Aufgabe 2.1: AKF und LDS nach Codierung

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Leistungsdichtespektrum bei Codierung

Wir betrachten das Digitalsignal  $s(t)$,  wobei wir folgende Beschreibungsgrößen verwenden:

• $a_{\nu}$  sind die Amplitudenkoeffizienten,
• $g_{s}(t)$  gibt den Sendegrundimpuls an,
• $T$  ist die Symboldauer  (Abstand der Impulse).

Dann gilt:

$$s(t) = \sum_{\nu = -\infty}^{+\infty} a_\nu \cdot g_s ( t - \nu \cdot T) \hspace{0.05cm}.$$

Zur Charakterisierung der spektralen Eigenschaften,  die sich aufgrund der Codierung und der Impulsformung ergeben,  verwendet man unter anderem

• die Autokorrelationsfunktion  $\rm (AKF)$

$$\varphi_s(\tau) = \sum_{\lambda = -\infty}^{+\infty}{1}/{T} \cdot \varphi_a(\lambda)\cdot \varphi^{^{\bullet}}_{gs}(\tau - \lambda \cdot T)\hspace{0.05cm},$$

• das Leistungsdichtespektrum  $\rm (LDS)$

$${\it \Phi}_s(f) = {1}/{T} \cdot {\it \Phi}_a(f) \cdot {\it \Phi}^{^{\bullet}}_{gs}(f) \hspace{0.05cm}.$$

Hierbei bezeichnet  $\varphi_{a}(\lambda)$  die diskrete Autokorrelationsfunktion der Amplitudenkoeffizienten,  die mit der spektralen Leistungsdichte  ${\it \Phi}_{a}(f)$  über die Fouriertransformation zusammenhängt.  Für diese gilt somit:

$${\it \Phi}_a(f) = \sum_{\lambda = -\infty}^{+\infty}\varphi_a(\lambda)\cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm} 2 \pi f \hspace{0.02cm} \lambda T} \hspace{0.05cm}.$$

Weiterhin sind in obigen Gleichungen die Energie–AKF und das Energiespektrum verwendet:

$$\varphi^{^{\bullet}}_{gs}(\tau) = \int_{-\infty}^{+\infty} g_s ( t ) \cdot g_s ( t + \tau)\,{\rm d} t \hspace{0.4cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet \hspace{0.4cm} {\it \Phi}^{^{\bullet}}_{gs}(f) = |G_s(f)|^2 \hspace{0.05cm}.$$

In der vorliegenden Aufgabe soll für die spektrale Leistungsdichte der Amplitudenkoeffizienten folgender Funktionsverlauf angenommen werden  (siehe Grafik):

$${\it \Phi}_a(f) = {1}/{2} - {1}/{2} \cdot \cos (4 \pi f \hspace{0.02cm} T)\hspace{0.05cm}.$$

Für den Sendegrundimpuls werden folgende Annahmen getroffen:

• In der Teilfrage  (2)  sei  $g_{s}(t)$  ein NRZ–Rechteckimpuls,  so dass eine dreieckförmige Energie–AKF vorliegt,  die auf den Bereich  $|\tau| ≤ T$  beschränkt ist.  Das Maximum ist dabei

$$\varphi^{^{\bullet}}_{gs}(\tau = 0) = s_0^2 \cdot T \hspace{0.05cm}.$$

• Für die Teilaufgabe  (3)  soll von einer Wurzel–Nyquist–Charakteristik mit Rolloff–Faktor  $r = 0$  ausgegangen werden.  In diesem Fall gilt:

$$|G_s(f)|^2 = \left\{ \begin{array}{c} s_0^2 \cdot T^2 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array} \begin{array}{*{20}c} |f| < {1}/({2T}) \hspace{0.05cm}, \\ |f| > {1}/({2T}) \hspace{0.05cm}.\\ \end{array}$$

• Für numerische Berechnungen ist stets  $s_{0}^{2} = 10 \ \rm mW$  zu verwenden.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Grundlagen der codierten Übertragung.

• Berücksichtigen Sie,  dass die Sendeleistung  $P_{\rm S}$  gleich der AKF  $\varphi_{s}(\tau)$  an der Stelle  $\tau = 0$  ist,  aber auch als Integral über das LDS  $\Phi_{s}(f)$  berechnet werden kann.

Fragebogen

1

Welche diskreten AKF–Werte  $\varphi_{a}(\lambda)$  der Amplitudenkoeffizienten ergeben sich?  Geben Sie die Zahlenwerte für  $\lambda = 0$,  $\lambda = 1$  und  $\lambda = 2$  ein.

$\varphi_{a}(\lambda = 0) \ = \ $

$\varphi_{a}(\lambda = 1) \ = \ $

$\varphi_{a}(\lambda = 2) \ = \ $

2

Welche Sendeleistung ergibt sich mit dem  NRZ–Sendegrundimpuls?

$P_{\rm S} \ = \ $ $\ \rm mW$

3

Wie groß ist die Sendeleistung bei  Wurzel–Nyquist–Charakteristik  $(r = 0)$?

$P_{\rm S} \ = \ $ $\ \rm mW$

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Da  ${\it \Phi}_{a}(f)$  als eine spektrale Leistungsdichte stets reell ist  (dazu gerade und positiv,  aber das spielt hier keine Rolle)  und die AKF–Werte  $\varphi_{a}(\lambda)$  symmetrisch um  $\lambda = 0$  sind,  kann die angegebene Gleichung wie folgt umgewandelt werden:

$${\it \Phi}_a(f) = \sum_{\lambda = -\infty}^{+\infty}\varphi_a(\lambda)\cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm} 2 \pi f \hspace{0.02cm} \lambda T} = \varphi_a(0) + \sum_{\lambda = 1}^{\infty}2 \cdot \varphi_a(\lambda)\cdot\cos ( 2 \pi f \hspace{0.02cm} \lambda T) \hspace{0.05cm}.$$

• Durch Vergleich mit der skizzierten Funktion

$${\it \Phi}_a(f) = {1}/{2} - {1}/{2} \cdot \cos (4 \pi f \hspace{0.02cm} T)\hspace{0.05cm}.$$

erhält man:

$${\it \varphi}_a(\lambda = 0)\hspace{0.15cm}\underline { = 0.5}, \hspace{0.2cm} {\it \varphi}_a(\lambda = 2) = {\it \varphi}_a(\lambda = -2) \hspace{0.15cm}\underline {= -0.25} \hspace{0.05cm}.$$

• Alle anderen AKF–Werte ergeben sich zu Null,  also auch  $\varphi_{a}(\lambda = ±1)\hspace{0.15cm}\underline {=0}$.

(2)  Für den rechteckförmigen NRZ–Grundimpuls ergibt sich aufgrund der Begrenzung der Energie–AKF auf den Bereich  $|\tau| ≤ T$:

$$P_{\rm S} = \varphi_s(\tau = 0) = \frac{1}{T} \cdot \varphi_a(\lambda = 0)\cdot \varphi^{^{\bullet}}_{gs}(\tau = 0)= \frac{1}{T} \cdot \frac{1}{2} \cdot s_0^2 \cdot T = \frac{s_0^2}{2} \hspace{0.15cm}\underline {= 5\,\,{\rm mW}}\hspace{0.05cm}.$$

(3)  Bei rechteckförmiger Spektralfunktion ist es günstiger,  die Sendeleistung durch Integration über das Leistungsdichtespektrum zu berechnen:

$$P_{\rm S} = \ \int_{-1/(2T)}^{+1/(2T)} {\it \Phi}_s(f) \,{\rm d} f = \frac{1}{T} \cdot \int_{-1/(2T)}^{+1/(2T)} {\it \Phi}_a(f) \cdot {\it \Phi}^{^{\bullet}}_{gs}(f) \,{\rm d} f$$

$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}P_{\rm S} = \ \frac{1}{T} \cdot \left [ s_0^2 \cdot T^2 \right ] \cdot \int_{-1/(2T)}^{+1/(2T)} \left( {1}/{2} - {1}/{2} \cdot \cos (4 \pi f \hspace{0.02cm} T)\right ) \,{\rm d} f\hspace{0.05cm} = {s_0^2}/{2}\hspace{0.15cm}\underline { = 5\,\,{\rm mW}} .$$

• Hierbei ist berücksichtigt,  dass das  Energie–LDS $|G_{s}(f)|^{2}$  konstant ist  (innerhalb des Integrationsintervalls)  und somit vor das Integral gezogen werden kann.
• Trotz völlig anderer Signalform  $s(t)$  ergibt sich hier die gleiche Sendeleistung,  da das Integral den Wert  $1/(2T)$  liefert.
• Anzumerken ist,  dass diese einfache Rechnung nur für den Rolloff-Faktor  $r = 0$  möglich ist.