Aufgaben:Aufgabe 5.5: AKF-äquivalente Filter: Unterschied zwischen den Versionen
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*Es ist ein nichtrekursives Filter zweiter Ordnung mit den Koeffizienten $\alpha_0 = -1$, $\alpha_1 = +0.707$ und $\alpha_2 = +1$. | *Es ist ein nichtrekursives Filter zweiter Ordnung mit den Koeffizienten $\alpha_0 = -1$, $\alpha_1 = +0.707$ und $\alpha_2 = +1$. | ||
*Die Koeffizienten von $\text{Filter 1}$ werden hier mit $\alpha_0$, $\alpha_1$, $\alpha_2$ („alphas”) bezeichnet. | *Die Koeffizienten von $\text{Filter 1}$ werden hier mit $\alpha_0$, $\alpha_1$, $\alpha_2$ („alphas”) bezeichnet. | ||
− | '''(2)''' Die Varianz der Ausgangswerte ist gleich dem AKF | + | '''(2)''' Die Varianz der Ausgangswerte ist gleich dem AKF–Wert für $k = 0$. Für diesen erhält man: |
:$$\varphi _y (0) = \sigma _x ^2 \cdot \left( {\alpha _0 ^2 + \alpha _1 ^2 + \alpha _2 ^2 } \right) = {1}/{3} \cdot \left( {1 + {1}/{2} + 1} \right) = 0.833.$$ | :$$\varphi _y (0) = \sigma _x ^2 \cdot \left( {\alpha _0 ^2 + \alpha _1 ^2 + \alpha _2 ^2 } \right) = {1}/{3} \cdot \left( {1 + {1}/{2} + 1} \right) = 0.833.$$ | ||
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:$$\sigma _y = \sqrt {\varphi _y (0)} \hspace{0.15cm} \underline{= 0.913}.$$ | :$$\sigma _y = \sqrt {\varphi _y (0)} \hspace{0.15cm} \underline{= 0.913}.$$ | ||
− | '''(3)''' Diese beiden AKF | + | |
+ | '''(3)''' Diese beiden AKF–Werte können wie folgt berechnet werden: | ||
:$$\varphi _y ( {T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2 \cdot \left( {\alpha _0 \cdot \alpha _1 + \alpha _1 \cdot \alpha _2 } \right) = {1}/{3} \cdot \left( { - 1 \cdot 0.707 + 0.707 \cdot 1} \right) \hspace{0.15cm} \underline{= 0},$$ | :$$\varphi _y ( {T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2 \cdot \left( {\alpha _0 \cdot \alpha _1 + \alpha _1 \cdot \alpha _2 } \right) = {1}/{3} \cdot \left( { - 1 \cdot 0.707 + 0.707 \cdot 1} \right) \hspace{0.15cm} \underline{= 0},$$ | ||
:$$\varphi _y ( {2T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2 \cdot \left( {\alpha _0 \cdot \alpha _2 } \right) = -1/3\hspace{0.15cm} \underline{\approx - 0.333}.$$ | :$$\varphi _y ( {2T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2 \cdot \left( {\alpha _0 \cdot \alpha _2 } \right) = -1/3\hspace{0.15cm} \underline{\approx - 0.333}.$$ | ||
− | '''(4)''' | + | |
+ | '''(4)''' Wegen $\varphi _y ( {T_{\rm A} } )= 0$ ist es bei geeigneter Wahl von $a_0$ und $a_1$ möglich, dass die AKF am Ausgang von $\text{Filter 2}$ identisch ist mit der in '''(3)''' berechneten AKF. | ||
+ | *Mit $T_{\rm A}\hspace{0.05cm}' = 2 \cdot T_{\rm A}$ gilt: | ||
:$$\varphi _z (0) = {1}/{3} \cdot \left( {a_0 ^2 + a_1 ^2 } \right) = 0.833\quad \Rightarrow \quad a_0 ^2 + a_1 ^2 = 2.5, $$ | :$$\varphi _z (0) = {1}/{3} \cdot \left( {a_0 ^2 + a_1 ^2 } \right) = 0.833\quad \Rightarrow \quad a_0 ^2 + a_1 ^2 = 2.5, $$ | ||
− | :$$\varphi _z( { | + | :$$\varphi _z( {T_{\rm A} \hspace{0.05cm}'} ) = {1}/{3}\left( {a_0 \cdot a_1 } \right) = - {1}/{3}\quad \;\;\, \Rightarrow \quad a_0 \cdot a_1 = - 1.$$ |
− | Mit der Hilfsgröße $H = a_0^2$ führt dies zu der Bestimmungsgleichung | + | *Mit der Hilfsgröße $H = a_0^2$ führt dies zu der Bestimmungsgleichung |
:$$H + {1}/{H} = 2.5\quad \Rightarrow \quad H^2 - 2.5 \cdot H + 1 = 0$$ | :$$H + {1}/{H} = 2.5\quad \Rightarrow \quad H^2 - 2.5 \cdot H + 1 = 0$$ | ||
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{1/2} = {1}/{2} \cdot \left( {2.5 \pm \sqrt {2.5^2 - 4} } \right) = {1}/{2} \cdot \left( {2.5 \pm 1.5} \right).$$ | :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{1/2} = {1}/{2} \cdot \left( {2.5 \pm \sqrt {2.5^2 - 4} } \right) = {1}/{2} \cdot \left( {2.5 \pm 1.5} \right).$$ | ||
− | Die beiden Lösungen sind $H_1 = 2$ und $H_2 = 1/2$. Daraus erhält man vier mögliche Lösungen: | + | *Die beiden Lösungen sind $H_1 = 2$ und $H_2 = 1/2$. Daraus erhält man vier mögliche Lösungen: |
:$$a_0 = \sqrt 2 ,\quad \;\;\, a_1 = - {1}/{\sqrt 2 }, | :$$a_0 = \sqrt 2 ,\quad \;\;\, a_1 = - {1}/{\sqrt 2 }, | ||
\hspace{2cm} a_0 = - \sqrt 2 ,\quad a_1 = {1}/{\sqrt 2 },$$ | \hspace{2cm} a_0 = - \sqrt 2 ,\quad a_1 = {1}/{\sqrt 2 },$$ | ||
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\hspace{2cm} a_0 = - {1}/{\sqrt 2 },\quad a_1 = \sqrt 2 .$$ | \hspace{2cm} a_0 = - {1}/{\sqrt 2 },\quad a_1 = \sqrt 2 .$$ | ||
− | Bei den beiden letzten Lösungspaaren ist die Bedingung $|a_1| < |a_0|$ nicht erfüllt. Bei den oberen Gleichungen gilt dagegen in beiden Fällen: | + | *Bei den beiden letzten Lösungspaaren ist die Bedingung $|a_1| < |a_0|$ nicht erfüllt. Bei den oberen Gleichungen gilt dagegen in beiden Fällen: |
:$$ \hspace{0.15cm} \underline{a_1 /a_0 = - 0.5}.$$ | :$$ \hspace{0.15cm} \underline{a_1 /a_0 = - 0.5}.$$ | ||
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'''(5)''' Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 2 und 3</u>: | '''(5)''' Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 2 und 3</u>: | ||
*Im allgemeinen (auch bei gleichverteilter Eingangsgröße $x$) sind die Dichtefunktionen $f_y(y)$ und $f_z(z)$ unterschiedlich. | *Im allgemeinen (auch bei gleichverteilter Eingangsgröße $x$) sind die Dichtefunktionen $f_y(y)$ und $f_z(z)$ unterschiedlich. | ||
− | *$f_z(z)$ ergibt sich aus der Faltung zweier verschieden breiter Rechtecke; sie ist also trapezförmig. Zur Berechnung von $f_y(y)$ müssen dagegen drei Rechtecke miteinander gefaltet werden. | + | *$f_z(z)$ ergibt sich aus der Faltung zweier verschieden breiter Rechtecke; sie ist also trapezförmig. |
+ | *Zur Berechnung von $f_y(y)$ müssen dagegen drei Rechtecke miteinander gefaltet werden. | ||
*Bei Gaußscher Eingangsgröße $x$ sind auch $y$ und $z$ gaußverteilt, und wegen $m_y = m_z$ und $\sigma_y = \sigma_z$ gilt auch $f_z(z) = f_y(y)$. | *Bei Gaußscher Eingangsgröße $x$ sind auch $y$ und $z$ gaußverteilt, und wegen $m_y = m_z$ und $\sigma_y = \sigma_z$ gilt auch $f_z(z) = f_y(y)$. | ||
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Version vom 25. August 2018, 16:24 Uhr
Wir betrachten die beiden skizzierten digitalen Filter:
- Die einzelnen Elemente der Eingangsfolge $\left\langle {x_\nu } \right\rangle$ sind in beiden Fällen jeweils statistisch voneinander unabhängig und gleichverteilt zwischen $-1$ und $+1$.
- Daraus folgt direkt für den Mittelwert und die Varianz:
- $$m_x = 0,\quad \sigma _x^2 = {1}/{3}.$$
Die beiden Verzögerungszeiten von $\text{Filter 1}$ sind jeweils gleich $T_{\rm A} = 1 \hspace{0.05cm} \rm µ s$. Die Verzögerungen von $\text{Filter 2}$ sind doppelt so lang.
Die Koeffizienten $a_0$ und $a_1$ von $\text{Filter 2}$ sollen so eingestellt werden, dass die Autokorrelationsfunktionen (AKF) von $\left\langle {y_\nu } \right\rangle$ und von $\left\langle {z_\nu } \right\rangle$ vollständig übereinstimmen. Wählen Sie bitte bei mehreren Lösungen diejenige mit $|a_1| < |a_0|$.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Erzeugung vorgegebener AKF-Eigenschaften.
- Die Koeffizienten von $\text{Filter 1}$ werden in den Fragen mit $\alpha_0$, $\alpha_1$, $\alpha_2$ („alphas”) bezeichnet.
Fragebogen
Musterlösung
- Es ist ein nichtrekursives Filter zweiter Ordnung mit den Koeffizienten $\alpha_0 = -1$, $\alpha_1 = +0.707$ und $\alpha_2 = +1$.
- Die Koeffizienten von $\text{Filter 1}$ werden hier mit $\alpha_0$, $\alpha_1$, $\alpha_2$ („alphas”) bezeichnet.
(2) Die Varianz der Ausgangswerte ist gleich dem AKF–Wert für $k = 0$. Für diesen erhält man:
- $$\varphi _y (0) = \sigma _x ^2 \cdot \left( {\alpha _0 ^2 + \alpha _1 ^2 + \alpha _2 ^2 } \right) = {1}/{3} \cdot \left( {1 + {1}/{2} + 1} \right) = 0.833.$$
Damit ergibt sich für die Streuung (bzw. den Effektivwert):
- $$\sigma _y = \sqrt {\varphi _y (0)} \hspace{0.15cm} \underline{= 0.913}.$$
(3) Diese beiden AKF–Werte können wie folgt berechnet werden:
- $$\varphi _y ( {T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2 \cdot \left( {\alpha _0 \cdot \alpha _1 + \alpha _1 \cdot \alpha _2 } \right) = {1}/{3} \cdot \left( { - 1 \cdot 0.707 + 0.707 \cdot 1} \right) \hspace{0.15cm} \underline{= 0},$$
- $$\varphi _y ( {2T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2 \cdot \left( {\alpha _0 \cdot \alpha _2 } \right) = -1/3\hspace{0.15cm} \underline{\approx - 0.333}.$$
(4) Wegen $\varphi _y ( {T_{\rm A} } )= 0$ ist es bei geeigneter Wahl von $a_0$ und $a_1$ möglich, dass die AKF am Ausgang von $\text{Filter 2}$ identisch ist mit der in (3) berechneten AKF.
- Mit $T_{\rm A}\hspace{0.05cm}' = 2 \cdot T_{\rm A}$ gilt:
- $$\varphi _z (0) = {1}/{3} \cdot \left( {a_0 ^2 + a_1 ^2 } \right) = 0.833\quad \Rightarrow \quad a_0 ^2 + a_1 ^2 = 2.5, $$
- $$\varphi _z( {T_{\rm A} \hspace{0.05cm}'} ) = {1}/{3}\left( {a_0 \cdot a_1 } \right) = - {1}/{3}\quad \;\;\, \Rightarrow \quad a_0 \cdot a_1 = - 1.$$
- Mit der Hilfsgröße $H = a_0^2$ führt dies zu der Bestimmungsgleichung
- $$H + {1}/{H} = 2.5\quad \Rightarrow \quad H^2 - 2.5 \cdot H + 1 = 0$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{1/2} = {1}/{2} \cdot \left( {2.5 \pm \sqrt {2.5^2 - 4} } \right) = {1}/{2} \cdot \left( {2.5 \pm 1.5} \right).$$
- Die beiden Lösungen sind $H_1 = 2$ und $H_2 = 1/2$. Daraus erhält man vier mögliche Lösungen:
- $$a_0 = \sqrt 2 ,\quad \;\;\, a_1 = - {1}/{\sqrt 2 }, \hspace{2cm} a_0 = - \sqrt 2 ,\quad a_1 = {1}/{\sqrt 2 },$$
- $$a_0 = {1}/{\sqrt 2 },\quad \;\,\, a_1 = - \sqrt 2 , \hspace{2cm} a_0 = - {1}/{\sqrt 2 },\quad a_1 = \sqrt 2 .$$
- Bei den beiden letzten Lösungspaaren ist die Bedingung $|a_1| < |a_0|$ nicht erfüllt. Bei den oberen Gleichungen gilt dagegen in beiden Fällen:
- $$ \hspace{0.15cm} \underline{a_1 /a_0 = - 0.5}.$$
(5) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:
- Im allgemeinen (auch bei gleichverteilter Eingangsgröße $x$) sind die Dichtefunktionen $f_y(y)$ und $f_z(z)$ unterschiedlich.
- $f_z(z)$ ergibt sich aus der Faltung zweier verschieden breiter Rechtecke; sie ist also trapezförmig.
- Zur Berechnung von $f_y(y)$ müssen dagegen drei Rechtecke miteinander gefaltet werden.
- Bei Gaußscher Eingangsgröße $x$ sind auch $y$ und $z$ gaußverteilt, und wegen $m_y = m_z$ und $\sigma_y = \sigma_z$ gilt auch $f_z(z) = f_y(y)$.