Aufgabe 1.2: Bitfehlerquote (BER)

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Tabelle zweier Gaußscher Fehlerfunktionen

Von einem digitalen Übertragungssystem ist bekannt,  dass es durch ein BSC–Modell  ("Binary Symmetrical Channel")  mit Fehlerwahrscheinlichkeit  p  angenähert werden kann.

Zur Verifizierung soll die Bitfehlerquote ermittelt werden,  indem man die Sinkensymbolfolge  ⟨vν⟩  mit der Quellensymbolfolge  ⟨qν⟩  vergleicht und daraus die Fehlerfolge  ⟨eν⟩  ermittelt.  Dabei gilt:

eν={01f¨urf¨urvν=qν,vν≠qν.

Die Bitfehlerquote  (englisch:  "Bit Error Rate")  ist eine Näherung für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit  p :

BER=1N⋅N∑ν=1eν.

Je größer der Simulationsparameter  N  gewählt wird,  um so genauer ist diese Näherung.

Aus der  Aufgabe 3.7  im Buch „Stochastische Signaltheorie” ist bekannt,  dass die Zufallsgröße „BER” eigentlich binominalverteilt ist,  aber mit guter Näherung durch eine  (diskrete)  Gaußverteilung mit Mittelwert  p  und Streuung  σ  angenähert werden kann:

σ=√p⋅(1−p)N.



Hinweise:


Fragebogen

1

Was beschreibt  BER  im Sinne der Wahrscheinlichkeitsrechnung?

BER  ist eine Wahrscheinlichkeit.
BER  ist eine relative Häufigkeit.
Wenn  N  hinreichend groß ist, stimmt  BER  mit  p  exakt überein.

2

Berechnen Sie die Streuung  σ  für  N=106  und  p=10−2.

σ = 

 ⋅10−4 

3

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Bitfehlerquote betragsmäßig um mehr als  5%  von der Wahrscheinlichkeit  p=10−2_  abweicht?

Pr(|BER–p|>0.05·p) = 

 ⋅10−4 

4

Wie groß ist die gleiche Wahrscheinlichkeit mit  p=10−4_?

Pr(|BER–p|>0.05·p) = 

5

Wie groß müsste  N  mindestens sein, damit bei  p=10−4_  nicht mehr als  10%  außerhalb des Intervalls von  0.95⋅10−4 ... 1.05⋅10−4  liegen?

Nmin = 

 ⋅106 


Musterlösung

Musterlösung

(1)  Richtig ist  nur die zweite Aussage:

  • BER  ist der Quotient aus der Anzahl  nB  der festgestellten Bitfehler und der Anzahl  N  aller simulierten Symbole und damit tatsächlich eine relative Häufigkeit.
  • Die Wahrscheinlichkeit,  dass BER=p  gilt,  ist stets genau Null,  da  BER  eine kontinuierliche Zufallsgröße darstellt.
  • Allerdings wird die Wahrscheinlichkeit,  dass  BER  in einem schmalen Intervall um  p  liegt,  mit steigendem  N  immer größer.


(2)  Die Streuung der Gaußschen Zufallsgröße  BER ergibt sich mit  N=106  und  p=10−2  zu

σ=√p⋅(1−p)/N≈√p/N=10−4_.


(3)  Die Wahrscheinlichkeit,  dass  BER  einen Wert außerhalb des Bereichs  0.95⋅p ... 1.05⋅p  annimmt,  ergibt sich mit  ε=5⋅0−4 (wegen  p=10−2)  zu

Pr(BER<0.95⋅10−2)=Pr(BER>1.05⋅10−2)=Q(ε/σ)
⇒Pr(|BER−p|>ε)=2⋅Q(5⋅10−410−4)=2⋅0.287⋅10−6=0.00574⋅10−4_.


(4)  Mit  p=10−4  gilt für die vergleichbare Wahrscheinlichkeit:

Pr(|BER−10−4|>0.05⋅10−4)=2⋅Q(ε/σ);mitσ≈√p/N=10−5,ε=5⋅10−6:
⇒Pr(|BER−10−4|>0.05⋅10−4)=2⋅Q(5⋅10−610−5)=2⋅0.309=0.618_.


(5)  Diese Bedingung lässt sich mit  ε=5⋅10−6  wie folgt formulieren:

Q(ε/σ)<0.1⇒ε/σ>Q−1(0.05)≈1.64⇒ε2σ2≈ε2⋅Np>1.642=2.69
⇒N>2.69⋅pε2=2.69⋅10−425⋅10−12≈10.8⋅106_.


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