Aufgabe 4.Zehn: QPSK–Kanalkapazität

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Kapazitätskurven für BPSK und QPSK

Gegeben sind die AWGN–Kanalkapazitätsgrenzkurven für die Modulationsverfahren

• Binary Phase Shift Keying  $\rm (BPSK)$,
• Quaternary Phase Shift Keying  $\rm (4–PSK$  oder auch  $\rm QPSK)$.

Die Kanalkapazitäten  $C_\text{BPSK}$  und  $C_\text{QPSK}$  geben gleichzeitig die maximale Coderate  $R_{\rm max}$  an,  mit der bei BPSK (bzw. QPSK) die Bitfehlerwahrscheinlichkeit  $p_\text{B} ≡ 0$  mit geeigneter Kanalcodierung asymptotisch erreichbar ist.

Das obere Diagramm zeigt die Abhängigkeit von der Kenngröße  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0})$  in  $\rm dB$,  wobei  $E_{\rm B}$  die „Energie pro Informationsbit” angibt.

• Für große  $E_{\rm B}/{N_0}$–Werte liefert die BPSK–Kurve die maximale Coderate  $R ≈ 1$.
• Aus der QPSK–Kurve kann dagegen bis zu  $R ≈ 2$  abgelesen werden.

Die Kapazitätskurven für digitalen Eingang  (jeweils mit der Einheit „bit/Symbol”),

• grüne Kurve   ⇒   $C_\text{BPSK} (E_{\rm B}/{N_0})$  und
• blaue Kurve   ⇒   $C_\text{QPSK} (E_{\rm B}/{N_0})$

sollen in der Teilaufgabe  (3)  in Bezug gesetzt werden zu zwei Shannon–Grenzkurven, die jeweils für eine Gaußsche Eingangsverteilung gültig sind:

$$C_1( E_{\rm B}/{N_0}) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2\cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) ,$$

$$C_2( E_{\rm B}/{N_0}) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) .$$

Die beiden Kurven geben gleichzeitig die maximale Coderate  $R_{\rm max}$  an, mit der durch lange Kanalcodes entsprechend dem  Kanalcodierungstheorem  eine fehlerfreie Übertragung möglich ist. 

• Natürlich gelten für  $C_1( E_{\rm B}/{N_0})$   bzw.   $C_2( E_{\rm B}/{N_0})$  unterschiedliche Randbedingungen. 
• Welche, das sollen Sie herausfinden.

Die Abszisse im unteren Diagramm ist dagegen   $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0})$  mit der „Energie pro Symbol”  $(E_{\rm S})$.  Zu erkennen ist, dass die beiden Grenzwerte gegenüber der oberen Darstellung nicht verändert werden:

$$C_{\rm BPSK}( E_{\rm S}/{N_0} \to \infty) = C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0} \to \infty) = 1 \ \rm bit/Symbol,$$

$$C_{\rm QPSK}( E_{\rm S}/{N_0} \to \infty) = C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0} \to \infty) = 2 \ \rm bit/Symbol.$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  AWGN–Kanalkapazität bei wertdiskretem Eingang.
• Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  Maximale Coderate für QAM-Strukturen.

Fragebogen

1

Unterscheiden sich  "QPSK"  und  "4–QAM"  aus informationstheoretischer Sicht?

	Ja.
	Nein.

2

Wie lässt sich  $C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$  aus  $C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$  konstruieren?

	Durch Verdopplung:   $C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0}) = 2 \cdot C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$.
	Zusätzlich durch eine Verschiebung nach rechts.
	Zusätzlich durch eine Verschiebung nach links.
	$C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$  kann man aus  $C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$   nicht konstruieren.

3

Welcher Zusammenhang besteht zu den Shannon–Grenzkurven?

	Es gilt   $C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0}) \le C_{\rm 1}( E_{\rm B}/{N_0})$.
	Es gilt   $C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0}) \le C_{\rm 2}( E_{\rm B}/{N_0})$.
	Es gilt   $C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0}) \le C_{\rm 1}( E_{\rm B}/{N_0})$.
	Es gilt   $C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0}) \le C_{\rm 2}( E_{\rm B}/{N_0})$.

4

Wie lässt sich  $C_{\rm QPSK}( E_{\rm S}/{N_0})$  aus  $C_{\rm BPSK}( E_{\rm S}/{N_0})$  konstruieren?

	Durch Verdopplung:   $C_{\rm QPSK}( E_{\rm S}/{N_0}) = 2 \cdot C_{\rm BPSK}( E_{\rm S}/{N_0})$ und zusätzlich eine Verschiebung nach rechts.
	Durch Verdopplung:   $C_{\rm QPSK}( E_{\rm S}/{N_0}) = 2 \cdot C_{\rm BPSK}( E_{\rm S}/{N_0})$ und zusätzlich eine Verschiebung nach links.
	$C_{\rm QPSK}( E_{\rm S}/{N_0})$  kann man aus  $C_{\rm BPSK}( E_{\rm S}/{N_0})$  nicht konstruieren.

Musterlösung

Musterlösung

QPSK– und 4–QAM–Signalraumkonstellation

(1)  Die Grafik zeigt die Signalraumkonstellationen für

• "Quaternary Phase Shift Keying"  $\rm (QPSK)$,  und
• vierstufige Quadraturamplitudenmodulation  $\rm (4–QAM)$.

Letztere wird auch als  π/4–QPSK  bezeichnet.  Beide sind aus informationstheoretischer Sicht identisch   ⇒   Antwort NEIN.

(2)  Richtig ist der  Lösungsvorschlag 1:

• Die 4–QAM kann man als zwei BPSK–Konstellationen in orthogonalen Ebenen betrachten, wobei die Energie pro Informationsbit  $(E_{\rm B})$  in beiden Fällen gleich ist.
• Da entsprechend der Teilaufgabe  (1)  die 4–QAM mit der QSPK identisch ist, gilt tatsächlich:

$$C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0}) = 2 \cdot C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0}).$$

(3)  In der unteren Grafik sind die beiden angegebenen Shannon–Grenzkurven zusammen mit  $C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$  und  $C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$  skizziert:

$$C_1( E_{\rm B}/{N_0}) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) ,$$

$$C_2( E_{\rm B}/{N_0}) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) .$$

Vier Kanalkapazitätskurven –
unterschiedliche Aussagen

Man erkennt aus dieser Skizze:   Richtig sind die  Lösungsvorschläge 1, 2 und 4.

• Die grün–gestrichelte Kurve  $C_1( E_{\rm B}/{N_0})$  gilt für den AWGN–Kanal mit gaußverteiltem Eingang. 
• Für die Coderate  $R =1$  sind nach dieser Kurve  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 1.76\ \rm dB$  erforderlich. 
• Für  $R =2$  benötigt man dagegen  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 5.74\ \rm dB$.
• Die blau–gestrichelte Kurve  $C_2( E_{\rm B}/{N_0})$  gibt die Shannon–Grenze für  $K=2$  parallele Gaußkanäle an.  Hier benötigt man  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 0\ \rm dB$  für  $R =1$  bzw.  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 1.76\ \rm dB$  für  $R =2$.
• Die eindimensionale BPSK liegt im gesamten Bereich unterhalb von  $C_1$  und damit natürlich auch unterhalb von  $C_2 > C_1$.
• Die zweidimensionale QPSK liegt erwartungsgemäß unter der für sie relevanten Grenzkurve  $C_2$.  Sie liegt aber im unteren Bereich  $($bis nahezu  $\text{6 dB)}$  oberhalb von  $C_1$.

(4)  Richtig ist der  Lösungsvorschlag 1:

Die  $C_{\rm QPSK}( E_{\rm S}/{N_0})$–Kurve kann ebenfalls aus  $C_{\rm BPSK}( E_{\rm S}/{N_0})$  konstruiert werden und zwar

• zum einen durch Verdopplung:

$$C_{\rm QPSK}(10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}E_{\rm S}/{N_0}) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 2 \cdot C_{\rm BPSK}(10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}E_{\rm S}/{N_0}) ,$$

• sowie durch eine Verschiebung um  $3\ \rm dB$  nach rechts:

$$C_{\rm QPSK}(10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}E_{\rm S}/{N_0}) = 2 \cdot C_{\rm BPSK}(10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}E_{\rm S}/{N_0} - 3\,{\rm dB}) .$$

• Die zweite Maßnahme berücksichtigt, dass bei QPSK die Energie in einer Dimension nur  $E_{\rm S}/2$  beträgt.