Aufgabe 1.2: Einfacher binärer Kanalcode

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Verdeutlichung der Kanal(de)codierung

Die Grafik verdeutlicht die hier betrachtete Kanalcodierung  $\mathcal{C}$:

• Es gibt vier mögliche Informationsblöcke  $\underline{u} = (u_{1},\ u_{2}, \text{...}\hspace{0.05cm} ,\ u_{k})$.

• Jeder Informationsblock  $\underline{u}$  wird eindeutig  (erkennbar an der gleichen Farbe)  dem Codewort  $\underline{x}= (x_{1},\ x_{2}, \text{...}\hspace{0.05cm} ,\ x_{n})$  zugeordnet.

• Aufgrund von Decodierfehlern  $(0 → 1, \ 1 → 0)$  gibt es mehr als vier,  nämlich 16 verschiedene Empfangsworte  $\underline{y} = (y_{1},\ y_{2}, \text{...} \hspace{0.05cm} ,\ y_{n})$.

Ab Teilaufgabe  (4)  betrachten wir folgende Zuordnung:

$$\underline{u_0} = (0,\ 0) \leftrightarrow (0,\ 0,\ 0,\ 0) = \underline{x_0}\hspace{0.05cm},$$

$$\underline{u_1} = (0,\ 1) \leftrightarrow (0,\ 1,\ 0,\ 1) = \underline{x_1}\hspace{0.05cm},$$

$$\underline{u_2} = (1,\ 0) \leftrightarrow (1,\ 0,\ 1,\ 0) = \underline{x_2}\hspace{0.05cm},$$

$$\underline{u_3} = (1,\ 1) \leftrightarrow (1,\ 1,\ 1,\ 1) = \underline{x_3}\hspace{0.05cm}.$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  "Zielsetzung der Kanalcodierung"

• Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten 

• "Blockschaltbild und Voraussetzungen",
• "Einige wichtige Definitionen zur Blockcodierung".

Fragebogen

1

Aus wievielen Binärsymbolen besteht ein Informationsblock?

$k \ = \ $

2

Wie groß ist die Codewortlänge  $n$?

$n \ = \ $

3

Wie groß ist die Coderate?

$R \ = \ $

4

Ist der hier vorgegebene Code systematisch?

	Ja,
	Nein.

5

Geben Sie die Hamming–Gewichte aller Codeworte an.

$w_{\rm H} \ (\underline{x}_0) \ = \ $

$w_{\rm H} \ (\underline{x}_1) \ = \ $

$w_{\rm H} \ (\underline{x}_2) \ = \ $

$w_{\rm H} \ (\underline{x}_3) \ = \ $

6

Geben Sie die Hamming–Distanzen zwischen folgenden Codeworten an.

$d_{\rm H} \ (\underline{x}_0, \underline{x}_1) \ = \ $

$d_{\rm H} \ (\underline{x}_0, \underline{x}_3) \ = \ $

$d_{\rm H} \ (\underline{x}_1, \underline{x}_2) \ = \ $

7

Wie groß ist die minimale Hamming–Distanz des betrachteten Codes  $\mathcal{C}$?

$d_{\rm min} (\mathcal{C}) \ = \ $

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Der Codeumfang ist hier zu  $|\mathcal{C}| = 4$  gegeben.

• Allgemein gilt  $|\mathcal{C}|= 2^k$.
• Daraus folgt  $\underline{ k = 2}$.

(2)  Jedes Codewort   $\underline{x}$   ist eineindeutig einem Informationsblock  $\underline{u}$  zugeordnet.

• Durch Verfälschungen einzelner der insgesamt  $n$  Bit eines Codewortes  $\underline{x}$  ergeben sich die Empfangsworte  $\underline{y}$.
• Aus der Anzahl  $(16 = 2^4)$  der möglichen Empfangsworte folgt  $\underline{ n = 4}$.

(3)  Die Coderate ist per Definition  $R = k/n$.  Mit den obigen Ergebnissen erhält man  $\underline{R = 0.5}$.

(4)  Richtig ist  Ja:  Ein systematischer Code zeichnet sich dadurch aus,  dass jeweils die ersten  $k$  Bit der Codeworte identisch sind mit dem Informationsblock.

(5)  Das Hamming–Gewicht eines binären Codes ist gleich der algebraischen Summe  $x_1 + x_2 + \text{...} + x_n$  über alle Codewortelemente.  Damit gilt:

$$w_{\rm H}(\underline{x}_0) \hspace{0.15cm} \underline {= 0} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}w_{\rm H}(\underline{x}_1) \hspace{0.15cm} \underline {= 2} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} w_{\rm H}(\underline{x}_2) \hspace{0.15cm} \underline {= 2}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}w_{\rm H}(\underline{x}_3) \hspace{0.15cm} \underline {= 4}\hspace{0.05cm}.$$

(6)  Die Hamming–Distanz zwischen zwei Codeworten kann hier nur die Werte  $2$  und  $4$  annehmen:

$$d_{\rm H}(\underline{x}_0, \hspace{0.05cm}\underline{x}_1) \hspace{0.15cm} \underline {= 2}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{x}_0, \hspace{0.05cm}\underline{x}_2) = 2\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{x}_0, \hspace{0.05cm}\underline{x}_3) \hspace{0.15cm} \underline {= 4}\hspace{0.05cm},$$

$$d_{\rm H}(\underline{x}_1, \hspace{0.05cm}\underline{x}_2) \hspace{0.15cm} \underline {= 4}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{x}_1, \hspace{0.05cm}\underline{x}_3) = 2\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{x}_2, \hspace{0.05cm}\underline{x}_3) = 2\hspace{0.05cm}.$$

(7)  Aus dem Ergebnis der Teilaufgabe  (6)  folgt  $d_{\rm min}(\mathcal{C}) \hspace{0.15cm}\underline{= 2}$.

• Allgemein gilt für diese Größe:

$$d_{\rm min}(\mathcal{C}) = \min_{\substack{\underline{x},\hspace{0.05cm}\underline{x}' \hspace{0.05cm}\in \hspace{0.05cm} \mathcal{C} \\ {\underline{x}} \hspace{0.05cm}\ne \hspace{0.05cm} \underline{x}'}}\hspace{0.1cm}d_{\rm H}(\underline{x}, \hspace{0.05cm}\underline{x}')\hspace{0.05cm}.$$