Aufgabe 1.10: BPSK–Basisbandmodell

Aus LNTwww
Wechseln zu:Navigation, Suche

Unsymmetrischer Kanalfrequenzgang

Wir betrachten in dieser Aufgabe ein BPSK–System mit kohärenter Demodulation,  das heißt,  es gilt

s(t) = z(t)q(t),
b(t) = 2z(t)r(t).

Die hier gewählten Bezeichnungen lehnen sich an das  Blockschaltbild  im Theorieteil an.

Der Einfluss eines Kanalfrequenzgangs  HK(f)  lässt sich in einfacher Weise berücksichtigen,  wenn man diesen zusammen mit Modulator und Demodulator durch einen gemeinsamen Basisbandfrequenzgang beschreibt:

HMKD(f)=1/2[HK(ffT)+HK(f+fT)].
  • Damit werden Modulator und Demodulator quasi gegeneinander gekürzt,  und
  • der Bandpasskanal  HK(f)  wird in den Tiefpassbereich transformiert.


Die resultierende Übertragungsfunktion  HMKD(f)  sollte man nicht mit der Tiefpass–Übertragungsfunktion  HK,TP(f)  gemäß der Beschreibung im Kapitel  "Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion"  des Buches „Signaldarstellung” verwechseln,  die sich aus  HK(f)  durch Abschneiden der Anteile bei negativen Frequenzen sowie einer Frequenzverschiebung um  fT  nach links ergibt.

Bei Frequenzgängen muss im Gegensatz zu Spektralfunktionen auf die Verdoppelung der Anteile bei positiven Frequenzen verzichtet werden.



Hinweise:



Fragebogen

1

Welche Aussagen gelten für die äquivalente Tiefpassfunktion  HK,TP(f) ?

Es gilt  HK,TP(f=0)=2.
Es gilt  HK,TP(f=ΔfK/4)=1.
Es gilt  HK,TP(f=ΔfK/4)=0.75.
Die dazugehörige Zeitfunktion  hK,TP(t)  ist komplex.

2

Welche Aussagen gelten für den Frequenzgang  HMKD(f) ?

Es gilt  HMKD(f=0)=2.
Es gilt  HMKD(f=ΔfK/4)=1.
Es gilt  HMKD(f=ΔfK/4)=0.75.
Die dazugehörige Zeitfunktion  hMKD(t)  ist komplex.

3

Berechnen Sie die Zeitfunktion  hMKD(t).  Geben Sie den Wert bei  t=0  an.

hMKD(t=0)/ΔfK = 

4

Welche der folgenden Aussagen treffen zu?

hMKD(t)  hat äquidistante Nulldurchgänge im Abstand  1/ΔfK.
hMKD(t)  hat äquidistante Nulldurchgänge im Abstand  2/ΔfK.


Musterlösung

(1)  Richtig sind die  die Aussagen 2, 3 und 4:

  • HK,TP(f)  ergibt sich aus  HK(f)  durch Abschneiden der negativen Frequenzanteile sowie Verschieben um  fT  nach links.
  • Bei Frequenzgängen wird – im Gegensatz zu Spektren – auf das Verdoppeln der Anteile bei positiven Frequenzen verzichtet.  Deshalb:
HK,TP(f=0)=HK(f=fT)=1.
  • Wegen der reellen und unsymmetrischen Spektralfunktionen  HK,TP(f)  ist die zugehörige Zeitfunktion  (Fourierrücktransformierte)  hK,TP(t) nach  dem Zuordnungssatz komplex.


Tiefpassfunktionen für HK(f)

(2)  Hier ist nur der  dritte Lösungsvorschlag richtig:

  • Die Spektralfunktion  HMKD(f)  besitzt stets einen geraden Realteil und keinen Imaginärteil.  Demzufolge ist  hMKD(t)  stets reell.
  • Hätte  HK(f)  zusätzlich einen um  f=fT  ungeraden Imaginärteil,  so würde  HMKD(f) einen um  f=0  ungeraden Imaginärteil aufweisen.  Damit wäre  hMKD(t)  immer noch eine reelle Funktion.


Die Grafik verdeutlicht die Unterschiede zwischen  HK,TP(f)  und  HMKD(f).  Die Anteile von  HMKD(f)  im Bereich um  ±2fT  müssen nicht weiter beachtet werden.


(3)  HMKD(f)  setzt sich additiv aus einem Rechteck und einem Dreieck zusammen,  jeweils mit Breite  ΔfK  und Höhe  0.5.  Daraus folgt:

hMKD(t)=ΔfK2si(πΔfKt)+ΔfK4si2(πΔfK2t)
hMKD(t=0)=ΔfK2+ΔfK4=0.75ΔfKhMKD(t=0)/ΔfK=0.75_.


(4)  Richtig ist der  zweite Lösungsvorschlag:

  • Die erste si–Funktion besitzt zwar äquidistante Nulldurchgänge im Abstand  1/ΔfK.
  • Die äquidistanten Nulldurchgänge der gesamten Zeitfunktion  hMKD(t)  werden aber durch den zweiten Term bestimmt:
hMKD(t=1ΔfK)= ΔfK2si(π)+ΔfK4si2(π/2)=ΔfK4,
hMKD(t=2ΔfK)= ΔfK2si(2π)+ΔfK4si2(π)=0.