Aufgabe 3.10: Baumdiagramm bei Maximum-Likelihood

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Signale und Baumdiagramm

Wie in der  "Aufgabe 3.9"  betrachten wir die gemeinsame Entscheidung dreier Binärsymbole  ("Bits")  mittels des Korrelationsempfängers.

• Die möglichen Sendesignale  $s_0(t), \ \text{...} \ , \ s_7(t)$  seien bipolar.

• In der Grafik sind die Funktionen  $s_0(t)$,  $s_1(t)$,  $s_2(t)$  und  $s_3(t)$  dargestellt.

• Die blauen Kurvenverläufe gelten dabei für rechteckförmige NRZ–Sendeimpulse.

Darunter gezeichnet ist das so genannte  "Baumdiagramm"  für diese Konstellation unter der Voraussetzung,  dass das Signal  $s_3(t)$  gesendet wurde.  Dargestellt sind hier im Bereich von  $0$  bis  $3T$  die Funktionen

$$i_i(t) = \int_{0}^{t} s_3(\tau) \cdot s_i(\tau) \,{\rm d} \tau \hspace{0.3cm}( i = 0, \ \text{...} \ , 7)\hspace{0.05cm}.$$

• Der Korrelationsempfänger vergleicht die Endwerte  $I_i = i_i(3T)$  miteinander und sucht den größtmöglichen Wert  $I_j$.

• Das zugehörige Signal  $s_j(t)$  ist dann dasjenige,  das gemäß dem Maximum–Likelihood–Kriterium am wahrscheinlichsten gesendet wurde.

Anzumerken ist,  dass der Korrelationsempfänger im allgemeinen die Entscheidung anhand der korrigierten Größen  $W_i = I_i \ - E_i/2$  trifft.  Da aber bei bipolaren Rechtecken alle Sendesignale  $(i = 0, \ \text{...} \ , \ 7)$  die genau gleiche Energie

$$E_i = \int_{0}^{3T} s_i^2(t) \,{\rm d} t$$

aufweisen,  liefern die Integrale  $I_i$  genau die gleichen Maximum–Likelihood–Informationen wie die korrigierten Größen  $W_i$.

Die roten Signalverläufe  $s_i(t)$  ergeben sich aus den blauen durch Faltung mit der Impulsantwort  $h_{\rm G}(t)$  eines Gaußtiefpasses mit der Grenzfrequenz  $f_{\rm G} \cdot T = 0.35$.

• Jeder einzelne Rechteckimpuls wird verbreitert.

• Die roten Signalverläufe führen bei Schwellenwertentscheidung zu Impulsinterferenzen.

Hinweis:  Die Aufgabe gehört zum Kapitel  "Optimale Empfängerstrategien".

Fragebogen

1

Geben Sie die folgenden normierten Endwerte  $I_i/E_{\rm B}$  für Rechtecksignale  (ohne Rauschen)  an.

$I_0/E_{\rm B} \ = \ $

$I_2/E_{\rm B} \ = \ $

$I_4/E_{\rm B} \ = \ $

$I_6/E_{\rm B} \ = \ $

2

Welche Aussagen gelten bei Berücksichtigung eines Rauschenterms?

	Das Baumdiagramm ist weiter durch Geradenstücke beschreibbar.
	Ist  $I_3$  der maximale  $I_i$–Wert,  so entscheidet der Empfänger richtig.
	Es gilt unabhängig von der Stärke der Störungen  $I_0 = I_6$.

3

Welche Aussagen gelten für die roten Signalverläufe  (mit Impulsinterferenzen)?

	Das Baumdiagramm ist weiter durch Geradenstücke beschreibbar.
	Die Signalenergien  $E_i(i = 0, \ \text{...} \ , 7$)  sind unterschiedlich.
	Es sind sowohl die Entscheidungsgrößen  $I_i$  als auch  $W_i$  geeignet.

4

Wie sollte der Intergrationsbereich  $(t_1 \ \text{...} \ t_2)$  gewählt werden?

	Ohne Impulsinterferenzen  (blau)  sind  $t_1 = 0$  und  $t_2 = 3T$  bestmöglich.
	Mit Impulsinterferenzen  (rot)  sind  $t_1 = 0$  und  $t_2 = 3T$  bestmöglich.

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Die linke Grafik zeigt das Baumdiagramm (ohne Rauschen) mit allen Endwerten.  Grün hervorgehoben ist der Verlauf  $i_0(t)/E_{\rm B}$  mit dem Endergebnis  $I_0/E_{\rm B} = \ –1$,  der zunächst linear bis  $+1$  ansteigt – weil das jeweils erste Bit von  $s_0(t)$  und $s_3(t)$ übereinstimmen – und dann über zwei Bitdauern abfällt.

Baumdiagramm des Korrelationsempfängers

Die richtigen Ergebnisse lauten somit:

$$I_0/E_{\rm B}\hspace{0.15cm}\underline { = -1},$$

$$I_2/E_{\rm B} \hspace{0.15cm}\underline {= +1},$$

$$I_4/E_{\rm B} \hspace{0.15cm}\underline {= -3},$$

$$I_6/E_{\rm B}\hspace{0.15cm}\underline { = -1} \hspace{0.05cm}.$$

(2)  Richtig ist nur der  zweite Lösungsvorschlag:

• Bei Vorhandensein von  (Rausch–) Störungen nehmen die Funktionen  $i_i(t)$  nicht mehr linear zu bzw. ab,  sondern haben einen Verlauf wie in der rechten Grafik dargestellt.

• Solange  $I_3 > I_{\it i≠3}$  ist,  entscheidet der Korrelationsempfänger richtig.

• Bei Vorhandensein von Störungen gilt stets  $I_0 ≠ I_6$  im Gegensatz zum störungsfreien Baumdiagramm.

(3)  Auch hier ist nur die  zweite Aussage  zutreffend:

• Da nun die möglichen Sendesignale  $s_i(t)$  nicht mehr aus isolierten horizontalen Abschnitten zusammengesetzt werden können,  besteht auch das Baumdiagramm ohne Störungen nicht aus Geradenstücken.

• Da die Energien  $E_i$  unterschiedlich sind – dies erkennt man zum Beispiel durch den Vergleich der  (roten)  Signale  $s_0(t)$  und  $s_2(t)$  – müssen für die Entscheidung unbedingt die korrigierten Größen  $W_i$  herangezogen werden.

• Die Verwendung der reinen Korrelationswerte  $I_i$  kann bereits ohne Rauschstörungen zu Fehlentscheidungen führen.

(4)  Richtig ist die  Antwort 1:

• Im Fall  ohne Impulsinterferenzen  (blaue Rechtecksignale)  sind alle Signale auf den Bereich  $0 \ ... \ 3T$  begrenzt.

• Außerhalb stellt das Empfangssignal  $r(t)$  reines Rauschen dar.  Deshalb genügt in diesem Fall auch die Integration über den Bereich  $0 \ \text{...} \ 3T$. 
• Demgegenüber unterscheiden sich bei Berücksichtigung von Impulsinterferenzen  (rote Signale)  die Integranden  $s_3(t) \cdot s_i(t)$  auch außerhalb dieses Bereichs.
• Wählt man  $t_1 = \ –T$  und  $t_2 = +4T$,  so wird deshalb die Fehlerwahrscheinlichkeit des Korrelationsempfängers gegenüber dem Integrationsbereich  $0 \ \text{...} \ 3T$  weiter verringert.