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LNTwww:Weitere Hinweise zum Buch Beispiele von Nachrichtensystemen

2025-02-24T09:43:55Z

Höfler: Textersetzung - „Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29“ durch „Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29“

'''Vier Hauptkapitel mit insgesamt 17 Kapiteln (Dateien) und 164 Abschnitten (Seiten);   38 Aufgaben   ⇒   Umfang: 3V + 1Ü 
      Entstehung (Version 2):  2002 - 2010;   Portierung (Version 3):  2016/2017;   letzte Korrektur:  März 2023

* Projektverantwortliche:  [[Biografien_und_Bibliografien/Lehrstuhlinhaber_des_LNT#Prof._Dr._sc._techn._Gerhard_Kramer_.28seit_2010.29|'''Gerhard Kramer''']],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|'''Günter Söder''']]  (Inhalt), [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29| '''Tásnad Kernetzky''']]  (Web–Administrator)

*Ausgangsmaterialien:   ⇒   Vorlesungsmanuskripte von LNT/LÜT:   '''[Hin08]'''<ref name='Hin08'>Hindelang, T.: Mobile Communications. Vorlesungsmanuskript. Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München, 2008.</ref>;  '''[Eich11]'''<ref name='Eich11'>Eichin, K.: Nachrichtensysteme – Kommunikationssysteme (LB). Vorlesungsmanuskript. Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München, 2011.</ref>;   '''[Vie17]'''<ref name='Vie17'>Viering, I.: System Aspects in Communications. Vorlesungsmanuskript, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik. München: TU München, 2017.</ref>;  '''[Kra18]'''<ref name='Kra18'>Kramer, G.: Mobile Communications. Vorlesungsmanuskript, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik. München: TU München, 2018.</ref>   –   Fachbuch:  ''' [EVB01]'''<ref name='EVB01'>Eberspächer, J.; Vögel, H.J.; Bettstetter, C.:  Global System for Mobile Communication. 3. Auflage. Stuttgart: Teubner, 2001.</ref>

* Autoren:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|'''Günter Söder''']],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Klaus_Eichin_.28am_LNT_von_1972-2011.29|'''Klaus Eichin''']],  [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Prof._Dr.-Ing._Norbert_Hanik_.28am_LNT_von_1989-1995.2C_bei_L.C3.9CT_seit_2004.29|'''Norbert Hanik''']]  und  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Thomas_Hindelang_.28am_LNT_von_1994-2000_und_2007-2012.29|'''Thomas Hindelang''']]

* Diskussionspartner und Experte:  [[Biografien_und_Bibliografien/Externe_Beteiligte_am_LNTwww#Dr.-Ing._Markus_Mummert|'''Markus Mummert''']]

* Beteiligte Studierende in chronologischer Reihenfolge:   [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Martin_Winkler_.28Diplomarbeit_LB_2001.2C_danach_freie_Mitarbeit_bis_2003.29|Martin Winkler]] '''(2001)''',  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Yven_Winter_.28Diplomarbeit_LB_2004.2C_danach_freie_Mitarbeit_bis_2016.29|Yven Winter]], [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Franz_Kohl_.28Diplomarbeit_LB_2004.2C_danach_freie_Mitarbeit_bis_2006.29|Franz Kohl]], [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Bettina_Hirner_.28Diplomarbeit_LB_2005.29|Bettina Hirner]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Markus_Elsberger_.28Diplomarbeit_LB_2006.29|Markus Elsberger]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Johannes_Schmidt_.28Bachelorarbeit_EI_2008.29|Johannes Schmidt]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Hedi_Abbes_.28Studienarbeit_EI_2006.29|Hedi Abbes]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Thomas_Gro.C3.9Fer_.28Diplomarbeit_LB_2006.2C_danach_freie_Mitarbeit_bis_2010.29|Thomas Großer]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#N.C3.A9jib_Kchouk_.28Studienarbeit_EI_2010.29|Néjib Kchouk]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Khaled_Soussi_.28Studienararbeit_EI_2008.29|Khaled Soussi]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Alexander_Happach_.28Diplomarbeit_EI_2009.29|Alexander Happach]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Felix_Kristl_.28Bachelorarbeit_EI_2011.29|Felix Kristl]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Martin_V.C3.B6lkl_.28Diplomarbeit_LB_2010.29|Martin Völkl]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Andr.C3.A9_Schulz_.28Bachelorarbeit_LB_2020.29|André Schulz]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]] '''(2021)'''

$\text{Quellenverzeichnis}$

Gaußsche 2D-Zufallsgrößen (Lernvideo)

2025-02-24T09:43:55Z

=== Teil 1 ===
Dargestellt werden die Eigenschaften zweidimensionaler Gaußscher Zufallsgrößen anhand der 2D-WDF, der 2D-VTF, der Darstellung in der komplexen Ebene sowie den Signalverläufen der beiden Gaußschen Komponenten $x(t)$ und $y(t)$. Im ersten Teil werden $x(t)$ und $y(t)$ als statistisch unabhängig vorausgesetzt und sind somit aufgrund ihrer Gaußschen WDF auch unkorreliert. In der komplexen Ebene ergeben sich als Höhenlinien deshalb Kreise oder Ellipsen in Richtung der Hauptachsen (Dauer 2:33).

<lntmedia preload="none">
file:Gausssche_Zufallsgroessen_-_Teil_1-_ohne_statistische_Bindungen.mp4
file:Gausssche_Zufallsgroessen_-_Teil_1-_ohne_statistische_Bindungen.ogv
</lntmedia>

=== Teil 2 ===
Im zweiten Teil werden anhand der gleichen Grafiken zweidimensionale Gaußsche Zufallsgrößen betrachtet, wobei aber nun zwischen $x(t)$ und $y(t)$ statistische Bindungen bestehen sollen, das heißt, die Komponenten $x(t)$ und $y(t)$ sind korreliert und der Korrelationskoeffizient ist $\rho_{xy} \ne 0$. In der komplexen Ebene ergeben sich nun elliptische Höhenlinien, die gegenüber den Hauptachsen gedreht sind. Im Fall $\rho_{xy} \ne 0$ unterscheidet sich die Korrelationsgerade von der Ellipsenhauptachse (Dauer 3:11).

<lntmedia preload="none">
file:Gausssche_Zufallsgroessen_-_Teil_2-_mit_statistischen_Bindungen.mp4
file:Gausssche_Zufallsgroessen_-_Teil_2-_mit_statistischen_Bindungen.ogv
</lntmedia>

Dieses Lernvideo wurde 2003 am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert. 
Buch und Regie: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|Günter Söder]],   Sprecher: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Roland_Kiefl_.28Diplomarbeit_LB_2003.29|Roland Kiefl]],   Realisierung: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Roland_Kiefl_.28Diplomarbeit_LB_2003.29|Roland Kiefl]], [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Manfred_J.C3.BCrgens_.28am_LNT_von_1981-2010.29|Manfred Jürgens]] und [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Winfried_Kretzinger_.28am_LNT_von_1973-2004.29|Winfried Kretzinger]]

Im Zuge der LNTwww-Neugestaltung (Version 3) wurden diese Lernvideos 2016/2017 durch [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29|Tasnád Kernetzky]] und einigen Studenten in moderne Formate konvertiert, um von möglichst vielen Browsern wie Firefox, Chrome und Safari, als auch von Smartphones wiedergegeben werden zu können.

LNTwww:Weitere Hinweise zum Buch Mobile Kommunikation

2025-02-24T09:43:54Z

'''Vier Hauptkapitel mit insgesamt 16 Kapiteln (Dateien);   47 Aufgaben   ⇒   Umfang: 2V + 1Ü 
      Entstehung (Version 2):  bis 2016;   Portierung (Version 3):  2016/2017;   letzte Korrektur:  Februar 2021

* Projektverantwortliche:  [[Biografien_und_Bibliografien/Lehrstuhlinhaber_des_LNT#Prof._Dr._sc._techn._Gerhard_Kramer_.28seit_2010.29|'''Gerhard Kramer''']],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|'''Günter Söder''']]  (Inhalt), [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29| '''Tásnad Kernetzky''']]  (Web–Administrator)

* Autoren:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|'''Günter Söder''']],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Klaus_Eichin_.28am_LNT_von_1972-2011.29|'''Klaus Eichin''']],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Thomas_Hindelang_.28am_LNT_von_1994-2000_und_2007-2012.29|'''Thomas Hindelang''']]

* Weitere beteiligte Kollegen:   [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Dr.-Ing._Benedikt_Leible_.28bei_L.C3.9CT_von_2017-2024.29| '''Benedikt Leible''']],  [[Biografien_und_Bibliografien/Externe_Beteiligte_am_LNTwww#Dr.-Ing._Markus_Mummert|'''Markus Mummert''']],   [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Markus_Stinner_.28am_LNT_von_2011-2016.29| '''Markus Stinner''']],   [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Johannes_Zangl_.28am_LNT_von_2000-2006.29 |'''Johannes Zangl''']]

*Ausgangsmaterialien   ⇒   Vorlesungsmanuskripte des LNT:  [Hin08]<ref name='Hin08'>Hindelang, T.: Mobile Communications. Vorlesungsmanuskript. Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München, 2008.</ref>;  [Eich11]<ref name='Eich11'>Eichin, K.: Nachrichtensysteme – Kommunikationssysteme (LB). Vorlesungsmanuskript. Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München, 2011.</ref>;  [Söd10]<ref name='Söd10'>Söder, G.: Mobilfunkkanal . Anleitung zum Praktikumsversuch &bdquo;Simulation digitaler Übertragungssysteme”. Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München, 2010. </ref>;  [Kra18]<ref name='Kra18'>Kramer, G.: Mobile Communications. Vorlesungsmanuskript, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik. München: TU München, 2018.</ref>;  [Vie17]<ref name='Vie17'>Viering, I.: System Aspects in Communications. Vorlesungsmanuskript, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik. München: TU München, 2017.</ref>

* Beteiligte Studierende in chronologischer Reihenfolge:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Martin_Winkler_.28Diplomarbeit_LB_2001.2C_danach_freie_Mitarbeit_bis_2003.29|Martin Winkler]] '''(2001)''',  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Yven_Winter_.28Diplomarbeit_LB_2004.2C_danach_freie_Mitarbeit_bis_2016.29|Yven Winter]], [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Franz_Kohl_.28Diplomarbeit_LB_2004.2C_danach_freie_Mitarbeit_bis_2006.29|Franz Kohl]], [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Bettina_Hirner_.28Diplomarbeit_LB_2005.29|Bettina Hirner]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Markus_Elsberger_.28Diplomarbeit_LB_2006.29|Thorsten Kalweit]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Slim_Lamine_.28Studienarbeit_EI_2006.29|Slim Lamine]], [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Johannes_Schmidt_.28Bachelorarbeit_EI_2008.29|Johannes Schmidt]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Hedi_Abbes_.28Studienarbeit_EI_2006.29|Hedi Abbes]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Thomas_Gro.C3.9Fer_.28Diplomarbeit_LB_2006.2C_danach_freie_Mitarbeit_bis_2010.29|Thomas Großer]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#N.C3.A9jib_Kchouk_.28Studienarbeit_EI_2010.29|Néjib Kchouk]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Khaled_Soussi_.28Studienararbeit_EI_2008.29|Khaled Soussi]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Alexander_Happach_.28Diplomarbeit_EI_2009.29|Alexander Happach]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Felix_Kristl_.28Bachelorarbeit_EI_2011.29|Felix Kristl]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Martin_V.C3.B6lkl_.28Diplomarbeit_LB_2010.29|Martin Völkl]],  David Ginthör,  Hussain Sandhu,  Mohamed Ben Ahmed,  Mohamed Nabil Babai,  Marwen Ben Ammar,  Wael Chaouch,  Safwen Dridi,  Mohamed Mansoor,  Ayush Patel,  Lukas Wolf,  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#David_Jobst_.28Ingenieurspraxis_Math_2017.29|David Jobst]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Jimmy_He_.28Bachelorarbeit_2018.29|Jimmy He]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Xiaohan_Liu_.28Bachelorarbeit_2018.2C_danach_Werkstudentin.29|Xiaohan Liu]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Matthias_Niller_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.29|Matthias Niller]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Veronika_Hofmann_.28Ingenieurspraxis_Math_2020.29|Veronika Hofmann]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Andr.C3.A9_Schulz_.28Bachelorarbeit_LB_2020.29|André Schulz]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]] '''(2021)'''

====Quellenverzeichnis====

Einige Anmerkungen zur Übertragungsfunktion (Lernvideo)

2025-02-24T09:43:54Z

=== Inhalt ===
* Eine Übertragungsfunktion ist nur für LZI-Systeme anwendbar (Dauer 1:40)
* Defintion der Übertragungsfunktion $H(f)$ und der Impulsantwort $h(t)$ (Dauer 1:50)
* Einige wichtige Eigenschaften der Übertragungsfunktion (Dauer 1:20)
* Messung von $H(f)$ mit cosinusförmigem Eingangssignal (Dauer 1:30)
* Messung von $H(f)$ mit diracförmigem Eingangssignal (Dauer 1:30)
* Kausale und akausale Übertragungsfunktion (Dauer 1:35)
* Gesamtdauer 9:05

<lntmedia preload="none">
file:Einige_Anmerkungen_zur_Uebertragungsfunktion.mp4
file:Einige_Anmerkungen_zur_Uebertragungsfunktion.ogv
</lntmedia>

Dieses Lernvideo wurde 2010 am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert. 
Buch und Regie: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|Günter Söder]] und [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Klaus_Eichin_.28am_LNT_von_1972-2011.29|Klaus Eichin]],   Sprecher: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Thomas_Gro.C3.9Fer_.28Diplomarbeit_LB_2006.2C_danach_freie_Mitarbeit_bis_2010.29|Thomas Großer]],   Realisierung: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Manfred_J.C3.BCrgens_.28am_LNT_von_1981-2010.29|Manfred Jürgens]]

Im Zuge der LNTwww-Neugestaltung (Version 3) wurden diese Lernvideos 2016/2017 durch [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29|Tasnád Kernetzky]] und einigen Studenten in moderne Formate konvertiert, um von möglichst vielen Browsern wie Firefox, Chrome und Safari, als auch von Smartphones wiedergegeben werden zu können.

Applets:Physikalisches Signal & Analytisches Signal

2025-02-24T09:43:52Z

{{LntAppletLink|physAnSignal_en}}         [https://en.lntwww.de/Applets:Physical_Signal_%26_Analytic_Signal '''English Applet with English WIKI description''']
==Programmbeschreibung==
 
Dieses Applet zeigt den Zusammenhang zwischen dem physikalischen Bandpass–Signal $x(t)$ und dem dazugehörigen analytischen Signal $x_+(t)$. Ausgegangen wird stets von einem Bandpass–Signal $x(t)$ mit frequenzdiskretem Spektrum $X(f)$:
:$$x(t) = x_{\rm U}(t) + x_{\rm T}(t) + x_{\rm O}(t) = A_{\rm U}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm U}\cdot t- \varphi_{\rm U}\right)+A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t- \varphi_{\rm T}\right)+A_{\rm O}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm O}\cdot t- \varphi_{\rm O}\right). $$
Das physikalische Signal $x(t)$ setzt sich also aus drei [[Signaldarstellung/Harmonische_Schwingung|harmonischen Schwingungen]] zusammen, einer Konstellation, die sich zum Beispiel bei der [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#AM-Signale_und_-Spektren_bei_harmonischem_Eingangssignal|Zweiseitenband-Amplitudenmodulation]] des Nachrichtensignals $x_{\rm N}(t) = A_{\rm N}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm N}\cdot t- \varphi_{\rm N}\right)$ mit dem Trägersignal $x_{\rm T}(t) = A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t - \varphi_{\rm T}\right)$ ergibt. Die Nomenklatur ist ebenfalls an diesen Fall angepasst:
* $x_{\rm O}(t)$ bezeichnet das &bdquo;Obere Seitenband” mit der Amplitude $A_{\rm O}= A_{\rm N}/2$, der Frequenz $f_{\rm O} = f_{\rm T} + f_{\rm N}$ und der Phase $\varphi_{\rm O} = \varphi_{\rm T} + \varphi_{\rm N}$.
*Entsprechend gilt für das &bdquo;Untere Seitenband” $x_{\rm U}(t)$ mit $f_{\rm U} = f_{\rm T} - f_{\rm N}$, $A_{\rm U}= A_{\rm O}$ und $\varphi_{\rm U} = -\varphi_{\rm O}$.

Das dazugehörige analytische Signal lautet:

:$$x_+(t) = x_{\rm U+}(t) + x_{\rm T+}(t) + x_{\rm O+}(t) = A_{\rm U}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm} {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm U}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t- \varphi_{\rm U})}
\hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}A_{\rm T}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm} {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm T}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t- \varphi_{\rm T})}
\hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm} A_{\rm O}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm} {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm O}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t- \varphi_{\rm O})}. $$

[[Datei:Zeigerdiagramm_2a_version2.png|right|frame|Analytische Signal zur Zeit $t=0$]]
Im Programm dargestellt wird $x_+(t)$ als vektorielle Summe dreier Drehzeiger (alle mit positiver Drehrichtung   ⇒   entgegen dem Uhrzeigersinn) als violetter Punkt (siehe beispielhafte Grafik für den Startzeitpunkt $t=0$):

*Der (rote) Zeiger des Trägers $x_{\rm T+}(t)$ mit der Länge $A_{\rm T}$ und der Nullphasenlage $\varphi_{\rm T} = 0$ dreht mit konstanter Winkelgeschwindigkeit $2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm T}$ (eine Umdrehung in der Zeit $1/f_{\rm T})$.

*Der (blaue) Zeiger des Oberen Seitenbandes $x_{\rm O+}(t)$ mit der Länge $A_{\rm O}$ und der Nullphasenlage $\varphi_{\rm O}$ dreht mit der Winkelgeschwindigkeit $2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm O}$, also etwas schneller als $x_{\rm T+}(t)$.

*Der (grüne) Zeiger des Unteren Seitenbandes $x_{\rm U+}(t)$ mit der Länge $A_{\rm U}$ und der Nullphasenlage $\varphi_{\rm U}$ dreht mit der Winkelgeschwindigkeit $2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm U}$, also etwas langsamer als $x_{\rm T+}(t)$.

Den zeitlichen Verlauf von $x_+(t)$ bezeichnen wir im Folgenden auch als '''Zeigerdiagramm'''. Der Zusammenhang zwischen dem physikalischen Bandpass–Signal $x(t)$ und dem dazugehörigen analytischen Signal $x_+(t)$ ist sehr einfach:

:$$x(t) = {\rm Re}\big [x_+(t)\big ].$$

Die Grafik gilt für $\varphi_{\rm O} = +30^\circ$. Daraus folgt für den Startzeitpunkt $t=0$ der Winkel gegenüber dem Koordinatensystem:   $\phi_{\rm O} = -\varphi_{\rm O} = -30^\circ$. Ebenso folgt aus der Nullphasenlage $\varphi_{\rm U} = -30^\circ$ des unteren Seitenbandes für den in der komplexen Ebene zu berücksichtigenden Phasenwinkel:   $\phi_{\rm U} = +30^\circ$.

''Hinweis:''   Das aufzurufende Applet verwendet die englischen Begriffe im Gegensatz zu dieser deutschen Beschreibung.

==Theoretischer Hintergrund==
 
===Beschreibungsmöglichkeiten von Bandpass-Signalen===
[[Datei:Zeigerdiagramm_1a.png|right|frame|Bandpass–Spektrum $X(f)$ |class=fit]]
Wir betrachten hier '''Bandpass-Signale''' $x(t)$ mit der Eigenschaft, dass deren Spektren $X(f)$ nicht im Bereich um die Frequenz $f = 0$ liegen, sondern um eine Trägerfrequenz $f_{\rm T}$. Meist kann auch davon ausgegangen werden, dass die Bandbreite $B \ll f_{\rm T}$ ist.

Die Grafik zeigt ein solches Bandpass–Spektrum $X(f)$. Unter der Annahme, dass das zugehörige $x(t)$ ein physikalisches Signal und damit reell ist, ergibt sich für die Spektralfunktion $X(f)$ eine Symmetrie bezüglich der Frequenz $f = 0$. Ist $x(t)$ eine gerade Funktion   ⇒   $x(-t)=x(+t)$, so ist auch $X(f)$ reell und gerade.

Neben dem physikalischen Signal $x(t)\ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ X(f)$ verwendet man zur Beschreibung von Bandpass-Signalen gleichermaßen:
*das analytische Signal $x_+(t)\ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ X_+(f)$, wie im nächsten Unterabschnitt beschrieben,
*das äquivalente Tiefpass–Signal $x_{\rm TP}(t)\ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ X_{\rm TP}(f)$, siehe Applet [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Äquivalentes_TP-Signal|Physikalisches Signal und Äquivalentes Tiefpass–Signal]].
 
===Analytisches Signal – Spektralfunktion===

Das zum physikalischen Signal $x(t)$ gehörige '''analytische Signal''' $x_+(t)$ ist diejenige Zeitfunktion, deren Spektrum folgende Eigenschaft erfüllt:
[[Datei:Zeigerdiagramm_3a.png|right|frame|Konstruktion der Spektralfunktion $X_+(f)$ |class=fit]]
:$$X_+(f)=\big[1+{\rm sign}(f)\big] \cdot X(f) = \left\{ {2 \cdot
X(f) \; \hspace{0.2cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm} {\it f} > 0, \atop {\,\,\,\, \rm 0 \; \hspace{0.9cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm} {\it f} < 0.} }\right.$$

Die so genannte ''Signumfunktion'' ist dabei für positive Werte von $f$ gleich $+1$ und für negative $f$–Werte gleich $-1$.
*Der (beidseitige) Grenzwert liefert $\sign(0) = 0$.
*Der Index „+” soll deutlich machen, dass $X_+(f)$ nur Anteile bei positiven Frequenzen besitzt.

Aus der Grafik erkennt man die Berechnungsvorschrift für $X_+(f)$:   Das Bandpass–Spektrum $X(f)$ wird
*bei den positiven Frequenzen verdoppelt, und
*bei den negativen Frequenzen zu Null gesetzt.

Aufgrund der Unsymmetrie von $X_+(f)$ bezüglich der Frequenz $f = 0$ kann man bereits jetzt schon sagen, dass die Zeitfunktion $x_+(t)$ bis auf den trivialen Sonderfall $x_+(t)= 0 \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,\ X_+(f)= 0$ stets komplex ist.
 
===Analytisches Signal – Zeitverlauf===
An dieser Stelle ist es erforderlich, kurz auf eine weitere Spektraltransformation einzugehen.

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definition:}$ 
Für die '''Hilberttransformierte''' $ {\rm H}\left\{x(t)\right\}$ einer Zeitfunktion $x(t)$ gilt:

:$$y(t) = {\rm H}\left\{x(t)\right\} = \frac{1}{ {\rm \pi} } \cdot
\hspace{0.03cm}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x(\tau)}{ {t -
\tau} }\hspace{0.15cm} {\rm d}\tau.$$

Dieses bestimmte Integral ist nicht auf einfache, herkömmliche Art lösbar, sondern muss mit Hilfe des [https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchyscher_Hauptwert Cauchy–Hauptwertsatzes] ausgewertet werden.

Entsprechend gilt im Frequenzbereich:
:$$Y(f) = {\rm -j \cdot sign}(f) \cdot X(f) \hspace{0.05cm} .$$}}

Das obige Ergebnis lässt sich mit dieser Definition wie folgt zusammenfassen:
*Man erhält aus dem physikalischen BP–Signal $x(t)$ das analytische Signal $x_+(t)$, indem man zu $x(t)$ einen Imaginärteil gemäß der Hilberttransformierten hinzufügt:

:$$x_+(t) = x(t)+{\rm j} \cdot {\rm H}\left\{x(t)\right\} .$$

*$\text{H}\{x(t)\}$ verschwindet nur für den Fall $x(t) = \rm const.$   ⇒   Gleichsignal. Bei allen anderen Signalformen ist somit das analytische Signal $x_+(t)$ komplex.

*Aus dem analytischen Signal $x_+(t)$ kann das physikalische Bandpass–Signal in einfacher Weise durch Realteilbildung ermittelt werden:
:$$x(t) = {\rm Re}\big[x_+(t)\big] .$$

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 1:}$  Das Prinzip der Hilbert–Transformation wird durch die nachfolgende Grafik nochmals verdeutlicht:
*Nach der linken Darstellung $\rm(A)$ kommt man vom physikalischen Signal $x(t)$ zum analytischen Signal $x_+(t)$, indem man einen Imaginärteil ${\rm j} \cdot y(t)$ hinzufügt.
*Hierbei ist $y(t) = {\rm H}\left\{x(t)\right\}$ eine reelle Zeitfunktion, die sich im Spektralbereich durch die Multiplikation des Spektrums $X(f)$ mit ${\rm - j} \cdot \sign(f)$ angeben lässt.

[[Datei:P_ID2729__Sig_T_4_2_S2b_neu.png|center|frame|Zur Verdeutlichung der Hilbert–Transformierten]]

Die rechte Darstellung $\rm(B)$ ist äquivalent zu $\rm(A)$. Nun gilt $x_+(t) = x(t) + z(t)$ mit der rein imaginären Funktion $z(t)$. Ein Vergleich der beiden Bilder zeigt, dass tatsächlich $z(t) = {\rm j} \cdot y(t)$ ist.}}
 
===Darstellung der harmonischen Schwingung als analytisches Signal===

Die Spektralfunktion $X(f)$ einer harmonischen Schwingung $x(t) = A \cdot \text{cos}(2\pi f_{\rm T} \cdot t - \varphi)$ besteht bekanntlich aus zwei Diracfunktionen bei den Frequenzen
* $+f_{\rm T}$ mit dem komplexen Gewicht $A/2 \cdot \text{e}^{-\text{j}\hspace{0.05cm}\varphi}$,
* $-f_{\rm T}$ mit dem komplexen Gewicht $A/2 \cdot \text{e}^{+\text{j}\hspace{0.05cm}\varphi}$.

Somit lautet das Spektrum des analytischen Signals (also ohne die Diracfunktion bei der Frequenz $f =-f_{\rm T}$, aber Verdoppelung bei $f =+f_{\rm T}$):

:$$X_+(f) = A \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\varphi}\cdot\delta (f - f_{\rm
T}) .$$

Die dazugehörige Zeitfunktion erhält man durch Anwendung des [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatzes]]:

:$$x_+(t) = A \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}( 2 \pi f_{\rm T} t
\hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} \varphi)}.$$

Diese Gleichung beschreibt einen mit konstanter Winkelgeschwindigkeit $\omega_{\rm T} = 2\pi f_{\rm T}$ drehenden Zeiger.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 2:}$  Aus Darstellungsgründen wird das Koordinatensystem entgegen der üblichen Darstellung um $90^\circ$ gedreht (Realteil nach oben, Imaginärteil nach links).

[[Datei:P_ID712__Sig_T_4_2_S3.png|center|frame|Zeigerdiagramm einer harmonischen Schwingung]]

Anhand dieser Grafik sind folgende Aussagen möglich:
*Zum Startzeitpunkt $t = 0$ liegt der Zeiger der Länge $A$ (Signalamplitude) mit dem Winkel $-\varphi$ in der komplexen Ebene. Im gezeichneten Beispiel gilt $\varphi = 45^\circ$.
*Für Zeiten $t > 0$ dreht der Zeiger mit konstanter Winkelgeschwindigkeit (Kreisfrequenz) $\omega_{\rm T}$ in mathematisch positiver Richtung, das heißt entgegen dem Uhrzeigersinn.
*Die Spitze des Zeigers liegt somit stets auf einem Kreis mit Radius $A$ und benötigt für eine Umdrehung genau die Zeit $T_0$, also die Periodendauer der harmonischen Schwingung $x(t)$.
*Die Projektion des analytischen Signals $x_+(t)$ auf die reelle Achse, durch rote Punkte markiert, liefert die Augenblickswerte von $x(t)$.}}
 
===$x_+(t)$–Darstellung einer Summe aus drei harmonischen Schwingungen===

In unserem Applet setzen wir stets einen Zeigerverbund aus drei Drehzeigern voraus. Das physikalische Signal lautet:
:$$x(t) = x_{\rm U}(t) + x_{\rm T}(t) + x_{\rm O}(t) = A_{\rm U}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm U}\cdot t- \varphi_{\rm U}\right)+A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t- \varphi_{\rm T}\right)+A_{\rm O}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm O}\cdot t- \varphi_{\rm O}\right). $$
* Jede der drei harmonischen Schwingungen $x_{\rm T}(t)$, $x_{\rm U}(t)$ und $x_{\rm O}(t)$ wird durch eine Amplitude $(A)$, eine Frequenz $(f)$ und einen Phasenwert $(\varphi)$ charakterisiert.
*Die Indizes sind an das Modulationsverfahren [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation|Zweiseitenband–Amplitudenmodulation]] angelehnt. &bdquo;T” steht für &bdquo;Träger”, &bdquo;U” für &bdquo;Unteres Seitenband” und &bdquo;O” für &bdquo;Oberes Seitenband”. Entsprechend gilt stets $f_{\rm U} < f_{\rm T}$ und $f_{\rm O} > f_{\rm T}$. Für die Amplituden und Phasen gibt es keine Einschränkungen.

Das dazugehörige analytische Signal lautet:
:$$x_+(t) = x_{\rm U+}(t) + x_{\rm T+}(t) + x_{\rm O+}(t) = A_{\rm U}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm U}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t- \varphi_{\rm U})}
\hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}A_{\rm T}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm T}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t- \varphi_{\rm T})}
\hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm} A_{\rm O}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm O}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t- \varphi_{\rm O})}. $$

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 3:}$ 
Die hier angegebene Konstellation ergibt sich zum Beispiel bei der [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#AM-Signale_und_-Spektren_bei_harmonischem_Eingangssignal|Zweiseitenband-Amplitudenmodulation]] (mit Träger) des Nachrichtensignals $x_{\rm N}(t) = A_{\rm N}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm N}\cdot t- \varphi_{\rm N}\right)$ mit dem Trägersignal $x_{\rm T}(t) = A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t - \varphi_{\rm T}\right)$. Hierauf wird in der Versuchsdurchführung häufiger eingegangen.

[[Datei:Zeigerdiagramm_5.png|center|frame|Spektum $X_+(f)$ des analytischen Signals für verschiedene Phasenkonstellationen |class=fit]]

Bei dieser Betrachtungsweise gibt es einige Einschränkungen bezüglich der Programmparameter:
* Für die Frequenzen gelte stets $f_{\rm O} = f_{\rm T} + f_{\rm N}$ und $f_{\rm U} = f_{\rm T} - f_{\rm N}$.

*Ohne Verzerrungen sind die Amplitude der Seitenbänder $A_{\rm O}= A_{\rm U}= A_{\rm N}/2$.
*Die jeweiligen Phasenverhältnisse können der Grafik entnommen werden.}}

==Versuchsdurchführung==
[[Datei:Zeigerdiagramm_aufgabe_2.png|right]]
*Wählen Sie zunächst die Aufgabennummer.
*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt.
*Alle Parameterwerte sind angepasst.
*Lösung nach Drücken von &bdquo;Hide solition”.

Mit der Nummer &bdquo;0” wird auf die gleichen Einstellung wie beim Programmstart zurückgesetzt und es wird ein Text mit weiteren Erläuterungen zum Applet ausgegeben.
 

Im Folgenden bezeichnet $\rm Grün$ das Untere Seitenband   ⇒   $\big (A_{\rm U}, f_{\rm U}, \varphi_{\rm U}\big )$,  
$\rm Rot$ den Träger   ⇒   $\big (A_{\rm T}, f_{\rm T}, \varphi_{\rm T}\big )$ und
$\rm Blau$ das Obere Seitenband   ⇒   $\big (A_{\rm O}, f_{\rm O}, \varphi_{\rm O}\big )$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''   Betrachten und interpretieren Sie das analytische Signal $x_+(t)$ für $\text{Rot:} \hspace{0.15cm} A_{\rm T} = 1.5\ \text{V}, \ f_{\rm T} = 50 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm T} = 0^\circ$. Außerdem gelte $A_{\rm U} = A_{\rm O} = 0$.

:Welche Signalwerte $x_+(t)$ ergeben sich für $t = 0$, $t = 5 \ \rm µ s$ und $t = 20 \ \rm µ s$? Wie groß sind die entsprechenden Signalwerte von $x(t)$? }}

:: Für ein Cosinussignal gilt $x_+(t= 0) = A_{\rm T} = 1.5\ \text{V}$. Danach dreht $x_+(t)$ in mathematisch positiver Richtung (eine Umdrehung pro Periodendauer $T_0 = 1/f_{\rm T}$):

:: $x_+(t= 20 \ {\rm µ s}) = x_+(t= 0) = 1.5\ \text{V}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}x(t= 20 \ {\rm µ s}) = 1.5\ \text{V,}$
:: $x_+(t= 5 \ {\rm µ s}) = {\rm j} \cdot 1.5\ \text{V}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}x(t= 5 \ {\rm µ s}) = {\rm Re}[x_+(t= 5 \ {\rm µ s})] = 0$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''   Wie ändern sich die Verhältnisse für $\text{Rot:} \hspace{0.15cm} A_{\rm T} = 1.0\ \text{V}, \ f_{\rm T} = 100 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm T} = 90^\circ$?}}

::Das Signal $x(t)$ ist nun ein Sinussignal mit kleinerer Amplitude. Das analytische Signal startet nun wegen $\varphi_{\rm T} = 90^\circ$   ⇒   $\phi_{\rm T} = -90^\circ$ bei $x_+(t= 0) = -{\rm j} \cdot A_{\rm T}$. Danach dreht $x_+(t)$ wieder in mathematisch positiver Richtung, aber wegen $T_0 = 10 \ \rm µ s$ doppelt so schnell als bei $\rm (1)$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''   Nun gelte   $\text{Rot:} \hspace{0.15cm} A_{\rm T} = 1\ \text{V}, \ f_{\rm T} = 100 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm T} = 0^\circ$,   $\text{Grün:} \hspace{0.15cm} A_{\rm U} = 0.4\ \text{V}, \ f_{\rm U} = 80 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm U} = 0^\circ$,   $\text{Blau:} \hspace{0.15cm} A_{\rm O} = 0.4\ \text{V}, \ f_{\rm O} = 120 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm O} = 0^\circ$.

:Betrachten und interpretieren Sie das physikalische Signal $x(t)$ das analytische Signal $x_+(t)$.}}

::Das Signal $x(t)$ ergibt sich bei der Zweiseitenband–Amplitudenmodulation '''(ZSB–AM)''' des Nachrichtensignals $A_{\rm N}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm N}\cdot t\right)$ mit $A_{\rm N} = 0.8\ \text{V}$, $f_{\rm N} = 20\ \text{kHz}$. Der Träger $x_{\rm T}(t)$ mit $f_{\rm T} = 100\ \text{kHz}$ ist ebenfalls cosinusförmig. Der Modulationsgrad ist $m = A_{\rm N}/A_{\rm T} = 0.8$ und die Periodendauer $T_{\rm 0} = 50\ \text{µs}$.

::Im Zeigerdiagramm dreht sich der (rote) Träger schneller als das (grüne) Untere Seitenband und langsamer als das (blaue) Obere Seitenband. Das analytische Signal $x_+(t)$ ergibt sich als die geometrische Summe der drei rotierenden Zeiger. Es scheint so, als würde der blaue Zeiger dem Träger vorauseilen und der grüne Zeiger dem Träger nachlaufen.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''   Es gelten weiter die Einstellungen der Aufgabe '''(3)'''. Welche Signalwerte ergeben sich bei $t=0$, $t=2.5 \ \rm µ s$, $t= 5 \ \rm µ s$ und $t=10 \ \rm µ s$? }}

::Zur Zeit $t=0$ liegen alle Zeiger in Richtung der reellen Achse, so dass $x(t=0) = {\rm Re}\big [x+(t= 0)\big] = A_{\rm U} + A_{\rm T} + A_{\rm O} = 1.8\ \text{V}$ gilt.

::Bis zur Zeit $t=2.5 \ \rm µ s$ hat sich der rote Träger um $90^\circ$ gedreht, der blaue Zeiger um $108^\circ$ und der grüne um $72^\circ$. Es gilt $x(t=2.5 \ \rm µ s) = {\rm Re}\big [x_+(t= 2.5 \ \rm µ s)\big] = 0$, da nun der Zeigerverbund in Richtung der imaginären Achse zeigt. Die weiteren gesuchten Signalwerte sind $x(t=5 \ \rm µ s) = {\rm Re}\big [x_+(t= 5 \ \rm µ s)\big] = -1.647\ \text{V}$ und $x(t=10 \ \rm µ s) = {\rm Re}\big [x_+(t= 10 \ \rm µ s)\big] = 1.247\ \text{V}$.
::Für $x_+(t)$ ergibt sich ein spiralförmiger Verlauf, abwechselnd mit kleiner werdenem Radius und anschließend mit größerem Radius.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''   Wie müssen die Phasenparameter $\varphi_{\rm T}$, $\varphi_{\rm U}$ und $\varphi_{\rm O}$ eingestellt werden, wenn sowohl der Träger $x_{\rm T}(t)$ als auch das Nachrichtensignal $x_{\rm N}(t)$ sinusförmig verlaufen?}}

::Die Parameterwahl $\varphi_{\rm T} = \varphi_{\rm U} = \varphi_{\rm O}=90^\circ$ beschreibt die Signale $x_{\rm T}(t) = A_{\rm T}\cdot \sin\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t\right)$ und $x_{\rm N}(t) = A_{\rm N}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm N}\cdot t\right)$. Soll zusätzlich die Nachricht $x_{\rm N}(t)$ sinusförmig verlaufen, so muss $\varphi_{\rm O}=\varphi_{\rm T} - 90^\circ = 0$ und $\varphi_{\rm U}=\varphi_{\rm T} + 90^\circ = 180^\circ$ eingestellt werden.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''   Es gelten die Einstellungen der Aufgabe '''(3)''' mit Ausnahme von $A_{\rm T} = 0.6\ \text{V}$. Welches Modulationsverfahren wird hiermit beschrieben?

: Welche Konsequenzen ergeben sich hieraus? Was ändert sich mit $A_{\rm T} = 0$? }}

::Es handelt sich um eine '''ZSB–AM mit Träger''' mit dem Modulationsgrad $m=0.8/0.6 = 1.333$. Für $m > 1$ ist allerdings eine [[Modulationsverfahren/Synchrondemodulation|Synchrondemodulation]] erforderlich. [[Modulationsverfahren/Hüllkurvendemodulation|Hüllkurvendemodulation]] funktioniert nicht mehr. Ein Grund hierfür ist, dass nun die Nulldurchgänge von $x(t)$ nicht mehr im äquidistanten Abstand von $5\ \rm µ s$ auftreten   ⇒   zusätzliche Phasenmodulation.

::Mit $A_{\rm T} = 0$   ⇒   $m \to \infty$ ergibt sich eine '''ZSB–AM ohne Träger'''. Auch hierfür benötigt man unbedingt die Synchrondemodulation.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(7)'''   Nun gelte   $\text{Rot:} \hspace{0.15cm} A_{\rm T} = 1\ \text{V}, \ f_{\rm T} = 100 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm T} = 0^\circ$,   $\text{Grün:} \hspace{0.15cm} A_{\rm U} = 0$,   $\text{Blau:} \hspace{0.15cm} A_{\rm O} = 0.8\ \text{V}, \ f_{\rm O} = 120 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm O} = 90^\circ$.

:Welche Konstellation wird hiermit beschrieben? Welche Figur ergibt sich für das äquivalente Tiefpass–Signal $x_{\rm TP}(t)$?   ⇒   &bdquo;Ortskurve”? Was ändert sich mit $A_{\rm U} = 0.8\ \text{V}$ und $A_{\rm O} = 0$?}}

::In beiden Fällen handelt es sich um eine [[Modulationsverfahren/Einseitenbandmodulation|Einseitenbandmodulation]] '''(ESB–AM)''' mit dem Modulationsgrad $\mu = 0.8$ (bei ESB bezeichnen wir den Modulationsgrad mit $\mu$ anstelle von $m$). Das Trägersignal ist cosinusförmig und das Nachrichtensignal sinusförmig. Das äquivalente Tiefpass–Signal $x_{\rm TP}(t)$ hat in der komplexen Ebene einen kreisförmigen Verlauf.

::Mit $A_{\rm O} = 0.8\ \text{V}$, $A_{\rm U} = 0$ handelt es sich um eine OSB–Modulation. Der grüne Zeiger fehlt und der blaue Zeiger dreht im Vergleich zum roten Träger schneller.

::Mit $A_{\rm U} = 0.8\ \text{V}$, $A_{\rm O} = 0$ handelt es sich um eine USB–Modulation. Der blaue Zeiger fehlt und der grüne Zeiger dreht im Vergleich zum roten Träger langsamer.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(8)'''   Es gelte   $\text{Rot:} \hspace{0.05cm} A_{\rm T} = 1\ \text{V}, \ f_{\rm T} = 100 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm T} = 0^\circ$,   $\text{Grün:} \hspace{0.05cm} A_{\rm U} = 0.4\ \text{V}, \ f_{\rm U} = 80 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm U} = -90^\circ$,   $\text{Blau:} \hspace{0.05cm} A_{\rm O} = 0.2\ \text{V}, \ f_{\rm O} = 120 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm O} = +90^\circ$.

:Welche Konstellation könnte hiermit beschrieben werden? Welche Figur ergibt sich für das äquivalente Tiefpass–Signal $x_{\rm TP}(t)$?   ⇒   &bdquo;Ortskurve”?}}

::Es könnte eine ZSB–AM eines Sinussignals mit cosinusförmigem Träger und Modulationsgrad $m=0.8$ wie in '''(3)''' vorliegen, bei dem aber das Obere Seitenband um den Faktor $2$ gedämpft ist. Das äquivalente Tiefpass–Signal $x_{\rm TP}(t)$ hat in der komplexen Ebene einen elliptischen Verlauf.

==Zur Handhabung des Applets==
 
[[Datei:Zeigerdiagramm_abzug.png|right|frame|Bildschirmabzug der englischen Version]]

* Die roten Parameter $(A_{\rm T}, \ f_{\rm T}, \ \varphi_{\rm T})$ und der rote Zeiger kennzeichnen den '''T'''räger.
* Die grünen Parameter $(A_{\rm U}, \ f_{\rm U} < f_{\rm T}, \ \varphi_{\rm U})$ kennzeichnen das '''U'''ntere Seitenband.
* Die blauen Parameter $(A_{\rm O}, \ f_{\rm O} > f_{\rm T}, \ \varphi_{\rm O})$ kennzeichnen das '''O'''bere Seitenband.
*Alle Zeiger drehen in mathematisch positiver Richtung (entgegen dem Uhrzeigersinn).

Bedeutung der Buchstaben in nebenstehender Grafik:

    '''(A)'''     Grafikfeld für das analytische Signal $x_{\rm +}(t)$

    '''(B)'''     Grafikfeld für das physikalische Signal $x(t)$

    '''(C)'''     Parametereingabe per Slider: Amplituden, Frequenzen, Phasenwerte

    '''(D)'''     Bedienelemente:   Start – Step – Pause/Continue – Reset

    '''(E)'''     Geschwindigkeit der Animation:   &bdquo;Speed”   ⇒   Werte: 1, 2 oder 3

    '''(F)'''     &bdquo;Trace”   ⇒   Ein oder Aus, Spur der komplexen Signalwerte $x_{\rm +}(t)$

    '''(G)'''     Numerikausgabe der Zeit $t$ und der Signalwerte  ${\rm Re}[x_{\rm +}(t)] = x(t)$  und  ${\rm Im}[x_{\rm +}(t)]$

    '''(H)'''     Variationsmöglichkeiten für die grafische Darstellung

$\hspace{1.5cm}$Zoom–Funktionen &bdquo;$+$” (Vergrößern), &bdquo;$-$” (Verkleinern) und $\rm o$ (Zurücksetzen)

$\hspace{1.5cm}$Verschieben mit &bdquo;$\leftarrow$” (Ausschnitt nach links, Ordinate nach rechts), &bdquo;$\uparrow$” &bdquo;$\downarrow$” und &bdquo;$\rightarrow$”

    '''(I)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung:  Aufgabenauswahl und Aufgabenstellung

    '''(J)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung:  Musterlösung

In allen Applets oben rechts:    Veränderbare grafische Oberflächengestaltung   ⇒   '''Theme''':
* Dark:   schwarzer Hintergrund  (wird von den Autoren empfohlen)
* Bright:   weißer Hintergrund  (empfohlen für Beamer und Ausdrucke)
* Deuteranopia:   für Nutzer mit ausgeprägter Grün–Sehschwäche
* Protanopia:   für Nutzer mit ausgeprägter Rot–Sehschwäche
 
==Über die Autoren==
Dieses interaktive Berechnungstool wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.
*Die erste Version wurde 2005 von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]] im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|Günter Söder]]).
*2018 wurde dieses Programm von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Xiaohan_Liu_.28Bachelorarbeit_2018.29|Xiaohan Liu]] im Rahmen ihrer Bachelorarbeit (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29|Tasnád Kernetzky]]) neu gestaltet und erweitert.

Die Fertigstellung dieses Applets wurde durch  [https://www.ei.tum.de/studium/studienzuschuesse/ Studienzuschüsse]  der Fakultät EI der TU München ermöglicht. Wir bedanken uns.

==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==

{{LntAppletLink|physAnSignal_en}}         [https://en.lntwww.de/Applets:Physical_Signal_%26_Analytic_Signal '''English Applet with English WIKI description''']

Herleitung und Visualisierung der Diracfunktion (Lernvideo)

2025-02-24T09:43:50Z

=== Inhalt ===
* Herleitung über eine zweiseitig exponentiell abfallende Exponentialfunktion mit Parameter  $\varepsilon$
* Einfluss des Parameters  $\varepsilon$  auf Zeitsignal und Spektrum
* Der Grenzübergang  $\varepsilon \to 0$  führt zu einer Konstanten im Zeitbereich und zur Diracfunktion im Spektralbereich
* Gesamtdauer  2:44

<lntmedia preload="none">
file:Herleitung_und_Visualisierung_der_Diracfunktion.mp4
file:Herleitung_und_Visualisierung_der_Diracfunktion.ogv
</lntmedia>

Dieses Lernvideo wurde 2002 am  [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]  der  [https://www.tum.de/ Technischen Universität München]  konzipiert und realisiert. 
Buch und Regie:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Klaus_Eichin_.28am_LNT_von_1972-2011.29|Klaus Eichin]]  und  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|Günter Söder]],   Sprecher:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Reinhold_Sixt_.28Diplomarbeit_LB_2002.29|Reinhold Sixt]],   Realisierung:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Winfried_Kretzinger_.28am_LNT_von_1973-2004.29|Winfried Kretzinger]].

Im Zuge der LNTwww-Neugestaltung (Version 3) wurden diese Lernvideos 2016/2017 von 
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Applets:Attenuation of Copper Cables

2025-02-24T09:43:47Z

{{LntAppletLinkEn|attenuationCopperCables_en}}

==Applet Description==
 
This applet calculates the attenuation function $a_{\rm K}(f)$ of conducted transmission media (with cable length $l$):
*For coaxial cables one usually uses the equation $a_{\rm K}(f)=(\alpha_0+\alpha_1\cdot f+\alpha_2\cdot \sqrt{f}) \cdot l$.
*In contrast, two-wire lines are often displayed in the form $a_{\rm K}(f)=(k_1+k_2\cdot (f/{\rm MHz})^{k_3}) \cdot l$.
*The conversion of the $(k_1, \ k_2, \ k_3)$ parameters to the $(\alpha_0, \ \alpha_1, \ \alpha_2)$ parameters for $B = 30 \ \rm MHz$ is realized as well as the other way around.

Aside from the attenuation function $a_{\rm K}(f)$ the applet can display:
*the associated magnitude frequency response $\left | H_{\rm K}(f)\right |=10^{-a_\text{K}(f)/20},$
*the equalizer frequency response $\left | H_{\rm E}(f)\right | = \left | H_{\rm CRO}(f) / H_{\rm K}(f)\right | $, that leads to a nyquist total frequency response $ H_{\rm CRO}(f) $,
*the corresponding magnitude square frequency response $\left | H_{\rm E}(f)\right |^2 $.

The integral over $\left | H_{\rm E}(f)\right |^2 $ is a measure of the noise exaggeration of the selected Nyquist total frequency response and thus also for the expected error probability.From this, the ''total efficiency''  $\eta_\text{K+E}$ for channel (ger.:'''K'''anal) and equalizer (ger.:'''E'''ntzerrer) is calculated, which is output in the applet in $\rm dB$.

Through optimization of the roll-off-factor $r$ of the cosine roll-off frequency response $ H_{\rm CRO}(f) $ one gets the ''Channel efficiency''  $ \eta_\text{K}$. This therefore indicates the deterioration of the overall system due to the attenuation function $ a _ {\ rm K} (f) $ of the transmission medium.

==Theoretical Background==
 
===Magnitude Frequency Response and Attenuation Function===
Following relationship exists between the magnitude frequency response and the attenuation function:
:$$\left | H_{\rm K}(f)\right |=10^{-a_\text{K}(f)/20} = {\rm e}^{-a_\text{K, Np}(f)}.$$
*The index &bdquo;K” makes it clear, that the considered LTI system is a cable (German : '''K'''abel).
*For the first calculation rule, the damping function $a_\text{K}(f)$ must be used in $\rm dB$ (decibel).
*For the second calculation rule, the damping function $a_\text{K, Np}(f)$ must be used in $\rm Np$ (Neper).
* The following conversions apply: $\rm 1 \ dB = 0.05 \cdot \ln (10) \ Np= 0.1151 \ Np$ or $\rm 1 \ Np = 20 \cdot \lg (e) \ dB= 8.6859 \ dB$.
* This applet exclusively uses dB values.

===Attenuation Function of a Coaxial Cable===
According to [Wel77]<ref name ='Wel77'>Wellhausen, H. W.: Dämpfung, Phase und Laufzeiten bei Weitverkehrs–Koaxialpaaren. Frequenz 31, S. 23-28, 1977.</ref> the Attenuation Function of a Coaxial Cable of length $l$ is given as follows:
:$$a_{\rm K}(f)=(\alpha_0+\alpha_1\cdot f+\alpha_2\cdot \sqrt{f}) \cdot l.$$
*It is important to note the difference between $a_{\rm K}(f)$ in $\rm dB$ and the &bdquo;alpha” coefficient with other pseudo–units.
*The attenuation function $a_{\rm K}(f)$ is directly proportional to the cable length $l$; $\alpha_{\rm K}(f)= a_{\rm K}(f)/l$ is referred to as the &bdquo;attenuation factor” or &bdquo;kilometric attenuation”.
*The frequency-independent component $α_0$ of the attenuation factor takes into account the Ohmic losses.
*The frequency proportional portion $α_1 · f$ of the attenuation factor is due to the derivation losses (&bdquo;crosswise loss”) .
*The dominant portion $α_2$ goes back to [[Digitalsignalübertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen#Frequenzgang_eines_Koaxialkabels|Skin effect]], which causes a lower current density inside the conductor compared to its surface. As a result, the resistance of an electric line increases with the square root of the frequency.

The constants for the ''standard coaxial cable'' with a 2.6 mm inner diameter and a 9.5 mm outer diameter   ⇒  short '''Coax (2.6/9.5 mm)''' are:
:$$\alpha_0 = 0.014\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_1 = 0.0038\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km \cdot MHz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_2 = 2.36\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km \cdot \sqrt{MHz} } }\hspace{0.05cm}.$$

The same applies to the ''small coaxial cable''   ⇒  short '''Coax (1.2/4.4 mm)''':
:$$\alpha_0 = 0.068\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
\alpha_1 = 0.0039\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km \cdot MHz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_2 =5.2\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km \cdot \sqrt{MHz} } }\hspace{0.05cm}.$$

These values can be calculated from the cables' geometric dimensions and have been confirmed by measurements at the Fernmeldetechnisches Zentralamt in Darmstadt – see [Wel77]<ref name ='Wel77'>Wellhausen, H. W.: Dämpfung, Phase und Laufzeiten bei Weitverkehrs–Koaxialpaaren. Frequenz 31, S. 23-28, 1977.</ref> . They are valid for a temperature of 20° C (293 K) and frequencies greater than 200 kHz.

===Attenuation Function of a Two–wired Line===
According to [PW95]<ref name ='PW95'>Pollakowski, M.; Wellhausen, H.W.: Eigenschaften symmetrischer Ortsanschlusskabel im Frequenzbereich bis 30 MHz. Mitteilung aus dem Forschungs- und Technologiezentrum der Deutschen Telekom AG, Darmstadt, Verlag für Wissenschaft und Leben Georg Heidecker, 1995.</ref> the attenuation function of a Two–wired Line of length $l$ is given as follows:
:$$a_{\rm K}(f)=(k_1+k_2\cdot (f/{\rm MHz})^{k_3}) \cdot l.$$
This function is not directly interpretable, but is a phenomenological description.

[PW95]<ref name ='PW95'>Pollakowski, M.; Wellhausen, H.W.: Eigenschaften symmetrischer Ortsanschlusskabel im Frequenzbereich bis 30 MHz. Mitteilung aus dem Forschungs- und Technologiezentrum der Deutschen Telekom AG, Darmstadt, Verlag für Wissenschaft und Leben Georg Heidecker, 1995.</ref>also provides the constants determined by measurement results:
* $d = 0.35 \ {\rm mm}$:   $k_1 = 7.9 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_2 = 15.1 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_3 = 0.62$,
* $d = 0.40 \ {\rm mm}$:   $k_1 = 5.1 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_2 = 14.3 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_3 = 0.59$,
* $d = 0.50 \ {\rm mm}$:   $k_1 = 4.4 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_2 = 10.8 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_3 = 0.60$,
* $d = 0.60 \ {\rm mm}$:   $k_1 = 3.8 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_2 = \hspace{0.25cm}9.2 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_3 = 0.61$.

From these numerical values one recognizes:
*The attenuation factor $α(f)$ and the attenuation function $a_{\rm K}(f) = α(f) · l$ depend significantly on the pipe diameter. The cables laid since 1994 with $d = 0.35 \ \rm mm$ and $d = 0.5\ \rm mm$ have a 10% greater attenuation factor than the older lines with $d = 0.4\ \rm mm$ or $d= 0.6\ \rm mm$.
*However, this smaller diameter, which is based on the manufacturing and installation costs, significantly reduces the range $l_{\rm max}$ of the transmission systems used on these lines, so that in the worst case scenario expensive intermediate regenerators have to be used.
*The current transmission methods for copper lines prove only a relatively narrow frequency band, for example $120\ \rm kHz$ with [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_ISDN|ISDN]] and $\approx 1100 \ \rm kHz$ with [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_DSL|DSL]]. For $f = 1 \ \rm MHz$ the attenuation factor of a 0.4 mm cable is around $20 \ \rm dB/km$, so that even with a cable length of $l = 4 \ \rm km$ the attenuation does not exceed $80 \ \rm dB$.

===Conversion between $k$ and $\alpha$ parameters===
The $k$–parameters of the attenuation factor   ⇒   $\alpha_{\rm I} (f)$ can be converted into corresponding $\alpha$–parameters   ⇒   $\alpha_{\rm II} (f)$:
:$$\alpha_{\rm I} (f) = k_1 + k_2 \cdot (f/f_0)^{k_3}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm with} \hspace{0.15cm} f_0 = 1\,{\rm MHz},$$
:$$\alpha_{\rm II} (f) = \alpha_0 + \alpha_1 \cdot f + \alpha_2 \cdot \sqrt {f}.$$

As a criterion of this conversion, we assume that the quadratic deviation of these two functions is minimal within a bandwidth $B$:
:$$\int_{0}^{B} \left [ \alpha_{\rm I} (f) - \alpha_{\rm II} (f)\right ]^2 \hspace{0.1cm}{\rm d}f \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Minimum} \hspace{0.05cm} .$$
It is obvious that $α_0 = k_1$. The parameters $α_1$ and $α_2$ are dependent on the underlying bandwidth $B$ and are:
:$$\begin{align*}\alpha_1 & = 15 \cdot (B/f_0)^{k_3 -1}\cdot \frac{k_3 -0.5}{(k_3 + 1.5)(k_3 + 2)}\cdot {k_2}/{ {f_0} }\hspace{0.05cm} ,\\ \alpha_2 & = 10 \cdot (B/f_0)^{k_3 -0.5}\cdot \frac{1-k_3}{(k_3 + 1.5)(k_3 + 2)}\cdot {k_2}/{\sqrt{f_0} }\hspace{0.05cm} .\end{align*}$$

In the opposite direction the conversion rule for the exponent is:

:$$k_3 = \frac{A + 0.5} {A +1}, \hspace{0.2cm}\text{Auxiliary variable: }A = \frac{2} {3} \cdot \frac{\alpha_1 \cdot \sqrt{f_0}}{\alpha_2} \cdot \sqrt{B/f_0}.$$

With this result you can specify $ k_2 $ with each of the above equations.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example 1:}$ 
*For $k_3 = 1$ (frequency proportional attenuation factor) we get   $\alpha_0 = k_0\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.2cm} \alpha_1 = {k_2}/{ {f_0} }\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.2cm} \alpha_2 = 0\hspace{0.05cm} .$
*For $k_3 = 0.5$ (Skin effect) we get the coefficients:   $\alpha_0 = k_0\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.2cm}\alpha_1 = 0\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.2cm} \alpha_2 = {k_2}/{\sqrt{f_0} }\hspace{0.05cm}.$
*For $k_3 < 0.5$ we get a negative $\alpha_1$. Conversion is only possible for $0.5 \le k_3 \le 1$.
*For $0.5 \le k_3 \le$ we get the coefficients $\alpha_1 > 0$ and $\alpha_2 > 0$, which are also dependent on $B/f_0$.
*From $\alpha_1 = 0.3\, {\rm dB}/ ({\rm km \cdot MHz}) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_2 = 3\, {\rm dB}/ ({\rm km \cdot \sqrt{MHz} })\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}B = 30 \ \rm MHz$ folgt $k_3 = 0.63$ und $k_2 = 2.9 \ \rm dB/km$.}}

===Channel Influence on the Binary Nyquistent Equalization===
[[Datei:Applet_Kabeldaempfung_1_version_englisch.png|right|frame|Simplified block diagram of the optimal Nyquistent equalizer|class=fit]]
Going by the block diagram: Between the Dirac source and the (threshold) decider are the frequency responses for the transmitter (German: $\rm S$ender)  ⇒  $H_{\rm S}(f)$, channel (German: $\rm K$anal)  ⇒  $H_{\rm K}(f)$ and receiver (German: $\rm E$mpfänger)   ⇒  $H_{\rm E}(f)$.

In this applet
*we neglect the influence of the transmitted pulse form   ⇒   $H_{\rm S}(f) \equiv 1$   ⇒   dirac shaped transmission signal $s(t)$, and
*presuppose a binary Nyquist system with cosine–roll–off around the Nyquist frequency $f_{\rm Nyq} = [f_1 + f_2]/2 =1(2T)$ :
:$$H_{\rm K}(f) · H_{\rm E}(f) = H_{\rm CRO}(f).$$

[[Datei:Applet_Kabeldaempfung_2_version2.png|right|frame|Frequency Response with cosine–roll–off|class=fit]]

This means: The [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen#Erstes_Nyquistkriterium_im_Frequenzbereich|first Nyquist criterion]] is met ⇒   Timely successive impulses do not disturb each other ⇒   there are no [[Digitalsignalübertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen|Intersymbol Interferences]].

In the case of white Gaussian noise, the transmission quality is thus determined solely by the noise power in front of the receiver:

:$$P_{\rm N} =\frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} |H_{\rm E}(f)|^2 \ {\rm d}f\hspace{1cm}\text{with}\hspace{1cm}|H_{\rm E}(f)|^2 = \frac{|H_{\rm CRO}(f)|^2}{|H_{\rm K}(f)|^2}.$$

The lowest possible noise performance results with an ideal channel   ⇒   $H_{\rm K}(f) \equiv 1$ and a rectangular $H_{\rm CRO}(f) \equiv 1$ in $|f| \le f_{\rm Nyq}$:

:$$P_\text{N, min} = P_{\rm N} \ \big [\text{optimal system: }H_{\rm K}(f) \equiv 1, \ r=r_{\rm opt} =1 \big ] = N_0 \cdot f_{\rm Nyq} .$$

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definitions:}$ 
*As a quality criterion for a given system we use the '''total efficiency''' with respect to the channel $\rm (K)$ and the receiver $\rm (E)$:

:$$\eta_\text{K+E} = \frac{P_{\rm N} \ \big [\text{Optimal system: Channel }H_{\rm K}(f) \equiv 1,\ \text{Roll-off factor } r=r_{\rm opt} =1 \big ]}{P_{\rm N} \ \big [\text{Given system: Channel }H_{\rm K}(f), \ \text{Roll-off factor }r \big ]} =\left [ \frac{1}{3/4 \cdot f_{\rm Nyq} } \cdot \int_{0}^{+\infty} \vert H_{\rm E}(f) \vert^2 \ {\rm d}f \right ]^{-1}\le 1.$$

This quality criterion is specified in the applet for both parameter sets in logarithm form:   $10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} \le 0 \ \rm dB$.

*Through variation and optimization of the receiver   ⇒   roll-off factor $r$ we get the '''Channel efficiency''':

:$$\eta_\text{K} = \min_{0 \le r \le 1} \ \eta_\text{K+E} .$$}}

[[Datei:Applet_Kabeldaempfung_3_version2.png|right|frame|Square value frequency response $\left \vert H_{\rm E}(f)\right \vert ^2 $|class=fit]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example 2:}$ 
The graph shows the square value frequency response $\left \vert H_{\rm E}(f)\right \vert ^2 $ with $\left \vert H_{\rm E}(f)\right \vert = H_{\rm CRO}(f) / \left \vert H_{\rm K}(f)\right \vert$ for the following boundary conditions:
*Attenuation function of the channel:   $a_{\rm K}(f) = 1 \ {\rm dB} \cdot \sqrt{f/\ {\rm MHz} }$,
*Nyquist frequency:   $f_{\rm Nyq} = 20 \ {\rm MHz}$, Roll-off factor $r = 0.5$

This results in the following consequences:
*In the area up to $f_{1} = 10 \ \text{MHz: }$ $H_{\rm CRO}(f) = 1$   ⇒   $\left \vert H_{\rm E}(f)\right \vert ^2 = \left \vert H_{\rm K}(f)\right \vert ^{-2}$ (see yellow deposit).
* The flank of $H_{\rm CRO}(f)$ is only effective from $f_{1}$ to $f_{2} = 30 \ {\rm MHz}$ and $\left \vert H_{\rm E}(f)\right \vert ^2$ decreases more and more.
*The maximum of $\left \vert H_{\rm E}(f_{\rm max})\right \vert ^2$ at $f_{\rm max} \approx 11.5 \ {\rm MHz}$ is twice the value of $\left \vert H_{\rm E}(f = 0)\right \vert ^2 = 1$.
*The integral over $\left \vert H_{\rm E}(f)\right \vert ^2$ is a measure of the effective noise power. In the current example this is $4.6$ times bigger than the minimal noise power (for $a_{\rm K}(f) = 0 \ {\rm dB}$ and $r=1$)   ⇒   $10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} \approx - 6.6 \ {\rm dB}.$}}

==Exercises==

[[Datei:Applet_Kabeldaempfung_6_version1.png|right]]
*First choose an exercise number $1$ ... $11$.
*An exercise description is displayed.
*Parameter values are adjusted to the respective exercises.
*Click &bdquo;Show solution” to display the solution.
*Exercise description and solution are in English.

Number &bdquo;0” is a &bdquo;Reset” button:
*Sets parameters to initial values (like after loading the page).
*Displays a &bdquo;Reset text” to further describe the applet.

In the following desctiption '''Blue''' means the left parameter set (blue in the applet), and '''Red''' means the right parameter set (red in the applet). For parameters that are marked with an apostrophe the unit is not displayed. For example we write ${\alpha_2}' =2$   for   $\alpha_2 =2\, {\rm dB} / ({\rm km \cdot \sqrt{MHz} })$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''  First set '''Blue''' to $\text{Coax (1.2/4.4 mm)}$ and then to $\text{Coax (2.6/9.5 mm)}$. The cable length is $l_{\rm Blue}= 5\ \rm km$.
:Interpret $a_{\rm K}(f)$ and $\vert H_{\rm K}(f) \vert$, in particular the functional values $a_{\rm K}(f = f_\star = 30 \ \rm MHz)$ and $\vert H_{\rm K}(f = 0) \vert$.}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{The attenuation function increases approximately with }\sqrt{f}\text{ and the magnitude frequency response decreases similarly to an exponential function};$
$\hspace{1.15cm}\text{Coax (1.2/4.4 mm): }a_{\rm K}(f = f_\star) = 143.3\text{ dB;}\hspace{0.5cm}\vert H_{\rm K}(f = 0) \vert = 0.96.$

$\hspace{1.15cm}\text{Coax (2.6/9.5 mm): }a_{\rm K}(f = f_\star) = 65.3\text{ dB;}\hspace{0.5cm}\vert H_{\rm K}(f = 0) \vert = 0.99;$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''  Set '''Blue''' to $\text{Coax (2.6/9.5 mm)}$ and $l_{\rm Blue} = 5\ \rm km$. How is $a_{\rm K}(f =f_\star = 30 \ \rm MHz)$ affected by $\alpha_0$, $\alpha_1$ und $\alpha_2$?}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\alpha_2\text{ is dominant due to the skin effect. The contributions of } \alpha_0\text{ (ca. 0.1 dB) and }\alpha_1 \text{ (ca. 0.6 dB) are comparatively small.}$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''  Additionally, set '''Red''' to $\text{Two–wired Line (0.5 mm)}$ and $l_{\rm Red} = 1\ \rm km$. What is the resulting value for $a_{\rm K}(f =f_\star= 30 \ \rm MHz)$?
:Up to what length $l_{\rm Red}$ does the red attenuation function stay under the blue one?}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Red curve: }a_{\rm K}(f = f_\star) = 87.5 {\ \rm dB} \text{. The condition above is fulfilled for }l_{\rm Red} = 0.7\ {\rm km} \ \Rightarrow \ a_{\rm K}(f = f_\star) = 61.3 {\ \rm dB}.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''  Set '''Red''' to ${k_1}' = 0, {k_2}' = 10, {k_3}' = 0.75, {l_{\rm red} } = 1 \ \rm km$ and vary the Parameter $0.5 \le k_3 \le 1$.
:How do the parameters affect $a_{\rm K}(f)$ and $\vert H_{\rm K}(f) \vert$? }}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{With }k_2\text {being constant, }a_{\rm K}(f)\text{ increases with bigger values of }k_3\text{ and }\vert H_{\rm K}(f) \vert \text{ decreases faster and faster. With }k_3 =1: a_{\rm K}(f)\text{ rises linearly.}$

$\hspace{1.15cm}\text{With }k_3 \to 0.5, \text{ the attenuation function is more and more determined by the skin effect, same as in the coaxial cable.}$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''  Set '''Red''' to $\text{Two–wired Line (0.5 mm)}$ and '''Blue''' to $\text{Conversion of Red}$. For the length use $l_{\rm Red} = l_{\rm Blue} = 1\ \rm km$.
:Analyse and interpret the displayed functions $a_{\rm K}(f)$ and $\vert H_{\rm K}(f) \vert$.}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Very good approximation of the two-wire line through the blue parameter set, both with regard to }a_{\rm K}(f) \text{, as well as }\vert H_{\rm K}(f) \vert.$

$\hspace{1.15cm}\text{The resulting parameters from the conversion are }{\alpha_0}' = {k_1}' = 4.4, \ {\alpha_1}' = 0.76, \ {\alpha_2}' = 11.12.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''  We assume the settings of '''(5)'''. Which parts of the attenuation function are due to ohmic loss, lateral losses and skin effect? }}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Solution based on '''Blue''': }a_{\rm K}(f = f_\star= 30 \ {\rm MHz}) = 88.1\ {\rm dB}, \hspace{0.2cm}\text{without }\alpha_0\text{: }83.7\ {\rm dB}, \hspace{0.2cm}\text{without }\alpha_0 \text{ and } \alpha_1\text{: }60.9\ {\rm dB}.$

$\hspace{1.15cm}\text{For a two-wire cable, the influence of the longitudinal and transverse losses is significantly greater than for a coaxial cable.}$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(7)'''  Set '''Blue''' to ${\alpha_0}' = {\alpha_1}' ={\alpha_2}' = 0$ and '''Red''' to ${k_1}' = 2, {k_2}' = 0, {l_{\rm red} } = 1 \ \rm km$. Additionally, set ${f_{\rm Nyq} }' =15$ and $r= 0.5$.
:How big are the total efficiency $\eta_\text{K+E}$ and the channel efficiency $\eta_\text{K}$?}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} = -0.7\ \ {\rm dB}\text{ (Blue: ideal system) and }10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} = -2.7\ \ {\rm dB}\text{ (Red: DC signal attenuation only)}$.

$\hspace{0.95cm}\text{The best possible rolloff factor is }r = 1.\text{ Therefore }10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} = 0 \ {\rm dB}\text{ (Blue) or }10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} = -2\ {\rm dB}\text{ (Red)}.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(8)'''  The same settings apply as in '''(7)'''. Under what transmission power $P_{\rm red}$ with respect to $P_{\rm blue}$ do both systems achieve the same error probability? }}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{We need to achieve }10 \cdot \lg {P_{\rm Red}}/{P_{\rm Blue}} = 2 \ {\rm dB} \ \ \Rightarrow \ \ {P_{\rm Red}}/{P_{\rm Blue}} = 10^{0.2} = 1.585.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(9)'''  Set '''Blue''' to ${\alpha_0}' = {\alpha_1}' = 0, \ {\alpha_2}' = 3, \ {l_{\rm blue} }' = 2$ and '''Red''' to &bdquo;Inactive”. Additionally set ${f_{\rm Nyq} }' =15$ and $r= 0.7$.
:How does $\vert H_{\rm E}(f) \vert$ look like? Calculate the total efficiency $\eta_\text{K+E}$ and the channel efficiency$\eta_\text{K}$.}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{For} f < 7.5 {\ \rm MHz: } \vert H_{\rm E}(f) \vert = \vert H_{\rm K}(f) \vert ^{-1}.\text{ For } f > 25 {\ \rm MHz: }\vert H_{\rm E}(f) \vert = 0.\text{ In between, the effect of the CRO edge can be observed.}$

$\hspace{0.95cm}\text{The best possible rolloff factor }r = 0.7 \text{ is already set }\Rightarrow \ 10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} = 10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} \approx - 18.1 \ {\rm dB}.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(10)'''  Set '''Blue''' to ${\alpha_0}' = {\alpha_1}' = 0, \ {\alpha_2}' = 3, \ {l_{\rm blue} }' = 8$ and '''Red''' to &bdquo;Inactive”. Additionally, set ${f_{\rm Nyq} }' =15$ and $r= 0.7$.
:How big is $\vert H_{\rm E}(f = 0) \vert$? What is the maximum value of $\vert H_{\rm E}(f) \vert$? Calculate the channel efficiency $\eta_\text{K}$.}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\vert H_{\rm E}(f = 0) \vert = \vert H_{\rm E}(f = 0) \vert ^{-1}= 1 \text{ and the maximum value } \vert H_{\rm E}(f) \vert \text{ is approximately }37500\text{ for }r=0.7 \Rightarrow 10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} \approx -89.2 \ {\rm dB},$

$\hspace{0.95cm}\text{because the integral over }\vert H_{\rm E}(f) \vert^2\text{is huge. After the optimization }r=0.17 \text{ we get }10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} \approx -82.6 \ {\rm dB}.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(11)''' The same settings apply as in '''(10)''' and $r= 0.17$. Vary the cable length up to $l_{\rm blue} = 10 \ \rm km$.
:How much do the maximum value of $\vert H_{\rm E}(f) \vert$, the channel efficiency $\eta_\text{K}$ and the optimal rolloff factor $r_{\rm opt}$ change?}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{The maximum value of } \vert H_{\rm E}(f) \vert \text{ increases and }10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} \text{ decreases more and more.}$

$\hspace{0.95cm}\text{At 10 km length } 10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} \approx -104.9 \ {\rm dB} \text{ and } r_{\rm opt}=0.14\text{. For }f_\star \approx 14.5\ {\rm MHz} \Rightarrow \vert H_{\rm E}(f = f_\star) \vert = 352000 \approx \vert H_{\rm E}(f =0)\vert$.

==Applet Manual==
[[Datei:Applet_Kabeldaempfung_5_version2.png|left|600px]]
    '''(A)'''     Preselection for blue parameter set

    '''(B)'''     Input of the $\alpha$ parameters via sliders

    '''(C)'''     Preselection for red parameter set

    '''(D)'''     Input of the $k$ parameters via sliders

    '''(E)'''     Input of the parameters $f_{\rm Nyq}$ and $r$

    '''(F)'''     Selection for the graphic display

    '''(G)'''     Display $a_\text{K}(f)$, $|H_\text{K}(f)|$, $|H_\text{E}(f)|$, ...

    '''(H)'''     Scaling factor $H_0$ for $|H_\text{E}(f)|$, $|H_\text{E}(f)|^2$

    '''(I)'''     Selection of the frequency $f_\star$ for numeric values

    '''(J)'''     Numeric values for blue parameter set

    '''(K)'''     Numeric values for red parameter set

    '''(L)'''     Output system efficiency $\eta_\text{K+E}$ in dB

    '''(M)'''     Store & Recall of settings

    '''(N)'''     Exercise section

    '''(O)'''     Variation of the graphic display:$\hspace{0.5cm}$&bdquo;$+$” (Zoom in),

$\hspace{0.5cm}$ &bdquo;$-$” (Zoom out)

$\hspace{0.5cm}$ &bdquo;$\rm o$” (Reset)

$\hspace{0.5cm}$ &bdquo;$\leftarrow$” (Move left), etc.

'''Other options for graphic display''':
*Hold shift and scroll: Zoom in on/out of coordinate system,
*Hold shift and left click: Move the coordinate system.

==About the Authors==
Dieses interaktive Berechnungstool wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.
*Die erste Version wurde 2009 von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Sebastian_Seitz_.28Diplomarbeit_LB_2009.29|Sebastian Seitz]] im Rahmen seiner Diplomarbeit erstellt (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|Günter Söder]] und [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_Übertragungstechnik#Dr.-Ing._Bernhard_G.C3.B6bel_.28bei_L.C3.9CT_von_2004-2010.29|Bernhard Göbel]]).
*2018 wurde das Programm von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Jimmy_He_.28Bachelorarbeit_2018.29|Jimmy He]] (Bachelorarbeit, Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29|Tasnád Kernetzky]] ) auf &bdquo;HTML5” umgesetzt und neu gestaltet.

==Once again:  Open Applet in new Tab==

{{LntAppletLinkEn|attenuationCopperCables_en}}

Applets:WDF und VTF bei Gaußschen 2D Zufallsgrößen (Applet)

2025-02-24T09:43:44Z

{{LntAppletLinkDeEn|gauss|gauss_en}}

==Programmbeschreibung==
 
Das Applet verdeutlicht die Eigenschaften zweidimensionaler Gaußscher Zufallsgrößen  $XY\hspace{-0.1cm}$, gekennzeichnet durch die Standardabweichungen (Streuungen)  $\sigma_X$  und  $\sigma_Y$  ihrer beiden Komponenten sowie den Korrelationskoeffizienten  $\rho_{XY}$ zwischen diesen. Die Komponenten werden als mittelwertfrei vorausgesetzt:  $m_X = m_Y = 0$.

Das Applet zeigt
* die zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion   ⇒   $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$  $f_{XY}(x, \hspace{0.1cm}y)$  in dreidimensionaler Darstellung sowie in Form von Höhenlinien,
* die zugehörige Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktion  ⇒   $\rm 1D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$  $f_{X}(x)$  der Zufallsgröße  $X$  als blaue Kurve; ebenso  $f_{Y}(y)$  für die zweite Zufallsgröße,
* die zweidimensionale Verteilungsfunktion   ⇒   $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$  $F_{XY}(x, \hspace{0.1cm}y)$  als 3D-Plot,
* die Verteilungsfunktion  ⇒   $\rm 1D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$  $F_{X}(x)$  der Zufallsgröße  $X$; ebenso  $F_{Y}(y)$  als rote Kurve.

Das Applet verwendet das Framework  [https://en.wikipedia.org/wiki/Plotly Plot.ly]

==Theoretischer Hintergrund==
 
===Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion   ⇒   2D–WDF===

Wir betrachten zwei wertkontinuierliche Zufallsgrößen  $X$  und  $Y\hspace{-0.1cm}$, zwischen denen statistische Abhängigkeiten bestehen können. Zur Beschreibung der Wechselbeziehungen zwischen diesen Größen ist es zweckmäßig, die beiden Komponenten zu einer  '''zweidimensionalen Zufallsgröße'''  $XY =(X, Y)$  zusammenzufassen. Dann gilt:

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definition:}$ 
Die  '''Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion'''  ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF,  englisch:  ''Probability Density Function'', kurz: PDF) der zweidimensionalen Zufallsgröße  $XY$  an der Stelle  $(x, y)$:
:$$f_{XY}(x, \hspace{0.1cm}y) = \lim_{\left.{\Delta x\rightarrow 0 \atop {\Delta y\rightarrow 0} }\right.}\frac{ {\rm Pr}\big [ (x - {\rm \Delta} x/{\rm 2} \le X \le x + {\rm \Delta} x/{\rm 2}) \cap (y - {\rm \Delta} y/{\rm 2} \le Y \le y +{\rm \Delta}y/{\rm 2}) \big] }{ {\rm \Delta} \ x\cdot{\rm \Delta} y}.$$

*Die Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion oder kurz  $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$  ist eine Erweiterung der eindimensionalen WDF.
*$∩$  kennzeichnet die logische UND-Verknüpfung.
*$X$  und  $Y$ bezeichnen die beiden Zufallsgrößen, und  $x \in X$  sowie   $y \in Y$ geben Realisierungen hiervon an.
*Die für dieses Applet verwendete Nomenklatur unterscheidet sich also geringfügig gegenüber der Beschreibung im [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen#Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Theorieteil]].}}

Anhand dieser 2D–WDF  $f_{XY}(x, y)$  werden auch statistische Abhängigkeiten innerhalb der zweidimensionalen Zufallsgröße  $XY$  vollständig erfasst im Gegensatz zu den beiden eindimensionalen Dichtefunktionen   ⇒   '''Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktionen''':
:$$f_{X}(x) = \int _{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y) \,\,{\rm d}y ,$$
:$$f_{Y}(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y) \,\,{\rm d}x .$$

Diese beiden Randdichtefunktionen  $f_X(x)$  und  $f_Y(y)$
*liefern lediglich statistische Aussagen über die Einzelkomponenten  $X$  bzw.  $Y$,
*nicht jedoch über die Bindungen zwischen diesen.

Als quantitatives Maß für die linearen statistischen Bindungen   ⇒   '''Korrelation'''  verwendet man
* die  '''Kovarianz'''  $\mu_{XY}$, die bei mittelwertfreien Komponenten gleich dem gemeinsamen linearen Moment erster Ordnung ist:
:$$\mu_{XY} = {\rm E}\big[X \cdot Y\big] = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} X \cdot Y \cdot f_{XY}(x,y) \,{\rm d}x \, {\rm d}y ,$$
*den  '''Korrelationskoeffizienten'''  nach Normierung auf die beiden Effektivwerte  $σ_X$  und $σ_Y$  der beiden Komponenten:
:$$\rho_{XY}=\frac{\mu_{XY} }{\sigma_X \cdot \sigma_Y}.$$

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Eigenschaften des Korrelationskoeffizienten:}$ 
*Aufgrund der Normierung gilt stets  $-1 \le ρ_{XY} ≤ +1$.
*Sind die beiden Zufallsgrößen  $X$  und  $Y$ unkorreliert, so ist  $ρ_{XY} = 0$.
*Bei strenger linearer Abhängigkeit zwischen  $X$  und  $Y$ ist  $ρ_{XY}= ±1$   ⇒   vollständige Korrelation.
*Ein positiver Korrelationskoeffizient bedeutet, dass bei größerem  $X$–Wert im statistischen Mittel auch  $Y$  größer ist als bei kleinerem  $X$.
*Dagegen drückt ein negativer Korrelationskoeffizient aus, dass  $Y$  mit steigendem  $X$  im Mittel kleiner wird.}}
 

===2D–WDF bei Gaußschen Zufallsgrößen===

Für den Sonderfall  '''Gaußscher Zufallsgrößen'''  – der Name geht auf den Wissenschaftler  [https://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gau%C3%9F Carl Friedrich Gauß]  zurück – können wir weiterhin vermerken:
*Die Verbund–WDF einer Gaußschen 2D-Zufallsgröße  $XY$  mit Mittelwerten  $m_X = 0$  und  $m_Y = 0$  sowie dem Korrelationskoeffizienten  $ρ = ρ_{XY}$  lautet:
:$$f_{XY}(x,y)=\frac{\rm 1}{\rm 2\it\pi \cdot \sigma_X \cdot \sigma_Y \cdot \sqrt{\rm 1-\rho^2}}\ \cdot\ \exp\Bigg[-\frac{\rm 1}{\rm 2 \cdot (1-\it\rho^{\rm 2} {\rm)}}\cdot(\frac {\it x^{\rm 2}}{\sigma_X^{\rm 2}}+\frac {\it y^{\rm 2}}{\sigma_Y^{\rm 2}}-\rm 2\it\rho\cdot\frac{x \cdot y}{\sigma_x \cdot \sigma_Y}\rm ) \rm \Bigg]\hspace{0.8cm}{\rm mit}\hspace{0.5cm}-1 \le \rho \le +1.$$
*Ersetzt man  $x$  durch  $(x - m_X)$  sowie  $y$  durch  $(y- m_Y)$, so ergibt sich die allgemeinere WDF einer zweidimensionalen Gaußschen Zufallsgröße mit Mittelwert.
*Die Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktionen  $f_{X}(x)$  und  $f_{Y}(y)$  einer Gaußschen 2D-Zufallsgröße sind ebenfalls gaußförmig mit den Streuungen  $σ_X$  bzw.  $σ_Y$.
*Bei unkorrelierten Komponenten  $X$  und  $Y$ muss in obiger Gleichung  $ρ = 0$  eingesetzt werden, und man erhält dann das Ergebnis:
:$$f_{XY}(x,y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\sigma_{X}} \cdot\rm e^{-\it {x^{\rm 2}}\hspace{-0.08cm}/{\rm (}{\rm 2\hspace{0.05cm}\it\sigma_{X}^{\rm 2}} {\rm )}} \cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\sigma_{\it Y}}\cdot e^{-\it {y^{\rm 2}}\hspace{-0.08cm}/{\rm (}{\rm 2\hspace{0.05cm}\it\sigma_{Y}^{\rm 2}} {\rm )}} = \it f_{X} \rm ( \it x \rm ) \cdot \it f_{Y} \rm ( \it y \rm ) .$$

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Fazit:}$  Im Sonderfall einer 2D-Zufallsgröße mit Gaußscher WDF  $f_{XY}(x, y)$  folgt aus der  ''Unkorreliertheit''  auch direkt die  ''statistische Unabhängigkeit:''
:$$f_{XY}(x,y)= f_{X}(x) \cdot f_{Y}(y) . $$

Bitte beachten Sie:
*Bei keiner anderen WDF kann aus der  ''Unkorreliertheit''  auf die  ''statistische Unabhängigkeit''  geschlossen werden.
*Man kann aber stets   ⇒   für jede beliebige 2D–WDF  $f_{XY}(x, y)$  von der  ''statistischen Unabhängigkeit''  auf die  ''Unkorreliertheit''  schließen, weil:
*Sind zwei Zufallsgrößen  $X$  und  $Y$  völlig voneinander (statistisch) unabhängig, so gibt es zwischen ihnen natürlich auch keine ''linearen''  Abhängigkeiten   ⇒   sie sind dann auch unkorreliert  ⇒   $ρ = 0$. }}
 
===Höhenlinien bei unkorrelierten Zufallsgrößen===

[[Datei:Sto_App_Bild2.png |frame| Höhenlinien der 2D-WDF bei unkorrelierten Größen | rechts]]
Aus der Bedingungsgleichung  $f_{XY}(x, y) = {\rm const.}$  können die Höhenlinien der WDF berechnet werden.

Sind die Komponenten  $X$  und  $Y$ unkorreliert  $(ρ_{XY} = 0)$, so erhält man als Gleichung für die Höhenlinien:

:$$\frac{x^{\rm 2}}{\sigma_{X}^{\rm 2}}+\frac{y^{\rm 2}}{\sigma_{Y}^{\rm 2}} =\rm const.$$
Die Höhenlinien beschreiben in diesem Fall folgende Figuren:
*'''Kreise'''  (falls  $σ_X = σ_Y$,   grüne Kurve), oder
*'''Ellipsen'''  (für  $σ_X ≠ σ_Y$,   blaue Kurve) in Ausrichtung der beiden Achsen.
 
===Korrelationsgerade===

Als  '''Korrelationsgerade'''  bezeichnet man die Gerade  $y = K(x)$  in der  $(x, y)$–Ebene durch den „Mittelpunkt” $(m_X, m_Y)$. Diese besitzt folgende Eigenschaften:
[[Datei:Sto_App_Bild1a.png|frame| Gaußsche 2D-WDF (Approximation mit $N$ Messpunkten) und Korrelationsgerade  $y = K(x)$]]

*Die mittlere quadratische Abweichung von dieser Geraden – in  $y$–Richtung betrachtet und über alle  $N$  Messpunkte gemittelt – ist minimal:
:$$\overline{\varepsilon_y^{\rm 2} }=\frac{\rm 1}{N} \cdot \sum_{\nu=\rm 1}^{N}\; \;\big [y_\nu - K(x_{\nu})\big ]^{\rm 2}={\rm Minimum}.$$
*Die Korrelationsgerade kann als eine Art „statistische Symmetrieachse“ interpretiert werden. Die Geradengleichung lautet im allgemeinen Fall:
:$$y=K(x)=\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}\cdot\rho_{XY}\cdot(x - m_X)+m_Y.$$

*Der Winkel, den die Korrelationsgerade zur  $x$–Achse einnimmt, beträgt:
:$$\theta={\rm arctan}(\frac{\sigma_{Y} }{\sigma_{X} }\cdot \rho_{XY}).$$

===Höhenlinien bei korrelierten Zufallsgrößen===

Bei korrelierten Komponenten  $(ρ_{XY} ≠ 0)$  sind die Höhenlinien der WDF (fast) immer elliptisch, also auch für den Sonderfall  $σ_X = σ_Y$.

Ausnahme:  $ρ_{XY}=\pm 1$   ⇒   Diracwand; siehe  [[Aufgaben:Aufgabe_4.4:_Gaußsche_2D-WDF|Aufgabe 4.4]]  im Buch &bdquo;Stochastische Signaltheorie”, Teilaufgabe  '''(5)'''.
[[Datei:Sto_App_Bild3.png|right|frame|Höhenlinien der 2D-WDF bei korrelierten Größen]]
Hier lautet die Bestimmungsgleichung der WDF-Höhenlinien:

:$$f_{XY}(x, y) = {\rm const.} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} \frac{x^{\rm 2} }{\sigma_{X}^{\rm 2}}+\frac{y^{\rm 2} }{\sigma_{Y}^{\rm 2} }-{\rm 2}\cdot\rho_{XY}\cdot\frac{x\cdot y}{\sigma_X\cdot \sigma_Y}={\rm const.}$$
Die Grafik zeigt in hellerem Blau für zwei unterschiedliche Parametersätze je eine Höhenlinie.

*Die Ellipsenhauptachse ist dunkelblau gestrichelt.
*Die  [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen#Korrelationsgerade|Korrelationsgerade]]  $K(x)$  ist durchgehend rot eingezeichnet.

Anhand dieser Darstellung sind folgende Aussagen möglich:
*Die Ellipsenform hängt außer vom Korrelationskoeffizienten  $ρ_{XY}$  auch vom Verhältnis der beiden Streuungen  $σ_X$  und  $σ_Y$  ab.
*Der Neigungswinkel  $α$  der Ellipsenhauptachse (gestrichelte Gerade) gegenüber der  $x$–Achse hängt ebenfalls von  $σ_X$,  $σ_Y$  und  $ρ_{XY}$  ab:
:$$\alpha = {1}/{2} \cdot {\rm arctan } \big ( 2 \cdot \rho_{XY} \cdot \frac {\sigma_X \cdot \sigma_Y}{\sigma_X^2 - \sigma_Y^2} \big ).$$
*Die (rote) Korrelationsgerade  $y = K(x)$  einer Gaußschen 2D–Zufallsgröße liegt stets unterhalb der (blau gestrichelten) Ellipsenhauptachse.
* $K(x)$  kann aus dem Schnittpunkt der Höhenlinien und ihrer vertikalen Tangenten geometrisch konstruiert werden, wie in der Skizze in grüner Farbe angedeutet.
 
===Zweidimensionale Verteilungsfunktion   ⇒   2D–VTF===

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definition:}$  Die  '''2D-Verteilungsfunktion'''  ist ebenso wie die 2D-WDF lediglich eine sinnvolle Erweiterung der  [[Stochastische_Signaltheorie/Verteilungsfunktion_(VTF)#VTF_bei_kontinuierlichen_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen_.281.29|eindimensionalen Verteilungsfunktion]]  (VTF):
:$$F_{XY}(x,y) = {\rm Pr}\big [(X \le x) \cap (Y \le y) \big ] .$$}}

Es ergeben sich folgende Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen der &bdquo;1D-VTF” und der&bdquo; 2D-VTF”:
*Der Funktionalzusammenhang zwischen &bdquo;2D–WDF” und &bdquo;2D–VTF” ist wie im eindimensionalen Fall durch die Integration gegeben, aber nun in zwei Dimensionen. Bei kontinuierlichen Zufallsgrößen gilt:
:$$F_{XY}(x,y)=\int_{-\infty}^{y} \int_{-\infty}^{x} f_{XY}(\xi,\eta) \,\,{\rm d}\xi \,\, {\rm d}\eta .$$
*Umgekehrt lässt sich die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion aus der Verteilungsfunktion durch partielle Differentiation nach  $x$  und  $y$  angeben:
:$$f_{XY}(x,y)=\frac{{\rm d}^{\rm 2} F_{XY}(\xi,\eta)}{{\rm d} \xi \,\, {\rm d} \eta}\Bigg|_{\left.{x=\xi \atop {y=\eta}}\right.}.$$
*Bezüglich der Verteilungsfunktion  $F_{XY}(x, y)$  gelten folgende Grenzwerte:
:$$F_{XY}(-\infty,\ -\infty) = 0,\hspace{0.5cm}F_{XY}(x,\ +\infty)=F_{X}(x ),\hspace{0.5cm}
F_{XY}(+\infty,\ y)=F_{Y}(y ) ,\hspace{0.5cm}F_{XY}(+\infty,\ +\infty) = 1.$$
*Im Grenzfall $($unendlich große  $x$  und  $y)$  ergibt sich demnach für die &bdquo;2D-VTF” der Wert  $1$. Daraus erhält man die  '''Normierungsbedingung'''  für die 2D-Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:
:$$\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y) \,\,{\rm d}x \,\,{\rm d}y=1 . $$

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Fazit:}$  Beachten Sie den signifikanten Unterschied zwischen eindimensionalen und zweidimensionalen Zufallsgrößen:
*Bei eindimensionalen Zufallsgrößen ergibt die Fläche unter der WDF stets den Wert $1$.
*Bei zweidimensionalen Zufallsgrößen ist das WDF-Volumen immer gleich $1$.}}
 

==Versuchsdurchführung==
 
[[Datei:Aufgaben_2D-Gauss.png|right]]

*Wählen Sie zunächst die Nummer ('''1''', ...) der zu bearbeitenden Aufgabe.
*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
*Lösung nach Drücken von &bdquo;Musterlösung”.
*Bei der Aufgabenbeschreibung verwenden wir  $\rho$  anstelle von  $\rho_{XY}$.
*Für die &bdquo;1D-WDF” gilt:  $f_{X}(x) = \sqrt{1/(2\pi \cdot \sigma_X^2)} \cdot {\rm e}^{-x^2/(2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \sigma_X^2)}$.

Die Nummer '''0''' entspricht einem &bdquo;Reset”:
*Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
*Ausgabe eines &bdquo;Reset–Textes” mit weiteren Erläuterungen zum Applet.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''  Machen Sie sich anhand der Voreinstellung  $(\sigma_X=1, \ \sigma_Y=0.5, \ \rho = 0.7)$  mit dem Programm vertraut. Interpretieren Sie die Grafiken für  $\rm WDF$  und  $\rm VTF$.}}

::* $\rm WDF$  ist ein Bergrücken mit dem Maximum bei  $x = 0, \ y = 0$. Der Bergkamm ist leicht verdreht gegenüber der  $x$–Achse.
::* $\rm VTF$  ergibt sich aus  $\rm WDF$  durch fortlaufende Integration in beide Richtungen. Das Maximum $($nahezu  $1)$  tritt bei  $x=3, \ y=3$  auf.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''  Nun lautet die Einstellung  $\sigma_X= \sigma_Y=1, \ \rho = 0$. Welche Werte ergeben sich für  $f_{XY}(0,\ 0)$  und  $F_{XY}(0,\ 0)$? Interpretieren Sie die Ergebnisse.}}

::* Das WDF–Maximum ist  $f_{XY}(0,\ 0) = 1/(2\pi)= 0.1592$, wegen  $\sigma_X= \sigma_Y = 1, \ \rho = 0$. Die Höhenlinien sind Kreise.
::* Für den VTF-Wert gilt:  $F_{XY}(0,\ 0) = [{\rm Pr}(X \le 0)] \cdot [{\rm Pr}(Y \le 0)] = 0.25$. Geringfügige Abweichung wegen numerischer Integration.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''  Es gelten weiter die Einstellungen von '''(2)'''. Welche Werte ergeben sich für  $f_{XY}(0,\ 1)$  und  $F_{XY}(0,\ 1)$? Interpretieren Sie die Ergebnisse.}}

::* Es gilt  $f_{XY}(0,\ 1) = f_{X}(0) \cdot f_{Y}(1) = [ \sqrt{1/(2\pi)}] \cdot [\sqrt{1/(2\pi)} \cdot {\rm e}^{-0.5}] = 1/(2\pi) \cdot {\rm e}^{-0.5} = 0.0965$.
::* Das Programm liefert  $F_{XY}(0,\ 1) = [{\rm Pr}(X \le 0)] \cdot [{\rm Pr}(Y \le 1)] = 0.4187$, also einen größeren Wert als in '''(2)''', da weiter integriert wird.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''  Die Einstellungen bleiben erhalten. Welche Werte ergeben sich für  $f_{XY}(1,\ 0)$  und  $F_{XY}(1,\ 0)$? Interpretieren Sie die Ergebnisse.}}

::* Aufgrund der Rotationssysmmetrie gleiche Ergebnisse wie in '''(3)'''.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''  Stimmt die Aussage: &bdquo;Elliptische Höhenlinien gibt es nur für  $\rho \ne 0$”. Interpretieren Sie die  $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$  und $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$  für  $\sigma_X=1, \ \sigma_Y=0.5$  und  $\rho = 0$.}}

::* Nein! Auch für  $\ \rho = 0$  sind die Höhenlinien elliptisch (nicht kreisförmig), falls  $\sigma_X \ne \sigma_Y$.
::* Für $\sigma_X \gg \sigma_Y$  hat die  $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$  die Form eines langgestreckten Bergkamms parallel zur  $x$–Achse, für $\sigma_X \ll \sigma_Y$  parallel zur  $y$–Achse.
::* Für $\sigma_X \gg \sigma_Y$  ist der Anstieg der  $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$  in Richtung der  $y$–Achse deutlich steiler als in Richtung der  $x$–Achse.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''  Variieren Sie ausgehend von  $\sigma_X=\sigma_Y=1, \ \rho = 0.7$  den Korrelationskoeffizienten  $\rho$. Wie groß ist der Neigungswinkel  $\alpha$  der Ellipsen–Hauptachse?}}

::* Für  $\rho > 0$  ist  $\alpha = 45^\circ$  und für  $\rho < 0$  ist  $\alpha = -45^\circ$. Für  $\rho = 0$  sind die Höhenlinien kreisfömig und somit gibt es auch keine Ellipsen–Hauptachse.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(7)'''  Variieren Sie ausgehend von  $\sigma_X=\sigma_Y=1, \ \rho = 0.7$  den Korrelationskoeffizienten  $\rho > 0$. Wie groß ist der Neigungswinkel  $\theta$  der Korrelationsgeraden  $K(x)$?}}

::* Für  $\sigma_X=\sigma_Y$  ist  $\theta={\rm arctan}\ (\rho)$. Die Steigung nimmt mit wachsendem  $\rho > 0$  zu. In allen Fällen gilt  $\theta < \alpha = 45^\circ$. Für  $\rho = 0.7$  ergibt sich  $\theta = 35^\circ$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(8)'''  Variieren Sie ausgehend von  $\sigma_X=\sigma_Y=0.75, \ \rho = 0.7$  die Parameter  $\sigma_Y$  und  $\rho \ (>0)$. Welche Aussagen gelten für die Winkel  $\alpha$  und  $\theta$?}}

::* Für  $\sigma_Y<\sigma_X$  ist  $\alpha < 45^\circ$  und für  $\sigma_Y>\sigma_X$  dagegen  $\alpha > 45^\circ$.
::* Bei allen Einstellungen gilt:  '''Die Korrelationsgerade liegt unter der Ellipsen–Hauptachse'''.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(9)'''  Gehen Sie von  $\sigma_X= 1, \ \sigma_Y=0.75, \ \rho = 0.7$  aus und variieren Sie  $\rho$. Wie könnte man die Korrelationsgerade aus den Höhenlinien konstruieren?}}

::* Die Korrelationsgerade schneidet alle Höhenlinien an den Punkten, an denen die Tangente zu der Höhenlinie senkrecht verläuft.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(10)'''  Nun gelte  $\sigma_X= \sigma_Y=1, \ \rho = 0.95$. Interpretieren Sie die  $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$. Welche Aussagen würden für den Grenzfall  $\rho \to 1$  zutreffen?}}

::* Die  $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$  hat nur Anteile in der Nähe der Ellipsen–Hauptachse. Die Korrelationsgerade liegt nur knapp darunter:  $\alpha = 45^\circ, \ \theta = 43.5^\circ$.
::* Im Grenzfall  $\rho \to 1$  wäre  $\theta = \alpha = 45^\circ$. Außerhalb der Korrelationsgeraden hätte die  $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$  keine Anteile. Das heißt:
::* Längs der Korrelationsgeraden ergäbe sich eine '''Diracwand'''  ⇒   Alle Werte sind unendlich groß, trotzdem um den Mittelwert gaußisch gewichtet.

==Zur Handhabung des Applets==
 
[[Datei:Anleitung_2D-Gauss.png|left|600px]]
    '''(A)'''     Parametereingabe per Slider:  $\sigma_X$,  $\sigma_Y$ und  $\rho$

    '''(B)'''     Auswahl:  Darstellung von WDF oder VTF

    '''(C)'''     Reset:  Einstellung wie beim Programmstart

    '''(D)'''     Höhenlinien darstellen anstelle von &bdquo;1D-WDF”

    '''(E)'''     Darstellungsbereich für &bdquo;2D-WDF”

    '''(F)'''     Manipulation der 3D-Grafik (Zoom, Drehen, ...)

    '''(G)'''     Darstellungsbereich für &bdquo;1D-WDF” bzw. &bdquo;Höhenlinien”

    '''(H)'''     Manipulation der 2D-Grafik (&bdquo;1D-WDF”)

    '''( I )'''     Bereich für die Versuchsdurchführung: Aufgabenauswahl

    '''(J)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung: Aufgabenstellung

    '''(K)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung: Musterlösung einblenden

    '''( L)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung: Musterlösung
 
Werte–Ausgabe über Maussteuerung (sowohl bei 2D als auch bei 3D)
 

==Über die Autoren==
Dieses interaktive Berechnungstool wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.
*Die erste Version wurde 2003 von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]] im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|Günter Söder]]).
* 2019 wurde das Programm von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf &bdquo;HTML5” umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29|Tasnád Kernetzky]]).

Die Umsetzung dieses Applets auf HTML 5 wurde durch  [https://www.ei.tum.de/studium/studienzuschuesse/ Studienzuschüsse]  der Fakultät EI der TU München finanziell unterstützt. Wir bedanken uns.

==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==

{{LntAppletLinkDeEn|gauss|gauss_en}}

Applets:Generation of Walsh functions

2025-02-24T09:43:44Z

{{LntAppletLinkEn|walsh_en}}

== Program description==
 
This applet allows to display the Hadamard matrices  $\mathbf{H}_J$  for the construction of the Walsh functions  $w_j$.  The factor  $J$  of the band spreading as well as the selection of the individual Walsh functions  (by means of a blue border around rows of the matrix)  can be changed.

==Theoretical background==
 
===Application===
 
The  '''Walsh functions'''  are a group of periodic orthogonal functions.  Their application in digital signal processing mainly lies in the use for band spreading in CDMA systems, for example the mobile radio standard UMTS.
*Due to their orthogonal properties and the favourable periodic cross-correlation function  $\rm (PCCF)$, the Walsh functions represent optimal spreading sequences for a distortion-free channel and a synchronous CDMA system.  If you take any two lines and form the correlation (averaging over the products), the PCCF value is always zero.
*In asynchronous operation  (example:   uplink of a mobile radio system)  or de-orthogonalization due to multipath propagation, Walsh functions alone are not necessarily suitable for band spreading.
*In terms of  $\rm (PACF)$  (''periodic autocorrelation function'') these sequences are not as good:  Each individual Walsh function has a different PACF and each individual PACF is less good than a comparable pseudo noise  $\rm (PN)$  sequence. That means:   The synchronization is more difficult with Walsh functions than with PN sequences.
 

=== Construction===
 
The construction of Walsh functions can be done recursively using the  '''Hadamard matrices'''.
*A Hadamard matrix  $\mathbf{H}_J$  of order  $J$  is a  $J\times J$  matrix, which contains line by line the  $\pm 1$  weights of the Walsh sequences.
*The orders of the Hadamard matrices are fixed to powers of two, i.e.  $J = 2^G$  applies to a natural number  $G$. Starting from $\mathbf{H}_1 = [+1]$ and

:$$
\mathbf{H}_2 =
\left[ \begin{array}{rr}
+1 & +1\\
+1 & -1 \\
\end{array}\right]
$$
the following relationship applies to the generation of further Hadamard matrices:
:$$
\mathbf{H}_{2N} =
\left[ \begin{array}{rr}
+\mathbf{H}_N & +\mathbf{H}_N\\
+\mathbf{H}_N & -\mathbf{H}_N \\
\end{array}\right]
$$
 

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example:}$  The graphic shows the Hadamard matrix  $\mathbf H_8$  (right) and the  $J\hspace{-0.09cm} -\hspace{-0.09cm}1$  spreading sequences which can be constructed with it.
[[Datei:P_ID1882__Mod_T_5_3_S7_neu.png|right|frame| Walsh spreading sequences  $(J = 8)$  and Hadamard matrix  $\mathbf H_8$ ]]
*Only  $J\hspace{-0.09cm} -\hspace{-0.09cm}1$, because the unspreaded sequence  $w_0(t)$  is usually not used.
*Please note the color assignment between the lines of the Hadamard matrix and the spreading sequences  $w_j(t)$.
*The submatrix  $\mathbf H_4$  is highlighted in yellow.}}}
 

==How to use the applet==

 
[[Datei:Bildschirm_Walsh_EN_3.png|right|600px]]

    '''(A)'''     Selection of  $G$   ⇒   Band spread factor:  $J= 2^G$

    '''(B)'''     Selection of the Walsh function  $w_j$  to be marked 
 

== About the authors==

This interactive calculation tool was designed and realized at the  [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]  $\rm (LNT)$  of the  [https://www.tum.de/ Technical University of Munich]  $\rm (TUM)$.

*The first German version was created in 2007 by  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Thomas_Gro.C3.9Fer_.28Diplomarbeit_LB_2006.2C_danach_freie_Mitarbeit_bis_2010.29|Thomas Großer]]   in the context of his diploma thesis with "FlashMX–Actionscript"  (Supervisor:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|Günter Söder]]).
*2018/2019 the applet was converted on "HTML5" and redesigned by  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]  (Engineering practice, supervisor:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29|Tasnád Kernetzky]] ).
*2020 this English version was made by  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]  (working student) and  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|Günter Söder]].  Translation using "www.DeepL.com/Translator" (free version).
==Call the applet again==
 
{{LntAppletLinkEn|walsh_en}}

Applets:Zur Verdeutlichung der Pseudoternärcodes

2025-02-24T09:43:44Z

{{LntAppletLinkDeEn|pseudoternarycodes|pseudoternarycodes_en}}

==Programmbeschreibung==
 
Das Applet behandelt die Eigenschaften der bekanntesten Pseudoternärcodes, nämlich:
#  Bipolarcode erster Ordnung bzw.  $\rm AMI$–Code  (von: ''Alternate Mark Inversion''),  gekennzeichnet durch die Parameter  $N_{\rm C} = 1, \ K_{\rm C} = +1$,
#  Duobinärcode,  $(\rm DUOB)$,  Codeparameter:  $N_{\rm C} = 1, \ K_{\rm C} = -1$,
#  Bipolarcode zweiter Ordnung  $(\rm BIP2)$,  Codeparameter:  $N_{\rm C} = 2, \ K_{\rm C} = +1$.

Am Eingang liegt die redundanzfreie binäre bipolare Quellensymbolfolge  $\langle \hspace{0.05cm}q_\nu \hspace{0.05cm}\rangle \ \in \{+1, -1\}$   ⇒   Rechtecksignal  $q(t)$  an.  Verdeutlicht wird die Generierung
*der binär–vorcodierten Folge  $\langle \hspace{0.05cm}b_\nu \hspace{0.05cm}\rangle \ \in \{+1, -1\}$,  dargestellt durch das ebenfalls redundanzfreie binäre bipolare Rechtecksignal  $b(t)$,
*der pseudoternären Codefolge  $\langle \hspace{0.05cm}c_\nu \hspace{0.05cm}\rangle \ \in \{+1,\ 0, -1\}$,  dargestellt durch das redundante ternäre bipolare Rechtecksignal  $c(t)$,
*das gleichermaßen redundante ternäre Sendesignal  $s(t)$, gekennzeichnet durch die Amplitudenkoeffizienten  $a_\nu $,  und den (Sende–) Grundimpuls  $g(t)$:
:$$s(t) = \sum_{\nu = -\infty}^{+\infty} a_\nu \cdot g( t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$

Der Grundimpuls  $g(t)$  –  im Applet  &bdquo;Rechteck”,  &bdquo;Nyquist” und  &bdquo;Wurzel–Nyquist”  –  bestimmt nicht nur die Form des Sendesignals, sondern auch den Verlauf
* der Autokorrelationsfunktion  $\rm (AKF)$  $\varphi_s (\tau)$  und
* des zugehörigen Leistungsdichtespektrums  $\rm (LDS)$  ${\it \Phi}_s (f)$.

Das Applet zeigt auch, dass das gesamte Leistungsdichtespektrum  ${\it \Phi}_s (f)$ aufgeteilt werden kann in den Anteil  ${\it \Phi}_a (f)$, der die statistischen Bindungen der Amplitudenkoeffizienten  $a_\nu$   berücksichtigt, und das Energiedichtespektrum $ {\it \Phi}^{^{\hspace{0.08cm}\bullet}}_{g}(f) = |G(f)|^2 $, gekennzeichnet durch die Impulsform  $g(t)$.

''Anmerkung'':   Im Applet wird kein Unterschied zwischen den Codersymbolen  $c_\nu \in \{+1,\ 0, -1\}$  und den Amplitudenkoeffizienten  $a_\nu \in \{+1,\ 0, -1\}$  gemacht.  Dabei sollte nicht vergessen werden, dass die  $a_\nu$  stets Zahlenwerte sind, während für die Codersymbole auch die Notation  $c_\nu \in \{\text{Plus},\ \text{Null},\ \text{Minus}\}$  zulässig wäre.

==Theoretischer Hintergrund==

=== Allgemeine Beschreibung der Pseudoternärcodes ===

Bei der symbolweisen Codierung wird mit jedem ankommenden Quellensymbol  $q_\nu$  ein Codesymbol  $c_\nu$  erzeugt, das außer vom aktuellen Eingangssymbol  $q_\nu$  auch von den  $N_{\rm C}$  vorangegangenen Symbolen  $q_{\nu-1}$, ... , $q_{\nu-N_{\rm C}} $  abhängt.  $N_{\rm C}$  bezeichnet man als die ''Ordnung''  des Codes.

[[Datei:P_ID1343__Dig_T_2_4_S1_v1.png|right|frame|Blockschaltbild und Ersatzschaltbild eines Pseudoternärcodierers|class=fit]]

Typisch für eine symbolweise Codierung ist, dass
*die Symboldauer  $T$  des Codersignals (und des Sendesignals) mit der Bitdauer  $T_{\rm B}$  des binären Quellensignals übereinstimmt, und
*Codierung und Decodierung nicht zu größeren Zeitverzögerungen führen, die bei Verwendung von Blockcodes unvermeidbar sind. 

Besondere Bedeutung besitzen ''Pseudomehrstufencodes''  – besser bekannt unter der englischen Bezeichnung ''Partial Response Codes''. 

*Im Folgenden werden ausschließlich ''Pseudoternärcodes''   ⇒   Stufenzahl  $M = 3$  betrachtet, die durch das Blockschaltbild entsprechend der linken Grafik beschreibbar sind. 
*In der rechten Grafik ist ein Ersatzschaltbild angegeben, das für eine Analyse dieser Codes sehr gut geeignet ist.

Man erkennt aus den beiden Darstellungen:
*Der Pseudoternärcodierer kann in den nichtlinearen Vorcodierer und ein lineares Codiernetzwerk aufgespalten werden, wenn man – wie im rechten Ersatzschaltbild dargestellt – die Verzögerung um  $N_{\rm C} \cdot T$  und die Gewichtung mit  $K_{\rm C}$  zur Verdeutlichung zweimal zeichnet. 

*Der ''nichtlineare Vorcodierer''  gewinnt durch eine Modulo–2–Addition  (&bdquo;Antivalenz”)  zwischen den Symbolen  $q_\nu$  und  $K_{\rm C} \cdot b_{\nu-N_{\rm C}} $  die vorcodierten Symbole  $b_\nu$, die ebenfalls binär sind:
:$$q_\nu \in \{-1, +1\},\hspace{0.1cm} K_{\rm C} \in \{-1,
+1\}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}b_\nu \in \{-1,
+1\}\hspace{0.05cm}.$$
*Die Symbole  $b_\nu$  sind wie die Quellensymbole  $q_\nu$  statistisch voneinander unabhängig.  Der Vorcodierer fügt also keine Redundanz hinzu.  Er gestattet aber eine einfachere Realisierung des Decoders und verhindert eine Fehlerfortpflanzung nach einem Übertragungsfehler. 

*Die eigentliche Umcodierung von binär  $(M_q = 2)$  auf ternär  $(M = M_c = 3)$  bewirkt das ''lineare Codiernetzwerk''  durch die herkömmliche Subtraktion
:$$c(t) ={1}/{2} \cdot \big [b(t) - K_{\rm C} \cdot b(t- N_{\rm
C}\cdot T)\big] \in \{-1, \ 0, +1\}\hspace{0.05cm},$$

:das durch folgende  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich#Impulsantwort|Impulsantwort]]  bzw.  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich#.C3.9Cbertragungsfunktion_-_Frequenzgang|Übertragungsfunktion]]  bezüglich dem Eingangssignal  $b(t)$  und dem Ausgangssignal  $c(t)$  beschrieben werden kann:
:$$h_{\rm C}(t) = {1}/{2} \cdot \big [\delta(t) - K_{\rm C} \cdot \delta(t- N_{\rm
C}\cdot T)\big] \ \ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\ \ \ H_{\rm C}(f) ={1}/{2} \cdot \left [1 - K_{\rm C} \cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}N_{\rm C}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T}\right]\hspace{0.05cm}. $$

*Die relative Coderedundanz ist für alle Pseudoternärcodes gleich. Setzt man in die  [[Digitalsignalübertragung/Redundanzfreie_Codierung#Blockweise_Codierung_vs._symbolweise_Codierung|allgemeine Definitionsgleichung]]  $M_q=2$,  $M_c=3$  und  $T_c =T_q$  ein, so erhält man
:$$r_c = 1- \frac{R_q}{R_c} = 1- \frac{T_c}{T_q} \cdot \frac{{\rm log_2}\hspace{0.05cm} (M_q)}{{\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M_c)} = 1- \frac{T_c}{T_q \cdot {\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M_c)}\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} r_c = 1 -1/\log_2\hspace{0.05cm}(3) \approx 36.9 \%\hspace{0.05cm}.$$

{{BlaueBox|TEXT=
Das  $\text{Sendesignal aller Pseudoternärcodes}$  wird im Folgenden stets wie folgt dargestellt:
:$$s(t) = \sum_{\nu = -\infty}^{+\infty} a_\nu \cdot g( t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$
*Die Eigenschaft des aktuellen Pseudoternärcodes spiegelt sich in den statistischen Bindungen zwischen den  $a_\nu$  wider.  In allen Fällen gilt  $a_\nu \in \{-1, \ 0, +1\}$.
*Der Sendegrundimpuls  $g(t)$  stellt zum einen die erforderliche Energie bereit, hat aber auch Einfluss auf die statistischen Bindungen innerhalb des Signals.
*Im Programm ausgewählt werden kann neben dem NRZ–Rechteckimpuls  $g_{\rm R}(t)$: 
:*der Nyquistimpuls   ⇒   Impulsantwort des Cosinus–Rolloff–Tiefpasses mit Rolloff–Faktor $r$:
:$$g_{\rm Nyq}(t)={\rm const.} \cdot \frac{\cos(\pi \cdot r\cdot t/T)}{1-(2\cdot r\cdot t/T)^2} \cdot {\rm si}(\pi \cdot t/T) \ \ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\ \ \ G_{\rm Nyq}(f),$$

:*der Wurzel–Nyquistimpuls   ⇒   Impulsantwort des Wurzel–Cosinus–Rolloff–Tiefpasses mit Rolloff–Faktor $r$:
:$$g_{\sqrt{\rm Nyq} }(t)\ \ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\ \ \ G_{\sqrt{\rm Nyq} }(f)={\rm const.} \cdot \sqrt{G_{\rm Nyq}(f)} .$$ }}
 

=== Eigenschaften des AMI-Codes===

Die Pseudoternärcodes unterscheiden sich in den Parametern  $N_{\rm C}$  und  $K_{\rm C}$.  Der bekannteste Vertreter ist der  '''Bipolarcode erster Ordnung'''  mit den Codeparametern  $N_{\rm C} = 1$  und  $K_{\rm C} = 1$, der auch unter der Bezeichnung  '''AMI–Code'''  (von: ''Alternate Mark Inversion'') bekannt ist.

[[Datei:P_ID1346__Dig_T_2_4_S2a_v1.png|right|frame|AMI– und HDB3–Codierung, jeweils dargestellt mit Rechtecksignalen|class=fit]]
Dieser wird zum Beispiel bei  [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_ISDN|ISDN]]  (''Integrated Services Digital Networks'') auf der so genannten  $S_0$–Schnittstelle eingesetzt.

Die Grafik zeigt oben das binäre Quellensignal  $q(t)$. Im zweiten und dritten Diagramm sind dargestellt:
* das ebenfalls binäre Signal  $b(t)$  nach dem Vorcodierer, und
* das Codersignal  $c(t) = s(t)$  des AMI–Codes.

Man erkennt das einfache AMI–Codierprinzip:
*Jeder Binärwert &bdquo;-1” von  $q(t)$   ⇒   Symbol  $\rm L$  wird durch den ternären Koeffizienten  $a_\nu = 0$  codiert. 
*Der Binärwert &bdquo;+1” von  $q(t)$   ⇒   Symbol  $\rm H$  wird alternierend mit  $a_\nu = +1$  und  $a_\nu = -1$  dargestellt. 

Damit wird sichergestellt, dass im AMI–codierten Signal keine langen &bdquo;+1”– und auch keine keine langen &bdquo;–1”–Sequenzen enthalten sind, was bei einem gleichsignalfreien Kanal zu Problemen führen würde.

Dagegen ist das Auftreten langer Nullfolgen durchaus möglich, bei denen über einen längeren Zeitraum keine Taktinformation übertragen wird.

Um dieses zweite Problem zu vermeiden, wurden einige modifizierte AMI–Codes entwickelt, zum Beispiel der ''B6ZS–Code''  und der ''HDB3''–Code:
*Beim '''HDB3–Code'''  (grüne Kurve in obiger Grafik) werden vier aufeinanderfolgende Nullen im AMI–codierten Signal durch eine Teilsequenz ersetzt, die die AMI–Codierregel verletzt. 

*Im grau hinterlegten Bereich ist dies die Folge &bdquo;+ 0 0 +”, da das letzte Symbol vor der Ersetzung ein &bdquo;Minus” war. 

*Damit ist beim HDB3–Code die Anzahl aufeinanderfolgender Nullen auf  $3$  begrenzt und beim  [https://www.itwissen.info/B6ZS-bipolar-with-six-zero-substitution-B6ZS-Codierung.html B6ZS–Code]  auf  $5$.
*Der Decoder erkennt diese Codeverletzung und ersetzt &bdquo;+ 0 0 +” wieder durch &bdquo;0 0 0 0”. 
 
=== Zur AKF–Berechnung eines Digitalsignals ===
In der Versuchsdurchführung werden einige Größen und Zusamenhänge verwendet, die hier kurz eräutert werden sollen:

*  Das (zeitlich unbegrenzte) Digitalsignal beinhaltet sowohl die Quellenstatistik $($Amplitudenkoeffizienten  $a_\nu$)  als auch die Sendeimpulsform  $g(t)$:
:$$s(t) = \sum_{\nu = -\infty}^{+\infty} a_\nu \cdot g ( t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$

*  Ist  $s(t)$  die Musterfunktion eines stationären und ergodischen Zufallsprozesses, so gilt für die  [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Zufallsprozesse_.281.29|Autokorrelationsfunktion]]  $\rm (AKF)$:
:$$\varphi_s(\tau) = {\rm E}\big [s(t) \cdot s(t + \tau)\big ] = \sum_{\lambda = -\infty}^{+\infty}{1}/{T}
\cdot \varphi_a(\lambda)\cdot\varphi^{^{\bullet} }_{gs}(\tau -
\lambda \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$

*  Diese Gleichung beschreibt die Faltung der diskreten AKF  $\varphi_a(\lambda) = {\rm E}\big [ a_\nu \cdot a_{\nu + \lambda}\big]$  der Amplitudenkoeffizienten mit der Energie–AKF des Grundimpulses:

:$$\varphi^{^{\bullet} }_{g}(\tau) =
\int_{-\infty}^{+\infty} g ( t ) \cdot g ( t +
\tau)\,{\rm d} t \hspace{0.05cm}.$$

*Der Punkt soll darauf hinweisen, dass  $\varphi^{^{\bullet} }_{g}(\tau)$  die Einheit einer Energie besitzt, während  $\varphi_s(\tau)$  eine Leistung angibt und  $\varphi_a(\lambda)$  dimensionslos ist.
 
=== Zur LDS-Berechnung eines Digitalsignals ===
Die Entsprechungsgröße zur AKF ist im Frequenzbereich das [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)#Theorem_von_Wiener-Chintchine|Leistungsdichtespektrum]]  $\rm (LDS)$  ${\it \Phi}_s(f)$, das mit  $\varphi_s(\tau)$  über das Fourierintegral fest verknüpft ist: 
:$$\varphi_s(\tau) \hspace{0.4cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet \hspace{0.4cm}
{\it \Phi}_s(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi_s(\tau) \cdot
{\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm} 2 \pi f \hspace{0.02cm} \tau}
\,{\rm d} \tau \hspace{0.05cm}.$$
*Das Leistungsdichtespektrum  ${\it \Phi}_s(f)$  kann unter Berücksichtigung der Dimensionsbereinigung  $(1/T)$  als Produkt zweier Funktionen dargestellt werden:
:$${\it \Phi}_s(f) = {\it \Phi}_a(f) \cdot {1}/{T} \cdot
|G_s(f)|^2 \hspace{0.05cm}.$$
*Der erste Term  ${\it \Phi}_a(f)$  ist dimensionslos und beschreibt die spektrale Formung des Sendesignals durch die statistischen Bindungen der Quelle: 
:$$\varphi_a(\lambda) \hspace{0.4cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet \hspace{0.4cm}{\it \Phi}_a(f) = \sum_{\lambda =
-\infty}^{+\infty}\varphi_a(\lambda)\cdot {\rm e}^{- {\rm
j}\hspace{0.05cm} 2 \pi f \hspace{0.02cm} \lambda \hspace{0.02cm}T} =
\varphi_a(0) + 2 \cdot \sum_{\lambda =
1}^{\infty}\varphi_a(\lambda)\cdot\cos ( 2 \pi f
\lambda T) \hspace{0.05cm}.$$
*${\it \Phi^{^{\hspace{0.08cm}\bullet}}_{g}}(f)$  berücksichtigt die spektrale Formung durch  $g(t)$. Je schmaler dieser ist, desto breiter ist  $\vert G(f) \vert^2$  und um so größer ist damit der Bandbreitenbedarf:
:$$\varphi^{^{\hspace{0.05cm}\bullet}}_{g}(\tau) \hspace{0.4cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet \hspace{0.4cm}
{\it \Phi}^{^{\hspace{0.08cm}\bullet}}_{g}(f) = |G(f)|^2
\hspace{0.05cm}.$$
*Das Energiedichtespektrum ${\it \Phi^{^{\hspace{0.08cm}\bullet}}_{g}}(f)$  hat die Einheit  $\rm Ws/Hz$  und das Leistungsdichtespektrum  ${\it \Phi_{s}}(f)$  nach der Division durch den Symbolabstand  $T$  die Einheit  $\rm W/Hz$.

=== Leistungsdichtespektrum des AMI-Codes===

Der Frequenzgang des linearen Codiernetzwerks eines Pseudoternärcodes lautet allgemein:
:$$H_{\rm C}(f) = {1}/{2} \cdot \big [1 - K_{\rm C} \cdot {\rm
e}^{-{\rm j}\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}
2\pi\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}f \hspace{0.03cm}\cdot
\hspace{0.03cm} N_{\rm C}\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}T}
\big] ={1}/{2} \cdot \big [1 - K \cdot {\rm
e}^{-{\rm j}\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}
\alpha}
\big ]\hspace{0.05cm}.$$

Damit ergibt sich für das Leistungsdichtespektrum (LDS) der Amplitudenkoeffizienten  $(K$  und  $\alpha$  sind Abkürzungen entsprechend obiger Gleichung$)$:
:$$ {\it \Phi}_a(f) = | H_{\rm C}(f)|^2 = \frac{\big [1 - K \cos
(\alpha) + {\rm j}\cdot K \sin (\alpha) \big ] \big [1 - K \cos
(\alpha) - {\rm j}\cdot K \sin (\alpha) \big ] }{4} = \text{...} = {1}/{4} \cdot \big [2 - 2 \cdot K \cdot \cos
(\alpha) \big ] $$
[[Datei:P_ID1347__Dig_T_2_4_S2b_v2.png|right|frame|Leistungsdichtespektrum des AMI-Codes|class=fit]]
:$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\it \Phi}_a(f) = | H_{\rm C}(f)|^2 = {1}/{2} \cdot \big [1 - K_{\rm C} \cdot \cos
(2\pi f N_{\rm C} T)\big ]
\hspace{0.4cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ \hspace{0.4cm}
\varphi_a(\lambda \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$

Insbesondere erhält man für das Leistungsdichtespektrum (LDS) des AMI–Codes $(N_{\rm C} = K_{\rm C} = 1)$:
:$${\it \Phi}_a(f) = {1}/{2} \cdot \big [1 - \cos
(2\pi f T)\big ] = \sin^2
(\pi f T)\hspace{0.05cm}.$$

Die Grafik zeigt
*das LDS  ${\it \Phi}_a(f)$  der Amplitudenkoeffizienten (rote Kurve), und 
*das LDS  ${\it \Phi}_s(f)$  des gesamten Sendesignals (blau), gültig für NRZ–Rechteckimpulse. 

Man erkennt aus dieser Darstellung
*die Gleichsignalfreiheit des AMI–Codes, da  ${\it \Phi}_a(f = 0) = {\it \Phi}_s(f = 0) = 0$  ist, 
*die Leistung  $P_{\rm S} = s_0^2/2$  des AMI–codierten Sendesignals (Integral über  ${\it \Phi}_s(f)$  von  $- \infty$  bis  $+\infty$).

''Hinweise:''
*Das LDS von HDB3– und B6ZS–Code weicht von dem des AMI–Codes nur unwesentlich ab. 
*Die hier behandelte Thematik können Sie sich mit dem interaktiven Applet  [[Applets:Pseudoternaercodierung|Signale, AKF und LDS der Pseudoternärcodes]]  verdeutlichen.

=== Eigenschaften des Duobinärcodes ===

[[Datei:P_ID1348__Dig_T_2_4_S3b_v1.png|right|frame|Leistungsdichtespektrum des Duobinärcodes|right|class=fit]]
Der '''Duobinärcode''' ist durch die Codeparameter  $N_{\rm C} = 1$  und  $K_{\rm C} = -1$  festgelegt. Damit ergibt sich für das Leistungsdichtespektrum (LDS) der Amplitudenkoeffizienten bzw. für das LDS des Sendesignals:

:$${\it \Phi}_a(f) ={1}/{2} \cdot \big [1 + \cos
(2\pi f T)\big ] = \cos^2
(\pi f T)\hspace{0.05cm},$$
:$$ {\it \Phi}_s(f) = s_0^2 \cdot T \cdot \cos^2
(\pi f T)\cdot {\rm si}^2
(\pi f T)= s_0^2 \cdot T \cdot {\rm si}^2
(2 \pi f T) \hspace{0.05cm}.$$

Die Grafik zeigt das Leistungsdichtespektrum
*der Amplitudenkoeffizienten   ⇒   ${\it \Phi}_a(f)$  als rote Kurve, 
*des gesamten Sendsignals   ⇒   ${\it \Phi}_s(f)$  als blaue Kurve. 

In der zweiten Grafik sind die Signale  $q(t)$,  $b(t)$  und  $c(t) = s(t)$  skizziert. Wir verweisen hier wieder auf das Applet  [[Applets:Pseudoternaercodierung|Signale, AKF und LDS der Pseudoternärcodes]], das auch die Eigenschaften des Duobinärcodes verdeutlicht.
[[Datei:P_ID1349__Dig_T_2_4_S3a_v2.png|left|frame|Signale bei Duobinärcodierung|class=fit]]
 Aus diesen Darstellungen geht hervor:
*Beim Duobinärcode können beliebig viele Symbole mit gleicher Polarität (&bdquo;+1” bzw. &bdquo;–1”) direkt aufeinanderfolgen.
*Deshalb gilt  ${\it \Phi}_a(f = 0)=1$  und  ${\it \Phi}_s(f = 0) = 1/2 \cdot s_0^2 \cdot T$. 
*Dagegen tritt beim Duobinärcode die alternierende Folge &bdquo; ... , +1, –1, +1, –1, +1, ... ” nicht auf, die hinsichtlich Impulsinterferenzen besonders störend ist.
*Deshalb gilt beim Duobinärcode:  ${\it \Phi}_s(f = 1/(2T) = 0$. 
*Das Leistungsdichtespektrum  ${\it \Phi}_s(f)$  des pseudoternären Duobinärcodes ist identisch mit dem LDS bei redundanzfreier Binärcodierung mit halber Rate $($Symboldauer  $2T)$. 
 

==Versuchsdurchführung==

[[Datei:Aufgaben_2D-Gauss.png|right]]
 
*Wählen Sie zunächst die Nummer  ('''1''', '''2''', ... )  der zu bearbeitenden Aufgabe.
*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
*Lösung nach Drücken von &bdquo;Musterlösung”.
*Die Nummer  '''0'''  entspricht einem &bdquo;Reset”:  Einstellung wie beim Programmstart.
 

{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''  Betrachten und interpretieren Sie die binäre Vorcodierung beim '''AMI–Code''' anhand der Quellensymbolfolge  $\rm C$  unter der Annahme  $b_0 = +1$. }}
*Die Modulo–2–Addition kann auch als Antivalenz aufgefasst werden.  Es gilt  $b_{\nu} = +1$, falls sich  $q_{\nu}$  und  $b_{\nu – 1}$  unterscheiden, andernfalls ist  $b_{\nu} = -1$  zu setzen:
:  $b_1 = (q_1 = +1)\ {\rm XOR}\ (b_0= +1) = -1,\ \ b_2 = (q_2 = -1)\ {\rm XOR}\ (b_1= -1) = -1,\ \ b_3 = (q_3 = -1)\ {\rm XOR}\ (b_2= -1) = -1,$
:  $b_4 = (q_4 = +1)\ {\rm XOR}\ (b_3= -1) = +1,\ \ b_5 = (q_5 = +1)\ {\rm XOR}\ (b_4= +1) = -1,\ \ b_6 = (q_6 = +1)\ {\rm XOR}\ (b_5= -1) = +1,\ \ b_7 = b_8 = \text{...} = -1.$
*Mit der Startbedingung  $b_0 = -1$  ergibt sich die negierte Folge:  $b_4 = b_6 =-1$.  Alle anderen  $b_\nu = +1$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''  Es gelte  $b_0 = +1$.  Betrachten Sie die AMI–Coderfolge  $\langle c_\nu \rangle$  der Quellensymbolfolge  $\rm C$  und geben Sie deren Ampltitudenkoeffizienten  $a_\nu$  an.}}

*Es gilt:  $a_1= 0.5 \cdot (b_1-b_0) = -1$,  $a_2= 0.5 \cdot (b_2-b_1) =0$,  $a_3= 0.5 \cdot (b_3-b_2) =0$,  $a_4= +1$,  $a_5= -1$,  $a_6= +1$,  $a_7= -1$,  $a_8= a_9 = \text{...} = 0$.
*Im Gegensatz zur Vorcodierung ist hier die herkömmliche Addition (Subtraktion) anzuwenden und nicht die Modulo–2– Addition.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''  Betrachten Sie nun die AMI–Codierung für mehrere Zufallsfolgen.  Welche Regeln lassen sich aus diesen Versuchen für die Ampltitudenkoeffizienten  $a_\nu$  ableiten?}}

*Jeder Binärwert  &bdquo;–1”  von  $q(t)$   ⇒   Symbol  $\rm L$  wird durch den ternären Koeffizienten  $a_\nu = 0$  codiert.  Es können beliebig viele  $a_\nu = 0$  aufeinanderfolgen.
*Der Binärwert  &bdquo;+1”  von  $q(t)$   ⇒   Symbol  $\rm H$  wird alternierend mit  $a_\nu = +1$  und  $a_\nu = -1$  dargestellt, beginnend mit  $a_\nu = -1$, falls  $b_0 = +1$.
*Aus der Quellensymbolfolge  $\rm A$   ⇒   $\langle \hspace{0.05cm}q_\nu \equiv +1 \hspace{0.05cm}\rangle$  wird die Codesymbolfolge  $+1, -1, +1, -1, \text{...}$ . Lange Folgen  $\langle \hspace{0.05cm}a_\nu \equiv +1 \hspace{0.05cm}\rangle$  bzw.   $\langle \hspace{0.05cm}a_\nu \equiv -1 \hspace{0.05cm}\rangle$  sind ausgeschossen.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''  Weiterhin AMI–Codierung.  Interpretieren Sie die Autokorrelationsfunktion  $\varphi_a(\lambda)$  der Amplitudenkoeffizienten und das Leistungsdichtespektrum  $\Phi_a(f)$. }}
*Die diskrete AKF  $\varphi_a(\lambda)$  der Amplitudenkoeffizienten ist nur für ganzzahlige  $\lambda$–Werte definiert.  Beim AMI–Code  $(N_{\rm C}=1)$  sind für  $|\lambda| > 1$  alle  $\varphi_a(\lambda)= 0$.
*$\varphi_a(\lambda = 0)$  ist gleich dem quadratischen Mittelwert der Amplitudenkoeffizienten   ⇒   $\varphi_a(\lambda = 0) = {\rm Pr}(a_\nu = +1) \cdot (+1)^2 + {\rm Pr}(a_\nu = -1) \cdot (-1)^2 = 0.5.$
*Zum Erwartungswert  ${\rm E}\big [a_\nu \cdot a_{\nu+1}\big]$  tragen nur die Kombinationen  $(+1, -1)$  und  $(-1, +1)$  bei.  Ergebnis:  $\varphi_a(\lambda = \pm 1)={\rm E}\big [a_\nu \cdot a_{\nu+1}\big]=-0.25.$
*Das Leistungsdichtespektrum  ${\it \Phi}_a(f)$  ist die Fouriertransformierte der diskreten AKF  $\varphi_a(\lambda)$.  Das Ergebnis ist  ${\it \Phi}_a(f) = {1}/{2} \cdot \big [1 - \cos (2\pi f T)\big ] = \sin^2
(\pi f T)\hspace{0.05cm}.$
*Aus der Gleichsignalfreiheit   ⇒  ${\it \Phi}_a(f = 0) = 0$  folgt:   Der AMI–Code ist insbesondere für Kanäle interessant, über die kein Gleichanteil übertragen werden kann.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''  Wir betrachten weiter die AMI–Codierung und den Rechteckimpuls.  Interpretieren Sie die AKF  $\varphi_s(\tau)$  des Sendesignals und das LDS  ${\it \Phi}_s(f)$. }}
*$\varphi_s(\tau)$  ergibt sich aus der Faltung der diskreten AKF  $\varphi_a(\lambda)$  mit  $\varphi^{^{\hspace{0.05cm}\bullet}}_{g}(\tau)$.  Beim Rechteckimpuls  $($Dauer $T)$  ist die Energie–AKF  $\varphi^{^{\hspace{0.05cm}\bullet}}_{g}(\tau)$  ein Dreieck der Dauer  $2T$.
*Es gilt  $\varphi_s(\tau = 0)= \varphi_a(\lambda = 0) =0.5, \ \varphi_s(\pm T)= \varphi_a( 1) =-0.25,\ , \ \varphi_s( \pm 2T)= \varphi_a(2) =0.$  Zwischen diesen diskreten Werten verläuft  $\varphi_{s}(\tau)$  stets linear.
*Das LDS  ${\it \Phi}_s(f)$  ergibt sich aus  ${\it \Phi}_a(f) = \sin^2(\pi f T)$  durch Multiplikation mit ${\it \Phi}^{^{\hspace{0.08cm}\bullet}}_{g}(f) = {\rm si}^2(\pi f T).$  An den Nullstellen von  ${\it \Phi}_a(f)$  ändert sich dadurch nichts.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''  Was ändert sich bezüglich  $s(t)$,  $\varphi_s(\tau)$  und  ${\it \Phi}_s(f)$  mit dem Nyquistimpuls?  Variieren Sie hierbei den Rolloff–Faktor im Bereich  $0 \le r \le 1$.}}

*Ein einzelner Nyquistimpuls kann mit der Quellensymbolfolge  $\rm B$  im  $s(t)$–Bereich dargestellt werden.  Man erkennt die äquidistanten Nulldurchgänge im Abstand  $T$.
*Auch bei jeder AMI–Zufallsfolge entsprechen die Signalwerte  $s(t=\nu \cdot T)$  für jedes  $r$  genau ihren Solllagen.  Außerhalb dieser Punkte gibt es Abweichungen.
*Im Sonderfall  $r=0$  ist das Energie–LDS  ${\it \Phi}^{^{\hspace{0.08cm}\bullet}}_{g}(f)$  im Bereich  $|f|<1/2T$  konstant.  Dementsprechend hat die Energie–AKF  ${\it \varphi}^{^{\hspace{0.08cm}\bullet}}_{g}(\tau)$  einen  $\rm si$–förmigen Verlauf.
*Bei größerem  $r$  sind dagegen die Nullstellen von  ${\it \varphi}^{^{\hspace{0.08cm}\bullet}}_{g}(\tau)$  nicht mehr äqidistant, da zwar  $G(f)$  das erste Nyquistkriterium erfüllt, aber nicht  ${\it \Phi}^{^{\hspace{0.08cm}\bullet}}_{g}(f)= [G(f)]^2$.
*Der wesentliche Vorteil des Nyquistimpulses ist die deutlich kleinere Bandbreite.  Hier muss nur der Frequenzbereich  $|f| < (1+r)/(2T)$  bereitgestellt werden.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(7)'''  Wiederholen Sie den letzten Versuch mit dem Wurzel–Nyquistimpuls anstelle des Nyquistimpulses und interpretieren Sie die Ergebnisse. }}

*Im Sonderfall  $r=0$  sind die Ergebnisse wie in  '''(6)'''. ${\it \Phi}^{^{\hspace{0.08cm}\bullet}}_{g}(f)$  ist im Bereich  $|f|<1/2T$  konstant, außerhalb Null;  ${\it \varphi}^{^{\hspace{0.08cm}\bullet}}_{g}(\tau)$  hat einen  $\rm si$–förmigen Verlauf.
*Auch bei größerem  $r$  sind die Nullstellen von  ${\it \varphi}^{^{\hspace{0.08cm}\bullet}}_{g}(\tau)$  äqidistant  (aber nicht $\rm si$–förmig)   ⇒   ${\it \Phi}^{^{\hspace{0.08cm}\bullet}}_{g}(f)= [G(f)]^2$  erfüllt das erste Nyquistkriterium.
*Dagegen erfüllt  $G(f)$  das erste Nyquistkriterium nicht  $($außer für  $r=0)$.  Es kommt vielmehr bereits beim Sendesignal  $s(t)$  zu Impulsinterferenzen.
*Dies ist aber auch kein grundlegendes Problem.  Durch ein formgleiches Empfangsfilter wie  $G(f)$  werden Impulsinterferenzen vor dem Entscheider vermieden.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(8)'''  Betrachten und kontrollieren Sie die Vorcodierung  $(b_\nu)$  und die Amplitudenoeffizienten  $a_\nu$  beim '''Duobinärcode'''   $($Quellensymbolfolge  $\rm C$,  $b_0 = +1)$. }}
*$b_1 = (q_1 = +1)\ {\rm XOR}\ (\overline{b_0}= -1) = +1,\ \ b_2 = (q_2 = -1)\ {\rm XOR}\ (\overline{b_1}= -1) = -1,\ \ b_3 = \text{...} =b_7 = +1,$  $b_8 = b_{10} = \text{...} =-1$,  $b_9 =b_{11} = \text{...}= +1$.
*$a_1= 0.5 \cdot (b_1+b_0) = +1$,  $a_2= 0.5 \cdot (b_2+b_1) =0$,  $a_3= 0.5 \cdot (b_3+b_2) = 0$,  $a_4= \text{...}= a_7=+1$,  $a_8=a_9= \text{...}= 0$.
*Mit der Startbedingung  $b_0 = -1$  ergibt sich wieder die negierte Folge:     $a_1= -1$,  $a_2= a_3= 0$,  $a_4= \text{...}= a_7=-1$,  $a_8=a_9= \text{...}= 0$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(9)'''  Betrachten Sie nun die Duobinärodierung für mehrere Zufallsfolgen.  Welche Regeln lassen sich aus diesen Versuchen für die Ampltitudenkoeffizienten  $a_\nu$  ableiten?}}

*Die diskreten AKF–Werte sind  $\varphi_a(\lambda = 0) = +0.5$,  $\varphi_a(\lambda = 1) = +0.25$,  $\varphi_a(\lambda = 2) = 0$   ⇒   ${\it \Phi}_a(f) = {1}/{2} \cdot \big [1 + \cos (2\pi f T)\big ] = \cos^2
(\pi f T)\hspace{0.05cm}.$
*Im Gegensatz zur AMI–Codierung sind hier längere  $+1$–Folgen und  $-1$–Folgen möglich   ⇒   der Duobinärcode ist nicht gleichsignalfrei:  ${\it \Phi}_a(f= 0) = 1 \ (\ne 0).$
*Ebenso wie beim AMI–Code sind auch hier längere Nullfolgen möglich, was wieder zu Synchronisationsproblemen führen kann.
*Ausgeschlossen sind jedoch die Kombinationen  $a_\nu = +1, \ a_{\nu+1} = -1$  und   $a_\nu = -1, \ a_{\nu+1} = +1$,  erkennbar am LDS–Wert  ${\it \Phi}_a(f= 1/(2T)) = 0.$
*Solche direkten Übergänge  $a_\nu = +1$   ⇒   $a_{\nu+1} = -1$  bzw.   $a_\nu = -1$   ⇒   $a_{\nu+1} = +1$  führen zu großen Impulsinterferenzen und damit zu einer höheren Fehlerrate.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(10)'''  Vergleichen Sie die Codierergebnisse von Bipolarcode zweiter Ordnung  $\rm (BIP2)$  und AMI–Code für verschiedene Quellensymbolfolgen. }}
*Bei einem einzelnen  $+1$–Impuls   ⇒   Quellensymbolfolge  $\rm B$  führen beide Codes zum gleichen Codersignal.  Es ergibt sich jeweils ebenfalls ein Einzelimpuls.
*Bei der Dauer–Eins–Folge  $\rm A$  ergibt sich nun die Coderfolge  $\langle c_\nu \rangle = \langle -1, -1, +1, +1, -1, -1, +1, +1, \text{...}\rangle $  statt   $\langle c_\nu \rangle = \langle -1, +1, -1, +1, -1, +1, -1, +1, \text{...}\rangle $.
*Der einfache Decodieralgorithmus des AMI–Codes  $($die ternäre  $0$  wird zur binären  $-1$,  die ternären  $\pm 1$  zur binären  $+1)$  lässt sich bei  $\rm BIP2$  nicht anwenden.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(11)'''  Betrachten und interpretieren Sie die verschiedenen AKF– und LDS–Grafiken des  $\rm BIP2$  im Vergleich zum AMI–Code. }}
*Bei  $\rm AMI$  ist  $\varphi_a(\lambda = \pm 1) = -0.25, \ \varphi_a(\lambda = \pm 2) = 0$.  Für  $\rm BIP2$  gilt  $\varphi_a(\lambda = \pm 1) = 0, \ \varphi_a(\lambda = \pm 2) = -0.25$.  In beiden Fällen ist  $\varphi_a(\lambda = 0) = 0.5$.
*Aus dem  $\rm AMI$–LDS  ${\it \Phi}_a(f) = \sin^2 (\pi \cdot f T)$  folgt das  $\rm BIP2$–LDS  ${\it \Phi}_a(f) = \sin^2 (2\pi \cdot f T)$  durch Stauchung hinsichtlich  $f$–Achse.
* Nullstelle bei  $f=0$:  Es folgen höchstens zwei  $+1$  direkt aufeinander, und auch maximal nur zwei  $-1$.  Beim AMI–Code treten  $+1$  und  $-1$  nur isoliert auf.
*Nächste Nullstelle bei  $f=1/(2T)$:  Die unendlich lange  $(+1, -1)$–Folge ist bei diesem Code ebenso wie beim Duobinärcode ausgeschlossen.
*Betrachten und interpretieren Sie auch die Funktionen  $\varphi_s(\tau)$  und  ${\it \Phi}_s(f)$  für die Impulse &bdquo;Rechteck”, &bdquo;Nyquist” und &bdquo;Wurzel–Nyquist”.

== Zur Handhabung des Applets==
[[Datei:BS_Pseudoternär.png|right|600px|frame|Bildschirmabzug (deutsche Version, heller Hintergrund)]]
 
    '''(A)'''     Theme (veränderbare grafische Oberflächengestaltung)
:* Dark:   schwarzer Hintergrund  (wird von den Autoren empfohlen)
:* Bright:   weißer Hintergrund  (empfohlen für Beamer und Ausdrucke)
:* Deuteranopia:   für Nutzer mit ausgeprägter Grün–Sehschwäche
:* Protanopia:   für Nutzer mit ausgeprägter Rot–Sehschwäche

    '''(B)'''     Zugrundeliegendes Blockschaltbild

    '''(C)'''     Auswahl des Pseudoternörcodes:
                    AMI–Code, Duobinärcode, Bipolarcode 2. Ordnung

    '''(D)'''     Auswahl des Grundimpulses  $g(t)$:
                    Rechteckimpuls, Nyquistimpuls, Wurzel–Nyquistimpuls

    '''(E)'''     Rolloff–Faktor (Frequenzbereich) für &bdquo;Nyquist” und &bdquo;Wurzel–Nyquist”

    '''(F)'''     Einstellung von  $3 \cdot 4 = 12$  Bit der Quellensymbolfolge

    '''(G)'''     Auswahl einer drei voreingestellten Quellensymbolfolgen

    '''(H)'''     Zufällige binäre Quellensymbolfolge

    '''( I )'''     Schrittweise Verdeutlichung der Pseudoternärcodierung

    '''(J)'''     Ergebnis der Pseudoternärcodierung:  Signale  $q(t)$,  $b(t)$,  $c(t)$,  $s(t)$

    '''(K)'''     Löschen der Signalverläufe im Grafikbereich  $\rm M$

    '''(L)'''     Skizzen für Autokorrelationsfunktion & Leistungsdichtespektrum

    '''(M)'''     Grafikbereich:  Quellensignal  $q(t)$, Signal  $b(t)$  nach Vorcodierung,                    Codersignal  $c(t)$  mit Rechtecken, Sendesignal  $s(t)$  gemäß  $g(t)$

    '''(N)'''     Bereich für Übungen:  Aufgabenauswahl, Fragen, Musterlösung
 
==Über die Autoren==
Dieses interaktive Berechnungstool wurde am  [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]  der  [https://www.tum.de/ Technischen Universität München]  konzipiert und realisiert.
*Die erste Version wurde 2010 von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Stefan_M.C3.BCller_.28Diplomarbeit_LB_2010.29|Stefan Müller]]  im Rahmen seiner Diplomarbeit (LB) mit &bdquo;FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|Günter Söder]]).
* 2020 wurde das Programm von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf &bdquo;HTML5” umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29|Tasnád Kernetzky]]).

Die Umsetzung dieses Applets auf HTML 5 wurde durch die  [https://www.lehren.tum.de/themen/ideenwettbewerb/ Exzellenzinitiative]  der TU München finanziell unterstützt. Wir bedanken uns.

==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==

{{LntAppletLinkDeEn|pseudoternarycodes|pseudoternarycodes_en}}

2D-Gauss-WDF (Applet)

2025-02-24T09:43:44Z

{{LntAppletLink|gauss}}

==Programmbeschreibung==
 
Das Applet verdeutlicht die Eigenschaften zweidimensionaler Gaußscher Zufallsgrößen  $XY\hspace{-0.1cm}$, gekennzeichnet durch die Standardabweichungen (Streuungen)  $\sigma_X$  und  $\sigma_Y$  ihrer beiden Komponenten sowie den Korrelationskoeffizienten  $\rho_{XY}$ zwischen diesen. Die Komponenten werden als mittelwertfrei vorausgesetzt:  $m_X = m_Y = 0$.

Das Applet zeigt
* die zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion   ⇒   $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$  $f_{XY}(x, \hspace{0.1cm}y)$  in dreidimensionaler Darstellung sowie in Form von Höhenlinien,
* die zugehörige Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktion  ⇒   $\rm 1D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$  $f_{X}(x)$  der Zufallsgröße  $X$  als blaue Kurve; ebenso  $f_{Y}(y)$  für die zweite Zufallsgröße,
* die zweidimensionale Verteilungsfunktion   ⇒   $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$  $F_{XY}(x, \hspace{0.1cm}y)$  als 3D-Plot,
* die Verteilungsfunktion  ⇒   $\rm 1D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$  $F_{X}(x)$  der Zufallsgröße  $X$; ebenso  $F_{Y}(y)$  als rote Kurve.

Das Applet verwendet das Framework  [https://en.wikipedia.org/wiki/Plotly Plot.ly]

==Theoretischer Hintergrund==
 
===Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion   ⇒   2D–WDF===

Wir betrachten zwei wertkontinuierliche Zufallsgrößen  $X$  und  $Y\hspace{-0.1cm}$, zwischen denen statistische Abhängigkeiten bestehen können. Zur Beschreibung der Wechselbeziehungen zwischen diesen Größen ist es zweckmäßig, die beiden Komponenten zu einer  '''zweidimensionalen Zufallsgröße'''  $XY =(X, Y)$  zusammenzufassen. Dann gilt:

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definition:}$ 
Die  '''Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion'''  ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF,  englisch:  ''Probability Density Function'', kurz: PDF) der zweidimensionalen Zufallsgröße  $XY$  an der Stelle  $(x, y)$:
:$$f_{XY}(x, \hspace{0.1cm}y) = \lim_{\left.{\Delta x\rightarrow 0 \atop {\Delta y\rightarrow 0} }\right.}\frac{ {\rm Pr}\big [ (x - {\rm \Delta} x/{\rm 2} \le X \le x + {\rm \Delta} x/{\rm 2}) \cap (y - {\rm \Delta} y/{\rm 2} \le Y \le y +{\rm \Delta}y/{\rm 2}) \big] }{ {\rm \Delta} \ x\cdot{\rm \Delta} y}.$$

*Die Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion oder kurz  $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$  ist eine Erweiterung der eindimensionalen WDF.
*$∩$  kennzeichnet die logische UND-Verknüpfung.
*$X$  und  $Y$ bezeichnen die beiden Zufallsgrößen, und  $x \in X$  sowie   $y \in Y$ geben Realisierungen hiervon an.
*Die für dieses Applet verwendete Nomenklatur unterscheidet sich also geringfügig gegenüber der Beschreibung im [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen#Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Theorieteil]].}}

Anhand dieser 2D–WDF  $f_{XY}(x, y)$  werden auch statistische Abhängigkeiten innerhalb der zweidimensionalen Zufallsgröße  $XY$  vollständig erfasst im Gegensatz zu den beiden eindimensionalen Dichtefunktionen   ⇒   '''Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktionen''':
:$$f_{X}(x) = \int _{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y) \,\,{\rm d}y ,$$
:$$f_{Y}(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y) \,\,{\rm d}x .$$

Diese beiden Randdichtefunktionen  $f_X(x)$  und  $f_Y(y)$
*liefern lediglich statistische Aussagen über die Einzelkomponenten  $X$  bzw.  $Y$,
*nicht jedoch über die Bindungen zwischen diesen.

Als quantitatives Maß für die linearen statistischen Bindungen   ⇒   '''Korrelation'''  verwendet man
* die  '''Kovarianz'''  $\mu_{XY}$, die bei mittelwertfreien Komponenten gleich dem gemeinsamen linearen Moment erster Ordnung ist:
:$$\mu_{XY} = {\rm E}\big[X \cdot Y\big] = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} X \cdot Y \cdot f_{XY}(x,y) \,{\rm d}x \, {\rm d}y ,$$
*den  '''Korrelationskoeffizienten'''  nach Normierung auf die beiden Effektivwerte  $σ_X$  und $σ_Y$  der beiden Komponenten:
:$$\rho_{XY}=\frac{\mu_{XY} }{\sigma_X \cdot \sigma_Y}.$$

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Eigenschaften des Korrelationskoeffizienten:}$ 
*Aufgrund der Normierung gilt stets  $-1 \le ρ_{XY} ≤ +1$.
*Sind die beiden Zufallsgrößen  $X$  und  $Y$ unkorreliert, so ist  $ρ_{XY} = 0$.
*Bei strenger linearer Abhängigkeit zwischen  $X$  und  $Y$ ist  $ρ_{XY}= ±1$   ⇒   vollständige Korrelation.
*Ein positiver Korrelationskoeffizient bedeutet, dass bei größerem  $X$–Wert im statistischen Mittel auch  $Y$  größer ist als bei kleinerem  $X$.
*Dagegen drückt ein negativer Korrelationskoeffizient aus, dass  $Y$  mit steigendem  $X$  im Mittel kleiner wird.}}
 

===2D–WDF bei Gaußschen Zufallsgrößen===

Für den Sonderfall  '''Gaußscher Zufallsgrößen'''  – der Name geht auf den Wissenschaftler  [https://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gau%C3%9F Carl Friedrich Gauß]  zurück – können wir weiterhin vermerken:
*Die Verbund–WDF einer Gaußschen 2D-Zufallsgröße  $XY$  mit Mittelwerten  $m_X = 0$  und  $m_Y = 0$  sowie dem Korrelationskoeffizienten  $ρ = ρ_{XY}$  lautet:
:$$f_{XY}(x,y)=\frac{\rm 1}{\rm 2\it\pi \cdot \sigma_X \cdot \sigma_Y \cdot \sqrt{\rm 1-\rho^2}}\ \cdot\ \exp\Bigg[-\frac{\rm 1}{\rm 2 \cdot (1-\it\rho^{\rm 2} {\rm)}}\cdot(\frac {\it x^{\rm 2}}{\sigma_X^{\rm 2}}+\frac {\it y^{\rm 2}}{\sigma_Y^{\rm 2}}-\rm 2\it\rho\cdot\frac{x \cdot y}{\sigma_x \cdot \sigma_Y}\rm ) \rm \Bigg]\hspace{0.8cm}{\rm mit}\hspace{0.5cm}-1 \le \rho \le +1.$$
*Ersetzt man  $x$  durch  $(x - m_X)$  sowie  $y$  durch  $(y- m_Y)$, so ergibt sich die allgemeinere WDF einer zweidimensionalen Gaußschen Zufallsgröße mit Mittelwert.
*Die Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktionen  $f_{X}(x)$  und  $f_{Y}(y)$  einer Gaußschen 2D-Zufallsgröße sind ebenfalls gaußförmig mit den Streuungen  $σ_X$  bzw.  $σ_Y$.
*Bei unkorrelierten Komponenten  $X$  und  $Y$ muss in obiger Gleichung  $ρ = 0$  eingesetzt werden, und man erhält dann das Ergebnis:
:$$f_{XY}(x,y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\sigma_{X}} \cdot\rm e^{-\it {x^{\rm 2}}\hspace{-0.08cm}/{\rm (}{\rm 2\hspace{0.05cm}\it\sigma_{X}^{\rm 2}} {\rm )}} \cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\sigma_{\it Y}}\cdot e^{-\it {y^{\rm 2}}\hspace{-0.08cm}/{\rm (}{\rm 2\hspace{0.05cm}\it\sigma_{Y}^{\rm 2}} {\rm )}} = \it f_{X} \rm ( \it x \rm ) \cdot \it f_{Y} \rm ( \it y \rm ) .$$

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Fazit:}$  Im Sonderfall einer 2D-Zufallsgröße mit Gaußscher WDF  $f_{XY}(x, y)$  folgt aus der  ''Unkorreliertheit''  auch direkt die  ''statistische Unabhängigkeit:''
:$$f_{XY}(x,y)= f_{X}(x) \cdot f_{Y}(y) . $$

Bitte beachten Sie:
*Bei keiner anderen WDF kann aus der  ''Unkorreliertheit''  auf die  ''statistische Unabhängigkeit''  geschlossen werden.
*Man kann aber stets   ⇒   für jede beliebige 2D–WDF  $f_{XY}(x, y)$  von der  ''statistischen Unabhängigkeit''  auf die  ''Unkorreliertheit''  schließen, weil:
*Sind zwei Zufallsgrößen  $X$  und  $Y$  völlig voneinander (statistisch) unabhängig, so gibt es zwischen ihnen natürlich auch keine ''linearen''  Abhängigkeiten   ⇒   sie sind dann auch unkorreliert  ⇒   $ρ = 0$. }}
 
===Höhenlinien bei unkorrelierten Zufallsgrößen===

[[Datei:Sto_App_Bild2.png |frame| Höhenlinien der 2D-WDF bei unkorrelierten Größen | rechts]]
Aus der Bedingungsgleichung  $f_{XY}(x, y) = {\rm const.}$  können die Höhenlinien der WDF berechnet werden.

Sind die Komponenten  $X$  und  $Y$ unkorreliert  $(ρ_{XY} = 0)$, so erhält man als Gleichung für die Höhenlinien:

:$$\frac{x^{\rm 2}}{\sigma_{X}^{\rm 2}}+\frac{y^{\rm 2}}{\sigma_{Y}^{\rm 2}} =\rm const.$$
Die Höhenlinien beschreiben in diesem Fall folgende Figuren:
*'''Kreise'''  (falls  $σ_X = σ_Y$,   grüne Kurve), oder
*'''Ellipsen'''  (für  $σ_X ≠ σ_Y$,   blaue Kurve) in Ausrichtung der beiden Achsen.
 
===Korrelationsgerade===

Als  '''Korrelationsgerade'''  bezeichnet man die Gerade  $y = K(x)$  in der  $(x, y)$–Ebene durch den „Mittelpunkt” $(m_X, m_Y)$. Diese besitzt folgende Eigenschaften:
[[Datei:Sto_App_Bild1a.png|frame| Gaußsche 2D-WDF (Approximation mit $N$ Messpunkten) und Korrelationsgerade  $y = K(x)$]]

*Die mittlere quadratische Abweichung von dieser Geraden – in  $y$–Richtung betrachtet und über alle  $N$  Messpunkte gemittelt – ist minimal:
:$$\overline{\varepsilon_y^{\rm 2} }=\frac{\rm 1}{N} \cdot \sum_{\nu=\rm 1}^{N}\; \;\big [y_\nu - K(x_{\nu})\big ]^{\rm 2}={\rm Minimum}.$$
*Die Korrelationsgerade kann als eine Art „statistische Symmetrieachse“ interpretiert werden. Die Geradengleichung lautet im allgemeinen Fall:
:$$y=K(x)=\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}\cdot\rho_{XY}\cdot(x - m_X)+m_Y.$$

*Der Winkel, den die Korrelationsgerade zur  $x$–Achse einnimmt, beträgt:
:$$\theta={\rm arctan}(\frac{\sigma_{Y} }{\sigma_{X} }\cdot \rho_{XY}).$$

===Höhenlinien bei korrelierten Zufallsgrößen===

Bei korrelierten Komponenten  $(ρ_{XY} ≠ 0)$  sind die Höhenlinien der WDF (fast) immer elliptisch, also auch für den Sonderfall  $σ_X = σ_Y$.

Ausnahme:  $ρ_{XY}=\pm 1$   ⇒   Diracwand; siehe  [[Aufgaben:Aufgabe_4.4:_Gaußsche_2D-WDF|Aufgabe 4.4]]  im Buch &bdquo;Stochastische Signaltheorie”, Teilaufgabe  '''(5)'''.
[[Datei:Sto_App_Bild3.png|right|frame|Höhenlinien der 2D-WDF bei korrelierten Größen]]
Hier lautet die Bestimmungsgleichung der WDF-Höhenlinien:

:$$f_{XY}(x, y) = {\rm const.} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} \frac{x^{\rm 2} }{\sigma_{X}^{\rm 2}}+\frac{y^{\rm 2} }{\sigma_{Y}^{\rm 2} }-{\rm 2}\cdot\rho_{XY}\cdot\frac{x\cdot y}{\sigma_X\cdot \sigma_Y}={\rm const.}$$
Die Grafik zeigt in hellerem Blau für zwei unterschiedliche Parametersätze je eine Höhenlinie.

*Die Ellipsenhauptachse ist dunkelblau gestrichelt.
*Die  [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen#Korrelationsgerade|Korrelationsgerade]]  $K(x)$  ist durchgehend rot eingezeichnet.

Anhand dieser Darstellung sind folgende Aussagen möglich:
*Die Ellipsenform hängt außer vom Korrelationskoeffizienten  $ρ_{XY}$  auch vom Verhältnis der beiden Streuungen  $σ_X$  und  $σ_Y$  ab.
*Der Neigungswinkel  $α$  der Ellipsenhauptachse (gestrichelte Gerade) gegenüber der  $x$–Achse hängt ebenfalls von  $σ_X$,  $σ_Y$  und  $ρ_{XY}$  ab:
:$$\alpha = {1}/{2} \cdot {\rm arctan } \big ( 2 \cdot \rho_{XY} \cdot \frac {\sigma_X \cdot \sigma_Y}{\sigma_X^2 - \sigma_Y^2} \big ).$$
*Die (rote) Korrelationsgerade  $y = K(x)$  einer Gaußschen 2D–Zufallsgröße liegt stets unterhalb der (blau gestrichelten) Ellipsenhauptachse.
* $K(x)$  kann aus dem Schnittpunkt der Höhenlinien und ihrer vertikalen Tangenten geometrisch konstruiert werden, wie in der Skizze in grüner Farbe angedeutet.
 
===Zweidimensionale Verteilungsfunktion   ⇒   2D–VTF===

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definition:}$  Die  '''2D-Verteilungsfunktion'''  ist ebenso wie die 2D-WDF lediglich eine sinnvolle Erweiterung der  [[Stochastische_Signaltheorie/Verteilungsfunktion_(VTF)#VTF_bei_kontinuierlichen_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen_.281.29|eindimensionalen Verteilungsfunktion]]  (VTF):
:$$F_{XY}(x,y) = {\rm Pr}\big [(X \le x) \cap (Y \le y) \big ] .$$}}

Es ergeben sich folgende Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen der &bdquo;1D-VTF” und der&bdquo; 2D-VTF”:
*Der Funktionalzusammenhang zwischen &bdquo;2D–WDF” und &bdquo;2D–VTF” ist wie im eindimensionalen Fall durch die Integration gegeben, aber nun in zwei Dimensionen. Bei kontinuierlichen Zufallsgrößen gilt:
:$$F_{XY}(x,y)=\int_{-\infty}^{y} \int_{-\infty}^{x} f_{XY}(\xi,\eta) \,\,{\rm d}\xi \,\, {\rm d}\eta .$$
*Umgekehrt lässt sich die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion aus der Verteilungsfunktion durch partielle Differentiation nach  $x$  und  $y$  angeben:
:$$f_{XY}(x,y)=\frac{{\rm d}^{\rm 2} F_{XY}(\xi,\eta)}{{\rm d} \xi \,\, {\rm d} \eta}\Bigg|_{\left.{x=\xi \atop {y=\eta}}\right.}.$$
*Bezüglich der Verteilungsfunktion  $F_{XY}(x, y)$  gelten folgende Grenzwerte:
:$$F_{XY}(-\infty,\ -\infty) = 0,\hspace{0.5cm}F_{XY}(x,\ +\infty)=F_{X}(x ),\hspace{0.5cm}
F_{XY}(+\infty,\ y)=F_{Y}(y ) ,\hspace{0.5cm}F_{XY}(+\infty,\ +\infty) = 1.$$
*Im Grenzfall $($unendlich große  $x$  und  $y)$  ergibt sich demnach für die &bdquo;2D-VTF” der Wert  $1$. Daraus erhält man die  '''Normierungsbedingung'''  für die 2D-Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:
:$$\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y) \,\,{\rm d}x \,\,{\rm d}y=1 . $$

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Fazit:}$  Beachten Sie den signifikanten Unterschied zwischen eindimensionalen und zweidimensionalen Zufallsgrößen:
*Bei eindimensionalen Zufallsgrößen ergibt die Fläche unter der WDF stets den Wert $1$.
*Bei zweidimensionalen Zufallsgrößen ist das WDF-Volumen immer gleich $1$.}}
 

==Versuchsdurchführung==
 
[[Datei:Aufgaben_2D-Gauss.png|right]]

*Wählen Sie zunächst die Nummer ('''1''', ...) der zu bearbeitenden Aufgabe.
*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
*Lösung nach Drücken von &bdquo;Musterlösung”.
*Bei der Aufgabenbeschreibung verwenden wir  $\rho$  anstelle von  $\rho_{XY}$.
*Für die &bdquo;1D-WDF” gilt:  $f_{X}(x) = \sqrt{1/(2\pi \cdot \sigma_X^2)} \cdot {\rm e}^{-x^2/(2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \sigma_X^2)}$.

Die Nummer '''0''' entspricht einem &bdquo;Reset”:
*Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
*Ausgabe eines &bdquo;Reset–Textes” mit weiteren Erläuterungen zum Applet.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''  Machen Sie sich anhand der Voreinstellung  $(\sigma_X=1, \ \sigma_Y=0.5, \ \rho = 0.7)$  mit dem Programm vertraut. Interpretieren Sie die Grafiken für  $\rm WDF$  und  $\rm VTF$.}}

::* $\rm WDF$  ist ein Bergrücken mit dem Maximum bei  $x = 0, \ y = 0$. Der Bergkamm ist leicht verdreht gegenüber der  $x$–Achse.
::* $\rm VTF$  ergibt sich aus  $\rm WDF$  durch fortlaufende Integration in beide Richtungen. Das Maximum $($nahezu  $1)$  tritt bei  $x=3, \ y=3$  auf.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''  Nun lautet die Einstellung  $\sigma_X= \sigma_Y=1, \ \rho = 0$. Welche Werte ergeben sich für  $f_{XY}(0,\ 0)$  und  $F_{XY}(0,\ 0)$? Interpretieren Sie die Ergebnisse.}}

::* Das WDF–Maximum ist  $f_{XY}(0,\ 0) = 1/(2\pi)= 0.1592$, wegen  $\sigma_X= \sigma_Y = 1, \ \rho = 0$. Die Höhenlinien sind Kreise.
::* Für den VTF-Wert gilt:  $F_{XY}(0,\ 0) = [{\rm Pr}(X \le 0)] \cdot [{\rm Pr}(Y \le 0)] = 0.25$. Geringfügige Abweichung wegen numerischer Integration.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''  Es gelten weiter die Einstellungen von '''(2)'''. Welche Werte ergeben sich für  $f_{XY}(0,\ 1)$  und  $F_{XY}(0,\ 1)$? Interpretieren Sie die Ergebnisse.}}

::* Es gilt  $f_{XY}(0,\ 1) = f_{X}(0) \cdot f_{Y}(1) = [ \sqrt{1/(2\pi)}] \cdot [\sqrt{1/(2\pi)} \cdot {\rm e}^{-0.5}] = 1/(2\pi) \cdot {\rm e}^{-0.5} = 0.0965$.
::* Das Programm liefert  $F_{XY}(0,\ 1) = [{\rm Pr}(X \le 0)] \cdot [{\rm Pr}(Y \le 1)] = 0.4187$, also einen größeren Wert als in '''(2)''', da weiter integriert wird.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''  Die Einstellungen bleiben erhalten. Welche Werte ergeben sich für  $f_{XY}(1,\ 0)$  und  $F_{XY}(1,\ 0)$? Interpretieren Sie die Ergebnisse.}}

::* Aufgrund der Rotationssysmmetrie gleiche Ergebnisse wie in '''(3)'''.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''  Stimmt die Aussage: &bdquo;Elliptische Höhenlinien gibt es nur für  $\rho \ne 0$”. Interpretieren Sie die  $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$  und $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$  für  $\sigma_X=1, \ \sigma_Y=0.5$  und  $\rho = 0$.}}

::* Nein! Auch für  $\ \rho = 0$  sind die Höhenlinien elliptisch (nicht kreisförmig), falls  $\sigma_X \ne \sigma_Y$.
::* Für $\sigma_X \gg \sigma_Y$  hat die  $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$  die Form eines langgestreckten Bergkamms parallel zur  $x$–Achse, für $\sigma_X \ll \sigma_Y$  parallel zur  $y$–Achse.
::* Für $\sigma_X \gg \sigma_Y$  ist der Anstieg der  $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$  in Richtung der  $y$–Achse deutlich steiler als in Richtung der  $x$–Achse.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''  Variieren Sie ausgehend von  $\sigma_X=\sigma_Y=1, \ \rho = 0.7$  den Korrelationskoeffizienten  $\rho$. Wie groß ist der Neigungswinkel  $\alpha$  der Ellipsen–Hauptachse?}}

::* Für  $\rho > 0$  ist  $\alpha = 45^\circ$  und für  $\rho < 0$  ist  $\alpha = -45^\circ$. Für  $\rho = 0$  sind die Höhenlinien kreisfömig und somit gibt es auch keine Ellipsen–Hauptachse.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(7)'''  Variieren Sie ausgehend von  $\sigma_X=\sigma_Y=1, \ \rho = 0.7$  den Korrelationskoeffizienten  $\rho > 0$. Wie groß ist der Neigungswinkel  $\theta$  der Korrelationsgeraden  $K(x)$?}}

::* Für  $\sigma_X=\sigma_Y$  ist  $\theta={\rm arctan}\ (\rho)$. Die Steigung nimmt mit wachsendem  $\rho > 0$  zu. In allen Fällen gilt  $\theta < \alpha = 45^\circ$. Für  $\rho = 0.7$  ergibt sich  $\theta = 35^\circ$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(8)'''  Variieren Sie ausgehend von  $\sigma_X=\sigma_Y=0.75, \ \rho = 0.7$  die Parameter  $\sigma_Y$  und  $\rho \ (>0)$. Welche Aussagen gelten für die Winkel  $\alpha$  und  $\theta$?}}

::* Für  $\sigma_Y<\sigma_X$  ist  $\alpha < 45^\circ$  und für  $\sigma_Y>\sigma_X$  dagegen  $\alpha > 45^\circ$.
::* Bei allen Einstellungen gilt:  '''Die Korrelationsgerade liegt unter der Ellipsen–Hauptachse'''.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(9)'''  Gehen Sie von  $\sigma_X= 1, \ \sigma_Y=0.75, \ \rho = 0.7$  aus und variieren Sie  $\rho$. Wie könnte man die Korrelationsgerade aus den Höhenlinien konstruieren?}}

::* Die Korrelationsgerade schneidet alle Höhenlinien an den Punkten, an denen die Tangente zu der Höhenlinie senkrecht verläuft.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(10)'''  Nun gelte  $\sigma_X= \sigma_Y=1, \ \rho = 0.95$. Interpretieren Sie die  $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$. Welche Aussagen würden für den Grenzfall  $\rho \to 1$  zutreffen?}}

::* Die  $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$  hat nur Anteile in der Nähe der Ellipsen–Hauptachse. Die Korrelationsgerade liegt nur knapp darunter:  $\alpha = 45^\circ, \ \theta = 43.5^\circ$.
::* Im Grenzfall  $\rho \to 1$  wäre  $\theta = \alpha = 45^\circ$. Außerhalb der Korrelationsgeraden hätte die  $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$  keine Anteile. Das heißt:
::* Längs der Korrelationsgeraden ergäbe sich eine '''Diracwand'''  ⇒   Alle Werte sind unendlich groß, trotzdem um den Mittelwert gaußisch gewichtet.

==Zur Handhabung des Applets==
 
[[Datei:Anleitung_2D-Gauss.png|left|600px]]
    '''(A)'''     Parametereingabe per Slider:  $\sigma_X$,  $\sigma_Y$ und  $\rho$

    '''(B)'''     Auswahl:  Darstellung von WDF oder VTF

    '''(C)'''     Reset:  Einstellung wie beim Programmstart

    '''(D)'''     Höhenlinien darstellen anstelle von &bdquo;1D-WDF”

    '''(E)'''     Darstellungsbereich für &bdquo;2D-WDF”

    '''(F)'''     Manipulation der 3D-Grafik (Zoom, Drehen, ...)

    '''(G)'''     Darstellungsbereich für &bdquo;1D-WDF” bzw. &bdquo;Höhenlinien”

    '''(H)'''     Manipulation der 2D-Grafik (&bdquo;1D-WDF”)

    '''( I )'''     Bereich für die Versuchsdurchführung: Aufgabenauswahl

    '''(J)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung: Aufgabenstellung

    '''(K)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung: Musterlösung einblenden

    '''( L)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung: Musterlösung
 
Werte–Ausgabe über Maussteuerung (sowohl bei 2D als auch bei 3D)
 

==Über die Autoren==
Dieses interaktive Berechnungstool wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.
*Die erste Version wurde 2003 von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]] im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|Günter Söder]]).
* 2019 wurde das Programm von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf &bdquo;HTML5” umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29|Tasnád Kernetzky]]).

Die Umsetzung dieses Applets auf HTML 5 wurde durch  [https://www.ei.tum.de/studium/studienzuschuesse/ Studienzuschüsse]  der Fakultät EI der TU München finanziell unterstützt. Wir bedanken uns.

==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==

{{LntAppletLink|gauss}}

Winkelmodulation - Frequenz- und Phasenmodulation (Lernvideo)

2025-02-24T09:43:44Z

=== Teil 1 ===
Vergleich von Winkelmodulation (WM) und Amplitudenmodulation (AM) – Wichtige Definitionen der WM – Varianten PM: Phasenmodulation (PM) und FM: Frequenzmodulation (Dauer 6:03).

<lntmedia preload="none">
file:Winkelmodulation_-_Frequenz-_und_Phasenmodulation_1.mp4
file:Winkelmodulation_-_Frequenz-_und_Phasenmodulation_1.ogv
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=== Teil 2 ===
Phasenmodulation eines Sinussignals – Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen PM und FM – Betragsspektrum bei WM (Dauer8:55).

<lntmedia preload="none">
file:Winkelmodulation_-_Frequenz-_und_Phasenmodulation_2.mp4
file:Winkelmodulation_-_Frequenz-_und_Phasenmodulation_2.ogv
</lntmedia>

Dieses Lernvideo wurde 2006 am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert. 
Buch und Regie: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|G. Söder]], [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Thorsten_Kalweit_.28Diplomarbeit_LB_2006_und_freie_Mitarbeit_2007.29|Th. Kalweit]] und [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Klaus_Eichin_.28am_LNT_von_1972-2011.29|K. Eichin]],   Fachliche Beratung: [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_Übertragungstechnik#Dr.-Ing._Bernhard_Göbel_(bei_LÜT_von_2004-2010)|B. Göbel]],   Sprecherin: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Sylvia_Mattarollo_.28Freie_und_unbezahlte_Mitarbeiterin_2006.2F2007.29|Sylvia Mattarollo]]   Realisierung: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Thorsten_Kalweit_.28Diplomarbeit_LB_2006_und_freie_Mitarbeit_2007.29|Th. Kalweit]].

Im Zuge der LNTwww-Neugestaltung (Version 3) wurden diese Lernvideos 2016/2017 durch [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29|Tasnád Kernetzky]] und einigen Studenten in moderne Formate konvertiert, um von möglichst vielen Browsern wie Firefox, Chrome und Safari, als auch von Smartphones wiedergegeben werden zu können.

Momentenberechnung bei diskreten Zufallsgrößen (Lernvideo)

2025-02-24T09:43:44Z

=== Inhalt ===
Das Lernvideo verdeutlicht die Berechnung, aber auch die Bedeutung der Momente bei diskreten Zufallsgrößen (Gesamtdauer: 6:31)
*Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) einer diskreten Zufallsgröße (Dauer 1:30)
*Moment erster Ordnung (Dauer 0:55)
*Moment zweiter Ordnung (Dauer 1:10)
*Zentralmomente (Dauer 1:10)
*Physikalische Interpretation (Dauer 1:46)

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file:Bedeutung_und_Berechnung_der_Momente_bei_diskreten_Zufallsgroessen.mp4
file:Bedeutung_und_Berechnung_der_Momente_bei_diskreten_Zufallsgroessen.ogv
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Dieses Lernvideo wurde 2004 am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert. 
Buch/Regie: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|Günter Söder]],   Fachliche Beratung: Ioannis Oikomonidis,   Sprecher:Joachim Schenk,  Realisierung: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Winfried_Kretzinger_.28am_LNT_von_1973-2004.29|Winfried Kretzinger]], [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Manfred_J.C3.BCrgens_.28am_LNT_von_1981-2010.29|Manfred Jürgens]] .

Im Zuge der LNTwww-Neugestaltung (Version 3) wurden diese Lernvideos 2016/2017 durch [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29|Tasnád Kernetzky]] und einigen Studenten in moderne Formate konvertiert, um von möglichst vielen Browsern wie Firefox, Chrome und Safari, als auch von Smartphones wiedergegeben werden zu können.

Kontinuierliche und diskrete Spektren (Lernvideo)

2025-02-24T09:43:44Z

=== Teil 1 ===
Gegenübergestellt werden die Spektraleigenschaften eines Dreieckimpulses  $g(t)$  mit kontinuierlichem Spektrum  $G(f)$  und eines periodischen Dreiecksignals  $x(t)$  mit Linienspektrum  $X(f)$. Der Zusammenhang ergibt sich aus der Faltung entsprechend  $x(t)= g(t) \star p(t)$, wobei  $p(t)$  einen Diracpuls (unendliche Summe von äquidistant verschobenen Diracimpulsen) bezeichnet. Der Zusammenhang im Spektralbereich lautet  $X(f)= G(f) \cdot P(f)$. Die Spektralfunktion  $P(f)$  des Diracpulses  $p(t)$  ist ebenfalls ein Diracpuls, aber nun im Frequenzbereich  (Dauer 6:19).

<lntmedia preload="none">
file:Unterschiede_von_kontinuierlichen_und_diskreten_Spektren_1.mp4
file:Unterschiede_von_kontinuierlichen_und_diskreten_Spektren_1.ogv
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=== Teil 2 ===
Anhand des gleichen Beispiels wird nun der Spektralwert  $G(f = f_{\rm B})$  des Dreieckimpulses bei der festen Bezugsfrequenz  $f_{\rm B}$  mit dem Diracgewicht des periodischen Dreiecksignals  $x(t)$  bei der Frequenz  $f = f_{\rm B}$  verglichen. Dabei ergeben sich viele signifikante Gemeinsamkeiten, aber auch einige grundlegende Unterschiede. Die Ergebnisse hängen unter Anderem von der Periodendauer  $T_0$  des Signals  $x(t)$  ab  (Dauer 5:12).

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file:Unterschiede_von_kontinuierlichen_und_diskreten_Spektren_2.mp4
file:Unterschiede_von_kontinuierlichen_und_diskreten_Spektren_2.ogv
</lntmedia>

Dieses Lernvideo wurde 2005 am  [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]  der  [https://www.tum.de/ Technischen Universität München]  konzipiert und realisiert. 
Buch und Regie:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|Günter Söder]]  und  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Klaus_Eichin_.28am_LNT_von_1972-2011.29|Klaus Eichin]],   Sprecher und Realisierung:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Thorsten_Kalweit_.28Diplomarbeit_LB_2006_und_freie_Mitarbeit_2007.29|Thorsten Kalweit]].

Im Zuge der LNTwww-Neugestaltung (Version 3) wurden diese Lernvideos 2016/2017 von 
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Applets:Binomial- und Poissonverteilung (Applet)

2025-02-24T09:43:44Z

{{LntAppletLink|binomPoissonDistributions_en}}         [https://en.lntwww.de/Applets:Binomial-_und_Poissonverteilung_(Applet) '''English Applet with English WIKI description''']

==Programmbeschreibung==
 
Dieses Applet ermöglicht die Berechnung und graphische Darstellung
*der Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(z=\mu)$ einer diskreten Zufallsgröße $z \in \{\mu \} = \{0, 1, 2, 3, \text{...} \}$, welche die ''Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion'' (WDF) – im Englischen ''Probability Density Function'' (PDF) – der Zufallsgröße $z$ bestimmen – hier Darstellung mit Diracfunktionen ${\rm \delta}( z-\mu)$:
:$$f_{z}(z)=\sum_{\mu=1}^{M}{\rm Pr}(z=\mu)\cdot {\rm \delta}( z-\mu),$$
*der Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(z \le \mu)$ der Verteilungsfunktion (VTF) – im Englischen ''Cumulative Distribution Function'' (CDF):
:$$F_{z}(\mu)={\rm Pr}(z\le\mu).$$

Als diskrete Verteilungen stehen in zwei Parametersätzen zur Auswahl:
* die Binomialverteilung mit den Parametern $I$ und $p$   ⇒   $z \in \{0, 1, \text{...} \ , I \}$   ⇒   $M = I+1$ mögliche Werte,
*die Poissonverteilung mit Parameter $\lambda$   ⇒   $z \in \{0, 1, 2, 3, \text{...}\}$   ⇒   $M \to \infty$.

In der Versuchsdurchführung sollen Sie miteinander vergleichen:
* je zwei Binomialverteilungen mit unterschiedlichen Parameterwerten $I$ und $p$,
* je zwei Poissonverteilungen mit unterschiedlicher Rate $\lambda$,
*jeweils eine Binomial– und eine Poissonverteilung.

Auch in dieser deutschen Version sind die Aufgabenbeschreibungen und Musterlösungen in Englisch.

==Theoretischer Hintergrund==
 
===Eigenschaften der Binomialverteilung===

Die ''Binomialverteilung'' stellt einen wichtigen Sonderfall für die Auftrittswahrscheinlichkeiten einer diskreten Zufallsgröße dar. Zur Herleitung gehen wir davon aus, dass $I$ binäre und statistisch voneinander unabhängige Zufallsgrößen $b_i \in \{0, 1 \}$
*den Wert $1$ mit der Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(b_i = 1) = p$, und
*den Wert $0$ mit der Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(b_i = 0) = 1-p$ annehmen kann.

Dann ist die Summe $z$ ebenfalls eine diskrete Zufallsgröße mit dem Symbolvorrat $\{0, 1, 2, \text{...}\ , I\}$, die man als binomialverteilt bezeichnet:
:$$z=\sum_{i=1}^{I}b_i.$$
Der Symbolumfang beträgt somit $M = I + 1.$

'''Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung'''

Hierfür gilt mit $μ = 0, \text{...}\ , I$:
:$$p_\mu = {\rm Pr}(z=\mu)={I \choose \mu}\cdot p^\mu\cdot ({\rm 1}-p)^{I-\mu}.$$
Der erste Term gibt hierbei die Anzahl der Kombinationen $(I \text{ über }\mu)$ an:
:$${I \choose \mu}=\frac{I !}{\mu !\cdot (I-\mu) !}=\frac{ {I\cdot (I- 1) \cdot \ \cdots \ \cdot (I-\mu+ 1)} }{ 1\cdot 2\cdot \ \cdots \ \cdot \mu}.$$

'''Momente der Binomialverteilung'''

Für das Moment $k$-ter Ordnung einer binomialverteilten Zufallsgröße $z$ gilt:
:$$m_k={\rm E}[z^k]=\sum_{\mu={\rm 0}}^{I}\mu^k\cdot{I \choose \mu}\cdot p^\mu\cdot ({\rm 1}-p)^{I-\mu}.$$

Daraus erhält man nach einigen Umformungen für
*den linearen Mittelwert:   $m_1 = I\cdot p,$
*den quadratischen Mittelwert:   $m_2 = (I^2-I)\cdot p^2+I\cdot p,$
*die Varianz bzw. die Streuung:   $\sigma^2 = {m_2-m_1^2} = {I \cdot p\cdot (1-p)} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
\sigma = \sqrt{I \cdot p\cdot (1-p)}.$

'''Anwendungen der Binomialverteilung'''

Die Binomialverteilung findet in der Nachrichtentechnik ebenso wie in anderen Disziplinen mannigfaltige Anwendungen:
*Sie beschreibt die Verteilung von Ausschussstücken in der statistischen Qualitätskontrolle.
*Auch die per Simulation gewonnene Bitfehlerquote eines digitalen Übertragungssystems ist eigentlich eine binomialverteilte Zufallsgröße.
*Die Binomialverteilung erlaubt die Berechnung der Restfehlerwahrscheinlichkeit bei blockweiser Codierung, wie das folgende Beispiel zeigt.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 1:}$ 
Überträgt man jeweils Blöcke von $I =5$ Binärsymbolen über einen Kanal, der
*mit der Wahrscheinlichkeit $p = 0.1$ ein Symbol verfälscht   ⇒   Zufallsgröße $e_i = 1$, und
*entsprechend mit der Wahrscheinlichkeit $1 - p = 0.9$ das Symbol unverfälscht überträgt   ⇒   Zufallsgröße $e_i = 0$,

so gilt für die neue Zufallsgröße $f$ (&bdquo;Fehler pro Block”):
:$$f=\sum_{i=1}^{I}e_i.$$

Die Zufallsgröße $f$ kann nun alle ganzzahligen Werte zwischen $\mu = 0$ (kein Symbol verfälscht) und $\mu = I = 5$ (alle fünf Symbole falsch) annehmen. Die Wahrscheinlichkeiten für $\mu$ Verfälschungen bezeichnen wir mit $p_μ = {\rm Pr}(f = \mu)$.
*Der Fall, dass alle fünf Symbole richtig übertragen werden, tritt mit der Wahrscheinlichkeit $p_0 = 0.9^{5} ≈ 0.5905$ ein. Dies ergibt sich auch aus der Binomialformel für $μ = 0$ unter Berücksichtigung der Definition $5\text{ über } 0 = 1$.
*Ein einziger Symbolfehler $(f = 1)$ tritt mit der Wahrscheinlichkeit $p_1 = 5\cdot 0.1\cdot 0.9^4\approx 0.3281$ auf. Der erste Faktor berücksichtigt, dass es für die Position eines einzigen Fehlers genau $5\text{ über } 1 = 5$ Möglichkeiten gibt. Die beiden weiteren Faktoren beücksichtigen, dass ein Symbol verfälscht und vier richtig übertragen werden müssen, wenn $f =1$ gelten soll.
*Für $f =2$ gibt es mehr Kombinationen, nämlich $5\text{ über } 2 = (5 \cdot 4)/(1 \cdot 2) = 10$, und man erhält $p_2 = 10\cdot 0.1^2\cdot 0.9^3\approx 0.0729$.

Kann ein Blockcode bis zu zwei Fehlern korrigieren, so ist die Restfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm R} = 1-p_{\rm 0}-p_{\rm 1}-p_{\rm 2}\approx 0.85\%$. Eine zweite Berechnungsmöglichkeit wäre $p_{\rm R} = p_{3} + p_{4} + p_{5}$ mit der Näherung $p_{\rm R} \approx p_{3} = 0.81\%.$

Die mittlere Fehleranzahl in einem Block ist $m_f = 5 \cdot 0.1 = 0.5$. Die Varianz der Zufallsgröße $f$ beträgt $\sigma_f^2 = 5 \cdot 0.1 \cdot 0.9= 0.45$   ⇒   Streuung $\sigma_f \approx 0.671.$}}

===Eigenschaften der Poissonverteilung===

Die ''Poissonverteilung'' ist ein Grenzfall der Binomialverteilung, wobei
*zum einen von den Grenzübergängen $I → ∞$ und $p →$ 0 ausgegangen wird,
*zusätzlich vorausgesetzt ist, dass das Produkt $I · p = λ$ einen endlichen Wert besitzt.

Der Parameter $λ$ gibt die mittlere Anzahl der „Einsen” in einer festgelegten Zeiteinheit an und wird als die ''Rate'' bezeichnet.

Im Gegensatz zur Binomialverteilung ($0 ≤ μ ≤ I$) kann hier die Zufallsgröße beliebig große (ganzzahlige, nichtnegative) Werte annehmen, was bedeutet, dass die Menge der möglichen Werte hier nicht abzählbar ist. Da jedoch keine Zwischenwerte auftreten können, spricht man auch hier von einer ''diskreten Verteilung''.

'''Wahrscheinlichkeiten der Poissonverteilung'''

Berücksichtigt man die oben genannten Grenzübergänge in der Gleichung für die Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung, so folgt für die Auftrittswahrscheinlichkeiten der poissonverteilten Zufallsgröße $z$:
:$$p_\mu = {\rm Pr} ( z=\mu ) = \lim_{I\to\infty} \cdot \frac{I !}{\mu ! \cdot (I-\mu )!} \cdot (\frac{\lambda}{I} )^\mu \cdot ( 1-\frac{\lambda}{I})^{I-\mu}.$$
Daraus erhält man nach einigen algebraischen Umformungen:
:$$p_\mu = \frac{ \lambda^\mu}{\mu!}\cdot {\rm e}^{-\lambda}.$$

'''Momente der Poissonverteilung'''

Bei der Poissonverteilung ergeben sich Mittelwert und Streuung direkt aus den entsprechenden Gleichungen der Binomialverteilung durch zweifache Grenzwertbildung:
:$$m_1 =\lim_{\left.{I\hspace{0.05cm}\to\hspace{0.05cm}\infty, \hspace{0.2cm} {p\hspace{0.05cm}\to\hspace{0.05cm} 0}}\right.} \hspace{0.2cm} I \cdot p= \lambda,$$
:$$\sigma =\lim_{\left.{I\hspace{0.05cm}\to\hspace{0.05cm}\infty, \hspace{0.2cm} {p\hspace{0.05cm}\to\hspace{0.05cm} 0}}\right.} \hspace{0.2cm} \sqrt{I \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt {\lambda}.$$

Daraus ist zu erkennen, dass bei der Poissonverteilung stets $\sigma^2 = m_1 = \lambda$ ist. Dagegen gilt bei der Binomialverteilung immer $\sigma^2 < m_1$.

[[Datei: P_ID616__Sto_T_2_4_S2neu.png |frame| Momente der Poissonverteilung | rechts]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 2:}$ 
Wir vergleichen nun die Binomialverteilung mit den Parametern $I =6$ und $p = 0.4$ und die Poissonverteilung mit $λ = 2.4$:
*Beide Verteilungen besitzen genau den gleichen Mittelwert $m_1 = 2.4$.
*Bei der Poissonverteilung (im Bild rot markiert) beträgt die Streuung $σ ≈ 1.55$.
*Bei der (blauen) Binomialverteilung ist die Standardabweichung nur $σ = 1.2$.}}

'''Anwendungen der Poissonverteilung'''

Die Poissonverteilung ist das Ergebnis eines so genannten ''Poissonprozesses''. Ein solcher dient häufig als Modell für Folgen von Ereignissen, die zu zufälligen Zeitpunkten eintreten können. Beispiele für derartige Ereignisse sind
*der Ausfall von Geräten – eine wichtige Aufgabenstellung in der Zuverlässigkeitstheorie,
*das Schrotrauschen bei der optischen Übertragung, und
*der Beginn von Telefongesprächen in einer Vermittlungsstelle („Verkehrstheorie”).

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 3:}$ 
Gehen bei einer Vermittlungsstelle im Langzeitmittel neunzig Vermittlungswünsche pro Minute ein (also $λ = 1.5 \text{ pro Sekunde}$), so lauten die Wahrscheinlichkeiten $p_{\mu}$, dass in einem beliebigen Zeitraum von einer Sekunde genau $\mu$ Belegungen auftreten:
:$$p_\mu = \frac{1.5^\mu}{\mu!}\cdot {\rm e}^{-1.5}.$$

Es ergeben sich die Zahlenwerte $p_0 = 0.223$, $p_1 = 0.335$, $p_2 = 0.251$, usw.

Daraus lassen sich weitere Kenngrößen ableiten:
*Die Abstand $τ$ zwischen zwei Vermittlungswünschen genügt der ''Exponentialverteilung''.
*Die mittlere Zeitspanne zwischen Vermittlungswünschen beträgt ${\rm E}[τ] = 1/λ ≈ 0.667 \ \rm s$.}}

===Gegenüberstellung Binomialverteilung vs. Poissonverteilung===

Hier sollen die Gemeinsamkeiten und die Unterschiede zwischen binomial- und poissonverteilten Zufallsgrößen herausgearbeitet werden.

[[Datei: P_ID60__Sto_T_2_4_S3_neu.png |frame| Binomialverteilung vs. Poissonverteilung]]
Die '''Binomialverteilung''' ist zur Beschreibung solcher stochastischer Ereignisse geeignet, die durch einen festen Takt $T$ gekennzeichnet sind. Beispielsweise beträgt bei ISDN (''Integrated Services Digital Network'') mit $64 \ \rm kbit/s$ die Taktzeit $T \approx 15.6 \ \rm µ s$.
*Nur in diesem Zeitraster treten binäre Ereignisse auf. Solche Ereignisse sind beispielsweise die fehlerfreie $(e_i = 0)$ oder fehlerhafte $(e_i = 1)$ Übertragung einzelner Symbole.
*Die Binomialverteilung ermöglicht nun statistische Aussagen über die Anzahl der in einem längeren Zeitintervall $T_{\rm I} = I · T$ zu erwartenden Übertragungsfehler entsprechend des skizzierten Zeitdiagramms (blau markierte Zeitpunkte).
*Für sehr große Werte von $I$ und gleichzeitig sehr kleine Werte von $p$ kann die Binomialverteilung durch die ''Poissonverteilung'' mit $\lambda = I \cdot p$ angenähert werden.
*Ist gleichzeitig das Produkt $I · p \gg 1$, so geht nach dem ''Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace'' die Poissonverteilung (und damit auch die Binomialverteilung) in eine diskrete Gaußverteilung über.

Die '''Poissonverteilung''' macht ebenfalls Aussagen über die Anzahl eintretender Binärereignisse in einem endlichen Zeitintervall.

Geht man hierbei vom gleichen Betrachtungszeitraum $T_{\rm I}$ aus und vergrößert die Anzahl $I$ der Teilintervalle immer mehr, so wird die Taktzeit $T,$ zu der jeweils ein neues Binärereignis ($0$ oder $1$) eintreten kann, immer kleiner. Im Grenzfall geht $T$ gegen Null. Das heißt:
*Bei der Poissonverteilung sind die binären Ereignisse nicht nur zu diskreten, durch ein Zeitraster vorgegebenen Zeitpunkten möglich, sondern jederzeit. Das untere Zeitdiagramm verdeutlicht diesen Sachverhalt.
*Um im Mittel während der Zeit $T_{\rm I}$ genau so viele „Einsen” wie bei der Binomialverteilung zu erhalten (im Beispiel: sechs), muss allerdings die auf das infinitesimal kleine Zeitintervall $T$ bezogene charakteristische Wahrscheinlichkeit $p = {\rm Pr}( e_i = 1)$ gegen Null tendieren.

==Versuchsdurchführung==

*Wählen Sie zunächst die Nummer '''1''' ... '''6''' der zu bearbeitenden Aufgabe.  Die Nummer '''0''' entspricht einem &bdquo;Reset”:  Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt.  Die Parameterwerte sind angepasst.  Lösung nach Drücken von &bdquo;Hide solution”. 
*Aufgabenstellung und Lösung sind auch in der deutschen Version in Englisch.  In der folgenden Beschreibung bedeutet:
**'''Blau''':   Verteilungsfunktion 1 (im Applet blau markiert),
**'''Rot''':     Verteilungsfunktion 2 (im Applet rot markiert).

{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''  Setzen Sie '''Blau''': Binomialverteilung $(I=5, \ p=0.4)$ und '''Rot''': Binomialverteilung $(I=10, \ p=0.2)$.
:Wie lauten die Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(z=0)$ und ${\rm Pr}(z=1)$?}}

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Blau: }{\rm Pr}(z=0)=0.6^5=7.78\%, \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(z=1)=0.4 \cdot 0.6^4=25.92\%;$

$\hspace{1.85cm}\text{Rot: }{\rm Pr}(z=0)=0.8^10=10.74\%, \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(z=1)=0.2 \cdot 0.8^9=26.84\%.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''  Es gelten weiter die Einstellungen von '''(1)'''. Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(3 \le z \le 5)$?}}

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Es gilt }{\rm Pr}(3 \le z \le 5) = {\rm Pr}(z=3) + {\rm Pr}(z=4) + {\rm Pr}(z=5)\text{, oder }
{\rm Pr}(3 \le z \le 5) = {\rm Pr}(z \le 5) - {\rm Pr}(z \le 2)$.

$\hspace{1.85cm}\text{Blau: }{\rm Pr}(3 \le z \le 5) = 0.2304+ 0.0768 + 0.0102 =1 - 0.6826 = 0.3174;$

$\hspace{1.85cm}\text{Rot: }{\rm Pr}(3 \le z \le 5) = 0.2013 + 0.0881 + 0.0264 = 0.9936 - 0.6778 = 0.3158.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''  Es gelten weiter die Einstellungen von '''(1)'''. Wie unterscheiden sich der Mittelwert $m_1$ und die Streuung $\sigma$ der beiden Binomialverteilungen?}}

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Mittelwert:}\hspace{0.2cm}m_\text{1} = I \cdot p\hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} m_\text{1, Blau} = 5 \cdot 0.4\underline{ = 2 =} \ m_\text{1, Rot} = 10 \cdot 0.2; $

$\hspace{1.85cm}\text{Streuung:}\hspace{0.4cm}\sigma = \sqrt{I \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{m_1 \cdot (1-p)}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \sigma_{\rm Blau} = \sqrt{2 \cdot 0.6} =1.095 < \sigma_{\rm Rot} = \sqrt{2 \cdot 0.8} = 1.265.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''  Setzen Sie '''Blau''': Binomialverteilung $(I=15, p=0.3)$ und '''Rot''': Poissonverteilung $(\lambda=4.5)$.
:Welche Unterschiede ergeben sich zwischen beiden Verteilungen hinsichtlich Mittelwert $m_1$ und Varianz $\sigma^2$?}}

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Beide Verteilungern haben gleichen Mittelwert:}\hspace{0.2cm}m_\text{1, Blau} = I \cdot p\ = 15 \cdot 0.3\hspace{0.15cm}\underline{ = 4.5 =} \ m_\text{1, Rot} = \lambda$;

$\hspace{1.85cm} \text{Binomialverteilung: }\hspace{0.2cm} \sigma_\text{Blau}^2 = m_\text{1, Blau} \cdot (1-p)\hspace{0.15cm}\underline { = 3.15} \le \text{Poissonverteilung: }\hspace{0.2cm} \sigma_\text{Rot}^2 = \lambda\hspace{0.15cm}\underline { = 4.5}$;

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''  Es gelten die Einstellungen von '''(4)'''. Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(z \gt 10)$ und ${\rm Pr}(z \gt 15)$?}}

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \text{Binomial: }\hspace{0.2cm} {\rm Pr}(z \gt 10) = 1 - {\rm Pr}(z \le 10) = 1 - 0.9993 = 0.0007;\hspace{0.3cm} {\rm Pr}(z \gt 15) = 0 \ {\rm (exakt)}$.

$\hspace{1.85cm}\text{Poisson: }\hspace{0.2cm} {\rm Pr}(z \gt 10) = 1 - 0.9933 = 0.0067;\hspace{0.3cm}{\rm Pr}(z \gt 15) \gt 0 \ ( \approx 0)$

$\hspace{1.85cm} \text{Näherung: }\hspace{0.2cm}{\rm Pr}(z \gt 15) \ge {\rm Pr}(z = 16) = \lambda^{16}/{16!}\approx 2 \cdot 10^{-22}$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''  Es gelten weiter die Einstellungen von '''(4)'''. Mit welchen Parametern ergeben sich symmetrische Verteilungen um $m_1$?}}

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \text{Binomialverung mit }p = 0.5\text{: }p_\mu = {\rm Pr}(z = \mu)\text{ symmetrisch um } m_1 = I/2 = 7.5 \ ⇒ \ p_μ = p_{I–μ}\ ⇒ \ p_8 = p_7, \ p_9 = p_6, \text{usw.}$

$\hspace{1.85cm}\text{Die Poissonverteilung wird dagegen nie symmetrisch, da sie sich bis ins Unendliche erstreckt!}$

==Zur Handhabung des Applets==
[[Datei:Handhabung_binomial.png|left|600px]]
    '''(A)'''     Vorauswahl für blauen Parametersatz

    '''(B)'''     Parametereingabe $I$ und $p$ per Slider

    '''(C)'''     Vorauswahl für roten Parametersatz

    '''(D)'''     Parametereingabe $\lambda$ per Slider

    '''(E)'''     Graphische Darstellung der Verteilungen

    '''(F)'''     Momentenausgabe für blauen Parametersatz

    '''(G)'''     Momentenausgabe für roten Parametersatz

    '''(H)'''     Variation der grafischen Darstellung

$\hspace{1.5cm}$&bdquo;$+$” (Vergrößern),

$\hspace{1.5cm}$ &bdquo;$-$” (Verkleinern)

$\hspace{1.5cm}$ &bdquo;$\rm o$” (Zurücksetzen)

$\hspace{1.5cm}$ &bdquo;$\leftarrow$” (Verschieben nach links), usw.

    '''( I )'''     Ausgabe von ${\rm Pr} (z = \mu)$ und ${\rm Pr} (z \le \mu)$

    '''(J)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung
 
 '''Andere Möglichkeiten zur Variation der grafischen Darstellung''':
*Gedrückte Shifttaste und Scrollen: Zoomen im Koordinatensystem,
*Gedrückte Shifttaste und linke Maustaste: Verschieben des Koordinatensystems.

==Über die Autoren==
Dieses interaktive Berechnungstool wurde am  [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]  der  [https://www.tum.de/ Technischen Universität München]  konzipiert und realisiert.
*Die erste Version wurde 2003 von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]]  im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX–Actionscript” erstellt  (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|Günter Söder]]).
*2018 wurde das Programm von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Jimmy_He_.28Bachelorarbeit_2018.29|Jimmy He]]  (Bachelorarbeit, Betreuer:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29|Tasnád Kernetzky]] )  auf &bdquo;HTML5” umgesetzt und neu gestaltet.

==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==

{{LntAppletLink|binomPoissonDistributions_en}}

Applets:Dämpfung von Kupferkabeln

2025-02-24T09:43:44Z

{{LntAppletLink|attenuationCopperCables_en}}         [https://en.lntwww.de/Applets:Attenuation_of_Copper_Cables '''English Applet with English WIKI description''']

==Programmbeschreibung==
 
Dieses Applet berechnet die Dämpfungsfunktion $a_{\rm K}(f)$ von leitungsgebundenen Übertragungsmedien (jeweils mit der Kabellänge $l$):
*Für Koaxialkabel verwendet man meist die Gleichung $a_{\rm K}(f)=(\alpha_0+\alpha_1\cdot f+\alpha_2\cdot \sqrt{f}) \cdot l$.
*Dagegen werden Zweidrahtleitungen oft in der Form $a_{\rm K}(f)=(k_1+k_2\cdot (f/{\rm MHz})^{k_3}) \cdot l$ dargestellt.
*Realisiert ist auch die Umrechnung der $(k_1, \ k_2, \ k_3)$–Darstellung in die $(\alpha_0, \ \alpha_1, \ \alpha_2)$–Form für $B = 30 \ \rm MHz$ und umgekehrt.

Außer der Dämpfungsfunktion $a_{\rm K}(f)$ können graphisch dargestellt werden:
*der zugehörige Betragsfrequenzgang $\left | H_{\rm K}(f)\right |=10^{-a_\text{K}(f)/20},$
*der Entzerrer–Frequenzgang $\left | H_{\rm E}(f)\right | = \left | H_{\rm CRO}(f) / H_{\rm K}(f)\right | $, der zu einem Nyquist–Gesamtfrequenzgang $ H_{\rm CRO}(f) $ führt,
*der entsprechende Betrags–Quadrat–Frequenzgang $\left | H_{\rm E}(f)\right |^2 $.

Das Integral über $\left | H_{\rm E}(f)\right |^2 $ ist ein Maß für die Rauschüberhöhung des ausgewählten Nyquist–Gesamtfrequenzgangs und damit auch für zu erwartende Fehlerwahrscheinlichkeit. Aus dieser wird der ''Gesamt–Wirkungsgrad''  $\eta_\text{K+E}$ für '''K'''anal und '''E'''ntzerrer berechnet, der im Applet in $\rm dB$ ausgegeben wird.

Durch Optimierung des Roll-off–Faktors $r$ des Cosinus–Roll-off–Frequenzgangs $ H_{\rm CRO}(f) $ kommt man zum ''Kanal–Wirkungsgrad''  $ \eta_\text{K}$. Dieser gibt also die Verschlechterung des Gesamtsystems aufgrund der Dämpfungsfunktion $a_{\rm K}(f)$ des Übertragungsmediums an.

==Theoretischer Hintergrund==
 
===Betragsfrequenzgang und Dämpfungsfunktion===
Es besteht folgender Zusammenhang zwischen dem Betragsfrequenzgang und der Dämpfungsfunktion:
:$$\left | H_{\rm K}(f)\right |=10^{-a_\text{K}(f)/20} = {\rm e}^{-a_\text{K, Np}(f)}.$$
*Der Index &bdquo;K” soll deutlich machen, dass das betrachtete LZI–System ein '''K'''abel ist.
*Bei der ersten Berechnungsvorschrift ist die Dämpfungsfunktion $a_\text{K}(f)$ in $\rm dB$ (Dezibel) einzusetzen.
*Bei der zweiten Berechnungsvorschrift ist die Dämpfungsfunktion $a_\text{K, Np}(f)$ in $\rm Np$ (Neper) einzusetzen.
* Es gelten folgende Umrechnungen $\rm 1 \ dB = 0.05 \cdot \ln (10) \ Np= 0.1151 \ Np$ bzw. $\rm 1 \ Np = 20 \cdot \lg (e) \ dB= 8.6859 \ dB$.
* In diesem Applet werden ausschließlich die dB–Werte verwendet.

===Dämpfungsfunktion eines Koaxialkabels===
Die Dämpfungsfunktion eines Koaxialkabels der Länge $l$ wird in [Wel77]<ref name ='Wel77'>Wellhausen, H. W.: Dämpfung, Phase und Laufzeiten bei Weitverkehrs–Koaxialpaaren. Frequenz 31, S. 23-28, 1977.</ref> wie folgt angegeben:
:$$a_{\rm K}(f)=(\alpha_0+\alpha_1\cdot f+\alpha_2\cdot \sqrt{f}) \cdot l.$$
*Beachten Sie bitte den Unterschied zwischen der Dämpfungsfunktion $a_{\rm K}(f)$ in $\rm dB$ und den &bdquo;alpha”–Koeffizienten $\alpha_{\rm K}(f)=a_{\rm K}(f)/l$ mit anderen Pseudo–Einheiten.
*Die Dämpfungsfunktion $a_{\rm K}(f)$ ist direkt proportional zur Kabellänge $l$. Man bezeichnet den Quotienten $a_{\rm K}(f)/l$ als &bdquo;Dämpfungsmaß” oder &bdquo;kilometrische Dämpfung”.
*Der frequenzunabhängige Anteil $α_0$ des Dämpfungsmaßes berücksichtigt die Ohmschen Verluste (&bdquo;Leitungsverluste”).
*Der frequenzproportionale Anteil $α_1 · f$ des Dämpfungsmaßes ist auf die Ableitungsverluste (&bdquo;Querverluste”) zurückzuführen.
*Der dominante Anteil $α_2$ geht auf den [[Digitalsignalübertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen#Frequenzgang_eines_Koaxialkabels|Skineffekt]] zurück, der bewirkt, dass bei höherfrequentem Wechselstrom die Stromdichte im Leiterinneren niedriger ist als an der Oberfläche. Dadurch steigt der Widerstandsbelag einer elektrischen Leitung mit der Wurzel aus der Frequenz an.

Die Konstanten für das ''Normalkoaxialkabel'' mit 2.6 mm Innendurchmesser und 9.5 mm Außendurchmesser   ⇒  kurz '''Coax (2.6/9.5 mm)''' lauten:
:$$\alpha_0 = 0.014\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_1 = 0.0038\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km \cdot MHz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_2 = 2.36\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km \cdot \sqrt{MHz} } }\hspace{0.05cm}.$$

Entsprechend gilt für das ''Kleinkoaxialkabel''   ⇒  kurz '''Coax (1.2/4.4 mm)''':
:$$\alpha_0 = 0.068\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
\alpha_1 = 0.0039\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km \cdot MHz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_2 =5.2\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km \cdot \sqrt{MHz} } }\hspace{0.05cm}.$$

Diese Werte können aus den geometrischen Abmessungen der Kabel berechnet werden und wurden durch Messungen am Fernmeldetechnischen Zentralamt in Darmstadt bestätigt – siehe [Wel77]<ref name ='Wel77'>Wellhausen, H. W.: Dämpfung, Phase und Laufzeiten bei Weitverkehrs–Koaxialpaaren. Frequenz 31, S. 23-28, 1977.</ref> . Sie gelten für eine Temperatur von 20°C (293 K) und Frequenzen größer als 200 kHz.

===Dämpfungsfunktion einer Zweidrahtleitung===
Die Dämpfungsfunktion einer Zweidrahtleitung (englisch: ''Two–wired Line'') der Länge $l$ wird in [PW95]<ref name ='PW95'>Pollakowski, M.; Wellhausen, H.W.: Eigenschaften symmetrischer Ortsanschlusskabel im Frequenzbereich bis 30 MHz. Mitteilung aus dem Forschungs- und Technologiezentrum der Deutschen Telekom AG, Darmstadt, Verlag für Wissenschaft und Leben Georg Heidecker, 1995.</ref> wie folgt angegeben:
:$$a_{\rm K}(f)=(k_1+k_2\cdot (f/{\rm MHz})^{k_3}) \cdot l.$$
Dieser Funktionsverlauf ist nicht direkt interpretierbar, sondern es handelt sich um eine phänomenologische Beschreibungsform.

Ebenfalls in [PW95]<ref name ='PW95'>Pollakowski, M.; Wellhausen, H.W.: Eigenschaften symmetrischer Ortsanschlusskabel im Frequenzbereich bis 30 MHz. Mitteilung aus dem Forschungs- und Technologiezentrum der Deutschen Telekom AG, Darmstadt, Verlag für Wissenschaft und Leben Georg Heidecker, 1995.</ref>findet man die aus Messergebnissen ermittelten Konstanten für verschiedene Leitungsdurchmesser $d$:
* $d = 0.35 \ {\rm mm}$:   $k_1 = 7.9 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_2 = 15.1 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_3 = 0.62$,
* $d = 0.40 \ {\rm mm}$:   $k_1 = 5.1 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_2 = 14.3 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_3 = 0.59$,
* $d = 0.50 \ {\rm mm}$:   $k_1 = 4.4 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_2 = 10.8 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_3 = 0.60$,
* $d = 0.60 \ {\rm mm}$:   $k_1 = 3.8 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_2 = \hspace{0.25cm}9.2 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_3 = 0.61$.

Man erkennt aus diesen Zahlenwerten:
*Dämpfungsmaß $α(f)$ und Dämpfungsfunktion $a_{\rm K}(f) = α(f) · l$ hängen signifikant vom Leitungsdurchmesser ab. Die seit 1994 verlegten Kabel mit $d = 0.35$ mm und $d = 0.5$ mm haben etwa ein um $10\%$ größeres Dämpfungsmaß als die älteren Leitungen mit $d = 0.4$bzw. $0.6$ mm.
*Dieser mit den Herstellungs– und Verlegungskosten begründete kleinere Durchmesser vermindert allerdings die Reichweite $l_{\rm max}$ der auf diesen Leitungen eingesetzten Übertragungssysteme signifikant, so dass im schlimmsten Fall teuere Zwischenregeneratoren eingesetzt werden müssen.
*Die heute üblichen Übertragungsverfahren für Kupferleitungen belegen allerdings nur ein relativ schmales Frequenzband, zum Beispiel sind dies bei [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_ISDN|ISDN]] $120\ \rm kHz$ und bei [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_DSL|DSL]] ca. $1100 \ \rm kHz$. Für $f = 1 \ \rm MHz$ beträgt das Dämpfungsmaß für ein 0.4 mm–Kabel etwa $20 \ \rm dB/km$, so dass selbst bei einer Kabellänge von $l = 4 \ \rm km$ der Dämpfungswert nicht über $80 \ \rm dB$ liegt.

===Umrechnung zwischen $k$– und $\alpha$– Parametern===
Es besteht die Möglichkeit, die $k$–Parameter des Dämpfungsmaßes   ⇒   $\alpha_{\rm I} (f)$ in entsprechende $\alpha$–Parameter   ⇒   $\alpha_{\rm II} (f)$ umzurechnen:
:$$\alpha_{\rm I} (f) = k_1 + k_2 \cdot (f/f_0)^{k_3}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm} f_0 = 1\,{\rm MHz},$$
:$$\alpha_{\rm II} (f) = \alpha_0 + \alpha_1 \cdot f + \alpha_2 \cdot \sqrt {f}.$$

Als Kriterium dieser Umrechnung gehen wir davon aus, dass die quadratische Abweichung dieser beiden Funktionen innerhalb einer Bandbreite $B$ minimal ist:
:$$\int_{0}^{B} \left [ \alpha_{\rm I} (f) - \alpha_{\rm II} (f)\right ]^2 \hspace{0.1cm}{\rm d}f \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Minimum} \hspace{0.05cm} .$$
Es ist offensichtlich, dass $α_0 = k_1$ gelten wird. Die Parameter $α_1$ und $α_2$ sind von der zugrundegelegten Bandbreite $B$ abhängig und lauten:
:$$\begin{align*}\alpha_1 & = 15 \cdot (B/f_0)^{k_3 -1}\cdot \frac{k_3 -0.5}{(k_3 + 1.5)(k_3 + 2)}\cdot {k_2}/{ {f_0} }\hspace{0.05cm} ,\\ \alpha_2 & = 10 \cdot (B/f_0)^{k_3 -0.5}\cdot \frac{1-k_3}{(k_3 + 1.5)(k_3 + 2)}\cdot {k_2}/{\sqrt{f_0} }\hspace{0.05cm} .\end{align*}$$

In der Gegenrichtung lautet die Umrechnungsvorschrift für den Exponenten:

:$$k_3 = \frac{A + 0.5} {A +1}, \hspace{0.2cm}\text{Hilfsgröße: }A = \frac{2} {3} \cdot \frac{\alpha_1 \cdot \sqrt{f_0}}{\alpha_2} \cdot \sqrt{B/f_0}.$$

Mit diesem Ergebnis lässt sich $k_2$ mit jeder der oberen Gleichungen angeben.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 1:}$  Im Folgenden verwenden wir die Normierunggröße $f_0 = 1 \ \rm MHz$.
*Für $k_3 = 1$ (frequenzproportionales Dämpfungsmaß) ergeben sich folgerichtig   $\alpha_0 = k_0\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.2cm} \alpha_1 = {k_2}/{ {f_0} }\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.2cm} \alpha_2 = 0\hspace{0.05cm} .$
*Für $k_3 = 0.5$ (entsprechend Skineffekt) erhält man folgende Koeffizienten:   $\alpha_0 = k_0\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.2cm}\alpha_1 = 0\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.2cm} \alpha_2 = {k_2}/{\sqrt{f_0} }\hspace{0.05cm}.$
*Für $k_3 < 0.5$ ergibt sich ein negatives $\alpha_1$. Umrechnung ist nur für $0.5 \le k_3 \le 1$ möglich.
*Für $0.5 \le k_3 \le$ ergeben sich Koeffizienten $\alpha_1 > 0$ und $\alpha_2 > 0$, die auch von $B/f_0$ abhängen.
*Aus $\alpha_1 = 0.3\, {\rm dB}/ ({\rm km \cdot MHz}) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_2 = 3\, {\rm dB}/ ({\rm km \cdot \sqrt{MHz} })\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}B = 30 \ \rm MHz$ folgt $k_3 = 0.63$ und $k_2 = 2.9 \ \rm dB/km$.}}

===Zum Kanaleinfluss auf die binäre Nyquistentzerrung===
[[Datei:Applet_Kabeldaempfung_1_version3.png|right|frame|Vereinfachtes Blockschaltbild des optimalen Nyquistentzerrers|class=fit]]
Wir gehen vom skizzierten Blockschaltbild aus. Zwischen der Diracquelle und dem Entscheider liegen die Frequenzgänge für Sender  ⇒  $H_{\rm S}(f)$, Kanal  ⇒  $H_{\rm K}(f)$ und Empfänger   ⇒  $H_{\rm E}(f)$.

In diesem Applet
*vernachlässigen wir den Einfluss der Sendeimpulsform   ⇒   $H_{\rm S}(f) \equiv 1$   ⇒   diracförmiges Sendesignal $s(t)$,
*setzen ein binäres Nyquistsystem mit Cosinus–Roll-off um die Nyquistfrequenz $f_{\rm Nyq} = [f_1 + f_2]/2 =1/(2T)$ voraus:
:$$H_{\rm K}(f) · H_{\rm E}(f) = H_{\rm CRO}(f).$$

[[Datei:Applet_Kabeldaempfung_2_version2.png|right|frame|Frequenzgang mit Cosinus–Roll-off|class=fit]]

Das bedeutet: Das [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen#Erstes_Nyquistkriterium_im_Frequenzbereich|erste Nyquistkriterium]] wird erfüllt  ⇒   zeitlich aufeinander folgende Impulse stören sich nicht gegenseitig   ⇒   es gibt keine [[Digitalsignalübertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen|Impulsinterferenzen]] (englisch: ''Intersymbol Interference'', ISI).

Bei weißem Rauschen wird somit die Übertragungsqualität allein durch die Rauschleistung vor dem Empfänger bestimmt:

:$$P_{\rm N} =\frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} |H_{\rm E}(f)|^2 \ {\rm d}f\hspace{1cm}\text{mit}\hspace{1cm}|H_{\rm E}(f)|^2 = \frac{|H_{\rm CRO}(f)|^2}{|H_{\rm K}(f)|^2}.$$
 
Die kleinstmögliche Rauschleistung ergibt sich bei idealem Kanal   ⇒   $H_{\rm K}(f) \equiv 1$ und gleichzeitig dem Frequenzgang $H_{\rm CRO}(f)$ mit Roll-off–Faktor $r = 1$ im Bereich $|f| \le 2 \cdot f_{\rm Nyq}$ (siehe Skizze):

:$$P_\text{N, min} = P_{\rm N} \ \big [\text{optimales System: }H_{\rm K}(f) \equiv 1; \ \text{ Roll-off–Faktor } r=r_{\rm opt} =1 \big ] = N_0 \cdot 3/4 \cdot f_{\rm Nyq} .$$

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definitionen:}$ 
*Als Gütekriterium für ein gegebenes System verwenden wir den '''Gesamt–Wirkungsgrad''':

:$$\eta_\text{K+E} = \frac{P_{\rm N} \ \big [\text{optimales System: }H_{\rm K}(f) \equiv 1, \ r=r_{\rm opt} =1 \big ]}{P_{\rm N} \ \big [\text{gegebenes System: Kanal }H_{\rm K}(f), \ \text{Roll-off-Faktor }r \big ]} =\left [ \frac{1}{3/4 \cdot f_{\rm Nyq} } \cdot \int_{0}^{+\infty} \vert H_{\rm E}(f) \vert^2 \ {\rm d}f \right ]^{-1}\le 1.$$

:Diese Systemgröße wird im Applet für beide Parametersätze in logarithmierter Form angegeben:   $10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} \le 0 \ \rm dB$.

*Durch Variation und Optimierung des Roll-off-Faktors $r$ erhält man den '''Kanal–Wirkungsgrad''':

:$$\eta_\text{K} = \max_{0 \le r \le 1} \ \eta_\text{K+E} .$$}}

[[Datei:Applet_Kabeldaempfung_3_version2.png|right|frame|Betrags–Quadrat–Frequenzgang $\left \vert H_{\rm E}(f)\right \vert ^2 $|class=fit]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 2:}$ 
Die Grafik zeigt den Betrags–Quadrat–Frequenzgang $\left \vert H_{\rm E}(f)\right \vert ^2 $ mit $\left \vert H_{\rm E}(f)\right \vert = H_{\rm CRO}(f) / \left \vert H_{\rm K}(f)\right \vert$ für folgende Randbedingungen:
*Dämpfungsfunktion des Kanals:   $a_{\rm K}(f) = 1 \ {\rm dB} \cdot \sqrt{f/\ {\rm MHz} }$,
*Nyquist–Frequenz: :   $f_{\rm Nyq} = 20 \ {\rm MHz}$, Roll-off-Faktor $r = 0.5$

Daraus ergeben sich folgende Konsequenzen:
*Im Bereich bis $f_{1} = 10 \ {\rm MHz}$ ist $H_{\rm CRO}(f) = 1$   ⇒   $\left \vert H_{\rm E}(f)\right \vert ^2 = \left \vert H_{\rm K}(f)\right \vert ^{-2}$ (siehe gelbe Hinterlegung).
*Erst im Bereich von $f_{1}$ bis $f_{2} = 30 \ {\rm MHz}$ ist die Flanke von $H_{\rm CRO}(f)$ wirksam und $\left \vert H_{\rm E}(f)\right \vert ^2$ wird immer kleiner.
*Das Maximum von $\left \vert H_{\rm E}(f_{\rm max})\right \vert ^2$ bei $f_{\rm max} \approx 11.5 \ {\rm MHz}$ ist mehr als doppelt so groß wie $\left \vert H_{\rm E}(f = 0)\right \vert ^2 = 1$.
*Das Integral über $\left \vert H_{\rm E}(f)\right \vert ^2$ ist ein Maß für die wirksame Rauschleistung. Diese ist im Beispiel um den Faktor $4.6$ größer als die minimale Rauschleistung (für $a_{\rm K}(f) = 0 \ {\rm dB}$ und $r=1$)   ⇒   $10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} \approx - 6.6 \ {\rm dB}.$}}

==Versuchsdurchführung==

*Wählen Sie zunächst die Nummer '''1''' ... '''11''' der zu bearbeitenden Aufgabe.  Der Aufgabentext wird angezeigt.  Die Parameterwerte sind angepasst.
*Die Nummer '''0''' entspricht einem &bdquo;Reset”:  Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.  Ausgabe eines &bdquo;Reset–Textes” mit weiteren Erläuterungen zum Applet.
*Die Applet–Sprache ist Englisch, auch Aufgabenstellung und Lösung im Gegensatz zu dieser Wiki–Beschreibungsdatei.  Lösung nach Drücken von &bdquo;Hide solution”.

In der folgenden Beschreibung bezeichnet '''Blue''' den linken Parametersatz (im Applet blau markiert) '''Red''' den rechten Parametersatz (im Applet rot markiert). Alle Angaben mit Hochkomma sind ohne Einheit, zum Beispiel steht ${\alpha_2}' =2$   für   $\alpha_2 =2\, {\rm dB} / ({\rm km \cdot \sqrt{MHz} })$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''  Setzen Sie '''Blue''' zunächst auf $\text{Coax (1.2/4.4 mm)}$ und anschließend auf $\text{Coax (2.6/9.5 mm)}$. Die Kabellänge sei jeweils $l_{\rm Blue}= 5\ \rm km$.
:Betrachten und Interpretieren Sie $a_{\rm K}(f)$ und $\vert H_{\rm K}(f) \vert$, insbesondere die Funktionswerte $a_{\rm K}(f = f_\star = 30 \ \rm MHz)$ und $\vert H_{\rm K}(f = 0) \vert$.}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Näherungsweise steigt die Dämpfungsfunktion mit }\sqrt{f}\text{ und der Betragsfrequenzgang fällt ähnlich einer Exponentialfunktion};$

$\hspace{1.15cm}\text{Coax (1.2/4.4 mm): }a_{\rm K}(f = f_\star) = 143.3\text{ dB;}\hspace{0.5cm}\vert H_{\rm K}(f = 0) \vert = 0.96.$

$\hspace{1.15cm}\text{Coax (2.6/9.5 mm): }a_{\rm K}(f = f_\star) = 65.3\text{ dB;}\hspace{0.5cm}\vert H_{\rm K}(f = 0) \vert = 0.99;$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''  Für '''Blue''' gelte $\text{Coax (2.6/9.5 mm)}$ und $l_{\rm Blue} = 5\ \rm km$. Wie wird $a_{\rm K}(f =f_\star = 30 \ \rm MHz)$ von $\alpha_0$, $\alpha_1$ und $\alpha_2$ beeinflusst?}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Entscheidend ist }\alpha_2\text{ (Skineffekt). Die Beitrag von } \alpha_0\text{ ist nur ca. 0.1 dB und der von }\alpha_1 \text{ nur ca. 0.6 dB.}$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''  Setzen Sie zusätzlich '''Red''' auf $\text{Two–wired Line (0.5 mm)}$ und $l_{\rm Red} = 1\ \rm km$. Welcher Wert ergibt sich für $a_{\rm K}(f =f_\star= 30 \ \rm MHz)$?
:Bis zu welcher Länge $l_{\rm Red}$ ist die rote Dämpfungsfunktion vergleichbar mit der blauen?}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Für die rote Kurve gilt: }a_{\rm K}(f = f_\star) = 87.5 {\ \rm dB} \text{. Obige Bedingung wird erfüllt für }l_{\rm Red} = 0.7\ {\rm km} \ \Rightarrow \ a_{\rm K}(f = f_\star) = 61.3 {\ \rm dB}.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''  Setzen Sie '''Red''' auf ${k_1}' = 0, {k_2}' = 10, {k_3}' = 0.75, {l_{\rm red} } = 1 \ \rm km$ und variieren Sie den Parameter $0.5 \le k_3 \le 1$.
:Was erkennt man anhand von $a_{\rm K}(f)$ und $\vert H_{\rm K}(f) \vert$? }}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Bei festem }k_2\text {wird }a_{\rm K}(f)\text{ mit größerem }k_3\text{ immer größer und }\vert H_{\rm K}(f) \vert \text{ nimmt immer schneller ab. Mit }k_3 =1: a_{\rm K}(f)\text{ steigt linear.}$

$\hspace{1.15cm}\text{Mit }k_3 \to 0.5\text{ wird die Dämpfungsfunktion wie beim Koaxialkabel immer mehr durch den Skineffekt bestimmt.}$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''  Setzen Sie '''Red''' auf $\text{Two–wired Line (0.5 mm)}$ und '''Blue''' auf $\text{Conversion of Red}$. Es gelte $l_{\rm Red} = l_{\rm Blue} = 1\ \rm km$.
:Betrachten und interpretieren Sie die dargestellten Funktionsverläufe für $a_{\rm K}(f)$ und $\vert H_{\rm K}(f) \vert$.}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Sehr gute Approximation der Zweidrahtleitung durch den blauen Parametersatz, sowohl bezüglich }a_{\rm K}(f) \text{ als auch }\vert H_{\rm K}(f) \vert.$

$\hspace{1.15cm}\text{Die errechneten Parameterwerte nach der Konvertierung sind }{\alpha_0}' = {k_1}' = 4.4, \ {\alpha_1}' = 0.76, \ {\alpha_2}' = 11.12.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''  Es gelten die Einstellungen von '''(5)'''. Welche Anteile der Dämpfungsfunktion gehen auf Ohmschen Verlust, Querverluste und Skineffekt zurück? }}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Lösung anhand '''Blue''': }a_{\rm K}(f = f_\star= 30 \ {\rm MHz}) = 88.1\ {\rm dB}, \hspace{0.2cm}\text{ohne }\alpha_0\text{: }83.7\ {\rm dB}, \hspace{0.2cm}\text{ohne }\alpha_0 \text{ und } \alpha_1\text{: }60.9\ {\rm dB}.$

$\hspace{1.15cm}\text{Bei einer Zweidrahtleitung ist der Einfluss der Längs– und der Querverluste signifikant größer als bei einem Koaxialkabel.}$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(7)'''  Setzen Sie '''Blue''' auf ${\alpha_0}' = {\alpha_1}' ={\alpha_2}' = 0$ und '''Red''' auf ${k_1}' = 2, {k_2}' = 0, {l_{\rm red} } = 1 \ \rm km$. Zusätzlich gelte ${f_{\rm Nyq} }' =15$ und $r= 0.5$.
:Wie groß ist jeweils der Gesamt–Wirkungsgrad $\eta_\text{K+E}$ und der Kanal–Wirkungsgrad $\eta_\text{K}$?}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Es gilt }10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} = -0.7\ \ {\rm dB}\text{ (Blue: ideales System) und }10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} = -2.7\ \ {\rm dB}\text{ (Red: nur Gleichsignaldämpfung)}$.

$\hspace{0.95cm}\text{Der bestmögliche Rolloff–Faktor ist }r = 1.\text{ Somit ist }10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} = 0 \ {\rm dB}\text{ (Blue) bzw. }10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} = -2\ {\rm dB}\text{ (Red)}.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(8)'''  Es gilt die Einstellung von '''(7)'''. Mit welcher Sendeleistung $P_{\rm red}$ in Bezug zu $P_{\rm blue}$ erreichen beide Systeme gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit? }}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Es muss gelten: }10 \cdot \lg \ P_{\rm red}/P_{\rm blue} =2 \ {\rm dB} \ \ \text{ ⇒ } \ \ P_{\rm red}/P_{\rm blue} = 10^{0.2} = 1.585.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(9)'''  Setzen Sie '''Blue''' auf ${\alpha_0}' = {\alpha_1}' = 0, \ {\alpha_2}' = 3, \ {l_{\rm blue} }' = 2$ und '''Red''' auf &bdquo;Inactive”. Zusätzlich gelte ${f_{\rm Nyq} }' =15$ und $r= 0.7$.
:Welchen Verlauf hat $\vert H_{\rm E}(f) \vert$? Wie groß ist sind Gesamt–Wirkungsgrad $\eta_\text{K+E}$ und Kanal–Wirkungsgrad $\eta_\text{K}$?}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Für } f < 7.5 {\ \rm MHz}\text{ ist } \vert H_{\rm E}(f) \vert = \vert H_{\rm K}(f) \vert ^{-1}.\text{ Für }(f > 22.5 {\ \rm MHz)}\text{ ist: }\vert H_{\rm E}(f) \vert = 0.\text{ Dazwischen Einfluss der CRO–Flanke.}$

$\hspace{0.95cm}\text{Der bestmögliche Rolloff–Faktor }r = 0.7\text{ ist bereits eingestellt: }\Rightarrow \ 10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} = 10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} \approx - 18.1 \ {\rm dB}.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(10)'''  Setzen Sie '''Blue''' auf ${\alpha_0}' = {\alpha_1}' = 0, \ {\alpha_2}' = 3, \ {l_{\rm blue} }' = 8$ sowie '''Red''' auf &bdquo;Inactive”. Zusätzlich gelte ${f_{\rm Nyq} }' =15$ und $r= 0.7$.
:Welchen Wert hat $\vert H_{\rm E}(f = 0) \vert$? Was ist der Maximalwert von $\vert H_{\rm E}(f) \vert$? Wie groß ist ist der Kanal–Wirkungsgrad $\eta_\text{K}$?}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Es gilt }\vert H_{\rm E}(f = 0) \vert = \vert H_{\rm E}(f = 0) \vert ^{-1}= 1 \text{ und das Maximum von } \vert H_{\rm E}(f) \vert \text{ ist ca. }37500\text{ für }r=0.7 \Rightarrow 10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} \approx -89.2 \ {\rm dB},$

$\hspace{0.95cm}\text{weil das Intergral über }\vert H_{\rm E}(f) \vert^2\text{sehr groß ist. Nach Optimierung von }r=0.17 \text{ erhält man }10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} \approx -82.6 \ {\rm dB}.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(11)'''  Es gelten die Einstellungen von '''(10) und $r= 0.17$. Variieren Sie die Kabellänge bis $l_{\rm blue} =10 \ \rm km$.
:Wie ändert sich der Maximalwert von $\vert H_{\rm E}(f) \vert$, der Kanal–Wirkungsgrad $\eta_\text{K}$ und der optimale Roll–off–Faktor $r_{\rm opt}$?}}

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Der Maximalwert von } \vert H_{\rm E}(f) \vert \text{wird immer größer und }10 \cdot \lg \ \eta_\text{K}\text{ immer kleiner.}$

$\hspace{0.95cm}\text{Bei 10 km Länge ist } 10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} \approx -104.9 \ {\rm dB} \text{ und } r_{\rm opt}=0.14\text{. Für }f_\star \approx 14.5\ {\rm MHz} \text{ ist } \vert H_{\rm E}(f = f_\star) = 352000 \cdot \approx \vert H_{\rm E}(f =0)\vert$.

==Zur Handhabung des Applets==
[[Datei:Applet_Kabeldaempfung_5_version2.png|left|600px]]
    '''(A)'''     Vorauswahl für blauen Parametersatz

    '''(B)'''     Eingabe der $\alpha$–Parameter per Slider

    '''(C)'''     Vorauswahl für roten Parametersatz

    '''(D)'''     Eingabe der $k$–Parameter per Slider

    '''(E)'''     Eingabe der Parameter $f_{\rm Nyq}$ und $r$

    '''(F)'''     Auswahl für die graphische Darstellung

    '''(G)'''     Darstellung $a_\text{K}(f)$, $|H_\text{K}(f)|$, $|H_\text{E}(f)|$, ...

    '''(H)'''     Skalierungsfaktor $H_0$ für $|H_\text{E}(f)|$, $|H_\text{E}(f)|^2$

    '''(I)'''     Auswahl der Frequenz $f_\star$ für Numerikausgabe

    '''(J)'''     Numerikausgabe für blauen Parametersatz

    '''(K)'''     Numerikausgabe für roten Parametersatz

    '''(L)'''     Ausgabe Systemwirkungsgrad $\eta_\text{K+E}$ in dB

    '''(M)'''     Store & Recall von Einstellungen

    '''(N)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung

    '''(O)'''     Variation der grafischen Darstellung:$\hspace{0.5cm}$&bdquo;$+$” (Vergrößern),

$\hspace{0.5cm}$ &bdquo;$-$” (Verkleinern)

$\hspace{0.5cm}$ &bdquo;$\rm o$” (Zurücksetzen)

$\hspace{0.5cm}$ &bdquo;$\leftarrow$” (Verschieben nach links), usw.

'''Andere Möglichkeiten zur Variation der grafischen Darstellung''':
*Gedrückte Shifttaste und Scrollen: Zoomen im Koordinatensystem,
*Gedrückte Shifttaste und linke Maustaste: Verschieben des Koordinatensystems.

==Über die Autoren==
Dieses interaktive Berechnungstool wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.
*Die erste Version wurde 2009 von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Sebastian_Seitz_.28Diplomarbeit_LB_2009.29|Sebastian Seitz]] im Rahmen seiner Diplomarbeit erstellt (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|Günter Söder]] und [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_Übertragungstechnik#Dr.-Ing._Bernhard_G.C3.B6bel_.28bei_L.C3.9CT_von_2004-2010.29|Bernhard Göbel]]).
*2018 wurde das Programm von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Jimmy_He_.28Bachelorarbeit_2018.29|Jimmy He]] (Bachelorarbeit, Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29|Tasnád Kernetzky]] ) auf &bdquo;HTML5” umgesetzt und neu gestaltet.

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Applets:Entropie und Näherungen binärer Nachrichtenquellen

2025-02-24T09:43:43Z

{{LntAppletLink|entropy}}

==Programmbeschreibung==
 
Dieses Applet soll den Begriff &bdquo;Entropie” am Beispiel einer binären Nachrichtenquelle verdeutlichen. Die Quellensymbolfolge lautet somit  $〈 q_1, \hspace{0.05cm} q_2,\hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.05cm}, q_{ν–1}, \hspace{0.05cm}q_ν, \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}q_{ν+1} ,\hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.05cm}〉$  mit  $q_i \in \{A, B\}$  für  $i \ge 1$. Betrachtet werden sowohl eine gedächtnisfreie Quelle als auch eine Markovquelle erster Ordnung (also mit Gedächtnis &bdquo;1”), deren Entropien  $H$  jeweils in geschlossener Form angegeben werden können.

Ebenso werden für die unendlich lange Quellensymbolfolge so genannte Entropienäherungen  $H_1$,  $H_2$, ... ,  $H_k$, ... in geschlossener Form angegeben, wobei
*sich  $H_1$  allein auf die Symbolwahrscheinlichkeiten bezieht (das heißt:   Abhängigkeiten der Symbole innerhalb der Folge bleiben unberücksichtigt),
* zur Berechnung von  $H_2$  die Folge in Zweiertupel aufgeteilt und deren Entropie angegeben wird, und schließlich
* durch Erweiterung die Entropie  $H_k$  von  $k$–Tupeln angebbar ist.

Hierbei besteht für jede beliebige Nachrichtenquelle (mit oder ohne Gedächtnis) folgende Größenrealationen:
:$$ H <\text{...} \le H_k <\text{...} \le H_3 \le H_2 \le H_1 \le H_0 = \log_2 \ 2 = 1\text{ bit/Symbol} \hspace{0.05cm}.$$
$H_0$  bezeichnet den ''Entscheidungsgehalt'' von binären Nachrichtenquellen. Die ''Entropie''  $H$  der Quelle ergibt sich als der Grenzwert der  $H_k$  für  $k \to \infty$.

Implizit vorausgesetzt ist bei allen diesen analytisch angebbaren Größen die Folgenlänge  $N \to \infty$. Die Entropie  $H$  lässt sich aber auch aus einer begrenzten Quellensymbolfolge  $〈 q_1 \hspace{0.05cm}〉 =〈 q_1 , \hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.05cm}, q_{N}\hspace{0.05cm}〉$  annähern, also auch dann, wenn die statistischen Eigenschaften der Binärquelle unbekannt sind. Die entsprechenden Entropienäherungen werden hier mit  $\hat H_1$,  $\hat H_2$, ... ,  $\hat H_k$, ... bezeichnet.

Auch hierauf wird in der folgenden Beschreibung eingegangen mit dem Fazit:

*Die Näherung  $\hat H_k$  ist natürlich um so genauer, je größer die Folgenlänge  $N$  ist.
*Ist über die Quelle nichts weiter bekannt als die beispielhafte Folge, so ist der Rechenaufwand enorm.

==English Description==
 
This applet is intended to clarify the notion of &bdquo;entropy” using the example of a binary message source. Thus, the source symbol sequence is  $〈 q_1, \hspace{0.05cm} q_2,\hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.05cm}, q_{ν-1}, \hspace{0.05cm}q_ν, \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}q_{ν+1} ,\hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.05cm}〉$  with  $q_i \in \{A, B\}$  for  $i \ge 1$. Both a memoryless source and a first-order Markov source (i.e., with memory &bdquo;1”) are considered, whose entropies  $H$  can each be given in closed form.

Similarly, for the infinite source symbol sequence, so-called entropy approximations  $H_1$,  $H_2$, ... ,  $H_k$, ... are given in closed form, where
*$H_1$  refers to the symbol probabilities alone (that is,   dependencies of the symbols within the sequence are not considered),
* for the calculation of  $H_2$  the sequence is divided into tuples of two and their entropy is given, and finally
* by expansion the entropy  $H_k$  of  $k$–tuples is specifiable.

Here, for any given message source (with or without memory), the following size realizations exist:
:$$ H <\text{...} \le H_k <\text{...} \le H_3 \le H_2 \le H_1 \le H_0 = \log_2 \ 2 = 1\text{ bit/symbol} \hspace{0.05cm}.$$
$H_0$  denotes the ''decision content'' of binary message sources. The ''entropy''  $H$  of the source is given as the limit of  $H_k$  for  $k \to \infty$.

Implicit in all these analytically specifiable quantities is the sequence length  $N \to \infty$. However, the entropy  $H$  can also be derived from a bounded source symbol sequence  $〈 q_1 \hspace{0.05cm}〉 =〈 q_1 , \hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.05cm}, q_{N}\hspace{0.05cm}〉$  approximations, i.e., even when the statistical properties of the binary source are unknown. The corresponding entropy approximations are denoted here by  $\hat H_1$,  $\hat H_2$, ... ,  $\hat H_k$, ... denotes.

This is also discussed in the following description with the conclusion:

*The approximation  $\hat H_k$  is of course the more accurate, the larger the sequence length  $N$  is.
*If nothing more is known about the source than the exemplary sequence, the computational effort is enormous.

==Theoretischer Hintergrund==
 
Die Entropie spielt in vielen naturwissenschaftlichen Fachgebieten eine große Rolle. Beschränken wir uns auf unser Fachgebiet der Statistik und der Informationstechnik, so ist die Entropie nach der Definition von  [https://de.wikipedia.org/wiki/Claude_Shannon Claude E. Shannon]  unter anderem ein Maß für die mittlere Unsicherheit über den Ausgang eines statistischen Ereignisses, für die „Zufälligkeit” dieses Ereignisses und für den mittleren Informationsgehalt einer Zufallsgröße.

===Entropie einer gedächtnislosen Binärquelle ===

[[Datei:Inf_T_1_1_S4_vers2.png|frame|Binäre Entropiefunktion als Funktion von $p$|right]]
Wir setzen zunächst voraus, dass die Auftrittwahrscheinlichkeiten der beiden Symbole  $\rm A$  und  $\rm B$  unabhängig von den vorherigen Symbolen innerhalb der Folge gleich  $p_{\rm A} = p$  und  $p_{\rm B} = 1 – p$  seien.

Für die Entropie dieser &bdquo;gedächtnislosen” Binärquelle gilt:

:$$H = H_{\rm bin} (p) = p \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{\hspace{0.1cm}p\hspace{0.1cm}} + (1-p) \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{1-p} \hspace{0.5cm}{\rm (Einheit\hspace{-0.15cm}: \hspace{0.15cm}bit\hspace{0.15cm}oder\hspace{0.15cm}bit/Symbol)}
\hspace{0.05cm}.$$

Man bezeichnet die Funktion  $H_\text{bin}(p)$  als die '''binäre Entropiefunktion'''. Aus der Grafik erkennt man:
*Der Maximalwert  $H_\text{0} = 1\; \rm bit/Symbol$  ergibt sich für  $p = 0.5$, also für gleichwahrscheinliche Binärsymbole. Dann liefern  $\rm A$  und  $\rm B$  jeweils den gleichen Beitrag zur Entropie.  $H_\text{0}$ nennt man auch den ''Entscheidungsgehalt''.
* $H_\text{bin}(p)$  ist symmetrisch um  $p = 0.5$. Eine Quelle mit  $p_{\rm A} = 0.1$  und  $p_{\rm B} = 0.9$  hat die gleiche Entropie  $H = 0.469 \; \rm bit/Symbol$  wie eine Quelle mit  $p_{\rm A} = 0.9$  und  $p_{\rm B} = 0.1$.
*Die Differenz  $ΔH = H_\text{0} - H$  gibt die ''Redundanz'' der Quelle an und  $r = ΔH/H_\text{0}$  die ''relative Redundanz''. Im Beispiel ergeben sich  $ΔH = 0.531\; \rm bit/Symbol$  bzw.  $r = 53.1 \rm \%$.
*Für  $p = 0$  ergibt sich  $H = 0$, da hier die Symbolfolge  $\rm B \ B \ B \text{...}$  mit Sicherheit vorhergesagt werden kann. Eigentlich ist nun der Symbolumfang nur noch  $M = 1$. Gleiches gilt für  $p = 1$, also für die Symbolfolge  $\rm A A A \text{...}$ 

===Entropie hinsichtlich Zweiertupel===

[[Datei:Inf_tupel.png|frame|Zur Verdeutlichung der Zweiertupel  $\rm AA$,  $\rm AB$,  $\rm BA$,  $\rm BB$|right]]
Wir teilen nun die Quellensymbolfolge $〈 q_1, \hspace{0.05cm} q_2,\hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.05cm}, q_{ν–1}, \hspace{0.05cm}q_ν, \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}q_{ν+1} ,\hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.05cm}〉$ in Zweiertupel entsprechend der Grafik auf und betrachten dadurch die Entropie zweier aufeinanderfolgender Quellensymbole.

Die Binärquelle wird weiterhin wie im letzten Abschnitt als ''gedächtnislos'' bzw. ''redundanzfrei'' vorausgesetzt. Für die Kombination $(q_ν, \hspace{0.05cm}q_{ν+1})$ gibt es in diesem Fall  $2^2 = 4$  mögliche Symbolpaare (farblich markiert) mit folgenden  [[Stochastische_Signaltheorie/Mengentheoretische_Grundlagen#Schnittmenge|Verbundwahrscheinlichkeiten]]:

:$${\rm Pr}(q_{\nu}\cap q_{\nu+1})\le {\rm Pr}(q_{\nu}) \cdot {\rm Pr}( q_{\nu+1})
\hspace{0.05cm}.$$

Daraus ist die ''Verbundentropie'' eines Zweier–Tupels berechenbar (der Index &bdquo;2” symbolisiert, dass sich die so berechnete Entropie auf Zweiertupel bezieht):

:$$H_2\hspace{0.05cm}' = \sum_{q_{\nu}\hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm}\{ \hspace{0.05cm}q_{\mu}\hspace{0.01cm} \}} \sum_{q_{\nu+1}\hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm}\{ \hspace{0.05cm} q_{\mu}\hspace{0.01cm} \}}\hspace{-0.1cm}{\rm Pr}(q_{\nu}\cap q_{\nu+1}) \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{{\rm Pr}(q_{\nu}\cap q_{\nu+1})} \hspace{0.4cm}({\rm Einheit\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.1cm}bit/Zweiertupel})
\hspace{0.05cm}.$$

Um den mittleren Informationsgehalt pro Symbol zu erhalten, muss  $H_2\hspace{0.05cm}'$  noch halbiert werden:

:$$H_2 = {H_2\hspace{0.05cm}'}/{2} \hspace{0.5cm}({\rm Einheit\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.1cm}bit/Symbol})
\hspace{0.05cm}.$$

Um eine konsistente Nomenklatur zu erreichen, benennen wir nun die im letzten Abschnitt definierte Entropie mit  $H_1$:

:$$H_1 = \sum_{q_{\nu}\hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm}\{ \hspace{0.05cm}q_{\mu}\hspace{0.01cm} \}} {\rm Pr}(q_{\nu}) \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac {1}{{\rm Pr}(q_{\nu})} \hspace{0.5cm}({\rm Einheit\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.1cm}bit/Symbol})
\hspace{0.05cm}.$$

Der Index &bdquo;1” soll darauf hinweisen, dass  $H_1$  ausschließlich die Symbolwahrscheinlichkeiten berücksichtigt und nicht statistischen Bindungen zwischen Symbolen innerhalb der Folge. Mit dem Entscheidungsgehalt  $H_0 = \log_2 2 = 1\text{ (bit)}$  ergibt sich dann folgende Größenbeziehung:

:$$H_0 \ge H_1 \ge H_2
\hspace{0.05cm}.$$

Verdeutlichen wir uns nun die Berechnung der Entropienäherungen  $H_1$  und  $H_2$  an zwei Beispielen.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 1:}$  Wir betrachten zunächst eine ''gedächtnislose Binärquelle'' mit gleichwahrscheinlichen Symbolen, das heißt es gelte  $p_{\rm A} = p_{\rm B} = 1/2$. Die ersten zwanzig Folgenelemente lauten:   $〈 q_ν 〉 =\rm BBAAABAABBBBBAAAABAB$ ...
*Aufgrund der gleichwahrscheinlichen Binärsymbole ist  $H_1 = H_0 = 1 \hspace{0.05cm} \rm bit/Symbol$.
*Die Verbundwahrscheinlichkeit  $p_{\rm AB}$  der Kombination  $\rm AB$  ist gleich  $p_{\rm A} · p_{\rm B} = 1/4$. Ebenso gilt  $p_{\rm AA} = p_{\rm BB} = p_{\rm BA} = 1/4$.
*Damit erhält man für die zweite Entropienäherung

:$$H_2 = {1}/{2} \cdot \big [ {1}/{4} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}4 + {1}/{4} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}4 +{1}/{4} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}4 +{1}/{4} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}4 \big ] = 1 \,{\rm bit/Symbol} = H_1 = H_0
\hspace{0.05cm}.$$}}

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 2:}$  Die zweite hier betrachtete Folge ergibt sich aus der Folge von $\text{Beispiel 1}$ durch Anwendung eines einfachen Wiederholungscodes:
:$$〈 q_ν 〉 =\rm BbBbAaAaAaBbAaAaBbBb \text{...} $$
*Die wiederholten Symbole sind durch entsprechende Kleinbuchstaben dargestellt. Bitte beachten Sie:   Es handelt sich trotzdem um eine Binärquelle.
*Aufgrund der gleichwahrscheinlichen Binärsymbole ergibt sich auch hier  $H_1 = H_0 = 1 \hspace{0.05cm} \rm bit/Symbol$.
*Für die Verbundwahrscheinlichkeiten gilt nun  $p_{\rm AA}=p_{\rm BB} = 3/8$  und  $p_{\rm ABA}=p_{\rm BAB} = 1/8$. Daraus folgt:
:$$\begin{align*}H_2 ={1}/{2} \cdot \big [ 2 \cdot {3}/{8} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm} {8}/{3} +
2 \cdot {1}/{8} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}8\big ] = {3}/{8} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}8 - {3}/{8} \cdot{\rm log}_2\hspace{0.1cm}3 + {1}/{8} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}8 \approx 0.906 \,{\rm bit/Symbol} < H_1 = H_0
\hspace{0.05cm}.\end{align*}$$

Betrachtet man sich die Aufgabenstellung genauer, so kommt man zu folgendem Schluss:
*Die Entropie müsste eigentlich  $H = 0.5 \hspace{0.05cm} \rm bit/Symbol$  sein (jedes zweite Symbol liefert keine neue Information).
*Die zweite Entropienäherung  $H_2 = 0.906 \hspace{0.05cm} \rm bit/Symbol$  ist aber deutlich größer als die Entropie  $H$.
*Zur Entropiebestimmung dieser redundanten Symbolfolge reicht also die Näherung zweiter Ordnung nicht aus.
*Vielmehr muss man größere zusammenhängende Blöcke mit  $k > 2$  Symbolen betrachten. Einen solchen Block bezeichnen wir im Folgenden als $k$–Tupel.}}

===Verallgemeinerung auf $k$–Tupel und Grenzübergang ===

Wir schreiben zur Abkürzung mit der Verbundwahrscheinlichkeit  $p_i^{(k)}$  eines $k$–Tupels allgemein:

:$$H_k = \frac{1}{k} \cdot \sum_{i=1}^{M^k} p_i^{(k)} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm} \frac{1}{p_i^{(k)}} \hspace{0.5cm}({\rm Einheit\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.1cm}bit/Symbol})
\hspace{0.05cm}.$$

*Die Laufvariable  $i$  steht jeweils für eines der  $M^k$ Tupel. Bei den hier betrachteten Binärquellen gilt  $M=2$.
*Die vorher berechnete Näherung  $H_2$  ergibt sich mit  $k = 2$.
*Für die Entropienäherungen  $H_k$  gelten folgende Größenrelationen; $H_0 = 1\text{ (bit/Symbol)}$ ist wieder der Entscheidungsgehalt:
:$$H \le \text{...} \le H_k \le \text{...} \le H_2 \le H_1 \le H_0 \hspace{0.05cm}.$$
*Die '''Entropie einer Nachrichtenquelle mit Gedächtnis''' ist der folgende Grenzwert:
:$$H = \lim_{k \rightarrow \infty }H_k \hspace{0.05cm}.$$

Der Rechenaufwand wird bis auf wenige Sonderfälle $($siehe nachfolgendes $\text{Beispiel 3)}$ mit zunehmendem  $k$  immer größer:
*Zur Berechnung von  $H_{10}$  einer Binärquelle ist über  $2^{10} = 1024$  Terme zu mitteln.
*Mit jeder weiteren Erhöhung von  $k$  um  $1$  verdoppelt sich die Anzahl der Summenterme.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 3:}$ 
Wir betrachten eine alternierende Binärfolge   ⇒   $〈 q_ν 〉 =\rm ABABABAB$ ...   . Entsprechend gilt  $H_0 = H_1 = 1 \hspace{0.15cm} \rm bit/Symbol$.

In diesem Sonderfall muss zur Bestimmung der  $H_k$–Näherung unabhängig von  $k$  stets nur über zwei Verbundwahrscheinlichkeiten gemittelt werden:
* $k = 2$:    $p_{\rm AB} = p_{\rm BA} = 1/2$     ⇒     $H_2 = 1/2 \hspace{0.15cm} \rm bit/Symbol$,
* $k = 3$:    $p_{\rm ABA} = p_{\rm BAB} = 1/2$     ⇒     $H_3 = 1/3 \hspace{0.15cm} \rm bit/Symbol$,
* $k = 4$:    $p_{\rm ABAB} = p_{\rm BABA} = 1/2$     ⇒     $H_4 = 1/4 \hspace{0.15cm} \rm bit/Symbol$.

Die (tatsächliche) Entropie dieser alternierenden Binärfolge ist demzufolge
:$$H = \lim_{k \rightarrow \infty }{1}/{k} = 0 \hspace{0.05cm}.$$

Dieses Ergebnis war zu erwarten, da die betrachtete Folge nur minimale Information besitzt, die sich allerdings im Entropie–Endwert  $H$  nicht auswirkt, nämlich die Information:   „Tritt $\rm A$ zu den geraden oder ungeraden Zeitpunkten auf?”

Man erkennt, dass  $H_k$  dem Endwert  $H = 0$  nur sehr langsam näher kommt:   Die zwanzigste Entropienäherung liefert immer noch  $H_{20} = 0.05 \hspace{0.15cm} \rm bit/Symbol$. }}

===Binärquellen mit Markoveigenschaften ===

[[Datei:Inf_T_1_2_S5_vers2.png|right|frame|Markovprozesse mit $M = 2$ Zuständen]]

Folgen mit statistischen Bindungen zwischen den Folgenelementen (Symbolen) werden oft durch [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten|Markovprozesse]] modelliert, wobei wir uns hier auf binäre Markovprozesse erster Ordnung mit den Zuständen (Symbolen)  $\rm A$  und  $\rm B$  beschränken.

Rechts sehen Sie das Übergangsdiagramm für einen binären Markovprozess erster Ordnung. Von den vier angegebenen Übertragungswahrscheinlichkeiten sind allerdings nur zwei frei wählbar, zum Beispiel
* $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}} = \rm Pr(A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B)$   ⇒   bedingte Wahrscheinlichkeit, dass  $\rm A$  auf  $\rm B$  folgt.
* $p_{\rm {B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} = \rm Pr(B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A)$   ⇒   bedingte Wahrscheinlichkeit, dass  $\rm B$  auf  $\rm A$  folgt.

Für die beiden weiteren Übergangswahrscheinlichkeiten gilt dann  $p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} = 1- p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}$  und   $p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} = 1- p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}
\hspace{0.05cm}.$

Aufgrund der vorausgesetzten Eigenschaften [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Station.C3.A4re_Zufallsprozesse|Stationarität]] und [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Ergodische_Zufallsprozesse|Ergodizität]] gilt für die Zustands– bzw. Symbolwahrscheinlichkeiten:

:$$p_{\rm A} = {\rm Pr}({\rm A}) = \frac{p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}}{p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} + p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}}
\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}p_{\rm B} = {\rm Pr}({\rm B}) = \frac{p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}}{p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} + p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}}
\hspace{0.05cm}.$$

Diese Gleichungen erlauben erste informationstheoretische Aussagen über Markovprozesse:
* Für  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}} = p_{\rm {B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}}$  sind die Symbole gleichwahrscheinlich   ⇒   $p_{\text{A}} = p_{\text{B}}= 0.5$. Die erste Entropienäherung liefert demzufolge  $H_1 = H_0 = 1 \hspace{0.05cm} \rm bit/Symbol$, und zwar unabhängig von den tatsächlichen Werten der (bedingten) Übergangswahrscheinlichkeiten  $p_{\text{A|B}}$  bzw.  $p_{\text{B|A}}$.
*Die Quellenentropie  $H$  als der Grenzwert $($für  $k \to \infty)$  der [[Informationstheorie/Nachrichtenquellen_mit_Gedächtnis#Verallgemeinerung_auf_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax108-QINU.60.22.27.7F.E2.80.93Tupel_und_Grenz.C3.BCbergang|Entropienäherung $k$–ter Ordnung]]   ⇒   $H_k$  hängt aber sehr wohl von den tatsächlichen Werten von  $p_{\text{A|B}}$  und  $p_{\text{B|A}}$  ab und nicht nur von ihrem Quotienten. Dies zeigt das folgende Beispiel.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 4:}$ 
Wir betrachten drei Markovquellen, die sich durch die Zahlenwerte der symmetrischen Übergangswahrscheinlichkeiten  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} }$  unterscheiden.
*Für die Symbolwahrscheinlichkeiten gilt somit  $p_{\rm A} = p_{\rm B}= 0.5$.
*Die anderen Übergangswahrscheinlichkeiten haben dann die Werte  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 1 - p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } =
p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} }.$

[[Datei:P_ID2242__Inf_T_1_2_S5b_neu.png|center|frame|Drei Beispiele binärer Markovquellen]]

*Die mittlere (blaue) Symbolfolge mit  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 0.5$  besitzt die Entropie  $H ≈ 1 \hspace{0.05cm} \rm bit/Symbol$. Das heißt:   In diesem Sonderfall gibt es keine statistischen Bindungen innerhalb der Folge.

*Die linke (rote) Folge mit  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 0.2$  weist weniger Wechsel zwischen  $\rm A$  und  $\rm B$  auf. Aufgrund von statistischen Abhängigkeiten zwischen benachbarten Symbolen ist nun  $H ≈ 0.72 \hspace{0.05cm} \rm bit/Symbol$  kleiner.

*Die rechte (grüne) Symbolfolge mit  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 0.8$  hat die genau gleiche Entropie  $H ≈ 0.72 \hspace{0.05cm} \rm bit/Symbol$  wie die rote Folge. Hier erkennt man viele Bereiche mit sich stets abwechselnden Symbolen (... $\rm ABABAB$ ... ).}}

Für den allgemeineren Fall  $p_{\text{A}} \ne p_{\text{B}}$  ist die Entropieberechnung der Zweiertupel etwas komplizierter:
*Mit den Verbundwahrscheinlichkeiten, zum Beispiel  $p_{\text{AB}} = p_{\text{A}} · p_{\rm {B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}}$, kann geschrieben werden:

:$$H_2\hspace{0.05cm}' = p_{\rm A} \cdot p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm A} \cdot p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} + p_{\rm A} \cdot p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm A} \cdot p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} + p_{\rm B} \cdot p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm B} \cdot p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}} + p_{\rm B} \cdot p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm B} \cdot p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}}
\hspace{0.05cm}.$$

*Ersetzt man nun die Logarithmen der Produkte durch entsprechende Summen von Logarithmen, so erhält man das Ergebnis  $H_2\hspace{0.05cm}' = H_1 + H_{\text{M}}$  mit
:$$H_1 = p_{\rm A} \cdot (p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} + p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A})\cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{p_{\rm A}} + p_{\rm B} \cdot (p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} + p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B})\cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{p_{\rm B}} = p_{\rm A} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{p_{\rm A}} + p_{\rm B} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{p_{\rm B}} = H_{\rm bin} (p_{\rm A})= H_{\rm bin} (p_{\rm B})
\hspace{0.05cm},$$
:$$H_{\rm M}= p_{\rm A} \cdot p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} + p_{\rm A} \cdot p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} + p_{\rm B} \cdot p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}} + p_{\rm B} \cdot p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}}
\hspace{0.05cm}.$$

*Damit lautet die zweite Entropienäherung (mit der Einheit „bit/Symbol”):
:$$H_2 = {1}/{2} \cdot {H_2\hspace{0.05cm}'} = {1}/{2} \cdot \big [ H_{\rm 1} + H_{\rm M} \big]
\hspace{0.05cm}.$$

*Erweitert man dieses Ergebnis für  $H_2$  auf die $k$–te Entropienäherung, so erhält man:

:$$H_k = {1}/{k} \cdot \big [ H_{\rm 1} + (k-1) \cdot H_{\rm M}\big ].$$

*Die '''Entropie einer Markovquelle''' ergibt sich als der folgende Grenzwert und ist demzufolge einfach zu berechnen:
:$$H = \lim_{k \rightarrow \infty }H_k \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} H = H_{\rm M} = 2 \cdot H_2 - H_1 \hspace{0.05cm}.$$

== Zusammenfassung und Schlussfolgerungen ==
 
=== Unbekannte Binärquelle ===
* Ist von der Nachrichtenquelle nicht mehr bekannt als der Symbolunfang  $M=2$, so müssen die Entropienäherungen  $\hat H_k$  numerisch aus der Quellensymbolfolge  $〈 q_1, \hspace{0.05cm} q_2,\hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.05cm}, q_{ν–1}, \hspace{0.05cm}q_ν, \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}q_{ν+1} ,\hspace{0.05cm}\text{ ...}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}q_{N} \hspace{0.05cm}〉$  ermittelt werden. Die Entropie  $H$ ergibt sich als der Grenzwert der  $\hat H_k$  für  $k \to \infty$, wobei gilt:
:$$ H <\text{...} <\hat H_k <\text{...} < \hat H_3 < \hat H_2 < \hat H_1 \le H_0 \hspace{0.05cm}.$$
* Bei der numerischen Ermittlung werden alle Wahrscheinlichkeiten  $(p_{\rm A}, \text{...})$  und bedingten Wahrscheinlichkeiten  $(p_{\rm A|B}, \text{...})$  durch entsprechende relative Häufigkeiten  $(h_{\rm A}, \text{...})$  und bedingte Wahrscheinlichkeiten  $(h_{\rm A|B}, \text{...})$  angenähert.
* Die Genauigkeit der numerischen Ermittlung nimmt bei gleichem  $N$  mit steigendem  $k$  ab. Das heißt:   Die Folgenlänge  $N$  der Simulation muss an den größten  $k$–Wert angepasst werden.

=== Gedächtnislose Binärquelle ===

* Eine gedächtnislose Binärquelle ist vollständig durch die Symbolwahrscheinlichkeiten  $p_{\rm A}$  und  $p_{\rm B} = 1- p_{\rm A}$  charakterisiert. Für die Entropie gilt folgende Gleichung:

:$$H = p \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{\hspace{0.1cm}p\hspace{0.1cm}} + (1-p) \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{1-p} \hspace{0.5cm}{\rm (Einheit\hspace{-0.15cm}: \hspace{0.15cm}bit\hspace{0.15cm}oder\hspace{0.15cm}bit/Symbol)}
\hspace{0.05cm}.$$

* Der Maximalwert der Entropie ergibt sich für  $p_{\rm A}= p_{\rm B} =0.5$;  $H_0 = \log_2 \ M$  bezeichnet man als den ''Entscheidungsgehalt'' der Quelle. Im binären Fall  $(M = 2)$  gilt:

:$$H_{\rm max} = H_0 = \text{ 1 bit/Symbol}\hspace{0.05cm}.$$

* In diesem Fall  $(p_{\rm A}= p_{\rm B} =0.5)$  ist die Symbolfolge redundanzfrei   ⇒   die relative Redundanz ist gleich  $r = (H - H_0)/H_0= 0$.

* Im unsymmetrischen Fall  $(p_{\rm A} \ne p_{\rm B})$  ist die relative Redundanz  $r > 0$  und für die Entropie gilt mit den Entropienäherung  $H_k$:

:$$H = H_1 < H_0, \hspace{0.5cm}H_1 = H_2 = H_3 = \text{...} .$$

* Bei einer gedächtnislosen Quelle sind also alle (analytisch berechneten) Entropienäherungen  $H_k$  exakt gleich. Für die durch Simulation aus der Symbolfolge  $〈 q_ν〉$  der Länge  $N$  gewonnenen Näherungen  $\hat H_k$  gilt dieser Zusammenhang bestenfalls näherungsweise

:$$\hat H_1 \approx \hat H_2 \approx \hat H_3 \approx \text{...} .$$

* Als Ergebnis sollte man  $H \approx \hat H_1$  verwenden. Bei gegebenem  $N$  sind die auf der Zeitmittelung basierenden Fehler für  $\hat H_2$  $\hat H_3$, ... deutlich größer. Oder anders ausgedrückt:   Um die gleiche statistische Sicherheit für die Ermittlung von  $\hat H_{k+1}$  wie bei  $\hat H_k$  zu erzielen, muss man  $N$  verdoppeln.

=== Binäre Markovquelle ===

[[Datei:Inf_T_1_2_S5_vers2.png|right|frame|Markovprozesse mit $M = 2$ Zuständen]]

*Folgen mit statistischen Bindungen zwischen den Folgenelementen werden oft durch Markovprozesse modelliert, wobei wir uns hier auf binäre Markovprozesse erster Ordnung mit den Symbolen  $\rm A$  und  $\rm B$  beschränken.

*Für die Entropie  $H = H_{\text{M}}$  und die erste Entropienäherung  $H_1$  einer solchen Markovquelle gelten die folgenden Gleichungen:

:$$H_{\text{M}} = p_{\rm A} \cdot p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} + p_{\rm A} \cdot p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} + p_{\rm B} \cdot p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}} + p_{\rm B} \cdot p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}}
\hspace{0.05cm},$$

:$$H_1 = p_{\rm A} \cdot (p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} + p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A})\cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{p_{\rm A}} + p_{\rm B} \cdot (p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} + p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B})\cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{p_{\rm B}} $$

:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_1 = p_{\rm A} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{p_{\rm A}} + p_{\rm B} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{p_{\rm B}} = H_{\rm bin} (p_{\rm A})= H_{\rm bin} (p_{\rm B})
\hspace{0.05cm}.$$

*Die Entropienäherungen  $H_k$  für  $k$–Tupel hängen mit der ersten Näherung  $H_1$  und dem Endwert  $H = H_{\text{M}}$  wie folgt zusammen:

:$$H_k = {1}/{k} \cdot \big [ H_{\rm 1} + (k-1) \cdot H_{\rm M}\big ] \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
H_2 = {1}/{2} \cdot \big [ H_{\rm 1} + H_{\rm M} \big ]\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}
H_3 ={1}/{3} \cdot \big [ H_{\rm 1} + 2 \cdot H_{\rm M}\big ] \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
H_4 = {1}/{4} \cdot \big [ H_{\rm 1} + 3 \cdot H_{\rm M}\big ]
\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}{\rm usw.}$$

* Daraus folgt direkt:   Ist über die Nachrichtenquelle nicht mehr bekannt, als dass es sich um eine Markovquelle erster Ordnung handelt, so kann der Endwert  $H = H_{\rm M}$  allein aus den Entropienäherungen  $H_1$  und  $H_2$  ermittelt werden:
:$$H = 2 \cdot H_2 - H_{\rm 1} \hspace{0.05cm}.$$

{{BlaueBox|TEXT=
Bei einem '''symmetrischen Markovprozess'''   ⇒   Übergangswahrscheinlichkeiten  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } $   ⇒   Symbolwahrscheinlichkeiten  $p_{\rm A } = p_{\rm B } = 0.5 $  erhält man

:$$H_{\text{M} } = H_{\text{bin} }(p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} })= p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } } + (1 - p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} }) \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{1 - p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } },\hspace{0.5cm}H_1 = 1\text{ bit/Symbol} .$$}}

==Versuchsdurchführung==
[[Datei:Exercises_Entropie.png|right]]
*Wählen Sie zunächst die Aufgabennummer.
*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt.
*Alle Parameterwerte sind angepasst.
*Alle Entropiewerte werden berechnet und eine Symbolfolge ausgegeben.
*Musterlösung nach Drücken von &bdquo;Hide solution”.
*Mit der Nummer &bdquo;0” wird auf die gleichen Einstellung wie beim Programmstart zurückgesetzt.
 
{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''   Wählen Sie die gedächtnislose Binärquelle mit  $p_{\rm A} = p_{\rm B} = 0.5$. Wie lauten die analytisch berechneten Entropienäherungen  $H_1$, ... ,  $H_6$?

:Wie unterscheiden sich die Simulationsergebnisse  $\hat H_1$, ... ,  $\hat H_6$  mit  $N=10^5$  von  $H_1$, ... ,  $H_6$?   Machen Sie jeweils zehn Versuche. }}

::* Es handelt sich um eine redundanzfreie Binärquelle   ⇒   $H = H_{\rm bin}(0.5) = H_1 =$ ... $=H_6 = 1\text{ bit/Symbol}$.
::* Auch die Simulation mit  $N=10^5$  liefert bei (fast) allen Versuchsreihen  $\hat H_1 =$ ...  $=\hat H_6 = 1.000$   ⇒   das auf drei Nachkommastellen richtige Ergebnis.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''   Wie unterscheiden sich bei sonst gleichen Einstellungen die Simulationsergebnisse  $\hat H_1$, ... ,  $\hat H_6$ mit $N=10^3$?   Wieder jeweils zehn Versuche. }}

::* Die Entropienäherungen $H_k$ werden nun durch $\hat H_k$ ungenauer nachgebildet als mit $N=10^5$   ⇒   die Statistik ist nicht ausreichend.
::* Die Simulation mit $N=10^3$ liefert bei zehn Versuchsreihen für $\hat H_1$ entweder $1.000$ oder $0.999$ und für $\hat H_6$ Werte zwischen $0.982$ und $0.995$  
::*  ⇒   Simulationsgenauigkeit nimmt mit steigendem $k$ ab. Die simulierten Werte $\hat H_k$ sind stets kleiner als $H_k = 1.000$. Beides gilt auch für noch kleineres  $N$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''   Wählen Sie nun die gedächtnislose Binärquelle mit  $p_{\rm A} = 0.2$  und  $p_{\rm B} = 0.8$. Wie groß sind die Entropie  $H$ und die Entropienäherungen  $H_1$, ... ,  $H_6$?

:Wie unterscheiden sich die Simulationsergebnisse  $\hat H_1$, ... ,  $\hat H_6$  mit  $N=10^5$  von  $H_1$, ... ,  $H_6$?   Wieder jeweils zehn Versuche.}}

::* Es gilt  $H = H_{\rm bin}(0.2) = 0.722\text{ bit/Symbol}$. Wie bei jeder gedächtnislosen Nachrichtenquelle gilt auch hier  $H_1 =$ ... $=H_6 = H$.
::* Die Simulation mit  $N=10^5$  liefert bei zehn Versuchsreihen für  $\hat H_1$  Werte zwischen $0.719$ und $0.727$. Es gilt aber stets  $\hat H_1 =$ ... $= \hat H_6$.
::* In solchen Fällen weicht die relative Häufigkeit  $h_{\rm A}$  von der Wahrscheinlichkeit  $p_{\rm A}$  ab. Ist  $\hat H_1 > 0.722$, so ist  $h_{\rm A} > 0.2$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''   Was ändert sich gegenüber '''(3)''' mit den Symbolwahrscheinlichkeiten  $p_{\rm A} = 0.8$  und  $p_{\rm B} = 0.2$?}}

:: '''Nichts'''. Die binäre Entropiefunktion ist symmetrisch um  $p=0.5$.
:: '''Ist nun  $\hat H_1 > 0.722$, so ist  $h_{\rm A} < 0.8$.'''

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''   Wählen Sie nun die Markovquelle mit  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = 0.2$  und  $p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 0.8$ . Wie groß sind die Entropie  $H$ und die Entropienäherungen  $H_1$, ... ,  $H_6$? }}

::* Bei dieser &bdquo;Markovquelle” ist  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = 0.2$  und  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 1 - p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 0.2$ . Deshalb ist auch die unbedingte Wahrscheinlichkeit  $p_{\rm A} = 0.2$   ⇒   $p_{\rm B} = 0.8$.
::*Es handelt sich also um die gleiche gedächtnislose Quelle wie bei '''(4)'''   ⇒  $H = H_1 =$ ... $=H_6 = 0.722\text{ bit/Symbol}$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''   Wählen Sie nun die Markovquelle mit  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = 0.2$  und  $p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 0.2$ . Wie groß sind die Entropie  $H$ und die Entropienäherungen  $H_1$, ... ,  $H_6$? }}

::* Hier handelt es sich um eine &bdquo;echte Markovquelle”, da sich  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = 0.2$  und  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 1 - p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 0.8$  unterscheiden.
::*Wegen  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B}} = p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A}}$ sind die beiden unbedingten Symbolwahrscheinlichkeiten gleich:  $p_{\rm A} = p_{\rm B} = 0.5$  ⇒   $H_1 = 1$.
::*Die Entropienäherungen $H_k$ werden mit steigendem $k$ kleiner:  $H_2 = 0.861$,  $H_3 = 0.815$, ... ,  $H_6 = 0.768$. Der Endwert ist wieder  $H = H_\infty = 0.722\text{ bit/Symbol}$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(7)'''   Welche Unterschiede gegenüber '''(6)''' ergeben sich mit  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = 0.8$  und  $p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 0.8$? }}

::* Die Entropienäherung  $H = H_{\rm bin}(0.8) = H_{\rm bin}(0.2)= 0.722\text{ bit/Symbol}$  bleibt gleich, ebenso alle Entropienäherungen  $H_k$.
::* Wegen den größeren Übergangswahrscheinlichkeiten  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B}} = p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A}} = 0.8$  erkennt man jetzt deutlich mehr Übergänge in der ausgegebenen Symbolfolge.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(8)'''   Wählen Sie nun die Markovquelle mit  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = 0.8$  und  $p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 0.9$. Wie groß sind die Entropie  $H$ und die Entropienäherungen  $H_1$, ... ,  $H_6$? }}

::*Wegen  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B}} \ne p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A}}$ sind nun die beiden unbedingten Symbolwahrscheinlichkeiten unterschiedlich:  $p_{\rm A} = 0.471$  und  $p_{\rm B} = 0.529$  ⇒   $H_1 = 0.998 \ne 1$.
::*Die Entropienäherungen $H_k$ werden wieder kontinuierlich kleiner:  $H_2 = 0.800$,  $H_3 = 0.734$, ... ,  $H_6 = 0.669$. Endwert:   $H = H_\infty = 0.603\text{ bit/Symbol}$.
::* Aus der Symbolfolge erkennt man, dass zwei Symbole  $\rm A$  ganz selten aufeinanderfolgen.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(9)'''   Es gelte weiterhin  $p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 0.9$. Für welches  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} }$  ergibt sich die maximale Entropie? }}

::*Anhand der roten Kurve in der Grafik zu '''(8)''' lässt sich bereits das Ergebnis  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} }\approx 0.45$  abschätzen.
::* Der dazugehörige Entropie–Endwert ist   $H = H_\infty = 0.818\text{ bit/Symbol}$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(10)'''   Wählen Sie nun die Markovquelle mit  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = 0.8$  und  $p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 1.0$. Interpretieren Sie die dargestellten Ergebnisse. }}

::*Die unbedingten Symbolwahrscheinlichkeiten sind  $p_{\rm A} = 0.444$  und  $p_{\rm B} = 0.556$  ⇒   $H_1 = 0.991 \ne 1$. Der Entropie–Endwert ist  $H = H_\infty = 0.401\text{ bit/Symbol}$.
::* Aus der Symbolfolge erkennt man, dass das Symbol  $\rm A$  im Gegensatz zum Symbol  $\rm B$  stets isoliert auftritt.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(11)'''   Wählen Sie nun die Markovquelle mit  $p_{\rm {A\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}B} } = 0.8$  und  $p_{\rm {B\hspace{0.01cm}\vert\hspace{0.01cm}A} } = 0$. Interpretieren Sie die dargestellten Ergebnisse. }}

::*Die unbedingten Symbolwahrscheinlichkeiten sind  $p_{\rm A} = 1$  und  $p_{\rm B} = 0$  ⇒   die Symbolfolge besteht nur aus  $\rm A$    ⇒   Entropienäherung  $H_1 = 0 $.
::* Alle weiteren Entropienäherungen $H_k$ und auch der Entropie–Endwert sind ebenfalls Null.

==Zur Handhabung des Applets==

[[Datei:Anleitung_Entropie.png|left]]
 
    '''(A)'''     Auswahl:   Gedächtnislose Quelle / Markovquelle

    '''(B)'''     Parametereingabe per Slider (Beispiel Markovquelle)

    '''(C)'''     Markovdiagramm (falls Markovquelle)

    '''(D)'''     Eingabe der Folgenlänge  $N$  zur Berechnung der  $\hat H_k$

    '''(E)'''     Ausgabe einer simulierten Symbolfolge

    '''(F)'''     Ausgabe des Entropiewertes  $H$

    '''(G)'''     Ausgabe der Entropienäherungen  $H_k$

    '''(H)'''     Ausgabe der numerisch ermittelten Entropienäherungen  $\hat H_k$

    '''(I)'''     Grafikfeld zur Darstellung der Funktion  $H(p_{\rm A})$  bzw.  $H(p_{\rm A}|p_{\rm B})$

    '''(J)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung:   Aufgabenauswahl

    '''(K)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung:   Aufgabenstellung

    '''(L)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung:   Musterlösung
 
==Über die Autoren==
Dieses interaktive Applet wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.
*Die erste Version wurde 2011 von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Eugen_Mehlmann_.28Bachelorarbeit_EI_2011.29|Eugen Mehlmann]] im Rahmen seiner Bachelorarbeit mit &bdquo;FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|Günter Söder]]).
*2019 wurde das Programm von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Xiaohan_Liu_.28Bachelorarbeit_2018.29|Xiaohan Liu]] (Bachelorarbeit, Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29|Tasnád Kernetzky]] ) auf &bdquo;HTML5” umgesetzt und neu gestaltet.

Die Umsetzung dieses Applets auf HTML 5 wurde durch  [https://www.ei.tum.de/studium/studienzuschuesse/ Studienzuschüsse]  der Fakultät EI der TU München finanziell unterstützt. Wir bedanken uns.

==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==

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Zweiseitenband-Amplitudenmodulation (Lernvideo)

2025-02-24T09:43:34Z

=== Teil 1 ===
Frequenzbereichsdarstellung der Zweiseitenband-Amplitudenmodulation (ZSB-AM) – Systemtheoretisches Modell – Ringmodulator (Dauer 5:54).

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=== Teil 2 ===
Zeitsignale bei ZSB-AM mit und ohne Träger – Einfluss des Modulationsgrades – Gemessene Signale und Spektren (Dauer 7:39).

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file:Zweiseitenband-Amplitudenmodulation_2.ogv
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Dieses Lernvideo wurde 2006 am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert. 
Buch und Regie: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|G. Söder]], [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Thorsten_Kalweit_.28Diplomarbeit_LB_2006_und_freie_Mitarbeit_2007.29|Th. Kalweit]] und [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Klaus_Eichin_.28am_LNT_von_1972-2011.29|K. Eichin]],   Fachliche Beratung: [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_Übertragungstechnik#Dr.-Ing._Bernhard_Göbel_(bei_LÜT_von_2004-2010)|B. Göbel]],   Sprecherin: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Sylvia_Mattarollo_.28Freie_und_unbezahlte_Mitarbeiterin_2006.2F2007.29|Sylvia Mattarollo]]   Realisierung: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Thorsten_Kalweit_.28Diplomarbeit_LB_2006_und_freie_Mitarbeit_2007.29|Th. Kalweit]].

Im Zuge der LNTwww-Neugestaltung (Version 3) wurden diese Lernvideos 2016/2017 durch [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29|Tasnád Kernetzky]] und einigen Studenten in moderne Formate konvertiert, um von möglichst vielen Browsern wie Firefox, Chrome und Safari, als auch von Smartphones wiedergegeben werden zu können.

Applets:Huffman- und Shannon-Fano-Codierung

2025-02-24T09:43:33Z

{{LntAppletLink|shannon-huffman}}

==Programmbeschreibung==
 
Dieses Applet verdeutlicht die Quellencodierverfahren nach Huffman bzw. Shannon–Fano. Diese Verfahren komprimieren redundante wertdiskrete Quellen ohne Gedächtnis mit Stufenzahl  $M$, dem Symbolvorrat  $\{ \hspace{0.05cm}q_{\mu}\hspace{0.01cm} \} = \{ \rm A, \hspace{0.1cm} B, \hspace{0.1cm}\text{ ...}\}$ und den Symbolwahrscheinlichkeiten  $p_{\rm A} \hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} p_{\rm B} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}\text{ ...}$ .

Ziel der Quellencodierung und insbesondere der Klasse der Entropiecodierung – zu der &bdquo;Huffman” und &bdquo;Shannon–Fano” gehören – ist, dass die mittlere Codewortlänge  $L_{\rm M}$  des binären Codes – darstellbar durch unterschiedlich lange Folgen von Nullen und Einsen – möglichst nahe an die Quellenentropie

:$$H = \sum_{\mu = 1}^{M} \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(q_{\mu}) \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac {1}{{\rm Pr}(q_{\mu})} = -\sum_{\mu = 1}^{M} \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(q_{\mu}) \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}{\rm Pr}(q_{\mu})\hspace{0.5cm}\big[\hspace{0.05cm}{\rm Einheit\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.1cm}bit/Quellensymbol}\hspace{0.05cm}\big]$$

heranreicht. Allgemein gilt  $L_{\rm M} \ge H$, wobei das Gleichheitszeichen nicht für alle Symbolwahrscheinlichkeiten erreicht werden kann.

Dargestellt werden jeweils
* das Baumdiagramm zur Herleitung des jeweiligen Binärcodes, und
* eine simulierte Quellensymbolfolge der Länge  $N = 10000$  (Entropie  $H\hspace{0.05cm}' \approx H)$  und die dazugehörige Codesymbolfolge der Länge  $L_{\rm M}\hspace{0.05cm}' \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} N$.

Auf die Einheiten &bdquo;$\rm bit/Quellensymbol$” für die Entropie und die mittlere Codewortlänge wird im Programm verzichtet.

==Theoretischer Hintergrund==
 
===Der Huffman–Algorithmus===

Wir setzen voraus, dass die Quellensymbole  $q_\nu$  einem Alphabet  $\{q_μ\} = \{$ $\rm A$, $\rm B$ , $\rm C$ , ...$\}$  mit dem Symbolumfang  $M$  entstammen und statistisch voneinander unabhängig seien. Beispielsweise gelte für den Symbolumfang  $M = 8$:

:$$\{ \hspace{0.05cm}q_{\mu} \} = \{ \boldsymbol{\rm A} \hspace{0.05cm}, \boldsymbol{\rm B}\hspace{0.05cm}, \boldsymbol{\rm C}\hspace{0.05cm}, \boldsymbol{\rm D}\hspace{0.05cm}, \boldsymbol{\rm E}\hspace{0.05cm}, \boldsymbol{\rm F}\hspace{0.05cm}, \boldsymbol{\rm G}\hspace{0.05cm}, \boldsymbol{\rm H}\hspace{0.05cm}
\}\hspace{0.05cm}.$$

[https://de.wikipedia.org/wiki/David_A._Huffman David A. Huffman]  hat 1952 – also kurz nach Shannons bahnbrechenden Veröffentlichungen zur Informationstheorie – einen Algorithmus zur Konstruktion von optimalen präfixfreien Codes angegeben.
Dieser  ''Huffman–Algorithmus''  soll ohne Herleitung und Beweis angegeben werden, wobei wir uns hier auf Binärcodes beschränken. Das heißt:  Für die Codesymbole gelte stets  $c_ν ∈ \{$'''0''', '''1'''$\}$. Hier ist die Vorgehensweise:

#   Man ordne die Symbole nach fallenden Auftrittswahrscheinlichkeiten.
#   Man fasse die zwei unwahrscheinlichsten Symbole zu einem neuen Symbol zusammen.
#   Man wiederhole  '''(1)'''  und  '''(2)''', bis nur mehr zwei (zusammengefasste) Symbole übrig bleiben.
#   Man codiert die wahrscheinlichere Symbolmenge mit  '''1'''  und die andere Menge mit  '''0'''.
#   Man ergänzt in Gegenrichtung (also von unten nach oben) die jeweiligen Binärcodes der aufgespaltenen Teilmengen gemäß den Wahrscheinlichkeiten mit  '''1'''  bzw.  '''0'''.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 1:}$  Ohne Einschränkung der Allgemeingültigkeit setzen wir voraus, dass die  $M = 6$  Symbole  $\rm A$, ... ,  $\rm F$  schon nach ihren Wahrscheinlichkeiten geordnet sind:

:$$p_{\rm A} = 0.30 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}p_{\rm B} = 0.24 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}p_{\rm C} = 0.20 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
p_{\rm D} = 0.12 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}p_{\rm E} = 0.10 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}p_{\rm F} = 0.04
\hspace{0.05cm}.$$

Durch paarweises Zusammenfassen und anschießendem Sortieren erhält man in fünf Schritten die folgenden Symbolkombinationen (resultierende Wahrscheinlichkeiten in Klammern):
:1.   $\rm A$ (0.30), $\rm B$ (0.24), $\rm C$ (0.20), $\rm EF$ (0.14), $\rm D$ (0.12),
:2.   $\rm A$ (0.30), $\rm EFD$ (0.26), $\rm B$ (0.24), $\rm C$ (0.20),
:3.   $\rm BC$ (0.44), $\rm A$ (0.30), $\rm EFD$ (0.26),
:4.   $\rm AEFD$ (0.56), $\rm BC$ (0.44),
:5.   Root $\rm AEFDBC$ (1.00).
Rückwärts – alsogemäß den Schritten  '''(5)'''  bis  '''(1)'''  – erfolgt dann die Zuordnung zu Binärsymbolen. Ein  '''x'''  weist darauf hin, dass in den nächsten Schritten noch Bits hinzugefügt werden müssen:
:5.   $\rm AEFD$ → '''1x''',     $\rm BC$ → '''0x''',
:4.   $\underline{\rm A}$ → '''11''',     $\rm EFD$ → '''10x''',
:3.   $\underline{\rm B}$ → '''01''',     $\underline{\rm C}$ → '''00''',
:2.   $\rm EF$ → '''101x''',     $\underline{\rm D}$ → '''100''',
:1.   $\underline{\rm E}$ → '''1011''',     $\underline{\rm F}$ → '''1010'''.
Die Unterstreichungen markieren die endgültige Binärcodierung.}}

===Zum Begriff „Entropiecodierung”===

Wir gehen weiterhin von den Wahrscheinlichkeiten und Zuordnungen des letzten Beispiels aus:

:$$p_{\rm A} = 0.30 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}p_{\rm B} = 0.24 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}p_{\rm C} = 0.20 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
p_{\rm D} = 0.12 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}p_{\rm E} = 0.10 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}p_{\rm F} = 0.04
\hspace{0.05cm};$$

:$$\boldsymbol{\rm A} \hspace{0.05cm} \rightarrow \hspace{0.05cm} \boldsymbol{\rm 11} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
\boldsymbol{\rm B} \hspace{0.05cm} \rightarrow \hspace{0.05cm} \boldsymbol{\rm 01} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
\boldsymbol{\rm C} \hspace{0.05cm} \rightarrow \hspace{0.05cm} \boldsymbol{\rm 00} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
\boldsymbol{\rm D} \hspace{0.05cm} \rightarrow \hspace{0.05cm} \boldsymbol{\rm 100} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
\boldsymbol{\rm E} \hspace{0.05cm} \rightarrow \hspace{0.05cm} \boldsymbol{\rm 1011} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
\boldsymbol{\rm F} \hspace{0.05cm} \rightarrow \hspace{0.05cm} \boldsymbol{\rm 1010} \hspace{0.05cm}.$$

Von den sechs Quellensymbolen werden also drei mit je zwei Bit, eines mit drei Bit und zwei Symbole  $(\rm E$ und $\rm F)$  mit vier Bit codiert.

Die mittlere Codewortlänge ergibt sich damit zu

:$$L_{\rm M} = (0.30 \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm}0.24 \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm} 0.20) \cdot 2 + 0.12 \cdot 3 + (0.10 \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm} 0.04 ) \cdot 4 = 2.4 \,{\rm bit/Quellensymbol}
\hspace{0.05cm}.$$

Aus dem Vergleich mit der Quellenentropie
:$$H = -\big [0.3 \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}(0.3) + 0.24 \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}(0.24)
+ 0.2 \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}(0.2)+ 0.12 \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}(0.12)
+ 0.1 \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}(0.1)+ 0.04 \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}(0.04)
\big ]= 2.365 \ \rm bit/Quellensymbol$$
erkennt man die Effizienz der Huffman–Codierung.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 2:}$  Wären die Symbolwahrscheinlichkeiten

:$$p_{\rm A} = p_{\rm B} = p_{\rm C} = 1/4 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
p_{\rm D} = 1/8 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}p_{\rm E} = p_{\rm F} = 1/16
\hspace{0.05cm},$$

so würde für die Entropie und für die mittlere Codewortlänge gleichermaßen gelten:

:$$H = 3 \cdot 1/4 \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}(4) + 1/8 \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}(8) + 2 \cdot 1/16 \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}(16) = 2.375 \,{\rm bit/Quellensymbol}\hspace{0.05cm},$$
:$$L_{\rm M} = 3 \cdot 1/4 \cdot 2 + 1/8 \cdot 3 + 2 \cdot 1/16 \cdot 4 = 2.375 \,{\rm bit/Quellensymbol}
\hspace{0.05cm}.$$}}

Aus dieser Eigenschaft  $L_{\rm M} = H +\varepsilon$  mit  $\varepsilon = 0$  bei geeigneten Auftrittswahrscheinlichkeiten erklärt sich der Begriff '''Entropiecodierung''':

::Man versucht bei dieser Form von Quellencodierung, die Länge  $L_μ$  der Binärfolge (bestehend aus Nullen und Einsen) für das Symbol  $q_μ$  gemäß der Entropieberechnung wie folgt an dessen Auftrittswahrscheinlichkeit  $p_μ$  anzupassen:

::$$L_{\mu} = {\rm log}_2\hspace{0.1cm}(1/p_{\mu} ) \hspace{0.05cm}.$$

Da $L_μ$ im Gegensatz zu $\log_2(1/ p_μ$) ganzzahlig ist, gelingt dies nicht immer.

Natürlich gelingt das nicht immer, sondern nur dann, wenn alle Auftrittswahrscheinlichkeiten  $p_μ$  in der Form  $2^{–k}$  mit  $k = 1, 2, 3,$ ... dargestellt werden können.
*In diesem Sonderfall – und nur in diesem – stimmt die mittlere Codewortlänge  $L_{\rm M}$  exakt mit der Quellenentropie  $H$  überein  $(\varepsilon = 0$, siehe  $\text{Beispiel 2}$).
*Nach dem [[Informationstheorie/Allgemeine_Beschreibung#Quellencodierungstheorem|Quellencodierungstheorem]] gibt es keinen (decodierbaren) Code, der im Mittel mit weniger Binärzeichen pro Quellensymbol auskommt.

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Merke:}$ 
Es gibt keinen präfixfreien (⇒ sofort decodierbaren) Code, der allein unter Ausnutzung der Auftrittswahrscheinlichkeiten zu einer kleineren mittleren Codewortlänge  $L_{\rm M}$  führt als der Huffman–Code.   '''In diesem Sinne ist der Huffman–Code optimal'''.}}

===Darstellung des Huffman–Codes als Baumdiagramm===
Häufig wird zur Konstruktion des Huffman–Codes eine  '''Baumstruktur'''  verwendet. Für das bisher betrachtete Beispiel zeigt diese die folgende Grafik:

[[Datei:P_ID2418__Inf_T_2_3_S3_neu.png|frame|Baumdarstellung der Huffman–Codierung für das  $\text{Beispiel 1}$]]

Man erkennt:
*Bei jedem Schritt des Huffman–Algorithmus werden die beiden Zweige mit den jeweils kleinsten Wahrscheinlichkeiten zusammengefasst.
*Der Knoten im ersten Schritt fasst die zwei Symbole  $\rm E$  und  $\rm F$  mit den aktuell kleinsten Wahrscheinlichkeiten zusammen. Dieser Knoten ist mit  $p_{\rm E} + p_{\rm F} = 0.14$  beschriftet.
*Der vom Symbol mit der kleineren Wahrscheinlichkeit  $($hier $\rm F)$  zum Summenknoten verlaufende Zweig ist blau eingezeichnet, der andere Zweig  $($für $\rm E)$  rot.

Nach fünf Schritten ist man bei der Baumwurzel („Root”) mit der Gesamtwahrscheinlichkeit  $1.00$  angelangt.

Verfolgt man nun den Verlauf von der Wurzel (in obiger Grafik mit gelber Füllung) zu den einzelnen Symbolen zurück, so kann man aus den Farben der einzelnen Zweige die Symbolzuordnung ablesen. Mit den Zuordnungen „rot”   →   '''1''' und „blau”   →   '''0''' ergibt sich beispielsweise von der Wurzel zu Symbol
* $\rm A$:   rot, rot → '''11''',
*$\rm B$:   blau, rot → '''01''',
*$\rm C$:   blau, blau → '''00''',
*$\rm D$:   rot, blau, blau → '''100''',
*$\rm E$:   rot, blau, rot, rot → '''1011''',
*$\rm F$:   rot, blau, rot, blau → '''1010'''.

Die (einheitliche) Zuordnung „rot”   →   '''0''' und „blau”   →   '''1''' würde ebenfalls zu einem optimalen präfixfreien Huffman–Code führen.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 3:}$ 
Die folgende Grafik zeigt die Huffman–Codierung von  $49$  Symbolen  $q_ν ∈ \{$ $\rm A$, $\rm B$, $\rm C$, $\rm D$, $\rm E$, $\rm F$ $\}$  mit der im letzten Abschnitt hergeleiteten Zuordnung. Die binäre Codesymbolfolge weist die mittlere Codewortlänge $L_{\rm M}\hspace{0.05cm}' = 125/49 = 2.551$ auf. Die Farben dienen ausschließlich zur besseren Orientierung.

[[Datei:Inf_T_2_3_S3b_version2.png|center|frame|Beispielfolgen bei Huffman–Codierung]]

Aufgrund der kurzen Quellensymbolfolge  $(N = 49)$  weichen die Auftrittshäufigkeiten  $h_{\rm A}$, ... , $h_{\rm F}$  der simulierten Folgen signifikant von den vorgegebenen Wahrscheinlichkeiten  $p_{\rm A}$, ... , $p_{\rm F}$  ab:

:$$p_{\rm A} = 0.30 \hspace{0.05cm} \Rightarrow \hspace{0.05cm} h_{\rm A} = 16/49 \approx 0.326 \hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}p_{\rm B} = 0.24 \hspace{0.05cm} \Rightarrow \hspace{0.05cm} h_{\rm B} = 7/49 \approx 0.143 \hspace{0.05cm},$$

:$$p_{\rm C} =0.24 \hspace{0.05cm} \Rightarrow \hspace{0.05cm} h_{\rm C}= 9/49 \approx 0.184 \hspace{0.05cm},\hspace{0.6cm}p_{\rm D} = 0.12 \hspace{0.05cm} \Rightarrow \hspace{0.05cm} h_{\rm D} = 7/49 \approx 0.143 \hspace{0.05cm},$$

:$$p_{\rm E}=0.10 \hspace{0.05cm} \Rightarrow \hspace{0.05cm} h_{\rm E} = 5/49 \approx 0.102 \hspace{0.05cm},\hspace{0.6cm}p_{\rm F} = 0.04 \hspace{0.05cm} \Rightarrow \hspace{0.05cm} h_{\rm E} = 5/49 \approx 0.102
\hspace{0.05cm}.$$

Damit ergibt sich ein etwas größerer Entropiewert:

:$$H \ ({\rm bez\ddot{u}glich }\hspace{0.15cm}p_{\mu}) = 2.365 \,{\rm bit/Quellensymbol}\hspace{0.3cm}
\Rightarrow \hspace{0.3cm}
H\hspace{0.05cm}' \ ({\rm bez\ddot{u}glich }\hspace{0.15cm}h_{\mu}) = 2.451 \,{\rm bit/Quellensymbol}
\hspace{0.05cm}.$$

Würde man den Huffman–Code mit diesen „neuen” Wahrscheinlichkeiten  $h_{\rm A}$, ... , $h_{\rm F}$  bilden, so ergäben sich folgende Zuordnungen:

:     $\boldsymbol{\rm A} \hspace{0.05cm} \rightarrow \hspace{0.05cm}$'''11'''$\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
\boldsymbol{\rm B} \hspace{0.05cm} \rightarrow \hspace{0.05cm}$'''100'''$\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
\boldsymbol{\rm C} \hspace{0.05cm} \rightarrow \hspace{0.05cm}$'''00'''$\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
\boldsymbol{\rm D} \hspace{0.05cm} \rightarrow \hspace{0.05cm}$'''101'''$\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
\boldsymbol{\rm E} \hspace{0.05cm} \rightarrow \hspace{0.05cm}$'''010'''$\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
\boldsymbol{\rm F} \hspace{0.05cm} \rightarrow \hspace{0.05cm}$'''011'''$\hspace{0.05cm}.$

Nun würden nur  $\rm A$  und  $\rm C$  mit zwei Bit dargestellt, die anderen vier Symbole durch jeweils drei Bit.
*Die Codesymbolfolge hätte dann eine Länge von  $(16 + 9) · 2 + (7 + 7 + 5 + 5) · 3 = 122$  Bit, wäre also um drei Bit kürzer als nach der bisherigen Codierung.
*Die mittlere Codewortlänge wäre dann $L_{\rm M}\hspace{0.05cm}' = 122/49 ≈ 2.49 \ \rm bit/Quellensymbol$ anstelle von $L_{\rm M}\hspace{0.05cm}'≈ 2.55 \ \rm bit/Quellensymbol$.}}

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Fazit:}$ 
Dieses Beispiel lässt sich wie folgt interpretieren:
*Die Huffman–Codierung lebt von der (genauen) Kenntnis der Symbolwahrscheinlichkeiten. Sind diese sowohl dem Sender als auch dem Empfänger bekannt, so ist die mittlere Codewortlänge  $L_{\rm M}$  oft nur unwesentlich größer als die Quellenentropie  $H$.
*Insbesondere aber bei kleinen Dateien kann es zu Abweichungen zwischen den (erwarteten) Symbolwahrscheinlichkeiten  $p_μ$  und den (tatsächlichen) Häufigkeiten  $h_μ$  kommen. Besser wäre es hier, für jede Datei einen eigenen Huffman–Code zu generieren, der auf den tatsächlichen Gegebenheiten  $(h_μ)$  basiert.
*In diesem Fall muss aber dem Decoder auch der spezifische Huffman–Code mitgeteilt werden. Dies führt zu einem gewissen Overhead, der nur wieder bei längeren Dateien vernachlässigt werden kann. Bei kleinen Dateien lohnt sich dieser Aufwand nicht.}}

===Der Shannon–Fano–Algorithmus ===

1949 – also bereits drei Jahre vor David A. Huffman – haben  [https://de.wikipedia.org/wiki/Claude_Shannon Claude E. Shannon]  und  [https://de.wikipedia.org/wiki/Robert_Fano Robert Fano]  einen ähnlichen, auf ''Entropiecodierung'' basierenden Algorithmus angegeben, nämlich:
:#   Man ordne die Quellensymbole nach fallenden Auftrittswahrscheinlichkeiten (identisch mit Huffman).
:#   Man teile die sortierten Zeichen in zwei möglichst gleichwahrscheinliche Gruppen ein.
:#   Der ersten Gruppe wird das Binärsymbol  '''1'''  zugeordnet, der zweiten die  '''0'''  (oder umgekehrt).
:#   Sind in einer Gruppe mehr als ein Zeichen, so ist auf diese der Algorithmus rekursiv anzuwenden.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 4:}$  Wir gehen wie im  [https://www.lntwww.de/Applets:Huffman-_und_Shannon-Fano-Codierung#Der_Huffman.E2.80.93Algorithmus Einführungsbeispiel]  für den Huffman–Algorithmus von $M = 6$ Symbolen und den folgenden Wahrscheinlichkeiten aus:

:$$p_{\rm A} = 0.30 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}p_{\rm B} = 0.24 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}p_{\rm C} = 0.20 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
p_{\rm D} = 0.12 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}p_{\rm E} = 0.10 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}p_{\rm F} = 0.04
\hspace{0.05cm}.$$

Dann lautet der Shannon–Fano–Algorithmus:
:#   $\rm AB$ → '''1'''x (Wahrscheinlichkeit 0.54),   $\rm CDEF$ → '''0'''x (Wahrscheinlichkeit 0.46),
:#   $\underline{\rm A}$ → '''11''' (Wahrscheinlichkeit 0.30),   $\underline{\rm B}$ ⇒ '''10''' (Wahrscheinlichkeit 0.24),
:#   $\underline{\rm C}$ → '''01''' (Wahrscheinlichkeit 0.20),   $\rm DEF$ → '''00'''x, (Wahrscheinlichkeit 0.26),
:#   $\underline{\rm D}$ → '''001''' (Wahrscheinlichkeit 0.12),   $\rm EF$ → '''000'''x (Wahrscheinlichkeit 0.14),
:#   $\underline{\rm E}$ → '''0001''' (Wahrscheinlichkeit 0.10),   $\underline{\rm F}$ → '''0000''' (Wahrscheinlichkeit 0.04).

''Anmerkungen'':
*Ein  „$\rm x$”  weist wieder darauf hin, dass in nachfolgenden Codierschritten noch Bits hinzugefügt werden müssen.
*Es ergibt sich hier zwar eine andere Zuordnung als bei der  [https://www.lntwww.de/Applets:Huffman-_und_Shannon-Fano-Codierung#Der_Huffman.E2.80.93Algorithmus Huffman–Codierung], aber genau die gleiche mittlere Codewortlänge:

:$$L_{\rm M} = (0.30\hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.24\hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm}0.20) \hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm} 2 + 0.12\hspace{-0.05cm} \cdot \hspace{-0.05cm} 3 + (0.10\hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm}0.04) \hspace{-0.05cm}\cdot \hspace{-0.05cm}4 = 2.4\,{\rm bit/Quellensymbol}\hspace{0.05cm}.$$}}

Mit den Wahrscheinlichkeiten entsprechend dem $\text{Beispiel 4}$ führt der Shannon–Fano–Algorithmus zur gleichen mittleren Codewortlänge wie die Huffman–Codierung. Ebenso sind bei vielen (eigentlich: den meisten) anderen Wahrscheinlichkeitsprofilen Huffman und Shannon–Fano aus informationstheoretischer Sicht äquivalent.

Es gibt aber durchaus Fälle, bei denen sich beide Verfahren hinsichtlich der (mittleren) Codewortlänge unterscheiden, wie das folgende Beispiel zeigt.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 2:}$  Wir betrachten $M = 5$ Symbole mit folgenden Wahrscheinlichkeiten:

:$$p_{\rm A} = 0.38 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}p_{\rm B}= 0.18 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}p_{\rm C}= 0.16 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
p_{\rm D}= 0.15 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}p_{\rm E}= 0.13 \hspace{0.3cm}
\Rightarrow\hspace{0.3cm} H = 2.19\,{\rm bit/Quellensymbol}
\hspace{0.05cm}. $$

[[Datei:P_ID2461__Inf_T_2_4_S1_ganz_neu.png|center|frame|Baumstrukturen nach Shannon–Fano bzw. Huffman]]

Die Grafik zeigt die jeweiligen Codebäume für Shannon–Fano (links) bzw. Huffman (rechts). Die Ergebnisse lassen sich wie folgt zusammenfassen:
* Der Shannon–Fano–Algorithmus führt zum Code $\rm A$ → '''11''',   $\rm B$ → '''10''',   $\rm C$ → '''01''',   $\rm D$ → '''001''',   $\rm E$ → '''000''' und damit zur mittleren Codewortlänge

:$$L_{\rm M} = (0.38 + 0.18 + 0.16) \cdot 2 + (0.15 + 0.13) \cdot 3 = 2.28\,\,{\rm bit/Quellensymbol}\hspace{0.05cm}.$$

*Mit &bdquo;Huffman” erhält man $\rm A$ → '''1''',   $\rm B$ → '''001''',   $\rm C$ → '''010''',   $\rm D$ → '''001''',   $\rm E$ → '''000''' und eine etwas kleinere mittlere Codewortlänge:

:$$L_{\rm M} = 0.38 \cdot 1 + (1-0.38) \cdot 3 = 2.24\,\,{\rm bit/Quellensymbol}\hspace{0.05cm}. $$

*Es gibt keinen Satz von Wahrscheinlichkeiten, bei denen Shannon–Fano ein besseres Ergebnis liefert als der Huffman–Algorithmus, der stets den bestmöglichen Entropiecodierer bereitstellt.
*Die Grafik zeigt zudem, dass die Algorithmen im Baumdiagramm in unterschiedlichen Richtungen vorgehen, nämlich einmal von der Wurzel zu den Einzelsymbolen (Shannon–Fano), zum anderen von den Einzelsymbolen zur Wurzel (Huffman).}}

==Versuchsdurchführung==

[[Datei:5.png|right]]
*Wählen Sie zunächst die Aufgabennummer.
*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt.
*Alle Parameter sind angepasst.
*Alle Grafiken (Baumdiagramm, Symbolfolgen) sind aktualisiert.
*Ebenso die Ergebnisse  $H, \ L_{\rm M}$  sowie $H\hspace{0.05cm}', \ L_{\rm M}\hspace{0.05cm}'$.
*Musterlösung nach Drücken von &bdquo;Hide solution”.
*Nummer &bdquo;0”:   Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
 
{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''   Wählen Sie die Quelle gemäß der Voreinstellung mit  $M=8$   ⇒   Entropie $H=2.278$ (bit/Quellensymbol), Huffman-Codierung und &bdquo;Herleitung”.

:Interpretieren Sie die Ergebnisse. Wie werden die Quellensymbole  $\rm C$,  $\rm D$  und  $\rm E$  codiert? Wie groß ist die mittlere Codewortlänge  $L_{\rm M}$? }}

::* Es ergibt sich folgende Zuordnung:  $\rm C \ \to 1$,  $\rm D \ \to 01100$,  $\rm E \ \to 0010$. Die mittlere Codewortlänge ist  $L_{\rm M}= 2.29$  (bit/Quellensymbol) $>H$.
::* Erklärung:  Im Baumdiagramm kommt man von der &bdquo;Root” (gelber Kreis) zum Symbol  $\rm E$  über Blau – Blau – Rot – Blau. &bdquo;Blau” steht für  $0$  und &bdquo;Rot” für  $1$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''   Wie unterscheiden sich bei sonst gleichen Einstellungen die Ergebnisse für &bdquo;Shannon–Fano”? }}

::* Hier ergibt sich eine andere Zuordnung:  $\rm C \ \to 1$,  $\rm D \ \to 01010$,  $\rm E \ \to 0100$. Trotzdem ist die mittlere Codewortlänge wieder  $L_{\rm M}= 2.29$.
::* Erklärung:  Im Graphen kommt man von der &bdquo;Root”  $\rm CAFBGEHD$  zu  $\rm E$  über Blau – Rot – Blau – Blau. &bdquo;Blau” steht wieder für  $0$  und &bdquo;Rot” für  $1$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''   Warum ist bei &bdquo;Huffman” und &bdquo;Shannon–Fano” trotz unterschiedlicher Zuordnung die mittlere Codewortlänge gleich?}}

::* In beiden Fällen wird  $\rm C$  mit einem Bit codiert,  $\rm A$  und  $\rm F$  mit drei Bit,  $\rm B$,  $\rm E$  und  $\rm G$  mit vier Bit sowie  $\rm D$  und  $\rm H$  mit fünf Bit. Daraus folgt: 
::* $L_{\rm M}= p_{\rm C} \cdot 1 + \big [p_{\rm A} + p_{\rm F}\big] \cdot 3 + \big [p_{\rm B} + p_{\rm E}+ p_{\rm G}\big] \cdot 4 + \big [p_{\rm D} + p_{\rm H}\big] \cdot 5 = 0.52 \cdot 1 + 0.22 \cdot 3 + 0.19 \cdot 4 + 0.07 \cdot 5 = 2.29$  (bit/Quellensymbol)

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''   Wählen Sie &bdquo;Voreinstellung” und &bdquo;Huffman”. Wie ändern sich die Ergebnisse für &bdquo;Simulation über 10000 Symbole”  $(H', \ L_{\rm M}\hspace{0.05cm}')$  gegenüber  $(H, \ L_{\rm M})$  für $N \to \infty$?

:Starten Sie jeweils zehn Simulationen. Welche Aussagen stimmen mit diesen Wahrscheinlichkeiten immer:  $L_{\rm M}\hspace{0.05cm}' > L_{\rm M}$,     $L_{\rm M}\hspace{0.05cm}' > H$,    $L_{\rm M}\hspace{0.05cm}' > H'$?}}

::* Für die theoretischen Werte  (also für  $N \to \infty)$  gilt immer  $L_{\rm M} \ge H$. Außerdem wird für jede einzelne Simulation gelten:  $L_{\rm M}\hspace{0.05cm}' \ge H'$.
::* Da bei jeder einzelnen Simulation  $H'$  größer, kleiner oder gleich  $H$  sein kann, ist aber  $L_{\rm M}\hspace{0.05cm}' < H$  durchaus möglich.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''   Wählen Sie nun die &bdquo;Quelle 3”  $(M=4, \ p_{\rm A}= p_{\rm B}=p_{\rm C}= p_{\rm D}=0.25)$  und &bdquo;Huffman”. Interpretieren Sie die Ergebnisse. Was wäre bei &bdquo;Shannon–Fano”?}}

::* Jedes Symbol wird durch zwei Bit dargestellt, so dass  $L_{\rm M} = H = 2$  (bit/Quellensymbol) ist. Die Simulation liefert auch immer  $L_{\rm M}\hspace{0.05cm}' = 2$, auch für  $H' < 2$.
::* Gleiches gilt für &bdquo;Shannon–Fano” trotz anderer Zuordnung:  $\rm A \ \to 00$,  $\rm B \ \to 01$,  $\rm C \ \to 10$,  $\rm D \ \to 11$ statt  $\rm A \ \to 01$,  $\rm B \ \to 00$,  $\rm C \ \to 11$,  $\rm D \ \to 10$.
::* Aber ganz klar ist:   Quellencodierung macht bei redundanzfreier Quelle keinen Sinn, weder &bdquo;Huffman” noch &bdquo;Shannon–Fano”.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''   Wählen Sie die &bdquo;Quelle 4”  $(M=4, \ p_{\rm A}= 0.5, \ p_{\rm B}= 0.25, \ p_{\rm C}= p_{\rm D}=0.125)$. Warum gilt hier  $L_{\rm M} = H = 1.75$  (bit/Quellensymbol)? Interpretation. }}

::* Sowohl bei &bdquo;Huffman” als auch bei &bdquo;Shannon–Fano” wird  $\rm A$  mit einem Bit codiert,  $\rm B$  mit zwei Bit sowie  $\rm C$  und  $\rm D$  mit drei Bit.
::* Daraus folgt:   $L_{\rm M}= 0.5 \cdot 1 + 0.25 \cdot 2 + 2 \cdot 0.125 \cdot 3 = H = 1.75$  (bit/Quellensymbol). Es sind &bdquo;günstige Wahrscheinlichkeiten” der Form  $p = 2^{-k}$.
::* Ohne eine &bdquo;Entropiecodierung” nach Huffman oder Shannon–Fano würden alle vier Symbole mit zwei Bit dargestellt:   $L_{\rm M}= 2$  (bit/Quellensymbol).

{{BlaueBox|TEXT=
'''(7)'''   Wählen Sie nun &bdquo;Shannon–Fano” und die &bdquo;Quelle 2”  $(M=3, \ p_{\rm A}= 0.34, \ p_{\rm B}= p_{\rm C} =0.33)$. Mit welchen Wahrscheinlichkeiten ergäbe sich  $L_{\rm M} = H $? }}

::* Die Ternärquelle ist nahezu redundanzfrei:  $H \approx \log_2 \ 3 \approx 1.585$. Mit   $\rm A \ \to 0$,  $\rm B \ \to 10$, $\rm C \ \to 11$  ist $L_{\rm M}= 1.66 > H$.
::* &bdquo;Günstige Wahrscheinlichkeiten” wären zum Beispiel  $p_{\rm A}= 0.5, \ p_{\rm B}= p_{\rm C}= 0.25$  wie bei &bdquo;Quelle 1”. Dann ist  $L_{\rm M}= H = 1.5$  (bit/Quellensymbol).

{{BlaueBox|TEXT=
'''(8)'''   Wählen Sie &bdquo;Huffman” und die &bdquo;Quelle 5”  $(M=6, \ p_{\rm A}= p_{\rm B}= 0.25, \ p_{\rm C} = p_{\rm D} = p_{\rm E} = p_{\rm F} =0.125)$. Sind dies &bdquo;günstige Wahrscheinlichkeiten”? }}

::* $\rm JA$. Alle Wahrscheinlichkeiten sind  $2^{-2}$  oder  $2^{-3}$   ⇒   Symbole werden mit zwei oder drei Bit dargestellt   ⇒   $L_{\rm M}= H = 2.5$  (bit/Quellensymbol).

{{BlaueBox|TEXT=
'''(9)'''   Wie unterscheiden sich demgegenüber die Ergebnisse für &bdquo;Quelle 6”  $(M=6, \ p_{\rm A}= 0.26, \ p_{\rm B}= 0.24, \ p_{\rm C} = p_{\rm D} = 0.13, \ p_{\rm E} = p_{\rm F} =0.12)$? }}

::* Bereits durch geringfügige Wahrscheinlichkeitsabweichungen ergeben sich ein anderer Baum und damit auch andere Symbolzuordnungen.
::* $\rm A$  und  $\rm B$  werden mit zwei Bit codiert, die anderen mit drei Bit.  $L_{\rm M}= \big [p_{\rm A} + p_{\rm B}\big] \cdot 2 + \big [p_{\rm C} + p_{\rm D}+ p_{\E}+ p_{\F}\big] \cdot 3 = 2.5$  (bit/Quellensymbol).
::* Die geänderten  $p_{\rm A}$, ...   verändern hier nicht die mittlere Codewortlänge, aber  $H=2.499$ wird (geringfügig) kleiner   ⇒   $L_{\rm M} > H$  (bit/Quellensymbol).

{{BlaueBox|TEXT=
'''(10)'''   Betrachten Sie die &bdquo;Quelle 9”  $(M=8, \ p_{\rm A}= 0.8, \ p_{\rm B}= p_{\rm C}= p_{\rm D}=0.02, \ p_{\rm E} = 0.01$,  ...  , $p_{\rm H} = 0.01)$  ⇒   $H = 0.741$  (bit/Quellensymbol). Interpretation. }}

::* Es ergibt sich mit  $L_{\rm M} = 1.28$  ein sehr viel größerer Wert als  $H = 0.741$  – sowohl für &bdquo;Huffman” als auch für &bdquo;Shannon–Fano”.
::* Beide Verfahren sind also zur Quellenkomprimierung nicht geeignet, wenn eine Symbolwahrscheinlichkeit deutlich größer ist als 50%.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(11)'''   Die Komprimierung der &bdquo;Quelle 9”  $(M=8, H = 2.481)$  mit &bdquo;Huffman” ergibt  $L_{\rm M} = 2.58$. Welches Ergebnis liefert &bdquo;Shannon–Fano”?  Interpretation. }}

::* Bei &bdquo;Huffman” wird ein Symbol mit einem Bit codiert, zwei mit drei Bit, drei mit vier Bit und zwei mit fünf Bit   ⇒   $L_{\rm M} = 2.58$  (bit/Quellensymbol).
::* Entsprechend gilt für &bdquo;Shannon–Fano”:  zweimal zwei Bit, dreimal drei Bit, einmal vier Bit, zweimal fünf Bit   ⇒   $L_{\rm M} = 2.61$  (bit/Quellensymbol).
::* $\rm Fazit$:  &bdquo;Huffman” ist die optimale Entropiecodierung. &bdquo;Shannon–Fano” erreicht meist das gleiche Ergebnis.  $\text{Aber nicht immer!}$

==Zur Handhabung des Applets==

[[Datei:Anleitung_Huffman_1.png|left|frame|Bildschirmabzug &bdquo;Herleitung”]]
 
    '''(A)'''     Bildschirmauswahl:   Herleitung / Simulation

    '''(B)'''     Auswahl zwischen 8 Nachrichtenquellen mit  $M=3$  bis  $M=8$

    '''(C)'''     Ausgewählte Wahrscheinlichkeiten

    '''(D)'''     Entropie und mittlere Codewortlänge (Theorie,   $N \to \infty$)

    '''(E)'''     Auswahl des Kompressionsverfahrens:   Huffman / Shannon-Fano

    '''(F)'''     Ergebnisse der Codewortzuweisung

    '''(G)'''     Entropie und mittlere Codewortlänge (Simulation über  $N \to \infty$)

    '''(H)'''     Grafikfeld zur Herleitung des Codes gemäß Baumdiagramm

    '''(I)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung:   Aufgabenauswahl

    '''(J)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung:   Aufgabenstellung

    '''(K)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung:   Musterlösung

[[Datei:Anleitung_Huffman_2.png|right|frame|Bildschirmabzug &bdquo;Simulation”]]
 
    '''(L)'''     Ausgabe der aktuellen Quellensymbolfolge

    '''(M)'''     Ausgabe der aktuellen Codesymbolfolge

    '''(N)'''     Neue Folgen simulieren

 
==Über die Autoren==
Dieses interaktive Applet wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.
*Die erste Version wurde 2011 von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Eugen_Mehlmann_.28Bachelorarbeit_EI_2011.29|Eugen Mehlmann]]  im Rahmen seiner Bachelorarbeit mit &bdquo;FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|Günter Söder]]).
*2019 wurde das Programm von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Xiaohan_Liu_.28Bachelorarbeit_2018.2C_danach_Werkstudentin.29|Xiaohan Liu]]  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf &bdquo;HTML5” umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29|Tasnád Kernetzky]]).

Die Umsetzung dieses Applets auf HTML 5 wurde durch  [https://www.ei.tum.de/studium/studienzuschuesse/ Studienzuschüsse]  der Fakultät EI der TU München finanziell unterstützt. Wir bedanken uns.

==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==

{{LntAppletLink|shannon-huffman}}

Lineare und nichtlineare Verzerrungen (Lernvideo)

2025-02-24T09:43:33Z

=== Teil 1 ===
Systemmodell. Ideales und verzerrungsfreies System. Klassifizierung der Verzerrungen (Dauer 3:51).

<lntmedia preload="none">
file:Lineare_und_nichtlineare_Verzerrungen_1.mp4
file:Lineare_und_nichtlineare_Verzerrungen_1.ogv
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=== Teil 2 ===
Nichtlineare Kennlinie. Oberwellen. Klirrfaktor. Auswirkungen nichtlinearer Verzerrungen (Dauer 6:29).

<lntmedia preload="none">
file:Lineare_und_nichtlineare_Verzerrungen_2.mp4
file:Lineare_und_nichtlineare_Verzerrungen_2.ogv
</lntmedia>

=== Teil 3 ===
Dämpfungsverzerrungen. Phasenverzerrungen. Gegenüberstellung von Dämpfungs- und Phasenverzerrungen. (Dauer 5:28).

<lntmedia preload="none">
file:Lineare_und_nichtlineare_Verzerrungen_3.mp4
file:Lineare_und_nichtlineare_Verzerrungen_3.ogv
</lntmedia>

Dieses Lernvideo wurde 2010 am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert. 
Buch und Regie: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|Günter Söder]] und [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Klaus_Eichin_.28am_LNT_von_1972-2011.29|Klaus Eichin]],   Sprecher: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|Günter Söder]],   Realisierung: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Thomas_Gro.C3.9Fer_.28Diplomarbeit_LB_2006.2C_danach_freie_Mitarbeit_bis_2010.29|Thomas Großer]].

Im Zuge der LNTwww-Neugestaltung (Version 3) wurden diese Lernvideos 2016/2017 durch [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29|Tasnád Kernetzky]] und einigen Studenten in moderne Formate konvertiert, um von möglichst vielen Browsern wie Firefox, Chrome und Safari, als auch von Smartphones wiedergegeben werden zu können.

Applets:Kapazität von digitalen gedächtnislosen Kanälen

2025-02-24T09:43:33Z

{{LntAppletLinkDeEn|transinformation|transinformation_en}}

==Programmbeschreibung==
 
In diesem Applet werden binäre  $(M=2)$  und ternäre  $(M=3)$  Kanalmodelle ohne Gedächtnis betrachtet mit jeweils  $M$  Eingängen  $X$  und  $M$  Ausgängen  $Y$.  Ein solches Nachrichtensystem ist durch die Wahrscheinlichkeitsfunktion  $P_X(X)$  und die Matrix  $P_{\hspace{0.01cm}Y\hspace{0.03cm} \vert \hspace{0.01cm}X}(Y\hspace{0.03cm} \vert \hspace{0.03cm} X)$  der Übergangswahrscheinlichkeiten vollständig bestimmt.

Für diese binären bzw. ternären Systeme werden folgende informationstheoretische Beschreibungsgrößen hergeleitet und verdeutlicht:
*die  ''Quellenentropie''   $H(X)$  und die  ''Sinkenentropie''   $H(Y)$,
*die  ''Äquivokation''   (&bdquo;Rückschlussentropie”)  $H(X|Y)$  und die   ''Irrelevanz'' (&bdquo;Streuentropie”)  $H(Y|X)$,
*die  ''Verbundentropie''   $H(XY)$  sowie die ''Transinformation''  (englisch:  ''Mutual Information'')  $I(X; Y)$,
*die  ''Kanalkapazität''   als die entscheidende Kenngröße digitaler Kanalmodelle ohne Gedächtnis:
:$$C = \max_{P_X(X)} \hspace{0.15cm} I(X;Y) \hspace{0.05cm}.$$

Diese informationstheoretische Größen können sowohl in analytisch–geschlossener Form berechnet oder durch Auswertung von Quellen– und Sinkensymbolfolge simulativ ermittelt werden.

==Theoretischer Hintergrund==
 
===Zugrunde liegendes Modell der Digitalsignalübertragung ===

Die Menge der möglichen  '''Quellensymbole'''  wird durch die diskrete Zufallsgröße  $X$  charakterisiert. 
*Im binären Fall   ⇒   $M_X= |X| = 2$  gilt  $X = \{\hspace{0.05cm}{\rm A}, \hspace{0.15cm} {\rm B} \hspace{0.05cm}\}$  mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion  $($englisch:  ''Probability Mass Function'',  $\rm PMF)$   $P_X(X)= \big (p_{\rm A},\hspace{0.15cm}p_{\rm B}\big)$  sowie den Quellensymbolwahrscheinlichkeiten  $p_{\rm A}$  und  $p_{\rm B}=1- p_{\rm A}$.
*Entsprechend gilt für eine Ternärquelle  ⇒   $M_X= |X| = 3$:     $X = \{\hspace{0.05cm}{\rm A}, \hspace{0.15cm} {\rm B}, \hspace{0.15cm} {\rm C} \hspace{0.05cm}\}$,     $P_X(X)= \big (p_{\rm A},\hspace{0.15cm}p_{\rm B},\hspace{0.15cm}p_{\rm C}\big)$,     $p_{\rm C}=1- p_{\rm A}-p_{\rm B}$.

Die Menge der möglichen  '''Sinkensymbole'''  wird durch die diskrete Zufallsgröße  $Y$  charakterisiert.  Diese entstammen der gleichen Symbolmenge wie die Quellensymbole   ⇒   $M_Y=M_X = M$.  Zur Vereinfachung der nachfolgenden Beschreibung bezeichnen wir diese mit Kleinbuchstaben, zum Beispiel für  $M=3$:    $Y = \{\hspace{0.05cm}{\rm a}, \hspace{0.15cm} {\rm b}, \hspace{0.15cm} {\rm c} \hspace{0.05cm}\}$.

Der Zusammenhang zwischen den Zufallsgrößen  $X$  und  $Y$  ist durch ein  '''digitales Kanalmodell ohne Gedächtnis'''  $($englisch:  ''Discrete Memoryless Channel'',  $\rm DMC)$  festgelegt. Die linke Grafik zeigt dieses für  $M=2$  und die rechte Grafik für  $M=3$.

[[Datei:Transinf_1_neu.png|center|frame|Digitales Kanalmodell für  $M=2$  (links) und für  $M=3$  (rechts). Bitte beachten Sie:  In der rechten Grafik sind nicht alle Übergänge beschriftet]]

Die folgende Beschreibung gilt für den einfacheren Fall  $M=2$.  Für die Berechnung aller informationstheoretischer Größen im nächsten Abschnitt benötigen wir außer  $P_X(X)$  und  $P_Y(Y)$  noch die zweidimensionalen Wahrscheinlichkeitsfunktionen  $($jeweils eine  $2\times2$–Matrix$)$  aller
#  [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit#Bedingte_Wahrscheinlichkeit|bedingten Wahrscheinlichkeiten]]   ⇒   $P_{\hspace{0.01cm}Y\hspace{0.03cm} \vert \hspace{0.01cm}X}(Y\hspace{0.03cm} \vert \hspace{0.03cm} X)$   ⇒   durch das DMC–Modell vorgegeben;
#  [[Informationstheorie/Einige_Vorbemerkungen_zu_zweidimensionalen_Zufallsgrößen#Verbundwahrscheinlichkeit_und_Verbundentropie|Verbundwahrscheinlichkeiten]]  ⇒   $P_{XY}(X,\hspace{0.1cm}Y)$;
#  [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit#R.C3.BCckschlusswahrscheinlichkeit|Rückschlusswahrscheinlichkeiten]]   ⇒   $P_{\hspace{0.01cm}X\hspace{0.03cm} \vert \hspace{0.03cm}Y}(X\hspace{0.03cm} \vert \hspace{0.03cm} Y)$.

[[Datei:Transinf_2.png|right|frame|Betrachtetes Modell des Binärkanals]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 1}$:  Wir betrachten den skizzierten Binärkanal.
* Die Verfälschungswahrscheinlichkeiten seien:

:$$\begin{align*}p_{\rm a\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}A} & = {\rm Pr}(Y\hspace{-0.1cm} = {\rm a}\hspace{0.05cm}\vert X \hspace{-0.1cm}= {\rm A}) = 0.95\hspace{0.05cm},\hspace{0.8cm}p_{\rm b\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}A} = {\rm Pr}(Y\hspace{-0.1cm} = {\rm b}\hspace{0.05cm}\vert X \hspace{-0.1cm}= {\rm A}) = 0.05\hspace{0.05cm},\\
p_{\rm a\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}B} & = {\rm Pr}(Y\hspace{-0.1cm} = {\rm a}\hspace{0.05cm}\vert X \hspace{-0.1cm}= {\rm B}) = 0.40\hspace{0.05cm},\hspace{0.8cm}p_{\rm b\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}B} = {\rm Pr}(Y\hspace{-0.1cm} = {\rm b}\hspace{0.05cm}\vert X \hspace{-0.1cm}= {\rm B}) = 0.60\end{align*}$$

:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} P_{\hspace{0.01cm}Y\hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm}X}(Y\hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} X) =
\begin{pmatrix}
0.95 & 0.05\\
0.4 & 0.6
\end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$

*Außerdem gehen wir von nicht gleichwahrscheinlichen Quellensymbolen aus:

:$$P_X(X) = \big ( p_{\rm A},\ p_{\rm B} \big )=
\big ( 0.1,\ 0.9 \big )
\hspace{0.05cm}.$$

*Für die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Sinke ergibt sich somit:

:$$P_Y(Y) = \big [ {\rm Pr}( Y\hspace{-0.1cm} = {\rm a})\hspace{0.05cm}, \ {\rm Pr}( Y \hspace{-0.1cm}= {\rm b}) \big ] = \big ( 0.1\hspace{0.05cm},\ 0.9 \big ) \cdot
\begin{pmatrix}
0.95 & 0.05\\
0.4 & 0.6
\end{pmatrix} $$

:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr}( Y \hspace{-0.1cm}= {\rm a}) =
0.1 \cdot 0.95 + 0.9 \cdot 0.4 = 0.455\hspace{0.05cm},\hspace{1.0cm}
{\rm Pr}( Y \hspace{-0.1cm}= {\rm b}) = 1 - {\rm Pr}( Y \hspace{-0.1cm}= {\rm a}) = 0.545.$$

*Die Verbundwahrscheinlichkeiten  $p_{\mu \kappa} = \text{Pr}\big[(X = μ) ∩ (Y = κ)\big]$  zwischen Quelle und Sinke sind:

:$$\begin{align*}p_{\rm Aa} & = p_{\rm a} \cdot p_{\rm a\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}A} = 0.095\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}p_{\rm Ab} = p_{\rm b} \cdot p_{\rm b\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}A} = 0.005\hspace{0.05cm},\\
p_{\rm Ba} & = p_{\rm a} \cdot p_{\rm a\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}B} = 0.360\hspace{0.05cm},
\hspace{0.5cm}p_{\rm Bb} = p_{\rm b} \cdot p_{\rm b\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}B} = 0.540\hspace{0.05cm}.
\end{align*}$$

:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} P_{XY}(X,\hspace{0.1cm}Y) =
\begin{pmatrix}
0.095 & 0.005\\
0.36 & 0.54
\end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$

* Für die Rückschlusswahrscheinlichkeiten erhält man:

:$$\begin{align*}p_{\rm A\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}a} & = p_{\rm Aa}/p_{\rm a} = 0.095/0.455 = 0.2088\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}p_{\rm A\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}b} = p_{\rm Ab}/p_{\rm b} = 0.005/0.545 = 0.0092\hspace{0.05cm},\\
p_{\rm B\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}a} & = p_{\rm Ba}/p_{\rm a} = 0.36/0.455 = 0.7912\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}p_{\rm B\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}b} = p_{\rm Bb}/p_{\rm b} = 0.54/0.545 = 0.9908\hspace{0.05cm}
\end{align*}$$

:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} P_{\hspace{0.01cm}X\hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm}Y}(X\hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} Y) =
\begin{pmatrix}
0.2088 & 0.0092\\
0.7912 & 0.9908
\end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$ }}
 
===Definition und Interpretation verschiedener Entropiefunktionen ===

Im  [[Informationstheorie/Verschiedene_Entropien_zweidimensionaler_Zufallsgrößen|$\rm LNTwww$–Theorieteil]]  werden alle für 2D–Zufallsgrößen relevanten Entropien definiert, die auch für die Digitalsignalübertragung gelten.  Zudem finden Sie dort zwei Schaubilder, die den Zusammenhang zwischen den einzelnen Entropien illustrieren. 
*Für die Digitalsignalübertragung ist die rechte Darstellung zweckmäßig, bei der die Richtung von der Quelle  $X$  zur Sinke  $Y$  erkennbar ist. 
*Wir interpretieren nun ausgehend von dieser Grafik die einzelnen informationstheoretischen Größen.

[[Datei:P_ID2781__Inf_T_3_3_S2.png|center|frame|Zwei informationstheoretische Modelle für die Digitalsignalübertragung.
 Bitte beachten Sie:  In der rechten Grafik ist  $H_{XY}$  nicht darstellbar]]

*Die  '''Quellenentropie'''  (englisch:  ''Source Entropy'' )  $H(X)$  bezeichnet den mittleren Informationsgehalt der Quellensymbolfolge.  Mit dem Symbolumfang  $|X|$  gilt:

:$$H(X) = {\rm E} \left [ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{P_X(X)}\right ] \hspace{0.1cm}
= -{\rm E} \big [ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm}{P_X(X)}\big ] \hspace{0.2cm}
=\hspace{0.2cm} \sum_{\mu = 1}^{|X|}
P_X(x_{\mu}) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{P_X(x_{\mu})} \hspace{0.05cm}.$$

*Die  '''Äquivokation'''  (auch  ''Rückschlussentropie'' genannt, englisch:  ''Equivocation'' )  $H(X|Y)$  gibt den mittleren Informationsgehalt an, den ein Betrachter, der über die Sinke  $Y$  genau Bescheid weiß, durch Beobachtung der Quelle  $X$  gewinnt:

:$$H(X|Y) = {\rm E} \left [ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{P_{\hspace{0.05cm}X\hspace{-0.01cm}|\hspace{-0.01cm}Y}(X\hspace{-0.01cm} |\hspace{0.03cm} Y)}\right ] \hspace{0.2cm}=\hspace{0.2cm} \sum_{\mu = 1}^{|X|} \sum_{\kappa = 1}^{|Y|}
P_{XY}(x_{\mu},\hspace{0.05cm}y_{\kappa}) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{P_{\hspace{0.05cm}X\hspace{-0.01cm}|\hspace{0.03cm}Y}
(\hspace{0.05cm}x_{\mu}\hspace{0.03cm} |\hspace{0.05cm} y_{\kappa})}
\hspace{0.05cm}.$$

*Die Äquivokation ist der Anteil der Quellenentropie  $H(X)$, der durch Kanalstörungen  (bei digitalem Kanal:  Übertragungsfehler)  verloren geht.  Es verbleibt die  '''Transinformation'''  (englisch:  ''Mutual Information'')  $I(X; Y)$, die zur Sinke gelangt:

:$$I(X;Y) = {\rm E} \left [ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{P_{XY}(X, Y)}{P_X(X) \cdot P_Y(Y)}\right ] \hspace{0.2cm}=\hspace{0.2cm} \sum_{\mu = 1}^{|X|} \sum_{\kappa = 1}^{|Y|}
P_{XY}(x_{\mu},\hspace{0.05cm}y_{\kappa}) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{P_{XY}(x_{\mu},\hspace{0.05cm}y_{\kappa})}{P_{\hspace{0.05cm}X}(\hspace{0.05cm}x_{\mu}) \cdot P_{\hspace{0.05cm}Y}(\hspace{0.05cm}y_{\kappa})}
\hspace{0.05cm} = H(X) - H(X|Y) \hspace{0.05cm}.$$

*Die  '''Irrelevanz'''  (manchmal auch  ''Streuentropie''  genannt, englisch:  ''Irrelevance'')  $H(Y|X)$  gibt den mittleren Informationsgehalt an, den ein Betrachter, der über die Quelle  $X$  genau Bescheid weiß, durch Beobachtung der Sinke  $Y$  gewinnt:

:$$H(Y|X) = {\rm E} \left [ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{P_{\hspace{0.05cm}Y\hspace{-0.01cm}|\hspace{-0.01cm}X}(Y\hspace{-0.01cm} |\hspace{0.03cm} X)}\right ] \hspace{0.2cm}=\hspace{0.2cm} \sum_{\mu = 1}^{|X|} \sum_{\kappa = 1}^{|Y|}
P_{XY}(x_{\mu},\hspace{0.05cm}y_{\kappa}) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{P_{\hspace{0.05cm}Y\hspace{-0.01cm}|\hspace{0.03cm}X}
(\hspace{0.05cm}y_{\kappa}\hspace{0.03cm} |\hspace{0.05cm} x_{\mu})}
\hspace{0.05cm}.$$

*Die  '''Sinkenentropie'''  $H(Y)$, der mittlere Informationsgehalt der Sinke, ist die Summe aus der nützlichen Transinformation  $I(X; Y)$  und der Irrelevanz  $H(Y|X)$, die ausschließlich von Kanalfehlern herrührt:

:$$H(Y) = {\rm E} \left [ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{P_Y(Y)}\right ] \hspace{0.1cm}
= -{\rm E} \big [ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm}{P_Y(Y)}\big ] \hspace{0.2cm} =I(X;Y) + H(Y|X)
\hspace{0.05cm}.$$

*Die  '''Verbundentropie'''  $H(XY)$  gibt ist den mittleren Informationsgehalt der 2D–Zufallsgröße  $XY$ an.&nbsp sie beschreibt zudem eine obere Schranke für die Summe aus Quellenentropie und Sinkenentropie:

:$$H(XY) = {\rm E} \left [ {\rm log} \hspace{0.1cm} \frac{1}{P_{XY}(X, Y)}\right ] = \sum_{\mu = 1}^{|X|} \hspace{0.1cm} \sum_{\kappa = 1}^{|Y|} \hspace{0.1cm}
P_{XY}(x_{\mu}\hspace{0.05cm}, y_{\kappa}) \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} \frac{1}{P_{XY}(x_{\mu}\hspace{0.05cm}, y_{\kappa})}\le H(X) + H(Y) \hspace{0.05cm}.$$

[[Datei:Transinf_2.png|right|frame|Betrachtetes Modell des Binärkanals]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 2}$:  Es gelten die gleichen Voraussetzungen wie für das  [[Applets:Kapazität_von_digitalen_gedächtnislosen_Kanälen#Zugrunde_liegendes_Modell_der_Digitalsignal.C3.BCbertragung|$\text{Beispiel 1}$]]: 

'''(1)'''  Die Quellensymbole sind nicht gleichwahrscheinlich:
:$$P_X(X) = \big ( p_{\rm A},\ p_{\rm B} \big )=
\big ( 0.1,\ 0.9 \big )
\hspace{0.05cm}.$$
'''(2)'''  Die Verfälschungswahrscheinlichkeiten seien:
:$$\begin{align*}p_{\rm a\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}A} & = {\rm Pr}(Y\hspace{-0.1cm} = {\rm a}\hspace{0.05cm}\vert X \hspace{-0.1cm}= {\rm A}) = 0.95\hspace{0.05cm},\hspace{0.8cm}p_{\rm b\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}A} = {\rm Pr}(Y\hspace{-0.1cm} = {\rm b}\hspace{0.05cm}\vert X \hspace{-0.1cm}= {\rm A}) = 0.05\hspace{0.05cm},\\
p_{\rm a\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}B} & = {\rm Pr}(Y\hspace{-0.1cm} = {\rm a}\hspace{0.05cm}\vert X \hspace{-0.1cm}= {\rm B}) = 0.40\hspace{0.05cm},\hspace{0.8cm}p_{\rm b\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}B} = {\rm Pr}(Y\hspace{-0.1cm} = {\rm b}\hspace{0.05cm}\vert X \hspace{-0.1cm}= {\rm B}) = 0.60\end{align*}$$

:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} P_{\hspace{0.01cm}Y\hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm}X}(Y\hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} X) =
\begin{pmatrix}
0.95 & 0.05\\
0.4 & 0.6
\end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$

[[Datei:Inf_T_1_1_S4_vers2.png|frame|Binäre Entropiefunktion als Funktion von  $p$|right]]
*Wegen Voraussetzung  '''(1)'''  erhält man so für die Quellenentropie mit der  [[Informationstheorie/Gedächtnislose_Nachrichtenquellen#Bin.C3.A4re_Entropiefunktion|binären Entropiefunktion]]  $H_{\rm bin}(p)$: 

:$$H(X) = p_{\rm A} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{\hspace{0.1cm}p_{\rm A}\hspace{0.1cm} } + p_{\rm B} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{p_{\rm B} }= H_{\rm bin} (p_{\rm A}) = H_{\rm bin} (0.1)= 0.469 \ {\rm bit}
\hspace{0.05cm};$$

::$$H_{\rm bin} (p) = p \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{\hspace{0.1cm}p\hspace{0.1cm} } + (1 - p) \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{1 - p} \hspace{0.5cm}{\rm (Einheit\hspace{-0.15cm}: \hspace{0.15cm}bit\hspace{0.15cm}oder\hspace{0.15cm}bit/Symbol)}
\hspace{0.05cm}.$$

* Entsprechend gilt für die Sinkenentropie mit der PMF  $P_Y(Y) = \big ( p_{\rm a},\ p_{\rm b} \big )=
\big ( 0.455,\ 0.545 \big )$:
:$$H(Y) = H_{\rm bin} (0.455)= 0.994 \ {\rm bit}
\hspace{0.05cm}.$$
*Als nächstes berechnen wir die Verbundentropie:
:$$H(XY) = p_{\rm Aa} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{\hspace{0.1cm}p_{\rm Aa}\hspace{0.1cm} }+ p_{\rm Ab} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{\hspace{0.1cm}p_{\rm Ab}\hspace{0.1cm} }+p_{\rm Ba} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{\hspace{0.1cm}p_{\rm Ba}\hspace{0.1cm} }+ p_{\rm Bb} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{\hspace{0.1cm}p_{\rm Bb}\hspace{0.1cm} }$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H(XY) = 0.095 \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{0.095 } +0.005 \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{0.005 }+0.36 \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{0.36 }+0.54 \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{0.54 }= 1.371 \ {\rm bit}
\hspace{0.05cm}.$$

Entsprechend dem oberen linken Schaubild sind somit auch die restlichen informationstheoretischen Größen berechenbar:
[[Datei:Transinf_4.png|right|frame|Informationstheoretisches Modell für  $\text{Beispiel 2}$]]

*die  '''Äquivokation'''  (oder Rückschlussentropie):

:$$H(X \vert Y) \hspace{-0.01cm} =\hspace{-0.01cm} H(XY) \hspace{-0.01cm} -\hspace{-0.01cm} H(Y) \hspace{-0.01cm} = \hspace{-0.01cm} 1.371\hspace{-0.01cm} -\hspace{-0.01cm} 0.994\hspace{-0.01cm} =\hspace{-0.01cm} 0.377\ {\rm bit}
\hspace{0.05cm},$$

*die '''Irrelevanz'''  (oder Streuentropie):

:$$H(Y \vert X) = H(XY) - H(X) = 1.371 - 0.994 = 0.902\ {\rm bit}
\hspace{0.05cm}.$$

*die  '''Transinformation'''  (englisch  ''Mutual Information''):

:$$I(X;Y) = H(X) + H(Y) - H(XY) = 0.469 + 0.994 - 1.371 = 0.092\ {\rm bit}
\hspace{0.05cm},$$

Die Ergebnisse sind in nebenstehender Grafik zusammengefasst.

''Anmerkung'':  Äquivokation und Irrelevanz könnte man (allerdings mit Mehraufwand) auch direkt aus den entsprechenden Wahrscheinlichkeitsfunktionen berechnen, zum Beispiel:

:$$H(Y \vert X) = \hspace{-0.2cm} \sum_{(x, y) \hspace{0.05cm}\in \hspace{0.05cm}XY} \hspace{-0.2cm} P_{XY}(x,\hspace{0.05cm}y) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{P_{\hspace{0.05cm}Y\hspace{-0.01cm}\vert \hspace{0.03cm}X}
(\hspace{0.05cm}y\hspace{0.03cm} \vert \hspace{0.05cm} x)}= p_{\rm Aa} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{p_{\rm a\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}A} } +
p_{\rm Ab} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{p_{\rm b\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}A} } +
p_{\rm Ba} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{p_{\rm a\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}B} } +
p_{\rm Bb} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{p_{\rm b\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}B} } = 0.902 \ {\rm bit} \hspace{0.05cm}.$$}}

[[Datei:Transinf_3.png|right|frame|Betrachtetes Modell des Ternärkanals: Rote Übergänge stehen für  $p_{\rm a\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}A} = p_{\rm b\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}B} = p_{\rm c\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}C} = q$  und blaue für  $p_{\rm b\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}A} = p_{\rm c\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}A} =\text{...}= p_{\rm b\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}C}= (1-q)/2$]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 3}$:  Nun betrachten wir ein Übertragungssystem mit  $M_X = M_Y = M=3$. 

'''(1)'''  Die Quellensymbole seien gleichwahrscheinlich:
:$$P_X(X) = \big ( p_{\rm A},\ p_{\rm B},\ p_{\rm C} \big )=
\big ( 1/3,\ 1/3,\ 1/3 \big )\hspace{0.30cm}\Rightarrow\hspace{0.30cm}H(X)={\rm log_2}\hspace{0.1cm}3 \approx 1.585 \ {\rm bit}
\hspace{0.05cm}.$$
'''(2)'''  Das Kanalmodell ist symmetrisch   ⇒   auch die Sinkensymbole sind gleichwahrscheinlich:
:$$P_Y(Y) = \big ( p_{\rm a},\ p_{\rm b},\ p_{\rm c} \big )=
\big ( 1/3,\ 1/3,\ 1/3 \big )\hspace{0.30cm}\Rightarrow\hspace{0.30cm}H(Y)={\rm log_2}\hspace{0.1cm}3 \approx 1.585 \ {\rm bit}
\hspace{0.05cm}.$$
'''(3)'''  Die Verbundwahrscheinlichkeiten ergeben sich wie folgt:
:$$p_{\rm Aa}= p_{\rm Bb}= p_{\rm Cc}= q/M,$$
:$$p_{\rm Ab}= p_{\rm Ac}= p_{\rm Ba}= p_{\rm Bc} = p_{\rm Ca}= p_{\rm Cb} = (1-q)/(2M)$$
:$$\Rightarrow\hspace{0.30cm}H(XY) = 3 \cdot p_{\rm Aa} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{\hspace{0.1cm}p_{\rm Aa}\hspace{0.1cm} }+6 \cdot p_{\rm Ab} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{\hspace{0.1cm}p_{\rm Ab}\hspace{0.1cm} }= \
\text{...} \ = q \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{M}{q }+ (1-q) \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{M}{(1-q)/2 }.$$
[[Datei:Transinf_10.png|right|frame|Einige Ergebnisse zum  $\text{Beispiel 3}$]]
'''(4)'''  Für die Transinformation erhält man nach einigen Umformungen unter Berücksichtigung der Gleichung 
:$$I(X;Y) = H(X) + H(Y) - H(XY)\text{:}$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} I(X;Y) = {\rm log_2}\ (M) - (1-q) -H_{\rm bin}(q).$$
* Bei fehlerfreier Ternärübertragung  $(q=1)$  gilt  $I(X;Y) = H(X) = H(Y)={\rm log_2}\hspace{0.1cm}3$.
* Mit  $q=0.8$  sinkt die Transinformaion schon auf  $I(X;Y) = 0.663$  und mit  $q=0.5$  auf  $0.085$  bit.
*Der ungünstigste Fall aus informationstheoretischer Sicht ist  $q=1/3$  ⇒   $I(X;Y) = 0$.
*Dagegen ist der aus der aus Sicht der Übertragungstheorie ungünstigste Fall  $q=0$  ⇒   &bdquo;kein einziges Übertragungssymbol kommt richtig an”  aus informationstheoretischer Sicht gar nicht so schlecht.
* Um dieses gute Ergebnis nutzen zu können, ist allerdings sendeseitig eine Kanalcodierung erforderlich. }}
 
===Definition und Bedeutung der Kanalkapazität ===

Berechnet man die Transinformation  $I(X, Y)$  wie zuletzt im  $\text{Beispiel 2}$  ausgeführt,  so hängt diese nicht nur vom diskreten gedächtnislosen Kanal  (englisch:  ''Discrete Memoryless Channel'',  kurz DMC)  ab, sondern auch von der Quellenstatistik   ⇒   $P_X(X)$  ab.  Ergo:   '''Die Transinformation'''  $I(X, Y)$ ''' ist keine reine Kanalkenngröße'''.

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definition:}$  Die von  [https://de.wikipedia.org/wiki/Claude_Shannon Claude E. Shannon]  eingeführte  '''Kanalkapazität'''  (englisch:  ''Channel Capacity'')  lautet gemäß seinem Standardwerk  [Sha48]<ref name = ''Sha48''>Shannon, C.E.: ''A Mathematical Theory of Communication''. In: Bell Syst. Techn. J. 27 (1948), S. 379-423 und S. 623-656.</ref>:

:$$C = \max_{P_X(X)} \hspace{0.15cm} I(X;Y) \hspace{0.05cm}.$$

Oft wird die Zusatzeinheit „bit/Kanalzugriff” hinzugefügt,  bei englischen Texten „bit/use”.  Da nach dieser Definition stets die bestmögliche Quellenstatistik zugrunde liegt,  hängt  $C$  nur von den Kanaleigenschaften   ⇒   $P_{Y \vert X}(Y \vert X)$ ab,  nicht jedoch von der Quellenstatistik   ⇒   $P_X(X)$.  }}

Shannon benötigte die Kanalbeschreibungsgröße  $C$  zur Formulierung des Kanalcodierungstheorems – eines der Highlights der von ihm begründeten Informationstheorie.

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Shannons Kanalcodierungstheorem:}$ 
*Zu jedem Übertragungskanal mit der Kanalkapazität  $C > 0$  existiert (mindestens) ein  $(k,\ n)$–Blockcode,  dessen (Block–)Fehlerwahrscheinlichkeit gegen Null geht,  so lange die Coderate  $R = k/n$  kleiner oder gleich der Kanalkapazität ist:   $R ≤ C.$
* Voraussetzung hierfür ist allerdings,  dass für die Blocklänge dieses Codes gilt:   $n → ∞.$

$\text{Umkehrschluss von Shannons Kanalcodierungstheorem:}$ 

Ist die Rate  $R$  des verwendeten  $(n$,  $k)$–Blockcodes größer als die Kanalkapazität  $C$,  so ist niemals eine beliebig kleine Blockfehlerwahrscheinlichkeit erreichbar.}}

[[Datei:Transinf_9.png|right|frame|Informationsheoretischer Größen für verschiedene  $p_{\rm A}$  und  $p_{\rm B}= 1- p_{\rm A}$ ]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 4}$:  Wir betrachten den gleichen diskreten gedächtnislosen Kanal wie im  $\text{Beispiel 2}$. 
In diesem $\text{Beispiel 2}$  wurden die Symbolwahrscheinlichkeiten  $p_{\rm A} = 0.1$  und  $p_{\rm B}= 1- p_{\rm A}=0.9$  vorausgesetzt.  Damit ergab sich die Transinformation zu  $I(X;Y)= 0.092$  bit/Kanalzugriff   ⇒   siehe erste Zeile, vierte Spalte in der Tabelle.

Die  '''Kanalkapazität'''  ist die Transinformation  $I(X, Y)$  bei bestmöglichen Symbolwahrscheinlichkeiten  $p_{\rm A} = 0.55$  und  $p_{\rm B}= 1- p_{\rm A}=0.45$:
:$$C = \max_{P_X(X)} \hspace{0.15cm} I(X;Y) = 0.284 \ \rm bit/Kanalzugriff \hspace{0.05cm}.$$

Aus der Tabelle erkennt man weiter  (auf die Zusatzeinheit &bdquo;bit/Kanalzugriff&bdquo; verzichten wir im Folgenden):
*Der Parameter  $p_{\rm A} = 0.1$  war sehr ungünstig gewählt, weil beim vorliegenden Kanal das Symbol  $\rm A$  mehr verfälscht wird als  $\rm B$.  Schon mit  $p_{\rm A} = 0.9$  ergibt sich ein etwas besserer Wert:  $I(X; Y)=0.130$.
*Aus dem gleichen Grund liefert  $p_{\rm A} = 0.55$,  $p_{\rm B} = 0.45$  ein etwas besseres Ergebnis als gleichwahrscheinliche Symbole  $p_{\rm A} = p_{\rm B} =0.5$.
*Je unsymmetrischer der Kanal ist, um so mehr weicht die optimale Wahrscheinlichkeitsfunktion  $P_X(X)$  von der Gleichverteilung ab.  Im Umkehrschluss:  Bei symmetrischem Kanal ergibt sich stets die Gleichverteilung.}}

Der Ternärkanal von  $\text{Beispiel 3}$  ist symmetrisch.  Deshalb ist hier  $P_X(X) = \big ( 1/3,\ 1/3,\ 1/3 \big )$  für jeden  $q$–Wert optimal, und die in der Ergebnistabelle angegebene Transinformation  $I(X;Y)$  ist gleichzeitig die Kanalkapazität  $C$.

==Versuchsdurchführung==

[[Datei:Exercises_binomial_fertig.png|right]]
*Wählen Sie zunächst die Nummer  '''1'''  ...  '''14'''  der zu bearbeitenden Aufgabe.
*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt.  Die Parameterwerte sind angepasst.
*Lösung nach Drücken von &bdquo;Musterlösung”.
*Bei allen Entropiewerten müsste die Einheit "bit/use" hizugefügt werden.
*Die Nummer  '''0'''  entspricht einem &bdquo;Reset”:  Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
 
{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''  Es gelte  $p_{\rm A} = p_{\rm B} = 0.5$  und  $p_{\rm b \vert A} = p_{\rm a \vert B} = 0.1$. Welches Kanalmodell liegt vor?  Wie lauten die Entropien  $H(X), \, H(Y)$  und die Transinformation  $I(X;\, Y)$?}}

:*  Betrachtet wird das BSC–Modell  (Binary Symmetric Channel).  Wegen  $p_{\rm A} = p_{\rm B} = 0.5$  gilt für die Quellen– und die Sinkenentropie:  $H(X) = H(Y) = 1$.
:*  Wegen  $p_{\rm b \vert A} = p_{\rm a \vert B} = 0.1$  sind auch Äqivokation und Irrelevanz gleich:  $H(X \vert Y) = H(Y \vert X) = H_{\rm bin}(p_{\rm b \vert A}) = H_{\rm bin}(0.1) =0.469$.
:*  Die Transinformation ist  $I(X;\, Y) = H(X) - H(X \vert Y)= 1-H_{\rm bin}(p_{\rm b \vert A}) = 0.531$  und die Verbundentropie ist  $H(XY) =1.469$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''  Es gelte weiter  $p_{\rm b \vert A} = p_{\rm a \vert B} = 0.1$, aber nun ist die Symbolwahrscheinlichkeit  $p_{\rm A} = 0.9$.  Wie groß ist die Kapazität  $C_{\rm BSC}$  des BSC–Kanals mit  $p_{\rm b \vert A} = p_{\rm a \vert B}$?
:Welches  $p_{\rm b \vert A} = p_{\rm a \vert B}$  führt zur größtmöglichen Kanalkapazität und welches  $p_{\rm b \vert A} = p_{\rm a \vert B}$  zur Kanalkapazität  $C_{\rm BSC}=0$?}}

:*  Die Kapazität  $C_{\rm BSC}$  ist gleich der maximalen Transinformation  $I(X;\, Y)$  unter Berücksichtigung der optimalen Symbolwahrscheinlichkeiten.
:*  Aufgrund der Symmetrie des BSC–Modells  führen gleichwahrscheinliche Symbole  $(p_{\rm A} = p_{\rm B} = 0.5)$  zum Optimum   ⇒   $C_{\rm BSC}=0.531$.
:*  Am besten ist der ideale Kanal  $(p_{\rm b \vert A} = p_{\rm a \vert B} = 0)$  ⇒   $C_{\rm BSC}=1$.  Der schlechteste BSC–Kanal liegt durch  $p_{\rm b \vert A} = p_{\rm a \vert B} = 0.5$  fest   ⇒   $C_{\rm BSC}=0$.
:*  Aber auch mit   $p_{\rm b \vert A} = p_{\rm a \vert B} = 1$  ergibt sich  $C_{\rm BSC}=1$.  Hier werden alle Symbole invertiert, was informationstheoretisch das Gleiche ist wie  $\langle Y_n \rangle = \langle X_n \rangle$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''  Es gelte  $p_{\rm A} = p_{\rm B} = 0.5$,  $p_{\rm b \vert A} = 0.05$  und  $ p_{\rm a \vert B} = 0.4$.  Interpretieren Sie die Ergebnisse im Vergleich zum Versuch  '''(1)'''  sowie zum  $\text{Beispiel 2}$  im Theorieteil.}}

:*  Im Gegensatz zum Versuch  '''(1)'''  liegt hier kein BSC-Kanal vor.  Vielmehr ist der hier betrachtete Kanal unsymmetrisch:  $p_{\rm b \vert A} \ne p_{\rm a \vert B}$.
:*  Gemäß  $\text{Beispiel 2}$  gilt für  $p_{\rm A} = 0.1,\ p_{\rm B} = 0.9$:     $H(X)= 0.469$,  $H(Y)= 0.994$,  $H(X \vert Y)=0.377$,  $H(Y \vert X)=0.902$,  $I(X;\ Y)=0.092$.
:*  Nun gilt  $p_{\rm A} = p_{\rm B} = 0.5$  und man erhält  $H(X)= 1.000$,  $H(Y)= 0.910$,  $H(X \vert Y)=0.719$,  $H(Y \vert X)=0.629$,  $I(X;\ Y)=0.281$.
:*  Alle Ausgabewerte hängen signifikant von  $p_{\rm A}$  und  $p_{\rm B}=1-p_{\rm A}$  ab mit Ausnahme der bedingten Wahrscheinlichkeiten  ${\rm Pr}(Y \vert X)\ \in \ \{\hspace{0.05cm}0.95,\ 0.05,\ 0.4,\ 0.6\hspace{0.05cm} \}$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''  Es gelte weiter  $p_{\rm A} = p_{\rm B}$,  $p_{\rm b \vert A} = 0.05$,  $ p_{\rm a \vert B} = 0.4$.  Welche Unterschiede erkennen Sie hinsichtlich analytischer Berechnung und &bdquo;Simulation”  $(N=10000)$.}}

:*  Die Verbundwahrscheinlichkeiten sind  $p_{\rm Aa} =0.475$,  $p_{\rm Ab} =0.025$,  $p_{\rm Ba} =0.200$, $p_{\rm Bb} =0.300$.  Simulation:  Approximation durch relative Häufigkeiten:
:*  Zum Beispiel für  $N=10000$:  $h_{\rm Aa} =0.4778$,  $h_{\rm Ab} =0.0264$,  $h_{\rm Ba} =0.2039$, $h_{\rm Bb} =0.2919$.  Nach Drücken  &bdquo;Neue Folge”  etwas andere Werte.
:*  Für alle nachfolgenden Berechnungen kein prinzieller Unterschied zwischen Theorie und Simulation, außer  $p \to h$.  Beispiele: 
:*  $p_{\rm A} = 0.5 \to h_{\rm A}=h_{\rm Aa} + h_{\rm Ab} =0.5042$,  $p_b = 0.325 \to h_{\rm b}=h_{\rm Ab} + h_{\rm Bb} =0.318$,  $p_b|A = 0.05 \to h_{\rm b|A}=h_{\rm Ab}/h_{\rm A} =0.0264/0.5042= 0.0524$, 
:*  $p_{\rm A|b} = 0.0769 \to h_{\rm A|b}=h_{\rm Ab}/h_{\rm b} =0.0264/0.318= 0.0830$.  Dadurch liefert diese Simulation  $I_{\rm Sim}(X;\ Y)=0.269$  anstelle von  $I(X;\ Y)=0.281$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''  Einstellung gemäß  '''(4)'''.  Wie unterscheidet sich  $I_{\rm Sim}(X;\ Y)$  für  $N=10^3$,  $10^4$,  $10^5$  von  $I(X;\ Y) = 0.281$ ?  Jeweils Mittelung über zehn Realisierungen. }}
:*  $N=10^3$:   $0.232 \le I_{\rm Sim} \le 0.295$,   Mittelwert:  $0.263$   |   $N=10^4$:   $0.267 \le I_{\rm Sim} \le 0.293$   MW:  $0.279$   |   $N=10^5$:   $0.280 \le I_{\rm Sim} \le 0.285$   MW:  $0.282$.
:*  Mit  $N=10^6$  unterscheidet sich bei diesem Kanal das Simulationsergebnis vom theoretischen Wert um weniger als  $\pm 0.001$. 

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''  Wie groß ist die Kapazität  $C_6$  dieses Kanals mit  $p_{\rm b \vert A} = 0.05$,  $ p_{\rm a \vert B} = 0.4$?  Ist mit der Coderate  $R=0.3$  die Fehlerwahrscheinlichkeit  $0$  möglich? }}

:*  $C_6=0.284$  ist das Maximum von  $I(X;\ Y)$  für   $p_{\rm A} =0.55$  ⇒  $p_{\rm B} =0.55$.  Simulation über  zehnmal  $N=10^5$:  $0.281 \le I_{\rm Sim}(X;\ Y) \le 0.289$.
:*  Mit der Coderate  $R=0.3 > C_6$  ist auch bei bestmöglicher Codierung eine beliebig kleine Blockfehlerwahrscheinlichkeit nicht erreichbar.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(7)'''  Nun gelte  $p_{\rm A} = p_{\rm B}$,  $p_{\rm b \vert A} = 0.5$,  $ p_{\rm a \vert B} = 0$.  Welche Eigenschaft zeigt dieser unsymmetrische Kanal?  Welche Werte ergeben sich für  $H(X)$,  $H(X \vert Y)$,  $I(X;\ Y)$ ? }}

:*  Das Symbol  $\rm A$  wird niemals verfälscht, das Symbol  $\rm B$  mit (informationstheoretisch) maximaler Verfälschungswahrscheinlichkeit $ p_{\rm a \vert B} = 0.5$
:*  Die gesamte Verfälschungswahrscheinlichkeit ist  $ {\rm Pr} (Y_n \ne X_n)= p_{\rm A} \cdot p_{\rm b \vert A} + p_{\rm B} \cdot p_{\rm a \vert B}= 0.25$  ⇒   ca.  $25\%$  der ausgegebenen Sinkensymbole sind violett.
:*  Verbundwahrscheinlichkeiten:  $p_{\rm Aa}= 1/2,\ p_{\rm Ab}= 0,\ p_{\rm Ba}= p_{\rm Bb}= 1/4$,    Rückschlusswahrscheinlichkeiten:  $p_{\rm A \vert a}= 2/3,\ p_{\rm B \vert a}= 1/3,\ p_{\rm A \vert b}= 0,\ p_{\rm B \vert b}= 1$.
:*  Daraus erhält man für die Äquivokation  $H(X \vert Y)=0.689$;   Quellenentropie  $H(X)= 1$   ⇒   $I(X;\ Y)=H(X)-H(X \vert Y)=0.311$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(8)'''  Wie groß ist die Kapazität  $C_8$  dieses Kanals mit  $p_{\rm b \vert A} = 0.05$,  $ p_{\rm a \vert B} = 0.35$?  Ist mit der Coderate  $R=0.3$  die Fehlerwahrscheinlichkeit  $0$  möglich? }}

:*  $C_8=0.326$  ist das Maximum von  $I(X;\ Y)$ für   $p_{\rm A} =0.55$.  Wegen  $C_8 >R=0.3 $  ist somit eine beliebig kleine Blockfehlerwahrscheinlichkeit erreichbar.
:*  Der einzige Unterschied gegenüber  $(6)$   ⇒   $C_6=0.284 < 0.3$  ist die geringfügig kleinere Verfälschungswahrscheinlichkeit  $ p_{\rm a \vert B} = 0.35$  statt  $ p_{\rm a \vert B} = 0.4$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(9)'''  Wir betrachten den idealen Ternärkanal:  $p_{\rm a \vert A} = p_{\rm b \vert B}=p_{\rm c \vert C}=1$.  Wie groß ist dessen Kapazität  $C_9$?  Welche maximale Transinformation zeigt das Programm an? }}

:*  Aufgrund der Symmetrie des Kanalmodells führen gleichwahrscheinliche Symbole $(p_{\rm A} = p_{\rm B}=p_{\rm C}=1/3)$  zur Kanalkapazität:  $C_9 = \log_2\ (3) = 1.585$.
:*  Da im Programm alle Parameterwerte nur mit einer Auflösung von  $0.05$  eingebbar sind, wird für  $I(X;\ Y)$  dieser Maximalwert nicht erreicht.
:*  Mögliche Approximationen:  $p_{\rm A} = p_{\rm B}= 0.3, \ p_{\rm C}=0.4$  ⇒   $I(X;\ Y)= 1.571$     |     $p_{\rm A} = p_{\rm B}= 0.35, \ p_{\rm C}=0.3$  ⇒   $I(X;\ Y)= 1.581$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(10)'''  Die Quellensymbole seien (&bdquo;quasi”)–gleichwahrscheinlich.  Interpretieren Sie die weiteren Einstellungen und die Ergebnisse. }}

:*  Die Verfälschungswahrscheinlichkeiten sind  $p_{\rm b \vert A} = p_{\rm c \vert B}=p_{\rm a \vert C}=1$   ⇒   kein einziges Sinkensymbol ist gleich dem Quellensymbol.
:*  Dieses zyklische Mapping hat keinen Einfluss auf die Kanalkapazität:  $C_{10} = C_9 = 1.585$.  Das Programm liefert wieder  ${\rm Max}\big[I(X;\ Y)\big]= 1.581$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(11)'''  Wir betrachten bis einschließlich  '''(13)'''  die gleiche Ternärquelle.  Welche Ergebnisse erhält man für  $p_{\rm b \vert A} = p_{\rm c \vert B}=p_{\rm a \vert C}=0.2$  und  $p_{\rm c \vert A} = p_{\rm a \vert B}=p_{\rm b \vert C}=0$? }}
:*  Jedes Symbol kann nur in eines der zwei möglichen anderen Symbole verfälscht werden.  Aus  $p_{\rm b \vert A} = p_{\rm c \vert B}=p_{\rm a \vert C}=0.2$  folgt  $p_{\rm a \vert A} = p_{\rm b \vert B}=p_{\rm c \vert C}=0.8$.
:*  Damit erhält man für die maximale Transinformation  ${\rm Max}\big[I(X;\ Y)\big]= 0.861$  und für die Kanalkapazität einen geringfügig größeren Wert:  $C_{11} \gnapprox 0.861$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(12)'''  Wie ändern sich die Ergebnisse, wenn jedes Symbol zu  $80\%$  richtig übertragen und zu je  $10\%$  in eines der beiden anderen Symbole verfälscht wird? }}
:*  Obwohl die Wahrscheinlichkeit für eine richtige Übertragung mit  $80\%$  ebenso groß ist wie in  '''(11)''', ist hier die Kanalkapazität um etwa den Wert  $0.2$  kleiner.
:*  Weiß man beim Kanal  '''(11)''', dass  $X = \rm A$  verfälscht wurde, so weiß man auch, dass  $Y = \rm b$  ist.  Bei  '''(12)'''  weiß man das nicht   ⇒   der Kanal ist ungünstiger.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(13)'''  Die Verfälschungswahrscheinlichkeiten seien nun  $p_{\rm b \vert A} = p_{\rm c \vert A} = p_{\rm a \vert B} = p_{\rm c \vert B}=p_{\rm a \vert C}=p_{\rm b \vert C}=0.5$.  Interpretieren Sie diesen redundanzfreien Ternärkanal. }}
:*  Kein einziges Sinkensymbol ist gleich dem zugehörigen Quellensymbol; bezüglich der beiden anderen Symbole ist eine  $50$  zu  $50$–Entscheidung zu treffen.
:*  Trotzdem ist hier die Kanalkapazität mit  $C_{13} \gnapprox 0.584$  nur geringfügig kleiner als im vorherigen Versuch:  $C_{12} \gnapprox 0.661$.
:*  Die Kanalapazität  $C=0$  ergibt sich beim redundanzfreien Ternärkanal genau für den Fall, dass alle neun Verfälschungswahrscheinlichkeiten gleich  $1/3$  sind.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(14)'''  Welche Kapazität $C_{14}$ besitzt der Ternärkanal mit  $p_{\rm b \vert A} = p_{\rm a \vert B}= 0$  und  $p_{\rm c \vert A} = p_{\rm c \vert B} = p_{\rm a \vert C}=p_{\rm b \vert C}=0.1$  ⇒   $p_{\rm a \vert A} = p_{\rm b \vert B}=0.9$, $p_{\rm c \vert C} =0.8$? }}
:*  Mit der Voreinstellung  $p_{\rm A}=p_{\rm B}=0.2$   ⇒   $p_{\rm C}=0.6$  ergibt sich  $I(X;\ Y)= 0.738$.  Gesucht sind nun &bdquo;bessere” Symbolwahrscheinlichkeiten.
:*  Aus der Symmetrie des Kanals ist offensichtlich, dass  $p_{\rm A}=p_{\rm B}$  optimal ist.  Die Kanalkapazität  $C_{14}=0.995$  ergibt sich für  $p_{\rm A}=p_{\rm B}=0.4$   ⇒   $p_{\rm C}=0.2$.
:*  Beispiel:  Ternärübertragung, falls das mittlere Symbol  $\rm C$  in zwei Richtungen verfälscht werden kann, die äußeren Symbole aber jeweils nur in eine Richtung.

==Zur Handhabung des Applets==
[[Datei:Anleitung_transinformation.png|left|600px]]
 
    '''(A)'''     Auswahlmöglichkeit, ob  &bdquo;analytisch”  oder  &bdquo;per Simulation”

    '''(B)'''     Einstellung des Parameters  $N$  für die Simulation

    '''(C)'''     Auswahlmöglichkeit, ob  &bdquo;Binärquelle”  oder  &bdquo;Ternärquelle”

    '''(D)'''     Einstellung der Symbolwahrscheinlichkeiten

    '''(E)'''     Einstellung der Übergangswahrscheinlichkeiten

    '''(F)'''     Numerikausgabe verschiedener Wahrscheinlichkeiten

    '''(G)'''     Zwei Schaubilder mit den informationstheoretischen Größen

    '''(H)'''     Ausgabe einer beispielhaften Quellensymbolfolge

    '''(I)'''     Zugehörige simulierte Sinkensymbolfolge

    '''(J)'''     Bereich für Übungen: Aufgabenauswahl, Fragen, Musterlösungen
 

==Über die Autoren==
Dieses interaktive Berechnungstool wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.
*Die erste Version wurde 2010 von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Martin_V.C3.B6lkl_.28Diplomarbeit_LB_2010.29|Martin Völkl]]  im Rahmen seiner Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX–Actionscript” erstellt  (Betreuer:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|Günter Söder]]).
*2020 wurde das Programm von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Veronika_Hofmann_.28Ingenieurspraxis_Math_2020.29|Veronika Hofmann]]  (Ingenieurspraxis Mathematik, Betreuer:  [[Benedikt Leible]]  und  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29|Tasnád Kernetzky]] ) unter &bdquo;HTML5” neu gestaltet.

==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==

{{LntAppletLinkDeEn|transinformation|transinformation_en}}

Applets:Physical Signal & Equivalent Lowpass Signal

2025-02-24T09:43:33Z

{{LntAppletLinkEn|physAnLPSignal_en}}

==Applet Description==
 
This applet shows the relationship between the physical bandpass signal $x(t)$ and the associated equivalent lowpass signal $x_{\rm TP}(t)$. It is assumed that the bandpass signal $x(t)$ has a frequency-discrete spectrum $X(f)$:
:$$x(t) = x_{\rm T}(t) + x_{\rm O}(t)+ x_{\rm U}(t) = A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t- \varphi_{\rm T}\right)+A_{\rm O}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm O}\cdot t- \varphi_{\rm O}\right) + A_{\rm U}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm U}\cdot t- \varphi_{\rm U}\right). $$
The physical signal $x(t)$ is thus composed of three harmonic oscillations, a constellation that can be found, for example, in the ''Double-sideband Amplitude Modulation''
*of the message signal $x_{\rm N}(t) = A_{\rm N}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm N}\cdot t- \varphi_{\rm N}\right)$   ⇒   in German:   '''N'''achrichtensignal
*with the carrier signal $x_{\rm T}(t) = A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t - \varphi_{\rm T}\right)$   ⇒   in German:   '''T'''rägersignal.

The nomenclature is also adapted to this case:
* $x_{\rm O}(t)$ denotes the &bdquo;upper sideband”   (in German:   '''O'''beres Seitenband) with the amplitude $A_{\rm O}= A_{\rm N}/2$, the frequency $f_{\rm O} = f_{\rm T} + f_{\rm N}$ and the phase $\varphi_{\rm O} = \varphi_{\rm T} + \varphi_{\rm N}$.
*Similarly, for the &bdquo;lower sideband”   (in German:   '''U'''nteres Seitenband) $x_{\rm U}(t)$ with $f_{\rm U} = f_{\rm T} - f_{\rm N}$, $A_{\rm U}= A_{\rm O}$ and $\varphi_{\rm U} = -\varphi_{\rm O}$.

The associated equivalent lowpass–signal is $f_{\rm O}\hspace{0.01cm}' = f_{\rm O}- f_{\rm T} > 0$,   $f_{\rm U}\hspace{0.01cm}' = f_{\rm U}- f_{\rm T} < 0$  and  $f_{\rm T}\hspace{0.01cm}' = 0$:

:$$x_{\rm TP}(t) = x_\text{TP, T}(t) + x_\text{TP, O}(t) + x_\text{TP, U}(t) = A_{\rm T}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm T} } \hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm} A_{\rm O}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm O} } \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm O}\hspace{0.01cm}'\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}\hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}
A_{\rm U}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm U} } \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm U}\hspace{0.01cm}'\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t} . $$

[[Datei:Ortskurve_1.png|right|frame|Equivalent low-pass signal currently $t=0$ for cosinusoidal carrier   ⇒   $\varphi_{\rm T} = 0$]]
The program shows $x_{\rm TP}(t)$ as the vectorial sum of three rotation pointers as a violet dot (see figure for start time $t=0$ and cosinusoidal carrier):

*The (red) pointer of the carrier $x_\text{TP, T}(t)$ with the length $A_{\rm T}$ and the zero phase position $\varphi_{\rm T}=0$ is fixed in the complex plane. So it applies to all times $t$:   $x_{\rm TP}(t)= A_{\rm T}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm T} }$.

*The (blue) pointer of the upper sideband $x_\text{TP, O}(t)$ with the length $A_{\rm O}$ and the zero phase position $\varphi_{\rm O}$ rotates at the angular velocity $2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm O}\hspace{0.01cm}'$ in mathematically positive direction (one revolution in time $1/f_{\rm O}\hspace{0.01cm}')$.

*The (green) pointer of the lower sideband $x_{\rm U+}(t)$ with the length $A_{\rm U}$ and the zero phase position $\varphi_{\rm U}$ rotates at the angular velocity $2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm U}\hspace{0.01cm}'$, because of $f_{\rm U}\hspace{0.01cm}'<0$ counterclockwise.

*With $f_{\rm U}\hspace{0.01cm}' = -f_{\rm O}\hspace{0.01cm}'$ the blue and green pointers will spin at the same speed but in different directions. Also, if $A_{\rm O} = A_{\rm U}$ and $\varphi_{\rm U} = -\varphi_{\rm O}$, then $x_{\rm TP}(t)$ moves on a straight line with a incline of $\varphi_{\rm T}$.

''Note:''   In the figure $\varphi_{\rm O} = +30^\circ$. From this follows for the start time $t=0$ the angle of the upper sideband (OSB, blue pointer) with respect to the coordinate system:   $\phi_{\rm O} = -\varphi_{\rm O} = -30^\circ$. Likewise, the zero phase position $\varphi_{\rm U} = -30^\circ$ of the lower sideband (USB, green pointer) follows for the phase angle to be considered in the complex plane:   $\phi_{\rm U} = +30^\circ$.

The temporal process of $x_{\rm TP}(t)$ is also referred to below as &bdquo;locus”. The relationship between $x_{\rm TP}(t)$ and the physical bandpass signal $x(t)$ is given in the section and the associated analytic signal is $x_+(t)$ :

:$$x_{\rm TP}(t) = x_{\rm +}(t)\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi \cdot f_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t},$$
:$$x_{\rm +}(t) = x_{\rm TP}(t)\cdot {\rm e}^{+{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi \cdot f_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t}.$$

[[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Äquivalentes_TP-Signal|'''German description''']]

==Theoretical Background==
 
===Description of Bandpass Signals===
[[Datei:Zeigerdiagramm_1a.png|right|frame|bandpass spectrum $X(f)$ |class=fit]]
We consider '''bandpass signals''' $x(t)$ with the property that their spectra $X(f)$ are not in the range around the frequency $f=0$, but around a carrier frequency $f_{\rm T}$. In most cases it can also be assumed that the bandwidth is $B \ll f_{\rm T}$.

The figure shows such a bandpass spectrum $X(f)$. Assuming that the associated $x(t)$ is a physical signal and thus real, the spectral function $X(f)$ has a symmetry with respect to the frequency $f = 0$, if $x(t)$ is an even function   ⇒   $x(-t)=x(t)$, $X(f)$ is real and even.

Beside the physical signal $x(t)\ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ X(f)$, one can also use the following descriptions of bandpass signals:
*the analytic signal $x_+(t)\ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ X_+(f)$, see applet [[Applets:Physical_Signal_%26_Analytic_Signal|Physical Signal & Analytic Signal]],
*the equivalent lowpass signal $x_{\rm TP}(t)\ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ X_{\rm TP}(f)$, see next page
 

===Spectral Functions of the Analytic and the Equivalent Lowpass Signal===

The '''analytic signal''' $x_+(t)$ belonging to the physical signal $x(t)$ is the time function whose spectrum fulfills the following property:
[[Datei:Ortskurve_2.png|right|frame|spectral functions $X(f)$, $X_+(f)$ and $X_{\rm TP}(f)$ |class=fit]]
:$$X_+(f)=\big[1+{\rm sign}(f)\big] \cdot X(f) = \left\{ {2 \cdot
X(f) \; \hspace{0.2cm}\rm for\hspace{0.2cm} {\it f} > 0, \atop {\,\,\,\, \rm 0 \; \hspace{0.9cm}\rm for\hspace{0.2cm} {\it f} < 0.} }\right.$$

The ''Signum function'' is for positive values of $f$ equal to $+1$ and for negative $f$ values equal to $-1$.
*The (double-sided) limit returns $\sign(0) = 0$.
*The index „+” should make it clear that $X_+(f)$ only has parts at positive frequencies.

From the graph you can see the calculation rule for $X_+(f)$:   The actual bandpass spectrum $X(f)$ becomes
*doubled at the positive frequencies, and
*set to zero at the negative frequencies.

Due to the asymmetry of $X_+(f)$ with respect to the frequency $f = 0$, it can already be said that the time function $x_+(t)$ except for a trivial special case $x_+(t)= 0 \ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,\ \ X_+(f)= 0$ is always complex.

The spectrum $X_{\rm TP}(f)$ of the equivalent lowpass signal is obtained by shifting $X_+(f)$ to the left by the carrier frequency $f_{\rm T}$:
:$$X_{\rm TP}(f)= X_+(f+f_{\rm T}).$$

In the time domain this operation corresponds to the multiplication of $x_{\rm +}(t)$ with the complex exponential function with negative exponent:
:$$x_{\rm TP}(t) = x_{\rm +}(t)\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi \cdot f_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t}.$$

It can be seen that $x_{\rm TP}(t)$ is generally complex. But if $X_+(f)$ is symmetric about the carrier frequency $f_{\rm T}$, $X_{\rm TP}(f)$ is symmetric about the frequency $f=0$ and there is accordingly a real time function $x_{\rm TP}(t)$.
 

===$x_{\rm TP}(t)$ Representation of a Sum of Three Harmonic Oscillations===

In our applet, we always assume a set of three rotating pointers. The physical signal is:
:$$x(t) = x_{\rm T}(t) + x_{\rm O}(t) + x_{\rm U}(t) = A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t- \varphi_{\rm T}\right)+A_{\rm O}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm O}\cdot t- \varphi_{\rm O}\right) + A_{\rm U}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm U}\cdot t- \varphi_{\rm U}\right). $$
* Each of the three harmonic oscillations $x_{\rm T}(t)$, $x_{\rm U}(t)$ and $x_{\rm O}(t)$ is represented by an amplitude $(A)$, a frequency $(f)$ and a phase value $(\varphi)$.
*The indices are based on the modulation method [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation|double sideband amplitude modulation]]. &bdquo;T” stands for &bdquo;carrier”, &bdquo;U” for &bdquo;lower sideband” and &bdquo;O” for &bdquo;upper Sideband”. Similarly, $f_{\rm U} < f_{\rm T}$ and $f_{\rm O} > f_{\rm T}$. There are no restrictions for the amplitudes and phases.

The associated equivalent low-pass signal is with $f_{\rm O}\hspace{0.01cm}' = f_{\rm O}- f_{\rm T} > 0$,   $f_{\rm U}\hspace{0.01cm}' = f_{\rm U}- f_{\rm T} < 0$  and  $f_{\rm T}\hspace{0.01cm}' = 0$:

:$$x_{\rm TP}(t) = x_\text{TP, T}(t) + x_\text{TP, O}(t) + x_\text{TP, U}(t) = A_{\rm T}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm T} } \hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm} A_{\rm O}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm O} } \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm O}\hspace{0.01cm}'\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}\hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}
A_{\rm U}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm U} } \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm U}\hspace{0.01cm}'\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t} . $$

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example 1:}$ 
The constellation given here results, for example, in the [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#AM-Signale_und_-Spektren_bei_harmonischem_Eingangssignal|double sideband amplitude modulation]] of the message signal $x_{\rm N}(t) = A_{\rm N}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm N}\cdot t- \varphi_{\rm N}\right)$ with the carrier signal $x_{\rm T}(t) = A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t - \varphi_{\rm T}\right)$. This is discussed frequently in the exercises.

[[Datei:Ortskurve_5.png|center|frame|Spectrum $X_{\rm TP}(f)$ of the equivalent low–pass signal for different phase constellations |class=fit]]

There are some limitations to the program parameters in this approach:
* The frequencies are always $f\hspace{0.05cm}'_{\rm O} = f_{\rm N}$ and $f\hspace{0.05cm}'_{\rm U} = -f_{\rm N}$.
*Without distortion, the amplitude of the sidebands is $A_{\rm O}= A_{\rm U}= A_{\rm N}/2$.
*The respective phase relationships can be seen in the following graphic.

}}
 

===Representation of the Equivalent Lowpass Signal by Magnitude and Phase===

The generally complex equivalent lowpass signal
:$$x_{\rm TP}(t) = a(t) \cdot {\rm e}^{ {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \phi(t) }$$
can be split into a magnitude function $a(t)$ and a phase function $\phi(t)$ according to the equation given here, where:
:$$a(t) = \vert x_{\rm TP}(t)\vert = \sqrt{ {\rm Re}^2\big [x_{\rm TP}(t)\big ] + {\rm Im}^2\big [x_{\rm TP}(t)\big ] }\hspace{0.05cm},$$
:$$\phi(t) = \text{arc }x_{\rm TP}(t) = \arctan \frac{{\rm Im}\big [x_{\rm TP}(t)\big ]}{{\rm Re}\big [x_{\rm TP}(t)\big ]}.$$

The reason for this is that a bandpass signal $x(t)$ is usually described by the equivalent lowpass signal $x_{\rm TP}(t)$ that the functions $a(t)$ and $\phi(t)$ are interpretable in both representations:
*The amount $a(t)$ of the equivalent lowpass signal $x_{\rm TP}(t)$ indicates the (time-dependent) envelope of $x(t)$.
*The phase $\phi(t)$ of $x_{\rm TP}(t)$ denotes the location of the zero crossings of $x(t)$, where:
:–   For $\phi(t)>0$ the zero crossing is earlier than its nominal position   ⇒   the signal is leading here.
:–  When $\phi(t)<0$, the zero crossing is later than its target position   ⇒   the signal is trailing here.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example 2:}$ 
The graph is intended to illustrate this relationship, assuming $A_{\rm U} > A_{\rm O}$   ⇒   the green pointer (for the lower sideband) is longer than the blue pointer (upper sideband). This is a snapshot at time $t_0$:

[[Datei:Ortskurve_3_neu.png|center|frame|bandpass spectrum $X(f)$ |class=fit]]

*For these system parameters, the top of the pointer cluster $x_{\rm TP}(t)$ – that is, the geometric sum of red, blue and green pointers – on an ellipse.
* The amount $a(t_0) = \vert x_{\rm TP}(t_0) \vert$ is drawn in black in the left-hand diagram and the phase value $\phi(t_0) = \text{arc }x_{\rm TP}(t_0) > 0$ is indicated in brown color.
*In the graph on the right, the amount $a(t_0) = \vert x_{\rm TP}(t_0) \vert$ of the equivalent low-pass signal indicates the envelope of the physical signal $x(t)$.
* At $\phi(t) \equiv 0$, all zero crossings of $x(t)$ would occur at equidistant intervals. Because of $\phi(t_0) > 0$, the signal is leading at the time $t_0$, that is: the zero crossings come earlier than the grid dictates. }}

==Exercises==
[[Datei:Exercises_verzerrungen.png|right]]
*First select the task number.
*A task description is displayed.
*Parameter values are adjusted.
*Solution after pressing &bdquo;Hide solition”.

The number &bdquo;0” will reset the program and output a text with the further explanation of the applet.

In the following, $\rm Green$ denotes the lower sideband   ⇒   $\big (A_{\rm U}, f_{\rm U}, \varphi_{\rm U}\big )$,  
$\rm Red$ the carrier   ⇒   $\big (A_{\rm T}, f_{\rm T}, \varphi_{\rm T}\big )$ and
$\rm Blue$ the upper sideband   ⇒   $\big (A_{\rm O}, f_{\rm O}, \varphi_{\rm O}\big )$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''   Let   $\text{Red:} \hspace{0.15cm} A_{\rm T} = 1\ \text{V}, f_{\rm T} = 100 \ \text{kHz}, \varphi_{\rm T} = 0^\circ$,   $\text{Green:} \hspace{0.15cm} A_{\rm U} = 0.4 \text{V}, \ f_{\rm U} = 80 \ \text{kHz}, \varphi_{\rm U} = -90^\circ$,   $\text{Blue:} \hspace{0.15cm} A_{\rm O} = 0.4\ \text{V}, f_{\rm O} = 120 \ \text{kHz}, \varphi_{\rm O} = 90^\circ$.

:Consider and interpret the equivalent lowpass signal $x_{\rm TP}(t)$ and the physical signal $x(t)$. Which period $T_0$ recognizable?}}

:: The equivalent lowpass signal $x_{\rm TP}(t)$ takes from $x_{\rm TP}(t=0)=1\ \text{V}$ on the real axis values between $0.2\ \text{V}$ and $1.8\ \text{V}$   ⇒   phase $\phi(t) \equiv 0$.  The amount $|x_{\rm TP}(t)|$ indicates the envelope $a(t)$ of the physical signal $x(t)$. It holds $A_{\rm N} = 0.8\ \text{V}$ and $f_{\rm N} = 20\ \text{kHz}$:   $a(t) = A_{\rm T}+ A_{\rm N} \cdot \sin(2\pi\cdot f_{\rm N} \cdot t)$.  Both $x_{\rm TP}(t)$ and $x(t)$ are periodically with the period $T_0 = 1/f_{\rm N} = 50\ \rm µ s$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''   How do the ratios change to '''(1)''' with $f_{\rm U} = 99 \ \text{kHz}$ and $f_{\rm O} = 101 \ \text{kHz}$ ? How could $x(t)$ have arisen?}}

:: For the envelope $a(t)$ of the signal $x(t)$ we still have $a(t) = A_{\rm T}+ A_{\rm N} \cdot \sin(2\pi\cdot f_{\rm N} \cdot t)$, but now $f_{\rm N} = 1\ \text{kHz}$. Even though it can not be recognized:  $x_{\rm TP}(t)$ and $x(t)$ are still periodically:   $T_0 = 1\ \rm ms$. Example: Double sideband Amplitude modulation '''(DSB–AM)''' of a sine signal with cosine carrier.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''   Which settings have to be changed from '''(2)''' in order to arrive at the DSB–AM of a cosine signal with sine carrier. What changes over '''(2)'''?}}

::The carrier phase must be changed to $\varphi_{\rm T} = 90^\circ$   ⇒   sine carrier. Similarly, $\varphi_{\rm O} =\varphi_{\rm U} =\varphi_{\rm T} = 90^\circ$ must be set   ⇒   cosinusoidal message  The locus now lies on the imaginary axis  ⇒   $\phi(t) \equiv -90^\circ$. At the beginning $x_{\rm TP}(t=0)= - {\rm j} \cdot 1.8 \ \text{V}$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''   Now let   $\text{Red:} \hspace{0.15cm} A_{\rm T} = 1\ \text{V}, \ f_{\rm T} = 100 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm T} = 0^\circ$,   $\text{Green:} \hspace{0.15cm} A_{\rm U} = 0.4 \text{V}, \ f_{\rm U} = 80 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm U} = 0^\circ$,   $\text{Blue:} \hspace{0.15cm} A_{\rm O} = 0.4\ \text{V}, \ f_{\rm O} = 120 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm O} = 0^\circ$.

:What are the characteristics of this system &bdquo;DSB–AM, where the message signal and carrier are respectively cosinusoidal”? What is the degree of modulation $m$?}}

:: The equivalent lowpass signal $x_{\rm TP}(t)$ takes from $x_{\rm TP}(t=0)=1.8\ \text{V}$ on the real axis values between $0.2\ \text{V}$ and $1.8\ \text{V}$   ⇒   phase $\phi(t) \equiv 0$.  Except for the start state $x_{\rm TP}(t=0)$ same behavior as at the setting '''(1)'''. The degree of modulation is $m = 0.8$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''   The parameters are still valid according to '''(4)''' with the exception of $A_{\rm T}= 0.6 \text{V}$. What is the degree of modulation $m$? What are the consequences?}}

:: There is now a DSB–AM with modulation degree $m = 1.333$. For $m > 1$, the simpler ''Envelope Demodulation'' is not applicable, since the phase function $\phi(t) \in \{ 0, \ \pm 180^\circ\}$ is no more constant and the envelope $a(t)$ no more matches the message signal. Rather, the complex ''Synchronous Demodulation'' must be used. Envelope detection would produce nonlinear distortions.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''   The parameters are still valid according to '''(4)''' or '''(5)''' with the exception from $A_{\rm T}= 0$ on   ⇒   $m \to \infty$. Which modulation method is described in this way?}}

::It is a '''DSB–AM without carrier''' and a synchronous demodulation is required. The equivalent lowpass signal $x_{\rm TP}(t)$ is on the real axis, but not only in the right half-plane. Thus, the phase function $\phi(t) \in \{ 0, \ \pm 180^\circ\}$, also applies here, which means that ''Envelope Demodulation'' is not applicable.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(7)'''   Now let   $\text{Red:} \hspace{0.15cm} A_{\rm T} = 1\ \text{V}, f_{\rm T} = 100 \ \text{kHz}, \varphi_{\rm T} = 0^\circ$,   $\text{Green:} \hspace{0.15cm} A_{\rm U} = 0, \ f_{\rm U} = 80 \ \text{kHz}, \varphi_{\rm U} = -90^\circ$,   $\text{Blue:} \hspace{0.15cm} A_{\rm O} = 0.8\ \text{V}, f_{\rm O} = 120 \ \text{kHz}, \varphi_{\rm O} = 90^\circ$.

:Which constellation is described here? Which characteristics of this procedure can be recognized from the graphic?}}

::It is a [[Modulationsverfahren/Einseitenbandmodulation|single-sideband modulation]] '''(SSB–AM)''', more specifically an '''OSB–AM''': the red carrier is fixed, the green pointer missing and the blue pointer (OSB) turns counterclockwise. The degree of modulation is $\mu = 0.8$ (in the case of SSB we denote the degree of modulation with $\mu$ instead of $m$). The carrier signal is cosinusoidal and the message signal sinusoidal. The locus is a circle. $x_{\rm TP}(t)$ moves in a mathematically positive direction. Because of $\phi(t) \ne \text{const.}$ the envelope demodulation is not applicable here:  This can be seen by the fact that the envelope $a(t)$ is not cosinusoidal. Rather, the lower half-wave is sharper than the upper one   ⇒   strong linear distortions.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(8)'''   The parameters are still valid according to '''(7)''' with the exception of $A_{\rm O}= 0$ and $A_{\rm U}= 0.8 \text{ V}$. What differences arise opposite '''(7)'''?}}

::Now it is a '''LSB–AM''': The red carrier is fixed, the blue pointer is missing and the green pointer (LSB) rotates clockwise. All other statements of '''(7)''' apply here as well.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(9)'''   The parameters according to '''(7)''' are still valid with the exception of $A_{\rm O} = 0.2 \text{ V} \ne A_{\rm U} = 0.4 \text{ V} $. What are the differences from '''(7)'''?}}

::The locus $x_{\rm TP}(t)$ is not a horizontal straight line, but an ellipse with the real part between $0.4 \text{ V}$ and $1.6 \text{ V}$ and the imaginary part in the range $\pm 0.2 \text{ V}$. Because of $\phi(t) \ne \text{const.}$ , Envelope demodulation would lead to non-linear distortions here too. The constellation simulated here describes the situation of '''(4)''', namely a DSB–AM with modulation degree $m = 0.8$, where the upper sideband is reduced to $50\%$ due to channel attenuation.

==Applet Manual==
[[Datei:Ortskurve_abzug3.png|right]]
* The red parameters $(A_{\rm T}, \ f_{\rm T}, \ \varphi_{\rm T})$ and the red pointer mark the ''Carrier'' (German: '''T'''räger).
* The green parameters $(A_{\rm U}, \ f_{\rm U} < f_{\rm T}, \ \varphi_{\rm U})$ mark the ''Lower sideband'' (German: '''U'''ntere Seitenband).
* The blue parameters $(A_{\rm O}, \ f_{\rm O} > f_{\rm T}, \ \varphi_{\rm O})$ mark the '' Upper sideband'' (German: '''O'''bere Seitenband).
* The red pointer does not turn.
* The green pointer rotates in a mathematically negative direction (clockwise).
* The blue pointer turns counterclockwise.

Meaning of the letters in the adjacent graphic:

    '''(A)'''     Plot of the equivalent lowpass signal $x_{\rm TP}(t)$

    '''(B)'''     Plot of the physical signal $x(t)$

    '''(C)'''     Parameter input via slider:   amplitudes, frequencies, phase values

    '''(D)'''     Control elements:   Start – Step – Pause/Continue – Reset

    '''(E)'''     Speed of animation:   &bdquo;Speed”   ⇒   Values: 1, 2 oder 3

    '''(F)'''     &bdquo;Trace”   ⇒   On or Off, trace of equivalent lowpass signal   $x_{\rm TP}(t)$

    '''(G)'''     Numerical output:   time $t$, the signal values  ${\rm Re}[x_{\rm TP}(t)]$  and  ${\rm Im}[x_{\rm TP}(t)]$,

$\text{}\hspace{4.2cm}$   envelope $a(t) = |x_{\rm TP}(t)|$  and  phase $\phi(t) = {\rm arc} \ x_{\rm TP}(t)$

    '''(H)'''     Variations for the graphical representation

$\hspace{1.5cm}$Zoom–Functions &bdquo;$+$” (Enlarge), &bdquo;$-$” (Decrease) and $\rm o$ (Reset to default)

$\hspace{1.5cm}$Move with &bdquo;$\leftarrow$” (Section to the left, ordinate to the right), &bdquo;$\uparrow$” &bdquo;$\downarrow$” &bdquo;$\rightarrow$”

    '''(I)'''     Experiment section:   Task selection and task

    '''(J)'''     Experiment section:  solution
 

==About the Authors==
This interactive calculation was designed and realized at the [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] of the [https://www.tum.de/ Technical University of Munich] .
*The original version was created in 2005 by [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]] as part of her Diploma thesis using &bdquo;FlashMX–Actionscript” (Supervisor: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|Günter Söder]]).
*In 2018 this Applet was redesigned and updated to &bdquo;HTML5” by [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Xiaohan_Liu_.28Bachelorarbeit_2018.29|Xiaohan Liu]] as part of her Bachelor's thesis (Supervisor: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29|Tasnád Kernetzky]]).

==Once again: Open Applet in new Tab==

{{LntAppletLinkEn|physAnLPSignal_en}}

Applets:Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen

2025-02-24T09:43:33Z

{{LntAppletLinkDeEn|qfunction|qfunction_en}}

==Programmbeschreibung==
 
Dieses Applet ermöglicht die Berechnung und graphische Darstellung der (komplementären) Gaußschen Fehlerfunktionen  ${\rm Q}(x)$  und  $1/2\cdot {\rm erfc}(x)$, die für die Fehlerwahrscheinlichkeitsberechnung von großer Bedeutung sind.
*Sowohl die Abszisse als auch der Funktionswert können entweder linear oder logarithmisch dargestellt werden.
*Für beide Funktionen wird jeweils eine obere Schranke $($englisch:  Upper Bound,  $\rm UB)$  und eine untere Schranke $($englisch:  Lower Bound,  $\rm LB)$  angegeben.

==Theoretischer Hintergrund==
 
Bei der Untersuchung digitaler Übertragungssysteme muss oft die Wahrscheinlichkeit bestimmt werden, dass eine (mittelwertfreie) gaußverteilte Zufallsgröße  $x$  mit der Varianz  $σ^2$  einen vorgegebenen Wert  $x_0$  überschreitet. Für diese Wahrscheinlichkeit gilt:
:$${\rm Pr}(x > x_0)={\rm Q}(\frac{x_0}{\sigma}) = 1/2 \cdot {\rm erfc}(\frac{x_0}{\sqrt{2} \cdot \sigma}).$$
 

===Die Funktion ${\rm Q}(x )$===

Die Funktion  ${\rm Q}(x)$  bezeichnet man als das ''Komplementäre Gaußsche Fehlerintegral''. Es gilt folgende Berechnungsvorschrift:
:$${\rm Q}(x ) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{x}^{ +\infty}\hspace{-0.2cm}{\rm e}^{-u^{2}/\hspace{0.05cm} 2}\,{\rm d} u .$$
*Dieses Integral ist nicht analytisch lösbar und muss – wenn man dieses Applet nicht zur Verfügung hat – aus Tabellen entnommen werden.
*Speziell für größere  $x$–Werte (also für kleine Fehlerwahrscheinlichkeiten) liefern die nachfolgend angegebenen Schranken eine brauchbare Abschätzung für das Komplementäre Gaußsche Fehlerintegral, die auch ohne Tabellen berechnet werden können.
*Eine obere Schranke (englisch:  ''Upper Bound '') des Komplementären Gaußschen Fehlerintegrals lautet:
:$${\rm Q}_{\rm UB}(x )=\text{Upper Bound }\big [{\rm Q}(x ) \big ] = \frac{ 1}{\sqrt{2\pi}\cdot x}\cdot {\rm e}^{- x^{2}/\hspace{0.05cm}2} > {\rm Q}(x).$$
*Entsprechend gilt für die untere Schranke (englisch:  ''Lower Bound ''):
:$${\rm Q}_{\rm LB}(x )=\text{Lower Bound }\big [{\rm Q}(x ) \big ] =\frac{1-1/x^2}{\sqrt{2\pi}\cdot x}\cdot {\rm e}^{-x^ 2/\hspace{0.05cm}2} ={\rm Q}_{\rm UB}(x ) \cdot (1-1/x^2)< {\rm Q}(x).$$

In vielen Programmbibliotheken findet man allerdings die Funktion  ${\rm Q}(x )$  nicht.
 

===Die Funktion $1/2 \cdot {\rm erfc}(x )$===

In fast allen Programmbibliotheken findet man dagegen die ''Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion'' (englisch:  ''Complementary Gaussian Error Function'')
:$${\rm erfc}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{x}^{ +\infty}\hspace{-0.2cm}{\rm e}^{-u^{2}}\,{\rm d} u .$$
die mit  ${\rm Q}(x)$  wie folgt zusammenhängt:   ${\rm Q}(x)=1/2\cdot {\rm erfc}(x/{\sqrt{2}}).$
*Da bei fast allen Anwendungen diese Funktion mit dem Faktor  $1/2$  verwendet wird, wurde in diesem Applet genau diese Funktion realisiert:
:$$1/2 \cdot{\rm erfc}(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{x}^{ +\infty}\hspace{-0.2cm}{\rm e}^{-u^{2}}\,{\rm d} u .$$

*Auch für diese Funktion kann wieder eine obere und eine untere Schranke angegeben werden:
:$$\text{Upper Bound }\big [1/2 \cdot{\rm erfc}(x) \big ] = \frac{ 1}{\sqrt{\pi}\cdot 2x}\cdot {\rm e}^{- x^{2}} ,$$
:$$\text{Lower Bound }\big [1/2 \cdot{\rm erfc}(x) \big ] = \frac{ {1-1/(2x^2)}}{\sqrt{\pi}\cdot 2x}\cdot {\rm e}^{- x^{2}} .$$
 

===Wann bietet welche Funktion Vorteile?===

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 1:}$  Wir betrachten die binäre Basisbandübertragung. Hier lautet die Bitfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm B} = {\rm Q}({s_0}/{\sigma_d})$, wobei das Nutzsignal die Werte  $\pm s_0$  annehmen kann und der Rauscheffektivwert  $\sigma_d$  ist.

Es wird vorausgesetzt, dass Tabellen zur Verfügung stehen, in denen das Argument der Gaußschen Fehlerfunktionen im Abstand  $0.1$  aufgelistet sind. Mit  $s_0/\sigma_d = 4$  erhält man für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit gemäß der Q–Funktion:
:$$p_{\rm B} = {\rm Q} (4) \approx 0.317 \cdot 10^{-4}\hspace{0.05cm}.$$
Nach der zweiten Gleichung ergibt sich:
:$$p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm erfc} ( {4}/{\sqrt{2} })= {1}/{2} \cdot {\rm erfc} ( 2.828)\approx {1}/{2} \cdot {\rm erfc} ( 2.8)= 0.375 \cdot 10^{-4}\hspace{0.05cm}.$$
*Richtiger ist der erste Wert. Bei der zweiten Berechnungsart muss man runden oder – noch besser – interpolieren, was aufgrund der starken Nichtlinearität dieser Funktion sehr schwierig ist. 
*Bei den gegebenen Zahlenwerten ist demnach Q–Funktion besser geeignet. Außerhalb von Übungsbeispielen wird allerdings  $s_0/\sigma_d$  in der Regel einen &bdquo;krummen” Wert besitzen. In diesem Fall bietet  ${\rm Q}(x)$  natürlich keinen Vorteil gegenüber  $1/2 \cdot{\rm erfc}(x)$. }}

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 2:}$ 
Mit der Energie pro Bit  $(E_{\rm B})$  und der Rauschleistungsdichte  $(N_0)$  gilt für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit von ''Binary Phase Shift Keying''  (BPSK):
:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left ( \sqrt{ {2 E_{\rm B} }/{N_0} }\right ) = {1}/{2} \cdot {\rm erfc} \left ( \sqrt{ {E_{\rm B} }/{N_0} }\right ) \hspace{0.05cm}.$$
Für die Zahlenwerte  $E_{\rm B} = 16 \ \rm mWs$  und  $N_0 = 1 \ \rm mW/Hz$  erhält man:
:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left (4 \cdot \sqrt{ 2} \right ) = {1}/{2} \cdot {\rm erfc} \left ( 4\right ) \hspace{0.05cm}.$$
*Der erste Weg führt zum Ergebnis  $p_{\rm B} = {\rm Q} (5.657) \approx {\rm Q} (5.7) = 0.6 \cdot 10^{-8}\hspace{0.05cm}$, während  $1/2 \cdot{\rm erfc}(x)$  hier den richtigeren Wert  $p_{\rm B} \approx 0.771 \cdot 10^{-8}$  liefert.
*Wie im ersten Beispiel erkennt man aber auch hier:   Die Funktionen  ${\rm Q}(x)$  und  $1/2 \cdot{\rm erfc}(x)$  sind grundsätzlich gleich gut geeignet.
*Vor– oder Nachteile der einen oder anderen Funktion ergeben sich nur bei konkreten Zahlenwerten.}}
 

==Versuchsdurchführung==

*Wählen Sie zunächst die Nummer  $(1,\ 2$, ... $)$  der zu bearbeitenden Aufgabe.  Die Nummer  $0$  entspricht einem &bdquo;Reset”:  Einstellung wie beim Programmstart.
*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt.  Parameterwerte sind angepasst.  Lösung nach Drücken von &bdquo;Musterlösung”.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''   Ermitteln Sie die Werte der Funktion  ${\rm Q}(x)$  für  $x=1$,  $x=2$,  $x=4$  und  $x=6$.  Interpretieren Sie die Grafiken bei linearer und logarithmischer Ordinate.}}

*Das Applet liefert die Werte  ${\rm Q}(1)=1.5866 \cdot 10^{-1}$,  ${\rm Q}(2)=2.275 \cdot 10^{-2}$,  ${\rm Q}(4)=3.1671 \cdot 10^{-5}$  und  ${\rm Q}(6)=9.8659 \cdot 10^{-10}$.
*Bei linearer Ordinate sind die Werte für  $x>3$  nicht von der Nulllinie zu unterscheiden.  Interessanter ist die Darstellung mit logarithmischer Ordinate.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''   Bewerten Sie die beiden Schranken  ${\rm UB}(x )=\text{Upper Bound }\big [{\rm Q}(x ) \big ]$  und  ${\rm LB}(x )=\text{Lower Bound }\big [{\rm Q}(x ) \big ]$  für die  ${\rm Q}$–Funktion.}}

*Für  $x\ge 2$  liegt die obere Schranke nur geringfügig oberhalb von  ${\rm Q}(x)$  und die untere Schranke nur geringfügig unterhalb von  ${\rm Q}(x)$. 
*Zum Beispiel:  ${\rm Q}(x=4)=3.1671 \cdot 10^{-5}$   ⇒   ${\rm LB}(x=4)=3.1366 \cdot 10^{-5}$,   ${\rm UB}(x=4)=3.3458 \cdot 10^{-5}$.
*Die &bdquo;Upper Bound” hat eine größere Bedeutung zur Beurteilung eines Nachrichtensystems als &bdquo;LB”, da dies einer &bdquo;Worst Case”–Betrachtung entspricht.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''   Versuchen Sie, mit der App den Funktionswert  ${\rm Q}(x=2 \cdot \sqrt{2} \approx 2.828)$  trotz der Quantisierung des Eingabeparameters möglichst exakt zu bestimmen. }}
*Das Programm liefert für  $x=2.8$  das zu große Ergebnis  $2.5551 \cdot 10^{-3}$  und für  $x=2.85$  das Ergebnis  $2.186 \cdot 10^{-3}$.  Der exakte Wert liegt dazwischen.
*Es gilt aber auch:  ${\rm Q}(x=2 \cdot \sqrt{2})=0.5 \cdot {\rm erfc}(x=2)$.  Damit erhält man den exakten Wert  ${\rm Q}(x=2 \cdot \sqrt{2})=2.3389 \cdot 10^{-3}$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''   Ermitteln Sie die Werte der Funktion  $0.5 \cdot {\rm erfc}(x)$  für  $x=1$,  $x=2$,  $x=3$  und  $x=4$.  Interpretieren Sie die die exakten Ergebnisse und die Schranken.}}

*Das Applet liefert:  $0.5 \cdot {\rm erfc}(1)=7.865 \cdot 10^{-2}$,  $0.5 \cdot {\rm erfc}(2)=2.3389 \cdot 10^{-3}$,  $0.5 \cdot {\rm erfc}(3)=1.1045 \cdot 10^{-5}$  und  $0.5 \cdot {\rm erfc}(4)=7.7086 \cdot 10^{-9}$.
*Alle obigen Aussagen zur  ${\rm Q}$–Funktion bezüglich geeigneter Darstellungsart sowie oberer und unterer Schranke gelten auch für die Funktion  $0.5 \cdot {\rm erfc}(x)$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''   Die Ergbnisse von  '''(4)'''  sollen nun für den Fall einer logarithmischen Abszisse umgerechnet werden.  Die Umrechnung erfolgt entsprechend  $\rho\big[{\rm dB}\big ] = 20 \cdot \lg(x)$. }}

* Der lineare Abszissenwert  $x=1$  führt zum logarithmischen Abszissenwert  $\rho=0\ \rm dB$   ⇒   $0.5 \cdot {\rm erfc}(\rho=0\ {\rm dB})={0.5 \cdot \rm erfc}(x=1)=7.865 \cdot 10^{-2}$.
*Entsprechend gilt auch  $0.5 \cdot {\rm erfc}(\rho=6.021\ {\rm dB}) =0.5 \cdot {\rm erfc}(x=2)=2.3389 \cdot 10^{-3}$,     $0.5 \cdot {\rm erfc}(\rho=9.542\ {\rm dB})= 0.5 \cdot {\rm erfc}(3)=1.1045 \cdot 10^{-5}$,   
*$0.5 \cdot {\rm erfc}(\rho=12.041\ {\rm dB})= 0.5 \cdot {\rm erfc}(4)=7.7086 \cdot 10^{-9}$.
*Laut rechtem Diagramm:  $0.5 \cdot {\rm erfc}(\rho=6\ {\rm dB}) =2.3883 \cdot 10^{-3}$,     $0.5 \cdot {\rm erfc}(\rho=9.5\ {\rm dB}) =1.2109 \cdot 10^{-5}$,     $0.5 \cdot {\rm erfc}(\rho=12\ {\rm dB}) =9.006 \cdot 10^{-9}$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''   Ermitteln Sie  ${\rm Q}(\rho=0\ {\rm dB})$,  ${\rm Q}(\rho=5\ {\rm dB})$  und  ${\rm Q}(\rho=10\ {\rm dB})$,  und stellen Sie den Zusammenhang zwischen linearer und logarithmischer Abszisse her.}}
*Das Programm liefert für logarithmische Abszisse die Werte  ${\rm Q}(\rho=0\ {\rm dB})=1.5866 \cdot 10^{-1}$,  ${\rm Q}(\rho=5\ {\rm dB})=3.7679 \cdot 10^{-2}$,  ${\rm Q}(\rho=10\ {\rm dB})=7.827 \cdot 10^{-4}$.
*Die Umrechnung erfolgt gemäß der Gleichung  $x=10^{\hspace{0.05cm}0.05\hspace{0.05cm} \cdot\hspace{0.05cm} \rho[{\rm dB}]}$.  Für  $\rho=0\ {\rm dB}$  ergibt sich  $x=1$   ⇒   ${\rm Q}(\rho=0\ {\rm dB})={\rm Q}(x=1) =1.5866 \cdot 10^{-1}$.
*Für  $\rho=5\ {\rm dB}$  ergibt sich  $x=1.1778$   ⇒   ${\rm Q}(\rho=5\ {\rm dB})={\rm Q}(x=1.778) =3.7679 \cdot 10^{-2}$.  Aus dem linken Diagramm:  ${\rm Q}(x=1.8) =3.593 \cdot 10^{-2}$.
*Für  $\rho=10\ {\rm dB}$  ergibt sich  $x=3.162$   ⇒   ${\rm Q}(\rho=10\ {\rm dB})={\rm Q}(x=3.162) =7.827 \cdot 10^{-4}$.  Nach &bdquo;Quantisierung”:  ${\rm Q}(x=3.15) =8.1635 \cdot 10^{-4}$.

==Zur Handhabung des Applets==
 

[[Datei:Qfunction bedienung.png|right|550px]]
    '''(A)'''     Verwendete Gleichungen am Beispiel  ${\rm Q}(x)$

    '''(B)'''     Auswahloption für  ${\rm Q}(x)$  oder  ${\rm 0.5 \cdot erfc}(x)$

    '''(C)'''     Schranken  ${\rm LB}$  und  ${\rm UB}$  werden gezeichnet

    '''(D)'''     Auswahl, ob Abszisse linear  $\rm (lin)$  oder logarithmisch  $\rm (log)$ 

    '''(E)'''     Auswahl, ob Ordinate linear  $\rm (lin)$  oder logarithmisch  $\rm (log)$ 

    '''(F)'''     Numerikausgabe am Beispiel  ${\rm Q}(x)$  bei linearer Abszisse

    '''(G)'''     Slidereingabe des Abszissenwertes  $x$  für lineare Abszisse

    '''(H)'''     Slidereingabe des Abszissenwertes  $\rho \ \rm [dB]$  für logarithmische Abszisse

    '''(I)'''     Grafikausgabe der Funktion  ${\rm Q}(x)$  – hier:  lineare Abszisse

    '''(J)'''     Grafikausgabe der Funktion  ${\rm 0.5 \cdot erfc}(x)$  – hier:  lineare Abszisse

    '''(K)'''     Variationsmöglichkeit für die graphischen Darstellungen

$\hspace{1.5cm}$&bdquo;$+$” (Vergrößern),

$\hspace{1.5cm}$ &bdquo;$-$” (Verkleinern)

$\hspace{1.5cm}$ &bdquo;$\rm o$” (Zurücksetzen)

$\hspace{1.5cm}$ &bdquo;$\leftarrow$” (Verschieben nach links), usw.
 
==Über die Autoren==
Dieses interaktive Berechnungstool wurde am  [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]  der  [https://www.tum.de/ Technischen Universität München]  konzipiert und realisiert.
*Die erste Version wurde 2007 von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Thomas_Gro.C3.9Fer_.28Diplomarbeit_LB_2006.2C_danach_freie_Mitarbeit_bis_2010.29|Thomas Großer]]  im Rahmen seiner Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|Günter Söder]]).
*2018/2019 wurde das Programm von  ''Marwen Ben Ammar''  und  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Xiaohan_Liu_.28Bachelorarbeit_2018.29|Xiaohan Liu]]  (Bachelorarbeit, Betreuer:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29|Tasnád Kernetzky]] ) auf &bdquo;HTML5” umgesetzt und neu gestaltet.

Die Umsetzung dieses Applets auf HTML 5 wurde durch  [https://www.ei.tum.de/studium/studienzuschuesse/ Studienzuschüsse]  der Fakultät EI der TU München finanziell unterstützt. Wir bedanken uns.

==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==
 
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Applets:Frequenzgang und Impulsantwort

2025-02-24T09:43:33Z

{{LntAppletLinkDeEn|frequImpResp|frequImpResp_en}}

==Programmbeschreibung==
 

Dargestellt werden reelle und symmetrische Tiefpässe  $H(f)$  und die dazugehörigen Impulsantworten  $h(t)$, nämlich
*Gauß–Tiefpass  (englisch:  ''Gaussian low–pass''),
*Rechteck–Tiefpass   (englisch:  ''Rectangular low–pass''),
*Dreieck–Tiefpass  (englisch:  ''Triangular low–pass''),
*Trapez–Tiefpass  (englisch:  ''Trapezoidal low–pass''),
*Cosinus–Rolloff–Tiefpass  (englisch:  ''Cosine-rolloff low–pass''),
*Cosinus-Quadrat-Tiefpass  (englisch:  ''Cosine-rolloff -squared Low–pass'').

Es ist zu beachten:
* Die Funktionen  $H(f)$  bzw.  $h(t)$  werden für bis zu zwei Parametersätzen in jeweils einem Diagramm dargestellt.
* Die roten Kurven und Zahlenangaben gelten für den linken Parametersatz, die blauen für den rechten Parametersatz.
* Die Abszissen  $t$  (Zeit) und  $f$  (Frequenz) sowie die Ordinaten  $H(f)$  und  $h(t)$  sind jeweils normiert.

==Theoretischer Hintergrund==
 
===Frequenzgang  $H(f)$  und Impulsantwort  $h(t)$===
*Der  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich#.C3.9Cbertragungsfunktion_-_Frequenzgang|Frequenzgang]]  (oder auch die  ''Übertragungsfunktion'')  $H(f)$  eines linearen zeitinvarianten Übertragungssystems gibt das Verhältnis zwischen dem Ausgangsspektrum  $Y(f)$  und dem dem Eingangsspektrum  $X(f)$  an:
:$$H(f) = \frac{Y(f)}{X(f)}.$$
*Ist das Übertragungsverhalten bei tiefen Frequenzen besser als bei höheren, so spricht man von einem  '''Tiefpass'''  (englisch:  ''Low-pass'').
*Die Eigenschaften von  $H(f)$  werden im Zeitbereich durch die  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich#Impulsantwort|Impulsantwort]]  $h(t)$  ausgedrückt.  Entsprechend dem  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_zweite_Fourierintegral|zweiten Fourierintegral]]  gilt:
:$$h(t)={\rm IFT} [H(f)] = \int_{-\infty}^{+\infty}H(f)\cdot {\rm e}^{+{\rm j}2\pi f t}\hspace{0.15cm} {\rm d}f\hspace{1cm}
{\rm IFT}\hspace{-0.1cm}: \rm Inverse \ Fouriertransformation.$$
*Die Gegenrichtung wird durch das  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|erste Fourierintegral]]  beschrieben:
:$$H(f)={\rm FT} [h(t)] = \int_{-\infty}^{+\infty}h(t)\cdot {\rm e}^{-{\rm j}2\pi f t}\hspace{0.15cm} {\rm d}t\hspace{1cm}
\rm FT\hspace{-0.1cm}: \ Fouriertransformation.$$
*In allen Beispielen verwenden wir reelle und gerade Funktionen.  Somit gilt:
:$$h(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}H(f)\cdot \cos(2\pi ft) \hspace{0.15cm} {\rm d}f \ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\ \ \ H(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}h(t)\cdot \cos(2\pi ft) \hspace{0.15cm} {\rm d}t .$$
*Bei einem Vierpol  $[$das bedeutet:  $X(f)$  und  $Y(f)$  haben gleiche Einheiten$]$   ist  $Y(f)$  dimensionslos. 
*Die Einheit der Impulsantwort ist  $\rm 1/s$.  Es gilt zwar $\rm 1/s = 1 \ Hz$, aber die Einheit &bdquo;Hertz” ist in diesem Zusammenhang unüblich.
*Der Zusammenhang zwischen diesem Applet und dem ähnlich aufgebauten Applet  [[Applets:Impulse_und_Spektren|Impulse und Spektren]]  basiert auf dem  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Vertauschungssatz|Vertauschungssatz]].
*Alle Zeiten sind auf eine Normierungszeit  $T$  normiert und alle Frequenzen auf  $1/T  \ \Rightarrow$  die Zahlenwerte von   $h(t)$  müssen noch durch  $T$  dividiert werden.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel:}$  Stellt man einen Rechteck–Tiefpass mit Höhe  $K_1 = 1$  und äquivalenter Bandbreite  $\Delta f_1 = 1$  ein,
*so ist der Frequenzgang  $H_1(f)$  im Bereich  $-1 < f < 1$  gleich  $1$  und außerhalb dieses Bereichs gleich Null. 
*Die Impulsantwort  $h_1(t)$  verläuft  $\rm si$–förmig mit  $h_1(t= 0) = 1$  und der ersten Nullstelle bei  $t=1$.

Mit dieser Einstellung soll nun ein Rechteck–Tiefpass mit  $K = 1.5$  und  $\Delta f = 2 \ \rm kHz$  nachgebildet werden, wobei die Normierungszeit  $T= 1 \ \rm ms$  betrage. 
*Dann liegt die erste Nullstelle bei  $t=0.5\ \rm ms$  und das Impulsantwortmaximum ist dann  $h(t= 0) = 3 \cdot 10^3 \ \rm 1/s$.}}

===Gauß–Tiefpass   $\Rightarrow$   Gaussian Low–pass ===

*Der Gauß–Tiefpass lautet mit der Höhe  $K$  und der (äquivalenten) Bandbreite  $\Delta f$:
:$$H(f)=K\cdot {\rm e}^{-\pi\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}(f/\Delta f)^2}.$$
*Die äquivalente Bandbreite  $\Delta f$  ergibt sich aus dem flächengleichen Rechteck.
*Der Wert bei  $f = \Delta f/2$  ist um den Faktor  $0.456$  kleiner als der Wert bei  $f=0$.
*Für die Impulsantwort erhält man gemäß der Fourierrücktransformation:
:$$h(t)=K\cdot \Delta f \cdot {\rm e}^{-\pi(t\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \Delta f)^2} .$$
*Je kleiner  $\Delta f$  ist, um so breiter und niedriger ist die Impulsantwort   ⇒   [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Reziprozit.C3.A4tsgesetz_von_Zeitdauer_und_Bandbreite|Reziprozitätsgesetz von Bandbreite und Impulsdauer]].
*Sowohl  $H(f)$  als auch  $h(t)$  sind zu keinem  $f$– bzw.  $t$–Wert exakt gleich Null.
*Für praktische Anwendungen kann der Gaußimpuls jedoch in Zeit und Frequenz als begrenzt angenommen werden. 
*Zum Beispiel ist  $h(t)$  bereits bei  $t=1.5 \cdot \Delta t$  auf weniger als  $0.1\% $  des Maximums abgefallen.
 
===Idealer (rechteckförmiger) Tiefpass   $\Rightarrow$   Rectangular Low–pass ===
*Der Rechteck–Tiefpass lautet mit der Höhe  $K$  und der (äquivalenten) Bandbreite  $\Delta f$:

:$$H(f) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K \\ K /2 \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.05cm} f\hspace{0.05cm} \right| < \Delta f/2,} \\ {\left| \hspace{0.05cm}f\hspace{0.05cm} \right| = \Delta f/2,} \\ {\left|\hspace{0.05cm} f \hspace{0.05cm} \right| > \Delta f/2.} \\ \end{array}$$

*Der  $\pm \Delta f/2$–Wert liegt mittig zwischen links- und rechtsseitigem Grenzwert.
*Für die Impulsantwort  $h(t)$  erhält man entsprechend den Gesetzmäßigkeiten der Fourierrücktransformation (2. Fourierintegral):
:$$h(t)=K\cdot \Delta f \cdot {\rm si}(\pi\cdot \Delta f \cdot t) \quad \text{mit} \quad {\rm si}(x)={\sin(x)}/{x}.$$
*Der  $h(t)$–Wert bei  $t=0$  ist gleich der Rechteckfläche des Frequenzgangs.
*Die Impulsantwort besitzt Nullstellen in äquidistanten Abständen  $1/\Delta f$.
*Das Integral über die Impulsantwort  $h(t)$  ist gleich dem Frequenzgang  $H(f)$  bei der Frequenz  $f=0$, ist also gleich  $K$.
 

===Dreieck–Tiefpass   $\Rightarrow$   Triangular Low–pass===

*Der Dreieck–Tiefpass lautet mit der Höhe  $K$  und der (äquivalenten) Bandbreite  $\Delta f$:

:$$H(f) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K\cdot \Big(1-\frac{|f|}{\Delta f}\Big) \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.05cm} f\hspace{0.05cm} \right| < \Delta f,} \\ {\left| \hspace{0.05cm}f\hspace{0.05cm} \right| \ge \Delta f.} \\ \end{array}$$

*Die absolute physikalische Bandbreite  $B$   ⇒   [nur positive Frequenzen]   ist ebenfalls gleich  $\Delta f$, ist also so groß wie beim Rechteck–Tiefpass.
*Für die Impulsantwort  $h(t)$  erhält man gemäß der Fouriertransformation:
:$$h(t)=K\cdot \Delta f \cdot {\rm si}^2(\pi\cdot \Delta f \cdot t) \quad \text{mit} \quad {\rm si}(x)={\sin(x)}/{x}.$$
*$H(f)$  kann man als Faltung zweier Rechteckfunktionen  $($jeweils mit Breite  $\Delta f)$  darstellen.
*Daraus folgt:  $h(t)$  beinhaltet anstelle der  ${\rm si}$-Funktion die  ${\rm si}^2$-Funktion.
*$h(t)$  weist somit ebenfalls Nullstellen im äquidistanten Abständen  $1/\Delta f$  auf.
*Der asymptotische Abfall von  $h(t)$  erfolgt hier mit  $1/t^2$, während zum Vergleich beim Rechteck–Tiefpass  $h(t)$  mit  $1/t$  abfällt.
 

===Trapez–Tiefpass   $\Rightarrow$   Trapezoidal Low–pass ===
Der Trapez–Tiefpass lautet mit der Höhe  $K$  und den beiden Eckfrequenzen  $f_1$  und  $f_2$:
:$$H(f) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K \\ K\cdot \frac{f_2-|f|}{f_2-f_1} \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.05cm} f\hspace{0.05cm} \right| \le f_1,} \\ {f_1\le \left| \hspace{0.05cm}f\hspace{0.05cm} \right| \le f_2,} \\ {\left|\hspace{0.05cm} f \hspace{0.05cm} \right| \ge f_2.} \\ \end{array}$$

*Für die äquivalente Bandbreite  (flächengleiches Rechteck)  gilt:  $\Delta f = f_1+f_2$.
*Der Rolloff-Faktor (im Frequenzbereich) kennzeichnet die Flankensteilheit:
:$$r=\frac{f_2-f_1}{f_2+f_1}.$$
*Der Sonderfall  $r=0$  entspricht dem Rechteck–Tiefpass und der Sonderfall  $r=1$  dem Dreieck–Tiefpass.
*Für die Impulsantwort erhält man gemäß der Fourierrücktransformation:
:$$h(t)=K\cdot \Delta f \cdot {\rm si}(\pi\cdot \Delta f \cdot t)\cdot {\rm si}(\pi \cdot r \cdot \Delta f \cdot t) \quad \text{mit} \quad {\rm si}(x)={\sin(x)}/{x}.$$
*Der asymptotische Abfall von  $h(t)$  liegt zwischen  $1/t$  $($für Rechteck–Tiefpass oder  $r=0)$  und  $1/t^2$  $($für Dreieck–Tiefpass oder  $r=1)$.
 

===Cosinus-Rolloff-Tiefpass   $\Rightarrow$   Cosine-rolloff Low–pass ===
Der Cosinus–Rolloff–Tiefpass lautet mit der Höhe  $K$  und den beiden Eckfrequenzen  $f_1$  und  $f_2$:

:$$H(f) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K \\ K\cdot \cos^2\Big(\frac{|f|-f_1}{f_2-f_1}\cdot {\pi}/{2}\Big) \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.05cm} f\hspace{0.05cm} \right| \le f_1,} \\ {f_1\le \left| \hspace{0.05cm}f\hspace{0.05cm} \right| \le f_2,} \\ {\left|\hspace{0.05cm} f \hspace{0.05cm} \right| \ge f_2.} \\ \end{array}$$

*Für die äquivalente Bandbreite  (flächengleiches Rechteck)  gilt:  $\Delta f = f_1+f_2$.
*Der Rolloff-Faktor (im Frequenzbereich) kennzeichnet die Flankensteilheit:
:$$r=\frac{f_2-f_1}{f_2+f_1}.$$
*Der Sonderfall  $r=0$  entspricht dem Rechteck–Tiefpass und der Sonderfall  $r=1$  dem Cosinus-Quadrat-Tiefpass.
*Für die Impulsantwort erhält man gemäß der Fourierrücktransformation:
:$$h(t)=K\cdot \Delta f \cdot \frac{\cos(\pi \cdot r\cdot \Delta f \cdot t)}{1-(2\cdot r\cdot \Delta f \cdot t)^2} \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t).$$
*Je größer der Rolloff-Faktor  $r$  ist, desto schneller nimmt  $h(t)$  asymptotisch mit  $t$  ab.

===Cosinus-Quadrat-Tiefpass   $\Rightarrow$   Cosine-rolloff -squared Low–pass ===
*Dies ist ein Sonderfall des Cosinus–Rolloff–Tiefpasses und ergibt sich aus diesem für  $r=1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}f_1=0,\ f_2= \Delta f$:

:$$H(f) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K\cdot \cos^2\Big(\frac{|f|\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \pi}{2\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \Delta f}\Big) \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.05cm} f\hspace{0.05cm} \right| < \Delta f,} \\ {\left| \hspace{0.05cm}f\hspace{0.05cm} \right| \ge \Delta f.} \\ \end{array}$$

*Für die Impulsantwort erhält man gemäß der Fourierrücktransformation:
:$$h(t)=K\cdot \Delta f \cdot {\pi}/{4}\cdot \big [{\rm si}(\pi(\Delta f\cdot t +0.5))+{\rm si}(\pi(\Delta f\cdot t -0.5))\big ]\cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t).$$
*Wegen der letzten  ${\rm si}$-Funktion ist  $h(t)=0$  für alle Vielfachen von  $T=1/\Delta f$   ⇒   Die äquidistanten Nulldurchgänge des Cosinus–Rolloff–Tiefpasses bleiben erhalten.
*Aufgrund des Klammerausdrucks weist  $h(t)$  nun weitere Nulldurchgänge bei  $t=\pm1.5 T$,  $\pm2.5 T$,  $\pm3.5 T$, ...  auf.
*Für  $t=\pm T/2$  hat die Impulsanwort den Wert  $K\cdot \Delta f/2$.
*Der asymptotische Abfall von  $h(t)$  verläuft in diesem Sonderfall mit  $1/t^3$.

==Versuchsdurchführung==
 

*Wählen Sie zunächst die Nummer  $(1,\ 2$, ... $)$  der zu bearbeitenden Aufgabe.  Die Nummer  $0$  entspricht einem &bdquo;Reset”:  Einstellung wie beim Programmstart.
*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt.  Die Parameterwerte sind angepasst.  Lösung nach Drücken von &bdquo;Musterlösung”.
*&bdquo;Rot” bezieht sich auf den ersten Parametersatz   ⇒   $H_1(f) \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\ h_1(t)$  und &bdquo;Blau” bezieht sich auf den zweiten Parametersatz   ⇒   $H_2(f) \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\ h_2(t)$.
*Werte betragsmäßig kleiner  $0.0005$  werden im Programm zu Null gesetzt. 
 

{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''   Vergleichen Sie den  '''roten Gauß–Tiefpass'''  $(K_1 = 1, \ \Delta f_1 = 1)$  mit dem  '''blauen Rechteck–Tiefpass'''  $(K_2 = 1,\ \Delta f_2 = 1)$.  Fragen:          
'''(a)'''  Welche Ausgangssignale  $y(t)$  ergeben sich, wenn am Eingang das Signal  $x(t) = 2 \cdot \cos (2\pi f_0 t -\varphi_0)$  mit  $f_0 = 0.5$  anliegt?          
'''(b)'''  Welche Unterschiede ergeben sich bei beiden Tiefpässen mit  $f_0 = 0.5 \pm f_\varepsilon$  und  $f_\varepsilon \ne 0, \ f_\varepsilon \to 0$?}}

:'''(a)'''  Es gilt  $y(t) = A \cdot \cos (2\pi f_0 t -\varphi_0)$  mit  $A = 2 \cdot H(f = f_0) \ \Rightarrow \ A_1 = 0.912, \ A_2 = 1.000$.  Die Phase  $\varphi_0$  bleibt erhalten.

:'''(b)'''  Bei  '''Rot'''  gilt weiterhin  $ A_1 = 0.912$.  Bei  '''Blau'''  ist  $A_2 = 0$  für  $f_0 = 0.5000\text{...}001$  und  $A_2 = 2$  für  $f_0 = 0.4999\text{...}999$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''   Lassen Sie die Einstellungen unverändert.  Welcher Tiefpass  $H(f)$  kann das erste oder das zweite Nyquistkriterium erfüllen?        
Hierbei bezeichnet  $H(f)$  den Gesamtfrequenzgang von Sender, Kanal und Empfangsfilter.}}

*Erstes Nyquistkriterium:  Die Impulsantwort  $h(t)$  muss äquidistante Nulldurchgänge zu den (normierten) Zeiten  $t = 1,\ 2$, ...  aufweisen.
*Die Impulsantwort  $h(t) = {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t)$  des Rechteck–Tiefpasses erfüllt dieses Kriterium mit  $\Delta f = 1$.
*Dagegen wird beim Gauß–Tiefpass das erste Nyquistkriterium nie erfüllt und es kommt immer zu Impulsinterferenzen.
*Das zweite Nyquistkriterium erfüllt weder der Rechteck–Tiefpass noch der Gauß–Tiefpass.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''   Vergleichen Sie den  '''roten Rechteck–Tiefpass'''  $(K_1 = 0.5, \ \Delta f_1 = 2)$  mit dem  '''blauen Rechteck–Tiefpass'''  $(K_2 = 1, \ \Delta f_2 = 1)$.        
Variieren Sie anschließend  $\Delta f_1$  zwischen  $2$  und  $0.5$. }}

*Mit  $\Delta f_1 = 2$  liegen die Nullstellen von  $h_1(t)$  bei Vielfachen von  $0.5$   ⇒   $h_1(t)$  klingt doppelt so schnell ab wie  $h_2(t)$.
*Mit der vorliegenden Einstellung gilt  $h_1(t = 0) = h_2(t = 0)$, da die Rechteckflächen von  $H_1(f)$  und  $H_2(f)$  gleich sind.
*Verringert man man  $\Delta f_1$, so wird die Impulsantwort  $h_1(t)$  immer breiter und niedriger.
*Mit  $\Delta f_1 = 0.5$  ist  $h_1(t)$  doppelt so breit wie  $h_2(t)$, gleichzeitig aber um den Faktor  $4$  niedriger.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''   Vergleichen Sie den  '''roten Trapez–Tiefpass'''  $(K_1 = 1, \ \Delta f_1 = 1, \ r_1 = 0.5)$  mit dem  '''blauen Rechteck–Tiefpass'''  $(K_2 = 1, \ \Delta f_2 = 1)$.         Variieren Sie anschließend  $r_1$  zwischen  $0$  und  $1$. }}

*Mit  $r_1 = 0.5$  sind die Unterschwinger von  $h_1(t)$  beim &bdquo;Trapez” wegen des flacheren Flankenabfalls geringer als beim &bdquo;Rechteck”.
*Mit kleinerem  $r_1$  nehmen die Unterschwinger zu.  Mit  $r_1= 0$  ist der Trapez– gleich dem Rechteck–Tiefpass   ⇒   $h(t)= {\rm si}(\pi \cdot t/T)$.
*Mit größerem  $r_1$  werden die Unterschwinger kleiner. Mit  $r_1= 1$  ist der Trapez– gleich dem Dreieck–Tiefpass   ⇒   $h(t)= {\rm si}^2(\pi \cdot t/T)$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''   Vergleichen Sie den  '''Trapez–Tiefpass'''  $(K_1 = 1, \ \Delta f_1 = 1, \ r_1 = 0.5)$  mit dem  '''Cosinus-Rolloff-Tiefpass'''  $(K_2 = 1,\ \Delta f_2 = 1, \ r_2 = 0.5)$.         Variieren Sie  $r_2$  zwischen  $0$  und  $1$.  Interpretieren Sie die Impulsantwort für  $r_2 = 0.75$.  Welcher Tiefpass erfüllt das erste Nyquistkriterium?}}

*Bei  $r_1 = r_2= 0.5$  verläuft der Flankenabfall von  $H_2(f)$  um die Frequenz  $f = 0.5$  steiler als der Flankenabfall von  $H_1(f)$.
*Bei gleichem Rolloff  $r= 0.5$  hat die Impulsantwort  $h_2(t)$  für  $t > 1$  betragsmäßig größere Anteile als  $h_1(t)$.
*Mit  $r_1 = 0.5$  und  $r_2 = 0.75$  gilt  $H_1(f) \approx H_2(f)$  und damit auch  $h_1(t) \approx h_2(t)$.
*$H_1(f)$  und  $H_2(f)$  erfüllen beide das erste Nyquistkriterium:  Beide Funktionen sind punktsymmetrisch um den &bdquo;Nyquistpunkt”.
*Wegen  $\Delta f = 1$  besitzen sowohl  $h_1(t)$  als auch  $h_2(t)$  Nulldurchgänge bei  $\pm 1$,  $\pm 2$, ...   ⇒   jeweils maximale vertikale Augenöffnung.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''   Vergleichen Sie den  '''Cosinus–Quadrat–Tiefpass'''  $(K_1 = 1, \ \Delta f_1 = 1)$  mit dem  '''Cosinus-Rolloff-Tiefpass'''  $(K_2 = 1, \ \Delta f_2 = 1,\ r_2 = 0.5)$.         Variieren Sie  $r_2$  zwischen  $0$  und  $1$.  Interpretieren Sie die Ergebnisse.  Welcher Tiefpass erfüllt das zweite Nyquistkriterium]]?}}

*$H_1(f)$  ist ein Sonderfall des Cosinus–Rolloff–Tiefpasses mit Rolloff  $r_2 =1$.  Das erste Nyquistkriterium wird auch mit  $r_2 \ne 1$  erfüllt.
*Nach dem zweiten Nyquistkriterium muss  $h(t)$  auch Nulldurchgänge bei  $t=\pm 1.5$,  $\pm 2.5$,  $\pm 3.5$, ... besitzen  $($nicht jedoch bei  $t = \pm 0.5)$.
*Für den Cosinus–Quadrat–TP gilt also  $h_1(t=\pm 0.5) = 0.5$,  $h_1(t=\pm 1) = h_1(t=\pm 1.5) = h_1(t=\pm 2)= h_1(t=\pm 2.5) = \text{...} =0$.
*Nur der Cosinus–Quadrat–TP erfüllt das erste und zweite Nyquistkriterium gleichzeitig:  Maximale vertikale und horizontale Augenöffnung.

==Zur Handhabung des Programms==
[[Datei:Frequenz.png|right|frame|Bildschirmabzug (englische Version, heller Hintergrund)]]
    '''(A)'''     Theme (veränderbare grafische Oberflächengestaltung)
:* Dark:   schwarzer Hintergrund  (wird von den Autoren empfohlen)
:* Bright:   weißer Hintergrund  (empfohlen für Beamer und Ausdrucke)
:* Deuteranopia:   für Nutzer mit ausgeprägter Grün–Sehschwäche
:* Protanopia:   für Nutzer mit ausgeprägter Rot–Sehschwäche

    '''(B)'''     Vorauswahl für den Frequenzgang  $H_1(f)$  (rote Kurve)

    '''(C)'''     Parameterfestlegung für  $H_1(f)$ 

    '''(D)'''     Numerikausgabe für  $H_1(f_*)$  und  $h_1(t_*)$

    '''(E)'''     Vorauswahl für den Frequenzgang  $H_2(f)$  (blaue Kurve)

    '''(F)'''     Parameterfestlegung für  $H_2(f)$ 

    '''(G)'''     Numerikausgabe für  $H_2(f_*)$  und  $h_2(t_*)$

    '''(H)'''     Einstellung der Frequenz  $f_*$  für die Numerikausgabe

    '''(I)'''      Einstellung der Zeit  $t_*$  für die Numerikausgabe

    '''(J)'''     Bereich der graphischen Darstellung im Frequenzbereich

    '''(K)'''     Bereich der graphischen Darstellung im Zeitbereich

    '''(L)'''     Auswahl der Aufgabe entsprechend der Aufgabennummer

    '''(M)'''     Aufgabenbeschreibung und Fragestellung

    '''(N)'''     Musterlösung anzeigen und verbergen

'''Details zu den obigen Punkten  (J ) und  (K)'''

Zoom–Funktionen:        &bdquo;$+$” (Vergrößern),      &bdquo;$-$” (Verkleinern),      &bdquo;$\rm o$” (Zurücksetzen)

Verschiebe–Funktionen:     &bdquo;$\leftarrow$”     &bdquo;$\uparrow$”     &bdquo;$\downarrow$”     &bdquo;$\rightarrow$”         &bdquo;$\leftarrow$”  bedeutet:     Bildausschnitt nach links, Ordinate nach rechts

Andere Möglichkeiten:

*Bei gedrückter Shifttaste und Scrollen kann im Koordinatensystem gezoomt werden.
*Bei gedrückter Shifttaste und gedrückter linker Maustaste kann das Koordinatensystem verschoben werden.
 

==Über die Autoren==
Dieses interaktive Berechnungstool wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.
*Die erste Version wurde 2005 von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]] im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|Günter Söder]] und [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Klaus_Eichin_.28am_LNT_von_1972-2011.29|Klaus Eichin]]).
*2017 wurde &bdquo;Impulse & Spektren” von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#David_Jobst_.28Ingenieurspraxis_Math_2017.29|David Jobst]] im Rahmen seiner Ingenieurspraxis (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29|Tasnád Kernetzky]]) auf &bdquo;HTML5” umgesetzt und neu gestaltet.
*Letztmalige Überarbeitung 2020 durch  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit.

==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==

{{LntAppletLinkDeEn|frequImpResp|frequImpResp_en}}

Wahrscheinlichkeit und WDF (Lernvideo)

2025-02-24T09:43:33Z

=== Teil 1 ===
Definition von Wahrscheinlichkeit und Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) – WDF wertkontinuierlicher Signale – WDF wertdiskreter Signale (Dauer 5:36).

<lntmedia preload="none">
file:Wahrscheinlichkeit_und_WDF_1.mp4
file:Wahrscheinlichkeit_und_WDF_1.ogv
</lntmedia>

=== Teil 2 ===
WDF von Audiosignalen – Berücksichtigung von Sprachpausen – Einfluss der Lautstärke (Dauer 6:35).

<lntmedia preload="none">
file:Wahrscheinlichkeit_und_WDF_2.mp4
file:Wahrscheinlichkeit_und_WDF_2.ogv
</lntmedia>

=== Anmerkungen zur Nomenklatur ===

In diesem Lernvideo bezeichnet $f_x(x)$ ebenso wie im gesamten Lerntutorial &bdquo;LNTwww” die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) der Zufallsgröße $x$. Die englische Bezeichnung ist ''Probability Density Function'' (PDF).

In der Literatur findet man aber auch häufig die Notation $f_X(x)$, wobei $X$ die Zufallsgröße angibt und $x$ eine Realisierung. Es gilt $x \in X$.

Dieses Lernvideo wurde 2004 am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert. 
Buch und Regie: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|Günter Söder]],   Fachliche Beratung: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Thomas_Stockhammer_.28am_LNT_von_1996-2004.29|Thomas Stockhammer]],   Sprecher: Joachim Schenk,   Realisierung: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Franz_Kohl_.28Diplomarbeit_LB_2004.2C_danach_freie_Mitarbeit_bis_2006.29|Franz Kohl]].

Im Zuge der LNTwww-Neugestaltung (Version 3) wurden diese Lernvideos 2016/2017 durch [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29|Tasnád Kernetzky]] und einigen Studenten in moderne Formate konvertiert, um von möglichst vielen Browsern wie Firefox, Chrome und Safari, als auch von Smartphones wiedergegeben werden zu können.

Applets:Binomial and Poisson Distribution (Applet)

2025-02-24T09:43:33Z

{{LntAppletLinkEn|binomPoissonDistributions_en}}

==Applet Description==

This applet allows the calculation and graphical display of
*the probabilities ${\rm Pr}(z=\mu)$ of a discrete random variable $z \in \{\mu \} = \{0, 1, 2, 3, \text{...} \}$, that determine its ''Probability Density Function'' (PDF) – here representation with Dirac functions ${\rm \delta}( z-\mu)$:
:$$f_{z}(z)=\sum_{\mu=1}^{M}{\rm Pr}(z=\mu)\cdot {\rm \delta}( z-\mu),$$
*the probabilities ${\rm Pr}(z \le \mu)$ of the ''Cumulative Distribution Function'' (CDF):
:$$F_{z}(\mu)={\rm Pr}(z\le\mu).$$

Discrete distributions are available in two sets of parameters:
* the Binomial distribution with the parameters $I$ and $p$   ⇒   $z \in \{0, 1, \text{...} \ , I \}$   ⇒   $M = I+1$ possible values,
*the Poisson distribution with the parameter $\lambda$   ⇒   $z \in \{0, 1, 2, 3, \text{...}\}$   ⇒   $M \to \infty$.

In the exercises below you will be able to compare:
* two Binomial distributions with different sets of parameters $I$ and $p$,
* two Poisson distributions with different rates $\lambda$,
*a Binomial distribution with a Poisson distribution.

==Theoretical Background==

===Properties of the Binomial Distribution===
The ''Binomial distribution'' represents an important special case for the likelihood of occurence of a discrete random variable. For the derivation we assume, that $I$ binary and statistically independent random variables $b_i \in \{0, 1 \}$ can take
*the value $1$ with the probability ${\rm Pr}(b_i = 1) = p$, and
*the value $0$ with the probability ${\rm Pr}(b_i = 0) = 1-p$.

The sum
:$$z=\sum_{i=1}^{I}b_i$$
is also a discrete random variable with symbols from the set $\{0, 1, 2, \cdots\ , I\}$ with size $M = I + 1$ and is called "binomially distributed".

'''Probabilities of the Binomial Distribution'''

The probabilities to find $z = \mu$ for $μ = 0, \text{...}\ , I$ are given as
:$$p_\mu = {\rm Pr}(z=\mu)={I \choose \mu}\cdot p^\mu\cdot ({\rm 1}-p)^{I-\mu},$$
with the number of combinations $(I \text{ over }\mu)$:
:$${I \choose \mu}=\frac{I !}{\mu !\cdot (I-\mu) !}=\frac{ {I\cdot (I- 1) \cdot \ \cdots \ \cdot (I-\mu+ 1)} }{ 1\cdot 2\cdot \ \cdots \ \cdot \mu}.$$

'''Moments of the Binomial Distribution'''

Consider a binomially distributed random variable $z$ and its expected value of order $k$:
:$$m_k={\rm E}[z^k]=\sum_{\mu={\rm 0}}^{I}\mu^k\cdot{I \choose \mu}\cdot p^\mu\cdot ({\rm 1}-p)^{I-\mu}.$$

We can derive the formulas for
*the linear average:   $m_1 = I\cdot p,$
*the quadratic average:   $m_2 = (I^2-I)\cdot p^2+I\cdot p,$
*the variance and standard deviation:   $\sigma^2 = {m_2 - m_1^2} = {I \cdot p\cdot (1-p)} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
\sigma = \sqrt{I \cdot p\cdot (1-p)}.$

'''Applications of the Binomial Distribution'''

The Binomial distribution has a variety of uses in telecommunications as well as in other disciplines:
*It characterizes the distribution of rejected parts (Ausschussstücken) in statistical quality control.
*The simulated bit error rate of a digital transmission system is technically a binomially distributed random variable.
*The binomial distribution can be used to calculate the residual error probability with blockwise coding, as the following example shows.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example 1:}$ 
When transfering blocks of $I =5$ binary symbols through a channel, that
*distorts a symbol with probability $p = 0.1$   ⇒   random variable $e_i = 1$, and
*transfers the symbol undistorted with probability $1 - p = 0.9$   ⇒   random variable $e_i = 0$,

the new random variable $f$ (&bdquo;Error per block”) calculates to:
:$$f=\sum_{i=1}^{I}e_i.$$

$f$ can now take integer values between $\mu = 0$ (all symbols are correct) and $\mu = I = 5$ (all five symbols are erroneous). We describe the probability of $\mu$ errors as $p_μ = {\rm Pr}(f = \mu)$.
*The case that all five symbols are transmitted correctly occurs with the probability of $p_0 = 0.9^{5} ≈ 0.5905$. This can also be seen from the binomial formula for $μ = 0$ , considering the definition $5\text{ over } 0 = 1$.
*A single error $(f = 1)$ occurs with the probability $p_1 = 5\cdot 0.1\cdot 0.9^4\approx 0.3281$. The first factor indicates, that there are $5\text{ over } 1 = 5$ possibe error positions. The other two factors take into account, that one symbol was erroneous and the other four are correct when $f =1$.
*For $f =2$ there are $5\text{ over } 2 = (5 \cdot 4)/(1 \cdot 2) = 10$ combinations and you get a probability of $p_2 = 10\cdot 0.1^2\cdot 0.9^3\approx 0.0729$.

If a block code can correct up to two errors, the residual error probability is $p_{\rm R} = 1-p_{\rm 0}-p_{\rm 1}-p_{\rm 2}\approx 0.85\%$.
A second calculation option would be $p_{\rm R} = p_{3} + p_{4} + p_{5}$ with the approximation $p_{\rm R} \approx p_{3} = 0.81\%.$

The average number of errors in a block is $m_f = 5 \cdot 0.1 = 0.5$ and the variance of the random variable $f$ is $\sigma_f^2 = 5 \cdot 0.1 \cdot 0.9= 0.45$   ⇒   standard deviation $\sigma_f \approx 0.671.$}}

===Properties of the Poisson Distribution===

The ''Poisson distribution'' is a special case of the Binomial distribution, where
* $I → \infty$ and $p →0$.
*Additionally, the parameter $λ = I · p$ must be finite.

The parameter $λ$ indicates the average number of "ones" in a specified time unit and is called ''rate''.

Unlike the Binomial distribution where $0 ≤ μ ≤ I$, here, the random variable can assume arbitrarily large non-negative integers, which means that the number of possible values is not countable. However, since no intermediate values can occur, the Poisson distribution is still a "discrete distribution".

'''Probabilities of the Poisson Distribution'''

With the limits $I → \infty$ and $p →0$, the likelihood of occurence of the Poisson distributed random variable $z$ can be derived from the probabilities of the Binomial distribution:
:$$p_\mu = {\rm Pr} ( z=\mu ) = \lim_{I\to\infty} \cdot \frac{I !}{\mu ! \cdot (I-\mu )!} \cdot (\frac{\lambda}{I} )^\mu \cdot ( 1-\frac{\lambda}{I})^{I-\mu}.$$
After some algebraic transformations we finally obtain
:$$p_\mu = \frac{ \lambda^\mu}{\mu!}\cdot {\rm e}^{-\lambda}.$$

'''Moments of the Poisson Distribution'''

The moments of the Poisson distribution can be derived directly from the corresponding equations of the Binomial distribution by taking the limits again:
:$$m_1 =\lim_{\left.{I\hspace{0.05cm}\to\hspace{0.05cm}\infty, \hspace{0.2cm} {p\hspace{0.05cm}\to\hspace{0.05cm} 0}}\right.} \hspace{0.2cm} I \cdot p= \lambda,\hspace{0.8cm}
\sigma =\lim_{\left.{I\hspace{0.05cm}\to\hspace{0.05cm}\infty, \hspace{0.2cm} {p\hspace{0.05cm}\to\hspace{0.05cm} 0}}\right.} \hspace{0.2cm} \sqrt{I \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt {\lambda}.$$

We can see that for the Poisson distribution $\sigma^2 = m_1 = \lambda$ always holds. In contrast, the moments of the Binomial distribution always fulfill $\sigma^2 < m_1$.

[[Datei: P_ID616__Sto_T_2_4_S2neu.png |frame| Moments of Poisson Distribution | rechts]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example 2:}$ 
We now compare the Binomial distribution with parameters $I =6$ und $p = 0.4$ with the Poisson distribution with $λ = 2.4$:
*Both distributions have the same linear average $m_1 = 2.4$.
*The standard deviation of the Poisson distribution (marked red in the figure) is $σ ≈ 1.55$.
*The standard deviation of the Binomial distribution (marked blue) is $σ = 1.2$.
}}

'''Applications of the Poisson Distribution'''

The Poisson distribution is the result of a so-called ''Poisson point process'' which is often used as a model for a series of events that may occur at random times. Examples of such events are
* failure of devices - an important task in reliability theory,
* shot noise in the optical transmission simulations, and
* the start of conversations in a telephone relay center („Teletraffic engineering”).

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example 3:}$ 
A telephone relay receives ninety requests per minute on average $(λ = 1.5 \text{ per second})$. The probabilities $p_µ$, that in an arbitrarily large time frame exactly $\mu$ requests are received, is:
:$$p_\mu = \frac{1.5^\mu}{\mu!}\cdot {\rm e}^{-1.5}.$$

The resulting numerical values are $p_0 = 0.223$, $p_1 = 0.335$, $p_2 = 0.251$, etc.

From this, additional parameters can be derived:
* The distance $τ$ between two requests satisfies the "exponential distribution",
* The mean time span between two requests is ${\rm E}[τ] = 1/λ ≈ 0.667 \ \rm s$.
}}

=== Comparison of Binomial and Poisson Distribution ===
This section deals with the similarities and differences between Binomial and Poisson distributions.

[[Datei: P_ID60__Sto_T_2_4_S3_neu.png |frame| Binomial vs. Poisson distribution]]
The '''Binomial distribution''' is used to describe stochastic events, that have a fixed period $T$. For example the period of an ISDN (''Integrated Services Digital Network'') network with $64 \ \rm kbit/s$ is $T \approx 15.6 \ \rm \mu s$.
* Binary events such as the error-free $(e_i = 0)$/ faulty $(e_i = 1)$ transmission of individual symbols only occur in this time frame.
* With the Binomial distribution, it is possible to make statistical statements about the number of expected erros in a period $T_{\rm I} = I · T$, as is shown in the time figure above (marked blue).
* For very large values of $I$ and very small values of $p$, the Binomial distribution can be approximated by the ''Poisson distribution'' with rate $\lambda = I \cdot p$.
* If at the same time $I · p \gg 1$, the Poisson distribution as well as the Binomial distribution turn into a discrete Gaussian distribution according to the ''de Moivre-Laplace Theorem''.

The '''Poisson distribution''' can also be used to make statements about the number of occuring binary events in a finite time interval.

By assuming the same observation period $T_{\rm I}$ and increasing the number of partial periods $I$, the period $T$, in which a new event ($0$ or $1$) can occur, gets smaller and smaller. In the limit where $T$ goes to zero, this means:
* With the Poisson distribution binary events can not only occur at certain given times, but at any time, which is illustrated in the second time chart.
* In order to get the same number of "ones" in the period $T_{\rm I}$ - in average - as in the Binomial distribution (six pulses in the example), the characteristic probability $p = {\rm Pr}( e_i = 1)$ for an infinitesimal small time interval $T$ must go to zero.

==Exercises==

In these exercises, the term '''Blue''' refers to distribution function 1 (marked blue in the applet) and the term '''Red''' refers to distribution function 2 (marked red in applet).

{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''  Set '''Blue''' to Binomial distribution $(I=5, \ p=0.4)$ and '''Red''' to Binomial distribution $(I=10, \ p=0.2)$.
:What are the probabilities ${\rm Pr}(z=0)$ and ${\rm Pr}(z=1)$?
}}

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Blue: }{\rm Pr}(z=0)=0.6^5=7.78\%, \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(z=1)=0.4 \cdot 0.6^4=25.92\%;$

$\hspace{1.85cm}\text{Red: }{\rm Pr}(z=0)=0.8^{10}=10.74\%, \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(z=1)=0.2 \cdot 0.8^9=26.84\%.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''  Using the same settings as in '''(1)''', what are the probabilities ${\rm Pr}(3 \le z \le 5)$?
}}

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Note that }{\rm Pr}(3 \le z \le 5) = {\rm Pr}(z=3) + {\rm Pr}(z=4) + {\rm Pr}(z=5)\text{, or }
{\rm Pr}(3 \le z \le 5) = {\rm Pr}(z \le 5) - {\rm Pr}(z \le 2)$

$\hspace{1.85cm}\text{Blue: }{\rm Pr}(3 \le z \le 5) = 0.2304+ 0.0768 + 0.0102 =1 - 0.6826 = 0.3174;$

$\hspace{1.85cm}\text{Red: }{\rm Pr}(3 \le z \le 5) = 0.2013 + 0.0881 + 0.0264 = 0.9936 - 0.6778 = 0.3158.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''  Using the same settings as in '''(1)''', what are the differences in the linear average $m_1$ and the standard deviation $\sigma$ between the two Binomial distributions?
}}

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Average:}\hspace{0.2cm}m_\text{1} = I \cdot p\hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} m_\text{1, Blue} = 5 \cdot 0.4\underline{ = 2 =} \ m_\text{1, Red} = 10 \cdot 0.2; $

$\hspace{1.85cm}\text{Standard deviation:}\hspace{0.4cm}\sigma = \sqrt{I \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{m_1 \cdot (1-p)}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \sigma_{\rm Blue} = \sqrt{2 \cdot 0.6} =1.095 < \sigma_{\rm Red} = \sqrt{2 \cdot 0.8} = 1.265.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''  Set '''Blue''' to Binomial distribution $(I=15, p=0.3)$ and '''Red''' to Poisson distribution $(\lambda=4.5)$.
:What differences arise between both distributions regarding the average $m_1$ and variance $\sigma^2$?
}}

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Both distributions have the same average:}\hspace{0.2cm}m_\text{1, Blue} = I \cdot p\ = 15 \cdot 0.3\hspace{0.15cm}\underline{ = 4.5 =} \ m_\text{1, Red} = \lambda$;

$\hspace{1.85cm} \text{Binomial distribution: }\hspace{0.2cm} \sigma_\text{Blue}^2 = m_\text{1, Blue} \cdot (1-p)\hspace{0.15cm}\underline { = 3.15} < \text{Poisson distribution: }\hspace{0.2cm} \sigma_\text{Red}^2 = \lambda\hspace{0.15cm}\underline { = 4.5}$;

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''  Using the same settings as in '''(4)''', what are the probabilities ${\rm Pr}(z \gt 10)$ and ${\rm Pr}(z \gt 15)$?
}}

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \text{Binomial: }\hspace{0.2cm} {\rm Pr}(z \gt 10) = 1 - {\rm Pr}(z \le 10) = 1 - 0.9993 = 0.0007;\hspace{0.3cm} {\rm Pr}(z \gt 15) = 0 \ {\rm (exactly)}$.

$\hspace{1.85cm}\text{Poisson: }\hspace{0.2cm} {\rm Pr}(z \gt 10) = 1 - 0.9933 = 0.0067;\hspace{0.3cm}{\rm Pr}(z \gt 15) \gt 0\hspace{0.2cm}( \approx 0)$;

$\hspace{1.85cm}\text{Approximation: }\hspace{0.2cm}{\rm Pr}(z \gt 15) \ge {\rm Pr}(z = 16) = \lambda^{16} /{16!}\approx 2 \cdot 10^{-22}$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''  Using the same settings as in '''(4)''', which parameters lead to a symmetric distribution around $m_1$?
}}

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \text{Binomial distribution with }p = 0.5\text{: }p_\mu = {\rm Pr}(z = \mu)\text{ symmetric around } m_1 = I/2 = 7.5 \ ⇒ \ p_μ = p_{I–μ}\ ⇒ \ p_8 = p_7, \ p_9 = p_6, \text{etc.}$

$\hspace{1.85cm}\text{In contrast, the Poisson distribution is never symmetric, since it extends to infinity!}$

==Applet Manual==
[[Datei:Handhabung_binomial.png|left|600px]]
    '''(A)'''     Preselection for blue parameter set

    '''(B)'''     Parameter input: Sliders $I$ and $p$

    '''(C)'''     Preselection for Red parameter set

    '''(D)'''     Parameter input: Slider $\lambda$

    '''(E)'''     Graphic display of the Distribution

    '''(F)'''     Output of moments for blue parameter set

    '''(G)'''     Output of moments for redparameter set

    '''(H)'''     Variation possibilities for the graphic display
$\hspace{1.5cm}$&bdquo;$+$” (Zoom in),

$\hspace{1.5cm}$ &bdquo;$-$” (Zoom out)

$\hspace{1.5cm}$ &bdquo;$\rm o$” (Reset)

$\hspace{1.5cm}$ &bdquo;$\leftarrow$” (Move left), etc.

    '''( I )'''     Output of ${\rm Pr} (z = \mu)$ and ${\rm Pr} (z \le \mu)$

    '''(J)'''     Exercises: Exercise selection, description and solution
 
 '''Other options for graphic display''':
*Hold shift and scroll: Zoom in on/out of coordinate system,
*Hold shift and left click: Move the coordinate system.

==About the Authors==
This interactive calculation was designed and realized at the [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] of the [https://www.tum.de/ Technische Universität München].
*The original version was created in 2003 by[[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]] as part of her Diploma thesis using &bdquo;FlashMX–Actionscript” (Supervisor: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|Günter Söder]]).
*In 2018 this Applet was redesigned and updated to "HTML5" by [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Jimmy_He_.28Bachelorarbeit_2018.29|Jimmy He]] as part of his Bachelor's thesis (Supervisor: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29|Tasnád Kernetzky]]) .

==Once again: Open Applet in new Tab==

{{LntAppletLinkEn|binomPoissonDistributions_en}}

Applets:Prinzip der 4B3T-Codierung

2025-02-24T09:43:27Z

{{LntAppletLinkDeEn|4B3T|4B3T_en}}

==Programmbeschreibung==
 
Das Applet verdeutlicht das Prinzip der  $\rm 4B3T$–Codierung.  Hierbei wird jeweils ein Block von vier Binärsymbolen durch eine Sequenz aus drei Ternärsymbolen ersetzt.  Daraus ergibt sich eine relative Coderedundanz von knapp  $16\%$,  die dazu verwendet wird, um Gleichsignalfreiheit zu erzielen.

Die Umcodierung der sechzehn möglichen Binärblöcke in die entsprechenden Ternärblöcke könnte prinzipiell nach einer festen Codetabelle erfolgen. Um die spektralen Eigenschaften dieser Codes weiter zu verbessern, werden bei den 4B3T–Codes aber stets mehrere Codetabellen verwendet, die nach der &bdquo;laufenden digitalen Summe”  $($englisch:  ''Running Digital Sum'',  kurz  $\rm RDS)$  blockweise ausgewählt werden.

Im Applet sind im unteren Bereich die entsprechenden Codetabellen angegeben, und zwar alternativ für
* den $\rm MS43$–Code (von:   $\rm M$onitored $\rm S$um $\rm 4$B$\rm 3$T–Code), und
* den $\rm MMS43$–Code (von:  $\rm M$odified $\rm MS43$).

Eingabeparameter sind neben dem gewünschten Code (MS43 oder MMS43) der RDS–Startwert  $\rm RDS_0$  sowie zwölf binäre Quellensymbole  $q_\nu \in \{0,\ 1\}$,  entweder per Hand, per Voreinstellung  $($Quellensymbolfolge  $\rm A$,  $\rm B$,  $\rm C)$ oder per Zufallsgenerator. 

Vom Programm angeboten werden zwei verschiedene Modi:

*Im Modus &bdquo;Schritt” werden die drei Blöcke sukzessive abgearbeitet (jeweils Festlegung der drei Ternärsymbole, Aktualisierung des RDS–Wertes und damit Festlegung der Codetabelle für den nächsten Block.

*Im Modus &bdquo;Gesamt” werden nur die Codierergebnisse angezeigt, aber gleichzeitig für die beiden möglichen Codes und jeweils für alle vier möglichen RDS–Startwerte.  Die Grafik und der RDS–Ausgabeblock rechts beziehen sich dabei auf die getroffenen Einstellungen.

==Theoretischer Hintergrund==

===Klassifizierung verschiedener Codierverfahren ===
 
Wir betrachten das dargestellte digitale Übertragungsmodell.  Wie aus diesem Blockschaltbild zu erkennen ist, unterscheidet man je nach Zielrichtung zwischen drei verschiedenen Arten von Codierung, jeweils realisiert durch den sendeseitigen Codierer (Coder) und den zugehörigen Decodierer (Decoder) beim Empfänger:

[[Datei:P_ID2315__Inf_T_2_1_S1_neu.png|right|frame|Vereinfachtes Modell eines Nachrichtenübertragungssystems]]

*$\text{Quellencodierung:}$  Entfernen (unnötiger) Redundanz, um Daten möglichst effizient speichern oder übertragen zu können   ⇒   Datenkomprimierung.  Beispiel:  Differentielle Pulscodemodulation  $\rm (DPCM)$  in der Bildcodierung.

*$\text{Kanalcodierung:}$  Gezieltes Hinzufügen (sinnvoller) Redundanz, die man beim Empfänger zur Fehlererkennung oder zur Fehlererkennung nutzen kann.  Wichtigste Vertreter:  Blockcodes, Faltungscodes, Turbocodes.

*$\text{Leitungscodierung:}$  Umcodierung der Quellensymbole, um das Signal an die Spektraleigenschaften von Kanal und Empfangseinrichtungen anzupassen, etwa, um bei einem Kanal mit  $H_{\rm K}(f = 0) = 0$  ein gleichsignalfreies Sendesignal  $x(t)$  zu erreichen.  
 
Bei den Leitungscodes unterscheidet man weiter:
*$\text{Symbolweise Codierung:}$  Mit jedem ankommenden Binärsymbol  $q_ν$  wird ein mehrstufiges (zum Beispiel: ternäres) Codesymbol  $c_ν$  erzeugt, das auch von den vorherigen Binärsymbolen abhängt.  Die Symboldauern  $T_q$  und  $T_c$  sind hierbei identisch.  Beispiel:  Pseudoternärcodes (AMI–Code, Duobinärcode).

*$\text{Blockweise Codierung:}$  Ein Block aus  $m_q$  Binärsymbolen  $(M_q = 2)$  wird durch eine Sequenz aus  $m_c$  höherstufigen Symbolen  $(M_c > 2)$  ersetzt.  Ein Kennzeichen dieser Codeklasse ist  $T_c> T_q$.  Beispiele sind redundanzfreie Mehrstufencodes  $(M_c$ ist eine Zweierpotenz$)$  sowie die hier betrachteten $\text{4B3T-Codes}$.

=== Allgemeine Beschreibung der 4B3T–Codes ===

Der bekannteste Blockcode zur Leitungscodierung ist der  $\rm 4B3T–Code$  mit den Codeparametern
:$$m_q = 4,\hspace{0.2cm}M_q = 2,\hspace{0.2cm}m_c =
3,\hspace{0.2cm}M_c = 3\hspace{0.05cm},$$

der bereits in den 1970–er Jahren entwickelt wurde und beispielsweise bei  [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_ISDN| ISDN]]  (Integrated Services Digital Networks ) eingesetzt wird.

Ein 4B3T–Code besitzt folgende Eigenschaften:
*Wegen  $m_q \cdot T_q = m_c \cdot T_c$  ist die Symboldauer  $T=T_c$  des Codersignals um den Faktor  $4/3$  größer als die Bitdauer  $T_{\rm B}=T_q$  des binären Quellensignals. Daraus ergibt sich die günstige Eigenschaft, dass der Bandbreitenbedarf um ein Viertel geringer ist als bei redundanzfreier Binärübertragung.
*Die relative Redundanz der 4B3T–Codes ergibt sich zu

:$$r_c = 1- \frac{m_q \cdot {\rm log_2}\hspace{0.05cm} (M_q)}{m_c \cdot {\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M_c)} = 1- \frac{4 \cdot {\rm log_2}\hspace{0.05cm} (2)}{3 \cdot {\rm log_2} \hspace{0.05cm}3}= 1- \frac{4 }{3 \cdot 1.585}\hspace{0.05cm}\approx{0.158}.$$
*Diese Redundanz von knapp  $16\%$  wird dazu verwendet, um Gleichsignalfreiheit zu erzielen.  Das 4B3T–codierte Signal kann somit ohne merkbare Beeinträchtigung auch über einen Kanal mit der Eigenschaft  $H_{\rm K}(f= 0) = 0$  übertragen werden.

Die Umcodierung der sechzehn möglichen Binärblöcke in die entsprechenden Ternärblöcke könnte prinzipiell nach einer festen Codetabelle vorgenommen werden.  Um die spektralen Eigenschaften dieser Codes weiter zu verbessern, werden bei den gebräuchlichen 4B3T–Codes, nämlich

*dem 4B3T–Code nach Jessop und Waters, 
*dem MS43–Code (von:  $\rm M$onitored $\rm S$um $\rm 4$B$\rm 3$T–Code), 
*dem FoMoT–Code (von:  $\rm Fo$ur $\rm Mo$de $\rm T$ernary), 

zwei oder mehrere Codetabellen verwendet, deren Auswahl von der &bdquo;laufenden digitalen Summe” der Amplitudenkoeffizienten gesteuert wird.

=== Laufende digitale Summe ===

[[Datei:P_ID1334__Dig_T_2_3_S2.png|right|frame|Codetabellen für drei 4B3T-Codes|class=fit]]

Die ternären Amplitudenkoeffizienten seien $a_\nu \in \{ -1, \ 0, +1\}$. 

Nach der Übertragung von  l  Blöcken gilt für die &bdquo;Laufende Digitale Summe”  $($englisch:  ''Running Digital Sum'',  kurz  $\rm RDS)$:
:$${\it \Sigma}_l = \sum_{\nu = 1}^{3 \hspace{0.05cm}\cdot
\hspace{0.05cm} l}\hspace{0.02cm} a_\nu \hspace{0.05cm}.$$

Die Auswahl der Tabelle zur Codierung des  $(l + 1)$–ten Blocks erfolgt abhängig vom aktuellen Wert  ${\it \Sigma}_l$.

In der Tabelle sind die Codierregeln für die drei oben genannten 4B3T–Codes angegeben. Zur Vereinfachung der Schreibweise steht &bdquo;+” für den Amplitudenkoeffizienten &bdquo;+1” und &bdquo;–” für den Koeffizienten &bdquo;–1”. 

# Die zwei Codetabellen des Jessop–Waters–Codes sind so gewählt, dass die laufende digitale Summe  ${\it \Sigma}_l$  stets zwischen $0$ und $5$ liegt.
# Bei den beiden anderen Codes (MS43, FoMoT) erreicht man durch drei bzw. vier alternative Tabellen die Beschränkung der laufenden digitalen Summe auf den Wertebereich  $0 \le {\it \Sigma}_l \le 3$.

Im Applet werden betrachtet:
* der $\rm MS43$–Code (von:   $\rm M$onitored $\rm S$um $\rm 4$B$\rm 3$T–Code),
* der $\rm MMS43$–Code (von:  $\rm M$odified $\rm MS43$).

Zur Farbgebung der nebenstehenden Grafik:
# Graue Hintergung:  Der RDS–Wert bleibt gleich:  ${\it \Sigma}_{l+1} = {\it \Sigma}_l$.
# Rote Hintergung:  Der RDS–Wert wird größer:  ${\it \Sigma}_{l+1} > {\it \Sigma}_l$.
# Blaue Hintergung:  Der RDS–Wert wird kleiner:  ${\it \Sigma}_{l+1} < {\it \Sigma}_l$.
# Zu– bzw. Abnahme ist umso größer, je intensiver die Farben sind.

=== AKF und LDS der 4B3T–Codes===

[[Datei:P_ID1335__Dig_T_2_3_S3_v1.png|right|frame|Markovdiagramm zur Analyse des 4B3T-Codes (FoMoT)|class=fit]]
Die Vorgehensweise zur Berechnung von AKF und LDS wird hier nur stichpunktartig skizziert (im Applet wird hierauf nicht eingegangen):

'''(1)'''   Der Übergang der laufenden digitalen Summe von  ${\it \Sigma}_l$  nach  ${\it \Sigma}_{l+1}$  wird durch eine homogene stationäre Markovkette erster Ordnung mit sechs (Jessop–Waters) bzw. vier Zuständen (MS43, FoMoT) beschrieben. Für den FoMoT–Code gilt das rechts skizzierte Markovdiagramm. 

'''(2)'''   Die Werte an den Pfeilen kennzeichnen die Übergangswahrscheinlichkeiten  ${\rm Pr}({\it \Sigma}_{l+1}|{\it \Sigma}_{l})$, die sich aus den jeweiligen Codetabellen ergeben. Die Farben korrespondieren zu den Hinterlegungen der Tabelle auf der letzten Seite. Aufgrund der Symmetrie des FoMoT–Markovdiagramms sind die vier Wahrscheinlichkeiten alle gleich:
:$${\rm Pr}({\it \Sigma}_{l} = 0) = \text{...} = {\rm Pr}({\it \Sigma}_{l} = 3) = 1/4.$$

'''(3)'''   Die Autokorrelationsfunktion (AKF)  $\varphi_a(\lambda) = {\rm E}\big [a_\nu \cdot a_{\nu+\lambda}\big ]$  der Amplitudenkoeffizienten kann aus diesem Diagramm ermittelt werden. Einfacher als die analytische Berechnung, die eines sehr großen Rechenaufwands bedarf, ist die simulative Bestimmung der AKF–Werte mittels Computer. 

Durch Fouriertransformation der AKF kommt man zum Leistungsdichtespektrum (LDS)  ${\it \Phi}_a(f)$  der Amplitudenkoeffizienten entsprechend der folgenden Grafik aus [ST85]<ref name ='ST85'>Söder, G.; Tröndle, K.: Digitale Übertragungssysteme - Theorie, Optimierung & Dimensionierung der Basisbandsysteme. Berlin – Heidelberg: Springer, 1985.</ref>. Das skizzierte LDS wurde für den FoMoT–Code ermittelt, dessen Markovdiagramm oben dargestellt ist. Die Unterschiede der einzelnen 4B3T–Codes sind nicht sonderlich ausgeprägt. So gilt für den MS43–Code  ${\rm E}\big [a_\nu^2 \big ] \approx 0.65$  und für die beiden anderen 4B3T-Codes (Jessop/Waters, MS43)  ${\rm E}\big [a_\nu^2 \big ] \approx 0.69$. 
[[Datei:P_ID1336__Dig_T_2_3_S3b_v1.png|right|frame|Leistungsdichtespektrum (der Ampltudenkoeffizienten) von 4B3T im Vergleich zu redundanzfreier und AMI-Codierung|class=fit]]
Die Aussagen dieser Grafik kann man wie folgt zusammenfassen:

*Die Grafik zeigt das LDS  ${\it \Phi}_a(f)$  der Amplitudenkoeffizienten  $a_\nu$  des 4B3T-Codes   ⇒   rote Kurve.
*Das LDS  ${\it \Phi}_s(f)$  unter Einbeziehung des Sendegrundimpulses erhält man durch Multiplikation mit  $1/T \cdot |G(f)|^2$. Beispielsweise muss man  ${\it \Phi}_a(f)$  mit einer  $\rm si^2$–Funktion multiplizieren, wenn  $g(t)$  einen Rechteckimpuls beschreibt. 
*Bei redundanzfreier Binär– oder Ternärcodierung ergibt sich jeweils ein konstantes  ${\it \Phi}_a(f)$, dessen Höhe von der Stufenzahl  $M$  abhängt (unterschiedliche Signalleistung).
*Dagegen weist das 4B3T–Leistungsdichtespektrum Nullstellen bei  $f = 0$  und Vielfachen von  $f = 1/T$  auf. 
*Die Nullstelle bei  $f = 0$  hat den Vorteil, dass das 4B3T–Signal ohne große Einbußen auch über einen so genannten ''Telefonkanal''  übertragen werden kann, der aufgrund von Übertragern für ein Gleichsignal nicht geeignet ist. 
*Die Nullstelle bei  $f = 1/T$  hat den Nachteil, dass dadurch die Taktrückgewinnung am Empfänger erschwert wird. Außerhalb dieser Nullstellen weisen die 4B3T–Codes ein flacheres  ${\it \Phi}_a(f)$  auf als beispielsweise der  [[Digitalsignalübertragung/Symbolweise_Codierung_mit_Pseudoternärcodes#Eigenschaften_des_AMI-Codes|AMI–Code]]  (blaue Kurve), was von Vorteil ist. 
*Der Grund für den flacheren LDS–Verlauf bei mittleren Frequenzen sowie den steileren Abfall zu den Nullstellen hin ist, dass bei den 4B3T–Codes bis zu fünf  $+1$–  bzw.  $-1$–Koeffizienten aufeinanderfolgen können.  Beim AMI–Code treten diese Symbole nur isoliert auf. 

==Versuchsdurchführung==

[[Datei:Übungen.png|right]]
*Wählen Sie zunächst die Nummer  ('''1''', '''2''', ... )  der zu bearbeitenden Aufgabe.
*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt.  Die Parameterwerte sind angepasst.
*Lösung nach Drücken von &bdquo;Musterlösung”.
*Die Nummer  '''0'''  entspricht einem &bdquo;Reset”:  Einstellung wie beim Programmstart.
*Für die Quellensymboleingabe wird  &bdquo;0”  und  &bdquo;–”  gleichermaßen verwendet,  ebenso   &bdquo;1”  und  &bdquo;+”.
 

{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''  Verdeutlichen Sie sich die 4B3T–Codierung der Quellensymbolfolge  $\rm A$   ⇒   $\langle q_\nu \rangle = \langle 0, 1, 0, 1; \ 1, 0, 1, 1; \ 0, 1, 1, 0 \rangle $  gemäß dem  $\rm MS43$–Code im Schrittmodus.           Der RDS-Startwert sei  ${\it \Sigma}_0= 0$.   ''Hinweis'':  Die Quellensymbolfolge ist durch Semikola bereits in Teilfolgen mit jeweils vier Binärsymbolen unterteilt. }}
* Ausgehend vom RDS-Startwert  ${\it \Sigma}_0= 0$  erkennt man folgende Codierung der ersten vier Binärsymbole (erster Block):  $(0, 1, 0, 1)\ \rightarrow\ (+,\ 0 ,\ +) $   ⇒   ${\it \Sigma}_1= 2.$
* Für die nächsten vier Binärsymbole (zweiter Block) ist nun von  ${\it \Sigma}_1= 2$  auszugehen:  $(1, 0, 1, 1)\ \rightarrow\ (+,\ 0 ,\ 0) $   ⇒   ${\it \Sigma}_2= 3.$
*Die Codierung der Binärsymbole 9 bis 12 (dritter Block) ergibt sich mit  ${\it \Sigma}_2= 3$  zu  $(0, 1, 1, 0,)\ \rightarrow\ (-,\ 0 ,\ 0) $   ⇒   ${\it \Sigma}_3= 2.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''  Wiederholen Sie diesen Versuch mit den anderen möglichen RDS-Startwerten  ${\it \Sigma}_0= 1$,  ${\it \Sigma}_0= 2$  und  ${\it \Sigma}_0= 3.$  Wie unterscheiden sich die Codierergebnisse? }}

*${\it \Sigma}_0= 1$:     $(0, 1, 0, 1)\ \rightarrow\ (0,\ - ,\ 0) $   ⇒   ${\it \Sigma}_1= 0$:     $(1, 0, 1, 1)\ \rightarrow\ (+,\ 0 ,\ 0) $   ⇒   ${\it \Sigma}_2= 1$:     $(0, 1, 1, 0)\ \rightarrow\ (-,\ 0 ,\ 0) $   ⇒   ${\it \Sigma}_3= 0.$
*${\it \Sigma}_0= 2$:     $(0, 1, 0, 1)\ \rightarrow\ (0,\ - ,\ 0) $   ⇒   ${\it \Sigma}_1= 1$:     $(1, 0, 1, 1)\ \rightarrow\ (+,\ 0 ,\ 0) $   ⇒   ${\it \Sigma}_2= 2$:     $(0, 1, 1, 0)\ \rightarrow\ (-,\ 0 ,\ 0) $   ⇒   ${\it \Sigma}_3= 1.$
*${\it \Sigma}_0= 3$:     $(0, 1, 0, 1)\ \rightarrow\ (0,\ - ,\ 0) $   ⇒   ${\it \Sigma}_1= 2$:     $(1, 0, 1, 1)\ \rightarrow\ (+,\ 0 ,\ 0) $   ⇒   ${\it \Sigma}_2= 3$:     $(0, 1, 1, 0)\ \rightarrow\ (-,\ 0 ,\ 0) $   ⇒   ${\it \Sigma}_3= 2.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''  Wieviele unterschiedliche Codetabellen verwendet der  $\rm MS43$–Code? }}

*Aus den bisherigen Versuchen erkennt man, dass der MS43–Code mindestens zwei Tabellen benutzt, zwischen denen gemäß dem aktuellen RDS–Wert umgeschaltet wird.
*Aus der im Programm angegebenen Tabelle ist ersichtlich, dass tatsächlich drei Tabellen benutzt werden.  Die Einträge für  ${\it \Sigma}_l= 1$  und  ${\it \Sigma}_l= 2$  sind nämlich identisch.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''  Interpretieren Sie die Ergebnisse der 4B3T–Codierung für die Quellensymbolfolge  $\rm B$   ⇒   $\langle q_\nu \rangle = \langle 1, 1, 1, 0; \ 0, 0, 1, 0; \ 1, 1, 1, 1 \rangle $  und den MS43–Code.}}

*Bei dieser Quellensymbolfolge wird der RDS–Wert nicht verändert.  Für jeden Startwert  $(0$,  $1$,  $2$  und  $3)$  gilt  ${\it \Sigma}_0 = {\it \Sigma}_1 ={\it \Sigma}_2 ={\it \Sigma}_3 $,  zum Beispiel:
*${\it \Sigma}_0= 1$:     $(1, 1, 1, 0)\ \rightarrow\ (0,\ - ,\ +) $   ⇒   ${\it \Sigma}_1= 1$:     $(0, 0, 1, 0)\ \rightarrow\ (+,\ 0 ,\ -) $   ⇒   ${\it \Sigma}_2= 1$:     $(1, 1, 1, 1)\ \rightarrow\ (-,\ 0 ,\ +) $   ⇒   ${\it \Sigma}_3= 1.$
*Der Grund hierfür ist, dass bei dieser Quellensymbolfolge jedes Ternär–Triple nach der Codierung genau ein &bdquo;Plus” und ein &bdquo;Minus” enthält.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''  Wieviele unterschiedliche Codetabellen verwendet dagegen der der modifizierte MS43–Code   ⇒   $\rm MMS43$? }}

*Aus der im Programm angegebenen Tabelle ist ersichtlich, dass sich beim modifizierte MS43–Code tatsächlich alle vier Tabellen unterscheiden. 
*Die Einträge für  ${\it \Sigma}_l= 1$  und  ${\it \Sigma}_l= 2$  sind zwar weitgehend gleich.  Sie unterscheiden sich nur für die Binärsequenzen  $(0, 1, 1, 0)$  und  $(1, 0, 1, 0)$.
*Der  $\rm MMS43$–Code wird bei  $\rm ISDN$  (''Integrated Services Digital Network'')  auf dem Teilnehmeranschluss  $(U_{K0}$–Schnittstelle$)$ verwendet. 
*Uns ist nicht bekannt, warum bei der Standardisierung der ursprüngliche MS43–Code modifiziert wurde.  Wir vermuten, ein etwas günstigeres Leistungsdichtespektrum.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''  Vergleichen Sie die Ergebnisse für  $\rm MS43$  und  $\rm MMS43$  für die Quellensymbolfolgen  $\rm A$  und  $\rm B$  und beliebige RDS–Startwerte.  Wählen Sie den Modus &bdquo;Gesamt”.}}
*Für die Quellensymbolfolge  $\rm A$  gibt es zwei unterschiedliche  $\rm MS43$–Codesymbolfolgen und drei unterschiedliche   $\rm MMS43$–Codesymbolfolgen.
*Für die Quellensymbolfolge  $\rm B$  sind die  $\rm MS43$–Codesymbolfolgen für alle möglichen  ${\it \Sigma}_0$  gleich.  Bei  $\rm MMS43$:  zwei verschiedene Codierergebnisse.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(7)'''  Interpretieren Sie die Ergebnisse für die Symbolfolge  $\rm C$   ⇒   $\langle q_\nu \rangle = \langle 0, 1, 1, 0; \ 0, 1, 1, 0; \ 0, 1, 1, 0 \rangle $  für beide Codes und alle RDS–Startwerte. Modus:  &bdquo;Gesamt”.}}
*Die vier Eingangsbit eines jeden Blocks sind  $(0,\ 1,\ 1,\ 0)$.  Beim  $\rm MS43$  werden diese ersetzt durch  $(0,\ +,\ +)$,  falls  ${\it \Sigma}_l=0$;  bzw.  $(-,\ 0,\ 0)$,  falls  ${\it \Sigma}_l\ne0$.
*Beim  $\rm MMS43$  werden diese ersetzt durch  $(-,\ +,\ +)$,  falls  ${\it \Sigma}_l\le 1$;  bzw.  $(-,\ -,\ +)$,  falls  ${\it \Sigma}_l\ge 2$.  '''Nur wenn Sie sehr viel Zeit haben:'''
*Versuchen Sie den Sinn dieser Modifizierung von  $\rm MS43$  auf  $\rm MMS43$  zu ergründen.  Uns vom $\rm LNTwww$–Team ist das nämlich nicht gelungen.

== Zur Handhabung des Applets==
[[Datei:Exercise_4B3T.png|right|600px|frame|Bildschirmabzug der englischen Version]]
 
    '''(A)'''     Auswahl der Quellensymbolfolge:  $\rm A$,  $\rm B$  oder  $\rm C$

    '''(B)'''     Programmoptionen                 $($Zufallsfolge,  blockweise RDS-Berechnung,  Gesamtansicht,  Reset$)$

    '''(C)'''     "MS43"  oder  "MMS43"

    '''(D)'''     Berechnung der  "Running Digital Sum"

    '''(E)'''     Blockweise Bitänderung

    '''(F)'''     Grafikbereich für das Quellensignal  $q(t)$

    '''(G)'''     Grafikbereich für das Codersignal  $c(t)$

    '''(H)'''     Gesamtdarstellung der Werte  ${\it \Sigma}_0,\ {\it \Sigma}_1, \ {\it \Sigma}_2, \ {\it \Sigma}_4$  für  "MS43"  und  "MMS43"

    '''(I)'''     Aufgabenauswahl

    '''(I)'''     Fragen und Lösungen

 
 
==Über die Autoren==
Dieses interaktive Berechnungstool wurde am  [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]  der  [https://www.tum.de/ Technischen Universität München]  konzipiert und realisiert.
*Die erste Version wurde 2010 von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Stefan_M.C3.BCller_.28Diplomarbeit_LB_2010.29|Stefan Müller]]  im Rahmen seiner Diplomarbeit (LB) mit &bdquo;FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|Günter Söder]]).
* 2020 wurde das Programm von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf &bdquo;HTML5” umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29|Tasnád Kernetzky]]).

Die Umsetzung dieses Applets auf HTML 5 wurde durch die  [https://www.lehren.tum.de/themen/ideenwettbewerb/ Exzellenzinitiative]  der TU München finanziell unterstützt. Wir bedanken uns.

==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==

{{LntAppletLinkDeEn|4B3T|4B3T_en}}

Zur Berechnung der Fourierkoeffizienten (Lernvideo)

2025-02-24T09:43:24Z

=== Inhalt ===
Die Berechnung der Fourierkoeffizienten am Beispiel der Zeitfunktion  $x(t) = \sin^3(\omega_0 \cdot t)$   –   Gesamtdauer 3:46 :
* Gleichsignalkoeffizient  $A_0$   –   Dauer 1:06
* Cosinuskoeffizienten  $A_n,\ \ n = 1, 2, 3$, ...   –   Dauer 1:00
* Sinuskoeffizienten  $B_n,\ \ n = 1, 2, 3$, ...   –   Dauer 1:40

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file:Zur_Berechnung_der_Fourierkoeffizienten.ogv
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Dieses Lernvideo wurde 2002 am  [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]  der  [https://www.tum.de/ Technischen Universität München]  konzipiert und realisiert. 
Buch und Regie:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Klaus_Eichin_.28am_LNT_von_1972-2011.29|Klaus Eichin]]  und  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|Günter Söder]],   Sprecher:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Reinhold_Sixt_.28Diplomarbeit_LB_2002.29|Reinhold Sixt]],   Realisierung:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Winfried_Kretzinger_.28am_LNT_von_1973-2004.29|Winfried Kretzinger]].

Im Zuge der LNTwww-Neugestaltung (Version 3) wurden diese Lernvideos 2016/2017 von 
[[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29|Tasnád Kernetzky]]  und einigen Studenten in moderne Formate konvertiert, um von möglichst vielen Browsern  (wie Firefox, Chrome, Safari)  als auch von Smartphones wiedergegeben werden zu können.

LNTwww:Weitere Hinweise zum Buch Digitalsignalübertragung

2025-02-24T09:43:23Z

'''Fünf Hauptkapitel mit insgesamt 26 Kapiteln (Dateien);   90 Aufgaben   ⇒   Umfang:  3V + 2Ü 
      Entstehung (Version 2):  2007 - 2016;   Portierung (Version 3):  2016/2017;   letzte Korrekturen:  September 2022

* Projektverantwortliche:  [[Biografien_und_Bibliografien/Lehrstuhlinhaber_des_LNT#Prof._Dr._sc._techn._Gerhard_Kramer_.28seit_2010.29|'''Gerhard Kramer''']],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|'''Günter Söder''']]  $($Inhalt$)$, [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29| '''Tásnad Kernetzky''']]  $($Web–Administrator$)$

* Autor:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|'''Günter Söder''']]

* Diskussionspartner und Experten:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Klaus_Eichin_.28am_LNT_von_1972-2011.29|'''Klaus Eichin''']],  [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Dr.-Ing._Bernhard_G.C3.B6bel_.28bei_L.C3.9CT_von_2004-2010.29|'''Bernhard Göbel''']],  [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Prof._Dr.-Ing._Norbert_Hanik_.28am_LNT_von_1989-1995.2C_bei_L.C3.9CT_seit_2004.29|'''Norbert Hanik''']], [[Biografien_und_Bibliografien/Externe_Beteiligte_am_LNTwww#Dr._sc._techn._Claus_Wilhelm|'''Claus Wilhelm''']]

*Ausgangsmaterialien:   Vorlesungsmanuskripte von LNT/LÜT:  [Söd12]<ref name='Söd12'>Söder, G.:  Simulationsmethoden in der Nachrichtentechnik. Anleitung zum gleichnamigen Praktikum. Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München, 2012.</ref>;  [Han17]<ref name='Han17'>Hanik, N.:  Leitungsgebundene Übertragungstechnik. Vorlesungsmanuskript. Professur Leitungsgebundene Übertragungstechnik, TU München, 2017.</ref>;  [Kra17]<ref name='Kra17'>Kramer, G.: Nachrichtentechnik 2. Vorlesungsmanuskript, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik. TU München, 2017.</ref>   –   Fachbücher:   [ST85]<ref name='ST85'> Söder, G.; Tröndle, K.: Digitale Übertragungssysteme - Theorie, Optimierung & Dimensionierung der Basisbandsysteme. Berlin – Heidelberg: Springer, 1985. </ref>;  [Söd93]<ref name='Söd93'>Söder, G.: Modellierung, Simulation und Optimierung von Nachrichtensystemen. Bd. 23. Berlin, Heidelberg: Springer, 1993. ISBN 978-3-54057-215-2</ref>. 

* Beteiligte Studierende in chronologischer Reihenfolge:   [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Martin_Winkler_.28Diplomarbeit_LB_2001.2C_danach_freie_Mitarbeit_bis_2003.29|Martin Winkler]] '''(2001)''',  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Yven_Winter_.28Diplomarbeit_LB_2004.2C_danach_freie_Mitarbeit_bis_2016.29|Yven Winter]], [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Franz_Kohl_.28Diplomarbeit_LB_2004.2C_danach_freie_Mitarbeit_bis_2006.29|Franz Kohl]], [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Bettina_Hirner_.28Diplomarbeit_LB_2005.29|Bettina Hirner]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Markus_Elsberger_.28Diplomarbeit_LB_2006.29|Markus Elsberger]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Johannes_Schmidt_.28Bachelorarbeit_EI_2008.29|Johannes Schmidt]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Hedi_Abbes_.28Studienarbeit_EI_2006.29|Hedi Abbes]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Thomas_Gro.C3.9Fer_.28Diplomarbeit_LB_2006.2C_danach_freie_Mitarbeit_bis_2010.29|Thomas Großer]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Felix_Kristl_.28Bachelorarbeit_EI_2011.29|Felix Kristl]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Martin_V.C3.B6lkl_.28Diplomarbeit_LB_2010.29|Martin Völkl]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Thorsten_B.C3.BCrgstein_.28Diplomarbeit_LB_2007.29|Thorsten Bürgstein]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Cem_Gencyilmaz_.28Studienarbeit_EI_2008.29|Cem Gencyilmaz]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Sebastian_Seitz_.28Diplomarbeit_LB_2009.29|Sebastian Seitz]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Stefan_M.C3.BCller_.28Diplomarbeit_LB_2010.29|Stefan Müller]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]   '''(2021)'''

==Quellenverzeichnis==

Applets:Abtastung analoger Signale und Signalrekonstruktion

2025-02-24T09:43:22Z

{{LntAppletLinkDeEn|sampling|sampling_en}}

==Programmbeschreibung==
 
Das Applet behandelt die Systemkomponenten  &bdquo;Abtastung”  und  &bdquo;Signalrekonstruktion”, zwei Komponenten, die zum Beispiel für das Verständnis der  [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation|Pulscodemodulation]]  $({\rm PCM})$  von großer Wichtigkeit sind.  Die obere Grafik zeigt das für dieses Applet zugrundeliegende Modell.  Darunter gezeichnet sind die Abtastwerte  $x(\nu \cdot T_{\rm A})$  des zeitkontinuierlichen Signals  $x(t)$. Die (unendliche) Summe über alle diese Abtastwerte bezeichnen wir als das abgetastete Signal  $x_{\rm A}(t)$.

[[Datei:Abtastung_1_version4.png|center|frame|Oben:    Zugrundeliegendes Modell für Abtastung und Signalrekonstruktion Unten:   Beispiel zur Zeitdiskretisierung des zeitkontinuierlichen Signals  $x(t)$]]
*Beim Sender wird aus dem zeitkontinuierlichen Quellensignal  $x(t)$  das zeitdiskrete (abgetastete) Signal  $x_{\rm A}(t)$  gewonnen.  Man nennt diesen Vorgang  '''Abtastung'''  oder  '''A/D–Wandlung'''.
*Der entsprechende Programmparameter für den Sender ist die Abtastrate  $f_{\rm A}= 1/T_{\rm A}$. In der unteren Grafik ist der Abtastabstand  $T_{\rm A}$  eingezeichnet.
*Beim Empfänger wird aus dem zeitdiskreten Empfangssignal  $y_{\rm A}(t)$  das zeitkontinuierliche Sinkensignal  $y(t)$  erzeugt   ⇒   '''Signalrekonstruktion'''  oder  '''D/A–Wandlung'''  entsprechend dem Empfänger–Frequenzgang  $H_{\rm E}(f)$.

Das Applet berücksichtigt nicht die PCM–Blöcke  &bdquo;Quantisierung”,  &bdquo;Codierung / Decodierung” und der Digitale Übertragungskanal ist als ideal angenommen. 

[[Datei:Abtastung_2_neu.png|right|frame|Empfänger–Frequenzgang  $H_{\rm E}(f)$]]
Daraus ergeben sich folgende Konsequenzen:
*Im Programm ist vereinfachend  $y_{\rm A}(t) = x_{\rm A}(t)$  gesetzt.
* Bei geeigneten Systemparametern ist somit auch das Fehlersignal   $\varepsilon(t) = y(t)-x(t)\equiv 0$  möglich.

Das Abtasttheorem und die Signalrekonstruktion lassen sich im Frequenzbereich besser erklären.  Im Programm werden deshalb auch alle Spektralfunktionen angezeigt:

             $X(f)\ \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,\ x(t)$,  $X_{\rm A}(f)\ \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,\ x_{\rm A}(t)$,  $Y(f)\ \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,\ y(t)$,  $E(f)\ \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,\ \varepsilon(t).$ 

Parameter für den Empfänger–Frequenzgang  $H_{\rm E}(f)$  sind die Grenzfrequenz und der Rolloff–Faktor  (siehe untere Grafik):
:$$f_{\rm G} = \frac{f_2 +f_1}{2},\hspace{1cm}r = \frac{f_2 -f_1}{f_2 +f_1}.$$

''Hinweise:''

'''(1)'''   Alle Signalwerte sind normiert auf  $\pm 1$  zu verstehen. 

'''(2)'''   Die Leistungsberechnung erfolgt durch Integration über die jeweilige Periodendauer  $T_0$:
:$$P_x = \frac{1}{T_0} \cdot \int_0^{T_0} x^2(t)\ {\rm d}t,\hspace{0.8cm}P_\varepsilon = \frac{1}{T_0} \cdot \int_0^{T_0} \varepsilon^2(t).$$

'''(3)'''   Die Signalleistung  $P_x$  und die Verzerrungsleistung  $P_\varepsilon$  werden ebenfalls normiert ausgegeben, was implizit den Bezugswiderstand  $R = 1\, \rm \Omega$  voraussetzt. 

'''(4)'''   Daraus kann der Signal–Verzerrungs–Abstand  $10 \cdot \lg \ (P_x/P_\varepsilon)$  berechnet werden.

'''(5)'''   Besteht die Spektralfunktion  $X(f)$  bei positiven Frequenzen aus  $I$  Diraclinien mit den (eventuell komplexen) Gewichten  $X_1$, ... , $X_I$,          so gilt für die Sendeleistung unter Berücksichtigung der spiegelbildlichen Linien bei den negativen Frequenzen:

:$$P_x = 2 \cdot \sum_{i=1}^I |X_k|^2.$$

'''(6)'''   Entsprechend gilt für die Verzerrungsleistung, wenn die Spektralfunktion  $E(f)$  im Bereich  $f>0$  genau  $J$  Diraclinien mit Gewichten  $E_1$, ... , $E_J$  aufweist:

:$$P_\varepsilon = 2 \cdot \sum_{j=1}^J |E_j|^2.$$

==Theoretischer Hintergrund==

===Beschreibung der Abtastung im Zeitbereich===

[[Datei:P_ID1120__Sig_T_5_1_S1_neu.png|center|frame|Zur Zeitdiskretisierung des zeitkontinuierlichen Signals  $x(t)$]]

Im Folgenden verwenden wir für die Beschreibung der Abtastung folgende Nomenklatur:
*Das zeitkontinuierliche Signal sei  $x(t)$.
*Das in äquidistanten Abständen  $T_{\rm A}$  abgetastete zeitdiskretisierte Signal sei  $x_{\rm A}(t)$.
*Außerhalb der Abtastzeitpunkte  $\nu \cdot T_{\rm A}$  gilt stets  $x_{\rm A}(t) \equiv 0$.
*Die Laufvariable  $\nu$  sei  [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Reelle_Zahlenmengen|ganzzahlig]]:     $\nu \in \mathbb{Z} = \{\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm} , –3, –2, –1, \hspace{0.2cm}0, +1, +2, +3, \text{...} \hspace{0.05cm}\} $.
*Dagegen ergibt sich zu den äquidistanten Abtastzeitpunkten mit der Konstanten  $K$:

:$$x_{\rm A}(\nu \cdot T_{\rm A}) = K \cdot x(\nu \cdot T_{\rm A})\hspace{0.05cm}.$$

Die Konstante hängt von der Art der Zeitdiskretisierung ab. Für die obige Skizze gilt  $K = 1$.
 
===Beschreibung der Abtastung mit Diracpuls===

Im Folgenden gehen wir von einer geringfügig anderen Beschreibungsform aus.  Die folgenden Seiten werden zeigen, dass diese gewöhnungsbedürftigen Gleichungen durchaus zu sinnvollen Ergebnissen führen, wenn man sie konsequent anwendet.

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definitionen:}$ 

* Unter  '''Abtastung'''  verstehen wir hier die Multiplikation des zeitkontinuierlichen Signals  $x(t)$  mit einem  '''Diracpuls''':

:$$x_{\rm A}(t) = x(t) \cdot p_{\delta}(t)\hspace{0.05cm}.$$

*Der  '''Diracpuls (im Zeitbereich)'''  besteht aus unendlich vielen Diracimpulsen, jeweils im gleichen Abstand  $T_{\rm A}$  und alle mit gleichem Impulsgewicht  $T_{\rm A}$:

:$$p_{\delta}(t) = \sum_{\nu = - \infty }^{+\infty} T_{\rm A} \cdot
\delta(t- \nu \cdot T_{\rm A}
)\hspace{0.05cm}.$$}}

Aufgrund dieser Definition ergeben sich für das abgetastete Signal folgende Eigenschaften:
:$$x_{\rm A}(t) = \sum_{\nu = - \infty }^{+\infty} T_{\rm A} \cdot x(\nu \cdot T_{\rm A})\cdot
\delta (t- \nu \cdot T_{\rm A}
)\hspace{0.05cm}.$$

*Das abgetastete Signal zum betrachteten Zeitpunkt  $(\nu \cdot T_{\rm A})$  ist gleich  $T_{\rm A} \cdot x(\nu \cdot T_{\rm A}) · \delta (0)$.
*Da  $\delta (t)$  zur Zeit  $t = 0$  unendlich ist, sind eigentlich alle Signalwerte  $x_{\rm A}(\nu \cdot T_{\rm A})$  ebenfalls unendlich groß und auch der oben eingeführte Faktor  $K$.
*Zwei Abtastwerte  $x_{\rm A}(\nu_1 \cdot T_{\rm A})$  und  $x_{\rm A}(\nu_2 \cdot T_{\rm A})$  unterscheiden sich jedoch im gleichen Verhältnis wie die Signalwerte  $x(\nu_1 \cdot T_{\rm A})$  und  $x(\nu_2 \cdot T_{\rm A})$.
*Die Abtastwerte von  $x(t)$  erscheinen in den Impulsgewichten der Diracfunktionen:
*Die zusätzliche Multiplikation mit  $T_{\rm A}$  ist erforderlich, damit  $x(t)$  und  $x_{\rm A}(t)$  gleiche Einheit besitzen.  Beachten Sie hierbei, dass  $\delta (t)$  selbst die Einheit „1/s” aufweist.

===Beschreibung der Abtastung im Frequenzbereich===

Zum Spektrum des abgetasteten Signals  $x_{\rm A}(t)$  kommt man durch Anwendung des  [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation#Faltung_im_Frequenzbereich|Faltungssatzes]]. Dieser besagt, dass der Multiplikation im Zeitbereich die Faltung im Spektralbereich entspricht:

:$$x_{\rm A}(t) = x(t) \cdot p_{\delta}(t)\hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm}
X_{\rm A}(f) = X(f) \star P_{\delta}(f)\hspace{0.05cm}.$$

Entwickelt man den  Diracpuls  $p_{\delta}(t)$   (im Zeitbereich)   in eine  [[Signaldarstellung/Fourierreihe|Fourierreihe]]  und transformiert diese unter Anwendung des  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatzes]]  in den Frequenzbereich, so ergibt sich mit dem Abstand  $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$  zweier benachbarter Diraclinien im Frequenzbereich folgende Korrespondenz   ⇒   [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung#Diracpuls_im_Zeit-_und_im_Frequenzbereich|Beweis]]:

:$$p_{\delta}(t) = \sum_{\nu = - \infty }^{+\infty} T_{\rm A} \cdot
\delta(t- \nu \cdot T_{\rm A}
)\hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} P_{\delta}(f) = \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} \delta
(f- \mu \cdot f_{\rm A} ).$$

[[Datei:P_ID1121__Sig_T_5_1_S3_NEU.png|right|frame|Diracpuls im Zeit- und Frequenzbereich mit  $T_{\rm A} = 50\ {\rm µs}$  und  $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A} = 20\ \text{kHz}$]]
Das Ergebnis besagt:
*Der Diracpuls  $p_{\delta}(t)$  im Zeitbereich besteht aus unendlich vielen Diracimpulsen, jeweils im gleichen Abstand  $T_{\rm A}$  und alle mit gleichem Impulsgewicht  $T_{\rm A}$.
*Die Fouriertransformierte von  $p_{\delta}(t)$  ergibt wiederum einen Diracpuls, aber nun im Frequenzbereich   ⇒   $P_{\delta}(f)$.
*Auch  $P_{\delta}(f)$  besteht aus unendlich vielen Diracimpulsen, nun im jeweiligen Abstand  $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$  und alle mit dem Impulsgewicht  $1$.
*Die Abstände der Diraclinien in Zeit– und Frequenzbereich folgen demnach dem  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Reziprozit.C3.A4tsgesetz_von_Zeitdauer_und_Bandbreite|Reziprozitätsgesetz]]:   $T_{\rm A} \cdot f_{\rm A} = 1 \hspace{0.05cm}.$

Daraus folgt:   Aus dem Spektrum  $X(f)$  wird durch Faltung mit der um  $\mu \cdot f_{\rm A}$  verschobenen Diraclinie:

:$$X(f) \star \delta
(f- \mu \cdot f_{\rm A}
)= X (f- \mu \cdot f_{\rm A}
)\hspace{0.05cm}.$$

Wendet man dieses Ergebnis auf alle Diraclinien des Diracpulses an, so erhält man schließlich:

:$$X_{\rm A}(f) = X(f) \star \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} \delta
(f- \mu \cdot f_{\rm A}
) = \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} X (f- \mu \cdot f_{\rm A}
)\hspace{0.05cm}.$$

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Fazit:}$  Die Abtastung des analogen Zeitsignals  $x(t)$  in äquidistanten Abständen  $T_{\rm A}$  führt im Spektralbereich zu einer  '''periodischen Fortsetzung'''  von  $X(f)$  mit dem Frequenzabstand  $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$.}}

[[Datei:P_ID1122__Sig_T_5_1_S4_neu.png|right|frame|Spektrum des abgetasteten Signals]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 1:}$ 
Die obere Grafik zeigt  '''(schematisch!)'''  das Spektrum  $X(f)$  eines Analogsignals  $x(t)$, das Frequenzen bis  $5 \text{ kHz}$  beinhaltet.

Tastet man das Signal mit der Abtastrate  $f_{\rm A}\,\text{ = 20 kHz}$, also im jeweiligen Abstand  $T_{\rm A}\, = {\rm 50 \, µs}$  ab, so erhält man das unten skizzierte periodische Spektrum  $X_{\rm A}(f)$.
*Da die Diracfunktionen unendlich schmal sind, beinhaltet das abgetastete Signal  $x_{\rm A}(t)$  auch beliebig hochfrequente Anteile.
*Dementsprechend ist die Spektralfunktion  $X_{\rm A}(f)$  des abgetasteten Signals bis ins Unendliche ausgedehnt.}}

===Signalrekonstruktion===

[[Datei:P_ID1123__Sig_T_5_1_S5a_neu.png|right|frame|Gemeinsames Modell von &bdquo;Signalabtastung” und &bdquo;Signalrekonstruktion”]]
Die Signalabtastung ist bei einem digitalen Übertragungssystem kein Selbstzweck, sondern sie muss irgendwann wieder rückgängig gemacht werden.  Betrachten wir zum Beispiel das folgende System:
*Das Analogsignal  $x(t)$  mit der Bandbreite  $B_{\rm NF}$  wird wie oben beschrieben abgetastet.
*Am Ausgang eines idealen Übertragungssystems liegt das ebenfalls zeitdiskrete Signal  $y_{\rm A}(t) = x_{\rm A}(t)$  vor.
*Die Frage ist nun, wie der Block   '''Signalrekonstruktion'''   zu gestalten ist, damit auch  $y(t) = x(t)$  gilt.

[[Datei:P_ID1124__Sig_T_5_1_S5b_neu.png|right|frame|Frequenzbereichsdarstellung der &bdquo;Signalrekonstruktion”]]
 Die Lösung ist einfach, wenn man die Spektralfunktionen betrachtet:  

Man erhält aus  $Y_{\rm A}(f)$  das Spektrum  $Y(f) = X(f)$  durch ein Tiefpass Filter mit dem  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich#.C3.9Cbertragungsfunktion_-_Frequenzgang|Frequenzgang]]  $H_{\rm E}(f)$, der 

*die tiefen Frequenzen unverfälscht durchlässt:
:$$H_{\rm E}(f) = 1 \hspace{0.3cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.3cm} |f| \le B_{\rm
NF}\hspace{0.05cm},$$
*die hohen Frequenzen vollständig unterdrückt:
:$$H_{\rm E}(f) = 0 \hspace{0.3cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.3cm} |f| \ge f_{\rm A} - B_{\rm
NF}\hspace{0.05cm}.$$

Weiter ist aus der nebenstehenden Grafik zu erkennen:   Solange die beiden oben genannten Bedingungen erfüllt sind, kann  $H_{\rm E}(f)$  im Bereich von  $B_{\rm NF}$  bis  $f_{\rm A}–B_{\rm NF}$  beliebig geformt sein kann,
*beispielsweise linear abfallend (gestrichelter Verlauf)
*oder auch rechteckförmig,

===Das Abtasttheorem===

Die vollständige Rekonstruktion des Analogsignals  $y(t)$  aus dem abgetasteten Signal  $y_{\rm A}(t) = x_{\rm A}(t)$  ist nur möglich, wenn die Abtastrate  $f_{\rm A}$  entsprechend der Bandbreite  $B_{\rm NF}$  des Nachrichtensignals richtig gewählt wurde.

Aus der obigen Grafik erkennt man, dass folgende Bedingung erfüllt sein muss:   $f_{\rm A} - B_{\rm NF} > B_{\rm NF} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}f_{\rm A} > 2 \cdot B_{\rm NF}\hspace{0.05cm}.$

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Abtasttheorem:}$  Besitzt ein Analogsignal  $x(t)$  nur Spektralanteile im Bereich  $\vert f \vert < B_{\rm NF}$, so kann dieses aus seinem abgetasteten Signal  $x_{\rm A}(t)$  nur dann vollständig rekonstruiert werden, wenn die Abtastrate hinreichend groß ist:
:$$f_{\rm A} ≥ 2 \cdot B_{\rm NF}.$$

Für den Abstand zweier Abtastwerte muss demnach gelten:

:$$T_{\rm A} \le \frac{1}{ 2 \cdot B_{\rm NF} }\hspace{0.05cm}.$$}}

Wird bei der Abtastung der größtmögliche Wert   ⇒   $T_{\rm A} = 1/(2B_{\rm NF})$  herangezogen,
*so muss zur Signalrekonstruktion des Analogsignals aus seinen Abtastwerten
*ein idealer, rechteckförmiger Tiefpass mit der Grenzfrequenz  $f_{\rm G} = f_{\rm A}/2 = 1/(2T_{\rm A})$  verwendet werden.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 2:}$  Die Grafik zeigt oben das auf  $\pm\text{ 5 kHz}$  begrenzte Spektrum  $X(f)$  eines Analogsignals, unten das Spektrum  $X_{\rm A}(f)$  des im Abstand  $T_{\rm A} =\,\text{ 100 µs}$  abgetasteten Signals   ⇒   $f_{\rm A}=\,\text{ 10 kHz}$.
[[Datei:P_ID1125__Sig_T_5_1_S6_neu.png|right|frame|Abtasttheorem im Frequenzbereich]]
Zusätzlich eingezeichnet ist der Frequenzgang  $H_{\rm E}(f)$  des tiefpassartigen Empfangsfilters zur Signalrekonstruktion, dessen Grenzfrequenz exakt  $f_{\rm G} = f_{\rm A}/2 = 5\,\text{ kHz}$  betragen muss.

*Mit jedem anderen  $f_{\rm G}$–Wert ergäbe sich  $Y(f) \neq X(f)$.
*Bei  $f_{\rm G} < 5\,\text{ kHz}$  fehlen die oberen  $X(f)$–Anteile.
* Bei  $f_{\rm G} > 5\,\text{ kHz}$  kommt es aufgrund von Faltungsprodukten zu unerwünschten Spektralanteilen in  $Y(f)$.

Wäre am Sender die Abtastung mit einer Abtastrate  $f_{\rm A} < 10\ \text{ kHz}$  erfolgt   ⇒   $T_{\rm A} >100 \ {\rm µ s}$, so wäre das Analogsignal  $y(t) = x(t)$  aus den Abtastwerten  $y_{\rm A}(t)$  auf keinen Fall rekonstruierbar.}}
 
==Versuchsdurchführung==

*Wählen Sie zunächst die Nummer  $(1,\ 2, \text{...})$  der zu bearbeitenden Aufgabe. Die Nummer  $0$  entspricht einem &bdquo;Reset”:  Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt.  Die Parameterwerte sind angepasst.  Lösung nach Drücken von &bdquo;Musterlösung”.
*Alle Signalwerte sind normiert auf  $\pm 1$  zu verstehen.  Auch die ausgegebenen Leistungen sind normierte Größen.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''  Für das Quellensignal gelte  $x(t) = A \cdot \cos (2\pi \cdot f_0 \cdot t -\varphi)$  mit  $f_0 = \text{4 kHz}$.  Abtastung mit  $f_{\rm A} = \text{10 kHz}$.  Rechteck–Tiefpass;  Grenzfrequenz:  $f_{\rm G} = \text{5 kHz}$.           Interpretieren Sie die ausgegebenen Grafiken und bewerten Sie die vorliegende Signalrekonstruktion für alle erlaubten Parameterwerte von $A$  und $\varphi$. }}

:* Das Spektrum  $X(f)$  besteht aus zwei Diraclinien bei  $\pm \text{4 kHz}$, jeweils mit Impulsgewicht  $0.5$.
:* Durch die periodische Fortsetzung hat  $X_{\rm A}(f)$  Linien gleicher Höhe bei  $\pm \text{4 kHz}$,  $\pm \text{6 kHz}$,  $\pm \text{14 kHz}$,  $\pm \text{16 kHz}$,  $\pm \text{24 kHz}$,  $\pm \text{26 kHz}$,  usw.
:* Der Rechteck–Tiefpass mit der Grenzfrequenz  $f_{\rm G} = \text{5 kHz}$  entfernt alle Linien bis auf die beiden bei  $\pm \text{4 kHz}$  ⇒  $Y(f) =X(f)$  ⇒  $y(t) =x(t)$  ⇒   $P_\varepsilon = 0$.
:* Die Signalrekonstruktion funktioniert hier perfekt  $(P_\varepsilon = 0)$  und zwar für alle Amplituden $A$  und beliebige Phasen $\varphi$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''  Es gelte weiter  $A=1$,  $f_0 = \text{4 kHz}$,  $\varphi=0$,  $f_{\rm A} = \text{10 kHz}$,  $f_{\rm G} = \text{5 kHz}$.  Welchen Einfluss haben hier die Rolloff–Faktoren  $r=0.2$,  $r=0.5$  und   $r=1$?           Geben Sie die jeweiligen Leistungen  $P_x$  und  $P_\varepsilon$  an.  für welche  $r$–Werte ist  $P_\varepsilon= 0$?  Gelten diese Ergebnisse auch für andere  $A$  und  $\varphi$? }}

:* Die Signalleistung ist mit  $|X_1|=0.5$  gleich  $P_x = 2\cdot 0.5^2 = 0.5$.  Die Verzerrungsleistung  $P_\varepsilon$  hängt signifikant vom Rolloff–Faktor  $r$  ab.
:* Für  $r \le 0.2$  ist  $P_\varepsilon=0$.  Die  $X_{\rm A}(f)$–Linie bei  $f_0 = \text{4 kHz}$  wird durch den Tiefpass nicht verändert und die unerwünschte  Linie bei  $\text{6 kHz}$  voll unterdrückt.
:* $r = 0.5$ :  $Y(f = \text{4 kHz}) = 0.35$,  $Y(f = \text{6 kHz}) = 0.15$  ⇒   $|E(f = \text{4 kHz})| = |E(f = \text{6 kHz})|= 0.15$  ⇒  $P_\varepsilon = 0.09$  ⇒  $10 \cdot \lg \ (P_x/P_\varepsilon)=7.45\ \rm dB$.
:*$r = 1.0$ :  $Y(f = \text{4 kHz}) = 0.3$,  $Y(f = \text{6 kHz}) = 0.2$  ⇒   $|E(f = \text{4 kHz})| = |E(f = \text{6 kHz})|= 0.2$  ⇒  $P_\varepsilon = 0.16$  ⇒  $10 \cdot \lg \ (P_x/P_\varepsilon)=4.95\ \rm dB$.
:* Für alle  $r$  ist  $P_\varepsilon$  unabhängig von  $\varphi$.  Die Amplitude  $A$  beeinflusst  $P_x$  und  $P_\varepsilon$  in gleicher Weise   ⇒   der Quotient ist jeweils unabhängig von  $A$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''  Nun gelte  $A=1$,  $f_0 = \text{5 kHz}$,  $\varphi=0$,  $f_{\rm A} = \text{10 kHz}$,  $f_{\rm G} = \text{5 kHz}$,  $r=0$  $($Rechteck–Tiefpass$)$.  Interpretieren Sie das Ergebnis der Signalrekonstruktion.}}

:* $X(f)$  besteht aus zwei Diraclinien bei  $\pm \text{5 kHz}$  $($Gewicht  $0.5)$.  Durch die periodische Fortsetzung hat  $X_{\rm A}(f)$  Linien bei  $\pm \text{5 kHz}$,  $\pm \text{15 kHz}$,  $\pm \text{25 kHz}$,  usw.
:*  Der Rechteck–Tiefpass entfernt die Linien bei  $\pm \text{15 kHz}$,  $\pm \text{25 kHz}$,  Die Linien bei  $\pm \text{5 kHz}$  werden wegen  $H_{\rm E}(\pm f_{\rm G}) = H_{\rm E}(\pm \text{5 kHz}) = 0.5$ halbiert
:*   ⇒   $\text{Gewichte von }X(f = \pm \text{5 kHz})$:  $0.5$   |   $\text{Gewichte von }X(f_{\rm A} = \pm \text{5 kHz})$:  $1.0$;     |   $\text{Gewichte von }Y(f = \pm \text{5 kHz})$:  $0.5$   ⇒   $Y(f)=X(f)$.
:* Die Signalrekonstruktion funktioniert also auch hier perfekt  $(P_\varepsilon = 0)$.  Das gilt auch für die Phase  $\varphi=180^\circ$   ⇒   $x(t) = -A \cdot \cos (2\pi \cdot f_0 \cdot t)$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''  Es gelten weiter die Einstellungen von  '''(3)'''  mit Ausnahme von  $\varphi=30^\circ$.  Interpretieren Sie die Unterschiede gegenüber der Einstellung  '''(3)'''   ⇒   $\varphi=0^\circ$.}}

:* Die Phasenbeziehung geht verloren.  Das Sinkensignal  $y(t)$  verläuft cosinusförmig  $(\varphi_y=0^\circ)$  mit um  $\cos(\varphi_x)$  kleinerer Amplitude als das Quellensignal  $x(t)$.
:* Begründung im Frequenzbereich:  Bei der periodische Fortsetzung von  $X(f)$  ⇒  $X_{\rm A}(f)$  sind nur die Realteile zu addieren.  Die Imaginärteile löschen sich aus.
:* Die  $f_0$–Diraclinie von  $Y(f)$  ist reell, die von  $X(f)$  komplex und die von  $E(f)$  imaginär   ⇒   $\varepsilon(t)$  verläuft minus–sinusförmig   ⇒   $P_\varepsilon = 0.125$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''  Verdeutlichen Sie sich nochmals das Ergebnis von  '''(4)'''  im Vergleich zu den Einstellungen  $f_0 = \text{5 kHz}$,  $\varphi=30^\circ$,  $f_{\rm A} = \text{11 kHz}$,  $f_{\rm G} = \text{5.5 kHz}$.}}
:* Bei dieser Einstellung hat das  $X_{\rm A}(f)$–Spektrum auch einen positiven Imaginärteil bei  $\text{5 kHz}$  und einen negativen Imaginärteil gleicher Höhe bei  $\text{6 kHz}$.
:* Der Rechteck–Tiefpass mit der Grenzfrequenz  $\text{5.5 kHz}$  entfernt diesen zweiten Anteil.  Somit ist bei dieser Einstellung  $Y(f) =X(f)$   ⇒   $P_\varepsilon = 0$.
:* Jede  $f_0$–Schwingung beliebiger Phase ist fehlerfrei aus seinen Abtastwerten rekonstruierbar, falls  $f_{\rm A} = 2 \cdot f_{\rm 0} + \mu, \ f_{\rm G}= f_{\rm A}/2$  $($beliebig kleines $\mu>0)$.
:* Bei wertkontinuierlichem Spektrum mit   $X(|f|> f_0) \equiv 0$  ⇒   $\big[$keine Diraclinien bei $\pm f_0 \big ]$ genügt grundsätzlich die Abtastrate  $f_{\rm A} = 2 \cdot f_{\rm 0}$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''  Es gelten weiter die Einstellungen von  '''(3)'''  und  '''(4)'''  mit Ausnahme von  $\varphi=90^\circ$.  Interpretieren Sie die Darstellungen im Zeit– und Frequenzbereich.}}
:* Das Quellensignal wird genau bei seinen Nulldurchgängen abgetastet   ⇒   $x_{\rm A}(t) \equiv 0$  ⇒    $y(t) \equiv 0$  ⇒  $\varepsilon(t)=-x(t)$  ⇒  $P_\varepsilon = P_x$  ⇒  $10 \cdot \lg \ (P_x/P_\varepsilon)=0\ \rm dB$.
:* Beschreibung im Frequenzbereich:  Wie in  '''(4)'''  löschen sich die Imaginärteile von  $X_{\rm A}(f)$  aus.  Auch die Realteile von  $X_{\rm A}(f)$  sind wegen des Sinusverlaufs Null.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(7)'''  Nun betrachten wir das  $\text {Quellensignal 2}$.  Die weiteren Parameter seien  $f_{\rm A} = \text{5 kHz}$,  $f_{\rm G} = \text{2.5 kHz}$,  $r=0$.  Interpretieren Sie die Ergebnisse.}}
:* Das Quellensignal besitzt Spektralanteile bis  $\pm \text{2 kHz}$.  Die Signalleistung ist $P_x = 2 \cdot \big[0.1^2 + 0.25^2+0.15^2\big]= 0.19 $. 
:* Mit der Abtastrate  $f_{\rm A} = \text{5 kHz}$  sowie den Empfängerparametern  $f_{\rm G} = \text{2.5 kHz}$  und  $r=0$ funktioniert die Signalrekonstruktion perfekt:  $P_\varepsilon = 0$.
:* Ebenso mit dem Trapez–Tiefpass mit  $f_{\rm G} = \text{2.5 kHz}$, wenn für den Rolloff–Faktor gilt:  $r \le 0.2$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(8)'''  Was passiert, wenn die Grenzfrequenz  $f_{\rm G} = \text{1.5 kHz}$  des Rechteck–Tiefpasses zu klein ist?  Interpretieren Sie insbesondere das Fehlersignal  $\varepsilon(t)=y(t)-x(t)$.}}
:* Das Fehlersignal  $\varepsilon(t)=-0.3 \cdot \cos(2\pi \cdot \text{2 kHz} \cdot t -60^\circ)=0.3 \cdot \cos(2\pi \cdot \text{2 kHz} \cdot t +120^\circ)$  ist gleich dem (negierten) Signalanteil bei  $\text{2 kHz}$.  '''Stimmt das?'''
:* Die Verzerrungsleistung ist  $P_\varepsilon(t)=2 \cdot 0.15^2= 0.045$  und der Signal–zu–Verzerrungsabstand  $10 \cdot \lg \ (P_x/P_\varepsilon)=10 \cdot \lg \ (0.19/0.045)= 6.26\ \rm dB$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(9)'''  Was passiert, wenn die Grenzfrequenz  $f_{\rm G} = \text{3.5 kHz}$  des Rechteck–Tiefpasses zu groß ist?  Interpretieren Sie insbesondere das Fehlersignal  $\varepsilon(t)=y(t)-x(t)$.}}
:* Das Fehlersignal  $\varepsilon(t)=0.3 \cdot \cos(2\pi \cdot \text{3 kHz} \cdot t +60^\circ)$  ist nun gleich dem vom Tiefpass nicht entfernten $\text{3 kHz}$–Anteil des Sinkensignals  $y(t)$.  '''Stimmt das?'''
:* Gegenüber der Teilaufgabe  '''(8)'''  verändert sich die Frequenz von  $\text{2 kHz}$  auf  $\text{3 kHz}$  und auch die Phasenbeziehung.
:* Die Amplitude dieses  $\text{3 kHz}$–Fehlersignals ist gleich der Amplitude des  $\text{2 kHz}$–Anteils von$x(t)$.  Auch hier gilt  $P_\varepsilon(t)= 0.045$,  $10 \cdot \lg \ (P_x/P_\varepsilon)= 6.26\ \rm dB$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(10)'''  Abschließend betrachten wir das  $\text {Quellensignal 4}$  $($Anteile bis  $\pm \text{4 kHz})$, sowie  $f_{\rm A} = \text{5 kHz}$,  $f_{\rm G} = \text{2.5 kHz}$,  $0 \le r\le 1$.  Interpretation der Ergebnisse.}}
:* Bis zum Rolloff–Faktor  $r=0.2$  funktioniert die Signalrekonstruktion perfekt  $(P_\varepsilon = 0)$.  Erhöht man  $r$, so nimmt  $P_\varepsilon$  kontinuierlich zu und  $10 \cdot \lg \ (P_x/P_\varepsilon)$  ab.
:* Mit  $r=1$  werden die Signalfrequenzen  $\text{0.5 kHz}$,  ...,  $\text{4 kHz}$  abgeschwächt, umso mehr, je höher die Frequenz ist, zum Beispiel  $H_{\rm E}(f=\text{4 kHz}) = 0.6$.
:* Ebenso beinhaltet  $Y(f)$  aufgrund der periodischen Fortsetzung auch Anteile bei den Frequenzen  $\text{6 kHz}$,  $\text{7 kHz}$,  $\text{8 kHz}$,  $\text{9 kHz}$  und  $\text{9.5 kHz}$.
:* Zu den Abtastzeitpunkten  $t\hspace{0.05cm}' = n \cdot T_{\rm A}$  stimmen  $x(t\hspace{0.05cm}')$  und  $y(t\hspace{0.05cm}')$  exakt überein   ⇒   $\varepsilon(t\hspace{0.05cm}') = 0$.  Dazwischen nicht   ⇒   kleine Verzerrungsleistung  $P_\varepsilon = 0.008$.

==Zur Handhabung des Applets==
 
[[Datei:Anleitung_abtast.png|right|600px]]
 
    '''(A)'''     Auswahl eines von vier Quellensignalen

    '''(B)'''     Parameterwahl für Quellensignal  $1$  (Amplitude, Frequenz, Phase)

    '''(C)'''     Ausgabe der verwendeten Programmparameter

    '''(D)'''     Parameterwahl für Abtastung  $(f_{\rm G})$  und                 Signalrekonstruktion  $(f_{\rm A},\ r)$

    '''(E)'''     Skizze des Empfänger–Frequenzgangs  $H_{\rm E}(f)$

    '''(F)'''     Numerische Ausgabe  $(P_x, \ P_{\rm \varepsilon}, \ 10 \cdot \lg(P_x/ P_{\rm \varepsilon})$

    '''(G)'''     Darstellungsauswahl für Zeitbereich

    '''(H)'''     Grafikbereich für Zeitbereich

    '''( I )'''     Darstellungsauswahl für Frequenzbereich

    '''(J)'''     Grafikbereich für Frequenzbereich

    '''(K)'''     Bereich für Übungen:  Aufgabenauswahl, Fragen, Musterlösung
 
==Über die Autoren==
Dieses interaktive Berechnungstool wurde am  [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]  der  [https://www.tum.de/ Technischen Universität München]  konzipiert und realisiert.
*Die erste Version wurde 2008 von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Slim_Lamine_.28Studienarbeit_EI_2006.29|Slim Lamine]]  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit mit &bdquo;FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|Günter Söder]]).
* 2020 wurde das Programm von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf &bdquo;HTML5” umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29|Tasnád Kernetzky]]).

Die Umsetzung dieses Applets auf HTML 5 wurde durch die  [https://www.lehren.tum.de/themen/ideenwettbewerb/ Exzellenzinitiative]  der TU München finanziell unterstützt. Wir bedanken uns.

==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==

{{LntAppletLinkDeEn|sampling|sampling_en}}

LNTwww:Weitere Hinweise zum Buch Informationstheorie

2025-02-24T09:43:22Z

'''Vier Hauptkapitel mit insgesamt 13 Kapiteln (Dateien);   71 Aufgaben   ⇒   2 Semesterwochenstunden  (SWS) Vorlesung und 1 SWS Übungen
       Entstehung der Version 2:  2011 bis 2015;   Portierung zur Version 3:  2016-2017;   letzte Korrektur:  Mai 2021

* Projektverantwortliche:  [[Biografien_und_Bibliografien/Lehrstuhlinhaber_des_LNT#Prof._Dr._sc._techn._Gerhard_Kramer_.28seit_2010.29|'''Gerhard Kramer''']],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|'''Günter Söder''']]  $($Inhalt$)$, [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29| '''Tásnad Kernetzky''']]  $($Web–Administrator$)$

*Ausgangsmaterialien  $($chronologisch$)$:   Vorlesungsmanuskripte:    [Meck09]<ref name='Meck09'>Mecking, M.:  Information Theory. Vorlesungsmanuskript, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik. TU München, 2009.</ref>;  [Liv15]<ref name='Liv15'>Liva, G.: Channel Codes for Iterative Decoding. Vorlesungsmanuskript, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München und DLR Oberpfaffenhofen, 2015.</ref>;  [Kra16]<ref name='Kra16'>Kramer, G.: Information Theory. Vorlesungsmanuskript, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik. München: TU München, 2016.</ref>;  [Söd14]<ref name='Söd14'>Söder, G.:  Wertdiskrete Informationstheorie . Anleitung zum gleichnamigen V ersuch im Praktikum &bdquo;Simulation digitaler Übertragungssysteme”. Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München, 2014. </ref>;   –   Fachbuch:    [Cov06]<ref name='Cov06'>Cover, T. M.; Thomas, J. A.: Elements of Information Theory. West Sussex: John Wiley & Sons, 2nd Edition, 2006. </ref>

*Autoren und beteiligte Kollegen  $($alphabetisch$)$:  [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Dr.-Ing._Bernhard_G.C3.B6bel_.28bei_L.C3.9CT_von_2004-2010.29|'''Bernhard Göbel''']],   [http://wirelesscoding.org/ '''Gianluigi Liva'''],   [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Tobias_Lutz_.28am_LNT_von_2008-2014.29|'''Tobias Lutz''']],   [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Michael_Mecking_.28am_LNT_von_1997-2012.29|'''Michael Mecking''']],   [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|'''Günter Söder''']]

*Beteiligte Studierende  $($chronologisch$)$:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Martin_Winkler_.28Diplomarbeit_LB_2001.2C_danach_freie_Mitarbeit_bis_2003.29|Martin Winkler]] '''(2001)''',   [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Yven_Winter_.28Diplomarbeit_LB_2004.2C_danach_freie_Mitarbeit_bis_2016.29|Yven Winter]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Franz_Kohl_.28Diplomarbeit_LB_2004.2C_danach_freie_Mitarbeit_bis_2006.29|Franz Kohl]],  Joachim Schenk,  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Bettina_Hirner_.28Diplomarbeit_LB_2005.29|Bettina Hirner]],   [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Thomas_Gro.C3.9Fer_.28Diplomarbeit_LB_2006.2C_danach_freie_Mitarbeit_bis_2010.29|Thomas Großer]],   [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Stefan_M.C3.BCller_.28Diplomarbeit_LB_2010.29|Stefan Müller]],   [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Martin_V.C3.B6lkl_.28Diplomarbeit_LB_2010.29|Martin Völkl]],   [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Eugen_Mehlmann_.28Bachelorarbeit_EI_2011.29|Eugen Mehlmann]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Alexander_Laible_.28Bachelorarbeit_EI_2012.29|Alexander Laible]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Veronika_Hofmann_.28Ingenieurspraxis_Math_2020.29|Veronika Hofmann]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]] '''(2021)'''

==Quellenverzeichnis==

WDF und VTF bei Gaußschen 2D-Zufallsgrößen

2025-02-24T09:43:22Z

Applets:Lineare Verzerrungen periodischer Signale

2025-02-24T09:43:22Z

{{LntAppletLink|linDistortions_en}}         [https://en.lntwww.de/Applets:Linear_Distortions_of_Periodic_Signals '''English Applet with English WIKI description''']
==Programmbeschreibung==
 
Dieses Applet veranschaulicht die Auswirkungen von linearen Verzerrungen (Dämpfungsverzerrungen und Phasenverzerrungen) anhand
[[Datei:Modell_version2.png|right|frame|Bedeutung der verwendeten Signale]]
*des Eingangssignals $x(t)$   ⇒   Leistung $P_x$:
:$$x(t) = x_1(t) + x_2(t) = A_1\cdot \cos\left(2\pi f_1\cdot t- \varphi_1\right)+A_2\cdot \cos\left(2\pi f_2\cdot t- \varphi_2\right), $$
*des Ausgangssignals $y(t)$   ⇒   Leistung $P_y$:
:$$y(t) = \alpha_1 \cdot x_1(t-\tau_1) + \alpha_2 \cdot x_2(t-\tau_2),$$
*des Matching–Ausgangssignals $z(t)$   ⇒   Leistung $P_z$:
:$$z(t) = k_{\rm M} \cdot y(t-\tau_{\rm M}) + \alpha_2 \cdot x_2(t-\tau_2),$$
*des Differenzsignals   $\varepsilon(t) = z(t) - x(t)$   ⇒   Leistung $P_\varepsilon$.

Als nächster Block im obigen Modell folgt das &bdquo;Matching”: Dabei wird das Ausgangssignal $y(t)$ mit für alle Frequenzen einheitlichen Größen $k_{\rm M}$ und $\tau_{\rm M}$ in Amplitude bzw. Phase angepasst. Dies ist also keine frequenzabhängige Entzerrung. Anhand des Signals $z(t)$ kann unterschieden werden
*zwischen einer Dämpfungsverzerrung und einer frequenzunabhängigen Dämpfung, sowie
*zwischen einer Phasenverzerrung und einer für alle Frequenzen gleichen Laufzeit.

Als Maß für die Stärke der linearen Verzerrungen wird die Verzerrungsleistung (englisch: ''Distortion Power'') $P_{\rm D}$ verwendet. Für diese gilt:
:$$P_{\rm D} = \min_{k_{\rm M}, \ \tau_{\rm M}} P_\varepsilon.$$

==Theoretischer Hintergrund==
 
Unter '''Verzerrungen''' (englisch: ''Distortions'') versteht man allgemein die unerwünschte deterministische Veränderungen eines Nachrichtensignals durch ein Übertragungssystem. Sie sind bei vielen Nachrichtensystemen neben den stochastischen Störungen (Rauschen, Nebensprechen, etc.) eine entscheidende Begrenzung für die Übertragungsqualität und die Übertragungsrate.

Ebenso wie man die &bdquo;Stärke” von Rauschen durch
*die Rauschleistung (englisch: ''Noise Power'') $P_{\rm N}$ und
*das Signal–zu–Rauschleistungsverhältnis (englisch: ''Signal–to–Noise Ratio'', SNR) $\rho_{\rm N}$

bewertet, verwendet man zur Quantifizierung der Verzerrungen

*die Verzerrungsleistung (englisch: ''Distortion Power'') $P_{\rm D}$ und
*das Signal–zu–Verzerrungsleistungsverhältnis (englisch: ''Signal–to–Distortion Ratio'', SDR)
:$$\rho_{\rm D}=\frac{\rm Signalleistung}{\rm Verzerrungsleistung} = \frac{P_x}{P_{\rm D} }.$$

=== Lineare und nichtlineare Verzerrungen ===
 
Man unterscheidet zwischen linearen und nichtlinearen Verzerrungen:
*'''Nichtlineare Verzerrungen''' gibt es, wenn zu allen Zeiten $t$ zwischen dem Signalwert $x = x(t)$ am Eingang und dem Ausgangssignalwert $y = y(t)$ der nichtlineare Zusammenhang $y = g(x) \ne {\rm const.} \cdot x$ besteht, wobei $y = g(x)$ die nichtlineare Kennlinie des Systems bezeichnet. Legt man an den Eingang ein Cosinussignal der Freuenz $f_0$ an, so beinhaltet das Ausgangssignal neben $f_0$ auch Vielfache hiervon   ⇒   so genannte ''Oberwellen''. Durch nichtlineare Verzerrungen entstehen also neue Frequenzen.

[[Datei:LZI_T_2_2_S3_vers2.png|center|frame|Zur Verdeutlichung nichtlinearer Verzerrungen |class=fit]]

[[Datei:P_ID899__LZI_T_2_3_S1_neu.png|right |frame| Beschreibung eines linearen Systems|class=fit]]
*'''Lineare Verzerrungen''' entstehen dann, wenn der Übertragungskanal durch einen Frequenzgang $H(f) \ne \rm const.$ charakterisiert wird. Dann werden unterschiedliche Frequenzen unterschiedlich gedämpft und unterschiedlich verzögert. Charakteristisch hierfür ist, dass zwar Frequenzen verschwinden können (zum Beispiel durch einen Tiefpass, einen Hochpass oder einen Bandpass), dass aber keine neuen Frequenzen entstehen.

In diesem Applet werden nur lineare Verzerrungen betrachtet.

=== Beschreibungsformen für den Frequenzgang ===
 
Der im Allgemeinen komplexe Frequenzgang kann auch wie folgt dargestellt werden:
:$$H(f) = |H(f)| \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot
\hspace{0.05cm} b(f)} = {\rm e}^{-a(f)}\cdot {\rm e}^{-{\rm j}
\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} b(f)}.$$

Daraus ergeben sich folgende Beschreibungsgrößen:
*Der Betrag $|H(f)|$ wird als '''Amplitudengang''' und in logarithmierter Form als '''Dämpfungsverlauf''' bezeichnet:
:$$a(f) = - \ln |H(f)|\hspace{0.2cm}{\rm in \hspace{0.1cm}Neper
\hspace{0.1cm}(Np) } = - 20 \cdot \lg |H(f)|\hspace{0.2cm}{\rm in
\hspace{0.1cm}Dezibel \hspace{0.1cm}(dB) }.$$
*Der '''Phasengang''' $b(f)$ gibt den negativen frequenzabhängigen Winkel von $H(f)$ in der komplexen Ebene an, bezogen auf die reelle Achse:
:$$b(f) = - {\rm arc} \hspace{0.1cm}H(f) \hspace{0.2cm}{\rm in
\hspace{0.1cm}Radian \hspace{0.1cm}(rad)}.$$

=== Tiefpass N–ter Ordnung ===
 
[[Datei:Tiefpass_version2.png|right|frame|Dämpfungsverlauf und Phasenverlauf eines Tiefpasses N–ter Ordnung]]
Der Frequenzgang eines realisierbaren Tiefpasses N–Ordnung lautet:
:$$H(f) = \left [\frac{1}{1 + {\rm j}\cdot f/f_0 }\right ]^N\hspace{0.05cm}.$$
Ein einfacher RC–Tiefpass hat diesen Verlauf mit $N=1$. Damit erhält man
*den Dämpfungsverlauf:
:$$a(f) =N/2 \cdot \ln [1+( f/f_0)^2] \hspace{0.05cm},$$
*den Phasenverlauf:
:$$b(f) =N \cdot \arctan( f/f_0) \hspace{0.05cm},$$
*den Dämpfungsfaktor für die Frequenz $f=f_i$:
:$$\alpha_i =|H(f = f_i)| = [1+( f/f_0)^2]^{-N/2}$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} x(t)= A_i\cdot \cos(2\pi f_i t) \hspace{0.1cm}\rightarrow \hspace{0.1cm} y(t)= \alpha_i \cdot A_i\cdot \cos(2\pi f_i t)\hspace{0.05cm},$$
*die Phasenlaufzeit für die Frequenz $f=f_i$:
:$$\tau_i =\frac{b(f_i)}{2 \pi f_i} = \frac{N \cdot \arctan( f_i/f_0)}{2 \pi f_i}$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} x(t)= A_i\cdot \cos(2\pi f_i t) \hspace{0.1cm}\rightarrow \hspace{0.1cm} y(t)=A_i\cdot \cos(2\pi f_i (t- \tau_i))\hspace{0.05cm}.$$

=== Hochpass N–ter Ordnung ===
 
[[Datei:Hochpass_version2.png|right|frame|Dämpfungsverlauf und Phasenverlauf eines Hochpasses N–ter Ordnung]]
Der Frequenzgang eines realisierbaren Hochpasses N–Ordnung lautet:
:$$H(f) = \left [\frac{ {\rm j}\cdot f/f_0 }{1 + {\rm j}\cdot f/f_0 }\right ]^N\hspace{0.05cm}.$$
Ein einfacher LC–Tiefpass hat diesen Verlauf mit $N=1$. Damit erhält man
*den Dämpfungsverlauf:
:$$a(f) =N/2 \cdot \ln [1+( f_0/f)^2] \hspace{0.05cm},$$
*den Phasenverlauf:
:$$b(f) =-N \cdot \arctan( f_0/f) \hspace{0.05cm},$$
*den Dämpfungsfaktor für die Frequenz $f=f_i$:
:$$\alpha_i =|H(f = f_i)| = [1+( f_0/f)^2]^{-N/2}$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} x(t)= A_i\cdot \cos(2\pi f_i t) \hspace{0.1cm}\rightarrow \hspace{0.1cm} y(t)= \alpha_i \cdot A_i\cdot \cos(2\pi f_i t)\hspace{0.05cm},$$
*die Phasenlaufzeit für die Frequenz $f=f_i$:
:$$\tau_i =\frac{b(f_i)}{2 \pi f_i} = \frac{-N \cdot \arctan( f_0/f_i)}{2 \pi f_i}$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} x(t)= A_i\cdot \cos(2\pi f_i t) \hspace{0.1cm}\rightarrow \hspace{0.1cm} y(t)=A_i\cdot \cos(2 \pi f_i (t- \tau_i))\hspace{0.05cm}.$$

[[Datei:Verzerrungen_HP_TP_1_englisch.png|right|frame|Phasenfunktion $b(f)$ von Tiefpass und Hochpass]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel:}$ 
Die Grafik zeigt jeweils für die Grenzfrequenz $f_0 = 1\ \rm kHz$ und die Ordnung $N=1$ die Phasenfunktion $b(f)$
* eines Tiefpasses (englisch: ''low–pass'') als grüne Kurve, und
* eines Hochpasses (englisch: ''high–pass'') als violette Kurve.

Das Eingangssignal sei jeweils sinusförmig mit der Frequenz $f_{\rm S} = 1.25\ {\rm kHz}$, wobei dieses Signal erst zum Zeitpunkt $t=0$ eingeschaltet wird:
:$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.75cm}0 \\ \sin(2\pi \cdot f_{\rm S} \cdot t ) \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r} } \\ {\rm{f\ddot{u}r} } \\ \end{array}\begin{array} \ t < 0, \\ t>0. \\ \end{array}$$

In der linken (blau umrandeten) Grafik ist dieses Signal $x(t)$ dargestellt. Der Zeitpunkt $t = T_0 = 0.8\ {\rm ms}$ der ersten Nullstelle ist durch eine gestrichelte Linie markiert. Die beiden anderen Grafiken zeigen die Ausgangssignale $y_{\rm TP}(t)$ und $y_{\rm HP}(t)$ von Tiefpass und Hochpass, wobei in beiden Fällen die Amplitudenänderungen ausgeglichen wurden.

[[Datei:Verzerrungen_HP_TP_2_version2.png|center|frame|Eingangssignal $x(t)$ sowie Ausgangssignale $y_{\rm TP}(t)$ und $y_{\rm HP}(t)$]]

*Die erste Nullstelle des Signals $y_{\rm TP}(t)$ nach dem Tiefpass kommt um $\tau_{\rm TP} = 0.9/(2\pi) \cdot T_0 \approx 0.115 \ {\rm ms}$ später als die erste Nullstelle von $x(t)$   ⇒   markiert mit grünem Pfeil, wobei $b_{\rm TP}(f/f_{\rm S} )= 0.9 \ {\rm rad}$ berücksichtigt wurde.
* Dagegen ist die Laufzeit des Hochpasses negativ: $\tau_{\rm HP} = -0.67/(2\pi) \cdot T_0 \approx 0.085 \ {\rm ms}$ und die erste Nullstelle von $y_{\rm HP}(t)$ kommt deshalb vor der weißen Markierung.
*Nach diesem Einschwingvorgang kommen in beiden Fällen die Nulldurchgänge wieder im Raster der Periodendauer $T_0 = 0.8 \ {\rm ms}.$

''Anmerkung:'' Die gezeigten Signalverläufe wurden mit dem intereaktiven Applet [[Applets:Kausale_Systeme_-_Laplacetransformation|Kausale Systeme – Laplacetransformation]] erstellt. }}

=== Dämpfungsverzerrungen und Phasenverzerrungen ===
 
[[Datei:P_ID900__LZI_T_2_3_S2_neu.png|frame| Voraussetzung für einen nichtverzerrenden Kanal|right|class=fit]]
Die nebenstehende Grafik zeigt
*den geraden Dämpfungsverlauf $a(f)$   ⇒   $a(-f) = a(f)$, und
*den ungeraden Phasenverlauf $b(f)$   ⇒   $b(-f) = -b(- f)$

eines verzerrungsfreien Systems. Man erkennt:
*Bei einem verzerrungsfreien Systems muss in einem Bereich von $f_{\rm U}$ bis $f_{\rm O}$ um die Trägerfrequenz $f_{\rm T}$, in dem das Signal $x(t)$ Anteile besitzt, die Dämpfungsfunktion $a(f)$ konstant sein.
*Aus dem angegebenen konstanten Dämpfungswert $6 \ \rm dB$ folgt für den Amplitudengang $|H(f)| = 0.5$   ⇒   die Signalwerte aller Frequenzen werden somit durch das System halbiert   ⇒   keine Dämpfungsverzerrungen.
*Zusätzlich muss bei einem solchen Systems der Phasenverlauf $b(f)$ zwischen $f_{\rm U}$ und $f_{\rm O}$ linear mit der Frequenz ansteigen. Dies hat zur Folge, dass alle Frequenzanteile um die gleiche Phasenlaufzeit $τ$ verzögert werden   ⇒   keine Phasenverzerrungen.
*Die Verzögerung $τ$ liegt durch die Steigung von $b(f)$ fest. Mit $b(f) = 0$ würde sich ein laufzeitfreies System ergeben   ⇒   $τ = 0$.

Die folgende Zusammenfassung berücksichtigt, dass in diesem Applet das Einganssignal stets die Summe zweier harmonischer Schwingungen ist:
:$$x(t) = x_1(t) + x_2(t) = A_1\cdot \cos\left(2\pi f_1\cdot t- \varphi_1\right)+A_2\cdot \cos\left(2\pi f_2\cdot t- \varphi_2\right).$$
Damit wird der Kanaleinfluss durch die Dämpfungsfaktoren $\alpha_1$ und $\alpha_2$ sowie die Phasenlaufzeiten $\tau_1$ und $\tau_2$ vollständig beschrieben:
:$$y(t) = \alpha_1 \cdot x_1(t-\tau_1) + \alpha_2 \cdot x_2(t-\tau_2).$$

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Fazit:}$ 
*Ein Signal $y(t)$ ist gegenüber dem Eingang $x(t)$ nur dann unverzerrt, wenn $\alpha_1 = \alpha_2= \alpha$   und   $\tau_1 = \tau_2= \tau$ gilt   ⇒   $y(t) = \alpha \cdot x(t-\tau)$.
* Dämpfungsverzerrungen ergeben sich, falls $\alpha_1 \ne \alpha_2$ ist . Ist $\alpha_1 \ne \alpha_2$ und $\tau_1 = \tau_2$, so liegen ausschließlich Dämpfungsverzerrungen vor.
* Phasenverzerrungen gibt es für $\tau_1 \ne \tau_2$. Ist $\tau_1 \ne \tau_2$ und $\alpha_1 = \alpha_2$, so liegen ausschließlich Phasenverzerrungen vor. }}

==Versuchsdurchführung==
[[Datei:Exercises_verzerrungen.png|right]]
*Wählen Sie zunächst die Aufgabennummer.
*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt.
*Parameterwerte sind angepasst.
*Lösung nach Drücken von &bdquo;Hide solition”.

Die Nummer &bdquo;0” entspricht einem &bdquo;Reset”:
*Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
*Ausgabe eines &bdquo;Reset–Textes” mit weiteren Erläuterungen zum Applet.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''   Für das Eingangssignal $x(t)$ gelte $A_1 = 0.8\ {\rm V}, \ A_2 = 0.6\ {\rm V}, \ f_1 = 0.5\ {\rm kHz}, \ f_2 = 1.5\ {\rm kHz}, \ \varphi_1 = 90^\circ, \ \varphi_2 = 30^\circ$.
:Wie groß ist die Periodendauer $T_0$? Welche Leistung $P_x$ weist dieses Signal auf? Wo kann man diesen Wert im Programm ablesen? }}

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}T_0 = \big [\hspace{-0.1cm}\text{ größter gemeinsamer Teiler }(0.5 \ {\rm kHz}, \ 1.5 \ {\rm kHz})\big ]^{-1}\hspace{0.15cm}\underline{ = 2.0 \ {\rm ms}};$

$\hspace{1.85cm} P_x = A_1^2/2 + A_2^2/2 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.5 \ {\rm V^2}} = P_\varepsilon\text{, wenn }\hspace{0.15cm}\underline{k_{\rm M} = 0} \ \Rightarrow \ z(t) \equiv 0$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''   Variieren Sie bei sonst gleicher Einstellung wie unter '''(1)''' die Phase $\varphi_2$ im gesamten möglichen Bereich $\pm 180^\circ$. Wie ändern sich $T_0$ und $P_x$?}}

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Keine Veränderungen:}\hspace{0.2cm}\hspace{0.15cm}\underline{ T_0 = 2.0 \ {\rm ms}; \hspace{0.2cm} P_x = 0.5 \ {\rm V^2}}$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''   Variieren Sie bei sonst gleicher Einstellung wie unter '''(1)''' die Frequenz $f_2$ im Bereich $0 \le f_2 \le 5\ {\rm kHz}$. Wie ändert sich die Signalleistung $P_x$?}}

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Keine Veränderungen, falls }f_2 \ne 0\text{ und } f_2 \ne f_1\text{:}\hspace{0.3cm} \hspace{0.15cm}\underline{P_x = 0.5 \ {\rm V^2}}\text{.} \hspace{0.2cm} T_0 \text{ ändert sich, falls }f_2\text{ kein Vielfaches von }f_1$.

$\hspace{1.85cm}\text{Falls }f_2 = 0\text{:}\hspace{0.2cm} P_x = A_1^2/2 + A_2^2\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.68 \ {\rm V^2}}$. $\hspace{3cm}\text{Allgemeine Formel noch überprüfen}$

$\hspace{1.85cm}\text{Falls }f_2 = f_1\text{:}\hspace{0.2cm} P_x = [A_1 \cdot \cos(\varphi_1) + A_2 \cdot \cos(\varphi_2)]^2/2 + [A_1\sin \cdot (\varphi_1) + A_2 \cdot \sin(\varphi_2)]^2/2 \text{. Mit } \varphi_1 = 90^\circ, \ \varphi_2 = 30^\circ\text{:}\hspace{0.3cm}\hspace{0.15cm}\underline{ P_x = 0.74 \ {\rm V^2}}\text{.} $

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''   Ausgehend vom bisherigen Eingangssignal $x(t)$ gelte für den Kanal: $\alpha_1 = \alpha_2 = 0.5, \ \tau_1 = \tau_2 = 0.5\ {\rm ms}$. Zudem sei $k_{\rm M} = 1 \text{ und } \tau_{\rm M} = 0$ .
:Gibt es lineare Verzerrungen? Wie groß ist die Empfangsleistung $P_y$ und die Leistung $P_\varepsilon$ des Differenzsignals $\varepsilon(t) = z(t) - x(t)$? }}

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.15cm}\underline{ y(t) = 0.5 \cdot x(t- 1\ {\rm ms})}\text{ ist unverzerrt, nur gedämpft und verzögert.}$

$\hspace{1.85cm}\text{Empfangsleistung:}\hspace{0.2cm} P_y = (A_1/2)^2/2 + (A_2/2)^2/2\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.125 \ {\rm V^2}}\text{. } P_\varepsilon \text{ ist deutlich größer:} \hspace{0.1cm} \hspace{0.15cm}\underline{P_\varepsilon = 0.625 \ {\rm V^2}}.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''   Variieren Sie bei sonst gleicher Einstellung wie unter '''(4)''' die Matchingparameter $k_{\rm M} \text{ und } \tau_{\rm M}$. Wie groß ist die Verzerrungsleistung $P_{\rm D}$?}}

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} P_{\rm D}\text{ ist gleich der Leistung }P_\varepsilon \text{ des Differenzsignals bei bestmöglicher Anpassung:} \hspace{0.2cm}k_{\rm M} = 2 \text{ und } \tau_{\rm M}=T_0 - 0.5\ {\rm ms} = 1.5\ {\rm ms}$

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}z(t) = x(t)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\varepsilon(t) = 0\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}P_{\rm D}\hspace{0.15cm}\underline{ = P_\varepsilon = 0} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\text{weder Dämpfungs- noch Phasenverzerrungen.}$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''   Für den Kanal gelte nun $\alpha_1 = 0.5, \hspace{0.15cm}\underline{\alpha_2 = 0.2}, \ \tau_1 = \tau_2 = 0.5\ {\rm ms}$. Wie groß sind nun die Verzerrungsleistung $P_{\rm D}$ und das Signal–zu–Verzerrungsverhäldnis $(\rm SDR)$ $\rho_{\rm D}$?}}

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} P_{\rm D} = P_\varepsilon \text{ bei bestmöglicher Anpassung:} \hspace{0.2cm}\hspace{0.15cm}\underline{k_{\rm M} = 2.24} \text{ und } \hspace{0.15cm}\underline{\tau_{\rm M} = 1.5\ {\rm ms} }\text{:} \hspace{0.2cm}\hspace{0.15cm}\underline{P_{\rm D} = 0.059 \ {\rm V^2}}$.

$\hspace{1.85cm}\text{Nur Dämpfungsverzerrungen.} \hspace{0.3cm}\text{Signal-zu-Verzerrung-Leistungsverhältnis}\ \hspace{0.15cm}\underline{\rho_{\rm D} = P_x/P_\varepsilon \approx 8.5}$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(7)'''   Für den Kanal gelte nun $\alpha_1 = \alpha_2 = 0.5, \ \tau_1 \hspace{0.15cm}\underline{= 2\ {\rm ms} }, \ \tau_2 = 0.5\ {\rm ms}$. Wie groß sind nun $P_{\rm D}$ und $\rho_{\rm D}$?}}

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} P_{\rm D} = P_\varepsilon \text{ bei bestmöglicher Anpassung:} \hspace{0.2cm}\hspace{0.15cm}\underline{k_{\rm M} = 1.82} \text{ und } \tau_{\rm M}\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.15\ {\rm ms} }\text{:} \hspace{0.2cm}\hspace{0.15cm}\underline{P_{\rm D} = 0.072 \ {\rm V^2}}$.

$\hspace{1.85cm}\text{Nur Phasenverzerrungen.} \hspace{0.3cm}\text{Signal-zu-Verzerrung-Leistungsverhältnis}\ \hspace{0.15cm}\underline{\rho_{\rm D} = P_x/P_\varepsilon \approx 7}$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(8)'''   Die Kanalparameter seien nun $\hspace{0.15cm}\underline{\alpha_1 = 0.5} , \hspace{0.15cm}\underline{\alpha_2 = 0.2} , \ \hspace{0.15cm}\underline{\tau_1= 0.5\ {\rm ms} }, \ \hspace{0.15cm}\underline{\tau_2 = 0.3\ {\rm ms} }$. Gibt es Dämpfungs– und/oder Phasenverzerrungen?
:Wie kann man $y(t)$ annähern? ''Hinweis:'' $\cos(3x) = 4 \cdot \cos^3(x) - 3\cdot \cos(x).$}}

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \text{Es gibt sowohlDämpfungs– als auch Phasenverzerrungen, weil }\alpha_1 \ne \alpha_2\text{ und }\tau_1 \ne \tau_2$.

$\hspace{1.85cm}\text{Es gilt }y(t) = y_1(t) + y_2(t)\ \Rightarrow \ y_1(t) = A_1 \cdot \alpha_1 \cdot \sin[2\pi f_1\ (t- 0.5\ \rm ms)] = -0.4 \ {\rm V} \cdot \cos(2\pi f_1 t)$

$\hspace{1.85cm} y_2(t) = \alpha_2 \cdot x_2(t- \tau_2) \text{ mit }x_2(t) = A_2 \cdot \cos[2\pi f_2\ (t- 30^\circ)] \approx A_2 \cdot \cos[2\pi f_2\ (t- 1/36 \ \rm ms)]$

$\hspace{1.85cm} \Rightarrow \ y_2(t) = 0.12 \ {\rm V} \cdot \cos[2\pi f_2\ (t- 0.328 \ {\rm ms})] \approx -0.12 \ { \rm V} \cdot \cos[2\pi f_2t] $.

$\hspace{1.85cm} \Rightarrow \ y(t) = y_1(t) + y_2(t) \approx -0.4 \ {\rm V} \cdot [\cos(2\pi \cdot f_1\cdot t) + 1/3 \cdot \cos(2\pi \cdot 3 f_1 \cdot t) = -0.533 \ {\rm V} \cdot \cos^3(2\pi f_1 t)$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(9)'''   Es gelten weiter die Parameter von '''(8)'''. Wie groß ist die Verzerrungsleistung $P_{\rm D}$ and das Signal-zu-Verzerrungsleistungsverhältnis $\rho_{\rm D}$?}}

$\hspace{1.0cm}\text{Bestmögliche Anpassung:} \hspace{0.2cm}\hspace{0.15cm}\underline{k_{\rm M} = 1.96} \text{, } \hspace{0.15cm}\underline{\tau_{\rm M} = 1.65\ {\rm ms} }\text{:} \hspace{0.2cm}\hspace{0.15cm}\underline{P_{\rm D} = 0.156 \ {\rm V^2} },\hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline{\rho_{\rm D} = 0.500/0.15 \approx 3.3}$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(10)'''  Nun gelte $A_2 = 0$ sowie $A_1 = 1\ {\rm V}, \ f_1 = 1\ {\rm kHz}, \varphi_1 = 0^\circ$. Der Kanal sei ein Tiefpass erster Ordnung $(f_0 = 1\ {\rm kHz})$.
:Gibt es Dämpfungs– und/oder Phasenverzerrungen? Wie groß sind die Kanalkoeffizienten $\alpha_1$ and $\tau_1$?}}

$\hspace{1.0cm}\text{Bei nur einer Frequenz gibt es weder Dämpfungs– noch Phasenverzerrungen.}$
$\hspace{1.0cm}\text{Dämpfungsfaktor für }f_1=f_0\text{ und }N=1\text{: }\alpha_1 =|H(f = f_1)| = [1+( f_1/f_0)^2]^{-N/2} = 2^{-1/2}= 1/\sqrt{2}\hspace{0.15cm}\underline{=0.707},$
$\hspace{1.0cm}\text{Phasenlaufzeit für}f_1=f_0\text{ und }N=1\text{: }\tau_1 = N \cdot \arctan( f_1/f_0)/(2 \pi f_1)=\arctan( 1)/(2 \pi f_1) =1/(8f_1) \hspace{0.15cm}\underline{=0.125 \ \rm ms}.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(11)'''   Wie ändern sich die Kanalparameter durch einen Tiefpass zweiter Ordnung gegenüber einem Tiefpass erster Ordnung $(f_0 = 1\ {\rm kHz})$?}}

$\hspace{1.0cm}\text{Es gilt }\hspace{0.15cm}\alpha_1 = 0.707^2 = 0.5$ und $\tau_1 = 2 \cdot 0.125 = 0.25 \ {\rm ms}$.

$\hspace{1.0cm}\text{Das Signal }y(t)\text{ ist nur halb so groß wie }x(t)\text{ und läuft diesem nach: Aus dem Cosinusverlauf wird die Sinusfunktion}$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(12)'''   Welche Unterschiede ergeben sich bei einem Hochpass zweiter Ordnung gegenüber einem Tiefpass zweiter Ordnung $(f_0 = 1\ {\rm kHz})$. }}

$\hspace{1.0cm}\text{Wegen }f_1 = f_0\text{ ergibt sich der gleiche Dämpfungsfaktor }\alpha_1 = 0.5\text{ und es gilt }\tau_1 = -0.25 \ {\rm ms}\text{ Das heißt:}$.

$\hspace{1.0cm}\text{Das Signal }y(t)\text{ ist halb so groß wie }x(t)\text{ und läuft diesem vor: Aus dem Cosinusverlauf wird die Minus–Sinusfunktion}$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(13)'''   Welche Unterschiede erkennen Sie am Signalverlauf $y(t)$ zwischen dem Tiefpass zweiter Ordnung und dem Hochpass zweiter Ordnung $(f_0 = 1\ {\rm kHz})$, wenn Sie vom Eingangssignal gemäß'''(1)''' ausgehen und Sie die Frequenz $f_2$ kontinuierlich bis auf $10 \ \rm kHz$ erhöhen. }}

$\hspace{1.0cm}\text{Nach dem Tiefpass wird der zweite Anteil mehr und mehr unterdrückt. Für }f_2 = 10 \ \rm kHz\text{ gilt: }y_{\rm LP}(t) \approx 0.8 \cdot x_1(t-0.3 \ \rm ms).$

$\hspace{1.0cm}\text{Nach dem Hochpass überwiegt dagegen der zweite Anteil. Für }f_2 = 10 \ \rm kHz\text{ gilt: }y_{\rm HP}(t) \approx 0.2 \cdot x_1(t+0.7 \ {\rm ms)} + x_2(t).$

==Zur Handhabung des Applets==
[[Datei:Handhabung_verzerrungen.png|center]]
 
    '''(A)'''     Parametereingabe für das Eingangssignal $x(t)$ per Slider: Amplituden, Frequenzen, Phasenwerte

    '''(B)'''     Vorauswahl für die Kanalparameter: per Slider, Tiefpass oder Hochpass

    '''(C)'''     Eingabe der Kanalparameter per Slider: Dämpfungsfaktoren und Phasenlaufzeiten

    '''(D)'''     Eingabe der Kanalparameter für Hoch– und Tiefpass: Ordnung $n$, Grenzfrequenz $f_0$

    '''(E)'''     Eingabe der Matching–Parameter $k_{\rm M}$ und $\varphi_{\rm M}$

    '''(F)'''     Auswahl der darzustellenden Signale: $x(t)$, $y(t)$, $z(t)$, $\varepsilon(t)$, $\varepsilon^2(t)$

    '''(G)'''     Graphische Darstellung der Signale

    '''(H)'''     Eingabe der Zeit $t_*$ für die Numerikausgabe

    '''( I )'''     Numerikausgabe der Signalwerte $x(t_*)$, $y(t_*)$, $z(t_*)$ und $\varepsilon(t_*)$

    '''(J)'''     Numerikausgabe des Hauptergebnisses $P_\varepsilon$

    '''(K)'''     Abspeichern und Zurückholen von Parametersätzen

    '''(L)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung: Aufgabenauswahl, Aufgabenstellung und Musterlösung

    '''(M)'''     Variationsmöglichkeiten für die grafische Darstellung

$\hspace{1.5cm}$Zoom–Funktionen &bdquo;$+$” (Vergrößern), &bdquo;$-$” (Verkleinern) und $\rm o$ (Zurücksetzen)

$\hspace{1.5cm}$Verschieben mit &bdquo;$\leftarrow$” (Ausschnitt nach links, Ordinate nach rechts), &bdquo;$\uparrow$” &bdquo;$\downarrow$” und &bdquo;$\rightarrow$”

$\hspace{1.5cm}$'''Andere Möglichkeiten''':

$\hspace{1.5cm}$Gedrückte Shifttaste und Scrollen: Zoomen im Koordinatensystem,

$\hspace{1.5cm}$Gedrückte Shifttaste und linke Maustaste: Verschieben des Koordinatensystems.

==Über die Autoren==
Dieses interaktive Berechnungstool wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.
*Die erste Version wurde 2005 von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Bettina_Hirner_.28Diplomarbeit_LB_2005.29|Bettina Hirner]] im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|Günter Söder]]).
*2018 wurde dieses Programm von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Jimmy_He_.28Bachelorarbeit_2018.29|Jimmy He]] im Rahmen seiner Bachelorarbeit (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29|Tasnád Kernetzky]]) neu gestaltet und erweitert.

==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==

{{LntAppletLink|linDistortions_en}}         [https://en.lntwww.de/Applets:Linear_Distortions_of_Periodic_Signals '''English Applet with English WIKI description''']

Bernoulli-Gesetz (LV)

2025-02-24T09:43:22Z

=== Inhalt ===
Wie genau wird bei einer binären Zufallsgröße die Wahrscheinlichkeit durch die relative Häufigkeit angenähert? (Gesamtdauer: 4:23)
*Versuch von Pearson (Dauer 1:50)
*Darstellung durch Kurvenverläufen (Dauer 1.10)
*Die 90%-Grenzkurve und Interretationen (Dauer 1:23)

<lntmedia preload="none">
file:Das_Bernoullische_Gesetz_der_grossen_Zahlen.mp4
file:Das_Bernoullische_Gesetz_der_grossen_Zahlen.ogv
</lntmedia>

Dieses Lernvideo wurde 2004 am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert. 
Buch, Regie und Sprecher: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|Günter Söder]],   Fachliche Beratung: Ioannis Oikomonidis,   Realisierung: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Winfried_Kretzinger_.28am_LNT_von_1973-2004.29|Winfried Kretzinger]] und [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Manfred_J.C3.BCrgens_.28am_LNT_von_1981-2010.29|Manfred Jürgens]] .

Im Zuge der LNTwww-Neugestaltung (Version 3) wurden diese Lernvideos 2016/2017 durch [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29|Tasnád Kernetzky]] und einigen Studenten in moderne Formate konvertiert, um von möglichst vielen Browsern wie Firefox, Chrome und Safari, als auch von Smartphones wiedergegeben werden zu können.

LNTwww:Weitere Hinweise zum Buch Kanalcodierung

2025-02-24T09:43:22Z

'''Vier Hauptkapitel mit insgesamt 22 Kapiteln (Dateien);   98 Aufgaben   ⇒   Umfang: 3V + 2Ü 
      Entstehung (Version 2):  2011 bis 2015;   Portierung (Version 3):  2016/2017;   letzte Korrektur:  Januar 2018

* Projektverantwortliche:  [[Biografien_und_Bibliografien/Lehrstuhlinhaber_des_LNT#Prof._Dr._sc._techn._Gerhard_Kramer_.28seit_2010.29|'''Gerhard Kramer''']],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|'''Günter Söder''']]  $($Inhalt$)$, [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_Übertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29| '''Tásnad Kernetzky''']]  $($Web–Administrator$)$

* Autor:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|'''Günter Söder''']]

* Diskussionspartner und Experten:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Ronald_B.C3.B6hnke_.28am_LNT_von_2012-2014.29|'''Ronald Böhnke''']],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Joschi_Brauchle_.28am_LNT_von_2007-2015.29|'''Joschi Brauchle''']],  [http://wirelesscoding.org/ '''Gianluigi Liva''']  $($DLR,  damals Lehrbeauftragter des LNT$)$

*Ausgangsmaterialien:   Vorlesungsmanuskripte von LNT und Dr. Liva:    [Köt08]<ref name='Köt08'>Kötter, R.; Mayer, T.; Tüchler, M.; Schreckenbach, F.; Brauchle, J.: Channel Coding. Vorlesungsmanuskript, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München, 2008.</ref>;  [Liv10]<ref name='Liv10'>Liva, G.: Channel Coding. Vorlesungsmanuskript, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München und DLR Oberpfaffenhofen, 2010.</ref>;  [Liv15]<ref name='Liv15'>Liva, G.: Channels Codes for Iterative Decoding. Vorlesungsmanuskript, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München und DLR Oberpfaffenhofen, 2015.</ref>   –   Fachbücher: [Hub82]<ref name='Hub82'>Huber, J.: Codierung für gedächtnisbehaftete Kanäle. Dissertation – Universität der Bundeswehr München, 1982</ref>;   [Cov06]<ref name='Cov06'>Cover, T. M.; Thomas, J. A.: Elements of Information Theory. West Sussex: John Wiley & Sons, 2nd Edition, 2006. </ref>;  [Bos98]<ref name='Bos98'>Bossert, M.: Kanalcodierung. Stuttgart: B. G. Teubner, 1998. </ref>; 

* Beteiligte Studierende in chronologischer Reihenfolge:     [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Martin_Winkler_.28Diplomarbeit_LB_2001.2C_danach_freie_Mitarbeit_bis_2003.29|Martin Winkler]] '''(2001)''',  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Yven_Winter_.28Diplomarbeit_LB_2004.2C_danach_freie_Mitarbeit_bis_2016.29|Yven Winter]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Bettina_Hirner_.28Diplomarbeit_LB_2005.29|Bettina Hirner]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Thomas_Gro.C3.9Fer_.28Diplomarbeit_LB_2006.2C_danach_freie_Mitarbeit_bis_2010.29|Thomas Großer]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Thorsten_B.C3.BCrgstein_.28Diplomarbeit_LB_2007.29|Thorsten Bürgstein]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Martin_V.C3.B6lkl_.28Diplomarbeit_LB_2010.29|Martin Völkl]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Dominik_Kopp_.28Bachelorarbeit_LB_2013.29|Dominik Kopp]] '''(2013)'''

====Quellenverzeichnis====

Der AWGN-Kanal (LV)

2025-02-24T09:43:22Z

=== Teil 1 ===
Vorbemerkungen: Gebräuchliche Kanalmodelle bzgl. Medien, betriebliche Einrichtungen, Störungen/Rauschen (Dauer 5:59).

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file:Der_AWGN-Kanal_-_Teil_1.ogv
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=== Teil 2 ===
Eigenschaften (additiv, weiß, gaußverteilt) und Kenngrößen, z.B. LDS (mathematisch bzw. physikalisch), WDF, Varianz, Effektivwert (Dauer 5:14).

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file:Der_AWGN-Kanal_-_Teil_2.mp4
file:Der_AWGN-Kanal_-_Teil_2.ogv
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=== Teil 3 ===
Berechnung/Simulation von BER (''Bit Error Rate'') und SNR (''Signal-to-Noise Ratio'') beim optimalen Binärsystem (Dauer 6:13).

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file:Der_AWGN-Kanal_-_Teil_3.mp4
file:Der_AWGN-Kanal_-_Teil_3.ogv
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Dieses Lernvideo wurde 2004 am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert. 
Buch und Regie: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|Günter Söder]] und [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Johannes_Zangl_.28am_LNT_von_2000-2006.29|Johannes Zangl]],   Sprecher: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Johannes_Zangl_.28am_LNT_von_2000-2006.29|Johannes Zangl]],   Realisierung: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Winfried_Kretzinger_.28am_LNT_von_1973-2004.29|Winfried Kretzinger]].

Im Zuge der LNTwww-Neugestaltung (Version 3) wurden diese Lernvideos 2016/2017 durch [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29|Tasnád Kernetzky]] und einigen Studenten in moderne Formate konvertiert, um von möglichst vielen Browsern wie Firefox, Chrome und Safari, als auch von Smartphones wiedergegeben werden zu können.

Der AWGN-Kanal (Lernvideo)

2025-02-24T09:43:22Z

Applets:Zweidimensionale Laplace-Zufallsgrößen (Applet)

2025-02-24T09:43:21Z

{{LntAppletLink|laplace}}

==Programmbeschreibung==
 
Das Applet verdeutlicht die Eigenschaften von mittelwertfreien laplaceverteilten Zufallsgrößen  $X$  und   $Y\hspace{-0.1cm}$,  gekennzeichnet durch die beiden Parameter  ${\it \lambda_X}$ und  ${\it \lambda_Y}$. Es wird vorausgesetzt, dass  $X$  und   $Y\hspace{-0.1cm}$  statistisch unabhängig seien.

Eine solche Zufallsgröße approximiert zum Beispiel die Amplitudenverteilung eines Audiosignals (Sprache oder Musik). Die Kenntnis hierüber erlaubt die bestmögliche Digitalisierung (''nichtlineare Quantisierung'') eines solchen Signals.

Das Applet zeigt
* die zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion   ⇒   $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$  $f_{XY}(x, \hspace{0.1cm}y)$  in dreidimensionaler Darstellung sowie in Form von Höhenlinien,
* die zugehörige Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktion  ⇒   $\rm 1D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$  $f_{X}(x)$  der Zufallsgröße  $X$  als blaue Kurve; ebenso  $f_{Y}(y)$  für die zweite Zufallsgröße,
* die zweidimensionale Verteilungsfunktion   ⇒   $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$  $F_{XY}(x, \hspace{0.1cm}y)$  als 3D-Plot,
* die Verteilungsfunktion  ⇒   $\rm 1D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$  $F_{X}(x)$  der Zufallsgröße  $X$; ebenso  $F_{Y}(y)$  als rote Kurve.

Das Applet verwendet das Framework  [https://en.wikipedia.org/wiki/Plotly Plot.ly]

'''Einige Versuche, dass das &bdquo;lambda” kursiv dargestellt wird:     '''''λ''''' ${\it λ_X}$ $𝜆$ 𝜆

==English Description==
 
The applet illustrates the properties of mean-free Laplacian distributed random variables  $X$  and   $Y\hspace{-0.1cm}$,  characterized by the two parameters  ${\it \lambda_X}$ and  ${\it \lambda_Y}$. It is assumed that  $X$  and   $Y\hspace{-0.1cm}$  are statistically independent.

Such a random variable approximates, for example, the amplitude distribution of an audio signal (speech or music). Knowledge of this allows the best possible digitization (''nonlinear quantization'') of such a signal.

The applet shows
* the two-dimensional probability density function   ⇒   $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}PDF$  $f_{XY}(x, \hspace{0.1cm}y)$  in three-dimensional representation as well as in the form of contour lines,
* the corresponding marginal probability density function  ⇒   $\rm 1D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}PDF$  $f_{X}(x)$  of the random variable  $X$  as a blue curve; likewise  $f_{Y}(y)$  for the second random variable,
* the two-dimensional distribution function  ⇒   $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}CDF$  $F_{XY}(x, \hspace{0.1cm}y)$  as a 3D plot,
* the distribution function  ⇒   $\rm 1D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}CDF$  $F_{X}(x)$  of the random variable  $X$; also  $F_{Y}(y)$  as a red curve.

The applet uses the framework  [https://en.wikipedia.org/wiki/Plotly Plot.ly]

'''Some attempts that the &bdquo;lambda” is italicized:     '''''λ''''' ${\it λ_X}$ $𝜆$ 𝜆

==Theoretischer Hintergrund==
 

===Definition und Eigenschaften der Laplace–Verteilung===

$(1)$  Für die  '''Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion'''  (WDF,  englisch:  ''Probability Density Function'', kurz: PDF) der laplaceverteilten Zufallsgröße  $X$  gilt   ⇒   $\rm 1D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$:
:$$f_{X}(x)=\frac{\lambda_X} {2}\cdot{\rm e}^ { - \lambda_X \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm} \vert}.$$

$(2)$  Daraus folgt für die  '''Verteilungsfunktion'''  (VTF,  englisch:  ''Cumulative Distribution Function'', kurz: CDF)   ⇒   $\rm 1D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$:
:$$F_{X}(x) = {\rm Pr}\big [X \le x \big ] = \int_{-\infty}^{x} f_{X}(\xi) \,\,{\rm d}\xi = 0.5 + 0.5 \cdot {\rm sign}(x) \cdot \big [ 1 - {\rm e}^ { - \lambda_X \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm} \vert}\big ] \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} F_{X}(-\infty) = 0, \hspace{0.2cm}F_{X}(0) = 0.5, \hspace{0.2cm} F_{X}(+\infty) = 1.$$

$(3)$  Alle  '''Momente'''  $m_k = {\rm E}\big [X^k \big ]$  mit '''ungeradzahligem'''  $k$  sind Null (Begründung:  Symmetrische WDF). Insbesondere gilt auch für den linearen Mittelwert:  $m_1 = {\rm E}\big [X \big ] = 0$.

$(4)$  Für die   '''Momente'''  $m_k = {\rm E}\big [X^k \big ]$  mit '''geradzahligem'''  $k$  gilt:

:$$m_k = \int_{-\infty}^{+\infty} x^k \cdot f_{X}(x) \,\,{\rm d} x = \frac{k!}{\lambda_X^k} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} m_2 = \sigma^2 = \frac{2}{\lambda_X^2}.$$

[[Datei:Exponential_Laplace_neu.png|right|frame|WDF von Exponentialverteilung und Laplaceverteilung]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel: Zusammenhang zwischen Exponentialverteilung und Laplaceverteilung}$ 

Wir betrachten die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen (WDF) zweier wertkontinuierlicher Zufallsgrößen  $E$  und  $L$  mit gleichem WDF–Parameter  $\lambda$:
* Die Zufallsgröße  $E$  ist exponentialverteilt:   Für  $x<0$  ist  $f_E(x) = 0$, und für positive  $x$–Werte gilt:
:$$f_E(x) = \lambda \cdot {\rm e}^{-\lambda \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x}\hspace{0.05cm}. $$
* Für die laplaceverteilte Zufallsgröße  $L$  gilt im gesamten Bereich$ - \infty < x < + \infty$:
:$$f_L(x) = \lambda/2 \cdot {\rm e}^{- \lambda \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\vert x \vert}\hspace{0.05cm}.$$
*Momente der Exponentialverteilung:  $m_k = {k!}/{\lambda^k}$  ⇒   linearer Mittelwert  $m_1 = 1/{\lambda}$, quadratischer Mittelwert  $m_2 = 2/{\lambda}^2$, Varianz   $\sigma^2=m_2- m_1^2 = 1/{\lambda}^2$.

Wie aus der Grafik zu ersehen ist die Laplaceverteilung eine &bdquo;zweiseitige Exponentialverteilung”. Daraus folgt:
* Für ungeradzahliges  $k$  ergibt sich bei der Laplaceverteilung aufgrund der Symmetrie stets  $m_k= 0$. Unter Anderem:  Linearer Mittelwert  $m_1 = 0$.
* Für geradzahliges  $k$  stimmen die Momente von Exponentialverteilung und Laplaceverteilung überein. Unter Anderem:  Quadratischer Mittelwert  $m_2 = 2/{\lambda}^2$.
*Die Varianz der mittelwertfreien laplaceverteiten Zufallsgröße ist bei gleichem  $\lambda$  doppelt so groß wie bei der Exponentialverteilung:   $\sigma^2 = 2/\lambda^2$.}}

===Zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion   ⇒   2D–WDF===

Wir setzen voraus, dass zwischen den beiden Zufallsgrößen  $X$  und   $Y\hspace{-0.1cm}$  keine statistischen Abhängigkeiten bestehen. Für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der zweidimensionalen Zufallsgröße  $XY$  an der Stelle  $(x, y)$ gilt in diesem Fall:
:$$f_{XY}(x, \hspace{0.1cm}y) = f_{X}(x) \cdot f_{Y}(y). $$

Sind die Zufallsgrößen $X$  und   $Y\hspace{-0.1cm}$  mittelwertfrei und laplaceverteilt, dann kann hierfür geschrieben werden:
:$$f_{XY}(x, \ y)=\frac{\lambda_X \cdot \lambda_Y} {4}\cdot{\rm e}^ { - \lambda_X \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm} \vert} \cdot {\rm e}^ { - \lambda_Y \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} y \hspace{0.05cm} \vert}=\frac{\lambda_X \cdot \lambda_Y} {4}\cdot{\rm e}^ { - \hspace{0.05cm}\left (\lambda_X \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm} \vert+ \lambda_Y \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} y \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm}\right )}.$$

*Die 2D–Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion oder kurz  $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$  ist eine Erweiterung der eindimensionalen WDF.

*$X$  und  $Y$ bezeichnen die beiden Zufallsgrößen, und  $x \in X$  sowie   $y \in Y$ geben Realisierungen hiervon an.
*Die für dieses Applet verwendete Nomenklatur unterscheidet sich also geringfügig gegenüber der Beschreibung im [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen#Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Theorieteil]].
*Im hier betrachteten Fall &bdquo;Statistische Unabhängigkeit” ist das Maximum der 2D–WDF wie folgt gegeben:
:$$f_{XY}(x, \ y)=\frac{\lambda_X \cdot \lambda_Y} {4}.$$
*Aus der Bedingungsgleichung  $f_{XY}(x, y) = {\rm const.}$  können die Höhenlinien der WDF berechnet werden. Beschriftet man die Höhenlinien mit dem Verhältnis  $V$  der entsprechenden $f_{XY}(x, y)$–Werte auf das Maximum, so erhält man als Gleichung für die Höhenlinien:

:$$\lambda_X \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm} \vert+ \lambda_Y \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} y \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} =\ln \ (1/V) = K.$$

*Beispielsweise gilt für die  $10\%$–Höhenlinie  $K = \ln \ 10 \approx 2.3$  und für die  $50\%$–Höhenlinie  $K = \ln \ 2 \approx 0.693$.

*Die Höhenlinien beschreiben in jedem Quadranten Geradenstücke und ergeben insgesamt Vierecke mit den Eckpunkten auf der  $x$– und  $y$–Achse.
 

===Zweidimensionale Verteilungsfunktion   ⇒   2D–VTF===

Die  '''2D-Verteilungsfunktion'''  ist ebenso wie die 2D-WDF lediglich eine sinnvolle Erweiterung der  [[Stochastische_Signaltheorie/Verteilungsfunktion_(VTF)#VTF_bei_kontinuierlichen_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen_.281.29|eindimensionalen Verteilungsfunktion]]  (VTF):
:$$F_{XY}(x,y) = {\rm Pr}\big [(X \le x) \cap (Y \le y) \big ] .$$

Es ergeben sich folgende Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen der &bdquo;1D-VTF” und der&bdquo; 2D-VTF”:
*Der Funktionalzusammenhang zwischen &bdquo;2D–WDF” und &bdquo;2D–VTF” ist wie im eindimensionalen Fall durch die Integration gegeben, aber nun in zwei Dimensionen. Bei kontinuierlichen Zufallsgrößen gilt:
:$$F_{XY}(x,y)=\int_{-\infty}^{y} \int_{-\infty}^{x} f_{XY}(\xi,\eta) \,\,{\rm d}\xi \,\, {\rm d}\eta .$$
*Umgekehrt lässt sich die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion aus der Verteilungsfunktion durch partielle Differentiation nach  $x$  und  $y$  angeben:
:$$f_{XY}(x,y)=\frac{{\rm d}^{\rm 2} F_{XY}(\xi,\eta)}{{\rm d} \xi \,\, {\rm d} \eta}\Bigg|_{\left.{x=\xi \atop {y=\eta}}\right.}.$$
*Bezüglich der Verteilungsfunktion  $F_{XY}(x, y)$  gelten folgende Grenzwerte:
:$$F_{XY}(-\infty,\ -\infty) = 0,\hspace{0.5cm}F_{XY}(x,\ +\infty)=F_{X}(x ),\hspace{0.5cm}
F_{XY}(+\infty,\ y)=F_{Y}(y ) ,\hspace{0.5cm}F_{XY}(+\infty,\ +\infty) = 1.$$
*Im Grenzfall $($unendlich große  $x$  und  $y)$  ergibt sich demnach für die &bdquo;2D-VTF” der Wert  $1$. Daraus erhält man die  '''Normierungsbedingung'''  für die 2D-Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:
:$$\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y) \,\,{\rm d}x \,\,{\rm d}y=1 . $$

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Fazit:}$  Beachten Sie den signifikanten Unterschied zwischen eindimensionalen und zweidimensionalen Zufallsgrößen:
*Bei eindimensionalen Zufallsgrößen ergibt die Fläche unter der WDF stets den Wert $1$.
*Bei zweidimensionalen Zufallsgrößen ist das WDF-Volumen immer gleich $1$.}}
 

==Versuchsdurchführung==
 
[[Datei:Aufgaben_2D-Gauss.png|right]]

*Wählen Sie zunächst die Nummer ('''1''', ...) der zu bearbeitenden Aufgabe.
*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
*Lösung nach Drücken von &bdquo;Musterlösung”.

Die Nummer '''0''' entspricht einem &bdquo;Reset”:
*Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
*Ausgabe eines &bdquo;Reset–Textes” mit weiteren Erläuterungen zum Applet.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''  Welche 1D–WDF–Werte  $f_X(x=1)$  bzw.  $f_Y(y=1)$  ergeben sich für  $\lambda_X=1$  und  $\lambda_Y=2$ ? Wie lauten die WDF–Werte  $f_X(x=-1)$  bzw.  $f_Y(y=-1)$ ?}}

::* Es gilt  $f_{X}(x= 1)=0.5\cdot{\rm e}^ { - 1} = 0.1839$  und  $f_{Y}(y= 1)=1\cdot{\rm e}^ { - 2} = 0.1353$.
::* Aufgrund der Symmetrie gilt auch  $f_{X}(x= -1)= 0.1839$  und  $f_{Y}(y= -1)= 0.1353$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''  Welche 1D–VTF–Werte  $F_X(x=1)$  bzw.  $F_Y(y=1)$  ergeben sich für  $\lambda_X=1$  und  $\lambda_Y=2$ ? Wie lauten die VTF–Werte  $F_X(x=-1)$  bzw.  $F_Y(y=-1)$ ?}}

::* Es gilt  $F_{X}(x= 1)=0.5 + 0.5 \cdot\big [1-{\rm e}^ { - 1}\big] = 0.8161$  und $F_{Y}(y= 1)=0.5 + 0.5 \cdot\big [1-{\rm e}^ { - 2}\big] = 0.9323.$
::* Wegen ${\rm sign}(-1) = -1$ erhält man  $F_{X}(x= -1)=0.5 - 0.5 \cdot\big [1-{\rm e}^ { - 1}\big] = 0.1839$  und $F_{Y}(y=- 1)=0.5 - 0.5 \cdot\big [1-{\rm e}^ { - 2}\big] = 0.0677.$

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''  Es gelte  $\lambda_X=1$  und  $\lambda_Y=1$ . Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten  ${\rm Pr}(X< 1)$,  ${\rm Pr}(X\le 1)$, ${\rm Pr}(X\le -1)$  und ${\rm Pr}(-1\le X\le +1)$ ?}}

::* Es gilt   ${\rm Pr}(X< 1)=F_{X}(x= 1)=0.8161$. Bei einer wertdiskreten Zufallsgröße ist  ${\rm Pr}(X\equiv 1)=0$   ⇒    ${\rm Pr}(X\le 1)={\rm Pr}(X< 1)=0.8161$.
::* Weiter gilt  ${\rm Pr}(X< -1)=F_{X}(x= -1)=0.1839$  sowie  ${\rm Pr}(-1\le X\le +1)=F_{X}(x= +1) - F_{X}(x= -1)= 0.8161-0.1839 = 0.6322$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''  Betrachten Sie nun die 2D–WDF  für  $\lambda_X=1$  und  $\lambda_Y=1$ ? Wie lauten die 2D–WDF–Werte  $f_{XY}(0, \ 0)$  und  $f_{XY}(2.3, \ 0)$ ?}}

::* Mit diesen Parametern ist das Maximum  $f_{XY}(0, \ 0)=0.25$  und der 2D–WDF–Wert  $f_{XY}(2.3, \ 0)=0.025064 \approx f_{XY}(0, \ 0)/10$.
::* Der Punkt  $(2.3, \ 0)$  liegt somit (näherungsweise) auf der  $10\%$–Höhenlinie, die hier ein um  $45^\circ$  gedrehtes Quadrat ergibt.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''  Wie lauten die 2D–WDF–Werte  $f_{XY}(1.1, \ 1.2)$,  $f_{XY}(-1.1, \ -1.2)$  und  $f_{XY}(0.6, \ -1.7)$ ?}}

::* Jeder Punkt  $(x_0, \ y_0)$  liegt auf der  $10\%$–Höhenlinie, wenn  $\vert x_0 \vert + \vert y_0 \vert = \ln(10) \approx 2.3$  gilt.
::* Die drei hier abgefragten Punkte erfüllen diese Bedingung mit hinreichender Genauigkeit.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''  Nun gelte  $\lambda_X=2$  und  $\lambda_Y=1$ ? Wie lautet die Geichung der  $10\%$–Höhenlinie im ersten Quadranten ? Kontrollieren Sie das Ergebnis.}}

::* Für alle Höhenlinien muss im ersten Quadranten gelten:  $\lambda_Y \cdot y_0 = K - \lambda_X \cdot x_0.$ Für die  $10\%$–Höhenlinie  ist wieder  $K= \ln (1/0.01) = 2.3$  zu setzen.
::* Daraus folgt:  $y_0 = - \lambda_X/\lambda_Y \cdot x_0 + K/\lambda_Y = -2 \cdot x_0 + 2.3.$  Schnittpunkte mit den Achsen:  $(1.15, \ 0)$  und $(0, \ 2.3)$.
::* Das Programm bestätigt das Ergebnis:  Maximum  $f_{XY}(0, \ 0) = 0.5$. Bei den genannten Punkten gilt  $f_{XY}(x_0, \ y_0) = 0.05013 \approx 10\%$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(7)'''  Betrachten Sie nun die 2D–VTF  für  $\lambda_X=1$  und  $\lambda_Y=1$ ? Wie lauten die 2D–VTF–Werte  $F_{XY}(0, 0)$, $F_{XY}(-3, \ -\hspace{-0.1cm}3)$  und  $F_{XY}(+3, \ +\hspace{-0.1cm}3)$ ?}}

::* Es gilt  $F_{XY}(0, \ 0) = 0.25$. Dies entspricht der Wahrscheinlichkeit   ${\rm Pr}\big [( X \le 0) \cap ( Y \le 0) \big ] = 0.5^2.$
::* Es gilt  $F_{XY}(-3, \ -\hspace{-0.1cm}3) \approx 0$   und  $F_{XY}(+3, \ +\hspace{-0.1cm}3) \approx 0.9508$   ⇒   Im Gegensatz zur 1D–VTF gilt hier nicht:  $F_{XY}(+3, \ +\hspace{-0.1cm}3) = 1 - F_{XY}(-3, \ -\hspace{-0.1cm}3)$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(8)'''  Die Einstellungen bleiben erhalten. Wie lauten die 2D–VTF–Werte  $F_{XY}(+1, \ +\hspace{-0.1cm}1)$,  $F_{XY}(+1, \ -\hspace{-0.1cm}1)$,  $F_{XY}(-1, \ +\hspace{-0.1cm}1)$ und  $F_{XY}(-1, \ -\hspace{-0.1cm}1)$ ?
         Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit  ${\rm Pr}\big [(\vert X \vert \le 1) \cap (\vert Y \vert \le 1) \big ] .$}}

::*Die gesuchten 2D–VTF–Werte sind  $F_{XY}(+1, \ +\hspace{-0.1cm}1) = 0.6659$,  $F_{XY}(+1, \ -\hspace{-0.1cm}1)= 0.1501$,  $F_{XY}(-1, \ +\hspace{-0.1cm}1)= 0.1501$ und  $F_{XY}(-1, \ -\hspace{-0.1cm}1)= 0.0338$.
::* In der Teilaufgabe '''(3)''' wurde berechnet:  ${\rm Pr}(-1\le X\le +1) = {\rm Pr}(\vert X \vert \le 1) = 0.6322$.   Wegen  $\lambda_X=\lambda_Y=1$  gilt auch  ${\rm Pr}(\vert Y \vert \le 1) = 0.6322$.
::* Aufgrund der statistischen Unabhängigkeit gilt dann für die Verbundwahrscheinlichkeit:  ${\rm Pr}\big [(\vert X \vert \le 1) \cap (\vert Y \vert \le 1) \big ] = 0.6322^2= 0.3997.$
::*Zum gleichen Ergebnis kommt man mit den 2D–VTF–Werten entsprechend der folgenden Gleichung: 
$\hspace{2cm}{\rm Pr}\big [(\vert X \vert \le 1) \cap (\vert Y \vert \le 1) \big ] = F_{XY}(+1, \ +\hspace{-0.1cm}1) - F_{XY}(+1, \ -\hspace{-0.1cm}1) - F_{XY}(-1, \ +\hspace{-0.1cm}1) + F_{XY}(-1, \ -\hspace{-0.1cm}1)=0.6659 - 2 \cdot 0.1501 + 0.0338.$

==Zur Handhabung des Applets==
 
[[Datei:Anleitung_Laplace_markiert.png|left|600px]]
    '''(A)'''     Parametereingabe per Slider:  $\lambda_X$  und  $\lambda_Y$

    '''(B)'''     Auswahl:  Darstellung von WDF oder VTF

    '''(C)'''     Reset:  Einstellung wie beim Programmstart

    '''(D)'''     Höhenlinien darstellen oder &bdquo;1D-WDF”

    '''(E)'''     Darstellungsbereich für &bdquo;2D-WDF”

    '''(F)'''     Manipulation der 3D-Grafik (Zoom, Drehen, ...)

    '''(G)'''     Darstellungsbereich für &bdquo;Höhenlinien” bzw. &bdquo;1D-WDF”

    '''(H)'''     Manipulation der 2D-Grafik (&bdquo;1D-WDF”)

    '''( I )'''     Bereich für die Versuchsdurchführung: Aufgabenauswahl

    '''(J)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung: Aufgabenstellung

    '''(K)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung: Musterlösung einblenden
 
Werte–Ausgabe über Maussteuerung (sowohl bei 2D als auch bei 3D)
 

==Über die Autoren==
Dieses interaktive Berechnungstool wurde am  [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]  der  [https://www.tum.de/ Technischen Universität München]  konzipiert und realisiert.
*Die erste Version wurde 2003 von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]]  im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|Günter Söder]]).
* 2019 wurde das Programm von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf &bdquo;HTML5” umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29|Tasnád Kernetzky]]).

Die Umsetzung dieses Applets auf HTML 5 wurde durch  [https://www.ei.tum.de/studium/studienzuschuesse/ Studienzuschüsse]  der Fakultät EI der TU München finanziell unterstützt. Wir bedanken uns.

==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==

{{LntAppletLinkDeEn|laplace|laplacer_en}}

Bernoulli-Gesetz der großen Zahlen

2025-02-24T09:43:21Z

LNTwww:Impressum zum Buch "Lineare und zeitinvariante Systeme"

2025-02-24T09:43:18Z

'''Vier Hauptkapitel mit insgesamt zwölf Kapiteln (Dateien) und 93 Abschnitten (Seiten);   54 Aufgaben   ⇒   Umfang: 2V + 1Ü 
      Entstehung  $($Version 2$)$:  2004 bis 2009;   Portierung  $($Version 3$)$:  2016/2017;   letzte Korrektur:  Mai 2021

* Projektverantwortliche:  [[Biografien_und_Bibliografien/Lehrstuhlinhaber_des_LNT#Prof._Dr._sc._techn._Gerhard_Kramer_.28seit_2010.29|$\text{Gerhard Kramer}$]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|$\text{Günter Söder}$]]  $($Inhalt$)$, [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29| $\text{Tásnad Kernetzky}$]]  $($Web–Administrator$)$

*Ausgangsmaterialien:   Vorlesungsmanuskripte von LNT/LÜT:  '''[Eich03]'''<ref name='Eich03'>Eichin, K.:  Nachrichtentechnik I (LB) – Signaldarstellung . Vorlesungsmanuskript. Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München, 2003. </ref>;  '''[Han15]'''<ref name='Han15'>Hanik, N.:  Nachrichtentechnik 1 (LB): Signaldarstellung.  Vorlesungsmanuskript. Professur Leitungsgebundene Übertragungstechnik, TU München, 2015.</ref>;  '''[Söd12]'''<ref name='Söd12'>Söder, G.:  Simulationsmethoden in der Nachrichtentechnik . Anleitung zum gleichnamigen Praktikum. Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München, 2012.</ref>   –   Lehrbücher:   '''[Söd93]'''<ref name='Söd93'>Söder, G.:  Modellierung, Simulation und Optimierung von Nachrichtensystemen. Bd. 23. Berlin, Heidelberg: Springer, 1993. ISBN 978-3-54057-215-2.</ref>;   '''[Mar94]'''<ref name='Mar94'>Marko, H.:  Methoden der Systemtheorie.  3. Auflage. Berlin – Heidelberg: Springer, 1994.</ref>;  '''[HM09]'''<ref name='HM09'>Haykin, S.; Moher, M.: Communication Systems. 5. Aufl. Hoboken, N.J.: J. Wiley, 2009. ISBN 978-0-47169-790-9.</ref>

* Autoren:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|$\text{Günter Söder}$]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Klaus_Eichin_.28am_LNT_von_1972-2011.29|$\text{Klaus Eichin}$]],  [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Prof._Dr.-Ing._Norbert_Hanik_.28am_LNT_von_1989-1995.2C_bei_L.C3.9CT_seit_2004.29|$\text{Norbert Hanik}$]]

* Weitere beteiligte Kollegen:   [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_Übertragungstechnik#Dr.-Ing._Bernhard_G.C3.B6bel_.28bei_L.C3.9CT_von_2004-2010.29|$\text{Bernhard Göbel}$]],  [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Dr.-Ing._Benedikt_Leible_.28bei_L.C3.9CT_von_2017-2024.29|$\text{Benedikt Leible}$]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Johannes_Zangl_.28am_LNT_von_2000-2006.29|$\text{Johannes Zangl}$]]

* Beteiligte Studierende in chronologischer Reihenfolge:     [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Martin_Winkler_.28Diplomarbeit_LB_2001.2C_danach_freie_Mitarbeit_bis_2003.29|Martin Winkler]] '''(2001)''',   [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Yven_Winter_.28Diplomarbeit_LB_2004.2C_danach_freie_Mitarbeit_bis_2016.29|Yven Winter]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Reinhold_Sixt_.28Diplomarbeit_LB_2002.29|Reinhold Sixt]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Roland_Kiefl_.28Diplomarbeit_LB_2003.29|Roland Kiefl]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]] , [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Franz_Kohl_.28Diplomarbeit_LB_2004.2C_danach_freie_Mitarbeit_bis_2006.29|Franz Kohl]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Thorsten_Kalweit_.28Diplomarbeit_LB_2006_und_freie_Mitarbeit_2007.29|Thorsten Kalweit]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Markus_Elsberger_.28Diplomarbeit_LB_2006.29|Markus Elsberger]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Slim_Lamine_.28Studienarbeit_EI_2006.29|Slim Lamine]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Thomas_Gro.C3.9Fer_.28Diplomarbeit_LB_2006.2C_danach_freie_Mitarbeit_bis_2010.29|Thomas Großer]],   [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#David_Jobst_.28Ingenieurspraxis_Math_2017.29|David Jobst]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Xiaohan_Liu_.28Bachelorarbeit_2018.2C_danach_Werkstudentin.29|Xiaohan Liu]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]] '''(2021)'''

====Quellenverzeichnis====

Analoge und digitale Signale (Lernvideo)

2025-02-24T09:43:16Z

=== Teil 1 ===
Es werden die Klassifierungsmerkmale von Signalen erläutert:  deterministisch vs. stochastisch,  periodisch vs. impulsartig,  leistungsbegrenzt vs. energiebegrenzt,  kausal vs. akausal,  zeitkontinuierlich vs. zeitdiskret,  wertkontinuierlich vs. wertdiskret,  analog vs. digital   (Dauer 3:45).

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=== Teil 2 ===
Herausgearbeitet werden grundlegende Unterschiede zwischen Analogsignalen und Digitalsignalen am Beispiel von (analogen) Sprach- bzw. Musiksignalen und einem kurzen (digitalen) ASCII-Text  (Dauer 3:27).

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Dieses Lernvideo wurde 2004 am  [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]  der  [https://www.tum.de/ Technischen Universität München]  konzipiert und realisiert.

Buch und Regie:   [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|Günter Söder]]  und  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Klaus_Eichin_.28am_LNT_von_1972-2011.29|Klaus Eichin]],   Realisierung und Sprecher:   [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Franz_Kohl_.28Diplomarbeit_LB_2004.2C_danach_freie_Mitarbeit_bis_2006.29|Franz Kohl]].

Im Zuge der LNTwww-Neugestaltung (Version 3) wurden diese Lernvideos 2016/2017 von 
[[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29|Tasnád Kernetzky]]  und einigen Studenten in moderne Formate konvertiert, um von möglichst vielen Browsern  (wie Firefox, Chrome, Safari)  als auch von Smartphones wiedergegeben werden zu können.

Zusammenhang zwischen WDF und VTF (Lernvideo)

2025-02-24T09:43:14Z

=== Teil 1 ===
Definition von Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) und Verteilungsfunktion (VTF) – Überschreitungswahrscheinlichkeit – WDF und VTF bei diskreten Zufallsgrößen (Dauer 6.35).

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file:Zusammenhang_zwischen_WDF_und_VTF_1.ogv
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=== Teil 2 ===
Simulation von WDF und VTF – Gleichverteilte Zufallsgröße – Rayleighverteilte Zufallsgröße (Dauer 3:17).

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file:Zusammenhang_zwischen_WDF_und_VTF_2.mp4
file:Zusammenhang_zwischen_WDF_und_VTF_2.ogv
</lntmedia>

=== Anmerkungen zur Nomenklatur ===
In diesem Lernvideo gilt wie im gesamten Lerntutorial &bdquo;LNTwww” folgende Nomenklatur:
* $f_x(x)$ ist die ''Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion'' (WDF, englisch: ''Probability Density Function'', PDF) der Zufallsgröße $x$.
*$F_{x}(r)$ ist die ''Verteilungsfunktion'' (VTF, englisch: ''Cumulative Distribution Function, CDF). Sie gibt die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}( x \le r)$ an, dass die Zufallsgröße $x$ kleiner oder gleich einem reellen Zahlenwert $r$ ist.
*Zwischen diesen beiden Größen besteht der Funtionalzusammenhang   $F_{x}(r) = \int_{-\infty}^{r}f_x(x)\,{\rm d}x.$

In der Literatur wird häufig die WDF mit $f_X(x)$ bezeichnet und die VTF mit $F_X(x)$. Hierbei gibt $X$ die Zufallsgröße an und $x \in X$ eine Realisierung. Die entsprechende Verknüpfungsgleichung lautet dann:   $F_{X}(x) = {\rm Pr}( X \le x) = \int_{-\infty}^{x}f_X(\xi)\,{\rm d}\xi.$

Dieses Lernvideo wurde 2004 am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert. 
Buch und Regie: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|Günter Söder]] und [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Johannes_Zangl_.28am_LNT_von_2000-2006.29|Johannes Zangl]],   Sprecher: Joachim Schenk,   Realisierung: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Franz_Kohl_.28Diplomarbeit_LB_2004.2C_danach_freie_Mitarbeit_bis_2006.29|Franz Kohl]] und [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]].

Im Zuge der LNTwww-Neugestaltung (Version 3) wurden diese Lernvideos 2016/2017 durch [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29|Tasnád Kernetzky]] und einigen Studenten in moderne Formate konvertiert, um von möglichst vielen Browsern wie Firefox, Chrome und Safari, als auch von Smartphones wiedergegeben werden zu können.

Augendiagramm und BER (Applet)

2025-02-24T09:43:12Z

{{LntAppletLink|eyeDiagram}}

==Programmbeschreibung==
 
Das Applet verdeutlicht die Augendiagramme für
*verschiedene Codierungen  (binär–redundanzfrei,  quaternär–redundanzfrei,  pseudo–ternär:  AMI und Duobinär)  sowie
*verschiedene Empfangskonzepte  (Matched–Filter–Empfänger,  CRO–Nyquistsystem,  gaußförmiges Empfangsfilter).

Das letzte Empfängerkonzept führt zu Impulsinterferenzen, das heißt:  Benachbarte Symbole beeinträchtigen sich bei der Symbolentscheidung gegenseitig.

Solche Impulsinterferenzen und deren Einfluss auf die Fehlerwahrscheinlichkeit lassen sich durch das Augendiagramm sehr einfach erfassen und quantifizieren.  Aber auch für die beiden anderen (impulsinterferenzfreien) Systeme lassen sich anhand der Grafiken wichtige Erkenntnisse gewinnen.

Ausgegeben wird zudem die ungünstigste (&bdquo;worst case”) Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} = {\rm Q}\left[ö_{\rm norm}/\sigma_{\rm norm} \right ]$, die bei den binären Nyquistsystemen identisch mit der mittleren Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm M}$  ist und für die beiden anderen Systemvarianten eine geeignete obere Schranke darstellt:  $p_{\rm U} \ge p_{\rm M}$.

In der  $p_{\rm U}$–Gleichung bedeuten:
*${\rm Q}(x)$  ist die  [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen#.C3.9Cberschreitungswahrscheinlichkeit|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion]].  Die normierte Augenöffnung kann Werte zwischen  $0 \le ö_{\rm norm} \le 1$  annehmen.
*Der Maximalwert  $(ö_{\rm norm} = 1)$  gilt für die binären Nyquistsysteme und  $ö_{\rm norm}=0$  steht für ein &bdquo;geschlossenes Auge”.
*Der normierte Detektionsrauscheffektivwert  $\sigma_{\rm norm}$  hängt vom einstellbaren Parameter  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0$  ab, aber auch von der Codierung und vom Empfängerkonzept.

==Theoretischer Hintergrund==
 
=== Systembeschreibung und Voraussetzungen===

Für dieses Applet gilt das unten skizzierte Modell der binären Basisbandübertragung. Zunächst gelten folgende Voraussetzungen:
*Die Übertragung erfolgt binär, bipolar und redundanzfrei mit der Bitrate  $R_{\rm B} = 1/T$, wobei  $T$  die Symboldauer angibt.
*Das Sendesignal  $s(t)$  ist zu allen Zeiten  $t$  gleich  $ \pm s_0$   ⇒   Der Sendegrundimpuls  $g_s(t)$  ist NRZ–rechteckförmig mit Amplitude  $s_0$  und Impulsdauer  $T$.

*Das Empfangssignal sei  $r(t) = s(t) + n(t)$, wobei der AWGN–Term  $n(t)$  durch die (einseitige) Rauschleistungsdichte  $N_0$  gekennzeichnet ist.
*Der Kanalfrequenzgang sei bestmöglich (ideal) und muss nicht weiter berücksichtigt werden:  $H_{\rm K}(f) =1$.
*Das Empfangsfilter mit der Impulsantwort  $h_{\rm E}(t)$  formt aus  $r(t)$  das Detektionssignal  $d(t) = d_{\rm S}(t)+ d_{\rm N}(t)$.
* Dieses wird vom Entscheider mit der Entscheiderschwelle  $E = 0$  zu den äquidistanten Zeiten  $\nu \cdot T$  ausgewertet.
*Es wird zwischen dem Signalanteil  $d_{\rm S}(t)$  – herrührend von  $s(t)$  – und dem Rauschanteil  $d_{\rm N}(t)$  unterschieden, dessen Ursache das AWGN–Rauschen  $n(t)$  ist.
*$d_{\rm S}(t)$  kann als gewichtete Summe von gewichteten und jeweils um  $T$  verschobenen Detektionsgrundimpulsen  $g_d(t) = g_s(t) \star h_{\rm E}(t)$  dargestellt werden.

*Zur Berechnung der (mittleren) Fehlerwahrscheinlichkeit benötigt man ferner die Varianz  $\sigma_d^2 = {\rm E}\big[d_{\rm N}(t)^2\big]$  des Detektionsrauschanteils (bei AWGN–Rauschen).

===Optimales impulsinterferenzfreies System – Matched-Filter-Empfänger===

Die minimale Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich für den hier betrachteten Fall  $H_{\rm K}(f) =1$  mit dem Matched-Filter-Empfänger, also dann, wenn  $h_{\rm E}(t)$  formgleich mit dem NRZ–Sendegrundimpuls  $g_s(t)$  ist. Die rechteckförmige Impulsantwort  $h_{\rm E}(t)$  hat dann die Dauer  $T_{\rm E} = T$  und die Höhe  $1/T$.

[[Datei:Auge_1neu.png|center|frame|Binäres Basisbandübertragungssystem;  die Skizze für  $h_{\rm E}(t)$  gilt nur für den Matched-Filter-Empfänger ]]

*Der Detektionsgrundimpuls  $g_d(t)$  ist dreieckförmig mit dem Maximum  $s_0$  bei  $t=0$ ; es gilt  $g_d(t)=0$  für  $|t| \ge T$. Aufgrund dieser engen zeitlichen Begrenzung kommt es nicht zu Impulsinterferenzen   ⇒   $d_{\rm S}(t = \nu \cdot T) = \pm s_0$   ⇒   der Abstand aller Nutzabtastwerte von der Schwelle  $E = 0$  ist stets  $|d_{\rm S}(t = \nu \cdot T)| = s_0$.
*Die Detektionsrauschleistung ist bei dieser Konstellation:
:$$\sigma_d^2 = N_0/2 \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} |h_{\rm E}(t)|^2 {\rm d}t = N_0/(2T)=\sigma_{\rm MF}^2.$$
*Für die (mittlere) Fehlerwahrscheinlichkeit gilt mit der  [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen#.C3.9Cberschreitungswahrscheinlichkeit|Komplementären Gaußschen Fehlerfunktion]]  ${\rm Q}(x)$ :
:$$p_{\rm M} = {\rm Q}\left[\sqrt{{s_0^2}/{\sigma_d^2}}\right ] = {\rm Q}\left[\sqrt{{2 \cdot s_0^2 \cdot T}/{N_0}}\right ] = {\rm Q}\left[\sqrt{2 \cdot E_{\rm B}/ N_0}\right ].$$

Das Applet berücksichtigt diesen Fall mit den Einstellungen  &bdquo;nach Spalt–Tiefpass”  sowie  $T_{\rm E}/T = 1$. Die ausgegebenen Werte sind im Hinblick auf spätere Konstellationen
*die normierte Augenöffnung  $ö_{\rm norm} =1$   ⇒   dies ist der maximal mögliche Wert,
*der normierte Detektionsrauscheffektivwert (gleich der Wurzel aus der Detektionsrauschleistung)  $\sigma_{\rm norm} =\sqrt{1/(2 \cdot E_{\rm B}/ N_0)}$  sowie
*die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} = {\rm Q}\left[ö_{\rm norm}/\sigma_{\rm norm} \right ]$   ⇒   bei impulsinterferenzfreien Systemen stimmen  $p_{\rm M}$  und   $p_{\rm U}$  überein.

$\text{Unterschiede bei den Mehrstufensystemen}$
*Es gibt  $M\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}1$ Augen und eben so viele Schwellen   ⇒   $ö_{\rm norm} =1/(M\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}1)$  ⇒   $M=4$:  Quaternärsystem,  $M=3$:  AMI-Code, Duobinärcode.
*Der normierte Detektionsrauscheffektivwert  $\sigma_{\rm norm}$  ist beim Quaternärsystem um den Faktor  $\sqrt{5/9} \approx 0.745$  kleiner als beim Binärsystem.
*Beim AMI-Code und dem Duobinärcode hat dieser Verbesserungsfaktor, der auf das kleinere  $E_{\rm B}/ N_0$  zurückgeht, den Wert  $\sqrt{1/2} \approx 0.707$.

 
===Nyquist–System mit Cosinus-Rolloff-Gesamtfrequenzgang===

[[Datei:Auge_2_neu.png|right|frame|Cosinus-Rolloff-Gesamtfrequenzgang ]]

Wir setzen voraus, dass der Gesamtfrequenzgang zwischen der diracförmigen Quelle bis zum Entscheider den Verlauf eines  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Cosinus-Rolloff-Tiefpass|Cosinus-Rolloff-Tiefpasses]]  hat   ⇒   $H_{\rm S}(f)\cdot H_{\rm E}(f) = H_{\rm CRO}(f)$ .
*Der Flankenabfall von  $H_{\rm CRO}(f)$  ist punktsymmetrisch um die Nyquistfrequenz  $1/(2T)$. Je größer der Rolloff-Faktor  $r_{ \hspace {-0.05cm}f}$  ist, um so flacher verläuft die Nyquistflanke.
*Der Detektionsgrundimpuls  $g_d(t) = s_0 \cdot T \cdot {\mathcal F}^{-1}\big[H_{\rm CRO}(f)\big]$  hat unabhängig von  $r_{ \hspace {-0.05cm}f}$  zu den Zeiten  $\nu \cdot T$  Nullstellen.  Weitere Nulldurchgänge gibt es abhängig von  $r_{ \hspace {-0.05cm}f}$.  Für den Impuls gilt:
:$$g_d(t) = s_0 \hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm} {\rm si}(\pi \hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm} t/T )\hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm}\frac {\cos(\pi \cdot r_{\hspace{-0.05cm}f} \cdot t/T )}{1 - (2 \cdot
r_{\hspace{-0.05cm}f} \cdot t/T)^2}.$$
*Daraus folgt:  Wie beim Matched-Filter-Empfänger ist das Auge maximal geöffnet   ⇒   $ö_{\rm norm} =1$.

[[Datei:Auge_3.png|right|frame|Zur Optimierung des Rolloff-Faktors ]]
Betrachten wir nun die Rauschleistung vor dem Entscheider. Für diese gilt:

:$$\sigma_d^2 = N_0/2 \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} |H_{\rm E}(f)|^2 {\rm d}f = N_0/2 \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{|H_{\rm CRO}(f)|^2}{|H_{\rm S}(f)|^2} {\rm d}f.$$

Die Grafik zeigt die Leistungsübertragungsfunktion  $|H_{\rm E}(f)|^2$  für drei verschiedene Rolloff–Faktoren

* $r_{ \hspace {-0.05cm}f}=0$   ⇒   grüne Kurve,
* $r_{ \hspace {-0.05cm}f}=1$   ⇒   rote Kurve,
* $r_{ \hspace {-0.05cm}f}=0.8$   ⇒   blaue Kurve.

Die Flächen unter diesen Kurven sind jeweils ein Maß für die Rauschleistung  $\sigma_d^2$.  Das grau hinterlegte Rechteck markiert den kleinsten Wert  $\sigma_d^2 =\sigma_{\rm MF}^2$, der sich auch mit dem Matched-Filter-Empfänger ergeben hat.
 
Man erkennt aus dieser Darstellung:
*Der Rolloff–Faktor  $r_{\hspace{-0.05cm}f} = 0$  (Rechteck–Frequenzgang) führt trotz des sehr schmalen Empfangsfilters zu  $\sigma_d^2 =K \cdot \sigma_{\rm MF}^2$  mit  $K \approx 1.5$, da  $|H_{\rm E}(f)|^2$  mit wachsendem  $f$  steil ansteigt. Der Grund für diese Rauschleistungsanhebung ist die Funktion  $\rm si^2(\pi f T)$  im Nenner, die zur Kompensation des  $|H_{\rm S}(f)|^2$–Abfalls erforderlich ist. 
* Da die Fläche unter der roten Kurve kleiner ist als die unter der grünen Kurve, führt  $r_{\hspace{-0.05cm}f} = 1$  trotz dopplelt so breitem Spektrum zu einer kleineren Rauschleistung:  $K \approx 1.23$.  Für  $r_{\hspace{-0.05cm}f} \approx 0.8$ ergibt sich noch ein geringfügig besserer Wert. Hierfür erreicht man den bestmöglichen Kompromiss zwischen Bandbreite und Überhöhung.
*Der normierte Detektionsrauscheffektivwert lautet somit für den Rolloff–Faktor  $r_{ \hspace {-0.05cm}f}$:   $\sigma_{\rm norm} =\sqrt{K(r_f)/(2 \cdot E_{\rm B}/ N_0)}$. 
*Auch hier stimmt die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} = {\rm Q}\left[ö_{\rm norm}/\sigma_{\rm norm} \right ]$   exakt mit der mittleren Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm M}$  überein.

$\text{Unterschiede bei den Mehrstufensystemen}$

Alle Anmerkungen im Abschnitt $2.2$ gelten in gleicher Weise für das &bdquo;Nyquist–System mit Cosinus-Rolloff-Gesamtfrequenzgang”.

===Impulsinterferenzbehaftetes System mit Gauß-Empfangsfilter===

[[Datei:Auge_4.png|right|frame|System mit gaußförmigem Empfangsfilter ]]

Wir gehen vom rechts skizzierten Blockschaltbild aus. Weiter soll gelten:
*Rechteckförmiger NRZ–Sendegrundimpuls  $g_s(t)$  mit der Höhe  $s_0$  und der Dauer  $T$:
:$$H_{\rm S}(f) = {\rm si}(\pi f T).$$
*Gaußförmiges Empfangsfilter mit der Grenzfrequenz  $f_{\rm G}$:
:$$H_{\rm E}(f) = H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{- \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm} f^2/(2\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm}f_{\rm G})^2 } \hspace{0.2cm} \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ
\hspace{0.2cm}h_{\rm E}(t) = h_{\rm G}(t) = {\rm e}^{- \pi \cdot (2\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm}
f_{\rm G}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.02cm} t)^2}
\hspace{0.05cm}.$$

Aufgrund der hier getroffenen Voraussetzungen gilt für den Detektionsgrundimpuls:

[[Datei:Auge_5_neu.png|right|frame|Frequenzgang und Impulsantwort des Empfangsfilters ]]
:$$g_d(t) = s_0 \cdot T \cdot \big [h_{\rm S}(t) \star h_{\rm G}(t)\big ] = 2 f_{\rm G} \cdot s_0 \cdot \int_{t-T/2}^{t+T/2}
{\rm e}^{- \pi \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} (2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.02cm}
f_{\rm G}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.02cm} \tau )^2} \,{\rm d} \tau \hspace{0.05cm}.$$

Die Integration führt zum Ergebnis:

:$$g_d(t) = s_0 \cdot \big [ {\rm Q} \left ( 2 \cdot \sqrt {2 \pi}
\cdot f_{\rm G}\cdot ( t - {T}/{2})\right )- {\rm Q} \left (
2 \cdot \sqrt {2 \pi} \cdot f_{\rm G}\cdot ( t + {T}/{2}
)\right ) \big ],$$

unter Verwendung der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion

:$${\rm Q} (x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\int_{\it
x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d {\it u}
\hspace{0.05cm}.$$

Das Modul  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]  liefert die Zahlenwerte von  ${\rm Q} (x)$. 
*Dieser Detektionsgrundimpuls bewirkt  [[Digitalsignalübertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen#Definition_des_Begriffs_.E2.80.9EImpulsinterferenz.E2.80.9D|Impulsinterferenzen]].
*Darunter versteht man, dass die Symbolentscheidung durch die Ausläufer benachbarter Impulse beeinflusst wird. Während bei impulsinterferenzfreien Übertragungssystemen jedes Symbol mit gleicher Wahrscheinlichkeit – nämlich der mittleren Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm M}$  – verfälscht wird, gibt es günstige Symbolkombinationen mit der Verfälschungswahrscheinlichkeit  ${\rm Pr}(v_{\nu} \ne q_{\nu}) < p_{\rm M}$.
*Andere Symbolkombinationen erhöhen dagegen die Verfälschungswahrscheinlichkeit erheblich.

[[Datei:Auge_6.png|right|frame|Binäres Auge $($Gaußtiefpass,  $f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.35)$.]]
Die Impulsinterferenzen lassen sich durch das sogenannte  '''Augendiagramm'''  sehr einfach erfassen und analysieren. Diese stehen im Mittelpunkt dieses Applets. Alle wichtigen Informationen finden Sie  [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_unter_Berücksichtigung_von_Impulsinterferenzen#Definition_und_Aussagen_des_Augendiagramms|hier]].
*Das Augendiagramm entsteht, wenn man alle Abschnitte des Detektionsnutzsignals  $d_{\rm S}(t)$  der Länge  $2T$  übereinander zeichnet. Die Entstehung können Sie sich im Programm mit &bdquo;Einzelschritt” verdeutlichen.

* Ein Maß für die Stärke der Impulsinterferenzen ist die ''vertikale Augenöffnung''. Für den symmetrischen Binärfall gilt mit  $g_\nu = g_d(\pm \nu \cdot T)$  und geeigneter Normierung:
:$$ ö_{\rm norm} = g_0 -2 \cdot (|g_1| + |g_2| + \text{...}).$$
* Mit größerer Grenzfrequenz stören sich die Impulse weniger und  $ ö_{\rm norm}$  nimmt kontinuierlich zu. Gleichzeitig wird bei größerem  $f_{\rm G}/R_{\rm B}$  auch der (normierte) Detektionsrauscheffektivwert größer:
:$$ \sigma_{\rm norm} = \sqrt{\frac{f_{\rm G}/R_{\rm B}}{\sqrt{2} \cdot E_{\rm B}/N_{\rm 0}}}.$$
*Die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} = {\rm Q}\left[ö_{\rm norm}/\sigma_{\rm norm} \right ]$   ⇒   &bdquo;Worst Case” liegt meist deutlich über der mittleren Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm M}$.

$\text{Unterschiede beim redundanzfreien Quaternärsystem}$
*Für  $M=4$  ergeben sich andere Grundimpulswerte. ''Beispiel'':     Mit  $M=4, \ f_{\rm G}/R_{\rm B}=0.4$  sind Grundimpulswerte  $g_0 = 0.955, \ g_1 = 0.022$  identisch mit  $M=2, \ f_{\rm G}/R_{\rm B}=0.8$.
* Es gibt nun drei Augenöffnungen und eben so viele Schwellen.  Die Gleichung für die normierte Augenöffnung lautet nun:   $ ö_{\rm norm} = g_0/3 -2 \cdot (|g_1| + |g_2| + \text{...}).$
*Der normierte Detektionsrauscheffektivwert  $\sigma_{\rm norm}$  ist beim Quaternärsystem wieder um den Faktor  $\sqrt{5/9} \approx 0.745$  kleiner als beim Binärsystem.

===Pseudoternärcodes===

Bei der symbolweisen Codierung wird mit jedem ankommenden Quellensymbol  $q_\nu$  ein Codesymbol  $c_\nu$  erzeugt, das außer vom aktuellen Eingangssymbol  $q_\nu$  auch von den  $N_{\rm C}$  vorangegangenen Symbolen  $q_{\nu-1}$, ... , $q_{\nu-N_{\rm C}} $  abhängt.  $N_{\rm C}$  bezeichnet man als die ''Ordnung''  des Codes.  Typisch für eine symbolweise Codierung ist, dass
*die Symboldauer  $T$  des Codersignals (und des Sendesignals) mit der Bitdauer  $T_{\rm B}$  des binären Quellensignals übereinstimmt, und
*Codierung und Decodierung nicht zu größeren Zeitverzögerungen führen, die bei Verwendung von Blockcodes unvermeidbar sind. 

[[Datei:P_ID1343__Dig_T_2_4_S1_v1.png|center|frame|Blockschaltbild und Ersatzschaltbild eines Pseudoternärcoders|class=fit]]

Besondere Bedeutung besitzen ''Pseudoternärcodes''   ⇒   Stufenzahl  $M = 3$, die durch das Blockschaltbild entsprechend der linken Grafik beschreibbar sind. In der rechten Grafik ist ein Ersatzschaltbild angegeben, das für eine Analyse dieser Codes sehr gut geeignet ist. Genaueres hierzu finden Sie im  [[Digitalsignalübertragung/Symbolweise_Codierung_mit_Pseudoternärcodes|$\rm LNTwww$–Theorieteil]].  Fazit:

*Umcodierung von binär  $(M_q = 2)$  auf ternär  $(M = M_c = 3)$:
:$$q_\nu \in \{-1, +1\},\hspace{0.5cm} c_\nu \in \{-1, \ 0, +1\}\hspace{0.05cm}.$$

*Die relative Coderedundanz ist für alle Pseudoternärcodes gleich:
:$$ r_c = 1 -1/\log_2\hspace{0.05cm}(3) \approx 36.9 \%\hspace{0.05cm}.$$

Anhand des Codeparameters  $K_{\rm C}$  werden verschiedene Pseudoternärcodes erster Ordnung  $(N_{\rm C} = 1)$  charakterisiert.

[[Datei:Auge_16.png|right|frame|Signale bei der AMI-Codierung|class=fit]]
$\Rightarrow \ \ K_{\rm C} = 1\text{: AMI–Code}$  (von:   ''Alternate Mark Inversion'')

Die Grafik zeigt oben das binäre Quellensignal  $q(t)$. Darunter sind dargestellt:
* das ebenfalls binäre Signal  $b(t)$  nach dem Vorcodierer, und
* das Codersignal  $c(t) = s(t)$  des AMI–Codes.

Man erkennt das einfache AMI–Codierprinzip:
*Jeder Binärwert  &bdquo;–1”  von $q(t)$   ⇒   Symbol  $\rm L$  wird durch den ternären Amplitudenkoeffizienten  $a_\nu = 0$  codiert. 
*Der Binärwert  &bdquo;+1”  von  $q(t)$   ⇒   Symbol  $\rm H$  wird alternierend mit  $a_\nu = +1$  und  $a_\nu = -1$  dargestellt. 

Damit wird sichergestellt, dass im AMI–codierten Signal keine langen  &bdquo;+1”–  bzw.  &bdquo;–1”–Sequenzen enthalten sind, was bei einem gleichsignalfreien Kanal problematisch wäre. 
 
[[Datei:Auge_16a.png|left|frame|class=fit]]

Links ist das Augendiagramm dargestellt.
::* Es gibt zwei Augenöffnungen und zwei Schwellen.
::* Die normierte Augenöffnung ist  $ö_{\rm norm}= 1/2 \cdot (g_0 -3 \cdot g_1)$, wobei  $g_0 = g_d(t=0)$  den Hauptwert des Detektionsgrundimpulses bezeichnet und  $g_1 = g_d(t=\pm T)$  die relevanten Vor- und Nachläufer, die das Auge vertikal begrenzen.

::* Die normierte Augenöffnung ist somit deutlich kleiner als beim vergleichbaren Binäsystem   ⇒   $ö_{\rm norm}= g_0 -2 \cdot g_1$.
::* Der normierte Rauscheffektivwert  $\sigma_{\rm norm}$  ist um den Faktor  $\sqrt{1/2} \approx 0.707$  kleiner als beim vergleichbaren Binäsystem.
 
[[Datei:Auge_17.png|right|frame|Signale bei der Duobinärcodierung|class=fit]]

$\Rightarrow \ \ K_{\rm C} = -1\text{: Duobinärcode}$ 

Aus der rechten Grafik mit den Signalverläufen erkennt man:
*Hier können beliebig viele Symbole gleicher Polarität  (&bdquo;+1” bzw. &bdquo;–1”)  direkt aufeinanderfolgen   ⇒   der Duobinärcode ist nicht gleichsignalfrei. 
*Dagegen tritt beim Duobinärcode die alternierende Folge  &bdquo; ... , +1, –1, +1, –1, +1, ... ”  nicht auf, die hinsichtlich Impulsinterferenzen besonders störend ist.
* Auch die Duobinärcode–Folge besteht zu 50% aus Nullen. Der Verbesserungsfaktor durch das kleinere  $E_{\rm B}/ N_0$  ist wie beim AMI-Code gleich  $\sqrt{1/2} \approx 0.707$.

[[Datei:Auge_17a.png|left|frame|class=fit]]
 
Links ist das Augendiagramm dargestellt.
::* Es gibt wieder zwei &bdquo;Augen” und zwei Schwellen.
::* Die Augenöffnung ist   $ö_{\rm norm}= 1/2 \cdot (g_0 - g_1)$.
*$ö_{\rm norm}$  ist also größer als beim AMI–Code und auch wie beim vergleichbaren Binäsystem.
*Nachteilig gegenüber dem AMI–Code ist allerdings, dass er nicht gleichsignalfrei ist.

==Versuchsdurchführung==
 
[[Datei:Aufgaben_2D-Gauss.png|right]]

*Wählen Sie zunächst die Nummer  ('''1''', ...)  der zu bearbeitenden Aufgabe.
*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
*Lösung nach Drücken von &bdquo;Musterlösung”.

Die Nummer '''0''' entspricht einem &bdquo;Reset”:
*Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
*Ausgabe eines &bdquo;Reset–Textes” mit weiteren Erläuterungen zum Applet.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''  Verdeutlichen Sie sich die Entstehung des Augendiagramms für  $M=2 \text{, nach Gauß–TP, }f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.48$. Wählen Sie hierfür &bdquo;Einzelschritt”. }}

::* Dieses Augendiagramm ergibt sich, wenn man das Detektionsnutzsignal  $d_{\rm S}(t)$  in Stücke der Dauer  $2T$  unterteilt und diese Teile übereinander zeichnet.
::* In  $d_{\rm S}(t)$  müssen alle &bdquo;Fünf–Bit–Kombinationen” enthalten sein   ⇒   mindestens  $2^5 = 32$  Teilstücke   ⇒   maximal  $32$  unterscheidbare Linien.
::* Das Diagramm bewertet das Einschwingverhalten des Nutzsignals. Je größer die (normierte) Augenöffnung ist, desto weniger Impulsinterferenzen gibt es.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''  Gleiche Einstellung wie in  '''(1)'''. Zusätzlich gilt  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 10 \ {\rm dB}$. Bewerten Sie die ausgegebenen Größen  $ö_{\rm norm}$,  $\sigma_{\rm norm}$  und  $p_{\rm U}$.}}

::* $ö_{\rm norm}= 0.542$  zeigt an, dass die Symboldetektion durch benachbarte Impulse beeinträchtigt wird. Für impulsinterferenzfreie Binärsysteme gilt  $ö_{\rm norm}= 1$.
::* Die Augenöffnung kennzeichnet nur das Nutzsignal. Der Rauscheinfluss wird durch  $\sigma_{\rm norm}= 0.184$  erfasst. Dieser Wert sollte möglichst klein sein.
::* Die Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} = {\rm Q}(ö_{\rm norm}/\sigma_{\rm norm}\approx 0.16\%)$  bezieht sich allein auf die &bdquo;ungünstigsten Folgen”, bei &bdquo;Gauß” z. B.  $-1, -1, +1, -1, -1$.
::* Andere Folgen werden weniger verfälscht   ⇒   die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm M}$  ist (meist) deutlich kleiner als $p_{\rm U}$  (beschreibt den &bdquo;''Worst Case''”).

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''  Die letzten Einstellungen bleiben. Mit welchem  $f_{\rm G}/R_{\rm B}$–Wert wird die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U}$  minimal? Auch das Augendiagramm betrachten.}}

::* Der minimale Wert  $p_{\rm U, \ min} \approx 0.65 \cdot 10^{-4}$  ergibt sich für  $f_{\rm G}/R_{\rm B} \approx 0.8$, und zwar nahezu unabhängig vom eingestellten  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0$.
::* Der normierte Rauscheffektivwert steigt zwar gegenüber dem Versuch  '''(2)'''  von  $\sigma_{\rm norm}= 0.168$  auf  $\sigma_{\rm norm}= 0.238$  an.
::* Dies wird aber durch die größere Augenöffnung  $ö_{\rm norm}= 0.91$  gegenüber  $ö_{\rm norm}= 0.542$  mehr als ausgeglichen  $($Vergrößerungsfaktor $\approx 1.68)$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''  Für welche Grenzfrequenzen  $(f_{\rm G}/R_{\rm B})$  ergibt sich eine völlig unzureichende Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} \approx 50\%$ ? Auch das Augendiagramm betrachten.}}

::* Für  $f_{\rm G}/R_{\rm B}<0.28$  ergibt sich ein geschlossenes Auge  $(ö_{\rm norm}= 0)$  und damit eine worst–case Fehlerwahrscheinlichkeit in der Größenordnung von  $50\%$.
::* Die Entscheidung über ungünstig eingerahmte Bit muss dann zufällig erfolgen, auch bei geringem Rauschen  $(10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 16 \ {\rm dB})$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''  Wählen Sie nun die Einstellungen  $M=2 \text{, nach Spalt–TP, }T_{\rm E}/T = 1$,  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 10 \ {\rm dB}$  sowie &bdquo;Auge – Gesamt”. Interpretieren Sie die Ergebnisse. }}

::* Der Detektionsgrundimpuls ist dreieckförmig und das Auge vollständig geöffnet. Die normierte Augenöffnung ist demzufolge  $ö_{\rm norm}= 1.$
::* Aus $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 10 \ {\rm dB}$  folgt $E_{\rm B}/N_0 = 10$   ⇒   $\sigma_{\rm norm} =\sqrt{1/(2\cdot E_{\rm B}/ N_0)} = \sqrt{0.05} \approx 0.224 $  ⇒   $p_{\rm U} = {\rm Q}(4.47) \approx 3.9 \cdot 10^{-6}.$
::* Dieser Wert ist um den Faktor  $15$  besser als in '''(3)'''.   Aber:  Bei  $H_{\rm K}(f) \ne 1$  ist der Matched-Filter-Empfänger so nicht anwendbar.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''  Gleiche Einstellung wie in  '''(5)'''. Variieren Sie nun  $T_{\rm E}/T$  im Bereich zwischen  $0.5$  und  $1.5$. Interpretieren Sie die Ergebnisse.}}

::* Für  $T_{\rm E}/T < 1$  gilt weiterhin  $ö_{\rm norm}= 1$. Aber  $\sigma_{\rm norm}$  wird größer, zum Beispiel  $\sigma_{\rm norm} = 0.316$  für  $T_{\rm E}/T =0.5$   ⇒   das Filter ist zu breitbandig!
::* Für  $T_{\rm E}/T > 1$  ergibt sich im Vergleich zu  '''(5)'''  ein kleineres  $\sigma_{\rm norm}$. Aber Das Auge ist nicht mehr geöffnet.  $T_{\rm E}/T =1.25$:  $ö_{\rm norm}= g_0 - 2 \cdot g_1 = 0.6$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(7)'''  Wählen Sie nun die Einstellungen  $M=2 \text{, CRO–Nyquist, }r_f = 0.2$  sowie &bdquo;Auge – Gesamt”. Interpretieren Sie das Augendiagramm, auch für andere  $r_f$–Werte. }}

::* Im Gegensatz zu  '''(6)'''  ist hier der Grundimpuls für  $|t|>T$  nicht Null, aber  $g_d(t)$  hat äquidistane Nulldurchgänge:  $g_0 = 1, \ g_1 = g_2 = 0$   ⇒   '''Nyquistsystem'''.
::* Alle  $32$  Augenlinien gehen bei  $t=0$  durch nur zwei Punkte. Die vertikale Augenöffnung ist für alle  $r_f$  maximal   ⇒    $ö_{\rm norm}= 1$.
::* Dagegen nimmt die horizontale Augenöffnung mit  $r_f$  zu und ist  $r_f = 1$  maximal gleich  $T$   ⇒   Phasenjitter hat in diesem Fall nur geringen Einfluss.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(8)'''  Gleiche Einstellung wie in  '''(7)'''. Variieren Sie nun  $r_f$  im Hinblick auf minimale Fehlerwahrscheinlichkeit. Interpretieren Sie die Ergebnisse.}}
::* $ö_{\rm norm}= 1$  gilt stets. Dagegen zeigt  $\sigma_{\rm norm}$  eine leichte Abhängigkeit von  $r_f$.  DasMinimum  $\sigma_{\rm norm}=0.236$  ergibt sich für  $r_f = 0.9$   ⇒   $p_{\rm U} \approx 1.1 \cdot 10^{-5}.$
::* Gegenüber dem bestmöglichen Fall gemäß  '''(7)'''  &bdquo;Matched–Filter–Empfänger” ist  $p_{\rm U}$  dreimal so groß, obwohl  $\sigma_{\rm norm}$  nur um ca.  $5\%$  größer ist.
::* Der größere  $\sigma_{\rm norm}$–Wert geht auf die Überhöhung des Rausch–LDS zurück, um den Abfall durch den Sender–Frequenzgang  $H_{\rm S}(f)$  auszugleichen.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(9)'''  Wählen Sie die Einstellungen  $M=4 \text{, nach Spalt–TP, }T_{\rm E}/T = 1$,  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 10 \ {\rm dB}$  und  $12 \ {\rm dB}$.  Interpretieren Sie die Ergebnisse. }}

::* Es gibt nun drei Augenöffnungen. Gegenüber  '''(5)'''  ist also  $ö_{\rm norm}$  um den Faktor  $3$  kleiner,  $\sigma_{\rm norm}$  dagegen nur um etwa den Faktor  $\sqrt{5/9)} \approx 0.75$.
::* Für  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 10 \ {\rm dB}$  ergibt sich nun die Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} \approx 2.27\%$  und für  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 12 \ {\rm dB}$  nur mehr  $0.59\%$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(10)'''  Für die restlichen Aufgaben gelte stets  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 12 \ {\rm dB}$. Betrachten Sie das Augendiagramm für  $M=4 \text{, CRO–Nyquist, }r_f = 0.5$. }}

::* In  $d_{\rm S}(t)$  müssen alle &bdquo;Fünf–'''Symbol'''–Kombinationen” enthalten sein   ⇒   mindestens  $4^5 = 1024$  Teilstücke   ⇒   maximal  $1024$  unterscheidbare Linien.
::* Alle  $1024$  Augenlinien gehen bei  $t=0$  durch nur vier Punkte:  $ö_{\rm norm}= 0.333$. $\sigma_{\rm norm} = 0.143$  ist etwas größer als in  '''(9)'''  ⇒   ebenso  $p_{\rm U} \approx 1\%$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(11)'''  Wählen Sie die Einstellungen  $M=4 \text{, nach Gauß–TP, }f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.48$  und variieren Sie  $f_{\rm G}/R_{\rm B}$.   Interpretieren Sie die Ergebnisse. }}

::* $f_{\rm G}/R_{\rm B}=0.48$  führt zur minimalen Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} \approx 0.21\%$.  Kompromiss zwischen  $ö_{\rm norm}= 0.312$  und  $\sigma_{\rm norm}= 0.109$.
::* Bei zu kleiner Grenzfrequenz dominieren die Impulsinterferenzen.  Beispiel:  $f_{\rm G}/R_{\rm B}= 0.3$:  $ö_{\rm norm}= 0.157; $ $\sigma_{\rm norm}= 0.086$  ⇒    $p_{\rm U} \approx 3.5\%$.
::* Bei zu großer Grenzfrequenz dominiert das Rauschen.  Beispiel:  $f_{\rm G}/R_{\rm B}= 1.0$:  $ö_{\rm norm}= 0.333; $ $\sigma_{\rm norm}= 0.157$  ⇒    $p_{\rm U} \approx 1.7\%$.
::* Aus dem Vergleich mit  '''(9)'''  erkennt man:  '''Bei Quaternärcodierung ist es günstiger, Impulsinterferenzen zuzulassen'''.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(12)'''  Welche Unterschiede zeigt das Auge für  $M=3 \text{ (AMI-Code), nach Gauß–TP, }f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.48$  gegenüber dem vergleichbaren Binärsystem? Interpretation. }}
::* Der Detektionsgrundimpuls  $g_d(t)$  ist in beiden Fällen gleich. Die Abtastwerte sind jeweils  $g_0 = 0.771, \ g_1 = 0.114$.
::* Beim AMI–Code gibt es zwei Augenöffnungen mit je  $ö_{\rm norm}= 1/2 \cdot (g_0 -3 \cdot g_1) = 0.214$.  Beim Binärcode:  $ö_{\rm norm}= g_0 -2 \cdot g_1 = 0.543$.
::* Die AMI–Folge besteht zu 50% aus Nullen. Die Symbole  $+1$  und  $-1$  wechseln sich ab   ⇒   es gibt keine lange  $+1$–Folge und keine lange  $-1$–Folge.
::* Darin liegt der einzige Vorteil des AMI–Codes:  Dieser kann auch bei einem gleichsignalfreien Kanal   ⇒   $H_{\rm K}(f= 0)=0$  angewendet werden.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(13)'''  Gleiche Einstellung wie in  '''(12)''', zudem  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 12 \ {\rm dB}$. Analysieren Sie die Fehlerwahrscheinlichkeit des AMI–Codes. }}
::* Trotz kleinerem  $\sigma_{\rm norm} = 0.103$  hat der AMI–Code eine höhere Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} \approx 2\%$  als der Binärcode:  $\sigma_{\rm norm} = 0.146, \ p_{\rm U} \approx \cdot 10^{-4}.$
::* Für  $f_{\rm G}/R_{\rm B}<0.34$  ergibt sich ein geschlossenes Auge  $(ö_{\rm norm}= 0)$  ⇒    $p_{\rm U} =50\%$. Beim Binärcode:  Für  $f_{\rm G}/R_{\rm B}>0.34$  ist das Auge geöffnet.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(14)'''  Welche Unterschiede zeigt das Auge für  $M=3 \text{ (Duobinärcode), nach Gauß–TP, }f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.30$  gegenüber dem vergleichbaren Binärsystem? }}
::* Redundanzfreier Binärcode:  $ö_{\rm norm}= 0.096, \ \sigma_{\rm norm} = 0.116 \ p_{\rm U} \approx 20\% $       Duobinärcode:  $ö_{\rm norm}= 0.167, \ \sigma_{\rm norm} = 0.082 \ p_{\rm U} \approx 2\% $.
::*Insbesondere bei kleinem  $f_{\rm G}/R_{\rm B}$  liefert der Duobinärcode gute Ergebnisse, da die Übergänge von  $+1$  nach  $-1$  (und umgekehrt) im Auge fehlen.
::*Selbst mit  $f_{\rm G}/R_{\rm B}=0.2$  ist das Auge noch geöffnet. Im Gegensatz zum AMI–Code  ist aber &bdquo;Duobinär” bei gleichsignalfreiem Kanal nicht anwendbar.

==Zur Handhabung des Applets==
 
[[Datei:Anleitung_Auge.png|right|600px]]
    '''(A)'''     Auswahl:   Codierung                    (binär,  quaternär,  AMI–Code,  Duobinärcode)

    '''(B)'''     Auswahl:   Detektionsgrundimpuls                     (nach Gauß–TP,  CRO–Nyquist,  nach Spalt–TP}

    '''(C)'''     Prametereingabe zu  '''(B)'''                    (Grenzfrequenz,  Rolloff–Faktor,  Rechteckdauer)

    '''(D)'''     Steuerung der Augendiagrammdarstellung                    (Start,  Pause/Weiter,  Einzelschritt,  Gesamt,  Reset)

    '''(E)'''     Geschwindigkeit der Augendiagrammdarstellung

    '''(F)'''     Darstellung:  Detektionsgrundimpuls  $g_d(t)$

    '''(G)'''     Darstellung:  Detektionsnutzsignal  $d_{\rm S}(t - \nu \cdot T)$

    '''(H)'''     Darstellung:  Augendiagramm im Bereich  $\pm T$

    '''( I )'''     Numerikausgabe:  $ö_{\rm norm}$  (normierte Augenöffnung)

    '''(J)'''     Prametereingabe  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0$  für  '''(K)'''

    '''(K)'''     Numerikausgabe:  $\sigma_{\rm norm}$  (normierter Rauscheffektivwert)

    '''(L)'''     Numerikausgabe:  $p_{\rm U}$  (ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit)

    '''(M)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung:   Aufgabenauswahl

    '''(N)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung:   Aufgabenstellung

    '''(O)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung:   Musterlösung einblenden
 
==Über die Autoren==
Dieses interaktive Berechnungstool wurde am  [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]  der  [https://www.tum.de/ Technischen Universität München]  konzipiert und realisiert.
*Die erste Version wurde 2008 von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Thomas_Gro.C3.9Fer_.28Diplomarbeit_LB_2006.2C_danach_freie_Mitarbeit_bis_2010.29|Thomas Großer]]  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit mit &bdquo;FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|Günter Söder]]).
* 2019 wurde das Programm von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf &bdquo;HTML5” umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29|Tasnád Kernetzky]]).

Die Umsetzung dieses Applets auf HTML 5 wurde durch  [https://www.ei.tum.de/studium/studienzuschuesse/ Studienzuschüsse]  der Fakultät EI der TU München finanziell unterstützt. Wir bedanken uns.

==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==

{{LntAppletLink|eyeDiagram}}

Applets:Grafische Faltung

2025-02-24T09:43:12Z

{{LntAppletLink|convolution}}

==Programmbeschreibung==
 
Dieses Applet verdeutlicht die Faltungsoperation im Zeitbereich
*zwischen einem Eingangsimpuls  $x(t)$   ⇒   Rechteck, Dreieck, Gauß, Exponentialfunktion
*und der Impulsantwort  $h(t)$  eines LZI–Systems mit Tiefpass–Charakter  ⇒   Spalt–Tiefpass, Tiefpass erster bzw. zweiter Ordnung, Gauß–Tiefpass.

Für das Ausgangssignal  $y(t)$  entsprechend dem Blockschaltbild im  $\text{Beispiel 1}$  gilt dann, wie im Kapitel  [[Applets:Zur_Verdeutlichung_der_grafischen_Faltung#Grafische_Faltung|Grafische Faltung]]  dargelegt:
:$$y( t ) = x(t) * h( t ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } \hspace{-0.15cm}{x( \tau )} \cdot h( {t - \tau } )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau .$$

Bei kausalen Systemen   ⇒    $h(t) \equiv 0$  für  $t < 0$  (Beispiele: Spalt–Tiefpass sowie Tiefpass erster und zweiter Ordnung)   kann hierfür auch geschrieben werden:

:$$y( t ) = \int_{ - \infty }^{ t } \hspace{-0.15cm}{x( \tau )} \cdot h( {t - \tau } )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau .$$

Bitte beachten Sie:
*Alle Größen – auch die Zeit $t$ – sind normiert (dimensionslos) zu verstehen.
*Die Zeitfunktionen  $x(t)$,  $h(t)$  und  $y(t)$  können im Programm keine negativen Signalwerte annehmen.
*Die ''absolute Dauer''  eines Impulses  $y(t)$  ist der (zusammenhängende) Zeitbereich, für den  $y(t) > 0$  gilt.
*Die ''äquivalente Dauer''  eines Impulses ist über das flächengleiche Rechteck berechenbar.

==Theoretischer Hintergrund==
 
===Faltung im Zeitbereich===

Der  [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation|Faltungssatz]]  ist mit das wichtigste Gesetz der Fouriertransformation. Wir betrachten zunächst den Faltungssatz im Zeitbereich und setzen voraus, dass die Spektren zweier Zeitfunktionen  $x_1(t)$  und  $x_2(t)$  bekannt sind:

:$$X_1 ( f )\hspace{0.15cm}\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\hspace{0.15cm}x_1( t ),\quad X_2 ( f )\hspace{0.1cm}\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\hspace{0.1cm}x_2 ( t ).$$

Dann gilt für die Zeitfunktion des Produktes  $X_1(f) \cdot X_2(f)$:

:$$X_1 ( f ) \cdot X_2 ( f )\hspace{0.15cm}\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\hspace{0.15cm}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_1 ( \tau )} \cdot x_2 ( {t - \tau } )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$

Hierbei ist  $\tau$  eine formale Integrationsvariable mit der Dimension einer Zeit.

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definition:}$  Die obige Verknüpfung der Zeitfunktion  $x_1(t)$  und  $x_2(t)$  bezeichnet man als  '''Faltung'''  und stellt diesen Funktionalzusammenhang mit einem Stern dar:

:$$x_{\rm{1} } (t) * x_{\rm{2} } (t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_1 ( \tau ) } \cdot x_2 ( {t - \tau } ) \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$

Damit lässt sich obige Fourierkorrespondenz auch wie folgt schreiben:

:$$X_1 ( f ) \cdot X_2 ( f )\hspace{0.15cm}\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\hspace{0.15cm}{ {x} }_{\rm{1} } ( t ) * { {x} }_{\rm{2} } (t ).$$

[[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation#Beweis_des_Faltungssatzes|$\text{Beweis}$]]}}

''Anmerkung'':   Die Faltung ist  '''kommutativ'''   ⇒   Die Reihenfolge der Operanden ist vertauschbar:   ${ {x}}_{\rm{1}} ( t ) * { {x}}_{\rm{2}} (t ) ={ {x}}_{\rm{2}} ( t ) * { {x}}_{\rm{1}} (t ) $.

[[Datei:P_ID579__Sig_T_3_4_S1_neu.png|right|frame|Zur Berechnung von Signal und Spektrum am LZI–Ausgang]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 1:}$  Ein jedes lineare zeitinvariante (LZI-) System kann sowohl durch den Frequenzgang  $H(f)$  als auch durch die Impulsantwort  $h(t)$  beschrieben werden, wobei der Zusammenhang zwischen diesen beiden Systemgrößen ebenfalls durch die Fouriertransformation gegeben ist.

Legt man an den Eingang ein Signal  $x(t)$  mit dem Spektrum  $X(f)$  an, so gilt für das Spektrum des Ausgangssignals:

:$$Y(f) = X(f) \cdot H(f)\hspace{0.05cm}.$$

Mit dem Faltungssatz ist es nun möglich, das Ausgangssignal auch direkt im Zeitbereich zu berechnen:

:$$y( t ) = x(t) * h( t ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } \hspace{-0.15cm}{x( \tau )} \cdot h( {t - \tau } )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau = \int_{ - \infty }^{ + \infty } \hspace{-0.15cm} {h( \tau )} \cdot x( {t - \tau } )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau = h(t) * x( t ).$$

Aus dieser Gleichung geht nochmals hervor, dass die Faltungsoperation  ''kommutativ''  ist.}}

===Faltung im Frequenzbereich===

Die Dualität zwischen Zeit– und Frequenzbereich erlaubt auch Aussagen hinsichtlich des Spektrums eines Produktsignals:

:$$x_1 ( t ) \cdot x_2 ( t )\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,X_1 (f) * X_2 (f) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {X_1 ( \nu )} \cdot X_2 ( {f - \nu })\hspace{0.1cm}{\rm d}\nu.$$

Dieses Resultat lässt sich ähnlich wie der  [[Applets:Zur_Verdeutlichung_der_grafischen_Faltung#Faltung_im_Zeitbereich|Faltungssatz im Zeitbereich]]  beweisen. Die Integrationsvariable  $\nu$  hat aber nun die Dimension einer Frequenz.

[[Datei:P_ID580__Sig_T_3_4_S2_neu.png|right|frame|Faltung im Frequenzbereich]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 2:}$  Die  [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#Beschreibung_im_Zeitbereich|Zweiseitenband-Amplitudenmodulation]]  (ZSB-AM) ohne Träger wird durch das skizzierte Modell beschrieben.
*Bei der Zeitbereichsdarstellung (blau) ergibt sich das modulierte Signal  $s(t)$  als das Produkt aus dem Nachrichtensignal  $q(t)$  und dem (normierten) Trägersignal  $z(t)$.
*Nach dem Faltungssatz folgt daraus für den Frequenzbereich (rot), dass das Ausgangsspektrum  $S(f)$  gleich dem Faltungsprodukt aus  $Q(f)$  und  $Z(f)$  ist.}}

===Faltung einer Funktion mit einer Diracfunktion===

Sehr einfach wird die Faltungsoperation, wenn einer der beiden Operanden eine  [[Signaldarstellung/Gleichsignal_-_Grenzfall_eines_periodischen_Signals#Diracfunktion_im_Frequenzbereich|Diracfunktion]]  ist. Dies gilt für die Faltung im Zeit– und im Frequenzbereich gleichermaßen.

Wir betrachten beispielhaft die Faltung einer Funktion  $x_1(t)$  mit der Funktion

:$$x_2 ( t ) = \alpha \cdot \delta ( {t - T} ) \quad \circ\,\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet \quad X_2 ( f )= \alpha \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\hspace{0.03cm}2\hspace{0.03cm}{\rm{\pi }}\hspace{0.01cm}f\hspace{0.01cm}T}.$$

Für die Spektralfunktion des Signals  $y(t) = x_1(t) \ast x_2(t)$  gilt dann:

:$$Y( f ) = X_1 ( f ) \cdot X_2 ( f ) = X_1 ( f ) \cdot \alpha \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\hspace{0.03cm}2\hspace{0.03cm}{\rm{\pi }}\hspace{0.01cm}f\hspace{0.01cm}T} .$$

Die komplexe Exponentialfunktion führt zur Verschiebung um  $T$   ⇒   [[Signaldarstellung/Gesetzm%C3%A4%C3%9Figkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatz]], der Faktor  $\alpha$  zu einer Dämpfung  $(\alpha < 1)$  bzw. einer Verstärkung  $(\alpha > 1)$. Daraus folgt:

:$$x_1 (t) * x_2 (t) = \alpha \cdot x_1 ( {t - T} ).$$

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{In Worten: }$  Die Faltung einer beliebigen Funktion mit einer Diracfunktion bei  $t = T$  ergibt die um  $T$  nach rechts verschobene Funktion, wobei noch die Gewichtung der Diracfunktion durch den Faktor  $\alpha$  zu berücksichtigen ist.}}

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 3:}$  Ein Rechtecksignal  $x(t)$  wird durch ein LZI-System um eine Laufzeit  $\tau = 3\,\text{ ms}$  verzögert und um den Faktor  $\alpha = 0.5$  gedämpft.

[[Datei:P_ID522__Sig_T_3_4_S3_neu.png|center|frame|Faltung eines Rechtecks mit einer Diracfunktion]]

Verschiebung und Dämpfung erkennt man sowohl am Ausgangssignal  $y(t)$  als auch an der Impulsantwort  $h(t)$.}}

===Grafische Faltung===

In diesem Applet wird von folgender Faltungsoperation ausgegangen:
[[Datei:P_ID2723__Sig_T_3_4_programm.png|right|frame|Bildschirmabzug des Programms „Grafische Faltung” (frühere Version)]]
:$$y(t) = x (t) * h (t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x ( \tau )} \cdot h ( {t - \tau } )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$

Die Lösung des Faltungsintegrals soll auf grafischem Wege erfolgen. Es wird vorausgesetzt, dass  $x(t)$  und  $h(t)$  zeitkontinuierliche Signale sind.

Dann sind die folgenden Schritte erforderlich:
#  Die  '''Zeitvariablen'''  der beiden Funktionen  '''ändern''':       $x(t) \to x(\tau)$,   $h(t) \to h(\tau)$.
#  Zweite '''Funktion spiegeln''':   $h(\tau) \to h(-\tau)$.
#  Gespiegelte '''Funktion''' um  $t$  '''verschieben''':   $h(-\tau) \to h(t-\tau)$.
#  '''Multiplikation''' der beiden Funktionen  $x(\tau)$  und  $h(t-\tau)$.
#  '''Integration'''  über das Produkt bezüglich  $\tau$  in den Grenzen von  $-\infty$  bis  $+\infty$.

Da die Faltung kommutativ ist, kann anstelle von  $h(\tau)$  auch  $x(\tau)$  gespiegelt werden.

 
Nebenstehende Grafik zeigt einen Bildschirmabzug einer älteren Version des vorliegenden Applets.
 

[[Datei:P_ID582__Sig_T_3_4_S4_neu.png|right|frame|Beispiel einer Faltungsoperation: Sprungfunktion gefaltet mit Exponentialfunktion]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 4:}$ 
Die Vorgehensweise bei der grafischen Faltung wird nun anhand eines ausführlichen Beispiels erklärt:
*Am Eingang eines Filters liege eine Sprungfunktion  $x(t) = \gamma(t)$  an.
*Die Impulsantwort des RC-Tiefpasses sei  $h( t ) = {1}/{T} \cdot {\rm{e} }^{ - t/T}.$

Die Grafik zeigt rot das Eingangssignal  $x(\tau)$, blau die Impulsantwort  $h(\tau)$ und grau das Ausgangssignal  $y(\tau)$.
Die Zeitachse ist bereits in  $\tau$  umbenannt.

Das Ausgangssignal kann zum Beispiel nach folgender Gleichung berechnet werden:

:$$y(t) = h(t) * x(t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {h( \tau )} \cdot x( {t - \tau } )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$

Noch einige Anmerkungen zur grafischen Faltung:
*Der Ausgangswert bei  $t = 0$  ergibt sich, indem man das Eingangssignal  $x(\tau)$  spiegelt, dieses gespiegelte Signal  $x(-\tau)$  mit der Impulsantwort  $h(\tau)$  multipliziert und darüber integriert.
*Da es hier kein Zeitintervall gibt, bei dem sowohl die blaue Kurve  $h(\tau)$  und gleichzeitig auch die rot gestrichelte Spiegelung  $x(-\tau)$  ungleich Null ist, folgt daraus  $y(t=0)=0$.
*Für jeden anderen Zeitpunkt  $t$  muss das Eingangssignal verschoben werden   ⇒   $x(t-\tau)$, beispielsweise entsprechend der grün gestrichelten Kurve für  $t=T$.
*Da in diesem Beispiel auch  $x(t-\tau)$  nur die Werte  $0$  oder  $1$  annehmen kann, wird die Integration  $($allgemein von  $\tau_1$  bis  $\tau_2)$  einfach und man erhält mit  $\tau_1 = 0$  und  $\tau_2 = t$ :
:$$y( t) = \int_0^{\hspace{0.05cm} t} {h( \tau)}\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau = \frac{1}{T}\cdot\int_0^{\hspace{0.05cm} t} {{\rm{e}}^{ - \tau /T } }\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau = 1 - {{\rm{e}}^{ - t /T } }.$$

Die Skizze gilt für  $t=T$  und führt zum Ausgangswert  $y(t=T) = 1 – 1/\text{e} \approx 0.632$.}}

==Versuchsdurchführung==
 
[[Datei:Musterlösung_Faltung_3.png|right]]
*Wählen Sie die Aufgabennummer. Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt.
*Alle Parameter sind angepasst. Alle Grafiken und Ergebniswerte sind aktualisiert.
*Musterlösung nach Drücken des entsprechenden Buttons.
*Nummer &bdquo;0”:   Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
 
{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''   Wählen Sie die Parameter gemäß Voreinstellung  $\text{(Gaußimpuls: }A_x = 1, \ \Delta t_x= 1, \ \tau_x = 1; \text{ Impulsantwort gemäß Tiefpass 2. Ordnung: }\Delta t_h= 1)$.
          Interpretieren Sie die dargestellten Grafiken. Wie groß ist der maximale Ausgangswert  $y_{\rm max}$? Zu welcher Zeit  $t_{\rm max}$  tritt dieser auf? }}

::* Nach Umbenennung:  Eingangssignal  $x(\tau)$   ⇒   rote Kurve,  Impulsantwort  $h(\tau)$   ⇒   blaue Kurve, nach Spiegelung  $h(-\tau)$   ⇒   grüne Kurve.
::* Verschiebt man die grüne Kurve um  $t$  nach rechts, so erhält man $h(t-\tau)$. Das Ausgangssignal  $y(t)$  ergibt sich durch Multiplikation und Integration bzgl. $\tau$:

:::$$y (t) = \int_{ - \infty }^{ +\infty } {x ( \tau ) } \cdot h ( {t - \tau } ) \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau = \int_{ - \infty }^{ t } {x ( \tau ) } \cdot h ( {t - \tau } ) \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau .$$
::* Der Ausgangsimpuls  $y_(t)$  ist im vorliegenden Fall unsymmetrisch; der maximale Ausgangswert  $y_{\rm max}\approx 0.67$  tritt bei  $t_{\rm max}\approx 1.5$  auf.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''   Was ändert sich, wenn man die äquivalente Impulsdauer von  $h(t)$  auf  $\Delta t_h= 1.5$  erhöht? }}

::* $y_{\rm max}\approx 0.53$  tritt nun bei  $t_{\rm max}\approx 1.75$  auf. Durch die ungünstigere (breitere) Impulsantwort wird der Eingangsimpuls stärker verformt.
::* Bei einem digitalen Nachrichtenübertragungssystem hätte dies stärkere Impulsinterenzen (&bdquo;Intersymbol Interference”) zur Folge.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''   Wählen Sie nun den symetrischen  $\text{Rechteckimpuls: }A_x = 1, \ \Delta t_x= 1, \ \tau_x = 0$  und die  $\text{Impulsantwort gemäß Spalt–Tiefpass: }\Delta t_h= 1$.
          Interpretieren Sie das Faltungsergebnis. Wie groß ist der maximale Ausgangswert  $y_{\rm max}$? Zu welchen Zeiten ist  $y(t)>0$? Beschreibt  $h(t)$  ein kausales System? }}

::* Die Faltung zweier Rechtecke mit jeweiliger Dauer  $1$  ergibt ein Dreieck mit absoluter Dauer  $2$  ⇒   äquivalente Impulsdauer  $\Delta t_y= 1$.
::* $y(t)$  ist im Bereich von  $-0.5$  bis  $+1.5$  von Null verschieden. Impulsmaximum  $y_{\rm max} = 1$  bei  $t_{\rm max} = +0.5$.
::* $h(t)$  beschreibt ein kausales System, da  $h(t) \equiv 0$  für  $t < 0$  ⇒   die &bdquo;Wirkung”  $y(t)$  kommt nicht vor der &bdquo;Ursache”  $x(t)$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''   Was ändert sich, wenn man die äquivalente Impulsdauer von  $h(t)$  auf  $\Delta t_h= 2$  erhöht? }}

::* Die Faltung zweier unterschiedlich breiten Rechtecke ergibt ein Trapez, hier zwischen  $-0.5$  und  $+2.5$ ⇒   äquivalente Impulsdauer  $\Delta t_y= 2$.
::* Das Maximum  $y_{\rm max} = 0.5$  tritt im Bereich  $0.5 \le t \le 1.5$ auf. Bezüglich der Kausalität ändert sich nichts.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''   Wählen Sie nun den (unsymetrischen)  $\text{Rechteckimpuls: }A_x = 1, \ \Delta t_x= 1, \ \tau_x = 0.5$  und die  $\text{ Impulsantwort eines Tiefpasses 1. Ordnung: }\Delta t_h= 1$.
          Interpretieren Sie die Ergebnisse. Wie groß ist  $y_{\rm max}$? Zu welchen Zeiten ist  $y(t)>0$ ? Beschreibt  $h(t)$  ein kausales System? }}

::* $h(t)$  hat für  $t > 0$  einen exponentiell abfallenden Verlauf. Für  $t > 0$  gilt stets  $y(t) > 0$, aber die Signalwerte können sehr klein werden.
::* $y_{\rm max} = 0.63$  tritt bei  $t_{\rm max} = +1$ auf. Für  $ t < t_{\rm max}$ ist der Verlauf exponentiell ansteigend, für  $ t > t_{\rm max}$  exponentiell abfallend.
::* Der Tiefpass 1. Ordnung kann mit einem Widerstand und einer Kapazität realisiert werden. Jedes realisierbare System ist per se kausal.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''   Wählen Sie wie in  '''(3)'''  die rechteckförmige Impulsantwort  $\text{(Spalt–Tiefpass; }\Delta t_h= 1)$. Mit welchem  $x(t)$  ergibt sich das gleiche  $y(t)$  wie bei  '''(5)'''?}}

::* Das Signal  $y(t)$  in  '''(5)'''  ergab sich als Faltung zwischen dem rechteckigen Eingang  $x(t)$  und der Exponentialfunktion  $h(t)$.
::* Da die Faltungsoperation kommutativ ist, ergibt sich das gleiche Ergebnis mit der Exponentialfunktion  $x(t)$ und der Rechteckfunktion  $h(t)$.
::* Die richtige Einstellung für das Eingangssignal  $x(t)$  ist somit  $\text{Exponentialimpuls: }A_x = 1, \ \Delta t_x= 1, \ \tau_x = 0$ .

{{BlaueBox|TEXT=
'''(7)'''   Für den Rest dieser Versuchsdurchführung betrachten wir stets den Gauß–Tiefpass. Die äquivalente Dauer der Impulsantwort  $h(t)$  sei zunächst  $\Delta t_h= 0.8$.
          Analsyieren und interpretieren Sie dieses &bdquo;System” im Hinblick auf Kausalität und die entstehenden Verzerrungen für ein Rechtecksignal. }}

::* Der Tiefpass ist nicht kausal (realisierbar): für  $t < 0$  gilt nicht  $h(t) \equiv 0$  gilt. Geeignetes Modell, wenn man die unendliche Laufzeit außer Acht lässt.
::* Je größer  $\Delta t_h$  ist, desto breiter wird der Ausgangsimpuls und um so stärker die Degradation eines Digitalsystems durch Impulsinterferenzen.
::* Der Tiefpass–Frequenzgang  $H(f)$  ist die Fouriertransformierte von  $h(t)$. Je größer  $\Delta t_h$  ist, desto kleiner ist  $\Delta f_h = 1/\Delta t_h$   ⇒   System schmalbandiger.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(8)'''   Wählen Sie nun den  $\text{Gaußimpuls: }A_x = 1, \ \Delta t_x= 1.5, \ \tau_x = 0$  und den  $\text{Gauß–Tiefpass: }\Delta t_h= 2$. Welche Form hat der Ausgangsimpuls  $y(t)$?
          Wie groß ist die äquivalente Dauer  $\Delta t_y$  des Ausgangsimpulses und der maximale Ausgangswert  $y_{\rm max}$? Zu welcher Zeit  $t_{\rm max}$  tritt dieser auf? }}

::* $y(t)$  ist ebenfalls (exakt) gaußförmig. Merksatz:  '''Gauß gefaltet mit Gauß ergibt immer Gauß'''.
::* Äquivalente Dauer:  $\Delta t_y =\sqrt{\Delta t_x^2+ \Delta t_h^2} = 2.5$. Impulsmaximum $($bei $t=0)$:  $y_{\rm max} = A_x \cdot \Delta t_x/\Delta t_y = 1 \cdot 1.5/2.5 = 0.6$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(9)'''   Wählen Sie nun den  $\text{Dreieckimpuls: }A_x = 1, \ \Delta t_x= 1.5, \ \tau_x = 0$  und den  $\text{Gauß–Tiefpass: }\Delta t_h= 2$. Welche Form hat der Ausgangsimpuls  $y(t)$?
          Wie groß ist die äquivalente Dauer  $\Delta t_y$  des Ausgangsimpulses und der maximale Ausgangswert  $y_{\rm max}$? Zu welcher Zeit  $t_{\rm max}$  tritt dieser auf? }}

::* $y(t)$  ist gaußähnlich, aber nicht exakt gaußförmig. Merksatz:  '''Gauß gefaltet mit Nicht–Gauß ergibt niemals exakt Gauß'''.
::* Die abgefragten Kenngrößen des Ausgangsimpules  $y(t)$  unterscheiden sich nur geringfügig gegenüber  '''(8)''':  $\Delta t_y \approx 2.551$,  $y_{\rm max} \approx 0.588$.

==Zur Handhabung des Applets==
 
[[Datei:Anleitung_Faltung_2.png|right]]

    '''(A)'''     Auswahl:   Form des Eingangsimpulses  $x(t)$

    '''(B)'''     Parametereingabe für den Eingangsimpuls  $x(t)$

    '''(C)'''     Auswahl:   Form der Impulsantwort  $h(t)$  des Tiefpass–Systems

    '''(D)'''     Parametereingabe für die Impulsantwort  $h(t)$

    '''(E)'''     Bedienfeld (Start;   Pause/Weiter   ;  Step >   ;  Step <  ;  Reset)

    '''(F)'''     Ausgabe des Ausgangswertes  $y(t)$  zur fortlaufenden Zeit  $t$

    '''(G)'''     Maximalwert  $y_{\rm max} = y(t_{\rm max})$  und äquivalente Breite $\Delta\hspace{0.03cm} t_y$

               Nach Umbenennung der Abszisse:   $t \ \to \ \tau$:

    '''(H)'''     Darstellung von  $x(\tau)$  ⇒   rote statische Kurve

    '''(I)'''       Darstellung von  $h(\tau)$  ⇒  blaue Kurve  und   $h(t-\tau)$  ⇒   grüne Kurve                 (diese wird mit dem Bewegungsparameter   $t$  nach rechts verschoben)

    '''(J)'''       Darstellung von  $x(\tau) \cdot h(t - \tau)$  ⇒   violette Kurve, dynamisch mit  $t$

    '''(K)'''      Sukzessive Darstellung des Ausgangssignals  $y(t)$  ⇒   braune Kurve

    '''(L)'''      Bereich für die Versuchsdurchführung:   Aufgabenauswahl

    '''(M)'''     Versuchsdurchführung:   Bereich für die Aufgabenstellung

    '''(N)'''     Versuchsdurchführung:   Bereich für die Musterlösung
 
==Über die Autoren==
Dieses interaktive Applet wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.
*Die erste Version wurde 2006 von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Markus_Elsberger_.28Diplomarbeit_LB_2006.29|Markus Elsberger]]  im Rahmen seiner Bachelorarbeit mit &bdquo;FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|Günter Söder]]).
*2019 wurde das Programm von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf &bdquo;HTML5” umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29|Tasnád Kernetzky]]).

Die Umsetzung dieses Applets auf HTML 5 wurde durch  [https://www.ei.tum.de/studium/studienzuschuesse/ Studienzuschüsse]  der Fakultät EI der TU München finanziell unterstützt. Wir bedanken uns.

==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==

{{LntAppletLink|convolution}}

LNTwww:Weitere Hinweise zum Buch Lineare zeitinvariante Systeme

2025-02-24T09:43:12Z

'''Fünf Hauptkapitel mit insgesamt 19 Kapiteln (Dateien);   58 Aufgaben   ⇒   Umfang: 2V + 1Ü 
      Entstehung  $($Version 2$)$:  2002 bis 2007;   Portierung  $($Version 3$)$:  2016/2017;   letzte Korrektur:  Mai 2021

* Projektverantwortliche:  [[Biografien_und_Bibliografien/Lehrstuhlinhaber_des_LNT#Prof._Dr._sc._techn._Gerhard_Kramer_.28seit_2010.29|$\text{Gerhard Kramer}$]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|$\text{Günter Söder}$]]  $($Inhalt$)$, [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29| $\text{Tásnad Kernetzky}$]]  $($Web–Administrator$)$

*Ausgangsmaterialien:   Vorlesungsmanuskripte von LNT/LÜT:  '''[Eich03]'''<ref name='Eich03'>Eichin, K.:  Nachrichtentechnik I (LB) – Signaldarstellung . Vorlesungsmanuskript. Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München, 2003. </ref>;  '''[Han15]'''<ref name='Han15'>Hanik, N.:  Nachrichtentechnik 1 (LB): Signaldarstellung.  Vorlesungsmanuskript. Professur Leitungsgebundene Übertragungstechnik, TU München, 2015.</ref>;  '''[Söd12]'''<ref name='Söd12'>Söder, G.:  Simulationsmethoden in der Nachrichtentechnik . Anleitung zum gleichnamigen Praktikum. Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München, 2012.</ref>   –   Lehrbücher:   '''[Söd93]'''<ref name='Söd93'>Söder, G.:  Modellierung, Simulation und Optimierung von Nachrichtensystemen. Bd. 23. Berlin, Heidelberg: Springer, 1993. ISBN 978-3-54057-215-2</ref>;   '''[Mar94]'''<ref name='Mar94'>Marko, H.:  Methoden der Systemtheorie.  3. Auflage. Berlin – Heidelberg: Springer, 1994.</ref>;  '''[HM09]'''<ref name='HM09'>Haykin, S.; Moher, M.: Communication Systems. 5. Aufl. Hoboken, N.J.: J. Wiley, 2009. ISBN 978-0-47169-790-9</ref>

* Autoren:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|'''Günter Söder''']]  und   [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Klaus_Eichin_.28am_LNT_von_1972-2011.29|'''Klaus Eichin''']]

* Weitere beteiligte Kollegen:   [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Prof._Dr.-Ing._Norbert_Hanik_.28am_LNT_von_1989-1995.2C_bei_L.C3.9CT_seit_2004.29|'''Norbert Hanik''']],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Johannes_Zangl_.28am_LNT_von_2000-2006.29|'''Johannes Zangl''']],  Manfred Jürgens,  Winfried Kretzinger

* Beteiligte Studierende in chronologischer Reihenfolge:     [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Martin_Winkler_.28Diplomarbeit_LB_2001.2C_danach_freie_Mitarbeit_bis_2003.29|Martin Winkler]] '''(2001)''',   [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Yven_Winter_.28Diplomarbeit_LB_2004.2C_danach_freie_Mitarbeit_bis_2016.29|Yven Winter]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Reinhold_Sixt_.28Diplomarbeit_LB_2002.29|Reinhold Sixt]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Roland_Kiefl_.28Diplomarbeit_LB_2003.29|Roland Kiefl]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]] , [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Franz_Kohl_.28Diplomarbeit_LB_2004.2C_danach_freie_Mitarbeit_bis_2006.29|Franz Kohl]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Thorsten_Kalweit_.28Diplomarbeit_LB_2006_und_freie_Mitarbeit_2007.29|Thorsten Kalweit]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Markus_Elsberger_.28Diplomarbeit_LB_2006.29|Markus Elsberger]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Slim_Lamine_.28Studienarbeit_EI_2006.29|Slim Lamine]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Thomas_Gro.C3.9Fer_.28Diplomarbeit_LB_2006.2C_danach_freie_Mitarbeit_bis_2010.29|Thomas Großer]],   [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#David_Jobst_.28Ingenieurspraxis_Math_2017.29|David Jobst]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Xiaohan_Liu_.28Bachelorarbeit_2018.2C_danach_Werkstudentin.29|Xiaohan Liu]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]] '''(2021)'''

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'''Vier Hauptkapitel mit insgesamt 12 Kapiteln (Dateien);   90 Aufgaben   ⇒   2 Semesterwochenstunden  (SWS) Vorlesung und 1 SWS Übungen 
      Entstehung der Version 2:  2004 bis 2009;   Portierung zur Version 3:  2016/2017;   letzte Korrektur:  September 2021

* Projektverantwortliche:  [[Biografien_und_Bibliografien/Lehrstuhlinhaber_des_LNT#Prof._Dr._sc._techn._Gerhard_Kramer_.28seit_2010.29|'''Gerhard Kramer''']],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|'''Günter Söder''']]  $($Inhalt$)$, [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29| '''Tásnad Kernetzky''']]  $($Web–Administrator$)$

*Ausgangsmaterialien:   Vorlesungsmanuskripte von LNT/LÜT:  '''[Eich03]'''<ref name='Eich03'>Eichin, K.:  Nachrichtentechnik I (LB) – Signaldarstellung . Vorlesungsmanuskript. Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München, 2003. </ref>;  '''[Han15]'''<ref name='Han15'>Hanik, N.:  Nachrichtentechnik 1 (LB): Signaldarstellung.  Vorlesungsmanuskript. Professur Leitungsgebundene Übertragungstechnik, TU München, 2015.</ref>;  '''[Söd12]'''<ref name='Söd12'>Söder, G.:  Simulationsmethoden in der Nachrichtentechnik . Anleitung zum gleichnamigen Praktikum. Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München, 2012.</ref>   –   Lehrbücher:   '''[Söd93]'''<ref name='Söd93'>Söder, G.:  Modellierung, Simulation und Optimierung von Nachrichtensystemen. Bd. 23. Berlin, Heidelberg: Springer, 1993. ISBN 978-3-54057-215-2</ref>;   '''[Mar94]'''<ref name='Mar94'>Marko, H.:  Methoden der Systemtheorie.  3. Auflage. Berlin – Heidelberg: Springer, 1994.</ref>;  '''[HM09]'''<ref name='HM09'>Haykin, S.; Moher, M.: Communication Systems. 5. Aufl. Hoboken, N.J.: J. Wiley, 2009. ISBN 978-0-47169-790-9.</ref>

* Autoren:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|'''Günter Söder''']],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Klaus_Eichin_.28am_LNT_von_1972-2011.29|'''Klaus Eichin''']]  und  [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Prof._Dr.-Ing._Norbert_Hanik_.28am_LNT_von_1989-1995.2C_bei_L.C3.9CT_seit_2004.29|'''Norbert Hanik''']]

* Weitere beteiligte Kollegen:   [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_Übertragungstechnik#Dr.-Ing._Bernhard_G.C3.B6bel_.28bei_L.C3.9CT_von_2004-2010.29|'''Bernhard Göbel''']]  und  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Johannes_Zangl_.28am_LNT_von_2000-2006.29|'''Johannes Zangl''']]

* Beteiligte Studierende:     [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Martin_Winkler_.28Diplomarbeit_LB_2001.2C_danach_freie_Mitarbeit_bis_2003.29|Martin Winkler]] '''(2001)''',  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Yven_Winter_.28Diplomarbeit_LB_2004.2C_danach_freie_Mitarbeit_bis_2016.29|Yven Winter]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]] , [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Franz_Kohl_.28Diplomarbeit_LB_2004.2C_danach_freie_Mitarbeit_bis_2006.29|Franz Kohl]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Bettina_Hirner_.28Diplomarbeit_LB_2005.29|Bettina Hirner]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Thorsten_Kalweit_.28Diplomarbeit_LB_2006_und_freie_Mitarbeit_2007.29|Thorsten Kalweit]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Markus_Elsberger_.28Diplomarbeit_LB_2006.29|Markus Elsberger]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Slim_Lamine_.28Studienarbeit_EI_2006.29|Slim Lamine]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Thorsten_B.C3.BCrgstein_.28Diplomarbeit_LB_2007.29|Thorsten Bürgstein]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Thomas_Gro.C3.9Fer_.28Diplomarbeit_LB_2006.2C_danach_freie_Mitarbeit_bis_2010.29|Thomas Großer]], [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Thomas_Pfeuffer_.28Diplomarbeit_LB_2005.29|Thomas Pfeuffer]],  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Sebastian_Seitz_.28Diplomarbeit_LB_2009.29|Sebastian Seitz]],  Jimmy He,  David Jobst,  Xiaohan Liu,  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]] '''(2021)'''

====Quellenverzeichnis====

Biografien und Bibliografien/An LNTwww beteiligte Studierende

2025-02-24T09:43:11Z

{{Header
|Untermenü= An LNTwww beteiligte Studierende|
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Beim  »$\text{LNTwww}$«-Projekt  waren viele Studierende der Technischen Universität München im Rahmen von Abschlussarbeiten 
*für den Fachbereich von  »Elektrotechnik und Informationstechnik«  $\text{(EI)}$  bzw.

*für das »Lehramt an Beruflichen Schulen  $\text{(LB)}$ 

beteiligt. Im Folgenden stehen die Abkürzungen für  »Diplomarbeit« $\text{(DA)}$, »Masterarbeit« $\text{(MA)}$, »Bachelorarbeit« $\text{(BA)}$, »Studienarbeit« $\text{(SA)}$, »Ingenieurspraxis« $\text{(IP)}$.

$\text{(1)  Planung des Gesamtkonzepts und rechnertechnische Implementierung:}$

          =>   Realisierung des Autorensystems »LNTwww«,  basierend auf dem http-Server  »Apache«,  der Datenbank  »MySQL«  und der Scriptsprache  »Perl«. 

*Martin Winkler $($DA-LB, 2001, freie Mitarbeit bis 2003$)$,  Yven Winter   $($DA-LB, 2004, Systemadministrator bis 2016$)$

$\text{(2)  Mitarbeit bei der LNTwww-Version 2 zwischen 2002 und 2016:}$

          =>   Didaktische Überarbeitung einzelner Kapitel, Eingabe in die Datenbank, Grafikerstellung, Realisierung von Applets und Lernvideos mit SWF

*Reinhold Sixt $($DA-LB, 2002$)$,  Jürgen Veitenhansl $($DA-EI, 2002$)$,  Roland Kiefl $($DA-LB, 2003$)$,  Ji Li $($BA-EI, 2003, DA-EI, 2005$)$, 
*Franz Kohl $($DA-LB, 2004, freie Mitarbeit bis 2006$)$,  Bettina Hirner $($DA-LB, 2005$)$, Thomas Pfeuffer $($DA-LB, 2005$)$,  Hedi Abbes $($SA-EI, 2006$)$,
* Markus Elsberger $($DA-LB, 2006$)$,  Thomas Großer $($DA-LB, 2006, freie Mitarbeit bis 2010$)$,  Thorsten Kalweit $($DA-LB, 2006, freie Mitarbeit bis 2007$)$, 
*Slim Lamine $($SA-EI, 2006$)$,  Thorsten Bürgstein $($DA-LB, 2007$)$,  Franz-Josef Kaupert $($DA-EI, 2007$)$,  Cem Gencyilmaz $($SA-EI, 2008$)$,
* Hichem Kallel $($SA-EI, 2008$)$,  Johannes Schmidt $($BA-EI, 2008$)$,  Khaled Soussi $($SA-EI, 2008$)$,  Alexander Happach $($DA-EI, 2009$)$,  Sebastian Seitz $($DA-LB, 2009$)$, 
*Nejib Kchouk $($SA-LB, 2010$)$,  Stefan Müller $($DA-LB, 2010$)$,  Martin Völkl $($DA-LB, 2010$)$,  Felix Kristl $($BA-EI, 2011$)$,   Eugen Mehlmann $($BA-EI, 2011$)$,
* Alexander Laible $($BA-EI, 2012$)$,  Dominik Kopp $($BA-LB, 2013$)$,  Matthias Riedel $($BA-LB, 2014$)$

$\text{(3) Konvertierung zur LNTwww-Version 3 zwischen 2016 und 2020:}$

          =>   Portierung aller Texte in das MediaWiki-Format, Neuprogrammierung aller SWF-Applets mit »HTML5/JavaScript«

* David Ginthör $($BA-EI, 2016$)$,  David Jobst $($IP-Math, 2017$)$,  Bastian Siebenwirth $($BA-LB, 2017$)$,  Jimmy He $($BA-EI, 2017$)$,  Xiaohan Liu $($BA-EI, 2018$)$, 
*Matthias Niller $($IP-Math, 2019$)$,  Carolin Mirschina $($IP-Math, 2019, freie Mitarbeit bis 2020$)$,  Veronika Hofmann $($IP-Math, 2020$)$,  André Schulz $($BA-LB, 2020$)$

        $\text{! Wir bedanken uns bei allen Beteiligten für das Engagement !}$

==Martin Winkler (Diplomarbeit LB 2001, danach freie Mitarbeit bis 2003)==
[[Datei:P_ID206_winkler_martin_165x216px.png|165px|right|Martin Winkler]]

Martin Winkler wurde am 28. Februar 1973 in Altötting geboren. Nach dem Besuch der Realschule und einer Ausbildung zum Energieelektroniker studierte er ab Oktober 1997 an der Technischen Universität München im Studiengang ''Lehramt an beruflichen Schulen'' (LB) die Fächerkombination Elektrotechnik, Physik und Informatik. 2002 beendete er das Studium mit dem ersten Staatsexamen, und er erwarb 2003 die zusätzliche Zertifikation ''Diplom-Berufspädagoge''.

Im Rahmen seiner Diplomarbeit 2001 konzipierte und implementierte er das Autorensystem LNTwww. Danach war er als Wissenschaftliche Hilfskraft am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik noch bis 2003 in diesem Projekt tätig. Martin Winkler hat LNTwww gemeinsam mit den Initiatoren [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|Günter Söder]] und [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Klaus_Eichin_.28am_LNT_von_1972-2011.29|Klaus Eichin]] geplant und in verschiedenen Iterationsschritten rechnertechnisch implementiert.

Martin Winkler beschäftigt sich bei der ars navigandi GmbH auch weiterhin mit der Konzeption und Umsetzung von E-Learning-Projekten.
 
==Reinhold Sixt (Diplomarbeit LB 2002)==
[[Datei:P_ID260_sixt_reinhold_165x216px.png|165px|right|Reinhold Sixt]]

Reinhold Sixt wurde 1970 in Lanquaid geboren. Er machte von 1987 bis 1991 eine Ausbildung zum Kommunikationselektroniker bei der Deutschen Telekom AG und arbeitete danach auf diesem Gebiet. Von 1996 an studierte er an der TU München die Fächerkombination Elektrotechnik und Sozialkunde für das ''Lehramt an beruflichen Schulen'' und schloss dieses mit dem ersten Staatsexamen im Herbst 2003 ab. Von 2004 bis 2006 absolvierte er sein Referendariat und ist nun an der Städtischen Berufsschule für Informationstechnik in München fest angestellt.

Im Zuge seiner Diplomarbeit 2002 erstellte er die beiden ersten Kapitel des Buches [[Signaldarstellung]] und Teile von [[Biografien und Bibliografien]].
 
==Jürgen Veitenhansl (Diplomarbeit EI 2002)==
[[Datei:P_ID461_veitenhansl_juergen_165x216px.png|165px|right|Jürgen Veitenhansl]]

Jürgen Veitenhansl wurde am 27. Mai 1975 in Oberviechtach in der Oberpfalz geboren. Nach Abitur und Wehrdienstzeit studierte er von 1996 bis Sommer 2002 an der Technischen Universität München das Fachgebiet Elektrotechnik mit dem Schwerpunkt Informationstechnik und schloss dieses 2002 mit dem akademischen Grad ''Diplom-Ingenieur'' erfolgreich ab.

Im Rahmen seiner Diplomarbeit 2001/2002 beschäftigte er sich mit der Analyse des vorliegenden datenbankgestützten Lerntutorials LNTwww, unter anderem hinsichtlich didaktischer und nachrichtentechnischer Belange. In diesem Zusammenhang erstellte er die ersten drei Kapitel des Buches [[Stochastische Signaltheorie]].

Nach erster Berufserfahrung absolvierte Herr Veitenhansl ab 2004 das Kooperationsprogramm ''International Management Program'' zwischen der Universität der Bundeswehr in München und der George Washington University in Washington D.C. Im Anschluss daran erwarb er berufsbegleitend ein Diploma in Management von der University of London – The London School of Economics and Political Science. Ferner erhielt er von der University of London den akademischen Grad ''Master of Science'' in der Fachrichtung International Management verliehen.
 
==Roland Kiefl (Diplomarbeit LB 2003)==
[[Datei:P_ID586_R_Kiefl.gif|165px|right|Roland Kiefl]]

Roland Kiefl wurde 1971 in Straubing geboren. Nach Realschule, einer Lehrzeit als Energieelektroniker und der Tätigkeit als Akkordarbeiter besuchte er die Fachoberschule und erlangte 1995 die Hochschulreife. Von 1997 an studierte er an der TU München die Fächerkombination Elektrotechnik und Physik für das ''Lehramt an beruflichen Schulen'' und schloss dieses mit dem ersten Staatsexamen 2004 ab. Gleichzeitig machte er eine Zusatzausbildung zum Diplom-Berufspädagogen. Im September 2004 hat er sein Referendariat begonnen und dieses im Sommer 2006 abgeschlossen. Seit Herbst 2006 ist Roland Kiefl an der Fachoberschule und Berufsoberschule in seiner Geburtsstadt Straubing fest angestellt.

In seiner Diplomarbeit 2003 erarbeitete er die wesentlichen Grundlagen zur Erstellung von Lernvideos und Interaktionsmodule für LNTwww, basierend auf FlashMX und Actionscript. Seine umfangreiche Diplomarbeit ist allen Autoren eine enorme Hilfe. Konkret hat er zwei Lernvideos realisiert, nämlich ''Gaußsche Zufallsgrößen ohne (bzw. mit) statistische Bindungen''.
 
==Ji Li (Bachelorarbeit EI 2003, Diplomarbeit EI 2005)==
[[Datei:P_ID606_JiLi1.jpg|165px|right|Ji Li]]

Ji Li wurde am 05.01.1976 in He Bei in der Volksrepublik China geboren. Sie studierte nach dem Besuch des Gymnasiums in Bao Ji von 1994 bis 1998 Automatisierungstechnik am Northwest Institute of Light Industry. Nach einer zweijährigen Industrietätigkeit hat sie 2001 mit dem Studium der Elektrotechnik und Informationstechnik an der Technischen Universität München begonnen und dieses im Sommer 2005 mit dem Abschluss ''Dipl.-Ing.'' beendet. Derzeit arbeitet Ji Li als Consultant bei der Siemens AG in München.

Im Rahmen ihrer Bachelorarbeit 2003 und ihrer Diplomarbeit 2005 erstellte Ji Li mehr als 10 Interaktionsmodule unter FlashMX-Actionscript für die Bücher [[Signaldarstellung]] und [[Stochastische Signaltheorie]]. Zudem war sie auch bei der Realisierung verschiedener Lernvideos beteiligt.
 
==Franz Kohl (Diplomarbeit LB 2004, danach freie Mitarbeit bis 2006)==
[[Datei:P_ID610_Kohl.png|165px|right|Franz Kohl]]

Franz Kohl wurde am 29. März 1979 in Cham geboren. Nach dem Abschluss des Gymnasiums mit dem Abitur 1998 studierte er ab 1999 die Fächer Elektrotechnik (an der TUM) und Deutsch (an der LMU) für den Studiengang ''Lehramt an beruflichen Schulen'' (LB). Nach Abschluss seines Studiums im Herbst 2005 absolvierte sein Referendariat. Seit dem Schuljahr 2008/09 ist er an der Berufsschule Cham fest angestellt.

Im Rahmen seiner Diplomarbeit 2004 erstellte er das Kapitel [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation|Aperiodische Signale]] des Buches [[Signaldarstellung]] sowie das Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Stochastische_Systemtheorie#Problemstellung|Filterung stochastischer Signale]] von [[Stochastische Signaltheorie]]. Er realisierte zu dieser Zeit und danach als Werkstudent bis 2006 eine Vielzahl von Lernvideos für beide Bücher und kümmerte sich engagiert um das äußere Erscheinungsbild von ''LNTwww''.
 
==Yven Winter (Diplomarbeit LB 2004, danach freie Mitarbeit bis 2016)==
[[Datei:Yven_Winter.jpg|165px|right|Yven Winter]]

Yven Winter wurde am 13. Dezember 1976 in München geboren. Nach dem Besuch der Realschule Ansbach und anschließender Ausbildung zum Industrieelektroniker bei der Firma Bosch GmbH in Ansbach/Brodswinden besuchte er von 1996 bis 1998 die Berufsoberschule, die er im Mai 1998 mit dem Abitur abschloss. Ab November 1999 studierte er im Studiengang ''Lehramt an beruflichen Schulen'' (LB) an der Technischen Universität München die Fächerkombination Elektrotechnik und Mathematik. Er hat sein Studium im Frühjahr 2005 mit dem Staatsexamen abgeschlossen. Von 2005 bis 2007 absolvierte er sein Referendariat an der Staatlichen Berufsschule Pfarrkirchen und an der Europa-Berufsschule in Weiden/Oberpfalz. Seit dem Schuljahr 2007/08 ist er an dieser Schule als verbeamteter Lehrer tätig.

Im Rahmen seiner Diplomarbeit 2003/04 entwickelte er das Autorensystem LNTwww mit großer Kreativität weiter. Die vielen von ihm eingebrachten und implementierten Neuerungen erleichtern nicht nur die Arbeiten der Autoren im internen Bereich enorm, sondern haben auch zu wesentlichen und systemrelevanten Verbesserungen im Leserbereich geführt.

Auch nach seinem Studium hat sich Yven Winterr großem Engagement der Weiterentwicklung und Wartung von LNTwww gewidmet, wofür wir uns herzlich bedanken. Ohne seine Detailkenntnisse über das Innere unseres selbstentwickelten Autorensystems wären wir oftmals verloren. Im Sommer 2007 hat Yven Winter als freier Mitarbeiter des LNT die Version 2.0 von LNTwww entwickelt und bis 2016 neben seinem Lehrerberuf vorbildlich gewartet und gepflegt.
 
==Bettina Hirner (Diplomarbeit LB 2005)==
[[Datei:P_ID928_Foto_Bettina_165px.jpg|165px|right||Bettina Hirner]]

Bettina Hirner wurde am 14. Januar 1979 im oberfränkischen Forchheim geboren. Nach dem Abschluss des Gymnasiums mit dem Abitur 1998 machte sie eine Ausbildung zur Fachinformatikerin bei einer Tochterfirma von Gruner & Jahr, die sie im Januar 2001 abschloss. Danach arbeitete sie als Softwareentwicklerin bis Ende September 2001.

Von Oktober 2001 bis zum Sommer 2006 studierte Frau Knoll, wie sie nach ihrer Verehelichung heißt, die Fächer Elektrotechnik und Informatik an der TUM für den Studiengang Lehramt an beruflichen Schulen (LB). Nach dem Zweiten Staatsexamen ist sie seit dem Schuljahr 2008/09 fest angestellt an der Berufsschule Erlangen.

Im Rahmen ihrer Zulassungs- und Diplomarbeit im Sommer 2005 erstellte Frau Hirner alias Knoll vier Interaktionsmodule unter FlashMX-Actionscript für die Bücher [[Lineare zeitinvariante Systeme]] und [[Stochastische Signaltheorie]].
 
==Thomas Pfeuffer (Diplomarbeit LB 2005)==
[[Datei:P_ID1709__ThomasPfeufferklein.jpg|165px|right|Thomas Pfeuffer]]

Thomas Pfeuffer wurde am 04.12.1983 in Schweinfurt geboren und besuchte die dortige Wilhelm-Sattler-Realschule. 2000 erlangte er seine Mittlere Reife und begann eine Ausbildung bei der Deutschen Bahn Netz AG zum Energieelektroniker für die Anlagentechnik. Im Jahr 2003 hat er die Lehre erfolgreich abgeschlossen. Nach der Berufsausbildung besuchte er die Friedrich-Fischer-Schule Berufsoberschule in Schweinfurt und erlangte im Jahr 2005 die fachgebundene Hochschulreife. Direkt im Anschluss daran begann er an der TU München mit dem Studium der Berufspädagogik in der Fächerkombination Elektro- und Informationstechnik und Physik, das er im Sommer 2009 als „Diplom-Berufspädagoge” abgeschlossen hat. Danach hat er mit seinem Referendariat in München begonnen.

Im Rahmen seiner Diplomarbeit vom Juli 2008 bis Januar 2009 erstellte er unter Flash8-Actionscript die interaktive Multimedia-Anwendungen &bdquo;Kausale Systeme – Laplacetransformation” zur Beschreibung realer Systeme, die in das Buch [[Lineare zeitinvariante Systeme]] eingebunden ist.
 
==Hedi Abbes (Studienarbeit EI 2006)==
[[Datei:Abbes.jpg|165px|right|Hedi Abbes]]

Hedi Abbes wurde am 10. Juli 1982 in Tunis (Tunesien) geboren. Nach dem Abschluss des Gymnasiums mit dem Abitur 2001 studierte er ab Herbst 2002 das Fach Elektrotechnik und Informationstechnik an der TU München. Er hat sein Studium im Frühsommer 2008 mit dem Grad „Dipl.-Ing.” erfolgreich abgeschlossen.

Im Rahmen seiner Studienarbeit von November 2006 bis April 2007 erstellte er das Kapitel [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_GSM| GSM – Global System for Mobile Communications ]] für das Buch &bdquo;Beispiele von Nachrichtensystemen”.
 
==Markus Elsberger (Diplomarbeit LB 2006)==
[[Datei:P_ID1149_passfoto_markus.jpg|165px|right|Markus Elsberger]]

Markus Elsberger wurde 1981 in Landau an der Isar/Niederbayern geboren. Nach einer beruflichen Ausbildung zum Elektroinstallateur absolvierte er in Deggendorf die Berufsoberschule, und schloss diese mit dem Abitur im Jahr 2002 ab. Im selben Jahr begann er an der TU München mit dem Studium für das Lehramt an Beruflichen Schulen in der Fächerkombination Elektrotechnik und Physik. Dieses hat er im Frühjahr 2007 mit dem „Ersten Staatsexamen” abgeschlossen. Nach seinem Referendariat und dem Zweiten Staatsexamen arbeitet er seit Herbst 2009 als Berufschullehrer.

Im Rahmen seiner Diplomarbeit vom März bis September 2006 erstellte er drei interaktive Berechnungsmodule für LNTwww unter FlashMX–Actionscript zur Verdeutlichung von grafischer Faltung, Matched-Filter und Besselfunktion.
 
==Thomas Großer (Diplomarbeit LB 2006, danach freie Mitarbeit bis 2010)==
[[Datei:P_ID1149_grosser_klein.jpg|165px|right|Thomas Großer]]

Thomas Großer wurde am 16.02.1979 in München geboren und besuchte das dortige Maria-Theresia-Gymnasium. 1999 erlangte er die Allgemeine Hochschulreife und leistete danach seinen Zivildienst in einer Behindertenwerkstätte ab.
Nach einer Berufsausbildung zum Fachinformatiker (Spezialisierung: Systemintegration) bei der Fa. Bosch Sicherheitssysteme begann er 2004 an der TU München mit dem Studium für das Lehramt an Beruflichen Schulen in der Fächerkombination Elektrotechnik und IT–Technik. Dieses hat er 2009 als „Diplom–Berufspädagoge” abgeschlossen.

Im Rahmen seiner Zulassungs- und Diplomarbeit von Mai bis November 2007 erstellte er einige interaktive Berechnungsmodule unter FlashMX–Action-script. Danach war Thomas Großer noch bis 2010 als Werkstudent und freier Mitarbeiter für LNTwww sehr aktiv und hat in dieser Zeit noch zehn schöne Lernmodule realisiert, unter Anderem ''Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen'', ''Augendiagramm und Augenöffnung'' sowie ''Diskrete Fouriertransformation''.
 
==Thorsten Kalweit (Diplomarbeit LB 2006 und freie Mitarbeit 2007)==
[[Datei:P_ID1091_kalweit.JPG|165px|right|Thorsten Kalweit]]

Thorsten Kalweit wurde 1980 in Kempten/Allgäu geboren. Nach seinem Abitur im Jahre 2000 leistete er seine Wehrpflicht ab und absolvierte diverse Berufspraktika in Industrie und Handwerk. Ein Jahr später begann er mit seinem Studium für das ''Lehramt an Beruflichen Schulen'' in der Fächerkombination Elektrotechnik an der TUM und Englisch an der LMU. Dieses hat er im 2006 mit dem 1. Staatsexamen abgeschlossen. Nach dem 2. Staatsexamen 2009 ist er seit dem Schuljahr 2009/2010 Berufschullehrer in Kempten.

Im Zuge seiner Diplomarbeit im Wintersemester 2005/2006 und in freier Mitarbeit 2007 erstellte er insgesamt vier Lernvideos zur Amplituden- und Winkelmodulation sowie mit ''Einfluss einer Bandbegrenzung bei Sprache und Musik'' und ''Qualität von Sprach-Codecs'' zwei besnders umfangreiche Interaktionsmodule. Diese sind in die Bücher [[Modulationsverfahren]] und [[Signaldarstellung]] eingebunden. Weiterhin war er auch bei mehreren Projekten beteiligt, die eine Soundbearbeitung erforderten.
 
==Slim Lamine (Studienarbeit EI 2006)==
[[Datei:P ID1148 lamine klein.jpg|165px|right|Ji Li]]

Slim Lamine wurde am 12. August 1981 in Tunis (Tunesien) geboren. Nach dem Abschluss des Gymnasiums mit dem Abitur 2000 studierte er ab Herbst 2001 das Fach Elektrotechnik und Informationstechnik an der TU München. 2008 hat er sein Studium als „Dipl.–Ing.” abgeschlossen. Er lebt und arbeitet weiterhin in München.

Im Rahmen seiner Studienarbeit von März bis September 2006 erstellte er drei interaktive Berechnungsmodule unter FlashMX-Actionscript für die Bücher [[Signaldarstellung]] und [[Modulationsverfahren]].
 
==Thorsten Bürgstein (Diplomarbeit LB 2007)==
[[Datei:Buergstein.JPG|165px|right|Thorsten Bürgstein]]

Thorsten Bürgstein wurde 1976 in Friedberg geboren und besuchte bis 1992 die dortige Hauptschule. Nach einer Ausbildung zum Energieelektroniker war er drei Jahre lang in der Elektro-Instandhaltung bei der Firma Federal Mogul in Friedberg beschäftigt. 1999 bildete er sich am Rudolf–Diesel–Technikum in Augsburg zum Elektrotechniker weiter. Ab 2001 besuchte er die Berufsoberschule Augsburg und erwarb 2003 die Hochschulreife. Im gleichen Jahr begann er an der TU München das Studium für das Lehramt an Beruflichen Schulen in der Fächerkombination Elektrotechnik/ Physik. Dieses hat er im Frühjahr 2009 mit dem Staatsexamen abgeschlossen.

Im Rahmen seiner Diplomarbeit am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik erstellte er von Mai bis November 2007 einige sehr hilfreiche interaktive Berechnungsmodule für unser Lerntutorial unter FlashMX-Actionscript. Diese sind in die Fachbücher [[Signaldarstellung]] und [[Digitalsignalübertragung]] eingebunden.
 
==Franz-Josef Kaupert (Diplomarbeit EI 2007)==
[[Datei:P_ID1591__Kaupert.png|165px|right|Franz-Josef Kaupert]]

Franz-Josef Kaupert wurde am 26. August 1972 in Eichstätt geboren. Nach dem Besuch der Staatlichen Berufsoberschule Ingolstadt studierte er an der TU München im Fach Elektrotechnik und Informationstechnik. Er hat sein Studium Ende 2007 mit dem Grad „Dipl.-Ing.” abgeschlossen.

Im Rahmen seiner Diplomarbeit 2007 erstellte er in weiten Teilen das Kapitel [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_DSL| DSL – Digital Subscriber Line]] für das Buch &bdquo;Beispiele von Nachrichtensystemen”.
 
==Cem Gencyilmaz (Studienarbeit EI 2008)==
[[Datei:P_ID1585__cem.png|165px|right|Cem Gencyilmaz]]

Cem Gencyilmaz wurde 1983 in Istanbul geboren und besuchte dort nach der Grundschule ein deutschsprachiges Gymnasium. Nach dem Abitur begann er im Herbst 2001 mit dem Studium der Elektrotechnik an der RWTH Aachen. Ein Jahr später wechselte er im gleichen Studienfach an die TU München. Er hat sein Studium 2009 mit dem Grad „Dipl.-Ing.” abgeschlossen.

Im Rahmen seiner Studienarbeit vom Oktober 2007 bis März 2008 erstellte er für das Lehrbuch [[Digitalsignalübertragung]] mit Flash-Actionscript das interaktive Demonstrationsmodul &bdquo;Viterbi-Empfänger”.
 
==Hichem Kallel (Studienarbeit EI 2008)==
[[Datei:P_ID1564__kallel.png|165px|right||Hichem Kallel]]

Hichem Kallel wurde am 22. April 1982 in Ariana (Tunesien) geboren. Nach dem Abschluss des Gymnasiums mit dem Abitur 2000 studierte er zunächst Informatik an der TU München und seit Herbst 2003 das Fach Informationstechnik (IT). Er hat sein Studium Mitte 2010 als „Dipl.-Ing.” abgeschlossen.

Im Rahmen seiner Studienarbeit von Oktober 2007 bis März 2008 erstellte er das Kapitel [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_ISDN|ISDN – Integrated Services Digital Network]] für das Buch &bdquo;Beispiele von Nachrichtensystemen”.
 
==Johannes Schmidt (Bachelorarbeit EI 2008)==
[[Datei:Schmidt.png|165px|right|Johannes Schmidt]]

Johannes Schmidt wurde 1983 in Landshut geboren. Nach dem Abschluss des Gymnasiums mit dem Abitur 2002 studierte er ab Oktober 2003 im Studienfach Informationstechnik (IT) an der TU München. Er hat sein Studium im Frühjahr 2009 mit dem Titel „Dipl.-Ing.” abgeschlossen.

Im Rahmen seiner Bachelorarbeit im Frühjahr/Sommer 2008 war er maßgeblich an der Erweiterung des Buches [[Modulationsverfahren]] um die Kapitel zur Beschreibung von [[Modulationsverfahren/Allgemeine_Beschreibung_von_OFDM#Das_Prinzip_von_OFDM_.E2.80.93_Systembetrachtung_im_Zeitbereich_.281.29|Orthogonal Frequency Division Multiplex (OFDM)]] beteiligt und realisierte die interaktive FlashMX-Animation
&bdquo;OFDM–Spektrum und –Signale”.
 
==Khaled Soussi (Studienararbeit EI 2008)==
[[Datei:P_ID1386__Khaled_SOUSSI.JPG|165px|right|Khaled Soussi]]

Khaled Soussi wurde am 11. Juni 1982 in Ariana (Tunesien) geboren. Nach dem Abschluss des Gymnasiums mit dem Abitur 2001 studierte er ab Herbst 2002 das Fach Informationstechnik (IT) an der TU München. Er hat sein Studium Anfang 2009 mit dem Grad „Dipl.-Ing.” abgeschlossen.

Im Rahmen seiner Studienarbeit von September 2007 bis März 2008 erstellte er das Kapitel [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_UMTS|UMTS – Universal Mobile Telecommunications System (UMTS)]] für das Buch [[Beispiele von Nachrichtensystemen]].
 
==Alexander Happach (Diplomarbeit EI 2009)==
[[Datei:happach_klein.jpg|165px|right|Alexander Happach]]

Alexander Happach wurde am 10. Oktober 1980 in Schongau geboren. Nachdem er 1997 an der Staatlichen Realschule Landshut mit der Mittleren Reife abschloss, begann er eine Ausbildung zum IT–Systemelektroniker. Danach arbeitete er noch zwei Jahre als Geselle, ehe er auf die Berufsoberschule in Landshut wechselte. Mit der fachgebundenen Hochschulreife schloss er nach zwei Jahren (2004) die BOS ab und nahm das Studium der ''Elektro– und Informationstechnik'' sowie ''Mathematik'' an der TU München auf.. Dieses hat er im Frühjahr 2010 abgeschlossen.

Im Rahmen seiner Zulassungs- und Diplomarbeit 2009 erstellte er die beiden Animationen &bdquo;Zur Verdeutlichung des Dopplereffekts” (Frequenzverschiebung durch Relativbewegung) und &bdquo;Frequenzselektivität” (Einfluss von Mehrwegeausbreitung) für unser Lerntutorial unter FlashMX-Actionscript. Diese sind in die Bücher [[Mobile Kommunikation]] und [[Beispiele von Nachrichtensystemen]] eingebunden.
 
==Sebastian Seitz (Diplomarbeit LB 2009)==
[[Datei:P_ID1705__seitz200px.jpg|165px|right|Sebastian Seitz]]

Sebastian Seitz wurde am 21.05.1982 in Aschaffenburg geboren. Er schloss die Staatliche Realschule in Obernburg am Main 1998 mit der mittleren Reife ab und begann direkt danach eine Ausbildung zum Kommunikationselektroniker in der Fachrichtung Informationstechnik bei der Fa. M+S Elektronik in Niedernberg. Nach erfolgreichem Abschluss der Ausbildung sammelte er noch 6 Monate Berufserfahrung, um dann innerhalb von zwei Jahren auf dem zweiten Bildungsweg die allgemeine fachgebundene Hochschulreife an der Berufsoberschule Obernburg und Aschaffenburg zu erlangen. Im Oktober 2004 begann er an der TU München mit dem Studium für das „Lehramt an Beruflichen Schulen” mit der Fächerkombination Elektrotechnik und IT-Technik. Dieses hat er im Herbst 2009 als „Diplom-Berufspädagoge” abgeschlossen und im Anschluss daran mit dem Referendariat begonnen.

Im Rahmen seiner Zulassungs- und Diplomarbeit vom November 2008 bis Juli 2009 erstellte er funter FlashMX-Actionscript mehrere interaktive Berechnungsmodule, nämlich &bdquo;Dämpfung von Kupferkabeln”, &bdquo;Zeitverhalten von Kupferkabeln” und &bdquo;Lineare Nyquistentzerrung” . Diese sind in die Fachbücher [[Lineare zeitinvariante Systeme]] und [[Digitalsignalübertragung]] eingebunden.
 
==Néjib Kchouk (Studienarbeit EI 2010)==
[[Datei:NejibKchouk.png|165px|right|Néjib Kchouk]]

Néjib Kchouk wurde am 31. Juli 1983 in Colmar (Frankreich) geboren. Nach dem Abschluss des Gymnasiums mit dem Abitur 2001 in Tunesien studierte er ab Herbst 2002 an der TU München das Fach Elektrotechnik und Informationstechnik. Ab März 2007 machte er ein dreimonatiges Praktikum bei einer IT–Sicherheit Firma in Paris und arbeitete dann zwei Monate als selbständiger Berater in Tunesien. Danach absolvierte er ein achtmonatiges Praktikum als Technical Account Manager bei Microsoft absolviertnach in Paris geflogen. Ende 2010 hat er sein Studium mit dem Grad „Dipl.–Ing.” abgeschlossen.

Im Rahmen seiner 2010 beendeten Studienarbeit überarbeitete und vervollständigte er das von Franz-Josef Kaupert begonnene Kapitel [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_DSL| DSL – Digital Subscriber Line]] für das Buch &bdquo;Beispiele von Nachrichtensystemen”.
 
==Stefan Müller (Diplomarbeit LB 2010)==
[[Datei:P_ID2077__mueller.png|165px|right|Stefan Müller]]

Stefan Müller wurde am 21.02.1982 in München geboren. Im Jahr 1999 erwarb er an der Staatlichen Knabenrealschule Immenstadt die Mittlere Reife und begann eine Ausbildung zum Energieelektroniker mit der Fachrichtung Anlagentechnik bei den Edelweiß Käsewerken in Kempten (Allgäu), die er 2003 erfolgreich abschloss. Nach der Berufsausbildung besuchte er die Staatliche Berufsoberschule in Kempten und erlangte 2005 die fachgebundene Hochschulreife. Direkt im Anschluss begann er an der TU München mit dem Studium der Diplom–Berufspädagogik in der Fächerkombination Elektro– und Informationstechnik und Physik, das er im Sommer 2010 abgeschlossen hat. Danach begann er sein Referendariat in Cham.

Im Rahmen seiner Diplomarbeit vom Mai bis August 2010 erstellte er mit &bdquo;Prinzip der 4B3T–Codierung” und &bdquo;Signale, AKF und LDS der Pseudoternärcodes” zwei Flash-Animationen zur Verdeutlichung der symbol– und blockweisen ternären Leitungscodierung, die in das Fachbuch [[Digitalsignalübertragung]] eingebunden sind.
 
==Martin Völkl (Diplomarbeit LB 2010)==
[[Datei:P_ID1928_voelkl-foto.jpg|165px|right|Martin Völkl]]

Martin Völkl wurde am 11. Januar 1984 in Mainburg geboren. Im Jahr 2000 schloss er die Staatliche Realschule Rottenburg mit der Mittleren Reife ab und begann anschließend seine Ausbildung zum Fachinformatiker (Systemintegration) bei der Firma Wolf GmbH in Mainburg. Nach seiner Ausbildung arbeitete er noch ein Jahr als Geselle, bevor er 2004 auf die Berufsoberschule in Landshut wechselte.
Nach zwei Jahren (2006) schloss er die Berufsoberschule mit der Fachgebundenen Hochschulreife ab und begann an der TU München sein Studium „Diplom-Berufspädagogik” mit den Fachrichtungen „Elektro- und Informationstechnik” und „Mathematik”, das er im Frühjahr 2011 abgeschlossen hat.

Im Rahmen seiner Diplomarbeit 2009/2010 entwickelte er Flash–Animationen zur Verdeutlichung der ''Signalraumdarstellung durch Basisvektoren'' und des ''optimalen Empfängers'' für das Buch [[Digitalsignalübertragung]].
 
==Felix Kristl (Bachelorarbeit EI 2011)==
[[Datei:P_ID2302_Kristl_klein.png|165px|right|Felix Kristl]]

Felix Kristl wurde am 31. März 1988 in Starnberg geboren. Nach dem Erlangen der Hochschulreife 2007 und 9 Monaten Zivildienst in einem Kinderheim begann er zum Wintersemester 08/09 das Studium der Elektro- und Information technik an der TU München, das er im Sommer 2014 als ''Master of Science'' (M.Sc.) abschloss.

Im Rahmen seiner Bachelorarbeit erstellte er von Mai bis September 2011 das Kapitel '''LTE - Long Term Evolution''' des Buches &bdquo;Mobile Kommunikation”.
 
==Eugen Mehlmann (Bachelorarbeit EI 2011)==
[[Datei:P_ID2077__Mehlmann.jpg|165px|right|Eugen Mehlmann]]

Eugen Mehlmann wurde am 16.07.1984 in Sukleja (Moldawien) geboren. Nach dem Besuch der Staatlichen Realschule Riedenburg und ab 2002 der Fachoberschule Regensburg leistete er bis Juli 2005 seinen Wehrdienst ab. Im Anschluss studierte er an der Fachhochschule Regensburg Elektro– und Informationstechnik und wechselte nach drei Semestern in den gleichen Studiengang an der TU München. Im Sommer 2012 hat er dieses Studium der Elektro– und Informationstechnik mit dem Grad „Dipl.–Ing.” abgeschlossen. Daneben studierte er seit Oktober 2011 ebenfalls an der TU München auch Mathematik mit Nebenfach Wirtschaftswissenschaften.

Im Rahmen seiner Bachelorarbeit von April bis September 2011 erstellte Eugen Mehlmann zur Verdeutlichung der Quellencodierung die Flash-Animationen &bdquo;Entropien von Nachrichtenquellen” und &bdquo;Huffman- und Shannon-Fano-Code” , die in das Fachbuch [[Informationstheorie]] eingebunden sind.
 
==Dominik Kopp (Bachelorarbeit LB 2013)==
[[Datei:P_ID2587__Kopp_klein.png|165px|right|Dominik Kopp]]

Dominik Kopp wurde am 23. April 1980 in Wasserburg am Inn geboren. Im Jahre 1996 schloss er an der Herzog–Tassilo–Realschule in Erding mit der Mittleren Reife ab und begann anschließend seine Ausbildung zum Technischen Assistenten für Informatik. Zehn Jahre später besuchte er die Berufsoberschule in München und erwarb 2010 die fachgebundene Hochschulreife. Im selben Jahr begann an der Technischen Universität München sein Studium für das ''Lehramt an Beruflichen Schulen'' in der Fächerkombination Elektrotechnik/IT–Technik, das er 2015 abschloss.

Im Rahmen seiner Bachelorarbeit im Sommer 2013 entwickelte er am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik das Lernvideo &bdquo;Eigenschaften von Galoisfeldern” für dass Kapitel &bdquo;Reed-Solomon-Codes” und deren Decodierung]] im Buch [[Kanalcodierung]].
 
==David Jobst (Ingenieurspraxis Math 2017)==
[[Datei:JobstDavid.jpg|165px|right||David Jobst]]

David Jobst wurde am 01. Mai 1994 in Traunstein geboren. Er schloss die Reiffenstuel-Realschule in Traunstein 2011 mit der mittleren Reife ab und besuchte danach das Chiemgau-Gymnasium in Traunstein, an der er 2014 die allgemeine Hochschulreife erlangte. Im Anschluss begann er sein Studium für das Lehramt an Gymnasien in der Fächerkombination ''Mathematik'' und ''Sport'' an der TU München. Seit 2015 studierte er zusätzlich ''Mathematik'' mit dem Nebenfach ''Elektrotechnik und Informationstechnik'' an der TU München. Den ''Bachelor of Education'' schloss er im Jahre 2017 ab.

Im Rahmen der Ingenieurpraxis von August bis Oktober 2017 erstellte er die Applets &bdquo;Periodendauer periodischer Signale”, &bdquo;Impulse & Spektren”, &bdquo;Frequenzgang & Impulsantwort” und &bdquo;Dämpfung von Kupferkabeln” unter Verwendung von HTML5 und JSXGraph.
 
==Bastian Siebenwirth (Bachelorarbeit LB 2017)==
[[Datei:Bastian_Siebenwirth.jpg|165px|right|Bastian Siebenwirth]]

Bastian Siebenwirth wurde 1990 in München geboren. Nach einer beruflichen Ausbildung zum Elektroniker für Energie- und Gebäudetechnik besuchte er ab 2010 die technische Berufsoberschule in München und schloss diese im Jahr 2013 mit dem fachgebundenen Abitur erfolgreich ab. Im selben Jahr begann er sein Studium für das Lehramt an berufliche Schulen in der Fächerkombination Elektrotechnik und Sport an der TU München. Seinen Bachelor schloss er im Herbst 2017 ab und befindet sich seitdem im Masterstudiengang.

Im Rahmen seiner Bachelorarbeit von Juni bis September 2017 erstellte er ein Applet unter Verwendung von HTML5 zur Berechnung der ''Periodendauer periodischer Signale''.
 
==Xiaohan Liu (Bachelorarbeit 2018, danach Werkstudentin)==
[[Datei:xiaohan.jpg|165px|right|Bastian Siebenwirth]]

Xiaohan Liu wurde am 11.08.1994 in Shandong (China) geboren. 2015 erlangte sie am Studienkolleg München die allgemeine Hochschulreife. Danach begann sie das Studium der Elektro- und Informationstechnik an der TU München, das sie im Sommer 2018 als Bachelor of Science (B.Sc.) abschloss. Seit dem Wintersemester 2018/2019 studiert sie im Masterstudiengang EI, ebenfalls an der TUM.

Im Rahmen ihrer Bachelorarbeit erstellte sie von April bis September 2018 unter Verwendung von HTML5 und JSX–Graph die interaktiven Applets
*[[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Analytisches_Signal|Physikalisches Signal & Analytisches Signal]],
*[[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Äquivalentes_TP-Signal|Physikalisches Signal & Äquivalentes TP-Signal]],
*[[Applets:Besselfunktionen_erster_Art|Besselfunktionen erster Art]].

Seit von November 2018 erstellt sie im Rahmen einer Werkstudententätigkeit weitere Applets für das  $\rm LNTwww$.
 
==Carolin Mirschina (Ingenieurspraxis Math 2019, danach Werkstudentin)==
[[Datei:Foto_carolin_mirschina.jpg|165px|right||Carolin Mirschina]]

Carolin Mirschina wurde am 12. Juni 1997 in München geboren.  Sie schloss das Franz-Marc-Gymnasium in Markt Schwaben 2015 mit der allgemeinen Hochschulreife ab.  Im Anschluss begann sie das Bachelorstudium Mathematik mit Nebenfach Elektrotechnik an der TU München.  Nach Abschluss des Bachelorstudiums hat sie im Oktober 2019 mit dem Masterstudium beginnen.

Im Rahmen der Ingenieurpraxis von März bis Mai 2019 und anschließend als Werkstudentin erstellte Carolin folgende Applets:
* [[Applets:Zur_Erzeugung_von_Walsh-Funktionen_(neues_Applet)|Zur Erzeugung von Walsh-Funktionen]]
* [[Applets:Zur_Verdeutlichung_der_grafischen_Faltung|Zur Verdeutlichung der grafischen Faltung]]
* [[Applets:WDF_und_VTF_bei_Gaußschen_2D_Zufallsgrößen_(Applet)|WDF und VTF bei Gaußschen 2D–Zufallsgrößen]]
* [[Applets:Zweidimensionale_Laplace-Zufallsgrößen_(Applet)|Zweidimensionale Laplace-Zufallsgrößen]]
* [[Applets:Diskrete_Fouriertransformation_und_Inverse|Diskrete Fouriertransformation und Inverse]]
* [[Applets:Augendiagramm_und_ungünstigste_Fehlerwahrscheinlichkeit|Augendiagramm und ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit]]
* [[Applets:Das_Gram-Schmidt-Verfahren|Das Gram-Schmidt-Verfahren]]
 
==Matthias Niller (Ingenieurspraxis Math 2019)==
[[Datei:Niller.jpg|165px|right|Matthias Niller]]

Matthias Niller wurde am 01.01.1999 in Mühldorf am Inn geboren. Bis 2017 besuchte er das &bdquo;Ruperti-Gymnasium” in Mühldorf am Inn und schloss dieses mit der allgemeinen Hochschulreife ab. Im Anschluss begann er mit dem Studium der Mathematik, mit Nebenfach Eletrotechnik an der TU München. Nach dem Bachelorstudium wird er weiterhin an der TUM mit dem Masterstudium in Mathematik beginnen.

Im Rahmen der Ingenieurspraxis für Mathematiker programmierte er 2019 das HTML 5–Applet

*[[Applets:WDF,_VTF_und_Momente_spezieller_Verteilungen_(Applet)|WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen]].
 
==Veronika Hofmann (Ingenieurspraxis Math 2020)==
[[Datei:VeronikaHofmann.JPG|165px|right|Veronika Hofmann]]

Veronika Hofmann wurde am 11. Juni 1999 in Waiblingen geboren.  Sie ist in Nürnberg aufgewachsen und besuchte dort – mit einer kleinen Unterbrechung für ein Semester an der École Secondaire Curé Antoine Labelle in Kanada – das Sigmund-Schuckert-Gymnasium, welches sie 2017 mit der allgemeinen Hochschulreife abschloss.  Anschließend begann sie, an der TU München Mathematik mit Nebenfach Elektro- und Informationstechnik zu studieren.  Nach dem Bachelor wird sie für ihr Masterstudium in angewandter Mathematik an der TUM bleiben.

Im Rahmen der Ingenieurpraxis von März bis Mai 2020 erstellte Veronika folgende Applets:
* [[Applets:Korrelation_und_Regressionsgerade|Korrelation und Regressionsgerade]]
* [[Applets:Kapazität_von_digitalen_gedächtnislosen_Kanälen|Kapazität von digitalen gedächtnislosen Kanälen]]
 
==André Schulz (Bachelorarbeit LB 2020)==
[[Datei:Schulz.png|165px|right|André Schulz ]]

André Berthold Reinhold Schulz wurde am 16. Juli 1992 in Georgsmarienhütte geboren.  Er schloss die Erwachsenenschule Bremen im Jahr 2014 mit der allgemeinen Hochschulreife ab.  Im Jahr 2016 begann er an der Technischen Universität München mit dem Studium für das Lehramt an Beruflichen Schulen in der Fächerkombination Elektrotechnik und Informationstechnik mit dem Unterrichtsfach Sprache und Kommunikation Deutsch.

Im Rahmen seiner Bachelorarbeit im Sommer 2020 entwickelte er am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik folgende Applets:

* [[Applets:Zur_Verdeutlichung_des_Dopplereffekts|Zur Verdeutlichung des Dopplereffekts]]
* [[Applets:Zur_Verdeutlichung_digitaler_Filter|Zur Verdeutlichung digitaler Filter]]
 

{{Display}}

Bernoullisches-Gesetz der großen Zahlen

2025-02-24T09:43:11Z

Applets:Kohärentes und inkohärentes On-Off-Keying

2025-02-24T09:43:11Z

{{LntAppletLinkDeEn|on-off-keying|on-off-keying_en}}

==Programmbeschreibung==
 
Betrachtet wird die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm S}$  von On–Off–Keying bei weißem Rauschen, gekennzeichnet durch die Streuung  $\sigma_{\rm AWGN}$,  und zwar sowohl bei kohärenter Demodulation als auch bei inkohärenter Demodulation.  Dargestellt werden für beide Fälle die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen des Empfangssignals für die möglichen Sendesymbole  $s_0$  und  $s_1 \equiv 0$. 
*Im kohärenten Fall ergeben sich zwei Gaußfunktionen um  $s_0$  und  $s_1$.
*Im inkohärenten Fall gibt es eine Rayleigh–WDF für das Symbol  $s_1 = 0$  und eine Rice–WDF für  $s_0 \ne 0$,  deren Form auch vom Eingabeparameter  $C_{\rm Rice}$  abhängt.

Als Zahlenwerte ausgegeben werden die Verbundwahrscheinlichkeiten  ${\rm Pr}(\boldsymbol{r_0} \cap \boldsymbol{s_1})$   ⇒   (ausgefüllte blaue Fläche in der WDF–Grafik)  und  ${\rm Pr}(\boldsymbol{r_1} \cap \boldsymbol{s_0})$   ⇒   (rote Fläche) sowie als Endergebnis  $p_{\rm S} = {\rm Pr}(\boldsymbol{r} \ne \boldsymbol{s})= {\rm Pr}(\boldsymbol{r_0} \cap \boldsymbol{s_1}) + {\rm Pr}(\boldsymbol{r_1} \cap \boldsymbol{s_0}).$ 
*Alle diese Größen hängen auch von der Entscheiderschwelle  $G$  ab, dessen jeweils optimaler Wert ebenfalls ermittelt wird.
*Außerdem zeigt das Applet, welchen Fehler man macht, wenn man die im allgemeinen kompliziertere Rice–WDF durch die bestmögliche Gauß–WDF approximiert.

==Theoretischer Hintergrund==
 
===On–Off–Keying mit kohärenter Demodulation===

Das einfachste digitale Modulationsverfahren ist  On–Off–Keying  $\rm (OOK)$.  Dieses Verfahren wird teilweise auch als Amplitude Shift Keying  $\rm (2–ASK)$  bezeichnet und kann im äquivalenten Tiefpassbereich wie folgt charakterisiert werden:

[[Datei:P ID2054 Dig T 4 4 S3 version1.png|right|frame|Signalraumkonstellationen für On–Off–Keying|class=fit]]

$\rm OOK$  ist ein binäres und eindimensionales Modulationsverfahren, zum Beispiel mit  $s_{1} \equiv 0$  und
*$\boldsymbol{s}_{0} = \{s_0,\ 0\}$  (bei Cosinus–Träger,  linke Grafik)  bzw.
*$\boldsymbol{s}_{0} = \{0,\ -s_0\}$  (bei Sinus–Träger,  rechte Grafik).

Bei kohärenter Demodulation ist die Signalraumkonstellation des Empfangssignals gleich der des Sendesignals und besteht wieder aus den zwei Punkten  $\boldsymbol{r}_0=\boldsymbol{s}_0$  und  $\boldsymbol{r}_1=\boldsymbol{s}_1$.  In diesem Fall ist das AWGN–Rauschen eindimensional mit der Varianz  $\sigma_{\rm AWGN}^2$  anzusetzen und man erhält  entsprechend dem  [[Digitalsignalübertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit#Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_gleichwahrscheinlichen_Symbolen| Theorieteil]]  für die  '''Symbolfehlerwahrscheinlichkeit'''  $p_{\rm S} = {\rm Pr}(\boldsymbol{r}\ne \boldsymbol{s})$:
:$$p_{\rm S} = {\rm Q} \left ( \frac{s_0/2}{\sigma_{\rm AWGN}}\right )
= {\rm Q} \left ( \sqrt{ {E_{\rm S}}/{N_0}}\right ) \hspace{0.05cm}. $$
Hierzu ist anzumerken:
*Die Funktion  ${\rm Q}(x)$  nennt man das &bdquo;Komplementäre Gaußsche Fehlerintegral”.  Der Link weist auf das Applet  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].
*Obige Gleichung gilt für gleichwahrscheinliche Symbole mit der Entscheiderschwelle  $G$  in der Mitte zwischen  $\boldsymbol{r}_0$  und  $\boldsymbol{r}_1$. 
*Der Abstand der beiden Signalpunkte von der Entscheiderschwelle  $G$  beträgt somit jeweils  $\Delta G = s_0/2$  $($Zähler im Argument der ersten  $\rm Q$–Funktion$)$.
*$E_{\rm S}=s_0^2/2 \cdot T$  bezeichnet für diesen Fall die &bdquo;mittlere Energie pro Symbol” und  $N_0=2T \cdot \sigma_{\rm AWGN}^2$  die (einseitige) AWGN–Rauschleistungsdichte.

[[Datei:Applet_Bild3.png|right|frame| $p_{\rm S}$–Berechnung für kohärente Demodulation]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 1:}$  Es gelte  $\sigma_{\rm AWGN}= 0.8$  und  $s_{0} = 2$,  ⇒   $G=1$.  Alle diese Werte seien auf den Wert  $1\hspace{0.05cm} {\rm V}$  normiert.

Die Grafik zeigt zwei &bdquo;halbe Gaußfunktionen” um  $s_1=0$  (blaue Kurve) und  $s_0=2$  (rote Kurve) sowie den Schwellenwert  $G$.  Die schraffierten Flächen markieren die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit.

*Nach der ersten Gleichung gilt mit  $\Delta G = s_{0} -G= G-s_1 = 1$:  
:$$p_{\rm S} = {\rm Q} ( 1/0.8 )= {\rm Q} ( 1.25 )\approx 10.56 \%.$$
*Ebenso liefert die zweite Gleichung:  $E_{\rm S}/{N_0} = 1/4 \cdot s_0^2/\sigma_{\rm AWGN}^2 = 1.5615$:
:$$p_{\rm S} = {\rm Q} (\sqrt{1.5615} )\approx 10.56 \%.$$

Aufgrund der Symmetrie ist der Schwellenwert  $G=1$  optimal.  In diesem Fall sind die rote und die blaue schraffierte Fläche gleich groß   ⇒   die Symbole  $\boldsymbol{s}_{0}$  und  $\boldsymbol{s}_{1}$  werden in gleicher Weise verfälscht.

Mit  $G\ne 1$  ergibt sich eine größere Verfälschungswahrscheinlichkeit.  Beispielsweise ergibt sich mit  $G=0.6$:
:$$p_{\rm S} = {\rm Pr}(\boldsymbol{r}\ne \boldsymbol{s}) = {\rm Pr}(\boldsymbol{r_0} \cap \boldsymbol{s_1})
+ {\rm Pr}(\boldsymbol{r_1} \cap \boldsymbol{s_0})= 1/2 \cdot {\rm Q} ( 0.75)+ 1/2 \cdot {\rm Q} ( 1.75)\approx 13.33\% .$$

Hier ist die Verfälschungswahrscheinlichkeit für das Symbol  $\boldsymbol{s}_{1}$   ⇒   blaue gefüllte Fläche ${\rm Pr}(\boldsymbol{r_0} \cap \boldsymbol{s_1}) \approx 11.33\%$  aufgrund der ungünstig gewählten Entscheiderschwelle sehr viel größer als die des Symbols  $\boldsymbol{s}_{0}$   ⇒   rote gefüllte Fläche ${\rm Pr}(\boldsymbol{r_1} \cap \boldsymbol{s_0}) \approx 2\%$. }}

===On–Off–Keying mit inkohärenter Demodulation===

Die folgende Grafik zeigt die Strukur (im äquivalenten Tiefpassbereich) des optimalen OOK–Empfängers für inkohärente Demodulation.  [[Digitalsignalübertragung/Trägerfrequenzsysteme_mit_nichtkohärenter_Demodulation#Nichtkoh.C3.A4rente_Demodulation_von_On.E2.80.93Off.E2.80.93Keying|Detailbeschreibung]]

[[Datei:P ID3147 Dig T 4 5 S2b version1.png|right|frame|Empfänger für inkohärente OOK-Demodulation (komplexe Signale sind blau beschriftet)|class=fit]]

Entsprechend dieser zweiten Grafik gilt:
*Das Eingangssignal  $\boldsymbol{r}(t) = \boldsymbol{s}(t) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.02cm}{\rm j}\hspace{0.03cm}\phi} + \boldsymbol{n}(t)$  am Empfänger ist aufgrund des aktuellen Phasenwinkels  $\phi$  und wegen des komplexen Rauschterms  $\boldsymbol{n}(t)$  im allgemeinen komplex.
*Erforderlich ist nun die Korrelation zwischen dem komplexen Empfangssignal  $\boldsymbol{r}(t)$  und einer  [[Digitalsignalübertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorräume#Basisfunktionen_komplexer_Zeitsignale| komplexen Basisfunktion]]  $\boldsymbol{\xi}(t)$. 

*Das Ergebnis ist der (komplexe) Detektorwert  $\boldsymbol{r}$, woraus als reelle Entscheidereingangsgröße der Betrag  $y = |\boldsymbol{r}(t)|$  gebildet wird. 

*Ist  $y \gt G$, so wird als Schätzwert  $m_0$  für das Symbol  $\boldsymbol{s}_{0}$  ausgegeben, andernfalls der Schätzwert  $m_1$  für das Symbol  $\boldsymbol{s}_{1}$.
*Auch hier ist die mittlere Symbolfehlerwahrscheinlichkeit als Summe zweier Verbundwahrscheinlichkeiten darstellbar:

:$$p_{\rm S} = {\rm Pr}(\boldsymbol{r}\ne \boldsymbol{s}) = {\rm Pr}(\boldsymbol{r_0} \cap \boldsymbol{s_1})
+ {\rm Pr}(\boldsymbol{r_1} \cap \boldsymbol{s_0}).$$

===Fehlerwahrscheinlichkeitsberechnung unter Berücksichtigung von Rayleigh– und Riceverteilung===

Zur Berechnung der Symbolfehlerwahrscheinlichkeit bei inkohärenter Demodulation gehen wir von folgender Grafik aus.  Dargestellt ist das Empfangssignal im äquivalenten Tiefpassbereich in der komplexen Ebene.

[[Datei:Applet_Bild1.png|right|frame|Zur Fehlerwahrscheinlichkeitsberechnung bei inkohärenter Demodulation|class=fit]]

*Der Punkt  $\boldsymbol{s_1}=0$  führt im Empfangsignal wieder zu  $\boldsymbol{r_1}=0$. 
*Dagegen kann  $\boldsymbol{r}_0 = \boldsymbol{s}_0 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.02cm}{\rm j}\hspace{0.03cm}\phi}$  auf jedem Punkt eines Kreises mit  Radius  $1$  liegen, da die Phase  $\phi$  unbekannt ist. 

*Der Entscheidungsprozess unter Berücksichtigung des AWGN–Rauschens ist nun zweidimensional zu interpretieren, wie durch die Pfeile in der Grafik angedeutet. 

*Die Entscheidungsregion  $I_1$  für das Symbol  $\boldsymbol{s_1}$  ist der blau gefüllte Kreis mit Radius  $G$,  wobei der richtige Wert von  $G$ noch zu bestimmen ist.

*Liegt der Empfangswert  $\boldsymbol{r}$ außerhalb dieses Kreises also im rot hinterlegten Gebiet  $I_0$, so fällt die Entscheidung zugunsten von  $\boldsymbol{s_0}$. 

$\rm Rayleigh–Anteil$ 
Unter Berücksichtigung des AWGN–Rauschens gilt  $\boldsymbol{r_1}=\boldsymbol{s_1} + \boldsymbol{n_1}$.  Die Rauschkomponente  $\boldsymbol{n_1}$  besitzt eine  [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen#Rayleighverteilung|Rayleighverteilung]]  $($Betrag der beiden mittelwertfreien Gaußkomponenten für  $I$  und  $Q)$. 

Deren bedingte WDF lautet mit der rotationssymmetrischen Rauschkomponente  $\eta$  mit  $\sigma=\sigma_{\rm AWGN}$ :
:$$f_{y\hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm}\boldsymbol{s_1}} (\eta \hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm} \boldsymbol{s_1})=\frac{\eta}{\sigma^2}\cdot {\rm e}^{-\eta^2 / ( 2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sigma^2) } = f_{\rm Rayleigh}(\eta) .$$
Damit erhält man für die bedingte Wahrscheinlichkeit
:$${\rm Pr}(\boldsymbol{r_0}|\boldsymbol{s_1}) = \int_{G}^{\infty}f_{\rm Rayleigh}(\eta) \,{\rm d} \eta
\hspace{0.05cm},$$
und mit dem Faktor  $1/2$  wegen der gleichwahrscheinlichen Sendesymbole die Verbundwahrscheinlichkeit:
:$${\rm Pr}(\boldsymbol{r_0} \cap \boldsymbol{s_1}) = 1/2 \cdot {\rm Pr}(\boldsymbol{r_0}|\boldsymbol{s_1})= 1/2 \cdot \int_{G}^{\infty}f_{\rm Rayleigh}(\eta) \,{\rm d} \eta
\hspace{0.05cm}.$$

$\rm Rice–Anteil$ 
Die Rauschkomponente  $\boldsymbol{n_0}$  besitzt eine  [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen#Riceverteilung|Riceverteilung]]  $($Betrag der Gaußkomponenten mit Mittelwerten  $m_x$  und  $m_y)$   ⇒   Konstante $C=\sqrt{m_x^2 + m_y^2}$ $($''Anmerkung'':  Im Applet wird die Konstante  $C$  mit  $C_{\rm Rice}$  bezeichnet$)$.

:$$f_{y\hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm}\boldsymbol{s_0}} (\eta \hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm} \boldsymbol{s_0})=\frac{\eta}{\sigma^2}\cdot{\rm e}^{-({C^2+\it \eta^{\rm 2} })/ ({\rm 2 \it \sigma^{\rm 2} })}\cdot {\rm I_0}(\frac{\it \eta\cdot C}{\sigma^{\rm 2} }) = f_{\rm Rice}(\eta) \hspace{1.4cm}{\rm mit} \hspace{1.4cm} {\rm I_0}(\eta) = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\eta/2)^{2k} }{k! \cdot {\rm \Gamma ({\it k}+1)} }.$$

Damit ergibt sich für die zweite Verbundwahrscheinlichkeit:

:$${\rm Pr}(\boldsymbol{r_1} \cap \boldsymbol{s_0}) = 1/2 \cdot \int_{0}^{G}f_{\rm Rice}(\eta) \,{\rm d} \eta
\hspace{0.05cm}.$$

[[Datei:Applet_Bild2.png|right|frame|Dichtefunktionen für „OOK, inkohärent”]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 2:}$  Die Grafik zeigt das Ergebnis dieser Gleichung für  $\sigma_{\rm AWGN} = 0.5$  und  $C_{\rm Rice} = 2$.  Die Entscheidungsgrenze liegt bei  $G \approx 1.25$.  Man erkennt aus dieser Darstellung:
*Die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm S}$  ist die Summe der beiden farblich hinterlegten Flächen.  Wie im Beispiel 1 für den kohärenten Fall gilt auch hier:
:$$p_{\rm S} = {\rm Pr}(\boldsymbol{r}\ne \boldsymbol{s}) = {\rm Pr}(\boldsymbol{r_0} \cap \boldsymbol{s_1})
+ {\rm Pr}(\boldsymbol{r_1} \cap \boldsymbol{s_0}).$$
*Die blau markierte Fläche gibt die Verbundwahrscheinlichkeit  ${\rm Pr}(\boldsymbol{r_0} \cap \boldsymbol{s_1}) \approx 2.2\%$  an.  Diese berechnet sich als das Integral über die halbe Rayleigh–WDF im Bereich von  $G$  bis  $\infty$.
*Die rot markierte Fläche gibt die Verbundwahrscheinlichkeit  ${\rm Pr}(\boldsymbol{r_1} \cap \boldsymbol{s_0}) \approx 2.4\%$  an.  Diese berechnet sich als das Integral über die halbe Rice–WDF im Bereich von  $0$  bis  $G$.
*Somit erhält man  $p_{\rm S} \approx 4.6\%$.  Anzumerken ist, dass die roten und blauen Flächen nicht gleich sind und dass sich die optimale Entscheidungsgrenze  $G_{\rm opt}$  sich aus dem Schnittpunkt der beiden Kurven ergibt.
*Die optimale Entscheidungsgrenze  $G_{\rm opt}$  ergibt sich als der Schnittpunkt von blauer und roter Kurve.}}

==Versuchsdurchführung==
 

*Wählen Sie die Nummer  $(1,\ 2$, ... $)$  der zu bearbeitenden Aufgabe.  Die Nummer  &bdquo;$0$”  entspricht einem &bdquo;Reset”:  Einstellung wie beim Programmstart.
*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt.  Die Parameterwerte sind angepasst.  Lösung nach Drücken von &bdquo;Musterlösung”. 
*Interpretieren Sie stets die Grafiken und die numerischen Ergebnisse.  Die Symbole  $s_0$  (einstellbar) und  ${s}_{1}\equiv 0$  seien gleichwahrscheinlich.
*Aus Platzgründen verwenden wir bei den folgenden Fragen und Musterlösungen teilweise auch  $\sigma = \sigma_{\rm AWGN}$  und  $C = C_{\rm Rice}$. 

{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''   Wir betrachten die '''kohärente Demodulation''' mit  $\sigma_{\rm AWGN} = 0.5$  und  $s_0 = 2$.  Was ist der kleinstmögliche Wert für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm S}$? }}

*Bei kohärenter Demodulation setzt sich die WDF des Empfangssignals aus zwei &bdquo;halben” Gaußfunktionen um  $s_0 = 2$  $($rot$)$ und  $s_1 = 0$  $($blau$)$ zusammen.
*Der minimale  $p_{\rm S}$–Wert ergibt sich hier mit  $G=1$  sowie  $\Delta G = s_{0} -G= G-s_1 = 1$  zu  $p_{\rm S}= {\rm Q} ( \Delta G/\sigma )={\rm Q} ( 1/0.5 )= {\rm Q} ( 2 )\approx 2.28 \%.$
*Mit  $G=1$  werden beide Symbole gleich verfälscht.  Die blaue Fläche ${\rm Pr}(\boldsymbol{r_0} \cap \boldsymbol{s_1})$  ist gleich der roten Fläche  ${\rm Pr}(\boldsymbol{r_1} \cap \boldsymbol{s_0})$.  Deren Summe ergibt  $p_{\rm S}$.
*Mit  $G=0.5$  ist zwar die rote Fläche nahezu Null.  Trotzdem ist   $p_{\rm S}\approx 8\%$  (Summe beider Flächen)  mehr als doppelt so groß als mit  $G_{\rm opt}=1$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''   Nun gelte  $\sigma = 0.75$.  Mit welchem  $s_0$–Wert ergibt sich bei optimalem $G$ die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit wie in $(1)$?  Wie groß ist dann der Quotient  $E_{\rm S}/N_0$?}}

*Allgemein gilt  $p_{\rm S}= {\rm Q}\big ( (s_0/2) / \sigma \big )$.  Erhöht man  $\sigma$  von  $0.5$  auf   $0.75$, dann muss auch  $s_0$  erhöht werden   ⇒   $s_0 = 3$   ⇒   $p_{\rm S}= {\rm Q} ( 1.5/ 0.75 )= {\rm Q} ( 2 )$.
*Außer  $p_{\rm S}= {\rm Q}\big ( (s_0/2) / \sigma \big )$  gilt aber auch:  $p_{\rm S}= {\rm Q} ( \sqrt{E_{\rm S}/N_0} )$.  Daraus folgt:  $p_{\rm S}= {\rm Q}(2) ={\rm Q} ( \sqrt{E_{\rm S}/N_0})$   ⇒   $\sqrt{E_{\rm S}/N_0}= 2$   ⇒   $E_{\rm S}/N_0= 4$.
*Zur Kontrolle:  $E_{\rm S}=s_0^2/2 \cdot T, \ N_0=2T \cdot \sigma^2$   ⇒   $E_{\rm S}/N_0 =s_0^2/(4 \cdot \sigma^2)= 3^2/(4 \cdot 0.75^2)=4$.  Das gleiche  $E_{\rm S}/N_0 =4$  ergibt sich für die Aufgabe '''(1)'''.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''   Nun betrachten wir die '''inkohärente Demodulation''' mit  $\sigma_{\rm AWGN} = 0.75$,  $C_{\rm Rice} = 2.25$  und  $G=2$.  Wie groß ist die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm S}$? }}

*Bei inkohärenter Demodulation setzt sich die WDF des Empfangssignals aus einer &bdquo;halben” Rayleighfunktion $($blau$)$ und einer &bdquo;halben” Ricefunktion $($rot$)$ zusammen.
*${\rm Pr}(\boldsymbol{r_0} \cap \boldsymbol{s_1}) \approx 1.43\%$  gibt die Anteile der blauen Kurve oberhalb von $G =2$ an, und ${\rm Pr}(\boldsymbol{r_1} \cap \boldsymbol{s_0}) \approx 15.18\%$  die Anteile der roten Kurve unterhalb von  $G =2$.
*Mit  $G=2$  ergibt sich für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit die Summe  $p_{\rm S}\approx 16.61\%$ , und mit  $G_{\rm opt}=1.58$  ein geringfügig besserer Wert:  $p_{\rm S}\approx 12.25\%$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''   Es sei  $X$  allgemein eine Rayleigh–Zufallsgröße und  $Y$  eine Rice–Zufallsgröße, jeweils mit obigen Parametern.  Wie groß sind  ${\rm Pr}(X\le 2)$  und  ${\rm Pr}(Y\le 2)$ ?}}

* Es gilt  ${\rm Pr}(Y\le 2) = 2 \cdot {\rm Pr}(\boldsymbol{r_1} \cap \boldsymbol{s_0}) \approx 30.36\%$,  da im Programm die Rice–WDF mit dem Faktor  $1/2$  dargestellt ist.
*In gleicher Weise gilt  ${\rm Pr}(X> 2) = 2 \cdot {\rm Pr}(\boldsymbol{r_0} \cap \boldsymbol{s_1}) \approx 2.86\%$   ⇒   ${\rm Pr}(X \le 2)= 1-0.0286 = 97.14\%$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''   Wir betrachten die Werte  $\sigma_{\rm AWGN} = 0.75$,  $C_{\rm Rice} = 2.25$  und  $G=G_{\rm opt}=1.58$.  Wie ändert sich  $p_{\rm S}$, wenn man &bdquo;Rice” bestmöglich durch &bdquo;Gauß” ersetzt? }}

*Nach der exakten Berechnung ergibt sich mit der optimalen Schwelle  $G_{\rm opt}=1.58$:       ${\rm Pr}(\boldsymbol{r_0} \cap \boldsymbol{s_1}) \approx 5.44\%$,  ${\rm Pr}(\boldsymbol{r_1} \cap \boldsymbol{s_0}) \approx 6.81\%$   ⇒   $p_{\rm S}\approx 12.25\%$.
*Mit der Gaußnäherung wird bei gleichem  $G$  der erste Term nicht verändert.  Der zweite Term erhöht sich auf  ${\rm Pr}(\boldsymbol{r_1} \cap \boldsymbol{s_0}) \approx 9.29\%$   ⇒   $p_{\rm S}\approx 14.73\%$.
*Die neue Optimierung des Schwellenwerts  $G$  unter Berücksichtigung der Gaußnäherung führt auf  $G_{\rm opt}=1.53$  und  $p_{\rm S}\approx 14.67\%$.
*Die Parameter der Gaußverteilung sind dabei wie folgt einzustellen:  Mittelwert  $m_{\rm Gauß}= C_{\rm Rice}=2.25$,  Streuung  $\sigma_{\rm Gauß}= \sigma_{\rm AWGN}=0.75$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''   Wie ändern sich die Ergebnisse gegenüber  $(5)$  mit  $\sigma_{\rm AWGN} = 0.5$,  $C_{\rm Rice} = 1.5$  bzw. mit  $\sigma_{\rm AWGN} = 1$,  $C_{\rm Rice} = 3$, jeweils mit   $G=G_{\rm opt}$? }}

*Bei optimaler Entscheidungsgrenze ergeben sich stets gleiche Wahrscheinlichkeiten, sowohl für die exakte Riceverteilung als auch mit der Gaußnäherung.
*Bei allen drei Parametersätzen gilt  $E_{\rm S}/N_0= 2.25$.  Dies lässt vermuten: die Ergebnisse bei inkohärenter Demodulation hängen allein von dieser Kenngröße ab.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(7)'''   Die Einstellung sei weiterhin &bdquo;inkohärent mit Näherung”. Es gelte stets  $C_{\rm Rice} = 3$,  $G=G_{\rm opt}$.  Variierern Sie die AWGN–Streuung im Bereich  $0.5 \le \sigma \le 1$.          Interpretieren Sie den relativen Fehler &bdquo;Falsch minus Richtig/Richtig” in Abhängigkeit der Kenngröße  $E_{\rm S}/N_0$.}}

*Mit  $\sigma =0.5$   ⇒   $E_{\rm S}/N_0 = 9$  erhält man  $p_{\rm S}^{\ \rm exakt}\approx 0.32\%$  und  $p_{\rm S}^{\ \rm Näherung}\approx 0.38\%$.  Der absolute Fehler beträgt  $0.06\%$  und der relative Fehler  $18.75\%$.
*Mit  $\sigma =1$   ⇒   $E_{\rm S}/N_0 = 2.25$  erhält man  $p_{\rm S}^{\ \rm exakt}\approx 12.25\%$  und  $p_{\rm S}^{\ \rm Näherung}\approx 14.67\%$.  Der absolute Fehler beträgt  $2.42\%$  und der relative Fehler  $19.75\%$.
* '''Fazit''':  Die Gaußnäherung wird mit größerem  $E_{\rm S}/N_0$  immer besser.  Diese Aussage erkennt man am absoluten Fehler deutlicher als am relativen Fehler.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(8)'''   Wiederholen Sie den letzten Versuch nun mit der Einstellung &bdquo;kohärent” sowie  $s_0 = 3$,  $G=G_{\rm opt}$.  Welches Fazit erlaubt der Vergleich mit  '''(7)'''? }}

*Der Vergleich von  $(7)$  und  $(8)$  zeigt:  Für jedes  $E_{\rm S}/N_0$  ergibt sich bei inkohärenter Demodulation eine größere Symbolfehlerwahrscheinlichkeit.
*Für  $E_{\rm S}/N_0= 9$  ergibt sich  $p_{\rm S}^{\ \rm kohärent}\approx 0.13\%$  und  $p_{\rm S}^{\ \rm inkohärent}\approx 0.32\%$.  Und für  $E_{\rm S}/N_0= 2.25$  erhält man  $p_{\rm S}^{\ \rm kohärent}\approx 6.68\%$  und  $p_{\rm S}^{\ \rm inkohärent}\approx 12.25\%$. 
*Die einfachere Realisierung des inkohärenten Demodulators (keine Taktsynchronisierung) bewirkt einen Qualitätsverlust   ⇒   größere Fehlerwahrscheinlichkeit.
 

==Zur Handhabung des Applets==
[[Datei:Exercise_OnOff.png |right|frame|Bildschirmabzug der englischen Version ]]

    '''(A)'''     Auswahl:
::*Kohärent,
::*inkohärent,
::*inkohärent mit Näherung.

    '''(B)'''     Parametereingabe: 
::*$\sigma_{\rm AWGN}$, 
::*$s_0$, 
::*$E_{\rm S}/N_0$, 
::*$G_{\rm opt}$

    '''(C)'''     Numerischer Ausgabebereich der Wahrscheinlichkeiten

    '''(D)'''     Grafischer Ausgabebereich der WDF-Anteile

    '''(E)'''     Aufgabenauswahl

    '''(F)'''     Fragen und Lösungen
 
==Über die Autoren==
Dieses interaktive Berechnungstool wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.
*Die erste Version wurde 2011 von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Martin_V.C3.B6lkl_.28Diplomarbeit_LB_2010.29|Martin Völkl]] im Rahmen seiner Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|Günter Söder]] und [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Klaus_Eichin_.28am_LNT_von_1972-2011.29|Klaus Eichin]]).

*2020 wurde das Programm von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf &bdquo;HTML5/JS” umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29|Tasnád Kernetzky]]).

*Diese Umsetzung wurde von der Fakultät Elektrotechnik & Informationstechnik der TU München durch  [https://www.ei.tum.de/studium/studienzuschuesse/ "Studienzuschüsse"]  finanziell unterstützt.  Wir bedanken uns.

==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==

{{LntAppletLinkDeEn|on-off-keying|on-off-keying_en}}

LNTwww:Downloads

2025-02-24T09:43:11Z

Alle Texte und multimedialen Elemente zu LNTwww finden Sie als PDF bzw. im ZIP-Format unter dem folgenden Link:

*[http://www.lntwww.de/downloads/ Zum Download-Verzeichnis]

Hinweise:

(1) Die bereitgestellten Dokumente beziehen sich auf die Version 2 von LNTwww, die im Dezember 2016 fertiggestellt wurde. Die vorliegende Version 3 unterscheidet sich derzeit (2018) durch ein anderes Layout und einige redaktionelle Verbesserungen, ist aber inhaltlich (weitgehend) gleich. Die Bereitstellung neuer PDF-Dateien nach eventueller Aktualisierung ist derzeit nicht vorgesehen.

(2) In jedem Fachbuch-Directory finden Sie ein PDF-Dokument &bdquo; ... Vorbemerkungen” sowie in drei Unterverzeichnissen die Theorieseiten der verschiedenen Kapitel, die Aufgaben und die dazugehörigen Musterlösungen als PDF. Lernvideos und Interaktionsmodule liegen in den entsprechenden Unterverzeichnissen im SWF-Format vor bzw. komprimiert im ZIP-Format.

(3) Umbenannt werden mussten allerdings die Aufgaben- und Musterlösungsnummerierung. Beispielsweise finden Sie die jetzige &bdquo;Aufgabe 1.1” im PDF als &bdquo;Aufgabe A1.1” und die jetzige &bdquo;Aufgabe 1.1Z” als &bdquo;Zusatzaufgabe Z1.1”. Die Teilaufgabennummerierung (a), (b), (c), ... wurde in der vorliegenden Version 3 in (1), (2), (3), ... geändert.

(4) Im Unterverzeichnis &bdquo;Sonstiges” gibt es ein PDF-Dokument mit dem [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Gesamter_Inhalt_Version2.pdf Gesamten Inhalt von LNTwww] in Kurzform. Genannt werden hier nur die Überschriften der mehr als 1200 Theorieseiten und der über 600 Aufgaben, die in der Version 3 weitgehend übernommen wurden.

(5) Wir stellen hier auch einige Offline-Programme zur Verfügung, die am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik der Technischen Universität München entwickelt wurden und in verschiedenen Praktika für den Studiengang &Elektrotechnik und Informationstechnik” (EI) eingesetzt wurden:
* '''LNTsim''': Lehrsoftware-Programmpaket (basierend auf DOS, lauffähig unter Windows) mit 24 Simulations- und Demo-Programmen für das Praktikum &bdquo;Simulationsmethoden in der Nachrichtentechnik” von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|Günter Söder]],
* '''LNTwin''': Fünf Windows-Programme  ⇒  ''AMV:'' Analoge Modulationsverfahren, ''CDMA:'' Code Division Multiple Access, ''DKM:'' Digitale Kanalmodelle, ''MFK:'' Mobilfunkkanal, ''WDIT:'' Wertdiskrete Informationstheorie für das Praktikum &bdquo;Simulation Digitaler Übertragungssysteme” von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|Günter Söder]].

Diese Programme finden Sie im Unterverzeichnis &bdquo;Sonstiges/Programme”, die zugehörigen Praktikumsanleitungen unter &bdquo;Sonstiges/Texte”.

Applets:Augendiagramm und ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit

2025-02-24T09:43:11Z

{{LntAppletLinkDeEn|eyeDiagram|eyeDiagram_en}}

==Programmbeschreibung==
 
Das Applet verdeutlicht die Augendiagramme für
*verschiedene Codierungen  (binär–redundanzfrei,  quaternär–redundanzfrei,  pseudo–ternär:  AMI und Duobinär)  sowie
*verschiedene Empfangskonzepte  (Matched–Filter–Empfänger,  CRO–Nyquistsystem,  gaußförmiges Empfangsfilter).

Das letzte Empfängerkonzept führt zu Impulsinterferenzen, das heißt:  Benachbarte Symbole beeinträchtigen sich bei der Symbolentscheidung gegenseitig.

Solche Impulsinterferenzen und deren Einfluss auf die Fehlerwahrscheinlichkeit lassen sich durch das Augendiagramm sehr einfach erfassen und quantifizieren.  Aber auch für die beiden anderen (impulsinterferenzfreien) Systeme lassen sich anhand der Grafiken wichtige Erkenntnisse gewinnen.

Ausgegeben wird zudem die ungünstigste (&bdquo;worst case”) Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} = {\rm Q}\left[ö_{\rm norm}/\sigma_{\rm norm} \right ]$, die bei den binären Nyquistsystemen identisch mit der mittleren Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm M}$  ist und für die beiden anderen Systemvarianten eine geeignete obere Schranke darstellt:  $p_{\rm U} \ge p_{\rm M}$.

In der  $p_{\rm U}$–Gleichung bedeuten:
*${\rm Q}(x)$  ist die  [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen#.C3.9Cberschreitungswahrscheinlichkeit|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion]].  Die normierte Augenöffnung kann Werte zwischen  $0 \le ö_{\rm norm} \le 1$  annehmen.
*Der Maximalwert  $(ö_{\rm norm} = 1)$  gilt für die binären Nyquistsysteme und  $ö_{\rm norm}=0$  steht für ein &bdquo;geschlossenes Auge”.
*Der normierte Detektionsrauscheffektivwert  $\sigma_{\rm norm}$  hängt vom einstellbaren Parameter  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0$  ab, aber auch von der Codierung und vom Empfängerkonzept.

==Theoretischer Hintergrund==
 
=== Systembeschreibung und Voraussetzungen===

Für dieses Applet gilt das unten skizzierte Modell der binären Basisbandübertragung. Zunächst gelten folgende Voraussetzungen:
*Die Übertragung erfolgt binär, bipolar und redundanzfrei mit der Bitrate  $R_{\rm B} = 1/T$, wobei  $T$  die Symboldauer angibt.
*Das Sendesignal  $s(t)$  ist zu allen Zeiten  $t$  gleich  $ \pm s_0$   ⇒   Der Sendegrundimpuls  $g_s(t)$  ist NRZ–rechteckförmig mit Amplitude  $s_0$  und Impulsdauer  $T$.

*Das Empfangssignal sei  $r(t) = s(t) + n(t)$, wobei der AWGN–Term  $n(t)$  durch die (einseitige) Rauschleistungsdichte  $N_0$  gekennzeichnet ist.
*Der Kanalfrequenzgang sei bestmöglich (ideal) und muss nicht weiter berücksichtigt werden:  $H_{\rm K}(f) =1$.
*Das Empfangsfilter mit der Impulsantwort  $h_{\rm E}(t)$  formt aus  $r(t)$  das Detektionssignal  $d(t) = d_{\rm S}(t)+ d_{\rm N}(t)$.
* Dieses wird vom Entscheider mit der Entscheiderschwelle  $E = 0$  zu den äquidistanten Zeiten  $\nu \cdot T$  ausgewertet.
*Es wird zwischen dem Signalanteil  $d_{\rm S}(t)$  – herrührend von  $s(t)$  – und dem Rauschanteil  $d_{\rm N}(t)$  unterschieden, dessen Ursache das AWGN–Rauschen  $n(t)$  ist.
*$d_{\rm S}(t)$  kann als gewichtete Summe von gewichteten und jeweils um  $T$  verschobenen Detektionsgrundimpulsen  $g_d(t) = g_s(t) \star h_{\rm E}(t)$  dargestellt werden.

*Zur Berechnung der (mittleren) Fehlerwahrscheinlichkeit benötigt man ferner die Varianz  $\sigma_d^2 = {\rm E}\big[d_{\rm N}(t)^2\big]$  des Detektionsrauschanteils (bei AWGN–Rauschen).

===Optimales impulsinterferenzfreies System – Matched-Filter-Empfänger===

Die minimale Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich für den hier betrachteten Fall  $H_{\rm K}(f) =1$  mit dem Matched-Filter-Empfänger, also dann, wenn  $h_{\rm E}(t)$  formgleich mit dem NRZ–Sendegrundimpuls  $g_s(t)$  ist. Die rechteckförmige Impulsantwort  $h_{\rm E}(t)$  hat dann die Dauer  $T_{\rm E} = T$  und die Höhe  $1/T$.

[[Datei:Auge_1neu.png|center|frame|Binäres Basisbandübertragungssystem;  die Skizze für  $h_{\rm E}(t)$  gilt nur für den Matched-Filter-Empfänger ]]

*Der Detektionsgrundimpuls  $g_d(t)$  ist dreieckförmig mit dem Maximum  $s_0$  bei  $t=0$ ; es gilt  $g_d(t)=0$  für  $|t| \ge T$. Aufgrund dieser engen zeitlichen Begrenzung kommt es nicht zu Impulsinterferenzen   ⇒   $d_{\rm S}(t = \nu \cdot T) = \pm s_0$   ⇒   der Abstand aller Nutzabtastwerte von der Schwelle  $E = 0$  ist stets  $|d_{\rm S}(t = \nu \cdot T)| = s_0$.
*Die Detektionsrauschleistung ist bei dieser Konstellation:
:$$\sigma_d^2 = N_0/2 \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} |h_{\rm E}(t)|^2 {\rm d}t = N_0/(2T)=\sigma_{\rm MF}^2.$$
*Für die (mittlere) Fehlerwahrscheinlichkeit gilt mit der  [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen#.C3.9Cberschreitungswahrscheinlichkeit|Komplementären Gaußschen Fehlerfunktion]]  ${\rm Q}(x)$ :
:$$p_{\rm M} = {\rm Q}\left[\sqrt{{s_0^2}/{\sigma_d^2}}\right ] = {\rm Q}\left[\sqrt{{2 \cdot s_0^2 \cdot T}/{N_0}}\right ] = {\rm Q}\left[\sqrt{2 \cdot E_{\rm B}/ N_0}\right ].$$

Das Applet berücksichtigt diesen Fall mit den Einstellungen  &bdquo;nach Spalt–Tiefpass”  sowie  $T_{\rm E}/T = 1$. Die ausgegebenen Werte sind im Hinblick auf spätere Konstellationen
*die normierte Augenöffnung  $ö_{\rm norm} =1$   ⇒   dies ist der maximal mögliche Wert,
*der normierte Detektionsrauscheffektivwert (gleich der Wurzel aus der Detektionsrauschleistung)  $\sigma_{\rm norm} =\sqrt{1/(2 \cdot E_{\rm B}/ N_0)}$  sowie
*die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} = {\rm Q}\left[ö_{\rm norm}/\sigma_{\rm norm} \right ]$   ⇒   bei impulsinterferenzfreien Systemen stimmen  $p_{\rm M}$  und   $p_{\rm U}$  überein.

$\text{Unterschiede bei den Mehrstufensystemen}$
*Es gibt  $M\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}1$ Augen und eben so viele Schwellen   ⇒   $ö_{\rm norm} =1/(M\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}1)$  ⇒   $M=4$:  Quaternärsystem,  $M=3$:  AMI-Code, Duobinärcode.
*Der normierte Detektionsrauscheffektivwert  $\sigma_{\rm norm}$  ist beim Quaternärsystem um den Faktor  $\sqrt{5/9} \approx 0.745$  kleiner als beim Binärsystem.
*Beim AMI-Code und dem Duobinärcode hat dieser Verbesserungsfaktor, der auf das kleinere  $E_{\rm B}/ N_0$  zurückgeht, den Wert  $\sqrt{1/2} \approx 0.707$.

 
===Nyquist–System mit Cosinus-Rolloff-Gesamtfrequenzgang===

[[Datei:Auge_2_neu.png|right|frame|Cosinus-Rolloff-Gesamtfrequenzgang ]]

Wir setzen voraus, dass der Gesamtfrequenzgang zwischen der diracförmigen Quelle bis zum Entscheider den Verlauf eines  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Cosinus-Rolloff-Tiefpass|Cosinus-Rolloff-Tiefpasses]]  hat   ⇒   $H_{\rm S}(f)\cdot H_{\rm E}(f) = H_{\rm CRO}(f)$ .
*Der Flankenabfall von  $H_{\rm CRO}(f)$  ist punktsymmetrisch um die Nyquistfrequenz  $1/(2T)$. Je größer der Rolloff-Faktor  $r_{ \hspace {-0.05cm}f}$  ist, um so flacher verläuft die Nyquistflanke.
*Der Detektionsgrundimpuls  $g_d(t) = s_0 \cdot T \cdot {\mathcal F}^{-1}\big[H_{\rm CRO}(f)\big]$  hat unabhängig von  $r_{ \hspace {-0.05cm}f}$  zu den Zeiten  $\nu \cdot T$  Nullstellen.  Weitere Nulldurchgänge gibt es abhängig von  $r_{ \hspace {-0.05cm}f}$.  Für den Impuls gilt:
:$$g_d(t) = s_0 \hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm} {\rm si}(\pi \hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm} t/T )\hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm}\frac {\cos(\pi \cdot r_{\hspace{-0.05cm}f} \cdot t/T )}{1 - (2 \cdot
r_{\hspace{-0.05cm}f} \cdot t/T)^2}.$$
*Daraus folgt:  Wie beim Matched-Filter-Empfänger ist das Auge maximal geöffnet   ⇒   $ö_{\rm norm} =1$.

[[Datei:Auge_3.png|right|frame|Zur Optimierung des Rolloff-Faktors ]]
Betrachten wir nun die Rauschleistung vor dem Entscheider. Für diese gilt:

:$$\sigma_d^2 = N_0/2 \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} |H_{\rm E}(f)|^2 {\rm d}f = N_0/2 \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{|H_{\rm CRO}(f)|^2}{|H_{\rm S}(f)|^2} {\rm d}f.$$

Die Grafik zeigt die Leistungsübertragungsfunktion  $|H_{\rm E}(f)|^2$  für drei verschiedene Rolloff–Faktoren

* $r_{ \hspace {-0.05cm}f}=0$   ⇒   grüne Kurve,
* $r_{ \hspace {-0.05cm}f}=1$   ⇒   rote Kurve,
* $r_{ \hspace {-0.05cm}f}=0.8$   ⇒   blaue Kurve.

Die Flächen unter diesen Kurven sind jeweils ein Maß für die Rauschleistung  $\sigma_d^2$.  Das grau hinterlegte Rechteck markiert den kleinsten Wert  $\sigma_d^2 =\sigma_{\rm MF}^2$, der sich auch mit dem Matched-Filter-Empfänger ergeben hat.
 
Man erkennt aus dieser Darstellung:
*Der Rolloff–Faktor  $r_{\hspace{-0.05cm}f} = 0$  (Rechteck–Frequenzgang) führt trotz des sehr schmalen Empfangsfilters zu  $\sigma_d^2 =K \cdot \sigma_{\rm MF}^2$  mit  $K \approx 1.5$, da  $|H_{\rm E}(f)|^2$  mit wachsendem  $f$  steil ansteigt. Der Grund für diese Rauschleistungsanhebung ist die Funktion  $\rm si^2(\pi f T)$  im Nenner, die zur Kompensation des  $|H_{\rm S}(f)|^2$–Abfalls erforderlich ist. 
* Da die Fläche unter der roten Kurve kleiner ist als die unter der grünen Kurve, führt  $r_{\hspace{-0.05cm}f} = 1$  trotz dopplelt so breitem Spektrum zu einer kleineren Rauschleistung:  $K \approx 1.23$.  Für  $r_{\hspace{-0.05cm}f} \approx 0.8$ ergibt sich noch ein geringfügig besserer Wert. Hierfür erreicht man den bestmöglichen Kompromiss zwischen Bandbreite und Überhöhung.
*Der normierte Detektionsrauscheffektivwert lautet somit für den Rolloff–Faktor  $r_{ \hspace {-0.05cm}f}$:   $\sigma_{\rm norm} =\sqrt{K(r_f)/(2 \cdot E_{\rm B}/ N_0)}$. 
*Auch hier stimmt die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} = {\rm Q}\left[ö_{\rm norm}/\sigma_{\rm norm} \right ]$   exakt mit der mittleren Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm M}$  überein.

$\text{Unterschiede bei den Mehrstufensystemen}$

Alle Anmerkungen im Abschnitt $2.2$ gelten in gleicher Weise für das &bdquo;Nyquist–System mit Cosinus-Rolloff-Gesamtfrequenzgang”.

===Impulsinterferenzbehaftetes System mit Gauß-Empfangsfilter===

[[Datei:Auge_4.png|right|frame|System mit gaußförmigem Empfangsfilter ]]

Wir gehen vom rechts skizzierten Blockschaltbild aus. Weiter soll gelten:
*Rechteckförmiger NRZ–Sendegrundimpuls  $g_s(t)$  mit der Höhe  $s_0$  und der Dauer  $T$:
:$$H_{\rm S}(f) = {\rm si}(\pi f T).$$
*Gaußförmiges Empfangsfilter mit der Grenzfrequenz  $f_{\rm G}$:
:$$H_{\rm E}(f) = H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{- \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm} f^2/(2\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm}f_{\rm G})^2 } \hspace{0.2cm} \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ
\hspace{0.2cm}h_{\rm E}(t) = h_{\rm G}(t) = {\rm e}^{- \pi \cdot (2\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm}
f_{\rm G}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.02cm} t)^2}
\hspace{0.05cm}.$$

Aufgrund der hier getroffenen Voraussetzungen gilt für den Detektionsgrundimpuls:

[[Datei:Auge_5_neu.png|right|frame|Frequenzgang und Impulsantwort des Empfangsfilters ]]
:$$g_d(t) = s_0 \cdot T \cdot \big [h_{\rm S}(t) \star h_{\rm G}(t)\big ] = 2 f_{\rm G} \cdot s_0 \cdot \int_{t-T/2}^{t+T/2}
{\rm e}^{- \pi \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} (2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.02cm}
f_{\rm G}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.02cm} \tau )^2} \,{\rm d} \tau \hspace{0.05cm}.$$

Die Integration führt zum Ergebnis:

:$$g_d(t) = s_0 \cdot \big [ {\rm Q} \left ( 2 \cdot \sqrt {2 \pi}
\cdot f_{\rm G}\cdot ( t - {T}/{2})\right )- {\rm Q} \left (
2 \cdot \sqrt {2 \pi} \cdot f_{\rm G}\cdot ( t + {T}/{2}
)\right ) \big ],$$

unter Verwendung der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion

:$${\rm Q} (x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\int_{\it
x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d {\it u}
\hspace{0.05cm}.$$

Das Modul  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]  liefert die Zahlenwerte von  ${\rm Q} (x)$. 
*Dieser Detektionsgrundimpuls bewirkt  [[Digitalsignalübertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen#Definition_des_Begriffs_.E2.80.9EImpulsinterferenz.E2.80.9D|Impulsinterferenzen]].
*Darunter versteht man, dass die Symbolentscheidung durch die Ausläufer benachbarter Impulse beeinflusst wird. Während bei impulsinterferenzfreien Übertragungssystemen jedes Symbol mit gleicher Wahrscheinlichkeit – nämlich der mittleren Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm M}$  – verfälscht wird, gibt es günstige Symbolkombinationen mit der Verfälschungswahrscheinlichkeit  ${\rm Pr}(v_{\nu} \ne q_{\nu}) < p_{\rm M}$.
*Andere Symbolkombinationen erhöhen dagegen die Verfälschungswahrscheinlichkeit erheblich.

[[Datei:Auge_6.png|right|frame|Binäres Auge $($Gaußtiefpass,  $f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.35)$.]]
Die Impulsinterferenzen lassen sich durch das sogenannte  '''Augendiagramm'''  sehr einfach erfassen und analysieren. Diese stehen im Mittelpunkt dieses Applets. Alle wichtigen Informationen finden Sie  [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_unter_Berücksichtigung_von_Impulsinterferenzen#Definition_und_Aussagen_des_Augendiagramms|hier]].
*Das Augendiagramm entsteht, wenn man alle Abschnitte des Detektionsnutzsignals  $d_{\rm S}(t)$  der Länge  $2T$  übereinander zeichnet. Die Entstehung können Sie sich im Programm mit &bdquo;Einzelschritt” verdeutlichen.

* Ein Maß für die Stärke der Impulsinterferenzen ist die ''vertikale Augenöffnung''. Für den symmetrischen Binärfall gilt mit  $g_\nu = g_d(\pm \nu \cdot T)$  und geeigneter Normierung:
:$$ ö_{\rm norm} = g_0 -2 \cdot (|g_1| + |g_2| + \text{...}).$$
* Mit größerer Grenzfrequenz stören sich die Impulse weniger und  $ ö_{\rm norm}$  nimmt kontinuierlich zu. Gleichzeitig wird bei größerem  $f_{\rm G}/R_{\rm B}$  auch der (normierte) Detektionsrauscheffektivwert größer:
:$$ \sigma_{\rm norm} = \sqrt{\frac{f_{\rm G}/R_{\rm B}}{\sqrt{2} \cdot E_{\rm B}/N_{\rm 0}}}.$$
*Die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} = {\rm Q}\left[ö_{\rm norm}/\sigma_{\rm norm} \right ]$   ⇒   &bdquo;Worst Case” liegt meist deutlich über der mittleren Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm M}$.

$\text{Unterschiede beim redundanzfreien Quaternärsystem}$
*Für  $M=4$  ergeben sich andere Grundimpulswerte. ''Beispiel'':     Mit  $M=4, \ f_{\rm G}/R_{\rm B}=0.4$  sind Grundimpulswerte  $g_0 = 0.955, \ g_1 = 0.022$  identisch mit  $M=2, \ f_{\rm G}/R_{\rm B}=0.8$.
* Es gibt nun drei Augenöffnungen und eben so viele Schwellen.  Die Gleichung für die normierte Augenöffnung lautet nun:   $ ö_{\rm norm} = g_0/3 -2 \cdot (|g_1| + |g_2| + \text{...}).$
*Der normierte Detektionsrauscheffektivwert  $\sigma_{\rm norm}$  ist beim Quaternärsystem wieder um den Faktor  $\sqrt{5/9} \approx 0.745$  kleiner als beim Binärsystem.

===Pseudoternärcodes===

Bei der symbolweisen Codierung wird mit jedem ankommenden Quellensymbol  $q_\nu$  ein Codesymbol  $c_\nu$  erzeugt, das außer vom aktuellen Eingangssymbol  $q_\nu$  auch von den  $N_{\rm C}$  vorangegangenen Symbolen  $q_{\nu-1}$, ... , $q_{\nu-N_{\rm C}} $  abhängt.  $N_{\rm C}$  bezeichnet man als die ''Ordnung''  des Codes.  Typisch für eine symbolweise Codierung ist, dass
*die Symboldauer  $T$  des Codersignals (und des Sendesignals) mit der Bitdauer  $T_{\rm B}$  des binären Quellensignals übereinstimmt, und
*Codierung und Decodierung nicht zu größeren Zeitverzögerungen führen, die bei Verwendung von Blockcodes unvermeidbar sind. 

[[Datei:P_ID1343__Dig_T_2_4_S1_v1.png|center|frame|Blockschaltbild und Ersatzschaltbild eines Pseudoternärcoders|class=fit]]

Besondere Bedeutung besitzen ''Pseudoternärcodes''   ⇒   Stufenzahl  $M = 3$, die durch das Blockschaltbild entsprechend der linken Grafik beschreibbar sind. In der rechten Grafik ist ein Ersatzschaltbild angegeben, das für eine Analyse dieser Codes sehr gut geeignet ist. Genaueres hierzu finden Sie im  [[Digitalsignalübertragung/Symbolweise_Codierung_mit_Pseudoternärcodes|$\rm LNTwww$–Theorieteil]].  Fazit:

*Umcodierung von binär  $(M_q = 2)$  auf ternär  $(M = M_c = 3)$:
:$$q_\nu \in \{-1, +1\},\hspace{0.5cm} c_\nu \in \{-1, \ 0, +1\}\hspace{0.05cm}.$$

*Die relative Coderedundanz ist für alle Pseudoternärcodes gleich:
:$$ r_c = 1 -1/\log_2\hspace{0.05cm}(3) \approx 36.9 \%\hspace{0.05cm}.$$

Anhand des Codeparameters  $K_{\rm C}$  werden verschiedene Pseudoternärcodes erster Ordnung  $(N_{\rm C} = 1)$  charakterisiert.

[[Datei:Auge_16.png|right|frame|Signale bei der AMI-Codierung|class=fit]]
$\Rightarrow \ \ K_{\rm C} = 1\text{: AMI–Code}$  (von:   ''Alternate Mark Inversion'')

Die Grafik zeigt oben das binäre Quellensignal  $q(t)$. Darunter sind dargestellt:
* das ebenfalls binäre Signal  $b(t)$  nach dem Vorcodierer, und
* das Codersignal  $c(t) = s(t)$  des AMI–Codes.

Man erkennt das einfache AMI–Codierprinzip:
*Jeder Binärwert  &bdquo;–1”  von $q(t)$   ⇒   Symbol  $\rm L$  wird durch den ternären Amplitudenkoeffizienten  $a_\nu = 0$  codiert. 
*Der Binärwert  &bdquo;+1”  von  $q(t)$   ⇒   Symbol  $\rm H$  wird alternierend mit  $a_\nu = +1$  und  $a_\nu = -1$  dargestellt. 

Damit wird sichergestellt, dass im AMI–codierten Signal keine langen  &bdquo;+1”–  bzw.  &bdquo;–1”–Sequenzen enthalten sind, was bei einem gleichsignalfreien Kanal problematisch wäre. 
 
[[Datei:Auge_16a.png|left|frame|class=fit]]

Links ist das Augendiagramm dargestellt.
::* Es gibt zwei Augenöffnungen und zwei Schwellen.
::* Die normierte Augenöffnung ist  $ö_{\rm norm}= 1/2 \cdot (g_0 -3 \cdot g_1)$, wobei  $g_0 = g_d(t=0)$  den Hauptwert des Detektionsgrundimpulses bezeichnet und  $g_1 = g_d(t=\pm T)$  die relevanten Vor- und Nachläufer, die das Auge vertikal begrenzen.

::* Die normierte Augenöffnung ist somit deutlich kleiner als beim vergleichbaren Binäsystem   ⇒   $ö_{\rm norm}= g_0 -2 \cdot g_1$.
::* Der normierte Rauscheffektivwert  $\sigma_{\rm norm}$  ist um den Faktor  $\sqrt{1/2} \approx 0.707$  kleiner als beim vergleichbaren Binäsystem.
 
[[Datei:Auge_17.png|right|frame|Signale bei der Duobinärcodierung|class=fit]]

$\Rightarrow \ \ K_{\rm C} = -1\text{: Duobinärcode}$ 

Aus der rechten Grafik mit den Signalverläufen erkennt man:
*Hier können beliebig viele Symbole gleicher Polarität  (&bdquo;+1” bzw. &bdquo;–1”)  direkt aufeinanderfolgen   ⇒   der Duobinärcode ist nicht gleichsignalfrei. 
*Dagegen tritt beim Duobinärcode die alternierende Folge  &bdquo; ... , +1, –1, +1, –1, +1, ... ”  nicht auf, die hinsichtlich Impulsinterferenzen besonders störend ist.
* Auch die Duobinärcode–Folge besteht zu 50% aus Nullen. Der Verbesserungsfaktor durch das kleinere  $E_{\rm B}/ N_0$  ist wie beim AMI-Code gleich  $\sqrt{1/2} \approx 0.707$.

[[Datei:Auge_17a.png|left|frame|class=fit]]
 
Links ist das Augendiagramm dargestellt.
::* Es gibt wieder zwei &bdquo;Augen” und zwei Schwellen.
::* Die Augenöffnung ist   $ö_{\rm norm}= 1/2 \cdot (g_0 - g_1)$.
*$ö_{\rm norm}$  ist also größer als beim AMI–Code und auch wie beim vergleichbaren Binäsystem.
*Nachteilig gegenüber dem AMI–Code ist allerdings, dass er nicht gleichsignalfrei ist.

==Versuchsdurchführung==
 

*Wählen Sie zunächst die Nummer  ('''1''', ...)  der zu bearbeitenden Aufgabe.  Die Nummer '''0''' entspricht einem &bdquo;Reset:” *Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.  Lösung nach Drücken von &bdquo;Musterlösung”.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''  Verdeutlichen Sie sich die Entstehung des Augendiagramms für  $M=2 \text{, nach Gauß–TP, }f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.48$. Wählen Sie hierfür &bdquo;Einzelschritt”. }}

::* Dieses Augendiagramm ergibt sich, wenn man das Detektionsnutzsignal  $d_{\rm S}(t)$  in Stücke der Dauer  $2T$  unterteilt und diese Teile übereinander zeichnet.
::* In  $d_{\rm S}(t)$  müssen alle &bdquo;Fünf–Bit–Kombinationen” enthalten sein   ⇒   mindestens  $2^5 = 32$  Teilstücke   ⇒   maximal  $32$  unterscheidbare Linien.
::* Das Diagramm bewertet das Einschwingverhalten des Nutzsignals. Je größer die (normierte) Augenöffnung ist, desto weniger Impulsinterferenzen gibt es.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''  Gleiche Einstellung wie in  '''(1)'''. Zusätzlich gilt  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 10 \ {\rm dB}$. Bewerten Sie die ausgegebenen Größen  $ö_{\rm norm}$,  $\sigma_{\rm norm}$  und  $p_{\rm U}$.}}

::* $ö_{\rm norm}= 0.542$  zeigt an, dass die Symboldetektion durch benachbarte Impulse beeinträchtigt wird. Für impulsinterferenzfreie Binärsysteme gilt  $ö_{\rm norm}= 1$.
::* Die Augenöffnung kennzeichnet nur das Nutzsignal. Der Rauscheinfluss wird durch  $\sigma_{\rm norm}= 0.184$  erfasst. Dieser Wert sollte möglichst klein sein.
::* Die Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} = {\rm Q}(ö_{\rm norm}/\sigma_{\rm norm}\approx 0.16\%)$  bezieht sich allein auf die &bdquo;ungünstigsten Folgen”, bei &bdquo;Gauß” z. B.  $-1, -1, +1, -1, -1$.
::* Andere Folgen werden weniger verfälscht   ⇒   die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm M}$  ist (meist) deutlich kleiner als $p_{\rm U}$  (beschreibt den &bdquo;''Worst Case''”).

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''  Die letzten Einstellungen bleiben. Mit welchem  $f_{\rm G}/R_{\rm B}$–Wert wird die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U}$  minimal? Auch das Augendiagramm betrachten.}}

::* Der minimale Wert  $p_{\rm U, \ min} \approx 0.65 \cdot 10^{-4}$  ergibt sich für  $f_{\rm G}/R_{\rm B} \approx 0.8$, und zwar nahezu unabhängig vom eingestellten  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0$.
::* Der normierte Rauscheffektivwert steigt zwar gegenüber dem Versuch  '''(2)'''  von  $\sigma_{\rm norm}= 0.168$  auf  $\sigma_{\rm norm}= 0.238$  an.
::* Dies wird aber durch die größere Augenöffnung  $ö_{\rm norm}= 0.91$  gegenüber  $ö_{\rm norm}= 0.542$  mehr als ausgeglichen  $($Vergrößerungsfaktor $\approx 1.68)$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''  Für welche Grenzfrequenzen  $(f_{\rm G}/R_{\rm B})$  ergibt sich eine völlig unzureichende Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} \approx 50\%$ ? Auch das Augendiagramm betrachten.}}

::* Für  $f_{\rm G}/R_{\rm B}<0.28$  ergibt sich ein geschlossenes Auge  $(ö_{\rm norm}= 0)$  und damit eine worst–case Fehlerwahrscheinlichkeit in der Größenordnung von  $50\%$.
::* Die Entscheidung über ungünstig eingerahmte Bit muss dann zufällig erfolgen, auch bei geringem Rauschen  $(10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 16 \ {\rm dB})$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''  Wählen Sie nun die Einstellungen  $M=2 \text{, nach Spalt–TP, }T_{\rm E}/T = 1$,  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 10 \ {\rm dB}$  sowie &bdquo;Auge – Gesamt”. Interpretieren Sie die Ergebnisse. }}

::* Der Detektionsgrundimpuls ist dreieckförmig und das Auge vollständig geöffnet. Die normierte Augenöffnung ist demzufolge  $ö_{\rm norm}= 1.$
::* Aus $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 10 \ {\rm dB}$  folgt $E_{\rm B}/N_0 = 10$   ⇒   $\sigma_{\rm norm} =\sqrt{1/(2\cdot E_{\rm B}/ N_0)} = \sqrt{0.05} \approx 0.224 $  ⇒   $p_{\rm U} = {\rm Q}(4.47) \approx 3.9 \cdot 10^{-6}.$
::* Dieser Wert ist um den Faktor  $15$  besser als in '''(3)'''.   Aber:  Bei  $H_{\rm K}(f) \ne 1$  ist der Matched-Filter-Empfänger so nicht anwendbar.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''  Gleiche Einstellung wie in  '''(5)'''. Variieren Sie nun  $T_{\rm E}/T$  im Bereich zwischen  $0.5$  und  $1.5$. Interpretieren Sie die Ergebnisse.}}

::* Für  $T_{\rm E}/T < 1$  gilt weiterhin  $ö_{\rm norm}= 1$. Aber  $\sigma_{\rm norm}$  wird größer, zum Beispiel  $\sigma_{\rm norm} = 0.316$  für  $T_{\rm E}/T =0.5$   ⇒   das Filter ist zu breitbandig!
::* Für  $T_{\rm E}/T > 1$  ergibt sich im Vergleich zu  '''(5)'''  ein kleineres  $\sigma_{\rm norm}$. Aber Das Auge ist nicht mehr geöffnet.  $T_{\rm E}/T =1.25$:  $ö_{\rm norm}= g_0 - 2 \cdot g_1 = 0.6$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(7)'''  Wählen Sie nun die Einstellungen  $M=2 \text{, CRO–Nyquist, }r_f = 0.2$  sowie &bdquo;Auge – Gesamt”. Interpretieren Sie das Augendiagramm, auch für andere  $r_f$–Werte. }}

::* Im Gegensatz zu  '''(6)'''  ist hier der Grundimpuls für  $|t|>T$  nicht Null, aber  $g_d(t)$  hat äquidistane Nulldurchgänge:  $g_0 = 1, \ g_1 = g_2 = 0$   ⇒   '''Nyquistsystem'''.
::* Alle  $32$  Augenlinien gehen bei  $t=0$  durch nur zwei Punkte. Die vertikale Augenöffnung ist für alle  $r_f$  maximal   ⇒    $ö_{\rm norm}= 1$.
::* Dagegen nimmt die horizontale Augenöffnung mit  $r_f$  zu und ist  $r_f = 1$  maximal gleich  $T$   ⇒   Phasenjitter hat in diesem Fall nur geringen Einfluss.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(8)'''  Gleiche Einstellung wie in  '''(7)'''. Variieren Sie nun  $r_f$  im Hinblick auf minimale Fehlerwahrscheinlichkeit. Interpretieren Sie die Ergebnisse.}}
::* $ö_{\rm norm}= 1$  gilt stets. Dagegen zeigt  $\sigma_{\rm norm}$  eine leichte Abhängigkeit von  $r_f$.  DasMinimum  $\sigma_{\rm norm}=0.236$  ergibt sich für  $r_f = 0.9$   ⇒   $p_{\rm U} \approx 1.1 \cdot 10^{-5}.$
::* Gegenüber dem bestmöglichen Fall gemäß  '''(5)'''  &bdquo;Matched–Filter–Empfänger” ist  $p_{\rm U}$  dreimal so groß, obwohl  $\sigma_{\rm norm}$  nur um ca.  $5\%$  größer ist.
::* Der größere  $\sigma_{\rm norm}$–Wert geht auf die Überhöhung des Rausch–LDS zurück, um den Abfall durch den Sender–Frequenzgang  $H_{\rm S}(f)$  auszugleichen.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(9)'''  Wählen Sie die Einstellungen  $M=4 \text{, nach Spalt–TP, }T_{\rm E}/T = 1$,  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 10 \ {\rm dB}$  und  $12 \ {\rm dB}$.  Interpretieren Sie die Ergebnisse. }}

::* Es gibt nun drei Augenöffnungen. Gegenüber  '''(5)'''  ist also  $ö_{\rm norm}$  um den Faktor  $3$  kleiner,  $\sigma_{\rm norm}$  dagegen nur um etwa den Faktor  $\sqrt{5/9)} \approx 0.75$.
::* Für  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 10 \ {\rm dB}$  ergibt sich nun die Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} \approx 2.27\%$  und für  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 12 \ {\rm dB}$  sogar  $0.59\%$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(10)'''  Für die restlichen Aufgaben gelte stets  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 12 \ {\rm dB}$. Betrachten Sie das Augendiagramm für  $M=4 \text{, CRO–Nyquist, }r_f = 0.5$. }}

::* In  $d_{\rm S}(t)$  müssen alle &bdquo;Fünf–'''Symbol'''–Kombinationen” enthalten sein   ⇒   mindestens  $4^5 = 1024$  Teilstücke   ⇒   maximal  $1024$  unterscheidbare Linien.
::* Alle  $1024$  Augenlinien gehen bei  $t=0$  durch nur vier Punkte:  $ö_{\rm norm}= 0.333$. $\sigma_{\rm norm} = 0.143$  ist etwas größer als in  '''(9)'''  ⇒   ebenso  $p_{\rm U} \approx 1\%$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(11)'''  Wählen Sie die Einstellungen  $M=4 \text{, nach Gauß–TP, }f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.48$  und variieren Sie  $f_{\rm G}/R_{\rm B}$.   Interpretieren Sie die Ergebnisse. }}

::* $f_{\rm G}/R_{\rm B}=0.48$  führt zur minimalen Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} \approx 0.21\%$.  Kompromiss zwischen  $ö_{\rm norm}= 0.312$  und  $\sigma_{\rm norm}= 0.109$.
::* Bei zu kleiner Grenzfrequenz dominieren die Impulsinterferenzen.  Beispiel:  $f_{\rm G}/R_{\rm B}= 0.3$:  $ö_{\rm norm}= 0.157; $ $\sigma_{\rm norm}= 0.086$  ⇒    $p_{\rm U} \approx 3.5\%$.
::* Bei zu großer Grenzfrequenz dominiert das Rauschen.  Beispiel:  $f_{\rm G}/R_{\rm B}= 1.0$:  $ö_{\rm norm}= 0.333; $ $\sigma_{\rm norm}= 0.157$  ⇒    $p_{\rm U} \approx 1.7\%$.
::* Aus dem Vergleich mit  '''(9)'''  erkennt man:  '''Bei Quaternärcodierung ist es günstiger, Impulsinterferenzen zuzulassen'''.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(12)'''  Welche Unterschiede zeigt das Auge für  $M=3 \text{ (AMI-Code), nach Gauß–TP, }f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.48$  gegenüber dem vergleichbaren Binärsystem? Interpretation. }}
::* Der Detektionsgrundimpuls  $g_d(t)$  ist in beiden Fällen gleich. Die Abtastwerte sind jeweils  $g_0 = 0.771, \ g_1 = 0.114$.
::* Beim AMI–Code gibt es zwei Augenöffnungen mit je  $ö_{\rm norm}= 1/2 \cdot (g_0 -3 \cdot g_1) = 0.214$.  Beim Binärcode:  $ö_{\rm norm}= g_0 -2 \cdot g_1 = 0.543$.
::* Die AMI–Folge besteht zu 50% aus Nullen. Die Symbole  $+1$  und  $-1$  wechseln sich ab   ⇒   es gibt keine lange  $+1$–Folge und keine lange  $-1$–Folge.
::* Darin liegt der einzige Vorteil des AMI–Codes:  Dieser kann auch bei einem gleichsignalfreien Kanal   ⇒   $H_{\rm K}(f= 0)=0$  angewendet werden.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(13)'''  Gleiche Einstellung wie in  '''(12)''', zudem  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 12 \ {\rm dB}$. Analysieren Sie die Fehlerwahrscheinlichkeit des AMI–Codes. }}
::* Trotz kleinerem  $\sigma_{\rm norm} = 0.103$  hat der AMI–Code eine höhere Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} \approx 2\%$  als der Binärcode:  $\sigma_{\rm norm} = 0.146, \ p_{\rm U} \approx \cdot 10^{-4}.$
::* Für  $f_{\rm G}/R_{\rm B}<0.34$  ergibt sich ein geschlossenes Auge  $(ö_{\rm norm}= 0)$  ⇒    $p_{\rm U} =50\%$. Beim Binärcode:  Für  $f_{\rm G}/R_{\rm B}>0.34$  ist das Auge geöffnet.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(14)'''  Welche Unterschiede zeigt das Auge für  $M=3 \text{ (Duobinärcode), nach Gauß–TP, }f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.30$  gegenüber dem vergleichbaren Binärsystem? }}
::* Redundanzfreier Binärcode:  $ö_{\rm norm}= 0.096, \ \sigma_{\rm norm} = 0.116   ⇒   p_{\rm U} \approx 20\% $.       Duobinärcode:  $ö_{\rm norm}= 0.167, \ \sigma_{\rm norm} = 0.082   ⇒   p_{\rm U} \approx 2\% $.
::*Insbesondere bei kleinem  $f_{\rm G}/R_{\rm B}$  liefert der Duobinärcode gute Ergebnisse, da die Übergänge von  $+1$  nach  $-1$  (und umgekehrt) im Auge fehlen.
::*Selbst mit  $f_{\rm G}/R_{\rm B}=0.2$  ist das Auge noch geöffnet. Im Gegensatz zum AMI–Code  ist aber &bdquo;Duobinär” bei gleichsignalfreiem Kanal nicht anwendbar.

==Zur Handhabung des Applets==
 
[[Datei:Anleitung_Auge.png|right|600px]]
    '''(A)'''     Auswahl:   Codierung                    (binär,  quaternär,  AMI–Code,  Duobinärcode)

    '''(B)'''     Auswahl:   Detektionsgrundimpuls                     (nach Gauß–TP,  CRO–Nyquist,  nach Spalt–TP}

    '''(C)'''     Prametereingabe zu  '''(B)'''                    (Grenzfrequenz,  Rolloff–Faktor,  Rechteckdauer)

    '''(D)'''     Steuerung der Augendiagrammdarstellung                    (Start,  Pause/Weiter,  Einzelschritt,  Gesamt,  Reset)

    '''(E)'''     Geschwindigkeit der Augendiagrammdarstellung

    '''(F)'''     Darstellung:  Detektionsgrundimpuls  $g_d(t)$

    '''(G)'''     Darstellung:  Detektionsnutzsignal  $d_{\rm S}(t - \nu \cdot T)$

    '''(H)'''     Darstellung:  Augendiagramm im Bereich  $\pm T$

    '''( I )'''     Numerikausgabe:  $ö_{\rm norm}$  (normierte Augenöffnung)

    '''(J)'''     Prametereingabe  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0$  für  '''(K)'''

    '''(K)'''     Numerikausgabe:  $\sigma_{\rm norm}$  (normierter Rauscheffektivwert)

    '''(L)'''     Numerikausgabe:  $p_{\rm U}$  (ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit)

    '''(M)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung:   Aufgabenauswahl

    '''(N)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung:   Aufgabenstellung

    '''(O)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung:   Musterlösung einblenden
 
==Über die Autoren==
Dieses interaktive Berechnungstool wurde am  [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]  der  [https://www.tum.de/ Technischen Universität München]  konzipiert und realisiert.
*Die erste Version wurde 2008 von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Thomas_Gro.C3.9Fer_.28Diplomarbeit_LB_2006.2C_danach_freie_Mitarbeit_bis_2010.29|Thomas Großer]]  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit mit &bdquo;FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_von_1974-2024.29|Günter Söder]]).
* 2019 wurde das Programm von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf &bdquo;HTML5” umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer:  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29|Tasnád Kernetzky]]).

Die Umsetzung dieses Applets auf HTML 5 wurde durch  [https://www.ei.tum.de/studium/studienzuschuesse/ Studienzuschüsse]  der Fakultät EI der TU München finanziell unterstützt. Wir bedanken uns.

==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==

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