Aufgabe 3.6: Gerades/ungerades Zeitsignal

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„Keilfunktion” sowie ein gerades und ein ungerades Zeitsignal

Gesucht ist das Spektrum  $X(f)$  des nebenstehend skizzierten impulsförmigen Signals  $x(t)$, das im Bereich von  $–T/2$  bis  $+T/2$  linear von  $2\,\text{ V}$  auf  $4\,\text{ V}$  ansteigt und außerhalb Null ist.

Die Spektralfunktionen der unten dargestellten Signale  $g(t)$  und  $u(t)$  werden als bekannt vorausgesetzt:

  • Die gerade, rechteckförmige Zeitfunktion  $g(t)$  hat das Spektrum
$$G( f ) = A_g \cdot T \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits}( { {\rm{\pi }}fT} ) \hspace{0.3cm} {\rm{mit}}\hspace{0.3cm} {\mathop{\rm si}\nolimits}( x ) = {\sin ( x )}/{x}.$$
  • Das Spektrum der unsymmetrischen Funktion  $u(t)$  lautet:
$$U( f ) = - {\rm{j}} \cdot \frac{ {A_u \cdot T}}{ {2{\rm{\pi }}fT}}\big[ {{\mathop{\rm si}\nolimits} ( { {\rm{\pi }}fT} ) - \cos ( { {\rm{\pi }}fT} )} \big].$$





Hinweise:



Fragebogen

1

Berechnen Sie die (rein imaginären) Spektralwerte des unsymmetrischen Signals  $u(t)$  bei den Frequenzen  $f = 0.5\,\text{kHz}$  und  $f = 1\,\text{kHz}$.

${\rm Im}\big[U(f=0.5 \,\text{kHz})\big] \ = \ $

 $\text{mV/Hz}$
${\rm Im}\big[U(f=1.0 \,\text{kHz})\big]\ = \ $

 $\text{mV/Hz}$

2

Wie groß ist der Spektralwert von  $u(t)$  bei der Frequenz  $f = 0$?     Hinweis: Lieber denken als rechnen.

${\rm Im}\big[U(f=0)\big]\ = \ $

 $\text{mV/Hz}$

3

Berechnen Sie unter Verwendung des Ergebnisses aus  (1)  den Spektralwert des Signals  $x(t)$  bei der Frequenz  $f=0.5 \,\text{kHz}$.

${\rm Re}\big[X(f=0.5 \,\text{kHz})\big]\ = \ $

 $\text{mV/Hz}$
${\rm Im}\big[X(f=0.5 \,\text{kHz})\big]\ = \ $

 $\text{mV/Hz}$


Musterlösung

(1)  Für  $f \cdot T = 0.5$  erhält man aus der angegebenen Gleichung:

$$U( {f = 0.5\;{\rm{kHz}}} ) = - {\rm{j}} \cdot \frac{ {A_u \cdot T}}{ {\rm{\pi }}} \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {{ {\rm{\pi }}}/{2}} ) = - {\rm{j}} \cdot \frac{2}{ { {\rm{\pi }}^{\rm{2}} }} \cdot A_{\rm u} \cdot T.$$
  • Der Imaginärteil ist zahlenmäßig  ${\rm Im}[U(f=0.5 \,\text{kHz})]\; \underline{\approx 0.2 \,\text{mV/Hz}}$.
  • Dagegen liefert die si-Funktion bei  $f \cdot T = 1$  den Wert Null, während der Cosinus gleich  $-1$  ist. Damit erhält man mit  $A_u = 1\,\text{V}$  und  $T = 1\,\text{ms}$:
$$U( {f = 1\;{\rm{kHz}}} ) = {\rm{j}} \cdot \frac{ {A_{\rm u} \cdot T}}{ { {\rm{2\pi }}}} \hspace{0.3 cm} \Rightarrow \hspace{0.3 cm} {\rm Re} [\text{...}] \hspace{0.15 cm}\underline{ = 0}, \hspace{0.3 cm}{\rm Im} [\text{...}] \hspace{0.15 cm}\underline{\approx 0.159 \;{\rm{mV/Hz}}}.$$


(2)  Eine ungerade Zeitfunktion  $u(t)$  besitzt nach dem Zuordnungssatz stets ein imaginäres und gleichzeitig ungerades Spektrum:   $U( { - f} ) = - U( f ).$ Mit dem Grenzübergang  $f \rightarrow \infty$  folgt aus der angegebenen Gleichung

$$U( f ) = - {\rm{j}} \cdot \frac{ {A_u \cdot T}}{ {2{\rm{\pi }}fT}}\big[ { {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {{\rm{\pi }}fT} ) - \cos ( { {\rm{\pi }}fT} )} \big]$$

das Ergebnis  $U(f = 0) = 0$. Formal könnte man dieses Ergebnis durch Anwendung der l'Hospitalschen Regel bestätigen.

Wir gehen etwas pragmatischer vor.

  • Setzen wir zum Beispiel  $f \cdot T = 0.01$, so erhält man:
$$U( {f \cdot T = 0.01}) = -{\rm{j}} \cdot \frac{ {A_{\rm u} \cdot T}}{{0.02{\rm{\pi }}}}\big[ {{\mathop{\rm si}\nolimits} ( {0.01{\rm{\pi }}} ) - \cos ( {0.01{\rm{\pi }}} )} \big ] = - {\rm{j}} \cdot \frac{ {A{\rm u} \cdot T}}{{0.02{\rm{\pi }}}}( {0.999836 - 0.999507} ) \approx - {\rm{j}} \cdot 5 \cdot 10^{ - 6} \;{\rm{V/Hz}}{\rm{.}}$$
  • Für noch kleinere Frequenzwerte wird auch das Ergebnis immer kleiner.
  • Schneller kommt man zum Ergebnis  $U(f = 0)\;\underline{ = 0}$, wenn man berücksichtigt, dass das Integral über  $u(t)$  verschwindet.
  • Man muss also gar nicht rechnen.


(3)  Das Signal  $x(t)$  kann in den geraden und den ungeraden Anteil aufgeteilt werden, die zum geraden Realteil bzw. ungeraden Imaginärteil von  $X(f)$  führen:

  • Der gerade Anteil ist gleich der Funktion  $g(t)$  mit  $A_g = 3\,\text{V}$. Daraus folgt für den Realteil des Spektralwertes bei  $f \cdot T = 0.5$:
$${\mathop{\rm Re}\nolimits} \left[ {X( {f \cdot T = 0.5} )} \right] = A_{\rm g} \cdot T \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {{ {\rm{\pi }}}/{2}} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 1.91 \;{\rm{mV/Hz}}}{\rm{.}}$$
  • Der Imaginärteil ergibt sich aus der Spektralfunktion  $U(f)$ mit $A_u = 1\,\text{V}$. Dieser wurde bereits in der Teilaufgabe  (1)  berechnet:
$${\mathop{\rm Im}\nolimits} \left[ {X( {f \cdot T = 0.5} )} \right] \hspace{0.15 cm}\underline{\approx - 0.2 \;{\rm{mV/Hz}}}{\rm{.}}$$