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Applets:Entropie und Näherungen binärer Nachrichtenquellen

2023-04-24T15:43:26Z

Nagi:

{{LntAppletLink|entropy}}

==Programmbeschreibung==
 
Dieses Applet soll den Begriff &bdquo;Entropie” am Beispiel einer binären Nachrichtenquelle verdeutlichen. Die Quellensymbolfolge lautet somit  $〈 q_1, \hspace{0.05cm} q_2,\hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.05cm}, q_{ν–1}, \hspace{0.05cm}q_ν, \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}q_{ν+1} ,\hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.05cm}〉$  mit  $q_i \in \{A, B\}$  für  $i \ge 1$. Betrachtet werden sowohl eine gedächtnisfreie Quelle als auch eine Markovquelle erster Ordnung (also mit Gedächtnis &bdquo;1”), deren Entropien  $H$  jeweils in geschlossener Form angegeben werden können.

Ebenso werden für die unendlich lange Quellensymbolfolge so genannte Entropienäherungen  $H_1$,  $H_2$, ... ,  $H_k$, ... in geschlossener Form angegeben, wobei
*sich  $H_1$  allein auf die Symbolwahrscheinlichkeiten bezieht (das heißt:   Abhängigkeiten der Symbole innerhalb der Folge bleiben unberücksichtigt),
* zur Berechnung von  $H_2$  die Folge in Zweiertupel aufgeteilt und deren Entropie angegeben wird, und schließlich
* durch Erweiterung die Entropie  $H_k$  von  $k$–Tupeln angebbar ist.

Hierbei besteht für jede beliebige Nachrichtenquelle (mit oder ohne Gedächtnis) folgende Größenrealationen:
:$$ H <\text{...} \le H_k <\text{...} \le H_3 \le H_2 \le H_1 \le H_0 = \log_2 \ 2 = 1\text{ bit/Symbol} \hspace{0.05cm}.$$
$H_0$  bezeichnet den ''Entscheidungsgehalt'' von binären Nachrichtenquellen. Die ''Entropie''  $H$  der Quelle ergibt sich als der Grenzwert der  $H_k$  für  $k \to \infty$.

Implizit vorausgesetzt ist bei allen diesen analytisch angebbaren Größen die Folgenlänge  $N \to \infty$. Die Entropie  $H$  lässt sich aber auch aus einer begrenzten Quellensymbolfolge  $〈 q_1 \hspace{0.05cm}〉 =〈 q_1 , \hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.05cm}, q_{N}\hspace{0.05cm}〉$  annähern, also auch dann, wenn die statistischen Eigenschaften der Binärquelle unbekannt sind. Die entsprechenden Entropienäherungen werden hier mit  $\hat H_1$,  $\hat H_2$, ... ,  $\hat H_k$, ... bezeichnet.

Auch hierauf wird in der folgenden Beschreibung eingegangen mit dem Fazit:

*Die Näherung  $\hat H_k$  ist natürlich um so genauer, je größer die Folgenlänge  $N$  ist.
*Ist über die Quelle nichts weiter bekannt als die beispielhafte Folge, so ist der Rechenaufwand enorm.

==English Description==
 
This applet is intended to clarify the notion of &bdquo;entropy” using the example of a binary message source. Thus, the source symbol sequence is  $〈 q_1, \hspace{0.05cm} q_2,\hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.05cm}, q_{ν-1}, \hspace{0.05cm}q_ν, \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}q_{ν+1} ,\hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.05cm}〉$  with  $q_i \in \{A, B\}$  for  $i \ge 1$. Both a memoryless source and a first-order Markov source (i.e., with memory &bdquo;1”) are considered, whose entropies  $H$  can each be given in closed form.

Similarly, for the infinite source symbol sequence, so-called entropy approximations  $H_1$,  $H_2$, ... ,  $H_k$, ... are given in closed form, where
*$H_1$  refers to the symbol probabilities alone (that is,   dependencies of the symbols within the sequence are not considered),
* for the calculation of  $H_2$  the sequence is divided into tuples of two and their entropy is given, and finally
* by expansion the entropy  $H_k$  of  $k$–tuples is specifiable.

Here, for any given message source (with or without memory), the following size realizations exist:
:$$ H <\text{...} \le H_k <\text{...} \le H_3 \le H_2 \le H_1 \le H_0 = \log_2 \ 2 = 1\text{ bit/symbol} \hspace{0.05cm}.$$
$H_0$  denotes the ''decision content'' of binary message sources. The ''entropy''  $H$  of the source is given as the limit of  $H_k$  for  $k \to \infty$.

Implicit in all these analytically specifiable quantities is the sequence length  $N \to \infty$. However, the entropy  $H$  can also be derived from a bounded source symbol sequence  $〈 q_1 \hspace{0.05cm}〉 =〈 q_1 , \hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.05cm}, q_{N}\hspace{0.05cm}〉$  approximations, i.e., even when the statistical properties of the binary source are unknown. The corresponding entropy approximations are denoted here by  $\hat H_1$,  $\hat H_2$, ... ,  $\hat H_k$, ... denotes.

This is also discussed in the following description with the conclusion:

*The approximation  $\hat H_k$  is of course the more accurate, the larger the sequence length  $N$  is.
*If nothing more is known about the source than the exemplary sequence, the computational effort is enormous.

==Theoretischer Hintergrund==
 
Die Entropie spielt in vielen naturwissenschaftlichen Fachgebieten eine große Rolle. Beschränken wir uns auf unser Fachgebiet der Statistik und der Informationstechnik, so ist die Entropie nach der Definition von  [https://de.wikipedia.org/wiki/Claude_Shannon Claude E. Shannon]  unter anderem ein Maß für die mittlere Unsicherheit über den Ausgang eines statistischen Ereignisses, für die „Zufälligkeit” dieses Ereignisses und für den mittleren Informationsgehalt einer Zufallsgröße.

===Entropie einer gedächtnislosen Binärquelle ===

[[Datei:Inf_T_1_1_S4_vers2.png|frame|Binäre Entropiefunktion als Funktion von $p$|right]]
Wir setzen zunächst voraus, dass die Auftrittwahrscheinlichkeiten der beiden Symbole  $\rm A$  und  $\rm B$  unabhängig von den vorherigen Symbolen innerhalb der Folge gleich  $p_{\rm A} = p$  und  $p_{\rm B} = 1 – p$  seien.

Für die Entropie dieser &bdquo;gedächtnislosen” Binärquelle gilt:

:$$H = H_{\rm bin} (p) = p \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{\hspace{0.1cm}p\hspace{0.1cm}} + (1-p) \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{1-p} \hspace{0.5cm}{\rm (Einheit\hspace{-0.15cm}: \hspace{0.15cm}bit\hspace{0.15cm}oder\hspace{0.15cm}bit/Symbol)}
\hspace{0.05cm}.$$

Man bezeichnet die Funktion  $H_\text{bin}(p)$  als die '''binäre Entropiefunktion'''. Aus der Grafik erkennt man:
*Der Maximalwert  $H_\text{0} = 1\; \rm bit/Symbol$  ergibt sich für  $p = 0.5$, also für gleichwahrscheinliche Binärsymbole. Dann liefern  $\rm A$  und  $\rm B$  jeweils den gleichen Beitrag zur Entropie.  $H_\text{0}$ nennt man auch den ''Entscheidungsgehalt''.
* $H_\text{bin}(p)$  ist symmetrisch um  $p = 0.5$. Eine Quelle mit  $p_{\rm A} = 0.1$  und  $p_{\rm B} = 0.9$  hat die gleiche Entropie  $H = 0.469 \; \rm bit/Symbol$  wie eine Quelle mit  $p_{\rm A} = 0.9$  und  $p_{\rm B} = 0.1$.
*Die Differenz  $ΔH = H_\text{0} - H$  gibt die ''Redundanz'' der Quelle an und  $r = ΔH/H_\text{0}$  die ''relative Redundanz''. Im Beispiel ergeben sich  $ΔH = 0.531\; \rm bit/Symbol$  bzw.  $r = 53.1 \rm \%$.
*Für  $p = 0$  ergibt sich  $H = 0$, da hier die Symbolfolge  $\rm B \ B \ B \text{...}$  mit Sicherheit vorhergesagt werden kann. Eigentlich ist nun der Symbolumfang nur noch  $M = 1$. Gleiches gilt für  $p = 1$, also für die Symbolfolge  $\rm A A A \text{...}$ 

===Entropie hinsichtlich Zweiertupel===

[[Datei:Inf_tupel.png|frame|Zur Verdeutlichung der Zweiertupel  $\rm AA$,  $\rm AB$,  $\rm BA$,  $\rm BB$|right]]
Wir teilen nun die Quellensymbolfolge $〈 q_1, \hspace{0.05cm} q_2,\hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.05cm}, q_{ν–1}, \hspace{0.05cm}q_ν, \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}q_{ν+1} ,\hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.05cm}〉$ in Zweiertupel entsprechend der Grafik auf und betrachten dadurch die Entropie zweier aufeinanderfolgender Quellensymbole.

Die Binärquelle wird weiterhin wie im letzten Abschnitt als ''gedächtnislos'' bzw. ''redundanzfrei'' vorausgesetzt. Für die Kombination $(q_ν, \hspace{0.05cm}q_{ν+1})$ gibt es in diesem Fall  $2^2 = 4$  mögliche Symbolpaare (farblich markiert) mit folgenden  [[Stochastische_Signaltheorie/Mengentheoretische_Grundlagen#Schnittmenge|Verbundwahrscheinlichkeiten]]:

:$${\rm Pr}(q_{\nu}\cap q_{\nu+1})\le {\rm Pr}(q_{\nu}) \cdot {\rm Pr}( q_{\nu+1})
\hspace{0.05cm}.$$

Daraus ist die ''Verbundentropie'' eines Zweier–Tupels berechenbar (der Index &bdquo;2” symbolisiert, dass sich die so berechnete Entropie auf Zweiertupel bezieht):

:$$H_2\hspace{0.05cm}' = \sum_{q_{\nu}\hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm}\{ \hspace{0.05cm}q_{\mu}\hspace{0.01cm} \}} \sum_{q_{\nu+1}\hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm}\{ \hspace{0.05cm} q_{\mu}\hspace{0.01cm} \}}\hspace{-0.1cm}{\rm Pr}(q_{\nu}\cap q_{\nu+1}) \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{{\rm Pr}(q_{\nu}\cap q_{\nu+1})} \hspace{0.4cm}({\rm Einheit\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.1cm}bit/Zweiertupel})
\hspace{0.05cm}.$$

Um den mittleren Informationsgehalt pro Symbol zu erhalten, muss  $H_2\hspace{0.05cm}'$  noch halbiert werden:

:$$H_2 = {H_2\hspace{0.05cm}'}/{2} \hspace{0.5cm}({\rm Einheit\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.1cm}bit/Symbol})
\hspace{0.05cm}.$$

Um eine konsistente Nomenklatur zu erreichen, benennen wir nun die im letzten Abschnitt definierte Entropie mit  $H_1$:

:$$H_1 = \sum_{q_{\nu}\hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm}\{ \hspace{0.05cm}q_{\mu}\hspace{0.01cm} \}} {\rm Pr}(q_{\nu}) \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac {1}{{\rm Pr}(q_{\nu})} \hspace{0.5cm}({\rm Einheit\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.1cm}bit/Symbol})
\hspace{0.05cm}.$$

Der Index &bdquo;1” soll darauf hinweisen, dass  $H_1$  ausschließlich die Symbolwahrscheinlichkeiten berücksichtigt und nicht statistischen Bindungen zwischen Symbolen innerhalb der Folge. Mit dem Entscheidungsgehalt  $H_0 = \log_2 2 = 1\text{ (bit)}$  ergibt sich dann folgende Größenbeziehung:

:$$H_0 \ge H_1 \ge H_2
\hspace{0.05cm}.$$

Verdeutlichen wir uns nun die Berechnung der Entropienäherungen  $H_1$  und  $H_2$  an zwei Beispielen.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 1:}$  Wir betrachten zunächst eine ''gedächtnislose Binärquelle'' mit gleichwahrscheinlichen Symbolen, das heißt es gelte  $p_{\rm A} = p_{\rm B} = 1/2$. Die ersten zwanzig Folgenelemente lauten:   $〈 q_ν 〉 =\rm BBAAABAABBBBBAAAABAB$ ...
*Aufgrund der gleichwahrscheinlichen Binärsymbole ist  $H_1 = H_0 = 1 \hspace{0.05cm} \rm bit/Symbol$.
*Die Verbundwahrscheinlichkeit  $p_{\rm AB}$  der Kombination  $\rm AB$  ist gleich  $p_{\rm A} · p_{\rm B} = 1/4$. Ebenso gilt  $p_{\rm AA} = p_{\rm BB} = p_{\rm BA} = 1/4$.
*Damit erhält man für die zweite Entropienäherung

:$$H_2 = {1}/{2} \cdot \big [ {1}/{4} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}4 + {1}/{4} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}4 +{1}/{4} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}4 +{1}/{4} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}4 \big ] = 1 \,{\rm bit/Symbol} = H_1 = H_0
\hspace{0.05cm}.$$}}

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 2:}$  Die zweite hier betrachtete Folge ergibt sich aus der Folge von $\text{Beispiel 1}$ durch Anwendung eines einfachen Wiederholungscodes:
:$$〈 q_ν 〉 =\rm BbBbAaAaAaBbAaAaBbBb \text{...} $$
*Die wiederholten Symbole sind durch entsprechende Kleinbuchstaben dargestellt. Bitte beachten Sie:   Es handelt sich trotzdem um eine Binärquelle.
*Aufgrund der gleichwahrscheinlichen Binärsymbole ergibt sich auch hier  $H_1 = H_0 = 1 \hspace{0.05cm} \rm bit/Symbol$.
*Für die Verbundwahrscheinlichkeiten gilt nun  $p_{\rm AA}=p_{\rm BB} = 3/8$  und  $p_{\rm ABA}=p_{\rm BAB} = 1/8$. Daraus folgt:
:$$\begin{align*}H_2 ={1}/{2} \cdot \big [ 2 \cdot {3}/{8} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm} {8}/{3} +
2 \cdot {1}/{8} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}8\big ] = {3}/{8} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}8 - {3}/{8} \cdot{\rm log}_2\hspace{0.1cm}3 + {1}/{8} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}8 \approx 0.906 \,{\rm bit/Symbol} < H_1 = H_0
\hspace{0.05cm}.\end{align*}$$

Betrachtet man sich die Aufgabenstellung genauer, so kommt man zu folgendem Schluss:
*Die Entropie müsste eigentlich  $H = 0.5 \hspace{0.05cm} \rm bit/Symbol$  sein (jedes zweite Symbol liefert keine neue Information).
*Die zweite Entropienäherung  $H_2 = 0.906 \hspace{0.05cm} \rm bit/Symbol$  ist aber deutlich größer als die Entropie  $H$.
*Zur Entropiebestimmung dieser redundanten Symbolfolge reicht also die Näherung zweiter Ordnung nicht aus.
*Vielmehr muss man größere zusammenhängende Blöcke mit  $k > 2$  Symbolen betrachten. Einen solchen Block bezeichnen wir im Folgenden als $k$–Tupel.}}

===Verallgemeinerung auf $k$–Tupel und Grenzübergang ===

Wir schreiben zur Abkürzung mit der Verbundwahrscheinlichkeit  $p_i^{(k)}$  eines $k$–Tupels allgemein:

:$$H_k = \frac{1}{k} \cdot \sum_{i=1}^{M^k} p_i^{(k)} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm} \frac{1}{p_i^{(k)}} \hspace{0.5cm}({\rm Einheit\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.1cm}bit/Symbol})
\hspace{0.05cm}.$$

*Die Laufvariable  $i$  steht jeweils für eines der  $M^k$ Tupel. Bei den hier betrachteten Binärquellen gilt  $M=2$.
*Die vorher berechnete Näherung  $H_2$  ergibt sich mit  $k = 2$.
*Für die Entropienäherungen  $H_k$  gelten folgende Größenrelationen; $H_0 = 1\text{ (bit/Symbol)}$ ist wieder der Entscheidungsgehalt:
:$$H \le \text{...} \le H_k \le \text{...} \le H_2 \le H_1 \le H_0 \hspace{0.05cm}.$$
*Die '''Entropie einer Nachrichtenquelle mit Gedächtnis''' ist der folgende Grenzwert:
:$$H = \lim_{k \rightarrow \infty }H_k \hspace{0.05cm}.$$

Der Rechenaufwand wird bis auf wenige Sonderfälle $($siehe nachfolgendes $\text{Beispiel 3)}$ mit zunehmendem  $k$  immer größer:
*Zur Berechnung von  $H_{10}$  einer Binärquelle ist über  $2^{10} = 1024$  Terme zu mitteln.
*Mit jeder weiteren Erhöhung von  $k$  um  $1$  verdoppelt sich die Anzahl der Summenterme.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 3:}$ 
Wir betrachten eine alternierende Binärfolge   ⇒   $〈 q_ν 〉 =\rm ABABABAB$ ...   . Entsprechend gilt  $H_0 = H_1 = 1 \hspace{0.15cm} \rm bit/Symbol$.

In diesem Sonderfall muss zur Bestimmung der  $H_k$–Näherung unabhängig von  $k$  stets nur über zwei Verbundwahrscheinlichkeiten gemittelt werden:
* $k = 2$:    $p_{\rm AB} = p_{\rm BA} = 1/2$     ⇒     $H_2 = 1/2 \hspace{0.15cm} \rm bit/Symbol$,
* $k = 3$:    $p_{\rm ABA} = p_{\rm BAB} = 1/2$     ⇒     $H_3 = 1/3 \hspace{0.15cm} \rm bit/Symbol$,
* $k = 4$:    $p_{\rm ABAB} = p_{\rm BABA} = 1/2$     ⇒     $H_4 = 1/4 \hspace{0.15cm} \rm bit/Symbol$.

Die (tatsächliche) Entropie dieser alternierenden Binärfolge ist demzufolge
:$$H = \lim_{k \rightarrow \infty }{1}/{k} = 0 \hspace{0.05cm}.$$

Dieses Ergebnis war zu erwarten, da die betrachtete Folge nur minimale Information besitzt, die sich allerdings im Entropie–Endwert  $H$  nicht auswirkt, nämlich die Information:   „Tritt $\rm A$ zu den geraden oder ungeraden Zeitpunkten auf?”

Man erkennt, dass  $H_k$  dem Endwert  $H = 0$  nur sehr langsam näher kommt:   Die zwanzigste Entropienäherung liefert immer noch  $H_{20} = 0.05 \hspace{0.15cm} \rm bit/Symbol$. }}

===Binärquellen mit Markoveigenschaften ===

[[Datei:Inf_T_1_2_S5_vers2.png|right|frame|Markovprozesse mit $M = 2$ Zuständen]]

Folgen mit statistischen Bindungen zwischen den Folgenelementen (Symbolen) werden oft durch [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten|Markovprozesse]] modelliert, wobei wir uns hier auf binäre Markovprozesse erster Ordnung mit den Zuständen (Symbolen)  $\rm A$  und  $\rm B$  beschränken.

Rechts sehen Sie das Übergangsdiagramm für einen binären Markovprozess erster Ordnung. Von den vier angegebenen Übertragungswahrscheinlichkeiten sind allerdings nur zwei frei wählbar, zum Beispiel
* $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}} = \rm Pr(A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B)$   ⇒   bedingte Wahrscheinlichkeit, dass  $\rm A$  auf  $\rm B$  folgt.
* $p_{\rm {B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} = \rm Pr(B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A)$   ⇒   bedingte Wahrscheinlichkeit, dass  $\rm B$  auf  $\rm A$  folgt.

Für die beiden weiteren Übergangswahrscheinlichkeiten gilt dann  $p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} = 1- p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}$  und   $p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} = 1- p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}
\hspace{0.05cm}.$

Aufgrund der vorausgesetzten Eigenschaften [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Station.C3.A4re_Zufallsprozesse|Stationarität]] und [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Ergodische_Zufallsprozesse|Ergodizität]] gilt für die Zustands– bzw. Symbolwahrscheinlichkeiten:

:$$p_{\rm A} = {\rm Pr}({\rm A}) = \frac{p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}}{p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} + p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}}
\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}p_{\rm B} = {\rm Pr}({\rm B}) = \frac{p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}}{p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} + p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}}
\hspace{0.05cm}.$$

Diese Gleichungen erlauben erste informationstheoretische Aussagen über Markovprozesse:
* Für  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}} = p_{\rm {B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}}$  sind die Symbole gleichwahrscheinlich   ⇒   $p_{\text{A}} = p_{\text{B}}= 0.5$. Die erste Entropienäherung liefert demzufolge  $H_1 = H_0 = 1 \hspace{0.05cm} \rm bit/Symbol$, und zwar unabhängig von den tatsächlichen Werten der (bedingten) Übergangswahrscheinlichkeiten  $p_{\text{A|B}}$  bzw.  $p_{\text{B|A}}$.
*Die Quellenentropie  $H$  als der Grenzwert $($für  $k \to \infty)$  der [[Informationstheorie/Nachrichtenquellen_mit_Gedächtnis#Verallgemeinerung_auf_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax108-QINU.60.22.27.7F.E2.80.93Tupel_und_Grenz.C3.BCbergang|Entropienäherung $k$–ter Ordnung]]   ⇒   $H_k$  hängt aber sehr wohl von den tatsächlichen Werten von  $p_{\text{A|B}}$  und  $p_{\text{B|A}}$  ab und nicht nur von ihrem Quotienten. Dies zeigt das folgende Beispiel.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 4:}$ 
Wir betrachten drei Markovquellen, die sich durch die Zahlenwerte der symmetrischen Übergangswahrscheinlichkeiten  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} }$  unterscheiden.
*Für die Symbolwahrscheinlichkeiten gilt somit  $p_{\rm A} = p_{\rm B}= 0.5$.
*Die anderen Übergangswahrscheinlichkeiten haben dann die Werte  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 1 - p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } =
p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} }.$

[[Datei:P_ID2242__Inf_T_1_2_S5b_neu.png|center|frame|Drei Beispiele binärer Markovquellen]]

*Die mittlere (blaue) Symbolfolge mit  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 0.5$  besitzt die Entropie  $H ≈ 1 \hspace{0.05cm} \rm bit/Symbol$. Das heißt:   In diesem Sonderfall gibt es keine statistischen Bindungen innerhalb der Folge.

*Die linke (rote) Folge mit  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 0.2$  weist weniger Wechsel zwischen  $\rm A$  und  $\rm B$  auf. Aufgrund von statistischen Abhängigkeiten zwischen benachbarten Symbolen ist nun  $H ≈ 0.72 \hspace{0.05cm} \rm bit/Symbol$  kleiner.

*Die rechte (grüne) Symbolfolge mit  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 0.8$  hat die genau gleiche Entropie  $H ≈ 0.72 \hspace{0.05cm} \rm bit/Symbol$  wie die rote Folge. Hier erkennt man viele Bereiche mit sich stets abwechselnden Symbolen (... $\rm ABABAB$ ... ).}}

Für den allgemeineren Fall  $p_{\text{A}} \ne p_{\text{B}}$  ist die Entropieberechnung der Zweiertupel etwas komplizierter:
*Mit den Verbundwahrscheinlichkeiten, zum Beispiel  $p_{\text{AB}} = p_{\text{A}} · p_{\rm {B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}}$, kann geschrieben werden:

:$$H_2\hspace{0.05cm}' = p_{\rm A} \cdot p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm A} \cdot p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} + p_{\rm A} \cdot p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm A} \cdot p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} + p_{\rm B} \cdot p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm B} \cdot p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}} + p_{\rm B} \cdot p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm B} \cdot p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}}
\hspace{0.05cm}.$$

*Ersetzt man nun die Logarithmen der Produkte durch entsprechende Summen von Logarithmen, so erhält man das Ergebnis  $H_2\hspace{0.05cm}' = H_1 + H_{\text{M}}$  mit
:$$H_1 = p_{\rm A} \cdot (p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} + p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A})\cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{p_{\rm A}} + p_{\rm B} \cdot (p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} + p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B})\cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{p_{\rm B}} = p_{\rm A} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{p_{\rm A}} + p_{\rm B} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{p_{\rm B}} = H_{\rm bin} (p_{\rm A})= H_{\rm bin} (p_{\rm B})
\hspace{0.05cm},$$
:$$H_{\rm M}= p_{\rm A} \cdot p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} + p_{\rm A} \cdot p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} + p_{\rm B} \cdot p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}} + p_{\rm B} \cdot p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}}
\hspace{0.05cm}.$$

*Damit lautet die zweite Entropienäherung (mit der Einheit „bit/Symbol”):
:$$H_2 = {1}/{2} \cdot {H_2\hspace{0.05cm}'} = {1}/{2} \cdot \big [ H_{\rm 1} + H_{\rm M} \big]
\hspace{0.05cm}.$$

*Erweitert man dieses Ergebnis für  $H_2$  auf die $k$–te Entropienäherung, so erhält man:

:$$H_k = {1}/{k} \cdot \big [ H_{\rm 1} + (k-1) \cdot H_{\rm M}\big ].$$

*Die '''Entropie einer Markovquelle''' ergibt sich als der folgende Grenzwert und ist demzufolge einfach zu berechnen:
:$$H = \lim_{k \rightarrow \infty }H_k \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} H = H_{\rm M} = 2 \cdot H_2 - H_1 \hspace{0.05cm}.$$

== Zusammenfassung und Schlussfolgerungen ==
 
=== Unbekannte Binärquelle ===
* Ist von der Nachrichtenquelle nicht mehr bekannt als der Symbolunfang  $M=2$, so müssen die Entropienäherungen  $\hat H_k$  numerisch aus der Quellensymbolfolge  $〈 q_1, \hspace{0.05cm} q_2,\hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.05cm}, q_{ν–1}, \hspace{0.05cm}q_ν, \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}q_{ν+1} ,\hspace{0.05cm}\text{ ...}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}q_{N} \hspace{0.05cm}〉$  ermittelt werden. Die Entropie  $H$ ergibt sich als der Grenzwert der  $\hat H_k$  für  $k \to \infty$, wobei gilt:
:$$ H <\text{...} <\hat H_k <\text{...} < \hat H_3 < \hat H_2 < \hat H_1 \le H_0 \hspace{0.05cm}.$$
* Bei der numerischen Ermittlung werden alle Wahrscheinlichkeiten  $(p_{\rm A}, \text{...})$  und bedingten Wahrscheinlichkeiten  $(p_{\rm A|B}, \text{...})$  durch entsprechende relative Häufigkeiten  $(h_{\rm A}, \text{...})$  und bedingte Wahrscheinlichkeiten  $(h_{\rm A|B}, \text{...})$  angenähert.
* Die Genauigkeit der numerischen Ermittlung nimmt bei gleichem  $N$  mit steigendem  $k$  ab. Das heißt:   Die Folgenlänge  $N$  der Simulation muss an den größten  $k$–Wert angepasst werden.

=== Gedächtnislose Binärquelle ===

* Eine gedächtnislose Binärquelle ist vollständig durch die Symbolwahrscheinlichkeiten  $p_{\rm A}$  und  $p_{\rm B} = 1- p_{\rm A}$  charakterisiert. Für die Entropie gilt folgende Gleichung:

:$$H = p \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{\hspace{0.1cm}p\hspace{0.1cm}} + (1-p) \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{1-p} \hspace{0.5cm}{\rm (Einheit\hspace{-0.15cm}: \hspace{0.15cm}bit\hspace{0.15cm}oder\hspace{0.15cm}bit/Symbol)}
\hspace{0.05cm}.$$

* Der Maximalwert der Entropie ergibt sich für  $p_{\rm A}= p_{\rm B} =0.5$;  $H_0 = \log_2 \ M$  bezeichnet man als den ''Entscheidungsgehalt'' der Quelle. Im binären Fall  $(M = 2)$  gilt:

:$$H_{\rm max} = H_0 = \text{ 1 bit/Symbol}\hspace{0.05cm}.$$

* In diesem Fall  $(p_{\rm A}= p_{\rm B} =0.5)$  ist die Symbolfolge redundanzfrei   ⇒   die relative Redundanz ist gleich  $r = (H - H_0)/H_0= 0$.

* Im unsymmetrischen Fall  $(p_{\rm A} \ne p_{\rm B})$  ist die relative Redundanz  $r > 0$  und für die Entropie gilt mit den Entropienäherung  $H_k$:

:$$H = H_1 < H_0, \hspace{0.5cm}H_1 = H_2 = H_3 = \text{...} .$$

* Bei einer gedächtnislosen Quelle sind also alle (analytisch berechneten) Entropienäherungen  $H_k$  exakt gleich. Für die durch Simulation aus der Symbolfolge  $〈 q_ν〉$  der Länge  $N$  gewonnenen Näherungen  $\hat H_k$  gilt dieser Zusammenhang bestenfalls näherungsweise

:$$\hat H_1 \approx \hat H_2 \approx \hat H_3 \approx \text{...} .$$

* Als Ergebnis sollte man  $H \approx \hat H_1$  verwenden. Bei gegebenem  $N$  sind die auf der Zeitmittelung basierenden Fehler für  $\hat H_2$  $\hat H_3$, ... deutlich größer. Oder anders ausgedrückt:   Um die gleiche statistische Sicherheit für die Ermittlung von  $\hat H_{k+1}$  wie bei  $\hat H_k$  zu erzielen, muss man  $N$  verdoppeln.

=== Binäre Markovquelle ===

[[Datei:Inf_T_1_2_S5_vers2.png|right|frame|Markovprozesse mit $M = 2$ Zuständen]]

*Folgen mit statistischen Bindungen zwischen den Folgenelementen werden oft durch Markovprozesse modelliert, wobei wir uns hier auf binäre Markovprozesse erster Ordnung mit den Symbolen  $\rm A$  und  $\rm B$  beschränken.

*Für die Entropie  $H = H_{\text{M}}$  und die erste Entropienäherung  $H_1$  einer solchen Markovquelle gelten die folgenden Gleichungen:

:$$H_{\text{M}} = p_{\rm A} \cdot p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} + p_{\rm A} \cdot p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} + p_{\rm B} \cdot p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}} + p_{\rm B} \cdot p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}}
\hspace{0.05cm},$$

:$$H_1 = p_{\rm A} \cdot (p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} + p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A})\cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{p_{\rm A}} + p_{\rm B} \cdot (p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} + p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B})\cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{p_{\rm B}} $$

:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_1 = p_{\rm A} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{p_{\rm A}} + p_{\rm B} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{p_{\rm B}} = H_{\rm bin} (p_{\rm A})= H_{\rm bin} (p_{\rm B})
\hspace{0.05cm}.$$

*Die Entropienäherungen  $H_k$  für  $k$–Tupel hängen mit der ersten Näherung  $H_1$  und dem Endwert  $H = H_{\text{M}}$  wie folgt zusammen:

:$$H_k = {1}/{k} \cdot \big [ H_{\rm 1} + (k-1) \cdot H_{\rm M}\big ] \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
H_2 = {1}/{2} \cdot \big [ H_{\rm 1} + H_{\rm M} \big ]\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}
H_3 ={1}/{3} \cdot \big [ H_{\rm 1} + 2 \cdot H_{\rm M}\big ] \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
H_4 = {1}/{4} \cdot \big [ H_{\rm 1} + 3 \cdot H_{\rm M}\big ]
\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}{\rm usw.}$$

* Daraus folgt direkt:   Ist über die Nachrichtenquelle nicht mehr bekannt, als dass es sich um eine Markovquelle erster Ordnung handelt, so kann der Endwert  $H = H_{\rm M}$  allein aus den Entropienäherungen  $H_1$  und  $H_2$  ermittelt werden:
:$$H = 2 \cdot H_2 - H_{\rm 1} \hspace{0.05cm}.$$

{{BlaueBox|TEXT=
Bei einem '''symmetrischen Markovprozess'''   ⇒   Übergangswahrscheinlichkeiten  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } $   ⇒   Symbolwahrscheinlichkeiten  $p_{\rm A } = p_{\rm B } = 0.5 $  erhält man

:$$H_{\text{M} } = H_{\text{bin} }(p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} })= p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } } + (1 - p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} }) \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{1 - p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } },\hspace{0.5cm}H_1 = 1\text{ bit/Symbol} .$$}}

==Versuchsdurchführung==
[[Datei:Exercises_Entropie.png|right]]
*Wählen Sie zunächst die Aufgabennummer.
*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt.
*Alle Parameterwerte sind angepasst.
*Alle Entropiewerte werden berechnet und eine Symbolfolge ausgegeben.
*Musterlösung nach Drücken von &bdquo;Hide solution”.
*Mit der Nummer &bdquo;0” wird auf die gleichen Einstellung wie beim Programmstart zurückgesetzt.
 
{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''   Wählen Sie die gedächtnislose Binärquelle mit  $p_{\rm A} = p_{\rm B} = 0.5$. Wie lauten die analytisch berechneten Entropienäherungen  $H_1$, ... ,  $H_6$?

:Wie unterscheiden sich die Simulationsergebnisse  $\hat H_1$, ... ,  $\hat H_6$  mit  $N=10^5$  von  $H_1$, ... ,  $H_6$?   Machen Sie jeweils zehn Versuche. }}

::* Es handelt sich um eine redundanzfreie Binärquelle   ⇒   $H = H_{\rm bin}(0.5) = H_1 =$ ... $=H_6 = 1\text{ bit/Symbol}$.
::* Auch die Simulation mit  $N=10^5$  liefert bei (fast) allen Versuchsreihen  $\hat H_1 =$ ...  $=\hat H_6 = 1.000$   ⇒   das auf drei Nachkommastellen richtige Ergebnis.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''   Wie unterscheiden sich bei sonst gleichen Einstellungen die Simulationsergebnisse  $\hat H_1$, ... ,  $\hat H_6$ mit $N=10^3$?   Wieder jeweils zehn Versuche. }}

::* Die Entropienäherungen $H_k$ werden nun durch $\hat H_k$ ungenauer nachgebildet als mit $N=10^5$   ⇒   die Statistik ist nicht ausreichend.
::* Die Simulation mit $N=10^3$ liefert bei zehn Versuchsreihen für $\hat H_1$ entweder $1.000$ oder $0.999$ und für $\hat H_6$ Werte zwischen $0.982$ und $0.995$  
::*  ⇒   Simulationsgenauigkeit nimmt mit steigendem $k$ ab. Die simulierten Werte $\hat H_k$ sind stets kleiner als $H_k = 1.000$. Beides gilt auch für noch kleineres  $N$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''   Wählen Sie nun die gedächtnislose Binärquelle mit  $p_{\rm A} = 0.2$  und  $p_{\rm B} = 0.8$. Wie groß sind die Entropie  $H$ und die Entropienäherungen  $H_1$, ... ,  $H_6$?

:Wie unterscheiden sich die Simulationsergebnisse  $\hat H_1$, ... ,  $\hat H_6$  mit  $N=10^5$  von  $H_1$, ... ,  $H_6$?   Wieder jeweils zehn Versuche.}}

::* Es gilt  $H = H_{\rm bin}(0.2) = 0.722\text{ bit/Symbol}$. Wie bei jeder gedächtnislosen Nachrichtenquelle gilt auch hier  $H_1 =$ ... $=H_6 = H$.
::* Die Simulation mit  $N=10^5$  liefert bei zehn Versuchsreihen für  $\hat H_1$  Werte zwischen $0.719$ und $0.727$. Es gilt aber stets  $\hat H_1 =$ ... $= \hat H_6$.
::* In solchen Fällen weicht die relative Häufigkeit  $h_{\rm A}$  von der Wahrscheinlichkeit  $p_{\rm A}$  ab. Ist  $\hat H_1 > 0.722$, so ist  $h_{\rm A} > 0.2$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''   Was ändert sich gegenüber '''(3)''' mit den Symbolwahrscheinlichkeiten  $p_{\rm A} = 0.8$  und  $p_{\rm B} = 0.2$?}}

:: '''Nichts'''. Die binäre Entropiefunktion ist symmetrisch um  $p=0.5$.
:: '''Ist nun  $\hat H_1 > 0.722$, so ist  $h_{\rm A} < 0.8$.'''

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''   Wählen Sie nun die Markovquelle mit  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = 0.2$  und  $p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 0.8$ . Wie groß sind die Entropie  $H$ und die Entropienäherungen  $H_1$, ... ,  $H_6$? }}

::* Bei dieser &bdquo;Markovquelle” ist  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = 0.2$  und  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 1 - p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 0.2$ . Deshalb ist auch die unbedingte Wahrscheinlichkeit  $p_{\rm A} = 0.2$   ⇒   $p_{\rm B} = 0.8$.
::*Es handelt sich also um die gleiche gedächtnislose Quelle wie bei '''(4)'''   ⇒  $H = H_1 =$ ... $=H_6 = 0.722\text{ bit/Symbol}$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''   Wählen Sie nun die Markovquelle mit  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = 0.2$  und  $p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 0.2$ . Wie groß sind die Entropie  $H$ und die Entropienäherungen  $H_1$, ... ,  $H_6$? }}

::* Hier handelt es sich um eine &bdquo;echte Markovquelle”, da sich  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = 0.2$  und  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 1 - p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 0.8$  unterscheiden.
::*Wegen  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B}} = p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A}}$ sind die beiden unbedingten Symbolwahrscheinlichkeiten gleich:  $p_{\rm A} = p_{\rm B} = 0.5$  ⇒   $H_1 = 1$.
::*Die Entropienäherungen $H_k$ werden mit steigendem $k$ kleiner:  $H_2 = 0.861$,  $H_3 = 0.815$, ... ,  $H_6 = 0.768$. Der Endwert ist wieder  $H = H_\infty = 0.722\text{ bit/Symbol}$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(7)'''   Welche Unterschiede gegenüber '''(6)''' ergeben sich mit  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = 0.8$  und  $p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 0.8$? }}

::* Die Entropienäherung  $H = H_{\rm bin}(0.8) = H_{\rm bin}(0.2)= 0.722\text{ bit/Symbol}$  bleibt gleich, ebenso alle Entropienäherungen  $H_k$.
::* Wegen den größeren Übergangswahrscheinlichkeiten  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B}} = p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A}} = 0.8$  erkennt man jetzt deutlich mehr Übergänge in der ausgegebenen Symbolfolge.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(8)'''   Wählen Sie nun die Markovquelle mit  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = 0.8$  und  $p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 0.9$. Wie groß sind die Entropie  $H$ und die Entropienäherungen  $H_1$, ... ,  $H_6$? }}

::*Wegen  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B}} \ne p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A}}$ sind nun die beiden unbedingten Symbolwahrscheinlichkeiten unterschiedlich:  $p_{\rm A} = 0.471$  und  $p_{\rm B} = 0.529$  ⇒   $H_1 = 0.998 \ne 1$.
::*Die Entropienäherungen $H_k$ werden wieder kontinuierlich kleiner:  $H_2 = 0.800$,  $H_3 = 0.734$, ... ,  $H_6 = 0.669$. Endwert:   $H = H_\infty = 0.603\text{ bit/Symbol}$.
::* Aus der Symbolfolge erkennt man, dass zwei Symbole  $\rm A$  ganz selten aufeinanderfolgen.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(9)'''   Es gelte weiterhin  $p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 0.9$. Für welches  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} }$  ergibt sich die maximale Entropie? }}

::*Anhand der roten Kurve in der Grafik zu '''(8)''' lässt sich bereits das Ergebnis  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} }\approx 0.45$  abschätzen.
::* Der dazugehörige Entropie–Endwert ist   $H = H_\infty = 0.818\text{ bit/Symbol}$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(10)'''   Wählen Sie nun die Markovquelle mit  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = 0.8$  und  $p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 1.0$. Interpretieren Sie die dargestellten Ergebnisse. }}

::*Die unbedingten Symbolwahrscheinlichkeiten sind  $p_{\rm A} = 0.444$  und  $p_{\rm B} = 0.556$  ⇒   $H_1 = 0.991 \ne 1$. Der Entropie–Endwert ist  $H = H_\infty = 0.401\text{ bit/Symbol}$.
::* Aus der Symbolfolge erkennt man, dass das Symbol  $\rm A$  im Gegensatz zum Symbol  $\rm B$  stets isoliert auftritt.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(11)'''   Wählen Sie nun die Markovquelle mit  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = 0.8$  und  $p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 0$. Interpretieren Sie die dargestellten Ergebnisse. }}

::*Die unbedingten Symbolwahrscheinlichkeiten sind  $p_{\rm A} = 1$  und  $p_{\rm B} = 0$  ⇒   die Symbolfolge besteht nur aus  $\rm A$    ⇒   Entropienäherung  $H_1 = 0 $.
::* Alle weiteren Entropienäherungen $H_k$ und auch der Entropie–Endwert sind ebenfalls Null.

==Zur Handhabung des Applets==

[[Datei:Anleitung_Entropie.png|left]]
 
    '''(A)'''     Auswahl:   Gedächtnislose Quelle / Markovquelle

    '''(B)'''     Parametereingabe per Slider (Beispiel Markovquelle)

    '''(C)'''     Markovdiagramm (falls Markovquelle)

    '''(D)'''     Eingabe der Folgenlänge  $N$  zur Berechnung der  $\hat H_k$

    '''(E)'''     Ausgabe einer simulierten Symbolfolge

    '''(F)'''     Ausgabe des Entropiewertes  $H$

    '''(G)'''     Ausgabe der Entropienäherungen  $H_k$

    '''(H)'''     Ausgabe der numerisch ermittelten Entropienäherungen  $\hat H_k$

    '''(I)'''     Grafikfeld zur Darstellung der Funktion  $H(p_{\rm A})$  bzw.  $H(p_{\rm A}|p_{\rm B})$

    '''(J)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung:   Aufgabenauswahl

    '''(K)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung:   Aufgabenstellung

    '''(L)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung:   Musterlösung
 
==Über die Autoren==
Dieses interaktive Applet wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.
*Die erste Version wurde 2011 von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Eugen_Mehlmann_.28Bachelorarbeit_EI_2011.29|Eugen Mehlmann]] im Rahmen seiner Bachelorarbeit mit &bdquo;FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
*2019 wurde das Programm von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Xiaohan_Liu_.28Bachelorarbeit_2018.29|Xiaohan Liu]] (Bachelorarbeit, Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]] ) auf &bdquo;HTML5” umgesetzt und neu gestaltet.

Die Umsetzung dieses Applets auf HTML 5 wurde durch  [https://www.ei.tum.de/studium/studienzuschuesse/ Studienzuschüsse]  der Fakultät EI der TU München finanziell unterstützt. Wir bedanken uns.

==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==

{{LntAppletLink|entropy}}

Applets:Entropie und Näherungen binärer Nachrichtenquellen

2023-04-24T15:42:36Z

Nagi:

{{LntAppletLink|entropy}}

==Programmbeschreibung==
 
Dieses Applet soll den Begriff &bdquo;Entropie” am Beispiel einer binären Nachrichtenquelle verdeutlichen. Die Quellensymbolfolge lautet somit  $〈 q_1, \hspace{0.05cm} q_2,\hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.05cm}, q_{ν–1}, \hspace{0.05cm}q_ν, \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}q_{ν+1} ,\hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.05cm}〉$  mit  $q_i \in \{A, B\}$  für  $i \ge 1$. Betrachtet werden sowohl eine gedächtnisfreie Quelle als auch eine Markovquelle erster Ordnung (also mit Gedächtnis &bdquo;1”), deren Entropien  $H$  jeweils in geschlossener Form angegeben werden können.

Ebenso werden für die unendlich lange Quellensymbolfolge so genannte Entropienäherungen  $H_1$,  $H_2$, ... ,  $H_k$, ... in geschlossener Form angegeben, wobei
*sich  $H_1$  allein auf die Symbolwahrscheinlichkeiten bezieht (das heißt:   Abhängigkeiten der Symbole innerhalb der Folge bleiben unberücksichtigt),
* zur Berechnung von  $H_2$  die Folge in Zweiertupel aufgeteilt und deren Entropie angegeben wird, und schließlich
* durch Erweiterung die Entropie  $H_k$  von  $k$–Tupeln angebbar ist.

Hierbei besteht für jede beliebige Nachrichtenquelle (mit oder ohne Gedächtnis) folgende Größenrealationen:
:$$ H <\text{...} \le H_k <\text{...} \le H_3 \le H_2 \le H_1 \le H_0 = \log_2 \ 2 = 1\text{ bit/Symbol} \hspace{0.05cm}.$$
$H_0$  bezeichnet den ''Entscheidungsgehalt'' von binären Nachrichtenquellen. Die ''Entropie''  $H$  der Quelle ergibt sich als der Grenzwert der  $H_k$  für  $k \to \infty$.

Implizit vorausgesetzt ist bei allen diesen analytisch angebbaren Größen die Folgenlänge  $N \to \infty$. Die Entropie  $H$  lässt sich aber auch aus einer begrenzten Quellensymbolfolge  $〈 q_1 \hspace{0.05cm}〉 =〈 q_1 , \hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.05cm}, q_{N}\hspace{0.05cm}〉$  annähern, also auch dann, wenn die statistischen Eigenschaften der Binärquelle unbekannt sind. Die entsprechenden Entropienäherungen werden hier mit  $\hat H_1$,  $\hat H_2$, ... ,  $\hat H_k$, ... bezeichnet.

Auch hierauf wird in der folgenden Beschreibung eingegangen mit dem Fazit:

*Die Näherung  $\hat H_k$  ist natürlich um so genauer, je größer die Folgenlänge  $N$  ist.
*Ist über die Quelle nichts weiter bekannt als die beispielhafte Folge, so ist der Rechenaufwand enorm.

==English Description==
 
This applet is intended to clarify the notion of &bdquo;entropy” using the example of a binary message source. Thus, the source symbol sequence is  $〈 q_1, \hspace{0.05cm} q_2,\hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.05cm}, q_{ν-1}, \hspace{0.05cm}q_ν, \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}q_{ν+1} ,\hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.05cm}〉$  with  $q_i \in \{A, B\}$  for  $i \ge 1$. Both a memoryless source and a first-order Markov source (i.e., with memory &bdquo;1”) are considered, whose entropies  $H$  can each be given in closed form.

Similarly, for the infinite source symbol sequence, so-called entropy approximations  $H_1$,  $H_2$, ... ,  $H_k$, ... are given in closed form, where
*refers  $H_1$  to the symbol probabilities alone (that is,   dependencies of the symbols within the sequence are not considered),
* for the calculation of  $H_2$  the sequence is divided into tuples of two and their entropy is given, and finally
* by expansion the entropy  $H_k$  of  $k$–tuples is specifiable.

Here, for any given message source (with or without memory), the following size realizations exist:
:$$ H <\text{...} \le H_k <\text{...} \le H_3 \le H_2 \le H_1 \le H_0 = \log_2 \ 2 = 1\text{ bit/symbol} \hspace{0.05cm}.$$
$H_0$  denotes the ''decision content'' of binary message sources. The ''entropy''  $H$  of the source is given as the limit of  $H_k$  for  $k \to \infty$.

Implicit in all these analytically specifiable quantities is the sequence length  $N \to \infty$. However, the entropy  $H$  can also be derived from a bounded source symbol sequence  $〈 q_1 \hspace{0.05cm}〉 =〈 q_1 , \hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.05cm}, q_{N}\hspace{0.05cm}〉$  approximations, i.e., even when the statistical properties of the binary source are unknown. The corresponding entropy approximations are denoted here by  $\hat H_1$,  $\hat H_2$, ... ,  $\hat H_k$, ... denotes.

This is also discussed in the following description with the conclusion:

*The approximation  $\hat H_k$  is of course the more accurate, the larger the sequence length  $N$  is.
*If nothing more is known about the source than the exemplary sequence, the computational effort is enormous.

==Theoretischer Hintergrund==
 
Die Entropie spielt in vielen naturwissenschaftlichen Fachgebieten eine große Rolle. Beschränken wir uns auf unser Fachgebiet der Statistik und der Informationstechnik, so ist die Entropie nach der Definition von  [https://de.wikipedia.org/wiki/Claude_Shannon Claude E. Shannon]  unter anderem ein Maß für die mittlere Unsicherheit über den Ausgang eines statistischen Ereignisses, für die „Zufälligkeit” dieses Ereignisses und für den mittleren Informationsgehalt einer Zufallsgröße.

===Entropie einer gedächtnislosen Binärquelle ===

[[Datei:Inf_T_1_1_S4_vers2.png|frame|Binäre Entropiefunktion als Funktion von $p$|right]]
Wir setzen zunächst voraus, dass die Auftrittwahrscheinlichkeiten der beiden Symbole  $\rm A$  und  $\rm B$  unabhängig von den vorherigen Symbolen innerhalb der Folge gleich  $p_{\rm A} = p$  und  $p_{\rm B} = 1 – p$  seien.

Für die Entropie dieser &bdquo;gedächtnislosen” Binärquelle gilt:

:$$H = H_{\rm bin} (p) = p \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{\hspace{0.1cm}p\hspace{0.1cm}} + (1-p) \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{1-p} \hspace{0.5cm}{\rm (Einheit\hspace{-0.15cm}: \hspace{0.15cm}bit\hspace{0.15cm}oder\hspace{0.15cm}bit/Symbol)}
\hspace{0.05cm}.$$

Man bezeichnet die Funktion  $H_\text{bin}(p)$  als die '''binäre Entropiefunktion'''. Aus der Grafik erkennt man:
*Der Maximalwert  $H_\text{0} = 1\; \rm bit/Symbol$  ergibt sich für  $p = 0.5$, also für gleichwahrscheinliche Binärsymbole. Dann liefern  $\rm A$  und  $\rm B$  jeweils den gleichen Beitrag zur Entropie.  $H_\text{0}$ nennt man auch den ''Entscheidungsgehalt''.
* $H_\text{bin}(p)$  ist symmetrisch um  $p = 0.5$. Eine Quelle mit  $p_{\rm A} = 0.1$  und  $p_{\rm B} = 0.9$  hat die gleiche Entropie  $H = 0.469 \; \rm bit/Symbol$  wie eine Quelle mit  $p_{\rm A} = 0.9$  und  $p_{\rm B} = 0.1$.
*Die Differenz  $ΔH = H_\text{0} - H$  gibt die ''Redundanz'' der Quelle an und  $r = ΔH/H_\text{0}$  die ''relative Redundanz''. Im Beispiel ergeben sich  $ΔH = 0.531\; \rm bit/Symbol$  bzw.  $r = 53.1 \rm \%$.
*Für  $p = 0$  ergibt sich  $H = 0$, da hier die Symbolfolge  $\rm B \ B \ B \text{...}$  mit Sicherheit vorhergesagt werden kann. Eigentlich ist nun der Symbolumfang nur noch  $M = 1$. Gleiches gilt für  $p = 1$, also für die Symbolfolge  $\rm A A A \text{...}$ 

===Entropie hinsichtlich Zweiertupel===

[[Datei:Inf_tupel.png|frame|Zur Verdeutlichung der Zweiertupel  $\rm AA$,  $\rm AB$,  $\rm BA$,  $\rm BB$|right]]
Wir teilen nun die Quellensymbolfolge $〈 q_1, \hspace{0.05cm} q_2,\hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.05cm}, q_{ν–1}, \hspace{0.05cm}q_ν, \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}q_{ν+1} ,\hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.05cm}〉$ in Zweiertupel entsprechend der Grafik auf und betrachten dadurch die Entropie zweier aufeinanderfolgender Quellensymbole.

Die Binärquelle wird weiterhin wie im letzten Abschnitt als ''gedächtnislos'' bzw. ''redundanzfrei'' vorausgesetzt. Für die Kombination $(q_ν, \hspace{0.05cm}q_{ν+1})$ gibt es in diesem Fall  $2^2 = 4$  mögliche Symbolpaare (farblich markiert) mit folgenden  [[Stochastische_Signaltheorie/Mengentheoretische_Grundlagen#Schnittmenge|Verbundwahrscheinlichkeiten]]:

:$${\rm Pr}(q_{\nu}\cap q_{\nu+1})\le {\rm Pr}(q_{\nu}) \cdot {\rm Pr}( q_{\nu+1})
\hspace{0.05cm}.$$

Daraus ist die ''Verbundentropie'' eines Zweier–Tupels berechenbar (der Index &bdquo;2” symbolisiert, dass sich die so berechnete Entropie auf Zweiertupel bezieht):

:$$H_2\hspace{0.05cm}' = \sum_{q_{\nu}\hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm}\{ \hspace{0.05cm}q_{\mu}\hspace{0.01cm} \}} \sum_{q_{\nu+1}\hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm}\{ \hspace{0.05cm} q_{\mu}\hspace{0.01cm} \}}\hspace{-0.1cm}{\rm Pr}(q_{\nu}\cap q_{\nu+1}) \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{{\rm Pr}(q_{\nu}\cap q_{\nu+1})} \hspace{0.4cm}({\rm Einheit\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.1cm}bit/Zweiertupel})
\hspace{0.05cm}.$$

Um den mittleren Informationsgehalt pro Symbol zu erhalten, muss  $H_2\hspace{0.05cm}'$  noch halbiert werden:

:$$H_2 = {H_2\hspace{0.05cm}'}/{2} \hspace{0.5cm}({\rm Einheit\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.1cm}bit/Symbol})
\hspace{0.05cm}.$$

Um eine konsistente Nomenklatur zu erreichen, benennen wir nun die im letzten Abschnitt definierte Entropie mit  $H_1$:

:$$H_1 = \sum_{q_{\nu}\hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm}\{ \hspace{0.05cm}q_{\mu}\hspace{0.01cm} \}} {\rm Pr}(q_{\nu}) \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac {1}{{\rm Pr}(q_{\nu})} \hspace{0.5cm}({\rm Einheit\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.1cm}bit/Symbol})
\hspace{0.05cm}.$$

Der Index &bdquo;1” soll darauf hinweisen, dass  $H_1$  ausschließlich die Symbolwahrscheinlichkeiten berücksichtigt und nicht statistischen Bindungen zwischen Symbolen innerhalb der Folge. Mit dem Entscheidungsgehalt  $H_0 = \log_2 2 = 1\text{ (bit)}$  ergibt sich dann folgende Größenbeziehung:

:$$H_0 \ge H_1 \ge H_2
\hspace{0.05cm}.$$

Verdeutlichen wir uns nun die Berechnung der Entropienäherungen  $H_1$  und  $H_2$  an zwei Beispielen.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 1:}$  Wir betrachten zunächst eine ''gedächtnislose Binärquelle'' mit gleichwahrscheinlichen Symbolen, das heißt es gelte  $p_{\rm A} = p_{\rm B} = 1/2$. Die ersten zwanzig Folgenelemente lauten:   $〈 q_ν 〉 =\rm BBAAABAABBBBBAAAABAB$ ...
*Aufgrund der gleichwahrscheinlichen Binärsymbole ist  $H_1 = H_0 = 1 \hspace{0.05cm} \rm bit/Symbol$.
*Die Verbundwahrscheinlichkeit  $p_{\rm AB}$  der Kombination  $\rm AB$  ist gleich  $p_{\rm A} · p_{\rm B} = 1/4$. Ebenso gilt  $p_{\rm AA} = p_{\rm BB} = p_{\rm BA} = 1/4$.
*Damit erhält man für die zweite Entropienäherung

:$$H_2 = {1}/{2} \cdot \big [ {1}/{4} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}4 + {1}/{4} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}4 +{1}/{4} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}4 +{1}/{4} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}4 \big ] = 1 \,{\rm bit/Symbol} = H_1 = H_0
\hspace{0.05cm}.$$}}

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 2:}$  Die zweite hier betrachtete Folge ergibt sich aus der Folge von $\text{Beispiel 1}$ durch Anwendung eines einfachen Wiederholungscodes:
:$$〈 q_ν 〉 =\rm BbBbAaAaAaBbAaAaBbBb \text{...} $$
*Die wiederholten Symbole sind durch entsprechende Kleinbuchstaben dargestellt. Bitte beachten Sie:   Es handelt sich trotzdem um eine Binärquelle.
*Aufgrund der gleichwahrscheinlichen Binärsymbole ergibt sich auch hier  $H_1 = H_0 = 1 \hspace{0.05cm} \rm bit/Symbol$.
*Für die Verbundwahrscheinlichkeiten gilt nun  $p_{\rm AA}=p_{\rm BB} = 3/8$  und  $p_{\rm ABA}=p_{\rm BAB} = 1/8$. Daraus folgt:
:$$\begin{align*}H_2 ={1}/{2} \cdot \big [ 2 \cdot {3}/{8} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm} {8}/{3} +
2 \cdot {1}/{8} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}8\big ] = {3}/{8} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}8 - {3}/{8} \cdot{\rm log}_2\hspace{0.1cm}3 + {1}/{8} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}8 \approx 0.906 \,{\rm bit/Symbol} < H_1 = H_0
\hspace{0.05cm}.\end{align*}$$

Betrachtet man sich die Aufgabenstellung genauer, so kommt man zu folgendem Schluss:
*Die Entropie müsste eigentlich  $H = 0.5 \hspace{0.05cm} \rm bit/Symbol$  sein (jedes zweite Symbol liefert keine neue Information).
*Die zweite Entropienäherung  $H_2 = 0.906 \hspace{0.05cm} \rm bit/Symbol$  ist aber deutlich größer als die Entropie  $H$.
*Zur Entropiebestimmung dieser redundanten Symbolfolge reicht also die Näherung zweiter Ordnung nicht aus.
*Vielmehr muss man größere zusammenhängende Blöcke mit  $k > 2$  Symbolen betrachten. Einen solchen Block bezeichnen wir im Folgenden als $k$–Tupel.}}

===Verallgemeinerung auf $k$–Tupel und Grenzübergang ===

Wir schreiben zur Abkürzung mit der Verbundwahrscheinlichkeit  $p_i^{(k)}$  eines $k$–Tupels allgemein:

:$$H_k = \frac{1}{k} \cdot \sum_{i=1}^{M^k} p_i^{(k)} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm} \frac{1}{p_i^{(k)}} \hspace{0.5cm}({\rm Einheit\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.1cm}bit/Symbol})
\hspace{0.05cm}.$$

*Die Laufvariable  $i$  steht jeweils für eines der  $M^k$ Tupel. Bei den hier betrachteten Binärquellen gilt  $M=2$.
*Die vorher berechnete Näherung  $H_2$  ergibt sich mit  $k = 2$.
*Für die Entropienäherungen  $H_k$  gelten folgende Größenrelationen; $H_0 = 1\text{ (bit/Symbol)}$ ist wieder der Entscheidungsgehalt:
:$$H \le \text{...} \le H_k \le \text{...} \le H_2 \le H_1 \le H_0 \hspace{0.05cm}.$$
*Die '''Entropie einer Nachrichtenquelle mit Gedächtnis''' ist der folgende Grenzwert:
:$$H = \lim_{k \rightarrow \infty }H_k \hspace{0.05cm}.$$

Der Rechenaufwand wird bis auf wenige Sonderfälle $($siehe nachfolgendes $\text{Beispiel 3)}$ mit zunehmendem  $k$  immer größer:
*Zur Berechnung von  $H_{10}$  einer Binärquelle ist über  $2^{10} = 1024$  Terme zu mitteln.
*Mit jeder weiteren Erhöhung von  $k$  um  $1$  verdoppelt sich die Anzahl der Summenterme.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 3:}$ 
Wir betrachten eine alternierende Binärfolge   ⇒   $〈 q_ν 〉 =\rm ABABABAB$ ...   . Entsprechend gilt  $H_0 = H_1 = 1 \hspace{0.15cm} \rm bit/Symbol$.

In diesem Sonderfall muss zur Bestimmung der  $H_k$–Näherung unabhängig von  $k$  stets nur über zwei Verbundwahrscheinlichkeiten gemittelt werden:
* $k = 2$:    $p_{\rm AB} = p_{\rm BA} = 1/2$     ⇒     $H_2 = 1/2 \hspace{0.15cm} \rm bit/Symbol$,
* $k = 3$:    $p_{\rm ABA} = p_{\rm BAB} = 1/2$     ⇒     $H_3 = 1/3 \hspace{0.15cm} \rm bit/Symbol$,
* $k = 4$:    $p_{\rm ABAB} = p_{\rm BABA} = 1/2$     ⇒     $H_4 = 1/4 \hspace{0.15cm} \rm bit/Symbol$.

Die (tatsächliche) Entropie dieser alternierenden Binärfolge ist demzufolge
:$$H = \lim_{k \rightarrow \infty }{1}/{k} = 0 \hspace{0.05cm}.$$

Dieses Ergebnis war zu erwarten, da die betrachtete Folge nur minimale Information besitzt, die sich allerdings im Entropie–Endwert  $H$  nicht auswirkt, nämlich die Information:   „Tritt $\rm A$ zu den geraden oder ungeraden Zeitpunkten auf?”

Man erkennt, dass  $H_k$  dem Endwert  $H = 0$  nur sehr langsam näher kommt:   Die zwanzigste Entropienäherung liefert immer noch  $H_{20} = 0.05 \hspace{0.15cm} \rm bit/Symbol$. }}

===Binärquellen mit Markoveigenschaften ===

[[Datei:Inf_T_1_2_S5_vers2.png|right|frame|Markovprozesse mit $M = 2$ Zuständen]]

Folgen mit statistischen Bindungen zwischen den Folgenelementen (Symbolen) werden oft durch [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten|Markovprozesse]] modelliert, wobei wir uns hier auf binäre Markovprozesse erster Ordnung mit den Zuständen (Symbolen)  $\rm A$  und  $\rm B$  beschränken.

Rechts sehen Sie das Übergangsdiagramm für einen binären Markovprozess erster Ordnung. Von den vier angegebenen Übertragungswahrscheinlichkeiten sind allerdings nur zwei frei wählbar, zum Beispiel
* $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}} = \rm Pr(A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B)$   ⇒   bedingte Wahrscheinlichkeit, dass  $\rm A$  auf  $\rm B$  folgt.
* $p_{\rm {B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} = \rm Pr(B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A)$   ⇒   bedingte Wahrscheinlichkeit, dass  $\rm B$  auf  $\rm A$  folgt.

Für die beiden weiteren Übergangswahrscheinlichkeiten gilt dann  $p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} = 1- p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}$  und   $p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} = 1- p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}
\hspace{0.05cm}.$

Aufgrund der vorausgesetzten Eigenschaften [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Station.C3.A4re_Zufallsprozesse|Stationarität]] und [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Ergodische_Zufallsprozesse|Ergodizität]] gilt für die Zustands– bzw. Symbolwahrscheinlichkeiten:

:$$p_{\rm A} = {\rm Pr}({\rm A}) = \frac{p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}}{p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} + p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}}
\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}p_{\rm B} = {\rm Pr}({\rm B}) = \frac{p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}}{p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} + p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}}
\hspace{0.05cm}.$$

Diese Gleichungen erlauben erste informationstheoretische Aussagen über Markovprozesse:
* Für  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}} = p_{\rm {B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}}$  sind die Symbole gleichwahrscheinlich   ⇒   $p_{\text{A}} = p_{\text{B}}= 0.5$. Die erste Entropienäherung liefert demzufolge  $H_1 = H_0 = 1 \hspace{0.05cm} \rm bit/Symbol$, und zwar unabhängig von den tatsächlichen Werten der (bedingten) Übergangswahrscheinlichkeiten  $p_{\text{A|B}}$  bzw.  $p_{\text{B|A}}$.
*Die Quellenentropie  $H$  als der Grenzwert $($für  $k \to \infty)$  der [[Informationstheorie/Nachrichtenquellen_mit_Gedächtnis#Verallgemeinerung_auf_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax108-QINU.60.22.27.7F.E2.80.93Tupel_und_Grenz.C3.BCbergang|Entropienäherung $k$–ter Ordnung]]   ⇒   $H_k$  hängt aber sehr wohl von den tatsächlichen Werten von  $p_{\text{A|B}}$  und  $p_{\text{B|A}}$  ab und nicht nur von ihrem Quotienten. Dies zeigt das folgende Beispiel.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 4:}$ 
Wir betrachten drei Markovquellen, die sich durch die Zahlenwerte der symmetrischen Übergangswahrscheinlichkeiten  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} }$  unterscheiden.
*Für die Symbolwahrscheinlichkeiten gilt somit  $p_{\rm A} = p_{\rm B}= 0.5$.
*Die anderen Übergangswahrscheinlichkeiten haben dann die Werte  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 1 - p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } =
p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} }.$

[[Datei:P_ID2242__Inf_T_1_2_S5b_neu.png|center|frame|Drei Beispiele binärer Markovquellen]]

*Die mittlere (blaue) Symbolfolge mit  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 0.5$  besitzt die Entropie  $H ≈ 1 \hspace{0.05cm} \rm bit/Symbol$. Das heißt:   In diesem Sonderfall gibt es keine statistischen Bindungen innerhalb der Folge.

*Die linke (rote) Folge mit  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 0.2$  weist weniger Wechsel zwischen  $\rm A$  und  $\rm B$  auf. Aufgrund von statistischen Abhängigkeiten zwischen benachbarten Symbolen ist nun  $H ≈ 0.72 \hspace{0.05cm} \rm bit/Symbol$  kleiner.

*Die rechte (grüne) Symbolfolge mit  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 0.8$  hat die genau gleiche Entropie  $H ≈ 0.72 \hspace{0.05cm} \rm bit/Symbol$  wie die rote Folge. Hier erkennt man viele Bereiche mit sich stets abwechselnden Symbolen (... $\rm ABABAB$ ... ).}}

Für den allgemeineren Fall  $p_{\text{A}} \ne p_{\text{B}}$  ist die Entropieberechnung der Zweiertupel etwas komplizierter:
*Mit den Verbundwahrscheinlichkeiten, zum Beispiel  $p_{\text{AB}} = p_{\text{A}} · p_{\rm {B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}}$, kann geschrieben werden:

:$$H_2\hspace{0.05cm}' = p_{\rm A} \cdot p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm A} \cdot p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} + p_{\rm A} \cdot p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm A} \cdot p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} + p_{\rm B} \cdot p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm B} \cdot p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}} + p_{\rm B} \cdot p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm B} \cdot p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}}
\hspace{0.05cm}.$$

*Ersetzt man nun die Logarithmen der Produkte durch entsprechende Summen von Logarithmen, so erhält man das Ergebnis  $H_2\hspace{0.05cm}' = H_1 + H_{\text{M}}$  mit
:$$H_1 = p_{\rm A} \cdot (p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} + p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A})\cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{p_{\rm A}} + p_{\rm B} \cdot (p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} + p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B})\cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{p_{\rm B}} = p_{\rm A} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{p_{\rm A}} + p_{\rm B} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{p_{\rm B}} = H_{\rm bin} (p_{\rm A})= H_{\rm bin} (p_{\rm B})
\hspace{0.05cm},$$
:$$H_{\rm M}= p_{\rm A} \cdot p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} + p_{\rm A} \cdot p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} + p_{\rm B} \cdot p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}} + p_{\rm B} \cdot p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}}
\hspace{0.05cm}.$$

*Damit lautet die zweite Entropienäherung (mit der Einheit „bit/Symbol”):
:$$H_2 = {1}/{2} \cdot {H_2\hspace{0.05cm}'} = {1}/{2} \cdot \big [ H_{\rm 1} + H_{\rm M} \big]
\hspace{0.05cm}.$$

*Erweitert man dieses Ergebnis für  $H_2$  auf die $k$–te Entropienäherung, so erhält man:

:$$H_k = {1}/{k} \cdot \big [ H_{\rm 1} + (k-1) \cdot H_{\rm M}\big ].$$

*Die '''Entropie einer Markovquelle''' ergibt sich als der folgende Grenzwert und ist demzufolge einfach zu berechnen:
:$$H = \lim_{k \rightarrow \infty }H_k \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} H = H_{\rm M} = 2 \cdot H_2 - H_1 \hspace{0.05cm}.$$

== Zusammenfassung und Schlussfolgerungen ==
 
=== Unbekannte Binärquelle ===
* Ist von der Nachrichtenquelle nicht mehr bekannt als der Symbolunfang  $M=2$, so müssen die Entropienäherungen  $\hat H_k$  numerisch aus der Quellensymbolfolge  $〈 q_1, \hspace{0.05cm} q_2,\hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.05cm}, q_{ν–1}, \hspace{0.05cm}q_ν, \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}q_{ν+1} ,\hspace{0.05cm}\text{ ...}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}q_{N} \hspace{0.05cm}〉$  ermittelt werden. Die Entropie  $H$ ergibt sich als der Grenzwert der  $\hat H_k$  für  $k \to \infty$, wobei gilt:
:$$ H <\text{...} <\hat H_k <\text{...} < \hat H_3 < \hat H_2 < \hat H_1 \le H_0 \hspace{0.05cm}.$$
* Bei der numerischen Ermittlung werden alle Wahrscheinlichkeiten  $(p_{\rm A}, \text{...})$  und bedingten Wahrscheinlichkeiten  $(p_{\rm A|B}, \text{...})$  durch entsprechende relative Häufigkeiten  $(h_{\rm A}, \text{...})$  und bedingte Wahrscheinlichkeiten  $(h_{\rm A|B}, \text{...})$  angenähert.
* Die Genauigkeit der numerischen Ermittlung nimmt bei gleichem  $N$  mit steigendem  $k$  ab. Das heißt:   Die Folgenlänge  $N$  der Simulation muss an den größten  $k$–Wert angepasst werden.

=== Gedächtnislose Binärquelle ===

* Eine gedächtnislose Binärquelle ist vollständig durch die Symbolwahrscheinlichkeiten  $p_{\rm A}$  und  $p_{\rm B} = 1- p_{\rm A}$  charakterisiert. Für die Entropie gilt folgende Gleichung:

:$$H = p \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{\hspace{0.1cm}p\hspace{0.1cm}} + (1-p) \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{1-p} \hspace{0.5cm}{\rm (Einheit\hspace{-0.15cm}: \hspace{0.15cm}bit\hspace{0.15cm}oder\hspace{0.15cm}bit/Symbol)}
\hspace{0.05cm}.$$

* Der Maximalwert der Entropie ergibt sich für  $p_{\rm A}= p_{\rm B} =0.5$;  $H_0 = \log_2 \ M$  bezeichnet man als den ''Entscheidungsgehalt'' der Quelle. Im binären Fall  $(M = 2)$  gilt:

:$$H_{\rm max} = H_0 = \text{ 1 bit/Symbol}\hspace{0.05cm}.$$

* In diesem Fall  $(p_{\rm A}= p_{\rm B} =0.5)$  ist die Symbolfolge redundanzfrei   ⇒   die relative Redundanz ist gleich  $r = (H - H_0)/H_0= 0$.

* Im unsymmetrischen Fall  $(p_{\rm A} \ne p_{\rm B})$  ist die relative Redundanz  $r > 0$  und für die Entropie gilt mit den Entropienäherung  $H_k$:

:$$H = H_1 < H_0, \hspace{0.5cm}H_1 = H_2 = H_3 = \text{...} .$$

* Bei einer gedächtnislosen Quelle sind also alle (analytisch berechneten) Entropienäherungen  $H_k$  exakt gleich. Für die durch Simulation aus der Symbolfolge  $〈 q_ν〉$  der Länge  $N$  gewonnenen Näherungen  $\hat H_k$  gilt dieser Zusammenhang bestenfalls näherungsweise

:$$\hat H_1 \approx \hat H_2 \approx \hat H_3 \approx \text{...} .$$

* Als Ergebnis sollte man  $H \approx \hat H_1$  verwenden. Bei gegebenem  $N$  sind die auf der Zeitmittelung basierenden Fehler für  $\hat H_2$  $\hat H_3$, ... deutlich größer. Oder anders ausgedrückt:   Um die gleiche statistische Sicherheit für die Ermittlung von  $\hat H_{k+1}$  wie bei  $\hat H_k$  zu erzielen, muss man  $N$  verdoppeln.

=== Binäre Markovquelle ===

[[Datei:Inf_T_1_2_S5_vers2.png|right|frame|Markovprozesse mit $M = 2$ Zuständen]]

*Folgen mit statistischen Bindungen zwischen den Folgenelementen werden oft durch Markovprozesse modelliert, wobei wir uns hier auf binäre Markovprozesse erster Ordnung mit den Symbolen  $\rm A$  und  $\rm B$  beschränken.

*Für die Entropie  $H = H_{\text{M}}$  und die erste Entropienäherung  $H_1$  einer solchen Markovquelle gelten die folgenden Gleichungen:

:$$H_{\text{M}} = p_{\rm A} \cdot p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} + p_{\rm A} \cdot p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} + p_{\rm B} \cdot p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}} + p_{\rm B} \cdot p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}}
\hspace{0.05cm},$$

:$$H_1 = p_{\rm A} \cdot (p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} + p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A})\cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{p_{\rm A}} + p_{\rm B} \cdot (p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} + p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B})\cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{p_{\rm B}} $$

:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_1 = p_{\rm A} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{p_{\rm A}} + p_{\rm B} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{p_{\rm B}} = H_{\rm bin} (p_{\rm A})= H_{\rm bin} (p_{\rm B})
\hspace{0.05cm}.$$

*Die Entropienäherungen  $H_k$  für  $k$–Tupel hängen mit der ersten Näherung  $H_1$  und dem Endwert  $H = H_{\text{M}}$  wie folgt zusammen:

:$$H_k = {1}/{k} \cdot \big [ H_{\rm 1} + (k-1) \cdot H_{\rm M}\big ] \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
H_2 = {1}/{2} \cdot \big [ H_{\rm 1} + H_{\rm M} \big ]\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}
H_3 ={1}/{3} \cdot \big [ H_{\rm 1} + 2 \cdot H_{\rm M}\big ] \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
H_4 = {1}/{4} \cdot \big [ H_{\rm 1} + 3 \cdot H_{\rm M}\big ]
\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}{\rm usw.}$$

* Daraus folgt direkt:   Ist über die Nachrichtenquelle nicht mehr bekannt, als dass es sich um eine Markovquelle erster Ordnung handelt, so kann der Endwert  $H = H_{\rm M}$  allein aus den Entropienäherungen  $H_1$  und  $H_2$  ermittelt werden:
:$$H = 2 \cdot H_2 - H_{\rm 1} \hspace{0.05cm}.$$

{{BlaueBox|TEXT=
Bei einem '''symmetrischen Markovprozess'''   ⇒   Übergangswahrscheinlichkeiten  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } $   ⇒   Symbolwahrscheinlichkeiten  $p_{\rm A } = p_{\rm B } = 0.5 $  erhält man

:$$H_{\text{M} } = H_{\text{bin} }(p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} })= p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } } + (1 - p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} }) \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{1 - p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } },\hspace{0.5cm}H_1 = 1\text{ bit/Symbol} .$$}}

==Versuchsdurchführung==
[[Datei:Exercises_Entropie.png|right]]
*Wählen Sie zunächst die Aufgabennummer.
*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt.
*Alle Parameterwerte sind angepasst.
*Alle Entropiewerte werden berechnet und eine Symbolfolge ausgegeben.
*Musterlösung nach Drücken von &bdquo;Hide solution”.
*Mit der Nummer &bdquo;0” wird auf die gleichen Einstellung wie beim Programmstart zurückgesetzt.
 
{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''   Wählen Sie die gedächtnislose Binärquelle mit  $p_{\rm A} = p_{\rm B} = 0.5$. Wie lauten die analytisch berechneten Entropienäherungen  $H_1$, ... ,  $H_6$?

:Wie unterscheiden sich die Simulationsergebnisse  $\hat H_1$, ... ,  $\hat H_6$  mit  $N=10^5$  von  $H_1$, ... ,  $H_6$?   Machen Sie jeweils zehn Versuche. }}

::* Es handelt sich um eine redundanzfreie Binärquelle   ⇒   $H = H_{\rm bin}(0.5) = H_1 =$ ... $=H_6 = 1\text{ bit/Symbol}$.
::* Auch die Simulation mit  $N=10^5$  liefert bei (fast) allen Versuchsreihen  $\hat H_1 =$ ...  $=\hat H_6 = 1.000$   ⇒   das auf drei Nachkommastellen richtige Ergebnis.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''   Wie unterscheiden sich bei sonst gleichen Einstellungen die Simulationsergebnisse  $\hat H_1$, ... ,  $\hat H_6$ mit $N=10^3$?   Wieder jeweils zehn Versuche. }}

::* Die Entropienäherungen $H_k$ werden nun durch $\hat H_k$ ungenauer nachgebildet als mit $N=10^5$   ⇒   die Statistik ist nicht ausreichend.
::* Die Simulation mit $N=10^3$ liefert bei zehn Versuchsreihen für $\hat H_1$ entweder $1.000$ oder $0.999$ und für $\hat H_6$ Werte zwischen $0.982$ und $0.995$  
::*  ⇒   Simulationsgenauigkeit nimmt mit steigendem $k$ ab. Die simulierten Werte $\hat H_k$ sind stets kleiner als $H_k = 1.000$. Beides gilt auch für noch kleineres  $N$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''   Wählen Sie nun die gedächtnislose Binärquelle mit  $p_{\rm A} = 0.2$  und  $p_{\rm B} = 0.8$. Wie groß sind die Entropie  $H$ und die Entropienäherungen  $H_1$, ... ,  $H_6$?

:Wie unterscheiden sich die Simulationsergebnisse  $\hat H_1$, ... ,  $\hat H_6$  mit  $N=10^5$  von  $H_1$, ... ,  $H_6$?   Wieder jeweils zehn Versuche.}}

::* Es gilt  $H = H_{\rm bin}(0.2) = 0.722\text{ bit/Symbol}$. Wie bei jeder gedächtnislosen Nachrichtenquelle gilt auch hier  $H_1 =$ ... $=H_6 = H$.
::* Die Simulation mit  $N=10^5$  liefert bei zehn Versuchsreihen für  $\hat H_1$  Werte zwischen $0.719$ und $0.727$. Es gilt aber stets  $\hat H_1 =$ ... $= \hat H_6$.
::* In solchen Fällen weicht die relative Häufigkeit  $h_{\rm A}$  von der Wahrscheinlichkeit  $p_{\rm A}$  ab. Ist  $\hat H_1 > 0.722$, so ist  $h_{\rm A} > 0.2$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''   Was ändert sich gegenüber '''(3)''' mit den Symbolwahrscheinlichkeiten  $p_{\rm A} = 0.8$  und  $p_{\rm B} = 0.2$?}}

:: '''Nichts'''. Die binäre Entropiefunktion ist symmetrisch um  $p=0.5$.
:: '''Ist nun  $\hat H_1 > 0.722$, so ist  $h_{\rm A} < 0.8$.'''

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''   Wählen Sie nun die Markovquelle mit  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = 0.2$  und  $p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 0.8$ . Wie groß sind die Entropie  $H$ und die Entropienäherungen  $H_1$, ... ,  $H_6$? }}

::* Bei dieser &bdquo;Markovquelle” ist  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = 0.2$  und  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 1 - p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 0.2$ . Deshalb ist auch die unbedingte Wahrscheinlichkeit  $p_{\rm A} = 0.2$   ⇒   $p_{\rm B} = 0.8$.
::*Es handelt sich also um die gleiche gedächtnislose Quelle wie bei '''(4)'''   ⇒  $H = H_1 =$ ... $=H_6 = 0.722\text{ bit/Symbol}$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''   Wählen Sie nun die Markovquelle mit  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = 0.2$  und  $p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 0.2$ . Wie groß sind die Entropie  $H$ und die Entropienäherungen  $H_1$, ... ,  $H_6$? }}

::* Hier handelt es sich um eine &bdquo;echte Markovquelle”, da sich  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = 0.2$  und  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 1 - p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 0.8$  unterscheiden.
::*Wegen  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B}} = p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A}}$ sind die beiden unbedingten Symbolwahrscheinlichkeiten gleich:  $p_{\rm A} = p_{\rm B} = 0.5$  ⇒   $H_1 = 1$.
::*Die Entropienäherungen $H_k$ werden mit steigendem $k$ kleiner:  $H_2 = 0.861$,  $H_3 = 0.815$, ... ,  $H_6 = 0.768$. Der Endwert ist wieder  $H = H_\infty = 0.722\text{ bit/Symbol}$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(7)'''   Welche Unterschiede gegenüber '''(6)''' ergeben sich mit  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = 0.8$  und  $p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 0.8$? }}

::* Die Entropienäherung  $H = H_{\rm bin}(0.8) = H_{\rm bin}(0.2)= 0.722\text{ bit/Symbol}$  bleibt gleich, ebenso alle Entropienäherungen  $H_k$.
::* Wegen den größeren Übergangswahrscheinlichkeiten  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B}} = p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A}} = 0.8$  erkennt man jetzt deutlich mehr Übergänge in der ausgegebenen Symbolfolge.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(8)'''   Wählen Sie nun die Markovquelle mit  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = 0.8$  und  $p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 0.9$. Wie groß sind die Entropie  $H$ und die Entropienäherungen  $H_1$, ... ,  $H_6$? }}

::*Wegen  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B}} \ne p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A}}$ sind nun die beiden unbedingten Symbolwahrscheinlichkeiten unterschiedlich:  $p_{\rm A} = 0.471$  und  $p_{\rm B} = 0.529$  ⇒   $H_1 = 0.998 \ne 1$.
::*Die Entropienäherungen $H_k$ werden wieder kontinuierlich kleiner:  $H_2 = 0.800$,  $H_3 = 0.734$, ... ,  $H_6 = 0.669$. Endwert:   $H = H_\infty = 0.603\text{ bit/Symbol}$.
::* Aus der Symbolfolge erkennt man, dass zwei Symbole  $\rm A$  ganz selten aufeinanderfolgen.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(9)'''   Es gelte weiterhin  $p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 0.9$. Für welches  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} }$  ergibt sich die maximale Entropie? }}

::*Anhand der roten Kurve in der Grafik zu '''(8)''' lässt sich bereits das Ergebnis  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} }\approx 0.45$  abschätzen.
::* Der dazugehörige Entropie–Endwert ist   $H = H_\infty = 0.818\text{ bit/Symbol}$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(10)'''   Wählen Sie nun die Markovquelle mit  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = 0.8$  und  $p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 1.0$. Interpretieren Sie die dargestellten Ergebnisse. }}

::*Die unbedingten Symbolwahrscheinlichkeiten sind  $p_{\rm A} = 0.444$  und  $p_{\rm B} = 0.556$  ⇒   $H_1 = 0.991 \ne 1$. Der Entropie–Endwert ist  $H = H_\infty = 0.401\text{ bit/Symbol}$.
::* Aus der Symbolfolge erkennt man, dass das Symbol  $\rm A$  im Gegensatz zum Symbol  $\rm B$  stets isoliert auftritt.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(11)'''   Wählen Sie nun die Markovquelle mit  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = 0.8$  und  $p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 0$. Interpretieren Sie die dargestellten Ergebnisse. }}

::*Die unbedingten Symbolwahrscheinlichkeiten sind  $p_{\rm A} = 1$  und  $p_{\rm B} = 0$  ⇒   die Symbolfolge besteht nur aus  $\rm A$    ⇒   Entropienäherung  $H_1 = 0 $.
::* Alle weiteren Entropienäherungen $H_k$ und auch der Entropie–Endwert sind ebenfalls Null.

==Zur Handhabung des Applets==

[[Datei:Anleitung_Entropie.png|left]]
 
    '''(A)'''     Auswahl:   Gedächtnislose Quelle / Markovquelle

    '''(B)'''     Parametereingabe per Slider (Beispiel Markovquelle)

    '''(C)'''     Markovdiagramm (falls Markovquelle)

    '''(D)'''     Eingabe der Folgenlänge  $N$  zur Berechnung der  $\hat H_k$

    '''(E)'''     Ausgabe einer simulierten Symbolfolge

    '''(F)'''     Ausgabe des Entropiewertes  $H$

    '''(G)'''     Ausgabe der Entropienäherungen  $H_k$

    '''(H)'''     Ausgabe der numerisch ermittelten Entropienäherungen  $\hat H_k$

    '''(I)'''     Grafikfeld zur Darstellung der Funktion  $H(p_{\rm A})$  bzw.  $H(p_{\rm A}|p_{\rm B})$

    '''(J)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung:   Aufgabenauswahl

    '''(K)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung:   Aufgabenstellung

    '''(L)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung:   Musterlösung
 
==Über die Autoren==
Dieses interaktive Applet wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.
*Die erste Version wurde 2011 von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Eugen_Mehlmann_.28Bachelorarbeit_EI_2011.29|Eugen Mehlmann]] im Rahmen seiner Bachelorarbeit mit &bdquo;FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
*2019 wurde das Programm von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Xiaohan_Liu_.28Bachelorarbeit_2018.29|Xiaohan Liu]] (Bachelorarbeit, Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]] ) auf &bdquo;HTML5” umgesetzt und neu gestaltet.

Die Umsetzung dieses Applets auf HTML 5 wurde durch  [https://www.ei.tum.de/studium/studienzuschuesse/ Studienzuschüsse]  der Fakultät EI der TU München finanziell unterstützt. Wir bedanken uns.

==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==

{{LntAppletLink|entropy}}

Applets:Entropie und Näherungen binärer Nachrichtenquellen

2023-04-24T15:41:18Z

Nagi:

{{LntAppletLink|entropy}}

==Programmbeschreibung==
 
Dieses Applet soll den Begriff &bdquo;Entropie” am Beispiel einer binären Nachrichtenquelle verdeutlichen. Die Quellensymbolfolge lautet somit  $〈 q_1, \hspace{0.05cm} q_2,\hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.05cm}, q_{ν–1}, \hspace{0.05cm}q_ν, \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}q_{ν+1} ,\hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.05cm}〉$  mit  $q_i \in \{A, B\}$  für  $i \ge 1$. Betrachtet werden sowohl eine gedächtnisfreie Quelle als auch eine Markovquelle erster Ordnung (also mit Gedächtnis &bdquo;1”), deren Entropien  $H$  jeweils in geschlossener Form angegeben werden können.

Ebenso werden für die unendlich lange Quellensymbolfolge so genannte Entropienäherungen  $H_1$,  $H_2$, ... ,  $H_k$, ... in geschlossener Form angegeben, wobei
*sich  $H_1$  allein auf die Symbolwahrscheinlichkeiten bezieht (das heißt:   Abhängigkeiten der Symbole innerhalb der Folge bleiben unberücksichtigt),
* zur Berechnung von  $H_2$  die Folge in Zweiertupel aufgeteilt und deren Entropie angegeben wird, und schließlich
* durch Erweiterung die Entropie  $H_k$  von  $k$–Tupeln angebbar ist.

Hierbei besteht für jede beliebige Nachrichtenquelle (mit oder ohne Gedächtnis) folgende Größenrealationen:
:$$ H <\text{...} \le H_k <\text{...} \le H_3 \le H_2 \le H_1 \le H_0 = \log_2 \ 2 = 1\text{ bit/Symbol} \hspace{0.05cm}.$$
$H_0$  bezeichnet den ''Entscheidungsgehalt'' von binären Nachrichtenquellen. Die ''Entropie''  $H$  der Quelle ergibt sich als der Grenzwert der  $H_k$  für  $k \to \infty$.

Implizit vorausgesetzt ist bei allen diesen analytisch angebbaren Größen die Folgenlänge  $N \to \infty$. Die Entropie  $H$  lässt sich aber auch aus einer begrenzten Quellensymbolfolge  $〈 q_1 \hspace{0.05cm}〉 =〈 q_1 , \hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.05cm}, q_{N}\hspace{0.05cm}〉$  annähern, also auch dann, wenn die statistischen Eigenschaften der Binärquelle unbekannt sind. Die entsprechenden Entropienäherungen werden hier mit  $\hat H_1$,  $\hat H_2$, ... ,  $\hat H_k$, ... bezeichnet.

Auch hierauf wird in der folgenden Beschreibung eingegangen mit dem Fazit:

*Die Näherung  $\hat H_k$  ist natürlich um so genauer, je größer die Folgenlänge  $N$  ist.
*Ist über die Quelle nichts weiter bekannt als die beispielhafte Folge, so ist der Rechenaufwand enorm.

==English Description==
 
This applet is intended to clarify the notion of &bdquo;entropy” using the example of a binary message source. Thus, the source symbol sequence is  $〈 q_1, \hspace{0.05cm} q_2,\hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.05cm}, q_{ν-1}, \hspace{0.05cm}q_ν, \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}q_{ν+1} ,\hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.05cm}〉$  with  $q_i \in \{A, B\}$  for  $i \ge 1$. Both a memoryless source and a first-order Markov source (i.e., with memory &bdquo;1”) are considered, whose entropies  $H$  can each be given in closed form.

Similarly, for the infinite source symbol sequence, so-called entropy approximations  $H_1$,  $H_2$, ... ,  $H_k$, ... are given in closed form, where
*refers  $H_1$  to the symbol probabilities alone (that is,   dependencies of the symbols within the sequence are not considered),
* for the calculation of  $H_2$  the sequence is divided into tuples of two and their entropy is given, and finally
* by expansion the entropy  $H_k$  of  $k$–tuples is specifiable.

Here, for any given message source (with or without memory), the following size realizations exist:
:$$ H <\text{...} \le H_k <\text{...} \le H_3 \le H_2 \le H_1 \le H_0 = \log_2 \ 2 = 1\text{ bit/symbol} \hspace{0.05cm}.$$
$H_0$  denotes the ''decision content'' of binary message sources. The ''entropy''  $H$  of the source is given as the limit of  $H_k$  for  $k \to \infty$.

Implicit in all these analytically specifiable quantities is the sequence length  $N \to \infty$. However, the entropy  $H$  can also be derived from a bounded source symbol sequence  $〈 q_1 \hspace{0.05cm}〉 =〈 q_1 , \hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.05cm}, q_{N}\hspace{0.05cm}〉$  approximations, i.e., even when the statistical properties of the binary source are unknown. The corresponding entropy approximations are denoted here by  $\hat H_1$,  $\hat H_2$, ... ,  $\has H_k$, ... denotes.

This is also discussed in the following description with the conclusion:

*The approximation  $\has H_k$  is of course the more accurate, the larger the sequence length  $N$  is.
*If nothing more is known about the source than the exemplary sequence, the computational effort is enormous.

==Theoretischer Hintergrund==
 
Die Entropie spielt in vielen naturwissenschaftlichen Fachgebieten eine große Rolle. Beschränken wir uns auf unser Fachgebiet der Statistik und der Informationstechnik, so ist die Entropie nach der Definition von  [https://de.wikipedia.org/wiki/Claude_Shannon Claude E. Shannon]  unter anderem ein Maß für die mittlere Unsicherheit über den Ausgang eines statistischen Ereignisses, für die „Zufälligkeit” dieses Ereignisses und für den mittleren Informationsgehalt einer Zufallsgröße.

===Entropie einer gedächtnislosen Binärquelle ===

[[Datei:Inf_T_1_1_S4_vers2.png|frame|Binäre Entropiefunktion als Funktion von $p$|right]]
Wir setzen zunächst voraus, dass die Auftrittwahrscheinlichkeiten der beiden Symbole  $\rm A$  und  $\rm B$  unabhängig von den vorherigen Symbolen innerhalb der Folge gleich  $p_{\rm A} = p$  und  $p_{\rm B} = 1 – p$  seien.

Für die Entropie dieser &bdquo;gedächtnislosen” Binärquelle gilt:

:$$H = H_{\rm bin} (p) = p \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{\hspace{0.1cm}p\hspace{0.1cm}} + (1-p) \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{1-p} \hspace{0.5cm}{\rm (Einheit\hspace{-0.15cm}: \hspace{0.15cm}bit\hspace{0.15cm}oder\hspace{0.15cm}bit/Symbol)}
\hspace{0.05cm}.$$

Man bezeichnet die Funktion  $H_\text{bin}(p)$  als die '''binäre Entropiefunktion'''. Aus der Grafik erkennt man:
*Der Maximalwert  $H_\text{0} = 1\; \rm bit/Symbol$  ergibt sich für  $p = 0.5$, also für gleichwahrscheinliche Binärsymbole. Dann liefern  $\rm A$  und  $\rm B$  jeweils den gleichen Beitrag zur Entropie.  $H_\text{0}$ nennt man auch den ''Entscheidungsgehalt''.
* $H_\text{bin}(p)$  ist symmetrisch um  $p = 0.5$. Eine Quelle mit  $p_{\rm A} = 0.1$  und  $p_{\rm B} = 0.9$  hat die gleiche Entropie  $H = 0.469 \; \rm bit/Symbol$  wie eine Quelle mit  $p_{\rm A} = 0.9$  und  $p_{\rm B} = 0.1$.
*Die Differenz  $ΔH = H_\text{0} - H$  gibt die ''Redundanz'' der Quelle an und  $r = ΔH/H_\text{0}$  die ''relative Redundanz''. Im Beispiel ergeben sich  $ΔH = 0.531\; \rm bit/Symbol$  bzw.  $r = 53.1 \rm \%$.
*Für  $p = 0$  ergibt sich  $H = 0$, da hier die Symbolfolge  $\rm B \ B \ B \text{...}$  mit Sicherheit vorhergesagt werden kann. Eigentlich ist nun der Symbolumfang nur noch  $M = 1$. Gleiches gilt für  $p = 1$, also für die Symbolfolge  $\rm A A A \text{...}$ 

===Entropie hinsichtlich Zweiertupel===

[[Datei:Inf_tupel.png|frame|Zur Verdeutlichung der Zweiertupel  $\rm AA$,  $\rm AB$,  $\rm BA$,  $\rm BB$|right]]
Wir teilen nun die Quellensymbolfolge $〈 q_1, \hspace{0.05cm} q_2,\hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.05cm}, q_{ν–1}, \hspace{0.05cm}q_ν, \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}q_{ν+1} ,\hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.05cm}〉$ in Zweiertupel entsprechend der Grafik auf und betrachten dadurch die Entropie zweier aufeinanderfolgender Quellensymbole.

Die Binärquelle wird weiterhin wie im letzten Abschnitt als ''gedächtnislos'' bzw. ''redundanzfrei'' vorausgesetzt. Für die Kombination $(q_ν, \hspace{0.05cm}q_{ν+1})$ gibt es in diesem Fall  $2^2 = 4$  mögliche Symbolpaare (farblich markiert) mit folgenden  [[Stochastische_Signaltheorie/Mengentheoretische_Grundlagen#Schnittmenge|Verbundwahrscheinlichkeiten]]:

:$${\rm Pr}(q_{\nu}\cap q_{\nu+1})\le {\rm Pr}(q_{\nu}) \cdot {\rm Pr}( q_{\nu+1})
\hspace{0.05cm}.$$

Daraus ist die ''Verbundentropie'' eines Zweier–Tupels berechenbar (der Index &bdquo;2” symbolisiert, dass sich die so berechnete Entropie auf Zweiertupel bezieht):

:$$H_2\hspace{0.05cm}' = \sum_{q_{\nu}\hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm}\{ \hspace{0.05cm}q_{\mu}\hspace{0.01cm} \}} \sum_{q_{\nu+1}\hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm}\{ \hspace{0.05cm} q_{\mu}\hspace{0.01cm} \}}\hspace{-0.1cm}{\rm Pr}(q_{\nu}\cap q_{\nu+1}) \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{{\rm Pr}(q_{\nu}\cap q_{\nu+1})} \hspace{0.4cm}({\rm Einheit\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.1cm}bit/Zweiertupel})
\hspace{0.05cm}.$$

Um den mittleren Informationsgehalt pro Symbol zu erhalten, muss  $H_2\hspace{0.05cm}'$  noch halbiert werden:

:$$H_2 = {H_2\hspace{0.05cm}'}/{2} \hspace{0.5cm}({\rm Einheit\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.1cm}bit/Symbol})
\hspace{0.05cm}.$$

Um eine konsistente Nomenklatur zu erreichen, benennen wir nun die im letzten Abschnitt definierte Entropie mit  $H_1$:

:$$H_1 = \sum_{q_{\nu}\hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm}\{ \hspace{0.05cm}q_{\mu}\hspace{0.01cm} \}} {\rm Pr}(q_{\nu}) \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac {1}{{\rm Pr}(q_{\nu})} \hspace{0.5cm}({\rm Einheit\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.1cm}bit/Symbol})
\hspace{0.05cm}.$$

Der Index &bdquo;1” soll darauf hinweisen, dass  $H_1$  ausschließlich die Symbolwahrscheinlichkeiten berücksichtigt und nicht statistischen Bindungen zwischen Symbolen innerhalb der Folge. Mit dem Entscheidungsgehalt  $H_0 = \log_2 2 = 1\text{ (bit)}$  ergibt sich dann folgende Größenbeziehung:

:$$H_0 \ge H_1 \ge H_2
\hspace{0.05cm}.$$

Verdeutlichen wir uns nun die Berechnung der Entropienäherungen  $H_1$  und  $H_2$  an zwei Beispielen.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 1:}$  Wir betrachten zunächst eine ''gedächtnislose Binärquelle'' mit gleichwahrscheinlichen Symbolen, das heißt es gelte  $p_{\rm A} = p_{\rm B} = 1/2$. Die ersten zwanzig Folgenelemente lauten:   $〈 q_ν 〉 =\rm BBAAABAABBBBBAAAABAB$ ...
*Aufgrund der gleichwahrscheinlichen Binärsymbole ist  $H_1 = H_0 = 1 \hspace{0.05cm} \rm bit/Symbol$.
*Die Verbundwahrscheinlichkeit  $p_{\rm AB}$  der Kombination  $\rm AB$  ist gleich  $p_{\rm A} · p_{\rm B} = 1/4$. Ebenso gilt  $p_{\rm AA} = p_{\rm BB} = p_{\rm BA} = 1/4$.
*Damit erhält man für die zweite Entropienäherung

:$$H_2 = {1}/{2} \cdot \big [ {1}/{4} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}4 + {1}/{4} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}4 +{1}/{4} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}4 +{1}/{4} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}4 \big ] = 1 \,{\rm bit/Symbol} = H_1 = H_0
\hspace{0.05cm}.$$}}

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 2:}$  Die zweite hier betrachtete Folge ergibt sich aus der Folge von $\text{Beispiel 1}$ durch Anwendung eines einfachen Wiederholungscodes:
:$$〈 q_ν 〉 =\rm BbBbAaAaAaBbAaAaBbBb \text{...} $$
*Die wiederholten Symbole sind durch entsprechende Kleinbuchstaben dargestellt. Bitte beachten Sie:   Es handelt sich trotzdem um eine Binärquelle.
*Aufgrund der gleichwahrscheinlichen Binärsymbole ergibt sich auch hier  $H_1 = H_0 = 1 \hspace{0.05cm} \rm bit/Symbol$.
*Für die Verbundwahrscheinlichkeiten gilt nun  $p_{\rm AA}=p_{\rm BB} = 3/8$  und  $p_{\rm ABA}=p_{\rm BAB} = 1/8$. Daraus folgt:
:$$\begin{align*}H_2 ={1}/{2} \cdot \big [ 2 \cdot {3}/{8} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm} {8}/{3} +
2 \cdot {1}/{8} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}8\big ] = {3}/{8} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}8 - {3}/{8} \cdot{\rm log}_2\hspace{0.1cm}3 + {1}/{8} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}8 \approx 0.906 \,{\rm bit/Symbol} < H_1 = H_0
\hspace{0.05cm}.\end{align*}$$

Betrachtet man sich die Aufgabenstellung genauer, so kommt man zu folgendem Schluss:
*Die Entropie müsste eigentlich  $H = 0.5 \hspace{0.05cm} \rm bit/Symbol$  sein (jedes zweite Symbol liefert keine neue Information).
*Die zweite Entropienäherung  $H_2 = 0.906 \hspace{0.05cm} \rm bit/Symbol$  ist aber deutlich größer als die Entropie  $H$.
*Zur Entropiebestimmung dieser redundanten Symbolfolge reicht also die Näherung zweiter Ordnung nicht aus.
*Vielmehr muss man größere zusammenhängende Blöcke mit  $k > 2$  Symbolen betrachten. Einen solchen Block bezeichnen wir im Folgenden als $k$–Tupel.}}

===Verallgemeinerung auf $k$–Tupel und Grenzübergang ===

Wir schreiben zur Abkürzung mit der Verbundwahrscheinlichkeit  $p_i^{(k)}$  eines $k$–Tupels allgemein:

:$$H_k = \frac{1}{k} \cdot \sum_{i=1}^{M^k} p_i^{(k)} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm} \frac{1}{p_i^{(k)}} \hspace{0.5cm}({\rm Einheit\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.1cm}bit/Symbol})
\hspace{0.05cm}.$$

*Die Laufvariable  $i$  steht jeweils für eines der  $M^k$ Tupel. Bei den hier betrachteten Binärquellen gilt  $M=2$.
*Die vorher berechnete Näherung  $H_2$  ergibt sich mit  $k = 2$.
*Für die Entropienäherungen  $H_k$  gelten folgende Größenrelationen; $H_0 = 1\text{ (bit/Symbol)}$ ist wieder der Entscheidungsgehalt:
:$$H \le \text{...} \le H_k \le \text{...} \le H_2 \le H_1 \le H_0 \hspace{0.05cm}.$$
*Die '''Entropie einer Nachrichtenquelle mit Gedächtnis''' ist der folgende Grenzwert:
:$$H = \lim_{k \rightarrow \infty }H_k \hspace{0.05cm}.$$

Der Rechenaufwand wird bis auf wenige Sonderfälle $($siehe nachfolgendes $\text{Beispiel 3)}$ mit zunehmendem  $k$  immer größer:
*Zur Berechnung von  $H_{10}$  einer Binärquelle ist über  $2^{10} = 1024$  Terme zu mitteln.
*Mit jeder weiteren Erhöhung von  $k$  um  $1$  verdoppelt sich die Anzahl der Summenterme.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 3:}$ 
Wir betrachten eine alternierende Binärfolge   ⇒   $〈 q_ν 〉 =\rm ABABABAB$ ...   . Entsprechend gilt  $H_0 = H_1 = 1 \hspace{0.15cm} \rm bit/Symbol$.

In diesem Sonderfall muss zur Bestimmung der  $H_k$–Näherung unabhängig von  $k$  stets nur über zwei Verbundwahrscheinlichkeiten gemittelt werden:
* $k = 2$:    $p_{\rm AB} = p_{\rm BA} = 1/2$     ⇒     $H_2 = 1/2 \hspace{0.15cm} \rm bit/Symbol$,
* $k = 3$:    $p_{\rm ABA} = p_{\rm BAB} = 1/2$     ⇒     $H_3 = 1/3 \hspace{0.15cm} \rm bit/Symbol$,
* $k = 4$:    $p_{\rm ABAB} = p_{\rm BABA} = 1/2$     ⇒     $H_4 = 1/4 \hspace{0.15cm} \rm bit/Symbol$.

Die (tatsächliche) Entropie dieser alternierenden Binärfolge ist demzufolge
:$$H = \lim_{k \rightarrow \infty }{1}/{k} = 0 \hspace{0.05cm}.$$

Dieses Ergebnis war zu erwarten, da die betrachtete Folge nur minimale Information besitzt, die sich allerdings im Entropie–Endwert  $H$  nicht auswirkt, nämlich die Information:   „Tritt $\rm A$ zu den geraden oder ungeraden Zeitpunkten auf?”

Man erkennt, dass  $H_k$  dem Endwert  $H = 0$  nur sehr langsam näher kommt:   Die zwanzigste Entropienäherung liefert immer noch  $H_{20} = 0.05 \hspace{0.15cm} \rm bit/Symbol$. }}

===Binärquellen mit Markoveigenschaften ===

[[Datei:Inf_T_1_2_S5_vers2.png|right|frame|Markovprozesse mit $M = 2$ Zuständen]]

Folgen mit statistischen Bindungen zwischen den Folgenelementen (Symbolen) werden oft durch [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten|Markovprozesse]] modelliert, wobei wir uns hier auf binäre Markovprozesse erster Ordnung mit den Zuständen (Symbolen)  $\rm A$  und  $\rm B$  beschränken.

Rechts sehen Sie das Übergangsdiagramm für einen binären Markovprozess erster Ordnung. Von den vier angegebenen Übertragungswahrscheinlichkeiten sind allerdings nur zwei frei wählbar, zum Beispiel
* $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}} = \rm Pr(A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B)$   ⇒   bedingte Wahrscheinlichkeit, dass  $\rm A$  auf  $\rm B$  folgt.
* $p_{\rm {B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} = \rm Pr(B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A)$   ⇒   bedingte Wahrscheinlichkeit, dass  $\rm B$  auf  $\rm A$  folgt.

Für die beiden weiteren Übergangswahrscheinlichkeiten gilt dann  $p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} = 1- p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}$  und   $p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} = 1- p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}
\hspace{0.05cm}.$

Aufgrund der vorausgesetzten Eigenschaften [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Station.C3.A4re_Zufallsprozesse|Stationarität]] und [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Ergodische_Zufallsprozesse|Ergodizität]] gilt für die Zustands– bzw. Symbolwahrscheinlichkeiten:

:$$p_{\rm A} = {\rm Pr}({\rm A}) = \frac{p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}}{p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} + p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}}
\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}p_{\rm B} = {\rm Pr}({\rm B}) = \frac{p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}}{p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} + p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}}
\hspace{0.05cm}.$$

Diese Gleichungen erlauben erste informationstheoretische Aussagen über Markovprozesse:
* Für  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}} = p_{\rm {B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}}$  sind die Symbole gleichwahrscheinlich   ⇒   $p_{\text{A}} = p_{\text{B}}= 0.5$. Die erste Entropienäherung liefert demzufolge  $H_1 = H_0 = 1 \hspace{0.05cm} \rm bit/Symbol$, und zwar unabhängig von den tatsächlichen Werten der (bedingten) Übergangswahrscheinlichkeiten  $p_{\text{A|B}}$  bzw.  $p_{\text{B|A}}$.
*Die Quellenentropie  $H$  als der Grenzwert $($für  $k \to \infty)$  der [[Informationstheorie/Nachrichtenquellen_mit_Gedächtnis#Verallgemeinerung_auf_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax108-QINU.60.22.27.7F.E2.80.93Tupel_und_Grenz.C3.BCbergang|Entropienäherung $k$–ter Ordnung]]   ⇒   $H_k$  hängt aber sehr wohl von den tatsächlichen Werten von  $p_{\text{A|B}}$  und  $p_{\text{B|A}}$  ab und nicht nur von ihrem Quotienten. Dies zeigt das folgende Beispiel.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 4:}$ 
Wir betrachten drei Markovquellen, die sich durch die Zahlenwerte der symmetrischen Übergangswahrscheinlichkeiten  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} }$  unterscheiden.
*Für die Symbolwahrscheinlichkeiten gilt somit  $p_{\rm A} = p_{\rm B}= 0.5$.
*Die anderen Übergangswahrscheinlichkeiten haben dann die Werte  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 1 - p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } =
p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} }.$

[[Datei:P_ID2242__Inf_T_1_2_S5b_neu.png|center|frame|Drei Beispiele binärer Markovquellen]]

*Die mittlere (blaue) Symbolfolge mit  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 0.5$  besitzt die Entropie  $H ≈ 1 \hspace{0.05cm} \rm bit/Symbol$. Das heißt:   In diesem Sonderfall gibt es keine statistischen Bindungen innerhalb der Folge.

*Die linke (rote) Folge mit  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 0.2$  weist weniger Wechsel zwischen  $\rm A$  und  $\rm B$  auf. Aufgrund von statistischen Abhängigkeiten zwischen benachbarten Symbolen ist nun  $H ≈ 0.72 \hspace{0.05cm} \rm bit/Symbol$  kleiner.

*Die rechte (grüne) Symbolfolge mit  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 0.8$  hat die genau gleiche Entropie  $H ≈ 0.72 \hspace{0.05cm} \rm bit/Symbol$  wie die rote Folge. Hier erkennt man viele Bereiche mit sich stets abwechselnden Symbolen (... $\rm ABABAB$ ... ).}}

Für den allgemeineren Fall  $p_{\text{A}} \ne p_{\text{B}}$  ist die Entropieberechnung der Zweiertupel etwas komplizierter:
*Mit den Verbundwahrscheinlichkeiten, zum Beispiel  $p_{\text{AB}} = p_{\text{A}} · p_{\rm {B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}}$, kann geschrieben werden:

:$$H_2\hspace{0.05cm}' = p_{\rm A} \cdot p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm A} \cdot p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} + p_{\rm A} \cdot p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm A} \cdot p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} + p_{\rm B} \cdot p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm B} \cdot p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}} + p_{\rm B} \cdot p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm B} \cdot p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}}
\hspace{0.05cm}.$$

*Ersetzt man nun die Logarithmen der Produkte durch entsprechende Summen von Logarithmen, so erhält man das Ergebnis  $H_2\hspace{0.05cm}' = H_1 + H_{\text{M}}$  mit
:$$H_1 = p_{\rm A} \cdot (p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} + p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A})\cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{p_{\rm A}} + p_{\rm B} \cdot (p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} + p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B})\cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{p_{\rm B}} = p_{\rm A} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{p_{\rm A}} + p_{\rm B} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{p_{\rm B}} = H_{\rm bin} (p_{\rm A})= H_{\rm bin} (p_{\rm B})
\hspace{0.05cm},$$
:$$H_{\rm M}= p_{\rm A} \cdot p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} + p_{\rm A} \cdot p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} + p_{\rm B} \cdot p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}} + p_{\rm B} \cdot p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}}
\hspace{0.05cm}.$$

*Damit lautet die zweite Entropienäherung (mit der Einheit „bit/Symbol”):
:$$H_2 = {1}/{2} \cdot {H_2\hspace{0.05cm}'} = {1}/{2} \cdot \big [ H_{\rm 1} + H_{\rm M} \big]
\hspace{0.05cm}.$$

*Erweitert man dieses Ergebnis für  $H_2$  auf die $k$–te Entropienäherung, so erhält man:

:$$H_k = {1}/{k} \cdot \big [ H_{\rm 1} + (k-1) \cdot H_{\rm M}\big ].$$

*Die '''Entropie einer Markovquelle''' ergibt sich als der folgende Grenzwert und ist demzufolge einfach zu berechnen:
:$$H = \lim_{k \rightarrow \infty }H_k \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} H = H_{\rm M} = 2 \cdot H_2 - H_1 \hspace{0.05cm}.$$

== Zusammenfassung und Schlussfolgerungen ==
 
=== Unbekannte Binärquelle ===
* Ist von der Nachrichtenquelle nicht mehr bekannt als der Symbolunfang  $M=2$, so müssen die Entropienäherungen  $\hat H_k$  numerisch aus der Quellensymbolfolge  $〈 q_1, \hspace{0.05cm} q_2,\hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.05cm}, q_{ν–1}, \hspace{0.05cm}q_ν, \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}q_{ν+1} ,\hspace{0.05cm}\text{ ...}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}q_{N} \hspace{0.05cm}〉$  ermittelt werden. Die Entropie  $H$ ergibt sich als der Grenzwert der  $\hat H_k$  für  $k \to \infty$, wobei gilt:
:$$ H <\text{...} <\hat H_k <\text{...} < \hat H_3 < \hat H_2 < \hat H_1 \le H_0 \hspace{0.05cm}.$$
* Bei der numerischen Ermittlung werden alle Wahrscheinlichkeiten  $(p_{\rm A}, \text{...})$  und bedingten Wahrscheinlichkeiten  $(p_{\rm A|B}, \text{...})$  durch entsprechende relative Häufigkeiten  $(h_{\rm A}, \text{...})$  und bedingte Wahrscheinlichkeiten  $(h_{\rm A|B}, \text{...})$  angenähert.
* Die Genauigkeit der numerischen Ermittlung nimmt bei gleichem  $N$  mit steigendem  $k$  ab. Das heißt:   Die Folgenlänge  $N$  der Simulation muss an den größten  $k$–Wert angepasst werden.

=== Gedächtnislose Binärquelle ===

* Eine gedächtnislose Binärquelle ist vollständig durch die Symbolwahrscheinlichkeiten  $p_{\rm A}$  und  $p_{\rm B} = 1- p_{\rm A}$  charakterisiert. Für die Entropie gilt folgende Gleichung:

:$$H = p \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{\hspace{0.1cm}p\hspace{0.1cm}} + (1-p) \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{1-p} \hspace{0.5cm}{\rm (Einheit\hspace{-0.15cm}: \hspace{0.15cm}bit\hspace{0.15cm}oder\hspace{0.15cm}bit/Symbol)}
\hspace{0.05cm}.$$

* Der Maximalwert der Entropie ergibt sich für  $p_{\rm A}= p_{\rm B} =0.5$;  $H_0 = \log_2 \ M$  bezeichnet man als den ''Entscheidungsgehalt'' der Quelle. Im binären Fall  $(M = 2)$  gilt:

:$$H_{\rm max} = H_0 = \text{ 1 bit/Symbol}\hspace{0.05cm}.$$

* In diesem Fall  $(p_{\rm A}= p_{\rm B} =0.5)$  ist die Symbolfolge redundanzfrei   ⇒   die relative Redundanz ist gleich  $r = (H - H_0)/H_0= 0$.

* Im unsymmetrischen Fall  $(p_{\rm A} \ne p_{\rm B})$  ist die relative Redundanz  $r > 0$  und für die Entropie gilt mit den Entropienäherung  $H_k$:

:$$H = H_1 < H_0, \hspace{0.5cm}H_1 = H_2 = H_3 = \text{...} .$$

* Bei einer gedächtnislosen Quelle sind also alle (analytisch berechneten) Entropienäherungen  $H_k$  exakt gleich. Für die durch Simulation aus der Symbolfolge  $〈 q_ν〉$  der Länge  $N$  gewonnenen Näherungen  $\hat H_k$  gilt dieser Zusammenhang bestenfalls näherungsweise

:$$\hat H_1 \approx \hat H_2 \approx \hat H_3 \approx \text{...} .$$

* Als Ergebnis sollte man  $H \approx \hat H_1$  verwenden. Bei gegebenem  $N$  sind die auf der Zeitmittelung basierenden Fehler für  $\hat H_2$  $\hat H_3$, ... deutlich größer. Oder anders ausgedrückt:   Um die gleiche statistische Sicherheit für die Ermittlung von  $\hat H_{k+1}$  wie bei  $\hat H_k$  zu erzielen, muss man  $N$  verdoppeln.

=== Binäre Markovquelle ===

[[Datei:Inf_T_1_2_S5_vers2.png|right|frame|Markovprozesse mit $M = 2$ Zuständen]]

*Folgen mit statistischen Bindungen zwischen den Folgenelementen werden oft durch Markovprozesse modelliert, wobei wir uns hier auf binäre Markovprozesse erster Ordnung mit den Symbolen  $\rm A$  und  $\rm B$  beschränken.

*Für die Entropie  $H = H_{\text{M}}$  und die erste Entropienäherung  $H_1$  einer solchen Markovquelle gelten die folgenden Gleichungen:

:$$H_{\text{M}} = p_{\rm A} \cdot p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} + p_{\rm A} \cdot p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} + p_{\rm B} \cdot p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}} + p_{\rm B} \cdot p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}}
\hspace{0.05cm},$$

:$$H_1 = p_{\rm A} \cdot (p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} + p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A})\cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{p_{\rm A}} + p_{\rm B} \cdot (p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} + p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B})\cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{p_{\rm B}} $$

:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_1 = p_{\rm A} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{p_{\rm A}} + p_{\rm B} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{p_{\rm B}} = H_{\rm bin} (p_{\rm A})= H_{\rm bin} (p_{\rm B})
\hspace{0.05cm}.$$

*Die Entropienäherungen  $H_k$  für  $k$–Tupel hängen mit der ersten Näherung  $H_1$  und dem Endwert  $H = H_{\text{M}}$  wie folgt zusammen:

:$$H_k = {1}/{k} \cdot \big [ H_{\rm 1} + (k-1) \cdot H_{\rm M}\big ] \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
H_2 = {1}/{2} \cdot \big [ H_{\rm 1} + H_{\rm M} \big ]\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}
H_3 ={1}/{3} \cdot \big [ H_{\rm 1} + 2 \cdot H_{\rm M}\big ] \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
H_4 = {1}/{4} \cdot \big [ H_{\rm 1} + 3 \cdot H_{\rm M}\big ]
\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}{\rm usw.}$$

* Daraus folgt direkt:   Ist über die Nachrichtenquelle nicht mehr bekannt, als dass es sich um eine Markovquelle erster Ordnung handelt, so kann der Endwert  $H = H_{\rm M}$  allein aus den Entropienäherungen  $H_1$  und  $H_2$  ermittelt werden:
:$$H = 2 \cdot H_2 - H_{\rm 1} \hspace{0.05cm}.$$

{{BlaueBox|TEXT=
Bei einem '''symmetrischen Markovprozess'''   ⇒   Übergangswahrscheinlichkeiten  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } $   ⇒   Symbolwahrscheinlichkeiten  $p_{\rm A } = p_{\rm B } = 0.5 $  erhält man

:$$H_{\text{M} } = H_{\text{bin} }(p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} })= p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } } + (1 - p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} }) \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{1 - p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } },\hspace{0.5cm}H_1 = 1\text{ bit/Symbol} .$$}}

==Versuchsdurchführung==
[[Datei:Exercises_Entropie.png|right]]
*Wählen Sie zunächst die Aufgabennummer.
*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt.
*Alle Parameterwerte sind angepasst.
*Alle Entropiewerte werden berechnet und eine Symbolfolge ausgegeben.
*Musterlösung nach Drücken von &bdquo;Hide solution”.
*Mit der Nummer &bdquo;0” wird auf die gleichen Einstellung wie beim Programmstart zurückgesetzt.
 
{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''   Wählen Sie die gedächtnislose Binärquelle mit  $p_{\rm A} = p_{\rm B} = 0.5$. Wie lauten die analytisch berechneten Entropienäherungen  $H_1$, ... ,  $H_6$?

:Wie unterscheiden sich die Simulationsergebnisse  $\hat H_1$, ... ,  $\hat H_6$  mit  $N=10^5$  von  $H_1$, ... ,  $H_6$?   Machen Sie jeweils zehn Versuche. }}

::* Es handelt sich um eine redundanzfreie Binärquelle   ⇒   $H = H_{\rm bin}(0.5) = H_1 =$ ... $=H_6 = 1\text{ bit/Symbol}$.
::* Auch die Simulation mit  $N=10^5$  liefert bei (fast) allen Versuchsreihen  $\hat H_1 =$ ...  $=\hat H_6 = 1.000$   ⇒   das auf drei Nachkommastellen richtige Ergebnis.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''   Wie unterscheiden sich bei sonst gleichen Einstellungen die Simulationsergebnisse  $\hat H_1$, ... ,  $\hat H_6$ mit $N=10^3$?   Wieder jeweils zehn Versuche. }}

::* Die Entropienäherungen $H_k$ werden nun durch $\hat H_k$ ungenauer nachgebildet als mit $N=10^5$   ⇒   die Statistik ist nicht ausreichend.
::* Die Simulation mit $N=10^3$ liefert bei zehn Versuchsreihen für $\hat H_1$ entweder $1.000$ oder $0.999$ und für $\hat H_6$ Werte zwischen $0.982$ und $0.995$  
::*  ⇒   Simulationsgenauigkeit nimmt mit steigendem $k$ ab. Die simulierten Werte $\hat H_k$ sind stets kleiner als $H_k = 1.000$. Beides gilt auch für noch kleineres  $N$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''   Wählen Sie nun die gedächtnislose Binärquelle mit  $p_{\rm A} = 0.2$  und  $p_{\rm B} = 0.8$. Wie groß sind die Entropie  $H$ und die Entropienäherungen  $H_1$, ... ,  $H_6$?

:Wie unterscheiden sich die Simulationsergebnisse  $\hat H_1$, ... ,  $\hat H_6$  mit  $N=10^5$  von  $H_1$, ... ,  $H_6$?   Wieder jeweils zehn Versuche.}}

::* Es gilt  $H = H_{\rm bin}(0.2) = 0.722\text{ bit/Symbol}$. Wie bei jeder gedächtnislosen Nachrichtenquelle gilt auch hier  $H_1 =$ ... $=H_6 = H$.
::* Die Simulation mit  $N=10^5$  liefert bei zehn Versuchsreihen für  $\hat H_1$  Werte zwischen $0.719$ und $0.727$. Es gilt aber stets  $\hat H_1 =$ ... $= \hat H_6$.
::* In solchen Fällen weicht die relative Häufigkeit  $h_{\rm A}$  von der Wahrscheinlichkeit  $p_{\rm A}$  ab. Ist  $\hat H_1 > 0.722$, so ist  $h_{\rm A} > 0.2$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''   Was ändert sich gegenüber '''(3)''' mit den Symbolwahrscheinlichkeiten  $p_{\rm A} = 0.8$  und  $p_{\rm B} = 0.2$?}}

:: '''Nichts'''. Die binäre Entropiefunktion ist symmetrisch um  $p=0.5$.
:: '''Ist nun  $\hat H_1 > 0.722$, so ist  $h_{\rm A} < 0.8$.'''

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''   Wählen Sie nun die Markovquelle mit  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = 0.2$  und  $p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 0.8$ . Wie groß sind die Entropie  $H$ und die Entropienäherungen  $H_1$, ... ,  $H_6$? }}

::* Bei dieser &bdquo;Markovquelle” ist  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = 0.2$  und  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 1 - p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 0.2$ . Deshalb ist auch die unbedingte Wahrscheinlichkeit  $p_{\rm A} = 0.2$   ⇒   $p_{\rm B} = 0.8$.
::*Es handelt sich also um die gleiche gedächtnislose Quelle wie bei '''(4)'''   ⇒  $H = H_1 =$ ... $=H_6 = 0.722\text{ bit/Symbol}$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''   Wählen Sie nun die Markovquelle mit  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = 0.2$  und  $p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 0.2$ . Wie groß sind die Entropie  $H$ und die Entropienäherungen  $H_1$, ... ,  $H_6$? }}

::* Hier handelt es sich um eine &bdquo;echte Markovquelle”, da sich  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = 0.2$  und  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 1 - p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 0.8$  unterscheiden.
::*Wegen  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B}} = p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A}}$ sind die beiden unbedingten Symbolwahrscheinlichkeiten gleich:  $p_{\rm A} = p_{\rm B} = 0.5$  ⇒   $H_1 = 1$.
::*Die Entropienäherungen $H_k$ werden mit steigendem $k$ kleiner:  $H_2 = 0.861$,  $H_3 = 0.815$, ... ,  $H_6 = 0.768$. Der Endwert ist wieder  $H = H_\infty = 0.722\text{ bit/Symbol}$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(7)'''   Welche Unterschiede gegenüber '''(6)''' ergeben sich mit  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = 0.8$  und  $p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 0.8$? }}

::* Die Entropienäherung  $H = H_{\rm bin}(0.8) = H_{\rm bin}(0.2)= 0.722\text{ bit/Symbol}$  bleibt gleich, ebenso alle Entropienäherungen  $H_k$.
::* Wegen den größeren Übergangswahrscheinlichkeiten  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B}} = p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A}} = 0.8$  erkennt man jetzt deutlich mehr Übergänge in der ausgegebenen Symbolfolge.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(8)'''   Wählen Sie nun die Markovquelle mit  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = 0.8$  und  $p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 0.9$. Wie groß sind die Entropie  $H$ und die Entropienäherungen  $H_1$, ... ,  $H_6$? }}

::*Wegen  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B}} \ne p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A}}$ sind nun die beiden unbedingten Symbolwahrscheinlichkeiten unterschiedlich:  $p_{\rm A} = 0.471$  und  $p_{\rm B} = 0.529$  ⇒   $H_1 = 0.998 \ne 1$.
::*Die Entropienäherungen $H_k$ werden wieder kontinuierlich kleiner:  $H_2 = 0.800$,  $H_3 = 0.734$, ... ,  $H_6 = 0.669$. Endwert:   $H = H_\infty = 0.603\text{ bit/Symbol}$.
::* Aus der Symbolfolge erkennt man, dass zwei Symbole  $\rm A$  ganz selten aufeinanderfolgen.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(9)'''   Es gelte weiterhin  $p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 0.9$. Für welches  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} }$  ergibt sich die maximale Entropie? }}

::*Anhand der roten Kurve in der Grafik zu '''(8)''' lässt sich bereits das Ergebnis  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} }\approx 0.45$  abschätzen.
::* Der dazugehörige Entropie–Endwert ist   $H = H_\infty = 0.818\text{ bit/Symbol}$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(10)'''   Wählen Sie nun die Markovquelle mit  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = 0.8$  und  $p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 1.0$. Interpretieren Sie die dargestellten Ergebnisse. }}

::*Die unbedingten Symbolwahrscheinlichkeiten sind  $p_{\rm A} = 0.444$  und  $p_{\rm B} = 0.556$  ⇒   $H_1 = 0.991 \ne 1$. Der Entropie–Endwert ist  $H = H_\infty = 0.401\text{ bit/Symbol}$.
::* Aus der Symbolfolge erkennt man, dass das Symbol  $\rm A$  im Gegensatz zum Symbol  $\rm B$  stets isoliert auftritt.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(11)'''   Wählen Sie nun die Markovquelle mit  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = 0.8$  und  $p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 0$. Interpretieren Sie die dargestellten Ergebnisse. }}

::*Die unbedingten Symbolwahrscheinlichkeiten sind  $p_{\rm A} = 1$  und  $p_{\rm B} = 0$  ⇒   die Symbolfolge besteht nur aus  $\rm A$    ⇒   Entropienäherung  $H_1 = 0 $.
::* Alle weiteren Entropienäherungen $H_k$ und auch der Entropie–Endwert sind ebenfalls Null.

==Zur Handhabung des Applets==

[[Datei:Anleitung_Entropie.png|left]]
 
    '''(A)'''     Auswahl:   Gedächtnislose Quelle / Markovquelle

    '''(B)'''     Parametereingabe per Slider (Beispiel Markovquelle)

    '''(C)'''     Markovdiagramm (falls Markovquelle)

    '''(D)'''     Eingabe der Folgenlänge  $N$  zur Berechnung der  $\hat H_k$

    '''(E)'''     Ausgabe einer simulierten Symbolfolge

    '''(F)'''     Ausgabe des Entropiewertes  $H$

    '''(G)'''     Ausgabe der Entropienäherungen  $H_k$

    '''(H)'''     Ausgabe der numerisch ermittelten Entropienäherungen  $\hat H_k$

    '''(I)'''     Grafikfeld zur Darstellung der Funktion  $H(p_{\rm A})$  bzw.  $H(p_{\rm A}|p_{\rm B})$

    '''(J)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung:   Aufgabenauswahl

    '''(K)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung:   Aufgabenstellung

    '''(L)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung:   Musterlösung
 
==Über die Autoren==
Dieses interaktive Applet wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.
*Die erste Version wurde 2011 von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Eugen_Mehlmann_.28Bachelorarbeit_EI_2011.29|Eugen Mehlmann]] im Rahmen seiner Bachelorarbeit mit &bdquo;FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
*2019 wurde das Programm von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Xiaohan_Liu_.28Bachelorarbeit_2018.29|Xiaohan Liu]] (Bachelorarbeit, Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]] ) auf &bdquo;HTML5” umgesetzt und neu gestaltet.

Die Umsetzung dieses Applets auf HTML 5 wurde durch  [https://www.ei.tum.de/studium/studienzuschuesse/ Studienzuschüsse]  der Fakultät EI der TU München finanziell unterstützt. Wir bedanken uns.

==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==

{{LntAppletLink|entropy}}

Applets:Zweidimensionale Laplace-Zufallsgrößen (Applet)

2023-04-24T14:53:55Z

Nagi:

{{LntAppletLink|laplace}}

==Programmbeschreibung==
 
Das Applet verdeutlicht die Eigenschaften von mittelwertfreien laplaceverteilten Zufallsgrößen  $X$  und   $Y\hspace{-0.1cm}$,  gekennzeichnet durch die beiden Parameter  ${\it \lambda_X}$ und  ${\it \lambda_Y}$. Es wird vorausgesetzt, dass  $X$  und   $Y\hspace{-0.1cm}$  statistisch unabhängig seien.

Eine solche Zufallsgröße approximiert zum Beispiel die Amplitudenverteilung eines Audiosignals (Sprache oder Musik). Die Kenntnis hierüber erlaubt die bestmögliche Digitalisierung (''nichtlineare Quantisierung'') eines solchen Signals.

Das Applet zeigt
* die zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion   ⇒   $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$  $f_{XY}(x, \hspace{0.1cm}y)$  in dreidimensionaler Darstellung sowie in Form von Höhenlinien,
* die zugehörige Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktion  ⇒   $\rm 1D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$  $f_{X}(x)$  der Zufallsgröße  $X$  als blaue Kurve; ebenso  $f_{Y}(y)$  für die zweite Zufallsgröße,
* die zweidimensionale Verteilungsfunktion   ⇒   $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$  $F_{XY}(x, \hspace{0.1cm}y)$  als 3D-Plot,
* die Verteilungsfunktion  ⇒   $\rm 1D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$  $F_{X}(x)$  der Zufallsgröße  $X$; ebenso  $F_{Y}(y)$  als rote Kurve.

Das Applet verwendet das Framework  [https://en.wikipedia.org/wiki/Plotly Plot.ly]

'''Einige Versuche, dass das &bdquo;lambda” kursiv dargestellt wird:     '''''λ''''' ${\it λ_X}$ $𝜆$ 𝜆

==English Description==
 
The applet illustrates the properties of mean-free Laplacian distributed random variables  $X$  and   $Y\hspace{-0.1cm}$,  characterized by the two parameters  ${\it \lambda_X}$ and  ${\it \lambda_Y}$. It is assumed that  $X$  and   $Y\hspace{-0.1cm}$  are statistically independent.

Such a random variable approximates, for example, the amplitude distribution of an audio signal (speech or music). Knowledge of this allows the best possible digitization (''nonlinear quantization'') of such a signal.

The applet shows
* the two-dimensional probability density function   ⇒   $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}PDF$  $f_{XY}(x, \hspace{0.1cm}y)$  in three-dimensional representation as well as in the form of contour lines,
* the corresponding marginal probability density function  ⇒   $\rm 1D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}PDF$  $f_{X}(x)$  of the random variable  $X$  as a blue curve; likewise  $f_{Y}(y)$  for the second random variable,
* the two-dimensional distribution function  ⇒   $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}CDF$  $F_{XY}(x, \hspace{0.1cm}y)$  as a 3D plot,
* the distribution function  ⇒   $\rm 1D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}CDF$  $F_{X}(x)$  of the random variable  $X$; also  $F_{Y}(y)$  as a red curve.

The applet uses the framework  [https://en.wikipedia.org/wiki/Plotly Plot.ly]

'''Some attempts that the &bdquo;lambda” is italicized:     '''''λ''''' ${\it λ_X}$ $𝜆$ 𝜆

==Theoretischer Hintergrund==
 

===Definition und Eigenschaften der Laplace–Verteilung===

$(1)$  Für die  '''Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion'''  (WDF,  englisch:  ''Probability Density Function'', kurz: PDF) der laplaceverteilten Zufallsgröße  $X$  gilt   ⇒   $\rm 1D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$:
:$$f_{X}(x)=\frac{\lambda_X} {2}\cdot{\rm e}^ { - \lambda_X \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm} \vert}.$$

$(2)$  Daraus folgt für die  '''Verteilungsfunktion'''  (VTF,  englisch:  ''Cumulative Distribution Function'', kurz: CDF)   ⇒   $\rm 1D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$:
:$$F_{X}(x) = {\rm Pr}\big [X \le x \big ] = \int_{-\infty}^{x} f_{X}(\xi) \,\,{\rm d}\xi = 0.5 + 0.5 \cdot {\rm sign}(x) \cdot \big [ 1 - {\rm e}^ { - \lambda_X \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm} \vert}\big ] \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} F_{X}(-\infty) = 0, \hspace{0.2cm}F_{X}(0) = 0.5, \hspace{0.2cm} F_{X}(+\infty) = 1.$$

$(3)$  Alle  '''Momente'''  $m_k = {\rm E}\big [X^k \big ]$  mit '''ungeradzahligem'''  $k$  sind Null (Begründung:  Symmetrische WDF). Insbesondere gilt auch für den linearen Mittelwert:  $m_1 = {\rm E}\big [X \big ] = 0$.

$(4)$  Für die   '''Momente'''  $m_k = {\rm E}\big [X^k \big ]$  mit '''geradzahligem'''  $k$  gilt:

:$$m_k = \int_{-\infty}^{+\infty} x^k \cdot f_{X}(x) \,\,{\rm d} x = \frac{k!}{\lambda_X^k} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} m_2 = \sigma^2 = \frac{2}{\lambda_X^2}.$$

[[Datei:Exponential_Laplace_neu.png|right|frame|WDF von Exponentialverteilung und Laplaceverteilung]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel: Zusammenhang zwischen Exponentialverteilung und Laplaceverteilung}$ 

Wir betrachten die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen (WDF) zweier wertkontinuierlicher Zufallsgrößen  $E$  und  $L$  mit gleichem WDF–Parameter  $\lambda$:
* Die Zufallsgröße  $E$  ist exponentialverteilt:   Für  $x<0$  ist  $f_E(x) = 0$, und für positive  $x$–Werte gilt:
:$$f_E(x) = \lambda \cdot {\rm e}^{-\lambda \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x}\hspace{0.05cm}. $$
* Für die laplaceverteilte Zufallsgröße  $L$  gilt im gesamten Bereich$ - \infty < x < + \infty$:
:$$f_L(x) = \lambda/2 \cdot {\rm e}^{- \lambda \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\vert x \vert}\hspace{0.05cm}.$$
*Momente der Exponentialverteilung:  $m_k = {k!}/{\lambda^k}$  ⇒   linearer Mittelwert  $m_1 = 1/{\lambda}$, quadratischer Mittelwert  $m_2 = 2/{\lambda}^2$, Varianz   $\sigma^2=m_2- m_1^2 = 1/{\lambda}^2$.

Wie aus der Grafik zu ersehen ist die Laplaceverteilung eine &bdquo;zweiseitige Exponentialverteilung”. Daraus folgt:
* Für ungeradzahliges  $k$  ergibt sich bei der Laplaceverteilung aufgrund der Symmetrie stets  $m_k= 0$. Unter Anderem:  Linearer Mittelwert  $m_1 = 0$.
* Für geradzahliges  $k$  stimmen die Momente von Exponentialverteilung und Laplaceverteilung überein. Unter Anderem:  Quadratischer Mittelwert  $m_2 = 2/{\lambda}^2$.
*Die Varianz der mittelwertfreien laplaceverteiten Zufallsgröße ist bei gleichem  $\lambda$  doppelt so groß wie bei der Exponentialverteilung:   $\sigma^2 = 2/\lambda^2$.}}

===Zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion   ⇒   2D–WDF===

Wir setzen voraus, dass zwischen den beiden Zufallsgrößen  $X$  und   $Y\hspace{-0.1cm}$  keine statistischen Abhängigkeiten bestehen. Für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der zweidimensionalen Zufallsgröße  $XY$  an der Stelle  $(x, y)$ gilt in diesem Fall:
:$$f_{XY}(x, \hspace{0.1cm}y) = f_{X}(x) \cdot f_{Y}(y). $$

Sind die Zufallsgrößen $X$  und   $Y\hspace{-0.1cm}$  mittelwertfrei und laplaceverteilt, dann kann hierfür geschrieben werden:
:$$f_{XY}(x, \ y)=\frac{\lambda_X \cdot \lambda_Y} {4}\cdot{\rm e}^ { - \lambda_X \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm} \vert} \cdot {\rm e}^ { - \lambda_Y \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} y \hspace{0.05cm} \vert}=\frac{\lambda_X \cdot \lambda_Y} {4}\cdot{\rm e}^ { - \hspace{0.05cm}\left (\lambda_X \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm} \vert+ \lambda_Y \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} y \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm}\right )}.$$

*Die 2D–Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion oder kurz  $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$  ist eine Erweiterung der eindimensionalen WDF.

*$X$  und  $Y$ bezeichnen die beiden Zufallsgrößen, und  $x \in X$  sowie   $y \in Y$ geben Realisierungen hiervon an.
*Die für dieses Applet verwendete Nomenklatur unterscheidet sich also geringfügig gegenüber der Beschreibung im [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen#Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Theorieteil]].
*Im hier betrachteten Fall &bdquo;Statistische Unabhängigkeit” ist das Maximum der 2D–WDF wie folgt gegeben:
:$$f_{XY}(x, \ y)=\frac{\lambda_X \cdot \lambda_Y} {4}.$$
*Aus der Bedingungsgleichung  $f_{XY}(x, y) = {\rm const.}$  können die Höhenlinien der WDF berechnet werden. Beschriftet man die Höhenlinien mit dem Verhältnis  $V$  der entsprechenden $f_{XY}(x, y)$–Werte auf das Maximum, so erhält man als Gleichung für die Höhenlinien:

:$$\lambda_X \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm} \vert+ \lambda_Y \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} y \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} =\ln \ (1/V) = K.$$

*Beispielsweise gilt für die  $10\%$–Höhenlinie  $K = \ln \ 10 \approx 2.3$  und für die  $50\%$–Höhenlinie  $K = \ln \ 2 \approx 0.693$.

*Die Höhenlinien beschreiben in jedem Quadranten Geradenstücke und ergeben insgesamt Vierecke mit den Eckpunkten auf der  $x$– und  $y$–Achse.
 

===Zweidimensionale Verteilungsfunktion   ⇒   2D–VTF===

Die  '''2D-Verteilungsfunktion'''  ist ebenso wie die 2D-WDF lediglich eine sinnvolle Erweiterung der  [[Stochastische_Signaltheorie/Verteilungsfunktion_(VTF)#VTF_bei_kontinuierlichen_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen_.281.29|eindimensionalen Verteilungsfunktion]]  (VTF):
:$$F_{XY}(x,y) = {\rm Pr}\big [(X \le x) \cap (Y \le y) \big ] .$$

Es ergeben sich folgende Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen der &bdquo;1D-VTF” und der&bdquo; 2D-VTF”:
*Der Funktionalzusammenhang zwischen &bdquo;2D–WDF” und &bdquo;2D–VTF” ist wie im eindimensionalen Fall durch die Integration gegeben, aber nun in zwei Dimensionen. Bei kontinuierlichen Zufallsgrößen gilt:
:$$F_{XY}(x,y)=\int_{-\infty}^{y} \int_{-\infty}^{x} f_{XY}(\xi,\eta) \,\,{\rm d}\xi \,\, {\rm d}\eta .$$
*Umgekehrt lässt sich die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion aus der Verteilungsfunktion durch partielle Differentiation nach  $x$  und  $y$  angeben:
:$$f_{XY}(x,y)=\frac{{\rm d}^{\rm 2} F_{XY}(\xi,\eta)}{{\rm d} \xi \,\, {\rm d} \eta}\Bigg|_{\left.{x=\xi \atop {y=\eta}}\right.}.$$
*Bezüglich der Verteilungsfunktion  $F_{XY}(x, y)$  gelten folgende Grenzwerte:
:$$F_{XY}(-\infty,\ -\infty) = 0,\hspace{0.5cm}F_{XY}(x,\ +\infty)=F_{X}(x ),\hspace{0.5cm}
F_{XY}(+\infty,\ y)=F_{Y}(y ) ,\hspace{0.5cm}F_{XY}(+\infty,\ +\infty) = 1.$$
*Im Grenzfall $($unendlich große  $x$  und  $y)$  ergibt sich demnach für die &bdquo;2D-VTF” der Wert  $1$. Daraus erhält man die  '''Normierungsbedingung'''  für die 2D-Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:
:$$\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y) \,\,{\rm d}x \,\,{\rm d}y=1 . $$

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Fazit:}$  Beachten Sie den signifikanten Unterschied zwischen eindimensionalen und zweidimensionalen Zufallsgrößen:
*Bei eindimensionalen Zufallsgrößen ergibt die Fläche unter der WDF stets den Wert $1$.
*Bei zweidimensionalen Zufallsgrößen ist das WDF-Volumen immer gleich $1$.}}
 

==Versuchsdurchführung==
 
[[Datei:Aufgaben_2D-Gauss.png|right]]

*Wählen Sie zunächst die Nummer ('''1''', ...) der zu bearbeitenden Aufgabe.
*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
*Lösung nach Drücken von &bdquo;Musterlösung”.

Die Nummer '''0''' entspricht einem &bdquo;Reset”:
*Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
*Ausgabe eines &bdquo;Reset–Textes” mit weiteren Erläuterungen zum Applet.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''  Welche 1D–WDF–Werte  $f_X(x=1)$  bzw.  $f_Y(y=1)$  ergeben sich für  $\lambda_X=1$  und  $\lambda_Y=2$ ? Wie lauten die WDF–Werte  $f_X(x=-1)$  bzw.  $f_Y(y=-1)$ ?}}

::* Es gilt  $f_{X}(x= 1)=0.5\cdot{\rm e}^ { - 1} = 0.1839$  und  $f_{Y}(y= 1)=1\cdot{\rm e}^ { - 2} = 0.1353$.
::* Aufgrund der Symmetrie gilt auch  $f_{X}(x= -1)= 0.1839$  und  $f_{Y}(y= -1)= 0.1353$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''  Welche 1D–VTF–Werte  $F_X(x=1)$  bzw.  $F_Y(y=1)$  ergeben sich für  $\lambda_X=1$  und  $\lambda_Y=2$ ? Wie lauten die VTF–Werte  $F_X(x=-1)$  bzw.  $F_Y(y=-1)$ ?}}

::* Es gilt  $F_{X}(x= 1)=0.5 + 0.5 \cdot\big [1-{\rm e}^ { - 1}\big] = 0.8161$  und $F_{Y}(y= 1)=0.5 + 0.5 \cdot\big [1-{\rm e}^ { - 2}\big] = 0.9323.$
::* Wegen ${\rm sign}(-1) = -1$ erhält man  $F_{X}(x= -1)=0.5 - 0.5 \cdot\big [1-{\rm e}^ { - 1}\big] = 0.1839$  und $F_{Y}(y=- 1)=0.5 - 0.5 \cdot\big [1-{\rm e}^ { - 2}\big] = 0.0677.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''  Es gelte  $\lambda_X=1$  und  $\lambda_Y=1$ . Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten  ${\rm Pr}(X< 1)$,  ${\rm Pr}(X\le 1)$, ${\rm Pr}(X\le -1)$  und ${\rm Pr}(-1\le X\le +1)$ ?}}

::* Es gilt   ${\rm Pr}(X< 1)=F_{X}(x= 1)=0.8161$. Bei einer wertdiskreten Zufallsgröße ist  ${\rm Pr}(X\equiv 1)=0$   ⇒    ${\rm Pr}(X\le 1)={\rm Pr}(X< 1)=0.8161$.
::* Weiter gilt  ${\rm Pr}(X< -1)=F_{X}(x= -1)=0.1839$  sowie  ${\rm Pr}(-1\le X\le +1)=F_{X}(x= +1) - F_{X}(x= -1)= 0.8161-0.1839 = 0.6322$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''  Betrachten Sie nun die 2D–WDF  für  $\lambda_X=1$  und  $\lambda_Y=1$ ? Wie lauten die 2D–WDF–Werte  $f_{XY}(0, \ 0)$  und  $f_{XY}(2.3, \ 0)$ ?}}

::* Mit diesen Parametern ist das Maximum  $f_{XY}(0, \ 0)=0.25$  und der 2D–WDF–Wert  $f_{XY}(2.3, \ 0)=0.025064 \approx f_{XY}(0, \ 0)/10$.
::* Der Punkt  $(2.3, \ 0)$  liegt somit (näherungsweise) auf der  $10\%$–Höhenlinie, die hier ein um  $45^\circ$  gedrehtes Quadrat ergibt.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''  Wie lauten die 2D–WDF–Werte  $f_{XY}(1.1, \ 1.2)$,  $f_{XY}(-1.1, \ -1.2)$  und  $f_{XY}(0.6, \ -1.7)$ ?}}

::* Jeder Punkt  $(x_0, \ y_0)$  liegt auf der  $10\%$–Höhenlinie, wenn  $\vert x_0 \vert + \vert y_0 \vert = \ln(10) \approx 2.3$  gilt.
::* Die drei hier abgefragten Punkte erfüllen diese Bedingung mit hinreichender Genauigkeit.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''  Nun gelte  $\lambda_X=2$  und  $\lambda_Y=1$ ? Wie lautet die Geichung der  $10\%$–Höhenlinie im ersten Quadranten ? Kontrollieren Sie das Ergebnis.}}

::* Für alle Höhenlinien muss im ersten Quadranten gelten:  $\lambda_Y \cdot y_0 = K - \lambda_X \cdot x_0.$ Für die  $10\%$–Höhenlinie  ist wieder  $K= \ln (1/0.01) = 2.3$  zu setzen.
::* Daraus folgt:  $y_0 = - \lambda_X/\lambda_Y \cdot x_0 + K/\lambda_Y = -2 \cdot x_0 + 2.3.$  Schnittpunkte mit den Achsen:  $(1.15, \ 0)$  und $(0, \ 2.3)$.
::* Das Programm bestätigt das Ergebnis:  Maximum  $f_{XY}(0, \ 0) = 0.5$. Bei den genannten Punkten gilt  $f_{XY}(x_0, \ y_0) = 0.05013 \approx 10\%$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(7)'''  Betrachten Sie nun die 2D–VTF  für  $\lambda_X=1$  und  $\lambda_Y=1$ ? Wie lauten die 2D–VTF–Werte  $F_{XY}(0, 0)$, $F_{XY}(-3, \ -\hspace{-0.1cm}3)$  und  $F_{XY}(+3, \ +\hspace{-0.1cm}3)$ ?}}

::* Es gilt  $F_{XY}(0, \ 0) = 0.25$. Dies entspricht der Wahrscheinlichkeit   ${\rm Pr}\big [( X \le 0) \cap ( Y \le 0) \big ] = 0.5^2.$
::* Es gilt  $F_{XY}(-3, \ -\hspace{-0.1cm}3) \approx 0$   und  $F_{XY}(+3, \ +\hspace{-0.1cm}3) \approx 0.9508$   ⇒   Im Gegensatz zur 1D–VTF gilt hier nicht:  $F_{XY}(+3, \ +\hspace{-0.1cm}3) = 1 - F_{XY}(-3, \ -\hspace{-0.1cm}3)$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(8)'''  Die Einstellungen bleiben erhalten. Wie lauten die 2D–VTF–Werte  $F_{XY}(+1, \ +\hspace{-0.1cm}1)$,  $F_{XY}(+1, \ -\hspace{-0.1cm}1)$,  $F_{XY}(-1, \ +\hspace{-0.1cm}1)$ und  $F_{XY}(-1, \ -\hspace{-0.1cm}1)$ ?
         Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit  ${\rm Pr}\big [(\vert X \vert \le 1) \cap (\vert Y \vert \le 1) \big ] .$}}

::*Die gesuchten 2D–VTF–Werte sind  $F_{XY}(+1, \ +\hspace{-0.1cm}1) = 0.6659$,  $F_{XY}(+1, \ -\hspace{-0.1cm}1)= 0.1501$,  $F_{XY}(-1, \ +\hspace{-0.1cm}1)= 0.1501$ und  $F_{XY}(-1, \ -\hspace{-0.1cm}1)= 0.0338$.
::* In der Teilaufgabe '''(3)''' wurde berechnet:  ${\rm Pr}(-1\le X\le +1) = {\rm Pr}(\vert X \vert \le 1) = 0.6322$.   Wegen  $\lambda_X=\lambda_Y=1$  gilt auch  ${\rm Pr}(\vert Y \vert \le 1) = 0.6322$.
::* Aufgrund der statistischen Unabhängigkeit gilt dann für die Verbundwahrscheinlichkeit:  ${\rm Pr}\big [(\vert X \vert \le 1) \cap (\vert Y \vert \le 1) \big ] = 0.6322^2= 0.3997.$
::*Zum gleichen Ergebnis kommt man mit den 2D–VTF–Werten entsprechend der folgenden Gleichung: 
$\hspace{2cm}{\rm Pr}\big [(\vert X \vert \le 1) \cap (\vert Y \vert \le 1) \big ] = F_{XY}(+1, \ +\hspace{-0.1cm}1) - F_{XY}(+1, \ -\hspace{-0.1cm}1) - F_{XY}(-1, \ +\hspace{-0.1cm}1) + F_{XY}(-1, \ -\hspace{-0.1cm}1)=0.6659 - 2 \cdot 0.1501 + 0.0338.$

==Zur Handhabung des Applets==
 
[[Datei:Anleitung_Laplace_markiert.png|left|600px]]
    '''(A)'''     Parametereingabe per Slider:  $\lambda_X$  und  $\lambda_Y$

    '''(B)'''     Auswahl:  Darstellung von WDF oder VTF

    '''(C)'''     Reset:  Einstellung wie beim Programmstart

    '''(D)'''     Höhenlinien darstellen oder &bdquo;1D-WDF”

    '''(E)'''     Darstellungsbereich für &bdquo;2D-WDF”

    '''(F)'''     Manipulation der 3D-Grafik (Zoom, Drehen, ...)

    '''(G)'''     Darstellungsbereich für &bdquo;Höhenlinien” bzw. &bdquo;1D-WDF”

    '''(H)'''     Manipulation der 2D-Grafik (&bdquo;1D-WDF”)

    '''( I )'''     Bereich für die Versuchsdurchführung: Aufgabenauswahl

    '''(J)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung: Aufgabenstellung

    '''(K)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung: Musterlösung einblenden
 
Werte–Ausgabe über Maussteuerung (sowohl bei 2D als auch bei 3D)
 

==Über die Autoren==
Dieses interaktive Berechnungstool wurde am  [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]  der  [https://www.tum.de/ Technischen Universität München]  konzipiert und realisiert.
*Die erste Version wurde 2003 von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]]  im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
* 2019 wurde das Programm von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf &bdquo;HTML5” umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]]).

Die Umsetzung dieses Applets auf HTML 5 wurde durch  [https://www.ei.tum.de/studium/studienzuschuesse/ Studienzuschüsse]  der Fakultät EI der TU München finanziell unterstützt. Wir bedanken uns.

==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==

{{LntAppletLinkDeEn|laplace|laplacer_en}}

Applets:Zweidimensionale Laplace-Zufallsgrößen (Applet)

2023-04-24T14:53:07Z

Nagi:

{{LntAppletLink|laplace}}

==Programmbeschreibung==
 
Das Applet verdeutlicht die Eigenschaften von mittelwertfreien laplaceverteilten Zufallsgrößen  $X$  und   $Y\hspace{-0.1cm}$,  gekennzeichnet durch die beiden Parameter  ${\it \lambda_X}$ und  ${\it \lambda_Y}$. Es wird vorausgesetzt, dass  $X$  und   $Y\hspace{-0.1cm}$  statistisch unabhängig seien.

Eine solche Zufallsgröße approximiert zum Beispiel die Amplitudenverteilung eines Audiosignals (Sprache oder Musik). Die Kenntnis hierüber erlaubt die bestmögliche Digitalisierung (''nichtlineare Quantisierung'') eines solchen Signals.

Das Applet zeigt
* die zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion   ⇒   $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$  $f_{XY}(x, \hspace{0.1cm}y)$  in dreidimensionaler Darstellung sowie in Form von Höhenlinien,
* die zugehörige Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktion  ⇒   $\rm 1D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$  $f_{X}(x)$  der Zufallsgröße  $X$  als blaue Kurve; ebenso  $f_{Y}(y)$  für die zweite Zufallsgröße,
* die zweidimensionale Verteilungsfunktion   ⇒   $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$  $F_{XY}(x, \hspace{0.1cm}y)$  als 3D-Plot,
* die Verteilungsfunktion  ⇒   $\rm 1D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$  $F_{X}(x)$  der Zufallsgröße  $X$; ebenso  $F_{Y}(y)$  als rote Kurve.

Das Applet verwendet das Framework  [https://en.wikipedia.org/wiki/Plotly Plot.ly]

'''Einige Versuche, dass das &bdquo;lambda” kursiv dargestellt wird:     '''''λ''''' ${\it λ_X}$ $𝜆$ 𝜆

==English Description==
 
The applet illustrates the properties of mean-free Laplacian distributed random variables  $X$  and   $Y\hspace{-0.1cm}$,  characterized by the two parameters  ${\it \lambda_X}$ and  ${\it \lambda_Y}$. It is assumed that  $X$  and   $Y\hspace{-0.1cm}$  are statistically independent.

Such a random variable approximates, for example, the amplitude distribution of an audio signal (speech or music). Knowledge of this allows the best possible digitization (''nonlinear quantization'') of such a signal.

The applet shows
* the two-dimensional probability density function   ⇒   $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}PDF$  $f_{XY}(x, \hspace{0.1cm}y)$  in three-dimensional representation as well as in the form of contour lines,
* the corresponding marginal probability density function  ⇒   $\rm 1D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}PDF$  $f_{X}(x)$  of the random variable  $X$  as a blue curve; likewise  $f_{Y}(y)$  for the second random variable,
* the two-dimensional distribution function  ⇒   $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$  $F_{XY}(x, \hspace{0.1cm}y)$  as a 3D plot,
* the distribution function  ⇒   $\rm 1D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$  $F_{X}(x)$  of the random variable  $X$; also  $F_{Y}(y)$  as a red curve.

The applet uses the framework  [https://en.wikipedia.org/wiki/Plotly Plot.ly]

'''Some attempts that the &bdquo;lambda” is italicized:     '''''λ''''' ${\it λ_X}$ $𝜆$ 𝜆

==Theoretischer Hintergrund==
 

===Definition und Eigenschaften der Laplace–Verteilung===

$(1)$  Für die  '''Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion'''  (WDF,  englisch:  ''Probability Density Function'', kurz: PDF) der laplaceverteilten Zufallsgröße  $X$  gilt   ⇒   $\rm 1D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$:
:$$f_{X}(x)=\frac{\lambda_X} {2}\cdot{\rm e}^ { - \lambda_X \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm} \vert}.$$

$(2)$  Daraus folgt für die  '''Verteilungsfunktion'''  (VTF,  englisch:  ''Cumulative Distribution Function'', kurz: CDF)   ⇒   $\rm 1D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$:
:$$F_{X}(x) = {\rm Pr}\big [X \le x \big ] = \int_{-\infty}^{x} f_{X}(\xi) \,\,{\rm d}\xi = 0.5 + 0.5 \cdot {\rm sign}(x) \cdot \big [ 1 - {\rm e}^ { - \lambda_X \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm} \vert}\big ] \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} F_{X}(-\infty) = 0, \hspace{0.2cm}F_{X}(0) = 0.5, \hspace{0.2cm} F_{X}(+\infty) = 1.$$

$(3)$  Alle  '''Momente'''  $m_k = {\rm E}\big [X^k \big ]$  mit '''ungeradzahligem'''  $k$  sind Null (Begründung:  Symmetrische WDF). Insbesondere gilt auch für den linearen Mittelwert:  $m_1 = {\rm E}\big [X \big ] = 0$.

$(4)$  Für die   '''Momente'''  $m_k = {\rm E}\big [X^k \big ]$  mit '''geradzahligem'''  $k$  gilt:

:$$m_k = \int_{-\infty}^{+\infty} x^k \cdot f_{X}(x) \,\,{\rm d} x = \frac{k!}{\lambda_X^k} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} m_2 = \sigma^2 = \frac{2}{\lambda_X^2}.$$

[[Datei:Exponential_Laplace_neu.png|right|frame|WDF von Exponentialverteilung und Laplaceverteilung]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel: Zusammenhang zwischen Exponentialverteilung und Laplaceverteilung}$ 

Wir betrachten die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen (WDF) zweier wertkontinuierlicher Zufallsgrößen  $E$  und  $L$  mit gleichem WDF–Parameter  $\lambda$:
* Die Zufallsgröße  $E$  ist exponentialverteilt:   Für  $x<0$  ist  $f_E(x) = 0$, und für positive  $x$–Werte gilt:
:$$f_E(x) = \lambda \cdot {\rm e}^{-\lambda \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x}\hspace{0.05cm}. $$
* Für die laplaceverteilte Zufallsgröße  $L$  gilt im gesamten Bereich$ - \infty < x < + \infty$:
:$$f_L(x) = \lambda/2 \cdot {\rm e}^{- \lambda \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\vert x \vert}\hspace{0.05cm}.$$
*Momente der Exponentialverteilung:  $m_k = {k!}/{\lambda^k}$  ⇒   linearer Mittelwert  $m_1 = 1/{\lambda}$, quadratischer Mittelwert  $m_2 = 2/{\lambda}^2$, Varianz   $\sigma^2=m_2- m_1^2 = 1/{\lambda}^2$.

Wie aus der Grafik zu ersehen ist die Laplaceverteilung eine &bdquo;zweiseitige Exponentialverteilung”. Daraus folgt:
* Für ungeradzahliges  $k$  ergibt sich bei der Laplaceverteilung aufgrund der Symmetrie stets  $m_k= 0$. Unter Anderem:  Linearer Mittelwert  $m_1 = 0$.
* Für geradzahliges  $k$  stimmen die Momente von Exponentialverteilung und Laplaceverteilung überein. Unter Anderem:  Quadratischer Mittelwert  $m_2 = 2/{\lambda}^2$.
*Die Varianz der mittelwertfreien laplaceverteiten Zufallsgröße ist bei gleichem  $\lambda$  doppelt so groß wie bei der Exponentialverteilung:   $\sigma^2 = 2/\lambda^2$.}}

===Zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion   ⇒   2D–WDF===

Wir setzen voraus, dass zwischen den beiden Zufallsgrößen  $X$  und   $Y\hspace{-0.1cm}$  keine statistischen Abhängigkeiten bestehen. Für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der zweidimensionalen Zufallsgröße  $XY$  an der Stelle  $(x, y)$ gilt in diesem Fall:
:$$f_{XY}(x, \hspace{0.1cm}y) = f_{X}(x) \cdot f_{Y}(y). $$

Sind die Zufallsgrößen $X$  und   $Y\hspace{-0.1cm}$  mittelwertfrei und laplaceverteilt, dann kann hierfür geschrieben werden:
:$$f_{XY}(x, \ y)=\frac{\lambda_X \cdot \lambda_Y} {4}\cdot{\rm e}^ { - \lambda_X \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm} \vert} \cdot {\rm e}^ { - \lambda_Y \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} y \hspace{0.05cm} \vert}=\frac{\lambda_X \cdot \lambda_Y} {4}\cdot{\rm e}^ { - \hspace{0.05cm}\left (\lambda_X \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm} \vert+ \lambda_Y \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} y \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm}\right )}.$$

*Die 2D–Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion oder kurz  $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$  ist eine Erweiterung der eindimensionalen WDF.

*$X$  und  $Y$ bezeichnen die beiden Zufallsgrößen, und  $x \in X$  sowie   $y \in Y$ geben Realisierungen hiervon an.
*Die für dieses Applet verwendete Nomenklatur unterscheidet sich also geringfügig gegenüber der Beschreibung im [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen#Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Theorieteil]].
*Im hier betrachteten Fall &bdquo;Statistische Unabhängigkeit” ist das Maximum der 2D–WDF wie folgt gegeben:
:$$f_{XY}(x, \ y)=\frac{\lambda_X \cdot \lambda_Y} {4}.$$
*Aus der Bedingungsgleichung  $f_{XY}(x, y) = {\rm const.}$  können die Höhenlinien der WDF berechnet werden. Beschriftet man die Höhenlinien mit dem Verhältnis  $V$  der entsprechenden $f_{XY}(x, y)$–Werte auf das Maximum, so erhält man als Gleichung für die Höhenlinien:

:$$\lambda_X \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm} \vert+ \lambda_Y \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} y \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} =\ln \ (1/V) = K.$$

*Beispielsweise gilt für die  $10\%$–Höhenlinie  $K = \ln \ 10 \approx 2.3$  und für die  $50\%$–Höhenlinie  $K = \ln \ 2 \approx 0.693$.

*Die Höhenlinien beschreiben in jedem Quadranten Geradenstücke und ergeben insgesamt Vierecke mit den Eckpunkten auf der  $x$– und  $y$–Achse.
 

===Zweidimensionale Verteilungsfunktion   ⇒   2D–VTF===

Die  '''2D-Verteilungsfunktion'''  ist ebenso wie die 2D-WDF lediglich eine sinnvolle Erweiterung der  [[Stochastische_Signaltheorie/Verteilungsfunktion_(VTF)#VTF_bei_kontinuierlichen_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen_.281.29|eindimensionalen Verteilungsfunktion]]  (VTF):
:$$F_{XY}(x,y) = {\rm Pr}\big [(X \le x) \cap (Y \le y) \big ] .$$

Es ergeben sich folgende Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen der &bdquo;1D-VTF” und der&bdquo; 2D-VTF”:
*Der Funktionalzusammenhang zwischen &bdquo;2D–WDF” und &bdquo;2D–VTF” ist wie im eindimensionalen Fall durch die Integration gegeben, aber nun in zwei Dimensionen. Bei kontinuierlichen Zufallsgrößen gilt:
:$$F_{XY}(x,y)=\int_{-\infty}^{y} \int_{-\infty}^{x} f_{XY}(\xi,\eta) \,\,{\rm d}\xi \,\, {\rm d}\eta .$$
*Umgekehrt lässt sich die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion aus der Verteilungsfunktion durch partielle Differentiation nach  $x$  und  $y$  angeben:
:$$f_{XY}(x,y)=\frac{{\rm d}^{\rm 2} F_{XY}(\xi,\eta)}{{\rm d} \xi \,\, {\rm d} \eta}\Bigg|_{\left.{x=\xi \atop {y=\eta}}\right.}.$$
*Bezüglich der Verteilungsfunktion  $F_{XY}(x, y)$  gelten folgende Grenzwerte:
:$$F_{XY}(-\infty,\ -\infty) = 0,\hspace{0.5cm}F_{XY}(x,\ +\infty)=F_{X}(x ),\hspace{0.5cm}
F_{XY}(+\infty,\ y)=F_{Y}(y ) ,\hspace{0.5cm}F_{XY}(+\infty,\ +\infty) = 1.$$
*Im Grenzfall $($unendlich große  $x$  und  $y)$  ergibt sich demnach für die &bdquo;2D-VTF” der Wert  $1$. Daraus erhält man die  '''Normierungsbedingung'''  für die 2D-Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:
:$$\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y) \,\,{\rm d}x \,\,{\rm d}y=1 . $$

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Fazit:}$  Beachten Sie den signifikanten Unterschied zwischen eindimensionalen und zweidimensionalen Zufallsgrößen:
*Bei eindimensionalen Zufallsgrößen ergibt die Fläche unter der WDF stets den Wert $1$.
*Bei zweidimensionalen Zufallsgrößen ist das WDF-Volumen immer gleich $1$.}}
 

==Versuchsdurchführung==
 
[[Datei:Aufgaben_2D-Gauss.png|right]]

*Wählen Sie zunächst die Nummer ('''1''', ...) der zu bearbeitenden Aufgabe.
*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
*Lösung nach Drücken von &bdquo;Musterlösung”.

Die Nummer '''0''' entspricht einem &bdquo;Reset”:
*Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
*Ausgabe eines &bdquo;Reset–Textes” mit weiteren Erläuterungen zum Applet.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''  Welche 1D–WDF–Werte  $f_X(x=1)$  bzw.  $f_Y(y=1)$  ergeben sich für  $\lambda_X=1$  und  $\lambda_Y=2$ ? Wie lauten die WDF–Werte  $f_X(x=-1)$  bzw.  $f_Y(y=-1)$ ?}}

::* Es gilt  $f_{X}(x= 1)=0.5\cdot{\rm e}^ { - 1} = 0.1839$  und  $f_{Y}(y= 1)=1\cdot{\rm e}^ { - 2} = 0.1353$.
::* Aufgrund der Symmetrie gilt auch  $f_{X}(x= -1)= 0.1839$  und  $f_{Y}(y= -1)= 0.1353$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''  Welche 1D–VTF–Werte  $F_X(x=1)$  bzw.  $F_Y(y=1)$  ergeben sich für  $\lambda_X=1$  und  $\lambda_Y=2$ ? Wie lauten die VTF–Werte  $F_X(x=-1)$  bzw.  $F_Y(y=-1)$ ?}}

::* Es gilt  $F_{X}(x= 1)=0.5 + 0.5 \cdot\big [1-{\rm e}^ { - 1}\big] = 0.8161$  und $F_{Y}(y= 1)=0.5 + 0.5 \cdot\big [1-{\rm e}^ { - 2}\big] = 0.9323.$
::* Wegen ${\rm sign}(-1) = -1$ erhält man  $F_{X}(x= -1)=0.5 - 0.5 \cdot\big [1-{\rm e}^ { - 1}\big] = 0.1839$  und $F_{Y}(y=- 1)=0.5 - 0.5 \cdot\big [1-{\rm e}^ { - 2}\big] = 0.0677.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''  Es gelte  $\lambda_X=1$  und  $\lambda_Y=1$ . Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten  ${\rm Pr}(X< 1)$,  ${\rm Pr}(X\le 1)$, ${\rm Pr}(X\le -1)$  und ${\rm Pr}(-1\le X\le +1)$ ?}}

::* Es gilt   ${\rm Pr}(X< 1)=F_{X}(x= 1)=0.8161$. Bei einer wertdiskreten Zufallsgröße ist  ${\rm Pr}(X\equiv 1)=0$   ⇒    ${\rm Pr}(X\le 1)={\rm Pr}(X< 1)=0.8161$.
::* Weiter gilt  ${\rm Pr}(X< -1)=F_{X}(x= -1)=0.1839$  sowie  ${\rm Pr}(-1\le X\le +1)=F_{X}(x= +1) - F_{X}(x= -1)= 0.8161-0.1839 = 0.6322$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''  Betrachten Sie nun die 2D–WDF  für  $\lambda_X=1$  und  $\lambda_Y=1$ ? Wie lauten die 2D–WDF–Werte  $f_{XY}(0, \ 0)$  und  $f_{XY}(2.3, \ 0)$ ?}}

::* Mit diesen Parametern ist das Maximum  $f_{XY}(0, \ 0)=0.25$  und der 2D–WDF–Wert  $f_{XY}(2.3, \ 0)=0.025064 \approx f_{XY}(0, \ 0)/10$.
::* Der Punkt  $(2.3, \ 0)$  liegt somit (näherungsweise) auf der  $10\%$–Höhenlinie, die hier ein um  $45^\circ$  gedrehtes Quadrat ergibt.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''  Wie lauten die 2D–WDF–Werte  $f_{XY}(1.1, \ 1.2)$,  $f_{XY}(-1.1, \ -1.2)$  und  $f_{XY}(0.6, \ -1.7)$ ?}}

::* Jeder Punkt  $(x_0, \ y_0)$  liegt auf der  $10\%$–Höhenlinie, wenn  $\vert x_0 \vert + \vert y_0 \vert = \ln(10) \approx 2.3$  gilt.
::* Die drei hier abgefragten Punkte erfüllen diese Bedingung mit hinreichender Genauigkeit.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''  Nun gelte  $\lambda_X=2$  und  $\lambda_Y=1$ ? Wie lautet die Geichung der  $10\%$–Höhenlinie im ersten Quadranten ? Kontrollieren Sie das Ergebnis.}}

::* Für alle Höhenlinien muss im ersten Quadranten gelten:  $\lambda_Y \cdot y_0 = K - \lambda_X \cdot x_0.$ Für die  $10\%$–Höhenlinie  ist wieder  $K= \ln (1/0.01) = 2.3$  zu setzen.
::* Daraus folgt:  $y_0 = - \lambda_X/\lambda_Y \cdot x_0 + K/\lambda_Y = -2 \cdot x_0 + 2.3.$  Schnittpunkte mit den Achsen:  $(1.15, \ 0)$  und $(0, \ 2.3)$.
::* Das Programm bestätigt das Ergebnis:  Maximum  $f_{XY}(0, \ 0) = 0.5$. Bei den genannten Punkten gilt  $f_{XY}(x_0, \ y_0) = 0.05013 \approx 10\%$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(7)'''  Betrachten Sie nun die 2D–VTF  für  $\lambda_X=1$  und  $\lambda_Y=1$ ? Wie lauten die 2D–VTF–Werte  $F_{XY}(0, 0)$, $F_{XY}(-3, \ -\hspace{-0.1cm}3)$  und  $F_{XY}(+3, \ +\hspace{-0.1cm}3)$ ?}}

::* Es gilt  $F_{XY}(0, \ 0) = 0.25$. Dies entspricht der Wahrscheinlichkeit   ${\rm Pr}\big [( X \le 0) \cap ( Y \le 0) \big ] = 0.5^2.$
::* Es gilt  $F_{XY}(-3, \ -\hspace{-0.1cm}3) \approx 0$   und  $F_{XY}(+3, \ +\hspace{-0.1cm}3) \approx 0.9508$   ⇒   Im Gegensatz zur 1D–VTF gilt hier nicht:  $F_{XY}(+3, \ +\hspace{-0.1cm}3) = 1 - F_{XY}(-3, \ -\hspace{-0.1cm}3)$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(8)'''  Die Einstellungen bleiben erhalten. Wie lauten die 2D–VTF–Werte  $F_{XY}(+1, \ +\hspace{-0.1cm}1)$,  $F_{XY}(+1, \ -\hspace{-0.1cm}1)$,  $F_{XY}(-1, \ +\hspace{-0.1cm}1)$ und  $F_{XY}(-1, \ -\hspace{-0.1cm}1)$ ?
         Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit  ${\rm Pr}\big [(\vert X \vert \le 1) \cap (\vert Y \vert \le 1) \big ] .$}}

::*Die gesuchten 2D–VTF–Werte sind  $F_{XY}(+1, \ +\hspace{-0.1cm}1) = 0.6659$,  $F_{XY}(+1, \ -\hspace{-0.1cm}1)= 0.1501$,  $F_{XY}(-1, \ +\hspace{-0.1cm}1)= 0.1501$ und  $F_{XY}(-1, \ -\hspace{-0.1cm}1)= 0.0338$.
::* In der Teilaufgabe '''(3)''' wurde berechnet:  ${\rm Pr}(-1\le X\le +1) = {\rm Pr}(\vert X \vert \le 1) = 0.6322$.   Wegen  $\lambda_X=\lambda_Y=1$  gilt auch  ${\rm Pr}(\vert Y \vert \le 1) = 0.6322$.
::* Aufgrund der statistischen Unabhängigkeit gilt dann für die Verbundwahrscheinlichkeit:  ${\rm Pr}\big [(\vert X \vert \le 1) \cap (\vert Y \vert \le 1) \big ] = 0.6322^2= 0.3997.$
::*Zum gleichen Ergebnis kommt man mit den 2D–VTF–Werten entsprechend der folgenden Gleichung: 
$\hspace{2cm}{\rm Pr}\big [(\vert X \vert \le 1) \cap (\vert Y \vert \le 1) \big ] = F_{XY}(+1, \ +\hspace{-0.1cm}1) - F_{XY}(+1, \ -\hspace{-0.1cm}1) - F_{XY}(-1, \ +\hspace{-0.1cm}1) + F_{XY}(-1, \ -\hspace{-0.1cm}1)=0.6659 - 2 \cdot 0.1501 + 0.0338.$

==Zur Handhabung des Applets==
 
[[Datei:Anleitung_Laplace_markiert.png|left|600px]]
    '''(A)'''     Parametereingabe per Slider:  $\lambda_X$  und  $\lambda_Y$

    '''(B)'''     Auswahl:  Darstellung von WDF oder VTF

    '''(C)'''     Reset:  Einstellung wie beim Programmstart

    '''(D)'''     Höhenlinien darstellen oder &bdquo;1D-WDF”

    '''(E)'''     Darstellungsbereich für &bdquo;2D-WDF”

    '''(F)'''     Manipulation der 3D-Grafik (Zoom, Drehen, ...)

    '''(G)'''     Darstellungsbereich für &bdquo;Höhenlinien” bzw. &bdquo;1D-WDF”

    '''(H)'''     Manipulation der 2D-Grafik (&bdquo;1D-WDF”)

    '''( I )'''     Bereich für die Versuchsdurchführung: Aufgabenauswahl

    '''(J)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung: Aufgabenstellung

    '''(K)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung: Musterlösung einblenden
 
Werte–Ausgabe über Maussteuerung (sowohl bei 2D als auch bei 3D)
 

==Über die Autoren==
Dieses interaktive Berechnungstool wurde am  [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]  der  [https://www.tum.de/ Technischen Universität München]  konzipiert und realisiert.
*Die erste Version wurde 2003 von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]]  im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
* 2019 wurde das Programm von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf &bdquo;HTML5” umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]]).

Die Umsetzung dieses Applets auf HTML 5 wurde durch  [https://www.ei.tum.de/studium/studienzuschuesse/ Studienzuschüsse]  der Fakultät EI der TU München finanziell unterstützt. Wir bedanken uns.

==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==

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Applets:Korrelation und Regressionsgerade

2023-04-24T14:07:51Z

Nagi:

{{LntAppletLink|correlation}}

==Programmbeschreibung==
 
Als einfaches Beispiel einer 2D-Zufallsgröße  $(X, Y)$  betrachten wir den Fall, dass diese nur vier Werte annehmen kann:
*Punkt  $1$  bei  $(x_1, \ y_1)$  mit Wahrscheinlichkeit  $p_1$:   Die Parameter  $x_1, \ y_1, \ p_1$  sind im Applet per Slider einstellbar.
*Punkt  $2$  bei  $(x_2, \ y_2)$  mit Wahrscheinlichkeit  $p_2$:   Die Parameter liegen durch den Punkt  $1$  fest:   $x_2=-x_1, \ y_2=-y_1, \ p_2=p_1$.
*Punkt  $3$  bei  $(+1, +1)$  mit Wahrscheinlichkeit  $p_3 = 0.5-p_1$:   Die Lage dieses Punktes ist im Applet fest vorgegeben.
*Punkt  $4$  bei  $(-1, -1)$  mit Wahrscheinlichkeit  $p_4 = p_3$:   Dieser Punkt liegt ebenso wie der Punkt  $3$  auf der Winkelhalbierenden.

Für diese Konstellation werden im Applet folgende Gerade durch den Nullpunkt dargestellt:
* Die Regressionsgerade  $R_{X \to Y}$  unter dem Winkel  $\theta_{X \to Y}$   ⇒   blaue Kurve,
* die Regressionsgerade  $R_{Y \to X}$  unter dem Winkel  $\theta_{Y \to X}$   ⇒   rote Kurve,
* eine Hilfsgerade  &bdquo;$\rm (HG)$” unter dem Winkel  $\theta_{\rm HG}$   ⇒   grüne Kurve, optional.

Als Zahlenwerte werden die zur Berechnung von  $\theta_{X \to Y}$  und  $\theta_{Y \to X}$  benötigten statistischen Kenngrößen ausgegeben:
* die Streuungen (Standardabweichungen)  $\sigma_X$  und  $\sigma_Y$  der Komponenten  $X$  bzw.  $Y$,
*die Kovarianz  $\mu_{XY}$  ⇒   Zentralmoment erster Ordnung der 2D-Zufallsgröße  $(X, Y)$,
*der Korrelationskoeffizient  $\rho_{XY}$  zwischen den 2D-Zufallsgröße  $X$  und  $Y$.

Mit Hilfe der (optionalen) Hilfsgeraden sowie der gestrichelt eingezeichneten Abstände der Punkte in $x$– und $y$–Richtung zu dieser lässt sich nachvollziehen, dass

* die rote Regressionsgerade  $R_{X \to Y}$  die Eigenschaft hat, dass der mittlere quadrische Abstand aller Punkte in  $y$–Richtung   ⇒   ${\rm MQA}_Y$  von dieser minimal ist,
* während für die blaue Regressionsgerade  $R_{Y \to X}$  der mittlere quadrische Abstand aller Punkte in  $x$–Richtung   ⇒   ${\rm MQA}_X$  zum Minimum führt.

==English Description==
 
As a simple example of a two-dimensional random variable  $(X, Y)$  consider the case where it can take only four values:
*Point  $1$  at  $(x_1, \ y_1)$  with probability  $p_1$:   The parameters  $x_1, \ y_1, \ p_1$  are adjustable in the applet by slider.
*Point  $2$  at  $(x_2, \ y_2)$  with probability  $p_2$:   The parameters are fixed by the point  $1$    $x_2=-x_1, \ y_2=-y_1, \ p_2=p_1$.
*Point  $3$  at  $(+1, +1)$  with probability  $p_3 = 0.5-p_1$:   The location of this point is fixed in the applet.
*Point  $4$  at  $(-1, -1)$  with probability  $p_4 = p_3$:   This point lies on the bisector as does the point  $3$ .

For this constellation the following straight line through the zero point is shown in the applet:
* the regression line  $R_{X \to Y}$  under the angle  $\theta_{X \to Y}$   ⇒   blue curve,
* the regression line  $R_{Y \to X}$  at angle  $\theta_{Y \to X}$   ⇒   red curve,
* an auxiliary straight line  &bdquo;$\rm (HG)$” at the angle  $\theta_{\rm HG}$   ⇒   green curve, optional.

The statistical parameters needed to calculate  $\theta_{X \to Y}$  and  $\theta_{Y \to X}$  are output as numerical values:
*the standard deviations  $\sigma_X$  and  $\sigma_Y$  of the components  $X$  and  $Y$, respectively,
*the covariance  $\mu_{XY}$  ⇒   first-order central moment of the two-dimensional random variable  $(X, Y)$,
*the correlation coefficient  $\rho_{XY}$  between the two-dimensional random variables  $X$  and  $Y$.

With the help of the (optional) auxiliary straight line as well as the dashed distances of the points in $x$– and $y$–direction to it, it can be understood that.

* the red regression line  $R_{X \to Y}$  has the property that the mean square distance of all points in  $y$–direction   ⇒   ${\rm MQA}_Y$  from it is minimal,
* while for the blue regression line  $R_{Y \to X}$  the mean square distance of all points in  $x$–direction   ⇒   ${\rm MQA}_X$  leads to the minimum.

==Theoretischer Hintergrund==
 
===Erwartungswerte von 2D–Zufallsgrößen und Korrelationskoeffizient===

Wir betrachten eine zweidimensionale  $\rm (2D)$–Zufallsgröße  $(X,\ Y)$  mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion  $\rm (WDF)$  $f_{XY}(x, y)$, wobei zwischen den Einzelkomponenten  $X$  und  $Y$  statistische Abhängigkeiten bestehen.  Ein Sonderfall ist die ''Korrelation''.

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definition:}$  Unter  '''Korrelation'''  versteht man eine ''lineare Abhängigkeit''  zwischen den Einzelkomponenten  $X$  und  $Y$.
*Korrelierte Zufallsgrößen sind damit stets auch statistisch abhängig.
*Aber nicht jede statistische Abhängigkeit bedeutet gleichzeitig eine Korrelation.}}

Für das Folgende setzen wir voraus, dass  $X$  und  $Y$  mittelwertfrei seien   ⇒   ${\rm E}\big [ X \big ] = {\rm E}\big [ Y \big ]=0$.  Zur Beschreibung der Korrelation genügen dann folgende Erwartungswerte:
* die  '''Varianzen'''  in  $X$–  bzw. in  $Y$–Richtung:
:$$\sigma_X^2= {\rm E}\big [ X^2 \big ] = \int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{0.2cm}x^2 \cdot f_{X}(x) \, {\rm d}x\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}\sigma_Y^2= {\rm E}\big [Y^2 \big ] = \int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{0.2cm}y^2 \cdot f_{Y}(y) \, {\rm d}y\hspace{0.05cm};$$
* die  '''Kovarianz'''  zwischen den Einzelkomponenten  $X$  und  $Y$:
:$$\mu_{XY}= {\rm E}\big [ X \cdot Y \big ] = \int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{0.2cm}\int_{-\infty}^{+\infty} x\ \cdot y \cdot f_{XY}(x,y) \, {\rm d}x\, {\rm d}y\hspace{0.05cm}.$$

Bei statistischer Unabhängigkeit der beiden Komponenten  $X$  und  $Y$  ist die Kovarianz  $\mu_{XY} \equiv 0$. 

*Das Ergebnis  $\mu_{XY} = 0$  ist auch bei statistisch abhängigen Komponenten  $X$  und  $Y$  möglich, nämlich dann, wenn diese unkorreliert, also  ''linear unabhängig''  sind.
*Die statistische Abhängigkeit ist dann nicht von erster, sondern von höherer Ordnung, zum Beispiel entsprechend der Gleichung  $Y=X^2.$

Man spricht dann von  '''vollständiger Korrelation''', wenn die (deterministische) Abhängigkeit zwischen  $X$  und  $Y$  durch die Gleichung  $Y = K · X$  ausgedrückt wird.

Dann ergibt sich für die Kovarianz:
* $\mu_{XY} = σ_X · σ_Y$  bei positivem Wert von  $K$,
* $\mu_{XY} = -σ_X · σ_Y$  bei negativem  $K$–Wert.

Deshalb verwendet man häufig als Beschreibungsgröße anstelle der Kovarianz den so genannten Korrelationskoeffizienten.

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definition:}$  Der  '''Korrelationskoeffizient'''  ist der Quotient aus der Kovarianz  $\mu_{XY}$  und dem Produkt der Effektivwerte  $σ_X$  und  $σ_Y$  der beiden Komponenten:
:$$\rho_{XY}=\frac{\mu_{XY} } {\sigma_X \cdot \sigma_Y}.$$}}

Der Korrelationskoeffizient  $\rho_{XY}$  weist folgende Eigenschaften auf:
*Aufgrund der Normierung gilt stets  $-1 \le ρ_{XY} ≤ +1$.
*Sind die beiden Zufallsgrößen  $X$  und  $Y$  unkorreliert, so ist  $ρ_{XY} = 0$.
*Bei strenger linearer Abhängigkeit zwischen  $X$  und  $Y$  ist  $ρ_{XY}= ±1$   ⇒   vollständige Korrelation.
*Ein positiver Korrelationskoeffizient bedeutet, dass bei größerem  $X$–Wert im statistischen Mittel auch  $Y$  größer ist als bei kleinerem  $X$.
*Dagegen drückt ein negativer Korrelationskoeffizient aus, dass  $Y$  mit steigendem  $X$  im Mittel kleiner wird.

[[Datei:Korrelation_1c.png|right|frame| 2D-WDF  $f_{XY}(x, y)$  sowie die zugehörigen Randwahrscheinlichkeitsdichten  $f_{X}(x)$  und  $f_{Y}(y)$]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 1:}$  Die 2D–Zufallsgröße  $(X,\ Y)$  sei diskret und kann nur vier verschiedene Werte annehmen:
*$(+0.5,\ 0)$  sowie $(-0.5,\ 0)$  jeweils mit der Wahrscheinlichkeit  $0.3$,
*$(+1,\ +\hspace{-0.09cm}1)$  sowie $(-1,\ -\hspace{-0.09cm}1)$  jeweils mit der Wahrscheinlichkeit  $0.2$.

$\rm (A)$  Die Varianzen bzw. die Streuungen können aus   $f_{X}(x)$  und  $f_{Y}(y)$  berechnet werden:
:$$\sigma_X^2 = 2 \cdot \big [0.2 \cdot 1^2 + 0.3 \cdot 0.5^2 \big] = 0.55\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\sigma_X = 0.7416,$$
:$$\sigma_Y^2 = \big [0.2 \cdot (-1)^2 + 0.6 \cdot 0^2 +0.2 \cdot (+1)^2 \big] = 0.4\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\sigma_Y = 0.6325.$$

$\rm (B)$  Für die Kovarianz ergibt sich der folgende Erwartungswert:
:$$\mu_{XY}= {\rm E}\big [ X \cdot Y \big ] = 2 \cdot \big [0.2 \cdot 1 \cdot 1 + 0.3 \cdot 0.5 \cdot 0 \big] = 0.4.$$

$\rm (C)$  Damit erhält man für den Korrelationskoeffizienten:
:$$\rho_{XY}=\frac{\mu_{XY} } {\sigma_X \cdot \sigma_Y}=\frac{0.4 } {0.7416 \cdot 0.6325 }\approx 0.8528.
$$}}
 

===Eigenschaften der Regressionsgeraden===
[[Datei:Korrelation_5_neu.png|frame|Gaußsche 2D-WDF mit Korrelationsgerade  $K$]]
Ziel der linearen Regression ist es, einen einfachen (linearen) Zusammenhang zwischen zwei Zufallsgrößen  $X$  und  $Y$  anzugeben, deren $\text{2D-WDF}$  $f_{XY}(x, y)$  durch Punkte  $(x_1, y_1 )$  ...  $(x_N, y_N )$  in der  $(x,\ y)$–Ebene vorgegeben ist.  Die Skizze zeigt das Prinzip am Beispiel mittelwertfreier Größen: 
:Gesucht ist die Gleichung der Geraden  $K$  ⇒   $y=c_{\rm opt} \cdot x$  mit der Eigenschaft, dass der mittlere quadratische (Euklidische) Abstand  $\rm (MQA)$  aller Punkte von dieser Geraden minimal ist. Man bezeichnet diese Gerade auch als  ''Korrelationsgerade''. Diese kann als eine Art  „statistische Symmetrieachse“  interpretiert werden.

Bei einer großen Menge  $N$  empirischer Daten ist der mathematische Aufwand beträchtlich, den bestmöglichen Parameter  $C = c_{\rm opt}$  zu ermitteln. Der Aufwand wird deutlich reduziert, wenn man den Abstand nur in  $x$– oder in  $y$–Richtung definiert.

Im Sonderfall Gaußscher 2D-Zufallsgrößen wie in der Skizze verwendet ist die Korrelationsgerade  $K$  identisch mit der Ellipsenhauptachse bei Darstellung der 2D-WDF in Form von Höhenlinien  (siehe [[Applets:Korrelation_und_Regressionsgerade#Der_Sonderfall_Gau.C3.9Fscher_2D.E2.80.93Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|Abschnitt 2.3]]).

$\text{(a)}\hspace{0.5cm} \text{Regressionsgerade }R_{Y \to X}$     (rote Gerade in der App)

Hier wird der  $y$–Wert auf den  $x$–Wert zurückgeführt, was in etwa einer der möglichen Bedeutungen &bdquo;Zurückfallen” des Wortes &bdquo;Regression” entspricht.

*'''Geradengleichung''',  Winkel  $\theta_{Y \to X}$  der Geraden  $R_{Y \to X}$  zur  $x$–Achse:
:$$y=C_{Y \to X} \cdot x \ \ \ \text{mit} \ \ \ C_{Y \to X}=\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}\cdot\rho_{XY}= \frac{\mu_{XY}}{\sigma_X^2},\hspace{0.6cm} \theta_{Y \to X}={\rm arctan}\ (C_{Y \to X}).$$
*'''Kriterium''':   Der mittlere Abstand aller Punkte  $(x_n, y_n )$  von der Regressionsgeraden $R_{Y \to X}$  in  $y$–Richtung ist minimal:
:$${\rm MQA}_Y = {\rm E} \big [ y_n - C_{Y \to X} \cdot x_n\big ]^2 = \frac{\rm 1}{N} \cdot \sum_{n=\rm 1}^{N}\; \;\big [y_n - C_{Y \to X} \cdot x_n\big ]^{\rm 2}={\rm Minimum}.$$
:Die zweite Gleichung gilt nur, wenn alle Punkte  $(x_n, y_n )$  der 2D–WDF gleichwahrscheinlich sind.

$\text{(b)}\hspace{0.5cm} \text{Regressionsgerade }R_{X \to Y}$     (blaue Gerade in der App)

Die Regression in Gegenrichtung  $($also von  $X$  auf  $Y)$  bedeutet dagegen, dass der $x$–Wert auf den $y$–Wert zurückgeführt wird.  Für  ${\rm MQA}_X$  ergibt sich der minimale Wert.

*'''Geradengleichung''',  Winkel  $\theta_{X \to Y}$  der Geraden  $R_{X \to Y}$  zur   $x$–Achse:
:$$y=C_{X \to Y} \cdot x \ \ \text{mit} \ \ C_{X \to Y}=\frac{\sigma_Y}{\sigma_X\cdot\rho_{XY} }= \frac{\sigma_Y^2} {\mu_{XY}},\hspace{0.6cm} \theta_{X \to Y}={\rm arctan}\ (C_{X \to Y}).$$
*'''Kriterium''':   Der mittlere Abstand aller Punkte  $(x_n, y_n )$  von der Regressionsgeraden  $R_{X \to Y}$  in  $x$–Richtung ist minimal:
:$${\rm MQA}_X = {\rm E} \big [ x_n - y_n/C_{X \to Y}\big ]^2 = \frac{\rm 1}{N} \cdot \sum_{n=\rm 1}^{N}\; \;\big [x_n - y_n/C_{X \to Y}\big ]^{\rm 2}={\rm Minimum}.$$

[[Datei:Korrelation_5a.png|right|frame| Die beiden Regressionsgeraden]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 2:}$  Es gelten die gleichen Voraussetzungen wie im  $\text{Beispiel 1}$  und es werden teilweise auch die dort gefundenen Ergebnisse verwendet.

In der oberen Grafik ist die Regressionsgerade  $R_{X \to Y}$  als blaue Kurve eingezeichnet:
* Hierfür ergibt sich  $C_{X \to Y}={\sigma_Y^2}/\mu_{XY} = 1$  und dementsprechend  $ \theta_{X \to Y}={\rm arctan}\ (1) = 45^\circ.$
*Für den mittleren Abstand aller vier Punkte  $(x_n, y_n )$  von der Regressionsgeraden $R_{X \to Y}$  in  $x$–Richtung erhält man unter Ausnutzung der Symmetrie (beachten Sie die eingezeichneten blauen Horizontalen):
:$${\rm MQA}_X = {\rm E} \big [ x_n - y_n/C_{x \to y}\big ]^2 = 2 \cdot \big [ 0.2 \cdot \left [1 - 1/1\right ]^{\rm 2} +0.3 \cdot \left [0.5 - 0/1\right ]^{\rm 2}\big ]=0.15.$$
*Jede Gerade mit einem anderen Winkel als  $45^\circ$  führt hier zu einem größeren  ${\rm MQA}_X$.

Betrachten wir nun die rote Regressionsgerade  $R_{Y \to X}$  in der unteren Grafik.
* Hierfür ergibt sich  $C_{Y \to X}=\mu_{XY}/{\sigma_X^2} = 0.4/0.55\approx0.727$  und  $ \theta_{Y \to X}={\rm arctan}\ (0.727) \approx 36^\circ.$
*Hier ist nun der mittlere Abstand der vier Punkte  $(x_n, y_n )$  von der Regressionsgeraden $R_{Y \to X}$  in  $y$–Richtung minimal (beachten Sie die eingezeichneten roten Vertikalen):
:$${\rm MQA}_Y = {\rm E} \big [ y_n - C_{Y \to X} \cdot x_n\big ]^2 = 2 \cdot \big [ 0.2 \cdot \left [1 - 0.727 \cdot 1\right ]^{\rm 2} +0.3 \cdot \left [0 - 0.727 \cdot 0.5 \right ]^{\rm 2}\big ]\approx 0.109.$$

Die im Text erwähnte &bdquo;Korrelationsgerade” mit der Eigenschaft, dass der mittlere quadratische Euklidische Abstand  $\rm (MQA)$  aller Punkte von dieser Geraden minimal ist, wird sicher zwischen den beiden hier berechneten Regressionsgeraden liegen.}}

===Der Sonderfall Gaußscher 2D–Zufallsgrößen===

Im Sonderfall einer mittelwertfreien   [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Gaußsche_Zufallsgrößen|Gaußschen 2–Zufallsgröße]]  $(X,\ Y)$  lautet die Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion:
:$$f_{XY}(x,y)=\frac{\rm 1}{\rm 2\it\pi \cdot \sigma_X \cdot \sigma_Y \cdot \sqrt{\rm 1-\rho_{\it XY}^2}}\cdot\exp\Bigg[-\frac{\rm 1}{\rm 2 \cdot(1-\it\rho_{XY}^{\rm 2} {\rm)}}\cdot(\frac {\it x^{\rm 2}}{\sigma_X^{\rm 2}}+\frac {\it y^{\rm 2}}{\sigma_Y^{\rm 2}}-\rm 2\cdot\it\rho_{XY}\cdot\frac{x \cdot y}{\sigma_X \cdot \sigma_Y}\rm ) \rm \Bigg].$$
*Ersetzt man  $x$  durch  $(x - m_X)$  sowie  $y$  durch  $(y- m_Y)$, so ergibt sich die allgemeinere WDF einer zweidimensionalen Gaußschen Zufallsgröße mit Mittelwert.
*Die beiden Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktionen $f_{X}(x)$  und $f_{Y}(y)$  einer Gaußschen 2D-Zufallsgröße sind ebenfalls gaußförmig mit den Streuungen  $σ_X$  bzw.  $σ_Y$.
*Bei unkorrelierten Komponenten  $X$  und  $Y$  muss in obiger Gleichung  $ρ_{XY} = 0$  eingesetzt werden,  und man erhält dann das Ergebnis:
[[Datei:Korrelation_7a.png|right|frame| $K$,  $R_{Y \to X}$  und  $R_{X \to Y}$  bei Gaußschen 2D–Zufallsgrößen]]
:$$f_{XY}(x,y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\sigma_{X}} \cdot\rm e^{-\it {x^{\rm 2}}\hspace{-0.08cm}/{\rm (}{\rm 2\it\sigma_{X}^{\rm 2}} {\rm )}} \cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\sigma_{\it Y}}\cdot e^{-\it {y^{\rm 2}}\hspace{-0.08cm}/{\rm (}{\rm 2\it\sigma_{Y}^{\rm 2}} {\rm )}} = \it f_{X} \rm ( \it x \rm ) \cdot \it f_{Y} \rm ( \it y \rm ) .$$

*Bei korrelierten Komponenten  $X$  und  $Y$   ⇒   $ρ_{XY} \ne 0$  sind die Höhenlinien der 2D-WDF jeweils ellipsenförmig. Die Korrelationsgerade  $K$  ist hier identisch mit der Ellipsenhauptachse, die unter folgendem Neigungswinkel verläuft:
:$$\theta_{\rm K} = {1}/{2} \cdot {\rm arctan } \ ( 2 \cdot \rho_{XY} \cdot \frac {\sigma_X \cdot \sigma_Y}{\sigma_X^2 - \sigma_Y^2}).$$

*Die (rote) Regressionsgerade  $R_{Y \to X}$  einer Gaußschen 2D–Zufallsgröße liegt stets unterhalb der Korrelationsgeraden.  Sie kann aus dem Schnittpunkt jeder elliptischen Höhenlinie und ihrer vertikalen Tangente geometrisch konstruiert werden.
* In der Skizze ist dieses Konstruktionsmerkmal in grüner Farbe angedeutet.  Die (blaue) Regressionsgerade  $R_{X \to Y}$  ist eine Gerade durch den Koordinatenursprung und den Schnittpunkt der elliptischen Höhenlinie mit ihrer horizontalen Tangente.
 

==Versuchsdurchführung==

[[Datei:Exercises_binomial_fertig.png|right]]
*Wählen Sie zunächst die Nummer '''1''' ... '''6''' der zu bearbeitenden Aufgabe.
*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
*Lösung nach Drücken von &bdquo;Musterlösung”.
*Die Nummer  '''0'''  entspricht einem &bdquo;Reset”:  Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.

In den folgenden Aufgabenbeschreibungen werden folgende Kurzbezeichnungen verwendet:
*'''Rot''':     Regressionsgerade  $R_{Y \to X}$  (im Applet rot gezeichnet),
*'''Blau''':   Regressionsgerade  $R_{X \to Y}$  (im Applet blau gezeichnet).

{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''  Mit welcher Parametereinstellung sind die beiden Regressionsgeraden  $R_{Y \to X}$  und  $R_{X \to Y}$  deckungsgleich?}}

::* Es ist offensichtlich, dass gleiche Regressionsgeraden nur möglich sind, wenn diese unter dem Winkel  $45^\circ$  verlaufen   ⇒   &bdquo;Winkelhalbierende”.
::* Da die fest vorgegebenen Punkte  $3$  und  $4$  auf der Winkelhalbierenden liegen, muss dies auch für die Punkte  $1$  und  $2$  gelten   ⇒   $y_1 = x_1$.
::* Dies gilt für alle Parametereinstellungen  $y_1 = x_1$  und auch für alle  $p_1$  im erlaubten Bereich von   $0$  bis  $0.5$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''  Nun gelte $x_1 = 0.5,\ y_1 = 0,\ p_1 = 0.3$  Interpretieren Sie die Ergebnisse.  Aktivieren Sie hierzu die Hilfsgerade. }}

::* Diese Einstellung stimmt mit den Voraussetzungen zu  $\text{Beispiel 1}$  und  $\text{Beispiel 2}$  überein.  Insbesondere gilt  $ \theta_{X \to Y}= 45^\circ$  und  $ \theta_{Y \to X}\approx 36^\circ$.
::* Durch Variation des Winkels  $ \theta_{\rm HG}$  erkennt man, dass für  $ \theta_{\rm HG}= 45^\circ$  die Kenngröße  ${\rm MQA}_X =0.15$  tatsächlich den kleinsten Wert annimmt.
::* Ebenso ergibt sich der kleinstmögliche Abstand  ${\rm MQA}_Y =0.109$  in  $y$–Richtung für  $ \theta_{\rm HG}= 36^\circ$, also entsprechend der Geraden  $R_{Y \to X}$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''  Es gelten zunächst weiter die Einstellungen von  '''(2)'''.  Wie ändern sich die Ergebnisse nach Variation von  $p_1$  im erlaubten Bereich  $(0\le p_1 \le 0.5)$?}}

::* Die blaue Regressionsgerade  $ R_{X \to Y}$  verläuft weiter unter dem Winkel  $ \theta_{X \to Y}= 45^\circ$   ⇒   es gilt hier  $\mu_{XY} =\sigma_Y^2$, und zwar unabhängig von  $p_1 < 0.5$.
::* Im Grenzfall  $p_1 = 0.5$  ist wegen  $\sigma_Y =0$  die blaue Regressionsgerade undefiniert.  Es handelt sich nurmehr um eine 1D–Zufallsgröße  $X$.
::* Mit  $p_1=0$  sind nur die äußeren Punkte  $3$  und  $4$  wirksam   ⇒   $ \theta_{Y \to X}= \theta_{X \to Y}= 45^\circ$,  mit  $p_1=0.5$  nur die inneren Punkte  ⇒   $ \theta_{Y \to X}= 0^\circ$.
::* Dazwischen wird  $ R_{Y \to X}$  kontinuierlich flacher.  Sind alle Punkte gleichwahrscheinlich  $(p_1=0.25)$, dann ist  $\theta_{Y \to X}\approx 38.7^\circ$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''  Nun gelte  $x_1 = 0,\ y_1 = 0.5,\ p_1 = 0.3$.  Variieren Sie  $0\le p_1 < 0.5$  und interpretieren Sie die Ergebnisse.  $(p_1 = 0.5$  sollte man ausschließen$)$.}}

::* Wegen  $\sigma_X \le \sigma_Y$  liegt weiterhin die blaue Gerade nie unterhalb der roten, die für alle  $p_1 \ne 0.5$  die Winkelhalbierende ist   ⇒   $ \theta_{Y \to X}\approx 45^\circ$.
::* Der Winkel der blauen Regressionsgerade wächst von  $ \theta_{X \to Y}= 45^\circ \ (p_1 = 0)$  bis  $ \theta_{X \to Y} \to 90^\circ \ (p_1 \to 0.5)$  kontinuierlich an.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''  Beginnen Sie mit  $x_1 = 0.8,\ y_1 = -0.8,\ p_1 = 0.25$  und vergrößern Sie  $y_1$  bis zum Endwert  $y_1 = +0.8$.  Interpretieren Sie die Ergebnisse.}}

::* Für  $y_1 =-0.8$  ist  $ \theta_{X \to Y}= 77.6^\circ$  und  $ \theta_{Y \to X}= 12.4^\circ$.  Mit steigendem  $y_1$  verläuft  $ R_{X \to Y}$  (blau) flacher und  $R_{Y \to X}$  (rot) steiler.
::* Im Endpunkt  $(y_1 = +0.8)$  verlaufen die beiden Regressionsgeraden deckungsgleich unter dem Winkel  $ \theta_{X \to Y}= \theta_{Y \to X}= 45^\circ$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''  Abschließend gelte  $x_1 = +1,\ y_1 = -1$.  Variieren Sie  $p_1$  im gesamten zulässigen Bereich  $0\le p_1 \le 0.5$.  Wann sind  $X$  und  $Y$  unkorreliert?}}

::* Für  $p_1 = 0$  gilt  $ \theta_{X \to Y}=\theta_{Y \to X}= 45^\circ.$  Dann dreht die blaue Gerade entgegen dem Uhrzeigersinn, die rote Gerade im Uhrzeigersinn.
::* Für  $p_1 = 0.25$  sind die Winkel  $ \theta_{X \to Y}=90^\circ, \ \theta_{Y \to X}= 0^\circ.$  Diese Momentaufnahme beschreibt unkorrelierte Zufallsgrößen   ⇒   $\mu_{XY}=0$.
::* Anschließend drehen beide Geraden weiter in gleicher Richtung.  Für  $p_1 = 0.5$  gilt schließlich:  $ \theta_{X \to Y}=135^\circ= -45^\circ, \ \theta_{Y \to X}= -45^\circ.$

==Zur Handhabung des Applets==
[[Datei:Anleitung_korrelation_version2.png|left|600px]]
 
    '''(A)'''     Einstellung der  $x$–Koordinaten für  '''(1)'''  und  '''(2)'''

    '''(B)'''     Einstellung der  $y$–Koordinaten für  '''(1)'''  und  '''(2)'''

    '''(C)'''     Einstellung der  Wahrscheinlichkeiten aller Punkte

    '''(D)'''     Hilfsgerade mit Winkel  $\theta_{\rm HG}$  einblenden

    '''(E)'''     Ausgabe der  $\rm MQA$–Werte für Regressions– und Hilfsgerade

    '''(F)'''     Numerikausgabe der statistischen Kenngrößen

    '''(G)'''     Grafikbereich zur Darstellung der Regressionsgeraden

    '''(H)'''     Bereich für Übungen:  Aufgabenauswahl, Fragen, Musterlösungen
 
==Über die Autoren==
Dieses interaktive Berechnungstool wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.
*Die erste Version wurde 2005 von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Bettina_Hirner_.28Diplomarbeit_LB_2005.29|Bettina Hirner]] im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
*2020 wurde das Programm von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Veronika_Hofmann_.28Ingenieurspraxis_Math_2020.29|Veronika Hofmann]] (Ingenieurspraxis Mathematik, Betreuer: [[Benedikt Leible]] und [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]] ) unter &bdquo;HTML5” neu gestaltet.

==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==

{{LntAppletLink|correlation}}

Applets:Korrelation und Regressionsgerade

2023-04-24T14:07:31Z

Nagi:

{{LntAppletLink|correlation}}

==Programmbeschreibung==
 
Als einfaches Beispiel einer 2D-Zufallsgröße  $(X, Y)$  betrachten wir den Fall, dass diese nur vier Werte annehmen kann:
*Punkt  $1$  bei  $(x_1, \ y_1)$  mit Wahrscheinlichkeit  $p_1$:   Die Parameter  $x_1, \ y_1, \ p_1$  sind im Applet per Slider einstellbar.
*Punkt  $2$  bei  $(x_2, \ y_2)$  mit Wahrscheinlichkeit  $p_2$:   Die Parameter liegen durch den Punkt  $1$  fest:   $x_2=-x_1, \ y_2=-y_1, \ p_2=p_1$.
*Punkt  $3$  bei  $(+1, +1)$  mit Wahrscheinlichkeit  $p_3 = 0.5-p_1$:   Die Lage dieses Punktes ist im Applet fest vorgegeben.
*Punkt  $4$  bei  $(-1, -1)$  mit Wahrscheinlichkeit  $p_4 = p_3$:   Dieser Punkt liegt ebenso wie der Punkt  $3$  auf der Winkelhalbierenden.

Für diese Konstellation werden im Applet folgende Gerade durch den Nullpunkt dargestellt:
* Die Regressionsgerade  $R_{X \to Y}$  unter dem Winkel  $\theta_{X \to Y}$   ⇒   blaue Kurve,
* die Regressionsgerade  $R_{Y \to X}$  unter dem Winkel  $\theta_{Y \to X}$   ⇒   rote Kurve,
* eine Hilfsgerade  &bdquo;$\rm (HG)$” unter dem Winkel  $\theta_{\rm HG}$   ⇒   grüne Kurve, optional.

Als Zahlenwerte werden die zur Berechnung von  $\theta_{X \to Y}$  und  $\theta_{Y \to X}$  benötigten statistischen Kenngrößen ausgegeben:
* die Streuungen (Standardabweichungen)  $\sigma_X$  und  $\sigma_Y$  der Komponenten  $X$  bzw.  $Y$,
*die Kovarianz  $\mu_{XY}$  ⇒   Zentralmoment erster Ordnung der 2D-Zufallsgröße  $(X, Y)$,
*der Korrelationskoeffizient  $\rho_{XY}$  zwischen den 2D-Zufallsgröße  $X$  und  $Y$.

Mit Hilfe der (optionalen) Hilfsgeraden sowie der gestrichelt eingezeichneten Abstände der Punkte in $x$– und $y$–Richtung zu dieser lässt sich nachvollziehen, dass

* die rote Regressionsgerade  $R_{X \to Y}$  die Eigenschaft hat, dass der mittlere quadrische Abstand aller Punkte in  $y$–Richtung   ⇒   ${\rm MQA}_Y$  von dieser minimal ist,
* während für die blaue Regressionsgerade  $R_{Y \to X}$  der mittlere quadrische Abstand aller Punkte in  $x$–Richtung   ⇒   ${\rm MQA}_X$  zum Minimum führt.

==English Description==

As a simple example of a two-dimensional random variable  $(X, Y)$  consider the case where it can take only four values:
*Point  $1$  at  $(x_1, \ y_1)$  with probability  $p_1$:   The parameters  $x_1, \ y_1, \ p_1$  are adjustable in the applet by slider.
*Point  $2$  at  $(x_2, \ y_2)$  with probability  $p_2$:   The parameters are fixed by the point  $1$    $x_2=-x_1, \ y_2=-y_1, \ p_2=p_1$.
*Point  $3$  at  $(+1, +1)$  with probability  $p_3 = 0.5-p_1$:   The location of this point is fixed in the applet.
*Point  $4$  at  $(-1, -1)$  with probability  $p_4 = p_3$:   This point lies on the bisector as does the point  $3$ .

For this constellation the following straight line through the zero point is shown in the applet:
* the regression line  $R_{X \to Y}$  under the angle  $\theta_{X \to Y}$   ⇒   blue curve,
* the regression line  $R_{Y \to X}$  at angle  $\theta_{Y \to X}$   ⇒   red curve,
* an auxiliary straight line  &bdquo;$\rm (HG)$” at the angle  $\theta_{\rm HG}$   ⇒   green curve, optional.

The statistical parameters needed to calculate  $\theta_{X \to Y}$  and  $\theta_{Y \to X}$  are output as numerical values:
*the standard deviations  $\sigma_X$  and  $\sigma_Y$  of the components  $X$  and  $Y$, respectively,
*the covariance  $\mu_{XY}$  ⇒   first-order central moment of the two-dimensional random variable  $(X, Y)$,
*the correlation coefficient  $\rho_{XY}$  between the two-dimensional random variables  $X$  and  $Y$.

With the help of the (optional) auxiliary straight line as well as the dashed distances of the points in $x$– and $y$–direction to it, it can be understood that.

* the red regression line  $R_{X \to Y}$  has the property that the mean square distance of all points in  $y$–direction   ⇒   ${\rm MQA}_Y$  from it is minimal,
* while for the blue regression line  $R_{Y \to X}$  the mean square distance of all points in  $x$–direction   ⇒   ${\rm MQA}_X$  leads to the minimum.

==Theoretischer Hintergrund==
 
===Erwartungswerte von 2D–Zufallsgrößen und Korrelationskoeffizient===

Wir betrachten eine zweidimensionale  $\rm (2D)$–Zufallsgröße  $(X,\ Y)$  mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion  $\rm (WDF)$  $f_{XY}(x, y)$, wobei zwischen den Einzelkomponenten  $X$  und  $Y$  statistische Abhängigkeiten bestehen.  Ein Sonderfall ist die ''Korrelation''.

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definition:}$  Unter  '''Korrelation'''  versteht man eine ''lineare Abhängigkeit''  zwischen den Einzelkomponenten  $X$  und  $Y$.
*Korrelierte Zufallsgrößen sind damit stets auch statistisch abhängig.
*Aber nicht jede statistische Abhängigkeit bedeutet gleichzeitig eine Korrelation.}}

Für das Folgende setzen wir voraus, dass  $X$  und  $Y$  mittelwertfrei seien   ⇒   ${\rm E}\big [ X \big ] = {\rm E}\big [ Y \big ]=0$.  Zur Beschreibung der Korrelation genügen dann folgende Erwartungswerte:
* die  '''Varianzen'''  in  $X$–  bzw. in  $Y$–Richtung:
:$$\sigma_X^2= {\rm E}\big [ X^2 \big ] = \int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{0.2cm}x^2 \cdot f_{X}(x) \, {\rm d}x\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}\sigma_Y^2= {\rm E}\big [Y^2 \big ] = \int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{0.2cm}y^2 \cdot f_{Y}(y) \, {\rm d}y\hspace{0.05cm};$$
* die  '''Kovarianz'''  zwischen den Einzelkomponenten  $X$  und  $Y$:
:$$\mu_{XY}= {\rm E}\big [ X \cdot Y \big ] = \int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{0.2cm}\int_{-\infty}^{+\infty} x\ \cdot y \cdot f_{XY}(x,y) \, {\rm d}x\, {\rm d}y\hspace{0.05cm}.$$

Bei statistischer Unabhängigkeit der beiden Komponenten  $X$  und  $Y$  ist die Kovarianz  $\mu_{XY} \equiv 0$. 

*Das Ergebnis  $\mu_{XY} = 0$  ist auch bei statistisch abhängigen Komponenten  $X$  und  $Y$  möglich, nämlich dann, wenn diese unkorreliert, also  ''linear unabhängig''  sind.
*Die statistische Abhängigkeit ist dann nicht von erster, sondern von höherer Ordnung, zum Beispiel entsprechend der Gleichung  $Y=X^2.$

Man spricht dann von  '''vollständiger Korrelation''', wenn die (deterministische) Abhängigkeit zwischen  $X$  und  $Y$  durch die Gleichung  $Y = K · X$  ausgedrückt wird.

Dann ergibt sich für die Kovarianz:
* $\mu_{XY} = σ_X · σ_Y$  bei positivem Wert von  $K$,
* $\mu_{XY} = -σ_X · σ_Y$  bei negativem  $K$–Wert.

Deshalb verwendet man häufig als Beschreibungsgröße anstelle der Kovarianz den so genannten Korrelationskoeffizienten.

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definition:}$  Der  '''Korrelationskoeffizient'''  ist der Quotient aus der Kovarianz  $\mu_{XY}$  und dem Produkt der Effektivwerte  $σ_X$  und  $σ_Y$  der beiden Komponenten:
:$$\rho_{XY}=\frac{\mu_{XY} } {\sigma_X \cdot \sigma_Y}.$$}}

Der Korrelationskoeffizient  $\rho_{XY}$  weist folgende Eigenschaften auf:
*Aufgrund der Normierung gilt stets  $-1 \le ρ_{XY} ≤ +1$.
*Sind die beiden Zufallsgrößen  $X$  und  $Y$  unkorreliert, so ist  $ρ_{XY} = 0$.
*Bei strenger linearer Abhängigkeit zwischen  $X$  und  $Y$  ist  $ρ_{XY}= ±1$   ⇒   vollständige Korrelation.
*Ein positiver Korrelationskoeffizient bedeutet, dass bei größerem  $X$–Wert im statistischen Mittel auch  $Y$  größer ist als bei kleinerem  $X$.
*Dagegen drückt ein negativer Korrelationskoeffizient aus, dass  $Y$  mit steigendem  $X$  im Mittel kleiner wird.

[[Datei:Korrelation_1c.png|right|frame| 2D-WDF  $f_{XY}(x, y)$  sowie die zugehörigen Randwahrscheinlichkeitsdichten  $f_{X}(x)$  und  $f_{Y}(y)$]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 1:}$  Die 2D–Zufallsgröße  $(X,\ Y)$  sei diskret und kann nur vier verschiedene Werte annehmen:
*$(+0.5,\ 0)$  sowie $(-0.5,\ 0)$  jeweils mit der Wahrscheinlichkeit  $0.3$,
*$(+1,\ +\hspace{-0.09cm}1)$  sowie $(-1,\ -\hspace{-0.09cm}1)$  jeweils mit der Wahrscheinlichkeit  $0.2$.

$\rm (A)$  Die Varianzen bzw. die Streuungen können aus   $f_{X}(x)$  und  $f_{Y}(y)$  berechnet werden:
:$$\sigma_X^2 = 2 \cdot \big [0.2 \cdot 1^2 + 0.3 \cdot 0.5^2 \big] = 0.55\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\sigma_X = 0.7416,$$
:$$\sigma_Y^2 = \big [0.2 \cdot (-1)^2 + 0.6 \cdot 0^2 +0.2 \cdot (+1)^2 \big] = 0.4\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\sigma_Y = 0.6325.$$

$\rm (B)$  Für die Kovarianz ergibt sich der folgende Erwartungswert:
:$$\mu_{XY}= {\rm E}\big [ X \cdot Y \big ] = 2 \cdot \big [0.2 \cdot 1 \cdot 1 + 0.3 \cdot 0.5 \cdot 0 \big] = 0.4.$$

$\rm (C)$  Damit erhält man für den Korrelationskoeffizienten:
:$$\rho_{XY}=\frac{\mu_{XY} } {\sigma_X \cdot \sigma_Y}=\frac{0.4 } {0.7416 \cdot 0.6325 }\approx 0.8528.
$$}}
 

===Eigenschaften der Regressionsgeraden===
[[Datei:Korrelation_5_neu.png|frame|Gaußsche 2D-WDF mit Korrelationsgerade  $K$]]
Ziel der linearen Regression ist es, einen einfachen (linearen) Zusammenhang zwischen zwei Zufallsgrößen  $X$  und  $Y$  anzugeben, deren $\text{2D-WDF}$  $f_{XY}(x, y)$  durch Punkte  $(x_1, y_1 )$  ...  $(x_N, y_N )$  in der  $(x,\ y)$–Ebene vorgegeben ist.  Die Skizze zeigt das Prinzip am Beispiel mittelwertfreier Größen: 
:Gesucht ist die Gleichung der Geraden  $K$  ⇒   $y=c_{\rm opt} \cdot x$  mit der Eigenschaft, dass der mittlere quadratische (Euklidische) Abstand  $\rm (MQA)$  aller Punkte von dieser Geraden minimal ist. Man bezeichnet diese Gerade auch als  ''Korrelationsgerade''. Diese kann als eine Art  „statistische Symmetrieachse“  interpretiert werden.

Bei einer großen Menge  $N$  empirischer Daten ist der mathematische Aufwand beträchtlich, den bestmöglichen Parameter  $C = c_{\rm opt}$  zu ermitteln. Der Aufwand wird deutlich reduziert, wenn man den Abstand nur in  $x$– oder in  $y$–Richtung definiert.

Im Sonderfall Gaußscher 2D-Zufallsgrößen wie in der Skizze verwendet ist die Korrelationsgerade  $K$  identisch mit der Ellipsenhauptachse bei Darstellung der 2D-WDF in Form von Höhenlinien  (siehe [[Applets:Korrelation_und_Regressionsgerade#Der_Sonderfall_Gau.C3.9Fscher_2D.E2.80.93Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|Abschnitt 2.3]]).

$\text{(a)}\hspace{0.5cm} \text{Regressionsgerade }R_{Y \to X}$     (rote Gerade in der App)

Hier wird der  $y$–Wert auf den  $x$–Wert zurückgeführt, was in etwa einer der möglichen Bedeutungen &bdquo;Zurückfallen” des Wortes &bdquo;Regression” entspricht.

*'''Geradengleichung''',  Winkel  $\theta_{Y \to X}$  der Geraden  $R_{Y \to X}$  zur  $x$–Achse:
:$$y=C_{Y \to X} \cdot x \ \ \ \text{mit} \ \ \ C_{Y \to X}=\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}\cdot\rho_{XY}= \frac{\mu_{XY}}{\sigma_X^2},\hspace{0.6cm} \theta_{Y \to X}={\rm arctan}\ (C_{Y \to X}).$$
*'''Kriterium''':   Der mittlere Abstand aller Punkte  $(x_n, y_n )$  von der Regressionsgeraden $R_{Y \to X}$  in  $y$–Richtung ist minimal:
:$${\rm MQA}_Y = {\rm E} \big [ y_n - C_{Y \to X} \cdot x_n\big ]^2 = \frac{\rm 1}{N} \cdot \sum_{n=\rm 1}^{N}\; \;\big [y_n - C_{Y \to X} \cdot x_n\big ]^{\rm 2}={\rm Minimum}.$$
:Die zweite Gleichung gilt nur, wenn alle Punkte  $(x_n, y_n )$  der 2D–WDF gleichwahrscheinlich sind.

$\text{(b)}\hspace{0.5cm} \text{Regressionsgerade }R_{X \to Y}$     (blaue Gerade in der App)

Die Regression in Gegenrichtung  $($also von  $X$  auf  $Y)$  bedeutet dagegen, dass der $x$–Wert auf den $y$–Wert zurückgeführt wird.  Für  ${\rm MQA}_X$  ergibt sich der minimale Wert.

*'''Geradengleichung''',  Winkel  $\theta_{X \to Y}$  der Geraden  $R_{X \to Y}$  zur   $x$–Achse:
:$$y=C_{X \to Y} \cdot x \ \ \text{mit} \ \ C_{X \to Y}=\frac{\sigma_Y}{\sigma_X\cdot\rho_{XY} }= \frac{\sigma_Y^2} {\mu_{XY}},\hspace{0.6cm} \theta_{X \to Y}={\rm arctan}\ (C_{X \to Y}).$$
*'''Kriterium''':   Der mittlere Abstand aller Punkte  $(x_n, y_n )$  von der Regressionsgeraden  $R_{X \to Y}$  in  $x$–Richtung ist minimal:
:$${\rm MQA}_X = {\rm E} \big [ x_n - y_n/C_{X \to Y}\big ]^2 = \frac{\rm 1}{N} \cdot \sum_{n=\rm 1}^{N}\; \;\big [x_n - y_n/C_{X \to Y}\big ]^{\rm 2}={\rm Minimum}.$$

[[Datei:Korrelation_5a.png|right|frame| Die beiden Regressionsgeraden]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 2:}$  Es gelten die gleichen Voraussetzungen wie im  $\text{Beispiel 1}$  und es werden teilweise auch die dort gefundenen Ergebnisse verwendet.

In der oberen Grafik ist die Regressionsgerade  $R_{X \to Y}$  als blaue Kurve eingezeichnet:
* Hierfür ergibt sich  $C_{X \to Y}={\sigma_Y^2}/\mu_{XY} = 1$  und dementsprechend  $ \theta_{X \to Y}={\rm arctan}\ (1) = 45^\circ.$
*Für den mittleren Abstand aller vier Punkte  $(x_n, y_n )$  von der Regressionsgeraden $R_{X \to Y}$  in  $x$–Richtung erhält man unter Ausnutzung der Symmetrie (beachten Sie die eingezeichneten blauen Horizontalen):
:$${\rm MQA}_X = {\rm E} \big [ x_n - y_n/C_{x \to y}\big ]^2 = 2 \cdot \big [ 0.2 \cdot \left [1 - 1/1\right ]^{\rm 2} +0.3 \cdot \left [0.5 - 0/1\right ]^{\rm 2}\big ]=0.15.$$
*Jede Gerade mit einem anderen Winkel als  $45^\circ$  führt hier zu einem größeren  ${\rm MQA}_X$.

Betrachten wir nun die rote Regressionsgerade  $R_{Y \to X}$  in der unteren Grafik.
* Hierfür ergibt sich  $C_{Y \to X}=\mu_{XY}/{\sigma_X^2} = 0.4/0.55\approx0.727$  und  $ \theta_{Y \to X}={\rm arctan}\ (0.727) \approx 36^\circ.$
*Hier ist nun der mittlere Abstand der vier Punkte  $(x_n, y_n )$  von der Regressionsgeraden $R_{Y \to X}$  in  $y$–Richtung minimal (beachten Sie die eingezeichneten roten Vertikalen):
:$${\rm MQA}_Y = {\rm E} \big [ y_n - C_{Y \to X} \cdot x_n\big ]^2 = 2 \cdot \big [ 0.2 \cdot \left [1 - 0.727 \cdot 1\right ]^{\rm 2} +0.3 \cdot \left [0 - 0.727 \cdot 0.5 \right ]^{\rm 2}\big ]\approx 0.109.$$

Die im Text erwähnte &bdquo;Korrelationsgerade” mit der Eigenschaft, dass der mittlere quadratische Euklidische Abstand  $\rm (MQA)$  aller Punkte von dieser Geraden minimal ist, wird sicher zwischen den beiden hier berechneten Regressionsgeraden liegen.}}

===Der Sonderfall Gaußscher 2D–Zufallsgrößen===

Im Sonderfall einer mittelwertfreien   [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Gaußsche_Zufallsgrößen|Gaußschen 2–Zufallsgröße]]  $(X,\ Y)$  lautet die Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion:
:$$f_{XY}(x,y)=\frac{\rm 1}{\rm 2\it\pi \cdot \sigma_X \cdot \sigma_Y \cdot \sqrt{\rm 1-\rho_{\it XY}^2}}\cdot\exp\Bigg[-\frac{\rm 1}{\rm 2 \cdot(1-\it\rho_{XY}^{\rm 2} {\rm)}}\cdot(\frac {\it x^{\rm 2}}{\sigma_X^{\rm 2}}+\frac {\it y^{\rm 2}}{\sigma_Y^{\rm 2}}-\rm 2\cdot\it\rho_{XY}\cdot\frac{x \cdot y}{\sigma_X \cdot \sigma_Y}\rm ) \rm \Bigg].$$
*Ersetzt man  $x$  durch  $(x - m_X)$  sowie  $y$  durch  $(y- m_Y)$, so ergibt sich die allgemeinere WDF einer zweidimensionalen Gaußschen Zufallsgröße mit Mittelwert.
*Die beiden Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktionen $f_{X}(x)$  und $f_{Y}(y)$  einer Gaußschen 2D-Zufallsgröße sind ebenfalls gaußförmig mit den Streuungen  $σ_X$  bzw.  $σ_Y$.
*Bei unkorrelierten Komponenten  $X$  und  $Y$  muss in obiger Gleichung  $ρ_{XY} = 0$  eingesetzt werden,  und man erhält dann das Ergebnis:
[[Datei:Korrelation_7a.png|right|frame| $K$,  $R_{Y \to X}$  und  $R_{X \to Y}$  bei Gaußschen 2D–Zufallsgrößen]]
:$$f_{XY}(x,y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\sigma_{X}} \cdot\rm e^{-\it {x^{\rm 2}}\hspace{-0.08cm}/{\rm (}{\rm 2\it\sigma_{X}^{\rm 2}} {\rm )}} \cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\sigma_{\it Y}}\cdot e^{-\it {y^{\rm 2}}\hspace{-0.08cm}/{\rm (}{\rm 2\it\sigma_{Y}^{\rm 2}} {\rm )}} = \it f_{X} \rm ( \it x \rm ) \cdot \it f_{Y} \rm ( \it y \rm ) .$$

*Bei korrelierten Komponenten  $X$  und  $Y$   ⇒   $ρ_{XY} \ne 0$  sind die Höhenlinien der 2D-WDF jeweils ellipsenförmig. Die Korrelationsgerade  $K$  ist hier identisch mit der Ellipsenhauptachse, die unter folgendem Neigungswinkel verläuft:
:$$\theta_{\rm K} = {1}/{2} \cdot {\rm arctan } \ ( 2 \cdot \rho_{XY} \cdot \frac {\sigma_X \cdot \sigma_Y}{\sigma_X^2 - \sigma_Y^2}).$$

*Die (rote) Regressionsgerade  $R_{Y \to X}$  einer Gaußschen 2D–Zufallsgröße liegt stets unterhalb der Korrelationsgeraden.  Sie kann aus dem Schnittpunkt jeder elliptischen Höhenlinie und ihrer vertikalen Tangente geometrisch konstruiert werden.
* In der Skizze ist dieses Konstruktionsmerkmal in grüner Farbe angedeutet.  Die (blaue) Regressionsgerade  $R_{X \to Y}$  ist eine Gerade durch den Koordinatenursprung und den Schnittpunkt der elliptischen Höhenlinie mit ihrer horizontalen Tangente.
 

==Versuchsdurchführung==

[[Datei:Exercises_binomial_fertig.png|right]]
*Wählen Sie zunächst die Nummer '''1''' ... '''6''' der zu bearbeitenden Aufgabe.
*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
*Lösung nach Drücken von &bdquo;Musterlösung”.
*Die Nummer  '''0'''  entspricht einem &bdquo;Reset”:  Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.

In den folgenden Aufgabenbeschreibungen werden folgende Kurzbezeichnungen verwendet:
*'''Rot''':     Regressionsgerade  $R_{Y \to X}$  (im Applet rot gezeichnet),
*'''Blau''':   Regressionsgerade  $R_{X \to Y}$  (im Applet blau gezeichnet).

{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''  Mit welcher Parametereinstellung sind die beiden Regressionsgeraden  $R_{Y \to X}$  und  $R_{X \to Y}$  deckungsgleich?}}

::* Es ist offensichtlich, dass gleiche Regressionsgeraden nur möglich sind, wenn diese unter dem Winkel  $45^\circ$  verlaufen   ⇒   &bdquo;Winkelhalbierende”.
::* Da die fest vorgegebenen Punkte  $3$  und  $4$  auf der Winkelhalbierenden liegen, muss dies auch für die Punkte  $1$  und  $2$  gelten   ⇒   $y_1 = x_1$.
::* Dies gilt für alle Parametereinstellungen  $y_1 = x_1$  und auch für alle  $p_1$  im erlaubten Bereich von   $0$  bis  $0.5$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''  Nun gelte $x_1 = 0.5,\ y_1 = 0,\ p_1 = 0.3$  Interpretieren Sie die Ergebnisse.  Aktivieren Sie hierzu die Hilfsgerade. }}

::* Diese Einstellung stimmt mit den Voraussetzungen zu  $\text{Beispiel 1}$  und  $\text{Beispiel 2}$  überein.  Insbesondere gilt  $ \theta_{X \to Y}= 45^\circ$  und  $ \theta_{Y \to X}\approx 36^\circ$.
::* Durch Variation des Winkels  $ \theta_{\rm HG}$  erkennt man, dass für  $ \theta_{\rm HG}= 45^\circ$  die Kenngröße  ${\rm MQA}_X =0.15$  tatsächlich den kleinsten Wert annimmt.
::* Ebenso ergibt sich der kleinstmögliche Abstand  ${\rm MQA}_Y =0.109$  in  $y$–Richtung für  $ \theta_{\rm HG}= 36^\circ$, also entsprechend der Geraden  $R_{Y \to X}$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''  Es gelten zunächst weiter die Einstellungen von  '''(2)'''.  Wie ändern sich die Ergebnisse nach Variation von  $p_1$  im erlaubten Bereich  $(0\le p_1 \le 0.5)$?}}

::* Die blaue Regressionsgerade  $ R_{X \to Y}$  verläuft weiter unter dem Winkel  $ \theta_{X \to Y}= 45^\circ$   ⇒   es gilt hier  $\mu_{XY} =\sigma_Y^2$, und zwar unabhängig von  $p_1 < 0.5$.
::* Im Grenzfall  $p_1 = 0.5$  ist wegen  $\sigma_Y =0$  die blaue Regressionsgerade undefiniert.  Es handelt sich nurmehr um eine 1D–Zufallsgröße  $X$.
::* Mit  $p_1=0$  sind nur die äußeren Punkte  $3$  und  $4$  wirksam   ⇒   $ \theta_{Y \to X}= \theta_{X \to Y}= 45^\circ$,  mit  $p_1=0.5$  nur die inneren Punkte  ⇒   $ \theta_{Y \to X}= 0^\circ$.
::* Dazwischen wird  $ R_{Y \to X}$  kontinuierlich flacher.  Sind alle Punkte gleichwahrscheinlich  $(p_1=0.25)$, dann ist  $\theta_{Y \to X}\approx 38.7^\circ$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''  Nun gelte  $x_1 = 0,\ y_1 = 0.5,\ p_1 = 0.3$.  Variieren Sie  $0\le p_1 < 0.5$  und interpretieren Sie die Ergebnisse.  $(p_1 = 0.5$  sollte man ausschließen$)$.}}

::* Wegen  $\sigma_X \le \sigma_Y$  liegt weiterhin die blaue Gerade nie unterhalb der roten, die für alle  $p_1 \ne 0.5$  die Winkelhalbierende ist   ⇒   $ \theta_{Y \to X}\approx 45^\circ$.
::* Der Winkel der blauen Regressionsgerade wächst von  $ \theta_{X \to Y}= 45^\circ \ (p_1 = 0)$  bis  $ \theta_{X \to Y} \to 90^\circ \ (p_1 \to 0.5)$  kontinuierlich an.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''  Beginnen Sie mit  $x_1 = 0.8,\ y_1 = -0.8,\ p_1 = 0.25$  und vergrößern Sie  $y_1$  bis zum Endwert  $y_1 = +0.8$.  Interpretieren Sie die Ergebnisse.}}

::* Für  $y_1 =-0.8$  ist  $ \theta_{X \to Y}= 77.6^\circ$  und  $ \theta_{Y \to X}= 12.4^\circ$.  Mit steigendem  $y_1$  verläuft  $ R_{X \to Y}$  (blau) flacher und  $R_{Y \to X}$  (rot) steiler.
::* Im Endpunkt  $(y_1 = +0.8)$  verlaufen die beiden Regressionsgeraden deckungsgleich unter dem Winkel  $ \theta_{X \to Y}= \theta_{Y \to X}= 45^\circ$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''  Abschließend gelte  $x_1 = +1,\ y_1 = -1$.  Variieren Sie  $p_1$  im gesamten zulässigen Bereich  $0\le p_1 \le 0.5$.  Wann sind  $X$  und  $Y$  unkorreliert?}}

::* Für  $p_1 = 0$  gilt  $ \theta_{X \to Y}=\theta_{Y \to X}= 45^\circ.$  Dann dreht die blaue Gerade entgegen dem Uhrzeigersinn, die rote Gerade im Uhrzeigersinn.
::* Für  $p_1 = 0.25$  sind die Winkel  $ \theta_{X \to Y}=90^\circ, \ \theta_{Y \to X}= 0^\circ.$  Diese Momentaufnahme beschreibt unkorrelierte Zufallsgrößen   ⇒   $\mu_{XY}=0$.
::* Anschließend drehen beide Geraden weiter in gleicher Richtung.  Für  $p_1 = 0.5$  gilt schließlich:  $ \theta_{X \to Y}=135^\circ= -45^\circ, \ \theta_{Y \to X}= -45^\circ.$

==Zur Handhabung des Applets==
[[Datei:Anleitung_korrelation_version2.png|left|600px]]
 
    '''(A)'''     Einstellung der  $x$–Koordinaten für  '''(1)'''  und  '''(2)'''

    '''(B)'''     Einstellung der  $y$–Koordinaten für  '''(1)'''  und  '''(2)'''

    '''(C)'''     Einstellung der  Wahrscheinlichkeiten aller Punkte

    '''(D)'''     Hilfsgerade mit Winkel  $\theta_{\rm HG}$  einblenden

    '''(E)'''     Ausgabe der  $\rm MQA$–Werte für Regressions– und Hilfsgerade

    '''(F)'''     Numerikausgabe der statistischen Kenngrößen

    '''(G)'''     Grafikbereich zur Darstellung der Regressionsgeraden

    '''(H)'''     Bereich für Übungen:  Aufgabenauswahl, Fragen, Musterlösungen
 
==Über die Autoren==
Dieses interaktive Berechnungstool wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.
*Die erste Version wurde 2005 von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Bettina_Hirner_.28Diplomarbeit_LB_2005.29|Bettina Hirner]] im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
*2020 wurde das Programm von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Veronika_Hofmann_.28Ingenieurspraxis_Math_2020.29|Veronika Hofmann]] (Ingenieurspraxis Mathematik, Betreuer: [[Benedikt Leible]] und [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]] ) unter &bdquo;HTML5” neu gestaltet.

==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==

{{LntAppletLink|correlation}}

Applets:Korrelation und Regressionsgerade

2023-04-24T14:07:05Z

Nagi:

{{LntAppletLink|correlation}}

==Programmbeschreibung==
 
Als einfaches Beispiel einer 2D-Zufallsgröße  $(X, Y)$  betrachten wir den Fall, dass diese nur vier Werte annehmen kann:
*Punkt  $1$  bei  $(x_1, \ y_1)$  mit Wahrscheinlichkeit  $p_1$:   Die Parameter  $x_1, \ y_1, \ p_1$  sind im Applet per Slider einstellbar.
*Punkt  $2$  bei  $(x_2, \ y_2)$  mit Wahrscheinlichkeit  $p_2$:   Die Parameter liegen durch den Punkt  $1$  fest:   $x_2=-x_1, \ y_2=-y_1, \ p_2=p_1$.
*Punkt  $3$  bei  $(+1, +1)$  mit Wahrscheinlichkeit  $p_3 = 0.5-p_1$:   Die Lage dieses Punktes ist im Applet fest vorgegeben.
*Punkt  $4$  bei  $(-1, -1)$  mit Wahrscheinlichkeit  $p_4 = p_3$:   Dieser Punkt liegt ebenso wie der Punkt  $3$  auf der Winkelhalbierenden.

Für diese Konstellation werden im Applet folgende Gerade durch den Nullpunkt dargestellt:
* Die Regressionsgerade  $R_{X \to Y}$  unter dem Winkel  $\theta_{X \to Y}$   ⇒   blaue Kurve,
* die Regressionsgerade  $R_{Y \to X}$  unter dem Winkel  $\theta_{Y \to X}$   ⇒   rote Kurve,
* eine Hilfsgerade  &bdquo;$\rm (HG)$” unter dem Winkel  $\theta_{\rm HG}$   ⇒   grüne Kurve, optional.

Als Zahlenwerte werden die zur Berechnung von  $\theta_{X \to Y}$  und  $\theta_{Y \to X}$  benötigten statistischen Kenngrößen ausgegeben:
* die Streuungen (Standardabweichungen)  $\sigma_X$  und  $\sigma_Y$  der Komponenten  $X$  bzw.  $Y$,
*die Kovarianz  $\mu_{XY}$  ⇒   Zentralmoment erster Ordnung der 2D-Zufallsgröße  $(X, Y)$,
*der Korrelationskoeffizient  $\rho_{XY}$  zwischen den 2D-Zufallsgröße  $X$  und  $Y$.

Mit Hilfe der (optionalen) Hilfsgeraden sowie der gestrichelt eingezeichneten Abstände der Punkte in $x$– und $y$–Richtung zu dieser lässt sich nachvollziehen, dass

* die rote Regressionsgerade  $R_{X \to Y}$  die Eigenschaft hat, dass der mittlere quadrische Abstand aller Punkte in  $y$–Richtung   ⇒   ${\rm MQA}_Y$  von dieser minimal ist,
* während für die blaue Regressionsgerade  $R_{Y \to X}$  der mittlere quadrische Abstand aller Punkte in  $x$–Richtung   ⇒   ${\rm MQA}_X$  zum Minimum führt.

==English Description=

As a simple example of a two-dimensional random variable  $(X, Y)$  consider the case where it can take only four values:
*point  $1$  at  $(x_1, \ y_1)$  with probability  $p_1$:   The parameters  $x_1, \ y_1, \ p_1$  are adjustable in the applet by slider.
*Point  $2$  at  $(x_2, \ y_2)$  with probability  $p_2$:   The parameters are fixed by the point  $1$    $x_2=-x_1, \ y_2=-y_1, \ p_2=p_1$.
*Point  $3$  at  $(+1, +1)$  with probability  $p_3 = 0.5-p_1$:   The location of this point is fixed in the applet.
*Point  $4$  at  $(-1, -1)$  with probability  $p_4 = p_3$:   This point lies on the bisector as does the point  $3$ .

For this constellation the following straight line through the zero point is shown in the applet:
* the regression line  $R_{X \to Y}$  under the angle  $\theta_{X \to Y}$   ⇒   blue curve,
* the regression line  $R_{Y \to X}$  at angle  $\theta_{Y \to X}$   ⇒   red curve,
* an auxiliary straight line  &bdquo;$\rm (HG)$” at the angle  $\theta_{\rm HG}$   ⇒   green curve, optional.

The statistical parameters needed to calculate  $\theta_{X \to Y}$  and  $\theta_{Y \to X}$  are output as numerical values:
*the standard deviations  $\sigma_X$  and  $\sigma_Y$  of the components  $X$  and  $Y$, respectively,
*the covariance  $\mu_{XY}$  ⇒   first-order central moment of the two-dimensional random variable  $(X, Y)$,
*the correlation coefficient  $\rho_{XY}$  between the two-dimensional random variables  $X$  and  $Y$.

With the help of the (optional) auxiliary straight line as well as the dashed distances of the points in $x$– and $y$–direction to it, it can be understood that.

* the red regression line  $R_{X \to Y}$  has the property that the mean square distance of all points in  $y$–direction   ⇒   ${\rm MQA}_Y$  from it is minimal,
* while for the blue regression line  $R_{Y \to X}$  the mean square distance of all points in  $x$–direction   ⇒   ${\rm MQA}_X$  leads to the minimum.

==Theoretischer Hintergrund==
 
===Erwartungswerte von 2D–Zufallsgrößen und Korrelationskoeffizient===

Wir betrachten eine zweidimensionale  $\rm (2D)$–Zufallsgröße  $(X,\ Y)$  mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion  $\rm (WDF)$  $f_{XY}(x, y)$, wobei zwischen den Einzelkomponenten  $X$  und  $Y$  statistische Abhängigkeiten bestehen.  Ein Sonderfall ist die ''Korrelation''.

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definition:}$  Unter  '''Korrelation'''  versteht man eine ''lineare Abhängigkeit''  zwischen den Einzelkomponenten  $X$  und  $Y$.
*Korrelierte Zufallsgrößen sind damit stets auch statistisch abhängig.
*Aber nicht jede statistische Abhängigkeit bedeutet gleichzeitig eine Korrelation.}}

Für das Folgende setzen wir voraus, dass  $X$  und  $Y$  mittelwertfrei seien   ⇒   ${\rm E}\big [ X \big ] = {\rm E}\big [ Y \big ]=0$.  Zur Beschreibung der Korrelation genügen dann folgende Erwartungswerte:
* die  '''Varianzen'''  in  $X$–  bzw. in  $Y$–Richtung:
:$$\sigma_X^2= {\rm E}\big [ X^2 \big ] = \int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{0.2cm}x^2 \cdot f_{X}(x) \, {\rm d}x\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}\sigma_Y^2= {\rm E}\big [Y^2 \big ] = \int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{0.2cm}y^2 \cdot f_{Y}(y) \, {\rm d}y\hspace{0.05cm};$$
* die  '''Kovarianz'''  zwischen den Einzelkomponenten  $X$  und  $Y$:
:$$\mu_{XY}= {\rm E}\big [ X \cdot Y \big ] = \int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{0.2cm}\int_{-\infty}^{+\infty} x\ \cdot y \cdot f_{XY}(x,y) \, {\rm d}x\, {\rm d}y\hspace{0.05cm}.$$

Bei statistischer Unabhängigkeit der beiden Komponenten  $X$  und  $Y$  ist die Kovarianz  $\mu_{XY} \equiv 0$. 

*Das Ergebnis  $\mu_{XY} = 0$  ist auch bei statistisch abhängigen Komponenten  $X$  und  $Y$  möglich, nämlich dann, wenn diese unkorreliert, also  ''linear unabhängig''  sind.
*Die statistische Abhängigkeit ist dann nicht von erster, sondern von höherer Ordnung, zum Beispiel entsprechend der Gleichung  $Y=X^2.$

Man spricht dann von  '''vollständiger Korrelation''', wenn die (deterministische) Abhängigkeit zwischen  $X$  und  $Y$  durch die Gleichung  $Y = K · X$  ausgedrückt wird.

Dann ergibt sich für die Kovarianz:
* $\mu_{XY} = σ_X · σ_Y$  bei positivem Wert von  $K$,
* $\mu_{XY} = -σ_X · σ_Y$  bei negativem  $K$–Wert.

Deshalb verwendet man häufig als Beschreibungsgröße anstelle der Kovarianz den so genannten Korrelationskoeffizienten.

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definition:}$  Der  '''Korrelationskoeffizient'''  ist der Quotient aus der Kovarianz  $\mu_{XY}$  und dem Produkt der Effektivwerte  $σ_X$  und  $σ_Y$  der beiden Komponenten:
:$$\rho_{XY}=\frac{\mu_{XY} } {\sigma_X \cdot \sigma_Y}.$$}}

Der Korrelationskoeffizient  $\rho_{XY}$  weist folgende Eigenschaften auf:
*Aufgrund der Normierung gilt stets  $-1 \le ρ_{XY} ≤ +1$.
*Sind die beiden Zufallsgrößen  $X$  und  $Y$  unkorreliert, so ist  $ρ_{XY} = 0$.
*Bei strenger linearer Abhängigkeit zwischen  $X$  und  $Y$  ist  $ρ_{XY}= ±1$   ⇒   vollständige Korrelation.
*Ein positiver Korrelationskoeffizient bedeutet, dass bei größerem  $X$–Wert im statistischen Mittel auch  $Y$  größer ist als bei kleinerem  $X$.
*Dagegen drückt ein negativer Korrelationskoeffizient aus, dass  $Y$  mit steigendem  $X$  im Mittel kleiner wird.

[[Datei:Korrelation_1c.png|right|frame| 2D-WDF  $f_{XY}(x, y)$  sowie die zugehörigen Randwahrscheinlichkeitsdichten  $f_{X}(x)$  und  $f_{Y}(y)$]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 1:}$  Die 2D–Zufallsgröße  $(X,\ Y)$  sei diskret und kann nur vier verschiedene Werte annehmen:
*$(+0.5,\ 0)$  sowie $(-0.5,\ 0)$  jeweils mit der Wahrscheinlichkeit  $0.3$,
*$(+1,\ +\hspace{-0.09cm}1)$  sowie $(-1,\ -\hspace{-0.09cm}1)$  jeweils mit der Wahrscheinlichkeit  $0.2$.

$\rm (A)$  Die Varianzen bzw. die Streuungen können aus   $f_{X}(x)$  und  $f_{Y}(y)$  berechnet werden:
:$$\sigma_X^2 = 2 \cdot \big [0.2 \cdot 1^2 + 0.3 \cdot 0.5^2 \big] = 0.55\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\sigma_X = 0.7416,$$
:$$\sigma_Y^2 = \big [0.2 \cdot (-1)^2 + 0.6 \cdot 0^2 +0.2 \cdot (+1)^2 \big] = 0.4\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\sigma_Y = 0.6325.$$

$\rm (B)$  Für die Kovarianz ergibt sich der folgende Erwartungswert:
:$$\mu_{XY}= {\rm E}\big [ X \cdot Y \big ] = 2 \cdot \big [0.2 \cdot 1 \cdot 1 + 0.3 \cdot 0.5 \cdot 0 \big] = 0.4.$$

$\rm (C)$  Damit erhält man für den Korrelationskoeffizienten:
:$$\rho_{XY}=\frac{\mu_{XY} } {\sigma_X \cdot \sigma_Y}=\frac{0.4 } {0.7416 \cdot 0.6325 }\approx 0.8528.
$$}}
 

===Eigenschaften der Regressionsgeraden===
[[Datei:Korrelation_5_neu.png|frame|Gaußsche 2D-WDF mit Korrelationsgerade  $K$]]
Ziel der linearen Regression ist es, einen einfachen (linearen) Zusammenhang zwischen zwei Zufallsgrößen  $X$  und  $Y$  anzugeben, deren $\text{2D-WDF}$  $f_{XY}(x, y)$  durch Punkte  $(x_1, y_1 )$  ...  $(x_N, y_N )$  in der  $(x,\ y)$–Ebene vorgegeben ist.  Die Skizze zeigt das Prinzip am Beispiel mittelwertfreier Größen: 
:Gesucht ist die Gleichung der Geraden  $K$  ⇒   $y=c_{\rm opt} \cdot x$  mit der Eigenschaft, dass der mittlere quadratische (Euklidische) Abstand  $\rm (MQA)$  aller Punkte von dieser Geraden minimal ist. Man bezeichnet diese Gerade auch als  ''Korrelationsgerade''. Diese kann als eine Art  „statistische Symmetrieachse“  interpretiert werden.

Bei einer großen Menge  $N$  empirischer Daten ist der mathematische Aufwand beträchtlich, den bestmöglichen Parameter  $C = c_{\rm opt}$  zu ermitteln. Der Aufwand wird deutlich reduziert, wenn man den Abstand nur in  $x$– oder in  $y$–Richtung definiert.

Im Sonderfall Gaußscher 2D-Zufallsgrößen wie in der Skizze verwendet ist die Korrelationsgerade  $K$  identisch mit der Ellipsenhauptachse bei Darstellung der 2D-WDF in Form von Höhenlinien  (siehe [[Applets:Korrelation_und_Regressionsgerade#Der_Sonderfall_Gau.C3.9Fscher_2D.E2.80.93Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|Abschnitt 2.3]]).

$\text{(a)}\hspace{0.5cm} \text{Regressionsgerade }R_{Y \to X}$     (rote Gerade in der App)

Hier wird der  $y$–Wert auf den  $x$–Wert zurückgeführt, was in etwa einer der möglichen Bedeutungen &bdquo;Zurückfallen” des Wortes &bdquo;Regression” entspricht.

*'''Geradengleichung''',  Winkel  $\theta_{Y \to X}$  der Geraden  $R_{Y \to X}$  zur  $x$–Achse:
:$$y=C_{Y \to X} \cdot x \ \ \ \text{mit} \ \ \ C_{Y \to X}=\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}\cdot\rho_{XY}= \frac{\mu_{XY}}{\sigma_X^2},\hspace{0.6cm} \theta_{Y \to X}={\rm arctan}\ (C_{Y \to X}).$$
*'''Kriterium''':   Der mittlere Abstand aller Punkte  $(x_n, y_n )$  von der Regressionsgeraden $R_{Y \to X}$  in  $y$–Richtung ist minimal:
:$${\rm MQA}_Y = {\rm E} \big [ y_n - C_{Y \to X} \cdot x_n\big ]^2 = \frac{\rm 1}{N} \cdot \sum_{n=\rm 1}^{N}\; \;\big [y_n - C_{Y \to X} \cdot x_n\big ]^{\rm 2}={\rm Minimum}.$$
:Die zweite Gleichung gilt nur, wenn alle Punkte  $(x_n, y_n )$  der 2D–WDF gleichwahrscheinlich sind.

$\text{(b)}\hspace{0.5cm} \text{Regressionsgerade }R_{X \to Y}$     (blaue Gerade in der App)

Die Regression in Gegenrichtung  $($also von  $X$  auf  $Y)$  bedeutet dagegen, dass der $x$–Wert auf den $y$–Wert zurückgeführt wird.  Für  ${\rm MQA}_X$  ergibt sich der minimale Wert.

*'''Geradengleichung''',  Winkel  $\theta_{X \to Y}$  der Geraden  $R_{X \to Y}$  zur   $x$–Achse:
:$$y=C_{X \to Y} \cdot x \ \ \text{mit} \ \ C_{X \to Y}=\frac{\sigma_Y}{\sigma_X\cdot\rho_{XY} }= \frac{\sigma_Y^2} {\mu_{XY}},\hspace{0.6cm} \theta_{X \to Y}={\rm arctan}\ (C_{X \to Y}).$$
*'''Kriterium''':   Der mittlere Abstand aller Punkte  $(x_n, y_n )$  von der Regressionsgeraden  $R_{X \to Y}$  in  $x$–Richtung ist minimal:
:$${\rm MQA}_X = {\rm E} \big [ x_n - y_n/C_{X \to Y}\big ]^2 = \frac{\rm 1}{N} \cdot \sum_{n=\rm 1}^{N}\; \;\big [x_n - y_n/C_{X \to Y}\big ]^{\rm 2}={\rm Minimum}.$$

[[Datei:Korrelation_5a.png|right|frame| Die beiden Regressionsgeraden]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 2:}$  Es gelten die gleichen Voraussetzungen wie im  $\text{Beispiel 1}$  und es werden teilweise auch die dort gefundenen Ergebnisse verwendet.

In der oberen Grafik ist die Regressionsgerade  $R_{X \to Y}$  als blaue Kurve eingezeichnet:
* Hierfür ergibt sich  $C_{X \to Y}={\sigma_Y^2}/\mu_{XY} = 1$  und dementsprechend  $ \theta_{X \to Y}={\rm arctan}\ (1) = 45^\circ.$
*Für den mittleren Abstand aller vier Punkte  $(x_n, y_n )$  von der Regressionsgeraden $R_{X \to Y}$  in  $x$–Richtung erhält man unter Ausnutzung der Symmetrie (beachten Sie die eingezeichneten blauen Horizontalen):
:$${\rm MQA}_X = {\rm E} \big [ x_n - y_n/C_{x \to y}\big ]^2 = 2 \cdot \big [ 0.2 \cdot \left [1 - 1/1\right ]^{\rm 2} +0.3 \cdot \left [0.5 - 0/1\right ]^{\rm 2}\big ]=0.15.$$
*Jede Gerade mit einem anderen Winkel als  $45^\circ$  führt hier zu einem größeren  ${\rm MQA}_X$.

Betrachten wir nun die rote Regressionsgerade  $R_{Y \to X}$  in der unteren Grafik.
* Hierfür ergibt sich  $C_{Y \to X}=\mu_{XY}/{\sigma_X^2} = 0.4/0.55\approx0.727$  und  $ \theta_{Y \to X}={\rm arctan}\ (0.727) \approx 36^\circ.$
*Hier ist nun der mittlere Abstand der vier Punkte  $(x_n, y_n )$  von der Regressionsgeraden $R_{Y \to X}$  in  $y$–Richtung minimal (beachten Sie die eingezeichneten roten Vertikalen):
:$${\rm MQA}_Y = {\rm E} \big [ y_n - C_{Y \to X} \cdot x_n\big ]^2 = 2 \cdot \big [ 0.2 \cdot \left [1 - 0.727 \cdot 1\right ]^{\rm 2} +0.3 \cdot \left [0 - 0.727 \cdot 0.5 \right ]^{\rm 2}\big ]\approx 0.109.$$

Die im Text erwähnte &bdquo;Korrelationsgerade” mit der Eigenschaft, dass der mittlere quadratische Euklidische Abstand  $\rm (MQA)$  aller Punkte von dieser Geraden minimal ist, wird sicher zwischen den beiden hier berechneten Regressionsgeraden liegen.}}

===Der Sonderfall Gaußscher 2D–Zufallsgrößen===

Im Sonderfall einer mittelwertfreien   [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Gaußsche_Zufallsgrößen|Gaußschen 2–Zufallsgröße]]  $(X,\ Y)$  lautet die Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion:
:$$f_{XY}(x,y)=\frac{\rm 1}{\rm 2\it\pi \cdot \sigma_X \cdot \sigma_Y \cdot \sqrt{\rm 1-\rho_{\it XY}^2}}\cdot\exp\Bigg[-\frac{\rm 1}{\rm 2 \cdot(1-\it\rho_{XY}^{\rm 2} {\rm)}}\cdot(\frac {\it x^{\rm 2}}{\sigma_X^{\rm 2}}+\frac {\it y^{\rm 2}}{\sigma_Y^{\rm 2}}-\rm 2\cdot\it\rho_{XY}\cdot\frac{x \cdot y}{\sigma_X \cdot \sigma_Y}\rm ) \rm \Bigg].$$
*Ersetzt man  $x$  durch  $(x - m_X)$  sowie  $y$  durch  $(y- m_Y)$, so ergibt sich die allgemeinere WDF einer zweidimensionalen Gaußschen Zufallsgröße mit Mittelwert.
*Die beiden Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktionen $f_{X}(x)$  und $f_{Y}(y)$  einer Gaußschen 2D-Zufallsgröße sind ebenfalls gaußförmig mit den Streuungen  $σ_X$  bzw.  $σ_Y$.
*Bei unkorrelierten Komponenten  $X$  und  $Y$  muss in obiger Gleichung  $ρ_{XY} = 0$  eingesetzt werden,  und man erhält dann das Ergebnis:
[[Datei:Korrelation_7a.png|right|frame| $K$,  $R_{Y \to X}$  und  $R_{X \to Y}$  bei Gaußschen 2D–Zufallsgrößen]]
:$$f_{XY}(x,y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\sigma_{X}} \cdot\rm e^{-\it {x^{\rm 2}}\hspace{-0.08cm}/{\rm (}{\rm 2\it\sigma_{X}^{\rm 2}} {\rm )}} \cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\sigma_{\it Y}}\cdot e^{-\it {y^{\rm 2}}\hspace{-0.08cm}/{\rm (}{\rm 2\it\sigma_{Y}^{\rm 2}} {\rm )}} = \it f_{X} \rm ( \it x \rm ) \cdot \it f_{Y} \rm ( \it y \rm ) .$$

*Bei korrelierten Komponenten  $X$  und  $Y$   ⇒   $ρ_{XY} \ne 0$  sind die Höhenlinien der 2D-WDF jeweils ellipsenförmig. Die Korrelationsgerade  $K$  ist hier identisch mit der Ellipsenhauptachse, die unter folgendem Neigungswinkel verläuft:
:$$\theta_{\rm K} = {1}/{2} \cdot {\rm arctan } \ ( 2 \cdot \rho_{XY} \cdot \frac {\sigma_X \cdot \sigma_Y}{\sigma_X^2 - \sigma_Y^2}).$$

*Die (rote) Regressionsgerade  $R_{Y \to X}$  einer Gaußschen 2D–Zufallsgröße liegt stets unterhalb der Korrelationsgeraden.  Sie kann aus dem Schnittpunkt jeder elliptischen Höhenlinie und ihrer vertikalen Tangente geometrisch konstruiert werden.
* In der Skizze ist dieses Konstruktionsmerkmal in grüner Farbe angedeutet.  Die (blaue) Regressionsgerade  $R_{X \to Y}$  ist eine Gerade durch den Koordinatenursprung und den Schnittpunkt der elliptischen Höhenlinie mit ihrer horizontalen Tangente.
 

==Versuchsdurchführung==

[[Datei:Exercises_binomial_fertig.png|right]]
*Wählen Sie zunächst die Nummer '''1''' ... '''6''' der zu bearbeitenden Aufgabe.
*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
*Lösung nach Drücken von &bdquo;Musterlösung”.
*Die Nummer  '''0'''  entspricht einem &bdquo;Reset”:  Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.

In den folgenden Aufgabenbeschreibungen werden folgende Kurzbezeichnungen verwendet:
*'''Rot''':     Regressionsgerade  $R_{Y \to X}$  (im Applet rot gezeichnet),
*'''Blau''':   Regressionsgerade  $R_{X \to Y}$  (im Applet blau gezeichnet).

{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''  Mit welcher Parametereinstellung sind die beiden Regressionsgeraden  $R_{Y \to X}$  und  $R_{X \to Y}$  deckungsgleich?}}

::* Es ist offensichtlich, dass gleiche Regressionsgeraden nur möglich sind, wenn diese unter dem Winkel  $45^\circ$  verlaufen   ⇒   &bdquo;Winkelhalbierende”.
::* Da die fest vorgegebenen Punkte  $3$  und  $4$  auf der Winkelhalbierenden liegen, muss dies auch für die Punkte  $1$  und  $2$  gelten   ⇒   $y_1 = x_1$.
::* Dies gilt für alle Parametereinstellungen  $y_1 = x_1$  und auch für alle  $p_1$  im erlaubten Bereich von   $0$  bis  $0.5$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''  Nun gelte $x_1 = 0.5,\ y_1 = 0,\ p_1 = 0.3$  Interpretieren Sie die Ergebnisse.  Aktivieren Sie hierzu die Hilfsgerade. }}

::* Diese Einstellung stimmt mit den Voraussetzungen zu  $\text{Beispiel 1}$  und  $\text{Beispiel 2}$  überein.  Insbesondere gilt  $ \theta_{X \to Y}= 45^\circ$  und  $ \theta_{Y \to X}\approx 36^\circ$.
::* Durch Variation des Winkels  $ \theta_{\rm HG}$  erkennt man, dass für  $ \theta_{\rm HG}= 45^\circ$  die Kenngröße  ${\rm MQA}_X =0.15$  tatsächlich den kleinsten Wert annimmt.
::* Ebenso ergibt sich der kleinstmögliche Abstand  ${\rm MQA}_Y =0.109$  in  $y$–Richtung für  $ \theta_{\rm HG}= 36^\circ$, also entsprechend der Geraden  $R_{Y \to X}$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''  Es gelten zunächst weiter die Einstellungen von  '''(2)'''.  Wie ändern sich die Ergebnisse nach Variation von  $p_1$  im erlaubten Bereich  $(0\le p_1 \le 0.5)$?}}

::* Die blaue Regressionsgerade  $ R_{X \to Y}$  verläuft weiter unter dem Winkel  $ \theta_{X \to Y}= 45^\circ$   ⇒   es gilt hier  $\mu_{XY} =\sigma_Y^2$, und zwar unabhängig von  $p_1 < 0.5$.
::* Im Grenzfall  $p_1 = 0.5$  ist wegen  $\sigma_Y =0$  die blaue Regressionsgerade undefiniert.  Es handelt sich nurmehr um eine 1D–Zufallsgröße  $X$.
::* Mit  $p_1=0$  sind nur die äußeren Punkte  $3$  und  $4$  wirksam   ⇒   $ \theta_{Y \to X}= \theta_{X \to Y}= 45^\circ$,  mit  $p_1=0.5$  nur die inneren Punkte  ⇒   $ \theta_{Y \to X}= 0^\circ$.
::* Dazwischen wird  $ R_{Y \to X}$  kontinuierlich flacher.  Sind alle Punkte gleichwahrscheinlich  $(p_1=0.25)$, dann ist  $\theta_{Y \to X}\approx 38.7^\circ$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''  Nun gelte  $x_1 = 0,\ y_1 = 0.5,\ p_1 = 0.3$.  Variieren Sie  $0\le p_1 < 0.5$  und interpretieren Sie die Ergebnisse.  $(p_1 = 0.5$  sollte man ausschließen$)$.}}

::* Wegen  $\sigma_X \le \sigma_Y$  liegt weiterhin die blaue Gerade nie unterhalb der roten, die für alle  $p_1 \ne 0.5$  die Winkelhalbierende ist   ⇒   $ \theta_{Y \to X}\approx 45^\circ$.
::* Der Winkel der blauen Regressionsgerade wächst von  $ \theta_{X \to Y}= 45^\circ \ (p_1 = 0)$  bis  $ \theta_{X \to Y} \to 90^\circ \ (p_1 \to 0.5)$  kontinuierlich an.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''  Beginnen Sie mit  $x_1 = 0.8,\ y_1 = -0.8,\ p_1 = 0.25$  und vergrößern Sie  $y_1$  bis zum Endwert  $y_1 = +0.8$.  Interpretieren Sie die Ergebnisse.}}

::* Für  $y_1 =-0.8$  ist  $ \theta_{X \to Y}= 77.6^\circ$  und  $ \theta_{Y \to X}= 12.4^\circ$.  Mit steigendem  $y_1$  verläuft  $ R_{X \to Y}$  (blau) flacher und  $R_{Y \to X}$  (rot) steiler.
::* Im Endpunkt  $(y_1 = +0.8)$  verlaufen die beiden Regressionsgeraden deckungsgleich unter dem Winkel  $ \theta_{X \to Y}= \theta_{Y \to X}= 45^\circ$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''  Abschließend gelte  $x_1 = +1,\ y_1 = -1$.  Variieren Sie  $p_1$  im gesamten zulässigen Bereich  $0\le p_1 \le 0.5$.  Wann sind  $X$  und  $Y$  unkorreliert?}}

::* Für  $p_1 = 0$  gilt  $ \theta_{X \to Y}=\theta_{Y \to X}= 45^\circ.$  Dann dreht die blaue Gerade entgegen dem Uhrzeigersinn, die rote Gerade im Uhrzeigersinn.
::* Für  $p_1 = 0.25$  sind die Winkel  $ \theta_{X \to Y}=90^\circ, \ \theta_{Y \to X}= 0^\circ.$  Diese Momentaufnahme beschreibt unkorrelierte Zufallsgrößen   ⇒   $\mu_{XY}=0$.
::* Anschließend drehen beide Geraden weiter in gleicher Richtung.  Für  $p_1 = 0.5$  gilt schließlich:  $ \theta_{X \to Y}=135^\circ= -45^\circ, \ \theta_{Y \to X}= -45^\circ.$

==Zur Handhabung des Applets==
[[Datei:Anleitung_korrelation_version2.png|left|600px]]
 
    '''(A)'''     Einstellung der  $x$–Koordinaten für  '''(1)'''  und  '''(2)'''

    '''(B)'''     Einstellung der  $y$–Koordinaten für  '''(1)'''  und  '''(2)'''

    '''(C)'''     Einstellung der  Wahrscheinlichkeiten aller Punkte

    '''(D)'''     Hilfsgerade mit Winkel  $\theta_{\rm HG}$  einblenden

    '''(E)'''     Ausgabe der  $\rm MQA$–Werte für Regressions– und Hilfsgerade

    '''(F)'''     Numerikausgabe der statistischen Kenngrößen

    '''(G)'''     Grafikbereich zur Darstellung der Regressionsgeraden

    '''(H)'''     Bereich für Übungen:  Aufgabenauswahl, Fragen, Musterlösungen
 
==Über die Autoren==
Dieses interaktive Berechnungstool wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.
*Die erste Version wurde 2005 von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Bettina_Hirner_.28Diplomarbeit_LB_2005.29|Bettina Hirner]] im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
*2020 wurde das Programm von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Veronika_Hofmann_.28Ingenieurspraxis_Math_2020.29|Veronika Hofmann]] (Ingenieurspraxis Mathematik, Betreuer: [[Benedikt Leible]] und [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]] ) unter &bdquo;HTML5” neu gestaltet.

==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==

{{LntAppletLink|correlation}}

Applets:Kausale Systeme und Laplacetransformation

2023-04-24T13:03:21Z

Nagi:

{{LntAppletLink|laplacetransformation}}

==Programmbeschreibung==
 

Dargestellt werden reelle und symmetrische Tiefpässe  $H(f)$  und die dazugehörigen Impulsantworten  $h(t)$, nämlich
*Gauß–Tiefpass  (englisch:  ''Gaussian low–pass''),
*Rechteck–Tiefpass   (englisch:  ''Rectangular low–pass''),
*Dreieck–Tiefpass  (englisch:  ''Triangular low–pass''),
*Trapez–Tiefpass  (englisch:  ''Trapezoidal low–pass''),
*Cosinus–Rolloff–Tiefpass  (englisch:  ''Cosine-rolloff low–pass''),
*Cosinus-Quadrat-Tiefpass  (englisch:  ''Cosine-rolloff -squared Low–pass'').

Es ist zu beachten:
* Die Funktionen  $H(f)$  bzw.  $h(t)$  werden für bis zu zwei Parametersätzen in jeweils einem Diagramm dargestellt.
* Die roten Kurven und Zahlenangaben gelten für den linken Parametersatz, die blauen für den rechten Parametersatz.
* Die Abszissen  $t$  (Zeit) und  $f$  (Frequenz) sowie die Ordinaten  $H(f)$  und  $h(t)$  sind jeweils normiert.

== English Description==

Real and symmetric low-passes  $H(f)$  and the corresponding impulse responses  $h(t)$, viz.
*Gaussian low–pass ,
*Rectangular low–pass ,
*Triangular low–pass ,
*Trapezoidal low–pass ,
*Cosine–rolloff low–pass ,
*Cosine–rolloff–squared low–pass .

It should be noted:
* The functions  $H(f)$  and  $h(t)$  respectively, are plotted for up to two sets of parameters in one graph each.
* The red curves and numbers apply to the left parameter set, the blue ones to the right parameter set.
* The abscissas  $t$  (time) and  $f$  (frequency) as well as the ordinates  $H(f)$  and  $h(t)$  are normalized in each case.

==Theoretischer Hintergrund==
 
===Betrachtetes Systemmodell===

Wir betrachten ein lineares zeitinvariantes System mit der Impulsantwort  $h(t)$, an dessen Eingang das Signal  $x(t)$  anliegt.  Das Ausgangssignal  $y(t)$  ergibt sich dann als das Faltungsprodukt  $x(t) ∗ h(t)$.

Bei akausalen Systemen und Signalen muss zur Spektralbeschreibung stets das  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|erste Fourierintegral]]  angewendet werden, und es gilt für das Ausgangsspektrum:
[[Datei:P_ID1757__LZI_T_3_2_S1_neu.png |right|frame| Allgemeines (auch akausales) sowie kausales Systemmodell|class=fit]]

:$$Y(f) = X(f) \cdot H(f) \hspace{0.05cm}.$$
Das Fourierintegral besitzt auch für kausale Systeme und Signale weiterhin Gültigkeit, also für
:$$x(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm} t<0\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} h(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm} t<0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} y(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm} t<0 \hspace{0.05cm}.$$

In diesem Fall ergeben sich aber durch Anwendung der Laplace–Transformation unter Beachtung gewisser Restriktionen wesentliche Vorteile:
*Die so behandelten Systeme sind stets durch eine Schaltung realisierbar.  Der Entwickler kommt nicht in Versuchung, realitätsfremde Lösungen anzubieten.
*Die Laplace–Transformierte  $X_{\rm L}(p)$  ist stets eine reelle Funktion der Spektralvariablen  $p$.  Dass sich  $p = {\rm j} · 2πf$  aus der Multiplikation der physikalischen Kreisfrequenz  $ω = 2πf$  mit der imaginären Einheit  $\rm j$  ergibt, spielt für den Anwender keine Rolle.
*Die implizite Bedingung  $x(t) = 0$  für  $t < 0$  erlaubt speziell die einfachere Analyse des Einschwingverhaltens nach Einschaltvorgängen als mit dem Fourierintegral.
 

===Definition der Laplace–Transformation===

Ausgehend vom  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|ersten Fourierintegral]],
:$$X(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} { x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f t}}\hspace{0.1cm}{\rm d}t,$$
ergibt sich bei kausaler Zeitfunktion   ⇒   $x(t) = 0 \ \ \text{für} \ \ t < 0$ 
mit der formalen Substitution  $p = {\rm j} · 2πf$  direkt die Laplace–Transformation:

:$$X_{\rm L}(p) = \int_{0}^{\infty} { x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-p t} }\hspace{0.1cm}{\rm d}t\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}{\rm kurz}\hspace{0.3cm} X_{\rm L}(p) \quad \bullet\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}\rm L}\!\!\!-\!\!\circ\quad x(t)\hspace{0.05cm}.$$

*Der Zusammenhang zwischen der Laplace–Transformierten  $X_{\rm L}(p)$  und dem physikalischen Spektrum  $X(f)$  ist häufig wie folgt gegeben:

:$$X(f) = X_{\rm L}(p) \Bigg |_{{\hspace{0.1cm} p\hspace{0.05cm}={\rm \hspace{0.05cm} j\hspace{0.05cm}2\pi \it f}}}.$$

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 1:}$ 
Wir gehen von der einseitig exponentiell abfallenden Zeitfunktion  $x(t) ={\rm e}^{-t/T}$  für  $t > 0$  gemäß der Skizze  $\rm F$  in der unteren Tabelle aus.  Damit lautet die Laplace–Transformierte:
:$$X_{\rm L}(p) = \int_{0}^{\infty} {\rm e}^{-t/T} \cdot {\rm e}^{-pt} \hspace{0.1cm}{\rm d}t= \frac {1}{p + 1/T} \cdot {{\rm e}^{-(p+1/T) \hspace{0.08cm}\cdot \hspace{0.08cm}t}}\hspace{0.15cm}\Bigg \vert_{t \hspace{0.05cm}=\hspace{0.05cm} 0}^{\infty}= \frac {1}{p + 1/T} \hspace{0.05cm} .$$
Mit  $p = {\rm j} · 2πf$  erhält man die herkömmliche Spektralfunktion bezüglich $f$:
:$$X(f) = \frac {1}{{\rm j \cdot 2\pi \it f} + 1/T} = \frac {T}{1+{\rm j \cdot 2\pi \it fT}} \hspace{0.05cm} .$$
Betrachtet man dagegen den Frequenzgang eines Tiefpasses erster Ordnung, dessen Impulsantwort  $h(t)$  sich gegenüber der obigen Zeitfunktion  $x(t)$  um den Faktor  $1/T$  unterscheidet, so gilt für die Laplace–Transformierte bzw. die Fourier–Transformierte:
:$$H_{\rm L}(p)= \frac {1/T}{p + 1/T}= \frac {1}{1 + p \cdot T} \hspace{0.05cm} , \hspace{0.8cm}H(f) = \frac {1}{1+{\rm j \cdot 2\pi \it fT} } = \frac {1}{1+{\rm j} \cdot f/f_{\rm G} } \hspace{0.05cm} .$$
Häufig verwendet man dann wie in dieser Gleichung anstelle des Parameters  $T$  die 3dB–Grenzfrequenz  $f_{\rm 3\hspace{0.15cm} dB} = 1/(2πT)$.}}
 
===Einige wichtige Laplace–Korrespondenzen===

[[Datei:P_ID1758__LZI_T_3_2_S3.png |right|frame| Tabelle mit einigen Laplace-Transformierten|class=fit]]

Hier sind einige wichtige Laplace–Korrespondenzen zusammengestellt.  Alle Zeitsignale  $x(t)$  seien dimensionslos.  Deshalb besitzt  $X_{\rm L}(p)$  dann als Integral über die Zeit stets die Einheit „Sekunde”.

*Die Laplace–Transformierte der  [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Diracimpuls|Diracfunktion]]  $δ(t)$  ist  $X_{\rm L}(p) = 1$  $($Diagramm $\rm A)$. 
*Durch Anwendung des  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Integrationssatz|Integrationssatzes]]  erhält man  $X_{\rm L}(p) = 1/p$  für die Sprungfunktion  $γ(t)$  $($Diagramm $\rm B)$.
* Aus dieser wird durch Multiplikation mit  $1/(pT)$  die Laplace–Transformierte der linear ansteigenden Funktion  $x(t) = t/T$  für  $t > 0$  $($Diagramm $\rm C)$.

*Das  [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Rechteckimpuls|Rechteck]]  kann aus der Subtraktion zweier um  $T$  versetzter Sprungfunktionen  $γ(t)$  und  $γ(t – T)$  erzeugt werden. Mit dem  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatz]]:  $X_{\rm L}(p) = (1 – {\rm e}^{–pT})/p$  ergibt  $($Diagramm $\rm D)$.
*Durch Integration erhält man die Rampe bzw. nach Multiplikation mit  $1/(pT)$  deren Laplace–Transformierte  $($Diagramm $\rm E)$.

*Die Exponentialfunktion  $($Diagramm $\rm F)$ wurde bereits im  $\text{Beispiel 1}$  betrachtet.  Mit dem Faktor  $1/T$  ist diese gleichzeitig die Impulsantwort eines Tiefpasses erster Ordnung.
*Durch Quadrierung erhält man die  $p$–Spektralfunktion eines Tiefpasses  $2.$ Ordnung und  $x(t) = t/T · {\rm e}^{–t/T}$ (Diagramm  $\rm G$).

*Neben der kausalen  $\rm si$–Funktion  $($Diagramm $\rm H)$  sind in der Tabelle auch die Laplace–Transformierten der kausalen Cosinus– und Sinusfunktion  $($Diagramme  $\rm I$  und  $\rm J)$  angegeben, die sich zu  $p/(p^2 + ω_0^2)$  bzw.  $ω_0/(p^2 + ω_0^2)$  ergeben. Hierbei bezeichnet  $ω_0 = 2πf_0 = 2π/T$  die so genannte Kreisfrequenz.
 

===Pol–Nullstellen–Darstellung von Schaltungen===

Ein jedes  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme|lineare zeitinvariante System]]  (LZI), das durch eine Schaltung aus diskreten zeitkonstanten Bauelementen wie Widerständen  $(R)$,  Kapazitäten  $(C)$,  Induktivitäten  $(L)$  und Verstärkerelementen realisiert werden kann, besitzt eine gebrochen–rationale  '''$p$–Übertragungsfunktion''':
:$$H_{\rm L}(p)= \frac {A_Z \cdot p^Z +\text{...} + A_2 \cdot p^2 + A_1 \cdot p + A_0} {B_N \cdot p^N +\text{...} \ + B_2 \cdot p^2 + B_1 \cdot p + B_0}= \frac {Z(p)}{N(p)} \hspace{0.05cm} .$$

Alle Koeffizienten des Zählers   ⇒   $A_Z, \text{...} \ , A_0$  und des Nenners   ⇒   $B_N, \text{...} , B_0$  sind reell. Weiter bezeichnen mit
*$Z$  den Grad des Zählerpolynoms  $Z(p)$,
*$N$  den Grad des Nennerpolynoms  $N(p)$.

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Äquivalente Pol–Nullstellen–Darstellung:}$  
Für die  $p$–Übertragungsfunktion kann auch geschieben werden:
:$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {\prod\limits_{i=1}^Z p - p_{\rm o i} } {\prod\limits_{i=1}^N p - p_{\rm x i} }= K \cdot \frac {(p - p_{\rm o 1})(p - p_{\rm o 2})\cdot \text{...} \ \cdot (p - p_{ {\rm o} \hspace{-0.03cm} Z})} {(p - p_{\rm x 1})(p - p_{\rm x 2})\cdot \text{...} \cdot (p - p_{ {\rm x} \hspace{-0.03cm} N})} \hspace{0.05cm} .$$

Die  $Z + N + 1$  Parameter bedeuten:
*$K = A_Z/B_N$  ist ein konstanter Faktor.   Gilt  $Z = N$, so ist dieser dimensionslos.
*Die Lösungen der Gleichung  $Z(p) = 0$  ergeben die  $Z$  Nullstellen  $p_{\rm o1},\text{...} \ , p_{\rm oZ}$  von  $H_{\rm L}(p)$.
*Die Nullstellen des Nennerpolynoms  $N(p)$  liefern die  $N$  Polstellen (oder kurz Pole). }}

Die Umformung ist eindeutig.  Dies erkennt man daran, dass die  $p$–Übertragungsfunktion gemäß der ersten Gleichung ebenfalls nur durch  $Z + N + 1$  freie Parameter bestimmt ist, da einer der Koeffizienten  $A_Z, \text{...} \ , A_0, B_N, \text{...} \ , B_0$  ohne Änderung des Quotienten auf  $1$  normiert werden kann.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 2:}$ 
Wir betrachten den gezeichneten Vierpol mit einer Induktivität  $L$  $($komplexer Widerstand  $pL)$  im Längszweig sowie im Querzweig die Serienschaltung eines Ohmschen Widerstandes  $R$  und einer Kapazität  $C$  mit dem komplexen Widerstand  $1/(pC)$.

[[Datei:P_ID1759__LZI_T_3_2_S4_neu.png|right|frame|Betrachteter Vierpol und dazugehöriges Pol–Nullstellen–Diagramm|class=fit]]

Damit lautet die  $p$–Übertragungsfunktion  $H_{\rm L}(p)= {Y_{\rm L}(p)}/ {X_{\rm L}(p)}$:
:$$H_{\rm L}(p)= \frac {R + {1}/{(pC)} } {pL + R +{1}/{(pC)} }= \frac {1 + p \cdot{RC} } {1 + p \cdot{RC}+ p^2 \cdot{LC} }
\hspace{0.05cm} .$$
Dividiert man Zähler und Nenner durch  $LC$, so ergibt sich:
:$$H_{\rm L}(p)= \frac {R} {L}\cdot \frac {p + {1}/{(RC)} } {p^2 + {R}/ {L}\cdot p + {1}/{(LC)} }$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {p - p_{\rm o } } {(p - p_{\rm x 1})(p - p_{\rm x 2})}
\hspace{0.05cm} .$$

Für  $R = 50 \ \rm Ω$,  $L = 25\ \rm µ H$  und  $C = 62.5 \ \rm nF$  ergeben sich durch Koeffizientenvergleich folgende Werte der  $H_{\rm L}(p)$–Darstellung::
*die Konstante  $K = R/L = 2 · 10^6 \cdot 1/{\rm s}$,
*die Nullstelle  $p_{\rm o} = -1/(RC) = -0.32 · 10^6 \cdot 1/{\rm s},$
*die beiden Pole  $p_{\rm x1}$  und  $p_{\rm x2}$  als Lösung der Gleichung
:$$p^2 + \frac {R} {L}\cdot p + \frac{1}{LC} = 0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm x 1,\hspace{0.05cm}2 }= -\frac {R} {2L}\pm \sqrt{\frac
{R^2} {4L^2}- \frac{1}{LC} }$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm x 1,\hspace{0.05cm}2 }= -10^6 \cdot {1}/{\rm s} \pm \sqrt{10^{12} \cdot {1} /{\rm s^2}-0.64 \cdot 10^{12} \cdot {1}/ {\rm s^2} }\hspace{0.3cm}
\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm x 1 }= -0.4 \cdot 10^6\cdot {1}/ {\rm s},\hspace{0.2cm}p_{\rm x 2 }= -1.6 \cdot 10^6\cdot {1}/ {\rm s} \hspace{0.05cm} .$$
In der Grafik ist rechts das Pol–Nullstellen–Diagramm angegeben.
*Die beiden Achsen bezeichnen den Real– und den Imaginärteil der Variablen  $p$, jeweils normiert auf den Wert  $10^6 · \rm 1/s\; (= 1/µs)$.
*Man erkennt die Nullstelle bei  $p_{\rm o} =\, –0.32$  als Kreis und die Polstellen bei  $p_{\rm x1} = \,–0.4$  und  $p_{\rm x2} = \,–1.6$  als Kreuze.}}
 

===Eigenschaften der Pole und Nullstellen===

Die Übertragungsfunktion  $H_{\rm L}(p)$  einer jeden realisierbaren Schaltung wird durch  $Z$  Nullstellen und  $N$  Pole zusammen mit einer Konstanten  $K$  vollständig beschrieben, wobei folgende Einschränkungen gelten:
*Es gilt stets  $Z ≤ N$.  Mit  $Z > N$  wäre im Grenzfall für  $p → ∞$  (also für sehr hohe Frequenzen) auch die  $p$–Übertragungsfunktion &bdquo;unendlich groß”.
*Die Nullstellen  $p_{{\rm o}i}$  und die Pole  $p_{ {\rm x}i}$  sind im allgemeinen komplex und weisen wie  $p$  die Einheit  $\rm 1/s$  auf. Gilt  $Z < N$, so besitzt auch die Konstante  $K$  eine Einheit.
*Die Pole und Nullstellen können reell sein, wie im letzten Beispiel gezeigt.  Sind sie komplex, so treten immer zwei konjugiert–komplexe Polstellen bzw. zwei konjugiert–komplexe Nullstellen auf, da  $H_{\rm L}(p)$  stets eine reelle gebrochen–rationale Funktion darstellt.
*Alle Pole liegen in der linken Halbebene oder auf der imaginären Achse (Grenzfall). Diese Eigenschaft ergibt sich aus der erforderlichen und vorausgesetzten Kausalität zusammen mit dem  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Einige_Ergebnisse_der_Funktionentheorie|Hauptsatz der Funktionstheorie]].
*Nullstellen können sowohl in der linken als auch in der rechten  $p$–Halbebene auftreten oder auch auf der imaginären Achse.  Nullstellen in der rechten Halbebene gibt es insbesondere bei Allpässen.

Diese Eigenschaften werden nun an drei Beispielen verdeutlicht.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 3:}$ 
Ausgehend von obiger Vierpolschaltung]]  $(L$  im Längszweig,  $R$  und  $C$  im Querzweig$)$  können die charakteristischen Größen der Übertragungsfunktion wie folgt angegeben werden:
:$$K = 2A, \hspace{0.2cm}p_{\rm x 1,\hspace{0.05cm}2 }= -A \pm \sqrt{A^2-B^2}, \hspace{0.2cm}p_{\rm o }= - \frac{B^2}{2A} \hspace{0.05cm} \hspace{0.2cm} {\rm mit } \hspace{0.2cm} A = \frac {R} {2L}, \hspace{0.2cm}B = \frac{1}{\sqrt{LC} } \hspace{0.05cm}.$$
Die Grafik zeigt drei verschiedene Diagramme mit unterschiedlichen Kapazitätswerten  $C$.  Es gilt stets  $R = 50 \ \rm Ω$  und  $L = 25 \ \rm µ H$.  Die Achsen sind auf die Variable  $A = R/(2L) = 10^6 · \rm 1/s$  normiert.  Der konstante Faktor ist jeweils  $K = 2A = 2 · 10^6 · \rm 1/s.$

[[Datei:P_ID2837__LZI_T_3_2_S5_neu.png|right|frame|Lage der Nullstelle und der Pole für  $Z = 1$  und  $N = 2$|class=fit]]

*'''Links:'''  Für  $B/A < 1$  $($hier $B/A =0.8)$  erhält man  '''zwei reelle Pole'''  und eine Nullstelle rechts von  $-A/2$:
:$$ p_{\rm x 1}/A = -0.4 , \hspace{0.2cm}p_{\rm x 2}/A= -1.6 , \hspace{0.2cm}p_{\rm o}/A= -0.32 \hspace{0.05cm} .$$
*'''Rechts''':  Für  $B/A >1$  $($hier $B/A =\sqrt{5})$  ergeben sich  '''zwei konjugiert–komplexe Pole'''  und eine Nullstelle links von  $-A/2$:
:$$p_{\rm x 1,\hspace{0.05cm}2 }/A= -1\pm {\rm j}\cdot 2,\hspace{0.2cm}p_{\rm o}/A\approx -2.5 \hspace{0.05cm} .$$
*'''Mitte''':  Der Fall  $A = B$  führt zu  '''einer reellen doppelten Polstelle'''  und einer Nullstelle bei  $– A/2$: 
:$$ p_{\rm x 1}/A= p_{\rm x 2}/A= -1, \hspace{0.2cm}p_{\rm o}/A= -0.5 \hspace{0.05cm} .$$

Die Impulsantworten  $h(t)$  ergeben sich entsprechend dem folgenden Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation|Laplace–Rücktransformation]]  wie folgt:
*Bei der linken Konstellation ist  $h(t)$  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Aperiodisch_abklingende_Impulsantwort|aperiodisch abklingend]].
*Bei der rechten Konstellation ist  $h(t)$  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Ged.C3.A4mpft_oszillierende_Impulsantwort|gedämpft oszillierend]].
*Bei der mittleren Konstellation spricht man vom  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Aperiodischer_Grenzfall|aperiodischen Grenzfall]]. }}
 

===Grafische Ermittlung von Dämpfung und Phase===

Gegeben sei die  $p$–Übertragungsfunktion in der Pol–Nullstellen–Notation:
:$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {\prod\limits_{i=1}^Z (p - p_{\rm o i})} {\prod\limits_{i=1}^N (p - p_{\rm x i})}= K \cdot \frac {(p - p_{\rm o 1})(p - p_{\rm o 2})\cdot \text{...} \cdot (p - p_{ {\rm o} \hspace{-0.03cm} Z})} {(p - p_{\rm x 1})(p - p_{\rm x 2})\cdot \text{...} \cdot (p - p_{ {\rm x} \hspace{-0.03cm} N})}
\hspace{0.05cm} .$$
Zum herkömmlichen Frequenzgang  $H(f)$  kommt man, indem man das Argument  $p$  von  $H_{\rm L}(p)$  durch  ${\rm j} \cdot 2πf$  ersetzt:
[[Datei:P_ID1761__LZI_T_3_2_S6_neu.png |right|frame|Ausgangsdiagramm zur Berechnung von Dämpfung und Phase|class=fit]]
:$$H(f)= K \cdot \frac {({\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{\rm o 1})({\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{\rm o 2})\cdot \text{...} \cdot ({\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{ {\rm o} \hspace{-0.03cm} Z})} {({\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{\rm x 1})({\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{\rm x 2})\cdot \text{...}\cdot ({\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{ {\rm x} \hspace{-0.03cm} N})} \hspace{0.05cm} .$$
Wir betrachten nun einen speziellen $p$–Wert und damit eine feste Frequenz $f$.  Die Abstände und Winkel aller Nullstellen beschreiben wir durch Vektoren:

:$$R_{ {\rm o} i} = {\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{ {\rm o} i}= |R_{{\rm o} i}| \cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j}\hspace{0.03cm}\cdot\hspace{0.03cm}\phi_{ {\rm o} i} },
\hspace{0.3cm}i= 1, \text{...}\ , Z \hspace{0.05cm} .$$
In gleicher Weise gehen wir für die Polstellen vor:
:$$R_{ {\rm x} i} = {\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{ {\rm x} i}= |R_{ {\rm x} i}| \cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j}\hspace{0.03cm}\cdot\hspace{0.03cm}\phi_{ {\rm x} i} }, \hspace{0.3cm}i= 1, \text{...}\ , N \hspace{0.05cm} .$$

Die Grafik zeigt die Beträge und Phasenwinkel für ein System
*mit  $Z = 2$  Nullstellen in der rechten Halbebene
*und  $N = 2$  Polstellen in der linken Halbebene.

Zu berücksichtigen ist zudem die Konstante $K$.

Mit dieser Vektordarstellung kann für den Frequenzgang geschrieben werden:
:$$H(f)= K \cdot \frac {|R_{ {\rm o} 1}| \cdot |R_{ {\rm o} 2}|\cdot ... \cdot |R_{ {\rm o} \hspace{-0.03cm} Z}|} {|R_{ {\rm x} 1}| \cdot |R_{ {\rm x} 2}|\cdot \text{...} \cdot |R_{ {\rm x} \hspace{-0.03cm} N}|} \cdot {\rm e^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot [ \phi_{ {\rm o} 1}\hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}\phi_{ {\rm o} 2} \hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}\hspace{0.1cm}\text{...}. \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm}\phi_{ {\rm o} \hspace{-0.03cm}{\it Z}}\hspace{0.1cm}- \hspace{0.1cm}\phi_{ {\rm x} 1}\hspace{0.1cm}- \hspace{0.1cm}\phi_{ {\rm x} 2} \hspace{0.1cm}- \hspace{0.1cm}... \hspace{0.1cm}
- \hspace{0.1cm} \phi_{ {\rm x} \hspace{-0.03cm}{\it N} }]} } \hspace{0.05cm} .$$

Stellt man  $H(f)$  durch die Dämpfungsfunktion  $a(f)$  und die Phasenfunktion  $b(f)$  nach der allgemein gültigen Beziehung  $H(f) = {\rm e}^{-a(f)\hspace{0.05cm}- \hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}b(f)}$  dar, so erhält man durch den Vergleich mit der obigen Gleichung das folgende Ergebnis:
*Bei geeigneter Normierung aller dimensionsbehafteten Größen gilt für die Dämpfung in Neper  $(1 \ \rm Np$ entspricht $8.686 \ \rm dB)$:
:$$a(f) = -{\rm ln} \hspace{0.1cm} K + \sum \limits_{i=1}^N {\rm ln} \hspace{0.1cm} |R_{ {\rm x} i}|- \sum \limits_{i=1}^Z {\rm ln} \hspace{0.1cm} |R_{ {\rm o} i}| \hspace{0.05cm} .$$
*Die Phasenfunktion in Radian $\rm (rad)$ ergibt sich entsprechend der oberen Skizze zu
:$$b(f) = \phi_K + \sum \limits_{i=1}^N \phi_{ {\rm x} i}- \sum \limits_{i=1}^Z \phi_{ {\rm o} i}\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.2cm} \phi_K = \left\{ \begin{array}{c} 0 \\ \pi \end{array} \right. \begin{array}{c} {\rm{f\ddot{u}r} } \\ {\rm{f\ddot{u}r} } \end{array}\begin{array}{*{20}c} { K > 0\hspace{0.05cm},} \\ { K <0\hspace{0.05cm}.} \end{array}$$

[[Datei:P_ID1762__LZI_T_3_2_S6b_neu.png |right|frame| Zur Berechnung der Dämpfungs– und Phasenfunktion (Bildschirmabzug einer früheren Version von &bdquo;Kausale Systeme & Laplace–Transformation”)|class=fit]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 4:}$ 
Die Grafik verdeutlicht die Berechnung
*der Dämpfungsfunktion  $a(f)$   ⇒   roter Kurvenverlauf,  und
*der Phasenfunktion  $b(f)$   ⇒   grüner Kurvenverlauf

eines Vierpols, der durch den Faktor  $K = 1.5$, eine Nullstelle bei  $-3$  und zwei Pole bei  $–1 \pm {\rm j} · 4$  festliegt.

Wie im Applet verwenden wir auch in diesem Beispiel die normierte Frequenz $f\hspace{0.05cm}'=(2\pi T)\cdot f$.  Der Zeitnormierungswert sei  $T=1$.

Die angegebenen Zahlenwerte gelten für die Frequenz $f\hspace{0.05cm}' = 3$.  Die Herleitung dieser Zahlenwerte ist im umrahmten Block verdeutlicht:
:$$a \big (f\hspace{0.05cm}' = {3} \big ) = a \big [f = {3}/({2\pi T}) \big ] = 0.453\,\,{\rm Np}= 3.953\,\,{\rm dB}$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.4cm}\big \vert H \big (f\hspace{0.05cm}' = {3} \big )\big \vert = 0.636,$$
:$$ b\big (f\hspace{0.05cm}' = {3} \big ) = -8.1^\circ \hspace{0.05cm} .$$

Für den Betragsfrequenzgang   $\vert H(f)\vert$   ⇒   blauer Kurvenverlauf ergibt sich ein bandpassähnlicher Verlauf mit
:$$\vert H(f = 0)\vert \approx 0.25\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}
\vert H(f = {4}/(2\pi T)\vert \approx 0.637\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}
\vert H(f \rightarrow \infty)\vert= 0 \hspace{0.05cm} .$$}}
 

===Laplace–Rücktransformation und Residuensatz===

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Aufgabenstellung:}$  Dieses Kapitel behandelt das folgende Problem:
*Bekannt ist die  $p$–Spektralfunktion  $Y_{\rm L}(p)$  in der Pol–Nullstellen–Form.
*Gesucht ist die  '''Laplace–Rücktransformierte''', also die dazugehörige Zeitfunktion  $y(t)$, wobei folgende Notation gelten soll:
:$$y(t) = {\rm L}^{-1}\{Y_{\rm L}(p)\}\hspace{0.05cm} , \hspace{0.3cm}{\rm kurz}\hspace{0.3cm}
y(t) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}\rm L}\!\!\!-\!\!\bullet\quad Y_{\rm L}(p)\hspace{0.05cm} .$$}}

Im Gegensatz zu den  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|Fourierintegralen]], die sich in den beiden Transformationsrichtungen nur geringfügig unterscheiden, ist bei &bdquo;Laplace” die Berechnung von  $y(t)$  aus  $Y_{\rm L}(p)$ – also die Rücktransformation –
*sehr viel schwieriger als die Berechnung von  $Y_{\rm L}(p)$  aus  $y(t)$,
*auf elementarem Weg nicht oder nur sehr umständlich lösbar.

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definition:}$ 
Allgemein gilt für die  '''Laplace–Rücktransformation''':
:$$y(t) = {\rm L}^{-1}\{Y_{\rm L}(p)\}= \lim_{\beta \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}\infty} \hspace{0.15cm} \frac{1}{ {\rm j} \cdot 2 \pi}\cdot \int_{ \alpha - {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi \beta } ^{\alpha+{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi \beta} Y_{\rm L}(p) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}\hspace{0.1cm}{\rm
d}p \hspace{0.05cm} .$$
*Die Integration erfolgt parallel zur imaginären Achse.
*Der Realteil  $α$  ist so zu wählen, dass alle Pole links vom Integrationsweg liegen.}}

Die linke Grafik verdeutlicht dieses Linienintegral entlang der rot gepunkteten Vertikalen  ${\rm Re}\{p\}= α$.  Lösbar ist dieses Integral mit dem  [https://de.wikipedia.org/wiki/Lemma_von_Jordan Jordanschen Lemma der Funktionstheorie].  Hier folgt nur eine sehr kurze und einfache Zusammenfassung der Vorgehensweise:

[[Datei:P_ID1777__LZI_T_3_3_S2_neu.png |right|frame| Linienintegral sowie linkes und rechtes Kreisintegral]]
*Das Linienintegral kann gemäß der Skizze in zwei Kreisintegrale aufgeteilt werden.  Alle Polstellen liegen im linken Kreisintegral.  Das rechte Kreisintegral darf nur Nullstellen beinhalten.
*Das rechte Kreisintegral liefert die Zeitfunktion  $y(t)$  für negative Zeiten.  Aufgrund der Kausalität muss  $y(t < 0)$  identisch Null sein, was aber nach dem Hauptsatz der Funktionstheorie nur dann zutrifft, wenn es in der rechten  $p$–Halbebene keine Pole gibt.
*Das Integral über den linken Halbkreis liefert die Zeitfunktion für  $t ≥ 0$.  Dieses umschließt alle Polstellen und ist mit dem Residuensatz in (relativ) einfacher Weise berechenbar, wie im Folgenden gezeigt wird.

Es wird weiterhin vorausgesetzt, dass die Übertragungsfunktion  $Y_{\rm L}(p)$  in Pol–Nullstellen–Form durch den konstanten Faktor  $K$,  die  $Z$  Nullstellen  $p_{{\rm o}i}$  $(i = 1$, ... , $Z)$  und die  $N$  Polstellen  $p_{{\rm x}i}$  $(i = 1$, ... , $N$)  dargestellt werden kann. Wir setzen zudem  $Z < N$  voraus.

Die Anzahl der unterscheidbaren Pole bezeichnen wir mit  $I$.  Zur Bestimung von  $I$  werden mehrfache Pole nur einfach gezählt.  So gilt für die obige Skizze aufgrund einer doppelten Polstelle:   $N = 5$  und  $I = 4$.

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Residuensatz:}$ 
Unter den genannten Voraussetzungen ergibt sich die  '''Laplace–Rücktransformierte'''  von  $Y_{\rm L}(p)$  für Zeiten  $t ≥ 0$  als die Summe von  $I$  Eigenschwingungen der Pole, die man als die  '''Residuen'''  – abgekürzt mit „Res” – bezeichnet:
:$$y(t) = \sum_{i=1}^{I}{\rm Res} \bigg \vert _{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}_i}} \hspace{-0.7cm}\{Y_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t}\} \hspace{0.05cm} .$$

Da  $Y_{\rm L}(p)$  nur für kausale Signale angebbar ist, gilt für negative Zeiten stets  $y(t < 0) = 0$.

*Für einen Pol der Vielfachheit  $l$  gilt allgemein:
:$${\rm Res} \bigg \vert _{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x}_i} } \hspace{-0.7cm}\{Y_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p t}\}= \frac{1}{(l-1)!}\cdot \frac{ {\rm d}^{\hspace{0.05cm}l-1} }{ {\rm d}p^{\hspace{0.05cm}l-1} }\hspace{0.15cm} \left \{Y_{\rm L}(p)\cdot (p - p_{ {\rm x}_i})^{\hspace{0.05cm}l}\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t}\right\} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x}_i} } \hspace{0.05cm} .$$
*Als Sonderfall ergibt sich daraus mit  $l = 1$  für einen einfachen Pol:
:$${\rm Res} \bigg\vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x}_i} } \hspace{-0.7cm}\{Y_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p t}\}= Y_{\rm L}(p)\cdot (p - p_{ {\rm x}_i} )\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \bigg \vert _{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x}_i} } \hspace{0.05cm} .$$}}
 
===Drei Beispiele zur Anwendung des Residuensatzes bei zwei Polen===

Nun wird der Residuensatz anhand dreier ausführlicher Beispiele verdeutlicht, die mit den drei Konstellationen im obigen  $\text{Beispiel 3}$  im Kapitel &bdquo;Laplace–Transformation” korrespondieren:
*Wir betrachten also wieder den Vierpol mit einer Induktivität  $L = 25 \ \rm µH$  im Längszweig sowie im Querzweig die Serienschaltung aus einem Ohmschen Widerstand  $R = 50 \ \rm Ω$  und einer Kapazität  $C$.  Für Letztere betrachten wir wieder drei verschiedene Werte, nämlich  $C = 62.5 \ \rm nF$,  $C = 8 \ \rm nF$ und  $C = 40 \ \rm nF$.
*Vorausgesetzt ist zudem stets  $x(t) = δ(t) \; ⇒ \; X_{\rm L}(p) = 1$   ⇒   $Y_{\rm L}(p) = H_{\rm L}(p)$   ⇒   $y(t)$  ist gleich der Impulsantwort  $h(t)$.

[[Datei: P_ID1772__LZI_T_3_3_S3a_kurz.png |right|frame| Aperiodisch aklingende Impulsantwort]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 5: Aperiodisch abklingende Impulsantwort:}$ 

Mit  $C = 62.5 \ \rm nF$  erhält man für die   $p$–Übertragungsfunktion:
:$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {p - p_{\rm o } } {(p - p_{\rm x 1} )(p - p_{\rm x 2}) }= 2 \cdot \frac {p + 0.32 }
{(p +0.4)(p +1.6 )} \hspace{0.05cm} .$$

Beachten Sie bitte die vorgenommene Normierung von  $p$,  $K$ sowie aller Pole und Nullstellen mit dem Faktor  ${\rm 10^6} · 1/\rm s$.

Die Impulsantwort setzt sich aus  $I = N = 2$  Eigenschwingungen zusammen. Für $t < 0$  sind diese gleich Null.
*Das Residium des Pols bei  $p_{\rm x1} =\ –0.4$  liefert die Zeitfunktion:
:$$h_1(t) = {\rm Res} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x}1} } \hspace{-0.7cm}\{H_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p t}\}= H_{\rm L}(p) \cdot {\rm e}^{p t} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}1}} = $$
:$$\hspace{1.05cm}= 2 \cdot \frac {p + 0.32 } {p +0.4}\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}-0.4}= - \frac {2 } {15}\cdot {\rm e}^{-0.4 \hspace{0.05cm} t} \hspace{0.05cm}. $$

*In gleicher Weise kann das Residium des zweiten Pols bei  $p_{\rm x2} = \ –1.6$  berechnet werden:
:$$h_2(t) = {\rm Res} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x}2} } \hspace{-0.7cm}\{H_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p t}\}= H_{\rm L}(p) \cdot {\rm e}^{p t} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}2}}=$$
:$$\hspace{1.05cm}= 2 \cdot \frac {p + 0.32 } {p +1.6}\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}-1.6}=\frac {32 } {15}\cdot {\rm e}^{-1.6 \hspace{0.05cm} t} \hspace{0.05cm}.$$

Die Grafik zeigt  $h_1(t)$  und  $h_2(t)$  sowie das Summensignal  $h(t)$.  Berücksichtigt ist der Normierungsfaktor  $1/T = 10^6 · \rm 1/s$  ⇒   die Zeit ist auf  $T = 1 \ \rm µ s$  normiert.
*Für  $t =0$  ergibt sich  $T \cdot h(t=0) = 32/15-2= 2 \hspace{0.05cm}$. 
*Für Zeiten  $t > 2 \ \rm µ s$  ist die Impulsantwort negativ  (wenn auch nur geringfügig und in der Grafik nur schwer zu erkennen).}}
 
[[Datei:P_ID1780__LZI_T_3_3_S3b_kurz.png |right|frame| Gedämpft oszillierende Impulsantwort]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 6: Gedämpft oszillierende Impulsantwort:}$ 

Die Bauelementewerte  $R = 50 \ \rm Ω$,  $L = 25 \ \rm µ H$ und  $C = 8 \ \rm nF$ ergeben zwei konjugiert komplexe Pole bei  $p_{{\rm x}1} = \ –1 + {\rm j} · 2$  und  $p_{{\rm x}2} = \ –1 - {\rm j} · 2$.  Die Nullstelle liegt bei  $p_{\rm o} = \ –2.5$. Es gilt  $K = 2$  und alle Zahlenwerte sind wieder mit dem Faktor  $1/T$  zu multiplizieren $(T = 1\ \rm µ s$).

Wendet man den Residuensatz auf diese Konfiguration an, so erhält man:
:$$h_1(t) = \text{ ...} = K \cdot \frac {p_{\rm x 1} - p_{\rm o }} {p_{\rm x 1} - p_{\rm x 2}}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 1} \cdot \hspace{0.05cm}t} 2 \cdot \frac {1.5 + {\rm j}\cdot 2} {{\rm j}\cdot 4}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 1} \cdot\hspace{0.05cm}t}$$

:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h_1(t) = \frac {3 + {\rm j}\cdot 4} {{\rm j}\cdot 4}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 1} \cdot\hspace{0.05cm}t}= (1 - {\rm j}\cdot 0.75)\cdot {\rm
e}^{-t}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2t} \hspace{0.05cm} ,$$
:$$ h_2(t) = \text{ ...} = K \cdot \frac {p_{\rm x 2} - p_{\rm o }} {p_{\rm x 2} - p_{\rm x 1}}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 2} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}= 2 \cdot \frac {1.5 - {\rm j}\cdot 2} {-{\rm j}\cdot 4}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 2} \hspace{0.03cm}\cdot\hspace{0.05cm}t} $$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h_2(t) = (1 + {\rm j}\cdot 0.75)\cdot {\rm e}^{-t}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2t} \hspace{0.05cm} . $$

Mit dem  [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Satz von Euler]]  ergibt sich somit für das Summensignal:
:$$h(t) = h_1(t) + h_2(t)= {\rm e}^{-t}\cdot \big [ (1 - {\rm j}\cdot 0.75)\cdot (\cos(2t) + {\rm j}\cdot \sin(2t))+
(1 + {\rm j}\cdot 0.75)\cdot (\cos(2t) - {\rm j}\cdot \sin(2t))\big ]$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h(t) ={\rm e}^{-t}\cdot \big [ 2\cdot \cos(2t) + 1.5 \cdot \sin(2t)\big ]\hspace{0.05cm} . $$

Die Grafik zeigt die nun mit  ${\rm e}^{–t}$  gedämpft oszillierende Impulsantwort  $h(t)$  für diese Pol–Nullstellen–Konfiguration.}}
 

[[Datei:P_ID1774__LZI_T_3_3_S3c_kurz.png |right|frame| Impulsantwort und Sprungantwort des aperiodischen Grenzfalls]]

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 7: Aperiodischer Grenzfall:}$ 

Der Kapazitätswert  $C = 40 \ \rm nF$  ist der kleinstmögliche Wert, für den sich gerade noch reelle Polstellen ergeben.  Diese fallen zusammen, das heißt  $p_{\rm x} = \ –1$  ist eine doppelte Polstelle. 
:$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {p - p_{\rm o } } {(p - p_{\rm x })^2}= 2 \cdot \frac {p + 0.5 } { (p +1)^2} \hspace{0.05cm} .$$

Die Zeitfunktion lautet somit entsprechend dem Residuensatz mit  $l = 2$:
:$$h(t) = {\rm Res} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x} } } \hspace{-0.7cm}\{H_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p t}\} $$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} h(t) = \frac{ {\rm d} }{ {\rm d}p}\hspace{0.15cm}
\left \{H_{\rm L}(p)\cdot (p - p_{ {\rm x} })^2\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t}\right\} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x} } }$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} h(t) = K \cdot \frac{ {\rm d} }{ {\rm d}p}\hspace{0.15cm}\left \{ (p - p_{ {\rm o} })\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t}\right\} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x} } } \hspace{0.05cm} .$$

Mit der ''Produktregel''  der Differentialrechnung ergibt sich daraus:
:$$h(t) = K \cdot \left [ {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} + (p - p_{ {\rm o} })\cdot t \cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \right ] \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}-1} = {\rm e}^{-t}\cdot \left ( 2 - t \right)
\hspace{0.05cm} .$$

Die Grafik zeigt diese Impulsantwort (grüne Kurve) in normierter Darstellung.  Sie unterscheidet sich von derjenigen in  $\text{Beispiel 5}$  mit den beiden unterschiedlichen Polen bei  $-0.4$  und  $-1.6$  nur geringfügig.

Die rot gezeichnete Sprungantwort  $\sigma(t) = 1 - {\rm e}^{-t} + t \cdot {\rm e}^{-t}$  ergibt sich, wenn man am Eingang zusätzlich eine Sprungfunktion berücksichtigt.  Zu deren Berechnung kann man alternativ

*bei der Residuenberechnung einen zusätzlichen Pol bei  $p = 0$   (rot markiert) berücksichtigen,
*oder das Integral über die Impulsantwort  $h(t)$  bilden.}}
 
===Partialbruchzerlegung===

Voraussetzung für die Anwendung des Residuensatzes ist, dass es weniger Nullstellen als Pole gibt   ⇒   $Z$  muss stets kleiner als  $N$  sein.

Gilt dagegen wie bei einem Hochpass  $Z = N$, so
*ist der Grenzwert der Spektralfunktion für großes  $p$  ungleich Null,
*beinhaltet das zugehörige Zeitsignal  $y(t)$  auch einen  [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Diracimpuls|Diracimpuls]],
*versagt der Residuensatz und es ist eine ''Partialbruchzerlegung''  vorzunehmen.

{{BlaueBox|TEXT=
Man geht hierbei wie folgt vor:
# Partialbruchzerlegung:  $Y(p) = K + Q(p)$,
# Diskreter Anteil der Zeitfunktion:  $y_{\rm disk}(t)=K \cdot \delta(y)$   ⇒   Dirac bei  $y=0$  mit Gewicht  $K$,
# Kontinuierlicher Anteil der Zeitfunktion:  $y_{\rm kont}(t)$  gemäß  $Q(p)= K - Y(p)$.}}

Die Vorgehensweise soll beispielhaft für einen Hochpass erster Ordnung verdeutlicht werden.  Anstelle von  $Y(p)$  und  $y(t)$  verwenden wir deshalb  $H(p)$  und  $h(t)$.

[[Datei:P_ID1775__LZI_T_3_3_S5_neu.png |right|frame| Impulsantwort von Tiefpass (blau) und Hochpass (rot)]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 8:}$ 
Die  $p$–Übertragungsfunktion eines Hochpasses erster Ordnung mit  $p_{\rm x}=-1$  und  $K=H(p \to \infty) = 1$  kann durch Abspaltung der Konstanten  $K$  wie folgt umgewandelt werden:
:$$H_{\rm HP}(f) = \frac{p}{p + 1} = 1- \frac{1}{p +1}\hspace{0.05cm} .$$
Damit lautet die Hochpass–Impulsantwort:
:$$h_{\rm HP}(t) = \delta(t) - h_{\rm TP}(t) \hspace{0.05cm} .$$

Die Grafik zeigt
*als rote Kurve die Hochpass–Impulsantwort  $h_{\rm HP}(t)$,
* als blaue Kurve die Impulsantwort  $h_{\rm TP}(t)$  des äquivalenten Tiefpasses.

Die Diracfunktion ist die Laplace–Transformierte des konstanten Wertes $1$. Der kontinuierliche Anteil  $h_{\rm kont}(t)=-h_{\rm TP}(t)$  ergibt sich mit  $Q(p) = 1/(p+1)$  nach dem Residuensatz.

Noch ein zweites numerisches Beispiel, hier mit  $K=2$:

:$$H_{\rm HP}(f) = \frac{2\cdot (p+1)(p-1)}{(p + 2)^2}\ \Rightarrow \ Q(p) = 2- \frac{2\cdot (p+1)(p-1)}{(p + 2)^2}= \frac{2\cdot (p + 2)^2 - 2\cdot (p^2-1)}{(p + 2)^2} = \frac{8\cdot (p + 1.25)}{(p + 2)^2}.$$
}}

==Versuchsdurchführung==
 
*Wählen Sie zunächst die Nummer  $(1,\ 2$, ... $)$  der zu bearbeitenden Aufgabe.  Die Nummer  $0$  entspricht einem &bdquo;Reset”:  Einstellung wie beim Programmstart.
*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt.  Die Parameterwerte sind angepasst.  Lösung nach Drücken von &bdquo;Musterlösung”.
*Analysieren Sie bei allen Aufgaben die dargestellen Grafiken im Frequenzbereich  ⇒   &bdquo;$(f)$”  und/oder Zeitbereich  ⇒   &bdquo;$(t)$”.
*Für die normierte Zeit gilt  $t\hspace{0.05cm}'=t/T$  und für die normierte Frequenz  $f\hspace{0.05cm}'=(2\pi T)\cdot f$.  Die Ordinaten im Frequenzbereich sind  $Y(f\hspace{0.05cm}')$  und im Zeitbereich  $y(t\hspace{0.05cm}')$. 
*Ein diracförmiges Eingangssignal   ⇒   $X_{\rm L}(p) =1$  beschreibt ein LZI–System mit der Impulsantwort  $h(t\hspace{0.05cm}')$  und dem Frequenzgang   $H(f\hspace{0.05cm}')$.
*Eine Sprungfunktion am Eingang   ⇒   $X_{\rm L}(p) =1/p$  wird am Ausgang durch die Sprungantwort  $\sigma(t\hspace{0.05cm}')$  und deren Spektralfunktion  ${\it \Sigma}(f\hspace{0.05cm}')$  charakterisiert.
 

{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''   Interpretieren Sie die Grafiken  &bdquo;$(f)$”  und  &bdquo;$(t)$”  gemäß  $\text{Satz 1:}\ K = 1, \ Z = 0,\ N= 1,\ p_{\rm x1} = -1$.  Was ändert sich nach Variation von  $p_{\rm x1}$? }}

* &bdquo;$(t)$”  zeigt die Exponentialfunktion  $y(t\hspace{0.05cm}')$:  Maximum  $y(t\hspace{0.05cm}' = 0) = 1$,  Abfallzeitkonstante  $T\hspace{0.05cm}' =1$.  &bdquo;$(f)$”  beschreibt das zugehörige komplexe Spektrum  $Y(f\hspace{0.05cm}')$.
*Mit  $p_{\rm x1} = -2$:  Steilerer  Abfall  $(T\hspace{0.05cm}' =0.5)$,  gleicher Maximalwert.  $|Y(f\hspace{0.05cm}')|$ ist nun halb so hoch und doppelt so breit:  $|Y(f\hspace{0.05cm}'=0)|=0.5$,  $|Y(f\hspace{0.05cm}'=3.5)|\approx 0.25$.
*Nähert sich  $p_{\rm x1}\to 0$  dem Nullwert von links immer mehr an, so wird  $T\hspace{0.05cm}'$  immer größer.  Im Grenzfall  $p_{\rm x1} \to 0$  ergibt sich die Sprungfunktion:  $y(t\hspace{0.05cm}') \equiv 1$  für  $t\hspace{0.05cm}' \ge 0$.
*Mit  $p_{\rm x1}> 0$  steigt das Zeitsignal von  $y(t\hspace{0.05cm}'=0)=1$  bis ins Unendliche.  Eine solche Konstellation kann es bei einem realisierbaren System nicht geben.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''   Es gelten weiter die Einstellungen gemäß  $\text{Satz 1}$.  Interpretieren Sie aber nun die Grafiken für ein LZI–System und ermitteln Sie dessen Kenngrößen.          
Betrachten Sie insbesondere den Gleichsignalübertragungsfaktor  $\vert H(f\hspace{0.05cm}'= 0)\vert$  und die 3dB–Grenzfrequenz.  Variieren Sie die Parameter  $p_{\rm x1}$  und  $K$.}}

*Entsprechend der  &bdquo;$(f)$”–Grafik handelt es sich um einen Tiefpass   ⇒   $H(f\hspace{0.05cm}') \to H_{\rm TP}(f\hspace{0.05cm}')$  und zwar mit dem Gleichsignalübertragungsfaktor   $|H_{\rm TP}(f\hspace{0.05cm}'= 0)| = 1$. 
*Die normierte 3dB–Grenzfrequenz ist diejenige Frequenz, bei der  $\vert H_{\rm TP}(f\hspace{0.05cm}')\vert$  um den Faktor $1/\sqrt{2}$  kleiner ist als das Maximum:  $f_{\rm 3\hspace{0.05cm} dB}\hspace{0.05cm}' = 1$   ⇒   $f_{\rm 3\hspace{0.05cm} dB} = 1/(2πT)$.
*Bei  $p_{\rm x1}= -2$  ist diese Größe doppelt so groß:  $f_{\rm 3\hspace{0.10cm} dB}\hspace{0.05cm}' = 2$.  Um wieder  $|H(f\hspace{0.05cm}'= 0)| = 1$  zu erreichen, ist zusätzlich  $K= 2$  anzupassen.
*Für die Herleitung der hier verwendeten Gleichungen verweisen wir auf das  $\text{Beispiel 1}$  im Theorieteil.  Man bezeichnet das Filter als '''Tiefpass erster Ordnung'''.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''   Nun gelte  $K=1$  und  $p_{\rm x1}= -2.$  Welchen Verlauf hat das Ausgangssignal  $y(t\hspace{0.05cm}')$,  wenn am Eingang eine Sprungfunktion anliegt   ⇒   $X_{\rm L}(p) =1/p$. }}

*Die  &bdquo;$(t)$”–Grafik zeigt die exponentiell abfallende Impulsantwort  $h(t\hspace{0.05cm}')$  ⇒   das Ausgangssignal  $y(t\hspace{0.05cm}')$  für eine Diracfunktion am Eingang.
*Bei anderem Eingangssignal  $x(t\hspace{0.05cm}')$  erhält man das Ausgangssignal  $y(t\hspace{0.05cm}')$  durch dessen Faltung mit  $h(t\hspace{0.05cm}')$.  Oder mit den  $p\hspace{0.05cm}$–Funktionen:  $Y_{\rm L}(p)= X_{\rm L}(p) \cdot H_{\rm L}(p)$.
*Für die Sprungfunktion gilt:  $X_{\rm L}(p)= 1/p$   ⇒   $Y_{\rm L}(p)= K/\big [(p-p_{\rm x1}) \cdot p\big ]$   ⇒   Die Einstellung  $N= 2,\ p_{\rm x1} = -1, \ p_{\rm x2} = 0 $  liefert die Sprungantwort  $\sigma(t\hspace{0.05cm}')$.
*Die  &bdquo;$(t)$”–Grafik zeigt die exponentiell ansteigende Sprungantwort  $\sigma(t\hspace{0.05cm}')$.  Für  $K=1$  ist der Endwert gleich  $\sigma(t\hspace{0.05cm}' \to \infty) = 0.5$.  Mit  $K=2$  gilt  $\sigma(t\hspace{0.05cm}'\to \infty) = 1$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''   Interpretieren Sie die Grafiken für die Einstellung  $K = 1, \ Z = 1, \ p_{\rm o1} = 0, \ N= 1,\ p_{\rm x1} = -2$.  Welcher Unterschied ergibt sich gegenüber  $Z=0$? }}

*Mit  $Z=0$:  Tiefpass 1. Ordnung mit  $H_{\rm TP}(p)= 1/(p+2)$   ⇒   $H_{\rm TP}(f\hspace{0.05cm}'= 0)= 0.5$,  $H_{\rm TP}(f\hspace{0.05cm}'\to \infty)= 0$,  $h_{\rm TP}(t\hspace{0.05cm}')= {\rm e}^{-2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm}'}$  für  $t\hspace{0.05cm}'\ge 0$.  Siehe  $(2)$  und  $(3)$.
*Mit  $Z=1$:  Hochpass 1. Ordnung mit  $H_{\rm HP}(p)= p/(p+2)$   ⇒   $H_{\rm HP}(f\hspace{0.05cm}'= 0)= 0$,  $H_{\rm HP}(f\hspace{0.05cm}'\to \infty)= 1$.  Da  $Z=N$:  $h_{\rm TP}(t\hspace{0.05cm}')$  erst nach Partialbruchzerlegung:
*$H_{\rm HP}(p)= p/(p+2) = 1- 2/(p+2)$  führt zur Impulsantwort  $h_{\rm HP}(t\hspace{0.05cm}')= \delta(t\hspace{0.05cm}') - 2 \cdot{\rm e}^{-2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm}'}= \delta(t\hspace{0.05cm}') - 2 \cdot h_{\rm TP}(t\hspace{0.05cm}')$  ⇒   $\text{zusätzliche Diracfunktion}$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''   Wie lautet die Sprungantwort  $\sigma_{\rm HP}(t\hspace{0.05cm}')$  des in  $(4)$  behandelten Hochpasses  $H_{\rm HP}(p)= p/(p+2)$? }}

*Die zugehörige  $p\hspace{0.05cm}$–Spektralfunktion lautet:  ${\it \Sigma}_{\rm HP}(p) =X_{\rm L}(p) \cdot H_{\rm HP}(p)= 1/p \cdot p/(p+2) = 1/(p+2)=H_{\rm TP}(p) $  ⇒   $\sigma_{\rm HP}(t\hspace{0.05cm}')= {\rm e}^{-2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm}'}$  für  $t\hspace{0.05cm}'\ge 0$.
*Die Nullstelle  $p_{\rm o1}=0$  und die Polstelle  $p_{\rm x2}=0$  heben sich gegenseitig auf.  Deshalb ergibt sich das gleiche Zeitsignal wie in  $(3)$.
*Sie müssen also folgende Einstellung wählen:  $K = 1, \ Z = 1, \ p_{\rm o1} = 0, \ N= 2,\ p_{\rm x1} = -2,\ p_{\rm x2} = 0$.
*Die Zeitfunktion springt bei  $t\hspace{0.05cm}' =0$  sofort auf  $1$  $($der HP beeinflusst den Sprung nicht$)$  und fällt dann exponentiell auf  $0$  ab  $($der HP sperrt jedes Gleichsignal$)$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''   Nun gelte folgende Einstellung:  $K = 1, \ Z = 0, \ N= 1,\ p_{\rm x1} = -5 \cdot {\rm j}$.  Liegt ein realisierbares System vor?  Welchen Verlauf hat die Impulsantwort  $h(t\hspace{0.05cm}')$?          
Wie ändert sich die Impulsanwort mit  $ p_{\rm x1} = -0.1 -5 \cdot {\rm j}$  bzw. mit  $ p_{\rm x1} = +0.1 -5 \cdot {\rm j}$ ? }}

*Der Frequenzgang hat bei  $f\hspace{0.05cm}'= -5$  eine Unendlichkeitstelle.  Es ist aber kein diracförmiger Verlauf, da außerhalb nicht  $H(f\hspace{0.05cm}' \ne -5) \equiv 0$  gilt.
*Die Impulsantwort ist eine komplexe Exponentialfunktion   ⇒   $\text{das System ist nicht realisierbar}$.  $h(t\hspace{0.05cm}')={\rm e}^{-5 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm}'}$  dreht mathematisch negativ (im Uhrzeigersinn).
*Mit  $p_{\rm x1}= \pm 5 \cdot {\rm j}$  beträgt die normierte Periodendauer  $T_0\hspace{0.05cm}'= 2\pi/5 \approx 1.256$.  Es gilt also   $h(t\hspace{0.05cm}'=T_0\hspace{0.05cm}')= h(t\hspace{0.05cm}'=0)= 1.$
*Bei  ${\rm Re}\hspace{0.05cm}[p_{\rm x1}] \ne 0$  klingt die komplexe Exponentialfunktion kontinuierlich ab  $({\rm Re}\hspace{0.05cm}[p_{\rm x1}] < 0)$  bzw. kontinuierlich an  $({\rm Re}\hspace{0.05cm}[p_{\rm x1}] > 0)$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(7)'''   Wie ändert sich die  &bdquo;$(t)$”–Grafik, wenn man den Imaginärteil von  $p_{\rm x1}$  verändert:  $p_{\rm x1}= -5 \cdot {\rm j}$,  $p_{\rm x1}= -2 \cdot {\rm j}$,  $p_{\rm x1}= 0 $,  $p_{\rm x1}= +2 \cdot {\rm j}$,  $p_{\rm x1}= +5 \cdot {\rm j}$.}}

*Bei positivem Imaginärteil von  $p_{\rm x1}$  dreht  $h(t\hspace{0.05cm}')$  stets in mathematisch positiver Richtung (entgegen dem Uhrzeigersinn),  bei negativem Imaginärteil im Uhrzeigersinn.
*Die normierte Periodendauer  $T_0\hspace{0.05cm}'= 2\pi/5 \approx 1.256$  gilt für  $p_{\rm x1}= \pm5 \cdot {\rm j}$  gleichermaßen und  $T_0\hspace{0.05cm}'= 2\pi/2 \approx 3.14$  gilt für  $p_{\rm x1}= \pm2 \cdot {\rm j}$.
*Für  $p_{\rm x1}= 0$  ergibt sich die  $p$–Übertragungsfunktion  $H_{\rm L}(p)=1/p$.  Daraus folgt die Sprungfunktion:   $h(t\hspace{0.05cm}') \equiv 1$  für  $t\hspace{0.05cm}' \ge 0$  und  $h(t\hspace{0.05cm}') \equiv 0$  für  $t\hspace{0.05cm}' < 0$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(8)'''   Interpretieren Sie die Grafiken  &bdquo;$(t)$”  und  &bdquo;$(f)$”  gemäß  $\text{Satz 2:}\ K = 1, \ Z = 1,\ p_{\rm o1} =0, \ N= 2,\ p_{\rm x1} = +5 \cdot {\rm j}, \ p_{\rm x2} = -5 \cdot {\rm j}$. }}

*Es ergibt sich das &bdquo;kausale” Cosinussignal  $h_{\rm cos}(t\hspace{0.05cm}')$  mit Amplitude  $1$  und der normierten Periodendauer  $T_0\hspace{0.05cm}'= 2\pi/5 \approx 1.256$. 
*Die  $p\hspace{0.05cm}$–Spektralfunktion lautet nämlich:  $H_{\rm cos}(p)= p/(p^2 +25)$.  Gemäß der angegebenen Laplacetabelle ist die dazugehörige Zeitfunktion der &bdquo;kausale Cosinus”.
*Während die Spektralfunktion des herkömmlichen Cosinus aus zwei Diracs mit reellen Gewichten besteht, gilt beim kausalen Cosinus  $|H(f(\hspace{0.05cm}')| \ne 0$  für alle  $f\hspace{0.05cm}'$.
*Aus  $b(f\hspace{0.05cm}')=\pm 90^\circ$  im gesamten Bereich erkennt man zudem, dass hier  $H(f\hspace{0.05cm}')$  imaginär ist.  Sprungartige Phasenänderungen gibt es bei  $f\hspace{0.05cm}' = 0$  sowie  $f\hspace{0.05cm}' = \pm 5$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(9)'''   Durch welche Parameteränderungen kommt man zum &bdquo;kausalen Sinus”    ⇒   $h_{\rm sin}(t\hspace{0.05cm}')$  gleicher Frequenz und gleicher Amplitude  $1$? }}

*Man kommt vom Cosinus zum Sinus durch Integration.  Das heißt:   $H_{\rm sin}(p)= H_{\rm cos}(p) \cdot H_{\rm Sprung}(p)= p/(p^2 +25) \cdot 1/p= 1/(p^2 +25)$   ⇒   $Z=0$  statt  $Z=1$.
*Allerdings ist damit die Amplitude des resultierenden Sinussignal zu klein.  Deshalb muss für  $p_{\rm x} = \pm 5 \cdot {\rm j}$  noch der konstante Faktor angepasst werden:  $K=5$.
*Beim kausalen Sinus ist  $H(f\hspace{0.05cm}')$  im gesamten Bereich reell, ebenfalls im Gegensatz zum herkömmlichen Sinus. Es gilt also entweder  $b(f\hspace{0.05cm}')=0^\circ$  oder  $b(f\hspace{0.05cm}')=180^\circ$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(10)'''   Interpretieren Sie die Grafiken  &bdquo;$(f)$”  und  &bdquo;$(t)$”  für  $\text{Satz 3:} \ K = 2, \ Z = 1, \ p_{\rm o1} = -2.5, \ N= 2,\ p_{\rm x1} = -1-2 \cdot {\rm j}, \ p_{\rm x2} = -1+2 \cdot {\rm j}$.             Was ändert sich mit der Nullstelle  $p_{\rm o1} = 0$? }}

*Der Frequenzgang ist gekennzeichnet durch die Werte  $|H(f\hspace{0.05cm}'= 0)|= 1$,  $|H(f\hspace{0.05cm}'|= 2)\approx 1.55$  (etwa das Maximum) und  $|H(f\hspace{0.05cm}' \to \infty)|\to 0$.
*Bei der Impulsantwort  $h(t\hspace{0.05cm}')$  handelt es sich um eine gedämpft oszillierende Schwingung, die im  $\text{Beispiel 6}$  analytisch berechnet wurde.
*Mit  $p_{\rm o1} = 0$  ist  $|H(f\hspace{0.05cm}'= 0)|\equiv 0$,  und das Maximum   $|H(f\hspace{0.05cm}'= 2)\approx 1|$  liegt etwas tiefer bei gleicher Frequenz.  Der Zeitbereich wird von  $p_{\rm o1}$  nur wenig beeinflusst.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(11)'''   Interpretieren Sie die Grafiken  &bdquo;$(f)$”  und  &bdquo;$(t)$”  für  $\text{Satz 4:} \ K = 2, \ Z = 1, \ p_{\rm o1} = -0.5, \ N= 2,\ p_{\rm x1} = p_{\rm x2} = -1$.             Was ändert sich mit der Nullstelle  $p_{\rm o1} = 0$  und was mit der Einstellung  $Z=0$? }}

*Bei der Impulsantwort  $h(t\hspace{0.05cm}')$  gemäß  $\text{Satz 4}$  handelt es sich um den aperiodischen Grenzfall, der im  $\text{Beispiel 7}$  exakt berechnet wurde.
*Verschiebt man bei  $Z=1$  die Nullstelle zu  $p_{\rm o1} = 0$, so fällt   $h(t\hspace{0.05cm}')$  schneller ab und auch der nachfolgende Unterschwinger ist sehr viel ausgeprägter.
*Dagegen ergibt sich mit  $Z=0$  ein Tiefpass zweiter Ordnung, dessen Impulsantwort aus der vorne angegebenen Laplace-Tabelle entnommen werden kann.
*Aus der  &bdquo;$(f)$”–Grafik erkennt man:  $Z=0$  ergibt einen Tiefpass und  $Z=1,p_{\rm o1} = 0$  einen Bandpass:  $|H(f\hspace{0.05cm}'= 0)|\equiv 0$,  $|H(f\hspace{0.05cm}'= 1)|\approx 1$,  $|H(f\hspace{0.05cm}'\to \infty)|\equiv 0$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(12)'''   Interpretieren Sie die Grafiken  &bdquo;$(f)$”  und  &bdquo;$(t)$”  für  $\text{Satz 5:} \ K = 2, \ Z = 1, \ p_{\rm o1} = -0.3, \ N= 2,\ p_{\rm x1} = -0.4, \ p_{\rm x2} = -1.6$.             Was bewirkt ein weiterer Pol bei  $p_{\rm x3} = 0$? }}

* Die Grafiken zeigen ähnliches wie im  $\text{Satz 4}$.  Im  &bdquo;$(f)$”–Bereich erkennt man für  $f\hspace{0.05cm}' \approx 0.5$  eine leichte Überhöhung gegenüber  $|H(f\hspace{0.05cm}'= 0)|\approx 0.937$.
*$h(t\hspace{0.05cm}')$  ist eine aperiodisch abklingende Impulsantwort, die im  $\text{Beispiel 5}$  analytisch berechnet wurde  $($allerdings mit  $p_{\rm o1}= 0.32$  statt mit  $p_{\rm o1}= 0.3)$.
*Durch den weiteren Pol bei  $p_{\rm x3} = 0$  liefert der Zeitbereich statt der Impulsantwort  $h(t\hspace{0.05cm}')$  nun die Sprungantwort  $\sigma(t\hspace{0.05cm}')$,  die sich aus  $h(t\hspace{0.05cm}')$  durch Integration ergibt.
*Ausgehend von  $\sigma(t\hspace{0.05cm}'=0) \equiv 0$  steigt die Zeitfunktion bis  $\sigma(t\hspace{0.05cm}'=2)\approx 1.07$  an und fällt dann wieder ab bis auf  $\sigma(t\hspace{0.05cm}' \to \infty) = |H(f\hspace{0.05cm}'= 0)|\approx 0.937$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(13)'''   Wählen Sie nun die Konfiguarion  $K = 1, \ Z = 2, \ p_{\rm o1} = p_{\rm o2} = 0, \ N= 2,\ p_{\rm x1} = p_{\rm x2} = -2$.  Welches System liegt vor?  Wie lautet die Übertragungsfunktion?             Was ändert sich mit der Nullstelle  $p_{\rm o1} = 0$  und was mit der Einstellung  $Z=0$? }}

*Es handelt sich um einen Hochpass mit  $H_{\rm HP}(p)= p^2/(p+2)^2$.  Der vergleichbare Tiefpass ist  $H_{\rm TP}(p)= 4/(p+2)^2$.  Es gilt  $H_{\rm HP}(p) = 1- H_{\rm TP}(p)$.
*Aus den  &bdquo;$(f)$”–Grafiken:  $|H_{\rm HP}(f\hspace{0.05cm}'= 0)|=|H_{\rm TP}(f\hspace{0.05cm}'\to \infty)|= 0$,  $|H_{\rm HP}(f\hspace{0.05cm}'= 2)|= |H_{\rm TP}(f\hspace{0.05cm}'= 2)|=0.5$,  $|H_{\rm HP}(f\hspace{0.05cm}'\to \infty)|= |H_{\rm TP}(f\hspace{0.05cm}'= 0)|=1$.
*Die Impulsantwort  $h_{\rm HP}(t\hspace{0.05cm}')$  kann wegen $Z=N=2$  nicht direkt mit dem Residuensatz berechnet werden.  Man benötigt vorher eine Partialbruchzerlegung.
*Es gilt nämlich auch:  $H_{\rm HP}(p)= p^2/(p+2)^2 = 1- 4 \cdot (p+1)/(p+2)^2$   ⇒   Impulsantwort  $h_{\rm HP}(t\hspace{0.05cm}') = \delta(t\hspace{0.05cm}')- 4\cdot h_{\hspace{0.05cm}\rm TP,\hspace{0.05cm}1}(t\hspace{0.05cm}')$.
*$h_{\rm HP}(t\hspace{0.05cm}')$  beinhaltet neben einem Dirac als zeitkontinuierlichen Anteil die vierfache negative Impulsantwort des Tiefpasses  $H_{\rm TP,\hspace{0.05cm}1}(p)= (p+1)/(p+2)^2$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(14)'''   Betrachten Sie die  &bdquo;$(f)$”–Grafik für  $\text{Satz 6:} \ \ K = 1, \ Z = 3, \ p_{\rm o1} = 2 + 2 {\rm j}, \ p_{\rm o2} = 2 - 2 {\rm j},\ p_{\rm o3} = 1, \ N= 3,\ p_{\rm x1} = -2 + 2 {\rm j}, \ p_{\rm x2} = -2 - 2 {\rm j},\ p_{\rm x3} = -1$.             Wie lässt sich die charakteristische Eigenschaft dieses Systems mit den Parameterwerten  $Z=4$  und  $N=4$  erfüllen? }}

* Hier gilt für alle Frequenzen  $|H(f\hspace{0.05cm}')| = 1$   ⇒   keine einzige Frequenz wird gedämpft   ⇒   $a(f\hspace{0.05cm}') = 0\hspace{0.15cm} {\rm dB}$.  Die Phasenfunktion  $b(f\hspace{0.05cm}')$  ist dagegen frequenzabhängig.
*Diese Eigenschaften ergeben sich aus der Symmetrie der Nullstellen (in rechter  $p$–Hälfte)  zu den Polen (links der imaginären Achse), alle reell oder konjugiert–komplex.
*Für  $Z=N=4$  kommt jeweils ein weiterer reeller Pol und eine weitere reelle Nullstelle dazu, zum Beispiel  $p_{\rm o4} = 2,\ p_{\rm x4} = -2$.

==Zur Handhabung des Programms==
[[Datei:Exercise_Frequenzgang_1.png|right|frame|Bildschirmabzug (englische Version, heller Hintergrund) '''Korrektur mit Grafikabzug''']]
    '''(A)'''     Theme (veränderbare grafische Oberflächengestaltung)
:* Dark:   schwarzer Hintergrund  (wird von den Autoren empfohlen)
:* Bright:   weißer Hintergrund  (empfohlen für Beamer und Ausdrucke)
:* Deuteranopia:   für Nutzer mit ausgeprägter Grün–Sehschwäche
:* Protanopia:   für Nutzer mit ausgeprägter Rot–Sehschwäche

    '''(B)'''     Vorauswahl für den Frequenzgang  $H_1(f)$  (rote Kurve)

    '''(C)'''     Parameterfestlegung für  $H_1(f)$ 

    '''(D)'''     Numerikausgabe für  $H_1(f_*)$  und  $h_1(t_*)$

    '''(E)'''     Vorauswahl für den Frequenzgang  $H_2(f)$  (blaue Kurve)

    '''(F)'''     Parameterfestlegung für  $H_2(f)$ 

    '''(G)'''     Numerikausgabe für  $H_2(f_*)$  und  $h_2(t_*)$

    '''(H)'''     Einstellung der Frequenz  $f_*$  für die Numerikausgabe

    '''(I)'''      Einstellung der Zeit  $t_*$  für die Numerikausgabe

    '''(J)'''     Bereich der graphischen Darstellung im Frequenzbereich

    '''(K)'''     Bereich der graphischen Darstellung im Zeitbereich

    '''(L)'''     Auswahl der Aufgabe entsprechend der Aufgabennummer

    '''(M)'''     Aufgabenbeschreibung und Fragestellung

    '''(N)'''     Musterlösung anzeigen und verbergen

'''Details zu den obigen Punkten  (J ) und  (K)'''

Zoom–Funktionen:        &bdquo;$+$” (Vergrößern),      &bdquo;$-$” (Verkleinern),      &bdquo;$\rm o$” (Zurücksetzen)

Verschiebe–Funktionen:     &bdquo;$\leftarrow$”     &bdquo;$\uparrow$”     &bdquo;$\downarrow$”     &bdquo;$\rightarrow$”         &bdquo;$\leftarrow$”  bedeutet:     Bildausschnitt nach links, Ordinate nach rechts

Andere Möglichkeiten:

*Bei gedrückter Shifttaste und Scrollen kann im Koordinatensystem gezoomt werden.
*Bei gedrückter Shifttaste und gedrückter linker Maustaste kann das Koordinatensystem verschoben werden.
 

==Über die Autoren==
Dieses interaktive Berechnungstool wurde am  [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]  der  [https://www.tum.de/ Technischen Universität München]  konzipiert und realisiert.
*Die erste Version wurde 2008 von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Thomas_Pfeuffer_.28Diplomarbeit_LB_2005.29|Thomas Pfeuffer]]  im Rahmen seiner Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX–Actionscript” erstellt  (Betreuer:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
*2021 wurde das Programm von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit  (Betreuer:  [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]])  auf &bdquo;HTML5” umgesetzt und neu gestaltet.

==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==
{{LntAppletLink|laplacetransformation}}

Applets:Kausale Systeme und Laplacetransformation

2023-04-24T13:02:55Z

Nagi:

{{LntAppletLink|laplacetransformation}}

==Programmbeschreibung==
 

Dargestellt werden reelle und symmetrische Tiefpässe  $H(f)$  und die dazugehörigen Impulsantworten  $h(t)$, nämlich
*Gauß–Tiefpass  (englisch:  ''Gaussian low–pass''),
*Rechteck–Tiefpass   (englisch:  ''Rectangular low–pass''),
*Dreieck–Tiefpass  (englisch:  ''Triangular low–pass''),
*Trapez–Tiefpass  (englisch:  ''Trapezoidal low–pass''),
*Cosinus–Rolloff–Tiefpass  (englisch:  ''Cosine-rolloff low–pass''),
*Cosinus-Quadrat-Tiefpass  (englisch:  ''Cosine-rolloff -squared Low–pass'').

Es ist zu beachten:
* Die Funktionen  $H(f)$  bzw.  $h(t)$  werden für bis zu zwei Parametersätzen in jeweils einem Diagramm dargestellt.
* Die roten Kurven und Zahlenangaben gelten für den linken Parametersatz, die blauen für den rechten Parametersatz.
* Die Abszissen  $t$  (Zeit) und  $f$  (Frequenz) sowie die Ordinaten  $H(f)$  und  $h(t)$  sind jeweils normiert.

== English Description==

Real and symmetric low-passes  $H(f)$  and the corresponding impulse responses  $h(t)$, viz.
*Gaussian low-pass ,
*Rectangular low-pass ,
*Triangular low-pass ,
*Trapezoidal low-pass ,
*Cosine–rolloff low-pass ,
*Cosine–rolloff–squared low-pass .

It should be noted:
* The functions  $H(f)$  and  $h(t)$  respectively, are plotted for up to two sets of parameters in one graph each.
* The red curves and numbers apply to the left parameter set, the blue ones to the right parameter set.
* The abscissas  $t$  (time) and  $f$  (frequency) as well as the ordinates  $H(f)$  and  $h(t)$  are normalized in each case.

==Theoretischer Hintergrund==
 
===Betrachtetes Systemmodell===

Wir betrachten ein lineares zeitinvariantes System mit der Impulsantwort  $h(t)$, an dessen Eingang das Signal  $x(t)$  anliegt.  Das Ausgangssignal  $y(t)$  ergibt sich dann als das Faltungsprodukt  $x(t) ∗ h(t)$.

Bei akausalen Systemen und Signalen muss zur Spektralbeschreibung stets das  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|erste Fourierintegral]]  angewendet werden, und es gilt für das Ausgangsspektrum:
[[Datei:P_ID1757__LZI_T_3_2_S1_neu.png |right|frame| Allgemeines (auch akausales) sowie kausales Systemmodell|class=fit]]

:$$Y(f) = X(f) \cdot H(f) \hspace{0.05cm}.$$
Das Fourierintegral besitzt auch für kausale Systeme und Signale weiterhin Gültigkeit, also für
:$$x(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm} t<0\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} h(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm} t<0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} y(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm} t<0 \hspace{0.05cm}.$$

In diesem Fall ergeben sich aber durch Anwendung der Laplace–Transformation unter Beachtung gewisser Restriktionen wesentliche Vorteile:
*Die so behandelten Systeme sind stets durch eine Schaltung realisierbar.  Der Entwickler kommt nicht in Versuchung, realitätsfremde Lösungen anzubieten.
*Die Laplace–Transformierte  $X_{\rm L}(p)$  ist stets eine reelle Funktion der Spektralvariablen  $p$.  Dass sich  $p = {\rm j} · 2πf$  aus der Multiplikation der physikalischen Kreisfrequenz  $ω = 2πf$  mit der imaginären Einheit  $\rm j$  ergibt, spielt für den Anwender keine Rolle.
*Die implizite Bedingung  $x(t) = 0$  für  $t < 0$  erlaubt speziell die einfachere Analyse des Einschwingverhaltens nach Einschaltvorgängen als mit dem Fourierintegral.
 

===Definition der Laplace–Transformation===

Ausgehend vom  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|ersten Fourierintegral]],
:$$X(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} { x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f t}}\hspace{0.1cm}{\rm d}t,$$
ergibt sich bei kausaler Zeitfunktion   ⇒   $x(t) = 0 \ \ \text{für} \ \ t < 0$ 
mit der formalen Substitution  $p = {\rm j} · 2πf$  direkt die Laplace–Transformation:

:$$X_{\rm L}(p) = \int_{0}^{\infty} { x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-p t} }\hspace{0.1cm}{\rm d}t\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}{\rm kurz}\hspace{0.3cm} X_{\rm L}(p) \quad \bullet\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}\rm L}\!\!\!-\!\!\circ\quad x(t)\hspace{0.05cm}.$$

*Der Zusammenhang zwischen der Laplace–Transformierten  $X_{\rm L}(p)$  und dem physikalischen Spektrum  $X(f)$  ist häufig wie folgt gegeben:

:$$X(f) = X_{\rm L}(p) \Bigg |_{{\hspace{0.1cm} p\hspace{0.05cm}={\rm \hspace{0.05cm} j\hspace{0.05cm}2\pi \it f}}}.$$

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 1:}$ 
Wir gehen von der einseitig exponentiell abfallenden Zeitfunktion  $x(t) ={\rm e}^{-t/T}$  für  $t > 0$  gemäß der Skizze  $\rm F$  in der unteren Tabelle aus.  Damit lautet die Laplace–Transformierte:
:$$X_{\rm L}(p) = \int_{0}^{\infty} {\rm e}^{-t/T} \cdot {\rm e}^{-pt} \hspace{0.1cm}{\rm d}t= \frac {1}{p + 1/T} \cdot {{\rm e}^{-(p+1/T) \hspace{0.08cm}\cdot \hspace{0.08cm}t}}\hspace{0.15cm}\Bigg \vert_{t \hspace{0.05cm}=\hspace{0.05cm} 0}^{\infty}= \frac {1}{p + 1/T} \hspace{0.05cm} .$$
Mit  $p = {\rm j} · 2πf$  erhält man die herkömmliche Spektralfunktion bezüglich $f$:
:$$X(f) = \frac {1}{{\rm j \cdot 2\pi \it f} + 1/T} = \frac {T}{1+{\rm j \cdot 2\pi \it fT}} \hspace{0.05cm} .$$
Betrachtet man dagegen den Frequenzgang eines Tiefpasses erster Ordnung, dessen Impulsantwort  $h(t)$  sich gegenüber der obigen Zeitfunktion  $x(t)$  um den Faktor  $1/T$  unterscheidet, so gilt für die Laplace–Transformierte bzw. die Fourier–Transformierte:
:$$H_{\rm L}(p)= \frac {1/T}{p + 1/T}= \frac {1}{1 + p \cdot T} \hspace{0.05cm} , \hspace{0.8cm}H(f) = \frac {1}{1+{\rm j \cdot 2\pi \it fT} } = \frac {1}{1+{\rm j} \cdot f/f_{\rm G} } \hspace{0.05cm} .$$
Häufig verwendet man dann wie in dieser Gleichung anstelle des Parameters  $T$  die 3dB–Grenzfrequenz  $f_{\rm 3\hspace{0.15cm} dB} = 1/(2πT)$.}}
 
===Einige wichtige Laplace–Korrespondenzen===

[[Datei:P_ID1758__LZI_T_3_2_S3.png |right|frame| Tabelle mit einigen Laplace-Transformierten|class=fit]]

Hier sind einige wichtige Laplace–Korrespondenzen zusammengestellt.  Alle Zeitsignale  $x(t)$  seien dimensionslos.  Deshalb besitzt  $X_{\rm L}(p)$  dann als Integral über die Zeit stets die Einheit „Sekunde”.

*Die Laplace–Transformierte der  [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Diracimpuls|Diracfunktion]]  $δ(t)$  ist  $X_{\rm L}(p) = 1$  $($Diagramm $\rm A)$. 
*Durch Anwendung des  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Integrationssatz|Integrationssatzes]]  erhält man  $X_{\rm L}(p) = 1/p$  für die Sprungfunktion  $γ(t)$  $($Diagramm $\rm B)$.
* Aus dieser wird durch Multiplikation mit  $1/(pT)$  die Laplace–Transformierte der linear ansteigenden Funktion  $x(t) = t/T$  für  $t > 0$  $($Diagramm $\rm C)$.

*Das  [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Rechteckimpuls|Rechteck]]  kann aus der Subtraktion zweier um  $T$  versetzter Sprungfunktionen  $γ(t)$  und  $γ(t – T)$  erzeugt werden. Mit dem  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatz]]:  $X_{\rm L}(p) = (1 – {\rm e}^{–pT})/p$  ergibt  $($Diagramm $\rm D)$.
*Durch Integration erhält man die Rampe bzw. nach Multiplikation mit  $1/(pT)$  deren Laplace–Transformierte  $($Diagramm $\rm E)$.

*Die Exponentialfunktion  $($Diagramm $\rm F)$ wurde bereits im  $\text{Beispiel 1}$  betrachtet.  Mit dem Faktor  $1/T$  ist diese gleichzeitig die Impulsantwort eines Tiefpasses erster Ordnung.
*Durch Quadrierung erhält man die  $p$–Spektralfunktion eines Tiefpasses  $2.$ Ordnung und  $x(t) = t/T · {\rm e}^{–t/T}$ (Diagramm  $\rm G$).

*Neben der kausalen  $\rm si$–Funktion  $($Diagramm $\rm H)$  sind in der Tabelle auch die Laplace–Transformierten der kausalen Cosinus– und Sinusfunktion  $($Diagramme  $\rm I$  und  $\rm J)$  angegeben, die sich zu  $p/(p^2 + ω_0^2)$  bzw.  $ω_0/(p^2 + ω_0^2)$  ergeben. Hierbei bezeichnet  $ω_0 = 2πf_0 = 2π/T$  die so genannte Kreisfrequenz.
 

===Pol–Nullstellen–Darstellung von Schaltungen===

Ein jedes  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme|lineare zeitinvariante System]]  (LZI), das durch eine Schaltung aus diskreten zeitkonstanten Bauelementen wie Widerständen  $(R)$,  Kapazitäten  $(C)$,  Induktivitäten  $(L)$  und Verstärkerelementen realisiert werden kann, besitzt eine gebrochen–rationale  '''$p$–Übertragungsfunktion''':
:$$H_{\rm L}(p)= \frac {A_Z \cdot p^Z +\text{...} + A_2 \cdot p^2 + A_1 \cdot p + A_0} {B_N \cdot p^N +\text{...} \ + B_2 \cdot p^2 + B_1 \cdot p + B_0}= \frac {Z(p)}{N(p)} \hspace{0.05cm} .$$

Alle Koeffizienten des Zählers   ⇒   $A_Z, \text{...} \ , A_0$  und des Nenners   ⇒   $B_N, \text{...} , B_0$  sind reell. Weiter bezeichnen mit
*$Z$  den Grad des Zählerpolynoms  $Z(p)$,
*$N$  den Grad des Nennerpolynoms  $N(p)$.

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Äquivalente Pol–Nullstellen–Darstellung:}$  
Für die  $p$–Übertragungsfunktion kann auch geschieben werden:
:$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {\prod\limits_{i=1}^Z p - p_{\rm o i} } {\prod\limits_{i=1}^N p - p_{\rm x i} }= K \cdot \frac {(p - p_{\rm o 1})(p - p_{\rm o 2})\cdot \text{...} \ \cdot (p - p_{ {\rm o} \hspace{-0.03cm} Z})} {(p - p_{\rm x 1})(p - p_{\rm x 2})\cdot \text{...} \cdot (p - p_{ {\rm x} \hspace{-0.03cm} N})} \hspace{0.05cm} .$$

Die  $Z + N + 1$  Parameter bedeuten:
*$K = A_Z/B_N$  ist ein konstanter Faktor.   Gilt  $Z = N$, so ist dieser dimensionslos.
*Die Lösungen der Gleichung  $Z(p) = 0$  ergeben die  $Z$  Nullstellen  $p_{\rm o1},\text{...} \ , p_{\rm oZ}$  von  $H_{\rm L}(p)$.
*Die Nullstellen des Nennerpolynoms  $N(p)$  liefern die  $N$  Polstellen (oder kurz Pole). }}

Die Umformung ist eindeutig.  Dies erkennt man daran, dass die  $p$–Übertragungsfunktion gemäß der ersten Gleichung ebenfalls nur durch  $Z + N + 1$  freie Parameter bestimmt ist, da einer der Koeffizienten  $A_Z, \text{...} \ , A_0, B_N, \text{...} \ , B_0$  ohne Änderung des Quotienten auf  $1$  normiert werden kann.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 2:}$ 
Wir betrachten den gezeichneten Vierpol mit einer Induktivität  $L$  $($komplexer Widerstand  $pL)$  im Längszweig sowie im Querzweig die Serienschaltung eines Ohmschen Widerstandes  $R$  und einer Kapazität  $C$  mit dem komplexen Widerstand  $1/(pC)$.

[[Datei:P_ID1759__LZI_T_3_2_S4_neu.png|right|frame|Betrachteter Vierpol und dazugehöriges Pol–Nullstellen–Diagramm|class=fit]]

Damit lautet die  $p$–Übertragungsfunktion  $H_{\rm L}(p)= {Y_{\rm L}(p)}/ {X_{\rm L}(p)}$:
:$$H_{\rm L}(p)= \frac {R + {1}/{(pC)} } {pL + R +{1}/{(pC)} }= \frac {1 + p \cdot{RC} } {1 + p \cdot{RC}+ p^2 \cdot{LC} }
\hspace{0.05cm} .$$
Dividiert man Zähler und Nenner durch  $LC$, so ergibt sich:
:$$H_{\rm L}(p)= \frac {R} {L}\cdot \frac {p + {1}/{(RC)} } {p^2 + {R}/ {L}\cdot p + {1}/{(LC)} }$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {p - p_{\rm o } } {(p - p_{\rm x 1})(p - p_{\rm x 2})}
\hspace{0.05cm} .$$

Für  $R = 50 \ \rm Ω$,  $L = 25\ \rm µ H$  und  $C = 62.5 \ \rm nF$  ergeben sich durch Koeffizientenvergleich folgende Werte der  $H_{\rm L}(p)$–Darstellung::
*die Konstante  $K = R/L = 2 · 10^6 \cdot 1/{\rm s}$,
*die Nullstelle  $p_{\rm o} = -1/(RC) = -0.32 · 10^6 \cdot 1/{\rm s},$
*die beiden Pole  $p_{\rm x1}$  und  $p_{\rm x2}$  als Lösung der Gleichung
:$$p^2 + \frac {R} {L}\cdot p + \frac{1}{LC} = 0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm x 1,\hspace{0.05cm}2 }= -\frac {R} {2L}\pm \sqrt{\frac
{R^2} {4L^2}- \frac{1}{LC} }$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm x 1,\hspace{0.05cm}2 }= -10^6 \cdot {1}/{\rm s} \pm \sqrt{10^{12} \cdot {1} /{\rm s^2}-0.64 \cdot 10^{12} \cdot {1}/ {\rm s^2} }\hspace{0.3cm}
\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm x 1 }= -0.4 \cdot 10^6\cdot {1}/ {\rm s},\hspace{0.2cm}p_{\rm x 2 }= -1.6 \cdot 10^6\cdot {1}/ {\rm s} \hspace{0.05cm} .$$
In der Grafik ist rechts das Pol–Nullstellen–Diagramm angegeben.
*Die beiden Achsen bezeichnen den Real– und den Imaginärteil der Variablen  $p$, jeweils normiert auf den Wert  $10^6 · \rm 1/s\; (= 1/µs)$.
*Man erkennt die Nullstelle bei  $p_{\rm o} =\, –0.32$  als Kreis und die Polstellen bei  $p_{\rm x1} = \,–0.4$  und  $p_{\rm x2} = \,–1.6$  als Kreuze.}}
 

===Eigenschaften der Pole und Nullstellen===

Die Übertragungsfunktion  $H_{\rm L}(p)$  einer jeden realisierbaren Schaltung wird durch  $Z$  Nullstellen und  $N$  Pole zusammen mit einer Konstanten  $K$  vollständig beschrieben, wobei folgende Einschränkungen gelten:
*Es gilt stets  $Z ≤ N$.  Mit  $Z > N$  wäre im Grenzfall für  $p → ∞$  (also für sehr hohe Frequenzen) auch die  $p$–Übertragungsfunktion &bdquo;unendlich groß”.
*Die Nullstellen  $p_{{\rm o}i}$  und die Pole  $p_{ {\rm x}i}$  sind im allgemeinen komplex und weisen wie  $p$  die Einheit  $\rm 1/s$  auf. Gilt  $Z < N$, so besitzt auch die Konstante  $K$  eine Einheit.
*Die Pole und Nullstellen können reell sein, wie im letzten Beispiel gezeigt.  Sind sie komplex, so treten immer zwei konjugiert–komplexe Polstellen bzw. zwei konjugiert–komplexe Nullstellen auf, da  $H_{\rm L}(p)$  stets eine reelle gebrochen–rationale Funktion darstellt.
*Alle Pole liegen in der linken Halbebene oder auf der imaginären Achse (Grenzfall). Diese Eigenschaft ergibt sich aus der erforderlichen und vorausgesetzten Kausalität zusammen mit dem  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Einige_Ergebnisse_der_Funktionentheorie|Hauptsatz der Funktionstheorie]].
*Nullstellen können sowohl in der linken als auch in der rechten  $p$–Halbebene auftreten oder auch auf der imaginären Achse.  Nullstellen in der rechten Halbebene gibt es insbesondere bei Allpässen.

Diese Eigenschaften werden nun an drei Beispielen verdeutlicht.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 3:}$ 
Ausgehend von obiger Vierpolschaltung]]  $(L$  im Längszweig,  $R$  und  $C$  im Querzweig$)$  können die charakteristischen Größen der Übertragungsfunktion wie folgt angegeben werden:
:$$K = 2A, \hspace{0.2cm}p_{\rm x 1,\hspace{0.05cm}2 }= -A \pm \sqrt{A^2-B^2}, \hspace{0.2cm}p_{\rm o }= - \frac{B^2}{2A} \hspace{0.05cm} \hspace{0.2cm} {\rm mit } \hspace{0.2cm} A = \frac {R} {2L}, \hspace{0.2cm}B = \frac{1}{\sqrt{LC} } \hspace{0.05cm}.$$
Die Grafik zeigt drei verschiedene Diagramme mit unterschiedlichen Kapazitätswerten  $C$.  Es gilt stets  $R = 50 \ \rm Ω$  und  $L = 25 \ \rm µ H$.  Die Achsen sind auf die Variable  $A = R/(2L) = 10^6 · \rm 1/s$  normiert.  Der konstante Faktor ist jeweils  $K = 2A = 2 · 10^6 · \rm 1/s.$

[[Datei:P_ID2837__LZI_T_3_2_S5_neu.png|right|frame|Lage der Nullstelle und der Pole für  $Z = 1$  und  $N = 2$|class=fit]]

*'''Links:'''  Für  $B/A < 1$  $($hier $B/A =0.8)$  erhält man  '''zwei reelle Pole'''  und eine Nullstelle rechts von  $-A/2$:
:$$ p_{\rm x 1}/A = -0.4 , \hspace{0.2cm}p_{\rm x 2}/A= -1.6 , \hspace{0.2cm}p_{\rm o}/A= -0.32 \hspace{0.05cm} .$$
*'''Rechts''':  Für  $B/A >1$  $($hier $B/A =\sqrt{5})$  ergeben sich  '''zwei konjugiert–komplexe Pole'''  und eine Nullstelle links von  $-A/2$:
:$$p_{\rm x 1,\hspace{0.05cm}2 }/A= -1\pm {\rm j}\cdot 2,\hspace{0.2cm}p_{\rm o}/A\approx -2.5 \hspace{0.05cm} .$$
*'''Mitte''':  Der Fall  $A = B$  führt zu  '''einer reellen doppelten Polstelle'''  und einer Nullstelle bei  $– A/2$: 
:$$ p_{\rm x 1}/A= p_{\rm x 2}/A= -1, \hspace{0.2cm}p_{\rm o}/A= -0.5 \hspace{0.05cm} .$$

Die Impulsantworten  $h(t)$  ergeben sich entsprechend dem folgenden Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation|Laplace–Rücktransformation]]  wie folgt:
*Bei der linken Konstellation ist  $h(t)$  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Aperiodisch_abklingende_Impulsantwort|aperiodisch abklingend]].
*Bei der rechten Konstellation ist  $h(t)$  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Ged.C3.A4mpft_oszillierende_Impulsantwort|gedämpft oszillierend]].
*Bei der mittleren Konstellation spricht man vom  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Aperiodischer_Grenzfall|aperiodischen Grenzfall]]. }}
 

===Grafische Ermittlung von Dämpfung und Phase===

Gegeben sei die  $p$–Übertragungsfunktion in der Pol–Nullstellen–Notation:
:$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {\prod\limits_{i=1}^Z (p - p_{\rm o i})} {\prod\limits_{i=1}^N (p - p_{\rm x i})}= K \cdot \frac {(p - p_{\rm o 1})(p - p_{\rm o 2})\cdot \text{...} \cdot (p - p_{ {\rm o} \hspace{-0.03cm} Z})} {(p - p_{\rm x 1})(p - p_{\rm x 2})\cdot \text{...} \cdot (p - p_{ {\rm x} \hspace{-0.03cm} N})}
\hspace{0.05cm} .$$
Zum herkömmlichen Frequenzgang  $H(f)$  kommt man, indem man das Argument  $p$  von  $H_{\rm L}(p)$  durch  ${\rm j} \cdot 2πf$  ersetzt:
[[Datei:P_ID1761__LZI_T_3_2_S6_neu.png |right|frame|Ausgangsdiagramm zur Berechnung von Dämpfung und Phase|class=fit]]
:$$H(f)= K \cdot \frac {({\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{\rm o 1})({\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{\rm o 2})\cdot \text{...} \cdot ({\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{ {\rm o} \hspace{-0.03cm} Z})} {({\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{\rm x 1})({\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{\rm x 2})\cdot \text{...}\cdot ({\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{ {\rm x} \hspace{-0.03cm} N})} \hspace{0.05cm} .$$
Wir betrachten nun einen speziellen $p$–Wert und damit eine feste Frequenz $f$.  Die Abstände und Winkel aller Nullstellen beschreiben wir durch Vektoren:

:$$R_{ {\rm o} i} = {\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{ {\rm o} i}= |R_{{\rm o} i}| \cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j}\hspace{0.03cm}\cdot\hspace{0.03cm}\phi_{ {\rm o} i} },
\hspace{0.3cm}i= 1, \text{...}\ , Z \hspace{0.05cm} .$$
In gleicher Weise gehen wir für die Polstellen vor:
:$$R_{ {\rm x} i} = {\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{ {\rm x} i}= |R_{ {\rm x} i}| \cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j}\hspace{0.03cm}\cdot\hspace{0.03cm}\phi_{ {\rm x} i} }, \hspace{0.3cm}i= 1, \text{...}\ , N \hspace{0.05cm} .$$

Die Grafik zeigt die Beträge und Phasenwinkel für ein System
*mit  $Z = 2$  Nullstellen in der rechten Halbebene
*und  $N = 2$  Polstellen in der linken Halbebene.

Zu berücksichtigen ist zudem die Konstante $K$.

Mit dieser Vektordarstellung kann für den Frequenzgang geschrieben werden:
:$$H(f)= K \cdot \frac {|R_{ {\rm o} 1}| \cdot |R_{ {\rm o} 2}|\cdot ... \cdot |R_{ {\rm o} \hspace{-0.03cm} Z}|} {|R_{ {\rm x} 1}| \cdot |R_{ {\rm x} 2}|\cdot \text{...} \cdot |R_{ {\rm x} \hspace{-0.03cm} N}|} \cdot {\rm e^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot [ \phi_{ {\rm o} 1}\hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}\phi_{ {\rm o} 2} \hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}\hspace{0.1cm}\text{...}. \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm}\phi_{ {\rm o} \hspace{-0.03cm}{\it Z}}\hspace{0.1cm}- \hspace{0.1cm}\phi_{ {\rm x} 1}\hspace{0.1cm}- \hspace{0.1cm}\phi_{ {\rm x} 2} \hspace{0.1cm}- \hspace{0.1cm}... \hspace{0.1cm}
- \hspace{0.1cm} \phi_{ {\rm x} \hspace{-0.03cm}{\it N} }]} } \hspace{0.05cm} .$$

Stellt man  $H(f)$  durch die Dämpfungsfunktion  $a(f)$  und die Phasenfunktion  $b(f)$  nach der allgemein gültigen Beziehung  $H(f) = {\rm e}^{-a(f)\hspace{0.05cm}- \hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}b(f)}$  dar, so erhält man durch den Vergleich mit der obigen Gleichung das folgende Ergebnis:
*Bei geeigneter Normierung aller dimensionsbehafteten Größen gilt für die Dämpfung in Neper  $(1 \ \rm Np$ entspricht $8.686 \ \rm dB)$:
:$$a(f) = -{\rm ln} \hspace{0.1cm} K + \sum \limits_{i=1}^N {\rm ln} \hspace{0.1cm} |R_{ {\rm x} i}|- \sum \limits_{i=1}^Z {\rm ln} \hspace{0.1cm} |R_{ {\rm o} i}| \hspace{0.05cm} .$$
*Die Phasenfunktion in Radian $\rm (rad)$ ergibt sich entsprechend der oberen Skizze zu
:$$b(f) = \phi_K + \sum \limits_{i=1}^N \phi_{ {\rm x} i}- \sum \limits_{i=1}^Z \phi_{ {\rm o} i}\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.2cm} \phi_K = \left\{ \begin{array}{c} 0 \\ \pi \end{array} \right. \begin{array}{c} {\rm{f\ddot{u}r} } \\ {\rm{f\ddot{u}r} } \end{array}\begin{array}{*{20}c} { K > 0\hspace{0.05cm},} \\ { K <0\hspace{0.05cm}.} \end{array}$$

[[Datei:P_ID1762__LZI_T_3_2_S6b_neu.png |right|frame| Zur Berechnung der Dämpfungs– und Phasenfunktion (Bildschirmabzug einer früheren Version von &bdquo;Kausale Systeme & Laplace–Transformation”)|class=fit]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 4:}$ 
Die Grafik verdeutlicht die Berechnung
*der Dämpfungsfunktion  $a(f)$   ⇒   roter Kurvenverlauf,  und
*der Phasenfunktion  $b(f)$   ⇒   grüner Kurvenverlauf

eines Vierpols, der durch den Faktor  $K = 1.5$, eine Nullstelle bei  $-3$  und zwei Pole bei  $–1 \pm {\rm j} · 4$  festliegt.

Wie im Applet verwenden wir auch in diesem Beispiel die normierte Frequenz $f\hspace{0.05cm}'=(2\pi T)\cdot f$.  Der Zeitnormierungswert sei  $T=1$.

Die angegebenen Zahlenwerte gelten für die Frequenz $f\hspace{0.05cm}' = 3$.  Die Herleitung dieser Zahlenwerte ist im umrahmten Block verdeutlicht:
:$$a \big (f\hspace{0.05cm}' = {3} \big ) = a \big [f = {3}/({2\pi T}) \big ] = 0.453\,\,{\rm Np}= 3.953\,\,{\rm dB}$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.4cm}\big \vert H \big (f\hspace{0.05cm}' = {3} \big )\big \vert = 0.636,$$
:$$ b\big (f\hspace{0.05cm}' = {3} \big ) = -8.1^\circ \hspace{0.05cm} .$$

Für den Betragsfrequenzgang   $\vert H(f)\vert$   ⇒   blauer Kurvenverlauf ergibt sich ein bandpassähnlicher Verlauf mit
:$$\vert H(f = 0)\vert \approx 0.25\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}
\vert H(f = {4}/(2\pi T)\vert \approx 0.637\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}
\vert H(f \rightarrow \infty)\vert= 0 \hspace{0.05cm} .$$}}
 

===Laplace–Rücktransformation und Residuensatz===

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Aufgabenstellung:}$  Dieses Kapitel behandelt das folgende Problem:
*Bekannt ist die  $p$–Spektralfunktion  $Y_{\rm L}(p)$  in der Pol–Nullstellen–Form.
*Gesucht ist die  '''Laplace–Rücktransformierte''', also die dazugehörige Zeitfunktion  $y(t)$, wobei folgende Notation gelten soll:
:$$y(t) = {\rm L}^{-1}\{Y_{\rm L}(p)\}\hspace{0.05cm} , \hspace{0.3cm}{\rm kurz}\hspace{0.3cm}
y(t) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}\rm L}\!\!\!-\!\!\bullet\quad Y_{\rm L}(p)\hspace{0.05cm} .$$}}

Im Gegensatz zu den  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|Fourierintegralen]], die sich in den beiden Transformationsrichtungen nur geringfügig unterscheiden, ist bei &bdquo;Laplace” die Berechnung von  $y(t)$  aus  $Y_{\rm L}(p)$ – also die Rücktransformation –
*sehr viel schwieriger als die Berechnung von  $Y_{\rm L}(p)$  aus  $y(t)$,
*auf elementarem Weg nicht oder nur sehr umständlich lösbar.

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definition:}$ 
Allgemein gilt für die  '''Laplace–Rücktransformation''':
:$$y(t) = {\rm L}^{-1}\{Y_{\rm L}(p)\}= \lim_{\beta \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}\infty} \hspace{0.15cm} \frac{1}{ {\rm j} \cdot 2 \pi}\cdot \int_{ \alpha - {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi \beta } ^{\alpha+{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi \beta} Y_{\rm L}(p) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}\hspace{0.1cm}{\rm
d}p \hspace{0.05cm} .$$
*Die Integration erfolgt parallel zur imaginären Achse.
*Der Realteil  $α$  ist so zu wählen, dass alle Pole links vom Integrationsweg liegen.}}

Die linke Grafik verdeutlicht dieses Linienintegral entlang der rot gepunkteten Vertikalen  ${\rm Re}\{p\}= α$.  Lösbar ist dieses Integral mit dem  [https://de.wikipedia.org/wiki/Lemma_von_Jordan Jordanschen Lemma der Funktionstheorie].  Hier folgt nur eine sehr kurze und einfache Zusammenfassung der Vorgehensweise:

[[Datei:P_ID1777__LZI_T_3_3_S2_neu.png |right|frame| Linienintegral sowie linkes und rechtes Kreisintegral]]
*Das Linienintegral kann gemäß der Skizze in zwei Kreisintegrale aufgeteilt werden.  Alle Polstellen liegen im linken Kreisintegral.  Das rechte Kreisintegral darf nur Nullstellen beinhalten.
*Das rechte Kreisintegral liefert die Zeitfunktion  $y(t)$  für negative Zeiten.  Aufgrund der Kausalität muss  $y(t < 0)$  identisch Null sein, was aber nach dem Hauptsatz der Funktionstheorie nur dann zutrifft, wenn es in der rechten  $p$–Halbebene keine Pole gibt.
*Das Integral über den linken Halbkreis liefert die Zeitfunktion für  $t ≥ 0$.  Dieses umschließt alle Polstellen und ist mit dem Residuensatz in (relativ) einfacher Weise berechenbar, wie im Folgenden gezeigt wird.

Es wird weiterhin vorausgesetzt, dass die Übertragungsfunktion  $Y_{\rm L}(p)$  in Pol–Nullstellen–Form durch den konstanten Faktor  $K$,  die  $Z$  Nullstellen  $p_{{\rm o}i}$  $(i = 1$, ... , $Z)$  und die  $N$  Polstellen  $p_{{\rm x}i}$  $(i = 1$, ... , $N$)  dargestellt werden kann. Wir setzen zudem  $Z < N$  voraus.

Die Anzahl der unterscheidbaren Pole bezeichnen wir mit  $I$.  Zur Bestimung von  $I$  werden mehrfache Pole nur einfach gezählt.  So gilt für die obige Skizze aufgrund einer doppelten Polstelle:   $N = 5$  und  $I = 4$.

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Residuensatz:}$ 
Unter den genannten Voraussetzungen ergibt sich die  '''Laplace–Rücktransformierte'''  von  $Y_{\rm L}(p)$  für Zeiten  $t ≥ 0$  als die Summe von  $I$  Eigenschwingungen der Pole, die man als die  '''Residuen'''  – abgekürzt mit „Res” – bezeichnet:
:$$y(t) = \sum_{i=1}^{I}{\rm Res} \bigg \vert _{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}_i}} \hspace{-0.7cm}\{Y_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t}\} \hspace{0.05cm} .$$

Da  $Y_{\rm L}(p)$  nur für kausale Signale angebbar ist, gilt für negative Zeiten stets  $y(t < 0) = 0$.

*Für einen Pol der Vielfachheit  $l$  gilt allgemein:
:$${\rm Res} \bigg \vert _{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x}_i} } \hspace{-0.7cm}\{Y_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p t}\}= \frac{1}{(l-1)!}\cdot \frac{ {\rm d}^{\hspace{0.05cm}l-1} }{ {\rm d}p^{\hspace{0.05cm}l-1} }\hspace{0.15cm} \left \{Y_{\rm L}(p)\cdot (p - p_{ {\rm x}_i})^{\hspace{0.05cm}l}\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t}\right\} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x}_i} } \hspace{0.05cm} .$$
*Als Sonderfall ergibt sich daraus mit  $l = 1$  für einen einfachen Pol:
:$${\rm Res} \bigg\vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x}_i} } \hspace{-0.7cm}\{Y_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p t}\}= Y_{\rm L}(p)\cdot (p - p_{ {\rm x}_i} )\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \bigg \vert _{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x}_i} } \hspace{0.05cm} .$$}}
 
===Drei Beispiele zur Anwendung des Residuensatzes bei zwei Polen===

Nun wird der Residuensatz anhand dreier ausführlicher Beispiele verdeutlicht, die mit den drei Konstellationen im obigen  $\text{Beispiel 3}$  im Kapitel &bdquo;Laplace–Transformation” korrespondieren:
*Wir betrachten also wieder den Vierpol mit einer Induktivität  $L = 25 \ \rm µH$  im Längszweig sowie im Querzweig die Serienschaltung aus einem Ohmschen Widerstand  $R = 50 \ \rm Ω$  und einer Kapazität  $C$.  Für Letztere betrachten wir wieder drei verschiedene Werte, nämlich  $C = 62.5 \ \rm nF$,  $C = 8 \ \rm nF$ und  $C = 40 \ \rm nF$.
*Vorausgesetzt ist zudem stets  $x(t) = δ(t) \; ⇒ \; X_{\rm L}(p) = 1$   ⇒   $Y_{\rm L}(p) = H_{\rm L}(p)$   ⇒   $y(t)$  ist gleich der Impulsantwort  $h(t)$.

[[Datei: P_ID1772__LZI_T_3_3_S3a_kurz.png |right|frame| Aperiodisch aklingende Impulsantwort]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 5: Aperiodisch abklingende Impulsantwort:}$ 

Mit  $C = 62.5 \ \rm nF$  erhält man für die   $p$–Übertragungsfunktion:
:$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {p - p_{\rm o } } {(p - p_{\rm x 1} )(p - p_{\rm x 2}) }= 2 \cdot \frac {p + 0.32 }
{(p +0.4)(p +1.6 )} \hspace{0.05cm} .$$

Beachten Sie bitte die vorgenommene Normierung von  $p$,  $K$ sowie aller Pole und Nullstellen mit dem Faktor  ${\rm 10^6} · 1/\rm s$.

Die Impulsantwort setzt sich aus  $I = N = 2$  Eigenschwingungen zusammen. Für $t < 0$  sind diese gleich Null.
*Das Residium des Pols bei  $p_{\rm x1} =\ –0.4$  liefert die Zeitfunktion:
:$$h_1(t) = {\rm Res} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x}1} } \hspace{-0.7cm}\{H_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p t}\}= H_{\rm L}(p) \cdot {\rm e}^{p t} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}1}} = $$
:$$\hspace{1.05cm}= 2 \cdot \frac {p + 0.32 } {p +0.4}\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}-0.4}= - \frac {2 } {15}\cdot {\rm e}^{-0.4 \hspace{0.05cm} t} \hspace{0.05cm}. $$

*In gleicher Weise kann das Residium des zweiten Pols bei  $p_{\rm x2} = \ –1.6$  berechnet werden:
:$$h_2(t) = {\rm Res} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x}2} } \hspace{-0.7cm}\{H_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p t}\}= H_{\rm L}(p) \cdot {\rm e}^{p t} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}2}}=$$
:$$\hspace{1.05cm}= 2 \cdot \frac {p + 0.32 } {p +1.6}\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}-1.6}=\frac {32 } {15}\cdot {\rm e}^{-1.6 \hspace{0.05cm} t} \hspace{0.05cm}.$$

Die Grafik zeigt  $h_1(t)$  und  $h_2(t)$  sowie das Summensignal  $h(t)$.  Berücksichtigt ist der Normierungsfaktor  $1/T = 10^6 · \rm 1/s$  ⇒   die Zeit ist auf  $T = 1 \ \rm µ s$  normiert.
*Für  $t =0$  ergibt sich  $T \cdot h(t=0) = 32/15-2= 2 \hspace{0.05cm}$. 
*Für Zeiten  $t > 2 \ \rm µ s$  ist die Impulsantwort negativ  (wenn auch nur geringfügig und in der Grafik nur schwer zu erkennen).}}
 
[[Datei:P_ID1780__LZI_T_3_3_S3b_kurz.png |right|frame| Gedämpft oszillierende Impulsantwort]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 6: Gedämpft oszillierende Impulsantwort:}$ 

Die Bauelementewerte  $R = 50 \ \rm Ω$,  $L = 25 \ \rm µ H$ und  $C = 8 \ \rm nF$ ergeben zwei konjugiert komplexe Pole bei  $p_{{\rm x}1} = \ –1 + {\rm j} · 2$  und  $p_{{\rm x}2} = \ –1 - {\rm j} · 2$.  Die Nullstelle liegt bei  $p_{\rm o} = \ –2.5$. Es gilt  $K = 2$  und alle Zahlenwerte sind wieder mit dem Faktor  $1/T$  zu multiplizieren $(T = 1\ \rm µ s$).

Wendet man den Residuensatz auf diese Konfiguration an, so erhält man:
:$$h_1(t) = \text{ ...} = K \cdot \frac {p_{\rm x 1} - p_{\rm o }} {p_{\rm x 1} - p_{\rm x 2}}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 1} \cdot \hspace{0.05cm}t} 2 \cdot \frac {1.5 + {\rm j}\cdot 2} {{\rm j}\cdot 4}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 1} \cdot\hspace{0.05cm}t}$$

:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h_1(t) = \frac {3 + {\rm j}\cdot 4} {{\rm j}\cdot 4}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 1} \cdot\hspace{0.05cm}t}= (1 - {\rm j}\cdot 0.75)\cdot {\rm
e}^{-t}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2t} \hspace{0.05cm} ,$$
:$$ h_2(t) = \text{ ...} = K \cdot \frac {p_{\rm x 2} - p_{\rm o }} {p_{\rm x 2} - p_{\rm x 1}}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 2} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}= 2 \cdot \frac {1.5 - {\rm j}\cdot 2} {-{\rm j}\cdot 4}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 2} \hspace{0.03cm}\cdot\hspace{0.05cm}t} $$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h_2(t) = (1 + {\rm j}\cdot 0.75)\cdot {\rm e}^{-t}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2t} \hspace{0.05cm} . $$

Mit dem  [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Satz von Euler]]  ergibt sich somit für das Summensignal:
:$$h(t) = h_1(t) + h_2(t)= {\rm e}^{-t}\cdot \big [ (1 - {\rm j}\cdot 0.75)\cdot (\cos(2t) + {\rm j}\cdot \sin(2t))+
(1 + {\rm j}\cdot 0.75)\cdot (\cos(2t) - {\rm j}\cdot \sin(2t))\big ]$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h(t) ={\rm e}^{-t}\cdot \big [ 2\cdot \cos(2t) + 1.5 \cdot \sin(2t)\big ]\hspace{0.05cm} . $$

Die Grafik zeigt die nun mit  ${\rm e}^{–t}$  gedämpft oszillierende Impulsantwort  $h(t)$  für diese Pol–Nullstellen–Konfiguration.}}
 

[[Datei:P_ID1774__LZI_T_3_3_S3c_kurz.png |right|frame| Impulsantwort und Sprungantwort des aperiodischen Grenzfalls]]

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 7: Aperiodischer Grenzfall:}$ 

Der Kapazitätswert  $C = 40 \ \rm nF$  ist der kleinstmögliche Wert, für den sich gerade noch reelle Polstellen ergeben.  Diese fallen zusammen, das heißt  $p_{\rm x} = \ –1$  ist eine doppelte Polstelle. 
:$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {p - p_{\rm o } } {(p - p_{\rm x })^2}= 2 \cdot \frac {p + 0.5 } { (p +1)^2} \hspace{0.05cm} .$$

Die Zeitfunktion lautet somit entsprechend dem Residuensatz mit  $l = 2$:
:$$h(t) = {\rm Res} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x} } } \hspace{-0.7cm}\{H_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p t}\} $$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} h(t) = \frac{ {\rm d} }{ {\rm d}p}\hspace{0.15cm}
\left \{H_{\rm L}(p)\cdot (p - p_{ {\rm x} })^2\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t}\right\} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x} } }$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} h(t) = K \cdot \frac{ {\rm d} }{ {\rm d}p}\hspace{0.15cm}\left \{ (p - p_{ {\rm o} })\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t}\right\} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x} } } \hspace{0.05cm} .$$

Mit der ''Produktregel''  der Differentialrechnung ergibt sich daraus:
:$$h(t) = K \cdot \left [ {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} + (p - p_{ {\rm o} })\cdot t \cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \right ] \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}-1} = {\rm e}^{-t}\cdot \left ( 2 - t \right)
\hspace{0.05cm} .$$

Die Grafik zeigt diese Impulsantwort (grüne Kurve) in normierter Darstellung.  Sie unterscheidet sich von derjenigen in  $\text{Beispiel 5}$  mit den beiden unterschiedlichen Polen bei  $-0.4$  und  $-1.6$  nur geringfügig.

Die rot gezeichnete Sprungantwort  $\sigma(t) = 1 - {\rm e}^{-t} + t \cdot {\rm e}^{-t}$  ergibt sich, wenn man am Eingang zusätzlich eine Sprungfunktion berücksichtigt.  Zu deren Berechnung kann man alternativ

*bei der Residuenberechnung einen zusätzlichen Pol bei  $p = 0$   (rot markiert) berücksichtigen,
*oder das Integral über die Impulsantwort  $h(t)$  bilden.}}
 
===Partialbruchzerlegung===

Voraussetzung für die Anwendung des Residuensatzes ist, dass es weniger Nullstellen als Pole gibt   ⇒   $Z$  muss stets kleiner als  $N$  sein.

Gilt dagegen wie bei einem Hochpass  $Z = N$, so
*ist der Grenzwert der Spektralfunktion für großes  $p$  ungleich Null,
*beinhaltet das zugehörige Zeitsignal  $y(t)$  auch einen  [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Diracimpuls|Diracimpuls]],
*versagt der Residuensatz und es ist eine ''Partialbruchzerlegung''  vorzunehmen.

{{BlaueBox|TEXT=
Man geht hierbei wie folgt vor:
# Partialbruchzerlegung:  $Y(p) = K + Q(p)$,
# Diskreter Anteil der Zeitfunktion:  $y_{\rm disk}(t)=K \cdot \delta(y)$   ⇒   Dirac bei  $y=0$  mit Gewicht  $K$,
# Kontinuierlicher Anteil der Zeitfunktion:  $y_{\rm kont}(t)$  gemäß  $Q(p)= K - Y(p)$.}}

Die Vorgehensweise soll beispielhaft für einen Hochpass erster Ordnung verdeutlicht werden.  Anstelle von  $Y(p)$  und  $y(t)$  verwenden wir deshalb  $H(p)$  und  $h(t)$.

[[Datei:P_ID1775__LZI_T_3_3_S5_neu.png |right|frame| Impulsantwort von Tiefpass (blau) und Hochpass (rot)]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 8:}$ 
Die  $p$–Übertragungsfunktion eines Hochpasses erster Ordnung mit  $p_{\rm x}=-1$  und  $K=H(p \to \infty) = 1$  kann durch Abspaltung der Konstanten  $K$  wie folgt umgewandelt werden:
:$$H_{\rm HP}(f) = \frac{p}{p + 1} = 1- \frac{1}{p +1}\hspace{0.05cm} .$$
Damit lautet die Hochpass–Impulsantwort:
:$$h_{\rm HP}(t) = \delta(t) - h_{\rm TP}(t) \hspace{0.05cm} .$$

Die Grafik zeigt
*als rote Kurve die Hochpass–Impulsantwort  $h_{\rm HP}(t)$,
* als blaue Kurve die Impulsantwort  $h_{\rm TP}(t)$  des äquivalenten Tiefpasses.

Die Diracfunktion ist die Laplace–Transformierte des konstanten Wertes $1$. Der kontinuierliche Anteil  $h_{\rm kont}(t)=-h_{\rm TP}(t)$  ergibt sich mit  $Q(p) = 1/(p+1)$  nach dem Residuensatz.

Noch ein zweites numerisches Beispiel, hier mit  $K=2$:

:$$H_{\rm HP}(f) = \frac{2\cdot (p+1)(p-1)}{(p + 2)^2}\ \Rightarrow \ Q(p) = 2- \frac{2\cdot (p+1)(p-1)}{(p + 2)^2}= \frac{2\cdot (p + 2)^2 - 2\cdot (p^2-1)}{(p + 2)^2} = \frac{8\cdot (p + 1.25)}{(p + 2)^2}.$$
}}

==Versuchsdurchführung==
 
*Wählen Sie zunächst die Nummer  $(1,\ 2$, ... $)$  der zu bearbeitenden Aufgabe.  Die Nummer  $0$  entspricht einem &bdquo;Reset”:  Einstellung wie beim Programmstart.
*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt.  Die Parameterwerte sind angepasst.  Lösung nach Drücken von &bdquo;Musterlösung”.
*Analysieren Sie bei allen Aufgaben die dargestellen Grafiken im Frequenzbereich  ⇒   &bdquo;$(f)$”  und/oder Zeitbereich  ⇒   &bdquo;$(t)$”.
*Für die normierte Zeit gilt  $t\hspace{0.05cm}'=t/T$  und für die normierte Frequenz  $f\hspace{0.05cm}'=(2\pi T)\cdot f$.  Die Ordinaten im Frequenzbereich sind  $Y(f\hspace{0.05cm}')$  und im Zeitbereich  $y(t\hspace{0.05cm}')$. 
*Ein diracförmiges Eingangssignal   ⇒   $X_{\rm L}(p) =1$  beschreibt ein LZI–System mit der Impulsantwort  $h(t\hspace{0.05cm}')$  und dem Frequenzgang   $H(f\hspace{0.05cm}')$.
*Eine Sprungfunktion am Eingang   ⇒   $X_{\rm L}(p) =1/p$  wird am Ausgang durch die Sprungantwort  $\sigma(t\hspace{0.05cm}')$  und deren Spektralfunktion  ${\it \Sigma}(f\hspace{0.05cm}')$  charakterisiert.
 

{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''   Interpretieren Sie die Grafiken  &bdquo;$(f)$”  und  &bdquo;$(t)$”  gemäß  $\text{Satz 1:}\ K = 1, \ Z = 0,\ N= 1,\ p_{\rm x1} = -1$.  Was ändert sich nach Variation von  $p_{\rm x1}$? }}

* &bdquo;$(t)$”  zeigt die Exponentialfunktion  $y(t\hspace{0.05cm}')$:  Maximum  $y(t\hspace{0.05cm}' = 0) = 1$,  Abfallzeitkonstante  $T\hspace{0.05cm}' =1$.  &bdquo;$(f)$”  beschreibt das zugehörige komplexe Spektrum  $Y(f\hspace{0.05cm}')$.
*Mit  $p_{\rm x1} = -2$:  Steilerer  Abfall  $(T\hspace{0.05cm}' =0.5)$,  gleicher Maximalwert.  $|Y(f\hspace{0.05cm}')|$ ist nun halb so hoch und doppelt so breit:  $|Y(f\hspace{0.05cm}'=0)|=0.5$,  $|Y(f\hspace{0.05cm}'=3.5)|\approx 0.25$.
*Nähert sich  $p_{\rm x1}\to 0$  dem Nullwert von links immer mehr an, so wird  $T\hspace{0.05cm}'$  immer größer.  Im Grenzfall  $p_{\rm x1} \to 0$  ergibt sich die Sprungfunktion:  $y(t\hspace{0.05cm}') \equiv 1$  für  $t\hspace{0.05cm}' \ge 0$.
*Mit  $p_{\rm x1}> 0$  steigt das Zeitsignal von  $y(t\hspace{0.05cm}'=0)=1$  bis ins Unendliche.  Eine solche Konstellation kann es bei einem realisierbaren System nicht geben.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''   Es gelten weiter die Einstellungen gemäß  $\text{Satz 1}$.  Interpretieren Sie aber nun die Grafiken für ein LZI–System und ermitteln Sie dessen Kenngrößen.          
Betrachten Sie insbesondere den Gleichsignalübertragungsfaktor  $\vert H(f\hspace{0.05cm}'= 0)\vert$  und die 3dB–Grenzfrequenz.  Variieren Sie die Parameter  $p_{\rm x1}$  und  $K$.}}

*Entsprechend der  &bdquo;$(f)$”–Grafik handelt es sich um einen Tiefpass   ⇒   $H(f\hspace{0.05cm}') \to H_{\rm TP}(f\hspace{0.05cm}')$  und zwar mit dem Gleichsignalübertragungsfaktor   $|H_{\rm TP}(f\hspace{0.05cm}'= 0)| = 1$. 
*Die normierte 3dB–Grenzfrequenz ist diejenige Frequenz, bei der  $\vert H_{\rm TP}(f\hspace{0.05cm}')\vert$  um den Faktor $1/\sqrt{2}$  kleiner ist als das Maximum:  $f_{\rm 3\hspace{0.05cm} dB}\hspace{0.05cm}' = 1$   ⇒   $f_{\rm 3\hspace{0.05cm} dB} = 1/(2πT)$.
*Bei  $p_{\rm x1}= -2$  ist diese Größe doppelt so groß:  $f_{\rm 3\hspace{0.10cm} dB}\hspace{0.05cm}' = 2$.  Um wieder  $|H(f\hspace{0.05cm}'= 0)| = 1$  zu erreichen, ist zusätzlich  $K= 2$  anzupassen.
*Für die Herleitung der hier verwendeten Gleichungen verweisen wir auf das  $\text{Beispiel 1}$  im Theorieteil.  Man bezeichnet das Filter als '''Tiefpass erster Ordnung'''.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''   Nun gelte  $K=1$  und  $p_{\rm x1}= -2.$  Welchen Verlauf hat das Ausgangssignal  $y(t\hspace{0.05cm}')$,  wenn am Eingang eine Sprungfunktion anliegt   ⇒   $X_{\rm L}(p) =1/p$. }}

*Die  &bdquo;$(t)$”–Grafik zeigt die exponentiell abfallende Impulsantwort  $h(t\hspace{0.05cm}')$  ⇒   das Ausgangssignal  $y(t\hspace{0.05cm}')$  für eine Diracfunktion am Eingang.
*Bei anderem Eingangssignal  $x(t\hspace{0.05cm}')$  erhält man das Ausgangssignal  $y(t\hspace{0.05cm}')$  durch dessen Faltung mit  $h(t\hspace{0.05cm}')$.  Oder mit den  $p\hspace{0.05cm}$–Funktionen:  $Y_{\rm L}(p)= X_{\rm L}(p) \cdot H_{\rm L}(p)$.
*Für die Sprungfunktion gilt:  $X_{\rm L}(p)= 1/p$   ⇒   $Y_{\rm L}(p)= K/\big [(p-p_{\rm x1}) \cdot p\big ]$   ⇒   Die Einstellung  $N= 2,\ p_{\rm x1} = -1, \ p_{\rm x2} = 0 $  liefert die Sprungantwort  $\sigma(t\hspace{0.05cm}')$.
*Die  &bdquo;$(t)$”–Grafik zeigt die exponentiell ansteigende Sprungantwort  $\sigma(t\hspace{0.05cm}')$.  Für  $K=1$  ist der Endwert gleich  $\sigma(t\hspace{0.05cm}' \to \infty) = 0.5$.  Mit  $K=2$  gilt  $\sigma(t\hspace{0.05cm}'\to \infty) = 1$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''   Interpretieren Sie die Grafiken für die Einstellung  $K = 1, \ Z = 1, \ p_{\rm o1} = 0, \ N= 1,\ p_{\rm x1} = -2$.  Welcher Unterschied ergibt sich gegenüber  $Z=0$? }}

*Mit  $Z=0$:  Tiefpass 1. Ordnung mit  $H_{\rm TP}(p)= 1/(p+2)$   ⇒   $H_{\rm TP}(f\hspace{0.05cm}'= 0)= 0.5$,  $H_{\rm TP}(f\hspace{0.05cm}'\to \infty)= 0$,  $h_{\rm TP}(t\hspace{0.05cm}')= {\rm e}^{-2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm}'}$  für  $t\hspace{0.05cm}'\ge 0$.  Siehe  $(2)$  und  $(3)$.
*Mit  $Z=1$:  Hochpass 1. Ordnung mit  $H_{\rm HP}(p)= p/(p+2)$   ⇒   $H_{\rm HP}(f\hspace{0.05cm}'= 0)= 0$,  $H_{\rm HP}(f\hspace{0.05cm}'\to \infty)= 1$.  Da  $Z=N$:  $h_{\rm TP}(t\hspace{0.05cm}')$  erst nach Partialbruchzerlegung:
*$H_{\rm HP}(p)= p/(p+2) = 1- 2/(p+2)$  führt zur Impulsantwort  $h_{\rm HP}(t\hspace{0.05cm}')= \delta(t\hspace{0.05cm}') - 2 \cdot{\rm e}^{-2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm}'}= \delta(t\hspace{0.05cm}') - 2 \cdot h_{\rm TP}(t\hspace{0.05cm}')$  ⇒   $\text{zusätzliche Diracfunktion}$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''   Wie lautet die Sprungantwort  $\sigma_{\rm HP}(t\hspace{0.05cm}')$  des in  $(4)$  behandelten Hochpasses  $H_{\rm HP}(p)= p/(p+2)$? }}

*Die zugehörige  $p\hspace{0.05cm}$–Spektralfunktion lautet:  ${\it \Sigma}_{\rm HP}(p) =X_{\rm L}(p) \cdot H_{\rm HP}(p)= 1/p \cdot p/(p+2) = 1/(p+2)=H_{\rm TP}(p) $  ⇒   $\sigma_{\rm HP}(t\hspace{0.05cm}')= {\rm e}^{-2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm}'}$  für  $t\hspace{0.05cm}'\ge 0$.
*Die Nullstelle  $p_{\rm o1}=0$  und die Polstelle  $p_{\rm x2}=0$  heben sich gegenseitig auf.  Deshalb ergibt sich das gleiche Zeitsignal wie in  $(3)$.
*Sie müssen also folgende Einstellung wählen:  $K = 1, \ Z = 1, \ p_{\rm o1} = 0, \ N= 2,\ p_{\rm x1} = -2,\ p_{\rm x2} = 0$.
*Die Zeitfunktion springt bei  $t\hspace{0.05cm}' =0$  sofort auf  $1$  $($der HP beeinflusst den Sprung nicht$)$  und fällt dann exponentiell auf  $0$  ab  $($der HP sperrt jedes Gleichsignal$)$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''   Nun gelte folgende Einstellung:  $K = 1, \ Z = 0, \ N= 1,\ p_{\rm x1} = -5 \cdot {\rm j}$.  Liegt ein realisierbares System vor?  Welchen Verlauf hat die Impulsantwort  $h(t\hspace{0.05cm}')$?          
Wie ändert sich die Impulsanwort mit  $ p_{\rm x1} = -0.1 -5 \cdot {\rm j}$  bzw. mit  $ p_{\rm x1} = +0.1 -5 \cdot {\rm j}$ ? }}

*Der Frequenzgang hat bei  $f\hspace{0.05cm}'= -5$  eine Unendlichkeitstelle.  Es ist aber kein diracförmiger Verlauf, da außerhalb nicht  $H(f\hspace{0.05cm}' \ne -5) \equiv 0$  gilt.
*Die Impulsantwort ist eine komplexe Exponentialfunktion   ⇒   $\text{das System ist nicht realisierbar}$.  $h(t\hspace{0.05cm}')={\rm e}^{-5 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm}'}$  dreht mathematisch negativ (im Uhrzeigersinn).
*Mit  $p_{\rm x1}= \pm 5 \cdot {\rm j}$  beträgt die normierte Periodendauer  $T_0\hspace{0.05cm}'= 2\pi/5 \approx 1.256$.  Es gilt also   $h(t\hspace{0.05cm}'=T_0\hspace{0.05cm}')= h(t\hspace{0.05cm}'=0)= 1.$
*Bei  ${\rm Re}\hspace{0.05cm}[p_{\rm x1}] \ne 0$  klingt die komplexe Exponentialfunktion kontinuierlich ab  $({\rm Re}\hspace{0.05cm}[p_{\rm x1}] < 0)$  bzw. kontinuierlich an  $({\rm Re}\hspace{0.05cm}[p_{\rm x1}] > 0)$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(7)'''   Wie ändert sich die  &bdquo;$(t)$”–Grafik, wenn man den Imaginärteil von  $p_{\rm x1}$  verändert:  $p_{\rm x1}= -5 \cdot {\rm j}$,  $p_{\rm x1}= -2 \cdot {\rm j}$,  $p_{\rm x1}= 0 $,  $p_{\rm x1}= +2 \cdot {\rm j}$,  $p_{\rm x1}= +5 \cdot {\rm j}$.}}

*Bei positivem Imaginärteil von  $p_{\rm x1}$  dreht  $h(t\hspace{0.05cm}')$  stets in mathematisch positiver Richtung (entgegen dem Uhrzeigersinn),  bei negativem Imaginärteil im Uhrzeigersinn.
*Die normierte Periodendauer  $T_0\hspace{0.05cm}'= 2\pi/5 \approx 1.256$  gilt für  $p_{\rm x1}= \pm5 \cdot {\rm j}$  gleichermaßen und  $T_0\hspace{0.05cm}'= 2\pi/2 \approx 3.14$  gilt für  $p_{\rm x1}= \pm2 \cdot {\rm j}$.
*Für  $p_{\rm x1}= 0$  ergibt sich die  $p$–Übertragungsfunktion  $H_{\rm L}(p)=1/p$.  Daraus folgt die Sprungfunktion:   $h(t\hspace{0.05cm}') \equiv 1$  für  $t\hspace{0.05cm}' \ge 0$  und  $h(t\hspace{0.05cm}') \equiv 0$  für  $t\hspace{0.05cm}' < 0$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(8)'''   Interpretieren Sie die Grafiken  &bdquo;$(t)$”  und  &bdquo;$(f)$”  gemäß  $\text{Satz 2:}\ K = 1, \ Z = 1,\ p_{\rm o1} =0, \ N= 2,\ p_{\rm x1} = +5 \cdot {\rm j}, \ p_{\rm x2} = -5 \cdot {\rm j}$. }}

*Es ergibt sich das &bdquo;kausale” Cosinussignal  $h_{\rm cos}(t\hspace{0.05cm}')$  mit Amplitude  $1$  und der normierten Periodendauer  $T_0\hspace{0.05cm}'= 2\pi/5 \approx 1.256$. 
*Die  $p\hspace{0.05cm}$–Spektralfunktion lautet nämlich:  $H_{\rm cos}(p)= p/(p^2 +25)$.  Gemäß der angegebenen Laplacetabelle ist die dazugehörige Zeitfunktion der &bdquo;kausale Cosinus”.
*Während die Spektralfunktion des herkömmlichen Cosinus aus zwei Diracs mit reellen Gewichten besteht, gilt beim kausalen Cosinus  $|H(f(\hspace{0.05cm}')| \ne 0$  für alle  $f\hspace{0.05cm}'$.
*Aus  $b(f\hspace{0.05cm}')=\pm 90^\circ$  im gesamten Bereich erkennt man zudem, dass hier  $H(f\hspace{0.05cm}')$  imaginär ist.  Sprungartige Phasenänderungen gibt es bei  $f\hspace{0.05cm}' = 0$  sowie  $f\hspace{0.05cm}' = \pm 5$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(9)'''   Durch welche Parameteränderungen kommt man zum &bdquo;kausalen Sinus”    ⇒   $h_{\rm sin}(t\hspace{0.05cm}')$  gleicher Frequenz und gleicher Amplitude  $1$? }}

*Man kommt vom Cosinus zum Sinus durch Integration.  Das heißt:   $H_{\rm sin}(p)= H_{\rm cos}(p) \cdot H_{\rm Sprung}(p)= p/(p^2 +25) \cdot 1/p= 1/(p^2 +25)$   ⇒   $Z=0$  statt  $Z=1$.
*Allerdings ist damit die Amplitude des resultierenden Sinussignal zu klein.  Deshalb muss für  $p_{\rm x} = \pm 5 \cdot {\rm j}$  noch der konstante Faktor angepasst werden:  $K=5$.
*Beim kausalen Sinus ist  $H(f\hspace{0.05cm}')$  im gesamten Bereich reell, ebenfalls im Gegensatz zum herkömmlichen Sinus. Es gilt also entweder  $b(f\hspace{0.05cm}')=0^\circ$  oder  $b(f\hspace{0.05cm}')=180^\circ$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(10)'''   Interpretieren Sie die Grafiken  &bdquo;$(f)$”  und  &bdquo;$(t)$”  für  $\text{Satz 3:} \ K = 2, \ Z = 1, \ p_{\rm o1} = -2.5, \ N= 2,\ p_{\rm x1} = -1-2 \cdot {\rm j}, \ p_{\rm x2} = -1+2 \cdot {\rm j}$.             Was ändert sich mit der Nullstelle  $p_{\rm o1} = 0$? }}

*Der Frequenzgang ist gekennzeichnet durch die Werte  $|H(f\hspace{0.05cm}'= 0)|= 1$,  $|H(f\hspace{0.05cm}'|= 2)\approx 1.55$  (etwa das Maximum) und  $|H(f\hspace{0.05cm}' \to \infty)|\to 0$.
*Bei der Impulsantwort  $h(t\hspace{0.05cm}')$  handelt es sich um eine gedämpft oszillierende Schwingung, die im  $\text{Beispiel 6}$  analytisch berechnet wurde.
*Mit  $p_{\rm o1} = 0$  ist  $|H(f\hspace{0.05cm}'= 0)|\equiv 0$,  und das Maximum   $|H(f\hspace{0.05cm}'= 2)\approx 1|$  liegt etwas tiefer bei gleicher Frequenz.  Der Zeitbereich wird von  $p_{\rm o1}$  nur wenig beeinflusst.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(11)'''   Interpretieren Sie die Grafiken  &bdquo;$(f)$”  und  &bdquo;$(t)$”  für  $\text{Satz 4:} \ K = 2, \ Z = 1, \ p_{\rm o1} = -0.5, \ N= 2,\ p_{\rm x1} = p_{\rm x2} = -1$.             Was ändert sich mit der Nullstelle  $p_{\rm o1} = 0$  und was mit der Einstellung  $Z=0$? }}

*Bei der Impulsantwort  $h(t\hspace{0.05cm}')$  gemäß  $\text{Satz 4}$  handelt es sich um den aperiodischen Grenzfall, der im  $\text{Beispiel 7}$  exakt berechnet wurde.
*Verschiebt man bei  $Z=1$  die Nullstelle zu  $p_{\rm o1} = 0$, so fällt   $h(t\hspace{0.05cm}')$  schneller ab und auch der nachfolgende Unterschwinger ist sehr viel ausgeprägter.
*Dagegen ergibt sich mit  $Z=0$  ein Tiefpass zweiter Ordnung, dessen Impulsantwort aus der vorne angegebenen Laplace-Tabelle entnommen werden kann.
*Aus der  &bdquo;$(f)$”–Grafik erkennt man:  $Z=0$  ergibt einen Tiefpass und  $Z=1,p_{\rm o1} = 0$  einen Bandpass:  $|H(f\hspace{0.05cm}'= 0)|\equiv 0$,  $|H(f\hspace{0.05cm}'= 1)|\approx 1$,  $|H(f\hspace{0.05cm}'\to \infty)|\equiv 0$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(12)'''   Interpretieren Sie die Grafiken  &bdquo;$(f)$”  und  &bdquo;$(t)$”  für  $\text{Satz 5:} \ K = 2, \ Z = 1, \ p_{\rm o1} = -0.3, \ N= 2,\ p_{\rm x1} = -0.4, \ p_{\rm x2} = -1.6$.             Was bewirkt ein weiterer Pol bei  $p_{\rm x3} = 0$? }}

* Die Grafiken zeigen ähnliches wie im  $\text{Satz 4}$.  Im  &bdquo;$(f)$”–Bereich erkennt man für  $f\hspace{0.05cm}' \approx 0.5$  eine leichte Überhöhung gegenüber  $|H(f\hspace{0.05cm}'= 0)|\approx 0.937$.
*$h(t\hspace{0.05cm}')$  ist eine aperiodisch abklingende Impulsantwort, die im  $\text{Beispiel 5}$  analytisch berechnet wurde  $($allerdings mit  $p_{\rm o1}= 0.32$  statt mit  $p_{\rm o1}= 0.3)$.
*Durch den weiteren Pol bei  $p_{\rm x3} = 0$  liefert der Zeitbereich statt der Impulsantwort  $h(t\hspace{0.05cm}')$  nun die Sprungantwort  $\sigma(t\hspace{0.05cm}')$,  die sich aus  $h(t\hspace{0.05cm}')$  durch Integration ergibt.
*Ausgehend von  $\sigma(t\hspace{0.05cm}'=0) \equiv 0$  steigt die Zeitfunktion bis  $\sigma(t\hspace{0.05cm}'=2)\approx 1.07$  an und fällt dann wieder ab bis auf  $\sigma(t\hspace{0.05cm}' \to \infty) = |H(f\hspace{0.05cm}'= 0)|\approx 0.937$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(13)'''   Wählen Sie nun die Konfiguarion  $K = 1, \ Z = 2, \ p_{\rm o1} = p_{\rm o2} = 0, \ N= 2,\ p_{\rm x1} = p_{\rm x2} = -2$.  Welches System liegt vor?  Wie lautet die Übertragungsfunktion?             Was ändert sich mit der Nullstelle  $p_{\rm o1} = 0$  und was mit der Einstellung  $Z=0$? }}

*Es handelt sich um einen Hochpass mit  $H_{\rm HP}(p)= p^2/(p+2)^2$.  Der vergleichbare Tiefpass ist  $H_{\rm TP}(p)= 4/(p+2)^2$.  Es gilt  $H_{\rm HP}(p) = 1- H_{\rm TP}(p)$.
*Aus den  &bdquo;$(f)$”–Grafiken:  $|H_{\rm HP}(f\hspace{0.05cm}'= 0)|=|H_{\rm TP}(f\hspace{0.05cm}'\to \infty)|= 0$,  $|H_{\rm HP}(f\hspace{0.05cm}'= 2)|= |H_{\rm TP}(f\hspace{0.05cm}'= 2)|=0.5$,  $|H_{\rm HP}(f\hspace{0.05cm}'\to \infty)|= |H_{\rm TP}(f\hspace{0.05cm}'= 0)|=1$.
*Die Impulsantwort  $h_{\rm HP}(t\hspace{0.05cm}')$  kann wegen $Z=N=2$  nicht direkt mit dem Residuensatz berechnet werden.  Man benötigt vorher eine Partialbruchzerlegung.
*Es gilt nämlich auch:  $H_{\rm HP}(p)= p^2/(p+2)^2 = 1- 4 \cdot (p+1)/(p+2)^2$   ⇒   Impulsantwort  $h_{\rm HP}(t\hspace{0.05cm}') = \delta(t\hspace{0.05cm}')- 4\cdot h_{\hspace{0.05cm}\rm TP,\hspace{0.05cm}1}(t\hspace{0.05cm}')$.
*$h_{\rm HP}(t\hspace{0.05cm}')$  beinhaltet neben einem Dirac als zeitkontinuierlichen Anteil die vierfache negative Impulsantwort des Tiefpasses  $H_{\rm TP,\hspace{0.05cm}1}(p)= (p+1)/(p+2)^2$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(14)'''   Betrachten Sie die  &bdquo;$(f)$”–Grafik für  $\text{Satz 6:} \ \ K = 1, \ Z = 3, \ p_{\rm o1} = 2 + 2 {\rm j}, \ p_{\rm o2} = 2 - 2 {\rm j},\ p_{\rm o3} = 1, \ N= 3,\ p_{\rm x1} = -2 + 2 {\rm j}, \ p_{\rm x2} = -2 - 2 {\rm j},\ p_{\rm x3} = -1$.             Wie lässt sich die charakteristische Eigenschaft dieses Systems mit den Parameterwerten  $Z=4$  und  $N=4$  erfüllen? }}

* Hier gilt für alle Frequenzen  $|H(f\hspace{0.05cm}')| = 1$   ⇒   keine einzige Frequenz wird gedämpft   ⇒   $a(f\hspace{0.05cm}') = 0\hspace{0.15cm} {\rm dB}$.  Die Phasenfunktion  $b(f\hspace{0.05cm}')$  ist dagegen frequenzabhängig.
*Diese Eigenschaften ergeben sich aus der Symmetrie der Nullstellen (in rechter  $p$–Hälfte)  zu den Polen (links der imaginären Achse), alle reell oder konjugiert–komplex.
*Für  $Z=N=4$  kommt jeweils ein weiterer reeller Pol und eine weitere reelle Nullstelle dazu, zum Beispiel  $p_{\rm o4} = 2,\ p_{\rm x4} = -2$.

==Zur Handhabung des Programms==
[[Datei:Exercise_Frequenzgang_1.png|right|frame|Bildschirmabzug (englische Version, heller Hintergrund) '''Korrektur mit Grafikabzug''']]
    '''(A)'''     Theme (veränderbare grafische Oberflächengestaltung)
:* Dark:   schwarzer Hintergrund  (wird von den Autoren empfohlen)
:* Bright:   weißer Hintergrund  (empfohlen für Beamer und Ausdrucke)
:* Deuteranopia:   für Nutzer mit ausgeprägter Grün–Sehschwäche
:* Protanopia:   für Nutzer mit ausgeprägter Rot–Sehschwäche

    '''(B)'''     Vorauswahl für den Frequenzgang  $H_1(f)$  (rote Kurve)

    '''(C)'''     Parameterfestlegung für  $H_1(f)$ 

    '''(D)'''     Numerikausgabe für  $H_1(f_*)$  und  $h_1(t_*)$

    '''(E)'''     Vorauswahl für den Frequenzgang  $H_2(f)$  (blaue Kurve)

    '''(F)'''     Parameterfestlegung für  $H_2(f)$ 

    '''(G)'''     Numerikausgabe für  $H_2(f_*)$  und  $h_2(t_*)$

    '''(H)'''     Einstellung der Frequenz  $f_*$  für die Numerikausgabe

    '''(I)'''      Einstellung der Zeit  $t_*$  für die Numerikausgabe

    '''(J)'''     Bereich der graphischen Darstellung im Frequenzbereich

    '''(K)'''     Bereich der graphischen Darstellung im Zeitbereich

    '''(L)'''     Auswahl der Aufgabe entsprechend der Aufgabennummer

    '''(M)'''     Aufgabenbeschreibung und Fragestellung

    '''(N)'''     Musterlösung anzeigen und verbergen

'''Details zu den obigen Punkten  (J ) und  (K)'''

Zoom–Funktionen:        &bdquo;$+$” (Vergrößern),      &bdquo;$-$” (Verkleinern),      &bdquo;$\rm o$” (Zurücksetzen)

Verschiebe–Funktionen:     &bdquo;$\leftarrow$”     &bdquo;$\uparrow$”     &bdquo;$\downarrow$”     &bdquo;$\rightarrow$”         &bdquo;$\leftarrow$”  bedeutet:     Bildausschnitt nach links, Ordinate nach rechts

Andere Möglichkeiten:

*Bei gedrückter Shifttaste und Scrollen kann im Koordinatensystem gezoomt werden.
*Bei gedrückter Shifttaste und gedrückter linker Maustaste kann das Koordinatensystem verschoben werden.
 

==Über die Autoren==
Dieses interaktive Berechnungstool wurde am  [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]  der  [https://www.tum.de/ Technischen Universität München]  konzipiert und realisiert.
*Die erste Version wurde 2008 von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Thomas_Pfeuffer_.28Diplomarbeit_LB_2005.29|Thomas Pfeuffer]]  im Rahmen seiner Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX–Actionscript” erstellt  (Betreuer:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
*2021 wurde das Programm von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit  (Betreuer:  [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]])  auf &bdquo;HTML5” umgesetzt und neu gestaltet.

==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==
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Applets:Kausale Systeme und Laplacetransformation

2023-04-24T13:02:14Z

Nagi:

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==Programmbeschreibung==
 

Dargestellt werden reelle und symmetrische Tiefpässe  $H(f)$  und die dazugehörigen Impulsantworten  $h(t)$, nämlich
*Gauß–Tiefpass  (englisch:  ''Gaussian low–pass''),
*Rechteck–Tiefpass   (englisch:  ''Rectangular low–pass''),
*Dreieck–Tiefpass  (englisch:  ''Triangular low–pass''),
*Trapez–Tiefpass  (englisch:  ''Trapezoidal low–pass''),
*Cosinus–Rolloff–Tiefpass  (englisch:  ''Cosine-rolloff low–pass''),
*Cosinus-Quadrat-Tiefpass  (englisch:  ''Cosine-rolloff -squared Low–pass'').

Es ist zu beachten:
* Die Funktionen  $H(f)$  bzw.  $h(t)$  werden für bis zu zwei Parametersätzen in jeweils einem Diagramm dargestellt.
* Die roten Kurven und Zahlenangaben gelten für den linken Parametersatz, die blauen für den rechten Parametersatz.
* Die Abszissen  $t$  (Zeit) und  $f$  (Frequenz) sowie die Ordinaten  $H(f)$  und  $h(t)$  sind jeweils normiert.

== English Description==

Real and symmetric low-passes  $H(f)$  and the corresponding impulse responses  $h(t)$, viz.
*Gaussian low-pass ,
*Rectangular low-pass ,
*Triangular low-pass ,
*Trapezoidal low-pass ,
*Cosine–rolloff low-pass ,
*Cosine-rolloff-squared low-pass .

It should be noted:
* The functions  $H(f)$  and  $h(t)$  respectively, are plotted for up to two sets of parameters in one graph each.
* The red curves and numbers apply to the left parameter set, the blue ones to the right parameter set.
* The abscissas  $t$  (time) and  $f$  (frequency) as well as the ordinates  $H(f)$  and  $h(t)$  are normalized in each case.

==Theoretischer Hintergrund==
 
===Betrachtetes Systemmodell===

Wir betrachten ein lineares zeitinvariantes System mit der Impulsantwort  $h(t)$, an dessen Eingang das Signal  $x(t)$  anliegt.  Das Ausgangssignal  $y(t)$  ergibt sich dann als das Faltungsprodukt  $x(t) ∗ h(t)$.

Bei akausalen Systemen und Signalen muss zur Spektralbeschreibung stets das  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|erste Fourierintegral]]  angewendet werden, und es gilt für das Ausgangsspektrum:
[[Datei:P_ID1757__LZI_T_3_2_S1_neu.png |right|frame| Allgemeines (auch akausales) sowie kausales Systemmodell|class=fit]]

:$$Y(f) = X(f) \cdot H(f) \hspace{0.05cm}.$$
Das Fourierintegral besitzt auch für kausale Systeme und Signale weiterhin Gültigkeit, also für
:$$x(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm} t<0\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} h(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm} t<0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} y(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm} t<0 \hspace{0.05cm}.$$

In diesem Fall ergeben sich aber durch Anwendung der Laplace–Transformation unter Beachtung gewisser Restriktionen wesentliche Vorteile:
*Die so behandelten Systeme sind stets durch eine Schaltung realisierbar.  Der Entwickler kommt nicht in Versuchung, realitätsfremde Lösungen anzubieten.
*Die Laplace–Transformierte  $X_{\rm L}(p)$  ist stets eine reelle Funktion der Spektralvariablen  $p$.  Dass sich  $p = {\rm j} · 2πf$  aus der Multiplikation der physikalischen Kreisfrequenz  $ω = 2πf$  mit der imaginären Einheit  $\rm j$  ergibt, spielt für den Anwender keine Rolle.
*Die implizite Bedingung  $x(t) = 0$  für  $t < 0$  erlaubt speziell die einfachere Analyse des Einschwingverhaltens nach Einschaltvorgängen als mit dem Fourierintegral.
 

===Definition der Laplace–Transformation===

Ausgehend vom  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|ersten Fourierintegral]],
:$$X(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} { x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f t}}\hspace{0.1cm}{\rm d}t,$$
ergibt sich bei kausaler Zeitfunktion   ⇒   $x(t) = 0 \ \ \text{für} \ \ t < 0$ 
mit der formalen Substitution  $p = {\rm j} · 2πf$  direkt die Laplace–Transformation:

:$$X_{\rm L}(p) = \int_{0}^{\infty} { x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-p t} }\hspace{0.1cm}{\rm d}t\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}{\rm kurz}\hspace{0.3cm} X_{\rm L}(p) \quad \bullet\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}\rm L}\!\!\!-\!\!\circ\quad x(t)\hspace{0.05cm}.$$

*Der Zusammenhang zwischen der Laplace–Transformierten  $X_{\rm L}(p)$  und dem physikalischen Spektrum  $X(f)$  ist häufig wie folgt gegeben:

:$$X(f) = X_{\rm L}(p) \Bigg |_{{\hspace{0.1cm} p\hspace{0.05cm}={\rm \hspace{0.05cm} j\hspace{0.05cm}2\pi \it f}}}.$$

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 1:}$ 
Wir gehen von der einseitig exponentiell abfallenden Zeitfunktion  $x(t) ={\rm e}^{-t/T}$  für  $t > 0$  gemäß der Skizze  $\rm F$  in der unteren Tabelle aus.  Damit lautet die Laplace–Transformierte:
:$$X_{\rm L}(p) = \int_{0}^{\infty} {\rm e}^{-t/T} \cdot {\rm e}^{-pt} \hspace{0.1cm}{\rm d}t= \frac {1}{p + 1/T} \cdot {{\rm e}^{-(p+1/T) \hspace{0.08cm}\cdot \hspace{0.08cm}t}}\hspace{0.15cm}\Bigg \vert_{t \hspace{0.05cm}=\hspace{0.05cm} 0}^{\infty}= \frac {1}{p + 1/T} \hspace{0.05cm} .$$
Mit  $p = {\rm j} · 2πf$  erhält man die herkömmliche Spektralfunktion bezüglich $f$:
:$$X(f) = \frac {1}{{\rm j \cdot 2\pi \it f} + 1/T} = \frac {T}{1+{\rm j \cdot 2\pi \it fT}} \hspace{0.05cm} .$$
Betrachtet man dagegen den Frequenzgang eines Tiefpasses erster Ordnung, dessen Impulsantwort  $h(t)$  sich gegenüber der obigen Zeitfunktion  $x(t)$  um den Faktor  $1/T$  unterscheidet, so gilt für die Laplace–Transformierte bzw. die Fourier–Transformierte:
:$$H_{\rm L}(p)= \frac {1/T}{p + 1/T}= \frac {1}{1 + p \cdot T} \hspace{0.05cm} , \hspace{0.8cm}H(f) = \frac {1}{1+{\rm j \cdot 2\pi \it fT} } = \frac {1}{1+{\rm j} \cdot f/f_{\rm G} } \hspace{0.05cm} .$$
Häufig verwendet man dann wie in dieser Gleichung anstelle des Parameters  $T$  die 3dB–Grenzfrequenz  $f_{\rm 3\hspace{0.15cm} dB} = 1/(2πT)$.}}
 
===Einige wichtige Laplace–Korrespondenzen===

[[Datei:P_ID1758__LZI_T_3_2_S3.png |right|frame| Tabelle mit einigen Laplace-Transformierten|class=fit]]

Hier sind einige wichtige Laplace–Korrespondenzen zusammengestellt.  Alle Zeitsignale  $x(t)$  seien dimensionslos.  Deshalb besitzt  $X_{\rm L}(p)$  dann als Integral über die Zeit stets die Einheit „Sekunde”.

*Die Laplace–Transformierte der  [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Diracimpuls|Diracfunktion]]  $δ(t)$  ist  $X_{\rm L}(p) = 1$  $($Diagramm $\rm A)$. 
*Durch Anwendung des  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Integrationssatz|Integrationssatzes]]  erhält man  $X_{\rm L}(p) = 1/p$  für die Sprungfunktion  $γ(t)$  $($Diagramm $\rm B)$.
* Aus dieser wird durch Multiplikation mit  $1/(pT)$  die Laplace–Transformierte der linear ansteigenden Funktion  $x(t) = t/T$  für  $t > 0$  $($Diagramm $\rm C)$.

*Das  [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Rechteckimpuls|Rechteck]]  kann aus der Subtraktion zweier um  $T$  versetzter Sprungfunktionen  $γ(t)$  und  $γ(t – T)$  erzeugt werden. Mit dem  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatz]]:  $X_{\rm L}(p) = (1 – {\rm e}^{–pT})/p$  ergibt  $($Diagramm $\rm D)$.
*Durch Integration erhält man die Rampe bzw. nach Multiplikation mit  $1/(pT)$  deren Laplace–Transformierte  $($Diagramm $\rm E)$.

*Die Exponentialfunktion  $($Diagramm $\rm F)$ wurde bereits im  $\text{Beispiel 1}$  betrachtet.  Mit dem Faktor  $1/T$  ist diese gleichzeitig die Impulsantwort eines Tiefpasses erster Ordnung.
*Durch Quadrierung erhält man die  $p$–Spektralfunktion eines Tiefpasses  $2.$ Ordnung und  $x(t) = t/T · {\rm e}^{–t/T}$ (Diagramm  $\rm G$).

*Neben der kausalen  $\rm si$–Funktion  $($Diagramm $\rm H)$  sind in der Tabelle auch die Laplace–Transformierten der kausalen Cosinus– und Sinusfunktion  $($Diagramme  $\rm I$  und  $\rm J)$  angegeben, die sich zu  $p/(p^2 + ω_0^2)$  bzw.  $ω_0/(p^2 + ω_0^2)$  ergeben. Hierbei bezeichnet  $ω_0 = 2πf_0 = 2π/T$  die so genannte Kreisfrequenz.
 

===Pol–Nullstellen–Darstellung von Schaltungen===

Ein jedes  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme|lineare zeitinvariante System]]  (LZI), das durch eine Schaltung aus diskreten zeitkonstanten Bauelementen wie Widerständen  $(R)$,  Kapazitäten  $(C)$,  Induktivitäten  $(L)$  und Verstärkerelementen realisiert werden kann, besitzt eine gebrochen–rationale  '''$p$–Übertragungsfunktion''':
:$$H_{\rm L}(p)= \frac {A_Z \cdot p^Z +\text{...} + A_2 \cdot p^2 + A_1 \cdot p + A_0} {B_N \cdot p^N +\text{...} \ + B_2 \cdot p^2 + B_1 \cdot p + B_0}= \frac {Z(p)}{N(p)} \hspace{0.05cm} .$$

Alle Koeffizienten des Zählers   ⇒   $A_Z, \text{...} \ , A_0$  und des Nenners   ⇒   $B_N, \text{...} , B_0$  sind reell. Weiter bezeichnen mit
*$Z$  den Grad des Zählerpolynoms  $Z(p)$,
*$N$  den Grad des Nennerpolynoms  $N(p)$.

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Äquivalente Pol–Nullstellen–Darstellung:}$  
Für die  $p$–Übertragungsfunktion kann auch geschieben werden:
:$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {\prod\limits_{i=1}^Z p - p_{\rm o i} } {\prod\limits_{i=1}^N p - p_{\rm x i} }= K \cdot \frac {(p - p_{\rm o 1})(p - p_{\rm o 2})\cdot \text{...} \ \cdot (p - p_{ {\rm o} \hspace{-0.03cm} Z})} {(p - p_{\rm x 1})(p - p_{\rm x 2})\cdot \text{...} \cdot (p - p_{ {\rm x} \hspace{-0.03cm} N})} \hspace{0.05cm} .$$

Die  $Z + N + 1$  Parameter bedeuten:
*$K = A_Z/B_N$  ist ein konstanter Faktor.   Gilt  $Z = N$, so ist dieser dimensionslos.
*Die Lösungen der Gleichung  $Z(p) = 0$  ergeben die  $Z$  Nullstellen  $p_{\rm o1},\text{...} \ , p_{\rm oZ}$  von  $H_{\rm L}(p)$.
*Die Nullstellen des Nennerpolynoms  $N(p)$  liefern die  $N$  Polstellen (oder kurz Pole). }}

Die Umformung ist eindeutig.  Dies erkennt man daran, dass die  $p$–Übertragungsfunktion gemäß der ersten Gleichung ebenfalls nur durch  $Z + N + 1$  freie Parameter bestimmt ist, da einer der Koeffizienten  $A_Z, \text{...} \ , A_0, B_N, \text{...} \ , B_0$  ohne Änderung des Quotienten auf  $1$  normiert werden kann.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 2:}$ 
Wir betrachten den gezeichneten Vierpol mit einer Induktivität  $L$  $($komplexer Widerstand  $pL)$  im Längszweig sowie im Querzweig die Serienschaltung eines Ohmschen Widerstandes  $R$  und einer Kapazität  $C$  mit dem komplexen Widerstand  $1/(pC)$.

[[Datei:P_ID1759__LZI_T_3_2_S4_neu.png|right|frame|Betrachteter Vierpol und dazugehöriges Pol–Nullstellen–Diagramm|class=fit]]

Damit lautet die  $p$–Übertragungsfunktion  $H_{\rm L}(p)= {Y_{\rm L}(p)}/ {X_{\rm L}(p)}$:
:$$H_{\rm L}(p)= \frac {R + {1}/{(pC)} } {pL + R +{1}/{(pC)} }= \frac {1 + p \cdot{RC} } {1 + p \cdot{RC}+ p^2 \cdot{LC} }
\hspace{0.05cm} .$$
Dividiert man Zähler und Nenner durch  $LC$, so ergibt sich:
:$$H_{\rm L}(p)= \frac {R} {L}\cdot \frac {p + {1}/{(RC)} } {p^2 + {R}/ {L}\cdot p + {1}/{(LC)} }$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {p - p_{\rm o } } {(p - p_{\rm x 1})(p - p_{\rm x 2})}
\hspace{0.05cm} .$$

Für  $R = 50 \ \rm Ω$,  $L = 25\ \rm µ H$  und  $C = 62.5 \ \rm nF$  ergeben sich durch Koeffizientenvergleich folgende Werte der  $H_{\rm L}(p)$–Darstellung::
*die Konstante  $K = R/L = 2 · 10^6 \cdot 1/{\rm s}$,
*die Nullstelle  $p_{\rm o} = -1/(RC) = -0.32 · 10^6 \cdot 1/{\rm s},$
*die beiden Pole  $p_{\rm x1}$  und  $p_{\rm x2}$  als Lösung der Gleichung
:$$p^2 + \frac {R} {L}\cdot p + \frac{1}{LC} = 0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm x 1,\hspace{0.05cm}2 }= -\frac {R} {2L}\pm \sqrt{\frac
{R^2} {4L^2}- \frac{1}{LC} }$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm x 1,\hspace{0.05cm}2 }= -10^6 \cdot {1}/{\rm s} \pm \sqrt{10^{12} \cdot {1} /{\rm s^2}-0.64 \cdot 10^{12} \cdot {1}/ {\rm s^2} }\hspace{0.3cm}
\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm x 1 }= -0.4 \cdot 10^6\cdot {1}/ {\rm s},\hspace{0.2cm}p_{\rm x 2 }= -1.6 \cdot 10^6\cdot {1}/ {\rm s} \hspace{0.05cm} .$$
In der Grafik ist rechts das Pol–Nullstellen–Diagramm angegeben.
*Die beiden Achsen bezeichnen den Real– und den Imaginärteil der Variablen  $p$, jeweils normiert auf den Wert  $10^6 · \rm 1/s\; (= 1/µs)$.
*Man erkennt die Nullstelle bei  $p_{\rm o} =\, –0.32$  als Kreis und die Polstellen bei  $p_{\rm x1} = \,–0.4$  und  $p_{\rm x2} = \,–1.6$  als Kreuze.}}
 

===Eigenschaften der Pole und Nullstellen===

Die Übertragungsfunktion  $H_{\rm L}(p)$  einer jeden realisierbaren Schaltung wird durch  $Z$  Nullstellen und  $N$  Pole zusammen mit einer Konstanten  $K$  vollständig beschrieben, wobei folgende Einschränkungen gelten:
*Es gilt stets  $Z ≤ N$.  Mit  $Z > N$  wäre im Grenzfall für  $p → ∞$  (also für sehr hohe Frequenzen) auch die  $p$–Übertragungsfunktion &bdquo;unendlich groß”.
*Die Nullstellen  $p_{{\rm o}i}$  und die Pole  $p_{ {\rm x}i}$  sind im allgemeinen komplex und weisen wie  $p$  die Einheit  $\rm 1/s$  auf. Gilt  $Z < N$, so besitzt auch die Konstante  $K$  eine Einheit.
*Die Pole und Nullstellen können reell sein, wie im letzten Beispiel gezeigt.  Sind sie komplex, so treten immer zwei konjugiert–komplexe Polstellen bzw. zwei konjugiert–komplexe Nullstellen auf, da  $H_{\rm L}(p)$  stets eine reelle gebrochen–rationale Funktion darstellt.
*Alle Pole liegen in der linken Halbebene oder auf der imaginären Achse (Grenzfall). Diese Eigenschaft ergibt sich aus der erforderlichen und vorausgesetzten Kausalität zusammen mit dem  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Einige_Ergebnisse_der_Funktionentheorie|Hauptsatz der Funktionstheorie]].
*Nullstellen können sowohl in der linken als auch in der rechten  $p$–Halbebene auftreten oder auch auf der imaginären Achse.  Nullstellen in der rechten Halbebene gibt es insbesondere bei Allpässen.

Diese Eigenschaften werden nun an drei Beispielen verdeutlicht.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 3:}$ 
Ausgehend von obiger Vierpolschaltung]]  $(L$  im Längszweig,  $R$  und  $C$  im Querzweig$)$  können die charakteristischen Größen der Übertragungsfunktion wie folgt angegeben werden:
:$$K = 2A, \hspace{0.2cm}p_{\rm x 1,\hspace{0.05cm}2 }= -A \pm \sqrt{A^2-B^2}, \hspace{0.2cm}p_{\rm o }= - \frac{B^2}{2A} \hspace{0.05cm} \hspace{0.2cm} {\rm mit } \hspace{0.2cm} A = \frac {R} {2L}, \hspace{0.2cm}B = \frac{1}{\sqrt{LC} } \hspace{0.05cm}.$$
Die Grafik zeigt drei verschiedene Diagramme mit unterschiedlichen Kapazitätswerten  $C$.  Es gilt stets  $R = 50 \ \rm Ω$  und  $L = 25 \ \rm µ H$.  Die Achsen sind auf die Variable  $A = R/(2L) = 10^6 · \rm 1/s$  normiert.  Der konstante Faktor ist jeweils  $K = 2A = 2 · 10^6 · \rm 1/s.$

[[Datei:P_ID2837__LZI_T_3_2_S5_neu.png|right|frame|Lage der Nullstelle und der Pole für  $Z = 1$  und  $N = 2$|class=fit]]

*'''Links:'''  Für  $B/A < 1$  $($hier $B/A =0.8)$  erhält man  '''zwei reelle Pole'''  und eine Nullstelle rechts von  $-A/2$:
:$$ p_{\rm x 1}/A = -0.4 , \hspace{0.2cm}p_{\rm x 2}/A= -1.6 , \hspace{0.2cm}p_{\rm o}/A= -0.32 \hspace{0.05cm} .$$
*'''Rechts''':  Für  $B/A >1$  $($hier $B/A =\sqrt{5})$  ergeben sich  '''zwei konjugiert–komplexe Pole'''  und eine Nullstelle links von  $-A/2$:
:$$p_{\rm x 1,\hspace{0.05cm}2 }/A= -1\pm {\rm j}\cdot 2,\hspace{0.2cm}p_{\rm o}/A\approx -2.5 \hspace{0.05cm} .$$
*'''Mitte''':  Der Fall  $A = B$  führt zu  '''einer reellen doppelten Polstelle'''  und einer Nullstelle bei  $– A/2$: 
:$$ p_{\rm x 1}/A= p_{\rm x 2}/A= -1, \hspace{0.2cm}p_{\rm o}/A= -0.5 \hspace{0.05cm} .$$

Die Impulsantworten  $h(t)$  ergeben sich entsprechend dem folgenden Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation|Laplace–Rücktransformation]]  wie folgt:
*Bei der linken Konstellation ist  $h(t)$  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Aperiodisch_abklingende_Impulsantwort|aperiodisch abklingend]].
*Bei der rechten Konstellation ist  $h(t)$  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Ged.C3.A4mpft_oszillierende_Impulsantwort|gedämpft oszillierend]].
*Bei der mittleren Konstellation spricht man vom  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Aperiodischer_Grenzfall|aperiodischen Grenzfall]]. }}
 

===Grafische Ermittlung von Dämpfung und Phase===

Gegeben sei die  $p$–Übertragungsfunktion in der Pol–Nullstellen–Notation:
:$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {\prod\limits_{i=1}^Z (p - p_{\rm o i})} {\prod\limits_{i=1}^N (p - p_{\rm x i})}= K \cdot \frac {(p - p_{\rm o 1})(p - p_{\rm o 2})\cdot \text{...} \cdot (p - p_{ {\rm o} \hspace{-0.03cm} Z})} {(p - p_{\rm x 1})(p - p_{\rm x 2})\cdot \text{...} \cdot (p - p_{ {\rm x} \hspace{-0.03cm} N})}
\hspace{0.05cm} .$$
Zum herkömmlichen Frequenzgang  $H(f)$  kommt man, indem man das Argument  $p$  von  $H_{\rm L}(p)$  durch  ${\rm j} \cdot 2πf$  ersetzt:
[[Datei:P_ID1761__LZI_T_3_2_S6_neu.png |right|frame|Ausgangsdiagramm zur Berechnung von Dämpfung und Phase|class=fit]]
:$$H(f)= K \cdot \frac {({\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{\rm o 1})({\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{\rm o 2})\cdot \text{...} \cdot ({\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{ {\rm o} \hspace{-0.03cm} Z})} {({\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{\rm x 1})({\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{\rm x 2})\cdot \text{...}\cdot ({\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{ {\rm x} \hspace{-0.03cm} N})} \hspace{0.05cm} .$$
Wir betrachten nun einen speziellen $p$–Wert und damit eine feste Frequenz $f$.  Die Abstände und Winkel aller Nullstellen beschreiben wir durch Vektoren:

:$$R_{ {\rm o} i} = {\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{ {\rm o} i}= |R_{{\rm o} i}| \cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j}\hspace{0.03cm}\cdot\hspace{0.03cm}\phi_{ {\rm o} i} },
\hspace{0.3cm}i= 1, \text{...}\ , Z \hspace{0.05cm} .$$
In gleicher Weise gehen wir für die Polstellen vor:
:$$R_{ {\rm x} i} = {\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{ {\rm x} i}= |R_{ {\rm x} i}| \cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j}\hspace{0.03cm}\cdot\hspace{0.03cm}\phi_{ {\rm x} i} }, \hspace{0.3cm}i= 1, \text{...}\ , N \hspace{0.05cm} .$$

Die Grafik zeigt die Beträge und Phasenwinkel für ein System
*mit  $Z = 2$  Nullstellen in der rechten Halbebene
*und  $N = 2$  Polstellen in der linken Halbebene.

Zu berücksichtigen ist zudem die Konstante $K$.

Mit dieser Vektordarstellung kann für den Frequenzgang geschrieben werden:
:$$H(f)= K \cdot \frac {|R_{ {\rm o} 1}| \cdot |R_{ {\rm o} 2}|\cdot ... \cdot |R_{ {\rm o} \hspace{-0.03cm} Z}|} {|R_{ {\rm x} 1}| \cdot |R_{ {\rm x} 2}|\cdot \text{...} \cdot |R_{ {\rm x} \hspace{-0.03cm} N}|} \cdot {\rm e^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot [ \phi_{ {\rm o} 1}\hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}\phi_{ {\rm o} 2} \hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}\hspace{0.1cm}\text{...}. \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm}\phi_{ {\rm o} \hspace{-0.03cm}{\it Z}}\hspace{0.1cm}- \hspace{0.1cm}\phi_{ {\rm x} 1}\hspace{0.1cm}- \hspace{0.1cm}\phi_{ {\rm x} 2} \hspace{0.1cm}- \hspace{0.1cm}... \hspace{0.1cm}
- \hspace{0.1cm} \phi_{ {\rm x} \hspace{-0.03cm}{\it N} }]} } \hspace{0.05cm} .$$

Stellt man  $H(f)$  durch die Dämpfungsfunktion  $a(f)$  und die Phasenfunktion  $b(f)$  nach der allgemein gültigen Beziehung  $H(f) = {\rm e}^{-a(f)\hspace{0.05cm}- \hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}b(f)}$  dar, so erhält man durch den Vergleich mit der obigen Gleichung das folgende Ergebnis:
*Bei geeigneter Normierung aller dimensionsbehafteten Größen gilt für die Dämpfung in Neper  $(1 \ \rm Np$ entspricht $8.686 \ \rm dB)$:
:$$a(f) = -{\rm ln} \hspace{0.1cm} K + \sum \limits_{i=1}^N {\rm ln} \hspace{0.1cm} |R_{ {\rm x} i}|- \sum \limits_{i=1}^Z {\rm ln} \hspace{0.1cm} |R_{ {\rm o} i}| \hspace{0.05cm} .$$
*Die Phasenfunktion in Radian $\rm (rad)$ ergibt sich entsprechend der oberen Skizze zu
:$$b(f) = \phi_K + \sum \limits_{i=1}^N \phi_{ {\rm x} i}- \sum \limits_{i=1}^Z \phi_{ {\rm o} i}\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.2cm} \phi_K = \left\{ \begin{array}{c} 0 \\ \pi \end{array} \right. \begin{array}{c} {\rm{f\ddot{u}r} } \\ {\rm{f\ddot{u}r} } \end{array}\begin{array}{*{20}c} { K > 0\hspace{0.05cm},} \\ { K <0\hspace{0.05cm}.} \end{array}$$

[[Datei:P_ID1762__LZI_T_3_2_S6b_neu.png |right|frame| Zur Berechnung der Dämpfungs– und Phasenfunktion (Bildschirmabzug einer früheren Version von &bdquo;Kausale Systeme & Laplace–Transformation”)|class=fit]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 4:}$ 
Die Grafik verdeutlicht die Berechnung
*der Dämpfungsfunktion  $a(f)$   ⇒   roter Kurvenverlauf,  und
*der Phasenfunktion  $b(f)$   ⇒   grüner Kurvenverlauf

eines Vierpols, der durch den Faktor  $K = 1.5$, eine Nullstelle bei  $-3$  und zwei Pole bei  $–1 \pm {\rm j} · 4$  festliegt.

Wie im Applet verwenden wir auch in diesem Beispiel die normierte Frequenz $f\hspace{0.05cm}'=(2\pi T)\cdot f$.  Der Zeitnormierungswert sei  $T=1$.

Die angegebenen Zahlenwerte gelten für die Frequenz $f\hspace{0.05cm}' = 3$.  Die Herleitung dieser Zahlenwerte ist im umrahmten Block verdeutlicht:
:$$a \big (f\hspace{0.05cm}' = {3} \big ) = a \big [f = {3}/({2\pi T}) \big ] = 0.453\,\,{\rm Np}= 3.953\,\,{\rm dB}$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.4cm}\big \vert H \big (f\hspace{0.05cm}' = {3} \big )\big \vert = 0.636,$$
:$$ b\big (f\hspace{0.05cm}' = {3} \big ) = -8.1^\circ \hspace{0.05cm} .$$

Für den Betragsfrequenzgang   $\vert H(f)\vert$   ⇒   blauer Kurvenverlauf ergibt sich ein bandpassähnlicher Verlauf mit
:$$\vert H(f = 0)\vert \approx 0.25\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}
\vert H(f = {4}/(2\pi T)\vert \approx 0.637\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}
\vert H(f \rightarrow \infty)\vert= 0 \hspace{0.05cm} .$$}}
 

===Laplace–Rücktransformation und Residuensatz===

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Aufgabenstellung:}$  Dieses Kapitel behandelt das folgende Problem:
*Bekannt ist die  $p$–Spektralfunktion  $Y_{\rm L}(p)$  in der Pol–Nullstellen–Form.
*Gesucht ist die  '''Laplace–Rücktransformierte''', also die dazugehörige Zeitfunktion  $y(t)$, wobei folgende Notation gelten soll:
:$$y(t) = {\rm L}^{-1}\{Y_{\rm L}(p)\}\hspace{0.05cm} , \hspace{0.3cm}{\rm kurz}\hspace{0.3cm}
y(t) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}\rm L}\!\!\!-\!\!\bullet\quad Y_{\rm L}(p)\hspace{0.05cm} .$$}}

Im Gegensatz zu den  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|Fourierintegralen]], die sich in den beiden Transformationsrichtungen nur geringfügig unterscheiden, ist bei &bdquo;Laplace” die Berechnung von  $y(t)$  aus  $Y_{\rm L}(p)$ – also die Rücktransformation –
*sehr viel schwieriger als die Berechnung von  $Y_{\rm L}(p)$  aus  $y(t)$,
*auf elementarem Weg nicht oder nur sehr umständlich lösbar.

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definition:}$ 
Allgemein gilt für die  '''Laplace–Rücktransformation''':
:$$y(t) = {\rm L}^{-1}\{Y_{\rm L}(p)\}= \lim_{\beta \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}\infty} \hspace{0.15cm} \frac{1}{ {\rm j} \cdot 2 \pi}\cdot \int_{ \alpha - {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi \beta } ^{\alpha+{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi \beta} Y_{\rm L}(p) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}\hspace{0.1cm}{\rm
d}p \hspace{0.05cm} .$$
*Die Integration erfolgt parallel zur imaginären Achse.
*Der Realteil  $α$  ist so zu wählen, dass alle Pole links vom Integrationsweg liegen.}}

Die linke Grafik verdeutlicht dieses Linienintegral entlang der rot gepunkteten Vertikalen  ${\rm Re}\{p\}= α$.  Lösbar ist dieses Integral mit dem  [https://de.wikipedia.org/wiki/Lemma_von_Jordan Jordanschen Lemma der Funktionstheorie].  Hier folgt nur eine sehr kurze und einfache Zusammenfassung der Vorgehensweise:

[[Datei:P_ID1777__LZI_T_3_3_S2_neu.png |right|frame| Linienintegral sowie linkes und rechtes Kreisintegral]]
*Das Linienintegral kann gemäß der Skizze in zwei Kreisintegrale aufgeteilt werden.  Alle Polstellen liegen im linken Kreisintegral.  Das rechte Kreisintegral darf nur Nullstellen beinhalten.
*Das rechte Kreisintegral liefert die Zeitfunktion  $y(t)$  für negative Zeiten.  Aufgrund der Kausalität muss  $y(t < 0)$  identisch Null sein, was aber nach dem Hauptsatz der Funktionstheorie nur dann zutrifft, wenn es in der rechten  $p$–Halbebene keine Pole gibt.
*Das Integral über den linken Halbkreis liefert die Zeitfunktion für  $t ≥ 0$.  Dieses umschließt alle Polstellen und ist mit dem Residuensatz in (relativ) einfacher Weise berechenbar, wie im Folgenden gezeigt wird.

Es wird weiterhin vorausgesetzt, dass die Übertragungsfunktion  $Y_{\rm L}(p)$  in Pol–Nullstellen–Form durch den konstanten Faktor  $K$,  die  $Z$  Nullstellen  $p_{{\rm o}i}$  $(i = 1$, ... , $Z)$  und die  $N$  Polstellen  $p_{{\rm x}i}$  $(i = 1$, ... , $N$)  dargestellt werden kann. Wir setzen zudem  $Z < N$  voraus.

Die Anzahl der unterscheidbaren Pole bezeichnen wir mit  $I$.  Zur Bestimung von  $I$  werden mehrfache Pole nur einfach gezählt.  So gilt für die obige Skizze aufgrund einer doppelten Polstelle:   $N = 5$  und  $I = 4$.

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Residuensatz:}$ 
Unter den genannten Voraussetzungen ergibt sich die  '''Laplace–Rücktransformierte'''  von  $Y_{\rm L}(p)$  für Zeiten  $t ≥ 0$  als die Summe von  $I$  Eigenschwingungen der Pole, die man als die  '''Residuen'''  – abgekürzt mit „Res” – bezeichnet:
:$$y(t) = \sum_{i=1}^{I}{\rm Res} \bigg \vert _{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}_i}} \hspace{-0.7cm}\{Y_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t}\} \hspace{0.05cm} .$$

Da  $Y_{\rm L}(p)$  nur für kausale Signale angebbar ist, gilt für negative Zeiten stets  $y(t < 0) = 0$.

*Für einen Pol der Vielfachheit  $l$  gilt allgemein:
:$${\rm Res} \bigg \vert _{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x}_i} } \hspace{-0.7cm}\{Y_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p t}\}= \frac{1}{(l-1)!}\cdot \frac{ {\rm d}^{\hspace{0.05cm}l-1} }{ {\rm d}p^{\hspace{0.05cm}l-1} }\hspace{0.15cm} \left \{Y_{\rm L}(p)\cdot (p - p_{ {\rm x}_i})^{\hspace{0.05cm}l}\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t}\right\} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x}_i} } \hspace{0.05cm} .$$
*Als Sonderfall ergibt sich daraus mit  $l = 1$  für einen einfachen Pol:
:$${\rm Res} \bigg\vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x}_i} } \hspace{-0.7cm}\{Y_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p t}\}= Y_{\rm L}(p)\cdot (p - p_{ {\rm x}_i} )\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \bigg \vert _{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x}_i} } \hspace{0.05cm} .$$}}
 
===Drei Beispiele zur Anwendung des Residuensatzes bei zwei Polen===

Nun wird der Residuensatz anhand dreier ausführlicher Beispiele verdeutlicht, die mit den drei Konstellationen im obigen  $\text{Beispiel 3}$  im Kapitel &bdquo;Laplace–Transformation” korrespondieren:
*Wir betrachten also wieder den Vierpol mit einer Induktivität  $L = 25 \ \rm µH$  im Längszweig sowie im Querzweig die Serienschaltung aus einem Ohmschen Widerstand  $R = 50 \ \rm Ω$  und einer Kapazität  $C$.  Für Letztere betrachten wir wieder drei verschiedene Werte, nämlich  $C = 62.5 \ \rm nF$,  $C = 8 \ \rm nF$ und  $C = 40 \ \rm nF$.
*Vorausgesetzt ist zudem stets  $x(t) = δ(t) \; ⇒ \; X_{\rm L}(p) = 1$   ⇒   $Y_{\rm L}(p) = H_{\rm L}(p)$   ⇒   $y(t)$  ist gleich der Impulsantwort  $h(t)$.

[[Datei: P_ID1772__LZI_T_3_3_S3a_kurz.png |right|frame| Aperiodisch aklingende Impulsantwort]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 5: Aperiodisch abklingende Impulsantwort:}$ 

Mit  $C = 62.5 \ \rm nF$  erhält man für die   $p$–Übertragungsfunktion:
:$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {p - p_{\rm o } } {(p - p_{\rm x 1} )(p - p_{\rm x 2}) }= 2 \cdot \frac {p + 0.32 }
{(p +0.4)(p +1.6 )} \hspace{0.05cm} .$$

Beachten Sie bitte die vorgenommene Normierung von  $p$,  $K$ sowie aller Pole und Nullstellen mit dem Faktor  ${\rm 10^6} · 1/\rm s$.

Die Impulsantwort setzt sich aus  $I = N = 2$  Eigenschwingungen zusammen. Für $t < 0$  sind diese gleich Null.
*Das Residium des Pols bei  $p_{\rm x1} =\ –0.4$  liefert die Zeitfunktion:
:$$h_1(t) = {\rm Res} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x}1} } \hspace{-0.7cm}\{H_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p t}\}= H_{\rm L}(p) \cdot {\rm e}^{p t} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}1}} = $$
:$$\hspace{1.05cm}= 2 \cdot \frac {p + 0.32 } {p +0.4}\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}-0.4}= - \frac {2 } {15}\cdot {\rm e}^{-0.4 \hspace{0.05cm} t} \hspace{0.05cm}. $$

*In gleicher Weise kann das Residium des zweiten Pols bei  $p_{\rm x2} = \ –1.6$  berechnet werden:
:$$h_2(t) = {\rm Res} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x}2} } \hspace{-0.7cm}\{H_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p t}\}= H_{\rm L}(p) \cdot {\rm e}^{p t} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}2}}=$$
:$$\hspace{1.05cm}= 2 \cdot \frac {p + 0.32 } {p +1.6}\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}-1.6}=\frac {32 } {15}\cdot {\rm e}^{-1.6 \hspace{0.05cm} t} \hspace{0.05cm}.$$

Die Grafik zeigt  $h_1(t)$  und  $h_2(t)$  sowie das Summensignal  $h(t)$.  Berücksichtigt ist der Normierungsfaktor  $1/T = 10^6 · \rm 1/s$  ⇒   die Zeit ist auf  $T = 1 \ \rm µ s$  normiert.
*Für  $t =0$  ergibt sich  $T \cdot h(t=0) = 32/15-2= 2 \hspace{0.05cm}$. 
*Für Zeiten  $t > 2 \ \rm µ s$  ist die Impulsantwort negativ  (wenn auch nur geringfügig und in der Grafik nur schwer zu erkennen).}}
 
[[Datei:P_ID1780__LZI_T_3_3_S3b_kurz.png |right|frame| Gedämpft oszillierende Impulsantwort]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 6: Gedämpft oszillierende Impulsantwort:}$ 

Die Bauelementewerte  $R = 50 \ \rm Ω$,  $L = 25 \ \rm µ H$ und  $C = 8 \ \rm nF$ ergeben zwei konjugiert komplexe Pole bei  $p_{{\rm x}1} = \ –1 + {\rm j} · 2$  und  $p_{{\rm x}2} = \ –1 - {\rm j} · 2$.  Die Nullstelle liegt bei  $p_{\rm o} = \ –2.5$. Es gilt  $K = 2$  und alle Zahlenwerte sind wieder mit dem Faktor  $1/T$  zu multiplizieren $(T = 1\ \rm µ s$).

Wendet man den Residuensatz auf diese Konfiguration an, so erhält man:
:$$h_1(t) = \text{ ...} = K \cdot \frac {p_{\rm x 1} - p_{\rm o }} {p_{\rm x 1} - p_{\rm x 2}}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 1} \cdot \hspace{0.05cm}t} 2 \cdot \frac {1.5 + {\rm j}\cdot 2} {{\rm j}\cdot 4}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 1} \cdot\hspace{0.05cm}t}$$

:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h_1(t) = \frac {3 + {\rm j}\cdot 4} {{\rm j}\cdot 4}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 1} \cdot\hspace{0.05cm}t}= (1 - {\rm j}\cdot 0.75)\cdot {\rm
e}^{-t}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2t} \hspace{0.05cm} ,$$
:$$ h_2(t) = \text{ ...} = K \cdot \frac {p_{\rm x 2} - p_{\rm o }} {p_{\rm x 2} - p_{\rm x 1}}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 2} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}= 2 \cdot \frac {1.5 - {\rm j}\cdot 2} {-{\rm j}\cdot 4}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 2} \hspace{0.03cm}\cdot\hspace{0.05cm}t} $$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h_2(t) = (1 + {\rm j}\cdot 0.75)\cdot {\rm e}^{-t}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2t} \hspace{0.05cm} . $$

Mit dem  [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Satz von Euler]]  ergibt sich somit für das Summensignal:
:$$h(t) = h_1(t) + h_2(t)= {\rm e}^{-t}\cdot \big [ (1 - {\rm j}\cdot 0.75)\cdot (\cos(2t) + {\rm j}\cdot \sin(2t))+
(1 + {\rm j}\cdot 0.75)\cdot (\cos(2t) - {\rm j}\cdot \sin(2t))\big ]$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h(t) ={\rm e}^{-t}\cdot \big [ 2\cdot \cos(2t) + 1.5 \cdot \sin(2t)\big ]\hspace{0.05cm} . $$

Die Grafik zeigt die nun mit  ${\rm e}^{–t}$  gedämpft oszillierende Impulsantwort  $h(t)$  für diese Pol–Nullstellen–Konfiguration.}}
 

[[Datei:P_ID1774__LZI_T_3_3_S3c_kurz.png |right|frame| Impulsantwort und Sprungantwort des aperiodischen Grenzfalls]]

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 7: Aperiodischer Grenzfall:}$ 

Der Kapazitätswert  $C = 40 \ \rm nF$  ist der kleinstmögliche Wert, für den sich gerade noch reelle Polstellen ergeben.  Diese fallen zusammen, das heißt  $p_{\rm x} = \ –1$  ist eine doppelte Polstelle. 
:$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {p - p_{\rm o } } {(p - p_{\rm x })^2}= 2 \cdot \frac {p + 0.5 } { (p +1)^2} \hspace{0.05cm} .$$

Die Zeitfunktion lautet somit entsprechend dem Residuensatz mit  $l = 2$:
:$$h(t) = {\rm Res} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x} } } \hspace{-0.7cm}\{H_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p t}\} $$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} h(t) = \frac{ {\rm d} }{ {\rm d}p}\hspace{0.15cm}
\left \{H_{\rm L}(p)\cdot (p - p_{ {\rm x} })^2\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t}\right\} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x} } }$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} h(t) = K \cdot \frac{ {\rm d} }{ {\rm d}p}\hspace{0.15cm}\left \{ (p - p_{ {\rm o} })\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t}\right\} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x} } } \hspace{0.05cm} .$$

Mit der ''Produktregel''  der Differentialrechnung ergibt sich daraus:
:$$h(t) = K \cdot \left [ {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} + (p - p_{ {\rm o} })\cdot t \cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \right ] \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}-1} = {\rm e}^{-t}\cdot \left ( 2 - t \right)
\hspace{0.05cm} .$$

Die Grafik zeigt diese Impulsantwort (grüne Kurve) in normierter Darstellung.  Sie unterscheidet sich von derjenigen in  $\text{Beispiel 5}$  mit den beiden unterschiedlichen Polen bei  $-0.4$  und  $-1.6$  nur geringfügig.

Die rot gezeichnete Sprungantwort  $\sigma(t) = 1 - {\rm e}^{-t} + t \cdot {\rm e}^{-t}$  ergibt sich, wenn man am Eingang zusätzlich eine Sprungfunktion berücksichtigt.  Zu deren Berechnung kann man alternativ

*bei der Residuenberechnung einen zusätzlichen Pol bei  $p = 0$   (rot markiert) berücksichtigen,
*oder das Integral über die Impulsantwort  $h(t)$  bilden.}}
 
===Partialbruchzerlegung===

Voraussetzung für die Anwendung des Residuensatzes ist, dass es weniger Nullstellen als Pole gibt   ⇒   $Z$  muss stets kleiner als  $N$  sein.

Gilt dagegen wie bei einem Hochpass  $Z = N$, so
*ist der Grenzwert der Spektralfunktion für großes  $p$  ungleich Null,
*beinhaltet das zugehörige Zeitsignal  $y(t)$  auch einen  [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Diracimpuls|Diracimpuls]],
*versagt der Residuensatz und es ist eine ''Partialbruchzerlegung''  vorzunehmen.

{{BlaueBox|TEXT=
Man geht hierbei wie folgt vor:
# Partialbruchzerlegung:  $Y(p) = K + Q(p)$,
# Diskreter Anteil der Zeitfunktion:  $y_{\rm disk}(t)=K \cdot \delta(y)$   ⇒   Dirac bei  $y=0$  mit Gewicht  $K$,
# Kontinuierlicher Anteil der Zeitfunktion:  $y_{\rm kont}(t)$  gemäß  $Q(p)= K - Y(p)$.}}

Die Vorgehensweise soll beispielhaft für einen Hochpass erster Ordnung verdeutlicht werden.  Anstelle von  $Y(p)$  und  $y(t)$  verwenden wir deshalb  $H(p)$  und  $h(t)$.

[[Datei:P_ID1775__LZI_T_3_3_S5_neu.png |right|frame| Impulsantwort von Tiefpass (blau) und Hochpass (rot)]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 8:}$ 
Die  $p$–Übertragungsfunktion eines Hochpasses erster Ordnung mit  $p_{\rm x}=-1$  und  $K=H(p \to \infty) = 1$  kann durch Abspaltung der Konstanten  $K$  wie folgt umgewandelt werden:
:$$H_{\rm HP}(f) = \frac{p}{p + 1} = 1- \frac{1}{p +1}\hspace{0.05cm} .$$
Damit lautet die Hochpass–Impulsantwort:
:$$h_{\rm HP}(t) = \delta(t) - h_{\rm TP}(t) \hspace{0.05cm} .$$

Die Grafik zeigt
*als rote Kurve die Hochpass–Impulsantwort  $h_{\rm HP}(t)$,
* als blaue Kurve die Impulsantwort  $h_{\rm TP}(t)$  des äquivalenten Tiefpasses.

Die Diracfunktion ist die Laplace–Transformierte des konstanten Wertes $1$. Der kontinuierliche Anteil  $h_{\rm kont}(t)=-h_{\rm TP}(t)$  ergibt sich mit  $Q(p) = 1/(p+1)$  nach dem Residuensatz.

Noch ein zweites numerisches Beispiel, hier mit  $K=2$:

:$$H_{\rm HP}(f) = \frac{2\cdot (p+1)(p-1)}{(p + 2)^2}\ \Rightarrow \ Q(p) = 2- \frac{2\cdot (p+1)(p-1)}{(p + 2)^2}= \frac{2\cdot (p + 2)^2 - 2\cdot (p^2-1)}{(p + 2)^2} = \frac{8\cdot (p + 1.25)}{(p + 2)^2}.$$
}}

==Versuchsdurchführung==
 
*Wählen Sie zunächst die Nummer  $(1,\ 2$, ... $)$  der zu bearbeitenden Aufgabe.  Die Nummer  $0$  entspricht einem &bdquo;Reset”:  Einstellung wie beim Programmstart.
*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt.  Die Parameterwerte sind angepasst.  Lösung nach Drücken von &bdquo;Musterlösung”.
*Analysieren Sie bei allen Aufgaben die dargestellen Grafiken im Frequenzbereich  ⇒   &bdquo;$(f)$”  und/oder Zeitbereich  ⇒   &bdquo;$(t)$”.
*Für die normierte Zeit gilt  $t\hspace{0.05cm}'=t/T$  und für die normierte Frequenz  $f\hspace{0.05cm}'=(2\pi T)\cdot f$.  Die Ordinaten im Frequenzbereich sind  $Y(f\hspace{0.05cm}')$  und im Zeitbereich  $y(t\hspace{0.05cm}')$. 
*Ein diracförmiges Eingangssignal   ⇒   $X_{\rm L}(p) =1$  beschreibt ein LZI–System mit der Impulsantwort  $h(t\hspace{0.05cm}')$  und dem Frequenzgang   $H(f\hspace{0.05cm}')$.
*Eine Sprungfunktion am Eingang   ⇒   $X_{\rm L}(p) =1/p$  wird am Ausgang durch die Sprungantwort  $\sigma(t\hspace{0.05cm}')$  und deren Spektralfunktion  ${\it \Sigma}(f\hspace{0.05cm}')$  charakterisiert.
 

{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''   Interpretieren Sie die Grafiken  &bdquo;$(f)$”  und  &bdquo;$(t)$”  gemäß  $\text{Satz 1:}\ K = 1, \ Z = 0,\ N= 1,\ p_{\rm x1} = -1$.  Was ändert sich nach Variation von  $p_{\rm x1}$? }}

* &bdquo;$(t)$”  zeigt die Exponentialfunktion  $y(t\hspace{0.05cm}')$:  Maximum  $y(t\hspace{0.05cm}' = 0) = 1$,  Abfallzeitkonstante  $T\hspace{0.05cm}' =1$.  &bdquo;$(f)$”  beschreibt das zugehörige komplexe Spektrum  $Y(f\hspace{0.05cm}')$.
*Mit  $p_{\rm x1} = -2$:  Steilerer  Abfall  $(T\hspace{0.05cm}' =0.5)$,  gleicher Maximalwert.  $|Y(f\hspace{0.05cm}')|$ ist nun halb so hoch und doppelt so breit:  $|Y(f\hspace{0.05cm}'=0)|=0.5$,  $|Y(f\hspace{0.05cm}'=3.5)|\approx 0.25$.
*Nähert sich  $p_{\rm x1}\to 0$  dem Nullwert von links immer mehr an, so wird  $T\hspace{0.05cm}'$  immer größer.  Im Grenzfall  $p_{\rm x1} \to 0$  ergibt sich die Sprungfunktion:  $y(t\hspace{0.05cm}') \equiv 1$  für  $t\hspace{0.05cm}' \ge 0$.
*Mit  $p_{\rm x1}> 0$  steigt das Zeitsignal von  $y(t\hspace{0.05cm}'=0)=1$  bis ins Unendliche.  Eine solche Konstellation kann es bei einem realisierbaren System nicht geben.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''   Es gelten weiter die Einstellungen gemäß  $\text{Satz 1}$.  Interpretieren Sie aber nun die Grafiken für ein LZI–System und ermitteln Sie dessen Kenngrößen.          
Betrachten Sie insbesondere den Gleichsignalübertragungsfaktor  $\vert H(f\hspace{0.05cm}'= 0)\vert$  und die 3dB–Grenzfrequenz.  Variieren Sie die Parameter  $p_{\rm x1}$  und  $K$.}}

*Entsprechend der  &bdquo;$(f)$”–Grafik handelt es sich um einen Tiefpass   ⇒   $H(f\hspace{0.05cm}') \to H_{\rm TP}(f\hspace{0.05cm}')$  und zwar mit dem Gleichsignalübertragungsfaktor   $|H_{\rm TP}(f\hspace{0.05cm}'= 0)| = 1$. 
*Die normierte 3dB–Grenzfrequenz ist diejenige Frequenz, bei der  $\vert H_{\rm TP}(f\hspace{0.05cm}')\vert$  um den Faktor $1/\sqrt{2}$  kleiner ist als das Maximum:  $f_{\rm 3\hspace{0.05cm} dB}\hspace{0.05cm}' = 1$   ⇒   $f_{\rm 3\hspace{0.05cm} dB} = 1/(2πT)$.
*Bei  $p_{\rm x1}= -2$  ist diese Größe doppelt so groß:  $f_{\rm 3\hspace{0.10cm} dB}\hspace{0.05cm}' = 2$.  Um wieder  $|H(f\hspace{0.05cm}'= 0)| = 1$  zu erreichen, ist zusätzlich  $K= 2$  anzupassen.
*Für die Herleitung der hier verwendeten Gleichungen verweisen wir auf das  $\text{Beispiel 1}$  im Theorieteil.  Man bezeichnet das Filter als '''Tiefpass erster Ordnung'''.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''   Nun gelte  $K=1$  und  $p_{\rm x1}= -2.$  Welchen Verlauf hat das Ausgangssignal  $y(t\hspace{0.05cm}')$,  wenn am Eingang eine Sprungfunktion anliegt   ⇒   $X_{\rm L}(p) =1/p$. }}

*Die  &bdquo;$(t)$”–Grafik zeigt die exponentiell abfallende Impulsantwort  $h(t\hspace{0.05cm}')$  ⇒   das Ausgangssignal  $y(t\hspace{0.05cm}')$  für eine Diracfunktion am Eingang.
*Bei anderem Eingangssignal  $x(t\hspace{0.05cm}')$  erhält man das Ausgangssignal  $y(t\hspace{0.05cm}')$  durch dessen Faltung mit  $h(t\hspace{0.05cm}')$.  Oder mit den  $p\hspace{0.05cm}$–Funktionen:  $Y_{\rm L}(p)= X_{\rm L}(p) \cdot H_{\rm L}(p)$.
*Für die Sprungfunktion gilt:  $X_{\rm L}(p)= 1/p$   ⇒   $Y_{\rm L}(p)= K/\big [(p-p_{\rm x1}) \cdot p\big ]$   ⇒   Die Einstellung  $N= 2,\ p_{\rm x1} = -1, \ p_{\rm x2} = 0 $  liefert die Sprungantwort  $\sigma(t\hspace{0.05cm}')$.
*Die  &bdquo;$(t)$”–Grafik zeigt die exponentiell ansteigende Sprungantwort  $\sigma(t\hspace{0.05cm}')$.  Für  $K=1$  ist der Endwert gleich  $\sigma(t\hspace{0.05cm}' \to \infty) = 0.5$.  Mit  $K=2$  gilt  $\sigma(t\hspace{0.05cm}'\to \infty) = 1$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''   Interpretieren Sie die Grafiken für die Einstellung  $K = 1, \ Z = 1, \ p_{\rm o1} = 0, \ N= 1,\ p_{\rm x1} = -2$.  Welcher Unterschied ergibt sich gegenüber  $Z=0$? }}

*Mit  $Z=0$:  Tiefpass 1. Ordnung mit  $H_{\rm TP}(p)= 1/(p+2)$   ⇒   $H_{\rm TP}(f\hspace{0.05cm}'= 0)= 0.5$,  $H_{\rm TP}(f\hspace{0.05cm}'\to \infty)= 0$,  $h_{\rm TP}(t\hspace{0.05cm}')= {\rm e}^{-2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm}'}$  für  $t\hspace{0.05cm}'\ge 0$.  Siehe  $(2)$  und  $(3)$.
*Mit  $Z=1$:  Hochpass 1. Ordnung mit  $H_{\rm HP}(p)= p/(p+2)$   ⇒   $H_{\rm HP}(f\hspace{0.05cm}'= 0)= 0$,  $H_{\rm HP}(f\hspace{0.05cm}'\to \infty)= 1$.  Da  $Z=N$:  $h_{\rm TP}(t\hspace{0.05cm}')$  erst nach Partialbruchzerlegung:
*$H_{\rm HP}(p)= p/(p+2) = 1- 2/(p+2)$  führt zur Impulsantwort  $h_{\rm HP}(t\hspace{0.05cm}')= \delta(t\hspace{0.05cm}') - 2 \cdot{\rm e}^{-2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm}'}= \delta(t\hspace{0.05cm}') - 2 \cdot h_{\rm TP}(t\hspace{0.05cm}')$  ⇒   $\text{zusätzliche Diracfunktion}$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''   Wie lautet die Sprungantwort  $\sigma_{\rm HP}(t\hspace{0.05cm}')$  des in  $(4)$  behandelten Hochpasses  $H_{\rm HP}(p)= p/(p+2)$? }}

*Die zugehörige  $p\hspace{0.05cm}$–Spektralfunktion lautet:  ${\it \Sigma}_{\rm HP}(p) =X_{\rm L}(p) \cdot H_{\rm HP}(p)= 1/p \cdot p/(p+2) = 1/(p+2)=H_{\rm TP}(p) $  ⇒   $\sigma_{\rm HP}(t\hspace{0.05cm}')= {\rm e}^{-2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm}'}$  für  $t\hspace{0.05cm}'\ge 0$.
*Die Nullstelle  $p_{\rm o1}=0$  und die Polstelle  $p_{\rm x2}=0$  heben sich gegenseitig auf.  Deshalb ergibt sich das gleiche Zeitsignal wie in  $(3)$.
*Sie müssen also folgende Einstellung wählen:  $K = 1, \ Z = 1, \ p_{\rm o1} = 0, \ N= 2,\ p_{\rm x1} = -2,\ p_{\rm x2} = 0$.
*Die Zeitfunktion springt bei  $t\hspace{0.05cm}' =0$  sofort auf  $1$  $($der HP beeinflusst den Sprung nicht$)$  und fällt dann exponentiell auf  $0$  ab  $($der HP sperrt jedes Gleichsignal$)$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''   Nun gelte folgende Einstellung:  $K = 1, \ Z = 0, \ N= 1,\ p_{\rm x1} = -5 \cdot {\rm j}$.  Liegt ein realisierbares System vor?  Welchen Verlauf hat die Impulsantwort  $h(t\hspace{0.05cm}')$?          
Wie ändert sich die Impulsanwort mit  $ p_{\rm x1} = -0.1 -5 \cdot {\rm j}$  bzw. mit  $ p_{\rm x1} = +0.1 -5 \cdot {\rm j}$ ? }}

*Der Frequenzgang hat bei  $f\hspace{0.05cm}'= -5$  eine Unendlichkeitstelle.  Es ist aber kein diracförmiger Verlauf, da außerhalb nicht  $H(f\hspace{0.05cm}' \ne -5) \equiv 0$  gilt.
*Die Impulsantwort ist eine komplexe Exponentialfunktion   ⇒   $\text{das System ist nicht realisierbar}$.  $h(t\hspace{0.05cm}')={\rm e}^{-5 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm}'}$  dreht mathematisch negativ (im Uhrzeigersinn).
*Mit  $p_{\rm x1}= \pm 5 \cdot {\rm j}$  beträgt die normierte Periodendauer  $T_0\hspace{0.05cm}'= 2\pi/5 \approx 1.256$.  Es gilt also   $h(t\hspace{0.05cm}'=T_0\hspace{0.05cm}')= h(t\hspace{0.05cm}'=0)= 1.$
*Bei  ${\rm Re}\hspace{0.05cm}[p_{\rm x1}] \ne 0$  klingt die komplexe Exponentialfunktion kontinuierlich ab  $({\rm Re}\hspace{0.05cm}[p_{\rm x1}] < 0)$  bzw. kontinuierlich an  $({\rm Re}\hspace{0.05cm}[p_{\rm x1}] > 0)$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(7)'''   Wie ändert sich die  &bdquo;$(t)$”–Grafik, wenn man den Imaginärteil von  $p_{\rm x1}$  verändert:  $p_{\rm x1}= -5 \cdot {\rm j}$,  $p_{\rm x1}= -2 \cdot {\rm j}$,  $p_{\rm x1}= 0 $,  $p_{\rm x1}= +2 \cdot {\rm j}$,  $p_{\rm x1}= +5 \cdot {\rm j}$.}}

*Bei positivem Imaginärteil von  $p_{\rm x1}$  dreht  $h(t\hspace{0.05cm}')$  stets in mathematisch positiver Richtung (entgegen dem Uhrzeigersinn),  bei negativem Imaginärteil im Uhrzeigersinn.
*Die normierte Periodendauer  $T_0\hspace{0.05cm}'= 2\pi/5 \approx 1.256$  gilt für  $p_{\rm x1}= \pm5 \cdot {\rm j}$  gleichermaßen und  $T_0\hspace{0.05cm}'= 2\pi/2 \approx 3.14$  gilt für  $p_{\rm x1}= \pm2 \cdot {\rm j}$.
*Für  $p_{\rm x1}= 0$  ergibt sich die  $p$–Übertragungsfunktion  $H_{\rm L}(p)=1/p$.  Daraus folgt die Sprungfunktion:   $h(t\hspace{0.05cm}') \equiv 1$  für  $t\hspace{0.05cm}' \ge 0$  und  $h(t\hspace{0.05cm}') \equiv 0$  für  $t\hspace{0.05cm}' < 0$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(8)'''   Interpretieren Sie die Grafiken  &bdquo;$(t)$”  und  &bdquo;$(f)$”  gemäß  $\text{Satz 2:}\ K = 1, \ Z = 1,\ p_{\rm o1} =0, \ N= 2,\ p_{\rm x1} = +5 \cdot {\rm j}, \ p_{\rm x2} = -5 \cdot {\rm j}$. }}

*Es ergibt sich das &bdquo;kausale” Cosinussignal  $h_{\rm cos}(t\hspace{0.05cm}')$  mit Amplitude  $1$  und der normierten Periodendauer  $T_0\hspace{0.05cm}'= 2\pi/5 \approx 1.256$. 
*Die  $p\hspace{0.05cm}$–Spektralfunktion lautet nämlich:  $H_{\rm cos}(p)= p/(p^2 +25)$.  Gemäß der angegebenen Laplacetabelle ist die dazugehörige Zeitfunktion der &bdquo;kausale Cosinus”.
*Während die Spektralfunktion des herkömmlichen Cosinus aus zwei Diracs mit reellen Gewichten besteht, gilt beim kausalen Cosinus  $|H(f(\hspace{0.05cm}')| \ne 0$  für alle  $f\hspace{0.05cm}'$.
*Aus  $b(f\hspace{0.05cm}')=\pm 90^\circ$  im gesamten Bereich erkennt man zudem, dass hier  $H(f\hspace{0.05cm}')$  imaginär ist.  Sprungartige Phasenänderungen gibt es bei  $f\hspace{0.05cm}' = 0$  sowie  $f\hspace{0.05cm}' = \pm 5$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(9)'''   Durch welche Parameteränderungen kommt man zum &bdquo;kausalen Sinus”    ⇒   $h_{\rm sin}(t\hspace{0.05cm}')$  gleicher Frequenz und gleicher Amplitude  $1$? }}

*Man kommt vom Cosinus zum Sinus durch Integration.  Das heißt:   $H_{\rm sin}(p)= H_{\rm cos}(p) \cdot H_{\rm Sprung}(p)= p/(p^2 +25) \cdot 1/p= 1/(p^2 +25)$   ⇒   $Z=0$  statt  $Z=1$.
*Allerdings ist damit die Amplitude des resultierenden Sinussignal zu klein.  Deshalb muss für  $p_{\rm x} = \pm 5 \cdot {\rm j}$  noch der konstante Faktor angepasst werden:  $K=5$.
*Beim kausalen Sinus ist  $H(f\hspace{0.05cm}')$  im gesamten Bereich reell, ebenfalls im Gegensatz zum herkömmlichen Sinus. Es gilt also entweder  $b(f\hspace{0.05cm}')=0^\circ$  oder  $b(f\hspace{0.05cm}')=180^\circ$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(10)'''   Interpretieren Sie die Grafiken  &bdquo;$(f)$”  und  &bdquo;$(t)$”  für  $\text{Satz 3:} \ K = 2, \ Z = 1, \ p_{\rm o1} = -2.5, \ N= 2,\ p_{\rm x1} = -1-2 \cdot {\rm j}, \ p_{\rm x2} = -1+2 \cdot {\rm j}$.             Was ändert sich mit der Nullstelle  $p_{\rm o1} = 0$? }}

*Der Frequenzgang ist gekennzeichnet durch die Werte  $|H(f\hspace{0.05cm}'= 0)|= 1$,  $|H(f\hspace{0.05cm}'|= 2)\approx 1.55$  (etwa das Maximum) und  $|H(f\hspace{0.05cm}' \to \infty)|\to 0$.
*Bei der Impulsantwort  $h(t\hspace{0.05cm}')$  handelt es sich um eine gedämpft oszillierende Schwingung, die im  $\text{Beispiel 6}$  analytisch berechnet wurde.
*Mit  $p_{\rm o1} = 0$  ist  $|H(f\hspace{0.05cm}'= 0)|\equiv 0$,  und das Maximum   $|H(f\hspace{0.05cm}'= 2)\approx 1|$  liegt etwas tiefer bei gleicher Frequenz.  Der Zeitbereich wird von  $p_{\rm o1}$  nur wenig beeinflusst.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(11)'''   Interpretieren Sie die Grafiken  &bdquo;$(f)$”  und  &bdquo;$(t)$”  für  $\text{Satz 4:} \ K = 2, \ Z = 1, \ p_{\rm o1} = -0.5, \ N= 2,\ p_{\rm x1} = p_{\rm x2} = -1$.             Was ändert sich mit der Nullstelle  $p_{\rm o1} = 0$  und was mit der Einstellung  $Z=0$? }}

*Bei der Impulsantwort  $h(t\hspace{0.05cm}')$  gemäß  $\text{Satz 4}$  handelt es sich um den aperiodischen Grenzfall, der im  $\text{Beispiel 7}$  exakt berechnet wurde.
*Verschiebt man bei  $Z=1$  die Nullstelle zu  $p_{\rm o1} = 0$, so fällt   $h(t\hspace{0.05cm}')$  schneller ab und auch der nachfolgende Unterschwinger ist sehr viel ausgeprägter.
*Dagegen ergibt sich mit  $Z=0$  ein Tiefpass zweiter Ordnung, dessen Impulsantwort aus der vorne angegebenen Laplace-Tabelle entnommen werden kann.
*Aus der  &bdquo;$(f)$”–Grafik erkennt man:  $Z=0$  ergibt einen Tiefpass und  $Z=1,p_{\rm o1} = 0$  einen Bandpass:  $|H(f\hspace{0.05cm}'= 0)|\equiv 0$,  $|H(f\hspace{0.05cm}'= 1)|\approx 1$,  $|H(f\hspace{0.05cm}'\to \infty)|\equiv 0$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(12)'''   Interpretieren Sie die Grafiken  &bdquo;$(f)$”  und  &bdquo;$(t)$”  für  $\text{Satz 5:} \ K = 2, \ Z = 1, \ p_{\rm o1} = -0.3, \ N= 2,\ p_{\rm x1} = -0.4, \ p_{\rm x2} = -1.6$.             Was bewirkt ein weiterer Pol bei  $p_{\rm x3} = 0$? }}

* Die Grafiken zeigen ähnliches wie im  $\text{Satz 4}$.  Im  &bdquo;$(f)$”–Bereich erkennt man für  $f\hspace{0.05cm}' \approx 0.5$  eine leichte Überhöhung gegenüber  $|H(f\hspace{0.05cm}'= 0)|\approx 0.937$.
*$h(t\hspace{0.05cm}')$  ist eine aperiodisch abklingende Impulsantwort, die im  $\text{Beispiel 5}$  analytisch berechnet wurde  $($allerdings mit  $p_{\rm o1}= 0.32$  statt mit  $p_{\rm o1}= 0.3)$.
*Durch den weiteren Pol bei  $p_{\rm x3} = 0$  liefert der Zeitbereich statt der Impulsantwort  $h(t\hspace{0.05cm}')$  nun die Sprungantwort  $\sigma(t\hspace{0.05cm}')$,  die sich aus  $h(t\hspace{0.05cm}')$  durch Integration ergibt.
*Ausgehend von  $\sigma(t\hspace{0.05cm}'=0) \equiv 0$  steigt die Zeitfunktion bis  $\sigma(t\hspace{0.05cm}'=2)\approx 1.07$  an und fällt dann wieder ab bis auf  $\sigma(t\hspace{0.05cm}' \to \infty) = |H(f\hspace{0.05cm}'= 0)|\approx 0.937$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(13)'''   Wählen Sie nun die Konfiguarion  $K = 1, \ Z = 2, \ p_{\rm o1} = p_{\rm o2} = 0, \ N= 2,\ p_{\rm x1} = p_{\rm x2} = -2$.  Welches System liegt vor?  Wie lautet die Übertragungsfunktion?             Was ändert sich mit der Nullstelle  $p_{\rm o1} = 0$  und was mit der Einstellung  $Z=0$? }}

*Es handelt sich um einen Hochpass mit  $H_{\rm HP}(p)= p^2/(p+2)^2$.  Der vergleichbare Tiefpass ist  $H_{\rm TP}(p)= 4/(p+2)^2$.  Es gilt  $H_{\rm HP}(p) = 1- H_{\rm TP}(p)$.
*Aus den  &bdquo;$(f)$”–Grafiken:  $|H_{\rm HP}(f\hspace{0.05cm}'= 0)|=|H_{\rm TP}(f\hspace{0.05cm}'\to \infty)|= 0$,  $|H_{\rm HP}(f\hspace{0.05cm}'= 2)|= |H_{\rm TP}(f\hspace{0.05cm}'= 2)|=0.5$,  $|H_{\rm HP}(f\hspace{0.05cm}'\to \infty)|= |H_{\rm TP}(f\hspace{0.05cm}'= 0)|=1$.
*Die Impulsantwort  $h_{\rm HP}(t\hspace{0.05cm}')$  kann wegen $Z=N=2$  nicht direkt mit dem Residuensatz berechnet werden.  Man benötigt vorher eine Partialbruchzerlegung.
*Es gilt nämlich auch:  $H_{\rm HP}(p)= p^2/(p+2)^2 = 1- 4 \cdot (p+1)/(p+2)^2$   ⇒   Impulsantwort  $h_{\rm HP}(t\hspace{0.05cm}') = \delta(t\hspace{0.05cm}')- 4\cdot h_{\hspace{0.05cm}\rm TP,\hspace{0.05cm}1}(t\hspace{0.05cm}')$.
*$h_{\rm HP}(t\hspace{0.05cm}')$  beinhaltet neben einem Dirac als zeitkontinuierlichen Anteil die vierfache negative Impulsantwort des Tiefpasses  $H_{\rm TP,\hspace{0.05cm}1}(p)= (p+1)/(p+2)^2$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(14)'''   Betrachten Sie die  &bdquo;$(f)$”–Grafik für  $\text{Satz 6:} \ \ K = 1, \ Z = 3, \ p_{\rm o1} = 2 + 2 {\rm j}, \ p_{\rm o2} = 2 - 2 {\rm j},\ p_{\rm o3} = 1, \ N= 3,\ p_{\rm x1} = -2 + 2 {\rm j}, \ p_{\rm x2} = -2 - 2 {\rm j},\ p_{\rm x3} = -1$.             Wie lässt sich die charakteristische Eigenschaft dieses Systems mit den Parameterwerten  $Z=4$  und  $N=4$  erfüllen? }}

* Hier gilt für alle Frequenzen  $|H(f\hspace{0.05cm}')| = 1$   ⇒   keine einzige Frequenz wird gedämpft   ⇒   $a(f\hspace{0.05cm}') = 0\hspace{0.15cm} {\rm dB}$.  Die Phasenfunktion  $b(f\hspace{0.05cm}')$  ist dagegen frequenzabhängig.
*Diese Eigenschaften ergeben sich aus der Symmetrie der Nullstellen (in rechter  $p$–Hälfte)  zu den Polen (links der imaginären Achse), alle reell oder konjugiert–komplex.
*Für  $Z=N=4$  kommt jeweils ein weiterer reeller Pol und eine weitere reelle Nullstelle dazu, zum Beispiel  $p_{\rm o4} = 2,\ p_{\rm x4} = -2$.

==Zur Handhabung des Programms==
[[Datei:Exercise_Frequenzgang_1.png|right|frame|Bildschirmabzug (englische Version, heller Hintergrund) '''Korrektur mit Grafikabzug''']]
    '''(A)'''     Theme (veränderbare grafische Oberflächengestaltung)
:* Dark:   schwarzer Hintergrund  (wird von den Autoren empfohlen)
:* Bright:   weißer Hintergrund  (empfohlen für Beamer und Ausdrucke)
:* Deuteranopia:   für Nutzer mit ausgeprägter Grün–Sehschwäche
:* Protanopia:   für Nutzer mit ausgeprägter Rot–Sehschwäche

    '''(B)'''     Vorauswahl für den Frequenzgang  $H_1(f)$  (rote Kurve)

    '''(C)'''     Parameterfestlegung für  $H_1(f)$ 

    '''(D)'''     Numerikausgabe für  $H_1(f_*)$  und  $h_1(t_*)$

    '''(E)'''     Vorauswahl für den Frequenzgang  $H_2(f)$  (blaue Kurve)

    '''(F)'''     Parameterfestlegung für  $H_2(f)$ 

    '''(G)'''     Numerikausgabe für  $H_2(f_*)$  und  $h_2(t_*)$

    '''(H)'''     Einstellung der Frequenz  $f_*$  für die Numerikausgabe

    '''(I)'''      Einstellung der Zeit  $t_*$  für die Numerikausgabe

    '''(J)'''     Bereich der graphischen Darstellung im Frequenzbereich

    '''(K)'''     Bereich der graphischen Darstellung im Zeitbereich

    '''(L)'''     Auswahl der Aufgabe entsprechend der Aufgabennummer

    '''(M)'''     Aufgabenbeschreibung und Fragestellung

    '''(N)'''     Musterlösung anzeigen und verbergen

'''Details zu den obigen Punkten  (J ) und  (K)'''

Zoom–Funktionen:        &bdquo;$+$” (Vergrößern),      &bdquo;$-$” (Verkleinern),      &bdquo;$\rm o$” (Zurücksetzen)

Verschiebe–Funktionen:     &bdquo;$\leftarrow$”     &bdquo;$\uparrow$”     &bdquo;$\downarrow$”     &bdquo;$\rightarrow$”         &bdquo;$\leftarrow$”  bedeutet:     Bildausschnitt nach links, Ordinate nach rechts

Andere Möglichkeiten:

*Bei gedrückter Shifttaste und Scrollen kann im Koordinatensystem gezoomt werden.
*Bei gedrückter Shifttaste und gedrückter linker Maustaste kann das Koordinatensystem verschoben werden.
 

==Über die Autoren==
Dieses interaktive Berechnungstool wurde am  [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]  der  [https://www.tum.de/ Technischen Universität München]  konzipiert und realisiert.
*Die erste Version wurde 2008 von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Thomas_Pfeuffer_.28Diplomarbeit_LB_2005.29|Thomas Pfeuffer]]  im Rahmen seiner Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX–Actionscript” erstellt  (Betreuer:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
*2021 wurde das Programm von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit  (Betreuer:  [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]])  auf &bdquo;HTML5” umgesetzt und neu gestaltet.

==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==
{{LntAppletLink|laplacetransformation}}

Applets:Kausale Systeme und Laplacetransformation

2023-04-21T06:57:38Z

Nagi:

{{LntAppletLink|laplacetransformation}}

==Programmbeschreibung==
 

Dargestellt werden reelle und symmetrische Tiefpässe  $H(f)$  und die dazugehörigen Impulsantworten  $h(t)$, nämlich
*Gauß–Tiefpass  (englisch:  ''Gaussian low–pass''),
*Rechteck–Tiefpass   (englisch:  ''Rectangular low–pass''),
*Dreieck–Tiefpass  (englisch:  ''Triangular low–pass''),
*Trapez–Tiefpass  (englisch:  ''Trapezoidal low–pass''),
*Cosinus–Rolloff–Tiefpass  (englisch:  ''Cosine-rolloff low–pass''),
*Cosinus-Quadrat-Tiefpass  (englisch:  ''Cosine-rolloff -squared Low–pass'').

Es ist zu beachten:
* Die Funktionen  $H(f)$  bzw.  $h(t)$  werden für bis zu zwei Parametersätzen in jeweils einem Diagramm dargestellt.
* Die roten Kurven und Zahlenangaben gelten für den linken Parametersatz, die blauen für den rechten Parametersatz.
* Die Abszissen  $t$  (Zeit) und  $f$  (Frequenz) sowie die Ordinaten  $H(f)$  und  $h(t)$  sind jeweils normiert.

== English Description==

==Theoretischer Hintergrund==
 
===Betrachtetes Systemmodell===

Wir betrachten ein lineares zeitinvariantes System mit der Impulsantwort  $h(t)$, an dessen Eingang das Signal  $x(t)$  anliegt.  Das Ausgangssignal  $y(t)$  ergibt sich dann als das Faltungsprodukt  $x(t) ∗ h(t)$.

Bei akausalen Systemen und Signalen muss zur Spektralbeschreibung stets das  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|erste Fourierintegral]]  angewendet werden, und es gilt für das Ausgangsspektrum:
[[Datei:P_ID1757__LZI_T_3_2_S1_neu.png |right|frame| Allgemeines (auch akausales) sowie kausales Systemmodell|class=fit]]

:$$Y(f) = X(f) \cdot H(f) \hspace{0.05cm}.$$
Das Fourierintegral besitzt auch für kausale Systeme und Signale weiterhin Gültigkeit, also für
:$$x(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm} t<0\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} h(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm} t<0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} y(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm} t<0 \hspace{0.05cm}.$$

In diesem Fall ergeben sich aber durch Anwendung der Laplace–Transformation unter Beachtung gewisser Restriktionen wesentliche Vorteile:
*Die so behandelten Systeme sind stets durch eine Schaltung realisierbar.  Der Entwickler kommt nicht in Versuchung, realitätsfremde Lösungen anzubieten.
*Die Laplace–Transformierte  $X_{\rm L}(p)$  ist stets eine reelle Funktion der Spektralvariablen  $p$.  Dass sich  $p = {\rm j} · 2πf$  aus der Multiplikation der physikalischen Kreisfrequenz  $ω = 2πf$  mit der imaginären Einheit  $\rm j$  ergibt, spielt für den Anwender keine Rolle.
*Die implizite Bedingung  $x(t) = 0$  für  $t < 0$  erlaubt speziell die einfachere Analyse des Einschwingverhaltens nach Einschaltvorgängen als mit dem Fourierintegral.
 

===Definition der Laplace–Transformation===

Ausgehend vom  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|ersten Fourierintegral]],
:$$X(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} { x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f t}}\hspace{0.1cm}{\rm d}t,$$
ergibt sich bei kausaler Zeitfunktion   ⇒   $x(t) = 0 \ \ \text{für} \ \ t < 0$ 
mit der formalen Substitution  $p = {\rm j} · 2πf$  direkt die Laplace–Transformation:

:$$X_{\rm L}(p) = \int_{0}^{\infty} { x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-p t} }\hspace{0.1cm}{\rm d}t\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}{\rm kurz}\hspace{0.3cm} X_{\rm L}(p) \quad \bullet\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}\rm L}\!\!\!-\!\!\circ\quad x(t)\hspace{0.05cm}.$$

*Der Zusammenhang zwischen der Laplace–Transformierten  $X_{\rm L}(p)$  und dem physikalischen Spektrum  $X(f)$  ist häufig wie folgt gegeben:

:$$X(f) = X_{\rm L}(p) \Bigg |_{{\hspace{0.1cm} p\hspace{0.05cm}={\rm \hspace{0.05cm} j\hspace{0.05cm}2\pi \it f}}}.$$

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 1:}$ 
Wir gehen von der einseitig exponentiell abfallenden Zeitfunktion  $x(t) ={\rm e}^{-t/T}$  für  $t > 0$  gemäß der Skizze  $\rm F$  in der unteren Tabelle aus.  Damit lautet die Laplace–Transformierte:
:$$X_{\rm L}(p) = \int_{0}^{\infty} {\rm e}^{-t/T} \cdot {\rm e}^{-pt} \hspace{0.1cm}{\rm d}t= \frac {1}{p + 1/T} \cdot {{\rm e}^{-(p+1/T) \hspace{0.08cm}\cdot \hspace{0.08cm}t}}\hspace{0.15cm}\Bigg \vert_{t \hspace{0.05cm}=\hspace{0.05cm} 0}^{\infty}= \frac {1}{p + 1/T} \hspace{0.05cm} .$$
Mit  $p = {\rm j} · 2πf$  erhält man die herkömmliche Spektralfunktion bezüglich $f$:
:$$X(f) = \frac {1}{{\rm j \cdot 2\pi \it f} + 1/T} = \frac {T}{1+{\rm j \cdot 2\pi \it fT}} \hspace{0.05cm} .$$
Betrachtet man dagegen den Frequenzgang eines Tiefpasses erster Ordnung, dessen Impulsantwort  $h(t)$  sich gegenüber der obigen Zeitfunktion  $x(t)$  um den Faktor  $1/T$  unterscheidet, so gilt für die Laplace–Transformierte bzw. die Fourier–Transformierte:
:$$H_{\rm L}(p)= \frac {1/T}{p + 1/T}= \frac {1}{1 + p \cdot T} \hspace{0.05cm} , \hspace{0.8cm}H(f) = \frac {1}{1+{\rm j \cdot 2\pi \it fT} } = \frac {1}{1+{\rm j} \cdot f/f_{\rm G} } \hspace{0.05cm} .$$
Häufig verwendet man dann wie in dieser Gleichung anstelle des Parameters  $T$  die 3dB–Grenzfrequenz  $f_{\rm 3\hspace{0.15cm} dB} = 1/(2πT)$.}}
 
===Einige wichtige Laplace–Korrespondenzen===

[[Datei:P_ID1758__LZI_T_3_2_S3.png |right|frame| Tabelle mit einigen Laplace-Transformierten|class=fit]]

Hier sind einige wichtige Laplace–Korrespondenzen zusammengestellt.  Alle Zeitsignale  $x(t)$  seien dimensionslos.  Deshalb besitzt  $X_{\rm L}(p)$  dann als Integral über die Zeit stets die Einheit „Sekunde”.

*Die Laplace–Transformierte der  [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Diracimpuls|Diracfunktion]]  $δ(t)$  ist  $X_{\rm L}(p) = 1$  $($Diagramm $\rm A)$. 
*Durch Anwendung des  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Integrationssatz|Integrationssatzes]]  erhält man  $X_{\rm L}(p) = 1/p$  für die Sprungfunktion  $γ(t)$  $($Diagramm $\rm B)$.
* Aus dieser wird durch Multiplikation mit  $1/(pT)$  die Laplace–Transformierte der linear ansteigenden Funktion  $x(t) = t/T$  für  $t > 0$  $($Diagramm $\rm C)$.

*Das  [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Rechteckimpuls|Rechteck]]  kann aus der Subtraktion zweier um  $T$  versetzter Sprungfunktionen  $γ(t)$  und  $γ(t – T)$  erzeugt werden. Mit dem  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatz]]:  $X_{\rm L}(p) = (1 – {\rm e}^{–pT})/p$  ergibt  $($Diagramm $\rm D)$.
*Durch Integration erhält man die Rampe bzw. nach Multiplikation mit  $1/(pT)$  deren Laplace–Transformierte  $($Diagramm $\rm E)$.

*Die Exponentialfunktion  $($Diagramm $\rm F)$ wurde bereits im  $\text{Beispiel 1}$  betrachtet.  Mit dem Faktor  $1/T$  ist diese gleichzeitig die Impulsantwort eines Tiefpasses erster Ordnung.
*Durch Quadrierung erhält man die  $p$–Spektralfunktion eines Tiefpasses  $2.$ Ordnung und  $x(t) = t/T · {\rm e}^{–t/T}$ (Diagramm  $\rm G$).

*Neben der kausalen  $\rm si$–Funktion  $($Diagramm $\rm H)$  sind in der Tabelle auch die Laplace–Transformierten der kausalen Cosinus– und Sinusfunktion  $($Diagramme  $\rm I$  und  $\rm J)$  angegeben, die sich zu  $p/(p^2 + ω_0^2)$  bzw.  $ω_0/(p^2 + ω_0^2)$  ergeben. Hierbei bezeichnet  $ω_0 = 2πf_0 = 2π/T$  die so genannte Kreisfrequenz.
 

===Pol–Nullstellen–Darstellung von Schaltungen===

Ein jedes  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme|lineare zeitinvariante System]]  (LZI), das durch eine Schaltung aus diskreten zeitkonstanten Bauelementen wie Widerständen  $(R)$,  Kapazitäten  $(C)$,  Induktivitäten  $(L)$  und Verstärkerelementen realisiert werden kann, besitzt eine gebrochen–rationale  '''$p$–Übertragungsfunktion''':
:$$H_{\rm L}(p)= \frac {A_Z \cdot p^Z +\text{...} + A_2 \cdot p^2 + A_1 \cdot p + A_0} {B_N \cdot p^N +\text{...} \ + B_2 \cdot p^2 + B_1 \cdot p + B_0}= \frac {Z(p)}{N(p)} \hspace{0.05cm} .$$

Alle Koeffizienten des Zählers   ⇒   $A_Z, \text{...} \ , A_0$  und des Nenners   ⇒   $B_N, \text{...} , B_0$  sind reell. Weiter bezeichnen mit
*$Z$  den Grad des Zählerpolynoms  $Z(p)$,
*$N$  den Grad des Nennerpolynoms  $N(p)$.

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Äquivalente Pol–Nullstellen–Darstellung:}$  
Für die  $p$–Übertragungsfunktion kann auch geschieben werden:
:$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {\prod\limits_{i=1}^Z p - p_{\rm o i} } {\prod\limits_{i=1}^N p - p_{\rm x i} }= K \cdot \frac {(p - p_{\rm o 1})(p - p_{\rm o 2})\cdot \text{...} \ \cdot (p - p_{ {\rm o} \hspace{-0.03cm} Z})} {(p - p_{\rm x 1})(p - p_{\rm x 2})\cdot \text{...} \cdot (p - p_{ {\rm x} \hspace{-0.03cm} N})} \hspace{0.05cm} .$$

Die  $Z + N + 1$  Parameter bedeuten:
*$K = A_Z/B_N$  ist ein konstanter Faktor.   Gilt  $Z = N$, so ist dieser dimensionslos.
*Die Lösungen der Gleichung  $Z(p) = 0$  ergeben die  $Z$  Nullstellen  $p_{\rm o1},\text{...} \ , p_{\rm oZ}$  von  $H_{\rm L}(p)$.
*Die Nullstellen des Nennerpolynoms  $N(p)$  liefern die  $N$  Polstellen (oder kurz Pole). }}

Die Umformung ist eindeutig.  Dies erkennt man daran, dass die  $p$–Übertragungsfunktion gemäß der ersten Gleichung ebenfalls nur durch  $Z + N + 1$  freie Parameter bestimmt ist, da einer der Koeffizienten  $A_Z, \text{...} \ , A_0, B_N, \text{...} \ , B_0$  ohne Änderung des Quotienten auf  $1$  normiert werden kann.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 2:}$ 
Wir betrachten den gezeichneten Vierpol mit einer Induktivität  $L$  $($komplexer Widerstand  $pL)$  im Längszweig sowie im Querzweig die Serienschaltung eines Ohmschen Widerstandes  $R$  und einer Kapazität  $C$  mit dem komplexen Widerstand  $1/(pC)$.

[[Datei:P_ID1759__LZI_T_3_2_S4_neu.png|right|frame|Betrachteter Vierpol und dazugehöriges Pol–Nullstellen–Diagramm|class=fit]]

Damit lautet die  $p$–Übertragungsfunktion  $H_{\rm L}(p)= {Y_{\rm L}(p)}/ {X_{\rm L}(p)}$:
:$$H_{\rm L}(p)= \frac {R + {1}/{(pC)} } {pL + R +{1}/{(pC)} }= \frac {1 + p \cdot{RC} } {1 + p \cdot{RC}+ p^2 \cdot{LC} }
\hspace{0.05cm} .$$
Dividiert man Zähler und Nenner durch  $LC$, so ergibt sich:
:$$H_{\rm L}(p)= \frac {R} {L}\cdot \frac {p + {1}/{(RC)} } {p^2 + {R}/ {L}\cdot p + {1}/{(LC)} }$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {p - p_{\rm o } } {(p - p_{\rm x 1})(p - p_{\rm x 2})}
\hspace{0.05cm} .$$

Für  $R = 50 \ \rm Ω$,  $L = 25\ \rm µ H$  und  $C = 62.5 \ \rm nF$  ergeben sich durch Koeffizientenvergleich folgende Werte der  $H_{\rm L}(p)$–Darstellung::
*die Konstante  $K = R/L = 2 · 10^6 \cdot 1/{\rm s}$,
*die Nullstelle  $p_{\rm o} = -1/(RC) = -0.32 · 10^6 \cdot 1/{\rm s},$
*die beiden Pole  $p_{\rm x1}$  und  $p_{\rm x2}$  als Lösung der Gleichung
:$$p^2 + \frac {R} {L}\cdot p + \frac{1}{LC} = 0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm x 1,\hspace{0.05cm}2 }= -\frac {R} {2L}\pm \sqrt{\frac
{R^2} {4L^2}- \frac{1}{LC} }$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm x 1,\hspace{0.05cm}2 }= -10^6 \cdot {1}/{\rm s} \pm \sqrt{10^{12} \cdot {1} /{\rm s^2}-0.64 \cdot 10^{12} \cdot {1}/ {\rm s^2} }\hspace{0.3cm}
\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm x 1 }= -0.4 \cdot 10^6\cdot {1}/ {\rm s},\hspace{0.2cm}p_{\rm x 2 }= -1.6 \cdot 10^6\cdot {1}/ {\rm s} \hspace{0.05cm} .$$
In der Grafik ist rechts das Pol–Nullstellen–Diagramm angegeben.
*Die beiden Achsen bezeichnen den Real– und den Imaginärteil der Variablen  $p$, jeweils normiert auf den Wert  $10^6 · \rm 1/s\; (= 1/µs)$.
*Man erkennt die Nullstelle bei  $p_{\rm o} =\, –0.32$  als Kreis und die Polstellen bei  $p_{\rm x1} = \,–0.4$  und  $p_{\rm x2} = \,–1.6$  als Kreuze.}}
 

===Eigenschaften der Pole und Nullstellen===

Die Übertragungsfunktion  $H_{\rm L}(p)$  einer jeden realisierbaren Schaltung wird durch  $Z$  Nullstellen und  $N$  Pole zusammen mit einer Konstanten  $K$  vollständig beschrieben, wobei folgende Einschränkungen gelten:
*Es gilt stets  $Z ≤ N$.  Mit  $Z > N$  wäre im Grenzfall für  $p → ∞$  (also für sehr hohe Frequenzen) auch die  $p$–Übertragungsfunktion &bdquo;unendlich groß”.
*Die Nullstellen  $p_{{\rm o}i}$  und die Pole  $p_{ {\rm x}i}$  sind im allgemeinen komplex und weisen wie  $p$  die Einheit  $\rm 1/s$  auf. Gilt  $Z < N$, so besitzt auch die Konstante  $K$  eine Einheit.
*Die Pole und Nullstellen können reell sein, wie im letzten Beispiel gezeigt.  Sind sie komplex, so treten immer zwei konjugiert–komplexe Polstellen bzw. zwei konjugiert–komplexe Nullstellen auf, da  $H_{\rm L}(p)$  stets eine reelle gebrochen–rationale Funktion darstellt.
*Alle Pole liegen in der linken Halbebene oder auf der imaginären Achse (Grenzfall). Diese Eigenschaft ergibt sich aus der erforderlichen und vorausgesetzten Kausalität zusammen mit dem  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Einige_Ergebnisse_der_Funktionentheorie|Hauptsatz der Funktionstheorie]].
*Nullstellen können sowohl in der linken als auch in der rechten  $p$–Halbebene auftreten oder auch auf der imaginären Achse.  Nullstellen in der rechten Halbebene gibt es insbesondere bei Allpässen.

Diese Eigenschaften werden nun an drei Beispielen verdeutlicht.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 3:}$ 
Ausgehend von obiger Vierpolschaltung]]  $(L$  im Längszweig,  $R$  und  $C$  im Querzweig$)$  können die charakteristischen Größen der Übertragungsfunktion wie folgt angegeben werden:
:$$K = 2A, \hspace{0.2cm}p_{\rm x 1,\hspace{0.05cm}2 }= -A \pm \sqrt{A^2-B^2}, \hspace{0.2cm}p_{\rm o }= - \frac{B^2}{2A} \hspace{0.05cm} \hspace{0.2cm} {\rm mit } \hspace{0.2cm} A = \frac {R} {2L}, \hspace{0.2cm}B = \frac{1}{\sqrt{LC} } \hspace{0.05cm}.$$
Die Grafik zeigt drei verschiedene Diagramme mit unterschiedlichen Kapazitätswerten  $C$.  Es gilt stets  $R = 50 \ \rm Ω$  und  $L = 25 \ \rm µ H$.  Die Achsen sind auf die Variable  $A = R/(2L) = 10^6 · \rm 1/s$  normiert.  Der konstante Faktor ist jeweils  $K = 2A = 2 · 10^6 · \rm 1/s.$

[[Datei:P_ID2837__LZI_T_3_2_S5_neu.png|right|frame|Lage der Nullstelle und der Pole für  $Z = 1$  und  $N = 2$|class=fit]]

*'''Links:'''  Für  $B/A < 1$  $($hier $B/A =0.8)$  erhält man  '''zwei reelle Pole'''  und eine Nullstelle rechts von  $-A/2$:
:$$ p_{\rm x 1}/A = -0.4 , \hspace{0.2cm}p_{\rm x 2}/A= -1.6 , \hspace{0.2cm}p_{\rm o}/A= -0.32 \hspace{0.05cm} .$$
*'''Rechts''':  Für  $B/A >1$  $($hier $B/A =\sqrt{5})$  ergeben sich  '''zwei konjugiert–komplexe Pole'''  und eine Nullstelle links von  $-A/2$:
:$$p_{\rm x 1,\hspace{0.05cm}2 }/A= -1\pm {\rm j}\cdot 2,\hspace{0.2cm}p_{\rm o}/A\approx -2.5 \hspace{0.05cm} .$$
*'''Mitte''':  Der Fall  $A = B$  führt zu  '''einer reellen doppelten Polstelle'''  und einer Nullstelle bei  $– A/2$: 
:$$ p_{\rm x 1}/A= p_{\rm x 2}/A= -1, \hspace{0.2cm}p_{\rm o}/A= -0.5 \hspace{0.05cm} .$$

Die Impulsantworten  $h(t)$  ergeben sich entsprechend dem folgenden Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation|Laplace–Rücktransformation]]  wie folgt:
*Bei der linken Konstellation ist  $h(t)$  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Aperiodisch_abklingende_Impulsantwort|aperiodisch abklingend]].
*Bei der rechten Konstellation ist  $h(t)$  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Ged.C3.A4mpft_oszillierende_Impulsantwort|gedämpft oszillierend]].
*Bei der mittleren Konstellation spricht man vom  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Aperiodischer_Grenzfall|aperiodischen Grenzfall]]. }}
 

===Grafische Ermittlung von Dämpfung und Phase===

Gegeben sei die  $p$–Übertragungsfunktion in der Pol–Nullstellen–Notation:
:$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {\prod\limits_{i=1}^Z (p - p_{\rm o i})} {\prod\limits_{i=1}^N (p - p_{\rm x i})}= K \cdot \frac {(p - p_{\rm o 1})(p - p_{\rm o 2})\cdot \text{...} \cdot (p - p_{ {\rm o} \hspace{-0.03cm} Z})} {(p - p_{\rm x 1})(p - p_{\rm x 2})\cdot \text{...} \cdot (p - p_{ {\rm x} \hspace{-0.03cm} N})}
\hspace{0.05cm} .$$
Zum herkömmlichen Frequenzgang  $H(f)$  kommt man, indem man das Argument  $p$  von  $H_{\rm L}(p)$  durch  ${\rm j} \cdot 2πf$  ersetzt:
[[Datei:P_ID1761__LZI_T_3_2_S6_neu.png |right|frame|Ausgangsdiagramm zur Berechnung von Dämpfung und Phase|class=fit]]
:$$H(f)= K \cdot \frac {({\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{\rm o 1})({\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{\rm o 2})\cdot \text{...} \cdot ({\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{ {\rm o} \hspace{-0.03cm} Z})} {({\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{\rm x 1})({\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{\rm x 2})\cdot \text{...}\cdot ({\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{ {\rm x} \hspace{-0.03cm} N})} \hspace{0.05cm} .$$
Wir betrachten nun einen speziellen $p$–Wert und damit eine feste Frequenz $f$.  Die Abstände und Winkel aller Nullstellen beschreiben wir durch Vektoren:

:$$R_{ {\rm o} i} = {\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{ {\rm o} i}= |R_{{\rm o} i}| \cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j}\hspace{0.03cm}\cdot\hspace{0.03cm}\phi_{ {\rm o} i} },
\hspace{0.3cm}i= 1, \text{...}\ , Z \hspace{0.05cm} .$$
In gleicher Weise gehen wir für die Polstellen vor:
:$$R_{ {\rm x} i} = {\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{ {\rm x} i}= |R_{ {\rm x} i}| \cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j}\hspace{0.03cm}\cdot\hspace{0.03cm}\phi_{ {\rm x} i} }, \hspace{0.3cm}i= 1, \text{...}\ , N \hspace{0.05cm} .$$

Die Grafik zeigt die Beträge und Phasenwinkel für ein System
*mit  $Z = 2$  Nullstellen in der rechten Halbebene
*und  $N = 2$  Polstellen in der linken Halbebene.

Zu berücksichtigen ist zudem die Konstante $K$.

Mit dieser Vektordarstellung kann für den Frequenzgang geschrieben werden:
:$$H(f)= K \cdot \frac {|R_{ {\rm o} 1}| \cdot |R_{ {\rm o} 2}|\cdot ... \cdot |R_{ {\rm o} \hspace{-0.03cm} Z}|} {|R_{ {\rm x} 1}| \cdot |R_{ {\rm x} 2}|\cdot \text{...} \cdot |R_{ {\rm x} \hspace{-0.03cm} N}|} \cdot {\rm e^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot [ \phi_{ {\rm o} 1}\hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}\phi_{ {\rm o} 2} \hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}\hspace{0.1cm}\text{...}. \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm}\phi_{ {\rm o} \hspace{-0.03cm}{\it Z}}\hspace{0.1cm}- \hspace{0.1cm}\phi_{ {\rm x} 1}\hspace{0.1cm}- \hspace{0.1cm}\phi_{ {\rm x} 2} \hspace{0.1cm}- \hspace{0.1cm}... \hspace{0.1cm}
- \hspace{0.1cm} \phi_{ {\rm x} \hspace{-0.03cm}{\it N} }]} } \hspace{0.05cm} .$$

Stellt man  $H(f)$  durch die Dämpfungsfunktion  $a(f)$  und die Phasenfunktion  $b(f)$  nach der allgemein gültigen Beziehung  $H(f) = {\rm e}^{-a(f)\hspace{0.05cm}- \hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}b(f)}$  dar, so erhält man durch den Vergleich mit der obigen Gleichung das folgende Ergebnis:
*Bei geeigneter Normierung aller dimensionsbehafteten Größen gilt für die Dämpfung in Neper  $(1 \ \rm Np$ entspricht $8.686 \ \rm dB)$:
:$$a(f) = -{\rm ln} \hspace{0.1cm} K + \sum \limits_{i=1}^N {\rm ln} \hspace{0.1cm} |R_{ {\rm x} i}|- \sum \limits_{i=1}^Z {\rm ln} \hspace{0.1cm} |R_{ {\rm o} i}| \hspace{0.05cm} .$$
*Die Phasenfunktion in Radian $\rm (rad)$ ergibt sich entsprechend der oberen Skizze zu
:$$b(f) = \phi_K + \sum \limits_{i=1}^N \phi_{ {\rm x} i}- \sum \limits_{i=1}^Z \phi_{ {\rm o} i}\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.2cm} \phi_K = \left\{ \begin{array}{c} 0 \\ \pi \end{array} \right. \begin{array}{c} {\rm{f\ddot{u}r} } \\ {\rm{f\ddot{u}r} } \end{array}\begin{array}{*{20}c} { K > 0\hspace{0.05cm},} \\ { K <0\hspace{0.05cm}.} \end{array}$$

[[Datei:P_ID1762__LZI_T_3_2_S6b_neu.png |right|frame| Zur Berechnung der Dämpfungs– und Phasenfunktion (Bildschirmabzug einer früheren Version von &bdquo;Kausale Systeme & Laplace–Transformation”)|class=fit]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 4:}$ 
Die Grafik verdeutlicht die Berechnung
*der Dämpfungsfunktion  $a(f)$   ⇒   roter Kurvenverlauf,  und
*der Phasenfunktion  $b(f)$   ⇒   grüner Kurvenverlauf

eines Vierpols, der durch den Faktor  $K = 1.5$, eine Nullstelle bei  $-3$  und zwei Pole bei  $–1 \pm {\rm j} · 4$  festliegt.

Wie im Applet verwenden wir auch in diesem Beispiel die normierte Frequenz $f\hspace{0.05cm}'=(2\pi T)\cdot f$.  Der Zeitnormierungswert sei  $T=1$.

Die angegebenen Zahlenwerte gelten für die Frequenz $f\hspace{0.05cm}' = 3$.  Die Herleitung dieser Zahlenwerte ist im umrahmten Block verdeutlicht:
:$$a \big (f\hspace{0.05cm}' = {3} \big ) = a \big [f = {3}/({2\pi T}) \big ] = 0.453\,\,{\rm Np}= 3.953\,\,{\rm dB}$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.4cm}\big \vert H \big (f\hspace{0.05cm}' = {3} \big )\big \vert = 0.636,$$
:$$ b\big (f\hspace{0.05cm}' = {3} \big ) = -8.1^\circ \hspace{0.05cm} .$$

Für den Betragsfrequenzgang   $\vert H(f)\vert$   ⇒   blauer Kurvenverlauf ergibt sich ein bandpassähnlicher Verlauf mit
:$$\vert H(f = 0)\vert \approx 0.25\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}
\vert H(f = {4}/(2\pi T)\vert \approx 0.637\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}
\vert H(f \rightarrow \infty)\vert= 0 \hspace{0.05cm} .$$}}
 

===Laplace–Rücktransformation und Residuensatz===

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Aufgabenstellung:}$  Dieses Kapitel behandelt das folgende Problem:
*Bekannt ist die  $p$–Spektralfunktion  $Y_{\rm L}(p)$  in der Pol–Nullstellen–Form.
*Gesucht ist die  '''Laplace–Rücktransformierte''', also die dazugehörige Zeitfunktion  $y(t)$, wobei folgende Notation gelten soll:
:$$y(t) = {\rm L}^{-1}\{Y_{\rm L}(p)\}\hspace{0.05cm} , \hspace{0.3cm}{\rm kurz}\hspace{0.3cm}
y(t) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}\rm L}\!\!\!-\!\!\bullet\quad Y_{\rm L}(p)\hspace{0.05cm} .$$}}

Im Gegensatz zu den  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|Fourierintegralen]], die sich in den beiden Transformationsrichtungen nur geringfügig unterscheiden, ist bei &bdquo;Laplace” die Berechnung von  $y(t)$  aus  $Y_{\rm L}(p)$ – also die Rücktransformation –
*sehr viel schwieriger als die Berechnung von  $Y_{\rm L}(p)$  aus  $y(t)$,
*auf elementarem Weg nicht oder nur sehr umständlich lösbar.

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definition:}$ 
Allgemein gilt für die  '''Laplace–Rücktransformation''':
:$$y(t) = {\rm L}^{-1}\{Y_{\rm L}(p)\}= \lim_{\beta \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}\infty} \hspace{0.15cm} \frac{1}{ {\rm j} \cdot 2 \pi}\cdot \int_{ \alpha - {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi \beta } ^{\alpha+{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi \beta} Y_{\rm L}(p) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}\hspace{0.1cm}{\rm
d}p \hspace{0.05cm} .$$
*Die Integration erfolgt parallel zur imaginären Achse.
*Der Realteil  $α$  ist so zu wählen, dass alle Pole links vom Integrationsweg liegen.}}

Die linke Grafik verdeutlicht dieses Linienintegral entlang der rot gepunkteten Vertikalen  ${\rm Re}\{p\}= α$.  Lösbar ist dieses Integral mit dem  [https://de.wikipedia.org/wiki/Lemma_von_Jordan Jordanschen Lemma der Funktionstheorie].  Hier folgt nur eine sehr kurze und einfache Zusammenfassung der Vorgehensweise:

[[Datei:P_ID1777__LZI_T_3_3_S2_neu.png |right|frame| Linienintegral sowie linkes und rechtes Kreisintegral]]
*Das Linienintegral kann gemäß der Skizze in zwei Kreisintegrale aufgeteilt werden.  Alle Polstellen liegen im linken Kreisintegral.  Das rechte Kreisintegral darf nur Nullstellen beinhalten.
*Das rechte Kreisintegral liefert die Zeitfunktion  $y(t)$  für negative Zeiten.  Aufgrund der Kausalität muss  $y(t < 0)$  identisch Null sein, was aber nach dem Hauptsatz der Funktionstheorie nur dann zutrifft, wenn es in der rechten  $p$–Halbebene keine Pole gibt.
*Das Integral über den linken Halbkreis liefert die Zeitfunktion für  $t ≥ 0$.  Dieses umschließt alle Polstellen und ist mit dem Residuensatz in (relativ) einfacher Weise berechenbar, wie im Folgenden gezeigt wird.

Es wird weiterhin vorausgesetzt, dass die Übertragungsfunktion  $Y_{\rm L}(p)$  in Pol–Nullstellen–Form durch den konstanten Faktor  $K$,  die  $Z$  Nullstellen  $p_{{\rm o}i}$  $(i = 1$, ... , $Z)$  und die  $N$  Polstellen  $p_{{\rm x}i}$  $(i = 1$, ... , $N$)  dargestellt werden kann. Wir setzen zudem  $Z < N$  voraus.

Die Anzahl der unterscheidbaren Pole bezeichnen wir mit  $I$.  Zur Bestimung von  $I$  werden mehrfache Pole nur einfach gezählt.  So gilt für die obige Skizze aufgrund einer doppelten Polstelle:   $N = 5$  und  $I = 4$.

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Residuensatz:}$ 
Unter den genannten Voraussetzungen ergibt sich die  '''Laplace–Rücktransformierte'''  von  $Y_{\rm L}(p)$  für Zeiten  $t ≥ 0$  als die Summe von  $I$  Eigenschwingungen der Pole, die man als die  '''Residuen'''  – abgekürzt mit „Res” – bezeichnet:
:$$y(t) = \sum_{i=1}^{I}{\rm Res} \bigg \vert _{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}_i}} \hspace{-0.7cm}\{Y_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t}\} \hspace{0.05cm} .$$

Da  $Y_{\rm L}(p)$  nur für kausale Signale angebbar ist, gilt für negative Zeiten stets  $y(t < 0) = 0$.

*Für einen Pol der Vielfachheit  $l$  gilt allgemein:
:$${\rm Res} \bigg \vert _{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x}_i} } \hspace{-0.7cm}\{Y_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p t}\}= \frac{1}{(l-1)!}\cdot \frac{ {\rm d}^{\hspace{0.05cm}l-1} }{ {\rm d}p^{\hspace{0.05cm}l-1} }\hspace{0.15cm} \left \{Y_{\rm L}(p)\cdot (p - p_{ {\rm x}_i})^{\hspace{0.05cm}l}\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t}\right\} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x}_i} } \hspace{0.05cm} .$$
*Als Sonderfall ergibt sich daraus mit  $l = 1$  für einen einfachen Pol:
:$${\rm Res} \bigg\vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x}_i} } \hspace{-0.7cm}\{Y_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p t}\}= Y_{\rm L}(p)\cdot (p - p_{ {\rm x}_i} )\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \bigg \vert _{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x}_i} } \hspace{0.05cm} .$$}}
 
===Drei Beispiele zur Anwendung des Residuensatzes bei zwei Polen===

Nun wird der Residuensatz anhand dreier ausführlicher Beispiele verdeutlicht, die mit den drei Konstellationen im obigen  $\text{Beispiel 3}$  im Kapitel &bdquo;Laplace–Transformation” korrespondieren:
*Wir betrachten also wieder den Vierpol mit einer Induktivität  $L = 25 \ \rm µH$  im Längszweig sowie im Querzweig die Serienschaltung aus einem Ohmschen Widerstand  $R = 50 \ \rm Ω$  und einer Kapazität  $C$.  Für Letztere betrachten wir wieder drei verschiedene Werte, nämlich  $C = 62.5 \ \rm nF$,  $C = 8 \ \rm nF$ und  $C = 40 \ \rm nF$.
*Vorausgesetzt ist zudem stets  $x(t) = δ(t) \; ⇒ \; X_{\rm L}(p) = 1$   ⇒   $Y_{\rm L}(p) = H_{\rm L}(p)$   ⇒   $y(t)$  ist gleich der Impulsantwort  $h(t)$.

[[Datei: P_ID1772__LZI_T_3_3_S3a_kurz.png |right|frame| Aperiodisch aklingende Impulsantwort]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 5: Aperiodisch abklingende Impulsantwort:}$ 

Mit  $C = 62.5 \ \rm nF$  erhält man für die   $p$–Übertragungsfunktion:
:$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {p - p_{\rm o } } {(p - p_{\rm x 1} )(p - p_{\rm x 2}) }= 2 \cdot \frac {p + 0.32 }
{(p +0.4)(p +1.6 )} \hspace{0.05cm} .$$

Beachten Sie bitte die vorgenommene Normierung von  $p$,  $K$ sowie aller Pole und Nullstellen mit dem Faktor  ${\rm 10^6} · 1/\rm s$.

Die Impulsantwort setzt sich aus  $I = N = 2$  Eigenschwingungen zusammen. Für $t < 0$  sind diese gleich Null.
*Das Residium des Pols bei  $p_{\rm x1} =\ –0.4$  liefert die Zeitfunktion:
:$$h_1(t) = {\rm Res} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x}1} } \hspace{-0.7cm}\{H_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p t}\}= H_{\rm L}(p) \cdot {\rm e}^{p t} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}1}} = $$
:$$\hspace{1.05cm}= 2 \cdot \frac {p + 0.32 } {p +0.4}\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}-0.4}= - \frac {2 } {15}\cdot {\rm e}^{-0.4 \hspace{0.05cm} t} \hspace{0.05cm}. $$

*In gleicher Weise kann das Residium des zweiten Pols bei  $p_{\rm x2} = \ –1.6$  berechnet werden:
:$$h_2(t) = {\rm Res} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x}2} } \hspace{-0.7cm}\{H_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p t}\}= H_{\rm L}(p) \cdot {\rm e}^{p t} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}2}}=$$
:$$\hspace{1.05cm}= 2 \cdot \frac {p + 0.32 } {p +1.6}\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}-1.6}=\frac {32 } {15}\cdot {\rm e}^{-1.6 \hspace{0.05cm} t} \hspace{0.05cm}.$$

Die Grafik zeigt  $h_1(t)$  und  $h_2(t)$  sowie das Summensignal  $h(t)$.  Berücksichtigt ist der Normierungsfaktor  $1/T = 10^6 · \rm 1/s$  ⇒   die Zeit ist auf  $T = 1 \ \rm µ s$  normiert.
*Für  $t =0$  ergibt sich  $T \cdot h(t=0) = 32/15-2= 2 \hspace{0.05cm}$. 
*Für Zeiten  $t > 2 \ \rm µ s$  ist die Impulsantwort negativ  (wenn auch nur geringfügig und in der Grafik nur schwer zu erkennen).}}
 
[[Datei:P_ID1780__LZI_T_3_3_S3b_kurz.png |right|frame| Gedämpft oszillierende Impulsantwort]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 6: Gedämpft oszillierende Impulsantwort:}$ 

Die Bauelementewerte  $R = 50 \ \rm Ω$,  $L = 25 \ \rm µ H$ und  $C = 8 \ \rm nF$ ergeben zwei konjugiert komplexe Pole bei  $p_{{\rm x}1} = \ –1 + {\rm j} · 2$  und  $p_{{\rm x}2} = \ –1 - {\rm j} · 2$.  Die Nullstelle liegt bei  $p_{\rm o} = \ –2.5$. Es gilt  $K = 2$  und alle Zahlenwerte sind wieder mit dem Faktor  $1/T$  zu multiplizieren $(T = 1\ \rm µ s$).

Wendet man den Residuensatz auf diese Konfiguration an, so erhält man:
:$$h_1(t) = \text{ ...} = K \cdot \frac {p_{\rm x 1} - p_{\rm o }} {p_{\rm x 1} - p_{\rm x 2}}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 1} \cdot \hspace{0.05cm}t} 2 \cdot \frac {1.5 + {\rm j}\cdot 2} {{\rm j}\cdot 4}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 1} \cdot\hspace{0.05cm}t}$$

:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h_1(t) = \frac {3 + {\rm j}\cdot 4} {{\rm j}\cdot 4}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 1} \cdot\hspace{0.05cm}t}= (1 - {\rm j}\cdot 0.75)\cdot {\rm
e}^{-t}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2t} \hspace{0.05cm} ,$$
:$$ h_2(t) = \text{ ...} = K \cdot \frac {p_{\rm x 2} - p_{\rm o }} {p_{\rm x 2} - p_{\rm x 1}}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 2} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}= 2 \cdot \frac {1.5 - {\rm j}\cdot 2} {-{\rm j}\cdot 4}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 2} \hspace{0.03cm}\cdot\hspace{0.05cm}t} $$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h_2(t) = (1 + {\rm j}\cdot 0.75)\cdot {\rm e}^{-t}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2t} \hspace{0.05cm} . $$

Mit dem  [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Satz von Euler]]  ergibt sich somit für das Summensignal:
:$$h(t) = h_1(t) + h_2(t)= {\rm e}^{-t}\cdot \big [ (1 - {\rm j}\cdot 0.75)\cdot (\cos(2t) + {\rm j}\cdot \sin(2t))+
(1 + {\rm j}\cdot 0.75)\cdot (\cos(2t) - {\rm j}\cdot \sin(2t))\big ]$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h(t) ={\rm e}^{-t}\cdot \big [ 2\cdot \cos(2t) + 1.5 \cdot \sin(2t)\big ]\hspace{0.05cm} . $$

Die Grafik zeigt die nun mit  ${\rm e}^{–t}$  gedämpft oszillierende Impulsantwort  $h(t)$  für diese Pol–Nullstellen–Konfiguration.}}
 

[[Datei:P_ID1774__LZI_T_3_3_S3c_kurz.png |right|frame| Impulsantwort und Sprungantwort des aperiodischen Grenzfalls]]

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 7: Aperiodischer Grenzfall:}$ 

Der Kapazitätswert  $C = 40 \ \rm nF$  ist der kleinstmögliche Wert, für den sich gerade noch reelle Polstellen ergeben.  Diese fallen zusammen, das heißt  $p_{\rm x} = \ –1$  ist eine doppelte Polstelle. 
:$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {p - p_{\rm o } } {(p - p_{\rm x })^2}= 2 \cdot \frac {p + 0.5 } { (p +1)^2} \hspace{0.05cm} .$$

Die Zeitfunktion lautet somit entsprechend dem Residuensatz mit  $l = 2$:
:$$h(t) = {\rm Res} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x} } } \hspace{-0.7cm}\{H_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p t}\} $$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} h(t) = \frac{ {\rm d} }{ {\rm d}p}\hspace{0.15cm}
\left \{H_{\rm L}(p)\cdot (p - p_{ {\rm x} })^2\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t}\right\} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x} } }$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} h(t) = K \cdot \frac{ {\rm d} }{ {\rm d}p}\hspace{0.15cm}\left \{ (p - p_{ {\rm o} })\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t}\right\} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x} } } \hspace{0.05cm} .$$

Mit der ''Produktregel''  der Differentialrechnung ergibt sich daraus:
:$$h(t) = K \cdot \left [ {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} + (p - p_{ {\rm o} })\cdot t \cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \right ] \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}-1} = {\rm e}^{-t}\cdot \left ( 2 - t \right)
\hspace{0.05cm} .$$

Die Grafik zeigt diese Impulsantwort (grüne Kurve) in normierter Darstellung.  Sie unterscheidet sich von derjenigen in  $\text{Beispiel 5}$  mit den beiden unterschiedlichen Polen bei  $-0.4$  und  $-1.6$  nur geringfügig.

Die rot gezeichnete Sprungantwort  $\sigma(t) = 1 - {\rm e}^{-t} + t \cdot {\rm e}^{-t}$  ergibt sich, wenn man am Eingang zusätzlich eine Sprungfunktion berücksichtigt.  Zu deren Berechnung kann man alternativ

*bei der Residuenberechnung einen zusätzlichen Pol bei  $p = 0$   (rot markiert) berücksichtigen,
*oder das Integral über die Impulsantwort  $h(t)$  bilden.}}
 
===Partialbruchzerlegung===

Voraussetzung für die Anwendung des Residuensatzes ist, dass es weniger Nullstellen als Pole gibt   ⇒   $Z$  muss stets kleiner als  $N$  sein.

Gilt dagegen wie bei einem Hochpass  $Z = N$, so
*ist der Grenzwert der Spektralfunktion für großes  $p$  ungleich Null,
*beinhaltet das zugehörige Zeitsignal  $y(t)$  auch einen  [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Diracimpuls|Diracimpuls]],
*versagt der Residuensatz und es ist eine ''Partialbruchzerlegung''  vorzunehmen.

{{BlaueBox|TEXT=
Man geht hierbei wie folgt vor:
# Partialbruchzerlegung:  $Y(p) = K + Q(p)$,
# Diskreter Anteil der Zeitfunktion:  $y_{\rm disk}(t)=K \cdot \delta(y)$   ⇒   Dirac bei  $y=0$  mit Gewicht  $K$,
# Kontinuierlicher Anteil der Zeitfunktion:  $y_{\rm kont}(t)$  gemäß  $Q(p)= K - Y(p)$.}}

Die Vorgehensweise soll beispielhaft für einen Hochpass erster Ordnung verdeutlicht werden.  Anstelle von  $Y(p)$  und  $y(t)$  verwenden wir deshalb  $H(p)$  und  $h(t)$.

[[Datei:P_ID1775__LZI_T_3_3_S5_neu.png |right|frame| Impulsantwort von Tiefpass (blau) und Hochpass (rot)]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 8:}$ 
Die  $p$–Übertragungsfunktion eines Hochpasses erster Ordnung mit  $p_{\rm x}=-1$  und  $K=H(p \to \infty) = 1$  kann durch Abspaltung der Konstanten  $K$  wie folgt umgewandelt werden:
:$$H_{\rm HP}(f) = \frac{p}{p + 1} = 1- \frac{1}{p +1}\hspace{0.05cm} .$$
Damit lautet die Hochpass–Impulsantwort:
:$$h_{\rm HP}(t) = \delta(t) - h_{\rm TP}(t) \hspace{0.05cm} .$$

Die Grafik zeigt
*als rote Kurve die Hochpass–Impulsantwort  $h_{\rm HP}(t)$,
* als blaue Kurve die Impulsantwort  $h_{\rm TP}(t)$  des äquivalenten Tiefpasses.

Die Diracfunktion ist die Laplace–Transformierte des konstanten Wertes $1$. Der kontinuierliche Anteil  $h_{\rm kont}(t)=-h_{\rm TP}(t)$  ergibt sich mit  $Q(p) = 1/(p+1)$  nach dem Residuensatz.

Noch ein zweites numerisches Beispiel, hier mit  $K=2$:

:$$H_{\rm HP}(f) = \frac{2\cdot (p+1)(p-1)}{(p + 2)^2}\ \Rightarrow \ Q(p) = 2- \frac{2\cdot (p+1)(p-1)}{(p + 2)^2}= \frac{2\cdot (p + 2)^2 - 2\cdot (p^2-1)}{(p + 2)^2} = \frac{8\cdot (p + 1.25)}{(p + 2)^2}.$$
}}

==Versuchsdurchführung==
 
*Wählen Sie zunächst die Nummer  $(1,\ 2$, ... $)$  der zu bearbeitenden Aufgabe.  Die Nummer  $0$  entspricht einem &bdquo;Reset”:  Einstellung wie beim Programmstart.
*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt.  Die Parameterwerte sind angepasst.  Lösung nach Drücken von &bdquo;Musterlösung”.
*Analysieren Sie bei allen Aufgaben die dargestellen Grafiken im Frequenzbereich  ⇒   &bdquo;$(f)$”  und/oder Zeitbereich  ⇒   &bdquo;$(t)$”.
*Für die normierte Zeit gilt  $t\hspace{0.05cm}'=t/T$  und für die normierte Frequenz  $f\hspace{0.05cm}'=(2\pi T)\cdot f$.  Die Ordinaten im Frequenzbereich sind  $Y(f\hspace{0.05cm}')$  und im Zeitbereich  $y(t\hspace{0.05cm}')$. 
*Ein diracförmiges Eingangssignal   ⇒   $X_{\rm L}(p) =1$  beschreibt ein LZI–System mit der Impulsantwort  $h(t\hspace{0.05cm}')$  und dem Frequenzgang   $H(f\hspace{0.05cm}')$.
*Eine Sprungfunktion am Eingang   ⇒   $X_{\rm L}(p) =1/p$  wird am Ausgang durch die Sprungantwort  $\sigma(t\hspace{0.05cm}')$  und deren Spektralfunktion  ${\it \Sigma}(f\hspace{0.05cm}')$  charakterisiert.
 

{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''   Interpretieren Sie die Grafiken  &bdquo;$(f)$”  und  &bdquo;$(t)$”  gemäß  $\text{Satz 1:}\ K = 1, \ Z = 0,\ N= 1,\ p_{\rm x1} = -1$.  Was ändert sich nach Variation von  $p_{\rm x1}$? }}

* &bdquo;$(t)$”  zeigt die Exponentialfunktion  $y(t\hspace{0.05cm}')$:  Maximum  $y(t\hspace{0.05cm}' = 0) = 1$,  Abfallzeitkonstante  $T\hspace{0.05cm}' =1$.  &bdquo;$(f)$”  beschreibt das zugehörige komplexe Spektrum  $Y(f\hspace{0.05cm}')$.
*Mit  $p_{\rm x1} = -2$:  Steilerer  Abfall  $(T\hspace{0.05cm}' =0.5)$,  gleicher Maximalwert.  $|Y(f\hspace{0.05cm}')|$ ist nun halb so hoch und doppelt so breit:  $|Y(f\hspace{0.05cm}'=0)|=0.5$,  $|Y(f\hspace{0.05cm}'=3.5)|\approx 0.25$.
*Nähert sich  $p_{\rm x1}\to 0$  dem Nullwert von links immer mehr an, so wird  $T\hspace{0.05cm}'$  immer größer.  Im Grenzfall  $p_{\rm x1} \to 0$  ergibt sich die Sprungfunktion:  $y(t\hspace{0.05cm}') \equiv 1$  für  $t\hspace{0.05cm}' \ge 0$.
*Mit  $p_{\rm x1}> 0$  steigt das Zeitsignal von  $y(t\hspace{0.05cm}'=0)=1$  bis ins Unendliche.  Eine solche Konstellation kann es bei einem realisierbaren System nicht geben.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''   Es gelten weiter die Einstellungen gemäß  $\text{Satz 1}$.  Interpretieren Sie aber nun die Grafiken für ein LZI–System und ermitteln Sie dessen Kenngrößen.          
Betrachten Sie insbesondere den Gleichsignalübertragungsfaktor  $\vert H(f\hspace{0.05cm}'= 0)\vert$  und die 3dB–Grenzfrequenz.  Variieren Sie die Parameter  $p_{\rm x1}$  und  $K$.}}

*Entsprechend der  &bdquo;$(f)$”–Grafik handelt es sich um einen Tiefpass   ⇒   $H(f\hspace{0.05cm}') \to H_{\rm TP}(f\hspace{0.05cm}')$  und zwar mit dem Gleichsignalübertragungsfaktor   $|H_{\rm TP}(f\hspace{0.05cm}'= 0)| = 1$. 
*Die normierte 3dB–Grenzfrequenz ist diejenige Frequenz, bei der  $\vert H_{\rm TP}(f\hspace{0.05cm}')\vert$  um den Faktor $1/\sqrt{2}$  kleiner ist als das Maximum:  $f_{\rm 3\hspace{0.05cm} dB}\hspace{0.05cm}' = 1$   ⇒   $f_{\rm 3\hspace{0.05cm} dB} = 1/(2πT)$.
*Bei  $p_{\rm x1}= -2$  ist diese Größe doppelt so groß:  $f_{\rm 3\hspace{0.10cm} dB}\hspace{0.05cm}' = 2$.  Um wieder  $|H(f\hspace{0.05cm}'= 0)| = 1$  zu erreichen, ist zusätzlich  $K= 2$  anzupassen.
*Für die Herleitung der hier verwendeten Gleichungen verweisen wir auf das  $\text{Beispiel 1}$  im Theorieteil.  Man bezeichnet das Filter als '''Tiefpass erster Ordnung'''.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''   Nun gelte  $K=1$  und  $p_{\rm x1}= -2.$  Welchen Verlauf hat das Ausgangssignal  $y(t\hspace{0.05cm}')$,  wenn am Eingang eine Sprungfunktion anliegt   ⇒   $X_{\rm L}(p) =1/p$. }}

*Die  &bdquo;$(t)$”–Grafik zeigt die exponentiell abfallende Impulsantwort  $h(t\hspace{0.05cm}')$  ⇒   das Ausgangssignal  $y(t\hspace{0.05cm}')$  für eine Diracfunktion am Eingang.
*Bei anderem Eingangssignal  $x(t\hspace{0.05cm}')$  erhält man das Ausgangssignal  $y(t\hspace{0.05cm}')$  durch dessen Faltung mit  $h(t\hspace{0.05cm}')$.  Oder mit den  $p\hspace{0.05cm}$–Funktionen:  $Y_{\rm L}(p)= X_{\rm L}(p) \cdot H_{\rm L}(p)$.
*Für die Sprungfunktion gilt:  $X_{\rm L}(p)= 1/p$   ⇒   $Y_{\rm L}(p)= K/\big [(p-p_{\rm x1}) \cdot p\big ]$   ⇒   Die Einstellung  $N= 2,\ p_{\rm x1} = -1, \ p_{\rm x2} = 0 $  liefert die Sprungantwort  $\sigma(t\hspace{0.05cm}')$.
*Die  &bdquo;$(t)$”–Grafik zeigt die exponentiell ansteigende Sprungantwort  $\sigma(t\hspace{0.05cm}')$.  Für  $K=1$  ist der Endwert gleich  $\sigma(t\hspace{0.05cm}' \to \infty) = 0.5$.  Mit  $K=2$  gilt  $\sigma(t\hspace{0.05cm}'\to \infty) = 1$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''   Interpretieren Sie die Grafiken für die Einstellung  $K = 1, \ Z = 1, \ p_{\rm o1} = 0, \ N= 1,\ p_{\rm x1} = -2$.  Welcher Unterschied ergibt sich gegenüber  $Z=0$? }}

*Mit  $Z=0$:  Tiefpass 1. Ordnung mit  $H_{\rm TP}(p)= 1/(p+2)$   ⇒   $H_{\rm TP}(f\hspace{0.05cm}'= 0)= 0.5$,  $H_{\rm TP}(f\hspace{0.05cm}'\to \infty)= 0$,  $h_{\rm TP}(t\hspace{0.05cm}')= {\rm e}^{-2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm}'}$  für  $t\hspace{0.05cm}'\ge 0$.  Siehe  $(2)$  und  $(3)$.
*Mit  $Z=1$:  Hochpass 1. Ordnung mit  $H_{\rm HP}(p)= p/(p+2)$   ⇒   $H_{\rm HP}(f\hspace{0.05cm}'= 0)= 0$,  $H_{\rm HP}(f\hspace{0.05cm}'\to \infty)= 1$.  Da  $Z=N$:  $h_{\rm TP}(t\hspace{0.05cm}')$  erst nach Partialbruchzerlegung:
*$H_{\rm HP}(p)= p/(p+2) = 1- 2/(p+2)$  führt zur Impulsantwort  $h_{\rm HP}(t\hspace{0.05cm}')= \delta(t\hspace{0.05cm}') - 2 \cdot{\rm e}^{-2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm}'}= \delta(t\hspace{0.05cm}') - 2 \cdot h_{\rm TP}(t\hspace{0.05cm}')$  ⇒   $\text{zusätzliche Diracfunktion}$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''   Wie lautet die Sprungantwort  $\sigma_{\rm HP}(t\hspace{0.05cm}')$  des in  $(4)$  behandelten Hochpasses  $H_{\rm HP}(p)= p/(p+2)$? }}

*Die zugehörige  $p\hspace{0.05cm}$–Spektralfunktion lautet:  ${\it \Sigma}_{\rm HP}(p) =X_{\rm L}(p) \cdot H_{\rm HP}(p)= 1/p \cdot p/(p+2) = 1/(p+2)=H_{\rm TP}(p) $  ⇒   $\sigma_{\rm HP}(t\hspace{0.05cm}')= {\rm e}^{-2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm}'}$  für  $t\hspace{0.05cm}'\ge 0$.
*Die Nullstelle  $p_{\rm o1}=0$  und die Polstelle  $p_{\rm x2}=0$  heben sich gegenseitig auf.  Deshalb ergibt sich das gleiche Zeitsignal wie in  $(3)$.
*Sie müssen also folgende Einstellung wählen:  $K = 1, \ Z = 1, \ p_{\rm o1} = 0, \ N= 2,\ p_{\rm x1} = -2,\ p_{\rm x2} = 0$.
*Die Zeitfunktion springt bei  $t\hspace{0.05cm}' =0$  sofort auf  $1$  $($der HP beeinflusst den Sprung nicht$)$  und fällt dann exponentiell auf  $0$  ab  $($der HP sperrt jedes Gleichsignal$)$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''   Nun gelte folgende Einstellung:  $K = 1, \ Z = 0, \ N= 1,\ p_{\rm x1} = -5 \cdot {\rm j}$.  Liegt ein realisierbares System vor?  Welchen Verlauf hat die Impulsantwort  $h(t\hspace{0.05cm}')$?          
Wie ändert sich die Impulsanwort mit  $ p_{\rm x1} = -0.1 -5 \cdot {\rm j}$  bzw. mit  $ p_{\rm x1} = +0.1 -5 \cdot {\rm j}$ ? }}

*Der Frequenzgang hat bei  $f\hspace{0.05cm}'= -5$  eine Unendlichkeitstelle.  Es ist aber kein diracförmiger Verlauf, da außerhalb nicht  $H(f\hspace{0.05cm}' \ne -5) \equiv 0$  gilt.
*Die Impulsantwort ist eine komplexe Exponentialfunktion   ⇒   $\text{das System ist nicht realisierbar}$.  $h(t\hspace{0.05cm}')={\rm e}^{-5 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm}'}$  dreht mathematisch negativ (im Uhrzeigersinn).
*Mit  $p_{\rm x1}= \pm 5 \cdot {\rm j}$  beträgt die normierte Periodendauer  $T_0\hspace{0.05cm}'= 2\pi/5 \approx 1.256$.  Es gilt also   $h(t\hspace{0.05cm}'=T_0\hspace{0.05cm}')= h(t\hspace{0.05cm}'=0)= 1.$
*Bei  ${\rm Re}\hspace{0.05cm}[p_{\rm x1}] \ne 0$  klingt die komplexe Exponentialfunktion kontinuierlich ab  $({\rm Re}\hspace{0.05cm}[p_{\rm x1}] < 0)$  bzw. kontinuierlich an  $({\rm Re}\hspace{0.05cm}[p_{\rm x1}] > 0)$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(7)'''   Wie ändert sich die  &bdquo;$(t)$”–Grafik, wenn man den Imaginärteil von  $p_{\rm x1}$  verändert:  $p_{\rm x1}= -5 \cdot {\rm j}$,  $p_{\rm x1}= -2 \cdot {\rm j}$,  $p_{\rm x1}= 0 $,  $p_{\rm x1}= +2 \cdot {\rm j}$,  $p_{\rm x1}= +5 \cdot {\rm j}$.}}

*Bei positivem Imaginärteil von  $p_{\rm x1}$  dreht  $h(t\hspace{0.05cm}')$  stets in mathematisch positiver Richtung (entgegen dem Uhrzeigersinn),  bei negativem Imaginärteil im Uhrzeigersinn.
*Die normierte Periodendauer  $T_0\hspace{0.05cm}'= 2\pi/5 \approx 1.256$  gilt für  $p_{\rm x1}= \pm5 \cdot {\rm j}$  gleichermaßen und  $T_0\hspace{0.05cm}'= 2\pi/2 \approx 3.14$  gilt für  $p_{\rm x1}= \pm2 \cdot {\rm j}$.
*Für  $p_{\rm x1}= 0$  ergibt sich die  $p$–Übertragungsfunktion  $H_{\rm L}(p)=1/p$.  Daraus folgt die Sprungfunktion:   $h(t\hspace{0.05cm}') \equiv 1$  für  $t\hspace{0.05cm}' \ge 0$  und  $h(t\hspace{0.05cm}') \equiv 0$  für  $t\hspace{0.05cm}' < 0$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(8)'''   Interpretieren Sie die Grafiken  &bdquo;$(t)$”  und  &bdquo;$(f)$”  gemäß  $\text{Satz 2:}\ K = 1, \ Z = 1,\ p_{\rm o1} =0, \ N= 2,\ p_{\rm x1} = +5 \cdot {\rm j}, \ p_{\rm x2} = -5 \cdot {\rm j}$. }}

*Es ergibt sich das &bdquo;kausale” Cosinussignal  $h_{\rm cos}(t\hspace{0.05cm}')$  mit Amplitude  $1$  und der normierten Periodendauer  $T_0\hspace{0.05cm}'= 2\pi/5 \approx 1.256$. 
*Die  $p\hspace{0.05cm}$–Spektralfunktion lautet nämlich:  $H_{\rm cos}(p)= p/(p^2 +25)$.  Gemäß der angegebenen Laplacetabelle ist die dazugehörige Zeitfunktion der &bdquo;kausale Cosinus”.
*Während die Spektralfunktion des herkömmlichen Cosinus aus zwei Diracs mit reellen Gewichten besteht, gilt beim kausalen Cosinus  $|H(f(\hspace{0.05cm}')| \ne 0$  für alle  $f\hspace{0.05cm}'$.
*Aus  $b(f\hspace{0.05cm}')=\pm 90^\circ$  im gesamten Bereich erkennt man zudem, dass hier  $H(f\hspace{0.05cm}')$  imaginär ist.  Sprungartige Phasenänderungen gibt es bei  $f\hspace{0.05cm}' = 0$  sowie  $f\hspace{0.05cm}' = \pm 5$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(9)'''   Durch welche Parameteränderungen kommt man zum &bdquo;kausalen Sinus”    ⇒   $h_{\rm sin}(t\hspace{0.05cm}')$  gleicher Frequenz und gleicher Amplitude  $1$? }}

*Man kommt vom Cosinus zum Sinus durch Integration.  Das heißt:   $H_{\rm sin}(p)= H_{\rm cos}(p) \cdot H_{\rm Sprung}(p)= p/(p^2 +25) \cdot 1/p= 1/(p^2 +25)$   ⇒   $Z=0$  statt  $Z=1$.
*Allerdings ist damit die Amplitude des resultierenden Sinussignal zu klein.  Deshalb muss für  $p_{\rm x} = \pm 5 \cdot {\rm j}$  noch der konstante Faktor angepasst werden:  $K=5$.
*Beim kausalen Sinus ist  $H(f\hspace{0.05cm}')$  im gesamten Bereich reell, ebenfalls im Gegensatz zum herkömmlichen Sinus. Es gilt also entweder  $b(f\hspace{0.05cm}')=0^\circ$  oder  $b(f\hspace{0.05cm}')=180^\circ$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(10)'''   Interpretieren Sie die Grafiken  &bdquo;$(f)$”  und  &bdquo;$(t)$”  für  $\text{Satz 3:} \ K = 2, \ Z = 1, \ p_{\rm o1} = -2.5, \ N= 2,\ p_{\rm x1} = -1-2 \cdot {\rm j}, \ p_{\rm x2} = -1+2 \cdot {\rm j}$.             Was ändert sich mit der Nullstelle  $p_{\rm o1} = 0$? }}

*Der Frequenzgang ist gekennzeichnet durch die Werte  $|H(f\hspace{0.05cm}'= 0)|= 1$,  $|H(f\hspace{0.05cm}'|= 2)\approx 1.55$  (etwa das Maximum) und  $|H(f\hspace{0.05cm}' \to \infty)|\to 0$.
*Bei der Impulsantwort  $h(t\hspace{0.05cm}')$  handelt es sich um eine gedämpft oszillierende Schwingung, die im  $\text{Beispiel 6}$  analytisch berechnet wurde.
*Mit  $p_{\rm o1} = 0$  ist  $|H(f\hspace{0.05cm}'= 0)|\equiv 0$,  und das Maximum   $|H(f\hspace{0.05cm}'= 2)\approx 1|$  liegt etwas tiefer bei gleicher Frequenz.  Der Zeitbereich wird von  $p_{\rm o1}$  nur wenig beeinflusst.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(11)'''   Interpretieren Sie die Grafiken  &bdquo;$(f)$”  und  &bdquo;$(t)$”  für  $\text{Satz 4:} \ K = 2, \ Z = 1, \ p_{\rm o1} = -0.5, \ N= 2,\ p_{\rm x1} = p_{\rm x2} = -1$.             Was ändert sich mit der Nullstelle  $p_{\rm o1} = 0$  und was mit der Einstellung  $Z=0$? }}

*Bei der Impulsantwort  $h(t\hspace{0.05cm}')$  gemäß  $\text{Satz 4}$  handelt es sich um den aperiodischen Grenzfall, der im  $\text{Beispiel 7}$  exakt berechnet wurde.
*Verschiebt man bei  $Z=1$  die Nullstelle zu  $p_{\rm o1} = 0$, so fällt   $h(t\hspace{0.05cm}')$  schneller ab und auch der nachfolgende Unterschwinger ist sehr viel ausgeprägter.
*Dagegen ergibt sich mit  $Z=0$  ein Tiefpass zweiter Ordnung, dessen Impulsantwort aus der vorne angegebenen Laplace-Tabelle entnommen werden kann.
*Aus der  &bdquo;$(f)$”–Grafik erkennt man:  $Z=0$  ergibt einen Tiefpass und  $Z=1,p_{\rm o1} = 0$  einen Bandpass:  $|H(f\hspace{0.05cm}'= 0)|\equiv 0$,  $|H(f\hspace{0.05cm}'= 1)|\approx 1$,  $|H(f\hspace{0.05cm}'\to \infty)|\equiv 0$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(12)'''   Interpretieren Sie die Grafiken  &bdquo;$(f)$”  und  &bdquo;$(t)$”  für  $\text{Satz 5:} \ K = 2, \ Z = 1, \ p_{\rm o1} = -0.3, \ N= 2,\ p_{\rm x1} = -0.4, \ p_{\rm x2} = -1.6$.             Was bewirkt ein weiterer Pol bei  $p_{\rm x3} = 0$? }}

* Die Grafiken zeigen ähnliches wie im  $\text{Satz 4}$.  Im  &bdquo;$(f)$”–Bereich erkennt man für  $f\hspace{0.05cm}' \approx 0.5$  eine leichte Überhöhung gegenüber  $|H(f\hspace{0.05cm}'= 0)|\approx 0.937$.
*$h(t\hspace{0.05cm}')$  ist eine aperiodisch abklingende Impulsantwort, die im  $\text{Beispiel 5}$  analytisch berechnet wurde  $($allerdings mit  $p_{\rm o1}= 0.32$  statt mit  $p_{\rm o1}= 0.3)$.
*Durch den weiteren Pol bei  $p_{\rm x3} = 0$  liefert der Zeitbereich statt der Impulsantwort  $h(t\hspace{0.05cm}')$  nun die Sprungantwort  $\sigma(t\hspace{0.05cm}')$,  die sich aus  $h(t\hspace{0.05cm}')$  durch Integration ergibt.
*Ausgehend von  $\sigma(t\hspace{0.05cm}'=0) \equiv 0$  steigt die Zeitfunktion bis  $\sigma(t\hspace{0.05cm}'=2)\approx 1.07$  an und fällt dann wieder ab bis auf  $\sigma(t\hspace{0.05cm}' \to \infty) = |H(f\hspace{0.05cm}'= 0)|\approx 0.937$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(13)'''   Wählen Sie nun die Konfiguarion  $K = 1, \ Z = 2, \ p_{\rm o1} = p_{\rm o2} = 0, \ N= 2,\ p_{\rm x1} = p_{\rm x2} = -2$.  Welches System liegt vor?  Wie lautet die Übertragungsfunktion?             Was ändert sich mit der Nullstelle  $p_{\rm o1} = 0$  und was mit der Einstellung  $Z=0$? }}

*Es handelt sich um einen Hochpass mit  $H_{\rm HP}(p)= p^2/(p+2)^2$.  Der vergleichbare Tiefpass ist  $H_{\rm TP}(p)= 4/(p+2)^2$.  Es gilt  $H_{\rm HP}(p) = 1- H_{\rm TP}(p)$.
*Aus den  &bdquo;$(f)$”–Grafiken:  $|H_{\rm HP}(f\hspace{0.05cm}'= 0)|=|H_{\rm TP}(f\hspace{0.05cm}'\to \infty)|= 0$,  $|H_{\rm HP}(f\hspace{0.05cm}'= 2)|= |H_{\rm TP}(f\hspace{0.05cm}'= 2)|=0.5$,  $|H_{\rm HP}(f\hspace{0.05cm}'\to \infty)|= |H_{\rm TP}(f\hspace{0.05cm}'= 0)|=1$.
*Die Impulsantwort  $h_{\rm HP}(t\hspace{0.05cm}')$  kann wegen $Z=N=2$  nicht direkt mit dem Residuensatz berechnet werden.  Man benötigt vorher eine Partialbruchzerlegung.
*Es gilt nämlich auch:  $H_{\rm HP}(p)= p^2/(p+2)^2 = 1- 4 \cdot (p+1)/(p+2)^2$   ⇒   Impulsantwort  $h_{\rm HP}(t\hspace{0.05cm}') = \delta(t\hspace{0.05cm}')- 4\cdot h_{\hspace{0.05cm}\rm TP,\hspace{0.05cm}1}(t\hspace{0.05cm}')$.
*$h_{\rm HP}(t\hspace{0.05cm}')$  beinhaltet neben einem Dirac als zeitkontinuierlichen Anteil die vierfache negative Impulsantwort des Tiefpasses  $H_{\rm TP,\hspace{0.05cm}1}(p)= (p+1)/(p+2)^2$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(14)'''   Betrachten Sie die  &bdquo;$(f)$”–Grafik für  $\text{Satz 6:} \ \ K = 1, \ Z = 3, \ p_{\rm o1} = 2 + 2 {\rm j}, \ p_{\rm o2} = 2 - 2 {\rm j},\ p_{\rm o3} = 1, \ N= 3,\ p_{\rm x1} = -2 + 2 {\rm j}, \ p_{\rm x2} = -2 - 2 {\rm j},\ p_{\rm x3} = -1$.             Wie lässt sich die charakteristische Eigenschaft dieses Systems mit den Parameterwerten  $Z=4$  und  $N=4$  erfüllen? }}

* Hier gilt für alle Frequenzen  $|H(f\hspace{0.05cm}')| = 1$   ⇒   keine einzige Frequenz wird gedämpft   ⇒   $a(f\hspace{0.05cm}') = 0\hspace{0.15cm} {\rm dB}$.  Die Phasenfunktion  $b(f\hspace{0.05cm}')$  ist dagegen frequenzabhängig.
*Diese Eigenschaften ergeben sich aus der Symmetrie der Nullstellen (in rechter  $p$–Hälfte)  zu den Polen (links der imaginären Achse), alle reell oder konjugiert–komplex.
*Für  $Z=N=4$  kommt jeweils ein weiterer reeller Pol und eine weitere reelle Nullstelle dazu, zum Beispiel  $p_{\rm o4} = 2,\ p_{\rm x4} = -2$.

==Zur Handhabung des Programms==
[[Datei:Exercise_Frequenzgang_1.png|right|frame|Bildschirmabzug (englische Version, heller Hintergrund) '''Korrektur mit Grafikabzug''']]
    '''(A)'''     Theme (veränderbare grafische Oberflächengestaltung)
:* Dark:   schwarzer Hintergrund  (wird von den Autoren empfohlen)
:* Bright:   weißer Hintergrund  (empfohlen für Beamer und Ausdrucke)
:* Deuteranopia:   für Nutzer mit ausgeprägter Grün–Sehschwäche
:* Protanopia:   für Nutzer mit ausgeprägter Rot–Sehschwäche

    '''(B)'''     Vorauswahl für den Frequenzgang  $H_1(f)$  (rote Kurve)

    '''(C)'''     Parameterfestlegung für  $H_1(f)$ 

    '''(D)'''     Numerikausgabe für  $H_1(f_*)$  und  $h_1(t_*)$

    '''(E)'''     Vorauswahl für den Frequenzgang  $H_2(f)$  (blaue Kurve)

    '''(F)'''     Parameterfestlegung für  $H_2(f)$ 

    '''(G)'''     Numerikausgabe für  $H_2(f_*)$  und  $h_2(t_*)$

    '''(H)'''     Einstellung der Frequenz  $f_*$  für die Numerikausgabe

    '''(I)'''      Einstellung der Zeit  $t_*$  für die Numerikausgabe

    '''(J)'''     Bereich der graphischen Darstellung im Frequenzbereich

    '''(K)'''     Bereich der graphischen Darstellung im Zeitbereich

    '''(L)'''     Auswahl der Aufgabe entsprechend der Aufgabennummer

    '''(M)'''     Aufgabenbeschreibung und Fragestellung

    '''(N)'''     Musterlösung anzeigen und verbergen

'''Details zu den obigen Punkten  (J ) und  (K)'''

Zoom–Funktionen:        &bdquo;$+$” (Vergrößern),      &bdquo;$-$” (Verkleinern),      &bdquo;$\rm o$” (Zurücksetzen)

Verschiebe–Funktionen:     &bdquo;$\leftarrow$”     &bdquo;$\uparrow$”     &bdquo;$\downarrow$”     &bdquo;$\rightarrow$”         &bdquo;$\leftarrow$”  bedeutet:     Bildausschnitt nach links, Ordinate nach rechts

Andere Möglichkeiten:

*Bei gedrückter Shifttaste und Scrollen kann im Koordinatensystem gezoomt werden.
*Bei gedrückter Shifttaste und gedrückter linker Maustaste kann das Koordinatensystem verschoben werden.
 

==Über die Autoren==
Dieses interaktive Berechnungstool wurde am  [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]  der  [https://www.tum.de/ Technischen Universität München]  konzipiert und realisiert.
*Die erste Version wurde 2008 von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Thomas_Pfeuffer_.28Diplomarbeit_LB_2005.29|Thomas Pfeuffer]]  im Rahmen seiner Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX–Actionscript” erstellt  (Betreuer:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
*2021 wurde das Programm von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit  (Betreuer:  [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]])  auf &bdquo;HTML5” umgesetzt und neu gestaltet.

==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==
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