man sagt auch, dass die Gaußfunktion invariant gegenüber der Fouriertransformation ist. <br />
*Aufgrund der unendlichen Ausbreitung seiner Impulsantwort ist der Gaußtiefpass ebenso wie der ideale Tiefpass stark akausal und (exakt) nur mit unendlich großer Laufzeit realisierbar. <br />
*Allerdings ist zu berücksichtigen, dass $h(t)$ bereits bei $t$ = 1.5 · $Δt$ auf 0.1% seines Maximalwertes abgeklungen ist. Für $t$ = 3 · $Δt$ ergibt sich sogar $h(t) ≈ 5 · 10^{–13} · h(0)$. <br />
*Diese Zahlenwerte machen deutlich, dass man den Gaußtiefpass durchaus auch für praxisnahe Simulationen heranziehen kann, solange Laufzeiten keine systembegrenzende Rolle spielen. <br />
*Die Sprungantwort $σ(t)$ lautet mit der Gaußschen Fehlerfunktion $ϕ(x)$, die in Formelsammlungen meist tabellarisch angegeben wird: <br />
$$\sigma(t) = \int\limits_{ -\infty }^{ t } {h(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau = {\rm \phi}\left( \sqrt{2 \pi }\frac{t}{\Delta t} \right) \hspace{0.7cm}{\rm{mit}}\hspace{0.7cm}{\rm \phi}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \cdot \int\limits_{ -\infty }^{ x } {{\rm e}^{-u^2/2}} \hspace{0.1cm}{\rm d}u.$$<br />
<br />
==Trapeztiefpass (1)==<br />
Die bisher in diesem Kapitel beschriebenen Tiefpassfunktionen hängen nur von einem Parameter – der äquivalenten Bandbreite $Δf$ – ab. Dabei war die Flankensteilheit für einen gegebenen Filtertyp fest vorgegeben. Nun wird ein Tiefpass beschrieben, bei dem auch die Flankensteilheit parametrisierbar ist.<br />
{{Definition}}<br />
Der Frequenzgang des Trapeztiefpasses lautet mit den Eckfrequenzen $f_1$ und $f_2$ ≥ $f_1$:<br />
$$H(f) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}1 \\ \frac{f_2 -|f|}{f_2 -f_1} \\<br />
\hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad<br />
\begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}}<br />
\\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}<br />
{\hspace{0.94cm}\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| < f_1,} \\<br />
{f_1 \le \left| \hspace{0.005cm}f\hspace{0.05cm} \right| \le f_2,} \\<br />
{\hspace{0.94cm}\left|\hspace{0.005cm} f \hspace{0.05cm} \right| > f_2.} \\<br />
\end{array}$$<br />
{{end}}<br />
<br />
<br />
Anstelle von $f_1$ und $f_2$ kann man zur Beschreibung von $H(f)$ auch folgende Parameter verwenden: <br />
*die äquivalente Bandbreite, ermittelt über das flächengleiche Rechteck:<br />
$$\Delta f = f_1 + f_2.$$<br />
*der Rolloff-Faktor (im Frequenzbereich) als Maß für die Flankensteilheit:<br />
$$r_f = \frac{f_2 - f_1}{f_2 + f_1}.$$<br />
Als Sonderfälle sind in der allgemeinen Darstellung der ideale rechteckförmige Tiefpass $(r_f = 0)$ sowie der Dreiecktiefpass $(r_f = 1)$ enthalten. Die nachfolgende Grafik zeigt $H(f)$ sowie die Impulsantwort <br />
$$h(t) = \Delta f \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t )\cdot {\rm si}(\pi \cdot r_f \cdot \Delta f \cdot t )\hspace{0.7cm}{\rm{mit}}\hspace{0.7cm}{\rm si}(x) = \frac{\sin(x)}{x},$$<br />
wobei der Rolloff–Faktor $r_f$ = 0.5 (d. h. $f_2 = 3f_1)$ zugrunde liegt. Der si–Verlauf des rechteckförmigen Tiefpasses mit gleicher äquivalenter Bandbreite ist zum Vergleich gestrichelt eingezeichnet.<br />
<br />
[[Datei:P_ID846__LZI_T_1_3_S5_neu.png | Trapeztiefpass und zugehörige Impulsantwort|class=fit]]<br />
<br />
<br />
''Hinweis:'' Die Interpretation dieser Grafik folgt im nächsten Abschnitt.<br />
<br />
==Trapeztiefpass (2)==<br />
<br />
Die obenstehende Grafik sowie Gleichungen erlauben folgende Aussagen: <br />
*Die Trapezform entsteht z. B. durch die Faltung zweier Rechtecke der Breiten $Δf$ und $r_f Δf$. <br />
*Entsprechend dem Faltungssatz ist somit die Impulsantwort das Produkt zweier si–Funktionen mit den Argumenten $π · Δf · t$ und $π · rf · Δf · t$. <br />
*Die erste si–Funktion ist für alle Werte von $r_f$ Bestandteil der Gleichung für $h(t)$ und führt stets zu äquivalenten Nulldurchgängen im Abstand $1/Δf$. <br />
*Für 0 < $r_f$ < 1 gibt es weitere Nullstellen bei Vielfachen von $Δt/r_f$. <br />
*Der asymptotische Abfall der Impulsantwort $h(t)$ erfolgt um so schneller, je größer $r_f$ ist, d. h. bei gegebenem $Δf$ mit flacherer Flanke. Der schnellstmögliche Abfall ergibt sich beim Dreiecktiefpass ⇒ $r_f$ = 1, $f_1$ = 0, $f_2$ = $Δf$. Für diesen gilt im Frequenz– und Zeitbereich:<br />
$$H(f) = \left\{ \begin{array}{c} \hspace{0.25cm} \frac{{\rm \Delta}f -|f|}{{\rm \Delta}f} \\<br />
\hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad<br />
\begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}}<br />
\\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}<br />
{\hspace{1cm} \left| \hspace{0.005cm}f\hspace{0.05cm} \right| \le {\rm \Delta}f ,} \\<br />
{\hspace{1cm}\left|\hspace{0.005cm} f \hspace{0.05cm} \right| \ge {\rm \Delta}f ,} \\<br />
\end{array}$$<br />
$$h(t) = \Delta f \cdot {\rm si}^2(\pi \cdot \Delta f \cdot t )\hspace{0.4cm}{\rm{mit}}\hspace{0.4cm}{\rm si}(x) = \frac{\sin(x)}{x}.$$<br />
<br />
[[Datei:P_ID847__LZI_T_1_3_S5_neu.png | Trapeztiefpass und zugehörige Impulsantwort|class=fit]]<br />
<br />
==Cosinus-Rolloff-Tiefpass (1)==<br />
Ebenso wie der Trapeztiefpass wird dieser Tiefpass durch zwei Parameter beschrieben, nämlich durch die äquivalente Bandbreite $Δf$ und den Rolloff–Faktor $r_f$. Dessen Wertebereich liegt zwischen $r_f$ = 0 (Rechtecktiefpass) und $r_f$ = 1 (Cosinus–Quadrat–Tiefpass).<br />
{{Definition}}<br />
Der Frequenzgang des Cosinus–Rolloff–Tiefpasses lautet mit den zwei Eckfrequenzen $f_1$ = $Δf · (1 – r_f)$ und $f_2$ = $Δf · (1 + r_f)$:<br />
$$H(f) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}1 \\ \cos \left( \frac{|f|- f_1}{f_2 -f_1}\frac{\pi}{2}\right) \\<br />
\hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad<br />
\begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}}<br />
\\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}<br />
{\hspace{0.94cm}\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| < f_1,} \\<br />
{f_1 \le \left| \hspace{0.005cm}f\hspace{0.05cm} \right| \le f_2,} \\<br />
{\hspace{0.94cm}\left|\hspace{0.005cm} f \hspace{0.05cm} \right| > f_2.} \\<br />
\end{array}$$<br />
{{end}}<br />
<br />
<br />
Die nachfolgende Grafik zeigt $H(f)$ sowie die Impulsantwort<br />
$$h(t) = \Delta f \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t )\cdot<br />
\frac {\cos(\pi \cdot r_f \cdot \Delta f \cdot t )}{1 - (2 \cdot<br />
r_f \cdot \Delta f \cdot t)^2}.$$<br />
<br />
[[Datei:P_ID848__LZI_T_1_3_S6_neu.png| Cosinus–Rolloff–Tiefpass und zugehörige Impulsantwort|class=fit]]<br />
<br />
Für diese Grafiken wurde der Rolloff–Faktor $r_f$ = 0.5 verwendet, das heißt, es gilt $f_2$ = 3 · $f_1$. Gestrichelt sind zum Vergleich <br />
*im Frequenzbereich der Trapeztiefpass und <br />
*im Zeitbereich die si–Funktion <br />
<br />
<br />
eingezeichnet. Es ist zu beachten, dass die si-Funktion nicht die Fourierrücktransformierte des links blau eingezeichneten Trapeztiefpasses ist. Sie beschreibt vielmehr den idealen, rechteckförmigen Tiefpass im Zeitbereich.<br />
<br />
''Hinweis:'' Die Interpretation dieser Grafik folgt nachfolgend.<br />
<br />
==Cosinus-Rolloff-Tiefpass (2)==<br />
Anhand der oben gezeigten Grafik (Cosinus–Rolloff–Tiefpass und zugehörige Impulsantwort) und den obigen Gleichungen sind folgende Aussagen möglich: <br />
*Die Impulsantwort $h(t)$ hat bei allen Vielfachen von $Δt = 1/Δf$ Nullstellen, die auf die im rechten Bild gestrichelt eingezeichnete si–Funktion zurückzuführen sind. <br />
*Der letzte Term in der $h(t)$ –Gleichung führt zu weiteren Nullstellen bei Vielfachen von $Δt/r_f$. Ist $1/r_f$ ganzzahlig wie in obiger Grafik $(1/r_f$ = 2), so fallen diese mit den anderen Nullstellen zusammen. <br />
*Je größer der Rolloff-Faktor $r_f$ ist und je flacher damit der Flankenabfall erfolgt, desto günstiger ist im Allgemeinen das Einschwingverhalten des Cosinus-Rolloff-Tiefpasses. <br />
*Der Cosinus–Rolloff–Tiefpass zeigt meist ein besseres asymptotisches Einschwingverhalten als der Trapeztiefpass mit gleichem $r_f$, obwohl dieser zumindest bei $Δf/2$ eine flachere Flanke aufweist. <br />
*Dies lässt darauf schließen, dass das Einschwingverhalten nicht nur durch Unstetigkeitsstellen (wie beim Rechteck), sondern auch durch Knickpunkte wie beim Trapeztiefpass beeinträchtigt wird. <br />
*Als Sonderfall ergibt sich mit $f_1$ = 0, $f_2$ = $Δf$ ⇒ $r_f$ = 1 der Cosinus–Quadrat–Tiefpass, dessen Impulsantwort auch wie folgt dargestellt werden kann:<br />
$$h(t) = \frac{1}{ \Delta t}\cdot{\rm si}(\pi \frac{t}{ \Delta t})<br />
\cdot \left[ {\rm si}(\pi \frac{t}{ \Delta t} + 0.5) - {\rm<br />
si}(\pi \frac{t}{ \Delta t} - 0.5) \right].$$<br />
*Diese Funktion hat Nullstellen bei $t/Δt$ = ±1, ±1.5, ±2, ±2.5 usw., nicht jedoch bei $t/Δt$ = ±0.5. Im Buch „Digitalsignalübertragung” wird gezeigt, dass der Cosinus–Quadrat–Tiefpass als einziger Tiefpass die beiden so genannten Nyquistkriterien erfüllt.<br />
<br />
==Herleitung systemtheoretischer Hochpassfunktionen==<br />
In diesem Kapitel wurden fünf häufig verwendete systemtheoretische Tiefpassfunktionen betrachtet. Für jede einzelne Tiefpassfunktion lässt sich auch eine äquivalente Hochpassfunktion angeben.<br />
{{Definition}}<br />
Ist $H_{\rm TP}(f)$ eine systemtheoretische Tiefpassfunktion mit $H_{\rm TP}(f = 0)$ = 1, so gilt für die äquivalente Hochpassfunktion:<br />
$$H_{\rm HP}(f) = 1 - H_{\rm TP}(f).$$<br />
{{end}}<br />
<br />
<br />
Damit lauten die Beschreibungsgrößen im Zeitbereich:<br />
$$ \begin{align*} h_{\rm HP}(t) & = \delta (t) - h_{\rm TP}(t),\\<br />
\sigma_{\rm HP}(t) & = \gamma (t) - \sigma_{\rm TP}(t). \end{align*} $$<br />
Hierbei bezeichnen: <br />
*$h_{\rm HP}(t)$ und $h_{\rm TP}(t)$ die Impulsantworten von Hoch– und Tiefpass, <br />
*$σ_{\rm HP}(t)$ und $σ_{\rm TP}(t)$ die dazugehörigen Sprungfunktionen, <br />
*$γ(t)$ die Sprungfunktion als Ergebnis der Integration über die Diracfunktion $δ(t)$. <br />
<br />
<br />
{{Beispiel}}<br />
Wir betrachten den Spalttiefpass, der sich durch einen si–förmigen Frequenzgang, eine rechteckförmige Impulsantwort und eine linear ansteigende Sprungantwort auszeichnet. Diese sind in der nachfolgenden Grafik dargestellt. <br />
<br />
[[Datei: P_ID851__LZI_T_1_3_S7_neu.png | Konstruktion von Hochpassfunktionen aus den entsprechenden Tiefpässen|class=fit]]<br />
<br />
Die untere Skizze zeigt die entsprechenden Hochpassfunktionen. Man erkennt, dass <br />
*$H_{\rm HP}(f = 0)$ immer den Wert 0 besitzt, wenn $H_{\rm TP}(f = 0)$ = 1 ist, <br />
*demzufolge das Integral über $h_{\rm HP}(t)$ ebenfalls 0 ergeben muss und <br />
*auch die Sprungantwort $σ_{\rm HP}(t)$ gegen den Endwert 0 tendiert.<br />
{{end}}<br />
<br />
==Aufgaben==<br />
[[Aufgaben:1.5 Küpfmüller-Tiefpass]]<br />
<br />
[[Zusatzaufgaben:1.5 si-förmige Impulsantwort]]<br />
<br />
[[Aufgaben:1.6 Rechteckige Impulsantwort]]<br />
<br />
[[Zusatzaufgaben:1.6 Interpretation von H(f)]]<br />
<br />
[[Aufgaben:1.7 Nahezu kausaler Gaußtiefpass]]<br />
<br />
[[Zusatzaufgaben:1.7 Systemanalyse]]<br />
<br />
<br />
{{Display}}</div>Christophhttps://www.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Aufgabe_1.7:_Nahezu_kausaler_Gau%C3%9Ftiefpass&diff=5875Aufgaben:Aufgabe 1.7: Nahezu kausaler Gaußtiefpass2016-08-05T15:28:03Z<p>Christoph: /* Musterlösung */</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen}}<br />
<br />
[[Datei:P_ID863__LZI_A_1_7.png|right|Nahezu kausaler Gaußtiefpass (Aufgabe A1.7)]] Messungen haben ergeben, dass ein LZI–System mit guter Näherung durch einen Gaußtiefpass angenähert werden kann, wenn man eine zusätzliche Laufzeit $τ$ berücksichtigt. Somit lautet der Frequenzgang:<br />
$$H(f) = {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f)^2} \cdot {\rm e}^{-{\rm<br />
j}2\pi f \tau}.$$<br />
Die beiden Systemparameter $Δt = 1/Δf$ und $τ$ können der in der Grafik dargestellten Impulsantwort $h(t)$ entnommen werden.<br />
<br />
Es ist offensichtlich, dass dieses Modell nicht exakt der Wirklichkeit entspricht, da die Impulsantwort $h(t)$ auch für $t <$ 0 nicht vollkommen verschwindet. In der Teilaufgabe c) wird deshalb nach dem maximalen relativen Fehler gefragt, der wie folgt definiert ist:<br />
$$\varepsilon_{\rm max} = \frac{\max_{t \hspace{0.02cm}<<br />
\hspace{0.1cm}0}|h(t)|}{h(t = \tau)}.$$<br />
In Worten: Der maximale relative Fehler $ε_{\rm max}$ ist gleich dem Maximalwert der Impulsantwort $h(t)$ bei negativen Zeiten, bezogen auf den maximalen Wert $h(t = τ)$ der Impulsantwort.<br />
<br />
'''Hinweis:''' Die Aufgabe bezieht sich auf die Seite [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Gau.C3.9F.E2.80.93Tiefpass|Gaußtiefpass]] im Kapitel 1.3. Zur Berechnung von Sprung– und Rechteckantwort können Sie das Gaußsche Fehlerintegral verwenden:<br />
$${\rm \phi}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \cdot<br />
\int\limits_{ -\infty }^{ x } {{\rm e}^{-u^2/2}} \hspace{0.1cm}{\rm d}u.$$<br />
<br />
<br />
[[Datei:P_ID864__LZI_A_1_7b.png | Werte der Gaußschen Fehlerfunktion (Aufgabe A1.7)]]<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Wie groß sind die äquivalente Bandbreite und die Laufzeit?<br />
|type="{}"}<br />
$\Delta f =$ { 8 } MHz<br />
$\tau =$ { 250 } ns<br />
<br />
<br />
{Es gelte $x(t) = 1 {\rm V} · \cos(2π · 6 {\rm MHz }· t)$. Wie lautet das Ausgangssignal $y(t)$? Welcher Signalwert ergibt sich zur Zeit $t =$ 0?<br />
|type="{}"}<br />
$y(t = 0) =$ { -0.175--0.165 } V<br />
<br />
<br />
{Eigentlich sollte bei Kausalität $h(t < 0) =$ 0 gelten. Wie groß ist der maximale relative Fehler des betrachteten Modells? Definition siehe Angabenseite.<br />
|type="{}"}<br />
$\epsilon_{\rm max} =$ { 3.49 5% } $\rm x 10^{-6}$<br />
<br />
<br />
{Berechnen Sie die (dimensionslose) Sprungantwort $σ(t)$. Welche Werte ergeben sich zu den Zeiten $t =$ 250 ns und $t =$ 300 ns?<br />
|type="{}"}<br />
$σ(t = 250 \rm ns) =$ { 0.5 5% }<br />
$σ(t = 300 \rm ns) =$ { 0.841 5% }<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
:'''a)''' Die äquivalente Bandbreite $Δf$ ist gleich $h(t = τ) \ \rm \underline{= \ 8 \ MHz}$. Dies ist gleichzeitig der Kehrwert der äquivalenten Impulsdauer $Δt =$ 125 ns. Auch die Phasenlaufzeit $τ \ \rm \underline{= \ 250 \ ns}$ kann direkt aus der Grafik abgelesen werden.<br />
<br />
<br />
:'''b)''' Ohne Berücksichtigung der Laufzeit ergäbe sich ein Cosinussignal mit der Amplitude<br />
$$A_y = 1\,{\rm V} \cdot {\rm e}^{-\pi({ {6\,\rm MHz} }/{ {8\,\rm MHz} })^2}= 0.171\,{\rm V}.$$<br />
:Die Laufzeit bewirkt eine Phasenverschiebung um $3π$:<br />
$$\begin{align*} y(t) & = A_y \cdot {\rm cos}(2\pi f_0 ( t - \tau) ) = A_y \cdot {\rm cos}(2\pi f_0 t - 2\pi \cdot {6\,\rm MHz}\cdot {250\,\rm ns} ) \\ & = A_y \cdot {\rm cos}(2\pi f_0 t - 3\pi ) = -A_y \cdot {\rm cos}(2\pi f_0 t ).\end{align*}$$<br />
:Der gesuchte Wert ist somit $y(t = 0) \ \rm \underline{= \ –0.171 \ V}$.<br />
<br />
<br />
:'''c)''' Die Impulsantwort lautet:<br />
$$h(t) = h_{\rm GTP}(t - \tau) =\Delta f \cdot {\rm e}^{-\pi(\frac{t - \tau}{\Delta t})^2} .$$<br />
:Da $h(t)$ im Bereich $t <$ 0 stetig zunimmt, tritt der Maximalwert (bei negativen Zeiten) etwa bei $t =$ 0 auf:<br />
$$h(t = 0) = \Delta f \cdot {\rm e}^{-\pi(\frac{ \tau}{\Delta t})^2}= \Delta f \cdot {\rm e}^{-4\pi} .$$<br />
:Mit $h(t = τ) = Δf$ erhält man so:<br />
$$\varepsilon_{\rm max}= {\rm e}^{-4\pi}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 3.49 \cdot 10^{-6}} .$$<br />
<br />
<br />
:'''d)''' Wir lassen vorerst die Phasenlaufzeit $τ$ des zweiten Systems außer Betracht und berechnen die Sprungantwort des Gaußtiefpasses:<br />
$$\sigma_{\rm GTP}(t) = \frac{1}{\Delta t} \cdot \int\limits_{ -\infty }^{ t } {{\rm e}^{-\pi \left({t'}/{\Delta t}\right)^2}} \hspace{0.1cm}{\rm d}t'.$$<br />
:Nach der Substitution $t ' → u$ sowie mit dem Gaußschen Fehlerintegral $ϕ(x)$ erhält man<br />
$$\sigma_{\rm GTP}(t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi } } \cdot \int\limits_{ -\infty }^{ \sqrt{2\pi}\cdot\hspace{0.05cm} t / \Delta t } { {\rm e}^{-u^2/2} } \hspace{0.1cm}{\rm d}u = {\rm \phi}(\sqrt{2\pi}\cdot \frac{t}{\Delta t }),$$<br />
$${\rm nach\hspace{0.15cm} Substitution\hspace{-0.15cm}:}\hspace{0.3cm}u = \frac{\sqrt{2\pi}}{\Delta t} \cdot t' , \hspace{0.3cm}{\rm wobei} \hspace{0.15cm}\hspace{0.2cm}<br />
{\rm \phi}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \cdot<br />
\int\limits_{ -\infty }^{ x } {{\rm e}^{-u^2/2}} \hspace{0.1cm}{\rm d}u.$$<br />
:Unter Berücksichtigung der Laufzeit $τ$ erhält man für die gesamte Sprungantwort:<br />
$$\sigma(t) = \sigma_{\rm GTP}(t - \tau) = {\rm \phi}(\sqrt{2\pi}\cdot \frac{t - \tau}{\Delta t }).$$<br />
:Der Wert bei $t = τ =$ 250 ns ergibt sich zu $\ \rm \underline{ϕ(0) \ = \ 0.500}$. Entsprechend erhält man für $t =$ 300 ns:<br />
$$\sigma(t = {300\,\rm ns}) = \sigma_{\rm GTP}(t = {50\,\rm ns}) = {\rm \phi}(\sqrt{2\pi}\cdot \frac{ {50\,\rm ns} }{ {125\,\rm ns} })\approx {\rm \phi}(1)\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.841}.$$<br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^1.3 Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen^]]</div>Christophhttps://www.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Aufgabe_1.7:_Nahezu_kausaler_Gau%C3%9Ftiefpass&diff=5874Aufgaben:Aufgabe 1.7: Nahezu kausaler Gaußtiefpass2016-08-05T15:26:46Z<p>Christoph: /* Musterlösung */</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen}}<br />
<br />
[[Datei:P_ID863__LZI_A_1_7.png|right|Nahezu kausaler Gaußtiefpass (Aufgabe A1.7)]] Messungen haben ergeben, dass ein LZI–System mit guter Näherung durch einen Gaußtiefpass angenähert werden kann, wenn man eine zusätzliche Laufzeit $τ$ berücksichtigt. Somit lautet der Frequenzgang:<br />
$$H(f) = {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f)^2} \cdot {\rm e}^{-{\rm<br />
j}2\pi f \tau}.$$<br />
Die beiden Systemparameter $Δt = 1/Δf$ und $τ$ können der in der Grafik dargestellten Impulsantwort $h(t)$ entnommen werden.<br />
<br />
Es ist offensichtlich, dass dieses Modell nicht exakt der Wirklichkeit entspricht, da die Impulsantwort $h(t)$ auch für $t <$ 0 nicht vollkommen verschwindet. In der Teilaufgabe c) wird deshalb nach dem maximalen relativen Fehler gefragt, der wie folgt definiert ist:<br />
$$\varepsilon_{\rm max} = \frac{\max_{t \hspace{0.02cm}<<br />
\hspace{0.1cm}0}|h(t)|}{h(t = \tau)}.$$<br />
In Worten: Der maximale relative Fehler $ε_{\rm max}$ ist gleich dem Maximalwert der Impulsantwort $h(t)$ bei negativen Zeiten, bezogen auf den maximalen Wert $h(t = τ)$ der Impulsantwort.<br />
<br />
'''Hinweis:''' Die Aufgabe bezieht sich auf die Seite [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Gau.C3.9F.E2.80.93Tiefpass|Gaußtiefpass]] im Kapitel 1.3. Zur Berechnung von Sprung– und Rechteckantwort können Sie das Gaußsche Fehlerintegral verwenden:<br />
$${\rm \phi}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \cdot<br />
\int\limits_{ -\infty }^{ x } {{\rm e}^{-u^2/2}} \hspace{0.1cm}{\rm d}u.$$<br />
<br />
<br />
[[Datei:P_ID864__LZI_A_1_7b.png | Werte der Gaußschen Fehlerfunktion (Aufgabe A1.7)]]<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Wie groß sind die äquivalente Bandbreite und die Laufzeit?<br />
|type="{}"}<br />
$\Delta f =$ { 8 } MHz<br />
$\tau =$ { 250 } ns<br />
<br />
<br />
{Es gelte $x(t) = 1 {\rm V} · \cos(2π · 6 {\rm MHz }· t)$. Wie lautet das Ausgangssignal $y(t)$? Welcher Signalwert ergibt sich zur Zeit $t =$ 0?<br />
|type="{}"}<br />
$y(t = 0) =$ { -0.175--0.165 } V<br />
<br />
<br />
{Eigentlich sollte bei Kausalität $h(t < 0) =$ 0 gelten. Wie groß ist der maximale relative Fehler des betrachteten Modells? Definition siehe Angabenseite.<br />
|type="{}"}<br />
$\epsilon_{\rm max} =$ { 3.49 5% } $\rm x 10^{-6}$<br />
<br />
<br />
{Berechnen Sie die (dimensionslose) Sprungantwort $σ(t)$. Welche Werte ergeben sich zu den Zeiten $t =$ 250 ns und $t =$ 300 ns?<br />
|type="{}"}<br />
$σ(t = 250 \rm ns) =$ { 0.5 5% }<br />
$σ(t = 300 \rm ns) =$ { 0.841 5% }<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
:'''a)''' Die äquivalente Bandbreite $Δf$ ist gleich $h(t = τ) \ \rm \underline{= \ 8 \ MHz}$. Dies ist gleichzeitig der Kehrwert der äquivalenten Impulsdauer $Δt =$ 125 ns. Auch die Phasenlaufzeit $τ \ \rm \underline{= \ 250 \ ns}$ kann direkt aus der Grafik abgelesen werden.<br />
<br />
<br />
:'''b)''' Ohne Berücksichtigung der Laufzeit ergäbe sich ein Cosinussignal mit der Amplitude<br />
$$A_y = 1\,{\rm V} \cdot {\rm e}^{-\pi({ {6\,\rm MHz} }/{ {8\,\rm MHz} })^2}= 0.171\,{\rm V}.$$<br />
:Die Laufzeit bewirkt eine Phasenverschiebung um $3π$:<br />
$$\begin{align*} y(t) & = A_y \cdot {\rm cos}(2\pi f_0 ( t - \tau) ) = A_y \cdot {\rm cos}(2\pi f_0 t - 2\pi \cdot {6\,\rm MHz}\cdot {250\,\rm ns} ) \\ & = A_y \cdot {\rm cos}(2\pi f_0 t - 3\pi ) = -A_y \cdot {\rm cos}(2\pi f_0 t ).\end{align*}$$<br />
:Der gesuchte Wert ist somit $y(t = 0) \ \rm \underline{= \ –0.171 \ V}$.<br />
<br />
<br />
:'''c)''' Die Impulsantwort lautet:<br />
$$h(t) = h_{\rm GTP}(t - \tau) =\Delta f \cdot {\rm e}^{-\pi(\frac{t - \tau}{\Delta t})^2} .$$<br />
:Da $h(t)$ im Bereich $t <$ 0 stetig zunimmt, tritt der Maximalwert (bei negativen Zeiten) etwa bei $t =$ 0 auf:<br />
$$h(t = 0) = \Delta f \cdot {\rm e}^{-\pi(\frac{ \tau}{\Delta t})^2}= \Delta f \cdot {\rm e}^{-4\pi} .$$<br />
:Mit $h(t = τ) = Δf$ erhält man so:<br />
$$\varepsilon_{\rm max}= {\rm e}^{-4\pi}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 3.49 \cdot 10^{-6}} .$$<br />
<br />
<br />
:'''d)''' Wir lassen vorerst die Phasenlaufzeit $τ$ des zweiten Systems außer Betracht und berechnen die Sprungantwort des Gaußtiefpasses:<br />
$$\sigma_{\rm GTP}(t) = \frac{1}{\Delta t} \cdot \int\limits_{ -\infty }^{ t } {{\rm e}^{-\pi \left({t'}/{\Delta t}\right)^2}} \hspace{0.1cm}{\rm d}t'.$$<br />
:Nach der Substitution $t ' → u$ sowie mit dem Gaußschen Fehlerintegral $ϕ(x)$ erhält man<br />
$$\sigma_{\rm GTP}(t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi } } \cdot \int\limits_{ -\infty }^{ \sqrt{2\pi}\cdot\hspace{0.05cm} t / \Delta t } { {\rm e}^{-u^2/2} } \hspace{0.1cm}{\rm d}u = {\rm \phi}(\sqrt{2\pi}\cdot \frac{t}{\Delta t }),$$<br />
$${\rm nach\hspace{0.15cm} Substitution\hspace{-0.15cm}:}\hspace{0.3cm}u = \frac{\sqrt{2\pi}}{\Delta t} \cdot t' , \hspace{0.3cm}{\rm wobei} \hspace{0.15cm}\hspace{0.2cm}<br />
{\rm \phi}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \cdot<br />
\int\limits_{ -\infty }^{ x } {{\rm e}^{-u^2/2}} \hspace{0.1cm}{\rm d}u.$$<br />
:Unter Berücksichtigung der Laufzeit $τ$ erhält man für die gesamte Sprungantwort:<br />
$$\sigma(t) = \sigma_{\rm GTP}(t - \tau) = {\rm \phi}(\sqrt{2\pi}\cdot \frac{t - \tau}{\Delta t }).$$<br />
:Der Wert bei $t = τ =$ 250 ns ergibt sich zu $\ \rm \underline{ϕ(0) \ = \ 0.500}$. Entsprechend erhält man für $t =$ 300 ns:<br />
$$\sigma(t = {300\,\rm ns}) = \sigma_{\rm GTP}(t = {50\,\rm ns}) = {\rm \phi}(\sqrt{2\pi}\cdot \frac{{50\,\rm ns}}{{125\,\rm ns} })\approx {\rm \phi}(1)\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.841}.$$<br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^1.3 Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen^]]</div>Christophhttps://www.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Aufgabe_1.7:_Nahezu_kausaler_Gau%C3%9Ftiefpass&diff=5873Aufgaben:Aufgabe 1.7: Nahezu kausaler Gaußtiefpass2016-08-05T15:18:55Z<p>Christoph: /* Musterlösung */</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen}}<br />
<br />
[[Datei:P_ID863__LZI_A_1_7.png|right|Nahezu kausaler Gaußtiefpass (Aufgabe A1.7)]] Messungen haben ergeben, dass ein LZI–System mit guter Näherung durch einen Gaußtiefpass angenähert werden kann, wenn man eine zusätzliche Laufzeit $τ$ berücksichtigt. Somit lautet der Frequenzgang:<br />
$$H(f) = {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f)^2} \cdot {\rm e}^{-{\rm<br />
j}2\pi f \tau}.$$<br />
Die beiden Systemparameter $Δt = 1/Δf$ und $τ$ können der in der Grafik dargestellten Impulsantwort $h(t)$ entnommen werden.<br />
<br />
Es ist offensichtlich, dass dieses Modell nicht exakt der Wirklichkeit entspricht, da die Impulsantwort $h(t)$ auch für $t <$ 0 nicht vollkommen verschwindet. In der Teilaufgabe c) wird deshalb nach dem maximalen relativen Fehler gefragt, der wie folgt definiert ist:<br />
$$\varepsilon_{\rm max} = \frac{\max_{t \hspace{0.02cm}<<br />
\hspace{0.1cm}0}|h(t)|}{h(t = \tau)}.$$<br />
In Worten: Der maximale relative Fehler $ε_{\rm max}$ ist gleich dem Maximalwert der Impulsantwort $h(t)$ bei negativen Zeiten, bezogen auf den maximalen Wert $h(t = τ)$ der Impulsantwort.<br />
<br />
'''Hinweis:''' Die Aufgabe bezieht sich auf die Seite [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Gau.C3.9F.E2.80.93Tiefpass|Gaußtiefpass]] im Kapitel 1.3. Zur Berechnung von Sprung– und Rechteckantwort können Sie das Gaußsche Fehlerintegral verwenden:<br />
$${\rm \phi}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \cdot<br />
\int\limits_{ -\infty }^{ x } {{\rm e}^{-u^2/2}} \hspace{0.1cm}{\rm d}u.$$<br />
<br />
<br />
[[Datei:P_ID864__LZI_A_1_7b.png | Werte der Gaußschen Fehlerfunktion (Aufgabe A1.7)]]<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Wie groß sind die äquivalente Bandbreite und die Laufzeit?<br />
|type="{}"}<br />
$\Delta f =$ { 8 } MHz<br />
$\tau =$ { 250 } ns<br />
<br />
<br />
{Es gelte $x(t) = 1 {\rm V} · \cos(2π · 6 {\rm MHz }· t)$. Wie lautet das Ausgangssignal $y(t)$? Welcher Signalwert ergibt sich zur Zeit $t =$ 0?<br />
|type="{}"}<br />
$y(t = 0) =$ { -0.175--0.165 } V<br />
<br />
<br />
{Eigentlich sollte bei Kausalität $h(t < 0) =$ 0 gelten. Wie groß ist der maximale relative Fehler des betrachteten Modells? Definition siehe Angabenseite.<br />
|type="{}"}<br />
$\epsilon_{\rm max} =$ { 3.49 5% } $\rm x 10^{-6}$<br />
<br />
<br />
{Berechnen Sie die (dimensionslose) Sprungantwort $σ(t)$. Welche Werte ergeben sich zu den Zeiten $t =$ 250 ns und $t =$ 300 ns?<br />
|type="{}"}<br />
$σ(t = 250 \rm ns) =$ { 0.5 5% }<br />
$σ(t = 300 \rm ns) =$ { 0.841 5% }<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
:'''a)''' Die äquivalente Bandbreite $Δf$ ist gleich $h(t = τ) \ \rm \underline{= \ 8 \ MHz}$. Dies ist gleichzeitig der Kehrwert der äquivalenten Impulsdauer $Δt =$ 125 ns. Auch die Phasenlaufzeit $τ \ \rm \underline{= \ 250 \ ns}$ kann direkt aus der Grafik abgelesen werden.<br />
<br />
<br />
:'''b)''' Ohne Berücksichtigung der Laufzeit ergäbe sich ein Cosinussignal mit der Amplitude<br />
$$A_y = 1\,{\rm V} \cdot {\rm e}^{-\pi({ {6\,\rm MHz} }/{ {8\,\rm MHz} })^2}= 0.171\,{\rm V}.$$<br />
:Die Laufzeit bewirkt eine Phasenverschiebung um $3π$:<br />
$$\begin{align*} y(t) & = A_y \cdot {\rm cos}(2\pi f_0 ( t - \tau) ) = A_y \cdot {\rm cos}(2\pi f_0 t - 2\pi \cdot {6\,\rm MHz}\cdot {250\,\rm ns} ) \\ & = A_y \cdot {\rm cos}(2\pi f_0 t - 3\pi ) = -A_y \cdot {\rm cos}(2\pi f_0 t ).\end{align*}$$<br />
:Der gesuchte Wert ist somit $y(t = 0) \ \rm \underline{= \ –0.171 \ V}$.<br />
<br />
<br />
<br />
:'''c)'''<br />
:'''d)'''<br />
:'''e)'''<br />
:'''f)'''<br />
:'''g)'''<br />
{{ML-Fuß}}<br />
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<br />
[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^1.3 Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen^]]</div>Christophhttps://www.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Aufgabe_1.7:_Nahezu_kausaler_Gau%C3%9Ftiefpass&diff=5872Aufgaben:Aufgabe 1.7: Nahezu kausaler Gaußtiefpass2016-08-05T15:17:47Z<p>Christoph: /* Musterlösung */</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen}}<br />
<br />
[[Datei:P_ID863__LZI_A_1_7.png|right|Nahezu kausaler Gaußtiefpass (Aufgabe A1.7)]] Messungen haben ergeben, dass ein LZI–System mit guter Näherung durch einen Gaußtiefpass angenähert werden kann, wenn man eine zusätzliche Laufzeit $τ$ berücksichtigt. Somit lautet der Frequenzgang:<br />
$$H(f) = {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f)^2} \cdot {\rm e}^{-{\rm<br />
j}2\pi f \tau}.$$<br />
Die beiden Systemparameter $Δt = 1/Δf$ und $τ$ können der in der Grafik dargestellten Impulsantwort $h(t)$ entnommen werden.<br />
<br />
Es ist offensichtlich, dass dieses Modell nicht exakt der Wirklichkeit entspricht, da die Impulsantwort $h(t)$ auch für $t <$ 0 nicht vollkommen verschwindet. In der Teilaufgabe c) wird deshalb nach dem maximalen relativen Fehler gefragt, der wie folgt definiert ist:<br />
$$\varepsilon_{\rm max} = \frac{\max_{t \hspace{0.02cm}<<br />
\hspace{0.1cm}0}|h(t)|}{h(t = \tau)}.$$<br />
In Worten: Der maximale relative Fehler $ε_{\rm max}$ ist gleich dem Maximalwert der Impulsantwort $h(t)$ bei negativen Zeiten, bezogen auf den maximalen Wert $h(t = τ)$ der Impulsantwort.<br />
<br />
'''Hinweis:''' Die Aufgabe bezieht sich auf die Seite [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Gau.C3.9F.E2.80.93Tiefpass|Gaußtiefpass]] im Kapitel 1.3. Zur Berechnung von Sprung– und Rechteckantwort können Sie das Gaußsche Fehlerintegral verwenden:<br />
$${\rm \phi}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \cdot<br />
\int\limits_{ -\infty }^{ x } {{\rm e}^{-u^2/2}} \hspace{0.1cm}{\rm d}u.$$<br />
<br />
<br />
[[Datei:P_ID864__LZI_A_1_7b.png | Werte der Gaußschen Fehlerfunktion (Aufgabe A1.7)]]<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Wie groß sind die äquivalente Bandbreite und die Laufzeit?<br />
|type="{}"}<br />
$\Delta f =$ { 8 } MHz<br />
$\tau =$ { 250 } ns<br />
<br />
<br />
{Es gelte $x(t) = 1 {\rm V} · \cos(2π · 6 {\rm MHz }· t)$. Wie lautet das Ausgangssignal $y(t)$? Welcher Signalwert ergibt sich zur Zeit $t =$ 0?<br />
|type="{}"}<br />
$y(t = 0) =$ { -0.175--0.165 } V<br />
<br />
<br />
{Eigentlich sollte bei Kausalität $h(t < 0) =$ 0 gelten. Wie groß ist der maximale relative Fehler des betrachteten Modells? Definition siehe Angabenseite.<br />
|type="{}"}<br />
$\epsilon_{\rm max} =$ { 3.49 5% } $\rm x 10^{-6}$<br />
<br />
<br />
{Berechnen Sie die (dimensionslose) Sprungantwort $σ(t)$. Welche Werte ergeben sich zu den Zeiten $t =$ 250 ns und $t =$ 300 ns?<br />
|type="{}"}<br />
$σ(t = 250 \rm ns) =$ { 0.5 5% }<br />
$σ(t = 300 \rm ns) =$ { 0.841 5% }<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
:'''a)''' Die äquivalente Bandbreite $Δf$ ist gleich $h(t = τ) \ \rm \underline{= \ 8 \ MHz}$. Dies ist gleichzeitig der Kehrwert der äquivalenten Impulsdauer $Δt =$ 125 ns. Auch die Phasenlaufzeit $τ \ \rm \underline{= \ 250 \ ns}$ kann direkt aus der Grafik abgelesen werden.<br />
<br />
<br />
:'''b)''' Ohne Berücksichtigung der Laufzeit ergäbe sich ein Cosinussignal mit der Amplitude<br />
$$A_y = 1\,{\rm V} \cdot {\rm e}^{-\pi({{6\,\rm MHz}}/{{8\,\rm MHz}})^2}= 0.171\,{\rm V}.$$<br />
Die Laufzeit bewirkt eine Phasenverschiebung um $3π$:<br />
$$\begin{align*} y(t) & = A_y \cdot {\rm cos}(2\pi f_0 ( t - \tau) ) = A_y \cdot {\rm cos}(2\pi f_0 t - 2\pi \cdot {6\,\rm MHz}\cdot {250\,\rm ns} ) \\ & = A_y \cdot {\rm cos}(2\pi f_0 t - 3\pi ) = -A_y \cdot {\rm cos}(2\pi f_0 t ).\end{align*}$$<br />
Der gesuchte Wert ist somit $y(t = 0) \ \rm \underline{= \ –0.171 \ V}$.<br />
<br />
<br />
<br />
:'''c)'''<br />
:'''d)'''<br />
:'''e)'''<br />
:'''f)'''<br />
:'''g)'''<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^1.3 Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen^]]</div>Christophhttps://www.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Aufgabe_1.7:_Nahezu_kausaler_Gau%C3%9Ftiefpass&diff=5870Aufgaben:Aufgabe 1.7: Nahezu kausaler Gaußtiefpass2016-08-04T14:36:28Z<p>Christoph: </p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen}}<br />
<br />
[[Datei:P_ID863__LZI_A_1_7.png|right|Nahezu kausaler Gaußtiefpass (Aufgabe A1.7)]] Messungen haben ergeben, dass ein LZI–System mit guter Näherung durch einen Gaußtiefpass angenähert werden kann, wenn man eine zusätzliche Laufzeit $τ$ berücksichtigt. Somit lautet der Frequenzgang:<br />
$$H(f) = {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f)^2} \cdot {\rm e}^{-{\rm<br />
j}2\pi f \tau}.$$<br />
Die beiden Systemparameter $Δt = 1/Δf$ und $τ$ können der in der Grafik dargestellten Impulsantwort $h(t)$ entnommen werden.<br />
<br />
Es ist offensichtlich, dass dieses Modell nicht exakt der Wirklichkeit entspricht, da die Impulsantwort $h(t)$ auch für $t <$ 0 nicht vollkommen verschwindet. In der Teilaufgabe c) wird deshalb nach dem maximalen relativen Fehler gefragt, der wie folgt definiert ist:<br />
$$\varepsilon_{\rm max} = \frac{\max_{t \hspace{0.02cm}<<br />
\hspace{0.1cm}0}|h(t)|}{h(t = \tau)}.$$<br />
In Worten: Der maximale relative Fehler $ε_{\rm max}$ ist gleich dem Maximalwert der Impulsantwort $h(t)$ bei negativen Zeiten, bezogen auf den maximalen Wert $h(t = τ)$ der Impulsantwort.<br />
<br />
'''Hinweis:''' Die Aufgabe bezieht sich auf die Seite [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Gau.C3.9F.E2.80.93Tiefpass|Gaußtiefpass]] im Kapitel 1.3. Zur Berechnung von Sprung– und Rechteckantwort können Sie das Gaußsche Fehlerintegral verwenden:<br />
$${\rm \phi}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \cdot<br />
\int\limits_{ -\infty }^{ x } {{\rm e}^{-u^2/2}} \hspace{0.1cm}{\rm d}u.$$<br />
<br />
<br />
[[Datei:P_ID864__LZI_A_1_7b.png | Werte der Gaußschen Fehlerfunktion (Aufgabe A1.7)]]<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Wie groß sind die äquivalente Bandbreite und die Laufzeit?<br />
|type="{}"}<br />
$\Delta f =$ { 8 } MHz<br />
$\tau =$ { 250 } ns<br />
<br />
<br />
{Es gelte $x(t) = 1 {\rm V} · \cos(2π · 6 {\rm MHz }· t)$. Wie lautet das Ausgangssignal $y(t)$? Welcher Signalwert ergibt sich zur Zeit $t =$ 0?<br />
|type="{}"}<br />
$y(t = 0) =$ { -0.175--0.165 } V<br />
<br />
<br />
{Eigentlich sollte bei Kausalität $h(t < 0) =$ 0 gelten. Wie groß ist der maximale relative Fehler des betrachteten Modells? Definition siehe Angabenseite.<br />
|type="{}"}<br />
$\epsilon_{\rm max} =$ { 3.49 5% } $\rm x 10^{-6}$<br />
<br />
<br />
{Berechnen Sie die (dimensionslose) Sprungantwort $σ(t)$. Welche Werte ergeben sich zu den Zeiten $t =$ 250 ns und $t =$ 300 ns?<br />
|type="{}"}<br />
$σ(t = 250 \rm ns) =$ { 0.5 5% }<br />
$σ(t = 300 \rm ns) =$ { 0.841 5% }<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
:'''a)'''<br />
:'''b)'''<br />
:'''c)'''<br />
:'''d)'''<br />
:'''e)'''<br />
:'''f)'''<br />
:'''g)'''<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^1.3 Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen^]]</div>Christophhttps://www.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Aufgabe_1.6Z:_Interpretation_der_%C3%9Cbertragungsfunktion&diff=5869Aufgaben:Aufgabe 1.6Z: Interpretation der Übertragungsfunktion2016-08-04T14:36:14Z<p>Christoph: </p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen}}<br />
<br />
[[Datei:P_ID862__LZI_Z_1_6.png|right|Impulsantwort und Eingangssignale (Aufgabe Z1.6)]] Mit dieser Aufgabe soll der Einfluss eines Tiefpasses $H(f)$ auf cosinusförmige Signale der Form<br />
$$x_i(t) = A_x \cdot {\rm cos}(2\pi f_i t )$$<br />
veranschaulicht werden. In der Grafik sehen Sie die Signale $x_i(t)$, wobei der Index $i$ die Frequenz in kHz angibt. So beschreibt $x_2(t)$ ein 2 kHz–Signal.<br />
<br />
Die Signalamplitude beträgt jeweils $A_x =$ 1 V. Das Gleichsignal $x_0(t)$ ist als Grenzfall eines Cosinussignals mit der Frequenz $f_0 =$ 0 zu interpretieren.<br />
<br />
Die obere Skizze zeigt die rechteckige Impulsantwort $h(t)$ des Tiefpasses. Der dazugehörige Frequenzgang lautet:<br />
$$H(f) = {\rm si}(\pi \frac{f}{ {\rm \Delta}f}) .$$<br />
Aufgrund der Linearität und der Tatsache, dass $H(f)$ reell und gerade ist, sind die Ausgangssignale ebenfalls cosinusförmig:<br />
$$y_i(t) = A_i \cdot {\rm cos}(2\pi f_i t ) .$$<br />
Gesucht werden die Signalamplituden $A_i$ am Ausgang für die verschiedenen Eingangsfrequenzen $f_i$, wobei die Lösung ausschließlich im Zeitbereich gefunden werden soll. Dieser etwas umständliche Lösungsweg soll dazu dienen, den Zusammenhang zwischen Zeit– und Frquenzbereich deutlich zu machen.<br />
<br />
'''Hinweis:''' Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen|Kapitel 1.3]]. Entgegen der sonst üblichen Definition einer Amplitude können die $„A_i”$ durchaus negativ sein. Dies entspricht dann der Funktion „Minus-Cosinus”.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Welcher Tiefpass liegt hier vor?<br />
|type="[]"}<br />
- Idealer Tiefpass.<br />
+ Spalttiefpass.<br />
- Gaußtiefpass.<br />
<br />
<br />
{Geben Sie die äquivalente Bandbreite von $H(f)$ an.<br />
|type="{}"}<br />
$\Delta f =$ { 2 } kHz<br />
<br />
<br />
{Berechnen Sie allgemein die Amplitude $A_i$ in Abhängigkeit von $x_i(t)$ und $h(t)$. Welche der nachfolgenden Punkte sind bei der Berechnung zu berücksichtigen?<br />
|type="[]"}<br />
+ Beim Cosinussignal gilt $A_i = y_i(t = 0)$.<br />
- Es gilt $y_i(t) = x_i(t) · h(t)$.<br />
+ Es gilt $y_i(t) = x_i(t) ∗ h(t)$.<br />
<br />
<br />
{Welche der nachfolgenden Ergebnisse treffen für $A_0, A_2$ und $A_4$ zu?<br />
|type="[]"}<br />
- $A_0 =$ 0.<br />
+ $A_0 =$ 1 V.<br />
+ $A_2 =$ 0.<br />
- $A_2 =$ 1 V.<br />
+ $A_4 =$ 0.<br />
- $A_4 =$ 1 V.<br />
<br />
<br />
{Berechnen Sie die Amplituden $A_1$ und $A_3$ für ein 1 kHz- bzw. 3 kHz-Signal. Interpretieren Sie die Ergebnisse anhand der Spektralfunktion.<br />
|type="{}"}<br />
$A_1 =$ { 0.637 5% } V<br />
$A_3 =$ { -0.215--0.205 } V<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
:'''a)''' Es handelt sich um einen $\rm \underline{Spalttiefpass}$.<br />
<br />
<br />
:'''b)''' Die (äquivalente) Zeitdauer der Impulsantwort ist $Δt =$ 0.5 ms. Die äquivalente Bandbreite ist gleich dem Kehrwert $Δf = 1/Δt \ \rm \underline{= \ 2 kHz}$.<br />
<br />
<br />
:'''c)''' Da $y_i(t)$ cosinusförmig ist, ist die Amplitude gleich dem Signalwert bei $t =$ 0. Das Ausgangssignal soll hier über die Faltung berechnet werden:<br />
$$A_i = y_i (t=0) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {x_i ( \tau )} \cdot h ( {0 - \tau } ) \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$<br />
:Berücksichtigt man die Symmetrie und die zeitliche Begrenzung von $h(t)$, so kommt man zum Ergebnis:<br />
$$A_i = \frac{A_x}{\Delta t} \cdot \int\limits_{ - \Delta t /2 }^{ + \Delta t /2 } {\rm cos}(2\pi f_i \tau )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$<br />
:Richtig sind also die $\rm \underline{\ Lösungsvorschläge \ 1 \ und \ 3}$.<br />
<br />
<br />
:'''d)''' Beim Gleichsignal $x_0(t) = A_x$ ist $f_i =$ 0 zu setzen und man erhält $A_0 = A_x \ \rm \underline{ = \ 1 \ V}$.<br />
:Dagegen verschwindet bei den Cosinusfrequenzen $f_2 =$ 2 kHz und $f_4 =$ 4 kHz jeweils das Integral, da dann genau über eine bzw. zwei Periodendauern zu integrieren ist: $A_2 \ \rm \underline{ = \ 0}$ und $A_4 \ \rm \underline{ = \ 0}$.<br />
:Im Frequenzbereich entsprechen die hier behandelten Fälle:<br />
$$H(f=0) = 1, \hspace{0.3cm}H(f=\Delta f) = 0, \hspace{0.3cm}H(f=2\Delta f) = 0.$$<br />
<br />
<br />
:'''e)''' Das Ergebnis von c) lautet unter Berücksichtigung der Symmetrie für $f_i = f_1$:<br />
$$A_1= \frac{2A_x}{\Delta t} \cdot \int\limits_{ 0 }^{ \Delta t /2 } {\rm cos}(2\pi f_1 \tau )\hspace{0.1cm}{\rm<br />
d}\tau = \frac{2A_x}{2\pi f_1 \cdot \Delta t} \cdot {\rm sin}(2\pi f_1 \frac{\Delta t}{2}<br />
)= A_x \cdot {\rm si}(\pi f_1 \Delta t ).$$<br />
:Mit $f_1 · Δt =$ 0.5 lautet somit das Ergebnis:<br />
$$A_1 = A_x \cdot {\rm si}(\frac{\pi}{2} ) = \frac{2A_x}{\pi} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.637\,{\rm V}}.$$<br />
:Entsprechend erhält man mit $f_3 · Δt =$ 1.5:<br />
$$A_3 = A_x \cdot {\rm si}(\frac{3\pi}{2} ) = -\frac{2A_x}{3\pi} = -\frac{A_1}{3}\hspace{0.15cm}\underline{= -0.212\,{\rm V}}.$$<br />
:Genau zu den gleichen Ergebnissen – aber deutlich schneller – kommt man durch die Anwendung der Gleichung $A_i = A_x · H(f = f_i)$.<br />
<br />
:Bereits aus den Grafiken auf der Angabenseite erkennt man, dass das Integral über $x_1(t)$ im markierten Bereich positiv und das Integral über $x_3(t)$ negativ ist. Es ist allerdings anzumerken, dass man im Allgemeinen als Amplitude meist den Betrag bezeichnet (siehe Hinweis auf der Angabenseite).<br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^1.3 Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen^]]</div>Christophhttps://www.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Aufgabe_1.6:_Rechteckf%C3%B6rmige_Impulsantwort&diff=5868Aufgaben:Aufgabe 1.6: Rechteckförmige Impulsantwort2016-08-04T14:35:58Z<p>Christoph: </p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen}}<br />
<br />
[[Datei:P_ID858__LZI_A_1_6.png|right|Rechteckförmige Impulsantwort, akausal und kausal (Aufgabe A1.6)]]<br />
Wir betrachten im Folgenden die in der Grafik gezeigte Konstellation. Der Frequenzgang $H(f) = H_1(f) · H_2(f)$ im unteren Zweig ist durch die Impulsantworten seiner beiden Teilkomponenten festgelegt. Hierbei ist $h_1(t)$ im Bereich von –1 ms bis 1 ms konstant gleich $k$ und außerhalb 0; an den Bereichsgrenzen gilt jeweils der halbe Wert. Die im Bild eingezeichnete Zeitvariable ist somit $Δt =$ 2 ms.<br />
<br />
<br />
Die Impulsantwort der zweiten Systemfunktion $H_2(f)$ lautet:<br />
$$h_2(t) = \delta(t - \tau).$$<br />
Der Frequenzgang zwischen den Signalen $x(t)$ und $z(t)$ hat Hochpass–Charakter und lautet allgemein:<br />
$$H_{\rm HP}(f) = 1 - H_1(f) \cdot {\rm e}^{-{\rm j2 \pi}f \tau}.$$<br />
Für die Teilaufgaben a) bis d) gelte $τ =$ 0 und damit $H(f) = H_1(f)$. Mit dem Parameter $τ =$ 0 kann hierfür auch geschrieben werden ( $Δt =$ 2 ms):<br />
$$H_{\rm HP}(f) = 1 - {\rm si}( \pi \cdot {\rm \Delta}t \cdot f).$$<br />
Ohne Auswirkung auf die Lösung der Aufgabe ist anzumerken, dass diese Gleichung für $τ ≠$ 0 nicht anwendbar ist:<br />
$$|H_{\rm HP}(f)|\hspace{0.09cm} \ne \hspace{0.09cm}1 - |H_1(f)| .$$<br />
<br />
<br />
'''Hinweis:''' Diese Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen|Kapitel 1.3]].<br />
<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Berechnen Sie die Höhe $k$ der Impulsantwort $h_1(t)$ unter der Nebenbedingung, dass $H_1(f = 0) =$ 1 gelten soll.<br />
|type="{}"}<br />
$k =$ { 500 } 1/s<br />
<br />
<br />
{Das Eingangssignal $x(t)$ sei ein um $t =$ 0 symmetrisches Rechteck der Dauer $T =$ 2 ms und der Höhe 1 V. Es gelte $τ =$ 0. Welche Aussagen sind zutreffend?<br />
|type="[]"}<br />
- $y(t)$ ist rechteckförmig.<br />
+ $y(t)$ ist dreieckförmig.<br />
- $y(t)$ ist trapezförmig.<br />
+ Der Maximalwert von $y(t)$ ist 1 V.<br />
<br />
<br />
{Welche Aussagen treffen zu, wenn $x(t)$ die Rechteckbreite $T =$ 1 ms besitzt?<br />
|type="[]"}<br />
- $y(t)$ ist rechteckförmig.<br />
- $y(t)$ ist dreieckförmig.<br />
+ $y(t)$ ist trapezförmig.<br />
- Der Maximalwert von $y(t)$ ist 1 V.<br />
<br />
<br />
{Es gelte weiter $τ =$ 0. Berechnen Sie das Ausgangssignal $z(t)$, wenn $x(t)$ zum Zeitpunkt $t =$ 0 von 0 auf 1 V springt. Welche Aussagen treffen zu?<br />
|type="[]"}<br />
- $z(t)$ ist eine gerade Funktion der Zeit.<br />
+ $z(t)$ weist bei $t =$ 0 eine Sprungstelle auf.<br />
+ Zum Zeitpunkt $t =$ 0 ist $z(t) =$ 0.<br />
+ Für $t >$ 1 ms ist $z(t) =$ 0.<br />
<br />
<br />
{Welchen Verlauf hat $z(t)$ als Antwort auf das sprungförmige Eingangssignal $x(t)$, wenn die Laufzeit $τ =$ 1 ms ist? Welcher Signalwert tritt bei $t =$ 1 ms auf?<br />
|type="{}"}<br />
$z(t = 1 \rm \ ms) =$ { 0.5 } V<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
'''a)''' Die Bedingung $H(f = 0) =$ 1 bedeutet, dass die Fläche der Impulsantwort gleich 1 ist. Daraus folgt:<br />
$$k = \frac{1}{\Delta t} \hspace{0.15cm}\underline{= 500\hspace{0.1cm}{ 1/{\rm s}}} .$$<br />
<br />
<br />
'''b)''' Das Ausgangssignal $y(t)$ ergibt sich als das Faltungsprodukt von $x(t)$ und $h(t)$. Die Faltung zweier gleich breiter Rechtecke ergibt ein Dreieck mit dem Maximum bei $t =$ 0:<br />
$$y(t = 0 ) = 1\hspace{0.05cm}{\rm V}\cdot \int\limits_{ - 1\,{\rm ms} }^{ 1\,{\rm ms} } {k \hspace{0.1cm}}{\rm d}\tau =<br />
1\hspace{0.05cm}{\rm V}\cdot \int\limits_{ - 1\,{\rm ms} }^{ 1\,{\rm ms} } {\frac{1}{2\,{\rm ms}} \hspace{0.1cm}}{\rm d}\tau= 1\hspace{0.05cm}{\rm V}.$$<br />
Richtig sind somit die $\rm \underline{ \ Vorschläge \ 2 \ und \ 4}$.<br />
<br />
<br />
'''c)''' [[Datei: P_ID859__LZI_A_1_6_c.png | Trapezimpuls (ML zu Aufgabe A1.6c) | rechts]] Die Faltung von zwei unterschiedlich breiten Rechtecken führt zu einem trapezförmigen Ausgangssignal entsprechend der Skizze. Der Maximalwert tritt im konstanten Bereich von –0.5 ms bis 0.5 ms auf und beträgt<br />
$$y(t = 0 ) = 1\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot \frac{1}{2\,{\rm<br />
ms}} \hspace{0.05cm}\cdot 1\,{\rm ms} = 0.5\hspace{0.05cm}{\rm V}.$$<br />
Richtig ist somit nur $\rm \underline{ \ die \ dritte \ Alternative}$.<br />
<br />
<br />
'''d)''' [[Datei: P_ID860__LZI_A_1_6_d.png | Akausale HP–Sprungantwort (ML zu Aufgabe A1.6d) | rechts]] Die Impulsantwort des Gesamtsystems lautet:<br />
$$h_{\rm HP}(t) = \delta(t) - h(t).$$<br />
Diese beiden Anteile sind in der Skizze dargestellt. Durch Integration über $h_{\rm HP}(t)$ und Multiplikation mit 1 V kommt man zum gesuchten Signal $z(t)$. In der unteren Skizze ist das Integral über $δ(t)$ blau, die Funktion $–σ(t)$ rot und das gesamte Signal $z(t)$ grün gezeichnet.<br />
<br />
<br />
$z(t)$ ist eine ungerade Funktion in $t$ mit einer Sprungstelle bei $t =$ 0: Der Signalwert bei $t =$ 0 liegt genau in der Mitte zwischen dem links- und dem rechteckseitigem Grenzwert und ist somit 0. Für $t >$ 1 ms gilt ebenfalls $z(t) =$ 0, da das Gesamtsystem eine Hochpass-Charakteristik aufweist.<br />
Richtig sind somit die $\rm \underline{ \ Vorschläge \ 2, \ 3 \ und \ 4}$.<br />
<br />
<br />
'''e)''' Die Grafik zeigt die resultierende Impulsantwort $h_{\rm HP}(t)$ und die Sprungantwort $σ_{\rm HP}(t)$, die bei $t =$ 0 auf 1 springt und bis zum Zeitpunkt $t =$ 2 ms auf den Endwert 0 abklingt. Zum Zeitpunkt $t =$ 1 ms ergibt sich $σ_{\rm HP}(t) =$ 0.5.<br />
<br />
[[Datei: P_ID861__LZI_A_1_6_e.png | Kausale HP–Sprungantwort (ML zu Aufgabe A1.6e) | rechts]] Das Signal $z(t)$ ist formgleich mit der Sprungantwort $σ_{\rm HP}(t)$, ist jedoch noch mit 1 V zu multiplizieren. Der gesuchte Signalwert zur Zeit $t_1 =$ 1 ms ergibt sich zu $z(t_1) \rm \underline{\ = \ 0.5}$. <br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^1.3 Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen^]]</div>Christophhttps://www.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Aufgabe_1.5Z:_si-f%C3%B6rmige_Impulsantwort&diff=5867Aufgaben:Aufgabe 1.5Z: si-förmige Impulsantwort2016-08-04T14:35:42Z<p>Christoph: </p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen}}<br />
<br />
[[Datei:P_ID857__LZI_Z_1_5.png|right|si–förmige Impulsantwort (Aufgabe Z1.5)]]<br />
Die Impulsantwort eines linearen zeitinvarianten (und akausalen) Systems wurde wie folgt ermittelt (siehe Grafik):<br />
$$h(t) = 500\hspace{0.05cm}\frac{1}{ {\rm s}}\cdot{\rm si}(\pi<br />
\cdot \frac{t}{ 1\hspace{0.1cm}{\rm ms}}) .$$<br />
Berechnet werden sollen die Ausgangssignale $y(t)$, wenn am Eingang verschiedene Cosinusschwingungen unterschiedlicher Frequenz $f_0$ angelegt werden:<br />
$$x(t) = 4\hspace{0.05cm}{\rm V}\cdot {\rm cos}(2\pi \cdot f_0<br />
\cdot t ) .$$<br />
Die Lösung kann entweder im Zeitbereich oder auch im Frequenzbereich gefunden werden. In der Musterlösung werden jeweils beide Lösungswege angegeben.<br />
<br />
'''Hinweis:''' Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen|Kapitel 1.3]]. Gegeben ist dazu das folgende bestimmte Integral:<br />
$$\int_{ 0 }^{ \infty } \frac{\sin(u) \cdot \cos(a \cdot u)}{u} \hspace{0.15cm}{\rm<br />
d}u = \left\{ \begin{array}{c} \pi/2 \\ \pi/4 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad<br />
\begin{array}{c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}}<br />
\\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}{ |a| < 1,} \\{ |a| = 1,} \\<br />
{ |a| > 1.} \\ \end{array}$$<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Berechnen Sie den Frequenzgang $H(f)$ des LZI-Systems. Wie groß sind die äquivalente Bandbreite und der Gleichsignalübertragungsfaktor?<br />
|type="{}"}<br />
$\Delta f =$ { 1 } kHz<br />
$H(f = 0) =$ { 0.5 }<br />
<br />
<br />
{Berechnen Sie das Ausgangssignal $y(t)$ bei cosinusförmigem Eingang mit der Frequenz $f_0 =$ 1 kHz. Wie groß ist der Signalwert zur Zeit $t =$ 0?<br />
|type="{}"}<br />
$f_0 = 1 {\rm kHz}: y(t = 0) =$ { 0 } V<br />
<br />
<br />
{Berechnen Sie das Ausgangssignal $y(t)$ bei cosinusförmigem Eingang mit der Frequenz $f_0 =$ 0.1 kHz. Wie groß ist der Signalwert zur Zeit $t =$ 0?<br />
|type="{}"}<br />
$f_0 = 0.1 {\rm kHz}: y(t = 0) =$ { 2 } V<br />
<br />
<br />
{Berechnen Sie das Ausgangssignal $y(t)$ bei cosinusförmigem Eingang mit der Frequenz $f_0 =$ 0.5 kHz. Wie groß ist der Signalwert zur Zeit $t =$ 0?<br />
|type="{}"}<br />
$f_0 = 0.5 {\rm kHz}: y(t = 0) =$ { 1 } V<br />
<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
'''a)''' Ein Vergleich mit den Gleichungen in Abschnitt 2 von Kapitel 1.3 – oder auch die Anwendung der Fourierrücktransformation – zeigt, dass $H(f)$ ein idealer Tiefpass ist:<br />
$$H(f) = \left\{ \begin{array}{c} \hspace{0.25cm}K \\ K/2 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}}<br />
\\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}<br />
{\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| < \Delta f/2,} \\<br />
{\left| \hspace{0.005cm}f\hspace{0.05cm} \right| = \Delta f/2,} \\<br />
{\left|\hspace{0.005cm} f \hspace{0.05cm} \right| > \Delta f/2.} \\<br />
\end{array}$$<br />
Die äquidistanten Nulldurchgänge der Impulsantwort treten im Abstand $Δt =$ 1 ms auf. Daraus folgt die äquivalente Bandbreite $Δf \rm \underline{ = 1 kHz}$. Wäre $K =$ 1, so müsste $h(0) = Δf =$ 1000 1/s gelten. Wegen der Angabe $h(0) = 500 \hspace{0.05cm} 1/s = Δf/2$ ist somit der Gleichsignalübertragungsfaktor $K = H(f = 0) \rm \underline{= 0.5}$.<br />
<br />
<br />
'''b)''' Diese Aufgabe lässt sich am einfachsten im Spektralbereich lösen. Für das Ausgangsspektrum gilt:<br />
$$Y(f) = X(f)\cdot H(f) .$$<br />
$X(f)$ besteht aus zwei Diracfunktionen bei $± f_0$, jeweils mit Gewicht $A_x/2 =$ 2 V. Bei $f = f_0 =$ 1 kHz > $Δf$/2 ist aber $H(f) =$ 0, so dass $Y(f) =$ 0 und damit auch $y(t) =$ 0 ist ⇒ $\underline{y(t = 0) = 0}$.<br />
Die Lösung im Zeitbereich basiert auf der Faltung:<br />
$$y(t) = x (t) * h (t) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {h ( \tau )} \cdot<br />
x ( {t - \tau } ) \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$<br />
Zum Zeitpunkt $t =$ 0 erhält man unter Berücksichtigung der Symmetrie der Cosinusfunktion:<br />
$$y(t = 0 ) = \frac{A_x \cdot \Delta f}{2} \cdot \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\rm si} ( \pi \cdot \Delta f \cdot \tau ) \cdot<br />
{\rm cos}(2\pi \cdot f_0<br />
\cdot \tau ) \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$<br />
Mit der Substitution $u = π · Δf · τ$ kann hierfür auch geschrieben werden:<br />
$$y(t = 0 ) = \frac{A_x }{\pi} \cdot \int\limits_{ 0 }^{ \infty } \frac{\sin(u) \cdot \cos(a \cdot u)}{u} \hspace{0.15cm}{\rm d}u .$$<br />
Hierbei ist die Konstante $a = 2f_0/Δf =$ 2. Mit diesem Wert liefert das angegebene Integral den Wert 0:<br />
$$y(t = 0 ) = {A_y } = 0.$$<br />
<br />
<br />
'''c)''' Der Frequenzgang bei $f = f_0 =$ 100 Hz ist nach den Berechnungen zu Punkt a) gleich $K =$ 0.5. Deshalb ergibt sich $A_y = A_x/2 =$ 2 V. Zum gleichen Ergebnis kommt man über die Faltung entsprechend obiger Gleichung. Für $a = 2f_0/Δf =$ 0.2 ist das Integral gleich $π/2$ und man erhält<br />
$$y(t = 0 ) = {A_y } = \frac{A_x}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{A_x}{2} \hspace{0.15cm}\underline{= 2\,{\rm V}}.$$<br />
<br />
<br />
'''d)''' Genau bei $f =$ 0.5 kHz ist der Übergang vom Durchlass– zum Sperrbereich und es gilt für diese singuläre Stelle: $H(f = f_0) = K/2$. Somit ist die Amplitude des Ausgangssignals nur halb so groß wie unter c) berechnet, nämlich $A_y \underline{= 1 V}$. Zum gleichen Ergebnis kommt man mit $a = 2f_0/Δf =$ 1 über die Faltung.<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^1.3 Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen^]]</div>Christophhttps://www.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Aufgabe_1.5:_Idealer_rechteckf%C3%B6rmiger_Tiefpass&diff=5866Aufgaben:Aufgabe 1.5: Idealer rechteckförmiger Tiefpass2016-08-04T14:35:25Z<p>Christoph: </p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen}}<br />
<br />
[[Datei:P_ID852__LZI_A_1_5.png|right|Tabelle mit Werten der si– und der Si–Funktion (Aufgabe A1.5)]]<br />
Wir betrachten einen idealen, rechteckförmigen Tiefpass – manchmal auch Küpfmüller–Tiefpass genannt, der <br />
*alle Frequenzen $f <$ 5 kHz unverfälscht durchlässt ⇒ $H(f) = 1$, <br />
*alle Spektralanteile über 5 kHz vollständig unterdrückt ⇒ $H(f) = 0$. <br />
<br />
<br />
Exakt bei der Grenzfrequenz $f_{\rm G} =$ 5 kHz ist der Wert der Übertragungsfunktion gleich 1/2. <br />
<br />
An den Eingang des Tiefpasses werden verschiedene Signale angelegt: <br />
*ein schmaler Rechteckimpuls geeigneter Höhe, der durch einen Diracimpuls angenähert werden kann: <br />
$$x_1(t) = 10^{-3}\hspace{0.1cm}{\rm Vs} \cdot {\rm \delta}(t),$$<br />
*ein Diracpuls im Zeitabstand $T_{\rm A}$: <br />
$$x_2(t) = 10^{-3}\hspace{0.1cm}{\rm Vs} \cdot \sum_{\nu = -\infty}^{+\infty}{\rm \delta}(t - \nu \cdot T_{\rm A}),$$<br />
:wobei das zugehörige Spektrum mit $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$ lautet: <br />
$$X_2(f) = \frac{10^{-3}\hspace{0.1cm}{\rm Vs}}{T_{\rm A}} \cdot\sum_{\mu = -\infty}^{+\infty}{\rm \delta}(f - \mu \cdot f_{\rm A}),$$<br />
*eine Sprungfunktion zum Zeitpunkt $t = 0$: <br />
$$x_3(t) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \gamma(t) = \left\{ \begin{array}{c} 0 \\ 5\hspace{0.1cm}{\rm V} \\ 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \\ \end{array} \right.\quad \quad\begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}}\\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}{ t < 0,} \\{ t = 0,} \\<br />
{ t > 0,} \\ \end{array}$$<br />
*ein si–förmiger Impuls mit der äquivalenten Dauer $T$: <br />
$$x_4(t) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T}) .$$<br />
<br />
<br />
'''Hinweis:''' Die Aufgabe bezieht sich auf die Beschreibungen von [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen | Kapitel 1.3]]. In der Tabelle sind die Funktionswerte der ''Spaltfunktion'' ${\rm si}(πx)$ und der ''Integralsinusfunktion'' ${\rm Si}(πx)$ aufgelistet: <br />
$${\rm Si}(\pi x) = \int_{ 0 }^{ x } {{\rm si} ( \pi \xi )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\xi .$$<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Welches Ausgangssignal $y_1(t)$ ergibt sich als Antwort auf den Diracimpuls $x_1(t)$, insbesondere zu den Zeitpunkten $t =$ 0 und $t =$ 50 μs? <br />
|type="{}"}<br />
$y_1(t = 0) =$ { 10 } V<br />
$y_1(t = 50 {\: \rm \mu s}) =$ { 6.37 5% } V<br />
<br />
<br />
{Wie lautet das Ausgangssignal $y_2(t)$, wenn am Filtereingang der Diracpuls $x_2(t)$ anliegt und $T_{\rm A} =$ 200 μs gilt. Welcher Signalwert tritt bei $t =$ 0 auf? <br />
|type="{}"}<br />
$T_{\rm A} = {\rm 200 \: \mu s} : y_2(t = 0) =$ { 10 } V<br />
<br />
<br />
{Welche Werte $y_2(t = 0)$ ergeben sich mit $T_{\rm A} =$ 199 bzw. $T_{\rm A} =$ 201 μs? <br />
|type="{}"}<br />
$T_{\rm A} = {\rm 199 \: \mu s} : y_2(t = 0) =$ { 5.025 5% } V<br />
$T_{\rm A} = {\rm 201 \: \mu s} : y_2(t = 0) =$ { 14.925 5% } V<br />
<br />
<br />
{Geben Sie das Ausgangssignal $y_3(t)$ für die Sprungfunktion $x_3(t)$ mit Endwert 10 V an. Welcher Signalwert tritt zum Zeitpunkt $t =$ 0 auf? <br />
|type="{}"}<br />
$y_3(t = 0) =$ { 5 } V<br />
<br />
<br />
{Zu welcher Zeit $t_{\rm max}$ ist $y_3(t)$ maximal? Wie groß ist der Maximalwert? <br />
|type="{}"}<br />
$t_{\rm max} =$ { 100 } $\rm \mu s$<br />
$y_3(t_{\rm max}) =$ { 10.895 5% } V<br />
<br />
<br />
{Wie lautet das Ausgangssignal $y_4(t)$, wenn am Eingang das si–förmige Signal $y_4(t)$ mit $T =$ 200 μs anliegt? Welcher Wert ergibt sich für $t =$ 0? <br />
|type="{}"}<br />
$T = 200 {\: \rm \mu s} : y_4(t = 0) =$ { 10 } V<br />
<br />
<br />
{Welcher Signalwert $y_4(t = 0)$ ergibt sich für $T =$ 50 μs? <br />
|type="{}"}<br />
$T = 50 {\: \rm \mu s} : y_4(t = 0) =$ { 5 } V<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
'''a)''' Die Impulsantwort des idealen Tiefpasses lautet mit $Δf =$ 10 kHz:<br />
$$h(t) = \Delta f \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t ).$$<br />
Das Ausgangssignal unterscheidet sich hiervon um den Gewichtungsfaktor $\rm 10^{–3} Vs$: <br />
$$\begin{align*} y_1(t) & = 10^{-3}\hspace{0.1cm}{\rm Vs} \cdot 10^{4}\hspace{0.1cm}{\rm Hz} \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t ) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t )\\ & \Rightarrow \hspace{0.2cm}y_1(t = 0) \hspace{0.15cm}\underline{=10\hspace{0.1cm}{\rm V}},\hspace{0.2cm}y_1(t = 50\hspace{0.1cm}{\rm \mu s}) =10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm<br />
si} \left( \frac{\pi}{2} \right) \hspace{0.15cm}\underline{= 6.37\hspace{0.1cm}{\rm V}}.\end{align*}$$<br />
<br />
<br />
'''b)''' [[Datei:P_ID856__LZI_A_1_5_b.png | rechts | Diracpuls und Rechteckfilter (ML zu Aufgabe A1.5b)]] Das Spektrum $X_2(f)$ des Diracpulses beinhaltet diskrete Linien im Abstand $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A} =$ 5 kHz, jeweils mit dem Gewicht 5 V. Das Spektrum $Y_2(f)$ besteht somit aus einer Spektrallinie bei $f =$ 0 mit dem Gewicht 5 V und je einer bei ±5 kHz mit Gewicht 2.5 V. Damit gilt für das Zeitsignal:<br />
$$\begin{align*} y_2(t) &= 5 \hspace{0.1cm}{\rm V} + 5\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot{\rm cos}(2 \pi \cdot f_{\rm A} \cdot t ) =\\ &= 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm cos}^2(\pi \cdot f_{\rm A} \cdot t ).\end{align*}$$<br />
Der Signalwert bei $t =$ 0 beträgt somit $\rm \underline{10 \: V}$.<br />
<br />
<br />
'''c)''' Mit $T_{\rm A} =$ 199 μs ist $f_{\rm A} >$ 5 kHz. Wegen $H(f_{\rm A}) =$ 0 besteht somit das Spektrum aus nur einer Spektrallinie bei $f =$ 0 mit dem Gewicht 5.025 V und man erhält den konstanten Verlauf $y_2(t) \rm \underline{\: = 5.025 \: V}$. Wird $T_{\rm A}$ weiter verringert, so ergibt sich am Ausgang weiterhin ein Gleichsignal, aber mit größerem Signalwert (proportional zu $1/T_{\rm A}$). <br />
<br />
Dagegen ist mit $T_{\rm A} =$ 201 μs die Abtastfrequenz etwas kleiner als die Grenzfrequenz des Filters (5 kHz), und die Spektralfunktion des Ausgangssignals lautet: <br />
$$Y_2(f) = 4.975\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \left[ {\rm \delta}(f ) + {\rm \delta}(f + f_{\rm A}) + {\rm \delta}(f - f_{\rm A})\right].$$<br />
Daraus folgt für das Zeitsignal: <br />
$$y_2(t ) = 4.975\hspace{0.1cm}{\rm V} + 9.95\hspace{0.1cm}{\rm<br />
V} \cdot {\rm cos}(2 \pi \cdot f_{\rm A} \cdot t ) \hspace{0.2cm} \Rightarrow<br />
\hspace{0.2cm}y_2(t = 0) \hspace{0.15cm}\underline{=14.925\hspace{0.1cm}{\rm V}}.$$<br />
Am prinzipiellen Verlauf ändert sich nichts, solange 200 μs < $T_{\rm A}$ < 400 μs gilt. Allerdings ergeben sich je nach $T_{\rm A}$ unterschiedliche Amplituden. Für $T_{\rm A}$ ≥ 400 μs kommen weitere Spektrallinien hinzu. <br />
<br />
<br />
'''d)''' [[Datei:P_ID854__LZI_A_1_5_d.png | Impuls– und Sprungantwort (ML zu Aufgabe A1.5d) | rechts]] Das Ausgangssignal $y_3(t)$ verläuft nun entsprechend der Integralsinusfunktion: <br />
$$\begin{align*}y_3(t = 0) &= 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \Delta f \cdot \int\limits_{ - \infty }^{ t } {{\rm si} ( \pi \Delta f \tau )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau =\\ &= 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \left[ \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\cdot {\rm Si} ( \pi \Delta f t )\right].\end{align*}$$<br />
Zum Zeitpunkt $t =$ 0 gilt $y_3(t) \rm \underline{\: = 5 \: V}$. <br />
<br />
<br />
'''e)''' Es ist offensichtlich, dass $y_3(t)$ dann sein Maximum erreicht, wenn die si–Funktion zum ersten Mal bei positiven Zeiten die Abszisse schneidet (siehe Skizze). Also muss $t_{\rm max} = 1/Δf \rm \underline{\: = 100 \: \mu s}$ gelten. Der Signalwert ergibt sich entsprechend der Tabelle auf der Angabenseite zu <br />
$$y_3(t = t_{\rm max}) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \left[ \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\cdot<br />
{\rm Si} ( \pi )\right]= 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \left[ 0.5 +<br />
0.5895 \right] \hspace{0.15cm}\underline{= 10.895 \hspace{0.1cm}{\rm V}} .$$<br />
Zu späteren Zeiten $t$ schwingt $y_3(t)$ langsam auf seinen Endwert 10 V ein. <br />
<br />
<br />
'''f)''' [[Datei:P_ID855__LZI_A_1_5_f.png | Rechteckspektren am Eingang des Rechteckfilters (ML zu Aufgabe A1.5f) | rechts]] Die Spektralfunktion $X_4(f)$ ist wie $H(f)$ rechteckförmig und für $|f| >$ 2.5 kHz stets 0. Das bedeutet, dass in diesem Fall $Y_4(f ) = X_4(f)$ gilt und entsprechend auch $y_4(t) = x_4(t)$. Damit ist $y_4(t = 0) \rm \underline{\: = 10 \: V}$. <br />
<br />
<br />
'''g)''' Mit $T =$ 50 μs ist die Breite von $X_4(f)$ gleich 20 kHz und die Höhe 0.5 · 10 $^{-3}$ V/Hz. Die Spektralfunktion $Y_4(f)$ nach Multiplikation mit $H(f)$ hat die gleiche Höhe, die Breite 10 kHz wird jedoch nun durch $H(f)$ bestimmt: <br />
$$\begin{align*}y_4(t) & = 0.5 \cdot 10^{-3}\hspace{0.1cm}\frac{ {\rm V} }{ {\rm<br />
Hz} } \cdot 10 \hspace{0.1cm}{\rm kHz} \cdot {\rm si}(\pi \Delta f t ) = 5\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm si}(\pi \Delta f t )\\ & \Rightarrow \hspace{0.2cm}y_4(t = 0) \hspace{0.15cm}\underline{=5\hspace{0.1cm}{\rm V} }.\end{align*}$$<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^1.3 Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen^]]</div>Christophhttps://www.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Aufgabe_1.4Z:_Alles_rechteckf%C3%B6rmig&diff=5865Aufgaben:Aufgabe 1.4Z: Alles rechteckförmig2016-08-04T14:34:59Z<p>Christoph: </p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Systembeschreibung im Zeitbereich}}<br />
<br />
[[Datei:P_ID834__LZI_Z_1_4.png |right|Periodisches Rechtecksignal und Rechteckfilter (Aufgabe Z1.4)]]<br />
Wir betrachten das periodische Rechtecksignal $x(t)$ gemäß obiger Skizze, dessen Periodendauer $T_0 = 2T$ ist. Dieses Signal besitzt Spektralanteile bei der Grundfrequenz $f_0 = 1/T_0 = 1/(2T)$ und allen ungeradzahligen Vielfachen davon, d.h. bei $3f_0, 5f_0,$ usw. Zusätzlich gibt es einen Gleichanteil. <br />
<br />
Dazu betrachten wir zwei Filter A und B mit jeweils rechteckförmiger Impulsantwort $h_{\rm A}(t)$ mit Dauer $6T$ bzw. $h_{\rm B}(t)$ mit der Dauer $5T$. Die Höhen der beiden Impulsantworten sind so gewählt, dass die Flächen der Rechtecke jeweils 1 ergeben. <br />
<br />
'''Hinweis:''' Die Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich|Kapitel 1.2]]. Informationen zur Faltung finden Sie im [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation|Kapitel 3.4]] des Buches „Signaldarstellung”. <br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Berechnen Sie das Ausgangssignal $y_{\rm A}(t)$ von Filter A, insbesondere die Werte bei $t = 0$ und $t = T$. <br />
|type="{}"}<br />
$y_{\rm A}(t = 0) =$ { 1 } V<br />
$y_{\rm A}(t = T) =$ { 1 } V<br />
<br />
<br />
{Geben Sie die Betragsfunktion $|H_{\rm A}(f)|$ an. Welcher Wert ergibt sich bei der Frequenz $f = f_0$? Interpretieren Sie das Ergebnis der Teilaufgabe 1).<br />
|type="{}"}<br />
$|H_{\rm A}(f = f_0)| =$ { 0 }<br />
<br />
<br />
{Berechnen Sie das Ausgangssignal $y_{\rm B}(t)$ von Filter B, insbesondere die Werte bei $t = 0$ und $t = T$. <br />
|type="{}"}<br />
$y_{\rm B}(t = 0) =$ { 0.8 } V<br />
$y_{\rm B}(t = T) =$ { 1.2 } V<br />
<br />
<br />
{Wie lautet die Betragsfunktion $|H_{\rm B}(f)|$, insbesondere bei den Frequenzen $f = f_0$ und $f = 3 · f_0$? Interpretieren Sie damit das Ergebnis von 3). <br />
|type="{}"}<br />
$|H_{\rm B}(f = f_0)| =$ { 0.127 5% }<br />
$|H_{\rm B}(f = 3f_0)| =$ { 0.042 5% }<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
'''1.''' Das Ausgangssignal ist das Ergebnis der Faltungsoperation zwischen $x(t)$ und $h_{\rm A}(t)$:<br />
$$y_{\rm A}(t) = x (t) * h_{\rm A} (t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x ( \tau )} \cdot h_{\rm A} ( {t - \tau } ) \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$<br />
Aufgrund der Rechteckfunktion und der Dauer $6T$ kann hierfür auch geschrieben werden: <br />
$$y_{\rm A}(t) = \frac{1}{6T}\cdot \int_{t-6T}^{t}x(\tau)\hspace{0.15cm} {\rm d}\tau.$$<br />
Man erkennt, dass diese Gleichung für alle $t$ das gleiche Ergebnis $y_{\rm A}(t) \rm \underline{\: = 1V}$ liefert. <br />
<br />
<br />
'''2.''' Der Betragsfrequenzgang lautet: <br />
$$|H_{\rm A}(f)| = |{\rm si}(\pi \cdot f \cdot 6T)|.$$<br />
Dieser weist Nullstellen im Abstand $1/(6T)$ auf. Somit liegen auch bei $f_0, 3f_0, 5f_0$ usw. jeweils Nullstellen vor. Insbesondere gilt auch: $|H_{\rm A}(f = f_0)| \underline{\: = 0}$. Vom Spektrum $X(f)$ bleibt somit nur der Gleichanteil 1V unverändert erhalten. Dagegen sind alle anderen Spektrallinien in $Y_{\rm A}(f)$ nicht mehr enthalten. <br />
<br />
<br />
'''3.''' [[Datei:P_ID836__LZI_Z_1_4_c.png | Grafische Verdeutlichung der Faltungsoperation (ML zu Aufgabe Z1.4c) | rechts]] Analog zur Teilaufgabe 1) kann hier für das Ausgangssignal geschrieben werden:<br />
$$y_{\rm B}(t) = \frac{1}{5T}\cdot \int_{t-5T}^{t}x(\tau)\hspace{0.15cm} {\rm d}\tau.$$<br />
Es ergibt sich nun ein um den Mittelwert 1V schwankender dreieckförmiger Verlauf, wie aus der unteren Grafik zu ersehen ist. Zu den Zeiten $t = 0, t = 2T, t = 4T, ...$ ist <br />
$$y_{\rm B}(t) = \frac{2\,{\rm V} \cdot 2T }{5T} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.8\,{\rm V}},$$<br />
da jeweils zwei Rechtecke und drei Lücken ins Integrationsintervall fallen. Dagegen sind bei $t = T, 3T, 5T,$ usw. jeweils drei Rechtecke und zwei Lücken zu berücksichtigen, und man erhält $y_{\rm B}(t) \rm \underline{\: = 1.2 \: V}$. <br />
<br />
<br />
'''4.''' Die Betragsfunktion lautet nun allgemein bzw. bei den Frequenzen $f = f_0 = 1/(2T)$ und $f = 3f_0$:<br />
$$\begin{align*} |H_{\rm B}(f)| & = |{\rm si}(\pi \cdot f \cdot 5T)|, \\ |H_{\rm B}(f = f_0)| & = |{\rm si}(\pi \frac{5T}{2T})| = |{\rm si}(2.5\pi )| = \frac{1}{2.5 \pi} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.127}, \\ |H_{\rm B}(f = 3f_0)| & = |{\rm si}(7.5\pi )| = \frac{1}{7.5 \pi} \hspace{0.15cm}\underline{=0.042}.\end{align*}$$ <br />
<br />
Die Spektralanteile des Rechtecksignals bei $f_0, 3f_0,$ usw. werden zwar nun nicht mehr unterdrückt, aber mit steigender Frequenz immer mehr abgeschwächt und zwar in der Form, dass der Rechteckverlauf in ein periodisches Dreiecksignal gewandelt wird. Der Gleichanteil bleibt auch hier unverändert. <br />
<br />
Beide Filter liefern also den Mittelwert des Eingangssignals. Beim vorliegenden Signal $x(t)$ ist für die Bestimmung des Mittelwertes das Filter A besser geeignet als das Filter B, da bei Ersterem die Länge der Impulsantwort ein Vielfaches der Periodendauer $T_0 = 2T$ ist. Ist diese Bedingung – wie beim Filter B – nicht erfüllt, so überlagert sich dem Mittelwert noch ein (in diesem Beispiel dreieckförmiges) Fehlersignal. <br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^1.2 Systembeschreibung im Zeitbereich^]]</div>Christophhttps://www.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Aufgabe_1.4:_Zum_Tiefpass_2._Ordnung&diff=5864Aufgaben:Aufgabe 1.4: Zum Tiefpass 2. Ordnung2016-08-04T14:34:38Z<p>Christoph: </p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Systembeschreibung im Zeitbereich}}<br />
<br />
[[Datei:P_ID820__LZI_A_1_4.png |right|Tiefpass erster und zweiter Ordnung (Aufgabe A1.4)]]<br />
In [[Aufgaben:1.1_Einfache_Filterfunktionen|Aufgabe A1.1]] und [[Zusatzaufgaben:1.1_Tiefpass_1._und_2._Ordnung|Aufgabe Z1.1]] im Kapitel 1.1 wurden die sog. RC–Tiefpässe im Frequenzbereich beschrieben. Hier soll nun eine Zeitbereichsdarstellung erfolgen. <br />
<br />
Die oben skizzierte Schaltung mit dem Eingangssignal $x(t)$ und dem Ausgangssignal $y_1(t)$ ist ein Tiefpass erster Ordnung mit dem Frequenzgang <br />
$$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{1+{\rm j}\cdot f/f_{\rm 0}}.$$<br />
<br />
Hierbei gibt $f_0 = 1/(2πRC)$ die 3dB–Grenzfrequenz an. Legt man am Eingang ein diracförmiges Signal $x(t) = δ(t)$ an, so erscheint am Ausgang das Signal $y_1(t)$ gemäß der mittleren Skizze. <br />
<br />
Der Zusammenhang zwischen den Systemparametern $R, C$ und $T$ lautet (siehe auch Aufgabe Z1.3): <br />
$$T = \frac{1}{\omega_{\rm 0}}= \frac{1}{2\pi f_{\rm 0}} = R C.$$<br />
Für numerische Berechnungen soll im Folgenden $T =$ 1 ms verwendet werden. <br />
<br />
Die untere Schaltung mit Eingang $x(t)$ und Ausgang $y_2(t)$ zeigt einen Tiefpass zweiter Ordnung:<br />
$$H_{\rm 2}(f) = [H_{\rm 1}(f)]^2 =\frac{1}{(1+{\rm j}\cdot f/f_{\rm 0})^2}.$$<br />
Die zu $H_2(f)$ gehörende Impulsantwort ist $h_2(t)$. <br />
<br />
Anzumerken ist, dass der Systemparameter $f_0$ bei einem Tiefpass zweiter oder höherer Ordnung nicht mehr dessen 3 dB–Grenzfrequenz angibt. Weiterhin ist noch zu beachten, dass die beiden RC-Glieder entkoppelt werden müssen, um Widerstandsanpassung zu erreichen. Hierzu eignet sich zum Beispiel ein Operationsverstärker. Dieser Hinweis ist jedoch für die Lösung dieser Aufgabe nicht relevant. <br />
<br />
'''Hinweis:''' Die Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich|Kapitel 1.2]]. Zur Lösung dieser Aufgabe können Sie das folgende unbestimmte Integral verwenden: <br />
$$\int u \cdot {\rm e}^{a \cdot \hspace{0.03cm} u} \hspace{0.1cm}{\rm d}u =<br />
\frac{{\rm e}^{\hspace{0.03cm}a \cdot \hspace{0.03cm} u}}{a^2} \cdot (a \cdot u -1).$$<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Geben Sie die Impulsantwort $h_1(t)$ an. Zu welcher Zeit $t_1$ ist $h_1(t)$ auf die Hälfte seines Maximalwertes abgefallen? <br />
|type="{}"}<br />
$t_1$ = { 0.693 5% } ms<br />
<br />
<br />
{Wie lautet das Ausgangssignal $y_1(t)$ für $x(t) = T · h_1(t)$? Welche Signalwerte treten zu den Zeiten $t = 0$ und $t = T$ auf? <br />
|type="{}"}<br />
$y_1(t = 0) =$ { 0 } <br />
$y_1(t = T) =$ { 0.368 5% }<br />
<br />
<br />
{Berechnen Sie die Impulsantwort $h_2(t)$ unter Berücksichtigung des Ergebnisses von 2). Zu welcher Zeit $t_2$ ist $h_2(t)$ maximal?<br />
|type="{}"}<br />
$t_2$ = { 1 } ms<br />
$h_2(t = t_2) =$ { 368 } 1/s<br />
<br />
<br />
{Wie lautet das Ausgangssignal $y_2(t)$, wenn man am Eingang eine Sprungfunktion $x(t) = {\rm 2V} · γ(t)$ anlegt? Welche Signalwerte treten bei $t = T$ und $t = 5T$ auf? <br />
|type="{}"}<br />
$y_2(t = T) =$ { 0.528 5% } V<br />
$y_2(t = 5T) =$ { 1.919 5% } V<br />
<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
'''1.''' Die Impulsantwort ist definitionsgemäß gleich dem Ausgangssignal, wenn am Eingang ein Diracimpuls mit Gewicht 1 anliegt. Entsprechend der Musterlösung Z1.3 und obiger Skizze gilt: <br />
$$h_1(t) = y_1(t) ={1}/{T} \cdot {\rm e}^{-t/T}.$$<br />
Für den Zeitpunkt $t_1$ soll gelten:<br />
$$h_1(t_{\rm 1}) ={1}/{T} \cdot {\rm e}^{-t_{\rm 1}/T} = \frac{1}{2T}<br />
\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm}{t_{\rm 1}}/{T} = {\rm ln}(2)\hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm}t_{\rm 1} = 0.693 \cdot T \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.693\,\,ms}}.$$<br />
'''2.''' [[Datei:P_ID830__LZI_A_1_4b.png | Zur Verdeutlichung der Faltungsoperation (ML zu Aufgabe A1.4b)|rechts]] Das Eingangssignal $x(t)$ ist wie die Impulsantwort $h_1(t)$ ein exponentiell abfallender Impuls, jedoch dimensionslos. Somit gilt nach dem Faltungssatz:<br />
$$y_1(t) = x (t) * h_1 (t) = T \cdot \left[ h_1 (t) * h_1 (t) \right].$$<br />
Die Faltung ist für einen spezifischen Zeitpunkt $t$ in nebenstehender Skizze verdeutlicht. <br />
<br />
Nach Variablenumbenennung erhält man: <br />
$$\begin{align*}h_1(\tau) & = \frac{1}{T} \cdot {\rm e}^{-\tau/T}\hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm}h_1(-\tau) = \frac{1}{T} \cdot {\rm e}^{\tau/T}\hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm}h_1(t-\tau) = \frac{1}{T} \cdot {\rm e}^{(-t+\tau)/T} \\ & \Rightarrow\hspace{0.5cm}<br />
y_1(t) = T \cdot \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } h_1 ( {t - \tau } )\cdot {h_1 ( \tau )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.\end{align*}$$<br />
Für $τ < 0$ ist $h_1(τ) = 0$. Für $τ > t$ verschwindet der erste Faltungsoperand (siehe Skizze). Daraus folgt: <br />
$$y_1(t) = T \cdot \frac{1}{T^2}\cdot \int_{ 0 }^{ t } {\rm<br />
e}^{(-t+\tau)/T} \cdot {\rm e}^{-\tau/T} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau = \frac{1}{T}\cdot \int_{ 0 }^{ t } {\rm e}^{-t/T} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau .$$<br />
Man sieht, dass nun der Integrand unabhängig von der Integrationsvariablen $τ$ ist. Somit gilt: <br />
$$y_1(t) =\frac{t}{T} \cdot {\rm e}^{-t/T}\hspace{0.1cm} \Rightarrow<br />
\hspace{0.1cm} y_1(t =0) \hspace{0.15cm}\underline{=0}; \hspace{0.5cm}y_1(t =T)={\rm e}^{-1} \hspace{0.15cm}\underline{=0.368}.$$<br />
<br />
<br />
'''3.''' Aufgrund von $H_2(f) = H_1(f) · H_1(f)$ gilt für die Impulsantwort: <br />
$$h_2(t) = h_1 (t) * h_1 (t).$$<br />
Bis auf den zusätzlichen konstanten Faktor $1/T$ erhält man das gleiche Ergebnis wie unter 2): <br />
$$h_2(t) =\frac{t}{T^2} \cdot {\rm e}^{-t/T}.$$<br />
Der Maximalwert wird durch Nullsetzen der Ableitung ermittelt: <br />
$$\begin{align*}\frac{{\rm d} h_2(t)}{{\rm d}t} & = \frac{1}{T^2} \cdot {\rm e}^{-t/T} \cdot \left( 1 - {t}/{T}\right) = 0 \hspace{0.7cm} \Rightarrow \hspace{0.7cm} t_{\rm 2} \hspace{0.15cm}\underline{= T = 1\,\,{\rm ms}} \\ & \Rightarrow \hspace{0.1cm} h_2(t_{\rm 2}) =\frac{{\rm e}^{-1}}{T} =\frac{0.368}{1\,\,{\rm ms}} \hspace{0.15cm}\underline{ = {\rm 368 \hspace{0.1cm} 1/s}}.\end{align*}$$<br />
<br />
<br />
'''4.''' Allgemein bzw. mit dem Ergebnis aus 3) gilt für die Sprungantwort:<br />
$${\rm \sigma_2}(t) = \int_{ 0 }^{ t } {h_2 ( \tau )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau =<br />
\frac{1}{T^2} \cdot \int_{ 0 }^{ t } \tau \cdot {\rm e}^{-\tau/T} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau .$$<br />
Mit der Substitution $u = τ/T$ folgt daraus unter Verwendung des angegebenen Integrals: <br />
$$\begin{align*}{\rm \sigma_2}(t) & = \int_{ 0 }^{ t /T} u \cdot {\rm e}^{-u} \hspace{0.1cm}{\rm d}u ={\rm e}^{-u} \cdot (-u-1) |_{ 0 }^{ t /T}. \\ \Rightarrow \hspace{0.1cm}{\rm \sigma_2}(t) & =<br />
1- \left( 1 + {t}/{T} \right) \cdot {\rm e}^{-t/T}.\end{align*}$$<br />
Zu den angegebenen Zeitpunkten erhält man unter weiterer Berücksichtigung des Faktors 2V: <br />
$$\begin{align*}y_2(t = T) & = {\rm 2 \,V} \cdot \left( 1- 2 \cdot {\rm e}^{-1} \right) \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.528 \,V}}, \\ y_2(t = 5T) & = {\rm 2 \,V} \cdot \left( 1- 6 \cdot {\rm e}^{-5} \right) \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 1.919 \,V}}.\end{align*}$$<br />
Für noch größere Zeiten nähert sich $y_2(t)$ immer mehr dem Endwert 2V an. <br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^1.2 Systembeschreibung im Zeitbereich^]]</div>Christophhttps://www.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Aufgabe_1.3Z:_Exponentiell_abfallende_Impulsantwort&diff=5863Aufgaben:Aufgabe 1.3Z: Exponentiell abfallende Impulsantwort2016-08-04T14:34:19Z<p>Christoph: </p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Systembeschreibung im Zeitbereich}}<br />
<br />
[[Datei:P_ID819__LZI_Z_1_3.png |right|Exponentiell abfallende Impulsantwort (Aufgabe Z1.3)]]<br />
Gemessen wurde die Impulsantwort $h(t)$ eines LZI–Systems, die für alle Zeiten $t$ < 0 identisch 0 ist und für $t$ > 0 entsprechend einer Exponentialfunktion abfällt:<br />
$$h(t) = \frac{1}{T} \cdot {\rm e}^{-t/T}.$$<br />
Der Funktionsparameter sei $T =$ 1 ms. In der Teilaufgabe 3) ist nach der 3dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ gefragt, die wie folgt implizit definiert ist: <br />
$$|H(f = f_{\rm G})| = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot|H(f = 0)| .$$<br />
'''Hinweis:''' Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich|Kapitel 1.2]]. Gegeben ist das folgende bestimmte Integral: <br />
$$\int_{ 0 }^{ \infty } \frac{1}{1+x^2} \hspace{0.1cm}{\rm d}x = \frac{\pi}{2} .$$<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Berechnen Sie den Frequenzgang $H(f)$. Welcher Wert ergibt sich für $f =$ 0?<br />
|type="{}"}<br />
$H(f = 0) =$ { 1 }<br />
<br />
<br />
{Welchen Wert besitzt die Impulsantwort zur Zeit $t =$ 0? <br />
|type="{}"}<br />
$h(t = 0) =$ { 500 } 1/s<br />
<br />
<br />
{Berechnen Sie die 3dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G}$.<br />
|type="{}"}<br />
$f_{\rm G} =$ { 159 } Hz<br />
<br />
<br />
{Welche der nachfolgenden Aussagen sind zutreffend?<br />
|type="[]"}<br />
+ Das betrachtete System ist kausal.<br />
- Das betrachtete System hat Hochpass–Charakter. <br />
- Liegt am Systemeingang ein Cosinussignal der Frequenz $f_{\rm G}$ an, so ist das Ausgangssignal ebenfalls cosinusförmig. <br />
<br />
<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
'''1.''' Der Frequenzgang $H(f)$ ist die Fouriertransformierte von $h(t)$:<br />
$$H(f) = \int_{-\infty}^{+\infty}h(t) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j}2\pi ft}\hspace{0.15cm} {\rm d}t = \frac{1}{T} \cdot \int_{0}^{+\infty} {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-(\rm j}2\pi f+ {1}/{T}) t}\hspace{0.15cm}<br />
{\rm d}t.$$ <br />
Die Integration führt zum Ergebnis:<br />
$$H(f) = \left[ \frac{-1/T}{{\rm j}2\pi f+{1}/{T}} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-(\rm j}2\pi f+ {1}/{T})<br />
t}\right]_{0}^{\infty}= \frac{1}{1+{\rm j} \cdot 2\pi fT}.$$<br />
Bei der Frequenz $f =$ 0 hat der Frequenzgang $\rm \underline{\: den \: Wert \: 1}$. <br />
<br />
<br />
'''2.''' Dieser Frequenzgang kann mit Real– und Imaginärteil auch wie folgt geschrieben werden: <br />
$$H(f) = \frac{1}{1+(2\pi fT)^2} -{\rm j} \cdot \frac{2\pi fT}{1+(2\pi fT)^2}.$$<br />
Die Impulsantwort an der Stelle $t =$ 0 ist gleich dem Integral über $H(f)$. Da der Imaginärteil ungerade ist, muss nur über den Realteil integriert werden. Unter Ausnutzung der Symmetrieeigenschaft erhält man: <br />
$$h(t=0)=2 \cdot \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{1}{1+(2\pi fT)^2} \hspace{0.1cm}{\rm<br />
d}f = \frac{1}{\pi T} \cdot \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{1}{1+x^2} \hspace{0.1cm}{\rm d}x .$$<br />
Unter Benutzung des angegebenen bestimmten Integrals mit dem Resultat $π/2$ ergibt sich: <br />
$$h(t=0)= \frac{1}{2 T} \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 500\cdot 1/s}}.$$<br />
Dieses Ergebnis zeigt auch, dass die Impulsantwort bei $t =$ 0 gleich dem Mittelwert aus dem links- und rechtsseitigen Grenzwert ist. <br />
<br />
<br />
'''3.''' Der Amplitudengang lautet bei dieser Aufgabe bzw. allgemein mit der 3dB-Grenzfrequenz: <br />
$$|H(f)| = \frac{1}{\sqrt{1+(2\pi fT)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+(f/f_{\rm G})^2}}.$$<br />
Durch Koeffizientenvergleich erhält man: <br />
$$f_{\rm G} = \frac{1}{2\pi T} \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 159 \hspace{0.1cm} Hz}}.$$<br />
<br />
<br />
'''4.''' Wegen $h(t) =$ 0 für $t$ < 0 ist das System tatsächlich kausal. Es handelt sich um einen Tiefpass erster Ordnung. Dagegen müsste ein Hochpass folgende Bedingung erfüllen: <br />
$$H(f = 0) = \int_{-\infty}^{+\infty}h(t) \hspace{0.15cm}{\rm d}t = 0.$$<br />
$H(f)$ ist eine komplexe Funktion. Der Phasengang lautet (siehe Aufgabe Z1.1): <br />
$$b(f) = \arctan {f}/{f_{\rm G}}.$$<br />
Für die Frequenz $f = f_{\rm G}$ erhält man $b(f = f_{\rm G}) = π/4 = 45°$. <br />
<br />
Liegt am Eingang ein Cosinussignal der Frequenz $f_{\rm G}$ an, so ergibt sich für das Ausgangssignal:<br />
$$y(t) = K \cdot \cos( 2 \pi f_{\rm G} t - 45^{\circ}).$$<br />
Dieses Signal ist zwar eine harmonische Schwingung, aber kein Cosinussignal. Richtig ist somit $\rm \underline{\: nur \: der \: erste \: Lösungsvorschlag}$. <br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^1.2 Systembeschreibung im Zeitbereich^]]</div>Christophhttps://www.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Aufgabe_1.3:_Gemessene_Sprungantwort&diff=5862Aufgaben:Aufgabe 1.3: Gemessene Sprungantwort2016-08-04T14:34:04Z<p>Christoph: </p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Systembeschreibung im Zeitbereich}}<br />
<br />
[[Datei:P_ID817__LZI_A_1_3.png |right|Gemessene Sprungantwort (Aufgabe A1.3)]]<br />
An den Eingang eines linearen zeitinvarianten (LZI–)Übertragungssystems mit Frequenzgang $H(f)$ und Impulsantwort $h(t)$ wird ein sprungförmiges Signal angelegt (blaue Kurve): <br />
$$x_1(t) = 4\,{\rm V} \cdot \gamma(t).$$<br />
Das gemessene Ausgangssignal $y_1(t)$ hat dann den in der unteren Grafik dargestellten Verlauf. Mit $T =$ 2 ms kann dieses Signal im Bereich von 0 bis $T$ wie folgt beschrieben werden: <br />
$$y_1(t) = 2\,{\rm V} \cdot\left[ {t}/{T} - 0.5 \cdot ({t}/{T})^2\right].$$<br />
<br />
Ab $t = T =$ 2 ms ist $y_1(t)$ konstant gleich 1 V. <br />
<br />
In der letzten Teilaufgabe (e) wird nach dem Ausgangssignal $y_2(t)$ gefragt, wenn am Eingang ein symmetrischer Rechteckimpuls $x_2(t)$ der Dauer $T =$ 2 ms anliegt (siehe roter Kurvenzug in der oberen Grafik). <br />
<br />
'''Hinweis:''' Diese Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich|Kapitel 1.2]]. <br />
Für den Rechteckimpuls $x_2(t)$ kann mit $A =$ 2 V auch geschrieben werden: <br />
$$x_2(t) = A \cdot \left[\gamma(t + {T}/{2}) - \gamma(t - {T}/{2})\right].$$<br />
Der Frequenzgang $H(f)$ des hier betrachteten LZI–Systems kann dem Angabenblatt zu [[Aufgaben:3.8_Dreimal_Faltung|Aufgabe A3.8]] im Buch „Signaldarstellung” entnommen werden. Allerdings sind die Abszissen– und Ordinatenparameter entsprechend anzupassen. Zur Lösung dieser Aufgabe A1.3 wird $H(f)$ jedoch nicht explizit benötigt. <br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Welche Aussagen sind anhand der Grafik über das LZI–System möglich?<br />
|type="[]"}<br />
- $H(f)$ beschreibt ein akausales System. <br />
+ $H(f)$ beschreibt ein kausales System.<br />
+ $H(f)$ beschreibt einen Tiefpass. <br />
- $H(f)$ beschreibt einen Hochpass. <br />
<br />
<br />
{Wie groß ist der Gleichsignalübertragungsfaktor? <br />
|type="{}"}<br />
$H(f = 0) =$ { 0.25 }<br />
<br />
<br />
{Wie lautet die Sprungantwort $σ(t)$? Welcher Wert tritt bei $t = T/2$ auf? <br />
|type="{}"}<br />
$σ(t = \rm 1 \: ms) =$ { 0.1875 5% }<br />
<br />
<br />
{Berechnen Sie die Impulsantwort $h(t)$ des Systems. Welche Werte besitzt diese zu den Zeitpunkten $t = T/2$ und $t = T$? <br />
|type="{}"}<br />
$h(t = \rm 1 \: ms) =$ { 125 } 1/s<br />
$h(t = \rm 2 \: ms) =$ { 0 } 1/s<br />
<br />
<br />
{Am Eingang liegt der Rechteckimpuls $x_2(t)$ an. Welches Ausgangssignal $y_2(t)$ ergibt sich zu den Zeiten $t =$ –1 ms, $t =$ 0, $t =$ +1 ms und $t =$ +2 ms? <br />
|type="{}"}<br />
$y_2(t = \rm \: –1 \: ms) =$ { 0 } V<br />
$y_2(t = 0) =$ { 0.375 5% } V<br />
$y_2(t = \rm +1 \: ms) =$ { 0.5 5% } V<br />
$y_2(t = \rm +2 \: ms) =$ { 0.125 5% } V<br />
<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
'''1.''' Das Ausgangssignal $y_1(t)$ ist 0, solange das Eingangssignal $x_1(t) =$ 0 ist. Das bedeutet, dass hier ein kausales System vorliegt. Zum gleichen Ergebnis hätte man allein durch die Aussage „das Ausgangssignal wurde gemessen” kommen können. Nur kausale Systeme sind realisierbar und nur bei realisierbaren Systemen kann etwas gemessen werden. <br />
<br />
Das Eingangssignal $x_1(t)$ kann für sehr große Zeiten $(t >> 0)$ als Gleichsignal interpretiert werden. Wäre $H(f)$ ein Hochpass, dann müsste $y_1(t)$ für $t → ∞$ gegen 0 gehen. Das heißt: $H(f)$ stellt einen Tiefpass dar. Richtig sind die $\rm \underline{Lösungsvorschläge \: 2 \: und \: 3}$. <br />
<br />
<br />
'''2.''' Der Gleichsignalübertragungsfaktor kann aus den Signalen $x_1(t)$ und $y_1(t)$ abgelesen werden, wenn der Einschwingvorgang abgeklungen ist: <br />
$$H(f =0) = \frac{y_1(t \rightarrow \infty)}{x_1(t \rightarrow \infty)}=<br />
\frac{ {\rm 1\, V} }{ {\rm 4\, V} } \hspace{0.15cm}\underline{= 0.25}.$$<br />
<br />
<br />
'''3.''' Die Sprungantwort $σ(t)$ ist gleich dem Ausgangssignal $y(t)$, wenn am Eingang $x(t) = γ(t)$ anliegen würde. Wegen $x_1(t) =$ 4V · $γ(t)$ gilt somit im Bereich von 0 bis $T =$ 2 ms: <br />
$$\sigma(t) = \frac{y_1(t)}{ {\rm 4\, V} } = 0.5 \cdot\left( {t}/{T} - 0.5 ({t}/{T})^2\right).$$<br />
Zum Zeitpunkt $t = T =$ 2 ms erreicht die Sprungantwort ihren Endwert 0.25. Für $t = T/2 =$ 1 ms ergibt sich der Zahlenwert 3/16 $\rm \underline{\: = \: 0.1875}$. Beachten Sie bitte, dass die Sprungantwort $σ(t)$ ebenso wie die Sprungfunktion $γ(t)$ keine Einheit besitzt. <br />
<br />
<br />
'''4.''' Die Sprungantwort $σ(t)$ ist das Integral über die Impulsantwort $h(t)$. Damit ergibt sich $h(t)$ aus $σ(t)$ durch Differentiation nach der Zeit. Im Bereich $0 < t < T$ gilt deshalb: <br />
[[Datei:P_ID840__LZI_A_1_3d.png | Berechnete Impulsantwort (ML zu Aufgabe A1.3d) | rechts]]<br />
$$\begin{align*}h(t) & = \frac{{\rm d}\hspace{0.1cm}\sigma(t)}{{\rm d}t}= \\ & = 0.5 \cdot\left( \frac{1}{T} - 0.5 (\frac{2t}{T^2})\right) = \frac{0.5}{T} \cdot (1- \frac{t}{T})\end{align*}$$<br />
$$\Rightarrow \hspace{0.2cm} h(t = {\rm 1\, ms}) = h(t = T/2) = \frac{0.25}{T} \hspace{0.15cm}\underline{= 125 \cdot{1}/{ {\rm s} } },$$<br />
$$\Rightarrow \hspace{0.2cm} h(t = {\rm 2\, ms}) = h(t = T) \hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$<br />
Für $t < 0$ und $t ≥ T$ ist $h(t)$ stets 0. Der Wert $h(t = 0)$ bei exakt $t = 0$ muss aus dem Mittelwert zwischen links- und rechtsseitigem Grenzwert ermittelt werden: <br />
$$h(t=0) = \frac{1}{2} \cdot \left[ \lim_{\varepsilon<br />
\hspace{0.03cm} \to \hspace{0.03cm}0} h(- \varepsilon)+ \lim_{\varepsilon<br />
\hspace{0.03cm} \to \hspace{0.03cm} 0} h(+ \varepsilon)\right] = \left[ 0 + \frac{0.5}{T}\right] = \frac{0.25}{T}= 250 \cdot{1}/{ {\rm s} }.$$<br />
<br />
<br />
'''5.''' Der Rechteckimpuls $x_2(t)$ kann auch als die Differenz zweier um $±T/2$ verschobener Sprünge dargestellt werden:<br />
[[Datei:P_ID829__LZI_A_1_3e.png | Berechnete Rechteckantwort (ML zu Aufgabe A1.3e) | rechts]]<br />
$$x_2(t) = A \cdot \left[\gamma(t + \frac{T}{2}) - \gamma(t - \frac{T}{2})\right].$$<br />
Damit ist das Ausgangssignal gleich der Differenz zweier um $±T/2$ verschobener Sprungantworten:<br />
$$y_2(t) = A \cdot \left[\sigma(t + \frac{T}{2}) - \sigma(t - \frac{T}{2})\right].$$<br />
Für $t = \: –T/2 =$ –1ms gilt $y_2(t) =$ 0. Für die weiteren Zeitpunkte $t =$ 0, $t = T/2 =$ 1 ms sowie $t = T =$ 2 ms erhält man (siehe Grafik): <br />
$$y_2(t = 0) = A \cdot \left[\sigma(0.5 \cdot T) - \sigma(-0.5 \cdot T)\right] =<br />
{\rm 2\, V}\cdot \left[0.1875 - 0\right] \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.375\, V}},$$<br />
$$y_2(t = T/2) = y_2(t = 1\,{\rm ms}) =A \cdot \left[\sigma( T) - \sigma(0)\right] =<br />
{\rm 2\, V}\cdot \left[0.25 - 0\right] \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.5\, V}},$$<br />
$$y_2(t = T) = A \cdot \left[\sigma(1.5 \cdot T) - \sigma(0.5 \cdot T)\right] =<br />
{\rm 2\, V}\cdot \left[0.25 - 0.1875\right] \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.125\, V}}.$$<br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^1.2 Systembeschreibung im Zeitbereich^]]</div>Christophhttps://www.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Aufgabe_1.2Z:_Messung_der_%C3%9Cbertragungsfunktion&diff=5861Aufgaben:Aufgabe 1.2Z: Messung der Übertragungsfunktion2016-08-04T14:33:40Z<p>Christoph: </p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Systembeschreibung im Frequenzbereich}}<br />
<br />
[[Datei:P_ID788__LZI_Z_1_2.png |right|Gemessene Signalamplituden und Phasen bei Filter B (Aufgabe Z1.2)]]<br />
Zur messtechnischen Bestimmung des Frequenzgangs von Filtern wird ein sinusförmiges Eingangssignal mit der Amplitude 2 V und vorgegebener Frequenz $f_0$ angelegt. Das Ausgangssignal $y(t)$ bzw. dessen Spektrum $Y(f)$ werden dann nach Betrag und Phase ermittelt. <br />
<br />
Das Betragsspektrum am Ausgang von Filter A lautet mit der Frequenz $f_0 =$ 1 kHz: <br />
$$|Y_{\rm A} (f)| = 1.6\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm \delta } (f<br />
\pm f_0) + 0.4\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm \delta } (f \pm 3 f_0) .$$<br />
Bei einem anderen Filter B ist das Ausgangssignal dagegen stets eine harmonische Schwingung mit der (einzigen) Frequenz $f_0$. Bei den in der Tabelle angegebenen Frequenzen $f_0$ werden die Amplituden $A_y(f_0)$ und die Phasen $φ_y(f_0)$ gemessen. Hierbei gilt: <br />
$$Y_{\rm B} (f) = \frac{A_y}{2} \cdot {\rm e}^{ {\rm j} \varphi_y}<br />
\cdot {\rm \delta } (f + f_0) + \frac{A_y}{2} \cdot {\rm e}^{<br />
-{\rm j} \varphi_y} \cdot {\rm \delta } (f - f_0).$$<br />
Das Filter B soll in der Aufgabe in der Form <br />
$$H_{\rm B}(f) = {\rm e}^{-a_{\rm B}(f)}\cdot {\rm e}^{-{\rm j}<br />
\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} b_{\rm B}(f)}$$<br />
<br />
dargestellt werden; $a_{\rm B}(f)$ wird als Dämpfungsverlauf und $b_{\rm B}(f)$ als Phasenverlauf bezeichnet. <br />
<br />
'''Hinweis:''' Diese Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich | Kapitel 1.1]]. <br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Welche der Aussagen sind hinsichtlich des Filters A zutreffend? <br />
|type="[]"}<br />
- Es gilt $|H(f)| =$ 0.8.<br />
+ Das Filter A stellt kein LZI–System dar. <br />
+ Die Angabe eines Frequenzgangs ist nicht möglich. <br />
<br />
<br />
<br />
{Welche der Aussagen sind hinsichtlich des Filters B zutreffend? <br />
|type="[]"}<br />
- Filter B ist ein Tiefpass. <br />
- Filter B ist ein Hochpass. <br />
+ Filter B ist ein Bandpass. <br />
- Filter B ist eine Bandsperre. <br />
<br />
<br />
<br />
{Ermitteln Sie den Dämpfungswert und die Phase für $f_0 = 3$ kHz. <br />
|type="{}"}<br />
$a_{\rm B}(f_0 = \: \rm 3 \: kHz) =$ { 0.693 5% } Np<br />
$b_{\rm B}(f_0 = \: \rm 3 \: kHz) =$ { 0 } Grad<br />
<br />
<br />
<br />
{Welcher Dämpfungs– und Phasenwert ergibt sich für $f_0 = 2$ kHz?<br />
|type="{}"}<br />
$a_{\rm B}(f_0 = \: \rm 2 \: kHz) =$ { 0.916 5% } Np<br />
$b_{\rm B}(f_0 = \: \rm 2 \: kHz) =$ { 20 2% } Grad<br />
<br />
<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
'''1.''' Bei einem LZI–System gilt $Y(f) = X(f) · H(f)$. Daher ist es nicht möglich, dass im Ausgangssignal ein Anteil mit $3 f_0$ vorhanden ist, wenn ein solcher im Eingangssignal fehlt. Das heißt: Es liegt hier kein LZI–System vor und dementsprechend ist auch kein Frequenzgang angebbar. Richtig sind demnach die $\rm \underline{Lösungsvorschläge \: 2 \: und \: 3}$. <br />
<br />
<br />
'''2.''' Aufgrund der angegeben Zahlenwerte für $A_y(f_0)$ kann von einem $\rm \underline{Bandpass}$ ausgegangen werden.<br />
<br />
<br />
'''3.''' Mit $A_x =$ 2 V und $φ_x =$ 90° (Sinusfunktion) erhält man für $f_0 = f_3 =$ 3 kHz: <br />
$$H_{\rm B} (f_3) = \frac{A_y}{A_x} \cdot {\rm e}^{ -{\rm j}<br />
(\varphi_x - \varphi_y)} = \frac{1\hspace{0.05cm}{\rm<br />
V}}{2\hspace{0.05cm}{\rm V}} \cdot {\rm e}^{ -{\rm j} (90^{\circ} -<br />
90^{\circ})} = 0.5.$$<br />
Somit ergeben sich für $f_0 =$ 3 kHz die Werte $a_{\rm B} \rm \underline{\: ≈ \: 0.693 \: Np}$ und $b_{\rm B} \rm \underline{\: = \: 0 \: (Grad)}$. <br />
<br />
<br />
'''4.''' In analoger Weise kann der Frequenzgang bei $f_0 = f_2 =$ 2 kHz ermittelt werden: <br />
$$H_{\rm B} ( f_2) = \frac{0.8\hspace{0.05cm}{\rm<br />
V}}{2\hspace{0.05cm}{\rm V}} \cdot {\rm e}^{ -{\rm j} (90^{\circ} -<br />
70^{\circ})} = 0.4\cdot {\rm e}^{ -{\rm j} 20^{\circ}}.$$<br />
Damit gilt für $f_0 = f_2 =$ 2 kHz: $a_{\rm B}(f_2) \rm \underline{\: ≈ \: 0.916 \: Np}$ und $b_{\rm B}(f_2) \rm \underline{\: = \: 20°}$. <br />
Bei $f =$ –2 kHz gilt der gleiche Dämpfungswert. Die Phase hat jedoch das umgekehrte Vorzeichen. Also ist $b_{\rm B}(–f_2) =$ –20°. <br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^1.1 Systembeschreibung im Frequenzbereich^]]</div>Christophhttps://www.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Aufgabe_1.2:_Koaxialkabel&diff=5860Aufgaben:Aufgabe 1.2: Koaxialkabel2016-08-04T14:33:22Z<p>Christoph: </p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Systembeschreibung im Frequenzbereich}}<br />
<br />
[[Datei: P_ID787__LZI_A_1_2.png | Verschiedene Koaxialkabel (Aufgabe A1.2) | right]]<br />
Der Frequenzgang eines Normalkoaxialkabels (Durchmesser des Innenleiters: 2.6 mm, Außendurchmesser: 9.5 mm) der Länge $l$ lautet für Frequenzen $f$ > 0: <br />
$$H(f) = {\rm e}^{-\alpha_{0\hspace{0.02cm}} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l}<br />
\cdot {\rm e}^{-(\alpha_1 + {\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot<br />
\hspace{0.05cm} \beta_1)\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f<br />
\cdot \hspace{0.05cm} l}\cdot {\rm e}^{-(\alpha_2 + {\rm<br />
j}\hspace{0.05cm} \cdot \beta_2) \hspace{0.05cm} \cdot<br />
\hspace{0.05cm} \sqrt{f} \cdot \hspace{0.05cm} l}.$$<br />
<br />
Der erste, von den Ohmschen Verlusten herrührende Term in dieser Gleichung wird durch die sog. kilometrische Dämpfung $α_0 =$ 0.00162 Np/km beschrieben. <br />
<br />
Der frequenzproportionale Dämpfungsanteil ⇒ $α_1 · f · l$ mit $α_1 =$ 0.000435 Np/(km · MHz) geht auf die Querverluste zurück. Er macht sich erst bei sehr hohen Frequenzen bemerkbar und wird im Folgenden vernachlässigt. Auch die frequenzproportionale Phase $β_1 · f · l$ mit $β_1 =$ 21.78 rad/(km · MHz) wird außer Acht gelassen werden, da diese nur eine für alle Frequenzen gleiche Laufzeit zur Folge hat. <br />
<br />
Der Koaxialkabel–Frequenzgang wird deshalb für Frequenzen zwischen 200 kHz und 400 MHz im Wesentlichen durch den Einfluss der Dämpfungskonstanten $α_2 =$ 0.2722 Np/(km · MHz $^{0.5}$) und der Phasenkonstanten $β_2 =$ 0.2722 rad/(km · MHz $^{0.5}$) bestimmt, die auf den so genannten Skineffekt zurückzuführen sind: <br />
$$H(f) = K \cdot {\rm e}^{-(\alpha_2 + {\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \beta_2)\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sqrt{f} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l}\hspace{0.3 cm} (f > 0).$$<br />
Aufgrund der gleichen Zahlenwerte von $α_2$ und $β_2$ kann hierfür auch geschrieben werden: <br />
$$H(f) = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{2{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f/f_0} },$$<br />
wobei der Parameter $f_0$ die Konstanten $α_2$ und $β_2$ sowie die Kabellänge $l$ berücksichtigt. <br />
<br />
'''Hinweis:''' Diese Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich | Kapitel 1.1]]. <br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
<br />
{Wie groß ist die Frequenzgang–Konstante $K$ für die Kabellänge $l =$ 5 km? <br />
|type="{}"}<br />
$K =$ { 0.992 5% }<br />
<br />
<br />
{Welche Länge $l_{\rm max}$ könnte ein Kabel besitzen, damit ein Gleichsignal um nicht mehr als 3% gedämpft wird? <br />
|type="{}"}<br />
$l_{\rm max} =$ { 18.8 5% } km<br />
<br />
<br />
{Wie groß ist die charakteristische Frequenz $f_0$ für die Kabellänge $l =$ 5 km. Berücksichtigen Sie die Beziehung $\rm (2j)^{0.5} = 1 + j$. <br />
|type="{}"}<br />
$f_0 =$ { 0.54 5% } MHz<br />
<br />
<br />
{Wie groß ist die Leistung $P_y$ am Ausgang, wenn man am Kabeleingang ein Cosinussignal der Frequenz $f_0$ und der Leistung $P_x =$ 1 W anlegt? <br />
|type="{}"}<br />
$P_y(f = f_0) =$ { 135 5% } mW<br />
<br />
<br />
{Welche Ausgangsleistung erhält man mit der Signalfrequenz $f_x =$ 10 MHz?<br />
|type="{}"}<br />
$P_y(f = 10 \: \rm MHz) =$ { 0.184 5% } mW<br />
<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
'''1.''' Für den Gleichsignalübertragungsfaktor gilt: <br />
$$K = H(f=0) = {\rm e}^{-\alpha_0 \hspace{0.05cm}\cdot<br />
\hspace{0.05cm} l} = {\rm e}^{-0.00162 \hspace{0.05cm} \cdot<br />
\hspace{0.05cm} 5}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.992}.$$<br />
<br />
<br />
'''2.''' Mit $a_0 = α_0 · l$ müsste folgende Gleichung erfüllt sein:<br />
$${\rm e}^{\rm -a_0 } \ge 0.97<br />
\hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} {\rm a_0 } < \ln \frac{1}{0.97<br />
} \approx 0.0305\,{\rm Np}.$$<br />
Damit erhält man für die maximale Länge $l_{\rm max} =$ 0.0305 Np/0.00162 Np/km $\rm \underline{\: ≈ \: 18.8 \: km}$. <br />
<br />
<br />
'''3.''' Wegen $β_2 = α_2$ und der angegebenen Beziehung $\rm 1 + j = (2j)^{0.5}$ kann für den Frequenzgang auch geschrieben werden:<br />
$$H(f) = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{2{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot<br />
\hspace{0.05cm} f \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\alpha_2}^2<br />
\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l^2} }= K \cdot {\rm e}^{-<br />
\sqrt{2{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f/f_0} }.$$<br />
Durch Koeffizientenvergleich mit der vorne angegebenen Gleichung erhält man: <br />
$$\frac{1}{f_0} = \alpha_2^2 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l^2 = ( \frac { {\rm 0.272} }{\rm km \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sqrt{MHz} })^2 \cdot ({\rm 5 \hspace{0.05cm} km})^2 = \frac{1.855}{ {\rm MHz} }\hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} f_0 \hspace{0.15cm}\rm \underline{= 0.540 \: MHz}$$<br />
<br />
<br />
'''4.''' Für den Frequenzgang gilt: <br />
$$\begin{align*}H(f) & = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{2{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot<br />
\hspace{0.05cm} f/f_0} } = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{ f/f_0} }<br />
\cdot {\rm e}^{- {\rm j}\sqrt{ f/f_0} } \\ & \Rightarrow \hspace{0.05 cm} |H(f)|^2 = K^2 \cdot<br />
{\rm e}^{- 2\sqrt{ f/f_0} }.\end{align*}$$<br />
Für $f = f_0$ erhält man hierfür $\rm e^{–2}$ ≈ 0.135. Daraus folgt weiter: <br />
$$P_y = P_x \cdot |H(f = f_0)|^2 \hspace{0.15cm}\underline{\approx135\hspace{0.05cm}{\rm mW}}.$$<br />
<br />
<br />
'''5.''' In diesem Fall gilt: <br />
$$P_y = P_x \cdot {\rm e}^{- 2\sqrt{ 10/0.54} }\approx P_x \cdot {\rm e}^{- 8.6 } \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.184 \hspace{0.1cm}{\rm mW}}.$$<br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^1.1 Systembeschreibung im Frequenzbereich^]]</div>Christophhttps://www.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Aufgabe_1.1Z:_Tiefpass_1._und_2._Ordnung&diff=5859Aufgaben:Aufgabe 1.1Z: Tiefpass 1. und 2. Ordnung2016-08-04T14:33:06Z<p>Christoph: </p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Systembeschreibung im Frequenzbereich}}<br />
==Z1.1 Tiefpass 1. und 2. Ordnung==<br />
[[Datei:P_ID785__LZI_Z_1_1.png | Dämpfungs– und Phasenfunktion (Aufgabe Z1.1) |right|]]<br />
Die einfachste Form eines Tiefpasses – zum Beispiel realisierbar als ein RC–Tiefpass entsprechend der Aufgabe A1.1 – hat den folgenden Frequenzgang:<br />
$$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{1+{\rm j}\cdot f/f_0}.$$<br />
Man spricht dann von einem Tiefpass erster Ordnung. Der Dämpfungsverlauf $a_1(f)$ und der Phasenverlauf $b_1(f)$ dieses Filters sind in der Grafik dargestellt.<br />
<br />
Entsprechend gilt für einen Tiefpass $n$–ter Ordnung die folgende Definitionsgleichung:<br />
$$H_n(f) = H_{\rm 1}(f)^n.$$<br />
In dieser Aufgabe sollen – ausgehend von den Funktionen $a_1(f)$ und $b_1(f)$ eines Tiefpasses erster Ordnung – der Dämpfungs– und Phasenverlauf eines solchen Tiefpasses höherer Ordnung analysiert werden. Allgemein gilt:<br />
$$H(f) = {\rm e}^{-a(f) - {\rm j}\cdot b(f)}.$$<br />
<br />
<br />
'''Hinweis:''' Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich | Kapitel 1.1]]. Zwischen dem Np– und dem dB–Wert eines Amplitudenwertes $|H| = 1/x$ besteht folgender Zusammenhang:<br />
$$a_{\rm Np} = \ln (x) = \ln (10) \cdot \lg (x) = \frac{\ln<br />
(10)}{20} \cdot a_{\rm dB} \approx 0.11513 \cdot a_{\rm dB}.$$<br />
Berücksichtigen Sie weiter, dass für zwei komplexe Größen $z_1$ und $z_2$ folgende Gleichungen gelten:<br />
$$|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|, \hspace{0.5 cm}{\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_1 \cdot z_2) = {\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_1) + {\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_2).$$<br />
<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Berechnen Sie den Dämpfungsverlauf $a_1(f)$ eines Tiefpasses erster Ordnung in dB. Welche dB–Werte ergeben sich bei $f = f_0$ und $f = 2f_0$?<br />
|type="{}"}<br />
$a_1(f = f_0)$ = { 3.01 5% } dB<br />
$a_1(f = 2f_0)$ = { 6.99 5% } dB<br />
<br />
<br />
{Berechnen Sie den Phasenverlauf $b_1(f)$. Welche Werte in Radian (rad) erhält man bei $f = f_0$ und $f = 2f_0$?<br />
|type="{}"}<br />
$b_1(f = f_0)$ = { 0.786 5% } rad<br />
$b_1(f = 2f_0)$ = { 1.108 5% } rad<br />
<br />
<br />
{Welchen Dämpfungsverlauf $a_n(f)$ hat ein Tiefpass $n$–ter Ordnung? Welche dB–Werte erhält man mit $n =$ 2 für $f = f_0$ bzw. $f = \: –2f_0$?<br />
|type="{}"}<br />
$a_2(f = f_0)$ = { 6.02 5% } dB<br />
$a_2(f = -2f_0)$ = { 13.98 5% } dB<br />
<br />
<br />
{Berechnen Sie die Phasenfunktion $b_2(f)$ eines Tiefpasses zweiter Ordnung. Welche Werte (in Radian) erhält man für $f = f_0$ und $f = \: –2f_0$?<br />
|type="{}"}<br />
$b_2(f = f_0)$ = { 1.571 5% } rad<br />
$b_2(f = -2f_0)$ = { -2.22--2.21 } rad<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
'''1.''' Der Amplitudengang des Tiefpasses erster Ordnung lautet:<br />
$$|H_{\rm 1}(f)| = \frac{1}{\sqrt{1+ (f/f_0)^2}}.$$<br />
Damit erhält man den Dämpfungsverlauf in Neper: <br />
$$\begin{align*}a_1(f) = \ln \frac{1}{|H_1(f)|} & = {1}/{2} \cdot \ln \left[1 + ({f}/{f_0})^2 \right] \\ \Rightarrow a_1(f = f_0) & = 0.34657 \hspace{0.05 cm}{\rm Np},\hspace{0.5 cm}a_1(f = 2 f_0) =<br />
0.804719 \hspace{0.05 cm}{\rm Np}.\end{align*}$$<br />
Die entsprechenden dB–Werte erhält man durch Multiplikation mit 1/0.115 = 8.68589 und führt zu den Ergebnissen $\rm \underline{3.01 \: dB ≈ 3 \: dB} \: (f = f_0)$ und $\rm \underline{6.99 \: dB} \: (f = 2f_0)$. Beim Tiefpass erster Ordnung beträgt somit die 3dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G} = f_0$. <br />
<br />
<br />
'''2.''' Der Frequenzgang $H_1(f)$ kann auch nach Real– und Imaginärteil getrennt dargestellt werden: <br />
$$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{ {1+ (f/f_0)^2} } - {\rm j} \cdot \frac{f/f_0}{ {1+ (f/f_0)^2} }.$$<br />
Damit ergibt sich für den Phasengang:<br />
$$b_1(f) = - \arctan \frac{ {\rm Im} }{ {\rm Re} } = \arctan \frac{f}{f_0}.$$<br />
Für $f = f_0$ erhält man $\arctan(1) = π/4 \rm \underline{\: = 0.786 \: rad}$, für $f = 2f_0$ den Wert $\arctan(2) \rm \underline{\: = 1.108 \: rad}$. <br />
<br />
<br />
'''3.''' Für den Amplitudengang eines Tiefpasses $n$–ter Ordnung gilt: <br />
$$|H_n(f)| = |H_{\rm 1}(f)|^n.$$<br />
Bezüglich der (logarithmischen) Dämpfungsfunktion wird aus der $n$–fachen Multiplikation die $n$–fache Summe: <br />
$$a_n(f) = n \cdot a_1(f)= {n}/{2} \cdot \ln \left[ 1 + ({f}/{f_0})^2 \right]$$<br />
und speziell für den Tiefpass zweiter Ordnung: <br />
$$a_2(f) = \ln \left[ 1 + ({f}/{f_0})^2 \right]= 2 \cdot a_1(f).$$<br />
Die dB–Werte lauten nun $\rm \underline{6.02 \: dB ≈ 6 \: dB} \: (f = ±f_0)$ und $\rm \underline{13.98 \: dB}$ (für $f = ±2f_0$). Damit ist offensichtlich, dass für $n$ > 1 der Parameter $f_0$ nicht mehr die 3 dB–Grenzfrequenz angibt. Vielmehr gilt für $n = 2: {f_{\rm G} }^2 = {f_0}^2/2$. <br />
<br />
<br />
'''5.''' Auch bezüglich der Phasenfunktion gilt:<br />
$$b_n(f) = n \cdot b_1(f), \hspace{0.3 cm} b_2(f) = 2 \cdot b_1(f).$$<br />
Bei einem Tiefpass zweiter Ordnung sind somit alle Phasenwerte zwischen $±π$ möglich. Insbesondere ist $b_2(f = f_0) = π/2 \rm \underline{\: = 1.571 \: rad}$ und $b_2(f = 2f_0) = \rm 2.216 \: rad$. Da die Phase eine ungerade Funktion ist, gilt hier: $b_2(f = \: –2f_0) = \rm \underline{–2.216 \: rad}$. <br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^1.1 Systembeschreibung im Frequenzbereich^]]</div>Christophhttps://www.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Aufgabe_1.1:_Einfache_Filterfunktionen&diff=5858Aufgaben:Aufgabe 1.1: Einfache Filterfunktionen2016-08-04T14:32:43Z<p>Christoph: </p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Systembeschreibung im Frequenzbereich}}<br />
==A1.1 Einfache Filterfunktionen==<br />
[[Datei:P_ID781__LZI_A_1_1.png | Zwei Vierpole (Aufgabe A1.1) | right|]]<br />
Man bezeichnet ein Filter mit dem Frequenzgang<br />
$$H_{\rm TP}(f) = \frac{1}{1+ {\rm j}\cdot f/f_0}$$<br />
als Tiefpass erster Ordnung. Daraus lässt sich ein Hochpass erster Ordnung nach folgender Vorschrift gestalten:<br />
$$H_{\rm HP}(f) = 1- H_{\rm TP}(f) .$$<br />
<br />
In beiden Fällen gibt $f_0$ die so genannte 3dB–Grenzfrequenz an.<br />
<br />
Die Abbildung zeigt zwei Vierpole A und B. In der Aufgabe ist zu klären, welcher der beiden Vierpole eine Tiefpass– und welcher eine Hochpasscharakteristik aufweist.<br />
<br />
Die Bauelemente von Schaltung A sind wie folgt gegeben:<br />
$$R = 50 \,\, {\rm \Omega}; \hspace{0.1cm} C = 0.637 \,\, {\rm \mu F} .$$<br />
<br />
Die Induktivität $L$ ist in der Teilaufgabe f) zu berechnen.<br />
<br />
Für die Teilaufgabe d) wird vorausgesetzt, dass die Eingangssignale cosinusförmig seien. Die Frequenz $f_x$ ist variabel, die Leistung beträgt jeweils $P_x =$ 10 mW.<br />
<br />
'''Hinweis:''' Die Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich | Kapitel 1.1]].<br />
<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Berechnen Sie den Frequenzgang $H_{\rm A}(f)$ des Vierpols A und beantworten Sie folgende Fragen.<br />
|type="[]"}<br />
+ Vierpol A ist ein Tiefpass.<br />
- Vierpol A ist ein Hochpass.<br />
<br />
<br />
{Berechnen Sie die Bezugsfrequenz $f_0$ aus den Bauelementen $R$ und $C$.<br />
|type="{}"}<br />
$f_0$ = { 5 } kHz<br />
<br />
<br />
{Berechnen Sie den Amplitudengang $|H_{\rm A}(f)|$. Welche Zahlenwerte ergeben sich für $f = f_0$ und $f = 2f_0$?<br />
|type="{}"}<br />
$|H_{\rm A}(f = f_0)|$ = { 0.707 5% }<br />
$|H_{\rm A}(f = 2f_0)|$ = { 0.447 5% }<br />
<br />
<br />
{Wie groß ist die Leistung $P_y$ des Ausgangssignals $y(t)$, wenn am Eingang ein Cosinussignal mit den Frequenzen $f_x =$ 5 kHz bzw. $f_x =$ 10 kHz anliegt?<br />
|type="{}"}<br />
$P_y(f_x = 5 \rm kHz)$ = { 5 } mW<br />
$P_y(f_x = 10 \rm kHz)$ = { 2 } mW<br />
<br />
<br />
{Berechnen Sie den Amplitudengang $|H_{\rm B}(f)|$ des Vierpols mit den Elementen $R$ und $L$ unter Verwendung der Bezugsfrequenz $f_0 = R/(2πL)$. Welche Werte ergeben sich für $f = 0$, $f = f_0$ und $f = 2f_0$ sowie für $f → ∞$?<br />
|type="{}"}<br />
$|H_{\rm B}(f = 0)|$ = { 0 }<br />
$|H_{\rm B}(f = f_0)|$ = { 0.707 5% }<br />
$|H_{\rm B}(f = 2f_0)|$ = { 0.894 5% }<br />
$|H_{\rm B}(f → ∞)|$ = { 1 }<br />
<br />
<br />
{Welche Induktivität führt zu der Bezugsfrequenz $f_0 =$ 5 kHz?<br />
|type="{}"}<br />
$L$ = { 1.59 5% } mH <br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
'''1.''' Der komplexe Widerstand der Kapazität $C$ ist gleich $1/({\rm j}ωC)$, wobei $ω = 2πf$ die so genannte Kreisfrequenz angibt. Der Frequenzgang lässt sich nach dem Spannungsteilerprinzip berechnen:<br />
$$H_{\rm A}(f) = \frac{Y_{\rm A}(f)}{X_{\rm A}(f)} = \frac{1/({\rm j}\omega C)}{R+1/({\rm j}\omega C)}=\frac{1}{1+{\rm j \cdot 2\pi}\cdot f \cdot R\cdot C}.$$<br />
Wegen $H_{\rm A}(f = 0) = 1$ kann dies kein Hochpass sein; vielmehr handelt es sich um einen $\rm \underline{Tiefpass}$. Bei niedrigen Frequenzen ist der Blindwiderstand der Kapazität sehr groß und es gilt $y_{\rm A}(t) ≈ x_{\rm A}(t)$. Dagegen wirkt der Kondensator bei sehr hohen Frequenzen wie ein Kurzschluss und es ist $y_{\rm A}(t) ≈ 0$.<br />
<br />
<br />
'''2.''' Durch Koeffizientenvergleich zwischen $H_{\rm TP}(f)$ auf der Angabenseite und $H_{\rm A}(f)$ gemäß a) erhält man:<br />
$$f_0 = \frac{1}{2\pi \cdot R \cdot C} = \frac{1}{2\pi \cdot{\rm<br />
50\hspace{0.05cm} \Omega}\cdot {\rm 0.637 \cdot 10^{-6}\hspace{0.05cm} s/\Omega}}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 5 \, {\rm kHz}}.$$<br />
<br />
<br />
'''3.''' Der Amplitudengang lautet:<br />
$$|H_{\rm A}(f)| = \frac{1}{\sqrt{1+ (f/f_0)^2}}.$$<br />
Für $f = f_0$ erhält man den Zahlenwert $0.5^{–0.5} \underline{≈ 0.707}$, für $f = 2f_0$ näherungsweise den Wert $\underline{0.447}$.<br />
<br />
<br />
'''4.''' Die Ausgangsleistung kann nach folgender Gleichung berechnet werden:<br />
$$P_y = P_x \cdot |H_{\rm A}(f = f_x)|^2.$$<br />
Für $f_x = f_0$ ist $P_y = P_x/2 \underline{ = 5 mW}$, also die halbe Leistung. In logarithmischer Darstellung lautet diese Beziehung:<br />
$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.2cm} \frac{P_x(f_0)}{P_y(f_0)} = 3\,{\rm dB}.$$<br />
Deshalb ist für $f_0$ auch die Bezeichnung 3dB–Grenzfrequenz üblich. Für $f_x = 2f_0$ erhält man dagegen einen kleineren Wert: $P_y = P_x/5 \underline{= 2 mW}$. <br />
<br />
<br />
'''5.''' Analog zur Teilaufgabe 1) gilt: <br />
$$H_{\rm B}(f) = \frac{Y_{\rm B}(f)}{X_{\rm B}(f)} = \frac{{\rm j}\omega L}{R+{\rm j}\omega L}=\frac{{\rm j2\pi}\cdot f \cdot L/R}{1+{\rm j2\pi}\cdot f \cdot L/R}.$$<br />
Unter Verwendung der Bezugsfrequenz $f_0 = R/(2πL)$ kann hierfür auch geschrieben werden: <br />
$$H_{\rm B}(f) = \frac{{\rm j}\cdot f/f_0}{1+{\rm j}\cdot f/f_0}\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}|H_{\rm B}(f)| = \frac{|f/f_0|}{\sqrt{1+ (f/f_0)^2}}.$$<br />
Daraus erhält man die Zahlenwerte: <br />
$$|H_{\rm B}(f = 0)| \hspace{0.15cm}\underline{= 0}, \hspace{0.2cm} |H_{\rm B}( f_0)| \hspace{0.15cm}\underline{=0.707}, \hspace{0.2cm}|H_{\rm B}(2f_0)| \hspace{0.15cm}\underline{= 0.894},<br />
\hspace{0.2cm}|H_{\rm B}(f \rightarrow \infty)|\hspace{0.15cm}\underline{ = 1}.$$<br />
Der Vierpol B ist demzufolge ein $\rm \underline{Hochpass}$. <br />
<br />
<br />
'''6.''' Aus obiger Definition der Bezugsfrequenz folgt:<br />
$$L = \frac{R}{2\pi \cdot f_0} = \frac{{\rm 50\hspace{0.05cm}<br />
\Omega}}{2\pi \cdot{\rm 5000 \hspace{0.05cm} Hz}}= {\rm 1.59 \cdot<br />
10^{-3}\hspace{0.05cm} \Omega s}\hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 1.59 \hspace{0.05cm} <br />
mH}} .$$<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^1.1 Systembeschreibung im Frequenzbereich^]]</div>Christophhttps://www.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Aufgabe_1.7:_Nahezu_kausaler_Gau%C3%9Ftiefpass&diff=5857Aufgaben:Aufgabe 1.7: Nahezu kausaler Gaußtiefpass2016-08-04T14:31:35Z<p>Christoph: /* Musterlösung */</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen}}<br />
<br />
[[Datei:P_ID863__LZI_A_1_7.png|right|Nahezu kausaler Gaußtiefpass (Aufgabe A1.7)]] Messungen haben ergeben, dass ein LZI–System mit guter Näherung durch einen Gaußtiefpass angenähert werden kann, wenn man eine zusätzliche Laufzeit $τ$ berücksichtigt. Somit lautet der Frequenzgang:<br />
$$H(f) = {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f)^2} \cdot {\rm e}^{-{\rm<br />
j}2\pi f \tau}.$$<br />
Die beiden Systemparameter $Δt = 1/Δf$ und $τ$ können der in der Grafik dargestellten Impulsantwort $h(t)$ entnommen werden.<br />
<br />
Es ist offensichtlich, dass dieses Modell nicht exakt der Wirklichkeit entspricht, da die Impulsantwort $h(t)$ auch für $t <$ 0 nicht vollkommen verschwindet. In der Teilaufgabe c) wird deshalb nach dem maximalen relativen Fehler gefragt, der wie folgt definiert ist:<br />
$$\varepsilon_{\rm max} = \frac{\max_{t \hspace{0.02cm}<<br />
\hspace{0.1cm}0}|h(t)|}{h(t = \tau)}.$$<br />
In Worten: Der maximale relative Fehler $ε_{\rm max}$ ist gleich dem Maximalwert der Impulsantwort $h(t)$ bei negativen Zeiten, bezogen auf den maximalen Wert $h(t = τ)$ der Impulsantwort.<br />
<br />
'''Hinweis:''' Die Aufgabe bezieht sich auf die Seite [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Gau.C3.9F.E2.80.93Tiefpass|Gaußtiefpass]] im Kapitel 1.3. Zur Berechnung von Sprung– und Rechteckantwort können Sie das Gaußsche Fehlerintegral verwenden:<br />
$${\rm \phi}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \cdot<br />
\int\limits_{ -\infty }^{ x } {{\rm e}^{-u^2/2}} \hspace{0.1cm}{\rm d}u.$$<br />
<br />
<br />
[[Datei:P_ID864__LZI_A_1_7b.png | Werte der Gaußschen Fehlerfunktion (Aufgabe A1.7)]]<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Wie groß sind die äquivalente Bandbreite und die Laufzeit?<br />
|type="{}"}<br />
$\Delta f =$ { 8 } MHz<br />
$\tau =$ { 250 } ns<br />
<br />
<br />
{Es gelte $x(t) = 1 {\rm V} · \cos(2π · 6 {\rm MHz }· t)$. Wie lautet das Ausgangssignal $y(t)$? Welcher Signalwert ergibt sich zur Zeit $t =$ 0?<br />
|type="{}"}<br />
$y(t = 0) =$ { -0.175--0.165 } V<br />
<br />
<br />
{Eigentlich sollte bei Kausalität $h(t < 0) =$ 0 gelten. Wie groß ist der maximale relative Fehler des betrachteten Modells? Definition siehe Angabenseite.<br />
|type="{}"}<br />
$\epsilon_{\rm max} =$ { 3.49 5% } $\rm x 10^{-6}$<br />
<br />
<br />
{Berechnen Sie die (dimensionslose) Sprungantwort $σ(t)$. Welche Werte ergeben sich zu den Zeiten $t =$ 250 ns und $t =$ 300 ns?<br />
|type="{}"}<br />
$σ(t = 250 \rm ns) =$ { 0.5 5% }<br />
$σ(t = 300 \rm ns) =$ { 0.841 5% }<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
:'''a)'''<br />
:'''b)'''<br />
:'''c)'''<br />
:'''d)'''<br />
:'''e)'''<br />
:'''f)'''<br />
:'''g)'''<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen^]]</div>Christophhttps://www.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Aufgabe_1.7:_Nahezu_kausaler_Gau%C3%9Ftiefpass&diff=5856Aufgaben:Aufgabe 1.7: Nahezu kausaler Gaußtiefpass2016-08-04T14:29:27Z<p>Christoph: /* Fragebogen */</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen}}<br />
<br />
[[Datei:P_ID863__LZI_A_1_7.png|right|Nahezu kausaler Gaußtiefpass (Aufgabe A1.7)]] Messungen haben ergeben, dass ein LZI–System mit guter Näherung durch einen Gaußtiefpass angenähert werden kann, wenn man eine zusätzliche Laufzeit $τ$ berücksichtigt. Somit lautet der Frequenzgang:<br />
$$H(f) = {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f)^2} \cdot {\rm e}^{-{\rm<br />
j}2\pi f \tau}.$$<br />
Die beiden Systemparameter $Δt = 1/Δf$ und $τ$ können der in der Grafik dargestellten Impulsantwort $h(t)$ entnommen werden.<br />
<br />
Es ist offensichtlich, dass dieses Modell nicht exakt der Wirklichkeit entspricht, da die Impulsantwort $h(t)$ auch für $t <$ 0 nicht vollkommen verschwindet. In der Teilaufgabe c) wird deshalb nach dem maximalen relativen Fehler gefragt, der wie folgt definiert ist:<br />
$$\varepsilon_{\rm max} = \frac{\max_{t \hspace{0.02cm}<<br />
\hspace{0.1cm}0}|h(t)|}{h(t = \tau)}.$$<br />
In Worten: Der maximale relative Fehler $ε_{\rm max}$ ist gleich dem Maximalwert der Impulsantwort $h(t)$ bei negativen Zeiten, bezogen auf den maximalen Wert $h(t = τ)$ der Impulsantwort.<br />
<br />
'''Hinweis:''' Die Aufgabe bezieht sich auf die Seite [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Gau.C3.9F.E2.80.93Tiefpass|Gaußtiefpass]] im Kapitel 1.3. Zur Berechnung von Sprung– und Rechteckantwort können Sie das Gaußsche Fehlerintegral verwenden:<br />
$${\rm \phi}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \cdot<br />
\int\limits_{ -\infty }^{ x } {{\rm e}^{-u^2/2}} \hspace{0.1cm}{\rm d}u.$$<br />
<br />
<br />
[[Datei:P_ID864__LZI_A_1_7b.png | Werte der Gaußschen Fehlerfunktion (Aufgabe A1.7)]]<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Wie groß sind die äquivalente Bandbreite und die Laufzeit?<br />
|type="{}"}<br />
$\Delta f =$ { 8 } MHz<br />
$\tau =$ { 250 } ns<br />
<br />
<br />
{Es gelte $x(t) = 1 {\rm V} · \cos(2π · 6 {\rm MHz }· t)$. Wie lautet das Ausgangssignal $y(t)$? Welcher Signalwert ergibt sich zur Zeit $t =$ 0?<br />
|type="{}"}<br />
$y(t = 0) =$ { -0.175--0.165 } V<br />
<br />
<br />
{Eigentlich sollte bei Kausalität $h(t < 0) =$ 0 gelten. Wie groß ist der maximale relative Fehler des betrachteten Modells? Definition siehe Angabenseite.<br />
|type="{}"}<br />
$\epsilon_{\rm max} =$ { 3.49 5% } $\rm x 10^{-6}$<br />
<br />
<br />
{Berechnen Sie die (dimensionslose) Sprungantwort $σ(t)$. Welche Werte ergeben sich zu den Zeiten $t =$ 250 ns und $t =$ 300 ns?<br />
|type="{}"}<br />
$σ(t = 250 \rm ns) =$ { 0.5 5% }<br />
$σ(t = 300 \rm ns) =$ { 0.841 5% }<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
:'''a)'''<br />
:'''b)'''<br />
:'''c)'''<br />
:'''d)'''<br />
:'''e)'''<br />
:'''f)'''<br />
:'''g)'''<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^Kapitelx^]]</div>Christophhttps://www.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Aufgabe_1.7:_Nahezu_kausaler_Gau%C3%9Ftiefpass&diff=5855Aufgaben:Aufgabe 1.7: Nahezu kausaler Gaußtiefpass2016-08-04T14:28:46Z<p>Christoph: /* Fragebogen */</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen}}<br />
<br />
[[Datei:P_ID863__LZI_A_1_7.png|right|Nahezu kausaler Gaußtiefpass (Aufgabe A1.7)]] Messungen haben ergeben, dass ein LZI–System mit guter Näherung durch einen Gaußtiefpass angenähert werden kann, wenn man eine zusätzliche Laufzeit $τ$ berücksichtigt. Somit lautet der Frequenzgang:<br />
$$H(f) = {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f)^2} \cdot {\rm e}^{-{\rm<br />
j}2\pi f \tau}.$$<br />
Die beiden Systemparameter $Δt = 1/Δf$ und $τ$ können der in der Grafik dargestellten Impulsantwort $h(t)$ entnommen werden.<br />
<br />
Es ist offensichtlich, dass dieses Modell nicht exakt der Wirklichkeit entspricht, da die Impulsantwort $h(t)$ auch für $t <$ 0 nicht vollkommen verschwindet. In der Teilaufgabe c) wird deshalb nach dem maximalen relativen Fehler gefragt, der wie folgt definiert ist:<br />
$$\varepsilon_{\rm max} = \frac{\max_{t \hspace{0.02cm}<<br />
\hspace{0.1cm}0}|h(t)|}{h(t = \tau)}.$$<br />
In Worten: Der maximale relative Fehler $ε_{\rm max}$ ist gleich dem Maximalwert der Impulsantwort $h(t)$ bei negativen Zeiten, bezogen auf den maximalen Wert $h(t = τ)$ der Impulsantwort.<br />
<br />
'''Hinweis:''' Die Aufgabe bezieht sich auf die Seite [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Gau.C3.9F.E2.80.93Tiefpass|Gaußtiefpass]] im Kapitel 1.3. Zur Berechnung von Sprung– und Rechteckantwort können Sie das Gaußsche Fehlerintegral verwenden:<br />
$${\rm \phi}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \cdot<br />
\int\limits_{ -\infty }^{ x } {{\rm e}^{-u^2/2}} \hspace{0.1cm}{\rm d}u.$$<br />
<br />
<br />
[[Datei:P_ID864__LZI_A_1_7b.png | Werte der Gaußschen Fehlerfunktion (Aufgabe A1.7)]]<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Wie groß sind die äquivalente Bandbreite und die Laufzeit?<br />
|type="{}"}<br />
$\Delta f =$ { 8 } MHz<br />
$\tau =$ { 250 } ns<br />
<br />
<br />
{Es gelte $x(t) = 1 {\rm V} · \cos(2π · 6 {\rm MHz }· t)$. Wie lautet das Ausgangssignal $y(t)$? Welcher Signalwert ergibt sich zur Zeit $t =$ 0?<br />
type="{}"}<br />
$y(t = 0) =$ { -0.175--0.165 } V<br />
<br />
<br />
{Eigentlich sollte bei Kausalität $h(t < 0) =$ 0 gelten. Wie groß ist der maximale relative Fehler des betrachteten Modells? Definition siehe Angabenseite.<br />
|type="{}"}<br />
$\epsilon_{\rm max} =$ { 3.49 5% } $\rm x 10^{-6}$<br />
<br />
<br />
{Berechnen Sie die (dimensionslose) Sprungantwort $σ(t)$. Welche Werte ergeben sich zu den Zeiten $t =$ 250 ns und $t =$ 300 ns?<br />
|type="{}"}<br />
$σ(t = 250 \rm ns) =$ { 0.5 5% }<br />
$σ(t = 300 \rm ns) =$ { 0.841 5% }<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
:'''a)'''<br />
:'''b)'''<br />
:'''c)'''<br />
:'''d)'''<br />
:'''e)'''<br />
:'''f)'''<br />
:'''g)'''<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^Kapitelx^]]</div>Christophhttps://www.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Aufgabe_1.7:_Nahezu_kausaler_Gau%C3%9Ftiefpass&diff=5854Aufgaben:Aufgabe 1.7: Nahezu kausaler Gaußtiefpass2016-08-04T14:18:37Z<p>Christoph: </p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen}}<br />
<br />
[[Datei:P_ID863__LZI_A_1_7.png|right|Nahezu kausaler Gaußtiefpass (Aufgabe A1.7)]] Messungen haben ergeben, dass ein LZI–System mit guter Näherung durch einen Gaußtiefpass angenähert werden kann, wenn man eine zusätzliche Laufzeit $τ$ berücksichtigt. Somit lautet der Frequenzgang:<br />
$$H(f) = {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f)^2} \cdot {\rm e}^{-{\rm<br />
j}2\pi f \tau}.$$<br />
Die beiden Systemparameter $Δt = 1/Δf$ und $τ$ können der in der Grafik dargestellten Impulsantwort $h(t)$ entnommen werden.<br />
<br />
Es ist offensichtlich, dass dieses Modell nicht exakt der Wirklichkeit entspricht, da die Impulsantwort $h(t)$ auch für $t <$ 0 nicht vollkommen verschwindet. In der Teilaufgabe c) wird deshalb nach dem maximalen relativen Fehler gefragt, der wie folgt definiert ist:<br />
$$\varepsilon_{\rm max} = \frac{\max_{t \hspace{0.02cm}<<br />
\hspace{0.1cm}0}|h(t)|}{h(t = \tau)}.$$<br />
In Worten: Der maximale relative Fehler $ε_{\rm max}$ ist gleich dem Maximalwert der Impulsantwort $h(t)$ bei negativen Zeiten, bezogen auf den maximalen Wert $h(t = τ)$ der Impulsantwort.<br />
<br />
'''Hinweis:''' Die Aufgabe bezieht sich auf die Seite [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Gau.C3.9F.E2.80.93Tiefpass|Gaußtiefpass]] im Kapitel 1.3. Zur Berechnung von Sprung– und Rechteckantwort können Sie das Gaußsche Fehlerintegral verwenden:<br />
$${\rm \phi}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \cdot<br />
\int\limits_{ -\infty }^{ x } {{\rm e}^{-u^2/2}} \hspace{0.1cm}{\rm d}u.$$<br />
<br />
<br />
[[Datei:P_ID864__LZI_A_1_7b.png | Werte der Gaußschen Fehlerfunktion (Aufgabe A1.7)]]<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Multiple-Choice Frage<br />
|type="[]"}<br />
- Falsch<br />
+ Richtig<br />
<br />
<br />
{Input-Box Frage<br />
|type="{}"}<br />
$\alpha$ = { 0.3 }<br />
<br />
<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
:'''a)'''<br />
:'''b)'''<br />
:'''c)'''<br />
:'''d)'''<br />
:'''e)'''<br />
:'''f)'''<br />
:'''g)'''<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^Kapitelx^]]</div>Christophhttps://www.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Aufgabe_1.6Z:_Interpretation_der_%C3%9Cbertragungsfunktion&diff=5853Aufgaben:Aufgabe 1.6Z: Interpretation der Übertragungsfunktion2016-08-04T14:12:23Z<p>Christoph: </p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen}}<br />
<br />
[[Datei:P_ID862__LZI_Z_1_6.png|right|Impulsantwort und Eingangssignale (Aufgabe Z1.6)]] Mit dieser Aufgabe soll der Einfluss eines Tiefpasses $H(f)$ auf cosinusförmige Signale der Form<br />
$$x_i(t) = A_x \cdot {\rm cos}(2\pi f_i t )$$<br />
veranschaulicht werden. In der Grafik sehen Sie die Signale $x_i(t)$, wobei der Index $i$ die Frequenz in kHz angibt. So beschreibt $x_2(t)$ ein 2 kHz–Signal.<br />
<br />
Die Signalamplitude beträgt jeweils $A_x =$ 1 V. Das Gleichsignal $x_0(t)$ ist als Grenzfall eines Cosinussignals mit der Frequenz $f_0 =$ 0 zu interpretieren.<br />
<br />
Die obere Skizze zeigt die rechteckige Impulsantwort $h(t)$ des Tiefpasses. Der dazugehörige Frequenzgang lautet:<br />
$$H(f) = {\rm si}(\pi \frac{f}{ {\rm \Delta}f}) .$$<br />
Aufgrund der Linearität und der Tatsache, dass $H(f)$ reell und gerade ist, sind die Ausgangssignale ebenfalls cosinusförmig:<br />
$$y_i(t) = A_i \cdot {\rm cos}(2\pi f_i t ) .$$<br />
Gesucht werden die Signalamplituden $A_i$ am Ausgang für die verschiedenen Eingangsfrequenzen $f_i$, wobei die Lösung ausschließlich im Zeitbereich gefunden werden soll. Dieser etwas umständliche Lösungsweg soll dazu dienen, den Zusammenhang zwischen Zeit– und Frquenzbereich deutlich zu machen.<br />
<br />
'''Hinweis:''' Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen|Kapitel 1.3]]. Entgegen der sonst üblichen Definition einer Amplitude können die $„A_i”$ durchaus negativ sein. Dies entspricht dann der Funktion „Minus-Cosinus”.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Welcher Tiefpass liegt hier vor?<br />
|type="[]"}<br />
- Idealer Tiefpass.<br />
+ Spalttiefpass.<br />
- Gaußtiefpass.<br />
<br />
<br />
{Geben Sie die äquivalente Bandbreite von $H(f)$ an.<br />
|type="{}"}<br />
$\Delta f =$ { 2 } kHz<br />
<br />
<br />
{Berechnen Sie allgemein die Amplitude $A_i$ in Abhängigkeit von $x_i(t)$ und $h(t)$. Welche der nachfolgenden Punkte sind bei der Berechnung zu berücksichtigen?<br />
|type="[]"}<br />
+ Beim Cosinussignal gilt $A_i = y_i(t = 0)$.<br />
- Es gilt $y_i(t) = x_i(t) · h(t)$.<br />
+ Es gilt $y_i(t) = x_i(t) ∗ h(t)$.<br />
<br />
<br />
{Welche der nachfolgenden Ergebnisse treffen für $A_0, A_2$ und $A_4$ zu?<br />
|type="[]"}<br />
- $A_0 =$ 0.<br />
+ $A_0 =$ 1 V.<br />
+ $A_2 =$ 0.<br />
- $A_2 =$ 1 V.<br />
+ $A_4 =$ 0.<br />
- $A_4 =$ 1 V.<br />
<br />
<br />
{Berechnen Sie die Amplituden $A_1$ und $A_3$ für ein 1 kHz- bzw. 3 kHz-Signal. Interpretieren Sie die Ergebnisse anhand der Spektralfunktion.<br />
|type="{}"}<br />
$A_1 =$ { 0.637 5% } V<br />
$A_3 =$ { -0.215--0.205 } V<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
:'''a)''' Es handelt sich um einen $\rm \underline{Spalttiefpass}$.<br />
<br />
<br />
:'''b)''' Die (äquivalente) Zeitdauer der Impulsantwort ist $Δt =$ 0.5 ms. Die äquivalente Bandbreite ist gleich dem Kehrwert $Δf = 1/Δt \ \rm \underline{= \ 2 kHz}$.<br />
<br />
<br />
:'''c)''' Da $y_i(t)$ cosinusförmig ist, ist die Amplitude gleich dem Signalwert bei $t =$ 0. Das Ausgangssignal soll hier über die Faltung berechnet werden:<br />
$$A_i = y_i (t=0) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {x_i ( \tau )} \cdot h ( {0 - \tau } ) \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$<br />
:Berücksichtigt man die Symmetrie und die zeitliche Begrenzung von $h(t)$, so kommt man zum Ergebnis:<br />
$$A_i = \frac{A_x}{\Delta t} \cdot \int\limits_{ - \Delta t /2 }^{ + \Delta t /2 } {\rm cos}(2\pi f_i \tau )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$<br />
:Richtig sind also die $\rm \underline{\ Lösungsvorschläge \ 1 \ und \ 3}$.<br />
<br />
<br />
:'''d)''' Beim Gleichsignal $x_0(t) = A_x$ ist $f_i =$ 0 zu setzen und man erhält $A_0 = A_x \ \rm \underline{ = \ 1 \ V}$.<br />
:Dagegen verschwindet bei den Cosinusfrequenzen $f_2 =$ 2 kHz und $f_4 =$ 4 kHz jeweils das Integral, da dann genau über eine bzw. zwei Periodendauern zu integrieren ist: $A_2 \ \rm \underline{ = \ 0}$ und $A_4 \ \rm \underline{ = \ 0}$.<br />
:Im Frequenzbereich entsprechen die hier behandelten Fälle:<br />
$$H(f=0) = 1, \hspace{0.3cm}H(f=\Delta f) = 0, \hspace{0.3cm}H(f=2\Delta f) = 0.$$<br />
<br />
<br />
:'''e)''' Das Ergebnis von c) lautet unter Berücksichtigung der Symmetrie für $f_i = f_1$:<br />
$$A_1= \frac{2A_x}{\Delta t} \cdot \int\limits_{ 0 }^{ \Delta t /2 } {\rm cos}(2\pi f_1 \tau )\hspace{0.1cm}{\rm<br />
d}\tau = \frac{2A_x}{2\pi f_1 \cdot \Delta t} \cdot {\rm sin}(2\pi f_1 \frac{\Delta t}{2}<br />
)= A_x \cdot {\rm si}(\pi f_1 \Delta t ).$$<br />
:Mit $f_1 · Δt =$ 0.5 lautet somit das Ergebnis:<br />
$$A_1 = A_x \cdot {\rm si}(\frac{\pi}{2} ) = \frac{2A_x}{\pi} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.637\,{\rm V}}.$$<br />
:Entsprechend erhält man mit $f_3 · Δt =$ 1.5:<br />
$$A_3 = A_x \cdot {\rm si}(\frac{3\pi}{2} ) = -\frac{2A_x}{3\pi} = -\frac{A_1}{3}\hspace{0.15cm}\underline{= -0.212\,{\rm V}}.$$<br />
:Genau zu den gleichen Ergebnissen – aber deutlich schneller – kommt man durch die Anwendung der Gleichung $A_i = A_x · H(f = f_i)$.<br />
<br />
:Bereits aus den Grafiken auf der Angabenseite erkennt man, dass das Integral über $x_1(t)$ im markierten Bereich positiv und das Integral über $x_3(t)$ negativ ist. Es ist allerdings anzumerken, dass man im Allgemeinen als Amplitude meist den Betrag bezeichnet (siehe Hinweis auf der Angabenseite).<br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen^]]</div>Christophhttps://www.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Aufgabe_1.7:_Nahezu_kausaler_Gau%C3%9Ftiefpass&diff=5852Aufgaben:Aufgabe 1.7: Nahezu kausaler Gaußtiefpass2016-08-04T14:11:57Z<p>Christoph: Die Seite wurde neu angelegt: „ {{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen}} right| ===Fragebogen=== <quiz display=sim…“</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen}}<br />
<br />
[[Datei:|right|]]<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Multiple-Choice Frage<br />
|type="[]"}<br />
- Falsch<br />
+ Richtig<br />
<br />
<br />
{Input-Box Frage<br />
|type="{}"}<br />
$\alpha$ = { 0.3 }<br />
<br />
<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
:'''a)'''<br />
:'''b)'''<br />
:'''c)'''<br />
:'''d)'''<br />
:'''e)'''<br />
:'''f)'''<br />
:'''g)'''<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^Kapitelx^]]</div>Christophhttps://www.lntwww.de/index.php?title=Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen&diff=5851Lineare zeitinvariante Systeme/Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen2016-08-04T14:10:57Z<p>Christoph: </p>
<hr />
<div>{{Header<br />
|Untermenü=Systemtheoretische Grundlagen<br />
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|Nächste Seite=Klassifizierung der Verzerrungen<br />
}} <br />
<br />
==Allgemeine Bemerkungen==<br />
Alle auf den nächsten Seiten beschriebenen Tiefpassfunktionen weisen die folgenden Eigenschaften auf: <br />
*Der Frequenzgang $H(f)$ ist stets reell und gerade, so dass nach dem Zuordnungssatz auch die zugehörige Impulsantwort $h(t)$ stets reell und gerade ist.<br />
*Damit ist offensichtlich, dass die hier betrachteten Systeme akausal und somit nicht realisierbar sind. Die Beschreibung kausaler Systeme erfolgt im Kapitel 3 dieses Buches. <br />
*Der Vorteil dieser systemtheoretischen Filterfunktionen ist die einfache Beschreibung durch maximal zwei Parameter, so dass der Filtereinfluss durchschaubar dargestellt werden kann. <br />
*Der wichtigste Funktionsparameter ist die äquivalente Bandbreite entsprechend der Definition über das flächengleiche Rechteck:<br />
$$\Delta f = \frac{1}{H(f=0)}\cdot \int\limits_{-\infty}^{+\infty}H(f) \hspace{0.15cm} {\rm d}f.$$<br />
*Nach dem so genannten Reziprozitätsgesetz liegt somit auch die äquivalente Zeitdauer der Impulsantwort fest, die ebenfalls über das flächengleiche Rechteck definiert ist:<br />
$$\Delta t = \frac{1}{h(t=0)}\cdot \int\limits_{-\infty}^{+\infty}h(t) \hspace{0.15cm} {\rm d}t = \frac{1}{\Delta f}.$$<br />
*Der Gleichsignalübertragungsfaktor wird – wenn nicht explizit etwas Anderes vermerkt ist – stets zu $H(f$ = 0) = 1 angenommen. <br />
*Aus jeder Tiefpassfunktion lassen sich entsprechende Hochpassfunktionen ableiten, wie auf der letzten Theorieseite dieses Abschnitts gezeigt wird. <br />
<br />
==Idealer Tiefpass – Küpfmüller–Tiefpass (1)==<br />
{{Definition}}<br />
Man bezeichnet einen Tiefpass als ideal, wenn sein Frequenzgang wie folgt lautet:<br />
$$H(f) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}1 \\ 0.5 \\\hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad\begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}}\\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}{\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| < \Delta f/2,} \\{\left| \hspace{0.005cm}f\hspace{0.05cm} \right| = \Delta f/2,} \\{\left|\hspace{0.005cm} f \hspace{0.05cm} \right| > \Delta f/2.} \\\end{array}$$<br />
Wir verwenden teilweise auch die Bezeichnung „Küpfmüller-Tiefpass” (KTP) in Erinnerung an den Pionier der Systemtheorie, Karl Küpfmüller. <br />
{{end}}<br />
<br />
<br />
Die Grafik zeigt einen solchen idealen Tiefpass im Frequenz– und Zeitbereich.<br />
<br />
[[Datei:P_ID842__LZI_T_1_3_S2_neu.png | Idealer Tiefpass und Impulsantwort|class=fit]]<br />
<br />
Man erkennt aus diesem Kurvenverläufen: <br />
*Aufgrund des abrupten, unendlich steilen Flankenabfalls ist hier die 3dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ genau halb so groß wie die systemtheoretische Bandbreite $Δf$. <br />
*Alle Spektralanteile mit $f$ < $f_{\rm G}$ werden unverfälscht durchgelassen (Durchlassbereich), alle Anteile mit $f$ > $f_{\rm G}$ vollständig unterdrückt (Sperrbereich). Bei $f$ = $f_{\rm G}$ gilt $H(f)$ = 0.5. <br />
<br />
<br />
''Hinweis:'' Die Beschreibung im Zeitbereich finden Sie nachfolgend. <br />
<br />
==Idealer Tiefpass – Küpfmüller–Tiefpass (2)==<br />
Kommen wir nun zur Beschreibung des idealen Tiefpasses im Zeitbereich: <br />
*Die Impulsantwort ergibt sich entsprechend der Fourierrücktransformation zu<br />
$$h(t) = \Delta f \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t)\hspace{0.7cm}{\rm{mit}}\hspace{0.7cm}{\rm si}(x) =\frac{\sin(x)}{x}.$$<br />
*Die beidseitig bis ins Unendliche ausgedehnte Zeitfunktion weist äquidistante Nulldurchgänge im Abstand $Δt$ = 1/ $Δf$ auf (siehe rechte untere<br />
:Grafik).<br />
*Der asymptotische Abfall erfolgt umgekehrt proportional mit der Zeit:<br />
$$|h(t)| = \frac{\Delta f}{\pi \cdot \Delta f \cdot |t|} \cdot \left |{\rm sin}(\pi \cdot \Delta f\cdot t )\right | \le \frac{1}{\pi \cdot |t|}.$$<br />
*Daraus folgt, dass die Impulsantwort erst für Zeiten $t$ > $t_{1‰}$ = 318 · $Δt$ mit Sicherheit kleiner als 1‰ des Impulsmaximums ist. <br />
*Die Sprungantwort ergibt sich aus der Impulsantwort durch Integration und lautet: <br />
$${\rm \sigma}(t) = \int\limits_{ - \infty }^{ t } {h ( \tau )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \cdot {\rm Si}(\pi \cdot\Delta f \cdot t ).$$<br />
*Hierbei ist die so genannte Integral–Sinusfunktion<br />
$${\rm Si}(x) = \int\limits_{ 0 }^{ x } {{\rm si} ( \xi )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\xi = x - \frac{x^3}{3 \cdot 3!} + \frac{x^5}{5 \cdot 5!} - \frac{x^7}{7 \cdot 7!}+ ...$$<br />
:verwendet, die folgende Eigenschaften besitzt:<br />
$${\rm Si}(0) = 0, \hspace{0.3cm}{\rm Si}(\infty) = \frac{\pi}{2}, \hspace{0.3cm}{\rm Si}(-x) = -{\rm Si}(x).$$<br />
<br />
[[Datei:P_ID843__LZI_T_1_3_S2_neu.png | Idealer Tiefpass und Impulsantwort|class=fit]]<br />
<br />
'''Hinweis:''' In manchen Büchern wird statt der Funktion si(x) die ähnliche Funktion sinc(x) verwendet: <br />
$${\rm si}(x) = \frac{\sin(x)}{x}\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm}{\rm sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = {\rm si}(\pi x).$$<br />
In diesem Fall lautet die Impulsantwort des idealen Tiefpasses $h(t)$ = $Δf · {\rm sinc}(Δf · t).$<br />
<br />
==Spalttiefpass==<br />
{{Definition}}<br />
Man bezeichnet ein LZI–System als Spalttiefpass, wenn der Frequenzgang die folgende Form hat:<br />
$$H(f) = {\rm si}(\pi \frac{f}{ \Delta f})\hspace{0.7cm}{\rm{mit}}\hspace{0.7cm}{\rm si}(x) =\frac{\sin(x)}{x}.$$<br />
{{end}}<br />
<br />
<br />
Aus der linken Grafik ist zu erkennen, dass der Frequenzgang $H_{\rm STP}(f)$ des Spalttiefpasses formgleich mit der Impulsantwort $h_{\rm KTP}(t)$ des Küpfmüllertiefpasses ist. <br />
<br />
[[Datei:P_ID844__LZI_T_1_3_S3_neu.png | Spalttiefpass und zugehörige Impulsantwort|class=fit]]<br />
<br />
Nach dem Vertauschungssatz muss deshalb auch die Impulsantwort $h_{\rm STP}(t)$ des Spalttiefpasses die gleiche Form wie der Frequenzgang $H_{\rm KTP}(f)$ des idealen Tiefpasses aufweisen. Mit $Δt$ = 1/ $Δf$ gilt somit:<br />
$$h(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}\Delta f \\ \Delta f/2 \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.005cm} t\hspace{0.05cm} \right| < \Delta t/2,} \\ {\left| \hspace{0.005cm}t\hspace{0.05cm} \right| = \Delta t/2,} \\ {\left|\hspace{0.005cm} t \hspace{0.05cm} \right| > \Delta t/2.} \\<br />
\end{array}$$<br />
Anhand obiger Grafik sind folgende Aussagen ableitbar: <br />
*Auch der Spalttiefpass ist in dieser Form akausal. Durch eine zusätzliche Laufzeit von $Δt/2$ wird das System jedoch kausal und damit realisierbar. <br />
*Der Spalttiefpass wirkt als Integrator über die Zeitdauer $Δt$: <br />
$$y(t) = x (t) * h (t) = \frac{1}{\Delta t} \cdot \int\limits_{ t - \Delta t/2 }^{ t + \Delta t/2 } {x ( \tau )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$<br />
*Ist $x(t)$ eine harmonische Schwingung mit der Frequenz $f_0$ = $k · Δf$ ( $k$ ganzzahlig), so wird genau über $k$ Perioden integriert und es gilt $y(t)$ = 0. Dies zeigen auch die Nullstellen von $H(f)$. <br />
<br />
==Gauß–Tiefpass==<br />
Eine häufig für systemtheoretische Untersuchungen verwendete Filterfunktion ist der Gaußtiefpass, der ebenfalls durch nur einen Parameter, nämlich die äquivalente Bandbreite $Δf$, beschreibbar ist.<br />
{{Definition}}<br />
Für den Frequenzgang und die Impulsantwort des Gaußtiefpasses gelten:<br />
$$H(f) = {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f)^2}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, h(t) = \Delta f \cdot {\rm e}^{-\pi(\Delta f \cdot \hspace{0.03cm} t)^2} .$$<br />
{{end}}<br />
<br />
<br />
Der Name geht auf den Mathematiker, Physiker und Astronomen Carl-Friedrich Gauß zurück. Gauß hat sich zwar nicht selber mit dieser Thematik auseinandergesetzt, aber die mathematische Form von Frequenzgang und Impulsantwort weisen eine Ähnlichkeit mit der so genannten Gaußformel auf, die er für die Wahrscheinlichkeitsrechnung gefunden hat.<br />
<br />
[[Datei:P_ID845__LZI_T_1_3_S4_neu.png | Gaußtiefpass und zugehörige Impulsantwort|class=fit]]<br />
<br />
Anhand obiger Grafik können folgende Aussagen getroffen werden:<br />
*Die ebenfalls über das flächengleiche Rechteck definierte äquivalente Impulsdauer $Δt$ ist gleich dem Kehrwert der äquivalenten Bandbreite $Δf$. <br />
*Eine schmalbandige Filterfunktion (kleines $Δf$) führt zu einer breiten (großes $Δt$) und gleichzeitig niedrigen Impulsantwort $h(t)$. Das Reziprozitätsgesetz von Zeitdauer und Bandbreite lässt sich am Beispiel des Gaußtiefpasses besonders anschaulich zeigen. <br />
*Die Frequenz– und Zeitbereichsdarstellungen sind prinzipiell von gleicher Form. Man sagt auch, dass die Gaußfunktion invariant gegenüber der Fouriertransformation ist. <br />
*Aufgrund der unendlichen Ausbreitung seiner Impulsantwort ist der Gaußtiefpass ebenso wie der ideale Tiefpass stark akausal und (exakt) nur mit unendlich großer Laufzeit realisierbar. <br />
*Allerdings ist zu berücksichtigen, dass $h(t)$ bereits bei $t$ = 1.5 · $Δt$ auf 0.1% seines Maximalwertes abgeklungen ist. Für $t$ = 3 · $Δt$ ergibt sich sogar $h(t) ≈ 5 · 10^{–13} · h(0)$. <br />
*Diese Zahlenwerte machen deutlich, dass man den Gaußtiefpass durchaus auch für praxisnahe Simulationen heranziehen kann, solange Laufzeiten keine systembegrenzende Rolle spielen. <br />
*Die Sprungantwort $σ(t)$ lautet mit der Gaußschen Fehlerfunktion $ϕ(x)$, die in Formelsammlungen meist tabellarisch angegeben wird: <br />
$$\sigma(t) = \int\limits_{ -\infty }^{ t } {h(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau = {\rm \phi}\left( \sqrt{2 \pi }\frac{t}{\Delta t} \right) \hspace{0.7cm}{\rm{mit}}\hspace{0.7cm}{\rm \phi}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \cdot \int\limits_{ -\infty }^{ x } {{\rm e}^{-u^2/2}} \hspace{0.1cm}{\rm d}u.$$<br />
<br />
==Trapeztiefpass (1)==<br />
Die bisher in diesem Kapitel beschriebenen Tiefpassfunktionen hängen nur von einem Parameter – der äquivalenten Bandbreite $Δf$ – ab. Dabei war die Flankensteilheit für einen gegebenen Filtertyp fest vorgegeben. Nun wird ein Tiefpass beschrieben, bei dem auch die Flankensteilheit parametrisierbar ist.<br />
{{Definition}}<br />
Der Frequenzgang des Trapeztiefpasses lautet mit den Eckfrequenzen $f_1$ und $f_2$ ≥ $f_1$:<br />
$$H(f) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}1 \\ \frac{f_2 -|f|}{f_2 -f_1} \\<br />
\hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad<br />
\begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}}<br />
\\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}<br />
{\hspace{0.94cm}\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| < f_1,} \\<br />
{f_1 \le \left| \hspace{0.005cm}f\hspace{0.05cm} \right| \le f_2,} \\<br />
{\hspace{0.94cm}\left|\hspace{0.005cm} f \hspace{0.05cm} \right| > f_2.} \\<br />
\end{array}$$<br />
{{end}}<br />
<br />
<br />
Anstelle von $f_1$ und $f_2$ kann man zur Beschreibung von $H(f)$ auch folgende Parameter verwenden: <br />
*die äquivalente Bandbreite, ermittelt über das flächengleiche Rechteck:<br />
$$\Delta f = f_1 + f_2.$$<br />
*der Rolloff-Faktor (im Frequenzbereich) als Maß für die Flankensteilheit:<br />
$$r_f = \frac{f_2 - f_1}{f_2 + f_1}.$$<br />
Als Sonderfälle sind in der allgemeinen Darstellung der ideale rechteckförmige Tiefpass $(r_f = 0)$ sowie der Dreiecktiefpass $(r_f = 1)$ enthalten. Die nachfolgende Grafik zeigt $H(f)$ sowie die Impulsantwort <br />
$$h(t) = \Delta f \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t )\cdot {\rm si}(\pi \cdot r_f \cdot \Delta f \cdot t )\hspace{0.7cm}{\rm{mit}}\hspace{0.7cm}{\rm si}(x) = \frac{\sin(x)}{x},$$<br />
wobei der Rolloff–Faktor $r_f$ = 0.5 (d. h. $f_2 = 3f_1)$ zugrunde liegt. Der si–Verlauf des rechteckförmigen Tiefpasses mit gleicher äquivalenter Bandbreite ist zum Vergleich gestrichelt eingezeichnet.<br />
<br />
[[Datei:P_ID846__LZI_T_1_3_S5_neu.png | Trapeztiefpass und zugehörige Impulsantwort|class=fit]]<br />
<br />
<br />
''Hinweis:'' Die Interpretation dieser Grafik folgt im nächsten Abschnitt.<br />
<br />
==Trapeztiefpass (2)==<br />
<br />
Die obenstehende Grafik sowie Gleichungen erlauben folgende Aussagen: <br />
*Die Trapezform entsteht z. B. durch die Faltung zweier Rechtecke der Breiten $Δf$ und $r_f Δf$. <br />
*Entsprechend dem Faltungssatz ist somit die Impulsantwort das Produkt zweier si–Funktionen mit den Argumenten $π · Δf · t$ und $π · rf · Δf · t$. <br />
*Die erste si–Funktion ist für alle Werte von $r_f$ Bestandteil der Gleichung für $h(t)$ und führt stets zu äquivalenten Nulldurchgängen im Abstand $1/Δf$. <br />
*Für 0 < $r_f$ < 1 gibt es weitere Nullstellen bei Vielfachen von $Δt/r_f$. <br />
*Der asymptotische Abfall der Impulsantwort $h(t)$ erfolgt um so schneller, je größer $r_f$ ist, d. h. bei gegebenem $Δf$ mit flacherer Flanke. Der schnellstmögliche Abfall ergibt sich beim Dreiecktiefpass ⇒ $r_f$ = 1, $f_1$ = 0, $f_2$ = $Δf$. Für diesen gilt im Frequenz– und Zeitbereich:<br />
$$H(f) = \left\{ \begin{array}{c} \hspace{0.25cm} \frac{{\rm \Delta}f -|f|}{{\rm \Delta}f} \\<br />
\hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad<br />
\begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}}<br />
\\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}<br />
{\hspace{1cm} \left| \hspace{0.005cm}f\hspace{0.05cm} \right| \le {\rm \Delta}f ,} \\<br />
{\hspace{1cm}\left|\hspace{0.005cm} f \hspace{0.05cm} \right| \ge {\rm \Delta}f ,} \\<br />
\end{array}$$<br />
$$h(t) = \Delta f \cdot {\rm si}^2(\pi \cdot \Delta f \cdot t )\hspace{0.4cm}{\rm{mit}}\hspace{0.4cm}{\rm si}(x) = \frac{\sin(x)}{x}.$$<br />
<br />
[[Datei:P_ID847__LZI_T_1_3_S5_neu.png | Trapeztiefpass und zugehörige Impulsantwort|class=fit]]<br />
<br />
==Cosinus-Rolloff-Tiefpass (1)==<br />
Ebenso wie der Trapeztiefpass wird dieser Tiefpass durch zwei Parameter beschrieben, nämlich durch die äquivalente Bandbreite $Δf$ und den Rolloff–Faktor $r_f$. Dessen Wertebereich liegt zwischen $r_f$ = 0 (Rechtecktiefpass) und $r_f$ = 1 (Cosinus–Quadrat–Tiefpass).<br />
{{Definition}}<br />
Der Frequenzgang des Cosinus–Rolloff–Tiefpasses lautet mit den zwei Eckfrequenzen $f_1$ = $Δf · (1 – r_f)$ und $f_2$ = $Δf · (1 + r_f)$:<br />
$$H(f) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}1 \\ \cos \left( \frac{|f|- f_1}{f_2 -f_1}\frac{\pi}{2}\right) \\<br />
\hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad<br />
\begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}}<br />
\\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}<br />
{\hspace{0.94cm}\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| < f_1,} \\<br />
{f_1 \le \left| \hspace{0.005cm}f\hspace{0.05cm} \right| \le f_2,} \\<br />
{\hspace{0.94cm}\left|\hspace{0.005cm} f \hspace{0.05cm} \right| > f_2.} \\<br />
\end{array}$$<br />
{{end}}<br />
<br />
<br />
Die nachfolgende Grafik zeigt $H(f)$ sowie die Impulsantwort<br />
$$h(t) = \Delta f \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t )\cdot<br />
\frac {\cos(\pi \cdot r_f \cdot \Delta f \cdot t )}{1 - (2 \cdot<br />
r_f \cdot \Delta f \cdot t)^2}.$$<br />
<br />
[[Datei:P_ID848__LZI_T_1_3_S6_neu.png| Cosinus–Rolloff–Tiefpass und zugehörige Impulsantwort|class=fit]]<br />
<br />
Für diese Grafiken wurde der Rolloff–Faktor $r_f$ = 0.5 verwendet, das heißt, es gilt $f_2$ = 3 · $f_1$. Gestrichelt sind zum Vergleich <br />
*im Frequenzbereich der Trapeztiefpass und <br />
*im Zeitbereich die si–Funktion <br />
<br />
<br />
eingezeichnet. Es ist zu beachten, dass die si-Funktion nicht die Fourierrücktransformierte des links blau eingezeichneten Trapeztiefpasses ist. Sie beschreibt vielmehr den idealen, rechteckförmigen Tiefpass im Zeitbereich.<br />
<br />
''Hinweis:'' Die Interpretation dieser Grafik folgt nachfolgend.<br />
<br />
==Cosinus-Rolloff-Tiefpass (2)==<br />
Anhand der oben gezeigten Grafik (Cosinus–Rolloff–Tiefpass und zugehörige Impulsantwort) und den obigen Gleichungen sind folgende Aussagen möglich: <br />
*Die Impulsantwort $h(t)$ hat bei allen Vielfachen von $Δt = 1/Δf$ Nullstellen, die auf die im rechten Bild gestrichelt eingezeichnete si–Funktion zurückzuführen sind. <br />
*Der letzte Term in der $h(t)$ –Gleichung führt zu weiteren Nullstellen bei Vielfachen von $Δt/r_f$. Ist $1/r_f$ ganzzahlig wie in obiger Grafik $(1/r_f$ = 2), so fallen diese mit den anderen Nullstellen zusammen. <br />
*Je größer der Rolloff-Faktor $r_f$ ist und je flacher damit der Flankenabfall erfolgt, desto günstiger ist im Allgemeinen das Einschwingverhalten des Cosinus-Rolloff-Tiefpasses. <br />
*Der Cosinus–Rolloff–Tiefpass zeigt meist ein besseres asymptotisches Einschwingverhalten als der Trapeztiefpass mit gleichem $r_f$, obwohl dieser zumindest bei $Δf/2$ eine flachere Flanke aufweist. <br />
*Dies lässt darauf schließen, dass das Einschwingverhalten nicht nur durch Unstetigkeitsstellen (wie beim Rechteck), sondern auch durch Knickpunkte wie beim Trapeztiefpass beeinträchtigt wird. <br />
*Als Sonderfall ergibt sich mit $f_1$ = 0, $f_2$ = $Δf$ ⇒ $r_f$ = 1 der Cosinus–Quadrat–Tiefpass, dessen Impulsantwort auch wie folgt dargestellt werden kann:<br />
$$h(t) = \frac{1}{ \Delta t}\cdot{\rm si}(\pi \frac{t}{ \Delta t})<br />
\cdot \left[ {\rm si}(\pi \frac{t}{ \Delta t} + 0.5) - {\rm<br />
si}(\pi \frac{t}{ \Delta t} - 0.5) \right].$$<br />
*Diese Funktion hat Nullstellen bei $t/Δt$ = ±1, ±1.5, ±2, ±2.5 usw., nicht jedoch bei $t/Δt$ = ±0.5. Im Buch „Digitalsignalübertragung” wird gezeigt, dass der Cosinus–Quadrat–Tiefpass als einziger Tiefpass die beiden so genannten Nyquistkriterien erfüllt.<br />
<br />
==Herleitung systemtheoretischer Hochpassfunktionen==<br />
In diesem Kapitel wurden fünf häufig verwendete systemtheoretische Tiefpassfunktionen betrachtet. Für jede einzelne Tiefpassfunktion lässt sich auch eine äquivalente Hochpassfunktion angeben.<br />
{{Definition}}<br />
Ist $H_{\rm TP}(f)$ eine systemtheoretische Tiefpassfunktion mit $H_{\rm TP}(f = 0)$ = 1, so gilt für die äquivalente Hochpassfunktion:<br />
$$H_{\rm HP}(f) = 1 - H_{\rm TP}(f).$$<br />
{{end}}<br />
<br />
<br />
Damit lauten die Beschreibungsgrößen im Zeitbereich:<br />
$$ \begin{align*} h_{\rm HP}(t) & = \delta (t) - h_{\rm TP}(t),\\<br />
\sigma_{\rm HP}(t) & = \gamma (t) - \sigma_{\rm TP}(t). \end{align*} $$<br />
Hierbei bezeichnen: <br />
*$h_{\rm HP}(t)$ und $h_{\rm TP}(t)$ die Impulsantworten von Hoch– und Tiefpass, <br />
*$σ_{\rm HP}(t)$ und $σ_{\rm TP}(t)$ die dazugehörigen Sprungfunktionen, <br />
*$γ(t)$ die Sprungfunktion als Ergebnis der Integration über die Diracfunktion $δ(t)$. <br />
<br />
<br />
{{Beispiel}}<br />
Wir betrachten den Spalttiefpass, der sich durch einen si–förmigen Frequenzgang, eine rechteckförmige Impulsantwort und eine linear ansteigende Sprungantwort auszeichnet. Diese sind in der nachfolgenden Grafik dargestellt. <br />
<br />
[[Datei: P_ID851__LZI_T_1_3_S7_neu.png | Konstruktion von Hochpassfunktionen aus den entsprechenden Tiefpässen|class=fit]]<br />
<br />
Die untere Skizze zeigt die entsprechenden Hochpassfunktionen. Man erkennt, dass <br />
*$H_{\rm HP}(f = 0)$ immer den Wert 0 besitzt, wenn $H_{\rm TP}(f = 0)$ = 1 ist, <br />
*demzufolge das Integral über $h_{\rm HP}(t)$ ebenfalls 0 ergeben muss und <br />
*auch die Sprungantwort $σ_{\rm HP}(t)$ gegen den Endwert 0 tendiert.<br />
{{end}}<br />
<br />
==Aufgaben==<br />
[[Aufgaben:1.5 Küpfmüller-Tiefpass]]<br />
<br />
[[Zusatzaufgaben:1.5 si-förmige Impulsantwort]]<br />
<br />
[[Aufgaben:1.6 Rechteckige Impulsantwort]]<br />
<br />
[[Zusatzaufgaben:1.6 Interpretation von H(f)]]<br />
<br />
[[Aufgaben:1.7 Nahezu kausaler Gaußtiefpass]]<br />
<br />
<br />
{{Display}}</div>Christophhttps://www.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Aufgabe_1.6Z:_Interpretation_der_%C3%9Cbertragungsfunktion&diff=5850Aufgaben:Aufgabe 1.6Z: Interpretation der Übertragungsfunktion2016-08-04T14:09:22Z<p>Christoph: /* Musterlösung */</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen}}<br />
<br />
[[Datei:P_ID862__LZI_Z_1_6.png|right|Impulsantwort und Eingangssignale (Aufgabe Z1.6)]] Mit dieser Aufgabe soll der Einfluss eines Tiefpasses $H(f)$ auf cosinusförmige Signale der Form<br />
$$x_i(t) = A_x \cdot {\rm cos}(2\pi f_i t )$$<br />
veranschaulicht werden. In der Grafik sehen Sie die Signale $x_i(t)$, wobei der Index $i$ die Frequenz in kHz angibt. So beschreibt $x_2(t)$ ein 2 kHz–Signal.<br />
<br />
Die Signalamplitude beträgt jeweils $A_x =$ 1 V. Das Gleichsignal $x_0(t)$ ist als Grenzfall eines Cosinussignals mit der Frequenz $f_0 =$ 0 zu interpretieren.<br />
<br />
Die obere Skizze zeigt die rechteckige Impulsantwort $h(t)$ des Tiefpasses. Der dazugehörige Frequenzgang lautet:<br />
$$H(f) = {\rm si}(\pi \frac{f}{ {\rm \Delta}f}) .$$<br />
Aufgrund der Linearität und der Tatsache, dass $H(f)$ reell und gerade ist, sind die Ausgangssignale ebenfalls cosinusförmig:<br />
$$y_i(t) = A_i \cdot {\rm cos}(2\pi f_i t ) .$$<br />
Gesucht werden die Signalamplituden $A_i$ am Ausgang für die verschiedenen Eingangsfrequenzen $f_i$, wobei die Lösung ausschließlich im Zeitbereich gefunden werden soll. Dieser etwas umständliche Lösungsweg soll dazu dienen, den Zusammenhang zwischen Zeit– und Frquenzbereich deutlich zu machen.<br />
<br />
'''Hinweis:''' Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen|Kapitel 1.3]]. Entgegen der sonst üblichen Definition einer Amplitude können die $„A_i”$ durchaus negativ sein. Dies entspricht dann der Funktion „Minus-Cosinus”.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Welcher Tiefpass liegt hier vor?<br />
|type="[]"}<br />
- Idealer Tiefpass.<br />
+ Spalttiefpass.<br />
- Gaußtiefpass.<br />
<br />
<br />
{Geben Sie die äquivalente Bandbreite von $H(f)$ an.<br />
|type="{}"}<br />
$\Delta f =$ { 2 } kHz<br />
<br />
<br />
{Berechnen Sie allgemein die Amplitude $A_i$ in Abhängigkeit von $x_i(t)$ und $h(t)$. Welche der nachfolgenden Punkte sind bei der Berechnung zu berücksichtigen?<br />
|type="[]"}<br />
+ Beim Cosinussignal gilt $A_i = y_i(t = 0)$.<br />
- Es gilt $y_i(t) = x_i(t) · h(t)$.<br />
+ Es gilt $y_i(t) = x_i(t) ∗ h(t)$.<br />
<br />
<br />
{Welche der nachfolgenden Ergebnisse treffen für $A_0, A_2$ und $A_4$ zu?<br />
|type="[]"}<br />
- $A_0 =$ 0.<br />
+ $A_0 =$ 1 V.<br />
+ $A_2 =$ 0.<br />
- $A_2 =$ 1 V.<br />
+ $A_4 =$ 0.<br />
- $A_4 =$ 1 V.<br />
<br />
<br />
{Berechnen Sie die Amplituden $A_1$ und $A_3$ für ein 1 kHz- bzw. 3 kHz-Signal. Interpretieren Sie die Ergebnisse anhand der Spektralfunktion.<br />
|type="{}"}<br />
$A_1 =$ { 0.637 5% } V<br />
$A_3 =$ { -0.215--0.205 } V<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
:'''a)''' Es handelt sich um einen $\rm \underline{Spalttiefpass}$.<br />
<br />
<br />
:'''b)''' Die (äquivalente) Zeitdauer der Impulsantwort ist $Δt =$ 0.5 ms. Die äquivalente Bandbreite ist gleich dem Kehrwert $Δf = 1/Δt \ \rm \underline{= \ 2 kHz}$.<br />
<br />
<br />
:'''c)''' Da $y_i(t)$ cosinusförmig ist, ist die Amplitude gleich dem Signalwert bei $t =$ 0. Das Ausgangssignal soll hier über die Faltung berechnet werden:<br />
$$A_i = y_i (t=0) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {x_i ( \tau )} \cdot h ( {0 - \tau } ) \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$<br />
:Berücksichtigt man die Symmetrie und die zeitliche Begrenzung von $h(t)$, so kommt man zum Ergebnis:<br />
$$A_i = \frac{A_x}{\Delta t} \cdot \int\limits_{ - \Delta t /2 }^{ + \Delta t /2 } {\rm cos}(2\pi f_i \tau )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$<br />
:Richtig sind also die $\rm \underline{\ Lösungsvorschläge \ 1 \ und \ 3}$.<br />
<br />
<br />
:'''d)''' Beim Gleichsignal $x_0(t) = A_x$ ist $f_i =$ 0 zu setzen und man erhält $A_0 = A_x \ \rm \underline{ = \ 1 \ V}$.<br />
:Dagegen verschwindet bei den Cosinusfrequenzen $f_2 =$ 2 kHz und $f_4 =$ 4 kHz jeweils das Integral, da dann genau über eine bzw. zwei Periodendauern zu integrieren ist: $A_2 \ \rm \underline{ = \ 0}$ und $A_4 \ \rm \underline{ = \ 0}$.<br />
:Im Frequenzbereich entsprechen die hier behandelten Fälle:<br />
$$H(f=0) = 1, \hspace{0.3cm}H(f=\Delta f) = 0, \hspace{0.3cm}H(f=2\Delta f) = 0.$$<br />
<br />
<br />
:'''e)''' Das Ergebnis von c) lautet unter Berücksichtigung der Symmetrie für $f_i = f_1$:<br />
$$A_1= \frac{2A_x}{\Delta t} \cdot \int\limits_{ 0 }^{ \Delta t /2 } {\rm cos}(2\pi f_1 \tau )\hspace{0.1cm}{\rm<br />
d}\tau = \frac{2A_x}{2\pi f_1 \cdot \Delta t} \cdot {\rm sin}(2\pi f_1 \frac{\Delta t}{2}<br />
)= A_x \cdot {\rm si}(\pi f_1 \Delta t ).$$<br />
:Mit $f_1 · Δt =$ 0.5 lautet somit das Ergebnis:<br />
$$A_1 = A_x \cdot {\rm si}(\frac{\pi}{2} ) = \frac{2A_x}{\pi} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.637\,{\rm V}}.$$<br />
:Entsprechend erhält man mit $f_3 · Δt =$ 1.5:<br />
$$A_3 = A_x \cdot {\rm si}(\frac{3\pi}{2} ) = -\frac{2A_x}{3\pi} = -\frac{A_1}{3}\hspace{0.15cm}\underline{= -0.212\,{\rm V}}.$$<br />
:Genau zu den gleichen Ergebnissen – aber deutlich schneller – kommt man durch die Anwendung der Gleichung $A_i = A_x · H(f = f_i)$.<br />
<br />
:Bereits aus den Grafiken auf der Angabenseite erkennt man, dass das Integral über $x_1(t)$ im markierten Bereich positiv und das Integral über $x_3(t)$ negativ ist. Es ist allerdings anzumerken, dass man im Allgemeinen als Amplitude meist den Betrag bezeichnet (siehe Hinweis auf der Angabenseite).<br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^Kapitelx^]]</div>Christophhttps://www.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Aufgabe_1.6Z:_Interpretation_der_%C3%9Cbertragungsfunktion&diff=5849Aufgaben:Aufgabe 1.6Z: Interpretation der Übertragungsfunktion2016-08-04T14:07:12Z<p>Christoph: /* Musterlösung */</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen}}<br />
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[[Datei:P_ID862__LZI_Z_1_6.png|right|Impulsantwort und Eingangssignale (Aufgabe Z1.6)]] Mit dieser Aufgabe soll der Einfluss eines Tiefpasses $H(f)$ auf cosinusförmige Signale der Form<br />
$$x_i(t) = A_x \cdot {\rm cos}(2\pi f_i t )$$<br />
veranschaulicht werden. In der Grafik sehen Sie die Signale $x_i(t)$, wobei der Index $i$ die Frequenz in kHz angibt. So beschreibt $x_2(t)$ ein 2 kHz–Signal.<br />
<br />
Die Signalamplitude beträgt jeweils $A_x =$ 1 V. Das Gleichsignal $x_0(t)$ ist als Grenzfall eines Cosinussignals mit der Frequenz $f_0 =$ 0 zu interpretieren.<br />
<br />
Die obere Skizze zeigt die rechteckige Impulsantwort $h(t)$ des Tiefpasses. Der dazugehörige Frequenzgang lautet:<br />
$$H(f) = {\rm si}(\pi \frac{f}{ {\rm \Delta}f}) .$$<br />
Aufgrund der Linearität und der Tatsache, dass $H(f)$ reell und gerade ist, sind die Ausgangssignale ebenfalls cosinusförmig:<br />
$$y_i(t) = A_i \cdot {\rm cos}(2\pi f_i t ) .$$<br />
Gesucht werden die Signalamplituden $A_i$ am Ausgang für die verschiedenen Eingangsfrequenzen $f_i$, wobei die Lösung ausschließlich im Zeitbereich gefunden werden soll. Dieser etwas umständliche Lösungsweg soll dazu dienen, den Zusammenhang zwischen Zeit– und Frquenzbereich deutlich zu machen.<br />
<br />
'''Hinweis:''' Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen|Kapitel 1.3]]. Entgegen der sonst üblichen Definition einer Amplitude können die $„A_i”$ durchaus negativ sein. Dies entspricht dann der Funktion „Minus-Cosinus”.<br />
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===Fragebogen===<br />
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<quiz display=simple><br />
{Welcher Tiefpass liegt hier vor?<br />
|type="[]"}<br />
- Idealer Tiefpass.<br />
+ Spalttiefpass.<br />
- Gaußtiefpass.<br />
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{Geben Sie die äquivalente Bandbreite von $H(f)$ an.<br />
|type="{}"}<br />
$\Delta f =$ { 2 } kHz<br />
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<br />
{Berechnen Sie allgemein die Amplitude $A_i$ in Abhängigkeit von $x_i(t)$ und $h(t)$. Welche der nachfolgenden Punkte sind bei der Berechnung zu berücksichtigen?<br />
|type="[]"}<br />
+ Beim Cosinussignal gilt $A_i = y_i(t = 0)$.<br />
- Es gilt $y_i(t) = x_i(t) · h(t)$.<br />
+ Es gilt $y_i(t) = x_i(t) ∗ h(t)$.<br />
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{Welche der nachfolgenden Ergebnisse treffen für $A_0, A_2$ und $A_4$ zu?<br />
|type="[]"}<br />
- $A_0 =$ 0.<br />
+ $A_0 =$ 1 V.<br />
+ $A_2 =$ 0.<br />
- $A_2 =$ 1 V.<br />
+ $A_4 =$ 0.<br />
- $A_4 =$ 1 V.<br />
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{Berechnen Sie die Amplituden $A_1$ und $A_3$ für ein 1 kHz- bzw. 3 kHz-Signal. Interpretieren Sie die Ergebnisse anhand der Spektralfunktion.<br />
|type="{}"}<br />
$A_1 =$ { 0.637 5% } V<br />
$A_3 =$ { -0.215--0.205 } V<br />
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</quiz><br />
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===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
:'''a)''' Es handelt sich um einen $\rm \underline{Spalttiefpass}$.<br />
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:'''b)''' Die (äquivalente) Zeitdauer der Impulsantwort ist $Δt =$ 0.5 ms. Die äquivalente Bandbreite ist gleich dem Kehrwert $Δf = 1/Δt \ \rm \underline{= \ 2 kHz}$.<br />
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:'''c)''' Da $y_i(t)$ cosinusförmig ist, ist die Amplitude gleich dem Signalwert bei $t =$ 0. Das Ausgangssignal soll hier über die Faltung berechnet werden:<br />
$$A_i = y_i (t=0) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {x_i ( \tau )} \cdot h ( {0 - \tau } ) \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$<br />
:Berücksichtigt man die Symmetrie und die zeitliche Begrenzung von $h(t)$, so kommt man zum Ergebnis:<br />
$$A_i = \frac{A_x}{\Delta t} \cdot \int\limits_{ - \Delta t /2 }^{ + \Delta t /2 } {\rm cos}(2\pi f_i \tau )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$<br />
:Richtig sind also die $\rm \underline{\ Lösungsvorschläge \ 1 \ und \ 3}$.<br />
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:'''d)''' Beim Gleichsignal $x_0(t) = A_x$ ist $f_i =$ 0 zu setzen und man erhält $A_0 = A_x \ \rm \underline{ = \ 1 \ V}$.<br />
:Dagegen verschwindet bei den Cosinusfrequenzen $f_2 =$ 2 kHz und $f_4 =$ 4 kHz jeweils das Integral, da dann genau über eine bzw. zwei Periodendauern zu integrieren ist: $A_2 \ \rm \underline{ = \ 0}$ und $A_4 \ \rm \underline{ = \ 0}$.<br />
:Im Frequenzbereich entsprechen die hier behandelten Fälle:<br />
$$H(f=0) = 1, \hspace{0.3cm}H(f=\Delta f) = 0, \hspace{0.3cm}H(f=2\Delta f) = 0.$$<br />
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:'''e)''' Das Ergebnis von c) lautet unter Berücksichtigung der Symmetrie für $f_i = f_1$:<br />
$$A_1= \frac{2A_x}{\Delta t} \cdot \int\limits_{ 0 }^{ \Delta t /2 } {\rm cos}(2\pi f_1 \tau )\hspace{0.1cm}{\rm<br />
d}\tau = \frac{2A_x}{2\pi f_1 \cdot \Delta t} \cdot {\rm sin}(2\pi f_1 \frac{\Delta t}{2}<br />
)= A_x \cdot {\rm si}(\pi f_1 \Delta t ).$$<br />
:Mit $f_1 · Δt =$ 0.5 lautet somit das Ergebnis:<br />
$$A_1 = A_x \cdot {\rm si}(\frac{\pi}{2} ) = \frac{2A_x}{\pi} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.637\,{\rm V}}.$$<br />
:Entsprechend erhält man mit$ _f3 · Δt =$ 1.5:<br />
$$A_3 = A_x \cdot {\rm si}(\frac{3\pi}{2} ) = -\frac{2A_x}{3\pi} = -\frac{A_1}{3}\hspace{0.15cm}\underline{= -0.212\,{\rm V}}.$$<br />
:Genau zu den gleichen Ergebnissen – aber deutlich schneller – kommt man durch die Anwendung der Gleichung $A_i = A_x · H(f = f_i)$.<br />
<br />
:Bereits aus den Grafiken auf der Angabenseite erkennt man, dass das Integral über $x_1(t)$ im markierten Bereich positiv und das Integral über $x_3(t)$ negativ ist. Es ist allerdings anzumerken, dass man im Allgemeinen als Amplitude meist den Betrag bezeichnet (siehe Hinweis auf der Angabenseite).<br />
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{{ML-Fuß}}<br />
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[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^Kapitelx^]]</div>Christophhttps://www.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Aufgabe_1.6Z:_Interpretation_der_%C3%9Cbertragungsfunktion&diff=5848Aufgaben:Aufgabe 1.6Z: Interpretation der Übertragungsfunktion2016-08-04T14:06:26Z<p>Christoph: /* Musterlösung */</p>
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{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen}}<br />
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[[Datei:P_ID862__LZI_Z_1_6.png|right|Impulsantwort und Eingangssignale (Aufgabe Z1.6)]] Mit dieser Aufgabe soll der Einfluss eines Tiefpasses $H(f)$ auf cosinusförmige Signale der Form<br />
$$x_i(t) = A_x \cdot {\rm cos}(2\pi f_i t )$$<br />
veranschaulicht werden. In der Grafik sehen Sie die Signale $x_i(t)$, wobei der Index $i$ die Frequenz in kHz angibt. So beschreibt $x_2(t)$ ein 2 kHz–Signal.<br />
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Die Signalamplitude beträgt jeweils $A_x =$ 1 V. Das Gleichsignal $x_0(t)$ ist als Grenzfall eines Cosinussignals mit der Frequenz $f_0 =$ 0 zu interpretieren.<br />
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Die obere Skizze zeigt die rechteckige Impulsantwort $h(t)$ des Tiefpasses. Der dazugehörige Frequenzgang lautet:<br />
$$H(f) = {\rm si}(\pi \frac{f}{ {\rm \Delta}f}) .$$<br />
Aufgrund der Linearität und der Tatsache, dass $H(f)$ reell und gerade ist, sind die Ausgangssignale ebenfalls cosinusförmig:<br />
$$y_i(t) = A_i \cdot {\rm cos}(2\pi f_i t ) .$$<br />
Gesucht werden die Signalamplituden $A_i$ am Ausgang für die verschiedenen Eingangsfrequenzen $f_i$, wobei die Lösung ausschließlich im Zeitbereich gefunden werden soll. Dieser etwas umständliche Lösungsweg soll dazu dienen, den Zusammenhang zwischen Zeit– und Frquenzbereich deutlich zu machen.<br />
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'''Hinweis:''' Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen|Kapitel 1.3]]. Entgegen der sonst üblichen Definition einer Amplitude können die $„A_i”$ durchaus negativ sein. Dies entspricht dann der Funktion „Minus-Cosinus”.<br />
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===Fragebogen===<br />
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<quiz display=simple><br />
{Welcher Tiefpass liegt hier vor?<br />
|type="[]"}<br />
- Idealer Tiefpass.<br />
+ Spalttiefpass.<br />
- Gaußtiefpass.<br />
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{Geben Sie die äquivalente Bandbreite von $H(f)$ an.<br />
|type="{}"}<br />
$\Delta f =$ { 2 } kHz<br />
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{Berechnen Sie allgemein die Amplitude $A_i$ in Abhängigkeit von $x_i(t)$ und $h(t)$. Welche der nachfolgenden Punkte sind bei der Berechnung zu berücksichtigen?<br />
|type="[]"}<br />
+ Beim Cosinussignal gilt $A_i = y_i(t = 0)$.<br />
- Es gilt $y_i(t) = x_i(t) · h(t)$.<br />
+ Es gilt $y_i(t) = x_i(t) ∗ h(t)$.<br />
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{Welche der nachfolgenden Ergebnisse treffen für $A_0, A_2$ und $A_4$ zu?<br />
|type="[]"}<br />
- $A_0 =$ 0.<br />
+ $A_0 =$ 1 V.<br />
+ $A_2 =$ 0.<br />
- $A_2 =$ 1 V.<br />
+ $A_4 =$ 0.<br />
- $A_4 =$ 1 V.<br />
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{Berechnen Sie die Amplituden $A_1$ und $A_3$ für ein 1 kHz- bzw. 3 kHz-Signal. Interpretieren Sie die Ergebnisse anhand der Spektralfunktion.<br />
|type="{}"}<br />
$A_1 =$ { 0.637 5% } V<br />
$A_3 =$ { -0.215--0.205 } V<br />
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</quiz><br />
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===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
:'''a)''' Es handelt sich um einen $\rm \underline{Spalttiefpass}$.<br />
<br />
<br />
:'''b)''' Die (äquivalente) Zeitdauer der Impulsantwort ist $Δt =$ 0.5 ms. Die äquivalente Bandbreite ist gleich dem Kehrwert $Δf = 1/Δt \ \rm \underline{= \ 2 kHz}$.<br />
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<br />
:'''c)''' Da $y_i(t)$ cosinusförmig ist, ist die Amplitude gleich dem Signalwert bei $t =$ 0. Das Ausgangssignal soll hier über die Faltung berechnet werden:<br />
$$A_i = y_i (t=0) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {x_i ( \tau )} \cdot h ( {0 - \tau } ) \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$<br />
:Berücksichtigt man die Symmetrie und die zeitliche Begrenzung von $h(t)$, so kommt man zum Ergebnis:<br />
$$A_i = \frac{A_x}{\Delta t} \cdot \int\limits_{ - \Delta t /2 }^{ + \Delta t /2 } {\rm cos}(2\pi f_i \tau )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$<br />
:Richtig sind also die $\rm \underline{\ Lösungsvorschläge \ 1 \ und \ 3}$.<br />
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:'''d)''' Beim Gleichsignal $x_0(t) = A_x$ ist $f_i =$ 0 zu setzen und man erhält $A_0 = A_x \rm \underline{ = \ 1 \ V}$.<br />
:Dagegen verschwindet bei den Cosinusfrequenzen $f_2 =$ 2 kHz und $f_4 =$ 4 kHz jeweils das Integral, da dann genau über eine bzw. zwei Periodendauern zu integrieren ist: $A_2 \rm \underline{ = \ 0}$ und $A_4 \rm \underline{ = \ 0}$.<br />
:Im Frequenzbereich entsprechen die hier behandelten Fälle:<br />
$$H(f=0) = 1, \hspace{0.3cm}H(f=\Delta f) = 0, \hspace{0.3cm}H(f=2\Delta f) = 0.$$<br />
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:'''e)''' Das Ergebnis von c) lautet unter Berücksichtigung der Symmetrie für $f_i = f_1$:<br />
$$A_1= \frac{2A_x}{\Delta t} \cdot \int\limits_{ 0 }^{ \Delta t /2 } {\rm cos}(2\pi f_1 \tau )\hspace{0.1cm}{\rm<br />
d}\tau = \frac{2A_x}{2\pi f_1 \cdot \Delta t} \cdot {\rm sin}(2\pi f_1 \frac{\Delta t}{2}<br />
)= A_x \cdot {\rm si}(\pi f_1 \Delta t ).$$<br />
:Mit $f_1 · Δt =$ 0.5 lautet somit das Ergebnis:<br />
$$A_1 = A_x \cdot {\rm si}(\frac{\pi}{2} ) = \frac{2A_x}{\pi} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.637\,{\rm V}}.$$<br />
:Entsprechend erhält man mit$ _f3 · Δt =$ 1.5:<br />
$$A_3 = A_x \cdot {\rm si}(\frac{3\pi}{2} ) = -\frac{2A_x}{3\pi} = -\frac{A_1}{3}\hspace{0.15cm}\underline{= -0.212\,{\rm V}}.$$<br />
:Genau zu den gleichen Ergebnissen – aber deutlich schneller – kommt man durch die Anwendung der Gleichung $A_i = A_x · H(f = f_i)$.<br />
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:Bereits aus den Grafiken auf der Angabenseite erkennt man, dass das Integral über $x_1(t)$ im markierten Bereich positiv und das Integral über $x_3(t)$ negativ ist. Es ist allerdings anzumerken, dass man im Allgemeinen als Amplitude meist den Betrag bezeichnet (siehe Hinweis auf der Angabenseite).<br />
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{{ML-Fuß}}<br />
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{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen}}<br />
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[[Datei:P_ID862__LZI_Z_1_6.png|right|Impulsantwort und Eingangssignale (Aufgabe Z1.6)]] Mit dieser Aufgabe soll der Einfluss eines Tiefpasses $H(f)$ auf cosinusförmige Signale der Form<br />
$$x_i(t) = A_x \cdot {\rm cos}(2\pi f_i t )$$<br />
veranschaulicht werden. In der Grafik sehen Sie die Signale $x_i(t)$, wobei der Index $i$ die Frequenz in kHz angibt. So beschreibt $x_2(t)$ ein 2 kHz–Signal.<br />
<br />
Die Signalamplitude beträgt jeweils $A_x =$ 1 V. Das Gleichsignal $x_0(t)$ ist als Grenzfall eines Cosinussignals mit der Frequenz $f_0 =$ 0 zu interpretieren.<br />
<br />
Die obere Skizze zeigt die rechteckige Impulsantwort $h(t)$ des Tiefpasses. Der dazugehörige Frequenzgang lautet:<br />
$$H(f) = {\rm si}(\pi \frac{f}{ {\rm \Delta}f}) .$$<br />
Aufgrund der Linearität und der Tatsache, dass $H(f)$ reell und gerade ist, sind die Ausgangssignale ebenfalls cosinusförmig:<br />
$$y_i(t) = A_i \cdot {\rm cos}(2\pi f_i t ) .$$<br />
Gesucht werden die Signalamplituden $A_i$ am Ausgang für die verschiedenen Eingangsfrequenzen $f_i$, wobei die Lösung ausschließlich im Zeitbereich gefunden werden soll. Dieser etwas umständliche Lösungsweg soll dazu dienen, den Zusammenhang zwischen Zeit– und Frquenzbereich deutlich zu machen.<br />
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'''Hinweis:''' Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen|Kapitel 1.3]]. Entgegen der sonst üblichen Definition einer Amplitude können die $„A_i”$ durchaus negativ sein. Dies entspricht dann der Funktion „Minus-Cosinus”.<br />
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===Fragebogen===<br />
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<quiz display=simple><br />
{Welcher Tiefpass liegt hier vor?<br />
|type="[]"}<br />
- Idealer Tiefpass.<br />
+ Spalttiefpass.<br />
- Gaußtiefpass.<br />
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{Geben Sie die äquivalente Bandbreite von $H(f)$ an.<br />
|type="{}"}<br />
$\Delta f =$ { 2 } kHz<br />
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<br />
{Berechnen Sie allgemein die Amplitude $A_i$ in Abhängigkeit von $x_i(t)$ und $h(t)$. Welche der nachfolgenden Punkte sind bei der Berechnung zu berücksichtigen?<br />
|type="[]"}<br />
+ Beim Cosinussignal gilt $A_i = y_i(t = 0)$.<br />
- Es gilt $y_i(t) = x_i(t) · h(t)$.<br />
+ Es gilt $y_i(t) = x_i(t) ∗ h(t)$.<br />
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{Welche der nachfolgenden Ergebnisse treffen für $A_0, A_2$ und $A_4$ zu?<br />
|type="[]"}<br />
- $A_0 =$ 0.<br />
+ $A_0 =$ 1 V.<br />
+ $A_2 =$ 0.<br />
- $A_2 =$ 1 V.<br />
+ $A_4 =$ 0.<br />
- $A_4 =$ 1 V.<br />
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{Berechnen Sie die Amplituden $A_1$ und $A_3$ für ein 1 kHz- bzw. 3 kHz-Signal. Interpretieren Sie die Ergebnisse anhand der Spektralfunktion.<br />
|type="{}"}<br />
$A_1 =$ { 0.637 5% } V<br />
$A_3 =$ { -0.215--0.205 } V<br />
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</quiz><br />
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===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
:'''a)''' Es handelt sich um einen $\rm \underline{Spalttiefpass}$.<br />
<br />
<br />
:'''b)''' Die (äquivalente) Zeitdauer der Impulsantwort ist $Δt =$ 0.5 ms. Die äquivalente Bandbreite ist gleich dem Kehrwert $Δf = 1/Δt \rm \underline{= \ 2 kHz}$.<br />
<br />
<br />
:'''c)''' Da $y_i(t)$ cosinusförmig ist, ist die Amplitude gleich dem Signalwert bei $t =$ 0. Das Ausgangssignal soll hier über die Faltung berechnet werden:<br />
$$A_i = y_i (t=0) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {x_i ( \tau )} \cdot h ( {0 - \tau } ) \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$<br />
:Berücksichtigt man die Symmetrie und die zeitliche Begrenzung von $h(t)$, so kommt man zum Ergebnis:<br />
$$A_i = \frac{A_x}{\Delta t} \cdot \int\limits_{ - \Delta t /2 }^{ + \Delta t /2 } {\rm cos}(2\pi f_i \tau )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$<br />
:Richtig sind also die $\rm \underline{\ Lösungsvorschläge \ 1 \ und \ 3}$.<br />
<br />
<br />
:'''d)''' Beim Gleichsignal $x_0(t) = A_x$ ist $f_i =$ 0 zu setzen und man erhält $A_0 = A_x \rm \underline{ = \ 1 \ V}$.<br />
:Dagegen verschwindet bei den Cosinusfrequenzen $f_2 =$ 2 kHz und $f_4 =$ 4 kHz jeweils das Integral, da dann genau über eine bzw. zwei Periodendauern zu integrieren ist: $A_2 \rm \underline{ = \ 0}$ und $A_4 \rm \underline{ = \ 0}$.<br />
:Im Frequenzbereich entsprechen die hier behandelten Fälle:<br />
$$H(f=0) = 1, \hspace{0.3cm}H(f=\Delta f) = 0, \hspace{0.3cm}H(f=2\Delta f) = 0.$$<br />
<br />
<br />
:'''e)''' Das Ergebnis von c) lautet unter Berücksichtigung der Symmetrie für $f_i = f_1$:<br />
$$A_1= \frac{2A_x}{\Delta t} \cdot \int\limits_{ 0 }^{ \Delta t /2 } {\rm cos}(2\pi f_1 \tau )\hspace{0.1cm}{\rm<br />
d}\tau = \frac{2A_x}{2\pi f_1 \cdot \Delta t} \cdot {\rm sin}(2\pi f_1 \frac{\Delta t}{2}<br />
)= A_x \cdot {\rm si}(\pi f_1 \Delta t ).$$<br />
:Mit $f_1 · Δt =$ 0.5 lautet somit das Ergebnis:<br />
$$A_1 = A_x \cdot {\rm si}(\frac{\pi}{2} ) = \frac{2A_x}{\pi} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.637\,{\rm V}}.$$<br />
:Entsprechend erhält man mit$ _f3 · Δt =$ 1.5:<br />
$$A_3 = A_x \cdot {\rm si}(\frac{3\pi}{2} ) = -\frac{2A_x}{3\pi} = -\frac{A_1}{3}\hspace{0.15cm}\underline{= -0.212\,{\rm V}}.$$<br />
:Genau zu den gleichen Ergebnissen – aber deutlich schneller – kommt man durch die Anwendung der Gleichung $A_i = A_x · H(f = f_i)$.<br />
<br />
:Bereits aus den Grafiken auf der Angabenseite erkennt man, dass das Integral über $x_1(t)$ im markierten Bereich positiv und das Integral über $x_3(t)$ negativ ist. Es ist allerdings anzumerken, dass man im Allgemeinen als Amplitude meist den Betrag bezeichnet (siehe Hinweis auf der Angabenseite).<br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^Kapitelx^]]</div>Christophhttps://www.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Aufgabe_1.6Z:_Interpretation_der_%C3%9Cbertragungsfunktion&diff=5846Aufgaben:Aufgabe 1.6Z: Interpretation der Übertragungsfunktion2016-08-04T14:03:21Z<p>Christoph: /* Musterlösung */</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen}}<br />
<br />
[[Datei:P_ID862__LZI_Z_1_6.png|right|Impulsantwort und Eingangssignale (Aufgabe Z1.6)]] Mit dieser Aufgabe soll der Einfluss eines Tiefpasses $H(f)$ auf cosinusförmige Signale der Form<br />
$$x_i(t) = A_x \cdot {\rm cos}(2\pi f_i t )$$<br />
veranschaulicht werden. In der Grafik sehen Sie die Signale $x_i(t)$, wobei der Index $i$ die Frequenz in kHz angibt. So beschreibt $x_2(t)$ ein 2 kHz–Signal.<br />
<br />
Die Signalamplitude beträgt jeweils $A_x =$ 1 V. Das Gleichsignal $x_0(t)$ ist als Grenzfall eines Cosinussignals mit der Frequenz $f_0 =$ 0 zu interpretieren.<br />
<br />
Die obere Skizze zeigt die rechteckige Impulsantwort $h(t)$ des Tiefpasses. Der dazugehörige Frequenzgang lautet:<br />
$$H(f) = {\rm si}(\pi \frac{f}{ {\rm \Delta}f}) .$$<br />
Aufgrund der Linearität und der Tatsache, dass $H(f)$ reell und gerade ist, sind die Ausgangssignale ebenfalls cosinusförmig:<br />
$$y_i(t) = A_i \cdot {\rm cos}(2\pi f_i t ) .$$<br />
Gesucht werden die Signalamplituden $A_i$ am Ausgang für die verschiedenen Eingangsfrequenzen $f_i$, wobei die Lösung ausschließlich im Zeitbereich gefunden werden soll. Dieser etwas umständliche Lösungsweg soll dazu dienen, den Zusammenhang zwischen Zeit– und Frquenzbereich deutlich zu machen.<br />
<br />
'''Hinweis:''' Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen|Kapitel 1.3]]. Entgegen der sonst üblichen Definition einer Amplitude können die $„A_i”$ durchaus negativ sein. Dies entspricht dann der Funktion „Minus-Cosinus”.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Welcher Tiefpass liegt hier vor?<br />
|type="[]"}<br />
- Idealer Tiefpass.<br />
+ Spalttiefpass.<br />
- Gaußtiefpass.<br />
<br />
<br />
{Geben Sie die äquivalente Bandbreite von $H(f)$ an.<br />
|type="{}"}<br />
$\Delta f =$ { 2 } kHz<br />
<br />
<br />
{Berechnen Sie allgemein die Amplitude $A_i$ in Abhängigkeit von $x_i(t)$ und $h(t)$. Welche der nachfolgenden Punkte sind bei der Berechnung zu berücksichtigen?<br />
|type="[]"}<br />
+ Beim Cosinussignal gilt $A_i = y_i(t = 0)$.<br />
- Es gilt $y_i(t) = x_i(t) · h(t)$.<br />
+ Es gilt $y_i(t) = x_i(t) ∗ h(t)$.<br />
<br />
<br />
{Welche der nachfolgenden Ergebnisse treffen für $A_0, A_2$ und $A_4$ zu?<br />
|type="[]"}<br />
- $A_0 =$ 0.<br />
+ $A_0 =$ 1 V.<br />
+ $A_2 =$ 0.<br />
- $A_2 =$ 1 V.<br />
+ $A_4 =$ 0.<br />
- $A_4 =$ 1 V.<br />
<br />
<br />
{Berechnen Sie die Amplituden $A_1$ und $A_3$ für ein 1 kHz- bzw. 3 kHz-Signal. Interpretieren Sie die Ergebnisse anhand der Spektralfunktion.<br />
|type="{}"}<br />
$A_1 =$ { 0.637 5% } V<br />
$A_3 =$ { -0.215--0.205 } V<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
:'''a)''' Es handelt sich um einen $\rm \underline{Spalttiefpass}$.<br />
<br />
<br />
:'''b)''' Die (äquivalente) Zeitdauer der Impulsantwort ist $Δt =$ 0.5 ms. Die äquivalente Bandbreite ist gleich dem Kehrwert $Δf = 1/Δt \rm \underline{\ = \ 2 kHz}$.<br />
<br />
<br />
:'''c)''' Da $y_i(t)$ cosinusförmig ist, ist die Amplitude gleich dem Signalwert bei $t =$ 0. Das Ausgangssignal soll hier über die Faltung berechnet werden:<br />
$$A_i = y_i (t=0) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {x_i ( \tau )} \cdot h ( {0 - \tau } ) \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$<br />
:Berücksichtigt man die Symmetrie und die zeitliche Begrenzung von $h(t)$, so kommt man zum Ergebnis:<br />
$$A_i = \frac{A_x}{\Delta t} \cdot \int\limits_{ - \Delta t /2 }^{ + \Delta t /2 } {\rm cos}(2\pi f_i \tau )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$<br />
:Richtig sind also die $\rm \underline{\ Lösungsvorschläge \ 1 \ und \ 3}$.<br />
<br />
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:'''d)''' Beim Gleichsignal $x_0(t) = A_x$ ist $f_i =$ 0 zu setzen und man erhält $A_0 = A_x \rm \underline{\ = \ 1 \ V}$.<br />
:Dagegen verschwindet bei den Cosinusfrequenzen $f_2 =$ 2 kHz und $f_4 =$ 4 kHz jeweils das Integral, da dann genau über eine bzw. zwei Periodendauern zu integrieren ist: $A_2 \rm \underline{ \ = \ 0}$ und $A_4 \rm \underline{ \ = \ 0}$.<br />
:Im Frequenzbereich entsprechen die hier behandelten Fälle:<br />
$$H(f=0) = 1, \hspace{0.3cm}H(f=\Delta f) = 0, \hspace{0.3cm}H(f=2\Delta f) = 0.$$<br />
<br />
<br />
:'''e)''' Das Ergebnis von c) lautet unter Berücksichtigung der Symmetrie für $f_i = f_1$:<br />
$$A_1= \frac{2A_x}{\Delta t} \cdot \int\limits_{ 0 }^{ \Delta t /2 } {\rm cos}(2\pi f_1 \tau )\hspace{0.1cm}{\rm<br />
d}\tau = \frac{2A_x}{2\pi f_1 \cdot \Delta t} \cdot {\rm sin}(2\pi f_1 \frac{\Delta t}{2}<br />
)= A_x \cdot {\rm si}(\pi f_1 \Delta t ).$$<br />
:Mit $f_1 · Δt =$ 0.5 lautet somit das Ergebnis:<br />
$$A_1 = A_x \cdot {\rm si}(\frac{\pi}{2} ) = \frac{2A_x}{\pi} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.637\,{\rm V}}.$$<br />
:Entsprechend erhält man mit$ _f3 · Δt =$ 1.5:<br />
$$A_3 = A_x \cdot {\rm si}(\frac{3\pi}{2} ) = -\frac{2A_x}{3\pi} = -\frac{A_1}{3}\hspace{0.15cm}\underline{= -0.212\,{\rm V}}.$$<br />
:Genau zu den gleichen Ergebnissen – aber deutlich schneller – kommt man durch die Anwendung der Gleichung $A_i = A_x · H(f = f_i)$.<br />
<br />
:Bereits aus den Grafiken auf der Angabenseite erkennt man, dass das Integral über $x_1(t)$ im markierten Bereich positiv und das Integral über $x_3(t)$ negativ ist. Es ist allerdings anzumerken, dass man im Allgemeinen als Amplitude meist den Betrag bezeichnet (siehe Hinweis auf der Angabenseite).<br />
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{{ML-Fuß}}<br />
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[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^Kapitelx^]]</div>Christophhttps://www.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Aufgabe_1.6Z:_Interpretation_der_%C3%9Cbertragungsfunktion&diff=5845Aufgaben:Aufgabe 1.6Z: Interpretation der Übertragungsfunktion2016-08-04T14:02:47Z<p>Christoph: /* Musterlösung */</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen}}<br />
<br />
[[Datei:P_ID862__LZI_Z_1_6.png|right|Impulsantwort und Eingangssignale (Aufgabe Z1.6)]] Mit dieser Aufgabe soll der Einfluss eines Tiefpasses $H(f)$ auf cosinusförmige Signale der Form<br />
$$x_i(t) = A_x \cdot {\rm cos}(2\pi f_i t )$$<br />
veranschaulicht werden. In der Grafik sehen Sie die Signale $x_i(t)$, wobei der Index $i$ die Frequenz in kHz angibt. So beschreibt $x_2(t)$ ein 2 kHz–Signal.<br />
<br />
Die Signalamplitude beträgt jeweils $A_x =$ 1 V. Das Gleichsignal $x_0(t)$ ist als Grenzfall eines Cosinussignals mit der Frequenz $f_0 =$ 0 zu interpretieren.<br />
<br />
Die obere Skizze zeigt die rechteckige Impulsantwort $h(t)$ des Tiefpasses. Der dazugehörige Frequenzgang lautet:<br />
$$H(f) = {\rm si}(\pi \frac{f}{ {\rm \Delta}f}) .$$<br />
Aufgrund der Linearität und der Tatsache, dass $H(f)$ reell und gerade ist, sind die Ausgangssignale ebenfalls cosinusförmig:<br />
$$y_i(t) = A_i \cdot {\rm cos}(2\pi f_i t ) .$$<br />
Gesucht werden die Signalamplituden $A_i$ am Ausgang für die verschiedenen Eingangsfrequenzen $f_i$, wobei die Lösung ausschließlich im Zeitbereich gefunden werden soll. Dieser etwas umständliche Lösungsweg soll dazu dienen, den Zusammenhang zwischen Zeit– und Frquenzbereich deutlich zu machen.<br />
<br />
'''Hinweis:''' Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen|Kapitel 1.3]]. Entgegen der sonst üblichen Definition einer Amplitude können die $„A_i”$ durchaus negativ sein. Dies entspricht dann der Funktion „Minus-Cosinus”.<br />
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===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Welcher Tiefpass liegt hier vor?<br />
|type="[]"}<br />
- Idealer Tiefpass.<br />
+ Spalttiefpass.<br />
- Gaußtiefpass.<br />
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<br />
{Geben Sie die äquivalente Bandbreite von $H(f)$ an.<br />
|type="{}"}<br />
$\Delta f =$ { 2 } kHz<br />
<br />
<br />
{Berechnen Sie allgemein die Amplitude $A_i$ in Abhängigkeit von $x_i(t)$ und $h(t)$. Welche der nachfolgenden Punkte sind bei der Berechnung zu berücksichtigen?<br />
|type="[]"}<br />
+ Beim Cosinussignal gilt $A_i = y_i(t = 0)$.<br />
- Es gilt $y_i(t) = x_i(t) · h(t)$.<br />
+ Es gilt $y_i(t) = x_i(t) ∗ h(t)$.<br />
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{Welche der nachfolgenden Ergebnisse treffen für $A_0, A_2$ und $A_4$ zu?<br />
|type="[]"}<br />
- $A_0 =$ 0.<br />
+ $A_0 =$ 1 V.<br />
+ $A_2 =$ 0.<br />
- $A_2 =$ 1 V.<br />
+ $A_4 =$ 0.<br />
- $A_4 =$ 1 V.<br />
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<br />
{Berechnen Sie die Amplituden $A_1$ und $A_3$ für ein 1 kHz- bzw. 3 kHz-Signal. Interpretieren Sie die Ergebnisse anhand der Spektralfunktion.<br />
|type="{}"}<br />
$A_1 =$ { 0.637 5% } V<br />
$A_3 =$ { -0.215--0.205 } V<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
:'''a)''' Es handelt sich um einen $\rm \underline{Spalttiefpass}$.<br />
<br />
<br />
:'''b)''' Die (äquivalente) Zeitdauer der Impulsantwort ist $Δt =$ 0.5 ms. Die äquivalente Bandbreite ist gleich dem Kehrwert $Δf = 1/Δt \rm \underline{\ = \ 2 kHz}$.<br />
<br />
<br />
:'''c)''' Da $y_i(t)$ cosinusförmig ist, ist die Amplitude gleich dem Signalwert bei $t =$ 0. Das Ausgangssignal soll hier über die Faltung berechnet werden:<br />
$$A_i = y_i (t=0) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {x_i ( \tau )} \cdot h ( {0 - \tau } ) \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$<br />
:Berücksichtigt man die Symmetrie und die zeitliche Begrenzung von $h(t)$, so kommt man zum Ergebnis:<br />
$$A_i = \frac{A_x}{\Delta t} \cdot \int\limits_{ - \Delta t /2 }^{ + \Delta t /2 } {\rm cos}(2\pi f_i \tau )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$<br />
:Richtig sind also die $\rm \underline{\ Lösungsvorschläge \ 1 \ und \ 3}$.<br />
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:'''d)''' Beim Gleichsignal $x_0(t) = A_x$ ist $f_i =$ 0 zu setzen und man erhält $A_0 = A_x \rm \underline{\ = \ 1 \ V}$.<br />
:Dagegen verschwindet bei den Cosinusfrequenzen $f_2 =$ 2 kHz und $f_4 =$ 4 kHz jeweils das Integral, da dann genau über eine bzw. zwei Periodendauern zu integrieren ist: $A_2 \rm \underline{ \ = \ 0}$ und $A_4 \rm \underline{ \ = \ 0}$.<br />
Im Frequenzbereich entsprechen die hier behandelten Fälle:<br />
$$H(f=0) = 1, \hspace{0.3cm}H(f=\Delta f) = 0, \hspace{0.3cm}H(f=2\Delta f) = 0.$$<br />
<br />
<br />
:'''e)''' Das Ergebnis von c) lautet unter Berücksichtigung der Symmetrie für $f_i = f_1$:<br />
$$A_1= \frac{2A_x}{\Delta t} \cdot \int\limits_{ 0 }^{ \Delta t /2 } {\rm cos}(2\pi f_1 \tau )\hspace{0.1cm}{\rm<br />
d}\tau = \frac{2A_x}{2\pi f_1 \cdot \Delta t} \cdot {\rm sin}(2\pi f_1 \frac{\Delta t}{2}<br />
)= A_x \cdot {\rm si}(\pi f_1 \Delta t ).$$<br />
:Mit $f_1 · Δt =$ 0.5 lautet somit das Ergebnis:<br />
$$A_1 = A_x \cdot {\rm si}(\frac{\pi}{2} ) = \frac{2A_x}{\pi} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.637\,{\rm V}}.$$<br />
:Entsprechend erhält man mit$ _f3 · Δt =$ 1.5:<br />
$$A_3 = A_x \cdot {\rm si}(\frac{3\pi}{2} ) = -\frac{2A_x}{3\pi} = -\frac{A_1}{3}\hspace{0.15cm}\underline{= -0.212\,{\rm V}}.$$<br />
:Genau zu den gleichen Ergebnissen – aber deutlich schneller – kommt man durch die Anwendung der Gleichung $A_i = A_x · H(f = f_i)$.<br />
<br />
:Bereits aus den Grafiken auf der Angabenseite erkennt man, dass das Integral über $x_1(t)$ im markierten Bereich positiv und das Integral über $x_3(t)$ negativ ist. Es ist allerdings anzumerken, dass man im Allgemeinen als Amplitude meist den Betrag bezeichnet (siehe Hinweis auf der Angabenseite).<br />
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{{ML-Fuß}}<br />
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[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^Kapitelx^]]</div>Christophhttps://www.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Aufgabe_1.6Z:_Interpretation_der_%C3%9Cbertragungsfunktion&diff=5844Aufgaben:Aufgabe 1.6Z: Interpretation der Übertragungsfunktion2016-08-04T14:01:31Z<p>Christoph: /* Musterlösung */</p>
<hr />
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{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen}}<br />
<br />
[[Datei:P_ID862__LZI_Z_1_6.png|right|Impulsantwort und Eingangssignale (Aufgabe Z1.6)]] Mit dieser Aufgabe soll der Einfluss eines Tiefpasses $H(f)$ auf cosinusförmige Signale der Form<br />
$$x_i(t) = A_x \cdot {\rm cos}(2\pi f_i t )$$<br />
veranschaulicht werden. In der Grafik sehen Sie die Signale $x_i(t)$, wobei der Index $i$ die Frequenz in kHz angibt. So beschreibt $x_2(t)$ ein 2 kHz–Signal.<br />
<br />
Die Signalamplitude beträgt jeweils $A_x =$ 1 V. Das Gleichsignal $x_0(t)$ ist als Grenzfall eines Cosinussignals mit der Frequenz $f_0 =$ 0 zu interpretieren.<br />
<br />
Die obere Skizze zeigt die rechteckige Impulsantwort $h(t)$ des Tiefpasses. Der dazugehörige Frequenzgang lautet:<br />
$$H(f) = {\rm si}(\pi \frac{f}{ {\rm \Delta}f}) .$$<br />
Aufgrund der Linearität und der Tatsache, dass $H(f)$ reell und gerade ist, sind die Ausgangssignale ebenfalls cosinusförmig:<br />
$$y_i(t) = A_i \cdot {\rm cos}(2\pi f_i t ) .$$<br />
Gesucht werden die Signalamplituden $A_i$ am Ausgang für die verschiedenen Eingangsfrequenzen $f_i$, wobei die Lösung ausschließlich im Zeitbereich gefunden werden soll. Dieser etwas umständliche Lösungsweg soll dazu dienen, den Zusammenhang zwischen Zeit– und Frquenzbereich deutlich zu machen.<br />
<br />
'''Hinweis:''' Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen|Kapitel 1.3]]. Entgegen der sonst üblichen Definition einer Amplitude können die $„A_i”$ durchaus negativ sein. Dies entspricht dann der Funktion „Minus-Cosinus”.<br />
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<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Welcher Tiefpass liegt hier vor?<br />
|type="[]"}<br />
- Idealer Tiefpass.<br />
+ Spalttiefpass.<br />
- Gaußtiefpass.<br />
<br />
<br />
{Geben Sie die äquivalente Bandbreite von $H(f)$ an.<br />
|type="{}"}<br />
$\Delta f =$ { 2 } kHz<br />
<br />
<br />
{Berechnen Sie allgemein die Amplitude $A_i$ in Abhängigkeit von $x_i(t)$ und $h(t)$. Welche der nachfolgenden Punkte sind bei der Berechnung zu berücksichtigen?<br />
|type="[]"}<br />
+ Beim Cosinussignal gilt $A_i = y_i(t = 0)$.<br />
- Es gilt $y_i(t) = x_i(t) · h(t)$.<br />
+ Es gilt $y_i(t) = x_i(t) ∗ h(t)$.<br />
<br />
<br />
{Welche der nachfolgenden Ergebnisse treffen für $A_0, A_2$ und $A_4$ zu?<br />
|type="[]"}<br />
- $A_0 =$ 0.<br />
+ $A_0 =$ 1 V.<br />
+ $A_2 =$ 0.<br />
- $A_2 =$ 1 V.<br />
+ $A_4 =$ 0.<br />
- $A_4 =$ 1 V.<br />
<br />
<br />
{Berechnen Sie die Amplituden $A_1$ und $A_3$ für ein 1 kHz- bzw. 3 kHz-Signal. Interpretieren Sie die Ergebnisse anhand der Spektralfunktion.<br />
|type="{}"}<br />
$A_1 =$ { 0.637 5% } V<br />
$A_3 =$ { -0.215--0.205 } V<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
:'''a)''' Es handelt sich um einen $\rm \underline{Spalttiefpass}$.<br />
<br />
<br />
:'''b)''' Die (äquivalente) Zeitdauer der Impulsantwort ist $Δt =$ 0.5 ms. Die äquivalente Bandbreite ist gleich dem Kehrwert $Δf = 1/Δt \rm \underline{\ = \ 2 kHz}$.<br />
<br />
<br />
:'''c)''' Da $y_i(t)$ cosinusförmig ist, ist die Amplitude gleich dem Signalwert bei $t =$ 0. Das Ausgangssignal soll hier über die Faltung berechnet werden:<br />
$$A_i = y_i (t=0) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {x_i ( \tau )} \cdot h ( {0 - \tau } ) \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$<br />
Berücksichtigt man die Symmetrie und die zeitliche Begrenzung von $h(t)$, so kommt man zum Ergebnis:<br />
$$A_i = \frac{A_x}{\Delta t} \cdot \int\limits_{ - \Delta t /2 }^{ + \Delta t /2 } {\rm cos}(2\pi f_i \tau )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$<br />
Richtig sind also die $\rm \underline{\ Lösungsvorschläge \ 1 \ und \ 3}$.<br />
<br />
<br />
:'''d)''' Beim Gleichsignal $x_0(t) = A_x$ ist $f_i =$ 0 zu setzen und man erhält $A_0 = A_x \rm \underline{\ = \ 1 \ V}$.<br />
Dagegen verschwindet bei den Cosinusfrequenzen $f_2 =$ 2 kHz und $f_4 =$ 4 kHz jeweils das Integral, da dann genau über eine bzw. zwei Periodendauern zu integrieren ist: $A_2 \rm \underline{ \ = \ 0}$ und $A_4 \rm \underline{ \ = \ 0}$.<br />
Im Frequenzbereich entsprechen die hier behandelten Fälle:<br />
$$H(f=0) = 1, \hspace{0.3cm}H(f=\Delta f) = 0, \hspace{0.3cm}H(f=2\Delta f) = 0.$$<br />
<br />
<br />
:'''e)''' Das Ergebnis von c) lautet unter Berücksichtigung der Symmetrie für $f_i = f_1$:<br />
$$A_1= \frac{2A_x}{\Delta t} \cdot \int\limits_{ 0 }^{ \Delta t /2 } {\rm cos}(2\pi f_1 \tau )\hspace{0.1cm}{\rm<br />
d}\tau = \frac{2A_x}{2\pi f_1 \cdot \Delta t} \cdot {\rm sin}(2\pi f_1 \frac{\Delta t}{2}<br />
)= A_x \cdot {\rm si}(\pi f_1 \Delta t ).$$<br />
Mit $f_1 · Δt =$ 0.5 lautet somit das Ergebnis:<br />
$$A_1 = A_x \cdot {\rm si}(\frac{\pi}{2} ) = \frac{2A_x}{\pi} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.637\,{\rm V}}.$$<br />
Entsprechend erhält man mit$ _f3 · Δt =$ 1.5:<br />
$$A_3 = A_x \cdot {\rm si}(\frac{3\pi}{2} ) = -\frac{2A_x}{3\pi} = -\frac{A_1}{3}\hspace{0.15cm}\underline{= -0.212\,{\rm V}}.$$<br />
Genau zu den gleichen Ergebnissen – aber deutlich schneller – kommt man durch die Anwendung der Gleichung $A_i = A_x · H(f = f_i)$.<br />
<br />
Bereits aus den Grafiken auf der Angabenseite erkennt man, dass das Integral über $x_1(t)$ im markierten Bereich positiv und das Integral über $x_3(t)$ negativ ist. Es ist allerdings anzumerken, dass man im Allgemeinen als Amplitude meist den Betrag bezeichnet (siehe Hinweis auf der Angabenseite).<br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
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[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^Kapitelx^]]</div>Christophhttps://www.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Aufgabe_1.6Z:_Interpretation_der_%C3%9Cbertragungsfunktion&diff=5843Aufgaben:Aufgabe 1.6Z: Interpretation der Übertragungsfunktion2016-08-04T13:48:27Z<p>Christoph: /* Fragebogen */</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen}}<br />
<br />
[[Datei:P_ID862__LZI_Z_1_6.png|right|Impulsantwort und Eingangssignale (Aufgabe Z1.6)]] Mit dieser Aufgabe soll der Einfluss eines Tiefpasses $H(f)$ auf cosinusförmige Signale der Form<br />
$$x_i(t) = A_x \cdot {\rm cos}(2\pi f_i t )$$<br />
veranschaulicht werden. In der Grafik sehen Sie die Signale $x_i(t)$, wobei der Index $i$ die Frequenz in kHz angibt. So beschreibt $x_2(t)$ ein 2 kHz–Signal.<br />
<br />
Die Signalamplitude beträgt jeweils $A_x =$ 1 V. Das Gleichsignal $x_0(t)$ ist als Grenzfall eines Cosinussignals mit der Frequenz $f_0 =$ 0 zu interpretieren.<br />
<br />
Die obere Skizze zeigt die rechteckige Impulsantwort $h(t)$ des Tiefpasses. Der dazugehörige Frequenzgang lautet:<br />
$$H(f) = {\rm si}(\pi \frac{f}{ {\rm \Delta}f}) .$$<br />
Aufgrund der Linearität und der Tatsache, dass $H(f)$ reell und gerade ist, sind die Ausgangssignale ebenfalls cosinusförmig:<br />
$$y_i(t) = A_i \cdot {\rm cos}(2\pi f_i t ) .$$<br />
Gesucht werden die Signalamplituden $A_i$ am Ausgang für die verschiedenen Eingangsfrequenzen $f_i$, wobei die Lösung ausschließlich im Zeitbereich gefunden werden soll. Dieser etwas umständliche Lösungsweg soll dazu dienen, den Zusammenhang zwischen Zeit– und Frquenzbereich deutlich zu machen.<br />
<br />
'''Hinweis:''' Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen|Kapitel 1.3]]. Entgegen der sonst üblichen Definition einer Amplitude können die $„A_i”$ durchaus negativ sein. Dies entspricht dann der Funktion „Minus-Cosinus”.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Welcher Tiefpass liegt hier vor?<br />
|type="[]"}<br />
- Idealer Tiefpass.<br />
+ Spalttiefpass.<br />
- Gaußtiefpass.<br />
<br />
<br />
{Geben Sie die äquivalente Bandbreite von $H(f)$ an.<br />
|type="{}"}<br />
$\Delta f =$ { 2 } kHz<br />
<br />
<br />
{Berechnen Sie allgemein die Amplitude $A_i$ in Abhängigkeit von $x_i(t)$ und $h(t)$. Welche der nachfolgenden Punkte sind bei der Berechnung zu berücksichtigen?<br />
|type="[]"}<br />
+ Beim Cosinussignal gilt $A_i = y_i(t = 0)$.<br />
- Es gilt $y_i(t) = x_i(t) · h(t)$.<br />
+ Es gilt $y_i(t) = x_i(t) ∗ h(t)$.<br />
<br />
<br />
{Welche der nachfolgenden Ergebnisse treffen für $A_0, A_2$ und $A_4$ zu?<br />
|type="[]"}<br />
- $A_0 =$ 0.<br />
+ $A_0 =$ 1 V.<br />
+ $A_2 =$ 0.<br />
- $A_2 =$ 1 V.<br />
+ $A_4 =$ 0.<br />
- $A_4 =$ 1 V.<br />
<br />
<br />
{Berechnen Sie die Amplituden $A_1$ und $A_3$ für ein 1 kHz- bzw. 3 kHz-Signal. Interpretieren Sie die Ergebnisse anhand der Spektralfunktion.<br />
|type="{}"}<br />
$A_1 =$ { 0.637 5% } V<br />
$A_3 =$ { -0.215--0.205 } V<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
:'''a)'''<br />
:'''b)'''<br />
:'''c)'''<br />
:'''d)'''<br />
:'''e)'''<br />
:'''f)'''<br />
:'''g)'''<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^Kapitelx^]]</div>Christophhttps://www.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Aufgabe_1.6Z:_Interpretation_der_%C3%9Cbertragungsfunktion&diff=5842Aufgaben:Aufgabe 1.6Z: Interpretation der Übertragungsfunktion2016-08-04T13:47:58Z<p>Christoph: /* Fragebogen */</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen}}<br />
<br />
[[Datei:P_ID862__LZI_Z_1_6.png|right|Impulsantwort und Eingangssignale (Aufgabe Z1.6)]] Mit dieser Aufgabe soll der Einfluss eines Tiefpasses $H(f)$ auf cosinusförmige Signale der Form<br />
$$x_i(t) = A_x \cdot {\rm cos}(2\pi f_i t )$$<br />
veranschaulicht werden. In der Grafik sehen Sie die Signale $x_i(t)$, wobei der Index $i$ die Frequenz in kHz angibt. So beschreibt $x_2(t)$ ein 2 kHz–Signal.<br />
<br />
Die Signalamplitude beträgt jeweils $A_x =$ 1 V. Das Gleichsignal $x_0(t)$ ist als Grenzfall eines Cosinussignals mit der Frequenz $f_0 =$ 0 zu interpretieren.<br />
<br />
Die obere Skizze zeigt die rechteckige Impulsantwort $h(t)$ des Tiefpasses. Der dazugehörige Frequenzgang lautet:<br />
$$H(f) = {\rm si}(\pi \frac{f}{ {\rm \Delta}f}) .$$<br />
Aufgrund der Linearität und der Tatsache, dass $H(f)$ reell und gerade ist, sind die Ausgangssignale ebenfalls cosinusförmig:<br />
$$y_i(t) = A_i \cdot {\rm cos}(2\pi f_i t ) .$$<br />
Gesucht werden die Signalamplituden $A_i$ am Ausgang für die verschiedenen Eingangsfrequenzen $f_i$, wobei die Lösung ausschließlich im Zeitbereich gefunden werden soll. Dieser etwas umständliche Lösungsweg soll dazu dienen, den Zusammenhang zwischen Zeit– und Frquenzbereich deutlich zu machen.<br />
<br />
'''Hinweis:''' Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen|Kapitel 1.3]]. Entgegen der sonst üblichen Definition einer Amplitude können die $„A_i”$ durchaus negativ sein. Dies entspricht dann der Funktion „Minus-Cosinus”.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Welcher Tiefpass liegt hier vor?<br />
|type="[]"}<br />
- Idealer Tiefpass.<br />
+ Spalttiefpass.<br />
- Gaußtiefpass.<br />
<br />
<br />
{Geben Sie die äquivalente Bandbreite von $H(f)$ an.<br />
|type="{}"}<br />
$\Delta f =$ { 2 } kHz<br />
<br />
<br />
{Berechnen Sie allgemein die Amplitude $A_i$ in Abhängigkeit von $x_i(t)$ und $h(t)$. Welche der nachfolgenden Punkte sind bei der Berechnung zu berücksichtigen?<br />
|type="[]"}<br />
+ Beim Cosinussignal gilt $A_i = y_i(t = 0)$.<br />
- Es gilt $y_i(t) = x_i(t) · h(t)$.<br />
+ Es gilt $y_i(t) = x_i(t) ∗ h(t)$.<br />
<br />
<br />
{Welche der nachfolgenden Ergebnisse treffen für $A_0, A_2$ und $A_4$ zu?<br />
|type="[]"}<br />
- $A_0 =$ 0.<br />
+ $A_0 =$ 1 V.<br />
+ $A_2 =$ 0.<br />
- $A_2 =$ 1 V.<br />
+ $A_4 =$ 0.<br />
- $A_4 =$ 1 V.<br />
<br />
<br />
{Berechnen Sie die Amplituden $A_1$ und $A_3$ für ein 1 kHz- bzw. 3 kHz-Signal. Interpretieren Sie die Ergebnisse anhand der Spektralfunktion.<br />
|type="{}"}<br />
$A_1 =$ { 0.637 5% } V<br />
$A_3 =$ {-0.215--0.205 } V<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
:'''a)'''<br />
:'''b)'''<br />
:'''c)'''<br />
:'''d)'''<br />
:'''e)'''<br />
:'''f)'''<br />
:'''g)'''<br />
{{ML-Fuß}}<br />
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[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^Kapitelx^]]</div>Christophhttps://www.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Aufgabe_1.6Z:_Interpretation_der_%C3%9Cbertragungsfunktion&diff=5841Aufgaben:Aufgabe 1.6Z: Interpretation der Übertragungsfunktion2016-08-04T13:47:29Z<p>Christoph: /* Fragebogen */</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen}}<br />
<br />
[[Datei:P_ID862__LZI_Z_1_6.png|right|Impulsantwort und Eingangssignale (Aufgabe Z1.6)]] Mit dieser Aufgabe soll der Einfluss eines Tiefpasses $H(f)$ auf cosinusförmige Signale der Form<br />
$$x_i(t) = A_x \cdot {\rm cos}(2\pi f_i t )$$<br />
veranschaulicht werden. In der Grafik sehen Sie die Signale $x_i(t)$, wobei der Index $i$ die Frequenz in kHz angibt. So beschreibt $x_2(t)$ ein 2 kHz–Signal.<br />
<br />
Die Signalamplitude beträgt jeweils $A_x =$ 1 V. Das Gleichsignal $x_0(t)$ ist als Grenzfall eines Cosinussignals mit der Frequenz $f_0 =$ 0 zu interpretieren.<br />
<br />
Die obere Skizze zeigt die rechteckige Impulsantwort $h(t)$ des Tiefpasses. Der dazugehörige Frequenzgang lautet:<br />
$$H(f) = {\rm si}(\pi \frac{f}{ {\rm \Delta}f}) .$$<br />
Aufgrund der Linearität und der Tatsache, dass $H(f)$ reell und gerade ist, sind die Ausgangssignale ebenfalls cosinusförmig:<br />
$$y_i(t) = A_i \cdot {\rm cos}(2\pi f_i t ) .$$<br />
Gesucht werden die Signalamplituden $A_i$ am Ausgang für die verschiedenen Eingangsfrequenzen $f_i$, wobei die Lösung ausschließlich im Zeitbereich gefunden werden soll. Dieser etwas umständliche Lösungsweg soll dazu dienen, den Zusammenhang zwischen Zeit– und Frquenzbereich deutlich zu machen.<br />
<br />
'''Hinweis:''' Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen|Kapitel 1.3]]. Entgegen der sonst üblichen Definition einer Amplitude können die $„A_i”$ durchaus negativ sein. Dies entspricht dann der Funktion „Minus-Cosinus”.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Welcher Tiefpass liegt hier vor?<br />
|type="[]"}<br />
- Idealer Tiefpass.<br />
+ Spalttiefpass.<br />
- Gaußtiefpass.<br />
<br />
<br />
{Geben Sie die äquivalente Bandbreite von $H(f)$ an.<br />
|type="{}"}<br />
$\Delta f =$ { 2 } kHz<br />
<br />
<br />
{Berechnen Sie allgemein die Amplitude $A_i$ in Abhängigkeit von $x_i(t)$ und $h(t)$. Welche der nachfolgenden Punkte sind bei der Berechnung zu berücksichtigen?<br />
|type="[]"}<br />
+ Beim Cosinussignal gilt $A_i = y_i(t = 0)$.<br />
- Es gilt $y_i(t) = x_i(t) · h(t)$.<br />
+ Es gilt $y_i(t) = x_i(t) ∗ h(t)$.<br />
<br />
<br />
{Welche der nachfolgenden Ergebnisse treffen für $A_0, A_2$ und $A_4$ zu?<br />
|type="[]"}<br />
- $A_0 =$ 0.<br />
+ $A_0 =$ 1 V.<br />
+ $A_2 =$ 0.<br />
- $A_2 =$ 1 V.<br />
+ $A_4 =$ 0.<br />
- $A_4 =$ 1 V.<br />
<br />
<br />
{Berechnen Sie die Amplituden $A_1$ und $A_3$ für ein 1 kHz- bzw. 3 kHz-Signal. Interpretieren Sie die Ergebnisse anhand der Spektralfunktion.<br />
|type="{}"}<br />
$A_1 =$ { 0.637 5% } V<br />
$A_3 =$ {-0.215- -0.205 } V<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
:'''a)'''<br />
:'''b)'''<br />
:'''c)'''<br />
:'''d)'''<br />
:'''e)'''<br />
:'''f)'''<br />
:'''g)'''<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^Kapitelx^]]</div>Christophhttps://www.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Aufgabe_1.6:_Rechteckf%C3%B6rmige_Impulsantwort&diff=5840Aufgaben:Aufgabe 1.6: Rechteckförmige Impulsantwort2016-08-04T13:37:53Z<p>Christoph: /* Musterlösung */</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen}}<br />
<br />
[[Datei:P_ID858__LZI_A_1_6.png|right|Rechteckförmige Impulsantwort, akausal und kausal (Aufgabe A1.6)]]<br />
Wir betrachten im Folgenden die in der Grafik gezeigte Konstellation. Der Frequenzgang $H(f) = H_1(f) · H_2(f)$ im unteren Zweig ist durch die Impulsantworten seiner beiden Teilkomponenten festgelegt. Hierbei ist $h_1(t)$ im Bereich von –1 ms bis 1 ms konstant gleich $k$ und außerhalb 0; an den Bereichsgrenzen gilt jeweils der halbe Wert. Die im Bild eingezeichnete Zeitvariable ist somit $Δt =$ 2 ms.<br />
<br />
<br />
Die Impulsantwort der zweiten Systemfunktion $H_2(f)$ lautet:<br />
$$h_2(t) = \delta(t - \tau).$$<br />
Der Frequenzgang zwischen den Signalen $x(t)$ und $z(t)$ hat Hochpass–Charakter und lautet allgemein:<br />
$$H_{\rm HP}(f) = 1 - H_1(f) \cdot {\rm e}^{-{\rm j2 \pi}f \tau}.$$<br />
Für die Teilaufgaben a) bis d) gelte $τ =$ 0 und damit $H(f) = H_1(f)$. Mit dem Parameter $τ =$ 0 kann hierfür auch geschrieben werden ( $Δt =$ 2 ms):<br />
$$H_{\rm HP}(f) = 1 - {\rm si}( \pi \cdot {\rm \Delta}t \cdot f).$$<br />
Ohne Auswirkung auf die Lösung der Aufgabe ist anzumerken, dass diese Gleichung für $τ ≠$ 0 nicht anwendbar ist:<br />
$$|H_{\rm HP}(f)|\hspace{0.09cm} \ne \hspace{0.09cm}1 - |H_1(f)| .$$<br />
<br />
<br />
'''Hinweis:''' Diese Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen|Kapitel 1.3]].<br />
<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Berechnen Sie die Höhe $k$ der Impulsantwort $h_1(t)$ unter der Nebenbedingung, dass $H_1(f = 0) =$ 1 gelten soll.<br />
|type="{}"}<br />
$k =$ { 500 } 1/s<br />
<br />
<br />
{Das Eingangssignal $x(t)$ sei ein um $t =$ 0 symmetrisches Rechteck der Dauer $T =$ 2 ms und der Höhe 1 V. Es gelte $τ =$ 0. Welche Aussagen sind zutreffend?<br />
|type="[]"}<br />
- $y(t)$ ist rechteckförmig.<br />
+ $y(t)$ ist dreieckförmig.<br />
- $y(t)$ ist trapezförmig.<br />
+ Der Maximalwert von $y(t)$ ist 1 V.<br />
<br />
<br />
{Welche Aussagen treffen zu, wenn $x(t)$ die Rechteckbreite $T =$ 1 ms besitzt?<br />
|type="[]"}<br />
- $y(t)$ ist rechteckförmig.<br />
- $y(t)$ ist dreieckförmig.<br />
+ $y(t)$ ist trapezförmig.<br />
- Der Maximalwert von $y(t)$ ist 1 V.<br />
<br />
<br />
{Es gelte weiter $τ =$ 0. Berechnen Sie das Ausgangssignal $z(t)$, wenn $x(t)$ zum Zeitpunkt $t =$ 0 von 0 auf 1 V springt. Welche Aussagen treffen zu?<br />
|type="[]"}<br />
- $z(t)$ ist eine gerade Funktion der Zeit.<br />
+ $z(t)$ weist bei $t =$ 0 eine Sprungstelle auf.<br />
+ Zum Zeitpunkt $t =$ 0 ist $z(t) =$ 0.<br />
+ Für $t >$ 1 ms ist $z(t) =$ 0.<br />
<br />
<br />
{Welchen Verlauf hat $z(t)$ als Antwort auf das sprungförmige Eingangssignal $x(t)$, wenn die Laufzeit $τ =$ 1 ms ist? Welcher Signalwert tritt bei $t =$ 1 ms auf?<br />
|type="{}"}<br />
$z(t = 1 \rm \ ms) =$ { 0.5 } V<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
'''a)''' Die Bedingung $H(f = 0) =$ 1 bedeutet, dass die Fläche der Impulsantwort gleich 1 ist. Daraus folgt:<br />
$$k = \frac{1}{\Delta t} \hspace{0.15cm}\underline{= 500\hspace{0.1cm}{ 1/{\rm s}}} .$$<br />
<br />
<br />
'''b)''' Das Ausgangssignal $y(t)$ ergibt sich als das Faltungsprodukt von $x(t)$ und $h(t)$. Die Faltung zweier gleich breiter Rechtecke ergibt ein Dreieck mit dem Maximum bei $t =$ 0:<br />
$$y(t = 0 ) = 1\hspace{0.05cm}{\rm V}\cdot \int\limits_{ - 1\,{\rm ms} }^{ 1\,{\rm ms} } {k \hspace{0.1cm}}{\rm d}\tau =<br />
1\hspace{0.05cm}{\rm V}\cdot \int\limits_{ - 1\,{\rm ms} }^{ 1\,{\rm ms} } {\frac{1}{2\,{\rm ms}} \hspace{0.1cm}}{\rm d}\tau= 1\hspace{0.05cm}{\rm V}.$$<br />
Richtig sind somit die $\rm \underline{ \ Vorschläge \ 2 \ und \ 4}$.<br />
<br />
<br />
'''c)''' [[Datei: P_ID859__LZI_A_1_6_c.png | Trapezimpuls (ML zu Aufgabe A1.6c) | rechts]] Die Faltung von zwei unterschiedlich breiten Rechtecken führt zu einem trapezförmigen Ausgangssignal entsprechend der Skizze. Der Maximalwert tritt im konstanten Bereich von –0.5 ms bis 0.5 ms auf und beträgt<br />
$$y(t = 0 ) = 1\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot \frac{1}{2\,{\rm<br />
ms}} \hspace{0.05cm}\cdot 1\,{\rm ms} = 0.5\hspace{0.05cm}{\rm V}.$$<br />
Richtig ist somit nur $\rm \underline{ \ die \ dritte \ Alternative}$.<br />
<br />
<br />
'''d)''' [[Datei: P_ID860__LZI_A_1_6_d.png | Akausale HP–Sprungantwort (ML zu Aufgabe A1.6d) | rechts]] Die Impulsantwort des Gesamtsystems lautet:<br />
$$h_{\rm HP}(t) = \delta(t) - h(t).$$<br />
Diese beiden Anteile sind in der Skizze dargestellt. Durch Integration über $h_{\rm HP}(t)$ und Multiplikation mit 1 V kommt man zum gesuchten Signal $z(t)$. In der unteren Skizze ist das Integral über $δ(t)$ blau, die Funktion $–σ(t)$ rot und das gesamte Signal $z(t)$ grün gezeichnet.<br />
<br />
<br />
$z(t)$ ist eine ungerade Funktion in $t$ mit einer Sprungstelle bei $t =$ 0: Der Signalwert bei $t =$ 0 liegt genau in der Mitte zwischen dem links- und dem rechteckseitigem Grenzwert und ist somit 0. Für $t >$ 1 ms gilt ebenfalls $z(t) =$ 0, da das Gesamtsystem eine Hochpass-Charakteristik aufweist.<br />
Richtig sind somit die $\rm \underline{ \ Vorschläge \ 2, \ 3 \ und \ 4}$.<br />
<br />
<br />
'''e)''' Die Grafik zeigt die resultierende Impulsantwort $h_{\rm HP}(t)$ und die Sprungantwort $σ_{\rm HP}(t)$, die bei $t =$ 0 auf 1 springt und bis zum Zeitpunkt $t =$ 2 ms auf den Endwert 0 abklingt. Zum Zeitpunkt $t =$ 1 ms ergibt sich $σ_{\rm HP}(t) =$ 0.5.<br />
<br />
[[Datei: P_ID861__LZI_A_1_6_e.png | Kausale HP–Sprungantwort (ML zu Aufgabe A1.6e) | rechts]] Das Signal $z(t)$ ist formgleich mit der Sprungantwort $σ_{\rm HP}(t)$, ist jedoch noch mit 1 V zu multiplizieren. Der gesuchte Signalwert zur Zeit $t_1 =$ 1 ms ergibt sich zu $z(t_1) \rm \underline{\ = \ 0.5}$. <br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen^]]</div>Christophhttps://www.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Aufgabe_1.5Z:_si-f%C3%B6rmige_Impulsantwort&diff=5839Aufgaben:Aufgabe 1.5Z: si-förmige Impulsantwort2016-08-04T13:37:06Z<p>Christoph: /* Musterlösung */</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen}}<br />
<br />
[[Datei:P_ID857__LZI_Z_1_5.png|right|si–förmige Impulsantwort (Aufgabe Z1.5)]]<br />
Die Impulsantwort eines linearen zeitinvarianten (und akausalen) Systems wurde wie folgt ermittelt (siehe Grafik):<br />
$$h(t) = 500\hspace{0.05cm}\frac{1}{ {\rm s}}\cdot{\rm si}(\pi<br />
\cdot \frac{t}{ 1\hspace{0.1cm}{\rm ms}}) .$$<br />
Berechnet werden sollen die Ausgangssignale $y(t)$, wenn am Eingang verschiedene Cosinusschwingungen unterschiedlicher Frequenz $f_0$ angelegt werden:<br />
$$x(t) = 4\hspace{0.05cm}{\rm V}\cdot {\rm cos}(2\pi \cdot f_0<br />
\cdot t ) .$$<br />
Die Lösung kann entweder im Zeitbereich oder auch im Frequenzbereich gefunden werden. In der Musterlösung werden jeweils beide Lösungswege angegeben.<br />
<br />
'''Hinweis:''' Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen|Kapitel 1.3]]. Gegeben ist dazu das folgende bestimmte Integral:<br />
$$\int_{ 0 }^{ \infty } \frac{\sin(u) \cdot \cos(a \cdot u)}{u} \hspace{0.15cm}{\rm<br />
d}u = \left\{ \begin{array}{c} \pi/2 \\ \pi/4 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad<br />
\begin{array}{c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}}<br />
\\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}{ |a| < 1,} \\{ |a| = 1,} \\<br />
{ |a| > 1.} \\ \end{array}$$<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Berechnen Sie den Frequenzgang $H(f)$ des LZI-Systems. Wie groß sind die äquivalente Bandbreite und der Gleichsignalübertragungsfaktor?<br />
|type="{}"}<br />
$\Delta f =$ { 1 } kHz<br />
$H(f = 0) =$ { 0.5 }<br />
<br />
<br />
{Berechnen Sie das Ausgangssignal $y(t)$ bei cosinusförmigem Eingang mit der Frequenz $f_0 =$ 1 kHz. Wie groß ist der Signalwert zur Zeit $t =$ 0?<br />
|type="{}"}<br />
$f_0 = 1 {\rm kHz}: y(t = 0) =$ { 0 } V<br />
<br />
<br />
{Berechnen Sie das Ausgangssignal $y(t)$ bei cosinusförmigem Eingang mit der Frequenz $f_0 =$ 0.1 kHz. Wie groß ist der Signalwert zur Zeit $t =$ 0?<br />
|type="{}"}<br />
$f_0 = 0.1 {\rm kHz}: y(t = 0) =$ { 2 } V<br />
<br />
<br />
{Berechnen Sie das Ausgangssignal $y(t)$ bei cosinusförmigem Eingang mit der Frequenz $f_0 =$ 0.5 kHz. Wie groß ist der Signalwert zur Zeit $t =$ 0?<br />
|type="{}"}<br />
$f_0 = 0.5 {\rm kHz}: y(t = 0) =$ { 1 } V<br />
<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
'''a)''' Ein Vergleich mit den Gleichungen in Abschnitt 2 von Kapitel 1.3 – oder auch die Anwendung der Fourierrücktransformation – zeigt, dass $H(f)$ ein idealer Tiefpass ist:<br />
$$H(f) = \left\{ \begin{array}{c} \hspace{0.25cm}K \\ K/2 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}}<br />
\\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}<br />
{\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| < \Delta f/2,} \\<br />
{\left| \hspace{0.005cm}f\hspace{0.05cm} \right| = \Delta f/2,} \\<br />
{\left|\hspace{0.005cm} f \hspace{0.05cm} \right| > \Delta f/2.} \\<br />
\end{array}$$<br />
Die äquidistanten Nulldurchgänge der Impulsantwort treten im Abstand $Δt =$ 1 ms auf. Daraus folgt die äquivalente Bandbreite $Δf \rm \underline{ = 1 kHz}$. Wäre $K =$ 1, so müsste $h(0) = Δf =$ 1000 1/s gelten. Wegen der Angabe $h(0) = 500 \hspace{0.05cm} 1/s = Δf/2$ ist somit der Gleichsignalübertragungsfaktor $K = H(f = 0) \rm \underline{= 0.5}$.<br />
<br />
<br />
'''b)''' Diese Aufgabe lässt sich am einfachsten im Spektralbereich lösen. Für das Ausgangsspektrum gilt:<br />
$$Y(f) = X(f)\cdot H(f) .$$<br />
$X(f)$ besteht aus zwei Diracfunktionen bei $± f_0$, jeweils mit Gewicht $A_x/2 =$ 2 V. Bei $f = f_0 =$ 1 kHz > $Δf$/2 ist aber $H(f) =$ 0, so dass $Y(f) =$ 0 und damit auch $y(t) =$ 0 ist ⇒ $\underline{y(t = 0) = 0}$.<br />
Die Lösung im Zeitbereich basiert auf der Faltung:<br />
$$y(t) = x (t) * h (t) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {h ( \tau )} \cdot<br />
x ( {t - \tau } ) \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$<br />
Zum Zeitpunkt $t =$ 0 erhält man unter Berücksichtigung der Symmetrie der Cosinusfunktion:<br />
$$y(t = 0 ) = \frac{A_x \cdot \Delta f}{2} \cdot \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\rm si} ( \pi \cdot \Delta f \cdot \tau ) \cdot<br />
{\rm cos}(2\pi \cdot f_0<br />
\cdot \tau ) \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$<br />
Mit der Substitution $u = π · Δf · τ$ kann hierfür auch geschrieben werden:<br />
$$y(t = 0 ) = \frac{A_x }{\pi} \cdot \int\limits_{ 0 }^{ \infty } \frac{\sin(u) \cdot \cos(a \cdot u)}{u} \hspace{0.15cm}{\rm d}u .$$<br />
Hierbei ist die Konstante $a = 2f_0/Δf =$ 2. Mit diesem Wert liefert das angegebene Integral den Wert 0:<br />
$$y(t = 0 ) = {A_y } = 0.$$<br />
<br />
<br />
'''c)''' Der Frequenzgang bei $f = f_0 =$ 100 Hz ist nach den Berechnungen zu Punkt a) gleich $K =$ 0.5. Deshalb ergibt sich $A_y = A_x/2 =$ 2 V. Zum gleichen Ergebnis kommt man über die Faltung entsprechend obiger Gleichung. Für $a = 2f_0/Δf =$ 0.2 ist das Integral gleich $π/2$ und man erhält<br />
$$y(t = 0 ) = {A_y } = \frac{A_x}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{A_x}{2} \hspace{0.15cm}\underline{= 2\,{\rm V}}.$$<br />
<br />
<br />
'''d)''' Genau bei $f =$ 0.5 kHz ist der Übergang vom Durchlass– zum Sperrbereich und es gilt für diese singuläre Stelle: $H(f = f_0) = K/2$. Somit ist die Amplitude des Ausgangssignals nur halb so groß wie unter c) berechnet, nämlich $A_y \underline{= 1 V}$. Zum gleichen Ergebnis kommt man mit $a = 2f_0/Δf =$ 1 über die Faltung.<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen^]]</div>Christophhttps://www.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Aufgabe_1.5:_Idealer_rechteckf%C3%B6rmiger_Tiefpass&diff=5838Aufgaben:Aufgabe 1.5: Idealer rechteckförmiger Tiefpass2016-08-04T13:36:17Z<p>Christoph: </p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen}}<br />
<br />
[[Datei:P_ID852__LZI_A_1_5.png|right|Tabelle mit Werten der si– und der Si–Funktion (Aufgabe A1.5)]]<br />
Wir betrachten einen idealen, rechteckförmigen Tiefpass – manchmal auch Küpfmüller–Tiefpass genannt, der <br />
*alle Frequenzen $f <$ 5 kHz unverfälscht durchlässt ⇒ $H(f) = 1$, <br />
*alle Spektralanteile über 5 kHz vollständig unterdrückt ⇒ $H(f) = 0$. <br />
<br />
<br />
Exakt bei der Grenzfrequenz $f_{\rm G} =$ 5 kHz ist der Wert der Übertragungsfunktion gleich 1/2. <br />
<br />
An den Eingang des Tiefpasses werden verschiedene Signale angelegt: <br />
*ein schmaler Rechteckimpuls geeigneter Höhe, der durch einen Diracimpuls angenähert werden kann: <br />
$$x_1(t) = 10^{-3}\hspace{0.1cm}{\rm Vs} \cdot {\rm \delta}(t),$$<br />
*ein Diracpuls im Zeitabstand $T_{\rm A}$: <br />
$$x_2(t) = 10^{-3}\hspace{0.1cm}{\rm Vs} \cdot \sum_{\nu = -\infty}^{+\infty}{\rm \delta}(t - \nu \cdot T_{\rm A}),$$<br />
:wobei das zugehörige Spektrum mit $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$ lautet: <br />
$$X_2(f) = \frac{10^{-3}\hspace{0.1cm}{\rm Vs}}{T_{\rm A}} \cdot\sum_{\mu = -\infty}^{+\infty}{\rm \delta}(f - \mu \cdot f_{\rm A}),$$<br />
*eine Sprungfunktion zum Zeitpunkt $t = 0$: <br />
$$x_3(t) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \gamma(t) = \left\{ \begin{array}{c} 0 \\ 5\hspace{0.1cm}{\rm V} \\ 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \\ \end{array} \right.\quad \quad\begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}}\\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}{ t < 0,} \\{ t = 0,} \\<br />
{ t > 0,} \\ \end{array}$$<br />
*ein si–förmiger Impuls mit der äquivalenten Dauer $T$: <br />
$$x_4(t) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T}) .$$<br />
<br />
<br />
'''Hinweis:''' Die Aufgabe bezieht sich auf die Beschreibungen von [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen | Kapitel 1.3]]. In der Tabelle sind die Funktionswerte der ''Spaltfunktion'' ${\rm si}(πx)$ und der ''Integralsinusfunktion'' ${\rm Si}(πx)$ aufgelistet: <br />
$${\rm Si}(\pi x) = \int_{ 0 }^{ x } {{\rm si} ( \pi \xi )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\xi .$$<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Welches Ausgangssignal $y_1(t)$ ergibt sich als Antwort auf den Diracimpuls $x_1(t)$, insbesondere zu den Zeitpunkten $t =$ 0 und $t =$ 50 μs? <br />
|type="{}"}<br />
$y_1(t = 0) =$ { 10 } V<br />
$y_1(t = 50 {\: \rm \mu s}) =$ { 6.37 5% } V<br />
<br />
<br />
{Wie lautet das Ausgangssignal $y_2(t)$, wenn am Filtereingang der Diracpuls $x_2(t)$ anliegt und $T_{\rm A} =$ 200 μs gilt. Welcher Signalwert tritt bei $t =$ 0 auf? <br />
|type="{}"}<br />
$T_{\rm A} = {\rm 200 \: \mu s} : y_2(t = 0) =$ { 10 } V<br />
<br />
<br />
{Welche Werte $y_2(t = 0)$ ergeben sich mit $T_{\rm A} =$ 199 bzw. $T_{\rm A} =$ 201 μs? <br />
|type="{}"}<br />
$T_{\rm A} = {\rm 199 \: \mu s} : y_2(t = 0) =$ { 5.025 5% } V<br />
$T_{\rm A} = {\rm 201 \: \mu s} : y_2(t = 0) =$ { 14.925 5% } V<br />
<br />
<br />
{Geben Sie das Ausgangssignal $y_3(t)$ für die Sprungfunktion $x_3(t)$ mit Endwert 10 V an. Welcher Signalwert tritt zum Zeitpunkt $t =$ 0 auf? <br />
|type="{}"}<br />
$y_3(t = 0) =$ { 5 } V<br />
<br />
<br />
{Zu welcher Zeit $t_{\rm max}$ ist $y_3(t)$ maximal? Wie groß ist der Maximalwert? <br />
|type="{}"}<br />
$t_{\rm max} =$ { 100 } $\rm \mu s$<br />
$y_3(t_{\rm max}) =$ { 10.895 5% } V<br />
<br />
<br />
{Wie lautet das Ausgangssignal $y_4(t)$, wenn am Eingang das si–förmige Signal $y_4(t)$ mit $T =$ 200 μs anliegt? Welcher Wert ergibt sich für $t =$ 0? <br />
|type="{}"}<br />
$T = 200 {\: \rm \mu s} : y_4(t = 0) =$ { 10 } V<br />
<br />
<br />
{Welcher Signalwert $y_4(t = 0)$ ergibt sich für $T =$ 50 μs? <br />
|type="{}"}<br />
$T = 50 {\: \rm \mu s} : y_4(t = 0) =$ { 5 } V<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
'''a)''' Die Impulsantwort des idealen Tiefpasses lautet mit $Δf =$ 10 kHz:<br />
$$h(t) = \Delta f \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t ).$$<br />
Das Ausgangssignal unterscheidet sich hiervon um den Gewichtungsfaktor $\rm 10^{–3} Vs$: <br />
$$\begin{align*} y_1(t) & = 10^{-3}\hspace{0.1cm}{\rm Vs} \cdot 10^{4}\hspace{0.1cm}{\rm Hz} \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t ) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t )\\ & \Rightarrow \hspace{0.2cm}y_1(t = 0) \hspace{0.15cm}\underline{=10\hspace{0.1cm}{\rm V}},\hspace{0.2cm}y_1(t = 50\hspace{0.1cm}{\rm \mu s}) =10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm<br />
si} \left( \frac{\pi}{2} \right) \hspace{0.15cm}\underline{= 6.37\hspace{0.1cm}{\rm V}}.\end{align*}$$<br />
<br />
<br />
'''b)''' [[Datei:P_ID856__LZI_A_1_5_b.png | rechts | Diracpuls und Rechteckfilter (ML zu Aufgabe A1.5b)]] Das Spektrum $X_2(f)$ des Diracpulses beinhaltet diskrete Linien im Abstand $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A} =$ 5 kHz, jeweils mit dem Gewicht 5 V. Das Spektrum $Y_2(f)$ besteht somit aus einer Spektrallinie bei $f =$ 0 mit dem Gewicht 5 V und je einer bei ±5 kHz mit Gewicht 2.5 V. Damit gilt für das Zeitsignal:<br />
$$\begin{align*} y_2(t) &= 5 \hspace{0.1cm}{\rm V} + 5\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot{\rm cos}(2 \pi \cdot f_{\rm A} \cdot t ) =\\ &= 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm cos}^2(\pi \cdot f_{\rm A} \cdot t ).\end{align*}$$<br />
Der Signalwert bei $t =$ 0 beträgt somit $\rm \underline{10 \: V}$.<br />
<br />
<br />
'''c)''' Mit $T_{\rm A} =$ 199 μs ist $f_{\rm A} >$ 5 kHz. Wegen $H(f_{\rm A}) =$ 0 besteht somit das Spektrum aus nur einer Spektrallinie bei $f =$ 0 mit dem Gewicht 5.025 V und man erhält den konstanten Verlauf $y_2(t) \rm \underline{\: = 5.025 \: V}$. Wird $T_{\rm A}$ weiter verringert, so ergibt sich am Ausgang weiterhin ein Gleichsignal, aber mit größerem Signalwert (proportional zu $1/T_{\rm A}$). <br />
<br />
Dagegen ist mit $T_{\rm A} =$ 201 μs die Abtastfrequenz etwas kleiner als die Grenzfrequenz des Filters (5 kHz), und die Spektralfunktion des Ausgangssignals lautet: <br />
$$Y_2(f) = 4.975\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \left[ {\rm \delta}(f ) + {\rm \delta}(f + f_{\rm A}) + {\rm \delta}(f - f_{\rm A})\right].$$<br />
Daraus folgt für das Zeitsignal: <br />
$$y_2(t ) = 4.975\hspace{0.1cm}{\rm V} + 9.95\hspace{0.1cm}{\rm<br />
V} \cdot {\rm cos}(2 \pi \cdot f_{\rm A} \cdot t ) \hspace{0.2cm} \Rightarrow<br />
\hspace{0.2cm}y_2(t = 0) \hspace{0.15cm}\underline{=14.925\hspace{0.1cm}{\rm V}}.$$<br />
Am prinzipiellen Verlauf ändert sich nichts, solange 200 μs < $T_{\rm A}$ < 400 μs gilt. Allerdings ergeben sich je nach $T_{\rm A}$ unterschiedliche Amplituden. Für $T_{\rm A}$ ≥ 400 μs kommen weitere Spektrallinien hinzu. <br />
<br />
<br />
'''d)''' [[Datei:P_ID854__LZI_A_1_5_d.png | Impuls– und Sprungantwort (ML zu Aufgabe A1.5d) | rechts]] Das Ausgangssignal $y_3(t)$ verläuft nun entsprechend der Integralsinusfunktion: <br />
$$\begin{align*}y_3(t = 0) &= 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \Delta f \cdot \int\limits_{ - \infty }^{ t } {{\rm si} ( \pi \Delta f \tau )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau =\\ &= 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \left[ \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\cdot {\rm Si} ( \pi \Delta f t )\right].\end{align*}$$<br />
Zum Zeitpunkt $t =$ 0 gilt $y_3(t) \rm \underline{\: = 5 \: V}$. <br />
<br />
<br />
'''e)''' Es ist offensichtlich, dass $y_3(t)$ dann sein Maximum erreicht, wenn die si–Funktion zum ersten Mal bei positiven Zeiten die Abszisse schneidet (siehe Skizze). Also muss $t_{\rm max} = 1/Δf \rm \underline{\: = 100 \: \mu s}$ gelten. Der Signalwert ergibt sich entsprechend der Tabelle auf der Angabenseite zu <br />
$$y_3(t = t_{\rm max}) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \left[ \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\cdot<br />
{\rm Si} ( \pi )\right]= 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \left[ 0.5 +<br />
0.5895 \right] \hspace{0.15cm}\underline{= 10.895 \hspace{0.1cm}{\rm V}} .$$<br />
Zu späteren Zeiten $t$ schwingt $y_3(t)$ langsam auf seinen Endwert 10 V ein. <br />
<br />
<br />
'''f)''' [[Datei:P_ID855__LZI_A_1_5_f.png | Rechteckspektren am Eingang des Rechteckfilters (ML zu Aufgabe A1.5f) | rechts]] Die Spektralfunktion $X_4(f)$ ist wie $H(f)$ rechteckförmig und für $|f| >$ 2.5 kHz stets 0. Das bedeutet, dass in diesem Fall $Y_4(f ) = X_4(f)$ gilt und entsprechend auch $y_4(t) = x_4(t)$. Damit ist $y_4(t = 0) \rm \underline{\: = 10 \: V}$. <br />
<br />
<br />
'''g)''' Mit $T =$ 50 μs ist die Breite von $X_4(f)$ gleich 20 kHz und die Höhe 0.5 · 10 $^{-3}$ V/Hz. Die Spektralfunktion $Y_4(f)$ nach Multiplikation mit $H(f)$ hat die gleiche Höhe, die Breite 10 kHz wird jedoch nun durch $H(f)$ bestimmt: <br />
$$\begin{align*}y_4(t) & = 0.5 \cdot 10^{-3}\hspace{0.1cm}\frac{ {\rm V} }{ {\rm<br />
Hz} } \cdot 10 \hspace{0.1cm}{\rm kHz} \cdot {\rm si}(\pi \Delta f t ) = 5\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm si}(\pi \Delta f t )\\ & \Rightarrow \hspace{0.2cm}y_4(t = 0) \hspace{0.15cm}\underline{=5\hspace{0.1cm}{\rm V} }.\end{align*}$$<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen^]]</div>Christophhttps://www.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Aufgabe_1.6Z:_Interpretation_der_%C3%9Cbertragungsfunktion&diff=5837Aufgaben:Aufgabe 1.6Z: Interpretation der Übertragungsfunktion2016-08-04T13:32:03Z<p>Christoph: Die Seite wurde neu angelegt: „ {{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen}} Datei:P_ID862__LZI_Z_1_6.png|right|Impulsantwort und…“</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen}}<br />
<br />
[[Datei:P_ID862__LZI_Z_1_6.png|right|Impulsantwort und Eingangssignale (Aufgabe Z1.6)]] Mit dieser Aufgabe soll der Einfluss eines Tiefpasses $H(f)$ auf cosinusförmige Signale der Form<br />
$$x_i(t) = A_x \cdot {\rm cos}(2\pi f_i t )$$<br />
veranschaulicht werden. In der Grafik sehen Sie die Signale $x_i(t)$, wobei der Index $i$ die Frequenz in kHz angibt. So beschreibt $x_2(t)$ ein 2 kHz–Signal.<br />
<br />
Die Signalamplitude beträgt jeweils $A_x =$ 1 V. Das Gleichsignal $x_0(t)$ ist als Grenzfall eines Cosinussignals mit der Frequenz $f_0 =$ 0 zu interpretieren.<br />
<br />
Die obere Skizze zeigt die rechteckige Impulsantwort $h(t)$ des Tiefpasses. Der dazugehörige Frequenzgang lautet:<br />
$$H(f) = {\rm si}(\pi \frac{f}{ {\rm \Delta}f}) .$$<br />
Aufgrund der Linearität und der Tatsache, dass $H(f)$ reell und gerade ist, sind die Ausgangssignale ebenfalls cosinusförmig:<br />
$$y_i(t) = A_i \cdot {\rm cos}(2\pi f_i t ) .$$<br />
Gesucht werden die Signalamplituden $A_i$ am Ausgang für die verschiedenen Eingangsfrequenzen $f_i$, wobei die Lösung ausschließlich im Zeitbereich gefunden werden soll. Dieser etwas umständliche Lösungsweg soll dazu dienen, den Zusammenhang zwischen Zeit– und Frquenzbereich deutlich zu machen.<br />
<br />
'''Hinweis:''' Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen|Kapitel 1.3]]. Entgegen der sonst üblichen Definition einer Amplitude können die $„A_i”$ durchaus negativ sein. Dies entspricht dann der Funktion „Minus-Cosinus”.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Multiple-Choice Frage<br />
|type="[]"}<br />
- Falsch<br />
+ Richtig<br />
<br />
<br />
{Input-Box Frage<br />
|type="{}"}<br />
$\alpha$ = { 0.3 }<br />
<br />
<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
:'''a)'''<br />
:'''b)'''<br />
:'''c)'''<br />
:'''d)'''<br />
:'''e)'''<br />
:'''f)'''<br />
:'''g)'''<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^Kapitelx^]]</div>Christophhttps://www.lntwww.de/index.php?title=Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen&diff=5836Lineare zeitinvariante Systeme/Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen2016-08-04T13:24:48Z<p>Christoph: </p>
<hr />
<div>{{Header<br />
|Untermenü=Systemtheoretische Grundlagen<br />
|Vorherige Seite=Systembeschreibung im Zeitbereich<br />
|Nächste Seite=Klassifizierung der Verzerrungen<br />
}} <br />
<br />
==Allgemeine Bemerkungen==<br />
Alle auf den nächsten Seiten beschriebenen Tiefpassfunktionen weisen die folgenden Eigenschaften auf: <br />
*Der Frequenzgang $H(f)$ ist stets reell und gerade, so dass nach dem Zuordnungssatz auch die zugehörige Impulsantwort $h(t)$ stets reell und gerade ist.<br />
*Damit ist offensichtlich, dass die hier betrachteten Systeme akausal und somit nicht realisierbar sind. Die Beschreibung kausaler Systeme erfolgt im Kapitel 3 dieses Buches. <br />
*Der Vorteil dieser systemtheoretischen Filterfunktionen ist die einfache Beschreibung durch maximal zwei Parameter, so dass der Filtereinfluss durchschaubar dargestellt werden kann. <br />
*Der wichtigste Funktionsparameter ist die äquivalente Bandbreite entsprechend der Definition über das flächengleiche Rechteck:<br />
$$\Delta f = \frac{1}{H(f=0)}\cdot \int\limits_{-\infty}^{+\infty}H(f) \hspace{0.15cm} {\rm d}f.$$<br />
*Nach dem so genannten Reziprozitätsgesetz liegt somit auch die äquivalente Zeitdauer der Impulsantwort fest, die ebenfalls über das flächengleiche Rechteck definiert ist:<br />
$$\Delta t = \frac{1}{h(t=0)}\cdot \int\limits_{-\infty}^{+\infty}h(t) \hspace{0.15cm} {\rm d}t = \frac{1}{\Delta f}.$$<br />
*Der Gleichsignalübertragungsfaktor wird – wenn nicht explizit etwas Anderes vermerkt ist – stets zu $H(f$ = 0) = 1 angenommen. <br />
*Aus jeder Tiefpassfunktion lassen sich entsprechende Hochpassfunktionen ableiten, wie auf der letzten Theorieseite dieses Abschnitts gezeigt wird. <br />
<br />
==Idealer Tiefpass – Küpfmüller–Tiefpass (1)==<br />
{{Definition}}<br />
Man bezeichnet einen Tiefpass als ideal, wenn sein Frequenzgang wie folgt lautet:<br />
$$H(f) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}1 \\ 0.5 \\\hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad\begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}}\\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}{\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| < \Delta f/2,} \\{\left| \hspace{0.005cm}f\hspace{0.05cm} \right| = \Delta f/2,} \\{\left|\hspace{0.005cm} f \hspace{0.05cm} \right| > \Delta f/2.} \\\end{array}$$<br />
Wir verwenden teilweise auch die Bezeichnung „Küpfmüller-Tiefpass” (KTP) in Erinnerung an den Pionier der Systemtheorie, Karl Küpfmüller. <br />
{{end}}<br />
<br />
<br />
Die Grafik zeigt einen solchen idealen Tiefpass im Frequenz– und Zeitbereich.<br />
<br />
[[Datei:P_ID842__LZI_T_1_3_S2_neu.png | Idealer Tiefpass und Impulsantwort|class=fit]]<br />
<br />
Man erkennt aus diesem Kurvenverläufen: <br />
*Aufgrund des abrupten, unendlich steilen Flankenabfalls ist hier die 3dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ genau halb so groß wie die systemtheoretische Bandbreite $Δf$. <br />
*Alle Spektralanteile mit $f$ < $f_{\rm G}$ werden unverfälscht durchgelassen (Durchlassbereich), alle Anteile mit $f$ > $f_{\rm G}$ vollständig unterdrückt (Sperrbereich). Bei $f$ = $f_{\rm G}$ gilt $H(f)$ = 0.5. <br />
<br />
<br />
''Hinweis:'' Die Beschreibung im Zeitbereich finden Sie nachfolgend. <br />
<br />
==Idealer Tiefpass – Küpfmüller–Tiefpass (2)==<br />
Kommen wir nun zur Beschreibung des idealen Tiefpasses im Zeitbereich: <br />
*Die Impulsantwort ergibt sich entsprechend der Fourierrücktransformation zu<br />
$$h(t) = \Delta f \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t)\hspace{0.7cm}{\rm{mit}}\hspace{0.7cm}{\rm si}(x) =\frac{\sin(x)}{x}.$$<br />
*Die beidseitig bis ins Unendliche ausgedehnte Zeitfunktion weist äquidistante Nulldurchgänge im Abstand $Δt$ = 1/ $Δf$ auf (siehe rechte untere<br />
:Grafik).<br />
*Der asymptotische Abfall erfolgt umgekehrt proportional mit der Zeit:<br />
$$|h(t)| = \frac{\Delta f}{\pi \cdot \Delta f \cdot |t|} \cdot \left |{\rm sin}(\pi \cdot \Delta f\cdot t )\right | \le \frac{1}{\pi \cdot |t|}.$$<br />
*Daraus folgt, dass die Impulsantwort erst für Zeiten $t$ > $t_{1‰}$ = 318 · $Δt$ mit Sicherheit kleiner als 1‰ des Impulsmaximums ist. <br />
*Die Sprungantwort ergibt sich aus der Impulsantwort durch Integration und lautet: <br />
$${\rm \sigma}(t) = \int\limits_{ - \infty }^{ t } {h ( \tau )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \cdot {\rm Si}(\pi \cdot\Delta f \cdot t ).$$<br />
*Hierbei ist die so genannte Integral–Sinusfunktion<br />
$${\rm Si}(x) = \int\limits_{ 0 }^{ x } {{\rm si} ( \xi )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\xi = x - \frac{x^3}{3 \cdot 3!} + \frac{x^5}{5 \cdot 5!} - \frac{x^7}{7 \cdot 7!}+ ...$$<br />
:verwendet, die folgende Eigenschaften besitzt:<br />
$${\rm Si}(0) = 0, \hspace{0.3cm}{\rm Si}(\infty) = \frac{\pi}{2}, \hspace{0.3cm}{\rm Si}(-x) = -{\rm Si}(x).$$<br />
<br />
[[Datei:P_ID843__LZI_T_1_3_S2_neu.png | Idealer Tiefpass und Impulsantwort|class=fit]]<br />
<br />
'''Hinweis:''' In manchen Büchern wird statt der Funktion si(x) die ähnliche Funktion sinc(x) verwendet: <br />
$${\rm si}(x) = \frac{\sin(x)}{x}\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm}{\rm sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = {\rm si}(\pi x).$$<br />
In diesem Fall lautet die Impulsantwort des idealen Tiefpasses $h(t)$ = $Δf · {\rm sinc}(Δf · t).$<br />
<br />
==Spalttiefpass==<br />
{{Definition}}<br />
Man bezeichnet ein LZI–System als Spalttiefpass, wenn der Frequenzgang die folgende Form hat:<br />
$$H(f) = {\rm si}(\pi \frac{f}{ \Delta f})\hspace{0.7cm}{\rm{mit}}\hspace{0.7cm}{\rm si}(x) =\frac{\sin(x)}{x}.$$<br />
{{end}}<br />
<br />
<br />
Aus der linken Grafik ist zu erkennen, dass der Frequenzgang $H_{\rm STP}(f)$ des Spalttiefpasses formgleich mit der Impulsantwort $h_{\rm KTP}(t)$ des Küpfmüllertiefpasses ist. <br />
<br />
[[Datei:P_ID844__LZI_T_1_3_S3_neu.png | Spalttiefpass und zugehörige Impulsantwort|class=fit]]<br />
<br />
Nach dem Vertauschungssatz muss deshalb auch die Impulsantwort $h_{\rm STP}(t)$ des Spalttiefpasses die gleiche Form wie der Frequenzgang $H_{\rm KTP}(f)$ des idealen Tiefpasses aufweisen. Mit $Δt$ = 1/ $Δf$ gilt somit:<br />
$$h(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}\Delta f \\ \Delta f/2 \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.005cm} t\hspace{0.05cm} \right| < \Delta t/2,} \\ {\left| \hspace{0.005cm}t\hspace{0.05cm} \right| = \Delta t/2,} \\ {\left|\hspace{0.005cm} t \hspace{0.05cm} \right| > \Delta t/2.} \\<br />
\end{array}$$<br />
Anhand obiger Grafik sind folgende Aussagen ableitbar: <br />
*Auch der Spalttiefpass ist in dieser Form akausal. Durch eine zusätzliche Laufzeit von $Δt/2$ wird das System jedoch kausal und damit realisierbar. <br />
*Der Spalttiefpass wirkt als Integrator über die Zeitdauer $Δt$: <br />
$$y(t) = x (t) * h (t) = \frac{1}{\Delta t} \cdot \int\limits_{ t - \Delta t/2 }^{ t + \Delta t/2 } {x ( \tau )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$<br />
*Ist $x(t)$ eine harmonische Schwingung mit der Frequenz $f_0$ = $k · Δf$ ( $k$ ganzzahlig), so wird genau über $k$ Perioden integriert und es gilt $y(t)$ = 0. Dies zeigen auch die Nullstellen von $H(f)$. <br />
<br />
==Gauß–Tiefpass==<br />
Eine häufig für systemtheoretische Untersuchungen verwendete Filterfunktion ist der Gaußtiefpass, der ebenfalls durch nur einen Parameter, nämlich die äquivalente Bandbreite $Δf$, beschreibbar ist.<br />
{{Definition}}<br />
Für den Frequenzgang und die Impulsantwort des Gaußtiefpasses gelten:<br />
$$H(f) = {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f)^2}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, h(t) = \Delta f \cdot {\rm e}^{-\pi(\Delta f \cdot \hspace{0.03cm} t)^2} .$$<br />
{{end}}<br />
<br />
<br />
Der Name geht auf den Mathematiker, Physiker und Astronomen Carl-Friedrich Gauß zurück. Gauß hat sich zwar nicht selber mit dieser Thematik auseinandergesetzt, aber die mathematische Form von Frequenzgang und Impulsantwort weisen eine Ähnlichkeit mit der so genannten Gaußformel auf, die er für die Wahrscheinlichkeitsrechnung gefunden hat.<br />
<br />
[[Datei:P_ID845__LZI_T_1_3_S4_neu.png | Gaußtiefpass und zugehörige Impulsantwort|class=fit]]<br />
<br />
Anhand obiger Grafik können folgende Aussagen getroffen werden:<br />
*Die ebenfalls über das flächengleiche Rechteck definierte äquivalente Impulsdauer $Δt$ ist gleich dem Kehrwert der äquivalenten Bandbreite $Δf$. <br />
*Eine schmalbandige Filterfunktion (kleines $Δf$) führt zu einer breiten (großes $Δt$) und gleichzeitig niedrigen Impulsantwort $h(t)$. Das Reziprozitätsgesetz von Zeitdauer und Bandbreite lässt sich am Beispiel des Gaußtiefpasses besonders anschaulich zeigen. <br />
*Die Frequenz– und Zeitbereichsdarstellungen sind prinzipiell von gleicher Form. Man sagt auch, dass die Gaußfunktion invariant gegenüber der Fouriertransformation ist. <br />
*Aufgrund der unendlichen Ausbreitung seiner Impulsantwort ist der Gaußtiefpass ebenso wie der ideale Tiefpass stark akausal und (exakt) nur mit unendlich großer Laufzeit realisierbar. <br />
*Allerdings ist zu berücksichtigen, dass $h(t)$ bereits bei $t$ = 1.5 · $Δt$ auf 0.1% seines Maximalwertes abgeklungen ist. Für $t$ = 3 · $Δt$ ergibt sich sogar $h(t) ≈ 5 · 10^{–13} · h(0)$. <br />
*Diese Zahlenwerte machen deutlich, dass man den Gaußtiefpass durchaus auch für praxisnahe Simulationen heranziehen kann, solange Laufzeiten keine systembegrenzende Rolle spielen. <br />
*Die Sprungantwort $σ(t)$ lautet mit der Gaußschen Fehlerfunktion $ϕ(x)$, die in Formelsammlungen meist tabellarisch angegeben wird: <br />
$$\sigma(t) = \int\limits_{ -\infty }^{ t } {h(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau = {\rm \phi}\left( \sqrt{2 \pi }\frac{t}{\Delta t} \right) \hspace{0.7cm}{\rm{mit}}\hspace{0.7cm}{\rm \phi}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \cdot \int\limits_{ -\infty }^{ x } {{\rm e}^{-u^2/2}} \hspace{0.1cm}{\rm d}u.$$<br />
<br />
==Trapeztiefpass (1)==<br />
Die bisher in diesem Kapitel beschriebenen Tiefpassfunktionen hängen nur von einem Parameter – der äquivalenten Bandbreite $Δf$ – ab. Dabei war die Flankensteilheit für einen gegebenen Filtertyp fest vorgegeben. Nun wird ein Tiefpass beschrieben, bei dem auch die Flankensteilheit parametrisierbar ist.<br />
{{Definition}}<br />
Der Frequenzgang des Trapeztiefpasses lautet mit den Eckfrequenzen $f_1$ und $f_2$ ≥ $f_1$:<br />
$$H(f) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}1 \\ \frac{f_2 -|f|}{f_2 -f_1} \\<br />
\hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad<br />
\begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}}<br />
\\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}<br />
{\hspace{0.94cm}\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| < f_1,} \\<br />
{f_1 \le \left| \hspace{0.005cm}f\hspace{0.05cm} \right| \le f_2,} \\<br />
{\hspace{0.94cm}\left|\hspace{0.005cm} f \hspace{0.05cm} \right| > f_2.} \\<br />
\end{array}$$<br />
{{end}}<br />
<br />
<br />
Anstelle von $f_1$ und $f_2$ kann man zur Beschreibung von $H(f)$ auch folgende Parameter verwenden: <br />
*die äquivalente Bandbreite, ermittelt über das flächengleiche Rechteck:<br />
$$\Delta f = f_1 + f_2.$$<br />
*der Rolloff-Faktor (im Frequenzbereich) als Maß für die Flankensteilheit:<br />
$$r_f = \frac{f_2 - f_1}{f_2 + f_1}.$$<br />
Als Sonderfälle sind in der allgemeinen Darstellung der ideale rechteckförmige Tiefpass $(r_f = 0)$ sowie der Dreiecktiefpass $(r_f = 1)$ enthalten. Die nachfolgende Grafik zeigt $H(f)$ sowie die Impulsantwort <br />
$$h(t) = \Delta f \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t )\cdot {\rm si}(\pi \cdot r_f \cdot \Delta f \cdot t )\hspace{0.7cm}{\rm{mit}}\hspace{0.7cm}{\rm si}(x) = \frac{\sin(x)}{x},$$<br />
wobei der Rolloff–Faktor $r_f$ = 0.5 (d. h. $f_2 = 3f_1)$ zugrunde liegt. Der si–Verlauf des rechteckförmigen Tiefpasses mit gleicher äquivalenter Bandbreite ist zum Vergleich gestrichelt eingezeichnet.<br />
<br />
[[Datei:P_ID846__LZI_T_1_3_S5_neu.png | Trapeztiefpass und zugehörige Impulsantwort|class=fit]]<br />
<br />
<br />
''Hinweis:'' Die Interpretation dieser Grafik folgt im nächsten Abschnitt.<br />
<br />
==Trapeztiefpass (2)==<br />
<br />
Die obenstehende Grafik sowie Gleichungen erlauben folgende Aussagen: <br />
*Die Trapezform entsteht z. B. durch die Faltung zweier Rechtecke der Breiten $Δf$ und $r_f Δf$. <br />
*Entsprechend dem Faltungssatz ist somit die Impulsantwort das Produkt zweier si–Funktionen mit den Argumenten $π · Δf · t$ und $π · rf · Δf · t$. <br />
*Die erste si–Funktion ist für alle Werte von $r_f$ Bestandteil der Gleichung für $h(t)$ und führt stets zu äquivalenten Nulldurchgängen im Abstand $1/Δf$. <br />
*Für 0 < $r_f$ < 1 gibt es weitere Nullstellen bei Vielfachen von $Δt/r_f$. <br />
*Der asymptotische Abfall der Impulsantwort $h(t)$ erfolgt um so schneller, je größer $r_f$ ist, d. h. bei gegebenem $Δf$ mit flacherer Flanke. Der schnellstmögliche Abfall ergibt sich beim Dreiecktiefpass ⇒ $r_f$ = 1, $f_1$ = 0, $f_2$ = $Δf$. Für diesen gilt im Frequenz– und Zeitbereich:<br />
$$H(f) = \left\{ \begin{array}{c} \hspace{0.25cm} \frac{{\rm \Delta}f -|f|}{{\rm \Delta}f} \\<br />
\hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad<br />
\begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}}<br />
\\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}<br />
{\hspace{1cm} \left| \hspace{0.005cm}f\hspace{0.05cm} \right| \le {\rm \Delta}f ,} \\<br />
{\hspace{1cm}\left|\hspace{0.005cm} f \hspace{0.05cm} \right| \ge {\rm \Delta}f ,} \\<br />
\end{array}$$<br />
$$h(t) = \Delta f \cdot {\rm si}^2(\pi \cdot \Delta f \cdot t )\hspace{0.4cm}{\rm{mit}}\hspace{0.4cm}{\rm si}(x) = \frac{\sin(x)}{x}.$$<br />
<br />
[[Datei:P_ID847__LZI_T_1_3_S5_neu.png | Trapeztiefpass und zugehörige Impulsantwort|class=fit]]<br />
<br />
==Cosinus-Rolloff-Tiefpass (1)==<br />
Ebenso wie der Trapeztiefpass wird dieser Tiefpass durch zwei Parameter beschrieben, nämlich durch die äquivalente Bandbreite $Δf$ und den Rolloff–Faktor $r_f$. Dessen Wertebereich liegt zwischen $r_f$ = 0 (Rechtecktiefpass) und $r_f$ = 1 (Cosinus–Quadrat–Tiefpass).<br />
{{Definition}}<br />
Der Frequenzgang des Cosinus–Rolloff–Tiefpasses lautet mit den zwei Eckfrequenzen $f_1$ = $Δf · (1 – r_f)$ und $f_2$ = $Δf · (1 + r_f)$:<br />
$$H(f) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}1 \\ \cos \left( \frac{|f|- f_1}{f_2 -f_1}\frac{\pi}{2}\right) \\<br />
\hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad<br />
\begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}}<br />
\\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}<br />
{\hspace{0.94cm}\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| < f_1,} \\<br />
{f_1 \le \left| \hspace{0.005cm}f\hspace{0.05cm} \right| \le f_2,} \\<br />
{\hspace{0.94cm}\left|\hspace{0.005cm} f \hspace{0.05cm} \right| > f_2.} \\<br />
\end{array}$$<br />
{{end}}<br />
<br />
<br />
Die nachfolgende Grafik zeigt $H(f)$ sowie die Impulsantwort<br />
$$h(t) = \Delta f \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t )\cdot<br />
\frac {\cos(\pi \cdot r_f \cdot \Delta f \cdot t )}{1 - (2 \cdot<br />
r_f \cdot \Delta f \cdot t)^2}.$$<br />
<br />
[[Datei:P_ID848__LZI_T_1_3_S6_neu.png| Cosinus–Rolloff–Tiefpass und zugehörige Impulsantwort|class=fit]]<br />
<br />
Für diese Grafiken wurde der Rolloff–Faktor $r_f$ = 0.5 verwendet, das heißt, es gilt $f_2$ = 3 · $f_1$. Gestrichelt sind zum Vergleich <br />
*im Frequenzbereich der Trapeztiefpass und <br />
*im Zeitbereich die si–Funktion <br />
<br />
<br />
eingezeichnet. Es ist zu beachten, dass die si-Funktion nicht die Fourierrücktransformierte des links blau eingezeichneten Trapeztiefpasses ist. Sie beschreibt vielmehr den idealen, rechteckförmigen Tiefpass im Zeitbereich.<br />
<br />
''Hinweis:'' Die Interpretation dieser Grafik folgt nachfolgend.<br />
<br />
==Cosinus-Rolloff-Tiefpass (2)==<br />
Anhand der oben gezeigten Grafik (Cosinus–Rolloff–Tiefpass und zugehörige Impulsantwort) und den obigen Gleichungen sind folgende Aussagen möglich: <br />
*Die Impulsantwort $h(t)$ hat bei allen Vielfachen von $Δt = 1/Δf$ Nullstellen, die auf die im rechten Bild gestrichelt eingezeichnete si–Funktion zurückzuführen sind. <br />
*Der letzte Term in der $h(t)$ –Gleichung führt zu weiteren Nullstellen bei Vielfachen von $Δt/r_f$. Ist $1/r_f$ ganzzahlig wie in obiger Grafik $(1/r_f$ = 2), so fallen diese mit den anderen Nullstellen zusammen. <br />
*Je größer der Rolloff-Faktor $r_f$ ist und je flacher damit der Flankenabfall erfolgt, desto günstiger ist im Allgemeinen das Einschwingverhalten des Cosinus-Rolloff-Tiefpasses. <br />
*Der Cosinus–Rolloff–Tiefpass zeigt meist ein besseres asymptotisches Einschwingverhalten als der Trapeztiefpass mit gleichem $r_f$, obwohl dieser zumindest bei $Δf/2$ eine flachere Flanke aufweist. <br />
*Dies lässt darauf schließen, dass das Einschwingverhalten nicht nur durch Unstetigkeitsstellen (wie beim Rechteck), sondern auch durch Knickpunkte wie beim Trapeztiefpass beeinträchtigt wird. <br />
*Als Sonderfall ergibt sich mit $f_1$ = 0, $f_2$ = $Δf$ ⇒ $r_f$ = 1 der Cosinus–Quadrat–Tiefpass, dessen Impulsantwort auch wie folgt dargestellt werden kann:<br />
$$h(t) = \frac{1}{ \Delta t}\cdot{\rm si}(\pi \frac{t}{ \Delta t})<br />
\cdot \left[ {\rm si}(\pi \frac{t}{ \Delta t} + 0.5) - {\rm<br />
si}(\pi \frac{t}{ \Delta t} - 0.5) \right].$$<br />
*Diese Funktion hat Nullstellen bei $t/Δt$ = ±1, ±1.5, ±2, ±2.5 usw., nicht jedoch bei $t/Δt$ = ±0.5. Im Buch „Digitalsignalübertragung” wird gezeigt, dass der Cosinus–Quadrat–Tiefpass als einziger Tiefpass die beiden so genannten Nyquistkriterien erfüllt.<br />
<br />
==Herleitung systemtheoretischer Hochpassfunktionen==<br />
In diesem Kapitel wurden fünf häufig verwendete systemtheoretische Tiefpassfunktionen betrachtet. Für jede einzelne Tiefpassfunktion lässt sich auch eine äquivalente Hochpassfunktion angeben.<br />
{{Definition}}<br />
Ist $H_{\rm TP}(f)$ eine systemtheoretische Tiefpassfunktion mit $H_{\rm TP}(f = 0)$ = 1, so gilt für die äquivalente Hochpassfunktion:<br />
$$H_{\rm HP}(f) = 1 - H_{\rm TP}(f).$$<br />
{{end}}<br />
<br />
<br />
Damit lauten die Beschreibungsgrößen im Zeitbereich:<br />
$$ \begin{align*} h_{\rm HP}(t) & = \delta (t) - h_{\rm TP}(t),\\<br />
\sigma_{\rm HP}(t) & = \gamma (t) - \sigma_{\rm TP}(t). \end{align*} $$<br />
Hierbei bezeichnen: <br />
*$h_{\rm HP}(t)$ und $h_{\rm TP}(t)$ die Impulsantworten von Hoch– und Tiefpass, <br />
*$σ_{\rm HP}(t)$ und $σ_{\rm TP}(t)$ die dazugehörigen Sprungfunktionen, <br />
*$γ(t)$ die Sprungfunktion als Ergebnis der Integration über die Diracfunktion $δ(t)$. <br />
<br />
<br />
{{Beispiel}}<br />
Wir betrachten den Spalttiefpass, der sich durch einen si–förmigen Frequenzgang, eine rechteckförmige Impulsantwort und eine linear ansteigende Sprungantwort auszeichnet. Diese sind in der nachfolgenden Grafik dargestellt. <br />
<br />
[[Datei: P_ID851__LZI_T_1_3_S7_neu.png | Konstruktion von Hochpassfunktionen aus den entsprechenden Tiefpässen|class=fit]]<br />
<br />
Die untere Skizze zeigt die entsprechenden Hochpassfunktionen. Man erkennt, dass <br />
*$H_{\rm HP}(f = 0)$ immer den Wert 0 besitzt, wenn $H_{\rm TP}(f = 0)$ = 1 ist, <br />
*demzufolge das Integral über $h_{\rm HP}(t)$ ebenfalls 0 ergeben muss und <br />
*auch die Sprungantwort $σ_{\rm HP}(t)$ gegen den Endwert 0 tendiert.<br />
{{end}}<br />
<br />
==Aufgaben==<br />
[[Aufgaben:1.5 Küpfmüller-Tiefpass]]<br />
<br />
[[Zusatzaufgaben:1.5 si-förmige Impulsantwort]]<br />
<br />
[[Aufgaben:1.6 Rechteckige Impulsantwort]]<br />
<br />
[[Zusatzaufgaben:1.6 Interpretation von H(f)]]<br />
<br />
{{Display}}</div>Christophhttps://www.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Aufgabe_1.6:_Rechteckf%C3%B6rmige_Impulsantwort&diff=5835Aufgaben:Aufgabe 1.6: Rechteckförmige Impulsantwort2016-08-04T13:17:50Z<p>Christoph: /* Musterlösung */</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen}}<br />
<br />
[[Datei:P_ID858__LZI_A_1_6.png|right|Rechteckförmige Impulsantwort, akausal und kausal (Aufgabe A1.6)]]<br />
Wir betrachten im Folgenden die in der Grafik gezeigte Konstellation. Der Frequenzgang $H(f) = H_1(f) · H_2(f)$ im unteren Zweig ist durch die Impulsantworten seiner beiden Teilkomponenten festgelegt. Hierbei ist $h_1(t)$ im Bereich von –1 ms bis 1 ms konstant gleich $k$ und außerhalb 0; an den Bereichsgrenzen gilt jeweils der halbe Wert. Die im Bild eingezeichnete Zeitvariable ist somit $Δt =$ 2 ms.<br />
<br />
<br />
Die Impulsantwort der zweiten Systemfunktion $H_2(f)$ lautet:<br />
$$h_2(t) = \delta(t - \tau).$$<br />
Der Frequenzgang zwischen den Signalen $x(t)$ und $z(t)$ hat Hochpass–Charakter und lautet allgemein:<br />
$$H_{\rm HP}(f) = 1 - H_1(f) \cdot {\rm e}^{-{\rm j2 \pi}f \tau}.$$<br />
Für die Teilaufgaben a) bis d) gelte $τ =$ 0 und damit $H(f) = H_1(f)$. Mit dem Parameter $τ =$ 0 kann hierfür auch geschrieben werden ( $Δt =$ 2 ms):<br />
$$H_{\rm HP}(f) = 1 - {\rm si}( \pi \cdot {\rm \Delta}t \cdot f).$$<br />
Ohne Auswirkung auf die Lösung der Aufgabe ist anzumerken, dass diese Gleichung für $τ ≠$ 0 nicht anwendbar ist:<br />
$$|H_{\rm HP}(f)|\hspace{0.09cm} \ne \hspace{0.09cm}1 - |H_1(f)| .$$<br />
<br />
<br />
'''Hinweis:''' Diese Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen|Kapitel 1.3]].<br />
<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Berechnen Sie die Höhe $k$ der Impulsantwort $h_1(t)$ unter der Nebenbedingung, dass $H_1(f = 0) =$ 1 gelten soll.<br />
|type="{}"}<br />
$k =$ { 500 } 1/s<br />
<br />
<br />
{Das Eingangssignal $x(t)$ sei ein um $t =$ 0 symmetrisches Rechteck der Dauer $T =$ 2 ms und der Höhe 1 V. Es gelte $τ =$ 0. Welche Aussagen sind zutreffend?<br />
|type="[]"}<br />
- $y(t)$ ist rechteckförmig.<br />
+ $y(t)$ ist dreieckförmig.<br />
- $y(t)$ ist trapezförmig.<br />
+ Der Maximalwert von $y(t)$ ist 1 V.<br />
<br />
<br />
{Welche Aussagen treffen zu, wenn $x(t)$ die Rechteckbreite $T =$ 1 ms besitzt?<br />
|type="[]"}<br />
- $y(t)$ ist rechteckförmig.<br />
- $y(t)$ ist dreieckförmig.<br />
+ $y(t)$ ist trapezförmig.<br />
- Der Maximalwert von $y(t)$ ist 1 V.<br />
<br />
<br />
{Es gelte weiter $τ =$ 0. Berechnen Sie das Ausgangssignal $z(t)$, wenn $x(t)$ zum Zeitpunkt $t =$ 0 von 0 auf 1 V springt. Welche Aussagen treffen zu?<br />
|type="[]"}<br />
- $z(t)$ ist eine gerade Funktion der Zeit.<br />
+ $z(t)$ weist bei $t =$ 0 eine Sprungstelle auf.<br />
+ Zum Zeitpunkt $t =$ 0 ist $z(t) =$ 0.<br />
+ Für $t >$ 1 ms ist $z(t) =$ 0.<br />
<br />
<br />
{Welchen Verlauf hat $z(t)$ als Antwort auf das sprungförmige Eingangssignal $x(t)$, wenn die Laufzeit $τ =$ 1 ms ist? Welcher Signalwert tritt bei $t =$ 1 ms auf?<br />
|type="{}"}<br />
$z(t = 1 \rm \ ms) =$ { 0.5 } V<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
'''1.''' Die Bedingung $H(f = 0) =$ 1 bedeutet, dass die Fläche der Impulsantwort gleich 1 ist. Daraus folgt:<br />
$$k = \frac{1}{\Delta t} \hspace{0.15cm}\underline{= 500\hspace{0.1cm}{ 1/{\rm s}}} .$$<br />
<br />
<br />
'''2.''' Das Ausgangssignal $y(t)$ ergibt sich als das Faltungsprodukt von $x(t)$ und $h(t)$. Die Faltung zweier gleich breiter Rechtecke ergibt ein Dreieck mit dem Maximum bei $t =$ 0:<br />
$$y(t = 0 ) = 1\hspace{0.05cm}{\rm V}\cdot \int\limits_{ - 1\,{\rm ms} }^{ 1\,{\rm ms} } {k \hspace{0.1cm}}{\rm d}\tau =<br />
1\hspace{0.05cm}{\rm V}\cdot \int\limits_{ - 1\,{\rm ms} }^{ 1\,{\rm ms} } {\frac{1}{2\,{\rm ms}} \hspace{0.1cm}}{\rm d}\tau= 1\hspace{0.05cm}{\rm V}.$$<br />
Richtig sind somit die $\rm \underline{ \ Vorschläge \ 2 \ und \ 4}$.<br />
<br />
<br />
'''3.''' [[Datei: P_ID859__LZI_A_1_6_c.png | Trapezimpuls (ML zu Aufgabe A1.6c) | rechts]] Die Faltung von zwei unterschiedlich breiten Rechtecken führt zu einem trapezförmigen Ausgangssignal entsprechend der Skizze. Der Maximalwert tritt im konstanten Bereich von –0.5 ms bis 0.5 ms auf und beträgt<br />
$$y(t = 0 ) = 1\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot \frac{1}{2\,{\rm<br />
ms}} \hspace{0.05cm}\cdot 1\,{\rm ms} = 0.5\hspace{0.05cm}{\rm V}.$$<br />
Richtig ist somit nur $\rm \underline{ \ die \ dritte \ Alternative}$.<br />
<br />
<br />
'''4.''' [[Datei: P_ID860__LZI_A_1_6_d.png | Akausale HP–Sprungantwort (ML zu Aufgabe A1.6d) | rechts]] Die Impulsantwort des Gesamtsystems lautet:<br />
$$h_{\rm HP}(t) = \delta(t) - h(t).$$<br />
Diese beiden Anteile sind in der Skizze dargestellt. Durch Integration über $h_{\rm HP}(t)$ und Multiplikation mit 1 V kommt man zum gesuchten Signal $z(t)$. In der unteren Skizze ist das Integral über $δ(t)$ blau, die Funktion $–σ(t)$ rot und das gesamte Signal $z(t)$ grün gezeichnet.<br />
<br />
<br />
$z(t)$ ist eine ungerade Funktion in $t$ mit einer Sprungstelle bei $t =$ 0: Der Signalwert bei $t =$ 0 liegt genau in der Mitte zwischen dem links- und dem rechteckseitigem Grenzwert und ist somit 0. Für $t >$ 1 ms gilt ebenfalls $z(t) =$ 0, da das Gesamtsystem eine Hochpass-Charakteristik aufweist.<br />
Richtig sind somit die $\rm \underline{ \ Vorschläge \ 2, \ 3 \ und \ 4}$.<br />
<br />
<br />
'''5.''' Die Grafik zeigt die resultierende Impulsantwort $h_{\rm HP}(t)$ und die Sprungantwort $σ_{\rm HP}(t)$, die bei $t =$ 0 auf 1 springt und bis zum Zeitpunkt $t =$ 2 ms auf den Endwert 0 abklingt. Zum Zeitpunkt $t =$ 1 ms ergibt sich $σ_{\rm HP}(t) =$ 0.5.<br />
<br />
[[Datei: P_ID861__LZI_A_1_6_e.png | Kausale HP–Sprungantwort (ML zu Aufgabe A1.6e) | rechts]] Das Signal $z(t)$ ist formgleich mit der Sprungantwort $σ_{\rm HP}(t)$, ist jedoch noch mit 1 V zu multiplizieren. Der gesuchte Signalwert zur Zeit $t_1 =$ 1 ms ergibt sich zu $z(t_1) \rm \underline{\ = \ 0.5}$. <br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen^]]</div>Christophhttps://www.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Aufgabe_1.6:_Rechteckf%C3%B6rmige_Impulsantwort&diff=5834Aufgaben:Aufgabe 1.6: Rechteckförmige Impulsantwort2016-08-04T13:16:57Z<p>Christoph: /* Musterlösung */</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen}}<br />
<br />
[[Datei:P_ID858__LZI_A_1_6.png|right|Rechteckförmige Impulsantwort, akausal und kausal (Aufgabe A1.6)]]<br />
Wir betrachten im Folgenden die in der Grafik gezeigte Konstellation. Der Frequenzgang $H(f) = H_1(f) · H_2(f)$ im unteren Zweig ist durch die Impulsantworten seiner beiden Teilkomponenten festgelegt. Hierbei ist $h_1(t)$ im Bereich von –1 ms bis 1 ms konstant gleich $k$ und außerhalb 0; an den Bereichsgrenzen gilt jeweils der halbe Wert. Die im Bild eingezeichnete Zeitvariable ist somit $Δt =$ 2 ms.<br />
<br />
<br />
Die Impulsantwort der zweiten Systemfunktion $H_2(f)$ lautet:<br />
$$h_2(t) = \delta(t - \tau).$$<br />
Der Frequenzgang zwischen den Signalen $x(t)$ und $z(t)$ hat Hochpass–Charakter und lautet allgemein:<br />
$$H_{\rm HP}(f) = 1 - H_1(f) \cdot {\rm e}^{-{\rm j2 \pi}f \tau}.$$<br />
Für die Teilaufgaben a) bis d) gelte $τ =$ 0 und damit $H(f) = H_1(f)$. Mit dem Parameter $τ =$ 0 kann hierfür auch geschrieben werden ( $Δt =$ 2 ms):<br />
$$H_{\rm HP}(f) = 1 - {\rm si}( \pi \cdot {\rm \Delta}t \cdot f).$$<br />
Ohne Auswirkung auf die Lösung der Aufgabe ist anzumerken, dass diese Gleichung für $τ ≠$ 0 nicht anwendbar ist:<br />
$$|H_{\rm HP}(f)|\hspace{0.09cm} \ne \hspace{0.09cm}1 - |H_1(f)| .$$<br />
<br />
<br />
'''Hinweis:''' Diese Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen|Kapitel 1.3]].<br />
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===Fragebogen===<br />
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<quiz display=simple><br />
{Berechnen Sie die Höhe $k$ der Impulsantwort $h_1(t)$ unter der Nebenbedingung, dass $H_1(f = 0) =$ 1 gelten soll.<br />
|type="{}"}<br />
$k =$ { 500 } 1/s<br />
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{Das Eingangssignal $x(t)$ sei ein um $t =$ 0 symmetrisches Rechteck der Dauer $T =$ 2 ms und der Höhe 1 V. Es gelte $τ =$ 0. Welche Aussagen sind zutreffend?<br />
|type="[]"}<br />
- $y(t)$ ist rechteckförmig.<br />
+ $y(t)$ ist dreieckförmig.<br />
- $y(t)$ ist trapezförmig.<br />
+ Der Maximalwert von $y(t)$ ist 1 V.<br />
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{Welche Aussagen treffen zu, wenn $x(t)$ die Rechteckbreite $T =$ 1 ms besitzt?<br />
|type="[]"}<br />
- $y(t)$ ist rechteckförmig.<br />
- $y(t)$ ist dreieckförmig.<br />
+ $y(t)$ ist trapezförmig.<br />
- Der Maximalwert von $y(t)$ ist 1 V.<br />
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{Es gelte weiter $τ =$ 0. Berechnen Sie das Ausgangssignal $z(t)$, wenn $x(t)$ zum Zeitpunkt $t =$ 0 von 0 auf 1 V springt. Welche Aussagen treffen zu?<br />
|type="[]"}<br />
- $z(t)$ ist eine gerade Funktion der Zeit.<br />
+ $z(t)$ weist bei $t =$ 0 eine Sprungstelle auf.<br />
+ Zum Zeitpunkt $t =$ 0 ist $z(t) =$ 0.<br />
+ Für $t >$ 1 ms ist $z(t) =$ 0.<br />
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{Welchen Verlauf hat $z(t)$ als Antwort auf das sprungförmige Eingangssignal $x(t)$, wenn die Laufzeit $τ =$ 1 ms ist? Welcher Signalwert tritt bei $t =$ 1 ms auf?<br />
|type="{}"}<br />
$z(t = 1 \rm \ ms) =$ { 0.5 } V<br />
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</quiz><br />
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===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
'''1.''' Die Bedingung $H(f = 0) =$ 1 bedeutet, dass die Fläche der Impulsantwort gleich 1 ist. Daraus folgt:<br />
$$k = \frac{1}{\Delta t} \hspace{0.15cm}\underline{= 500\hspace{0.1cm}{ 1/{\rm s}}} .$$<br />
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'''2.''' Das Ausgangssignal $y(t)$ ergibt sich als das Faltungsprodukt von $x(t)$ und $h(t)$. Die Faltung zweier gleich breiter Rechtecke ergibt ein Dreieck mit dem Maximum bei $t =$ 0:<br />
$$y(t = 0 ) = 1\hspace{0.05cm}{\rm V}\cdot \int\limits_{ - 1\,{\rm ms} }^{ 1\,{\rm ms} } {k \hspace{0.1cm}}{\rm d}\tau =<br />
1\hspace{0.05cm}{\rm V}\cdot \int\limits_{ - 1\,{\rm ms} }^{ 1\,{\rm ms} } {\frac{1}{2\,{\rm ms}} \hspace{0.1cm}}{\rm d}\tau= 1\hspace{0.05cm}{\rm V}.$$<br />
Richtig sind somit die $\rm \underline{ \ Vorschläge \ 2 \ und \ 4}$.<br />
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'''3.''' [[Datei: P_ID859__LZI_A_1_6_c.png | Trapezimpuls (ML zu Aufgabe A1.6c) | rechts]] Die Faltung von zwei unterschiedlich breiten Rechtecken führt zu einem trapezförmigen Ausgangssignal entsprechend der Skizze. Der Maximalwert tritt im konstanten Bereich von –0.5 ms bis 0.5 ms auf und beträgt<br />
$$y(t = 0 ) = 1\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot \frac{1}{2\,{\rm<br />
ms}} \hspace{0.05cm}\cdot 1\,{\rm ms} = 0.5\hspace{0.05cm}{\rm V}.$$<br />
Richtig ist somit nur $\rm \underline{ \ die \ dritte \ Alternative}$.<br />
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'''4.''' [[Datei: P_ID860__LZI_A_1_6_d.png | Akausale HP–Sprungantwort (ML zu Aufgabe A1.6d) | rechts]] Die Impulsantwort des Gesamtsystems lautet:<br />
$$h_{\rm HP}(t) = \delta(t) - h(t).$$<br />
Diese beiden Anteile sind in der Skizze dargestellt. Durch Integration über $h_{\rm HP}(t)$ und Multiplikation mit 1 V kommt man zum gesuchten Signal $z(t)$. In der unteren Skizze ist das Integral über $δ(t)$ blau, die Funktion $–σ(t)$ rot und das gesamte Signal $z(t)$ grün gezeichnet.<br />
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$z(t)$ ist eine ungerade Funktion in $t$ mit einer Sprungstelle bei $t =$ 0: Der Signalwert bei $t =$ 0 liegt genau in der Mitte zwischen dem links- und dem rechteckseitigem Grenzwert und ist somit 0. Für $t >$ 1 ms gilt ebenfalls $z(t) =$ 0, da das Gesamtsystem eine Hochpass-Charakteristik aufweist.<br />
Richtig sind somit die $\rm \underline{ \ Vorschläge \ 2, \ 3 \ und \ 4}$.<br />
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'''5.''' Die Grafik zeigt die resultierende Impulsantwort $h_{\rm HP}(t)$ und die Sprungantwort $σ_{\rm HP}(t)$, die bei $t =$ 0 auf 1 springt und bis zum Zeitpunkt $t =$ 2 ms auf den Endwert 0 abklingt. Zum Zeitpunkt $t =$ 1 ms ergibt sich $σ_{\rm HP}(t) =$ 0.5.<br />
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[[Datei: P_ID861__LZI_A_1_6_e.png | Kausale HP–Sprungantwort (ML zu Aufgabe A1.6e) | rechts]] Das Signal $z(t)$ ist formgleich mit der Sprungantwort $σ_{\rm HP}(t)$, ist jedoch noch mit 1 V zu multiplizieren. Der gesuchte Signalwert zur Zeit $t_1 =$ 1 ms ergibt sich zu $z(t_1) \rm \underline{\ = \ 0.5}$. <br />
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{{ML-Fuß}}<br />
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[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^Kapitelx^]]</div>Christoph