Aufgabe 1.08: Identische Codes

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Zuordnung des  $(6, 3)$–Blockcodes

Wir betrachten einen Blockcode  $\mathcal{C}$,  der durch folgende Generatormatrix beschrieben wird:

$${ \boldsymbol{\rm G}} = \begin{pmatrix} 0 &0 &1 &0 &1 &1\\ 1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &1 &1 &1 &1 &0 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$

Die Zuordnung zwischen den Informationsworten  $\underline{u}$  und den Codeworten  $\underline{x}$  kann der Tabelle entnommen werden.  Man erkennt,  dass es sich dabei nicht um einen systematischen Code handelt.

Durch Manipulation der Generatormatrix  $\boldsymbol {\rm G}$  lassen sich daraus identische Codes konstruieren.  Darunter versteht man Codes mit gleichen Codeworten,  jedoch unterschiedlicher Zuordnung  $\underline{u} \rightarrow \underline{x}$.

Folgende Operationen sind erlaubt,  um einen identischen Code zu erhalten:

• Vertauschen oder Permutieren der Zeilen,

• Multiplizieren aller Zeilen mit einem konstanten Vektor ungleich  "$\underline{0}$",

• Ersetzen einer Zeile durch eine Linearkombination zwischen dieser Zeile und einer anderen.

Für den in der Teilaufgabe  (3)  gesuchten Code  $\mathcal{C}_{\rm sys}$  mit Generatormatrix  $\boldsymbol{\rm G}_{\rm sys}$  wird weiter gefordert,  dass er systematisch ist.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  "Allgemeine Beschreibung linearer Blockcodes".

• Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  "Systematische Codes".

• Bezug genommen wird zudem auf die so genannte  "Singleton–Schranke":&

• Diese besagt,  dass die minimale Hamming–Distanz eines  $(n, k)$–Blockcodes nach oben beschränkt ist:   $d_{\rm min} \le n - k +1.$

Fragebogen

1

Geben Sie die Kenngrößen des gegebenen Codes  $\mathcal{C}$  an.

$n \hspace{0.3cm} = \ $

$k \hspace{0.3cm} = \ $

$m \hspace{0.15cm} = \ $

$R \hspace{0.2cm} = \ $

$|\hspace{0.05cm}\mathcal{C}\hspace{0.05cm}| \hspace{-0.05cm} = \ $

$d_{\rm min} \hspace{0.01cm} = \ $

2

Gibt es einen  $(6, 3)$–Blockcode mit größerer Minimaldistanz?

	Ja.
	Nein.

3

Wie lautet die Generatormatrix  ${\boldsymbol{\rm G}}_{\rm sys}$  des identischen systematischen Codes?

	Die 1. Zeile lautet   „$1 \ 0 \ 1 \ 1 \ 0 \ 1$”.
	Die 2. Zeile lautet   „$0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1$”.
	Die 3. Zeile lautet   „$0 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 1$”.

4

Welche Zuordnungen ergeben sich bei dieser Codierung?

	$\underline{u} = (0, 0, 0) \ \Rightarrow \ \underline{x}_{\rm sys} = (0, 0, 0, 0, 0, 0)$.
	$\underline{u} = (0, 0, 1) \ \Rightarrow \ \underline{x}_{\rm sys}= (0, 0, 1, 0, 0, 1)$.
	$\underline{u} = (0, 1, 0) \ \Rightarrow \ \underline{x}_{\rm sys} = (0, 1, 0, 1, 1, 0)$.

5

Welche Prüfbits hat der systematische Code  $\underline{x}_{\rm sys} = (u_{1},\ u_{2},\ u_{3},\ p_{1},\ p_{2},\ p_{3})$?

	$p_{1} = u_{1} \oplus u_{2},$
	$p_{2} = u_{2} \oplus u_{3},$
	$p_{3} = u_{1} \oplus u_{3}.$

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Der vorgegebene Code  $\mathcal{C}$  wird durch folgende Kenngrößen charakterisiert:

• Bitanzahl der Codeworte:  $\underline{n = 6}$,

• Bitanzahl der Informationsworte:  $\underline{k = 3}$,

• Anzahl der Prüfbitgleichungen:  $\underline{m = n - k = 3}$,

• Coderate:  $R = k/n = 3/6 \Rightarrow \underline{R = 0.5}$,

• Anzahl der Codeworte (Codeumfang):  $|\mathcal{C}| = 2^k \Rightarrow \underline{|C| = 8}$,

• minimale Hamming–Distanz (siehe Tabelle):  $\underline{d}_{\rm min} \underline{= 3}$.

(2)  Richtig ist  $\underline{\rm JA}$:

• Nach der Singleton–Schranke gilt  $d_{\rm min} ≤ n - k + 1$.  Mit  $n = 6$  und  $k = 3$  erhält man hierfür  $d_{\rm min} ≤ 4$.

• Es kann also durchaus ein  $(6, 3)$–Blockcode mit größerer Minimaldistanz konstruiert werden.  Wie ein solcher Code aussieht,  wurde freundlicherweise nicht gefragt.

Die Minimaldistanz aller Hamming–Codes ist  $d_{\rm min} = 3$,  und nur der Sonderfall mit  $n = 3$  und  $k = 1$  erreicht den Grenzwert. Dagegen erreichen das Maximum entsprechend der Singleton–Schranke:

• alle  Wiederholungscodes  $($Repetition Codes,  $\rm RC)$  wegen  $k = 1$  und  $d_{\rm min} = n$;  hierzu gehört auch der  $\rm (3, 1)$–Hamming–Code,  der ja bekannterweise identisch ist mit dem  $\text{RC (3, 1)}$,

• alle  Single Parity–check Codes  $\rm (SPC)$:  $k = n - 1, d_{\rm min} = 2$.

(3)  Richtig sind die  Lösungsvorschläge 2 und 3:

• Vertauscht man Zeilen der Generatormatrix $\boldsymbol {\rm G}$,  so kommt man zu einem identischen Code  $\mathcal{C}'$.  Das heißt:  $\mathcal{C}$  und  $\mathcal{C}'$  beinhalten die genau gleichen Codeworte.

• Beispielsweise erhält man nach zyklischem Zeilentausch  $2 \rightarrow 1,\ 3 \rightarrow 2$  und  $1 \rightarrow 3$  die neue Matrix

$${ \boldsymbol{\rm G}}' = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &1 &1 &1 &1 &0\\ 0 &0 &1 &0 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$

• Die erste und die letzte Zeile der neuen Matrix entsprechen schon den Vorgaben eines systematischen Codes,  nämlich,  dass deren Generatormatrix  ${ \boldsymbol{\rm G}_{\rm sys}}$  mit einer Diagonalmatrix beginnen muss.

• Ersetzt man die Zeile 2 durch die Modulo–2–Summe von Zeile 2 und 3,  so erhält man:

$${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm sys} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &1 &0 &1 &0 &1\\ 0 &0 &1 &0 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$

• Dieser systematische Code beinhaltet genau die gleichen Codeworte wie die Codes  $\mathcal{C}$  und  $\mathcal{C}'$.

(4)  Richtig sind die  Lösungsvorschläge 1 und 2:

• Wendet man die Gleichung  $\underline{x}_{\rm sys} = \underline{u} \cdot \boldsymbol{\rm G}_{\rm sys}$  auf obige Beispiele an,  so erkennt man,  dass die beiden ersten Aussagen richtig sind,  nicht aber die letzte.

• Ohne Rechnung kommt man zum gleichen Ergebnis,  wenn man berücksichtigt,  dass

• das systematische Codewort  $\underline{x}_{\rm sys}$  mit  $\underline{u}$  beginnen muss,
• der Code  $\mathcal{C}_{\rm sys}$  die gleichen Codeworte beinhaltet wie der vorgegebene Code  $\mathcal{C}$.

• Für  $\underline{u} = (0, 1, 0)$  lautet somit das Codewort  $(0, 1, 0, ?, ?, ?)$. 

• Ein Vergleich mit der Codetabelle von  $\mathcal{C}$  auf der Angabenseite führt zu  $\underline{x}_{\rm sys} = (0, 1, 0, 1, 0, 1)$.

(5)  Richtig ist nur die  Aussage 1.  Die Angaben für  $p_{2}$  und  $p_{3}$  sind dagegen genau vertauscht.

• Bei systematischer Codierung besteht folgender Zusammenhang zwischen Generator– und Prüfmatrix:

$${ \boldsymbol{\rm G}} =\left({ \boldsymbol{\rm I}}_k \: ; \:{ \boldsymbol{\rm P}} \right) \hspace{0.3cm}\Leftrightarrow \hspace{0.3cm} { \boldsymbol{\rm H}} =\left({ \boldsymbol{\rm P}}^{\rm T}\: ; \:{ \boldsymbol{\rm I}}_m \right) \hspace{0.05cm}.$$

Schaubild der Prüfgleichungen

• Angewendet auf das aktuelle Beispiel erhält man so:

$${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm sys} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &1 &0 &1 &0 &1\\ 0 &0 &1 &0 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} { \boldsymbol{\rm H}}_{\rm sys} = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 1 &0 &1 &0 &1 &0\\ 0 &1 &1 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$

• Daraus ergeben sich Prüfgleichungen (siehe Grafik):

$$u_1 \oplus u_2 \oplus p_1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} p_1 = u_1 \oplus u_2 \hspace{0.05cm},$$

$$u_1 \oplus u_3 \oplus p_2 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} p_2 = u_1 \oplus u_3 \hspace{0.05cm},$$

$$u_2 \oplus u_3 \oplus p_3 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} p_3 = u_2 \oplus u_3 \hspace{0.05cm}.$$