Aufgaben:Aufgabe 5.3Z: Nichtrekursives Filter: Unterschied zwischen den Versionen
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− | *die & | + | *die "Gleichfolge": |
:$$\left\langle \hspace{0.05cm}{x_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle \hspace{0.05cm}{g_\nu } \right\rangle = \left\langle {\;1,\;1,\;1,\;1,\;1,\;1,\;1,\;1,\;\text{...} } \hspace{0.05cm} \right\rangle .$$ | :$$\left\langle \hspace{0.05cm}{x_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle \hspace{0.05cm}{g_\nu } \right\rangle = \left\langle {\;1,\;1,\;1,\;1,\;1,\;1,\;1,\;1,\;\text{...} } \hspace{0.05cm} \right\rangle .$$ | ||
− | *die & | + | *die "Sinusfolge" mit der Periodendauer $T_0 = 4 \cdot T_{\rm A}$: |
:$$\left\langle \hspace{0.05cm}{x_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle \hspace{0.05cm}{s_\nu } \right\rangle = \left\langle {\;0,\;1,\;0, - 1,\;0,\;1,\;0, - 1,\;\text{...} } \hspace{0.05cm}\right\rangle .$$ | :$$\left\langle \hspace{0.05cm}{x_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle \hspace{0.05cm}{s_\nu } \right\rangle = \left\langle {\;0,\;1,\;0, - 1,\;0,\;1,\;0, - 1,\;\text{...} } \hspace{0.05cm}\right\rangle .$$ | ||
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*Bezug genommen wird auch auf einige Kapitel im Buch [[Signaldarstellung]]. | *Bezug genommen wird auch auf einige Kapitel im Buch [[Signaldarstellung]]. | ||
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'''(2)''' Der Frequenzgang $H(f)$ ist die Fouriertransformierte der Impulsantwort $h(t)$. | '''(2)''' Der Frequenzgang $H(f)$ ist die Fouriertransformierte der Impulsantwort $h(t)$. | ||
*Die um $T_{\rm A}$ nach links verschobene Impulsantwort | *Die um $T_{\rm A}$ nach links verschobene Impulsantwort | ||
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:ist symmetrisch um $t= 0$ und hat dementsprechend den rein reellen Frequenzgang | :ist symmetrisch um $t= 0$ und hat dementsprechend den rein reellen Frequenzgang | ||
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*Durch Anwendung des Verschiebungssatzes folgt weiter: | *Durch Anwendung des Verschiebungssatzes folgt weiter: | ||
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− | *Der Wert des Frequenzgangs bei der Frequenz $f=0$ ist demzufolge $H(f = 0)\hspace{0.15cm}\underline{ = 4}$ | + | *Der Wert des Frequenzgangs bei der Frequenz $f=0$ ist demzufolge |
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*Insbesondere gilt $y_4\hspace{0.15cm}\underline{ = 4}$. | *Insbesondere gilt $y_4\hspace{0.15cm}\underline{ = 4}$. | ||
− | *Mit Ausnahme der Werte $y_0$ und $y_1$ (Einschwingvorgang) erhält man auch am Ausgang eine Gleichfolge mit dem konstanten Wert 4: | + | *Mit Ausnahme der Werte $y_0$ und $y_1$ (Einschwingvorgang) erhält man auch am Ausgang eine Gleichfolge mit dem konstanten Wert 4: |
:$$y(t) = H( {f = 0} ) \cdot x( t ) = 4 \cdot 1 = 4.$$ | :$$y(t) = H( {f = 0} ) \cdot x( t ) = 4 \cdot 1 = 4.$$ | ||
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*Bei dieser Frequenz hat der Frequenzgang $H(f)$ gemäß Teilaufgabe '''(2)''' den folgenden Wert: | *Bei dieser Frequenz hat der Frequenzgang $H(f)$ gemäß Teilaufgabe '''(2)''' den folgenden Wert: | ||
:$$H( {f = f_0 } ) = 2\big[ {1 + \cos ( {{{\rm{\pi }}}/{2}} )} \big] \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi /2}}} = 2 \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi /2}}} .$$ | :$$H( {f = f_0 } ) = 2\big[ {1 + \cos ( {{{\rm{\pi }}}/{2}} )} \big] \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi /2}}} = 2 \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi /2}}} .$$ | ||
− | *Lässt man den Einschwingungsvorgang $($abgeschlossen bei $t = T_{\rm A})$ außer Betracht, so ergibt sich mit $\tau = T_{\rm A}$ $($Phase: $90^\circ)$ folgender Zusammenhang zwischen dem Eingangs- und dem Ausgangssignal: | + | *Lässt man den Einschwingungsvorgang $($abgeschlossen bei $t = T_{\rm A})$ außer Betracht, so ergibt sich mit $\tau = T_{\rm A}$ $($Phase: $90^\circ)$ folgender Zusammenhang zwischen dem Eingangs- und dem Ausgangssignal: |
:$$y(t) = 2 \cdot x( {t - T_{\rm A} } ).$$ | :$$y(t) = 2 \cdot x( {t - T_{\rm A} } ).$$ | ||
− | *Das heißt: Aus der Sinusfunktion wird die | + | *Das heißt: <u>Aus der Sinusfunktion wird die Funktion „Minus-Cosinus” mit der Amplitude 2</u>. |
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Aktuelle Version vom 10. Februar 2022, 19:30 Uhr
Betrachtet wird das nebenstehende nichtrekursive Filter mit den Filterkoeffizienten
- $$a_0 = 1,\quad a_1 = 2,\quad a_2 = 1.$$
Gesucht sind die jeweiligen Ausgangsfolgen $\left\langle \hspace{0.05cm}{y_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle$, wenn am Eingang folgende Wertefolgen angelegt werden:
- die "Gleichfolge":
- $$\left\langle \hspace{0.05cm}{x_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle \hspace{0.05cm}{g_\nu } \right\rangle = \left\langle {\;1,\;1,\;1,\;1,\;1,\;1,\;1,\;1,\;\text{...} } \hspace{0.05cm} \right\rangle .$$
- die "Sinusfolge" mit der Periodendauer $T_0 = 4 \cdot T_{\rm A}$:
- $$\left\langle \hspace{0.05cm}{x_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle \hspace{0.05cm}{s_\nu } \right\rangle = \left\langle {\;0,\;1,\;0, - 1,\;0,\;1,\;0, - 1,\;\text{...} } \hspace{0.05cm}\right\rangle .$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Digitale Filter im vorliegenden Buch.
- Bezug genommen wird auch auf einige Kapitel im Buch Signaldarstellung.
- Das Applet "Digitale Filter" verdeutlicht den Themenkomplex dieses Kapitels.
Fragebogen
Musterlösung
- $$h(t) = \delta (t) + 2 \cdot \delta ( {t - T_{\rm A} } ) + \delta ( {t - 2T_{\rm A} } ).$$
- Das Maximum liegt bei $T_{\rm A}$ ⇒ $\underline{\nu = 1}$.
(2) Der Frequenzgang $H(f)$ ist die Fouriertransformierte der Impulsantwort $h(t)$.
- Die um $T_{\rm A}$ nach links verschobene Impulsantwort
- $$h\hspace{0.05cm}'(t) = \delta ( {t + T_{\rm A} } ) + 2 \cdot \delta ( t ) + \delta ( {t - T_{\rm A} } )$$
- ist symmetrisch um $t= 0$ und hat dementsprechend den rein reellen Frequenzgang
- $$H\hspace{0.05cm}'(f) = 2\big [ {1 + \cos ( {2{\rm{\pi }}fT_{\rm A} } )} \big ].$$
- Durch Anwendung des Verschiebungssatzes folgt weiter:
- $$H(f) = 2\big [ {1 + \cos ( {2{\rm{\pi }}fT_{\rm A} } )} \big ] \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}2{\rm{\pi }}fT_{\rm A} } .$$
- Der Wert des Frequenzgangs bei der Frequenz $f=0$ ist demzufolge
- $$H(f = 0)\hspace{0.15cm}\underline{ = 4}.$$
(3) Die zeitdiskrete Faltung der Eingangsfolge $\left\langle \hspace{0.05cm}{g_\nu } \hspace{0.05cm} \right\rangle$ mit der Impulsantwort $\left\langle \hspace{0.05cm}{h_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle \hspace{0.05cm}{1, 2, 1 } \hspace{0.05cm}\right\rangle$ ergibt
- $$\left\langle \hspace{0.05cm}{y_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle {\;1,\;3,\;4,\;4,\;4,\;4,\;4,\;4,\;4,\;4,\;4,\; \text{...} \;} \right\rangle $$
- Insbesondere gilt $y_4\hspace{0.15cm}\underline{ = 4}$.
- Mit Ausnahme der Werte $y_0$ und $y_1$ (Einschwingvorgang) erhält man auch am Ausgang eine Gleichfolge mit dem konstanten Wert 4:
- $$y(t) = H( {f = 0} ) \cdot x( t ) = 4 \cdot 1 = 4.$$
(4) Analog zur Teilaufgabe (3) erhält man nun durch Verschiebung, Gewichtung mit $a_1$, $a_2$, $a_3$ und anschließender Überlagerung:
- $$\left\langle \hspace{0.05cm}{y_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle \hspace{0.05cm}{\;0,\;1,\;2,\;0,\; - 2,\;0,\;2,\;0,\; - 2,\;0,\;...\;}\hspace{0.05cm} \right\rangle .$$
- Der gesuchte Wert ist somit $y_4\hspace{0.15cm}\underline{ = -2}$.
Anderer Lösungsweg:
- Die Eingangsfolge $\left\langle \hspace{0.05cm}{s_\nu }\hspace{0.05cm} \right\rangle$ verläuft sinusförmig mit der Periode $4 \cdot T_{\rm A}$. Die Grundfrequenz ist dementsprechend $f_0 = 1/(4 \cdot T_{\rm A})$.
- Bei dieser Frequenz hat der Frequenzgang $H(f)$ gemäß Teilaufgabe (2) den folgenden Wert:
- $$H( {f = f_0 } ) = 2\big[ {1 + \cos ( {{{\rm{\pi }}}/{2}} )} \big] \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi /2}}} = 2 \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi /2}}} .$$
- Lässt man den Einschwingungsvorgang $($abgeschlossen bei $t = T_{\rm A})$ außer Betracht, so ergibt sich mit $\tau = T_{\rm A}$ $($Phase: $90^\circ)$ folgender Zusammenhang zwischen dem Eingangs- und dem Ausgangssignal:
- $$y(t) = 2 \cdot x( {t - T_{\rm A} } ).$$
- Das heißt: Aus der Sinusfunktion wird die Funktion „Minus-Cosinus” mit der Amplitude 2.