Aufgabe 3.5: Rekursive Filter für GF(2)

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Allgemeines rekursives Filter und betrachtete Realisierung

Die obere der beiden dargestellten Schaltungen zeigt ein rekursives Filter zweiter Ordnung in allgemeiner Form. Mit

A(D) = a0+a1⋅D+a2⋅D2,
B(D) = 1+b1⋅D+b2⋅D2

erhält man für die Übertragungsfunktion

G(D)=A(D)B(D)=a0+a1⋅D+a2⋅D21+b1⋅D+b2⋅D2.

Zu beachten ist, dass sich alle Rechenoperationen auf  GF(2)  beziehen. Damit sind auch die Filterkoeffizienten  a0, a1, a2, b1  und  b2  binär (entweder  0  oder  1).

Die untere Grafik zeigt das für die vorliegende Aufgabe spezifische Filter:

  • Ein Filterkoeffizient ergibt sich zu  ai=1, wenn die Verbindung durchgeschaltet ist  (0≤i≤2).
  • Andernfalls ist  ai=0. Die gleiche Systematik gilt für die Koeffizienten  b1  und  b2.


In den Teilaufgaben (1), ... , (3) sollen Sie für verschiedene Eingangssequenzen

  • u_=(1,0,0,0,0,0,0,0,...),
  • u_=(0,1,0,1,0,0,1,1,...),
  • u_=(1,1,1,0,0,0,0,0,...)


die jeweilige Ausgangssequenz  x_  anhand der vorgegebenen Schaltung ermitteln. Es ist zu berücksichtigen:

  • Besteht die Eingangssequenz  u_  aus einer Eins gefolgt von lauter Nullen, so bezeichnet man diese spezifische Ausgangssequenz  x_  als die  Impulsantwort  g_, und es gilt:
g_∘−−D−∙G(D).
  • Andernfalls ergibt sich die Ausgangssequenz als das  Faltungsprodukt  zwischen Eingangssequenz und Impulsantwort:
x_=u_∗g_.




Hinweise:


Fragebogen

1

Welche Aussagen gelten für die Impulsantwort  g_  des rekursiven Filters?

Es gilt  g_=(0,1,1,0,1,0,0,1,...).
Es gilt  g_=(1,1,1,0,1,1,0,1,...).
Die Impulsantwort  g_  ist unendlich weit ausgedehnt.

2

Es sei nun  u_=(0,1,0,1,0,0,1,1). Welche Aussagen treffen zu?

Die Ausgangssequenz lautet:  x_=(0,1,1,0,1,0,0,1,...).
Die Ausgangssequenz lautet:  x_=(1,1,1,0,1,1,0,1,...).
Die Ausgangssequenz  x_  reicht bis ins Unendliche.

3

Nun gelte  u_=(1,1,1). Welche Aussagen treffen zu?

Die Ausgangssequenz  x_  beginnt mit  (1,0,1).
Die Ausgangssequenz  x_  beginnt mit  (1,1,1).
Die Ausgangssequenz  x_  reicht bis ins Unendliche.

4

Welche Aussagen gelten für die Übertragungsfunktion  G(D)?

Es gilt  G(D)=(1+D2)/(1+D+D2).
Es gilt  G(D)=(1+D+D2)/(1+D2).
Es gilt  G(D)=1+D+D2+D4+D5+D7+D8+... .


Musterlösung

Musterlösung

(1)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:

Zur Berechnung der Impulsantwort g_
  • Die Impulsantwort g_ ist gleich der Sequenz x_ für die Eingangssequenz u_=(1,0,0,...). Anhand der Filterstruktur ergibt sich mit w0=w−1=0 und den Gleichungen
wi = ui+wi−1+wi−2,
xi = wi+wi−2
das Ergebnis g_=x_=(1,1,1,0,1,1,0,1,...) entsprechend Lösungsvorschlag 2, wie nebenstehende Berechnung zeigt.
  • Richtig ist aber zusätzlich auch noch der Lösungsvorschlag 3, da man aus diesem Berechnungsschema weiter folgende Periodizitäten der Impulsantwort g_ (bis ins Unendliche) wegen jeweils gleicher Registerbelegung erkennt:
g3 = g6=g9=...=1,
g4 = g7=g10=...=0,
Zur Berechnung der Ausgangssequenz x_
g5 = g8=g11=...=1.






(2) Nach ähnlichen Berechnungen wie in Teilaufgabe (1) erkennt man die Richtigkeit der Lösungsvorschläge 1 und 3:

  • Auch die Ausgangssequenz x_ reicht bis ins Unendliche.
  • Es zeigen sich auch wieder Periodizitäten.


Zum gleichen Ergebnis gelangt man, wenn man die um eine, drei, sechs bzw. sieben Positionen (nach rechts) verschobenen Impulsantworten g_=(1,0,1,0,1,1,0,1,...) im Galoisfeld GF(2) addiert:

x_=(0,1,1,1,0,1,1,0,...)+(0,0,0,1,1,1,0,1,...)+(0,0,0,0,0,0,1,1,...)+(0,0,0,0,0,0,0,1,...)
⇒x_=(0,1,1,0,1,0,0,1,...).

Aufgrund der Linearität des betrachteten Systems ist dies erlaubt.


(3)  Hier wählen wir den Weg über die D–Transformierten:

u_=(1,1,1)∘−−D−∙U(D)=1+D+D2.
  • Mit der Übertragungsfunktion G(D)=(1+D2)/(1+D+D2) erhält man somit für die D–Transformierte der Ausgangssequenz:
X(D)=U(D)⋅G(D)=1+D+D2⋅1+D21+D+D2=1+D2⇒x_=(1,0,1,0,0,0,...).
  • Richtig ist hier nur der Lösungsvorschlag 1: Trotz unendlich langer Impulsantwort g_ ist bei dieser Eingangssequenz u_ die Ausgangssequenz x_ auf drei Bit begrenzt.
  • Zum gleichen Ergebnis kommt man wieder durch Addition verschobener Impulsantworten:
x_=(1,1,1,0,1,1,0,1,...)+(0,1,1,1,0,1,1,0,...)+(0,0,1,1,1,0,1,1,...)=(1,0,1,0,0,0,0,0,...).


GF(2)–Polynomdivision (1+D2)/(1+D+D2)

(4)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3:

  • Auf dem Angabenblatt ist die allgemeine Übertragungsfunktion eines rekursiven Filters zweiter Ordnung wie folgt gegeben.
G(D)=a0+a1⋅D+a2⋅D21+b1⋅D+b2⋅D2.
  • Das hier betrachtete Filter ist durch die Koeffizienten a0=a2=b1=b2=1 und a1=0 bestimmt. Somit erhält man das Ergebnis entsprechend dem Lösungsvorschlag 1:
G(D)=1+D21+D+D2.
  • Gleichzeitig ist aber G(D) auch die D–Transformierte der Impulsantwort:
g_=(1,1,1,0,1,1,0, ...)∘−−D−∙G(D)
⇒G(D)=1+D+D2+D4+D5+....
  • Das bedeutet: Richtig ist auch der Lösungsvorschlag 3.
  • Zum gleichen Ergebnis wäre man durch Division der beiden Polynome 1+D2 und 1+D+D2 gekommen, wie die nebenstehende Rechnung zeigt.

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