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Biografien und Bibliografien/An LNTwww beteiligte LÜT-Angehörige

2023-10-29T09:21:39Z

Tasnad:

{{Header|
Untermenü=Beteiligte der Professur Leitungsgebundene Übertragungstechnik
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}}

== Die Professur &bdquo;Leitungsgebundene Übertragungstechnik”==

Das Fachgebiet  »'''Leitungsgebundene Übertragungstechnik'''«  $\rm (LÜT)$  wurde 2004 etabliert,  als der ehemalige LNT–Doktorand  [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_Übertragungstechnik#Prof._Dr.-Ing._Norbert_Hanik_.28am_LNT_von_1989-1995.2C_bei_L.C3.9CT_seit_2004.29|Norbert Hanik]]  an die TU München zurückkehrte und als dessen Leiter berufen wurde. 

2014 wurde aus diesem Fachgebiet die &bdquo;Professur für Leitungsgebundene Übertragungstechnik”.  Nähere Informationen finden Sie auf der  [https://www.ce.cit.tum.de/lnt/forschung/professur-fuer-leitungsgebundene-uebertragungstechnik/ '''LÜT-Homepage'''].

Aber schon seit den 1960er Jahren hat der Lehrstuhl für Nachrichtentechnik unter der Leitung von Professor  [[Biografien_und_Bibliografien/Lehrstuhlinhaber_des_LNT#Prof._Dr.-Ing._Dr.-Ing._E.h._Hans_Marko_.281962-1993.29|Hans Marko]]  sehr intensiv und auch erfolgreich auf diesem Gebiet gearbeitet.

==Prof. Dr.-Ing. Norbert Hanik (am LNT von 1989-1995, bei LÜT seit 2004)==

[[Datei:n_hanik.jpg|165px|right|Norbert Hanik]]

Norbert Hanik wurde 1962 im bayerischen Wemding im Donau–Ries geboren und studierte ab 1983 an der Fakultät für Elektrotechnik und Informationstechnik der TU München mit dem Schwerpunkt Nachrichtentechnik.  1995 promovierte er bei Prof. [[Biografien_und_Bibliografien/Lehrstuhlinhaber_des_LNT#Prof._Dr.-Ing._Dr.-Ing._E.h._Hans_Marko_.281962-1993.29|Hans Marko]] am LNT über &bdquo;Nichtlineare Effekte in der optischen Signalübertragung”.  Danach arbeitete er am Technologiezentrum der Deutschen Telekom AG auf dem Gebiet der optischen Übertragungstechnik,  seit 1999 als Leiter der Forschungsgruppe „Systemkonzepte photonischer Netze ”.  2002 war er als Gastprofessor am Forschungszentrum COM der Technical University of Denmark (TUD) in Kopenhagen.

Mit Wirkung zum 01. April 2004 wurde Norbert Hanik auf die (jetzige) Professur für „Leitungsgebundene Übertragungstechnik” an die Fakultät für Elektro– und Informationstechnik der TUM berufen.  Er kehrte damit nach neun Jahren in Berlin an seinen Heimatlehrstuhl zurück.  Nach dem Tod unseres Lehrstuhlinhabers Prof.  [[Biografien_und_Bibliografien/Lehrstuhlinhaber_des_LNT#Prof._Dr._Ralf_K.C3.B6tter_.282007-2009.29|Ralf Kötter]]  wurde Norbert Hanik im Frühjahr 2009 zum Kommissarischen Leiter des LNT bestellt.

Die Schwerpunkte seiner Forschungstätigkeit liegen auf den Gebieten der Modellierung, der Simulation und der Optimierung von Komponenten, Subsystemen und Übertragungsstrecken optischer Übertragungssysteme und optischer Netze.

[https://www.ce.cit.tum.de/lnt/people/professors/hanik/ $\text{Biografie von Norbert Hanik auf der LÜT–Homepage}$]

{{BlaueBox|TEXT=
'''Seine Beiträge zum LNTwww–Projekt''':  
*Professor Hanik hat die Entwicklung unseres Lerntutorials sehr unterstützt und er war stets ein äußerst kompetenter fachlicher Berater.
*Er war Co–Autor bei „Lineare zeitinvariante Systeme” und bei einzelnen Kapiteln von „Digitalsignalübertragung” und „Beispiele von Nachrichtensystemen”.
*Insbesondere bedanken sich die Initiatoren von $\rm LNTwww$ bei Norbert,  dass er unser Lerntutorial in seinen Vorlesungen frühzeitig und vielseitig eingesetzt hat.
}}

==Dr.-Ing. Bernhard Göbel (bei LÜT von 2004-2010)==

[[Datei:bernhard.jpg|165px|right|Bernhard Göbel]]

Bernhard Göbel, 1978 in München geboren, beendete 2004 sein Studium der Elektrotechnik und Informationstechnik an der Technischen Universität München nach Auslandssemestern in Southampton und Princeton mit einer Diplomarbeit zur Untersuchung genetischer Krankheiten mittels der Informationstheorie.

Von Herbst 2004 bis Ende 2010 war Bernhard Göbel Assistent von Prof.  [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_Übertragungstechnik#Prof._Dr.-Ing._Norbert_Hanik_.28am_LNT_von_1989-1995.2C_bei_L.C3.9CT_seit_2004.29|Norbert Hanik]]  im Fachgebiet &bdquo;Leitungsgebundene Übertragungstechnik”.  Nach einem Forschungsaufenthalt an den Bell Labs in New Jersey promovierte er 2010 zum Thema „Informationstheoretische Eigenschaften faser-optischer Nachrichtenkanäle”.  Zu seinen weiteren Aufgaben gehörte neben der Betreuung von Lehrveranstaltungen die Verwaltung des CITPER–Projekts,  das von der Europäischen Union initiiert wurde.

Nach seiner Promotion wechselte Dr. Göbel zu der Volkswagen AG nach Wolfsburg,  wo er eine Ausbildung zum Patentanwalt begann.  2014 kehrte er nach München zurück und ist nun für die BMW AG tätig.

{{BlaueBox|TEXT=
'''Seine Beiträge zum LNTwww–Projekt''':  
*Bernhard wurde von uns immer dann eingesetzt, wenn die Autoren merkten, dass manches mit „MATLAB” doch besser geht als ohne.
*Des Weiteren war er ein fachkundiger Berater bei mehreren Lernvideos und Interaktionsmodulen, zum Beispiel „Dämpfung von Kupferkabeln”, „Zeitverhalten von Kupferkabeln” sowie „Viterbi-Empfänger”.
*Wir bedanken uns bei Bernhard auch dafür, dass er unser Lerntutorial als Übungsassistent zur &bdquo;Leitungsgebundenen Übertragungstechnik” bei vielen Studenten der TU München bekannt gemacht hat.}}

==Dr.-Ing. Tasnád Kernetzky (bei LÜT von 2014-2022)==

[[Datei:Tasnad.png|165px|right|Tasnád Kernetzky]]

Tasnád Kernetzky wurde 1987 in Marosvásárhely  $($heute: Târgu Mureș, Rumänien$)$  geboren.  Er studierte ab 2009 Elektrotechnik und Informationstechnik an der Technischen Universität München und schloss sein Studium 2014 mit einer Masterarbeit über die Übertragungseigenschaften von  "Powerline Communication"  (PLC) Systemen ab.

Von Dezember 2014 bis September 2022 arbeitete er als Doktorand bei Prof.  [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_Übertragungstechnik#Prof._Dr.-Ing._Norbert_Hanik_.28am_LNT_von_1989-1995.2C_bei_L.C3.9CT_seit_2004.29|Norbert Hanik]]  in der Professur  »Leitungsgebundene Übertragungssysteme« – zunächst in Kooperation mit der SIEMENS AG weiterhin zum Thema &bdquo;PLC”.  Der Fokus seiner späteren Arbeiten lag auf der Simulation und Optimierung vom nichtlineraren optischen Prozess »four wave mixing« in optischen Wellenleitern.  Seine Doktorarbeit mit dem Thema  »Numerical Optimization of Ultra-Broadband Wavelength Conversion in Nonlinear Optical Waveguides«  schloss er im Oktobber 2023 ab.

In der Lehre war Tasnád verantwortlich für die Übungen zur Vorlesung &bdquo;Grundlagen der Informationstechnik (LB)” von Prof. Hanik.  Daneben organisierte er das &bdquo;Hauptseminar Digitale Kommunikationssysteme”.

Von Anfang 2016 bis zu seinem Ausscheiden war Tasnád in die Systemadministrator der Lehrstuhlrechner eingebunden.

{{BlaueBox|TEXT=
'''Seine Beiträge zum LNTwww–Projekt''':  
*Über viele Jahre arbeitete Tasnád im LNTwww–Team intensiv als System– und Webadministrator mit und ist einer der Projektverantwortlichen, ohne den nichts ging:
*2016 hat er als Nachfolger von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Markus_Stinner_.28am_LNT_von_2011-2016.29|Markus Stinner]]  das Studenten-Team bei der Portierung des &bdquo;alten LNTwww” in die vorliegende Wiki-Form (Version 3) unterstützt.
* Er vollzog 2018 den anstehenden Umzug des Wikis auf einen neuen Server, und auch die damit verbundenen Update–Arbeiten am Wiki.
*Er hat die Lernvideos in moderne Formate (mp4, ogv) konvertiert.  Diese können nun von vielen Browsern, aber auch von Smartphones wiedergegeben werden.
* Er war Betreuer und Ansprechpartner bei allen studentischen Arbeiten zur HTML5– Portierung der interaktiven Applets.
* Er hat wesentliche Vorarbeiten geleistet,  um aus der deutschen Version mit vertretbarem Aufwand das englische  »$\rm en.LNTwww.de$«  generieren zu können.
}}

==Benedikt Leible, M.Sc. (bei LÜT seit 2017)==

[[Datei:Leible.png|165px|right|Tasnád Kernetzky]]

Benedikt Leible, 1988 in Kempten geboren, studierte ab 2010 Elektrotechnik und Informationstechnik an der Technischen Universität Ulm (Bachelor) sowie an der Technischen Universität Stuttgart (Master).  Er schloss sein Studium 2016 mit einer Masterarbeit zum Thema &bdquo;Parallelisierung von Kanaldekodierern für 5G Kommunikationssysteme” ab. 

Seit Februar 2017 arbeitet er als Doktorand bei Prof. Norbert Hanik in der Professur „Leitungsgebundene Übertragungssysteme”.  Seine aktuelle Arbeit fokussiert sich auf das Thema &bdquo;Faseroptische Kommunikation unter Zuhilfenahme der nichtlinearen Fouriertransformation”.  Desweiteren ist er für die Betreuung der Vorlesung &bdquo;Physical Layer Methods” verantwortlich und führt auch das dazugehörige Tutorium durch.
<br clear=all>
{{BlaueBox|TEXT=
'''Seine Beiträge zum LNTwww–Projekt''':  
* Er war Betreuer von Studierenden, die in ihrer Bachelorarbeit/Ingenieurspraxis interaktive HTML5/JS–Applets für das LNTwww programmierten.
*Ab 2021 leitete Bendikt als Nachfolger von  [https://en.lntwww.de/Biographies_and_Bibliographies/LNTwww_members_from_LNT#Dr.-Ing._Francisco_Javier_Garc.C3.ADa_G.C3.B3mez_.28at_LNT_from_2016-2021.29 Javier Garcia Gomez]  die Übersetzung der deutschen Version in das englische  &bdquo;[https://en.lntwww.de/Home $\text{https://en.lntwww.de}$]” .}}

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__NOTOC__ __NOEDITSECTION__

Applets:Besselfunktionen erster Art

2022-03-15T14:51:17Z

Tasnad:

{{LntAppletLink|besselFuns}}

==Programmbeschreibung==
<br>
Dieses Applet ermöglicht die Berechnung und grafische Darstellung der Besselfunktionen erster Art und  $n$–ter Ordnung entsprechend der Reihendarstellung:

:$${\rm J}_n (x) = \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k \cdot (x/2)^{n \hspace{0.05cm} + \hspace{0.05cm} 2
\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm}k}}{k! \cdot (n+k)!} \hspace{0.05cm}.$$

*Die Funktionen  ${\rm J}_n (x)$  können für die Ordnung  $n=0$  bis  $n=9$  in verschiedenen Farben grafisch dargestellt werden.
*Die linke Ausgabe liefert die Funktionswerte  ${\rm J}_0 (x = x_1)$, ... , ${\rm J}_9 (x = x_1)$  für einen per Slider einstellbaren Wert  $x_1$  im Bereich  $0 \le x_1 \le 15$  mit Schrittweite  $0.5$.
*Die rechte Ausgabe liefert die Funktionswerte  ${\rm J}_0 (x = x_2)$, ... , ${\rm J}_9 (x = x_2)$  für einen per Slider einstellbaren Wert  $x_2$  (gleicher Bereich und Schrittweite wie links).

Auch bei dieser deutschen Version ist das eigentliche HTML 5–Applet in Englisch.

==Theoretischer Hintergrund==
<br>
===Allgemeines zu den Besselfunktionen===
Besselfunktionen  (oder auch Zylinderfunktionen)  sind Lösungen der Besselschen Differentialgleichung der Form

:$$x^2 \cdot \frac{ {\rm d}^2}{{\rm d}x^2}\ {\rm J}_n (x) \ + \ x \cdot \frac{ {\rm d}}{{\rm d}x}\ {\rm J}_n (x) \ + \ (x^2 - n^2)
\cdot {\rm J}_n (x)= 0. $$

Hierbei handelt es sich um eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung.  Der Parameter  $n$  ist meistens ganzzahlig, so auch in diesem Programm.  Diese bereits 1844 von  [https://de.wikipedia.org/wiki/Friedrich_Wilhelm_Bessel Friedrich Wilhelm Bessel]  eingeführten mathematischen Funktionen können auch in geschlossener Form als Integrale dargestellt werden:

:$${\rm J}_n (x) = \frac{1}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}[\hspace{0.05cm}x \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin(\alpha) -\hspace{0.05cm} n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\alpha \hspace{0.05cm}]}}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha
\hspace{0.05cm}.$$

Die Funktionen  ${\rm J}_n (x)$  gehören zur Klasse der Besselfunktionen erster Art  (englisch:   ''Bessel Functions of the First Kind'' ).  Den Parameter  $n$  nennt man die ''Ordnung''.

''Anmerkung:''   Es gibt eine Vielzahl von Abwandlungen der Besselfunktionen, unter anderem die mit  ${\rm Y}_n (x)$  benannten Besselfunktionen zweiter Art.  Für ganzzahliges  $n$  lässt sich  ${\rm Y}_n (x)$  durch  ${\rm J}_n (x)$–Funktionen ausdrücken.  In diesem Applet werden jedoch nur die Besselfunktionen erster Art   ⇒   ${\rm J}_n (x)$ betrachtet.
<br><br>
===Eigenschaften der Besselfunktionen===

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Eigenschaft (A):}$   Sind die Funktionswerte für  $n = 0$  und  $n = 1$  bekannt, so können daraus die Besselfunktionen für  $n ≥ 2$  iterativ ermittelt werden:
:$${\rm J}_n (x) ={2 \cdot (n-1)}/{x} \cdot {\rm J}_{n-1} (x) - {\rm J}_{n-2} (x) \hspace{0.05cm}.$$
}}

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel (A):}$   Es gelte  ${\rm J}_0 (x = 2) = 0.22389$  und  ${\rm J}_1 (x= 2) = 0.57672$.  Daraus können iterativ berechnet werden:
:$${\rm J}_2 (x= 2) ={2 \cdot 1}/{2} \cdot {\rm J}_{1} (x= 2) - {\rm J}_{0} (x= 2) = 0.57672 - 0.22389 = \hspace{0.15cm}\underline{0.35283}\hspace{0.05cm},$$
:$${\rm J}_3 (x= 2) ={2 \cdot 2}/{2} \cdot {\rm J}_{2} (x= 2) - {\rm J}_{1} (x= 2) = 2 \cdot 0.35283 - 0.57672 = \hspace{0.15cm}\underline{0.12894}\hspace{0.05cm},$$
:$${\rm J}_4 (x= 2) ={2 \cdot 3}/{2} \cdot {\rm J}_{3} (x= 2) - {\rm J}_{2} (x= 2) = 3 \cdot 0.12894 - 0.35283 = \hspace{0.15cm}\underline{0.03400}\hspace{0.05cm}.$$
}}

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Eigenschaft (B):}$   Es gilt die Symmetriebeziehung  ${\rm J}_{–n}(x) = (–1)^n · {\rm J}_n(x)$:
:$${\rm J}_{-1}(x) = - {\rm J}_{1}(x), \hspace{0.3cm}{\rm J}_{-2}(x) = {\rm J}_{2}(x), \hspace{0.3cm}{\rm J}_{-3}(x) = - {\rm J}_{3}(x).$$
}}

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel (B):}$   Für das Spektrum des analytischen Signals gilt bei  [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)#Spektralfunktion_eines_phasenmodulierten_Sinussignals|Phasenmodulation eines Sinussignals]]:
[[Datei:Mod_T_3_1_S4_version2.png|right|frame|Spektrum des analytischen Signals bei Phasenmodulation]]
:$$S_{\rm +}(f) = A_{\rm T} \cdot \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot \delta \big[f - (f_{\rm T}+ n \cdot f_{\rm N})\big]\hspace{0.05cm}.$$
Hierbei bezeichnen
*$f_{\rm T}$  die Trägerfrequenz,
*$f_{\rm N}$  die Nachrichtenfrequenz,
* $A_{\rm T}$  die Trägeramplitude.

Der Parameter der Besselfunktionen ist bei dieser Anwendung der Modulationsindex  $\eta$.

Anhand der Grafik sind folgende Aussagen möglich:
*$S_+(f)$  besteht hier aus unendlich vielen diskreten Linien im Abstand von  $f_{\rm N}$.
*Es ist somit prinzipiell unendlich weit ausgedehnt.
*Die Gewichte der Spektrallinien bei  $f_{\rm T} + n · f_{\rm N}$  $(n$ ganzzahlig$)$  sind durch den Modulationsindex  $η$  über die Besselfunktionen  ${\rm J}_n(η)$  festgelegt.
*Die Spektrallinien sind bei sinusförmigem Quellensignal und cosinusförmigem Träger reell und für gerades  $n$  symmetrisch um  $f_{\rm T}$.
*Bei ungeradem  $n$  ist ein Vorzeichenwechsel entsprechend der  $\text{Eigenschaft (B)}$  zu berücksichtigen.
*Die Phasenmodulation einer Schwingung mit anderer Phase von Quellen– und/oder Trägersignal liefert das gleiche Betragsspektrum.}}
<br><br>
===Anwendungen der Besselfunktionen===

Die Anwendungen der Besselfunktionen in den Natur– und Ingenieurswissenschaften sind vielfältig und spielen eine wichtige Rolle in der Physik, zum Beispiel:
*Untersuchung von Eigenschwingungen von zylindrischen Resonatoren,
*Lösung der radialen Schrödinger–Gleichung,
*Schalldruckamplituden von dünnflüssgigen Rotationsströmen,
*Wärmeleitung in zylindrischen Körpern,
*Streuungsproblem eines Gitters,
*Dynamik von Schwingkörpern,
*Winkelauflösung.

Man zählt die Besselfunktionen wegen ihrer vielfältigen Anwendungen in der mathematischen Physik zu den speziellen Funktionen.

Wir beschränken uns im Folgenden auf einige Gebiete, die in unserem Lerntutorial  $\rm LNTwww$  angesprochen werden.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel (C):} \hspace{0.5cm} \text{Einsatz in der Spektralanalyse} \ \Rightarrow \ \text{Kaiser-Bessel-Filter}$

Als  '''spektralen Leckeffekt'''  bezeichnet man die Verfälschung des Spektrums eines periodischen und damit zeitlich unbegrenzten Signals aufgrund der impliziten Zeitbegrenzung der Diskreten Fouriertransformation  $\rm (DFT)$.  Dadurch werden zum Beispiel von einem Spektrumanalyzer
*im Zeitsignal nicht vorhandene Frequenzanteile vorgetäuscht, und/oder
*tatsächlich vorhandene Spektralkomponenten durch Seitenkeulen verdeckt.

Aufgabe der  [[Signaldarstellung/Spektralanalyse|Spektralanalyse]]  ist es, durch die Bereitstellung geeigneter Fensterfunktionen den Einfluss des ''spektralen Leckeffektes''  zu begrenzen.

Eine solche Fensterfunktion liefert zum Beispiel das Kaiser–Bessel–Fenster   ⇒   siehe Abschnitt  [[Signaldarstellung/Spektralanalyse#Spezielle_Fensterfunktionen|Spezielle Fensterfunktionen]].  Dessen zeitdiskrete Fensterfunktion lautet mit der Besselfunktion nullter Ordnung   ⇒   ${\rm J}_0(x)$, dem Parameter  $\alpha=3.5$  und der Fensterlänge  $N$:
:$$w_\nu = \frac{ {\rm J}_0\big(\pi \cdot \alpha \cdot \sqrt{1 - (2\nu/N)^2}\big)}{ {\rm J}_0\big(\pi \cdot \alpha \big)}.$$
Auf der Seite  [[Signaldarstellung/Spektralanalyse#G.C3.BCtekriterien_von_Fensterfunktionen|Gütekriterien von Fensterfunktionen]]  sind unter anderem die Kenngrößen des Kaiser–Bessel–Fensters angegeben:
*Günstig sind der große &bdquo;Minimale Abstand zwischen Hauptkeule und Seitenkeulen” und der gewünschte kleine &bdquo;Maximale Skalierungsfehler”.
*Aufgrund der sehr großen &bdquo;Äquivalenten Rauschbreite” schneidet das Kaiser–Bessel–Fenster im wichtigsten Vergleichskriterium &bdquo;Maximaler Prozessverlust” allerdings schlechter ab als die etablierten Hamming– und Hanning–Fenster.}}

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel (D):} \hspace{0.5cm} \text{Rice-Fading-Kanalmodell}$

Die  [[Mobile_Kommunikation/Wahrscheinlichkeitsdichte_des_Rayleigh%E2%80%93Fadings#Allgemeine_Beschreibung_des_Mobilfunkkanals| Rayleigh–Verteilung]]  beschreibt den Mobilfunkkanal unter der Annahme, dass kein direkter Pfad vorhanden ist und sich somit der multiplikative Faktor  $z(t) = x(t) + {\rm j} \cdot y(t)$  allein aus diffus gestreuten Komponenten zusammensetzt.

[[Datei:P ID2126 Mob T 1 4 S1 v3.png|right|frame|Rice-Fading-Kanalmodell|class=fit]]

Bei Vorhandensein einer Direktkomponente  (englisch:  <i>Line of Sight</i>, LoS)  muss man im Modell zu den mittelwertfreien Gaußprozessen  $x(t)$  und  $y(t)$  noch Gleichkomponenten  $x_0$  und/oder  $y_0$  hinzufügen:

:$$x(t) \hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm} x(t) +x_0 \hspace{0.05cm}, $$
:$$y(t) \hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm} y(t) +y_0\hspace{0.05cm},$$

:$$z(t) = x(t) + {\rm j} \cdot y(t)\hspace{0.1cm}\Rightarrow \hspace{0.1cm} z(t) +z_0 \hspace{0.05cm},$$
:$$ z_0 = x_0 + {\rm j} \cdot y_0\hspace{0.05cm}.$$

Die Grafik zeigt dieses  [[Mobile_Kommunikation/Nichtfrequenzselektives_Fading_mit_Direktkomponente|Rice–Fading–Kanalmodell]].  Es lässt sich wie folgt zusammenfassen:
*Der Realteil  $x(t)$  ist gaußverteilt mit Mittelwert  $x_0$  und Varianz  $\sigma ^2$.
*Der Imaginärteil  $y(t)$  ist ebenfalls gaußverteilt  $($Mittelwert $y_0$,  gleiche Varianz  $\sigma ^2)$  sowie unabhängig von  $x(t)$.<br>

*Für  $z_0 \ne 0$  ist der Betrag  $\vert z(t)\vert$  riceverteilt, woraus die Bezeichnung &bdquo;Rice–Fading” herrührt.

*Zur Vereinfachung der Schreibweise setzen wir  $\vert z(t)\vert = a(t)$.  Für  $a < 0$  ist die Betrags–WDF  $f_a(a) \equiv 0$.
*Für  $a \ge 0$  gilt folgende Gleichung, wobei  ${\rm I_0}(x)$  die modifizierte Besselfunktion nullter Ordnung bezeichnet:
:$$f_a(a) = \frac{a}{\sigma^2} \cdot {\rm e}^{ - (a^2 + \vert z_0 \vert ^2)/(2\sigma^2)} \cdot {\rm I}_0 \left [ \frac{a \cdot \vert z_0 \vert}{\sigma^2} \right ] \hspace{0.5cm}\text{mit}\hspace{0.5cm}{\rm I }_0 (u) = {\rm J }_0 ({\rm j} \cdot u) =
\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{ (u/2)^{2k} }{k! \cdot \Gamma (k+1)}
\hspace{0.05cm}.$$
*Zwischen der modifizierten Besselfunktion und der herkömmlichen Besselfunktion  ${\rm I_0}(x)$  – jeweils erster Art – besteht also der Zusammenhang  ${\rm I }_0 (u) = {\rm J }_0 ({\rm j} \cdot u)$.}}

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel (E):} \hspace{0.5cm} \text{Analyse des Frequenzspektrums von frequenzmodulierten Signalen}$

Im  $\text{Beispiel (B)}$  wurde gezeigt, dass die Winkelmodulation einer harmonischen Schwingung der Frequenz  $f_{\rm N}$  zu einem Linienspektrum führt.  Die Spektrallinien liegen um die Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$  bei  $f_{\rm T} + n \cdot f_{\rm N}$  mit  $n \in \{ \ \text{...}, -2, -1, \ 0, +1, +2, \text{...} \ \}$.  Die Diracgewichte sind  ${\rm J }_n(\eta)$, abhängig vom Modulationsindex  $\eta$.

Die Grafik zeigt das Betragsspektrum  $\vert S_{\rm +}(f) \vert$  des analytischen Signals bei Phasenmodulation (PM) und Frequenzmodulation (FM).  Darunter versteht man zwei unterschiedliche Formen der Winkelmodulation (WM).
      ''Hinweis:''   Alle Bessellinien mit Beträgen kleiner als  $0.03$  sind in der Grafik vernachlässigt.

[[Datei:P_ID1095__Mod_T_3_2_S4_neu.png|right|frame|Diskrete Spektren bei Phasenmodulation (links) und Frequenzmodulation (rechts)]]

Für die obere Bildhälfte sind die Modulatorparameter so gewählt, dass sich für $f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$  jeweils ein Besselspektrum mit Modulationsindex  $η = 1.5$  ergibt.  Lässt man die Phasenbeziehungen außer Acht, so ergeben sich für beide Systeme gleiche Spektren und damit auch gleiche Signale.

Die unteren Grafiken gelten bei sonst gleichen Einstellungen für die Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N} = 3 \ \rm kHz$.  Man erkennt:
*Bei der Phasenmodulation ergibt sich gegenüber $f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$  ein schmaleres Spektrum, da der Abstand der Bessellinien nur  $3 \ \rm kHz$  beträgt.  Da bei PM der Modulationsindex unabhängig von $f_{\rm N}$  ist, ergeben sich die gleichen Besselgewichte wie bei $f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$.
*Auch bei der Frequenzmodulation treten nun die Bessellinien im Abstand von  $3 \ \rm kHz$  auf.  Da aber bei FM der Modulationsindex umgekehrt proportional zu $f_{\rm N}$  ist, gibt es nun unten aufgrund des größeren Modulationsindex  $η = 2.5$  deutlich mehr Bessellinien als im rechten oberen  (für $η = 1.5$ gültigen)  Diagramm. }}

==Zur Handhabung des Applets==
[[Datei:Bessel_abzug3.png|left|600px]]
    '''(A)'''     Summenformel der Besselfunktionen  ${\rm J}_n(x)$

    '''(B)'''     Auswahl der Ordnung  $n$  für die grafische Darstellung

    '''(C)'''     Grafische Darstellung der Besselfunktionen

    '''(D)'''     Variation der grafischen Darstellung

$\hspace{1.5cm}$&bdquo;$+$” (Vergrößern),

$\hspace{1.5cm}$ &bdquo;$-$” (Verkleinern)

$\hspace{1.5cm}$ &bdquo;$\rm o$” (Zurücksetzen)

$\hspace{1.5cm}$ &bdquo;$\leftarrow$” (Verschieben nach links), usw.

    '''(E)'''     Auswahl des Abszissenwertes  $x_1$  für die linke Numerikausgabe

    '''(F)'''     Numerikausgabe der Besselfunktionswerte  ${\rm J}_n(x_1)$

    '''(G)'''     Auswahl des Abszissenwertes  $x_2$  für die rechte Numerikausgabe

    '''(F)'''     Numerikausgabe der Besselfunktionswerte  ${\rm J}_n(x_2)$
<br clear=all>

==Über die Autoren==
Dieses interaktive Berechnungstool wurde am  [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]  der  [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert  und realisiert.
*Die erste Version wurde 2006 von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Markus_Elsberger_.28Diplomarbeit_LB_2006.29|Markus Elsberger]]  und  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Slim_Lamine_.28Studienarbeit_EI_2006.29|Slim Lamine]]  im Rahmen von Abschlussarbeiten mit &bdquo;FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
*2018 wurde das Programm von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Xiaohan_Liu_.28Bachelorarbeit_2018.29|Xiaohan Liu]]  (Bachelorarbeit, Betreuer:  [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]] ) auf &bdquo;HTML5” umgesetzt.

==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==

{{LntAppletLink|besselFuns}}

Applets:Physikalisches Signal & Äquivalentes TP-Signal

2021-04-01T14:10:36Z

Tasnad:

{{LntAppletLink|physAnLPSignal_en}}
==Programmbeschreibung==
<br>
Dieses Applet zeigt den Zusammenhang zwischen dem physikalischen Bandpass–Signal $x(t)$ und dem dazugehörigen äquivalenten Tiefpass–Signal $x_{\rm TP}(t)$. Ausgegangen wird stets von einem Bandpass–Signal $x(t)$ mit frequenzdiskretem Spektrum $X(f)$:
:$$x(t) = x_{\rm T}(t) + x_{\rm O}(t) + x_{\rm U}(t) = A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t- \varphi_{\rm T}\right)+A_{\rm O}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm O}\cdot t- \varphi_{\rm O}\right)+ A_{\rm U}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm U}\cdot t- \varphi_{\rm U}\right). $$
Das physikalische Signal $x(t)$ setzt sich also aus drei [[Signaldarstellung/Harmonische_Schwingung|harmonischen Schwingungen]] zusammen, einer Konstellation, die sich zum Beispiel bei der [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#AM-Signale_und_-Spektren_bei_harmonischem_Eingangssignal|Zweiseitenband-Amplitudenmodulation]] des Nachrichtensignals $x_{\rm N}(t) = A_{\rm N}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm N}\cdot t- \varphi_{\rm N}\right)$ mit dem Trägersignal $x_{\rm T}(t) = A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t - \varphi_{\rm T}\right)$ ergibt. Die Nomenklatur ist ebenfalls an diesen Fall angepasst:
* $x_{\rm O}(t)$ bezeichnet das &bdquo;Obere Seitenband” mit der Amplitude $A_{\rm O}= A_{\rm N}/2$, der Frequenz $f_{\rm O} = f_{\rm T} + f_{\rm N}$ und der Phase $\varphi_{\rm O} = \varphi_{\rm T} + \varphi_{\rm N}$.
*Entsprechend gilt für das &bdquo;Untere Seitenband” $x_{\rm U}(t)$ mit $f_{\rm U} = f_{\rm T} - f_{\rm N}$, $A_{\rm U}= A_{\rm O}$ und $\varphi_{\rm U} = -\varphi_{\rm O}$.

Das dazugehörige äquivalente Tiefpass–Signal lautet mit $f_{\rm O}\hspace{0.01cm}' = f_{\rm O}- f_{\rm T} > 0$,   $f_{\rm U}\hspace{0.01cm}' = f_{\rm U}- f_{\rm T} < 0$  und  $f_{\rm T}\hspace{0.01cm}' = 0$:

:$$x_{\rm TP}(t) = x_\text{TP, T}(t) + x_\text{TP, O}(t) + x_\text{TP, U}(t) = A_{\rm T}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm T} } \hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm} A_{\rm O}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm O} } \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm O}\hspace{0.01cm}'\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}\hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}
A_{\rm U}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm U} } \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm U}\hspace{0.01cm}'\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t} . $$

[[Datei:Ortskurve_1.png|right|frame|Äquivalentes TP–Signal zur Zeit $t=0$ bei cosinusförmigem Träger   ⇒   $\varphi_{\rm T} = 0$]]
Im Programm dargestellt wird $x_{\rm TP}(t)$ als vektorielle Summe dreier Drehzeiger als violetter Punkt (siehe beispielhafte Grafik für den Startzeitpunkt $t=0$ und cosinusförmigem Träger):

*Der (rote) Zeiger des Trägers $x_\text{TP, T}(t)$ mit der Länge $A_{\rm T}$ und der Nullphasenlage $\varphi_{\rm T} = 0$ liegt in der komplexen Ebene fest. Es gilt also für alle Zeiten $t$:   $x_{\rm TP}(t)= A_{\rm T}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm T} }$.

*Der (blaue) Zeiger des Oberen Seitenbandes $x_\text{TP, O}(t)$ mit der Länge $A_{\rm O}$ und der Nullphasenlage $\varphi_{\rm O}$ dreht mit der Winkelgeschwindigkeit $2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm O}\hspace{0.01cm}'$ in mathematisch positiver Richtung (eine Umdrehung in der Zeit $1/f_{\rm O}\hspace{0.01cm}')$.

*Der (grüne) Zeiger des Unteren Seitenbandes $x_{\rm U+}(t)$ mit der Länge $A_{\rm U}$ und der Nullphasenlage $\varphi_{\rm U}$ dreht mit der Winkelgeschwindigkeit $2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm U}\hspace{0.01cm}'$, wegen $f_{\rm U}\hspace{0.01cm}'<0$ im Uhrzeigersinn (mathematisch negative Richtung).

*Mit $f_{\rm U}\hspace{0.01cm}' = -f_{\rm O}\hspace{0.01cm}'$ drehen der blaue und der grüne Zeiger gleich schnell, aber in unterschiedlichen Richtungen. Gilt zudem $A_{\rm O} = A_{\rm U}$ und $\varphi_{\rm U} = -\varphi_{\rm O}$, so bewegt sich $x_{\rm TP}(t)$ auf einer Geraden mit einer Neigung von $\varphi_{\rm T}$.

''Hinweis:''   Die Grafik gilt für $\varphi_{\rm O} = +30^\circ$. Daraus folgt für den Startzeitpunkt $t=0$ der Winkel des blauen Zeigers (OSB) gegenüber dem Koordinatensystem:   $\phi_{\rm O} = -\varphi_{\rm O} = -30^\circ$. Ebenso folgt aus der Nullphasennlage $\varphi_{\rm U} = -30^\circ$ des unteren Seitenbandes (USB, grüner Zeiger) für den in der komplexen Ebene zu berücksichtigenden Phasenwinkel:   $\phi_{\rm U} = +30^\circ$.

Den zeitlichen Verlauf von $x_{\rm TP}(t)$ bezeichnen wir im Folgenden auch als '''Ortskurve'''. Der Zusammenhang zwischen $x_{\rm TP}(t)$ und dem physikalischen Bandpass–Signal $x(t)$ wird im Abschnitt [[???]] angegeben. Der Zusammenhang zwischen $x_{\rm TP}(t)$ und dem dazugehörigen analytischen Signal $x_+(t)$ lautet:

:$$x_{\rm TP}(t) = x_{\rm +}(t)\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi \cdot f_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t},$$
:$$x_{\rm +}(t) = x_{\rm TP}(t)\cdot {\rm e}^{+{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi \cdot f_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t}.$$

''Hinweis:''   Das aufzurufende Applet verwendet die englischen Begriffe im Gegensatz zu dieser deutschen Beschreibung.

==Theoretischer Hintergrund==
<br>
===Beschreibungsmöglichkeiten von Bandpass-Signalen===
[[Datei:Zeigerdiagramm_1a.png|right|frame|Bandpass–Spektrum $X(f)$ |class=fit]]
Wir betrachten hier '''Bandpass-Signale''' $x(t)$ mit der Eigenschaft, dass deren Spektren $X(f)$ nicht im Bereich um die Frequenz $f = 0$ liegen, sondern um eine Trägerfrequenz $f_{\rm T}$. Meist kann auch davon ausgegangen werden, dass die Bandbreite $B \ll f_{\rm T}$ ist.

Die Grafik zeigt ein solches Bandpass–Spektrum $X(f)$. Unter der Annahme, dass das zugehörige $x(t)$ ein physikalisches Signal und damit reell ist, ergibt sich für die Spektralfunktion $X(f)$ eine Symmetrie bezüglich der Frequenz $f = 0$. Ist $x(t)$ eine gerade Funktion   ⇒   $x(-t)=x(+t)$, so ist auch $X(f)$ reell und gerade.

Neben dem physikalischen Signal $x(t)\ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ X(f)$ verwendet man zur Beschreibung von Bandpass-Signalen gleichermaßen:
*das analytische Signal $x_+(t)\ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ X_+(f)$, siehe Applet [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Analytisches_Signal|Physikalisches Signal & Analytisches Signal]],
*das äquivalente Tiefpass–Signal $x_{\rm TP}(t)\ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ X_{\rm TP}(f)$, wie im nächsten Unterabschnitt beschrieben.
<br><br>
===Spektralfunktionen des analytischen und des äquivalenten TP–Signals===

Das zum physikalischen Signal $x(t)$ gehörige '''analytische Signal''' $x_+(t)$ ist diejenige Zeitfunktion, deren Spektrum folgende Eigenschaft erfüllt:
[[Datei:Ortskurve_2.png|right|frame|Spektralfunktionen $X_+(f)$ und $X_{\rm TP}(f)$ |class=fit]]
:$$X_+(f)=\big[1+{\rm sign}(f)\big] \cdot X(f) = \left\{ {2 \cdot
X(f) \; \hspace{0.2cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm} {\it f} > 0, \atop {\,\,\,\, \rm 0 \; \hspace{0.9cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm} {\it f} < 0.} }\right.$$

Die so genannte ''Signumfunktion'' ist dabei für positive Werte von $f$ gleich $+1$ und für negative $f$–Werte gleich $-1$.
*Der (beidseitige) Grenzwert liefert $\sign(0) = 0$.
*Der Index „+” soll deutlich machen, dass $X_+(f)$ nur Anteile bei positiven Frequenzen besitzt.

Aus der Grafik erkennt man die Berechnungsvorschrift für $X_+(f)$: Das tatsächliche BP–Spektrum $X(f)$ wird
*bei den positiven Frequenzen verdoppelt, und
*bei den negativen Frequenzen zu Null gesetzt.

Aufgrund der Unsymmetrie von $X_+(f)$ bezüglich der Frequenz $f = 0$ kann man bereits jetzt schon sagen, dass die Zeitfunktion $x_+(t)$ bis auf einen trivialen Sonderfall $x_+(t)= 0 \ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,\ \ X_+(f)= 0$ stets komplex ist.

Zum Spektrum $X_{\rm TP}(f)$ des äquivalenten TP–Signals kommt man, indem man $X_+(f)$ um die Trägerfrequenz $f_{\rm T}$ nach links verschiebt:
:$$X_{\rm TP}(f)= X_+(f+f_{\rm T}).$$

Im Zeitbereich entspricht diese Operation der Multiplkation von $x_{\rm +}(t)$ mit der komplexen Exponentialfunktion mit negativem Exponenten:
:$$x_{\rm TP}(t) = x_{\rm +}(t)\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi \cdot f_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t}.$$

Man erkennt, dass $x_{\rm TP}(t)$ im Allgemeinen komplexwertig ist. Ist aber $X_+(f)$ symmetrisch um die Trägerfrequenz $f_{\rm T}$, so ist $X_{\rm TP}(f)$ symmetrisch um die Frequenz $f=0$ und es ergibt sich dementsprechend eine reelle Zeitfunktion $x_{\rm TP}(t)$.

===$x_{\rm TP}(t)$–Darstellung einer Summe aus drei harmonischen Schwingungen===

In unserem Applet setzen wir stets einen Zeigerverbund aus drei Drehzeigern voraus. Das physikalische Signal lautet:
:$$x(t) = x_{\rm U}(t) + x_{\rm T}(t) + x_{\rm O}(t) = A_{\rm U}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm U}\cdot t- \varphi_{\rm U}\right)+A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t- \varphi_{\rm T}\right)+A_{\rm O}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm O}\cdot t- \varphi_{\rm O}\right). $$
* Jede der drei harmonischen Schwingungen harmonischen Schwingungen $x_{\rm T}(t)$, $x_{\rm U}(t)$ und $x_{\rm O}(t)$ wird durch eine Amplitude $(A)$, eine Frequenz $(f)$ und einen Phasenwert $(\varphi)$ charakterisiert.
*Die Indizes sind an das Modulationsverfahren [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation|Zweiseitenband–Amplitudenmodulation]] angelehnt. &bdquo;T” steht für &bdquo;Träger”, &bdquo;U” für &bdquo;Unteres Seitenband” und &bdquo;O” für &bdquo;Oberes Seitenband”. Entsprechend gilt stets $f_{\rm U} < f_{\rm T}$ und $f_{\rm O} > f_{\rm T}$. Für die Amplituden und Phasen gibt es keine Einschränkungen.

Das dazugehörige äquivalente Tiefpass–Signal lautet mit $f_{\rm O}\hspace{0.01cm}' = f_{\rm O}- f_{\rm T} > 0$,   $f_{\rm U}\hspace{0.01cm}' = f_{\rm U}- f_{\rm T} < 0$  und  $f_{\rm T}\hspace{0.01cm}' = 0$:

:$$x_{\rm TP}(t) = x_\text{TP, T}(t) + x_\text{TP, O}(t) + x_\text{TP, U}(t) = A_{\rm T}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm T} } \hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm} A_{\rm O}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm O} } \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm O}\hspace{0.01cm}'\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}\hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}
A_{\rm U}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm U} } \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm U}\hspace{0.01cm}'\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t} . $$

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 1:}$ 
Die hier angegebene Konstellation ergibt sich zum Beispiel bei der [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#AM-Signale_und_-Spektren_bei_harmonischem_Eingangssignal|Zweiseitenband-Amplitudenmodulation]] des Nachrichtensignals $x_{\rm N}(t) = A_{\rm N}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm N}\cdot t- \varphi_{\rm N}\right)$ mit dem Trägersignal $x_{\rm T}(t) = A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t - \varphi_{\rm T}\right)$. Hierauf wird in der Versuchsdurchführung häufiger eingegangen.

[[Datei:Ortskurve_5.png|center|frame|Spektum $X_{\rm TP}(f)$ des äquivalenten TP–Signals für verschiedene Phasenkonstellationen |class=fit]]

Bei dieser Betrachtungsweise gibt es einige Einschränkungen bezüglich der Programmparameter:
* Für die Frequenzen gelte stets $f\hspace{0.05cm}'_{\rm O} = f_{\rm N}$ und $f\hspace{0.05cm}'_{\rm U} = -f_{\rm N}$.
*Ohne Verzerrungen sind die Amplitude der Seitenbänder $A_{\rm O}= A_{\rm U}= A_{\rm N}/2$.
*Die jeweiligen Phasenverhältnisse können der Grafik entnommen werden.

}}

===Darstellung des äquivalenten TP–Signals nach Betrag und Phase===

Das im Allgemeinen komplexwertige äquivalenten TP–Signal
:$$x_{\rm TP}(t) = a(t) \cdot {\rm e}^{ {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \phi(t) }$$
kann entsprechend der hier angegebenen Gleichung in eine Betragsfunktion $a(t)$ und eine Phasenfunktion $\phi(t)$ aufgespalten werden, wobei gilt:
:$$a(t) = \vert x_{\rm TP}(t)\vert = \sqrt{ {\rm Re}^2\big [x_{\rm TP}(t)\big ] + {\rm Im}^2\big [x_{\rm TP}(t)\big ] }\hspace{0.05cm},$$
:$$\phi(t) = \text{arc }x_{\rm TP}(t) = \arctan \frac{{\rm Im}\big [x_{\rm TP}(t)\big ]}{{\rm Re}\big [x_{\rm TP}(t)\big ]}.$$

Der Grund dafür, dass man ein Bandpass–Signal $x(t)$ meist durch das äquivalente TP–Signal $x_{\rm TP}(t)$ beschreibt ist, dass die Funktionen $a(t)$ und $\phi(t)$ in beiden Darstellungen interpretierbar sind:
*Der Betrag $a(t)$ des äquivalentes TP–Signals $x_{\rm TP}(t)$ gibt die (zeitabhängige) Hüllkurve von $x(t)$ an.
*Die Phase $\phi(t)$ von $x_{\rm TP}(t)$ kennzeichnet die Lage der Nulldurchgänge von $x(t)$, wobei gilt:
:–   Bei $\phi(t)>0$ ist der Nulldurchgang früher als seine Solllage   ⇒   das Signal ist hier vorlaufend.
:–  Bei $\phi(t)<0$ ist der Nulldurchgang später als seine Solllage   ⇒   das Signal ist hier nachlaufend.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 2:}$ 
Die Grafik soll diesen Zusammenhang verdeutlichen, wobei $A_{\rm U} > A_{\rm O}$ vorausgesetzt ist   ⇒   der grüne Zeiger (für das untere Seitenband) ist länger als der blaue Zeiger (oberes Seitenband). Es handelt sich um eine Momentaufnahme zum Zeitpunkt $t_0$:

[[Datei:Ortskurve_3_neu.png|center|frame|Bandpass–Spektrum $X(f)$ |class=fit]]

*Bei diesen Systemparametern liegt die Spitze des Zeigerverbundes $x_{\rm TP}(t)$ – also die geometrisch Summe aus rotem, blauem und grünem Zeiger – auf einer Ellipse.
* In der linken Grafik schwarz eingezeichnet ist der Betrag $a(t_0) = \vert x_{\rm TP}(t_0) \vert$ und in brauner Farbe angedeutet ist der Phasenwert $\phi(t_0) = \text{arc }x_{\rm TP}(t_0) > 0.$
*In der rechten Grafik gibt der Betrag $a(t_0) = \vert x_{\rm TP}(t_0) \vert$ des äquivalenten TP–Signals die Hüllkurve des physikalischen Signals $x(t)$ an.
* Bei $\phi(t) \equiv 0$ würden alle Nulldurchgänge von $x(t)$ in äquidistenten Abständen auftreten. Wegen $\phi(t_0) > 0$ ist zum Zeitpunkt $t_0$ das Signal vorlaufend, das heißt: Die Nulldurchgänge kommen früher, als es das Raster vorgibt. }}

==Versuchsdurchführung==
[[Datei:Zeigerdiagramm_aufgabe_2.png|right]]
*Wählen Sie zunächst die Aufgabennummer.
*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt.
*Parameterwerte sind angepasst.
*Lösung nach Drücken von &bdquo;Hide solition”.

Mit der Nummer &bdquo;0” wird auf die gleichen Einstellung wie beim Programmstart zurückgesetzt und es wird ein Text mit weiteren Erläuterungen zum Applet ausgegeben.

Im Folgenden bezeichnet $\rm Grün$ das Untere Seitenband   ⇒   $\big (A_{\rm U}, f_{\rm U}, \varphi_{\rm U}\big )$,  
$\rm Rot$ den Träger   ⇒   $\big (A_{\rm T}, f_{\rm T}, \varphi_{\rm T}\big )$ und
$\rm Blau$ das Obere Seitenband   ⇒   $\big (A_{\rm O}, f_{\rm O}, \varphi_{\rm O}\big )$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''   Es gelte   $\text{Rot:} \hspace{0.15cm} A_{\rm T} = 1\ \text{V}, f_{\rm T} = 100 \ \text{kHz}, \varphi_{\rm T} = 0^\circ$,   $\text{Grün:} \hspace{0.15cm} A_{\rm U} = 0.4 \text{V}, \ f_{\rm U} = 80 \ \text{kHz}, \varphi_{\rm U} = -90^\circ$,   $\text{Blau:} \hspace{0.15cm} A_{\rm O} = 0.4\ \text{V}, f_{\rm O} = 120 \ \text{kHz}, \varphi_{\rm O} = 90^\circ$.

:Betrachten und interpretieren Sie das äquivalente TP–Signal $x_{\rm TP}(t)$ und das physikalische Signal $x(t)$. Welche Periodendauer $T_0$ erkennt man?}}

:: Das äquivalente TP–Signal $x_{\rm TP}(t)$ nimmt ausgehend von $x_{\rm TP}(t=0)=1\ \text{V}$ auf der reellen Achse Werte zwischen $0.2\ \text{V}$ und $1.8\ \text{V}$ an   ⇒   Phase $\phi(t) \equiv 0$.<br> Der Betrag $|x_{\rm TP}(t)|$ gibt die Hüllkurve $a(t)$ des physikalischen Signals $x(t)$ an. Es gilt mit $A_{\rm N} = 0.8\ \text{V}$ und $f_{\rm N} = 20\ \text{kHz}$:   $a(t) = A_{\rm T}+ A_{\rm N} \cdot \sin(2\pi\cdot f_{\rm N} \cdot t)$.<br> Sowohl $x_{\rm TP}(t)$ als auch $x(t)$ sind periodisch mit der Periodendauer $T_0 = 1/f_{\rm N} = 50\ \rm µ s$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''   Wie ändern sich die Verhältnisse gegenüber '''(1)''' mit $f_{\rm U} = 99 \ \text{kHz}$ und $f_{\rm O} = 101 \ \text{kHz}$ ? Wie könnte $x(t)$ entstanden sein?}}

:: Für die Hüllkurve $a(t)$ des Signals $x(t)$ gilt weiterhin $a(t) = A_{\rm T}+ A_{\rm N} \cdot \sin(2\pi\cdot f_{\rm N} \cdot t)$, aber nun mit $f_{\rm N} = 1\ \text{kHz}$. Auch wenn es nicht zu erkennen ist:<br> $x_{\rm TP}(t)$ und $x(t)$ sind weiterhin periodisch:   $T_0 = 1\ \rm ms$. Beispiel: Zweiseitenband–Amplitudenmodulation '''(ZSB–AM)''' eines Sinussignals mit Cosinus–Träger.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''   Welche Einstellungen müssen gegenüber '''(2)''' geändert werden, um zur ZSB–AM eines Cosinussignals mit Sinus–Träger zu gelangen. Was ändert sich gegenüber '''(2)'''?}}

::Die Trägerphase muss auf $\varphi_{\rm T} = 90^\circ$ geändert werden   ⇒   Sinus–Träger. Ebenso muss $\varphi_{\rm O} =\varphi_{\rm U} =\varphi_{\rm T} = 90^\circ$ eingestellt werden   ⇒   cosinusförmige Nachricht<br> Die Ortskurve liegt nun auf der imaginären Achse  ⇒   $\phi(t) \equiv -90^\circ$. Zu Beginn gilt $x_{\rm TP}(t=0)= - {\rm j} \cdot 1.8 \ \text{V}$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''   Nun gelte   $\text{Rot:} \hspace{0.15cm} A_{\rm T} = 1\ \text{V}, \ f_{\rm T} = 100 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm T} = 0^\circ$,   $\text{Grün:} \hspace{0.15cm} A_{\rm U} = 0.4 \text{V}, \ f_{\rm U} = 80 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm U} = 0^\circ$,   $\text{Blau:} \hspace{0.15cm} A_{\rm O} = 0.4\ \text{V}, \ f_{\rm O} = 120 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm O} = 0^\circ$.

:Welche Eigenschaften weist dieses System &bdquo;ZSB–AM, wobei Nachrichtensignal und Träger jeweils cosinusförmig” auf? Wie groß ist der Modulationsgrad $m$?}}

:: Das äquivalente TP–Signal $x_{\rm TP}(t)$ nimmt ausgehend von $x_{\rm TP}(t=0)=1.8\ \text{V}$ auf der reellen Achse Werte zwischen $0.2\ \text{V}$ und $1.8\ \text{V}$ an   ⇒   Phase $\phi(t) \equiv 0$.<br> Bis auf den Startzustand $x_{\rm TP}(t=0)$ gleiches Verhalten wie bei der Einstellung '''(1)'''. Der Modulationsgrad ist jeweils $m = 0.8$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''   Es gelten weiter die Parameter gemäß '''(4)''' mit Ausnahme von $A_{\rm T}= 0.6 \text{V}$. Wie groß ist nun der Modulationsgrad $m$? Welche Konsequenzen hat das?}}

:: Es liegt nun eine ZSB–AM mit Modulationsgrad $m = 1.333$ vor. Bei $m > 1$ ist die einfachere [[Modulationsverfahren/Hüllkurvendemodulation|Hüllkurvendemodulation]] nicht anwendbar, da nun die Phasenfunktion $\phi(t) \in \{ 0, \ \pm 180^\circ\}$ nicht mehr konstant ist und die Hüllkurve $a(t)$ nicht mehr mit dem Nachrichtensignal übereinstimmt. Vielmehr muss die aufwändigere [[Modulationsverfahren/Synchrondemodulation|Synchrondemodulation]] verwendet werden. Bei Hüllkurvendemodulation käme es zu nichtlinearen Verzerrungen.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''   Es gelten weiter die Parameter gemäß '''(4)''' bzw. '''(5)''' mit Ausnahme von $A_{\rm T}= 0$ an   ⇒   $m \to \infty$. Welches Modulationsverfahren wird so beschrieben?}}

::Es handelt sich um eine '''ZSB–AM ohne Träger''' und es ist eine eine Synchrondemodulation erforderlich. Das äquivalente TP–Signal $x_{\rm TP}(t)$ liegt zwar auf der reellen Achse, aber nicht nur in der rechten Halbebene. Damit gilt auch hier für die Phasenfunktion $\phi(t) \in \{ 0, \ \pm 180^\circ\}$, wodurch Hüllkurvendemodulation nicht anwendbar ist.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(7)'''   Nun gelte   $\text{Rot:} \hspace{0.15cm} A_{\rm T} = 1\ \text{V}, f_{\rm T} = 100 \ \text{kHz}, \varphi_{\rm T} = 0^\circ$,   $\text{Grün:} \hspace{0.15cm} A_{\rm U} = 0, \ f_{\rm U} = 80 \ \text{kHz}, \varphi_{\rm U} = -90^\circ$,   $\text{Blau:} \hspace{0.15cm} A_{\rm O} = 0.8\ \text{V}, f_{\rm O} = 120 \ \text{kHz}, \varphi_{\rm O} = 90^\circ$.

:Welches Konstellation wird hiermit beschrieben? Welche Eigenschaften dieses Verfahrens erkennt man aus der Grafik?}}

::Es handelt es sich um eine [[Modulationsverfahren/Einseitenbandmodulation|Einseitenbandmodulation]] '''(ESB–AM)''', genauer gesagt um eine '''OSB–AM''': Der rote Träger liegt fest, der grüne Zeiger fehlt und der blaue Zeiger (OSB) dreht entgegen dem Uhrzeigersinn. Der Modulationsgrad ist $\mu = 0.8$ (bei ESB bezeichnen wir den Modulationsgrad mit $\mu$ anstelle von $m$). Das Trägersignal ist cosinusförmig und das Nachrichtensignal sinusförmig.<br>Die Ortskurve ist ein Kreis. $x_{\rm TP}(t)$ bewegt sich darauf in mathematisch positiver Richtung. Wegen $\phi(t) \ne \text{const.}$ ist auch hier die Hüllkurvendemodulation nicht anwendbar:  Dies erkennt man daran, dass die Hüllkurve $a(t)$ nicht cosinusförmig ist. Vielmehr ist die untere Halbwelle spitzer als die obere   ⇒   starke lineare Verzerrungen.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(8)'''   Es gelten weiter die Parameter gemäß '''(7)''' mit Ausnahme von $A_{\rm O}= 0$ und $A_{\rm U}= 0.8 \text{V}$. Welche Unterschiede ergeben sich gegenüber '''(7)'''?}}

::Nun handelt es sich um eine '''USB–AM''': Der rote Träger liegt fest, der blaue Zeiger fehlt und der grüne Zeiger (USB) dreht im Uhrzeigersinn. Alle anderen Aussagen von '''(7)''' treffen auch hier zu.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(9)'''   Es gelten weiter die Parameter gemäß '''(7)''' mit Ausnahme von $A_{\rm O} = 0.2 \text{ V} \ne A_{\rm U} = 0.4 \text{ V} $. Welche Unterschiede ergeben sich gegenüber '''(7)'''?}}

::Die Ortskurve $x_{\rm TP}(t)$ ist nun keine horizontale Gerade, sondern eine Ellipse mit dem Realteil zwischen $0.4 \text{ V}$ und $1.6 \text{ V}$ sowie dem Imaginärteil im Bereich $\pm 0.2 \text{ V}$. Wegen $\phi(t) \ne \text{const.}$ würde auch hier die Hüllkurvendemodulation zu nichtlinearen Verzerrungen führen<br>Die hier simulierte Konstellation beschreibt die Situation von '''(4)''', nämlich eine ZSB–AM mit Modulationsgrad $m = 0.8$, wobei das obere Seitenband aufgrund der Kanaldämpfung auf $50\%$ reduziert wird.

==Zur Handhabung des Applets==
<br>
[[Datei:Ortskurve_abzug3.png|right|frame|Bildschirmabzug der englischen Version]]
* Die roten Parameter $(A_{\rm T}, \ f_{\rm T}, \ \varphi_{\rm T})$ und der rote Zeiger kennzeichnen den '''T'''räger.
* Die grünen Parameter $(A_{\rm U}, \ f_{\rm U} < f_{\rm T}, \ \varphi_{\rm U})$ kennzeichnen das '''U'''ntere Seitenband.
* Die blauen Parameter $(A_{\rm O}, \ f_{\rm O} > f_{\rm T}, \ \varphi_{\rm O})$ kennzeichnen das '''O'''bere Seitenband.
* Der rote Zeiger dreht nicht.
* Der grüne Zeiger dreht in mathematisch negativer Richtung (im Uhrzeigersinn).
* Der blaue Zeiger dreht entgegen dem Uhrzeigersinn.

<u>Bedeutung der Buchstaben in nebenstehender Grafik:</u>

    '''(A)'''     Grafikfeld für das äquivalente TP–Signal $x_{\rm TP}(t)$

    '''(B)'''     Grafikfeld für das physikalische Signal $x(t)$

    '''(C)'''     Parametereingabe per Slider:   Amplituden, Frequenzen, Phasenwerte

    '''(D)'''     Bedienelemente:   Start – Step – Pause/Continue – Reset

    '''(E)'''     Geschwindigkeit der Animation:   &bdquo;Speed”   ⇒   Werte: 1, 2 oder 3

    '''(F)'''     &bdquo;Trace”   ⇒   Ein oder Aus, Spur des äquivalenten TP–Signals   $x_{\rm TP}(t)$

    '''(G)'''     Numerikausgabe:   Zeit $t$, Signalwerte  ${\rm Re}[x_{\rm TP}(t)]$  und  ${\rm Im}[x_{\rm TP}(t)]$,

$\text{}\hspace{4.2cm}$   Hüllkurve $a(t) = |x_{\rm TP}(t)|$  und  Phase $\phi(t) = {\rm arc} \ x_{\rm TP}(t)$

    '''(H)'''     Variationsmöglichkeiten für die grafische Darstellung

$\hspace{1.5cm}$Zoom–Funktionen &bdquo;$+$” (Vergrößern), &bdquo;$-$” (Verkleinern) und $\rm o$ (Zurücksetzen)

$\hspace{1.5cm}$Verschieben mit &bdquo;$\leftarrow$” (Ausschnitt nach links, Ordinate nach rechts), &bdquo;$\uparrow$” &bdquo;$\downarrow$” &bdquo;$\rightarrow$”

    '''(I)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung:  Aufgabenauswahl und Aufgabenstellung

    '''(J)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung:  Musterlösung

In allen Applets oben rechts:    Veränderbare grafische Oberflächengestaltung   ⇒   '''Theme''':
* Dark:   schwarzer Hintergrund  (wird von den Autoren empfohlen)
* Bright:   weißer Hintergrund  (empfohlen für Beamer und Ausdrucke)
* Deuteranopia:   für Nutzer mit ausgeprägter Grün–Sehschwäche
* Protanopia:   für Nutzer mit ausgeprägter Rot–Sehschwäche
<br clear=all>

==Über die Autoren==
Dieses interaktive Berechnungstool wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.
*Die erste Version wurde 2005 von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]] im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
*2018 wurde dieses Programm von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Xiaohan_Liu_.28Bachelorarbeit_2018.29|Xiaohan Liu]] im Rahmen ihrer Bachelorarbeit (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]]) neu gestaltet und erweitert.

==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==

{{LntAppletLink|physAnLPSignal_en}}

Applets:Physical Signal & Equivalent Lowpass Signal

2021-04-01T14:10:25Z

Tasnad:

{{LntAppletLinkEn|physAnLPSignal_en}}

==Applet Description==
<br>
This applet shows the relationship between the physical bandpass signal $x(t)$ and the associated equivalent lowpass signal $x_{\rm TP}(t)$. It is assumed that the bandpass signal $x(t)$ has a frequency-discrete spectrum $X(f)$:
:$$x(t) = x_{\rm T}(t) + x_{\rm O}(t)+ x_{\rm U}(t) = A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t- \varphi_{\rm T}\right)+A_{\rm O}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm O}\cdot t- \varphi_{\rm O}\right) + A_{\rm U}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm U}\cdot t- \varphi_{\rm U}\right). $$
The physical signal $x(t)$ is thus composed of three harmonic oscillations, a constellation that can be found, for example, in the ''Double-sideband Amplitude Modulation''
*of the message signal $x_{\rm N}(t) = A_{\rm N}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm N}\cdot t- \varphi_{\rm N}\right)$   ⇒   in German:   '''N'''achrichtensignal
*with the carrier signal $x_{\rm T}(t) = A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t - \varphi_{\rm T}\right)$   ⇒   in German:   '''T'''rägersignal.

The nomenclature is also adapted to this case:
* $x_{\rm O}(t)$ denotes the &bdquo;upper sideband”   (in German:   '''O'''beres Seitenband) with the amplitude $A_{\rm O}= A_{\rm N}/2$, the frequency $f_{\rm O} = f_{\rm T} + f_{\rm N}$ and the phase $\varphi_{\rm O} = \varphi_{\rm T} + \varphi_{\rm N}$.
*Similarly, for the &bdquo;lower sideband”   (in German:   '''U'''nteres Seitenband) $x_{\rm U}(t)$ with $f_{\rm U} = f_{\rm T} - f_{\rm N}$, $A_{\rm U}= A_{\rm O}$ and $\varphi_{\rm U} = -\varphi_{\rm O}$.

The associated equivalent lowpass–signal is $f_{\rm O}\hspace{0.01cm}' = f_{\rm O}- f_{\rm T} > 0$,   $f_{\rm U}\hspace{0.01cm}' = f_{\rm U}- f_{\rm T} < 0$  and  $f_{\rm T}\hspace{0.01cm}' = 0$:

:$$x_{\rm TP}(t) = x_\text{TP, T}(t) + x_\text{TP, O}(t) + x_\text{TP, U}(t) = A_{\rm T}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm T} } \hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm} A_{\rm O}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm O} } \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm O}\hspace{0.01cm}'\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}\hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}
A_{\rm U}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm U} } \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm U}\hspace{0.01cm}'\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t} . $$

[[Datei:Ortskurve_1.png|right|frame|Equivalent low-pass signal currently $t=0$ for cosinusoidal carrier   ⇒   $\varphi_{\rm T} = 0$]]
The program shows $x_{\rm TP}(t)$ as the vectorial sum of three rotation pointers as a violet dot (see figure for start time $t=0$ and cosinusoidal carrier):

*The (red) pointer of the carrier $x_\text{TP, T}(t)$ with the length $A_{\rm T}$ and the zero phase position $\varphi_{\rm T}=0$ is fixed in the complex plane. So it applies to all times $t$:   $x_{\rm TP}(t)= A_{\rm T}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm T} }$.

*The (blue) pointer of the upper sideband $x_\text{TP, O}(t)$ with the length $A_{\rm O}$ and the zero phase position $\varphi_{\rm O}$ rotates at the angular velocity $2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm O}\hspace{0.01cm}'$ in mathematically positive direction (one revolution in time $1/f_{\rm O}\hspace{0.01cm}')$.

*The (green) pointer of the lower sideband $x_{\rm U+}(t)$ with the length $A_{\rm U}$ and the zero phase position $\varphi_{\rm U}$ rotates at the angular velocity $2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm U}\hspace{0.01cm}'$, because of $f_{\rm U}\hspace{0.01cm}'<0$ counterclockwise.

*With $f_{\rm U}\hspace{0.01cm}' = -f_{\rm O}\hspace{0.01cm}'$ the blue and green pointers will spin at the same speed but in different directions. Also, if $A_{\rm O} = A_{\rm U}$ and $\varphi_{\rm U} = -\varphi_{\rm O}$, then $x_{\rm TP}(t)$ moves on a straight line with a incline of $\varphi_{\rm T}$.

''Note:''   In the figure $\varphi_{\rm O} = +30^\circ$. From this follows for the start time $t=0$ the angle of the upper sideband (OSB, blue pointer) with respect to the coordinate system:   $\phi_{\rm O} = -\varphi_{\rm O} = -30^\circ$. Likewise, the zero phase position $\varphi_{\rm U} = -30^\circ$ of the lower sideband (USB, green pointer) follows for the phase angle to be considered in the complex plane:   $\phi_{\rm U} = +30^\circ$.

The temporal process of $x_{\rm TP}(t)$ is also referred to below as &bdquo;locus”. The relationship between $x_{\rm TP}(t)$ and the physical bandpass signal $x(t)$ is given in the section and the associated analytic signal is $x_+(t)$ :

:$$x_{\rm TP}(t) = x_{\rm +}(t)\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi \cdot f_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t},$$
:$$x_{\rm +}(t) = x_{\rm TP}(t)\cdot {\rm e}^{+{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi \cdot f_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t}.$$

[[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Äquivalentes_TP-Signal|'''German description''']]

==Theoretical Background==
<br>
===Description of Bandpass Signals===
[[Datei:Zeigerdiagramm_1a.png|right|frame|bandpass spectrum $X(f)$ |class=fit]]
We consider '''bandpass signals''' $x(t)$ with the property that their spectra $X(f)$ are not in the range around the frequency $f=0$, but around a carrier frequency $f_{\rm T}$. In most cases it can also be assumed that the bandwidth is $B \ll f_{\rm T}$.

The figure shows such a bandpass spectrum $X(f)$. Assuming that the associated $x(t)$ is a physical signal and thus real, the spectral function $X(f)$ has a symmetry with respect to the frequency $f = 0$, if $x(t)$ is an even function   ⇒   $x(-t)=x(t)$, $X(f)$ is real and even.

Beside the physical signal $x(t)\ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ X(f)$, one can also use the following descriptions of bandpass signals:
*the analytic signal $x_+(t)\ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ X_+(f)$, see applet [[Applets:Physical_Signal_%26_Analytic_Signal|Physical Signal & Analytic Signal]],
*the equivalent lowpass signal $x_{\rm TP}(t)\ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ X_{\rm TP}(f)$, see next page
<br><br>

===Spectral Functions of the Analytic and the Equivalent Lowpass Signal===

The '''analytic signal''' $x_+(t)$ belonging to the physical signal $x(t)$ is the time function whose spectrum fulfills the following property:
[[Datei:Ortskurve_2.png|right|frame|spectral functions $X(f)$, $X_+(f)$ and $X_{\rm TP}(f)$ |class=fit]]
:$$X_+(f)=\big[1+{\rm sign}(f)\big] \cdot X(f) = \left\{ {2 \cdot
X(f) \; \hspace{0.2cm}\rm for\hspace{0.2cm} {\it f} > 0, \atop {\,\,\,\, \rm 0 \; \hspace{0.9cm}\rm for\hspace{0.2cm} {\it f} < 0.} }\right.$$

The ''Signum function'' is for positive values of $f$ equal to $+1$ and for negative $f$ values equal to $-1$.
*The (double-sided) limit returns $\sign(0) = 0$.
*The index „+” should make it clear that $X_+(f)$ only has parts at positive frequencies.

From the graph you can see the calculation rule for $X_+(f)$:   The actual bandpass spectrum $X(f)$ becomes
*doubled at the positive frequencies, and
*set to zero at the negative frequencies.

Due to the asymmetry of $X_+(f)$ with respect to the frequency $f = 0$, it can already be said that the time function $x_+(t)$ except for a trivial special case $x_+(t)= 0 \ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,\ \ X_+(f)= 0$ is always complex.

The spectrum $X_{\rm TP}(f)$ of the equivalent lowpass signal is obtained by shifting $X_+(f)$ to the left by the carrier frequency $f_{\rm T}$:
:$$X_{\rm TP}(f)= X_+(f+f_{\rm T}).$$

In the time domain this operation corresponds to the multiplication of $x_{\rm +}(t)$ with the complex exponential function with negative exponent:
:$$x_{\rm TP}(t) = x_{\rm +}(t)\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi \cdot f_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t}.$$

It can be seen that $x_{\rm TP}(t)$ is generally complex. But if $X_+(f)$ is symmetric about the carrier frequency $f_{\rm T}$, $X_{\rm TP}(f)$ is symmetric about the frequency $f=0$ and there is accordingly a real time function $x_{\rm TP}(t)$.
<br><br>

===$x_{\rm TP}(t)$ Representation of a Sum of Three Harmonic Oscillations===

In our applet, we always assume a set of three rotating pointers. The physical signal is:
:$$x(t) = x_{\rm T}(t) + x_{\rm O}(t) + x_{\rm U}(t) = A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t- \varphi_{\rm T}\right)+A_{\rm O}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm O}\cdot t- \varphi_{\rm O}\right) + A_{\rm U}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm U}\cdot t- \varphi_{\rm U}\right). $$
* Each of the three harmonic oscillations $x_{\rm T}(t)$, $x_{\rm U}(t)$ and $x_{\rm O}(t)$ is represented by an amplitude $(A)$, a frequency $(f)$ and a phase value $(\varphi)$.
*The indices are based on the modulation method [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation|double sideband amplitude modulation]]. &bdquo;T” stands for &bdquo;carrier”, &bdquo;U” for &bdquo;lower sideband” and &bdquo;O” for &bdquo;upper Sideband”. Similarly, $f_{\rm U} < f_{\rm T}$ and $f_{\rm O} > f_{\rm T}$. There are no restrictions for the amplitudes and phases.

The associated equivalent low-pass signal is with $f_{\rm O}\hspace{0.01cm}' = f_{\rm O}- f_{\rm T} > 0$,   $f_{\rm U}\hspace{0.01cm}' = f_{\rm U}- f_{\rm T} < 0$  and  $f_{\rm T}\hspace{0.01cm}' = 0$:

:$$x_{\rm TP}(t) = x_\text{TP, T}(t) + x_\text{TP, O}(t) + x_\text{TP, U}(t) = A_{\rm T}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm T} } \hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm} A_{\rm O}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm O} } \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm O}\hspace{0.01cm}'\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}\hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}
A_{\rm U}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm U} } \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm U}\hspace{0.01cm}'\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t} . $$

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example 1:}$ 
The constellation given here results, for example, in the [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#AM-Signale_und_-Spektren_bei_harmonischem_Eingangssignal|double sideband amplitude modulation]] of the message signal $x_{\rm N}(t) = A_{\rm N}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm N}\cdot t- \varphi_{\rm N}\right)$ with the carrier signal $x_{\rm T}(t) = A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t - \varphi_{\rm T}\right)$. This is discussed frequently in the exercises.

[[Datei:Ortskurve_5.png|center|frame|Spectrum $X_{\rm TP}(f)$ of the equivalent low–pass signal for different phase constellations |class=fit]]

There are some limitations to the program parameters in this approach:
* The frequencies are always $f\hspace{0.05cm}'_{\rm O} = f_{\rm N}$ and $f\hspace{0.05cm}'_{\rm U} = -f_{\rm N}$.
*Without distortion, the amplitude of the sidebands is $A_{\rm O}= A_{\rm U}= A_{\rm N}/2$.
*The respective phase relationships can be seen in the following graphic.

}}
<br><br>

===Representation of the Equivalent Lowpass Signal by Magnitude and Phase===

The generally complex equivalent lowpass signal
:$$x_{\rm TP}(t) = a(t) \cdot {\rm e}^{ {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \phi(t) }$$
can be split into a magnitude function $a(t)$ and a phase function $\phi(t)$ according to the equation given here, where:
:$$a(t) = \vert x_{\rm TP}(t)\vert = \sqrt{ {\rm Re}^2\big [x_{\rm TP}(t)\big ] + {\rm Im}^2\big [x_{\rm TP}(t)\big ] }\hspace{0.05cm},$$
:$$\phi(t) = \text{arc }x_{\rm TP}(t) = \arctan \frac{{\rm Im}\big [x_{\rm TP}(t)\big ]}{{\rm Re}\big [x_{\rm TP}(t)\big ]}.$$

The reason for this is that a bandpass signal $x(t)$ is usually described by the equivalent lowpass signal $x_{\rm TP}(t)$ that the functions $a(t)$ and $\phi(t)$ are interpretable in both representations:
*The amount $a(t)$ of the equivalent lowpass signal $x_{\rm TP}(t)$ indicates the (time-dependent) envelope of $x(t)$.
*The phase $\phi(t)$ of $x_{\rm TP}(t)$ denotes the location of the zero crossings of $x(t)$, where:
:–   For $\phi(t)>0$ the zero crossing is earlier than its nominal position   ⇒   the signal is leading here.
:–  When $\phi(t)<0$, the zero crossing is later than its target position   ⇒   the signal is trailing here.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example 2:}$ 
The graph is intended to illustrate this relationship, assuming $A_{\rm U} > A_{\rm O}$   ⇒   the green pointer (for the lower sideband) is longer than the blue pointer (upper sideband). This is a snapshot at time $t_0$:

[[Datei:Ortskurve_3_neu.png|center|frame|bandpass spectrum $X(f)$ |class=fit]]

*For these system parameters, the top of the pointer cluster $x_{\rm TP}(t)$ – that is, the geometric sum of red, blue and green pointers – on an ellipse.
* The amount $a(t_0) = \vert x_{\rm TP}(t_0) \vert$ is drawn in black in the left-hand diagram and the phase value $\phi(t_0) = \text{arc }x_{\rm TP}(t_0) > 0$ is indicated in brown color.
*In the graph on the right, the amount $a(t_0) = \vert x_{\rm TP}(t_0) \vert$ of the equivalent low-pass signal indicates the envelope of the physical signal $x(t)$.
* At $\phi(t) \equiv 0$, all zero crossings of $x(t)$ would occur at equidistant intervals. Because of $\phi(t_0) > 0$, the signal is leading at the time $t_0$, that is: the zero crossings come earlier than the grid dictates. }}

==Exercises==
[[Datei:Exercises_verzerrungen.png|right]]
*First select the task number.
*A task description is displayed.
*Parameter values are adjusted.
*Solution after pressing &bdquo;Hide solition”.

The number &bdquo;0” will reset the program and output a text with the further explanation of the applet.

In the following, $\rm Green$ denotes the lower sideband   ⇒   $\big (A_{\rm U}, f_{\rm U}, \varphi_{\rm U}\big )$,  
$\rm Red$ the carrier   ⇒   $\big (A_{\rm T}, f_{\rm T}, \varphi_{\rm T}\big )$ and
$\rm Blue$ the upper sideband   ⇒   $\big (A_{\rm O}, f_{\rm O}, \varphi_{\rm O}\big )$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''   Let   $\text{Red:} \hspace{0.15cm} A_{\rm T} = 1\ \text{V}, f_{\rm T} = 100 \ \text{kHz}, \varphi_{\rm T} = 0^\circ$,   $\text{Green:} \hspace{0.15cm} A_{\rm U} = 0.4 \text{V}, \ f_{\rm U} = 80 \ \text{kHz}, \varphi_{\rm U} = -90^\circ$,   $\text{Blue:} \hspace{0.15cm} A_{\rm O} = 0.4\ \text{V}, f_{\rm O} = 120 \ \text{kHz}, \varphi_{\rm O} = 90^\circ$.

:Consider and interpret the equivalent lowpass signal $x_{\rm TP}(t)$ and the physical signal $x(t)$. Which period $T_0$ recognizable?}}

:: The equivalent lowpass signal $x_{\rm TP}(t)$ takes from $x_{\rm TP}(t=0)=1\ \text{V}$ on the real axis values between $0.2\ \text{V}$ and $1.8\ \text{V}$   ⇒   phase $\phi(t) \equiv 0$.<br> The amount $|x_{\rm TP}(t)|$ indicates the envelope $a(t)$ of the physical signal $x(t)$. It holds $A_{\rm N} = 0.8\ \text{V}$ and $f_{\rm N} = 20\ \text{kHz}$:   $a(t) = A_{\rm T}+ A_{\rm N} \cdot \sin(2\pi\cdot f_{\rm N} \cdot t)$.<br> Both $x_{\rm TP}(t)$ and $x(t)$ are periodically with the period $T_0 = 1/f_{\rm N} = 50\ \rm µ s$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''   How do the ratios change to '''(1)''' with $f_{\rm U} = 99 \ \text{kHz}$ and $f_{\rm O} = 101 \ \text{kHz}$ ? How could $x(t)$ have arisen?}}

:: For the envelope $a(t)$ of the signal $x(t)$ we still have $a(t) = A_{\rm T}+ A_{\rm N} \cdot \sin(2\pi\cdot f_{\rm N} \cdot t)$, but now $f_{\rm N} = 1\ \text{kHz}$. Even though it can not be recognized:<br> $x_{\rm TP}(t)$ and $x(t)$ are still periodically:   $T_0 = 1\ \rm ms$. Example: Double sideband Amplitude modulation '''(DSB–AM)''' of a sine signal with cosine carrier.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''   Which settings have to be changed from '''(2)''' in order to arrive at the DSB–AM of a cosine signal with sine carrier. What changes over '''(2)'''?}}

::The carrier phase must be changed to $\varphi_{\rm T} = 90^\circ$   ⇒   sine carrier. Similarly, $\varphi_{\rm O} =\varphi_{\rm U} =\varphi_{\rm T} = 90^\circ$ must be set   ⇒   cosinusoidal message<br> The locus now lies on the imaginary axis  ⇒   $\phi(t) \equiv -90^\circ$. At the beginning $x_{\rm TP}(t=0)= - {\rm j} \cdot 1.8 \ \text{V}$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''   Now let   $\text{Red:} \hspace{0.15cm} A_{\rm T} = 1\ \text{V}, \ f_{\rm T} = 100 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm T} = 0^\circ$,   $\text{Green:} \hspace{0.15cm} A_{\rm U} = 0.4 \text{V}, \ f_{\rm U} = 80 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm U} = 0^\circ$,   $\text{Blue:} \hspace{0.15cm} A_{\rm O} = 0.4\ \text{V}, \ f_{\rm O} = 120 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm O} = 0^\circ$.

:What are the characteristics of this system &bdquo;DSB–AM, where the message signal and carrier are respectively cosinusoidal”? What is the degree of modulation $m$?}}

:: The equivalent lowpass signal $x_{\rm TP}(t)$ takes from $x_{\rm TP}(t=0)=1.8\ \text{V}$ on the real axis values between $0.2\ \text{V}$ and $1.8\ \text{V}$   ⇒   phase $\phi(t) \equiv 0$.<br> Except for the start state $x_{\rm TP}(t=0)$ same behavior as at the setting '''(1)'''. The degree of modulation is $m = 0.8$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''   The parameters are still valid according to '''(4)''' with the exception of $A_{\rm T}= 0.6 \text{V}$. What is the degree of modulation $m$? What are the consequences?}}

:: There is now a DSB–AM with modulation degree $m = 1.333$. For $m > 1$, the simpler ''Envelope Demodulation'' is not applicable, since the phase function $\phi(t) \in \{ 0, \ \pm 180^\circ\}$ is no more constant and the envelope $a(t)$ no more matches the message signal. Rather, the complex ''Synchronous Demodulation'' must be used. Envelope detection would produce nonlinear distortions.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''   The parameters are still valid according to '''(4)''' or '''(5)''' with the exception from $A_{\rm T}= 0$ on   ⇒   $m \to \infty$. Which modulation method is described in this way?}}

::It is a '''DSB–AM without carrier''' and a synchronous demodulation is required. The equivalent lowpass signal $x_{\rm TP}(t)$ is on the real axis, but not only in the right half-plane. Thus, the phase function $\phi(t) \in \{ 0, \ \pm 180^\circ\}$, also applies here, which means that ''Envelope Demodulation'' is not applicable.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(7)'''   Now let   $\text{Red:} \hspace{0.15cm} A_{\rm T} = 1\ \text{V}, f_{\rm T} = 100 \ \text{kHz}, \varphi_{\rm T} = 0^\circ$,   $\text{Green:} \hspace{0.15cm} A_{\rm U} = 0, \ f_{\rm U} = 80 \ \text{kHz}, \varphi_{\rm U} = -90^\circ$,   $\text{Blue:} \hspace{0.15cm} A_{\rm O} = 0.8\ \text{V}, f_{\rm O} = 120 \ \text{kHz}, \varphi_{\rm O} = 90^\circ$.

:Which constellation is described here? Which characteristics of this procedure can be recognized from the graphic?}}

::It is a [[Modulationsverfahren/Einseitenbandmodulation|single-sideband modulation]] '''(SSB–AM)''', more specifically an '''OSB–AM''': the red carrier is fixed, the green pointer missing and the blue pointer (OSB) turns counterclockwise. The degree of modulation is $\mu = 0.8$ (in the case of SSB we denote the degree of modulation with $\mu$ instead of $m$). The carrier signal is cosinusoidal and the message signal sinusoidal.<br>The locus is a circle. $x_{\rm TP}(t)$ moves in a mathematically positive direction. Because of $\phi(t) \ne \text{const.}$ the envelope demodulation is not applicable here:  This can be seen by the fact that the envelope $a(t)$ is not cosinusoidal. Rather, the lower half-wave is sharper than the upper one   ⇒   strong linear distortions.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(8)'''   The parameters are still valid according to '''(7)''' with the exception of $A_{\rm O}= 0$ and $A_{\rm U}= 0.8 \text{ V}$. What differences arise opposite '''(7)'''?}}

::Now it is a '''LSB–AM''': The red carrier is fixed, the blue pointer is missing and the green pointer (LSB) rotates clockwise. All other statements of '''(7)''' apply here as well.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(9)'''   The parameters according to '''(7)''' are still valid with the exception of $A_{\rm O} = 0.2 \text{ V} \ne A_{\rm U} = 0.4 \text{ V} $. What are the differences from '''(7)'''?}}

::The locus $x_{\rm TP}(t)$ is not a horizontal straight line, but an ellipse with the real part between $0.4 \text{ V}$ and $1.6 \text{ V}$ and the imaginary part in the range $\pm 0.2 \text{ V}$. Because of $\phi(t) \ne \text{const.}$ , Envelope demodulation would lead to non-linear distortions here too.<br> The constellation simulated here describes the situation of '''(4)''', namely a DSB–AM with modulation degree $m = 0.8$, where the upper sideband is reduced to $50\%$ due to channel attenuation.

==Applet Manual==
[[Datei:Ortskurve_abzug3.png|right]]
* The red parameters $(A_{\rm T}, \ f_{\rm T}, \ \varphi_{\rm T})$ and the red pointer mark the ''Carrier'' <br>(German: '''T'''räger).
* The green parameters $(A_{\rm U}, \ f_{\rm U} < f_{\rm T}, \ \varphi_{\rm U})$ mark the ''Lower sideband'' <br>(German: '''U'''ntere Seitenband).
* The blue parameters $(A_{\rm O}, \ f_{\rm O} > f_{\rm T}, \ \varphi_{\rm O})$ mark the '' Upper sideband'' <br>(German: '''O'''bere Seitenband).
* The red pointer does not turn.
* The green pointer rotates in a mathematically negative direction (clockwise).
* The blue pointer turns counterclockwise.

<u>Meaning of the letters in the adjacent graphic:</u>

    '''(A)'''     Plot of the equivalent lowpass signal $x_{\rm TP}(t)$

    '''(B)'''     Plot of the physical signal $x(t)$

    '''(C)'''     Parameter input via slider:   amplitudes, frequencies, phase values

    '''(D)'''     Control elements:   Start – Step – Pause/Continue – Reset

    '''(E)'''     Speed of animation:   &bdquo;Speed”   ⇒   Values: 1, 2 oder 3

    '''(F)'''     &bdquo;Trace”   ⇒   On or Off, trace of equivalent lowpass signal   $x_{\rm TP}(t)$

    '''(G)'''     Numerical output:   time $t$, the signal values  ${\rm Re}[x_{\rm TP}(t)]$  and  ${\rm Im}[x_{\rm TP}(t)]$,

$\text{}\hspace{4.2cm}$   envelope $a(t) = |x_{\rm TP}(t)|$  and  phase $\phi(t) = {\rm arc} \ x_{\rm TP}(t)$

    '''(H)'''     Variations for the graphical representation

$\hspace{1.5cm}$Zoom–Functions &bdquo;$+$” (Enlarge), &bdquo;$-$” (Decrease) and $\rm o$ (Reset to default)

$\hspace{1.5cm}$Move with &bdquo;$\leftarrow$” (Section to the left, ordinate to the right), &bdquo;$\uparrow$” &bdquo;$\downarrow$” &bdquo;$\rightarrow$”

    '''(I)'''     Experiment section:   Task selection and task

    '''(J)'''     Experiment section:  solution
<br clear=all>

==About the Authors==
This interactive calculation was designed and realized at the [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] of the [https://www.tum.de/ Technical University of Munich] .
*The original version was created in 2005 by [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]] as part of her Diploma thesis using &bdquo;FlashMX–Actionscript” (Supervisor: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
*In 2018 this Applet was redesigned and updated to &bdquo;HTML5” by [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Xiaohan_Liu_.28Bachelorarbeit_2018.29|Xiaohan Liu]] as part of her Bachelor's thesis (Supervisor: [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]]).

==Once again: Open Applet in new Tab==

{{LntAppletLinkEn|physAnLPSignal_en}}

Applets:Physical Signal & Analytic Signal

2021-04-01T14:10:13Z

Tasnad:

{{LntAppletLinkEn|physAnSignal_en}}

==Applet Description==
<br>
This applet shows the relationship between the physical bandpass signal $x(t)$ and the associated analytic signal $x_+(t)$. It is assumed that the bandpass signal $x(t)$ has a frequency-discrete spectrum $X(f)$:
:$$x(t) = x_{\rm U}(t) + x_{\rm T}(t) + x_{\rm O}(t) = A_{\rm U}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm U}\cdot t- \varphi_{\rm U}\right)+A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t- \varphi_{\rm T}\right)+A_{\rm O}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm O}\cdot t- \varphi_{\rm O}\right). $$
The physical signal $x(t)$ is thus composed of three harmonic oscillations, a constellation that can be found, for example, in the ''Double-sideband Amplitude Modulation''
*of the message signal $x_{\rm N}(t) = A_{\rm N}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm N}\cdot t- \varphi_{\rm N}\right)$   ⇒   in German:   '''N'''achrichtensignal
*with the carrier signal $x_{\rm T}(t) = A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t - \varphi_{\rm T}\right)$   ⇒   in German:   '''T'''rägersignal.

The nomenclature is also adapted to this case:
* $x_{\rm O}(t)$ denotes the &bdquo;upper sideband”   (in German:   '''O'''beres Seitenband) with the amplitude $A_{\rm O}= A_{\rm N}/2$, the frequency $f_{\rm O} = f_{\rm T} + f_{\rm N}$ and the phase $\varphi_{\rm O} = \varphi_{\rm T} + \varphi_{\rm N}$.
*Similarly, for the &bdquo;lower sideband”   (in German:   '''U'''nteres Seitenband) $x_{\rm U}(t)$ with $f_{\rm U} = f_{\rm T} - f_{\rm N}$, $A_{\rm U}= A_{\rm O}$ and $\varphi_{\rm U} = -\varphi_{\rm O}$.

The associated analytic signal is:

:$$x_+(t) = x_{\rm U+}(t) + x_{\rm T+}(t) + x_{\rm O+}(t) = A_{\rm U}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm U}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t- \varphi_{\rm U})}
\hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}A_{\rm T}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm T}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t- \varphi_{\rm T})}
\hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm} A_{\rm O}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm O}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t- \varphi_{\rm O})}. $$

[[Datei:Zeigerdiagramm_2a_version2.png|right|frame|Analytic signal at the time $t=0$]]
The program displays $x_+(t)$ as the vectorial sum of three rotating pointers (all with counterclockwise) as a violet dot (see figure for start time $t=0$):

*The (red) pointer of the carrier $x_{\rm T+}(t)$ with length $A_{\rm T}$ and zero phase position $\varphi_{\rm T} = 0$ rotates at constant angular velocity $2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm T}$ (one revolution in time $1/f_{\rm T})$.

*The (blue) pointer of the upper sideband $x_{\rm O+}(t)$ with length $A_{\rm O}$ and zero phase position $\varphi_{\rm O}$ rotates at the angular velocity $2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm O}$, which is slightly faster than $x_{\rm T+}(t)$.

*The (green) pointer of the lower sideband $x_{\rm U+}(t)$ with length $A_{\rm U}$ and zero phase position $\varphi_{\rm U}$ rotates at the angular velocity $2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm U}$, which is slightly slower than $x_{\rm T+}(t)$.

The time trace of $x_+(t)$ is also referred to below as ''Pointer Diagram''. The relationship between the physical bandpass signal $x(t)$ and the associated analytic signal $x_+(t)$ is:

:$$x(t) = {\rm Re}\big [x_+(t)\big ].$$

''Note:''   In the figure $\varphi_{\rm O} = +30^\circ$. This leads to the angle with respect to the coordinate system at $t=0$:   $\phi_{\rm O}=-\varphi_{\rm O}=-30^\circ$. Similarly, the null phase angle $\varphi_{\rm U}=-30^\circ$ of the lower sideband leads to the phase angle to be considered in the complex plane:   $\phi_{\rm U}=+30^\circ$.

[[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Analytisches_Signal|'''German Description''']]

==Theoretical Background==
<br>
===Description of Bandpass Signals===
[[Datei:Zeigerdiagramm_1a.png|right|frame|Bandpass spectrum $X(f)$ |class=fit]]
We consider '''bandpass signals''' $x(t)$ with the property that their spectra $X(f)$ are not in the range around the frequency $f=0$, but around a carrier frequency $f_{\rm T}$. In most cases it can also be assumed that the bandwidth is $B \ll f_{\rm T}$.

The figure shows such a bandpass spectrum $X(f)$. Assuming that the associated $x(t)$ is a physical signal and thus real, the spectral function $X(f)$ has a symmetry with respect to the frequency $f = 0$, if $x(t)$ is an even function   ⇒   $x(-t)=x(t)$, $X(f)$ is real and even.

Besides the physical signal $x(t)\ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ X(f)$, one can also use the following descriptions of bandpass signals:
*the analytic signal $x_+(t)\ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ X_+(f)$, see next page,
*the equivalent lowpass signal   (in German:   äquivalentes '''T'''ief '''P'''ass–Signal) $x_{\rm TP}(t)\ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ X_{\rm TP}(f)$, <br>see Applet [[Applets:Physical_Signal_%26_Equivalent_Low-pass_Signal|Physical Signal & Equivalent Lowpass signal]].
<br><br>

===Analytic Signal – Frequency Domain===

The '''analytic signal''' $x_+(t)$ belonging to the physical signal $x(t)$ is the time function whose spectrum fulfills the following property:
[[Datei:Zeigerdiagramm_3a.png|right|frame|Construction of the spectral function $X_+(f)$ |class=fit]]
:$$X_+(f)=\big[1+{\rm sign}(f)\big] \cdot X(f) = \left\{ {2 \cdot
X(f) \; \hspace{0.2cm}\rm for\hspace{0.2cm} {\it f} > 0, \atop {\,\,\,\, \rm 0 \; \hspace{0.9cm}\rm for\hspace{0.2cm} {\it f} < 0.} }\right.$$

The ''signum function'' is for positive values of $f$ equal to $+1$ and for negative $f$ values equal to $-1$.
* The (double-sided) limit returns $\sign(0)=0$.
* The index „+” should make it clear that $X_+(f)$ only has parts at positive frequencies.

From the graph you can see the calculation rule for $X_+(f)$:

The actual bandpass spectrum $X(f)$ becomes
* doubled at the positive frequencies, and
* set to zero at the negative frequencies.

Due to the asymmetry of $X_+(f)$ with respect to the frequency $f=0$, it can already be said that the time function $x_+(t)$ except for a trivial special case $x_+(t)=0 \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,X_+(f)=0$ is always complex.
<br clear=all>

===Analytic Signal – Time Domain===
At this point, it is necessary to briefly discuss another spectral transformation.

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definition:}$ 
For the '''Hilbert transform''' $ {\rm H}\left\{x(t)\right\}$ of a time function $x(t)$ we have:

:$$y(t) = {\rm H}\left\{x(t)\right\} = \frac{1}{ {\rm \pi} } \cdot
\hspace{0.03cm}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x(\tau)}{ {t -
\tau} }\hspace{0.15cm} {\rm d}\tau.$$

This particular integral is not solvable in a simple, conventional way, but must be evaluated using the [https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_principal_value Cauchy principal value theorem].

Accordingly, in the frequency domain:
:$$Y(f) = {\rm -j \cdot sign}(f) \cdot X(f) \hspace{0.05cm} .$$}}

The above result can be summarized with this definition as follows:
* The analytic signal $x_+(t)$ is obtained from the physical bandpass signal $x(t)$ by adding an imaginary part to $x(t)$ according to the Hilbert transform:

:$$x_+(t) = x(t)+{\rm j} \cdot {\rm H}\left\{x(t)\right\} .$$

*$\text{H}\{x(t)\}$ disappears only for the case $x(t) = \rm const.$   ⇒   the same signal. For all other signal forms, the analytic signal $x_+(t)$ is complex.

* From the analytic signal $x_+(t)$, the physical bandpass signal can be easily determined by the following operation:
:$$x(t) = {\rm Re}\big[x_+(t)\big] .$$

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example 1:}$  The principle of the Hilbert transformation should be further clarified by the following graphic:
*After the left representation $\rm(A)$ one gets from the physical signal $x(t)$ to the analytic signal $x_+(t)$, by adding an imaginary part ${\rm j} \cdot y(t)$.
*Here $y(t) = {\rm H}\left\{x(t)\right\}$ is a real time function that can be indicated in the spectral domain by multiplying the spectrum $X(f)$ with ${\rm - j} \cdot \sign(f)$.

[[Datei:P_ID2729__Sig_T_4_2_S2b_neu.png|center|frame|To clarify the Hilbert transform]]

The right representation $\rm(B)$ is equivalent to $\rm(A)$. Now $x_+(t) = x(t) + z(t)$ stand with the purely imaginary function $z(t)$. A comparison of the two figures shows that in fact $z(t) = {\rm j} \cdot y(t)$.}}
<br><br>

===Representation of the Harmonic Oscillation as an Analytic Signal===

The spectral function $X(f)$ of a harmonic oscillation $x(t) = A\cdot\text{cos}(2\pi f_{\rm T}\cdot t - \varphi)$ is known to consist of two Dirac functions at the frequencies
* $+f_{\rm T}$ with the complex weight $A/2 \cdot \text{e}^{-\text{j}\hspace{0.05cm}\varphi}$,
* $-f_{\rm T}$ with the complex weight $A/2 \cdot \text{e}^{+\text{j}\hspace{0.05cm}\varphi}$.

Thus, the spectrum of the analytic signal (that is, without the Dirac function at the frequency $f =-f_{\rm T}$, but doubling at $f =+f_{\rm T}$):

:$$X_+(f) = A \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\varphi}\cdot\delta (f - f_{\rm
T}) .$$

The associated time function is obtained by applying the Displacement Law:

:$$x_+(t) = x_{\rm U+}(t) + x_{\rm T+}(t) + x_{\rm O+}(t) = A_{\rm U}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm U}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t- \varphi_{\rm U})}
\hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}A_{\rm T}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm T}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t- \varphi_{\rm T})}
\hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm} A_{\rm O}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm O}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t- \varphi_{\rm O})}. $$

This equation describes a pointer rotating at constant angular velocity $\omega_{\rm T} = 2\pi f_{\rm T}$.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example 2:}$  Here the coordinate system is rotated by $90^\circ$ (real part up, imaginary part to the left) contrary to the usual representation.

[[Datei:P_ID712__Sig_T_4_2_S3.png|center|frame|Pointer diagram of a harmonic oscillation]]

Based on this graphic, the following statements are possible:
* At time $t = 0$, the pointer of length $A$ (signal amplitude) lies with the angle $-\varphi$ in the complex plane. In the example shown, $\varphi=45^\circ$.
* For times $t>0$, the constant angular velocity vector $\omega_{\rm T}$ rotates in a mathematically positive direction, that is, counterclockwise.
* The tip of the pointer is thus always on a circle with radius $A$ and needs exactly the time $T_0$, i.e. the period of the harmonic oscillation $x(t)$ for one revolution.
* The projection of the analytic signal $x_+(t)$ on the real axis, marked by red dots, gives the instantaneous values of $x(t)$.}}
<br><br>

===Analytic Signal Representation of a Sum of Three Harmonic Oscillations===

In our applet, we always assume a set of three rotating pointers. The physical signal is:
:$$x(t) = x_{\rm U}(t) + x_{\rm T}(t) + x_{\rm O}(t) = A_{\rm U}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm U}\cdot t- \varphi_{\rm U}\right)+A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t- \varphi_{\rm T}\right)+A_{\rm O}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm O}\cdot t- \varphi_{\rm O}\right). $$
* Each of the three harmonic oscillations $x_{\rm T}(t)$, $x_{\rm U}(t)$ and $x_{\rm O}(t)$ is represented by an amplitude $(A)$, a frequency $(f)$ and a phase value $(\varphi)$.
*The indices are based on the ''Double-sideband Amplitude Modulation'' method. &bdquo;T” stands for &bdquo;carrier”, &bdquo;U” for &bdquo;lower sideband” and &bdquo;O” for &bdquo;upper Sideband”.
*Accordingly, $f_{\rm U} < f_{\rm T}$ and $f_{\rm O} > f_{\rm T}$. There are no restrictions for the amplitudes and phases.

The associated analytic signal is:
:$$x_+(t) = x_{\rm U+}(t) + x_{\rm T+}(t) + x_{\rm O+}(t) = A_{\rm U}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm U}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t- \varphi_{\rm U})}
\hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}A_{\rm T}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm T}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t- \varphi_{\rm T})}
\hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm} A_{\rm O}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm O}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t- \varphi_{\rm O})}. $$

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example 3:}$ 
Shown the constellation arises i.e. in the [https://en.wikipedia.org/wiki/Sideband Double-sideband Amplitude Modulation] (with carrier) of the message signal $x_{\rm N}(t) = A_{\rm N}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm N}\cdot t- \varphi_{\rm N}\right)$ with the carrier signal $x_{\rm T}(t) = A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t - \varphi_{\rm T}\right)$. This is discussed frequently in the Exercises.

There are some limitations to the program parameters in this approach:
* For the frequencies, it always applies $f_{\rm O} = f_{\rm T} + f_{\rm N}$ and $f_{\rm U} = f_{\rm T} - f_{\rm N}$.

*Without distortions the amplitude of the sidebands are $A_{\rm O}= A_{\rm U}= A_{\rm N}/2$.
*The respective phase relationships can be seen in the following graphic.

[[Datei:Zeigerdiagramm_5.png|center|frame|Spectrum $X_+(f)$ of the analytic signal for different phase constellations |class=fit]]}}

==Exercises==
[[Datei:Zeigerdiagramm_aufgabe_2.png|right]]
*First select the task number.
*A task description is displayed.
*Parameter values are adjusted.
*Solution after pressing &bdquo;Hide solition”.

The number &bdquo;0” will reset the program and output a text with further explanation of the applet.
<br clear=all>
In the following, $\rm Green$ denotes the lower sideband   ⇒   $\big (A_{\rm U}, f_{\rm U}, \varphi_{\rm U}\big )$,  
$\rm Red$ the carrier   ⇒   $\big (A_{\rm T}, f_{\rm T}, \varphi_{\rm T}\big )$ and
$\rm Blue$ the upper sideband   ⇒   $\big (A_{\rm O}, f_{\rm O}, \varphi_{\rm O}\big )$.
{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''   Consider and interpret the analytic signal $x_+(t)$ for $\text{Red:} \hspace{0.15cm} A_{\rm T} = 1.5\ \text{V}, \ f_{\rm T} = 50 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm T} = 0^\circ$, $A_{\rm U} = A_{\rm O} = 0$.

:Which signal values $x_+(t)$ result for $t = 0$, $t = 5 \ \rm µ s$ and $t = 20 \ \rm µ s$? What are the corresponding signal values for $x(t)$? }}

:: For a cosine signal, let $x_+(t= 0) = A_{\rm T} = 1.5\ \text{V}$. Then $x_+(t)$ rotates in a mathematically positive direction (one revolution per period $T_0 = 1/f_{\rm T}$):

:: $x_+(t= 20 \ {\rm µ s}) = x_+(t= 0) = 1.5\ \text{V}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}x(t= 20 \ {\rm µ s}) = 1.5\ \text{V,}$
:: $x_+(t= 5 \ {\rm µ s}) = {\rm j} \cdot 1.5\ \text{V}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}x(t= 5 \ {\rm µ s}) = {\rm Re}[x_+(t= 5 \ {\rm µ s})] = 0$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''   How do the ratios change for $\text{Red:} \hspace{0.15cm} A_{\rm T} = 1.0\ \text{V}, \ f_{\rm T} = 100 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm T} = 90^\circ$?}}

::The signal $x(t)$ is now a sine signal with a smaller amplitude. The analytic signal now starts because of $\varphi_{\rm T} = 90^\circ$   ⇒   $\phi_{\rm T} = -90^\circ$ at $x_+(t= 0) = -{\rm j} \cdot A_{\rm T}$. <br>After that, $x_+(t)$ rotates again in a mathematically positive direction, but twice as fast because of $T_0 = 10 \ \rm µ s$ as in $\rm (1)$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''   Now   $\text{Red:} \hspace{0.15cm} A_{\rm T} = 1\ \text{V}, \ f_{\rm T} = 100 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm T} = 0^\circ$,   $\text{Green:} \hspace{0.15cm} A_{\rm U} = 0.4\ \text{V}, \ f_{\rm U} = 80 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm U} = 0^\circ$,   $\text{Blue:} \hspace{0.15cm} A_{\rm O} = 0.4\ \text{V}, \ f_{\rm O} = 120 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm O} = 0^\circ$.

:Consider and interpret the physical signal $x(t)$ and the analytic signal $x_+(t)$.}}

::The Signal $x(t)$ results in the [https://en.wikipedia.org/wiki/Sideband Double-sideband Amplitude Modulation] (DSB–AM) of the message signal $A_{\rm N}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm N}\cdot t\right)$ with $A_{\rm N} = 0.8\ \text{V}$, $f_{\rm N} = 20\ \text{kHz}$. The carrier $x_{\rm T}(t)$ with $f_{\rm T} = 100\ \text{kHz}$ is also cosinusoidal. The degree of modulation is $m = A_{\rm N}/A_{\rm T} = 0.8$ and the period $T_{\rm 0} = 50\ \text{µs}$.

::In the phase diagram, the (red) carrier rotates faster than the (green) lower sideband and slower than the (blue) upper sideband. The analytic signal $x_+(t)$ results as the geometric sum of the three rotating pointers. It seems that the blue pointer is leading the carrier and the green pointer is following the carrier.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''   The settings of task '''(3)''' still apply. Which signal values are obtained at $t=0$, $t=2.5 \ \rm µ s$, $t= 5 \ \rm µ s$ and $t=10 \ \rm µ s$? }}

::At time $t=0$, all pointers are in the direction of the real axis, so that $x(t=0) = {\rm Re}\big [x+(t= 0)\big] = A_{\rm U} + A_{\rm T} + A_{\rm O} = 1.8\ \text{V}$.

::Until the time $t=2.5 \ \rm µ s$, the red carrier has rotated by $90^\circ$, the blue one by $108^\circ$ and the green one by $72^\circ$. We have $x(t=2.5 \ \rm µ s) = {\rm Re}\big [x_+(t= 2.5 \ \rm µ s)\big] = 0$, because now the pointer group points in the direction of the imaginary axis. The other sought signal values are $x(t=5 \ \rm µ s) = {\rm Re}\big [x_+(t= 5 \ \rm µ s)\big] = -1.647\ \text{V}$ and $x(t=10 \ \rm µ s) = {\rm Re}\big [x_+(t= 10 \ \rm µ s)\big] = 1.247\ \text{V}$.
::For $x_+(t)$ a spiral shape results, alternating with a smaller radius and then with a larger radius.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''   How should the phase parameters $\varphi_{\rm T}$, $\varphi_{\rm U}$ and $\varphi_{\rm O}$ be set if both the carrier $x_{\rm T}(t)$ and the message signal $x_{\rm N}(t)$ are sinusoidal?}}

::The parameter selection $\varphi_{\rm T} = \varphi_{\rm U} = \varphi_{\rm O}=90^\circ$ describes the signals $x_{\rm T}(t) = A_{\rm T}\cdot \sin\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t\right)$ and $x_{\rm N}(t) = A_{\rm N}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm N}\cdot t\right)$. If, in addition, the message $x_{\rm N}(t)$ is sinusoidal, then $\varphi_{\rm O}=\varphi_{\rm T} - 90^\circ = 0$ and $\varphi_{\rm U}=\varphi_{\rm T} + 90^\circ = 180^\circ$ must be set.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''   The settings of task '''(3)''' apply except $A_{\rm T} = 0.6\ \text{V}$. Which modulation method is described here?

: What are the consequences of this? What changes with $A_{\rm T} = 0$? }}

::It is a [https://en.wikipedia.org/wiki/Sideband Double-sideband Amplitude Modulation] (DSB–AM with carrier) with the modulation degree $m=0.8/0.6 = 1.333$. For $m > 1$, however, [https://www.radio-electronics.com/info/rf-technology-design/am-reception/synchronous-demodulator-demodulation-detector.php Synchronous Demodulation] is required. [https://en.wikipedia.org/wiki/Envelope_detector Envelope Detection] no longer works. One reason for this is that now the zero crossings of $x(t)$ are no longer equidistant from $5\ \rm µ s$   ⇒   additional phase modulation.

::With $A_{\rm T} = 0$   ⇒   $m \to \infty$ results in a [https://en.wikipedia.org/wiki/Double-sideband_suppressed-carrier_transmission ''DSB–AM without carrier'']. For this, one also needs coherent demodulation.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(7)'''     Now let   $\text{Red:} \hspace{0.15cm} A_{\rm T} = 1\ \text{V}, \ f_{\rm T} = 100 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm T} = 0^\circ$,   $\text{Green:} \hspace{0.15cm} A_{\rm U} = 0$,   $\text{Blue:} \hspace{0.15cm} A_{\rm O} = 0.8\ \text{V}, \ f_{\rm O} = 120 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm O} = 90^\circ$.

:Which constellation is described here? Which figure is given for the equivalent low-pass signal $x_{\rm TP}(t)$?   ⇒   &bdquo;locus”? <br>What changes with $A_{\rm U} = 0.8\ \text{V}$ and $A_{\rm O} = 0$?}}

::In both cases, it is a [https://en.wikipedia.org/wiki/Single-sideband_modulation Single-sideband Amplitude Modulation] (SSB–AM) with the modulation degree $\mu = 0.8$ (in SSB we denote the degree of modulation with $\mu$ instead of $m$). The carrier signal is cosinusoidal and the message signal is sinusoidal. The equivalent low-pass signal $x_{\rm TP}(t)$ has a circular course in the complex plane.

:: $A_{\rm O} = 0.8\ \text{V}$, $A_{\rm U} = 0$ is an OSB modulation. The green pointer is missing and the blue pointer rotates faster compared to the red carrier.

:: $A_{\rm U} = 0.8\ \text{V}$, $A_{\rm O} = 0$ is a USB modulation. The blue pointer is missing and the green pointer rotates slower compared to the red carrier.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(8)'''   Now let   $\text{Red:} \hspace{0.05cm} A_{\rm T} = 1\ \text{V}, \ f_{\rm T} = 100 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm T} = 0^\circ$,   $\text{Green:} \hspace{0.05cm} A_{\rm U} = 0.4\ \text{V}, \ f_{\rm U} = 80 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm U} = -90^\circ$,   $\text{Blue:} \hspace{0.05cm} A_{\rm O} = 0.2\ \text{V}, \ f_{\rm O} = 120 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm O} = +90^\circ$.

:Which constellation could be described here? Which shape results for the equivalent lowpass signal $x_{\rm TP}(t)$?}}

::It could be a DSB–AM of a sinusoidal signal with cosinusoidal carrier and modulation degree $m=0.8$, in which the upper sideband is attenuated by a factor of 2. The equivalent lowpass signal $x_{\rm TP}(t)$ has an elliptical trace in the complex plane.

==Applet Manual==
<br>
[[Datei:Zeigerdiagramm_abzug.png|right]]

* The red parameters $(A_{\rm T}, \ f_{\rm T}, \ \varphi_{\rm T})$ and the red pointer mark the ''Carrier'' <br>(German:   '''T'''räger).
* The green parameters $(A_{\rm U}, \ f_{\rm U} < f_{\rm T}, \ \varphi_{\rm U})$ mark the ''Lower sideband'' <br>(German:  '''U'''nteres Seitenband).
* The blue parameters $(A_{\rm O}, \ f_{\rm O} > f_{\rm T}, \ \varphi_{\rm O})$ mark the ''Upper sideband'' <br>(German:  '''O'''beres Seitenband).
*All pointers rotate in a mathematically positive direction (counterclockwise).

<br><br><br>
Meaning of the letters in the adjacent graphic:

    '''(A)'''     Plot of the analytic signal $x_{\rm +}(t)$

    '''(B)'''     Plot of the physical signal $x(t)$

    '''(C)'''     Parameter input via slider: amplitudes, frequencies, phase values

    '''(D)'''     Control elements:   Start – Step – Pause/Continue – Reset

    '''(E)'''     Speed of animation:   &bdquo;Speed”   ⇒   Values: 1, 2, 3

    '''(F)'''     &bdquo;Trace”   ⇒   On or Off, trace of complex signal values $x_{\rm +}(t)$

    '''(G)'''     Numerical output of the time $t$ and the signal values  ${\rm Re}[x_{\rm +}(t)] = x(t)$  and  ${\rm Im}[x_{\rm +}(t)]$

    '''(H)'''     Variations for the graphical representation

$\hspace{1.5cm}$Zoom–Functions &bdquo;$+$” (Enlarge), &bdquo;$-$” (Decrease) and $\rm o$ (Reset to default)

$\hspace{1.5cm}$Move with &bdquo;$\leftarrow$” (Section to the left, ordinate to the right), &bdquo;$\uparrow$” &bdquo;$\downarrow$” and &bdquo;$\rightarrow$”

    '''(I)'''     Experiment section:  Task selection and task

    '''(J)'''     Experiment section:  solution
<br clear=all>

==About the Authors==
This interactive calculation was designed and realized at the [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] of the [https://www.tum.de/ Technical University of Munich] .
*The original version was created in 2005 by [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]] as part of her Diploma thesis using &bdquo;FlashMX–Actionscript” (Supervisor: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
*In 2018 this Applet was redesigned and updated to &bdquo;HTML5” by [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Xiaohan_Liu_.28Bachelorarbeit_2018.29|Xiaohan Liu]] as part of her Bachelor's thesis (Supervisor: [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]]).

==Once again:  Open Applet in new Tab==

{{LntAppletLinkEn|physAnSignal_en}}

Applets:Kausale Systeme und Laplacetransformation

2021-04-01T13:53:18Z

Tasnad:

{{LntAppletLink|laplacetransformation}}

==Programmbeschreibung==
<br>

Dargestellt werden reelle und symmetrische Tiefpässe  $H(f)$  und die dazugehörigen Impulsantworten  $h(t)$, nämlich
*Gauß–Tiefpass  (englisch:  ''Gaussian low–pass''),
*Rechteck–Tiefpass   (englisch:  ''Rectangular low–pass''),
*Dreieck–Tiefpass  (englisch:  ''Triangular low–pass''),
*Trapez–Tiefpass  (englisch:  ''Trapezoidal low–pass''),
*Cosinus–Rolloff–Tiefpass  (englisch:  ''Cosine-rolloff low–pass''),
*Cosinus-Quadrat-Tiefpass  (englisch:  ''Cosine-rolloff -squared Low–pass'').

Es ist zu beachten:
* Die Funktionen  $H(f)$  bzw.  $h(t)$  werden für bis zu zwei Parametersätzen in jeweils einem Diagramm dargestellt.
* Die roten Kurven und Zahlenangaben gelten für den linken Parametersatz, die blauen für den rechten Parametersatz.
* Die Abszissen  $t$  (Zeit) und  $f$  (Frequenz) sowie die Ordinaten  $H(f)$  und  $h(t)$  sind jeweils normiert.

==Theoretischer Hintergrund==
<br>
===Betrachtetes Systemmodell===

Wir betrachten ein lineares zeitinvariantes System mit der Impulsantwort  $h(t)$, an dessen Eingang das Signal  $x(t)$  anliegt.  Das Ausgangssignal  $y(t)$  ergibt sich dann als das Faltungsprodukt  $x(t) ∗ h(t)$.

Bei akausalen Systemen und Signalen muss zur Spektralbeschreibung stets das  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|erste Fourierintegral]]  angewendet werden, und es gilt für das Ausgangsspektrum:
[[Datei:P_ID1757__LZI_T_3_2_S1_neu.png |right|frame| Allgemeines (auch akausales) sowie kausales Systemmodell|class=fit]]

:$$Y(f) = X(f) \cdot H(f) \hspace{0.05cm}.$$
Das Fourierintegral besitzt auch für kausale Systeme und Signale weiterhin Gültigkeit, also für
:$$x(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm} t<0\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} h(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm} t<0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} y(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm} t<0 \hspace{0.05cm}.$$

In diesem Fall ergeben sich aber durch Anwendung der Laplace–Transformation unter Beachtung gewisser Restriktionen wesentliche Vorteile:
*Die so behandelten Systeme sind stets durch eine Schaltung realisierbar.  Der Entwickler kommt nicht in Versuchung, realitätsfremde Lösungen anzubieten.
*Die Laplace–Transformierte  $X_{\rm L}(p)$  ist stets eine reelle Funktion der Spektralvariablen  $p$.  Dass sich  $p = {\rm j} · 2πf$  aus der Multiplikation der physikalischen Kreisfrequenz  $ω = 2πf$  mit der imaginären Einheit  $\rm j$  ergibt, spielt für den Anwender keine Rolle.
*Die implizite Bedingung  $x(t) = 0$  für  $t < 0$  erlaubt speziell die einfachere Analyse des Einschwingverhaltens nach Einschaltvorgängen als mit dem Fourierintegral.
<br>

===Definition der Laplace–Transformation===

Ausgehend vom  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|ersten Fourierintegral]],
:$$X(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} { x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f t}}\hspace{0.1cm}{\rm d}t,$$
ergibt sich bei kausaler Zeitfunktion   ⇒   $x(t) = 0 \ \ \text{für} \ \ t < 0$ 
mit der formalen Substitution  $p = {\rm j} · 2πf$  direkt die Laplace–Transformation:

:$$X_{\rm L}(p) = \int_{0}^{\infty} { x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-p t} }\hspace{0.1cm}{\rm d}t\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}{\rm kurz}\hspace{0.3cm} X_{\rm L}(p) \quad \bullet\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}\rm L}\!\!\!-\!\!\circ\quad x(t)\hspace{0.05cm}.$$

*Der Zusammenhang zwischen der Laplace–Transformierten  $X_{\rm L}(p)$  und dem physikalischen Spektrum  $X(f)$  ist häufig wie folgt gegeben:

:$$X(f) = X_{\rm L}(p) \Bigg |_{{\hspace{0.1cm} p\hspace{0.05cm}={\rm \hspace{0.05cm} j\hspace{0.05cm}2\pi \it f}}}.$$

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 1:}$ 
Wir gehen von der einseitig exponentiell abfallenden Zeitfunktion  $x(t) ={\rm e}^{-t/T}$  für  $t > 0$  gemäß der Skizze  $\rm F$  in der unteren Tabelle aus.  Damit lautet die Laplace–Transformierte:
:$$X_{\rm L}(p) = \int_{0}^{\infty} {\rm e}^{-t/T} \cdot {\rm e}^{-pt} \hspace{0.1cm}{\rm d}t= \frac {1}{p + 1/T} \cdot {{\rm e}^{-(p+1/T) \hspace{0.08cm}\cdot \hspace{0.08cm}t}}\hspace{0.15cm}\Bigg \vert_{t \hspace{0.05cm}=\hspace{0.05cm} 0}^{\infty}= \frac {1}{p + 1/T} \hspace{0.05cm} .$$
Mit  $p = {\rm j} · 2πf$  erhält man die herkömmliche Spektralfunktion bezüglich $f$:
:$$X(f) = \frac {1}{{\rm j \cdot 2\pi \it f} + 1/T} = \frac {T}{1+{\rm j \cdot 2\pi \it fT}} \hspace{0.05cm} .$$
Betrachtet man dagegen den Frequenzgang eines Tiefpasses erster Ordnung, dessen Impulsantwort  $h(t)$  sich gegenüber der obigen Zeitfunktion  $x(t)$  um den Faktor  $1/T$  unterscheidet, so gilt für die Laplace–Transformierte bzw. die Fourier–Transformierte:
:$$H_{\rm L}(p)= \frac {1/T}{p + 1/T}= \frac {1}{1 + p \cdot T} \hspace{0.05cm} , \hspace{0.8cm}H(f) = \frac {1}{1+{\rm j \cdot 2\pi \it fT} } = \frac {1}{1+{\rm j} \cdot f/f_{\rm G} } \hspace{0.05cm} .$$
Häufig verwendet man dann wie in dieser Gleichung anstelle des Parameters  $T$  die 3dB–Grenzfrequenz  $f_{\rm 3\hspace{0.15cm} dB} = 1/(2πT)$.}}
<br>
===Einige wichtige Laplace–Korrespondenzen===

[[Datei:P_ID1758__LZI_T_3_2_S3.png |right|frame| Tabelle mit einigen Laplace-Transformierten|class=fit]]

Hier sind einige wichtige Laplace–Korrespondenzen zusammengestellt.  Alle Zeitsignale  $x(t)$  seien dimensionslos.  Deshalb besitzt  $X_{\rm L}(p)$  dann als Integral über die Zeit stets die Einheit „Sekunde”.

*Die Laplace–Transformierte der  [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Diracimpuls|Diracfunktion]]  $δ(t)$  ist  $X_{\rm L}(p) = 1$  $($Diagramm $\rm A)$. 
*Durch Anwendung des  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Integrationssatz|Integrationssatzes]]  erhält man  $X_{\rm L}(p) = 1/p$  für die Sprungfunktion  $γ(t)$  $($Diagramm $\rm B)$.
* Aus dieser wird durch Multiplikation mit  $1/(pT)$  die Laplace–Transformierte der linear ansteigenden Funktion  $x(t) = t/T$  für  $t > 0$  $($Diagramm $\rm C)$.

*Das  [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Rechteckimpuls|Rechteck]]  kann aus der Subtraktion zweier um  $T$  versetzter Sprungfunktionen  $γ(t)$  und  $γ(t – T)$  erzeugt werden. Mit dem  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatz]]:  $X_{\rm L}(p) = (1 – {\rm e}^{–pT})/p$  ergibt  $($Diagramm $\rm D)$.
*Durch Integration erhält man die Rampe bzw. nach Multiplikation mit  $1/(pT)$  deren Laplace–Transformierte  $($Diagramm $\rm E)$.

*Die Exponentialfunktion  $($Diagramm $\rm F)$ wurde bereits im  $\text{Beispiel 1}$  betrachtet.  Mit dem Faktor  $1/T$  ist diese gleichzeitig die Impulsantwort eines Tiefpasses erster Ordnung.
*Durch Quadrierung erhält man die  $p$–Spektralfunktion eines Tiefpasses  $2.$ Ordnung und  $x(t) = t/T · {\rm e}^{–t/T}$ (Diagramm  $\rm G$).

*Neben der kausalen  $\rm si$–Funktion  $($Diagramm $\rm H)$  sind in der Tabelle auch die Laplace–Transformierten der kausalen Cosinus– und Sinusfunktion  $($Diagramme  $\rm I$  und  $\rm J)$  angegeben, die sich zu  $p/(p^2 + ω_0^2)$  bzw.  $ω_0/(p^2 + ω_0^2)$  ergeben. Hierbei bezeichnet  $ω_0 = 2πf_0 = 2π/T$  die so genannte Kreisfrequenz.
<br>

===Pol–Nullstellen–Darstellung von Schaltungen===

Ein jedes  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme|lineare zeitinvariante System]]  (LZI), das durch eine Schaltung aus diskreten zeitkonstanten Bauelementen wie Widerständen  $(R)$,  Kapazitäten  $(C)$,  Induktivitäten  $(L)$  und Verstärkerelementen realisiert werden kann, besitzt eine gebrochen–rationale  '''$p$–Übertragungsfunktion''':
:$$H_{\rm L}(p)= \frac {A_Z \cdot p^Z +\text{...} + A_2 \cdot p^2 + A_1 \cdot p + A_0} {B_N \cdot p^N +\text{...} \ + B_2 \cdot p^2 + B_1 \cdot p + B_0}= \frac {Z(p)}{N(p)} \hspace{0.05cm} .$$

Alle Koeffizienten des Zählers   ⇒   $A_Z, \text{...} \ , A_0$  und des Nenners   ⇒   $B_N, \text{...} , B_0$  sind reell. Weiter bezeichnen mit
*$Z$  den Grad des Zählerpolynoms  $Z(p)$,
*$N$  den Grad des Nennerpolynoms  $N(p)$.

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Äquivalente Pol–Nullstellen–Darstellung:}$  
Für die  $p$–Übertragungsfunktion kann auch geschieben werden:
:$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {\prod\limits_{i=1}^Z p - p_{\rm o i} } {\prod\limits_{i=1}^N p - p_{\rm x i} }= K \cdot \frac {(p - p_{\rm o 1})(p - p_{\rm o 2})\cdot \text{...} \ \cdot (p - p_{ {\rm o} \hspace{-0.03cm} Z})} {(p - p_{\rm x 1})(p - p_{\rm x 2})\cdot \text{...} \cdot (p - p_{ {\rm x} \hspace{-0.03cm} N})} \hspace{0.05cm} .$$

Die  $Z + N + 1$  Parameter bedeuten:
*$K = A_Z/B_N$  ist ein konstanter Faktor.   Gilt  $Z = N$, so ist dieser dimensionslos.
*Die Lösungen der Gleichung  $Z(p) = 0$  ergeben die  $Z$  Nullstellen  $p_{\rm o1},\text{...} \ , p_{\rm oZ}$  von  $H_{\rm L}(p)$.
*Die Nullstellen des Nennerpolynoms  $N(p)$  liefern die  $N$  Polstellen (oder kurz Pole). }}

Die Umformung ist eindeutig.  Dies erkennt man daran, dass die  $p$–Übertragungsfunktion gemäß der ersten Gleichung ebenfalls nur durch  $Z + N + 1$  freie Parameter bestimmt ist, da einer der Koeffizienten  $A_Z, \text{...} \ , A_0, B_N, \text{...} \ , B_0$  ohne Änderung des Quotienten auf  $1$  normiert werden kann.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 2:}$ 
Wir betrachten den gezeichneten Vierpol mit einer Induktivität  $L$  $($komplexer Widerstand  $pL)$  im Längszweig sowie im Querzweig die Serienschaltung eines Ohmschen Widerstandes  $R$  und einer Kapazität  $C$  mit dem komplexen Widerstand  $1/(pC)$.

[[Datei:P_ID1759__LZI_T_3_2_S4_neu.png|right|frame|Betrachteter Vierpol und dazugehöriges Pol–Nullstellen–Diagramm|class=fit]]

Damit lautet die  $p$–Übertragungsfunktion  $H_{\rm L}(p)= {Y_{\rm L}(p)}/ {X_{\rm L}(p)}$:
:$$H_{\rm L}(p)= \frac {R + {1}/{(pC)} } {pL + R +{1}/{(pC)} }= \frac {1 + p \cdot{RC} } {1 + p \cdot{RC}+ p^2 \cdot{LC} }
\hspace{0.05cm} .$$
Dividiert man Zähler und Nenner durch  $LC$, so ergibt sich:
:$$H_{\rm L}(p)= \frac {R} {L}\cdot \frac {p + {1}/{(RC)} } {p^2 + {R}/ {L}\cdot p + {1}/{(LC)} }$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {p - p_{\rm o } } {(p - p_{\rm x 1})(p - p_{\rm x 2})}
\hspace{0.05cm} .$$

Für  $R = 50 \ \rm Ω$,  $L = 25\ \rm µ H$  und  $C = 62.5 \ \rm nF$  ergeben sich durch Koeffizientenvergleich folgende Werte der  $H_{\rm L}(p)$–Darstellung::
*die Konstante  $K = R/L = 2 · 10^6 \cdot 1/{\rm s}$,
*die Nullstelle  $p_{\rm o} = -1/(RC) = -0.32 · 10^6 \cdot 1/{\rm s},$
*die beiden Pole  $p_{\rm x1}$  und  $p_{\rm x2}$  als Lösung der Gleichung
:$$p^2 + \frac {R} {L}\cdot p + \frac{1}{LC} = 0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm x 1,\hspace{0.05cm}2 }= -\frac {R} {2L}\pm \sqrt{\frac
{R^2} {4L^2}- \frac{1}{LC} }$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm x 1,\hspace{0.05cm}2 }= -10^6 \cdot {1}/{\rm s} \pm \sqrt{10^{12} \cdot {1} /{\rm s^2}-0.64 \cdot 10^{12} \cdot {1}/ {\rm s^2} }\hspace{0.3cm}
\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm x 1 }= -0.4 \cdot 10^6\cdot {1}/ {\rm s},\hspace{0.2cm}p_{\rm x 2 }= -1.6 \cdot 10^6\cdot {1}/ {\rm s} \hspace{0.05cm} .$$
In der Grafik ist rechts das Pol–Nullstellen–Diagramm angegeben.
*Die beiden Achsen bezeichnen den Real– und den Imaginärteil der Variablen  $p$, jeweils normiert auf den Wert  $10^6 · \rm 1/s\; (= 1/µs)$.
*Man erkennt die Nullstelle bei  $p_{\rm o} =\, –0.32$  als Kreis und die Polstellen bei  $p_{\rm x1} = \,–0.4$  und  $p_{\rm x2} = \,–1.6$  als Kreuze.}}
<br>

===Eigenschaften der Pole und Nullstellen===

Die Übertragungsfunktion  $H_{\rm L}(p)$  einer jeden realisierbaren Schaltung wird durch  $Z$  Nullstellen und  $N$  Pole zusammen mit einer Konstanten  $K$  vollständig beschrieben, wobei folgende Einschränkungen gelten:
*Es gilt stets  $Z ≤ N$.  Mit  $Z > N$  wäre im Grenzfall für  $p → ∞$  (also für sehr hohe Frequenzen) auch die  $p$–Übertragungsfunktion &bdquo;unendlich groß”.
*Die Nullstellen  $p_{{\rm o}i}$  und die Pole  $p_{ {\rm x}i}$  sind im allgemeinen komplex und weisen wie  $p$  die Einheit  $\rm 1/s$  auf. Gilt  $Z < N$, so besitzt auch die Konstante  $K$  eine Einheit.
*Die Pole und Nullstellen können reell sein, wie im letzten Beispiel gezeigt.  Sind sie komplex, so treten immer zwei konjugiert–komplexe Polstellen bzw. zwei konjugiert–komplexe Nullstellen auf, da  $H_{\rm L}(p)$  stets eine reelle gebrochen–rationale Funktion darstellt.
*Alle Pole liegen in der linken Halbebene oder auf der imaginären Achse (Grenzfall). Diese Eigenschaft ergibt sich aus der erforderlichen und vorausgesetzten Kausalität zusammen mit dem  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Einige_Ergebnisse_der_Funktionentheorie|Hauptsatz der Funktionstheorie]].
*Nullstellen können sowohl in der linken als auch in der rechten  $p$–Halbebene auftreten oder auch auf der imaginären Achse.  Nullstellen in der rechten Halbebene gibt es insbesondere bei Allpässen.

Diese Eigenschaften werden nun an drei Beispielen verdeutlicht.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 3:}$ 
Ausgehend von obiger Vierpolschaltung]]  $(L$  im Längszweig,  $R$  und  $C$  im Querzweig$)$  können die charakteristischen Größen der Übertragungsfunktion wie folgt angegeben werden:
:$$K = 2A, \hspace{0.2cm}p_{\rm x 1,\hspace{0.05cm}2 }= -A \pm \sqrt{A^2-B^2}, \hspace{0.2cm}p_{\rm o }= - \frac{B^2}{2A} \hspace{0.05cm} \hspace{0.2cm} {\rm mit } \hspace{0.2cm} A = \frac {R} {2L}, \hspace{0.2cm}B = \frac{1}{\sqrt{LC} } \hspace{0.05cm}.$$
Die Grafik zeigt drei verschiedene Diagramme mit unterschiedlichen Kapazitätswerten  $C$.  Es gilt stets  $R = 50 \ \rm Ω$  und  $L = 25 \ \rm µ H$.  Die Achsen sind auf die Variable  $A = R/(2L) = 10^6 · \rm 1/s$  normiert.  Der konstante Faktor ist jeweils  $K = 2A = 2 · 10^6 · \rm 1/s.$

[[Datei:P_ID2837__LZI_T_3_2_S5_neu.png|right|frame|Lage der Nullstelle und der Pole für  $Z = 1$  und  $N = 2$|class=fit]]

*'''Links:'''  Für  $B/A < 1$  $($hier $B/A =0.8)$  erhält man  '''zwei reelle Pole'''  und eine Nullstelle rechts von  $-A/2$:
:$$ p_{\rm x 1}/A = -0.4 , \hspace{0.2cm}p_{\rm x 2}/A= -1.6 , \hspace{0.2cm}p_{\rm o}/A= -0.32 \hspace{0.05cm} .$$
*'''Rechts''':  Für  $B/A >1$  $($hier $B/A =\sqrt{5})$  ergeben sich  '''zwei konjugiert–komplexe Pole'''  und eine Nullstelle links von  $-A/2$:
:$$p_{\rm x 1,\hspace{0.05cm}2 }/A= -1\pm {\rm j}\cdot 2,\hspace{0.2cm}p_{\rm o}/A\approx -2.5 \hspace{0.05cm} .$$
*'''Mitte''':  Der Fall  $A = B$  führt zu  '''einer reellen doppelten Polstelle'''  und einer Nullstelle bei  $– A/2$: 
:$$ p_{\rm x 1}/A= p_{\rm x 2}/A= -1, \hspace{0.2cm}p_{\rm o}/A= -0.5 \hspace{0.05cm} .$$

Die Impulsantworten  $h(t)$  ergeben sich entsprechend dem folgenden Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation|Laplace–Rücktransformation]]  wie folgt:
*Bei der linken Konstellation ist  $h(t)$  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Aperiodisch_abklingende_Impulsantwort|aperiodisch abklingend]].
*Bei der rechten Konstellation ist  $h(t)$  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Ged.C3.A4mpft_oszillierende_Impulsantwort|gedämpft oszillierend]].
*Bei der mittleren Konstellation spricht man vom  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Aperiodischer_Grenzfall|aperiodischen Grenzfall]]. }}
<br>

===Grafische Ermittlung von Dämpfung und Phase===

Gegeben sei die  $p$–Übertragungsfunktion in der Pol–Nullstellen–Notation:
:$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {\prod\limits_{i=1}^Z (p - p_{\rm o i})} {\prod\limits_{i=1}^N (p - p_{\rm x i})}= K \cdot \frac {(p - p_{\rm o 1})(p - p_{\rm o 2})\cdot \text{...} \cdot (p - p_{ {\rm o} \hspace{-0.03cm} Z})} {(p - p_{\rm x 1})(p - p_{\rm x 2})\cdot \text{...} \cdot (p - p_{ {\rm x} \hspace{-0.03cm} N})}
\hspace{0.05cm} .$$
Zum herkömmlichen Frequenzgang  $H(f)$  kommt man, indem man das Argument  $p$  von  $H_{\rm L}(p)$  durch  ${\rm j} \cdot 2πf$  ersetzt:
[[Datei:P_ID1761__LZI_T_3_2_S6_neu.png |right|frame|Ausgangsdiagramm zur Berechnung <br>von Dämpfung und Phase|class=fit]]
:$$H(f)= K \cdot \frac {({\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{\rm o 1})({\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{\rm o 2})\cdot \text{...} \cdot ({\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{ {\rm o} \hspace{-0.03cm} Z})} {({\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{\rm x 1})({\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{\rm x 2})\cdot \text{...}\cdot ({\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{ {\rm x} \hspace{-0.03cm} N})} \hspace{0.05cm} .$$
Wir betrachten nun einen speziellen $p$–Wert und damit eine feste Frequenz $f$.  Die Abstände und Winkel aller Nullstellen beschreiben wir durch Vektoren:

:$$R_{ {\rm o} i} = {\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{ {\rm o} i}= |R_{{\rm o} i}| \cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j}\hspace{0.03cm}\cdot\hspace{0.03cm}\phi_{ {\rm o} i} },
\hspace{0.3cm}i= 1, \text{...}\ , Z \hspace{0.05cm} .$$
In gleicher Weise gehen wir für die Polstellen vor:
:$$R_{ {\rm x} i} = {\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{ {\rm x} i}= |R_{ {\rm x} i}| \cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j}\hspace{0.03cm}\cdot\hspace{0.03cm}\phi_{ {\rm x} i} }, \hspace{0.3cm}i= 1, \text{...}\ , N \hspace{0.05cm} .$$

Die Grafik zeigt die Beträge und Phasenwinkel für ein System
*mit  $Z = 2$  Nullstellen in der rechten Halbebene
*und  $N = 2$  Polstellen in der linken Halbebene.

Zu berücksichtigen ist zudem die Konstante $K$.

Mit dieser Vektordarstellung kann für den Frequenzgang geschrieben werden:
:$$H(f)= K \cdot \frac {|R_{ {\rm o} 1}| \cdot |R_{ {\rm o} 2}|\cdot ... \cdot |R_{ {\rm o} \hspace{-0.03cm} Z}|} {|R_{ {\rm x} 1}| \cdot |R_{ {\rm x} 2}|\cdot \text{...} \cdot |R_{ {\rm x} \hspace{-0.03cm} N}|} \cdot {\rm e^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot [ \phi_{ {\rm o} 1}\hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}\phi_{ {\rm o} 2} \hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}\hspace{0.1cm}\text{...}. \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm}\phi_{ {\rm o} \hspace{-0.03cm}{\it Z}}\hspace{0.1cm}- \hspace{0.1cm}\phi_{ {\rm x} 1}\hspace{0.1cm}- \hspace{0.1cm}\phi_{ {\rm x} 2} \hspace{0.1cm}- \hspace{0.1cm}... \hspace{0.1cm}
- \hspace{0.1cm} \phi_{ {\rm x} \hspace{-0.03cm}{\it N} }]} } \hspace{0.05cm} .$$

Stellt man  $H(f)$  durch die Dämpfungsfunktion  $a(f)$  und die Phasenfunktion  $b(f)$  nach der allgemein gültigen Beziehung  $H(f) = {\rm e}^{-a(f)\hspace{0.05cm}- \hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}b(f)}$  dar, so erhält man durch den Vergleich mit der obigen Gleichung das folgende Ergebnis:
*Bei geeigneter Normierung aller dimensionsbehafteten Größen gilt für die Dämpfung in Neper  $(1 \ \rm Np$ entspricht $8.686 \ \rm dB)$:
:$$a(f) = -{\rm ln} \hspace{0.1cm} K + \sum \limits_{i=1}^N {\rm ln} \hspace{0.1cm} |R_{ {\rm x} i}|- \sum \limits_{i=1}^Z {\rm ln} \hspace{0.1cm} |R_{ {\rm o} i}| \hspace{0.05cm} .$$
*Die Phasenfunktion in Radian $\rm (rad)$ ergibt sich entsprechend der oberen Skizze zu
:$$b(f) = \phi_K + \sum \limits_{i=1}^N \phi_{ {\rm x} i}- \sum \limits_{i=1}^Z \phi_{ {\rm o} i}\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.2cm} \phi_K = \left\{ \begin{array}{c} 0 \\ \pi \end{array} \right. \begin{array}{c} {\rm{f\ddot{u}r} } \\ {\rm{f\ddot{u}r} } \end{array}\begin{array}{*{20}c} { K > 0\hspace{0.05cm},} \\ { K <0\hspace{0.05cm}.} \end{array}$$

[[Datei:P_ID1762__LZI_T_3_2_S6b_neu.png |right|frame| Zur Berechnung der Dämpfungs– und Phasenfunktion <br>(Bildschirmabzug einer früheren Version von &bdquo;Kausale Systeme & Laplace–Transformation”)|class=fit]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 4:}$ 
Die Grafik verdeutlicht die Berechnung
*der Dämpfungsfunktion  $a(f)$   ⇒   roter Kurvenverlauf,  und
*der Phasenfunktion  $b(f)$   ⇒   grüner Kurvenverlauf

eines Vierpols, der durch den Faktor  $K = 1.5$, eine Nullstelle bei  $-3$  und zwei Pole bei  $–1 \pm {\rm j} · 4$  festliegt.

Wie im Applet verwenden wir auch in diesem Beispiel die normierte Frequenz $f\hspace{0.05cm}'=(2\pi T)\cdot f$.  Der Zeitnormierungswert sei  $T=1$.

Die angegebenen Zahlenwerte gelten für die Frequenz $f\hspace{0.05cm}' = 3$.  Die Herleitung dieser Zahlenwerte ist im umrahmten Block verdeutlicht:
:$$a \big (f\hspace{0.05cm}' = {3} \big ) = a \big [f = {3}/({2\pi T}) \big ] = 0.453\,\,{\rm Np}= 3.953\,\,{\rm dB}$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.4cm}\big \vert H \big (f\hspace{0.05cm}' = {3} \big )\big \vert = 0.636,$$
:$$ b\big (f\hspace{0.05cm}' = {3} \big ) = -8.1^\circ \hspace{0.05cm} .$$

Für den Betragsfrequenzgang   $\vert H(f)\vert$   ⇒   blauer Kurvenverlauf ergibt sich ein bandpassähnlicher Verlauf mit
:$$\vert H(f = 0)\vert \approx 0.25\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}
\vert H(f = {4}/(2\pi T)\vert \approx 0.637\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}
\vert H(f \rightarrow \infty)\vert= 0 \hspace{0.05cm} .$$}}
<br>

===Laplace–Rücktransformation und Residuensatz===

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Aufgabenstellung:}$  Dieses Kapitel behandelt das folgende Problem:
*Bekannt ist die  $p$–Spektralfunktion  $Y_{\rm L}(p)$  in der Pol–Nullstellen–Form.
*Gesucht ist die  '''Laplace–Rücktransformierte''', also die dazugehörige Zeitfunktion  $y(t)$, wobei folgende Notation gelten soll:
:$$y(t) = {\rm L}^{-1}\{Y_{\rm L}(p)\}\hspace{0.05cm} , \hspace{0.3cm}{\rm kurz}\hspace{0.3cm}
y(t) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}\rm L}\!\!\!-\!\!\bullet\quad Y_{\rm L}(p)\hspace{0.05cm} .$$}}

Im Gegensatz zu den  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|Fourierintegralen]], die sich in den beiden Transformationsrichtungen nur geringfügig unterscheiden, ist bei &bdquo;Laplace” die Berechnung von  $y(t)$  aus  $Y_{\rm L}(p)$ – also die Rücktransformation –
*sehr viel schwieriger als die Berechnung von  $Y_{\rm L}(p)$  aus  $y(t)$,
*auf elementarem Weg nicht oder nur sehr umständlich lösbar.

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definition:}$ 
Allgemein gilt für die  '''Laplace–Rücktransformation''':
:$$y(t) = {\rm L}^{-1}\{Y_{\rm L}(p)\}= \lim_{\beta \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}\infty} \hspace{0.15cm} \frac{1}{ {\rm j} \cdot 2 \pi}\cdot \int_{ \alpha - {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi \beta } ^{\alpha+{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi \beta} Y_{\rm L}(p) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}\hspace{0.1cm}{\rm
d}p \hspace{0.05cm} .$$
*Die Integration erfolgt parallel zur imaginären Achse.
*Der Realteil  $α$  ist so zu wählen, dass alle Pole links vom Integrationsweg liegen.}}

Die linke Grafik verdeutlicht dieses Linienintegral entlang der rot gepunkteten Vertikalen  ${\rm Re}\{p\}= α$.  Lösbar ist dieses Integral mit dem  [https://de.wikipedia.org/wiki/Lemma_von_Jordan Jordanschen Lemma der Funktionstheorie].  Hier folgt nur eine sehr kurze und einfache Zusammenfassung der Vorgehensweise:

[[Datei:P_ID1777__LZI_T_3_3_S2_neu.png |right|frame| Linienintegral sowie linkes und rechtes Kreisintegral]]
*Das Linienintegral kann gemäß der Skizze in zwei Kreisintegrale aufgeteilt werden.  Alle Polstellen liegen im linken Kreisintegral.  Das rechte Kreisintegral darf nur Nullstellen beinhalten.
*Das rechte Kreisintegral liefert die Zeitfunktion  $y(t)$  für negative Zeiten.  Aufgrund der Kausalität muss  $y(t < 0)$  identisch Null sein, was aber nach dem Hauptsatz der Funktionstheorie nur dann zutrifft, wenn es in der rechten  $p$–Halbebene keine Pole gibt.
*Das Integral über den linken Halbkreis liefert die Zeitfunktion für  $t ≥ 0$.  Dieses umschließt alle Polstellen und ist mit dem Residuensatz in (relativ) einfacher Weise berechenbar, wie im Folgenden gezeigt wird.

Es wird weiterhin vorausgesetzt, dass die Übertragungsfunktion  $Y_{\rm L}(p)$  in Pol–Nullstellen–Form durch den konstanten Faktor  $K$,  die  $Z$  Nullstellen  $p_{{\rm o}i}$  $(i = 1$, ... , $Z)$  und die  $N$  Polstellen  $p_{{\rm x}i}$  $(i = 1$, ... , $N$)  dargestellt werden kann. Wir setzen zudem  $Z < N$  voraus.

Die Anzahl der unterscheidbaren Pole bezeichnen wir mit  $I$.  Zur Bestimung von  $I$  werden mehrfache Pole nur einfach gezählt.  So gilt für die obige Skizze aufgrund einer doppelten Polstelle:   $N = 5$  und  $I = 4$.

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Residuensatz:}$ 
Unter den genannten Voraussetzungen ergibt sich die  '''Laplace–Rücktransformierte'''  von  $Y_{\rm L}(p)$  für Zeiten  $t ≥ 0$  als die Summe von  $I$  Eigenschwingungen der Pole, die man als die  '''Residuen'''  – abgekürzt mit „Res” – bezeichnet:
:$$y(t) = \sum_{i=1}^{I}{\rm Res} \bigg \vert _{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}_i}} \hspace{-0.7cm}\{Y_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t}\} \hspace{0.05cm} .$$

Da  $Y_{\rm L}(p)$  nur für kausale Signale angebbar ist, gilt für negative Zeiten stets  $y(t < 0) = 0$.

*Für einen Pol der Vielfachheit  $l$  gilt allgemein:
:$${\rm Res} \bigg \vert _{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x}_i} } \hspace{-0.7cm}\{Y_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p t}\}= \frac{1}{(l-1)!}\cdot \frac{ {\rm d}^{\hspace{0.05cm}l-1} }{ {\rm d}p^{\hspace{0.05cm}l-1} }\hspace{0.15cm} \left \{Y_{\rm L}(p)\cdot (p - p_{ {\rm x}_i})^{\hspace{0.05cm}l}\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t}\right\} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x}_i} } \hspace{0.05cm} .$$
*Als Sonderfall ergibt sich daraus mit  $l = 1$  für einen einfachen Pol:
:$${\rm Res} \bigg\vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x}_i} } \hspace{-0.7cm}\{Y_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p t}\}= Y_{\rm L}(p)\cdot (p - p_{ {\rm x}_i} )\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \bigg \vert _{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x}_i} } \hspace{0.05cm} .$$}}
<br>
===Drei Beispiele zur Anwendung des Residuensatzes bei zwei Polen===

Nun wird der Residuensatz anhand dreier ausführlicher Beispiele verdeutlicht, die mit den drei Konstellationen im obigen  $\text{Beispiel 3}$  im Kapitel &bdquo;Laplace–Transformation” korrespondieren:
*Wir betrachten also wieder den Vierpol mit einer Induktivität  $L = 25 \ \rm µH$  im Längszweig sowie im Querzweig die Serienschaltung aus einem Ohmschen Widerstand  $R = 50 \ \rm Ω$  und einer Kapazität  $C$.  Für Letztere betrachten wir wieder drei verschiedene Werte, nämlich  $C = 62.5 \ \rm nF$,  $C = 8 \ \rm nF$ und  $C = 40 \ \rm nF$.
*Vorausgesetzt ist zudem stets  $x(t) = δ(t) \; ⇒ \; X_{\rm L}(p) = 1$   ⇒   $Y_{\rm L}(p) = H_{\rm L}(p)$   ⇒   $y(t)$  ist gleich der Impulsantwort  $h(t)$.

[[Datei: P_ID1772__LZI_T_3_3_S3a_kurz.png |right|frame| Aperiodisch aklingende Impulsantwort]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 5: Aperiodisch abklingende Impulsantwort:}$ 

Mit  $C = 62.5 \ \rm nF$  erhält man für die   $p$–Übertragungsfunktion:
:$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {p - p_{\rm o } } {(p - p_{\rm x 1} )(p - p_{\rm x 2}) }= 2 \cdot \frac {p + 0.32 }
{(p +0.4)(p +1.6 )} \hspace{0.05cm} .$$

Beachten Sie bitte die vorgenommene Normierung von  $p$,  $K$ sowie aller Pole und Nullstellen mit dem Faktor  ${\rm 10^6} · 1/\rm s$.

Die Impulsantwort setzt sich aus  $I = N = 2$  Eigenschwingungen zusammen. Für $t < 0$  sind diese gleich Null.
*Das Residium des Pols bei  $p_{\rm x1} =\ –0.4$  liefert die Zeitfunktion:
:$$h_1(t) = {\rm Res} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x}1} } \hspace{-0.7cm}\{H_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p t}\}= H_{\rm L}(p) \cdot {\rm e}^{p t} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}1}} = $$
:$$\hspace{1.05cm}= 2 \cdot \frac {p + 0.32 } {p +0.4}\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}-0.4}= - \frac {2 } {15}\cdot {\rm e}^{-0.4 \hspace{0.05cm} t} \hspace{0.05cm}. $$

*In gleicher Weise kann das Residium des zweiten Pols bei  $p_{\rm x2} = \ –1.6$  berechnet werden:
:$$h_2(t) = {\rm Res} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x}2} } \hspace{-0.7cm}\{H_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p t}\}= H_{\rm L}(p) \cdot {\rm e}^{p t} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}2}}=$$
:$$\hspace{1.05cm}= 2 \cdot \frac {p + 0.32 } {p +1.6}\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}-1.6}=\frac {32 } {15}\cdot {\rm e}^{-1.6 \hspace{0.05cm} t} \hspace{0.05cm}.$$

Die Grafik zeigt  $h_1(t)$  und  $h_2(t)$  sowie das Summensignal  $h(t)$.  Berücksichtigt ist der Normierungsfaktor  $1/T = 10^6 · \rm 1/s$  ⇒   die Zeit ist auf  $T = 1 \ \rm µ s$  normiert.
*Für  $t =0$  ergibt sich  $T \cdot h(t=0) = 32/15-2= 2 \hspace{0.05cm}$. 
*Für Zeiten  $t > 2 \ \rm µ s$  ist die Impulsantwort negativ  (wenn auch nur geringfügig und in der Grafik nur schwer zu erkennen).}}
<br clear=all>
[[Datei:P_ID1780__LZI_T_3_3_S3b_kurz.png |right|frame| Gedämpft oszillierende Impulsantwort]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 6: Gedämpft oszillierende Impulsantwort:}$ 

Die Bauelementewerte  $R = 50 \ \rm Ω$,  $L = 25 \ \rm µ H$ und  $C = 8 \ \rm nF$ ergeben zwei konjugiert komplexe Pole bei  $p_{{\rm x}1} = \ –1 + {\rm j} · 2$  und  $p_{{\rm x}2} = \ –1 - {\rm j} · 2$.  Die Nullstelle liegt bei  $p_{\rm o} = \ –2.5$. Es gilt  $K = 2$  und alle Zahlenwerte sind wieder mit dem Faktor  $1/T$  zu multiplizieren $(T = 1\ \rm µ s$).

Wendet man den Residuensatz auf diese Konfiguration an, so erhält man:
:$$h_1(t) = \text{ ...} = K \cdot \frac {p_{\rm x 1} - p_{\rm o }} {p_{\rm x 1} - p_{\rm x 2}}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 1} \cdot \hspace{0.05cm}t} 2 \cdot \frac {1.5 + {\rm j}\cdot 2} {{\rm j}\cdot 4}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 1} \cdot\hspace{0.05cm}t}$$

:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h_1(t) = \frac {3 + {\rm j}\cdot 4} {{\rm j}\cdot 4}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 1} \cdot\hspace{0.05cm}t}= (1 - {\rm j}\cdot 0.75)\cdot {\rm
e}^{-t}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2t} \hspace{0.05cm} ,$$
:$$ h_2(t) = \text{ ...} = K \cdot \frac {p_{\rm x 2} - p_{\rm o }} {p_{\rm x 2} - p_{\rm x 1}}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 2} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}= 2 \cdot \frac {1.5 - {\rm j}\cdot 2} {-{\rm j}\cdot 4}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 2} \hspace{0.03cm}\cdot\hspace{0.05cm}t} $$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h_2(t) = (1 + {\rm j}\cdot 0.75)\cdot {\rm e}^{-t}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2t} \hspace{0.05cm} . $$

Mit dem  [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Satz von Euler]]  ergibt sich somit für das Summensignal:
:$$h(t) = h_1(t) + h_2(t)= {\rm e}^{-t}\cdot \big [ (1 - {\rm j}\cdot 0.75)\cdot (\cos(2t) + {\rm j}\cdot \sin(2t))+
(1 + {\rm j}\cdot 0.75)\cdot (\cos(2t) - {\rm j}\cdot \sin(2t))\big ]$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h(t) ={\rm e}^{-t}\cdot \big [ 2\cdot \cos(2t) + 1.5 \cdot \sin(2t)\big ]\hspace{0.05cm} . $$

Die Grafik zeigt die nun mit  ${\rm e}^{–t}$  gedämpft oszillierende Impulsantwort  $h(t)$  für diese Pol–Nullstellen–Konfiguration.}}
<br clear=all>

[[Datei:P_ID1774__LZI_T_3_3_S3c_kurz.png |right|frame| Impulsantwort und Sprungantwort des aperiodischen Grenzfalls]]

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 7: Aperiodischer Grenzfall:}$ 

Der Kapazitätswert  $C = 40 \ \rm nF$  ist der kleinstmögliche Wert, für den sich gerade noch reelle Polstellen ergeben.  Diese fallen zusammen, das heißt  $p_{\rm x} = \ –1$  ist eine doppelte Polstelle. 
:$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {p - p_{\rm o } } {(p - p_{\rm x })^2}= 2 \cdot \frac {p + 0.5 } { (p +1)^2} \hspace{0.05cm} .$$

Die Zeitfunktion lautet somit entsprechend dem Residuensatz mit  $l = 2$:
:$$h(t) = {\rm Res} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x} } } \hspace{-0.7cm}\{H_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p t}\} $$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} h(t) = \frac{ {\rm d} }{ {\rm d}p}\hspace{0.15cm}
\left \{H_{\rm L}(p)\cdot (p - p_{ {\rm x} })^2\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t}\right\} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x} } }$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} h(t) = K \cdot \frac{ {\rm d} }{ {\rm d}p}\hspace{0.15cm}\left \{ (p - p_{ {\rm o} })\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t}\right\} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x} } } \hspace{0.05cm} .$$

Mit der ''Produktregel''  der Differentialrechnung ergibt sich daraus:
:$$h(t) = K \cdot \left [ {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} + (p - p_{ {\rm o} })\cdot t \cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \right ] \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}-1} = {\rm e}^{-t}\cdot \left ( 2 - t \right)
\hspace{0.05cm} .$$

Die Grafik zeigt diese Impulsantwort (grüne Kurve) in normierter Darstellung.  Sie unterscheidet sich von derjenigen in  $\text{Beispiel 5}$  mit den beiden unterschiedlichen Polen bei  $-0.4$  und  $-1.6$  nur geringfügig.

Die rot gezeichnete Sprungantwort  $\sigma(t) = 1 - {\rm e}^{-t} + t \cdot {\rm e}^{-t}$  ergibt sich, wenn man am Eingang zusätzlich eine Sprungfunktion berücksichtigt.  Zu deren Berechnung kann man alternativ

*bei der Residuenberechnung einen zusätzlichen Pol bei  $p = 0$   (rot markiert) berücksichtigen,
*oder das Integral über die Impulsantwort  $h(t)$  bilden.}}
<br clear=all>
===Partialbruchzerlegung===

Voraussetzung für die Anwendung des Residuensatzes ist, dass es weniger Nullstellen als Pole gibt   ⇒   $Z$  muss stets kleiner als  $N$  sein.

Gilt dagegen wie bei einem Hochpass  $Z = N$, so
*ist der Grenzwert der Spektralfunktion für großes  $p$  ungleich Null,
*beinhaltet das zugehörige Zeitsignal  $y(t)$  auch einen  [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Diracimpuls|Diracimpuls]],
*versagt der Residuensatz und es ist eine ''Partialbruchzerlegung''  vorzunehmen.

{{BlaueBox|TEXT=
Man geht hierbei wie folgt vor:
# Partialbruchzerlegung:  $Y(p) = K + Q(p)$,
# Diskreter Anteil der Zeitfunktion:  $y_{\rm disk}(t)=K \cdot \delta(y)$   ⇒   Dirac bei  $y=0$  mit Gewicht  $K$,
# Kontinuierlicher Anteil der Zeitfunktion:  $y_{\rm kont}(t)$  gemäß  $Q(p)= K - Y(p)$.}}

Die Vorgehensweise soll beispielhaft für einen Hochpass erster Ordnung verdeutlicht werden.  Anstelle von  $Y(p)$  und  $y(t)$  verwenden wir deshalb  $H(p)$  und  $h(t)$.

[[Datei:P_ID1775__LZI_T_3_3_S5_neu.png |right|frame| Impulsantwort von Tiefpass (blau) und Hochpass (rot)]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 8:}$ 
Die  $p$–Übertragungsfunktion eines Hochpasses erster Ordnung mit  $p_{\rm x}=-1$  und  $K=H(p \to \infty) = 1$  kann durch Abspaltung der Konstanten  $K$  wie folgt umgewandelt werden:
:$$H_{\rm HP}(f) = \frac{p}{p + 1} = 1- \frac{1}{p +1}\hspace{0.05cm} .$$
Damit lautet die Hochpass–Impulsantwort:
:$$h_{\rm HP}(t) = \delta(t) - h_{\rm TP}(t) \hspace{0.05cm} .$$

Die Grafik zeigt
*als rote Kurve die Hochpass–Impulsantwort  $h_{\rm HP}(t)$,
* als blaue Kurve die Impulsantwort  $h_{\rm TP}(t)$  des äquivalenten Tiefpasses.

Die Diracfunktion ist die Laplace–Transformierte des konstanten Wertes $1$. <br>Der kontinuierliche Anteil  $h_{\rm kont}(t)=-h_{\rm TP}(t)$  ergibt sich mit  $Q(p) = 1/(p+1)$  nach dem Residuensatz.

Noch ein zweites numerisches Beispiel, hier mit  $K=2$:

:$$H_{\rm HP}(f) = \frac{2\cdot (p+1)(p-1)}{(p + 2)^2}\ \Rightarrow \ Q(p) = 2- \frac{2\cdot (p+1)(p-1)}{(p + 2)^2}= \frac{2\cdot (p + 2)^2 - 2\cdot (p^2-1)}{(p + 2)^2} = \frac{8\cdot (p + 1.25)}{(p + 2)^2}.$$
}}

==Versuchsdurchführung==
<br>
*Wählen Sie zunächst die Nummer  $(1,\ 2$, ... $)$  der zu bearbeitenden Aufgabe.  Die Nummer  $0$  entspricht einem &bdquo;Reset”:  Einstellung wie beim Programmstart.
*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt.  Die Parameterwerte sind angepasst.  Lösung nach Drücken von &bdquo;Musterlösung”.
*Analysieren Sie bei allen Aufgaben die dargestellen Grafiken im Frequenzbereich  ⇒   &bdquo;$(f)$”  und/oder Zeitbereich  ⇒   &bdquo;$(t)$”.
*Für die normierte Zeit gilt  $t\hspace{0.05cm}'=t/T$  und für die normierte Frequenz  $f\hspace{0.05cm}'=(2\pi T)\cdot f$.  Die Ordinaten im Frequenzbereich sind  $Y(f\hspace{0.05cm}')$  und im Zeitbereich  $y(t\hspace{0.05cm}')$. 
*Ein diracförmiges Eingangssignal   ⇒   $X_{\rm L}(p) =1$  beschreibt ein LZI–System mit der Impulsantwort  $h(t\hspace{0.05cm}')$  und dem Frequenzgang   $H(f\hspace{0.05cm}')$.
*Eine Sprungfunktion am Eingang   ⇒   $X_{\rm L}(p) =1/p$  wird am Ausgang durch die Sprungantwort  $\sigma(t\hspace{0.05cm}')$  und deren Spektralfunktion  ${\it \Sigma}(f\hspace{0.05cm}')$  charakterisiert.
<br>

{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''   Interpretieren Sie die Grafiken  &bdquo;$(f)$”  und  &bdquo;$(t)$”  gemäß  $\text{Satz 1:}\ K = 1, \ Z = 0,\ N= 1,\ p_{\rm x1} = -1$.  Was ändert sich nach Variation von  $p_{\rm x1}$? }}

* &bdquo;$(t)$”  zeigt die Exponentialfunktion  $y(t\hspace{0.05cm}')$:  Maximum  $y(t\hspace{0.05cm}' = 0) = 1$,  Abfallzeitkonstante  $T\hspace{0.05cm}' =1$.  &bdquo;$(f)$”  beschreibt das zugehörige komplexe Spektrum  $Y(f\hspace{0.05cm}')$.
*Mit  $p_{\rm x1} = -2$:  Steilerer  Abfall  $(T\hspace{0.05cm}' =0.5)$,  gleicher Maximalwert.  $|Y(f\hspace{0.05cm}')|$ ist nun halb so hoch und doppelt so breit:  $|Y(f\hspace{0.05cm}'=0)|=0.5$,  $|Y(f\hspace{0.05cm}'=3.5)|\approx 0.25$.
*Nähert sich  $p_{\rm x1}\to 0$  dem Nullwert von links immer mehr an, so wird  $T\hspace{0.05cm}'$  immer größer.  Im Grenzfall  $p_{\rm x1} \to 0$  ergibt sich die Sprungfunktion:  $y(t\hspace{0.05cm}') \equiv 1$  für  $t\hspace{0.05cm}' \ge 0$.
*Mit  $p_{\rm x1}> 0$  steigt das Zeitsignal von  $y(t\hspace{0.05cm}'=0)=1$  bis ins Unendliche.  Eine solche Konstellation kann es bei einem realisierbaren System nicht geben.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''   Es gelten weiter die Einstellungen gemäß  $\text{Satz 1}$.  Interpretieren Sie aber nun die Grafiken für ein LZI–System und ermitteln Sie dessen Kenngrößen. <br>         
Betrachten Sie insbesondere den Gleichsignalübertragungsfaktor  $\vert H(f\hspace{0.05cm}'= 0)\vert$  und die 3dB–Grenzfrequenz.  Variieren Sie die Parameter  $p_{\rm x1}$  und  $K$.}}

*Entsprechend der  &bdquo;$(f)$”–Grafik handelt es sich um einen Tiefpass   ⇒   $H(f\hspace{0.05cm}') \to H_{\rm TP}(f\hspace{0.05cm}')$  und zwar mit dem Gleichsignalübertragungsfaktor   $|H_{\rm TP}(f\hspace{0.05cm}'= 0)| = 1$. 
*Die normierte 3dB–Grenzfrequenz ist diejenige Frequenz, bei der  $\vert H_{\rm TP}(f\hspace{0.05cm}')\vert$  um den Faktor $1/\sqrt{2}$  kleiner ist als das Maximum:  $f_{\rm 3\hspace{0.05cm} dB}\hspace{0.05cm}' = 1$   ⇒   $f_{\rm 3\hspace{0.05cm} dB} = 1/(2πT)$.
*Bei  $p_{\rm x1}= -2$  ist diese Größe doppelt so groß:  $f_{\rm 3\hspace{0.10cm} dB}\hspace{0.05cm}' = 2$.  Um wieder  $|H(f\hspace{0.05cm}'= 0)| = 1$  zu erreichen, ist zusätzlich  $K= 2$  anzupassen.
*Für die Herleitung der hier verwendeten Gleichungen verweisen wir auf das  $\text{Beispiel 1}$  im Theorieteil.  Man bezeichnet das Filter als '''Tiefpass erster Ordnung'''.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''   Nun gelte  $K=1$  und  $p_{\rm x1}= -2.$  Welchen Verlauf hat das Ausgangssignal  $y(t\hspace{0.05cm}')$,  wenn am Eingang eine Sprungfunktion anliegt   ⇒   $X_{\rm L}(p) =1/p$. }}

*Die  &bdquo;$(t)$”–Grafik zeigt die exponentiell abfallende Impulsantwort  $h(t\hspace{0.05cm}')$  ⇒   das Ausgangssignal  $y(t\hspace{0.05cm}')$  für eine Diracfunktion am Eingang.
*Bei anderem Eingangssignal  $x(t\hspace{0.05cm}')$  erhält man das Ausgangssignal  $y(t\hspace{0.05cm}')$  durch dessen Faltung mit  $h(t\hspace{0.05cm}')$.  Oder mit den  $p\hspace{0.05cm}$–Funktionen:  $Y_{\rm L}(p)= X_{\rm L}(p) \cdot H_{\rm L}(p)$.
*Für die Sprungfunktion gilt:  $X_{\rm L}(p)= 1/p$   ⇒   $Y_{\rm L}(p)= K/\big [(p-p_{\rm x1}) \cdot p\big ]$   ⇒   Die Einstellung  $N= 2,\ p_{\rm x1} = -1, \ p_{\rm x2} = 0 $  liefert die Sprungantwort  $\sigma(t\hspace{0.05cm}')$.
*Die  &bdquo;$(t)$”–Grafik zeigt die exponentiell ansteigende Sprungantwort  $\sigma(t\hspace{0.05cm}')$.  Für  $K=1$  ist der Endwert gleich  $\sigma(t\hspace{0.05cm}' \to \infty) = 0.5$.  Mit  $K=2$  gilt  $\sigma(t\hspace{0.05cm}'\to \infty) = 1$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''   Interpretieren Sie die Grafiken für die Einstellung  $K = 1, \ Z = 1, \ p_{\rm o1} = 0, \ N= 1,\ p_{\rm x1} = -2$.  Welcher Unterschied ergibt sich gegenüber  $Z=0$? }}

*Mit  $Z=0$:  Tiefpass 1. Ordnung mit  $H_{\rm TP}(p)= 1/(p+2)$   ⇒   $H_{\rm TP}(f\hspace{0.05cm}'= 0)= 0.5$,  $H_{\rm TP}(f\hspace{0.05cm}'\to \infty)= 0$,  $h_{\rm TP}(t\hspace{0.05cm}')= {\rm e}^{-2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm}'}$  für  $t\hspace{0.05cm}'\ge 0$.  Siehe  $(2)$  und  $(3)$.
*Mit  $Z=1$:  Hochpass 1. Ordnung mit  $H_{\rm HP}(p)= p/(p+2)$   ⇒   $H_{\rm HP}(f\hspace{0.05cm}'= 0)= 0$,  $H_{\rm HP}(f\hspace{0.05cm}'\to \infty)= 1$.  Da  $Z=N$:  $h_{\rm TP}(t\hspace{0.05cm}')$  erst nach Partialbruchzerlegung:
*$H_{\rm HP}(p)= p/(p+2) = 1- 2/(p+2)$  führt zur Impulsantwort  $h_{\rm HP}(t\hspace{0.05cm}')= \delta(t\hspace{0.05cm}') - 2 \cdot{\rm e}^{-2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm}'}= \delta(t\hspace{0.05cm}') - 2 \cdot h_{\rm TP}(t\hspace{0.05cm}')$  ⇒   $\text{zusätzliche Diracfunktion}$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''   Wie lautet die Sprungantwort  $\sigma_{\rm HP}(t\hspace{0.05cm}')$  des in  $(4)$  behandelten Hochpasses  $H_{\rm HP}(p)= p/(p+2)$? }}

*Die zugehörige  $p\hspace{0.05cm}$–Spektralfunktion lautet:  ${\it \Sigma}_{\rm HP}(p) =X_{\rm L}(p) \cdot H_{\rm HP}(p)= 1/p \cdot p/(p+2) = 1/(p+2)=H_{\rm TP}(p) $  ⇒   $\sigma_{\rm HP}(t\hspace{0.05cm}')= {\rm e}^{-2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm}'}$  für  $t\hspace{0.05cm}'\ge 0$.
*Die Nullstelle  $p_{\rm o1}=0$  und die Polstelle  $p_{\rm x2}=0$  heben sich gegenseitig auf.  Deshalb ergibt sich das gleiche Zeitsignal wie in  $(3)$.
*Sie müssen also folgende Einstellung wählen:  $K = 1, \ Z = 1, \ p_{\rm o1} = 0, \ N= 2,\ p_{\rm x1} = -2,\ p_{\rm x2} = 0$.
*Die Zeitfunktion springt bei  $t\hspace{0.05cm}' =0$  sofort auf  $1$  $($der HP beeinflusst den Sprung nicht$)$  und fällt dann exponentiell auf  $0$  ab  $($der HP sperrt jedes Gleichsignal$)$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''   Nun gelte folgende Einstellung:  $K = 1, \ Z = 0, \ N= 1,\ p_{\rm x1} = -5 \cdot {\rm j}$.  Liegt ein realisierbares System vor?  Welchen Verlauf hat die Impulsantwort  $h(t\hspace{0.05cm}')$?<br>         
Wie ändert sich die Impulsanwort mit  $ p_{\rm x1} = -0.1 -5 \cdot {\rm j}$  bzw. mit  $ p_{\rm x1} = +0.1 -5 \cdot {\rm j}$ ? }}

*Der Frequenzgang hat bei  $f\hspace{0.05cm}'= -5$  eine Unendlichkeitstelle.  Es ist aber kein diracförmiger Verlauf, da außerhalb nicht  $H(f\hspace{0.05cm}' \ne -5) \equiv 0$  gilt.
*Die Impulsantwort ist eine komplexe Exponentialfunktion   ⇒   $\text{das System ist nicht realisierbar}$.  $h(t\hspace{0.05cm}')={\rm e}^{-5 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm}'}$  dreht mathematisch negativ (im Uhrzeigersinn).
*Mit  $p_{\rm x1}= \pm 5 \cdot {\rm j}$  beträgt die normierte Periodendauer  $T_0\hspace{0.05cm}'= 2\pi/5 \approx 1.256$.  Es gilt also   $h(t\hspace{0.05cm}'=T_0\hspace{0.05cm}')= h(t\hspace{0.05cm}'=0)= 1.$
*Bei  ${\rm Re}\hspace{0.05cm}[p_{\rm x1}] \ne 0$  klingt die komplexe Exponentialfunktion kontinuierlich ab  $({\rm Re}\hspace{0.05cm}[p_{\rm x1}] < 0)$  bzw. kontinuierlich an  $({\rm Re}\hspace{0.05cm}[p_{\rm x1}] > 0)$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(7)'''   Wie ändert sich die  &bdquo;$(t)$”–Grafik, wenn man den Imaginärteil von  $p_{\rm x1}$  verändert:  $p_{\rm x1}= -5 \cdot {\rm j}$,  $p_{\rm x1}= -2 \cdot {\rm j}$,  $p_{\rm x1}= 0 $,  $p_{\rm x1}= +2 \cdot {\rm j}$,  $p_{\rm x1}= +5 \cdot {\rm j}$.}}

*Bei positivem Imaginärteil von  $p_{\rm x1}$  dreht  $h(t\hspace{0.05cm}')$  stets in mathematisch positiver Richtung (entgegen dem Uhrzeigersinn),  bei negativem Imaginärteil im Uhrzeigersinn.
*Die normierte Periodendauer  $T_0\hspace{0.05cm}'= 2\pi/5 \approx 1.256$  gilt für  $p_{\rm x1}= \pm5 \cdot {\rm j}$  gleichermaßen und  $T_0\hspace{0.05cm}'= 2\pi/2 \approx 3.14$  gilt für  $p_{\rm x1}= \pm2 \cdot {\rm j}$.
*Für  $p_{\rm x1}= 0$  ergibt sich die  $p$–Übertragungsfunktion  $H_{\rm L}(p)=1/p$.  Daraus folgt die Sprungfunktion:   $h(t\hspace{0.05cm}') \equiv 1$  für  $t\hspace{0.05cm}' \ge 0$  und  $h(t\hspace{0.05cm}') \equiv 0$  für  $t\hspace{0.05cm}' < 0$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(8)'''   Interpretieren Sie die Grafiken  &bdquo;$(t)$”  und  &bdquo;$(f)$”  gemäß  $\text{Satz 2:}\ K = 1, \ Z = 1,\ p_{\rm o1} =0, \ N= 2,\ p_{\rm x1} = +5 \cdot {\rm j}, \ p_{\rm x2} = -5 \cdot {\rm j}$. }}

*Es ergibt sich das &bdquo;kausale” Cosinussignal  $h_{\rm cos}(t\hspace{0.05cm}')$  mit Amplitude  $1$  und der normierten Periodendauer  $T_0\hspace{0.05cm}'= 2\pi/5 \approx 1.256$. 
*Die  $p\hspace{0.05cm}$–Spektralfunktion lautet nämlich:  $H_{\rm cos}(p)= p/(p^2 +25)$.  Gemäß der angegebenen Laplacetabelle ist die dazugehörige Zeitfunktion der &bdquo;kausale Cosinus”.
*Während die Spektralfunktion des herkömmlichen Cosinus aus zwei Diracs mit reellen Gewichten besteht, gilt beim kausalen Cosinus  $|H(f(\hspace{0.05cm}')| \ne 0$  für alle  $f\hspace{0.05cm}'$.
*Aus  $b(f\hspace{0.05cm}')=\pm 90^\circ$  im gesamten Bereich erkennt man zudem, dass hier  $H(f\hspace{0.05cm}')$  imaginär ist.  Sprungartige Phasenänderungen gibt es bei  $f\hspace{0.05cm}' = 0$  sowie  $f\hspace{0.05cm}' = \pm 5$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(9)'''   Durch welche Parameteränderungen kommt man zum &bdquo;kausalen Sinus”    ⇒   $h_{\rm sin}(t\hspace{0.05cm}')$  gleicher Frequenz und gleicher Amplitude  $1$? }}

*Man kommt vom Cosinus zum Sinus durch Integration.  Das heißt:   $H_{\rm sin}(p)= H_{\rm cos}(p) \cdot H_{\rm Sprung}(p)= p/(p^2 +25) \cdot 1/p= 1/(p^2 +25)$   ⇒   $Z=0$  statt  $Z=1$.
*Allerdings ist damit die Amplitude des resultierenden Sinussignal zu klein.  Deshalb muss für  $p_{\rm x} = \pm 5 \cdot {\rm j}$  noch der konstante Faktor angepasst werden:  $K=5$.
*Beim kausalen Sinus ist  $H(f\hspace{0.05cm}')$  im gesamten Bereich reell, ebenfalls im Gegensatz zum herkömmlichen Sinus. Es gilt also entweder  $b(f\hspace{0.05cm}')=0^\circ$  oder  $b(f\hspace{0.05cm}')=180^\circ$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(10)'''   Interpretieren Sie die Grafiken  &bdquo;$(f)$”  und  &bdquo;$(t)$”  für  $\text{Satz 3:} \ K = 2, \ Z = 1, \ p_{\rm o1} = -2.5, \ N= 2,\ p_{\rm x1} = -1-2 \cdot {\rm j}, \ p_{\rm x2} = -1+2 \cdot {\rm j}$. <br>            Was ändert sich mit der Nullstelle  $p_{\rm o1} = 0$? }}

*Der Frequenzgang ist gekennzeichnet durch die Werte  $|H(f\hspace{0.05cm}'= 0)|= 1$,  $|H(f\hspace{0.05cm}'|= 2)\approx 1.55$  (etwa das Maximum) und  $|H(f\hspace{0.05cm}' \to \infty)|\to 0$.
*Bei der Impulsantwort  $h(t\hspace{0.05cm}')$  handelt es sich um eine gedämpft oszillierende Schwingung, die im  $\text{Beispiel 6}$  analytisch berechnet wurde.
*Mit  $p_{\rm o1} = 0$  ist  $|H(f\hspace{0.05cm}'= 0)|\equiv 0$,  und das Maximum   $|H(f\hspace{0.05cm}'= 2)\approx 1|$  liegt etwas tiefer bei gleicher Frequenz.  Der Zeitbereich wird von  $p_{\rm o1}$  nur wenig beeinflusst.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(11)'''   Interpretieren Sie die Grafiken  &bdquo;$(f)$”  und  &bdquo;$(t)$”  für  $\text{Satz 4:} \ K = 2, \ Z = 1, \ p_{\rm o1} = -0.5, \ N= 2,\ p_{\rm x1} = p_{\rm x2} = -1$.<br>            Was ändert sich mit der Nullstelle  $p_{\rm o1} = 0$  und was mit der Einstellung  $Z=0$? }}

*Bei der Impulsantwort  $h(t\hspace{0.05cm}')$  gemäß  $\text{Satz 4}$  handelt es sich um den aperiodischen Grenzfall, der im  $\text{Beispiel 7}$  exakt berechnet wurde.
*Verschiebt man bei  $Z=1$  die Nullstelle zu  $p_{\rm o1} = 0$, so fällt   $h(t\hspace{0.05cm}')$  schneller ab und auch der nachfolgende Unterschwinger ist sehr viel ausgeprägter.
*Dagegen ergibt sich mit  $Z=0$  ein Tiefpass zweiter Ordnung, dessen Impulsantwort aus der vorne angegebenen Laplace-Tabelle entnommen werden kann.
*Aus der  &bdquo;$(f)$”–Grafik erkennt man:  $Z=0$  ergibt einen Tiefpass und  $Z=1,p_{\rm o1} = 0$  einen Bandpass:  $|H(f\hspace{0.05cm}'= 0)|\equiv 0$,  $|H(f\hspace{0.05cm}'= 1)|\approx 1$,  $|H(f\hspace{0.05cm}'\to \infty)|\equiv 0$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(12)'''   Interpretieren Sie die Grafiken  &bdquo;$(f)$”  und  &bdquo;$(t)$”  für  $\text{Satz 5:} \ K = 2, \ Z = 1, \ p_{\rm o1} = -0.3, \ N= 2,\ p_{\rm x1} = -0.4, \ p_{\rm x2} = -1.6$. <br>            Was bewirkt ein weiterer Pol bei  $p_{\rm x3} = 0$? }}

* Die Grafiken zeigen ähnliches wie im  $\text{Satz 4}$.  Im  &bdquo;$(f)$”–Bereich erkennt man für  $f\hspace{0.05cm}' \approx 0.5$  eine leichte Überhöhung gegenüber  $|H(f\hspace{0.05cm}'= 0)|\approx 0.937$.
*$h(t\hspace{0.05cm}')$  ist eine aperiodisch abklingende Impulsantwort, die im  $\text{Beispiel 5}$  analytisch berechnet wurde  $($allerdings mit  $p_{\rm o1}= 0.32$  statt mit  $p_{\rm o1}= 0.3)$.
*Durch den weiteren Pol bei  $p_{\rm x3} = 0$  liefert der Zeitbereich statt der Impulsantwort  $h(t\hspace{0.05cm}')$  nun die Sprungantwort  $\sigma(t\hspace{0.05cm}')$,  die sich aus  $h(t\hspace{0.05cm}')$  durch Integration ergibt.
*Ausgehend von  $\sigma(t\hspace{0.05cm}'=0) \equiv 0$  steigt die Zeitfunktion bis  $\sigma(t\hspace{0.05cm}'=2)\approx 1.07$  an und fällt dann wieder ab bis auf  $\sigma(t\hspace{0.05cm}' \to \infty) = |H(f\hspace{0.05cm}'= 0)|\approx 0.937$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(13)'''   Wählen Sie nun die Konfiguarion  $K = 1, \ Z = 2, \ p_{\rm o1} = p_{\rm o2} = 0, \ N= 2,\ p_{\rm x1} = p_{\rm x2} = -2$.  Welches System liegt vor?  Wie lautet die Übertragungsfunktion? <br>            Was ändert sich mit der Nullstelle  $p_{\rm o1} = 0$  und was mit der Einstellung  $Z=0$? }}

*Es handelt sich um einen Hochpass mit  $H_{\rm HP}(p)= p^2/(p+2)^2$.  Der vergleichbare Tiefpass ist  $H_{\rm TP}(p)= 4/(p+2)^2$.  Es gilt  $H_{\rm HP}(p) = 1- H_{\rm TP}(p)$.
*Aus den  &bdquo;$(f)$”–Grafiken:  $|H_{\rm HP}(f\hspace{0.05cm}'= 0)|=|H_{\rm TP}(f\hspace{0.05cm}'\to \infty)|= 0$,  $|H_{\rm HP}(f\hspace{0.05cm}'= 2)|= |H_{\rm TP}(f\hspace{0.05cm}'= 2)|=0.5$,  $|H_{\rm HP}(f\hspace{0.05cm}'\to \infty)|= |H_{\rm TP}(f\hspace{0.05cm}'= 0)|=1$.
*Die Impulsantwort  $h_{\rm HP}(t\hspace{0.05cm}')$  kann wegen $Z=N=2$  nicht direkt mit dem Residuensatz berechnet werden.  Man benötigt vorher eine Partialbruchzerlegung.
*Es gilt nämlich auch:  $H_{\rm HP}(p)= p^2/(p+2)^2 = 1- 4 \cdot (p+1)/(p+2)^2$   ⇒   Impulsantwort  $h_{\rm HP}(t\hspace{0.05cm}') = \delta(t\hspace{0.05cm}')- 4\cdot h_{\hspace{0.05cm}\rm TP,\hspace{0.05cm}1}(t\hspace{0.05cm}')$.
*$h_{\rm HP}(t\hspace{0.05cm}')$  beinhaltet neben einem Dirac als zeitkontinuierlichen Anteil die vierfache negative Impulsantwort des Tiefpasses  $H_{\rm TP,\hspace{0.05cm}1}(p)= (p+1)/(p+2)^2$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(14)'''   Betrachten Sie die  &bdquo;$(f)$”–Grafik für  $\text{Satz 6:} \ \ K = 1, \ Z = 3, \ p_{\rm o1} = 2 + 2 {\rm j}, \ p_{\rm o2} = 2 - 2 {\rm j},\ p_{\rm o3} = 1, \ N= 3,\ p_{\rm x1} = -2 + 2 {\rm j}, \ p_{\rm x2} = -2 - 2 {\rm j},\ p_{\rm x3} = -1$. <br>            Wie lässt sich die charakteristische Eigenschaft dieses Systems mit den Parameterwerten  $Z=4$  und  $N=4$  erfüllen? }}

* Hier gilt für alle Frequenzen  $|H(f\hspace{0.05cm}')| = 1$   ⇒   keine einzige Frequenz wird gedämpft   ⇒   $a(f\hspace{0.05cm}') = 0\hspace{0.15cm} {\rm dB}$.  Die Phasenfunktion  $b(f\hspace{0.05cm}')$  ist dagegen frequenzabhängig.
*Diese Eigenschaften ergeben sich aus der Symmetrie der Nullstellen (in rechter  $p$–Hälfte)  zu den Polen (links der imaginären Achse), alle reell oder konjugiert–komplex.
*Für  $Z=N=4$  kommt jeweils ein weiterer reeller Pol und eine weitere reelle Nullstelle dazu, zum Beispiel  $p_{\rm o4} = 2,\ p_{\rm x4} = -2$.

==Zur Handhabung des Programms==
[[Datei:Exercise_Frequenzgang_1.png|right|frame|Bildschirmabzug (englische Version, heller Hintergrund)]]
    '''(A)'''     Theme (veränderbare grafische Oberflächengestaltung)
:* Dark:   schwarzer Hintergrund  (wird von den Autoren empfohlen)
:* Bright:   weißer Hintergrund  (empfohlen für Beamer und Ausdrucke)
:* Deuteranopia:   für Nutzer mit ausgeprägter Grün–Sehschwäche
:* Protanopia:   für Nutzer mit ausgeprägter Rot–Sehschwäche

    '''(B)'''     Vorauswahl für den Frequenzgang  $H_1(f)$  (rote Kurve)

    '''(C)'''     Parameterfestlegung für  $H_1(f)$ 

    '''(D)'''     Numerikausgabe für  $H_1(f_*)$  und  $h_1(t_*)$

    '''(E)'''     Vorauswahl für den Frequenzgang  $H_2(f)$  (blaue Kurve)

    '''(F)'''     Parameterfestlegung für  $H_2(f)$ 

    '''(G)'''     Numerikausgabe für  $H_2(f_*)$  und  $h_2(t_*)$

    '''(H)'''     Einstellung der Frequenz  $f_*$  für die Numerikausgabe

    '''(I)'''      Einstellung der Zeit  $t_*$  für die Numerikausgabe

    '''(J)'''     Bereich der graphischen Darstellung im Frequenzbereich

    '''(K)'''     Bereich der graphischen Darstellung im Zeitbereich

    '''(L)'''     Auswahl der Aufgabe entsprechend der Aufgabennummer

    '''(M)'''     Aufgabenbeschreibung und Fragestellung

    '''(N)'''     Musterlösung anzeigen und verbergen

'''Details zu den obigen Punkten  (J ) und  (K)'''

<u>Zoom–Funktionen:</u><br>       &bdquo;$+$” (Vergrößern),      &bdquo;$-$” (Verkleinern),      &bdquo;$\rm o$” (Zurücksetzen)

<u>Verschiebe–Funktionen:</u>     &bdquo;$\leftarrow$”     &bdquo;$\uparrow$”     &bdquo;$\downarrow$”     &bdquo;$\rightarrow$”<br>        &bdquo;$\leftarrow$”  bedeutet:     Bildausschnitt nach links, Ordinate nach rechts

<b>Andere Möglichkeiten:</b>

*Bei gedrückter Shifttaste und Scrollen kann im Koordinatensystem gezoomt werden.
*Bei gedrückter Shifttaste und gedrückter linker Maustaste kann das Koordinatensystem verschoben werden.
<br clear = all>

==Über die Autoren==
Dieses interaktive Berechnungstool wurde am  [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]  der  [https://www.tum.de/ Technischen Universität München]  konzipiert und realisiert.
*Die erste Version wurde 2008 von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Thomas_Pfeuffer_.28Diplomarbeit_LB_2005.29|Thomas Pfeuffer]]  im Rahmen seiner Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX–Actionscript” erstellt  (Betreuer:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
*2021 wurde das Programm von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit  (Betreuer:  [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]])  auf &bdquo;HTML5” umgesetzt und neu gestaltet.

==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==
{{LntAppletLink|laplacetransformation}}

Aufgaben:Aufgabe 1.3: Gemessene Sprungantwort

2021-03-01T16:18:56Z

Tasnad:

{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Systembeschreibung im Zeitbereich}}

[[Datei:P_ID817__LZI_A_1_3.png |right|frame|Gemessene Sprungantwort]]
An den Eingang eines linearen zeitinvarianten (LZI–)Übertragungssystems
*mit dem Frequenzgang  $H(f)$
*und der Impulsantwort  $h(t)$

wird ein sprungförmiges Signal angelegt (blaue Kurve):
:$$x_1(t) = 4\hspace{0.05cm} {\rm V} \cdot \gamma(t).$$
Das gemessene Ausgangssignal  $y_1(t)$  hat dann den unten dargestellten Verlauf.
*Mit  $T = 2 \,{\rm ms}$  kann dieses Signal im Bereich von  $0$  bis  $T$  wie folgt beschrieben werden:
:$$y_1(t) = 2 \hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot\big[ {t}/{T} - 0.5 \cdot ({t}/{T})^2\big].$$

*Ab  $t = T $  ist  $y_1(t)$  konstant gleich  $1 \,{\rm V}$.

In der letzten Teilaufgabe  '''(5)'''  wird nach dem Ausgangssignal  $y_2(t)$  gefragt, wenn am Eingang ein symmetrischer Rechteckimpuls  $x_2(t)$  der Dauer  $T = 2 \hspace{0.05cm} {\rm ms}$  anliegt (siehe roter Kurvenzug in der oberen Grafik).

''Hinweise:''
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich|Systembeschreibung im Zeitbereich]]
*Für den Rechteckimpuls  $x_2(t)$  kann mit  $A = 2 \hspace{0.05cm} \text{V}$  auch geschrieben werden:
:$$x_2(t) = A \cdot \big [\gamma(t + {T}/{2}) - \gamma(t - {T}/{2})\big ].$$
*Der Frequenzgang  $H(f)$  des hier betrachteten LZI–Systems kann dem Angabenblatt zu  [[Aufgaben:Aufgabe_3.8:_Dreimal_Faltung|Aufgabe 3.8]]  im Buch „Signaldarstellung” entnommen werden. Allerdings sind die Abszissen– und Ordinatenparameter entsprechend anzupassen.
*Zur Lösung der vorliegenden Aufgabe wird  $H(f)$  jedoch nicht explizit benötigt.

===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Welche Aussagen sind anhand der Grafik über das LZI–System möglich?
|type="[]"}
- $H(f)$  beschreibt ein akausales System.
+ $H(f)$  beschreibt ein kausales System.
+ $H(f)$  beschreibt einen Tiefpass.
- $H(f)$  beschreibt einen Hochpass.

{Wie groß ist der Gleichsignalübertragungsfaktor?
|type="{}"}
$H(f = 0) \ =\ $ { 0.25 }

{Wie lautet die Sprungantwort  $σ(t)$? Welcher Wert tritt bei  $t = T/2$  auf?
|type="{}"}
$σ(t = \rm 1 \: ms) \ = \ $ { 0.1875 5% }

{Berechnen Sie die Impulsantwort  $h(t)$  des Systems. Welche Werte besitzt diese zu den Zeitpunkten  $t = T/2$  und  $t = T$?
|type="{}"}
$h(t = \rm 1 \: ms) \ =\ $ { 125 }  $\text {1/s}$
$h(t = \rm 2 \: ms) \ =\ ${ 0. }  $\text {1/s}$

{Am Eingang liegt der Rechteckimpuls  $x_2(t)$  an. Welches Ausgangssignal  $y_2(t)$  ergibt sich zu den Zeiten  $t_1 = -1 \text { ms}$,  $t_2 = 0$ ,  $t_3 = +1 \text { ms}$  und  $t_4 = +2 \text { ms}$?
|type="{}"}
$y_2(t = t_1) \ =\ $ { 0. }  $\text {V}$
$y_2(t = t_2) \ =\ $ { 0.375 5% }  $\text {V}$
$y_2(t = t_3) \ =\ $ { 0.5 5% }  $\text {V}$
$y_2(t = t_4) \ =\ $ { 0.125 5% }  $\text {V}$

</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
*Für das Ausgangssignal gilt  $y_1(t)=0$, solange das Eingangssignal  $x_1(t) = 0$  ist. Das bedeutet, dass hier ein kausales System vorliegt.
*Zum gleichen Ergebnis hätte man allein durch die Aussage „das Ausgangssignal wurde gemessen” kommen können. Nur kausale Systeme sind realisierbar und nur bei realisierbaren Systemen kann etwas gemessen werden.
*Das Eingangssignal  $x_1(t)$  kann für sehr große Zeiten  $(t \gg 0)$  als Gleichsignal interpretiert werden. Wäre  $H(f)$  ein Hochpass, dann müsste  $y_1(t)$  für  $t → ∞$  gegen Null gehen. Das heißt:   $H(f)$  stellt einen Tiefpass dar.

'''(2)'''  Der Gleichsignalübertragungsfaktor kann aus  $x_1(t)$  und  $y_1(t)$  abgelesen werden, wenn der Einschwingvorgang abgeklungen ist:
:$$H(f =0) = \frac{y_1(t \rightarrow \infty)}{x_1(t \rightarrow \infty)}=
\frac{ {\rm 1\, V} }{ {\rm 4\, V} } \hspace{0.15cm}\underline{= 0.25}.$$

'''(3)'''  Die Sprungantwort  $σ(t)$  ist gleich dem Ausgangssignal  $y(t)$, wenn am Eingang  $x(t) = γ(t)$  anliegen würde.
*Wegen  $x_1(t) = 4 \hspace{0.05cm} \rm {V} · γ(t)$  gilt somit im Bereich von  $0$  bis  $T = 2 \ \rm ms$:
:$$\sigma(t) = \frac{y_1(t)}{ {\rm 4\, V} } = 0.5 \cdot\big( {t}/{T} - 0.5 ({t}/{T})^2\big).$$
*Zum Zeitpunkt  $t = T = 2 \ \rm ms$  erreicht die Sprungantwort ihren Endwert  $0.25$.
*Für  $t = T/2 = 1 \ \rm ms$  ergibt sich der Zahlenwert  $3/16 \; \underline{\: = \: 0.1875}$.
*Beachten Sie bitte, dass die Sprungantwort  $σ(t)$  ebenso wie die Sprungfunktion  $γ(t)$  keine Einheit besitzt.

[[Datei:P_ID840__LZI_A_1_3d.png |Berechnete Impulsantwort | rechts|frame]]
'''(4)'''  Die Sprungantwort  $σ(t)$  ist das Integral über die Impulsantwort  $h(t)$.
*Damit ergibt sich  $h(t)$  aus  $σ(t)$  durch Differentiation nach der Zeit.
*Im Bereich  $0 < t < T$  gilt deshalb:
:$$h(t) = \frac{{\rm d}\hspace{0.1cm}\sigma(t)}{{\rm d}t}= 0.5 \cdot\left( \frac{1}{T} - 0.5 (\frac{2t}{T^2})\right) = \frac{0.5}{T} \cdot (1- \frac{t}{T})$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.2cm} h(t = {\rm 1\, ms}) = h(t = T/2) = \frac{0.25}{T} \hspace{0.15cm}\underline{= 125 \cdot{1}/{ {\rm s} } },$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.2cm} h(t = {\rm 2\, ms}) = h(t = T) \hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$
*Für  $t < 0$  und  $t ≥ T$  gilt stets  $h(t)=0$.
*Der Wert  $h(t = 0)$  bei exakt  $t = 0$  muss aus dem Mittelwert zwischen links- und rechtsseitigem Grenzwert ermittelt werden:
:$$h(t=0) = {1}/{2} \cdot \left[ \lim_{\varepsilon
\hspace{0.03cm} \to \hspace{0.03cm}0} h(- \varepsilon)+ \lim_{\varepsilon
\hspace{0.03cm} \to \hspace{0.03cm} 0} h(+ \varepsilon)\right] = \left[ 0 + {0.5}/{T}\right] = {0.25}/{T}= 250 \cdot{1}/{ {\rm s} }.$$

[[Datei:P_ID829__LZI_A_1_3e.png | Berechnete Rechteckantwort| rechts|frame]]
'''(5)'''  Der Rechteckimpuls  $x_2(t)$  kann auch als die Differenz zweier um  $±T/2$  verschobener Sprünge dargestellt werden:
:$$x_2(t) = A \cdot \big[\gamma(t + {T}/{2}) - \gamma(t - {T}/{2})\big].$$
*Damit ist das Ausgangssignal gleich der Differenz zweier um  $±T/2$  verschobener Sprungantworten:
:$$y_2(t) = A \cdot \big[\sigma(t + {T}/{2}) - \sigma(t - {T}/{2})\big].$$
*Für  $t = \: -T/2 = -1\ \rm ms$  gilt  $y_2(t) \;\underline{ = 0}$.

*Für die weiteren betrachteten Zeitpunkte erhält man wie in der Grafik angegeben:
:$$y_2(t = 0) = A \cdot \big[\sigma(0.5 \cdot T) - \sigma(-0.5 \cdot T)\big] =
{\rm 2\, V}\cdot \left[0.1875 - 0\right] \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.375\, V}},$$
:$$y_2(t = T/2) = y_2(t = 1\,{\rm ms}) =A \cdot \big[\sigma( T) - \sigma(0)\big] =
{\rm 2\, V}\cdot \left[0.25 - 0\right] \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.5\, V}},$$
:$$y_2(t = T) = A \cdot \big[\sigma(1.5 \cdot T) - \sigma(0.5 \cdot T)\big] =
{\rm 2\, V}\cdot \big[0.25 - 0.1875\big] \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.125\, V}}.$$

{{ML-Fuß}}

[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^1.2 Systembeschreibung im Zeitbereich^]]

Aufgaben:Aufgabe 3.8: Dreimal Faltung?

2021-03-01T16:18:06Z

Tasnad: Tasnad verschob die Seite Aufgaben:Aufgabe 3.8: Dreimal Faltung? nach Aufgaben:Aufgabe 3.8: Dreimal Faltung

{{quiz-Header|Buchseite=Signaldarstellung/Faltungssatz und Faltungsoperation
}}
[[Datei:P_ID533__Sig_A_3_8.png|right|frame|Impulsantwort  $h(t)$  und <br>drei Eingangssignale  $x(t)$]]

Die Impulsantwort eines LZI-Systems hat im Zeitbereich zwischen  $0$  und  $2T$  den folgenden Verlauf:

:$$h( t ) = \frac{1}{T}\cdot \left( {1 - \frac{t}{ {2T}}} \right).$$

Außerhalb dieses Intervalls ist  $h(t) = 0$. Die zugehörige Spektralfunktion lautet:

:$$H( f ) = \frac{1}{ {8\left( {{\rm{\pi }}fT} \right)^2 }} \cdot \left( {1 - {\rm{j \cdot 4\pi }}fT - {\rm{e}}^{ - {\rm{j \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 4\pi }}\hspace{0.05cm}f\hspace{0.05cm}T} } \right).$$

Zur Berechnung des so genannten &bdquo;Gleichsignalübertragungsfaktors”   ⇒   $H(f = 0)$  ist diese Gleichung nicht geeignet, da sowohl der Klammerausdruck als auch der Nenner Null werden. Es gilt aber auch:

:$$H( {f = 0} ) = \int_0^{2T} {h( t )\hspace{0.1cm}{\rm d}t = 1.}$$

An den Eingang dieses Filters werden drei verschiedene Zeitsignale angelegt (siehe Skizze):
* $x_1(t)$  ist ein Gleichsignal mit der Höhe  $x_0 = 1 \hspace{0.05cm}{\rm V}$.
* $x_2(t)$  ist ein Rechteckimpuls mit der Dauer  $T$  und der Höhe  $x_0 = 1\hspace{0.05cm} {\rm V}$, beginnend bei  $t = T$.
* $x_3(t)$  ist ein Cosinussignal mit der Frequenz  $f_0 = 3/T$  und der Amplitude  $x_0 = 1 \hspace{0.05cm}{\rm V}$.

''Hinweise:''
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation|Faltungssatz und Faltungsoperation]].
*Die Thematik dieses Abschnitts wird auch im interaktiven Applet  [[Applets:Zur_Verdeutlichung_der_grafischen_Faltung|Zur Verdeutlichung der grafischen Faltung]]  veranschaulicht.

===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Bei welchen der drei Signale ist es zweckmäßiger, das Ausgangssignal direkt im Zeitbereich zu berechnen?
|type="[]"}
- $y_1(t) = x_1(t) \ast h(t)$.
+ $y_2(t) = x_2(t) \ast h(t)$.
- $y_3(t) = x_3(t) \ast h(t)$.

{Wie lautet das Signal  $y_1(t)$  am Filterausgang, wenn am Eingang das Gleichsignal  $x_1(t) = 1 \hspace{0.03cm}{\rm V}$  anliegt? Geben Sie den Signalwert bei  $t = 2T$  an.
|type="{}"}
$y_1(t=2T)\ = \ $ { 1 3% }  ${\rm V}$

{Auf welchen Zeitbereich zwischen  $t_{\text{min}}$  und  $t_{\text{max}}$  ist das Ausgangssignal  $y_2(t) = x_2(t) \ast h(t)$  beschränkt, das heißt ungleich Null?
|type="{}"}
$t_{\text{min}}/T\ = \ $ { 1 3% }
$t_{\text{max}}/T \ = \ $ { 4 3% }

{Berechnen Sie die Werte des Signals  $y_2(t)$  zu den Zeiten  $t = 2T$  und  $t = 3T$.
|type="{}"}
$y_2(t=2T)\ = \ $ { 0.75 3% }  ${\rm V}$
$y_2(t=3T)\ = \ $ { 0.25 3% }  ${\rm V}$

{Wie lautet das Ausgangssignal  $y_3(t)$, wenn am Eingang das Cosinussignal  $x_3(t)$  anliegt? Geben Sie den Signalwert bei  $t =0$  an.
|type="{}"}
$y_3(t=0)\ = \ $ { 0. }  ${\rm V}$
</quiz>

===Musterlösung===

{{ML-Kopf}}
'''(1)'''  Richtig ist die <u>Antwort 2</u>:
*$x_1(t)$  und  $x_3(t)$  beinhalten jeweils nur eine Frequenz, nämlich  $f = 0$  bzw.  $f = f_0$ . Hier ist jeweils der Umweg über das Spektrum vorzuziehen.
*Beim Rechtecksignal  $x_2(t)$  ist die Berechnung über die Faltung günstiger, da die Fourierrücktransformation von  $Y_2(f)$  kompliziert ist.

'''(2)'''  Beim Eingangssignal  $x_1(t)$  ist das Ausgangssignal ebenfalls ein Gleichsignal, da folgende Gleichungen gelten:

:$$Y_1 (f) = X_1 (f) \cdot H(f)\quad {\rm{mit}}\quad X_1 (f) = 1\;{\rm{V}} \cdot \delta (f)$$

:$$ \Rightarrow Y_1 (f) = 1\;{\rm{V}} \cdot \delta (f) \cdot H( {f = 0} ) = 1\;{\rm{V}} \cdot \delta (f) \; \Rightarrow \; y_1 (t) = 1\;{\rm{V}} \cdot H( {f = 0} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 1\;{\rm{V}}}.$$

*Die Berechnung über die Faltung führt zum gleichen Ergebnis, wenn man berücksichtigt, dass das Integral über die Impulsantwort im vorliegenden Fall gleich  $1$  ist.

'''(3)'''  Das gespiegelte Signal  $x_2(-t)$  hat Signalanteile zwischen  $-2T$  und  $-T$.
*Erst eine Verschiebung um  $T \hspace{-0.1cm}+ \hspace{-0.1cm}\varepsilon$  führt zu einer Überlappung mit  $h(t)$. Hierbei bezeichnet  $\varepsilon$  eine beliebig kleine, aber positive Zeit.

*Ist die Verschiebung allerdings größer als  $4T\hspace{-0.1cm} - \hspace{-0.1cm}\varepsilon$, so liefert die Integration über das Produkt ebenfalls den Wert Null. Daraus folgt:
:$$t_{\text{min}} \;\underline{= T}, \ \ \ t_{\text{max}} \;\underline{= 4T}.$$

[[Datei:P_ID534__Sig_A_3_8_d.png|right|frame|Faltung Rechteck und Dreieck ]]
'''(4)'''  Das Ergebnis der grafischen Faltung für die Zeitpunkte  $t = 2T$  und  $t = 3T$  kann man der nebenstehenden Skizze entnehmen.
*Der Wert bei  $t = 2T$  entspricht der rötlich unterlegten Fläche:

:$$y_2( {t = 2T} ) = \frac{1}{2}\cdot ( {\frac{1}{T} + \frac{1}{ {2T}}} ) \cdot T \cdot x_0 \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.75 {\rm V}} .$$

*Die grün unterlegte Fläche kennzeichnet den Wert bei  $t = 3T$:

:$$y_2( {t = 3T} ) = \frac{1}{2}\cdot ( {\frac{1}{2T} + 0} ) \cdot T \cdot x_0 \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.25 {\rm V}} .$$

Um den gesamten Signalverlauf zwischen  $t = T$  und  $t = 4T$  zu berechnen, müssen drei Bereiche getrennt betrachtet werden. Zur Vereinfachung der Darstellung wird im Folgenden  $x_0 = 1$  gesetzt   ⇒   Amplitudennormierung.

[[Datei:P_ID583__Sig_A_3_8_d1_neu.png|right|frame|Faltung für  $T \leq t \leq 2T$]]
'''(4a)'''  Für  $T \leq t \leq 2T$  liegt die untere Grenze bei  $τ_u = 0$, die obere Grenze bei  $τ_0 = t - T$:

:$$y_2 (t) = \int_{\tau _u }^{\tau _0 } {h(\tau )\,{\rm{d}}\tau = \int_0^{t - T} {\frac{1}{T}} }\cdot \left( {1 - \frac{\tau }{ {2T}}} \right)\,{\rm{d}}\tau .$$

*Mit dem unbestimmten Integral   $I(\tau ) = {\tau }/{T} - 0.25 \cdot \left( {{\tau }/{T}} \right)^2$   ergibt sich

:$$y_2 (t) = I(t - T) - I(0) = \frac{ {t - T}}{T} - 0.25 \cdot \left( {\frac{ {t - T}}{T}} \right)^2 $$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}y_2 (t) = 1.5 \cdot {t}/{T} - 0.25\cdot \left( {{t}/{T}} \right)^2 - 1.25.$$

*Zur Verifizierung betrachten wir die beiden Grenzen. Man erhält die Werte  $y_2(T) = 0$  und  $y_2(2T) = 0.75$.

[[Datei:P_ID584__Sig_A_3_8_d2_neu.png|right|frame|Faltung für  $2T \leq t \leq 3T$]]
'''(4b)'''  Im Intervall  $2T \leq t \leq 3T$  gilt weiterhin  $τ_0 = t - T$, während nun  $τ_u = t - 2T$  ist:

::$$y_2 (t) = I(t - T) - I(t - 2T) = 1.75 - 0.5 \cdot {t}/{T}.$$

Dies entspricht einem linearen Abfall mit den beiden Grenzwerten 
:$$y_2(2T) = 0.75,$$
:$$y_2(3T) = 0.25.$$
<br clear=all>
[[Datei:P_ID585__Sig_A_3_8_d3_neu.png|right|frame|Faltung für  $3T \leq t \leq 4T$]]
'''(4c)'''  Für das Intervall  $3T \leq t \leq 4T$  gilt  $τ_0 = 2T$  und   $τ_u = t - 2T$:

:$$y_2 (t) = I(2T) - I(t - 2T) = - 2 \cdot {t}/{T} + 0.25\left( {c{t}/{T}} \right)^2 + 4.$$

Auch hier ergeben sich die richtigen Grenzwerte:
:$$y_2 (3T) = 0.25,$$
:$$y_2 (4T) = 0.$$
<br clear=all>
'''(5)'''  Diese Teilaufgabe könnte prinzipiell auch direkt mit der Faltung gelöst werden.
*Da  $x_3(t)$  aber eine gerade Funktion ist, kann hier nun auf die Spiegelung verzichtet werden und man erhält:

:$$y_3 (t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {h(\tau ) \cdot x_3 (t + \tau )\hspace{0.1cm}{\rm{d}}\tau = x_0 }\cdot \int_0^{2T} {h(\tau ) \cdot \cos (2{\rm{\pi }}f_0 (t + \tau )\hspace{0.1cm}{\rm{d}}\tau .}$$

*Einfacher ist hier der Weg über die Spektren. $X(f)$  besteht aus zwei Diraclinien bei  $\pm 3f_0$. Somit muss auch nur für diese Frequenz der Frequenzgang berechnet werden:

:$$H( {f = 3f_0 } ) = \frac{1}{ {72{\rm{\pi }}^{\rm{2}} }}\big[ {1 - {\rm{j}}\cdot 12{\rm{\pi }} - {\rm{cos}}( {{\rm{12\pi }}} ) + {\rm{j}}\cdot \sin ( {{\rm{12\pi }}})} \big] = \frac{1}{ {72{\rm{\pi }}^{\rm{2}} }}\big[ 1 - {\rm j}\cdot 12{\rm \pi } - 1 + {\rm j}\cdot 0 \big]= { - {\rm{j}}} \cdot \frac{1}{ {6{\rm{\pi }}}}.$$

*Somit lautet das Spektrum des Ausgangssignals:

:$$Y(f) = - {\rm{j}} \cdot \frac{ {x_0 }}{{{\rm{12\pi }}}}\cdot \delta \left( {f - 3f_0 } \right) + {\rm{j}} \cdot \frac{ {x_0 }}{{{\rm{12\pi }}}}\cdot \delta \left( {f + 3f_0 } \right).$$

*Das Signal  $y_3(t)$  ist somit sinusförmig mit der Amplitude  $x_0/(6\pi )$.
*Bei  $t = 0$  ergibt sich der Signalwert  $y_3(t = 0)\; \underline{= 0}$.
{{ML-Fuß}}

__NOEDITSECTION__
[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^3. Aperiodische Signale - Impulse^]]

LNTwww:Applets

2021-02-26T16:17:24Z

Tasnad:

<p>
{{BlaueBox|TEXT=
*Die Auswahlliste ist bücherweise organisiert.  In jedem Buch sind zunächst die HTML5/JavaScript–Applets aufgelistet, danach die SWF–Applets.
*Am Ende folgen noch zwei alphabetische Listen aller HTML5/JS–Applets sowie aller SWF–Applets.  Hier finden Sie auch Informationen über deren Besonderheiten.}}

</p>
{{Collapse|ID=signald|TITEL='''zum Buch &bdquo;Signaldarstellung”'''|TEXT=
* [[Applets:Abtastung_analoger_Signale_und_Signalrekonstruktion|Abtastung analoger Signale und Signalrekonstruktion]]
* [[Applets:Diskrete_Fouriertransformation_und_Inverse|Diskrete Fouriertransformation und Inverse]]
* [[Applets:Frequenzgang|Frequenzgang & Impulsantwort]]
* [[Applets:Impulse und Spektren|Impulse & Spektren]]
* [[Applets:Periodendauer|Periodendauer periodischer Signale]]
* [[Applets:Physikalisches_Signal_und_Analytisches_Signal|Physikalisches Signal & Analytisches Signal]]
* [[Applets:Physikalisches_Signal_und_Äquivalentes_TP-Signal|Physikalisches Signal und Äquivalentes Tiefpass-Signal]]
* [[Applets:Zur_Verdeutlichung_der_grafischen_Faltung|Zur Verdeutlichung der grafischen Faltung]]
}}
{{Collapse|ID=lzs|TITEL='''zum Buch &bdquo;Lineare zeitinvariante Systeme”'''|TEXT=
* [[Applets:Dämpfung_von_Kupferkabeln|Dämpfung von Kupferkabeln]]
* [[Applets:Frequenzgang|Frequenzgang & Impulsantwort]]
* [[Applets:Kausale_Systeme_und_Laplacetransformation|Kausale Systeme und Laplacetransformation]]
* [[Applets:Lineare_Verzerrungen_periodischer Signale|Lineare Verzerrungen periodischer Signale]]
* [[Applets:Zur_Verdeutlichung_der_grafischen_Faltung|Zur Verdeutlichung der grafischen Faltung]]

===== SWF-Applets - basierend auf Shockwave Flash =====
* [[Applets:Bandbegrenzung|Einfluss einer Bandbegrenzung auf Sprache und Musik]]
* [[Applets:Laufzeit|Phasenlaufzeit & Gruppenlaufzeit]]
* [[Applets:Zeitverhalten_von_Kupferkabeln|Zeitverhalten von Kupferkabeln]]
}}
{{Collapse|ID=stosi|TITEL='''zum Buch &bdquo;Stochastische Signaltheorie”'''|TEXT=
* [[Applets:Gegenüberstellung_Binomial-_und_Poissonverteilung|Binomial– und Poissonverteilung]]
* [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]
* [[Applets:Korrelation_und_Regressionsgerade|Korrelation und Regressionsgerade]]
* [[Applets:WDF,_VTF_und_Momente_spezieller_Verteilungen_(Applet)|WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen]]
* [[Applets:WDF_und_VTF_bei_Gaußschen_2D_Zufallsgrößen_(Applet)|WDF und VTF bei Gaußschen 2D–Zufallsgrößen]]
* [[Applets:Zur_Verdeutlichung_des_Matched-Filters|Zur Verdeutlichung des Matched-Filters]]
* [[Applets:Zur_Verdeutlichung_digitaler_Filter|Zur Verdeutlichung digitaler Filter]]
* [[Applets:Zweidimensionale_Laplace-Zufallsgrößen_(Applet)|Zweidimensionale Laplace-Zufallsgrößen]]

===== SWF-Applets - basierend auf Shockwave Flash =====

* [[Applets:Markovketten|Ereigniswahrscheinlichkeiten einer Markovkette]]
}}
{{Collapse|ID=infot|TITEL='''zum Buch &bdquo;Informationstheorie”'''|TEXT=
* [[Applets:Abtastung_analoger_Signale_und_Signalrekonstruktion|Abtastung analoger Signale und Signalrekonstruktion]]
* [[Applets:Gegenüberstellung_Binomial-_und_Poissonverteilung|Binomial– und Poissonverteilung]]
* [[Applets:Entropien_von_binären_Nachrichtenquellen|Entropie und Näherungen binärer Nachrichtenquellen]]
* [[Applets:Huffman-_und_Shannon-Fano-Codierung|Huffman- und Shannon-Fano-Codierung]]
* [[Applets:Kapazität_von_digitalen_gedächtnislosen_Kanälen|Applets:Kapazität von digitalen gedächtnislosen Kanälen]]  
* [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]
* [[Applets:WDF_und_VTF_bei_Gaußschen_2D_Zufallsgrößen_(Applet)|WDF und VTF bei Gaußschen 2D–Zufallsgrößen]]
* [[Applets:WDF,_VTF_und_Momente_spezieller_Verteilungen_(Applet)|WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen]]
* [[Applets:Zur_Verdeutlichung_der_Pseudoternärcodes|Zur Verdeutlichung der Pseudoternärcodes]]

===== SWF-Applets - basierend auf Shockwave Flash =====
* [[Applets:Bandbegrenzung|Einfluss einer Bandbegrenzung auf Sprache und Musik]]
* [[Applets:Markovketten|Ereigniswahrscheinlichkeiten einer Markovkette]]
* [[Applets:Lempel-Ziv-Welch|Lempel-Ziv-Welch-Algorithmen]]
* [[Applets:QPSK_und_Offset-QPSK_(Applet)|QPSK und Offset-QPSK]]
* [[Applets:Qualität_verschiedener_Sprach–Codecs_(Applet)|Qualität verschiedener Sprach–Codecs]]
}}
{{Collapse|ID=modula|TITEL='''zum Buch &bdquo;Modulationsverfahren”'''|TEXT=
* [[Applets:Abtastung_analoger_Signale_und_Signalrekonstruktion|Abtastung analoger Signale und Signalrekonstruktion]]
* [[Applets:Besselfunktionen_erster_Art|Besselfunktionen erster Art]]
* [[Applets:Diskrete_Fouriertransformation_und_Inverse|Diskrete Fouriertransformation und Inverse]]
* [[Applets:Frequenzgang|Frequenzgang & Impulsantwort]]
* [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]
* [[Applets:Lineare_Verzerrungen_periodischer Signale|Lineare Verzerrungen periodischer Signale]]
* [[Applets:Physikalisches_Signal_und_Analytisches_Signal|Physikalisches Signal & Analytisches Signal]]
* [[Applets:Physikalisches_Signal_und_Äquivalentes_TP-Signal|Physikalisches Signal und Äquivalentes TP-Signal]]
* [[Applets:Zur_Erzeugung_von_Walsh-Funktionen_(neues_Applet)|Zur Erzeugung von Walsh-Funktionen]]

===== SWF-Applets - basierend auf Shockwave Flash =====
* [[Applets:DMT|DMT – Discrete Multiton Transmission]]
* [[Applets:Synchrondemodulator|Eigenschaften des Synchrondemodulators]]
* [[Applets:Bandbegrenzung|Einfluss einer Bandbegrenzung auf Sprache und Musik]]
* [[Applets:Frequency_Shift_Keying_%26_Continuous_Phase_Modulation|Frequency Shift Keying & Continuous Phase Modulation]]
* [[Applets:OFDM|OFDM – Signal & Spektrum]]
* [[Applets:OVSF-Codes_(Applet)|OVSF–Codes]]
* [[Applets:Prinzip_der_Quadratur-Amplitudenmodulation_(Applet)|Prinzip der Quadratur-Amplitudenmodulation]]
* [[Applets:QPSK_und_Offset-QPSK_(Applet)|QPSK und Offset-QPSK]]
}}
{{Collapse|ID=digsig|TITEL='''zum Buch &bdquo;Digitalsignalübertragung”'''|TEXT=
* [[Applets:Abtastung_analoger_Signale_und_Signalrekonstruktion|Abtastung analoger Signale und Signalrekonstruktion]]
* [[Applets:Augendiagramm_und_ungünstigste_Fehlerwahrscheinlichkeit|Augendiagramm und ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit]]
* [[Applets:Gegenüberstellung_Binomial-_und_Poissonverteilung|Binomial– und Poissonverteilung]]
* [[Applets:Dämpfung_von_Kupferkabeln|Dämpfung von Kupferkabeln]]
* [[Applets:Das_Gram-Schmidt-Verfahren|Das Gram-Schmidt-Verfahren]]
* [[Applets:Frequenzgang|Frequenzgang & Impulsantwort]]
* [[Applets:Impulse und Spektren|Impulse & Spektren]]
* [[Applets:Kohärentes_und_inkohärentes_On-Off-Keying|Kohärentes und inkohärentes On-Off-Keying]]
* [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]
* [[Applets:Prinzip_der_4B3T-Codierung|Prinzip der 4B3T-Codierung]]
* [[Applets:WDF_und_VTF_bei_Gaußschen_2D_Zufallsgrößen_(Applet)|WDF und VTF bei Gaußschen 2D–Zufallsgrößen]]
* [[Applets:Zur_Verdeutlichung_der_grafischen_Faltung|Zur Verdeutlichung der grafischen Faltung]]
* [[Applets:Zur_Verdeutlichung_der_Pseudoternärcodes|Zur Verdeutlichung der Pseudoternärcodes]]
* [[Applets:Zur_Verdeutlichung_des_Matched-Filters|Zur Verdeutlichung des Matched-Filters]]
* [[Applets:Zweidimensionale_Laplace-Zufallsgrößen_(Applet)|Zweidimensionale Laplace-Zufallsgrößen]]

===== SWF-Applets - basierend auf Shockwave Flash =====
* [[Applets:Bandbegrenzung|Einfluss einer Bandbegrenzung auf Sprache und Musik]]
* [[Applets:Entscheidungsrückkopplung|Applets:Entscheidungsrückkopplung]]
* [[Applets:Lineare_Nyquistentzerrung|Lineare Nyquistentzerrung]]
* [[Applets:MPSK_%26_Union-Bound(Applet)|Mehrstufige PSK & Union-Bound]]
* [[Applets:Regionen|Optimale Entscheidungsregionen]]
* [[Applets:Prinzip_der_Quadratur-Amplitudenmodulation_(Applet)|Prinzip der Quadratur-Amplitudenmodulation]]
* [[Applets:Fehlerwahrscheinlichkeit|Symbolfehlerwahrscheinlichkeit von Digitalsystemen]]
* [[Applets:Viterbi|Viterbi–Entscheider für einen Vorläufer]]
* [[Applets:Zeitverhalten_von_Kupferkabeln|Zeitverhalten von Kupferkabeln]]
}}
{{Collapse|ID=mobcomm|TITEL='''zum Buch &bdquo;Mobile Kommunikation”'''|TEXT=
* [[Applets:Besselfunktionen_erster_Art|Besselfunktionen erster Art]]
* [[Applets:Diskrete_Fouriertransformation_und_Inverse|Diskrete Fouriertransformation und Inverse]]
* [[Applets:Frequenzgang|Frequenzgang & Impulsantwort]]
* [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]
* [[Applets:WDF,_VTF_und_Momente_spezieller_Verteilungen_(Applet)|WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen]]
* [[Applets:Zur_Erzeugung_von_Walsh-Funktionen_(neues_Applet)|Zur Erzeugung von Walsh-Funktionen]]
* [[Applets:Zur_Verdeutlichung_der_grafischen_Faltung|Zur Verdeutlichung der grafischen Faltung]]
* [[Applets:Zur_Verdeutlichung_digitaler_Filter|Zur Verdeutlichung digitaler Filter]]
* [[Applets:Zur_Verdeutlichung_des_Dopplereffekts|Zur Verdeutlichung des Dopplereffekts]]

===== SWF-Applets - basierend auf Shockwave Flash =====
* [[Applets:Mehrwegeausbreitung_und_Frequenzselektivit%C3%A4t_(Applet)| Mehrwegeausbreitung und Frequenzselektivität]]
* [[Applets:OFDM|OFDM - Spektrum & Signale]]
* [[Applets:OVSF-Codes|OVSF-Codes]]
* [[Applets:Prinzip_der_Quadratur-Amplitudenmodulation_(Applet)|Prinzip der Quadratur–Amplitudenmodulation]]
* [[Applets:QPSK|QPSK und Offset–QPSK]]
* [[Applets:Sprachcodecs|Qualität verschiedener Sprachcodecs]] }}
{{Collapse|ID=chancod|TITEL='''zum Buch &bdquo;Kanalcodierung”'''|TEXT=
* [[Applets:Gegenüberstellung_Binomial-_und_Poissonverteilung|Binomial– und Poissonverteilung]]
* [[Applets:Das_Gram-Schmidt-Verfahren|Das Gram-Schmidt-Verfahren]]
* [[Applets:Diskrete_Fouriertransformation_und_Inverse|Diskrete Fouriertransformation und Inverse]]
* [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]
* [[Applets:Korrelation_und_Regressionsgerade|Korrelation und Regressionsgerade]]
* [[Applets:WDF,_VTF_und_Momente_spezieller_Verteilungen_(Applet)|WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen]]
* [[Applets:Zur_Verdeutlichung_der_grafischen_Faltung|Zur Verdeutlichung der grafischen Faltung]]
* [[Applets:Zur_Verdeutlichung_digitaler_Filter|Zur Verdeutlichung digitaler Filter]]

===== SWF-Applets - basierend auf Shockwave Flash =====
* [[Applets:MPSK_%26_Union-Bound(Applet)|Mehrstufige PSK & Union-Bound]]
* [[Applets:Fehlerwahrscheinlichkeit|Symbolfehlerwahrscheinlichkeit von Digitalsystemen]]
* [[Applets:Viterbi|Viterbi–Entscheider für einen Vorläufer]]
}}
{{Collapse|ID=nachrbeisp|TITEL='''zum Buch &bdquo;Beispiele von Nachrichtensysteme”'''|TEXT=
* [[Applets:Abtastung_analoger_Signale_und_Signalrekonstruktion|Abtastung analoger Signale und Signalrekonstruktion]]
* [[Applets:Diskrete_Fouriertransformation_und_Inverse|Diskrete Fouriertransformation und Inverse]]
* [[Applets:Dämpfung_von_Kupferkabeln|Dämpfung von Kupferkabeln]]
* [[Applets:Prinzip_der_4B3T-Codierung|Prinzip der 4B3T-Codierung]]
* [[Applets:Zur_Erzeugung_von_Walsh-Funktionen_(neues_Applet)|Zur Erzeugung von Walsh-Funktionen]]
* [[Applets:Zur_Verdeutlichung_der_Pseudoternärcodes|Zur Verdeutlichung der Pseudoternärcodes]]
* [[Applets:Zur_Verdeutlichung_des_Dopplereffekts|Zur Verdeutlichung des Dopplereffekts]]

===== SWF-Applets - basierend auf Shockwave Flash =====
* [[Applets:DMT|DMT – Discrete Multiton Transmission]]
* [[Applets:Frequency_Shift_Keying_%26_Continuous_Phase_Modulation|Frequency Shift Keying & Continuous Phase Modulation]]
* [[Applets:Mehrwegeausbreitung_und_Frequenzselektivit%C3%A4t_(Applet)| Mehrwegeausbreitung und Frequenzselektivität]]
* [[Applets:OFDM|OFDM - Spektrum & Signale]]
* [[Applets:OVSF-Codes|OVSF-Codes]]
* [[Applets:DMT-Prinzip|Prinzip der Prinzip der Discrete Multitone Transmission]]
* [[Applets:Prinzip_der_Quadratur-Amplitudenmodulation_(Applet)|Prinzip der Quadratur–Amplitudenmodulation]]
* [[Applets:Qualität_verschiedener_Sprach–Codecs_(Applet)|Qualität verschiedener Sprach–Codecs]]
* [[Applets:QPSK_und_Offset-QPSK_(Applet)|QPSK und Offset-QPSK]]
* [[Applets:Zeitverhalten_von_Kupferkabeln|Zeitverhalten von Kupferkabeln]]
}}

{{Collapse|ID=allhtml|TITEL='''Alphabetische Liste aller HTML5/JS–Applets'''|TEXT=
<p>
{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Hinweise und Tipps zu den HTML5/JS-Applets:}$ 
#Nach Auswahl des gewünschten Applets erscheint eine Wiki-Beschreibungsseite mit kurzer Inhaltsangabe und Bedienoberfläche. 
#Am Anfang und Ende dieser Beschreibungsseite gibt es jeweils Links zum eigentlichen HTML5–Applet.
#Die HTML5/JS-Applets können von vielen Browsern wie Firefox, Chrome und Safari, als auch von Smartphones und Tablets wiedergegeben werden.
#Die Versuchsdurchführung nebst den zugehörigen Musterlösungen sind auch in das Applet intergriert. }}
</p>

* [[Applets:Abtastung_analoger_Signale_und_Signalrekonstruktion|Abtastung analoger Signale und Signalrekonstruktion]]
* [[Applets:Augendiagramm_und_ungünstigste_Fehlerwahrscheinlichkeit|Augendiagramm und ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit]]
* [[Applets:Besselfunktionen_erster_Art|Besselfunktionen erster Art]]
* [[Applets:Gegenüberstellung_Binomial-_und_Poissonverteilung|Binomial– und Poissonverteilung]]
* [[Applets:Dämpfung_von_Kupferkabeln|Dämpfung von Kupferkabeln]]
* [[Applets:Das_Gram-Schmidt-Verfahren|Das Gram-Schmidt-Verfahren]]
* [[Applets:Diskrete_Fouriertransformation_und_Inverse|Diskrete Fouriertransformation und Inverse]]
* [[Applets:Entropien_von_binären_Nachrichtenquellen|Entropie und Näherungen binärer Nachrichtenquellen]]
* [[Applets:Frequenzgang|Frequenzgang & Impulsantwort]]
* [[Applets:Huffman-_und_Shannon-Fano-Codierung|Huffman- und Shannon-Fano-Codierung]]
* [[Applets:Impulse und Spektren|Impulse & Spektren]]
* [[Applets:Kapazität_von_digitalen_gedächtnislosen_Kanälen|Applets:Kapazität von digitalen gedächtnislosen Kanälen]]  
* [[Applets:Kausale_Systeme_und_Laplacetransformation|Kausale Systeme und Laplacetransformation]]
* [[Applets:Kohärentes_und_inkohärentes_On-Off-Keying|Kohärentes und inkohärentes On-Off-Keying]]
* [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]
* [[Applets:Korrelation_und_Regressionsgerade|Korrelation und Regressionsgerade]]
* [[Applets:Lineare_Verzerrungen_periodischer Signale|Lineare Verzerrungen periodischer Signale]]
* [[Applets:Periodendauer|Periodendauer periodischer Signale]]
* [[Applets:Physikalisches_Signal_und_Analytisches_Signal|Physikalisches Signal & Analytisches Signal]]
* [[Applets:Physikalisches_Signal_und_Äquivalentes_TP-Signal|Physikalisches Signal und Äquivalentes Tiefpass-Signal]]
* [[Applets:Prinzip_der_4B3T-Codierung|Prinzip der 4B3T-Codierung]]
* [[Applets:WDF_und_VTF_bei_Gaußschen_2D_Zufallsgrößen_(Applet)|WDF und VTF bei Gaußschen 2D–Zufallsgrößen]]
*[[Applets:WDF,_VTF_und_Momente_spezieller_Verteilungen_(Applet)|WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen]]
* [[Applets:Zur_Erzeugung_von_Walsh-Funktionen_(neues_Applet)|Zur Erzeugung von Walsh-Funktionen]]
* [[Applets:Zur_Verdeutlichung_der_grafischen_Faltung|Zur Verdeutlichung der grafischen Faltung]]
* [[Applets:Zur_Verdeutlichung_des_Matched-Filters|Zur Verdeutlichung des Matched-Filters]]
* [[Applets:Zur_Verdeutlichung_digitaler_Filter|Zur Verdeutlichung digitaler Filter]]
* [[Applets:Zur_Verdeutlichung_der_Pseudoternärcodes|Zur Verdeutlichung der Pseudoternärcodes]]
* [[Applets:Zur_Verdeutlichung_des_Dopplereffekts|Zur Verdeutlichung des Dopplereffekts]]
* [[Applets:Zweidimensionale_Laplace-Zufallsgrößen_(Applet)|Zweidimensionale Laplace-Zufallsgrößen]]
}}
{{Collapse|ID=allSWL|TITEL='''Alphabetische Liste aller SWF–Applets'''|TEXT=
<p>
{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Hinweise und Tipps zu den SWF-Applets:}$ 
# Unsere früheren SWF–Anwendungen wurden für Adobe Flash programmiert. Da das Flashplayer Browser Plugin aus Sichheitsgründen nicht mehr unterstützt wird, müssen diese Applets mit der &bdquo;Projektor–Version” geöffnet werden. Dieses Programm müssen Sie nicht installieren und es wird nicht in Ihren Browser integriert, es gibt also dahingehend keine Sicherheitsbedenken (sofern Sie dem LNTwww vertrauen).
# Auf den Wiki–Seiten zu den obigen SWF–Applets finden Sie die Projektorversion des Flashplayers und natürlich das Applet selber. Diese Applets funktionieren leider '''nicht auf Smartphones und Tablets'''.
# Die Versuchsdurchführung ist allerdings in das Applet weniger komfortabel intergriert als bei den HTML5/JS-Applets. Meist gibt es aber einen Button &bdquo;Erläuterungen” mit Tipps zur Programmhandhabung und zu geeigneten Parametersätzen mit stichpunktartigen Lösungshinweisen. }}
</p>
* [[Applets:DMT|DMT – Discrete Multiton Transmission]]
* [[Applets:Synchrondemodulator|Eigenschaften des Synchrondemodulators]]
* [[Applets:Bandbegrenzung|Einfluss einer Bandbegrenzung auf Sprache und Musik]]
* [[Applets:Entscheidungsrückkopplung|Applets:Entscheidungsrückkopplung]]
* [[Applets:Markovketten|Ereigniswahrscheinlichkeiten einer Markovkette]]
* [[Applets:Frequency_Shift_Keying_%26_Continuous_Phase_Modulation|Frequency Shift Keying & Continuous Phase Modulation]]
* [[Applets:Lempel-Ziv-Welch|Lempel-Ziv-Welch-Algorithmen]]
* [[Applets:Lineare_Nyquistentzerrung|Lineare Nyquistentzerrung]]
* [[Applets:MPSK_%26_Union-Bound(Applet)|Mehrstufige PSK & Union-Bound]]
* [[Applets:Mehrwegeausbreitung_und_Frequenzselektivit%C3%A4t_(Applet)| Mehrwegeausbreitung und Frequenzselektivität]]
* [[Applets:OFDM|OFDM - Spektrum & Signale]]
* [[Applets:OVSF-Codes|OVSF-Codes]]
* [[Applets:Regionen|Optimale Entscheidungsregionen]]
* [[Applets:Laufzeit|Phasenlaufzeit & Gruppenlaufzeit]]
* [[Applets:DMT-Prinzip|Prinzip der Prinzip der Discrete Multitone Transmission]]
* [[Applets:Prinzip_der_Quadratur-Amplitudenmodulation_(Applet)|Prinzip der Quadratur–Amplitudenmodulation]]
* [[Applets:Qualität_verschiedener_Sprach–Codecs_(Applet)|Qualität verschiedener Sprach–Codecs]]
* [[Applets:QPSK_und_Offset-QPSK_(Applet)|QPSK und Offset-QPSK]]
* [[Applets:Fehlerwahrscheinlichkeit|Symbolfehlerwahrscheinlichkeit von Digitalsystemen]]
* [[Applets:Viterbi|Viterbi–Entscheider für einen Vorläufer]]
* [[Applets:Zeitverhalten_von_Kupferkabeln|Zeitverhalten von Kupferkabeln]]
}}

{{Collapse|ID=englisch|TITEL='''English versions ######### ALLES AB HIER NOCH LÖSCHEN ###########'''|TEXT=
#  [https://en.lntwww.de/Applets:Attenuation_of_Copper_Cables Attenuation of Copper Cables]
#  [https://en.lntwww.de/Applets:Bessel_Functions_of_the_First_Kind Bessel Functions of the First Kind]
#  [https://en.lntwww.de/Applets:Binomial_and_Poisson_Distribution_(Applet) Binomial and Poisson Distribution]
#  [https://en.lntwww.de/Applets:Discrete_Fouriertransform_and_Inverse Discrete Fourier Transform and Inverse] '''App im Entstehen'''
#  [https://en.lntwww.de/Applets:Generation_of_Walsh_functions Generation of Walsh functions]  
#  [https://en.lntwww.de/Applets:Linear_Distortions_of_Periodic_Signals Linear Distortions of Periodic Signals]
#  [https://en.lntwww.de/Applets:Period_Duration_of_Periodic_Signals Period Duration of Periodic Signalsl]
#  [https://en.lntwww.de/Applets:Physical_Signal_&_Analytic_Signal Physical Signal & Analytic Signal]
#  [https://en.lntwww.de/Applets:Physical_Signal_%26_Equivalent_Lowpass_Signal Physical Signal & Equivalent Lowpass Signal]
#  [https://en.lntwww.de/Applets:Sampling_of_Analog_Signals_and_Signal_Reconstruction Sampling of Analog Signals and Signal Reconstruction]   '''App im Entstehen'''
#  [https://en.lntwww.de/Applets:The_Doppler_Effect The Doppler Effect]
#  [https://en.lntwww.de/Applets:Frequency_%26_Impulse_Responses Frequency and Impulse Responses]
#  [https://en.lntwww.de/Applets:Impulses_and_Spectra Impulses and Spectra]

}}

{{Collapse|ID=alte|TITEL='''SWF-Interaktionsmodule'''|TEXT=
{{BlaueBox|TEXT=
*Die nachfolgend aufgeführten Applets wurden für den Adobe Flashplayer programmiert. Da die Software eingestellt wurde, sollte man aus Sicherheitsgründen auf keinen Fall ein Flash Plugin im Browser installiert haben. Um diese älteren Applets dennoch betrachten zu können, benötigen Sie die "Projektor" Version des Flashplayers von [https://www.adobe.com/support/flashplayer/debug_downloads.html hier] oder [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/0_Flashplayer hier]). Somit müssen Sie keine Sicherheitsbedenken haben, sofern Sie natürlich dem lntwww vertrauen.
*Im Gegensatz zu den obigen HTML5-Applets gibt es zu den SWF-Applets keine WIKI Seiten, Sie finden aber in den meisten Applets interne "Erklärungen" hinsichtlich Theorie, Handhabung und geeigneten Parametersätzen. }}

#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/Mehrwege%20Empfang/Frequenzselektivitaet.swf Auswirkungen des Mehrwegeempfangs]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/DMT/DMT.swf Discrete Multitone Transmission]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/Synchrondemodulator/synchdem.swf Eigenschaften des Synchrondemodulators bei ZSB und ESB]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/Bandbegrenzung/bandbegrenzung.swf Einfluss einer Bandbegrenzung auf Sprache und Musik]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/Entscheidungsr%c3%bcckkopplung/DFE.swf Entscheidungsrückkopplung]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/FSK%20CPM/cpm.swf Frequency Shift Keying & Continuous Phase Modulation]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/Laplacetransformation/ Kausale Systeme & Laplacetransformation]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/Lempel-Ziv%20Welch/Lempel_Ziv_Welch.swf Lempel-Ziv-Welch-Algorithmen]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/Lineare%20Nyquistentzerrung/Lineare_Nyquistentzerrung.swf Lineare Nyquistentzerrung]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/Markovkette/Markovketten.swf Markovkette erster Ordnung]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/MPSK%20UnionBound/MPSK_UB.swf Mehrstufige PSK & Union Bound]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/On-Off%20Keying/On-Off-Keying.swf Nichtkohärentes On-Off-Keying]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/OFDM/OFDM.swf OFDM - Spektrum & Signale]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/QPSK%20OQPSK/QPSK.swf QPSK und Offset–QPSK]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/Entscheidungsregionen/Regionen0.swf Optimale Entscheidungsregionen]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/OVSF%20Codes/OVSF.swf OVSF-Codes]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/Phasenlaufzeit/laufzeit.swf Phasenlaufzeit & Gruppenlaufzeit]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/DMT%20Prinzip/DMT-Prinzip.swf Prinzip der Discrete Multitone Transmission]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/QAM%20Prinzip/QAM-Prinzip.swf Prinzip der Quadratur–Amplitudenmodulation]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/Sprach%20Codecs/sprach-codecs.swf Qualität verschiedener Sprachcodecs]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/Symbolfehlerwahrscheinlichkeit/Fehlerwahrscheinlichkeit.swf Symbolfehlerwahrscheinlichkeit von Digitalsystemen]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/Viterbi%20Empfang/Viterbi.swf Viterbi-Empfänger]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/Zeitverhalten%20von%20Kupferkabeln/Zeitverhalten_von_Kupferkabeln.swf Zeitverhalten von Kupferkabeln]
}}

{{Collapse|ID=todo|TITEL='''To-Do-Liste für Applets'''|TEXT=

'''Zugehörige neu programmierte HTML5/JS-Applets (Reihenfolge entsprechen der vorherigen Liste)'''

#  [[Applets:Kausale_Systeme_und_Laplacetransformation|Kausale Systeme und Laplacetransformation]]       '''in Bearbeitung'''
#  [[Applets:Kohärentes_und_inkohärentes_On-Off-Keying|Kohärentes und inkohärentes On-Off-Keying]]       '''in Bearbeitung'''
#  [[Applets:Prinzip_der_4B3T-Codierung|Prinzip der 4B3T-Codierung]]
#  [[Applets:Zur_Verdeutlichung_der_Pseudoternärcodes|Zur Verdeutlichung der Pseudoternärcodes]]
#  [[Applets:Zur_Verdeutlichung_des_Dopplereffekts|Zur Verdeutlichung des Dopplereffekts]]   '''OK''';           EN:   '''E_check'''
#  [[Applets:Zur_Verdeutlichung_digitaler_Filter|Zur Verdeutlichung digitaler Filter]]
#  [[Applets:Zur_Verdeutlichung_des_Matched-Filters|Zur Verdeutlichung des Matched-Filters]]
#  [[Applets:Abtastung_analoger_Signale_und_Signalrekonstruktion|Abtastung analoger Signale und Signalrekonstruktion]]
#  [[Applets:Kapazität_von_digitalen_gedächtnislosen_Kanälen|Applets:Kapazität von digitalen gedächtnislosen Kanälen]]  
#  [[Applets:Korrelation_und_Regressionsgerade|Korrelation und Regressionsgerade]]
#  [[Applets:Das_Gram-Schmidt-Verfahren|Das Gram-Schmidt-Verfahren]]
#  [[Applets:WDF,_VTF_und_Momente_spezieller_Verteilungen_(Applet)|WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen]]
#  [[Applets:Augendiagramm_und_ungünstigste_Fehlerwahrscheinlichkeit|Augendiagramm und ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit]]
#  [[Applets:Diskrete_Fouriertransformation_und_Inverse|Diskrete Fouriertransformation und Inverse]]
#  [[Applets:Zur_Verdeutlichung_der_grafischen_Faltung|Zur Verdeutlichung der grafischen Faltung]]
#  [[Applets:WDF_und_VTF_bei_Gaußschen_2D_Zufallsgrößen_(Applet)|WDF und VTF bei Gaußschen 2D–Zufallsgrößen]]
#  [[Applets:Zweidimensionale_Laplace-Zufallsgrößen_(Applet)|Zweidimensionale Laplace-Zufallsgrößen]]
#  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]
#  [[Applets:Entropien_von_binären_Nachrichtenquellen|Entropie und Näherungen binärer Nachrichtenquellen]]
#  [[Applets:Huffman-_und_Shannon-Fano-Codierung|Huffman- und Shannon-Fano-Codierung]]
#  [[Applets:Zur_Erzeugung_von_Walsh-Funktionen_(neues_Applet)|Zur Erzeugung von Walsh-Funktionen]]
#  [[Applets:Physikalisches_Signal_und_Analytisches_Signal|Physikalisches Signal & Analytisches Signal]]
#  [[Applets:Physikalisches_Signal_und_Äquivalentes_TP-Signal|Physikalisches Signal und Äquivalentes Tiefpass-Signal]]
#  [[Applets:Besselfunktionen_erster_Art|Besselfunktionen erster Art]]         OK,       '''EN:''' E-Check
#  [[Applets:Dämpfung_von_Kupferkabeln|Dämpfung von Kupferkabeln]]
#  [[Applets:Lineare_Verzerrungen_periodischer Signale|Lineare Verzerrungen periodischer Signale]]
#  [[Applets:Gegenüberstellung_Binomial-_und_Poissonverteilung|Binomial– und Poissonverteilung]]
#  [[Applets:Frequenzgang|Frequenzgang & Impulsantwort]]         Applet OK, Manualgrafik,   '''EN:''' Applet OK, Manualgrafik, übersetzen
#  [[Applets:Impulse und Spektren|Impulse & Spektren]]         Applet OK, Manualgrafik,   '''EN:''' Applet OK, Manualgrafik, übersetzen
#  [[Applets:Periodendauer|Periodendauer periodischer Signale]]         Applet D und E mit Versuchsdurchführung
}}

__NOTOC__

Applets:Regionen

2021-02-26T16:16:53Z

Tasnad:

Applets:Regionen

2021-02-26T16:16:39Z

Tasnad: Die Seite wurde neu angelegt: „{{OldFlashComments}} {{OldFlash|Z_ID293/Regionen_0}}“

LNTwww:Applets

2021-02-26T16:03:43Z

Tasnad:

<p>
{{BlaueBox|TEXT=
*Die Auswahlliste ist bücherweise organisiert.  In jedem Buch sind zunächst die HTML5/JavaScript–Applets aufgelistet, danach die SWF–Applets.
*Am Ende folgen noch zwei alphabetische Listen aller HTML5/JS–Applets sowie aller SWF–Applets.  Hier finden Sie auch Informationen über deren Besonderheiten.}}

</p>
{{Collapse|ID=signald|TITEL='''zum Buch &bdquo;Signaldarstellung”'''|TEXT=
* [[Applets:Abtastung_analoger_Signale_und_Signalrekonstruktion|Abtastung analoger Signale und Signalrekonstruktion]]
* [[Applets:Diskrete_Fouriertransformation_und_Inverse|Diskrete Fouriertransformation und Inverse]]
* [[Applets:Frequenzgang|Frequenzgang & Impulsantwort]]
* [[Applets:Impulse und Spektren|Impulse & Spektren]]
* [[Applets:Periodendauer|Periodendauer periodischer Signale]]
* [[Applets:Physikalisches_Signal_und_Analytisches_Signal|Physikalisches Signal & Analytisches Signal]]
* [[Applets:Physikalisches_Signal_und_Äquivalentes_TP-Signal|Physikalisches Signal und Äquivalentes Tiefpass-Signal]]
* [[Applets:Zur_Verdeutlichung_der_grafischen_Faltung|Zur Verdeutlichung der grafischen Faltung]]
}}
{{Collapse|ID=lzs|TITEL='''zum Buch &bdquo;Lineare zeitinvariante Systeme”'''|TEXT=
* [[Applets:Dämpfung_von_Kupferkabeln|Dämpfung von Kupferkabeln]]
* [[Applets:Frequenzgang|Frequenzgang & Impulsantwort]]
* [[Applets:Kausale_Systeme_und_Laplacetransformation|Kausale Systeme und Laplacetransformation]]
* [[Applets:Lineare_Verzerrungen_periodischer Signale|Lineare Verzerrungen periodischer Signale]]
* [[Applets:Zur_Verdeutlichung_der_grafischen_Faltung|Zur Verdeutlichung der grafischen Faltung]]

===== SWF-Applets - basierend auf Shockwave Flash =====
* [[Applets:Bandbegrenzung|Einfluss einer Bandbegrenzung auf Sprache und Musik]]
* [[Applets:Laufzeit|Phasenlaufzeit & Gruppenlaufzeit]]
* [[Applets:Zeitverhalten_von_Kupferkabeln|Zeitverhalten von Kupferkabeln]]
}}
{{Collapse|ID=stosi|TITEL='''zum Buch &bdquo;Stochastische Signaltheorie”'''|TEXT=
* [[Applets:Gegenüberstellung_Binomial-_und_Poissonverteilung|Binomial– und Poissonverteilung]]
* [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]
* [[Applets:Korrelation_und_Regressionsgerade|Korrelation und Regressionsgerade]]
* [[Applets:WDF,_VTF_und_Momente_spezieller_Verteilungen_(Applet)|WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen]]
* [[Applets:WDF_und_VTF_bei_Gaußschen_2D_Zufallsgrößen_(Applet)|WDF und VTF bei Gaußschen 2D–Zufallsgrößen]]
* [[Applets:Zur_Verdeutlichung_des_Matched-Filters|Zur Verdeutlichung des Matched-Filters]]
* [[Applets:Zur_Verdeutlichung_digitaler_Filter|Zur Verdeutlichung digitaler Filter]]
* [[Applets:Zweidimensionale_Laplace-Zufallsgrößen_(Applet)|Zweidimensionale Laplace-Zufallsgrößen]]

===== SWF-Applets - basierend auf Shockwave Flash =====

* [[Applets:Markovketten|Ereigniswahrscheinlichkeiten einer Markovkette]]
}}
{{Collapse|ID=infot|TITEL='''zum Buch &bdquo;Informationstheorie”'''|TEXT=
* [[Applets:Abtastung_analoger_Signale_und_Signalrekonstruktion|Abtastung analoger Signale und Signalrekonstruktion]]
* [[Applets:Gegenüberstellung_Binomial-_und_Poissonverteilung|Binomial– und Poissonverteilung]]
* [[Applets:Entropien_von_binären_Nachrichtenquellen|Entropie und Näherungen binärer Nachrichtenquellen]]
* [[Applets:Huffman-_und_Shannon-Fano-Codierung|Huffman- und Shannon-Fano-Codierung]]
* [[Applets:Kapazität_von_digitalen_gedächtnislosen_Kanälen|Applets:Kapazität von digitalen gedächtnislosen Kanälen]]  
* [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]
* [[Applets:WDF_und_VTF_bei_Gaußschen_2D_Zufallsgrößen_(Applet)|WDF und VTF bei Gaußschen 2D–Zufallsgrößen]]
* [[Applets:WDF,_VTF_und_Momente_spezieller_Verteilungen_(Applet)|WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen]]
* [[Applets:Zur_Verdeutlichung_der_Pseudoternärcodes|Zur Verdeutlichung der Pseudoternärcodes]]

===== SWF-Applets - basierend auf Shockwave Flash =====
* [[Applets:Bandbegrenzung|Einfluss einer Bandbegrenzung auf Sprache und Musik]]
* [[Applets:Markovketten|Ereigniswahrscheinlichkeiten einer Markovkette]]
* [[Applets:Lempel-Ziv-Welch|Lempel-Ziv-Welch-Algorithmen]]
* [[Applets:QPSK_und_Offset-QPSK_(Applet)|QPSK und Offset-QPSK]]
* [[Applets:Qualität_verschiedener_Sprach–Codecs_(Applet)|Qualität verschiedener Sprach–Codecs]]
}}
{{Collapse|ID=modula|TITEL='''zum Buch &bdquo;Modulationsverfahren”'''|TEXT=
* [[Applets:Abtastung_analoger_Signale_und_Signalrekonstruktion|Abtastung analoger Signale und Signalrekonstruktion]]
* [[Applets:Besselfunktionen_erster_Art|Besselfunktionen erster Art]]
* [[Applets:Diskrete_Fouriertransformation_und_Inverse|Diskrete Fouriertransformation und Inverse]]
* [[Applets:Frequenzgang|Frequenzgang & Impulsantwort]]
* [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]
* [[Applets:Lineare_Verzerrungen_periodischer Signale|Lineare Verzerrungen periodischer Signale]]
* [[Applets:Physikalisches_Signal_und_Analytisches_Signal|Physikalisches Signal & Analytisches Signal]]
* [[Applets:Physikalisches_Signal_und_Äquivalentes_TP-Signal|Physikalisches Signal und Äquivalentes TP-Signal]]
* [[Applets:Zur_Erzeugung_von_Walsh-Funktionen_(neues_Applet)|Zur Erzeugung von Walsh-Funktionen]]

===== SWF-Applets - basierend auf Shockwave Flash =====
* [[Applets:DMT|DMT – Discrete Multiton Transmission]]
* [[Applets:Synchrondemodulator|Eigenschaften des Synchrondemodulators]]
* [[Applets:Bandbegrenzung|Einfluss einer Bandbegrenzung auf Sprache und Musik]]
* [[Applets:Frequency_Shift_Keying_%26_Continuous_Phase_Modulation|Frequency Shift Keying & Continuous Phase Modulation]]
* [[Applets:OFDM|OFDM – Signal & Spektrum]]
* [[Applets:OVSF-Codes_(Applet)|OVSF–Codes]]
* [[Applets:Prinzip_der_Quadratur-Amplitudenmodulation_(Applet)|Prinzip der Quadratur-Amplitudenmodulation]]
* [[Applets:QPSK_und_Offset-QPSK_(Applet)|QPSK und Offset-QPSK]]
}}
{{Collapse|ID=digsig|TITEL='''zum Buch &bdquo;Digitalsignalübertragung”'''|TEXT=
* [[Applets:Abtastung_analoger_Signale_und_Signalrekonstruktion|Abtastung analoger Signale und Signalrekonstruktion]]
* [[Applets:Augendiagramm_und_ungünstigste_Fehlerwahrscheinlichkeit|Augendiagramm und ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit]]
* [[Applets:Gegenüberstellung_Binomial-_und_Poissonverteilung|Binomial– und Poissonverteilung]]
* [[Applets:Dämpfung_von_Kupferkabeln|Dämpfung von Kupferkabeln]]
* [[Applets:Das_Gram-Schmidt-Verfahren|Das Gram-Schmidt-Verfahren]]
* [[Applets:Frequenzgang|Frequenzgang & Impulsantwort]]
* [[Applets:Impulse und Spektren|Impulse & Spektren]]
* [[Applets:Kohärentes_und_inkohärentes_On-Off-Keying|Kohärentes und inkohärentes On-Off-Keying]]
* [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]
* [[Applets:Prinzip_der_4B3T-Codierung|Prinzip der 4B3T-Codierung]]
* [[Applets:WDF_und_VTF_bei_Gaußschen_2D_Zufallsgrößen_(Applet)|WDF und VTF bei Gaußschen 2D–Zufallsgrößen]]
* [[Applets:Zur_Verdeutlichung_der_grafischen_Faltung|Zur Verdeutlichung der grafischen Faltung]]
* [[Applets:Zur_Verdeutlichung_der_Pseudoternärcodes|Zur Verdeutlichung der Pseudoternärcodes]]
* [[Applets:Zur_Verdeutlichung_des_Matched-Filters|Zur Verdeutlichung des Matched-Filters]]
* [[Applets:Zweidimensionale_Laplace-Zufallsgrößen_(Applet)|Zweidimensionale Laplace-Zufallsgrößen]]

===== SWF-Applets - basierend auf Shockwave Flash =====
* [[Applets:Bandbegrenzung|Einfluss einer Bandbegrenzung auf Sprache und Musik]]
* [[Applets:Entscheidungsrückkopplung|Applets:Entscheidungsrückkopplung]]
* [[Applets:Lineare_Nyquistentzerrung|Lineare Nyquistentzerrung]]
* [[Applets:MPSK_%26_Union-Bound(Applet)|Mehrstufige PSK & Union-Bound]]
* [[Applets:Regionen(Applet)|Optimale Entscheidungsregionen]]
* [[Applets:Prinzip_der_Quadratur-Amplitudenmodulation_(Applet)|Prinzip der Quadratur-Amplitudenmodulation]]
* [[Applets:Fehlerwahrscheinlichkeit|Symbolfehlerwahrscheinlichkeit von Digitalsystemen]]
* [[Applets:Viterbi|Viterbi–Entscheider für einen Vorläufer]]
* [[Applets:Zeitverhalten_von_Kupferkabeln|Zeitverhalten von Kupferkabeln]]
}}
{{Collapse|ID=mobcomm|TITEL='''zum Buch &bdquo;Mobile Kommunikation”'''|TEXT=
* [[Applets:Besselfunktionen_erster_Art|Besselfunktionen erster Art]]
* [[Applets:Diskrete_Fouriertransformation_und_Inverse|Diskrete Fouriertransformation und Inverse]]
* [[Applets:Frequenzgang|Frequenzgang & Impulsantwort]]
* [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]
* [[Applets:WDF,_VTF_und_Momente_spezieller_Verteilungen_(Applet)|WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen]]
* [[Applets:Zur_Erzeugung_von_Walsh-Funktionen_(neues_Applet)|Zur Erzeugung von Walsh-Funktionen]]
* [[Applets:Zur_Verdeutlichung_der_grafischen_Faltung|Zur Verdeutlichung der grafischen Faltung]]
* [[Applets:Zur_Verdeutlichung_digitaler_Filter|Zur Verdeutlichung digitaler Filter]]
* [[Applets:Zur_Verdeutlichung_des_Dopplereffekts|Zur Verdeutlichung des Dopplereffekts]]

===== SWF-Applets - basierend auf Shockwave Flash =====
* [[Applets:Mehrwegeausbreitung_und_Frequenzselektivit%C3%A4t_(Applet)| Mehrwegeausbreitung und Frequenzselektivität]]
* [[Applets:OFDM|OFDM - Spektrum & Signale]]
* [[Applets:OVSF-Codes|OVSF-Codes]]
* [[Applets:Prinzip_der_Quadratur-Amplitudenmodulation_(Applet)|Prinzip der Quadratur–Amplitudenmodulation]]
* [[Applets:QPSK|QPSK und Offset–QPSK]]
* [[Applets:Sprachcodecs|Qualität verschiedener Sprachcodecs]] }}
{{Collapse|ID=chancod|TITEL='''zum Buch &bdquo;Kanalcodierung”'''|TEXT=
* [[Applets:Gegenüberstellung_Binomial-_und_Poissonverteilung|Binomial– und Poissonverteilung]]
* [[Applets:Das_Gram-Schmidt-Verfahren|Das Gram-Schmidt-Verfahren]]
* [[Applets:Diskrete_Fouriertransformation_und_Inverse|Diskrete Fouriertransformation und Inverse]]
* [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]
* [[Applets:Korrelation_und_Regressionsgerade|Korrelation und Regressionsgerade]]
* [[Applets:WDF,_VTF_und_Momente_spezieller_Verteilungen_(Applet)|WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen]]
* [[Applets:Zur_Verdeutlichung_der_grafischen_Faltung|Zur Verdeutlichung der grafischen Faltung]]
* [[Applets:Zur_Verdeutlichung_digitaler_Filter|Zur Verdeutlichung digitaler Filter]]

===== SWF-Applets - basierend auf Shockwave Flash =====
* [[Applets:MPSK_%26_Union-Bound(Applet)|Mehrstufige PSK & Union-Bound]]
* [[Applets:Fehlerwahrscheinlichkeit|Symbolfehlerwahrscheinlichkeit von Digitalsystemen]]
* [[Applets:Viterbi|Viterbi–Entscheider für einen Vorläufer]]
}}
{{Collapse|ID=nachrbeisp|TITEL='''zum Buch &bdquo;Beispiele von Nachrichtensysteme”'''|TEXT=
* [[Applets:Abtastung_analoger_Signale_und_Signalrekonstruktion|Abtastung analoger Signale und Signalrekonstruktion]]
* [[Applets:Diskrete_Fouriertransformation_und_Inverse|Diskrete Fouriertransformation und Inverse]]
* [[Applets:Dämpfung_von_Kupferkabeln|Dämpfung von Kupferkabeln]]
* [[Applets:Prinzip_der_4B3T-Codierung|Prinzip der 4B3T-Codierung]]
* [[Applets:Zur_Erzeugung_von_Walsh-Funktionen_(neues_Applet)|Zur Erzeugung von Walsh-Funktionen]]
* [[Applets:Zur_Verdeutlichung_der_Pseudoternärcodes|Zur Verdeutlichung der Pseudoternärcodes]]
* [[Applets:Zur_Verdeutlichung_des_Dopplereffekts|Zur Verdeutlichung des Dopplereffekts]]

===== SWF-Applets - basierend auf Shockwave Flash =====
* [[Applets:DMT|DMT – Discrete Multiton Transmission]]
* [[Applets:Frequency_Shift_Keying_%26_Continuous_Phase_Modulation|Frequency Shift Keying & Continuous Phase Modulation]]
* [[Applets:Mehrwegeausbreitung_und_Frequenzselektivit%C3%A4t_(Applet)| Mehrwegeausbreitung und Frequenzselektivität]]
* [[Applets:OFDM|OFDM - Spektrum & Signale]]
* [[Applets:OVSF-Codes|OVSF-Codes]]
* [[Applets:DMT-Prinzip|Prinzip der Prinzip der Discrete Multitone Transmission]]
* [[Applets:Prinzip_der_Quadratur-Amplitudenmodulation_(Applet)|Prinzip der Quadratur–Amplitudenmodulation]]
* [[Applets:Qualität_verschiedener_Sprach–Codecs_(Applet)|Qualität verschiedener Sprach–Codecs]]
* [[Applets:QPSK_und_Offset-QPSK_(Applet)|QPSK und Offset-QPSK]]
* [[Applets:Zeitverhalten_von_Kupferkabeln|Zeitverhalten von Kupferkabeln]]
}}

{{Collapse|ID=allhtml|TITEL='''Alphabetische Liste aller HTML5/JS–Applets'''|TEXT=
<p>
{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Hinweise und Tipps zu den HTML5/JS-Applets:}$ 
#Nach Auswahl des gewünschten Applets erscheint eine Wiki-Beschreibungsseite mit kurzer Inhaltsangabe und Bedienoberfläche. 
#Am Anfang und Ende dieser Beschreibungsseite gibt es jeweils Links zum eigentlichen HTML5–Applet.
#Die HTML5/JS-Applets können von vielen Browsern wie Firefox, Chrome und Safari, als auch von Smartphones und Tablets wiedergegeben werden.
#Die Versuchsdurchführung nebst den zugehörigen Musterlösungen sind auch in das Applet intergriert. }}
</p>

* [[Applets:Abtastung_analoger_Signale_und_Signalrekonstruktion|Abtastung analoger Signale und Signalrekonstruktion]]
* [[Applets:Augendiagramm_und_ungünstigste_Fehlerwahrscheinlichkeit|Augendiagramm und ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit]]
* [[Applets:Besselfunktionen_erster_Art|Besselfunktionen erster Art]]
* [[Applets:Gegenüberstellung_Binomial-_und_Poissonverteilung|Binomial– und Poissonverteilung]]
* [[Applets:Dämpfung_von_Kupferkabeln|Dämpfung von Kupferkabeln]]
* [[Applets:Das_Gram-Schmidt-Verfahren|Das Gram-Schmidt-Verfahren]]
* [[Applets:Diskrete_Fouriertransformation_und_Inverse|Diskrete Fouriertransformation und Inverse]]
* [[Applets:Entropien_von_binären_Nachrichtenquellen|Entropie und Näherungen binärer Nachrichtenquellen]]
* [[Applets:Frequenzgang|Frequenzgang & Impulsantwort]]
* [[Applets:Huffman-_und_Shannon-Fano-Codierung|Huffman- und Shannon-Fano-Codierung]]
* [[Applets:Impulse und Spektren|Impulse & Spektren]]
* [[Applets:Kapazität_von_digitalen_gedächtnislosen_Kanälen|Applets:Kapazität von digitalen gedächtnislosen Kanälen]]  
* [[Applets:Kausale_Systeme_und_Laplacetransformation|Kausale Systeme und Laplacetransformation]]
* [[Applets:Kohärentes_und_inkohärentes_On-Off-Keying|Kohärentes und inkohärentes On-Off-Keying]]
* [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]
* [[Applets:Korrelation_und_Regressionsgerade|Korrelation und Regressionsgerade]]
* [[Applets:Lineare_Verzerrungen_periodischer Signale|Lineare Verzerrungen periodischer Signale]]
* [[Applets:Periodendauer|Periodendauer periodischer Signale]]
* [[Applets:Physikalisches_Signal_und_Analytisches_Signal|Physikalisches Signal & Analytisches Signal]]
* [[Applets:Physikalisches_Signal_und_Äquivalentes_TP-Signal|Physikalisches Signal und Äquivalentes Tiefpass-Signal]]
* [[Applets:Prinzip_der_4B3T-Codierung|Prinzip der 4B3T-Codierung]]
* [[Applets:WDF_und_VTF_bei_Gaußschen_2D_Zufallsgrößen_(Applet)|WDF und VTF bei Gaußschen 2D–Zufallsgrößen]]
*[[Applets:WDF,_VTF_und_Momente_spezieller_Verteilungen_(Applet)|WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen]]
* [[Applets:Zur_Erzeugung_von_Walsh-Funktionen_(neues_Applet)|Zur Erzeugung von Walsh-Funktionen]]
* [[Applets:Zur_Verdeutlichung_der_grafischen_Faltung|Zur Verdeutlichung der grafischen Faltung]]
* [[Applets:Zur_Verdeutlichung_des_Matched-Filters|Zur Verdeutlichung des Matched-Filters]]
* [[Applets:Zur_Verdeutlichung_digitaler_Filter|Zur Verdeutlichung digitaler Filter]]
* [[Applets:Zur_Verdeutlichung_der_Pseudoternärcodes|Zur Verdeutlichung der Pseudoternärcodes]]
* [[Applets:Zur_Verdeutlichung_des_Dopplereffekts|Zur Verdeutlichung des Dopplereffekts]]
* [[Applets:Zweidimensionale_Laplace-Zufallsgrößen_(Applet)|Zweidimensionale Laplace-Zufallsgrößen]]
}}
{{Collapse|ID=allSWL|TITEL='''Alphabetische Liste aller SWF–Applets'''|TEXT=
<p>
{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Hinweise und Tipps zu den SWF-Applets:}$ 
# Unsere früheren SWF–Anwendungen wurden für Adobe Flash programmiert. Da das Flashplayer Browser Plugin aus Sichheitsgründen nicht mehr unterstützt wird, müssen diese Applets mit der &bdquo;Projektor–Version” geöffnet werden. Dieses Programm müssen Sie nicht installieren und es wird nicht in Ihren Browser integriert, es gibt also dahingehend keine Sicherheitsbedenken (sofern Sie dem LNTwww vertrauen).
# Auf den Wiki–Seiten zu den obigen SWF–Applets finden Sie die Projektorversion des Flashplayers und natürlich das Applet selber. Diese Applets funktionieren leider '''nicht auf Smartphones und Tablets'''.
# Die Versuchsdurchführung ist allerdings in das Applet weniger komfortabel intergriert als bei den HTML5/JS-Applets. Meist gibt es aber einen Button &bdquo;Erläuterungen” mit Tipps zur Programmhandhabung und zu geeigneten Parametersätzen mit stichpunktartigen Lösungshinweisen. }}
</p>
* [[Applets:DMT|DMT – Discrete Multiton Transmission]]
* [[Applets:Synchrondemodulator|Eigenschaften des Synchrondemodulators]]
* [[Applets:Bandbegrenzung|Einfluss einer Bandbegrenzung auf Sprache und Musik]]
* [[Applets:Entscheidungsrückkopplung|Applets:Entscheidungsrückkopplung]]
* [[Applets:Markovketten|Ereigniswahrscheinlichkeiten einer Markovkette]]
* [[Applets:Frequency_Shift_Keying_%26_Continuous_Phase_Modulation|Frequency Shift Keying & Continuous Phase Modulation]]
* [[Applets:Lempel-Ziv-Welch|Lempel-Ziv-Welch-Algorithmen]]
* [[Applets:Lineare_Nyquistentzerrung|Lineare Nyquistentzerrung]]
* [[Applets:MPSK_%26_Union-Bound(Applet)|Mehrstufige PSK & Union-Bound]]
* [[Applets:Mehrwegeausbreitung_und_Frequenzselektivit%C3%A4t_(Applet)| Mehrwegeausbreitung und Frequenzselektivität]]
* [[Applets:OFDM|OFDM - Spektrum & Signale]]
* [[Applets:OVSF-Codes|OVSF-Codes]]
* [[Applets:Regionen(Applet)|Optimale Entscheidungsregionen]]
* [[Applets:Laufzeit|Phasenlaufzeit & Gruppenlaufzeit]]
* [[Applets:DMT-Prinzip|Prinzip der Prinzip der Discrete Multitone Transmission]]
* [[Applets:Prinzip_der_Quadratur-Amplitudenmodulation_(Applet)|Prinzip der Quadratur–Amplitudenmodulation]]
* [[Applets:Qualität_verschiedener_Sprach–Codecs_(Applet)|Qualität verschiedener Sprach–Codecs]]
* [[Applets:QPSK_und_Offset-QPSK_(Applet)|QPSK und Offset-QPSK]]
* [[Applets:Fehlerwahrscheinlichkeit|Symbolfehlerwahrscheinlichkeit von Digitalsystemen]]
* [[Applets:Viterbi|Viterbi–Entscheider für einen Vorläufer]]
* [[Applets:Zeitverhalten_von_Kupferkabeln|Zeitverhalten von Kupferkabeln]]
}}

{{Collapse|ID=englisch|TITEL='''English versions ######### ALLES AB HIER NOCH LÖSCHEN ###########'''|TEXT=
#  [https://en.lntwww.de/Applets:Attenuation_of_Copper_Cables Attenuation of Copper Cables]
#  [https://en.lntwww.de/Applets:Bessel_Functions_of_the_First_Kind Bessel Functions of the First Kind]
#  [https://en.lntwww.de/Applets:Binomial_and_Poisson_Distribution_(Applet) Binomial and Poisson Distribution]
#  [https://en.lntwww.de/Applets:Discrete_Fouriertransform_and_Inverse Discrete Fourier Transform and Inverse] '''App im Entstehen'''
#  [https://en.lntwww.de/Applets:Generation_of_Walsh_functions Generation of Walsh functions]  
#  [https://en.lntwww.de/Applets:Linear_Distortions_of_Periodic_Signals Linear Distortions of Periodic Signals]
#  [https://en.lntwww.de/Applets:Period_Duration_of_Periodic_Signals Period Duration of Periodic Signalsl]
#  [https://en.lntwww.de/Applets:Physical_Signal_&_Analytic_Signal Physical Signal & Analytic Signal]
#  [https://en.lntwww.de/Applets:Physical_Signal_%26_Equivalent_Lowpass_Signal Physical Signal & Equivalent Lowpass Signal]
#  [https://en.lntwww.de/Applets:Sampling_of_Analog_Signals_and_Signal_Reconstruction Sampling of Analog Signals and Signal Reconstruction]   '''App im Entstehen'''
#  [https://en.lntwww.de/Applets:The_Doppler_Effect The Doppler Effect]
#  [https://en.lntwww.de/Applets:Frequency_%26_Impulse_Responses Frequency and Impulse Responses]
#  [https://en.lntwww.de/Applets:Impulses_and_Spectra Impulses and Spectra]

}}

{{Collapse|ID=alte|TITEL='''SWF-Interaktionsmodule'''|TEXT=
{{BlaueBox|TEXT=
*Die nachfolgend aufgeführten Applets wurden für den Adobe Flashplayer programmiert. Da die Software eingestellt wurde, sollte man aus Sicherheitsgründen auf keinen Fall ein Flash Plugin im Browser installiert haben. Um diese älteren Applets dennoch betrachten zu können, benötigen Sie die "Projektor" Version des Flashplayers von [https://www.adobe.com/support/flashplayer/debug_downloads.html hier] oder [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/0_Flashplayer hier]). Somit müssen Sie keine Sicherheitsbedenken haben, sofern Sie natürlich dem lntwww vertrauen.
*Im Gegensatz zu den obigen HTML5-Applets gibt es zu den SWF-Applets keine WIKI Seiten, Sie finden aber in den meisten Applets interne "Erklärungen" hinsichtlich Theorie, Handhabung und geeigneten Parametersätzen. }}

#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/Mehrwege%20Empfang/Frequenzselektivitaet.swf Auswirkungen des Mehrwegeempfangs]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/DMT/DMT.swf Discrete Multitone Transmission]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/Synchrondemodulator/synchdem.swf Eigenschaften des Synchrondemodulators bei ZSB und ESB]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/Bandbegrenzung/bandbegrenzung.swf Einfluss einer Bandbegrenzung auf Sprache und Musik]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/Entscheidungsr%c3%bcckkopplung/DFE.swf Entscheidungsrückkopplung]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/FSK%20CPM/cpm.swf Frequency Shift Keying & Continuous Phase Modulation]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/Laplacetransformation/ Kausale Systeme & Laplacetransformation]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/Lempel-Ziv%20Welch/Lempel_Ziv_Welch.swf Lempel-Ziv-Welch-Algorithmen]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/Lineare%20Nyquistentzerrung/Lineare_Nyquistentzerrung.swf Lineare Nyquistentzerrung]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/Markovkette/Markovketten.swf Markovkette erster Ordnung]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/MPSK%20UnionBound/MPSK_UB.swf Mehrstufige PSK & Union Bound]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/On-Off%20Keying/On-Off-Keying.swf Nichtkohärentes On-Off-Keying]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/OFDM/OFDM.swf OFDM - Spektrum & Signale]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/QPSK%20OQPSK/QPSK.swf QPSK und Offset–QPSK]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/Entscheidungsregionen/Regionen0.swf Optimale Entscheidungsregionen]
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#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/Phasenlaufzeit/laufzeit.swf Phasenlaufzeit & Gruppenlaufzeit]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/DMT%20Prinzip/DMT-Prinzip.swf Prinzip der Discrete Multitone Transmission]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/QAM%20Prinzip/QAM-Prinzip.swf Prinzip der Quadratur–Amplitudenmodulation]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/Sprach%20Codecs/sprach-codecs.swf Qualität verschiedener Sprachcodecs]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/Symbolfehlerwahrscheinlichkeit/Fehlerwahrscheinlichkeit.swf Symbolfehlerwahrscheinlichkeit von Digitalsystemen]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/Viterbi%20Empfang/Viterbi.swf Viterbi-Empfänger]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/Zeitverhalten%20von%20Kupferkabeln/Zeitverhalten_von_Kupferkabeln.swf Zeitverhalten von Kupferkabeln]
}}

{{Collapse|ID=todo|TITEL='''To-Do-Liste für Applets'''|TEXT=

'''Zugehörige neu programmierte HTML5/JS-Applets (Reihenfolge entsprechen der vorherigen Liste)'''

#  [[Applets:Kausale_Systeme_und_Laplacetransformation|Kausale Systeme und Laplacetransformation]]       '''in Bearbeitung'''
#  [[Applets:Kohärentes_und_inkohärentes_On-Off-Keying|Kohärentes und inkohärentes On-Off-Keying]]       '''in Bearbeitung'''
#  [[Applets:Prinzip_der_4B3T-Codierung|Prinzip der 4B3T-Codierung]]
#  [[Applets:Zur_Verdeutlichung_der_Pseudoternärcodes|Zur Verdeutlichung der Pseudoternärcodes]]
#  [[Applets:Zur_Verdeutlichung_des_Dopplereffekts|Zur Verdeutlichung des Dopplereffekts]]   '''OK''';           EN:   '''E_check'''
#  [[Applets:Zur_Verdeutlichung_digitaler_Filter|Zur Verdeutlichung digitaler Filter]]
#  [[Applets:Zur_Verdeutlichung_des_Matched-Filters|Zur Verdeutlichung des Matched-Filters]]
#  [[Applets:Abtastung_analoger_Signale_und_Signalrekonstruktion|Abtastung analoger Signale und Signalrekonstruktion]]
#  [[Applets:Kapazität_von_digitalen_gedächtnislosen_Kanälen|Applets:Kapazität von digitalen gedächtnislosen Kanälen]]  
#  [[Applets:Korrelation_und_Regressionsgerade|Korrelation und Regressionsgerade]]
#  [[Applets:Das_Gram-Schmidt-Verfahren|Das Gram-Schmidt-Verfahren]]
#  [[Applets:WDF,_VTF_und_Momente_spezieller_Verteilungen_(Applet)|WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen]]
#  [[Applets:Augendiagramm_und_ungünstigste_Fehlerwahrscheinlichkeit|Augendiagramm und ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit]]
#  [[Applets:Diskrete_Fouriertransformation_und_Inverse|Diskrete Fouriertransformation und Inverse]]
#  [[Applets:Zur_Verdeutlichung_der_grafischen_Faltung|Zur Verdeutlichung der grafischen Faltung]]
#  [[Applets:WDF_und_VTF_bei_Gaußschen_2D_Zufallsgrößen_(Applet)|WDF und VTF bei Gaußschen 2D–Zufallsgrößen]]
#  [[Applets:Zweidimensionale_Laplace-Zufallsgrößen_(Applet)|Zweidimensionale Laplace-Zufallsgrößen]]
#  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]
#  [[Applets:Entropien_von_binären_Nachrichtenquellen|Entropie und Näherungen binärer Nachrichtenquellen]]
#  [[Applets:Huffman-_und_Shannon-Fano-Codierung|Huffman- und Shannon-Fano-Codierung]]
#  [[Applets:Zur_Erzeugung_von_Walsh-Funktionen_(neues_Applet)|Zur Erzeugung von Walsh-Funktionen]]
#  [[Applets:Physikalisches_Signal_und_Analytisches_Signal|Physikalisches Signal & Analytisches Signal]]
#  [[Applets:Physikalisches_Signal_und_Äquivalentes_TP-Signal|Physikalisches Signal und Äquivalentes Tiefpass-Signal]]
#  [[Applets:Besselfunktionen_erster_Art|Besselfunktionen erster Art]]         OK,       '''EN:''' E-Check
#  [[Applets:Dämpfung_von_Kupferkabeln|Dämpfung von Kupferkabeln]]
#  [[Applets:Lineare_Verzerrungen_periodischer Signale|Lineare Verzerrungen periodischer Signale]]
#  [[Applets:Gegenüberstellung_Binomial-_und_Poissonverteilung|Binomial– und Poissonverteilung]]
#  [[Applets:Frequenzgang|Frequenzgang & Impulsantwort]]         Applet OK, Manualgrafik,   '''EN:''' Applet OK, Manualgrafik, übersetzen
#  [[Applets:Impulse und Spektren|Impulse & Spektren]]         Applet OK, Manualgrafik,   '''EN:''' Applet OK, Manualgrafik, übersetzen
#  [[Applets:Periodendauer|Periodendauer periodischer Signale]]         Applet D und E mit Versuchsdurchführung
}}

__NOTOC__

MediaWiki:Common.css

2021-02-25T21:09:53Z

Tasnad:

#content { font:Times 13px bold; }

/* do not add automatic numbering to tables of contents */
#toc .tocnumber { display: none; }

LNTwww:Applets

2021-02-25T21:01:04Z

Tasnad:

<p>
{{BlaueBox|TEXT=
*Diese Applets – basierend auf HTML5 & JavaScript – können von vielen Browsern  (Firefox, Chrome und Safari)  als auch von Smartphones wiedergegeben werden.
*Die Auswahlliste ist bücherweise organisiert. Manche Applets werden bei verschiedenen Büchern angeboten. Danach folgen sechs englischsprachige Versionen.
*Nach Aufruf erscheint eine Wiki-Beschreibungsseite mit Inhaltsangabe, theoretischem Hintergrund, Versuchsdurchführung und einer Bedienungsanleitung.
*Am Anfang und Ende dieser Beschreibungsseite gibt es jeweils einen Link zum eigentlichen HTML5 /JS–Applet.
}}

</p>

{{Collapse|ID=signald|TITEL='''zum Buch &bdquo;Signaldarstellung”'''|TEXT=
#  [[Applets:Abtastung_analoger_Signale_und_Signalrekonstruktion|Abtastung analoger Signale und Signalrekonstruktion]]
#  [[Applets:Diskrete_Fouriertransformation_und_Inverse|Diskrete Fouriertransformation und Inverse]]
#  [[Applets:Frequenzgang|Frequenzgang & Impulsantwort]]
#  [[Applets:Impulse und Spektren|Impulse & Spektren]]
#  [[Applets:Periodendauer|Periodendauer periodischer Signale]]
#  [[Applets:Physikalisches_Signal_und_Analytisches_Signal|Physikalisches Signal & Analytisches Signal]]
#  [[Applets:Physikalisches_Signal_und_Äquivalentes_TP-Signal|Physikalisches Signal und Äquivalentes Tiefpass-Signal]]
#  [[Applets:Zur_Verdeutlichung_der_grafischen_Faltung|Zur Verdeutlichung der grafischen Faltung]]

}}

{{Collapse|ID=lzs|TITEL='''zum Buch &bdquo;Lineare zeitinvariante Systeme”'''|TEXT=
* [[Applets:Dämpfung_von_Kupferkabeln|Dämpfung von Kupferkabeln]]
* [[Applets:Frequenzgang|Frequenzgang & Impulsantwort]]
* [[Applets:Kausale_Systeme_und_Laplacetransformation|Kausale Systeme und Laplacetransformation]]
* [[Applets:Lineare_Verzerrungen_periodischer Signale|Lineare Verzerrungen periodischer Signale]]
* [[Applets:Zur_Verdeutlichung_der_grafischen_Faltung|Zur Verdeutlichung der grafischen Faltung]]

===== SWF-Applets - basierend auf Shockwave Flash =====
* [[Applets:Bandbegrenzung|Einfluss einer Bandbegrenzung auf Sprache und Musik]]
* [[Applets:Laufzeit|Phasenlaufzeit & Gruppenlaufzeit]]
* [[Applets:Zeitverhalten_von_Kupferkabeln|Zeitverhalten von Kupferkabeln]]
}}

{{Collapse|ID=stosi|TITEL='''zum Buch &bdquo;Stochastische Signaltheorie”'''|TEXT=
#  [[Applets:Gegenüberstellung_Binomial-_und_Poissonverteilung|Binomial– und Poissonverteilung]]
#  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]
#  [[Applets:Korrelation_und_Regressionsgerade|Korrelation und Regressionsgerade]]
#  [[Applets:WDF,_VTF_und_Momente_spezieller_Verteilungen_(Applet)|WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen]]
#  [[Applets:WDF_und_VTF_bei_Gaußschen_2D_Zufallsgrößen_(Applet)|WDF und VTF bei Gaußschen 2D–Zufallsgrößen]]
#  [[Applets:Zur_Verdeutlichung_des_Matched-Filters|Zur Verdeutlichung des Matched-Filters]]
#  [[Applets:Zur_Verdeutlichung_digitaler_Filter|Zur Verdeutlichung digitaler Filter]]
#  [[Applets:Zweidimensionale_Laplace-Zufallsgrößen_(Applet)|Zweidimensionale Laplace-Zufallsgrößen]]
}}

{{Collapse|ID=infot|TITEL='''zum Buch &bdquo;Informationstheorie”'''|TEXT=
#  [[Applets:Abtastung_analoger_Signale_und_Signalrekonstruktion|Abtastung analoger Signale und Signalrekonstruktion]]
#  [[Applets:Gegenüberstellung_Binomial-_und_Poissonverteilung|Binomial– und Poissonverteilung]]
#  [[Applets:Entropien_von_binären_Nachrichtenquellen|Entropie und Näherungen binärer Nachrichtenquellen]]
#  [[Applets:Huffman-_und_Shannon-Fano-Codierung|Huffman- und Shannon-Fano-Codierung]]
#  [[Applets:Kapazität_von_digitalen_gedächtnislosen_Kanälen|Applets:Kapazität von digitalen gedächtnislosen Kanälen]]  
#  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]
#  [[Applets:WDF_und_VTF_bei_Gaußschen_2D_Zufallsgrößen_(Applet)|WDF und VTF bei Gaußschen 2D–Zufallsgrößen]]
#  [[Applets:WDF,_VTF_und_Momente_spezieller_Verteilungen_(Applet)|WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen]]
#  [[Applets:Zur_Verdeutlichung_der_Pseudoternärcodes|Zur Verdeutlichung der Pseudoternärcodes]]

}}

{{Collapse|ID=modula|TITEL='''zum Buch &bdquo;Modulationsverfahren”'''|TEXT=
#  [[Applets:Abtastung_analoger_Signale_und_Signalrekonstruktion|Abtastung analoger Signale und Signalrekonstruktion]]
#  [[Applets:Besselfunktionen_erster_Art|Besselfunktionen erster Art]]
#  [[Applets:Frequenzgang|Frequenzgang & Impulsantwort]]
#  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]
#  [[Applets:Lineare_Verzerrungen_periodischer Signale|Lineare Verzerrungen periodischer Signale]]
#  [[Applets:Physikalisches_Signal_und_Analytisches_Signal|Physikalisches Signal & Analytisches Signal]]
#  [[Applets:Physikalisches_Signal_und_Äquivalentes_TP-Signal|Physikalisches Signal und Äquivalentes TP-Signal]]
#  [[Applets:Zur_Erzeugung_von_Walsh-Funktionen_(neues_Applet)|Zur Erzeugung von Walsh-Funktionen]]
}}

{{Collapse|ID=digsig|TITEL='''zum Buch &bdquo;Digitalsignalübertragung”'''|TEXT=
#  [[Applets:Abtastung_analoger_Signale_und_Signalrekonstruktion|Abtastung analoger Signale und Signalrekonstruktion]]
#  [[Applets:Augendiagramm_und_ungünstigste_Fehlerwahrscheinlichkeit|Augendiagramm und ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit]]
#  [[Applets:Gegenüberstellung_Binomial-_und_Poissonverteilung|Binomial– und Poissonverteilung]]
#  [[Applets:Dämpfung_von_Kupferkabeln|Dämpfung von Kupferkabeln]]
#  [[Applets:Das_Gram-Schmidt-Verfahren|Das Gram-Schmidt-Verfahren]]
#  [[Applets:Frequenzgang|Frequenzgang & Impulsantwort]]
#  [[Applets:Impulse und Spektren|Impulse & Spektren]]
#  [[Applets:Kohärentes_und_inkohärentes_On-Off-Keying|Kohärentes und inkohärentes On-Off-Keying]]   '''App im Entstehen'''
#  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]
#  [[Applets:Prinzip_der_4B3T-Codierung|Prinzip der 4B3T-Codierung]]   '''App im Entstehen'''
#  [[Applets:Zur_Verdeutlichung_der_grafischen_Faltung|Zur Verdeutlichung der grafischen Faltung]]
#  [[Applets:Zur_Verdeutlichung_der_Pseudoternärcodes|Zur Verdeutlichung der Pseudoternärcodes]]
#  [[Applets:Zur_Verdeutlichung_des_Matched-Filters|Zur Verdeutlichung des Matched-Filters]]
#  [[Applets:Zweidimensionale_Laplace-Zufallsgrößen_(Applet)|Zweidimensionale Laplace-Zufallsgrößen]]
}}

{{Collapse|ID=mobcomm|TITEL='''zum Buch &bdquo;Mobile Kommunikation”'''|TEXT=
#  [[Applets:Besselfunktionen_erster_Art|Besselfunktionen erster Art]]
#  [[Applets:Diskrete_Fouriertransformation_und_Inverse|Diskrete Fouriertransformation und Inverse]]
#  [[Applets:Frequenzgang|Frequenzgang & Impulsantwort]]
#  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]
#  [[Applets:WDF,_VTF_und_Momente_spezieller_Verteilungen_(Applet)|WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen]]
#  [[Applets:Zur_Erzeugung_von_Walsh-Funktionen_(neues_Applet)|Zur Erzeugung von Walsh-Funktionen]]
#  [[Applets:Zur_Verdeutlichung_der_grafischen_Faltung|Zur Verdeutlichung der grafischen Faltung]]
#  [[Applets:Zur_Verdeutlichung_digitaler_Filter|Zur Verdeutlichung digitaler Filter]]
#  [[Applets:Zur_Verdeutlichung_des_Dopplereffekts|Zur Verdeutlichung des Dopplereffekts]]

                  $\text{SWF–Applets}$ - basierend auf Shockwave Flash: 

:#  [[Applets:Mehrwegeausbreitung_und_Frequenzselektivit%C3%A4t_(Applet)| Mehrwegeausbreitung und Frequenzselektivität]]
:#  [[Applets:OFDM|OFDM - Spektrum & Signale]]
:#  [[Applets:OVSF-Codes|OVSF-Codes]]
:#  [[Applets:Prinzip_der_Quadratur-Amplitudenmodulation_(Applet)|Prinzip der Quadratur–Amplitudenmodulation]]
:#  [[Applets:QPSK|QPSK und Offset–QPSK]]
:#  [[Applets:Sprachcodecs|Qualität verschiedener Sprachcodecs]] }}

{{Collapse|ID=chancod|TITEL='''zum Buch &bdquo;Kanalcodierung”'''|TEXT=
#  [[Applets:Gegenüberstellung_Binomial-_und_Poissonverteilung|Binomial– und Poissonverteilung]]
#  [[Applets:Das_Gram-Schmidt-Verfahren|Das Gram-Schmidt-Verfahren]]
#  [[Applets:Diskrete_Fouriertransformation_und_Inverse|Diskrete Fouriertransformation und Inverse]]
#  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]
#  [[Applets:Korrelation_und_Regressionsgerade|Korrelation und Regressionsgerade]]
#  [[Applets:WDF,_VTF_und_Momente_spezieller_Verteilungen_(Applet)|WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen]]
#  [[Applets:Zur_Verdeutlichung_der_grafischen_Faltung|Zur Verdeutlichung der grafischen Faltung]]
}}

{{Collapse|ID=nachrbeisp|TITEL='''zum Buch &bdquo;Beispiele von Nachrichtensysteme”'''|TEXT=
#  [[Applets:Abtastung_analoger_Signale_und_Signalrekonstruktion|Abtastung analoger Signale und Signalrekonstruktion]]
#  [[Applets:Diskrete_Fouriertransformation_und_Inverse|Diskrete Fouriertransformation und Inverse]]
#  [[Applets:Dämpfung_von_Kupferkabeln|Dämpfung von Kupferkabeln]]
#  [[Applets:Zur_Erzeugung_von_Walsh-Funktionen_(neues_Applet)|Zur Erzeugung von Walsh-Funktionen]]

}}

{{Collapse|ID=allhtml|TITEL='''Alphabetische Liste aller HTML5/JS–Applets'''|TEXT=
#  [[Applets:Abtastung_analoger_Signale_und_Signalrekonstruktion|Abtastung analoger Signale und Signalrekonstruktion]]
#  [[Applets:Besselfunktionen_erster_Art|Besselfunktionen erster Art]]
#  [[Applets:Gegenüberstellung_Binomial-_und_Poissonverteilung|Binomial– und Poissonverteilung]]
#  [[Applets:Dämpfung_von_Kupferkabeln|Dämpfung von Kupferkabeln]]
#  [[Applets:Diskrete_Fouriertransformation_und_Inverse|Diskrete Fouriertransformation und Inverse]]
#  [[Applets:Entropien_von_binären_Nachrichtenquellen|Entropie und Näherungen binärer Nachrichtenquellen]]
#  [[Applets:Frequenzgang|Frequenzgang & Impulsantwort]]
#  [[Applets:Huffman-_und_Shannon-Fano-Codierung|Huffman- und Shannon-Fano-Codierung]]
#  [[Applets:Impulse und Spektren|Impulse & Spektren]]
#  [[Applets:Kausale_Systeme_und_Laplacetransformation|Kausale Systeme und Laplacetransformation]]
#  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]
#  [[Applets:Korrelation_und_Regressionsgerade|Korrelation und Regressionsgerade]]
#  [[Applets:Lineare_Verzerrungen_periodischer Signale|Lineare Verzerrungen periodischer Signale]]
#  [[Applets:Periodendauer|Periodendauer periodischer Signale]]
#  [[Applets:Physikalisches_Signal_und_Analytisches_Signal|Physikalisches Signal & Analytisches Signal]]
#  [[Applets:Physikalisches_Signal_und_Äquivalentes_TP-Signal|Physikalisches Signal und Äquivalentes Tiefpass-Signal]]
#  [[Applets:WDF_und_VTF_bei_Gaußschen_2D_Zufallsgrößen_(Applet)|WDF und VTF bei Gaußschen 2D–Zufallsgrößen]]
#  [[Applets:WDF,_VTF_und_Momente_spezieller_Verteilungen_(Applet)|WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen]]
#  [[Applets:Zur_Erzeugung_von_Walsh-Funktionen_(neues_Applet)|Zur Erzeugung von Walsh-Funktionen]]
#  [[Applets:Zur_Verdeutlichung_der_grafischen_Faltung|Zur Verdeutlichung der grafischen Faltung]]
#  [[Applets:Zur_Verdeutlichung_des_Matched-Filters|Zur Verdeutlichung des Matched-Filters]]
#  [[Applets:Zur_Verdeutlichung_digitaler_Filter|Zur Verdeutlichung digitaler Filter]]
#  [[Applets:Zur_Verdeutlichung_der_Pseudoternärcodes|Zur Verdeutlichung der Pseudoternärcodes]]
#  [[Applets:Zur_Verdeutlichung_des_Dopplereffekts|Zur Verdeutlichung des Dopplereffekts]]
#  [[Applets:Zweidimensionale_Laplace-Zufallsgrößen_(Applet)|Zweidimensionale Laplace-Zufallsgrößen]]
}}

{{Collapse|ID=englisch|TITEL='''English versions'''|TEXT=
#  [https://en.lntwww.de/Applets:Attenuation_of_Copper_Cables Attenuation of Copper Cables]
#  [https://en.lntwww.de/Applets:Bessel_Functions_of_the_First_Kind Bessel Functions of the First Kind]
#  [https://en.lntwww.de/Applets:Binomial_and_Poisson_Distribution_(Applet) Binomial and Poisson Distribution]
#  [https://en.lntwww.de/Applets:Discrete_Fouriertransform_and_Inverse Discrete Fourier Transform and Inverse] '''App im Entstehen'''
#  [https://en.lntwww.de/Applets:Generation_of_Walsh_functions Generation of Walsh functions]  
#  [https://en.lntwww.de/Applets:Linear_Distortions_of_Periodic_Signals Linear Distortions of Periodic Signals]
#  [https://en.lntwww.de/Applets:Period_Duration_of_Periodic_Signals Period Duration of Periodic Signalsl]
#  [https://en.lntwww.de/Applets:Physical_Signal_&_Analytic_Signal Physical Signal & Analytic Signal]
#  [https://en.lntwww.de/Applets:Physical_Signal_%26_Equivalent_Lowpass_Signal Physical Signal & Equivalent Lowpass Signal]
#  [https://en.lntwww.de/Applets:Sampling_of_Analog_Signals_and_Signal_Reconstruction Sampling of Analog Signals and Signal Reconstruction]   '''App im Entstehen'''
#  [https://en.lntwww.de/Applets:The_Doppler_Effect The Doppler Effect]
#  [https://en.lntwww.de/Applets:Frequency_%26_Impulse_Responses Frequency and Impulse Responses]
#  [https://en.lntwww.de/Applets:Impulses_and_Spectra Impulses and Spectra]

}}

{{Collapse|ID=alte|TITEL='''SWF-Interaktionsmodule'''|TEXT=
{{BlaueBox|TEXT=
*Die nachfolgend aufgeführten Applets wurden für den Adobe Flashplayer programmiert. Da die Software eingestellt wurde, sollte man aus Sicherheitsgründen auf keinen Fall ein Flash Plugin im Browser installiert haben. Um diese älteren Applets dennoch betrachten zu können, benötigen Sie die "Projektor" Version des Flashplayers von [https://www.adobe.com/support/flashplayer/debug_downloads.html hier] oder [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/0_Flashplayer hier]). Somit müssen Sie keine Sicherheitsbedenken haben, sofern Sie natürlich dem lntwww vertrauen.
*Im Gegensatz zu den obigen HTML5-Applets gibt es zu den SWF-Applets keine WIKI Seiten, Sie finden aber in den meisten Applets interne "Erklärungen" hinsichtlich Theorie, Handhabung und geeigneten Parametersätzen. }}

#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/Mehrwege%20Empfang/Frequenzselektivitaet.swf Auswirkungen des Mehrwegeempfangs]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/DMT/DMT.swf Discrete Multitone Transmission]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/Synchrondemodulator/synchdem.swf Eigenschaften des Synchrondemodulators bei ZSB und ESB]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/Bandbegrenzung/bandbegrenzung.swf Einfluss einer Bandbegrenzung auf Sprache und Musik]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/Entscheidungsr%c3%bcckkopplung/DFE.swf Entscheidungsrückkopplung]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/FSK%20CPM/cpm.swf Frequency Shift Keying & Continuous Phase Modulation]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/Laplacetransformation/ Kausale Systeme & Laplacetransformation]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/Lempel-Ziv%20Welch/Lempel_Ziv_Welch.swf Lempel-Ziv-Welch-Algorithmen]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/Lineare%20Nyquistentzerrung/Lineare_Nyquistentzerrung.swf Lineare Nyquistentzerrung]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/Markovkette/Markovketten.swf Markovkette erster Ordnung]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/MPSK%20UnionBound/MPSK_UB.swf Mehrstufige PSK & Union Bound]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/On-Off%20Keying/On-Off-Keying.swf Nichtkohärentes On-Off-Keying]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/OFDM/OFDM.swf OFDM - Spektrum & Signale]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/QPSK%20OQPSK/QPSK.swf QPSK und Offset–QPSK]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/Entscheidungsregionen/Regionen0.swf Optimale Entscheidungsregionen]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/OVSF%20Codes/OVSF.swf OVSF-Codes]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/Phasenlaufzeit/laufzeit.swf Phasenlaufzeit & Gruppenlaufzeit]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/DMT%20Prinzip/DMT-Prinzip.swf Prinzip der Discrete Multitone Transmission]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/QAM%20Prinzip/QAM-Prinzip.swf Prinzip der Quadratur–Amplitudenmodulation]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/Sprach%20Codecs/sprach-codecs.swf Qualität verschiedener Sprachcodecs]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/Symbolfehlerwahrscheinlichkeit/Fehlerwahrscheinlichkeit.swf Symbolfehlerwahrscheinlichkeit von Digitalsystemen]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/Viterbi%20Empfang/Viterbi.swf Viterbi-Empfänger]
#  [https://www.lntwww.de/downloads/SWF-Applets/Zeitverhalten%20von%20Kupferkabeln/Zeitverhalten_von_Kupferkabeln.swf Zeitverhalten von Kupferkabeln]
}}

{{Collapse|ID=todo|TITEL='''To-Do-Liste für Applets'''|TEXT=

'''Zugehörige neu programmierte HTML5/JS-Applets (Reihenfolge entsprechen der vorherigen Liste)'''

#  [[Applets:Kausale_Systeme_und_Laplacetransformation|Kausale Systeme und Laplacetransformation]]       '''in Bearbeitung'''
#  [[Applets:Kohärentes_und_inkohärentes_On-Off-Keying|Kohärentes und inkohärentes On-Off-Keying]]       '''in Bearbeitung'''
#  [[Applets:Prinzip_der_4B3T-Codierung|Prinzip der 4B3T-Codierung]]
#  [[Applets:Zur_Verdeutlichung_der_Pseudoternärcodes|Zur Verdeutlichung der Pseudoternärcodes]]
#  [[Applets:Zur_Verdeutlichung_des_Dopplereffekts|Zur Verdeutlichung des Dopplereffekts]]   '''OK''';           EN:   '''E_check'''
#  [[Applets:Zur_Verdeutlichung_digitaler_Filter|Zur Verdeutlichung digitaler Filter]]
#  [[Applets:Zur_Verdeutlichung_des_Matched-Filters|Zur Verdeutlichung des Matched-Filters]]
#  [[Applets:Abtastung_analoger_Signale_und_Signalrekonstruktion|Abtastung analoger Signale und Signalrekonstruktion]]
#  [[Applets:Kapazität_von_digitalen_gedächtnislosen_Kanälen|Applets:Kapazität von digitalen gedächtnislosen Kanälen]]  
#  [[Applets:Korrelation_und_Regressionsgerade|Korrelation und Regressionsgerade]]
#  [[Applets:Das_Gram-Schmidt-Verfahren|Das Gram-Schmidt-Verfahren]]
#  [[Applets:WDF,_VTF_und_Momente_spezieller_Verteilungen_(Applet)|WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen]]
#  [[Applets:Augendiagramm_und_ungünstigste_Fehlerwahrscheinlichkeit|Augendiagramm und ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit]]
#  [[Applets:Diskrete_Fouriertransformation_und_Inverse|Diskrete Fouriertransformation und Inverse]]
#  [[Applets:Zur_Verdeutlichung_der_grafischen_Faltung|Zur Verdeutlichung der grafischen Faltung]]
#  [[Applets:WDF_und_VTF_bei_Gaußschen_2D_Zufallsgrößen_(Applet)|WDF und VTF bei Gaußschen 2D–Zufallsgrößen]]
#  [[Applets:Zweidimensionale_Laplace-Zufallsgrößen_(Applet)|Zweidimensionale Laplace-Zufallsgrößen]]
#  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]
#  [[Applets:Entropien_von_binären_Nachrichtenquellen|Entropie und Näherungen binärer Nachrichtenquellen]]
#  [[Applets:Huffman-_und_Shannon-Fano-Codierung|Huffman- und Shannon-Fano-Codierung]]
#  [[Applets:Zur_Erzeugung_von_Walsh-Funktionen_(neues_Applet)|Zur Erzeugung von Walsh-Funktionen]]
#  [[Applets:Physikalisches_Signal_und_Analytisches_Signal|Physikalisches Signal & Analytisches Signal]]
#  [[Applets:Physikalisches_Signal_und_Äquivalentes_TP-Signal|Physikalisches Signal und Äquivalentes Tiefpass-Signal]]
#  [[Applets:Besselfunktionen_erster_Art|Besselfunktionen erster Art]]         OK,       '''EN:''' E-Check
#  [[Applets:Dämpfung_von_Kupferkabeln|Dämpfung von Kupferkabeln]]
#  [[Applets:Lineare_Verzerrungen_periodischer Signale|Lineare Verzerrungen periodischer Signale]]
#  [[Applets:Gegenüberstellung_Binomial-_und_Poissonverteilung|Binomial– und Poissonverteilung]]
#  [[Applets:Frequenzgang|Frequenzgang & Impulsantwort]]         Applet OK, Manualgrafik,   '''EN:''' Applet OK, Manualgrafik, übersetzen
#  [[Applets:Impulse und Spektren|Impulse & Spektren]]         Applet OK, Manualgrafik,   '''EN:''' Applet OK, Manualgrafik, übersetzen
#  [[Applets:Periodendauer|Periodendauer periodischer Signale]]         Applet D und E mit Versuchsdurchführung

}}

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2021-02-25T20:59:45Z

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<h4 class="panel-title">
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</h4>
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{{{TEXT}}}
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/*Header*/
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/* tasnad.kernetzky@tum.de: this made the quiz very ugly after pressing the show solutions button */
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Vorlage:LntAppletLinkEnDe

2021-02-24T15:06:21Z

Tasnad:

{{#tag:html|
<a href="lnt_applets/{{{1}}}/index.html" target="_blank" class="btn btn-lg btn-default applet-button">{{{3|Open Applet in new Tab}}}</a>
 
<a href="lnt_applets/{{{2}}}/index.html" target="_blank" class="btn btn-lg btn-default applet-button">{{{4|Deutsche Version Öffnen}}}</a>
}}

Vorlage:LntAppletLinkEnDe

2021-02-24T15:05:29Z

Tasnad: Die Seite wurde neu angelegt: „{{#tag:html| <a href="lnt_applets/{{{1}}}/index.html" target="_blank" class="btn btn-lg btn-default applet-button">{{{3|Applet in neuem Tab öffnen}}}</a> &nbs…“

{{#tag:html|
<a href="lnt_applets/{{{1}}}/index.html" target="_blank" class="btn btn-lg btn-default applet-button">{{{3|Applet in neuem Tab öffnen}}}</a>
 
<a href="lnt_applets/{{{2}}}/index.html" target="_blank" class="btn btn-lg btn-default applet-button">{{{4|Open English Version}}}</a>
}}

Vorlage:LntAppletLinkDeEn

2021-02-24T15:03:58Z

Tasnad:

Applets:Impulse und Spektren

2021-02-24T15:02:50Z

Tasnad:

{{LntAppletLinkDeEn|impulsesAndSpectra|impulsesAndSpectra_en}}

==Programmbeschreibung==
<br>
Dargestellt werden impulsförmige symmetrische Zeitsignale   ⇒   &bdquo;Impulse”  $x(t)$  und die dazugehörigen Spektralfunktionen  $X(f)$, nämlich
*Gaußimpuls  (englisch:  ''Gaussian pulse''),
*Rechteckimpuls  (englisch:  ''Rectangular pulse''),
*Dreieckimpuls  (englisch:  ''Triangular pulse''),
*Trapezimpuls  (englisch:  ''Trapezoidal pulse''),
*Cosinus–Rolloff–Impuls  (englisch:  ''Cosine-rolloff pulse'').

Weiter ist zu beachten:
* Die Funktionen  $x(t)$  bzw.  $X(f)$  werden für bis zu zwei Parametersätzen in jeweils einem Diagramm dargestellt.
* Die roten Kurven und Zahlenangaben gelten für den linken Parametersatz, die blauen für den rechten Parametersatz.
* Die Abszissen  $t$  (Zeit) und  $f$  (Frequenz) sowie die Ordinaten  $x(t)$  (Signalwerte) bzw.  $X(f)$  (Spektralwerte) sind jeweils normiert.

==Theoretischer Hintergrund==
<br>
===Zusammenhang $x(t)\Leftrightarrow X(f)$===
*Der Zusammenhang zwischen der Zeitfunktion  $x(t)$  und dem Spektrum  $X(f)$  ist durch das  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|erste Fourierintegral]]  gegeben:
:$$X(f)={\rm FT} [x(t)] = \int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\cdot {\rm e}^{-{\rm j}2\pi f t}\hspace{0.15cm} {\rm d}t\hspace{1cm}
\rm FT\hspace{-0.1cm}: \ Fouriertransformation.$$

*Um aus der Spektralfunktion  $X(f)$  die Zeitfunktion  $x(t)$  berechnen zu können, benötigt man das  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_zweite_Fourierintegral|zweite Fourierintegral]]:
:$$x(t)={\rm IFT} [X(f)] = \int_{-\infty}^{+\infty}X(f)\cdot {\rm e}^{+{\rm j}2\pi f t}\hspace{0.15cm} {\rm d}f\hspace{1cm}
{\rm IFT}\hspace{-0.1cm}: \rm Inverse \ Fouriertransformation.$$

*In allen Beispielen verwenden wir reelle und gerade Funktionen.  Somit gilt:
:$$x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}X(f)\cdot \cos(2\pi ft) \hspace{0.15cm} {\rm d}f \ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\ \ \ X(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\cdot \cos(2\pi ft) \hspace{0.15cm} {\rm d}t .$$
*$x(t)$  und  $X(f)$  haben unterschiedliche Einheiten, beispielsweise  $x(t)$  in  $\rm V$,  $X(f)$  in  $\rm V/Hz$.
*Der Zusammenhang zwischen diesem Modul und dem ähnlich aufgebauten Applet  [[Applets:Frequenzgang_und_Impulsantwort|Frequenzgang & Impulsantwort]]  basiert auf dem  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Vertauschungssatz|Vertauschungssatz]].
*Alle Zeiten sind auf eine Zeit  $T$  normiert und alle Frequenzen auf  $1/T$   ⇒   die Spektralwerte  $X(f)$  müssen noch mit der Normierungszeit  $T$  multipliziert werden.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel:}$   Stellt man einen Rechteckimpuls mit Amplitude  $A_1 = 1$  und äquivalenter Impulsdauer  $\Delta t_1 = 1$  ein, so ist  $x_1(t)$  im Bereich  $-0.5 < t < +0.5$  gleich Eins und außerhalb dieses Bereichs gleich Null.  Die Spektralfunktion  $X_1(f)$  verläuft  $\rm si$–förmig mit  $X_1(f= 0) = 1$  und der ersten Nullstelle bei  $f=1$.

*Soll mit dieser Einstellung ein Rechteckimpuls mit  $A = K = 3 \ \rm V$  und  $\Delta t = T = 2 \ \rm ms$  nachgebildet werden, dann sind alle Signalwerte mit  $K = 3 \ \rm V$  und alle Spektralwerte mit  $K \cdot T = 0.006 \ \rm V/Hz$  zu multiplizieren.
*Der maximale Spektralwert ist dann  $X(f= 0) = 0.006 \ \rm V/Hz$  und die erste Nullstelle liegt bei  $f=1/T = 0.5 \ \rm kHz$.}}

===Gaußimpuls   $\Rightarrow$   Gaussian Pulse ===

*Die Zeitfunktion des Gaußimpulses mit der Höhe  $K$  und der (äquivalenten) Dauer  $\Delta t$  lautet:
:$$x(t)=K\cdot {\rm e}^{-\pi\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(t/\Delta t)^2}.$$
*Die äquivalente Zeitdauer  $\Delta t$  ergibt sich aus dem flächengleichen Rechteck.
*Der Wert bei  $t = \Delta t/2$  ist um den Faktor  $0.456$  kleiner als der Wert bei  $t=0$.
*Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:
:$$X(f)=K\cdot \Delta t \cdot {\rm e}^{-\pi(f\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \Delta t)^2} .$$
*Je kleiner die äquivalente Zeitdauer  $\Delta t$  ist, um so breiter und niedriger ist das Spektrum   ⇒   [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Reziprozit.C3.A4tsgesetz_von_Zeitdauer_und_Bandbreite|Reziprozitätsgesetz von Bandbreite und Impulsdauer]].
*Sowohl  $x(t)$  als auch  $X(f)$  sind zu keinem  $f$–  bzw.  $t$–Wert exakt gleich Null.
*Für praktische Anwendungen kann der Gaußimpuls jedoch in Zeit und Frequenz als begrenzt angenommen werden.  Zum Beispiel ist  $x(t)$  bereits bei  $t=1.5 \Delta t$  auf weniger als  $0.1\% $  des Maximums abgefallen.

===Rechteckimpuls   $\Rightarrow$   Rectangular Pulse ===
*Die Zeitfunktion des Rechteckimpulses mit der Höhe  $K$  und der (äquivalenten) Dauer  $\Delta t$  lautet:

:$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K \\ K /2 \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| < T/2,} \\ {\left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| = T/2,} \\ {\left|\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} \right| > T/2.} \\ \end{array}$$

*Der  $\pm \Delta t/2$–Wert liegt mittig zwischen links- und rechtsseitigem Grenzwert.
*Für die Spektralfunktion erhält man entsprechend den Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation (1. Fourierintegral):
:$$X(f)=K\cdot \Delta t \cdot {\rm si}(\pi\cdot \Delta t \cdot f) \quad \text{mit} \ {\rm si}(x)=\frac{\sin(x)}{x}.$$
*Der Spektralwert bei  $f=0$  ist gleich der Rechteckfläche der Zeitfunktion.
*Die Spektralfunktion besitzt Nullstellen in äquidistanten Abständen  $1/\Delta t$.
*Das Integral über der Spektralfunktion  $X(f)$  ist gleich dem Signalwert zum Zeitpunkt  $t=0$, also der Impulshöhe  $K$.

===Dreieckimpuls $\Rightarrow$ Dreieckimpuls Triangular Pulse===
*Die Zeitfunktion des Dreieckimpulses mit der Höhe  $K$  und der (äquivalenten) Dauer  $\Delta t$  lautet:

:$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K\cdot (1-|t|/{\Delta t}) \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| < \Delta t,} \\ {\left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| \ge \Delta t.} \\ \end{array}$$

*Die absolute Zeitdauer ist  $2 \cdot \Delta t$;  diese ist doppelt so groß als die des Rechtecks.
*Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:
:$$X(f)=K\cdot \Delta f \cdot {\rm si}^2(\pi\cdot \Delta t \cdot f) \quad \text{mit} \quad {\rm si}(x)=\frac{\sin(x)}{x}.$$
*Obige Zeitfunktion ist gleich der Faltung zweier Rechteckimpulse, jeweils mit Breite  $\Delta t$.
*Daraus folgt:  $X(f)$  beinhaltet anstelle der  ${\rm si}$-Funktion die  ${\rm si}^2$-Funktion.
*$X(f)$  weist somit ebenfalls Nullstellen im äquidistanten Abständen  $1/\Delta f$  auf.
*Der asymptotische Abfall von  $X(f)$  erfolgt hier mit  $1/f^2$, während zum Vergleich der Rechteckimpuls mit  $1/f$  abfällt.

===Trapezimpuls   $\Rightarrow$   Trapezoidal Pulse ===
Die Zeitfunktion des Trapezimpulses mit der Höhe  $K$  und den Zeitparametern  $t_1$  und  $t_2$  lautet:
:$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K \\ K\cdot \frac{t_2-|t|}{t_2-t_1} \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}}\quad \\ {\rm{f\ddot{u}r}}\quad \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \quad \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| \le t_1,} \\ {t_1\le \left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| \le t_2,} \\ {\left|\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} \right| \ge t_2.} \\ \end{array}$$

*Für die äquivalente Impulsdauer (flächengleiches Rechteck) gilt:   $\Delta t = t_1+t_2$.
*Der Rolloff-Faktor (im Zeitbereich) kennzeichnet die Flankensteilheit:
:$$r=\frac{t_2-t_1}{t_2+t_1}.$$
*Der Sonderfall  $r=0$  entspricht dem Rechteckimpuls und der Sonderfall  $r=1$  dem Dreieckimpuls.
*Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:
:$$X(f)=K\cdot \Delta t \cdot {\rm si}(\pi\cdot \Delta t \cdot f)\cdot {\rm si}(\pi \cdot r \cdot \Delta t \cdot f) \quad \text{mit} \quad {\rm si}(x)=\frac{\sin(x)}{x}.$$
*Der asymptotische Abfall von  $X(f)$  liegt zwischen  $1/f$  $($für Rechteck,  $r=0)$  und  $1/f^2$  $($für Dreieck,  $r=1)$.

===Cosinus-Rolloff-Impuls   $\Rightarrow$   Cosine-rolloff Pulse ===
Die Zeitfunktion des Cosinus-Rolloff-Impulses mit der Höhe  $K$  und den Zeitparametern  $t_1$  und  $t_2$  lautet:

:$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K \\ K\cdot \cos^2\Big(\frac{|t|-t_1}{t_2-t_1}\cdot {\pi}/{2}\Big) \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}}\quad \\ {\rm{f\ddot{u}r}}\quad \\ {\rm{f\ddot{u}r}}\quad \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| \le t_1,} \\ {t_1\le \left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| \le t_2,} \\ {\left|\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} \right| \ge t_2.} \\ \end{array}$$

*Für die äquivalente Impulsdauer (flächengleiches Rechteck) gilt:   $\Delta t = t_1+t_2$.
*Der Rolloff-Faktor (im Zeitbereich) kennzeichnet die Flankensteilheit:
:$$r=\frac{t_2-t_1}{t_2+t_1}.$$
*Der Sonderfall  $r=0$  entspricht dem Rechteckimpuls und der Sonderfall  $r=1$  dem Cosinus-Quadrat-Impuls.
*Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:
:$$X(f)=K\cdot \Delta t \cdot \frac{\cos(\pi \cdot r\cdot \Delta t \cdot f)}{1-(2\cdot r\cdot \Delta t \cdot f)^2} \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta t \cdot f).$$
*Je größer der Rolloff-Faktor  $r$  ist, desto schneller nimmt  $X(f)$  asymptotisch mit  $f$  ab.

===Cosinus-Quadrat-Impuls ===
*Dies ist ein Sonderfall des Cosinus-Rolloff-Impulses und ergibt sich für  $r=1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}t_1=0, \ t_2= \Delta t$:

:$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K\cdot \cos^2\Big(\frac{|t|\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi}{2\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \Delta t}\Big) \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| < \Delta t,} \\ {\left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| \ge \Delta t.} \\ \end{array}$$

*Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:
:$$X(f)=K\cdot \Delta f \cdot \frac{\pi}{4}\cdot \big [{\rm si}(\pi(\Delta t\cdot f +0.5))+{\rm si}(\pi(\Delta t\cdot f -0.5))\big ]\cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta t \cdot f).$$
*Wegen der letzten  ${\rm si}$-Funktion ist  $X(f)=0$  für alle Vielfachen von  $F=1/\Delta t$.  Die äquidistanten Nulldurchgänge des Cos-Rolloff-Impulses bleiben erhalten.
*Aufgrund des Klammerausdrucks weist  $X(f)$  nun weitere Nulldurchgänge bei  $f=\pm1.5 F$,  $\pm2.5 F$,  $\pm3.5 F$, ... auf.
*Für die Frequenz  $f=\pm F/2$  erhält man die Spektralwerte  $K\cdot \Delta t/2$.
*Der asymptotische Abfall von  $X(f)$  verläuft in diesem Sonderfall mit  $1/f^3$.

==Versuchsdurchführung==
<br>
*Wählen Sie zunächst die Nummer  $(1,\ 2$, ... $)$  der zu bearbeitenden Aufgabe.  Die Nummer  $0$  entspricht einem &bdquo;Reset”:  Einstellung wie beim Programmstart.
*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt.  Die Parameterwerte sind angepasst.  Lösung nach Drücken von &bdquo;Musterlösung”.
*&bdquo;Rot” bezieht sich auf den ersten Parametersatz   ⇒   $x_1(t) \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\ X_1(f)$  und &bdquo;Blau” auf den zweiten Parametersatz   ⇒   $x_2(t) \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\ X_2(f)$.
*Werte betragsmäßig kleiner  $0.0005$  werden im Programm zu Null gesetzt.<br>

{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''   Vergleichen Sie den  '''roten Gaußimpuls'''  $(A_1 = 1, \Delta t_1 = 1)$  mit dem  '''blauen Rechteckimpuls'''  $(A_2 = 1, \Delta t_2 = 1)$   ⇒   Voreinstellung.
<br>          Welche Unterschiede erkennt man im Zeit- und im Frequenzbereich?}}

*Der Gaußimpuls reicht sowohl im Zeit– als auch im Frequenzbereich theoretisch bis ins Unendliche.
*Praktisch sind aber  $x_1(t)$  für  $|t| > 1.5$  und  $X_1(f)$  für  $|f| > 1.5$  nahezu Null.
*Das Rechteck ist zeitlich steng begrenzt:  $x_2(|t| > 0.5) \equiv 0$.  $X_2(f)$  hat in einem viel größeren Bereich als  $X_1(f)$  Anteile.
*Es gilt  $X_1(f = 0) = X_2(f = 0)$, weil das Integral über den Gaußimpuls  $x_1(t)$  gleich dem Integral über den Rechteckimpuls  $x_2(t)$  ist.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''   Vergleichen Sie den  '''roten Gaußimpuls'''  $(A_1 = 1, \Delta t_1 = 1)$  mit dem  '''blauen Rechteckimpuls'''  $(A_2 = 1,\Delta t_2)$.<br>          Variieren Sie die äquivalente Impulsdauer  $\Delta t_2$  zwischen  $0.5$  und  $2$.  Interpretieren Sie die dargestellten Graphen.}}

*Man erkennt das [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Reziprozit.C3.A4tsgesetz_von_Zeitdauer_und_Bandbreite|Reziprozitätsgesetz von Bandbreite und Impulsdauer]].  Je größer  $\Delta t_2$  ist, um so höher und schmäler ist die Spektralfunktion  $X_2(f)$.
*Bei jeder Einstellung von  $\Delta t_2$  sind die Zeitsignalwerte  $x_1(t= 0)$  und  $x_2(t=0)$  gleich   ⇒   Auch die Integrale über  $X_1(f)$  und  $X_2(f)$  sind identisch.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''   Vergleichen Sie den  '''roten Rechteckimpuls'''  $(A_1 = 1, \Delta t_1 = 1)$  mit dem  '''blauen Rechteckimpuls'''  $(A_2 = 1,\Delta t_2 = 0.5)$.<br>          Variieren Sie  $\Delta t_2$  zwischen  $0.05$  und  $2$.  Interpretieren Sie die dargestellten Graphen und extrapolieren Sie das Ergebnis.}}

*Das blaue Spektrum ist nun doppelt so breit wie das rote, aber nur halb so hoch.  Erste Nullstelle von  $X_1(f)$  bei  $f =1$  und von  $X_2(f)$  erst bei  $f =2$.
*Verkleinerung von  $\Delta t_2$:  $X_2(f)$  immer niedriger und breiter.  Sehr flacher Verlauf bei  $\Delta t_2 = 0.05$:  $X_2(f = 0)= 0.05$,  $X_2(f = \pm 3)= 0.048$.
*Würde man  $\Delta t_2 = \varepsilon \to 0$  wählen (im Programm nicht möglich), so ergäbe sich das nahezu konstante, sehr kleine Spektrum  $X_2(f)=A \cdot \varepsilon \to 0$.
*Erhöht man die Amplitude auf  $A=1/\varepsilon$, so ergibt sich die konstante Spektralfunktion  $X_2(f) = 1$  der [[Signaldarstellung/Gleichsignal_-_Grenzfall_eines_periodischen_Signals#Diracfunktion_im_Frequenzbereich|Diracfunktion]]  $\delta(t)$.  Das bedeutet:
* $\delta(t)$  ist durch ein Rechteck mit Breite  $\Delta t = \varepsilon \to 0$  und Höhe  $A = 1/\varepsilon \to \infty$  approximierbar. Das Diracgewicht ist Eins:  $x(t) = 1 \cdot \delta (t)$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''   Vergleichen Sie den  '''Rechteckimpuls'''  $(A_1 = 1, \Delta t_1 = 1)$  mit dem  '''Dreieckimpuls''' $(A_2 = 1,\Delta t_2 = 1)$.  Interpretieren Sie die Spektalfunktionen.}}

*Das (normierte) Spektrum des Rechtecks  $x_1(t)$  mit den (normierte) Parametern  $A_1 = 1, \ \Delta t_1 = 1$  lautet:  $X_1(f)= {\rm si}(\pi\cdot f)$.
* Die Faltung des Rechtecks  $x_1(t)$  mit sich selbst ergibt das Dreieck  $x_2(t) = x_1(t) \star x_1(t)$.  Nach dem [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation#Faltung_im_Zeitbereich|Faltungssatz]] gilt somit  $X_2(f) = \big [X_1(f)\big]^2 $.
*Durch das Quadrieren der  $\rm si$–förmigen Spektralfunktion  $X_1(f)$  bleiben die Nullstellen in  $X_2(f)$  erhalten.  Es gilt aber nun  $X_2(f) \ge 0$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''   Vergleichen Sie den  '''Trapezimpuls'''  $(A_1 = 1, \Delta t_1 = 1, r_1 = 0.5)$  mit dem  '''Dreieckimpuls'''  $(A_2 = 1,\Delta t_2 = 1)$.<br>         Variieren Sie  $r_1$  zwischen  $0$  und  $1$.  Interpretieren Sie die Spektalfunktion  $X_1(f)$.}}

*Der Trapezimpuls mit Rolloff-Faktor  $r_1= 0$  ist identisch mit dem Rechteckimpuls.  Das &bdquo;normierte Spektrum” lautet:  $X_1(f)= {\rm si}(\pi\cdot f)$.
*Der Trapezimpuls mit Rolloff-Faktor  $r_1= 1$  ist identisch mit dem Dreieckimpuls.  Das &bdquo;normierte Spektrum” lautet:  $X_1(f)= {\rm si}^2(\pi\cdot f)$.
*In beiden Fällen besitzt  $X_1(f)$  äquidistante Nulldurchgänge bei  $\pm 1$, $\pm 2$, ... (sonst keine).  Mit  $0 < r_1 < 1$  gibt es abhängig von  $r_1$  weitere Nulldurchgänge.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''   Vergleichen Sie den  '''Trapezimpuls'''  $(A_1 = 1, \Delta t_1 = 1, r_1 = 0.5)$  mit dem  '''Cosinus-Rolloff-Impuls'''  $(A_2 = 1,\Delta t_2 = 1.0, r_1 = 0.5)$.<br>         Variieren Sie  $r_2$  zwischen  $0$  und  $1$.  Interpretieren Sie die Spektalfunktion  $X_2(f)$  für  $r_2 = 0.7$.}}

*Bei gleichem  $r= 0.5$  besitzt der Cosinus-Rolloff-Impuls  $X_2(f)$  ⇒  für  $f > 1$ betragsmäßig größere Anteile als der Trapezimpuls.
*Bei gleichem Rolloff-Faktor  $(r_1 = r_2= 0.5)$  verläuft der Abfall von  $X_2(f)$  um die Frequenz  $f = 0.5$  steiler als der Abfall von  $X_1(f)$.
*Mit  $r_1 = 0.5$  und  $r_2 = 0.7$  gilt  $x_1(t) \approx x_2(t)$  und damit auch  $X_1(f) \approx X_2(f)$.  Vergleichbare Flankensteilheit.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(7)'''   Vergleichen Sie den  '''roten Trapezimpuls'''  $(A_1 = 1, \Delta t_1 = 1, r_1 = 1)$  mit dem  '''blauen Cosinus-Rolloff-Impuls'''  $(A_2 = 1,\Delta t_2 = 1.0, r_2 = 1)$.<br>          Interpretieren Sie die Zeitfunktion  $x_2(t)$  und die Spektralfunktion  $X_2(f)$  systemtheoretisch.}}

*Es handelt sich bei  $x_2(t) = \cos^2(|t|\cdot \pi/2) \ \ \text{für} \ |t| \le 1$  um den Cosinus-Quadrat-Impuls.  Nulldurchgänge bei  $f = \pm 1$,  $\pm 2$, ...
*Für die Frequenz  $f=\pm 0.5$  erhält man die Spektralwerte  $X_2(f)=0.5$.  Der asymptotische Abfall verläuft hier mit  $1/f^3$.

==Zur Handhabung des Programms==
<br>

[[Datei:Exercise_impuls.png |right|frame|Bildschirmabzug (englische Version, heller Hintergrund)]]
    '''(A)'''     Theme (veränderbare grafische Oberflächengestaltung)
:* Dark:   schwarzer Hintergrund  (wird von den Autoren empfohlen)
:* Bright:   weißer Hintergrund  (empfohlen für Beamer und Ausdrucke)
:* Deuteranopia:   für Nutzer mit ausgeprägter Grün–Sehschwäche
:* Protanopia:   für Nutzer mit ausgeprägter Rot–Sehschwäche

    '''(B)'''     Vorauswahl für die Impulsform  $x_1(t)$  (rote Kurve)

    '''(C)'''     Parameterfestlegung für  $x_1(t)$ 

    '''(D)'''     Numerikausgabe für  $x_1(t_*)$  und  $X_1(f_*)$

    '''(E)'''     Vorauswahl für die Impulsform  $x_2(t)$  (blaue Kurve)

    '''(F)'''     Parameterfestlegung für  $x_2(t)$ 

    '''(G)'''     Numerikausgabe für  $x_2(t_*)$  und  $X_2(f_*)$

    '''(H)'''     Einstellung der Zeit  $t_*$  für die Numerikausgabe

    '''(I)'''     Einstellung der Frequenz  $f_*$  für die Numerikausgabe

    '''(J)'''     Bereich der graphischen Darstellung im Zeitbereich

    '''(K)'''     Bereich der graphischen Darstellung im Frequenzbereich

    '''(L)'''     Auswahl der Aufgabe entsprechend der Aufgabennummer

    '''(M)'''     Aufgabenbeschreibung und Fragestellung

    '''(N)'''     Musterlösung anzeigen und verbergen

'''Details zu den obigen Punkten  (J ) und  (K)'''

<u>Zoom–Funktionen:</u><br>       &bdquo;$+$” (Vergrößern),      &bdquo;$-$” (Verkleinern),      &bdquo;$\rm o$” (Zurücksetzen)

<u>Verschiebe–Funktionen:</u>     &bdquo;$\leftarrow$”     &bdquo;$\uparrow$”     &bdquo;$\downarrow$”     &bdquo;$\rightarrow$”<br>        &bdquo;$\leftarrow$”  bedeutet:     Bildausschnitt nach links, Ordinate nach rechts

<b>Andere Möglichkeiten:</b>

*Bei gedrückter Shifttaste und Scrollen kann im Koordinatensystem gezoomt werden.
*Bei gedrückter Shifttaste und gedrückter linker Maustaste kann das Koordinatensystem verschoben werden.
<br clear = all>

==Über die Autoren==
Dieses interaktive Berechnungstool wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.
*Die erste Version wurde 2005 von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]] im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]] und [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Klaus_Eichin_.28am_LNT_von_1972-2011.29|Klaus Eichin]]).
*2017 wurde &bdquo;Impulse & Spektren” von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#David_Jobst_.28Ingenieurspraxis_Math_2017.29|David Jobst]] im Rahmen seiner Ingenieurspraxis (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]]) auf &bdquo;HTML5” umgesetzt und neu gestaltet.
*Letztmalige Überarbeitung 2020 durch  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit.

==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==
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<br><br>

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