Aufgabe 5.8Z: Matched-Filter bei Rechteck-LDS

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Nutzsignal–Spektrum  $G(f)$  und LDS  ${\it \Phi}_n (f)$  der Störung

Die bei einem System wirksame Störleistungsdichte kann als bereichsweise konstant angenommen werden:

$$\it{\Phi} _n \left( f \right) = \left\{ \begin{array}{l} N_0 /2 \\ N_1 /2 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{20}c} \rm{f\ddot{u}r} \\ \rm{f\ddot{u}r} \\\end{array}\quad \begin{array}{*{20}c} {\left| f \right| \le f_{\rm N} ,} \\ {\left| f \right| > f_{\rm N} .} \\\end{array}$$
  • Hierbei sei die Störleistungsdichte  $N_1$  im äußeren Bereich  $|f| > f_{\rm N}$  stets sehr viel kleiner als  $N_0$.
  • Verwenden Sie zum Beispiel die folgenden Werte:
$$N_0 = 2 \cdot 10^{ - 6} \;{\rm{V}}^{\rm{2}} /{\rm{Hz}},\quad N_1 = 2 \cdot 10^{ - 8} \;{\rm{V}}^{\rm{2}}/ {\rm{Hz}}.$$

Ein solches Störsignal  $n(t)$  tritt zum Beispiel auf, wenn die dominante Störquelle nur Anteile unterhalb der Grenzfrequenz  $f_{\rm N}$  beinhaltet.  Aufgrund des unvermeidbaren thermischen Rauschens ist auch für  $|f| > f_{\rm N}$  die Störleistungsdichte  ${\it \Phi}_n(f) \ne 0$.

Weiter gelte:

  • Das Spektrum  $G(f)$  des Nutzsignals sei entsprechend der obigen Skizze ebenfalls rechteckförmig.
  • Der zugehörige Nutzimpuls  $g(t)$  hat deshalb mit  $\Delta f = 2 \cdot f_{\rm G}$  den folgenden Verlauf:
$$g(t) = G_0 \cdot \Delta f \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} \left( {{\rm{\pi }} \cdot \Delta f \cdot t} \right).$$
  • Das Empfangsfilter sei optimal an das Nutzspektrum  $G(f)$  und das Störleistungsdichtespektrums  ${\it \Phi}_n(f)$  angepasst.
  • Das heißt,  es gelte  $H_{\rm E}(f) = H_{\rm MF}(f)$.  Der Detektionszeitpunkt sei vereinfachend  $T_{\rm D} = 0$  (akausale Systembeschreibung).





Hinweise:

  • Verwenden Sie für numerische Berechnungen stets die Zahlenwerte
$$G_0 = 10^{ - 4} \;{\rm{V/Hz}}{\rm{, }}\quad \Delta f = 10\;{\rm{kHz}}.$$


Fragebogen

1

Welche der folgenden Aussagen gelten unter der Voraussetzung  $f_{\rm N} > f_{\rm G}$?

Anwendbar ist das „Matched-Filter” für „Weißes Rauschen”.
Der MF–Ausgangsimpuls ist dreieckförmig.
Der MF–Ausgangsimpuls ist  $\rm si$–förmig.
Der MF–Ausgangsimpuls ist  $\rm si^2$–förmig.

2

Welches S/N–Verhältnis (in dB) ergibt sich für  $f_{\rm N} > f_{\rm G}$?

$10 \cdot \lg \; \rho_d \ = \ $

$\ \rm dB$

3

Welches SNR (in dB) ergibt sich für  $f_{\rm N} = f_{\rm G}/2$?  Interpretation.

$10 \cdot \lg \; \rho_d \ = \ $

$\ \rm dB$


Musterlösung

(1)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3:

  • Für alle Frequenzen  $|f| > f_{\rm G}$, bei denen das Nutzsignal Spektralanteile besitzt  $(G_d(f) \ne 0)$, ist das Störleistungsdichtespektrum  ${\it}\Phi_n(f) = N_0/2$.
  • Damit lautet der Frequenzgang des Matched-Filters,  $T_{\rm D} = 0$  vorausgesetzt:
$$H_{\rm MF} (f) = K_{\rm MF} \cdot G(f).$$
  • Der optimale Frequenzgang  $H_{\rm MF}(f)$  ist in diesem Fall ebenso wie  $G(f)$  rechteckförmig mit Breite  $\Delta f$.
  • Für den Nutzanteil des MF-Ausgangssignals gilt somit:
$$d_{\rm S}(t)\quad \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \quad G(f) \cdot H_{\rm MF} (f).$$
  • Das Produkt zweier Rechteckfunktionen gleicher Breite ergibt wiederum eine Rechteckfunktion.
  • Daraus folgt weiter, dass der Ausgangsimpuls des Matched-Filters ebenfalls  $\rm si$-förmig verläuft.



(2)  Bei weißem Rauschen erhält man:

$$\rho _d = \frac{1}{N_0 /2}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {G(f)} \right|^2 \, {\rm{d}}f.}$$
  • Das Integral liefert den Wert  $G_0^2 \cdot \Delta f$.  Daraus folgt:
$$\rho _d = \frac{G_0 ^2 \cdot \Delta f }{N_0 /2} = \frac{ 10^{ - 8}\,(\rm V/Hz)^2 \;\cdot10^4 \;{\rm{Hz}} }{10^{ - 6}\,\rm V^2/Hz} = 10^2 \quad \Rightarrow \quad 10\lg \rho _d \hspace{0.15cm}\underline { = 20\;{\rm{dB}}}.$$


Zur Teilaufgabe  (3)

(3)  Allgemein gilt für das SNR bei farbiger Störung:

$$\rho _d = 2 \cdot \int_0^\infty \frac{\left| {G(f)} \right|^2 }{{\it \Phi}_n (f)} \, {\rm{d}}f.$$
  • Wie aus nebenstehender qualitativer Skizze hervorgeht, ist der Integrand bei den vorgegebenen Frequenzgängen stückweise konstant.
  • Mit  $f_{\rm G} = 5 \; \rm kHz$  und  $f_{\rm N} = f_{\rm G}/2 = 2.5 \; \rm kHz$  erhält man somit:
$$\rho _d = 2 \cdot 2.5\;{\rm{kHz}}\left( { \frac{10^{ - 2}}{\rm{Hz}} + \frac{1}{{{\rm{Hz}}}} } \right) = 5.05 \cdot 10^3 \quad \Rightarrow \quad 10\cdot\lg \rho _d \hspace{0.15cm}\underline {= 37.03\;{\rm{dB}}}.$$


Interpretation

  • Der Matched–Filter–Frequenzgang  $H_{\rm MF}(f)$  hat genau den selben Verlauf wie der oben skizzierte Integrand.
  • Wird die Konstante  $K_{\rm MF}$  (willkürlich) so gewählt, dass im Bereich  $f_{\rm N} \le |f| \le f_{\rm G}$  der MF–Frequenzgang den Wert  $1$  besitzt, so gilt für tiefe Frequenzen  $(|f| < f_{\rm G})$:   $H_{\rm MF}(f) = 0.01$. Das bedeutet:
  • Das Matched–Filter bevorzugt diejenigen Frequenzen, die durch die Störung  ${\it \Phi}_n(f)$  nur wenig beeinträchtigt werden.
  • Würde man stattdessen ein Filter  $H(f)$  verwenden, das alle Frequenzen des Nutzsignals bis einschließlich  $f_{\rm G}$  gleich bewertet  (violetter Kurvenverlauf in der unteren Skizze), so ergäben sich folgende Verhältnisse:
$$d_{\rm S}( {T_{\rm D} } ) = G_0 \cdot 2 \cdot f_{\rm G} = 1\;{\rm{V}}, \quad \sigma _d ^2 = 10^{ - 6} \frac{{{\rm{V}}^{\rm{2}} }}{{{\rm{Hz}}}} \cdot f_{\rm G} + 10^{ - 8} \frac{{{\rm{V}}^{\rm{2}} }}{{{\rm{Hz}}}} \cdot ( {f_{\rm G} - f_{\rm N} } ) = 2.5 \cdot 1.01 \cdot 10^{ - 3} \;{\rm{V}}^{\rm{2}}$$
$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} \rho _d = \frac {d_{\rm S}( {T_{\rm D} } )^2}{\sigma _d ^2} = \frac{1 \;{\rm{V}}^{\rm{2}}}{2.525 \cdot 10^{ - 3} \;{\rm{V}}^{\rm{2}}} = 396 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rm lg} \, \rho _d = 25.98 \, {\rm dB}.$$
  • Das Signal–zu–Rauschverhältnis ist somit um ca.  $11\ \rm dB$  schlechter, als wenn man das Matched–Filter für farbige Störungen verwendet.