Aufgabe 2.1Z: Verzerrung und Entzerrung

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Drei kontinuierliche Spektralfunktionen

Die Grafik zeigt drei kontinuierliche Spektralfunktionen:

  • ein cos2–Spektrum, das nur Anteile im Bereich  $|f| < 1 \ \rm kHz$  besitzt, wobei gilt:
$$A(f) = 10^{\rm -3} \ {\rm V}/{\rm Hz} \cdot \cos^2(\frac{|f|}{1 \, \rm kHz} \cdot \frac{\pi}{ 2} ) ,$$
  • ein Dreieckspektrum, ebenfalls begrenzt auf den Frequenzbereich  $|f| < 1 \ \rm kHz$:
$$B(f) = 10^{\rm -3} \ {\rm V}/{\rm Hz} \cdot \left(1-\frac{|f|}{1 \, \rm kHz} \right),$$
  • ein so genanntes Gaußspektrum:
$$C(f) = 10^{\rm -3} \ {\rm V}/{\rm Hz} \cdot {\rm e}^{-\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (f/{1 \, \rm kHz})^2} .$$


Weiterhin betrachten wir

  • ein linear verzerrendes System  $S_{\rm V}$  mit  $X(f)$  am Eingang und  $Y(f)$  am Ausgang, sowie
  • das Entzerrungssystem  $S_{\rm E}$  mit Eingangsspektrum  $Y(f)$  und Ausgangsspektrum  $Z(f)$.


Die Frequenzgänge der beiden Systeme  $S_{\rm V}$  und  $S_{\rm E}$  lauten:

$$H_{\rm V}(f) = \frac{Y(f)}{X(f)} , \hspace{0.3cm}$$
$$H_{\rm E}(f) = \frac{Z(f)}{Y(f)} .$$




Hinweise:


Fragebogen

1

Ist mit einem linearen System die Konstellation  $X(f) = A(f)$  und  $Y(f) = B(f)$  möglich? Begründen Sie Ihre Antwort.

Ja.
Nein.

2

Es gelte weiterhin  $X(f) = A(f)$  und  $Y(f) = B(f)$. Ist mit einem linearen Filter  $H_{\rm E}(f)$  eine vollständige Entzerrung möglich?
Wenn JA, so geben Sie bitte  $H_{\rm E}(f)$ an.

Ja.
Nein.

3

Ist mit einem linearen System die Konstellation  $X(f) = C(f)$  und  $Y(f) = B(f)$  möglich? Begründen Sie Ihre Antwort.

Ja.
Nein.

4

Es gelte weiterhin  $X(f) = C(f)$  und  $Y(f) = B(f)$. Ist mit einem linearen Filter  $H_{\rm E}(f)$  eine vollständige Entzerrung möglich?
Wenn JA, so geben Sie bitte  $H_{\rm E}(f)$  an.

Ja.
Nein.

5

Ist mit einem linearen System die Konstellation  $X(f) = A(f)$  und  $Y(f) = C(f)$  möglich?
Begründen Sie Ihre Antwort.

Ja.
Nein.


Musterlösung

(1)  Richtig ist Ja:

  • Diese Konstellation ist möglich, da für alle  $Y(f) \ne 0$  auch  $X(f)$  stets von Null verschieden ist.
  • Für alle Frequenzen kleiner als  $0.5 \ \rm kHz$  bewirkt  $H_{\rm V} = B(f)/A(f) < 1$  eine Dämpfung.
  • Die Frequenzen zwischen  $0.5 \ \rm kHz$  und  $1 \ \rm kHz$  werden dagegen durch das System angehoben.


(2)  Richtig ist Ja:

  • Bei dieser Konstellation ist auch eine vollständige lineare Entzerrung mit
$$H_{\rm E}(f) = \frac{Z(f)}{Y(f)} = \frac{A(f)}{B(f)} = \frac{1}{H_{\rm V}(f)}$$
möglich, da beide Spektren genau bis  $1 \ \rm kHz$  reichen.


(3)  Richtig ist Ja:

  • Auch diese Konstellation ist möglich. Das Filter  $H_{\rm V}(f)$  muss für die Frequenzen  $|f| <1 \ \rm kHz$  aus dem Gaußspektrum ein Dreieckspektrum formen und alle Frequenzen  $|f| > 1 \ \rm kHz$  unterdrücken.


(4)  Richtig ist Nein:

  • Eine vollständige Entzerrung ist hier nicht möglich:
  • Die Anteile des Gaußspektrums, die durch  $H_{\rm V}(f)$  vollständig eliminiert wurden, können durch das lineare System nicht wieder hergestellt werden.


(5)  Richtig ist Nein:

  • Diese Konstellation ist mit einem linearen System nicht möglich, da im Spektrum  $C(f) = A(f) \cdot H_{\rm V}(f)$  keine Spektralanteile enthalten sein können, die es in  $A(f)$  nicht gibt.
  • Die Frage, ob es ein nichtlineares System gibt, das aus dem  $\cos^2$-Spektrum ein Gaußspektrum formt, ist nicht gestellt und muss deshalb auch nicht beantwortet werden:   Die Autoren glauben eher „Nein”.