Aufgaben:Aufgabe 5.3: Digitales Filter 1. Ordnung: Unterschied zwischen den Versionen
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− | + | Wir betrachten die nebenstehende Filteranordnung mit den Koeffizienten $a_0$, $a_1$ und $b_1$, die jeweils Werte zwischen $0$ und $1$ annehmen können. | |
− | + | *Das Eingangssignal $x(t)$ sei ein einziger Diracimpuls mit dem Einheitsgewicht „1” ⇒ $x(t) = \delta(t)$, was der folgenden zeitdiskreten Darstellung entspricht: | |
− | :$$\left\langle {x_\nu } \right\rangle = \left\langle {1,\;0,\;0,\;0,\;...} \right\rangle .$$ | + | :$$\left\langle {\hspace{0.05cm}x_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle \hspace{0.05cm}1,\;0,\;0,\;0,\;\text{...} \hspace{0.05cm}\right\rangle .$$ |
− | + | *Aufgrund dieser speziellen Eingangsfolge beschreibt die Folge $\left\langle {\hspace{0.05cm}y_\nu \hspace{0.05cm}} \right\rangle$ am Filterausgang gleichzeitig die zeitdiskrete Impulsantwort $\left\langle {\hspace{0.05cm}h_\nu \hspace{0.05cm}} \right\rangle$ des Filters. Der Abstand der Abtastwerte beträgt hierbei $T_{\rm A} = 1 \hspace{0.05cm} \rm µ s$. | |
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+ | Hinweis: | ||
+ | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Digitale_Filter|Digitale Filter]]. | ||
+ | *Das Applet [[Applets:Zur_Verdeutlichung_digitaler_Filter|"Digitale Filter"]] verdeutlicht den Themenkomplex dieses Kapitels. | ||
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===Fragebogen=== | ===Fragebogen=== | ||
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− | {Welche der | + | {Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend? |
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− | - Der Sonderfall | + | - Der Sonderfall $b_1 = 1$ führt zu einem nichtrekursiven Filter. |
− | + | + | + Mit $a_0 = 1$, $a_1 = 0$ und $b_1 = 0$ gilt $y(t) = x(t)$. |
− | + Mit | + | + Mit $a_0 = 0$, $a_1 = 0.5$ und $b_1 = 0$ ist $y(t)$ gegenüber $x(t)$ unverzerrt. |
− | {Es gelte nun | + | {Es gelte nun $a_0 = 1$, $a_1 = 0$ und $b_1 = 0.6$. Berechnen Sie die Ausgangsfolge $\left\langle {y_\nu } \right\rangle$. Welcher Ausgangswert $y_3$ tritt zum Zeitpunkt $t = 3 \cdot T_{\rm A}$ auf? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $ | + | $y_3 \ = \ $ { 0.216 3% } |
− | {Auf welchen Bereich 0, ... , | + | {Es gelte $a_0 = 1$, $a_1 = 0$ und $b_1 = 0.6$. Auf welchen Bereich $0$, ... , $M \cdot T_{\rm A}$ ist die Impulsantwort beschränkt, wenn man Werte kleiner als $0.001$ vernachlässigt? |
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− | $M$ | + | $M \ = \ ${ 13 3% } |
− | {Es gelte | + | {Es gelte $a_0 = 1$ und $b_1 = 0.6$. Berechnen Sie unter Berücksichtigung des Ergebnisses aus '''(2)''' den Ausgangswert $y_3$ für $a_1 = -0.5$. |
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− | $ | + | $y_3 \ = \ $ { 0.036 3% } |
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===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
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− | + | '''(1)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>: | |
+ | *Das Filter ist nichtrekursiv, wenn die Rückführung entfällt: $b_1 = 0$. | ||
+ | *Sind zusätzlich $a_0 = 1$ und $a_1 = 0$, so sind die Folgen $\left\langle {x_\nu } \right\rangle$ und $\left\langle {y_\nu } \right\rangle$ und damit natürlich auch die Signale $x(t)$ und $y(t)$ gleich. | ||
+ | *Mit $a_0 = 0$ und $a_1 = 1$ ist $y(t) = x(t-T_{\rm A})$ um $T_{\rm A}$ verzögert, mit $a_1 = 0.5$ zusätzlich gedämpft. | ||
+ | *Verzögerung und Dämpfung haben jedoch keine Verzerrung zur Folge. | ||
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+ | '''(2)''' Zum Zeitpunkt $\nu = 0$ ist $y_{\nu} = x_{\nu} = 1$. | ||
+ | *Für alle weiteren Zeitpunkte $\nu$ gilt $x_{\nu} = 0$ und somit auch: | ||
:$$y_\nu = b_1 \cdot y_{\nu - 1} = {b_1 }^\nu .$$ | :$$y_\nu = b_1 \cdot y_{\nu - 1} = {b_1 }^\nu .$$ | ||
+ | *Insbesondere ist $y_3 = b_1^3 = 0.6^3\hspace{0.15cm}\underline{= 0.216}$. | ||
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− | + | '''(3)''' Entsprechend der Aufgabenstellung muss gelten: | |
:$$y_{M + 1} = {b_1} ^{M + 1} < 0.001.$$ | :$$y_{M + 1} = {b_1} ^{M + 1} < 0.001.$$ | ||
+ | *Dies führt zum Ergebnis: | ||
+ | :$$M + 1 \ge \frac{{\lg \ \left( {0.001} \right)}}{{\lg \ \left( {0.6} \right)}} = \frac{ - 3}{ - 0.222} \approx 13.51\quad \Rightarrow \quad \hspace{0.15cm} \underline{M = 13}.$$ | ||
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+ | *Die Überprüfung der Werte $y_{13} \approx 0.0013$ und $y_{14} \approx 0.0008$ bestätigt dieses Ergebnis. | ||
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− | + | '''(4)''' Aufgrund der Linearität des vorliegenden Filters erhält man das gleiche Ergebnis, | |
+ | *wenn man das Filter gegenüber der Teilaufgabe '''(2)''' nicht verändert $(a_1 = 0)$ | ||
+ | *und dafür die Eingangsfolge $\left\langle {x_\nu } \right\rangle = \left\langle {1,\; - 0.5,\;0,\;0,\;\text{...} } \right\rangle$ berücksichtigt. | ||
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− | + | Man erhält dann allgemein für $\nu \gt 0$: | |
:$$y_\nu = {b_1} ^\nu + a_1 \cdot {b_1} ^{\nu - 1} = \left( {b_1 + a_1 } \right) \cdot {b_1} ^{\nu - 1} .$$ | :$$y_\nu = {b_1} ^\nu + a_1 \cdot {b_1} ^{\nu - 1} = \left( {b_1 + a_1 } \right) \cdot {b_1} ^{\nu - 1} .$$ | ||
− | + | *Mit $b_1 = 0.6$ und $a_1 = -0.5$ ergibt sich daraus $y_\nu = 0.1\cdot {0.6} ^{\nu - 1}$, und somit die Folge $\left\langle {y_\nu } \right\rangle = \left\langle {1,\;0.1,\;0.06,\;0.036,\;\text{...} } \right\rangle .$ | |
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− | + | *Der gesuchte Wert ist demnach $y_3\hspace{0.15cm}\underline{= 0.036}$. | |
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Aktuelle Version vom 10. Februar 2022, 18:59 Uhr
Wir betrachten die nebenstehende Filteranordnung mit den Koeffizienten $a_0$, $a_1$ und $b_1$, die jeweils Werte zwischen $0$ und $1$ annehmen können.
- Das Eingangssignal $x(t)$ sei ein einziger Diracimpuls mit dem Einheitsgewicht „1” ⇒ $x(t) = \delta(t)$, was der folgenden zeitdiskreten Darstellung entspricht:
- $$\left\langle {\hspace{0.05cm}x_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle \hspace{0.05cm}1,\;0,\;0,\;0,\;\text{...} \hspace{0.05cm}\right\rangle .$$
- Aufgrund dieser speziellen Eingangsfolge beschreibt die Folge $\left\langle {\hspace{0.05cm}y_\nu \hspace{0.05cm}} \right\rangle$ am Filterausgang gleichzeitig die zeitdiskrete Impulsantwort $\left\langle {\hspace{0.05cm}h_\nu \hspace{0.05cm}} \right\rangle$ des Filters. Der Abstand der Abtastwerte beträgt hierbei $T_{\rm A} = 1 \hspace{0.05cm} \rm µ s$.
Hinweis:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Digitale Filter.
- Das Applet "Digitale Filter" verdeutlicht den Themenkomplex dieses Kapitels.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:
- Das Filter ist nichtrekursiv, wenn die Rückführung entfällt: $b_1 = 0$.
- Sind zusätzlich $a_0 = 1$ und $a_1 = 0$, so sind die Folgen $\left\langle {x_\nu } \right\rangle$ und $\left\langle {y_\nu } \right\rangle$ und damit natürlich auch die Signale $x(t)$ und $y(t)$ gleich.
- Mit $a_0 = 0$ und $a_1 = 1$ ist $y(t) = x(t-T_{\rm A})$ um $T_{\rm A}$ verzögert, mit $a_1 = 0.5$ zusätzlich gedämpft.
- Verzögerung und Dämpfung haben jedoch keine Verzerrung zur Folge.
(2) Zum Zeitpunkt $\nu = 0$ ist $y_{\nu} = x_{\nu} = 1$.
- Für alle weiteren Zeitpunkte $\nu$ gilt $x_{\nu} = 0$ und somit auch:
- $$y_\nu = b_1 \cdot y_{\nu - 1} = {b_1 }^\nu .$$
- Insbesondere ist $y_3 = b_1^3 = 0.6^3\hspace{0.15cm}\underline{= 0.216}$.
(3) Entsprechend der Aufgabenstellung muss gelten:
- $$y_{M + 1} = {b_1} ^{M + 1} < 0.001.$$
- Dies führt zum Ergebnis:
- $$M + 1 \ge \frac{{\lg \ \left( {0.001} \right)}}{{\lg \ \left( {0.6} \right)}} = \frac{ - 3}{ - 0.222} \approx 13.51\quad \Rightarrow \quad \hspace{0.15cm} \underline{M = 13}.$$
- Die Überprüfung der Werte $y_{13} \approx 0.0013$ und $y_{14} \approx 0.0008$ bestätigt dieses Ergebnis.
(4) Aufgrund der Linearität des vorliegenden Filters erhält man das gleiche Ergebnis,
- wenn man das Filter gegenüber der Teilaufgabe (2) nicht verändert $(a_1 = 0)$
- und dafür die Eingangsfolge $\left\langle {x_\nu } \right\rangle = \left\langle {1,\; - 0.5,\;0,\;0,\;\text{...} } \right\rangle$ berücksichtigt.
Man erhält dann allgemein für $\nu \gt 0$:
- $$y_\nu = {b_1} ^\nu + a_1 \cdot {b_1} ^{\nu - 1} = \left( {b_1 + a_1 } \right) \cdot {b_1} ^{\nu - 1} .$$
- Mit $b_1 = 0.6$ und $a_1 = -0.5$ ergibt sich daraus $y_\nu = 0.1\cdot {0.6} ^{\nu - 1}$, und somit die Folge $\left\langle {y_\nu } \right\rangle = \left\langle {1,\;0.1,\;0.06,\;0.036,\;\text{...} } \right\rangle .$
- Der gesuchte Wert ist demnach $y_3\hspace{0.15cm}\underline{= 0.036}$.