Grundlagen der Faltungscodierung

Voraussetzungen und Definitionen

Wir betrachten in diesem Kapitel eine unendlich lange binäre Informationssequenz u und unterteilen diese in Informationsblöcke u_i zu je k Bit. Man kann diesen Sachverhalt wie folgt formalisieren:

\[\underline{\it u} = \left ( \underline{\it u}_1, \underline{\it u}_2, ... \hspace{0.1cm}, \underline{\it u}_i , ... \hspace{0.1cm}\right ) \hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm} \underline{\it u}_i = \left ( u_i^{(1)}, u_i^{(2)}, ... \hspace{0.1cm}, u_i^{(k)}\right )\hspace{0.05cm},\]

\[u_i^{(j)}\in {\rm GF(2)}\hspace{0.3cm}{\rm f\ddot{u}r} \hspace{0.3cm}1 \le j \le k \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} \underline{\it u}_i \in {\rm GF}(2^k)\hspace{0.05cm}.\]

Im Englischen bezeichnet man eine solche Sequenz ohne negative Indizes als semi–infinite.

: Bei einem binären Faltungscode (englisch: Binary Convolutional Code) wird zu dem Taktzeitpunkt i ein Codewort x_i bestehend aus n Codebits ausgegeben:

\[\underline{\it x}_i = \left ( x_i^{(1)}, x_i^{(2)}, ... \hspace{0.1cm}, x_i^{(n)}\right )\in {\rm GF}(2^n)\hspace{0.05cm}.\]

Dieses ergibt sich entsprechend

den k Bit des aktuellen Informationsblockes u_i, und

den m vorherigen Informationsblöcken u_i–1, ... , u_i–m.

Die folgende Grafik verdeutlicht diesen Sachverhalt für die Parameter k = 4, n = 7, m = 2 und i = 4. Die n = 7 zum Zeitpunkt i = 4 erzeugten Codebits x₄⁽¹⁾, ... , x₄⁽⁷⁾ können (direkt) von den k · (m + 1) = 12 rot markierten Informationsbits abhängen und werden durch Modulo–2–Additionen erzeugt.

Gelb eingezeichnet ist zudem ein (n, k)–Faltungscodierer. Zu beachten ist, dass sich der Vektor u_i und die Sequenz u⁽ⁱ⁾ grundlegend unterscheiden. Während u_i = (u_i⁽¹⁾, u_i⁽²⁾, ... , u_i^(k)) die k zum Zeitpunkt i parallel anliegenden Informationsbits zusammenfasst, bezeichnet u⁽ⁱ⁾ = (u₁⁽ⁱ⁾, u₂⁽ⁱ⁾, ...) die (horizontale) Sequenz am i–ten Eingang des Faltungscodierers. Für den Faltungscode gelten folgende Definitionen:

Die Coderrate ergibt sich wie bei den Blockcodes zu R = k/n.

Man bezeichnet m als das Gedächtnis (englisch: Memory) des Codes und den Convolutional Code selbst mit CC(n, k, m).

Daraus ergibt sich die Einflusslänge (englisch: Constraint Length) zu ν = m + 1.

Für k > 1 gibt man diese Parameter oft auch in Bit an: m_Bit = m · k bzw. ν_Bit = (m + 1) · k.